Numerische Lösung des mathematischen Pendels mit ...

Beobachtung der Hamiltonfunktion und Erklärung
Schauen wir uns nun das Verhalten des Hamilton-Operators für die Lösungen
an. Da dieser (physikalisch betrachtet) gerade die Energie des Systems
ausdrückt, muss er (wegen dem Energieerhaltungssatz) konstant bleiben.
Dies wurde ja auch beim Herleiten der exakten Lösung aus der Differentialgleichung
hergeleitet.
1
0
−1
−2
1 2 3 4 5 6
Abbildung 12: Hamilton-Funktion bei h = 0.1
Betrachten wir nun unseren ” Standardfall“ mit h = 0.1, und betrachten
dafür den Hamilton-Operator, so können wir folgendes beobachten:
Die recht gute Näherung durch die implizite Mittelpunktsregel gibt den
physikalischen Sachverhalt richtig wieder. Setzt man die Näherung in die
Hamiltonfunktion ein, so erhält man auch hier eine konstante Funktion.
Aber die Näherung durch das explizite Eulerverfahren ist sehr schlecht. Das
erkennt man schon, wenn man die Energie betrachtet. Denn setzt man die
Lösung des expliziten Eulerverfahrens in die Hamiltonfunktion ein, so gewinnt
man im Laufe der Zeit Energie, was physikalisch unmöglich ist. Der
Energiegewinn resultiert daraus, dass beim expliziten Eulerverfahren die
Amplitude des Pendels vergrößert wird.
Bei kleineren Schrittweiten verringert sich dieser Effekt, bei größeren
verstärkt er sich, wie in den weiteren Abbildungen zu sehen ist. Das Mittelpunktsverfahren
dagegen erhält bei jeder Schrittweite die richtige Energie.
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