Testen auf Normalverteilung: Der Jarque-Bera-Test

Kapitel 5Testen auf multivariateNormalverteilungDie Theorie des Testens auf univariate Normalverteilung basierte auf der Annahme einerStichprobe x = (x 1 , . . . , x n ), welche als Realisierung von sowohl unabhängigen, als auchidentisch verteilten Zufallsvariablen X 1 , . . . , X n angenommen wurde. Um im folgendennicht nur auf Zusammenhänge zwischen einzelnen Beobachtungen einzugehen, sondernauch zwischen verschiedenen Merkmalen dieser Beobachtungen, erweitern wir den Ansatzindem wir in diesem Kapitel Stichproben X = (X 1 , . . . , X n ) betrachten, die ausp-Zufallsvektoren X i = (X 1i , . . . , X pi ) T für i = 1, . . . , n bestehen, wobei X 1i , . . . , X pieindimensionale Zufallsvariablen darstellen. X i wird dadurch zu einer Beobachtung, diep Merkmale beinhaltet, deren Abhängigkeitsstruktur untereinander durch die (p × p)-Kovarianzmatrix Cov[X i ] = ( σ jk)1≤j,k≤p mit σ jk = Cov[X ji , X ki ] für i = 1, . . . , n ausgedrücktwerden kann. Dazu nehmen wir im folgenden an, dass sowohl die ErwartungswertvektorenIE[X i ], als auch die Kovarianzmatrizen Cov[X i ] der betrachteten ZufallsvektorenX i für i = 1, . . . , n existieren. Die einzelnen Zufallsvektoren werden dabei wieim univariaten Fall als unabhängig und identisch verteilt angenommen. Eine StichprobeX bestehend aus n Beobachtungsvektoren der Länge p kann somit als (p × n)-Matrix⎛⎞X 11 · · · X 1nX = ⎜ . ⎝ . .. .⎟⎠ dargestellt werden. Man bezeichnet X als Daten- oder Beobachtungsmatrix.Geometrisch lassen sich die Spalten der Matrix als Punkte imX p1 · · · X pnp-dimensionalenRaum deuten, welche der Untersuchung eines Zusammenhangs verschiedener Objekte(Beobachtungen) untereinander dienen können. Die Zeilen hingegen sind Punkte im n-dimensionalen Raum und werden benutzt um Beziehungen zwischen verschiedenen Merkmalenaufzudecken.43