Testen auf Normalverteilung: Der Jarque-Bera-Test

2.4. Herleitung Score Test 19Mit derselben Schlußfolgerung wie im Beweis zu Satz (2.4.1) ist der Beweis vollständig.Bisher haben wir uns ausschließlich mit Likelihood-Quotienten Tests beschäftigt undderen asymptotische Verteilung abgeleitet. Da das eigentliche Ziel jedoch darin bestehtden Score Test herzuleiten, werden wir nun die gewonnenen Erkenntnisse genau für diesenZweck nutzen. Da für unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen X 1 , . . . , X nnach (2.3) I(θ 0 ; X) = nI(θ 0 ; X 1 ) gilt, folgt mit (2.4)I(θ 0 ; X)(ˆθ − θ 0 ) = a S(θ 0 ; X).Wir kürzen wieder ab und schreiben I ij = I ij (θ 0 ; X) für i, j = 1, 2. Dann gilt also(I11 (ˆθ 1 − θ 10 ) + I 12 (ˆθ 2 − θ 20 ) = a )S 1 (θ 0 ; X)I 21 (ˆθ 1 − θ 10 ) + I 22 (ˆθ 2 − θ 20 ) = a , so dassS 2 (θ 0 ; X)(ˆθ 1 − θ 10 ) = a ( I 11 − I 12 (I 22 ) −1 ) −1 (I 21 S1 (θ 0 ; X) − I 12 (I 22 ) −1 S 2 (θ 0 ; X) ) .folgt. Einsetzen in (2.11) ergibt als asymptotisch äquivalente Statistik zu Λ mit derabkürzenden Schreibweise S i = S i (θ 0 ; X) für i = 1, 2:a (Λ S = S1 − I 12 (I 22 ) −1 ) T (S 2 I11 − I 12 (I 22 ) −1 ) −1 (I 21 S1 − I 12 (I 22 ) −1 )S 2 .Setzt man θ 2 = ˆθ 20 , so addiert sich aufgrund der Konsistenz des MLS ein o p (1)-Term, derfür n → ∞ verschwindet und es ist S 2 = 0. Aufgrund ihrer Wichtigkeit für die folgendeTheorie halten wir die gewonnene Teststatistik in einer Definition fest.Definition 2.4.3. Es gelten die Annahmen aus Satz (2.4.2). Dann heißt die durchΛ S (ˆθ 20 ) = S 1 (ˆθ 0 ; X) T I 11 (ˆθ 0 ; X) −1 S 1 (ˆθ 0 ; X) (2.12)definierte Statistik Score Test.Bemerkung 2.4.4. Da Λ S asymptotisch äquivalent zu Λ ist, besitzt auch Λ S eine asymptotischeChi-Quadrat-Verteilung mit Anzahl an Freiheitsgraden ≡ dim(θ 1 ). Welcher dervorliegenden Tests also letzten Endes angewendet wird, hängt i.d.R. von der Berechenbarkeitder Schätzer ab. Für den Likelihood-Quotienten Test muß der unrestringierte MLSberechnet werden, wohingegen für den Score Test der MLS unter der Nullhypothese ausreichendist. Dies stellt in vielen Situationen einen klaren Vorteil dar.