Numerische Lösung des mathematischen Pendels mit ...

Automomer Fall
Da wir es in unserem Fall mit einer autonomen Differentialgleichung zu tun
haben, vereinfachen sich die Formeln etwas. Die implizite Mittelpunktsregel
wird zu
� �
xl + xl+1
xl+1 = xl + h · f
(2)
2
Da wir es mit einem impliziten Verfahren zu tun haben, können wir nicht
die Ergebnisse xl+1 der Einzelschritte nicht einfach hinschreiben, sondern
müssen die Gleichung (2) numerisch lösen. Dafür bieten sich zwei Varianten
an.
Einzelschritte per Newton
Da sich unsere Funktion f leicht differenzieren lässt, könnten wir das Newtonverfahren
verwenden.
Mit g(y) := xl − y + h · f �xl+y �
müssten wir also eine Nullstelle von g
2
finden. Hierbei könnten wir y0 := xl als Startwert nehmen, und verwendeten
dann die normale Newtoniteration
yj+1 = yj + zj, wobei zj Lösung von g ′ (yj) · zj = −f(yj).
Auch eine Variante des Newtonverfahrens, wie ein Sekantenverfahren, wäre
denkbar.
Einzelschritte nach Banach
Eine einfachere Variante ist eine Fixpunkt-Iteration nach Banach: Wir betrachten
die Funktion
k : R n → R n
� �
xl + y
k(y) := xl + h · f
2
Offensichtlich ist jeder Fixpunkt dieser Funktion eine Lösung für (2) und
umgekehrt.
Da unser f lipschitzstetig war, ist dies ebenso für k der Fall. Für h < 2
ist k kontraktierend, und die Iteration
yi+1 := k(yi)
� �
xl + yi
= xl + h · f
2
konvergiert (bei beliebigem Startwert) gegen den einzigen Fixpunkt (also
xl+1).
In unserem Programm wurde die Banach-Iteration verwendet, die zwar
langsamer ist, aber leichter implementierbar (man muss keine Inverse einer
Matrix bestimmen, das Ableiten kann man sich auch sparen).
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