1.3 Primitiv rekursive und μ-rekursive Funktionen - Universität Kassel

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Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie1.3 Primitiv rekursive und µ-rekursive FunktionenDefinition 1.17Die Klasse der µ-rekursiven Funktionen(a) Basisfunktionen : konstante Funktionen, Π m i, s.(b) Abschluss: Komposition, prim. Rekursion, µ-Operator.Satz 1.18Die Klasse der µ-rekursiven Funktionen stimmt mit der Klasse derWHILE-berechenbaren Funktionen überein.Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 60 / 309
Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie1.3 Primitiv rekursive und µ-rekursive FunktionenBeweis:Es bleibt, den µ-Operator und die WHILE-Schleife zu betrachten.“⇐”: WHILE-Programm:WHILE x i ≠ 0 DO Q ENDDie Funktion h(n, x) liefert den Zustand der Programmvariablenx = 〈x 0 ,...,x k 〉 nach n Ausführungen von Q.Dann: g P (x) = h(µ(d i h)(x), x),wobei µ(d i h)(x) = min{ n | d i h(n, x) = 0 und ∀m < n : d i h(m, x) ∈ N}.Mit h ist dann g P µ-rekursiv.“⇒”: Sei g(x) = µf(x).Nach I.V. gibt es ein WHILE-Programm für f.P g : x 0 := 0; y := f(0, x 1 ,...,x k );WHILE y ≠ 0 DO x 0 := x 0 + 1; y := f(x 0 , x 1 ,...,x k );END✷Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 61 / 309
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Seite 6 und 7: Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie1
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