1.3 Primitiv rekursive und μ-rekursive Funktionen - Universität Kassel

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Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie1.3 Primitiv rekursive und µ-rekursive FunktionenBeweis Induktion über den Aufbau von P:(i) x i := x j ± cg P (n) = 〈d 0 (n),...,d i−1 (n), d j (n)±c, d i+1 (n),...,d k (n)〉(ii) Q; Rg P (n) = g R (g Q (n))(iii) LOOP x i DO Q ENDg P (n) = h(d i (n), n)mit h(0, x) = xh(n+1, x) = g Q (h(n, x))d.h. h(n, x) = g Q (g Q (...(g} {{ Q (x))...)}n-malNun gilt:F(n 1 ,...,n r ) = d 0 (g P (〈0, n 1 ,...,n r , 0,...,0〉)). ✷} {{ }k−rProf. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 56 / 309
Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie1.3 Primitiv rekursive und µ-rekursive Funktionen“⇒”: Sei F primitiv rekursiv.Behauptung:Es gibt ein LOOP-Programm, das F berechnet.Beweis:Ind. über den Aufbau von F:(i) Basisfunktionen : LOOP-berechenbar.(ii) F(n 1 ,...,n m ) = g(h 1 (x 1 ,...,x m ),...,h k (x 1 ,...,x m )):P F aus P g und P h1 ,...,P hk .(iii) F(0, x 1 ,...,x r ) = g(x 1 ,...,x r )F(n+1, x 1 ,...,x r ) = h(F(n, x 1 ,...,x r ), n, x 1 ,...,x r )P F : y := g(x 1 ,...,x r ); (∗ mit P g ∗)k := 0;LOOP n DO y := h(y, k, x 1 ,...,x r );(∗ mit P h ∗)k := k + 1ENDProf. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 57 / 309✷
Seite 3: Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie1
Seite 6 und 7: Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie1
Seite 18: Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie1

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