Testen auf Normalverteilung: Der Jarque-Bera-Test

4.2. Powervergleich innerhalb des Pearson-Systems 35Die Tabelle (4.4) zeigt die Ergebnisse der Analysen, die mit dem Programm R auf derBasis von je 500 Replikationen durchgeführt wurden. Dazu wurden Zufallszahlen der einzelnenVerteilungen erzeugt und im Falle der Statistiken AD, LIL, CV M, P EA und SFdie Nullhypothese der Normalverteilung abgelehnt, falls der p-Wert der entsprechendenStatistiken unterhalb des Niveaus α lag. Die Anzahl der abgelehnten Nullypothesen imVerhältnis zur Anzahl der Replikationen ergibt die Power der einzelnen Tests. Die p-Werteder Statistiken wurden dabei von den in R implementierten Tests übernommen.JB JB U JB JG AD LIL CV M P EA SFBeta(3,2) n = 10 0.034 0.032 0.03 0.05 0.042 0.048 0.074 0.048n = 20 0.022 0.016 0.018 0.076 0.064 0.072 0.052 0.044n = 50 0.02 0.016 0.016 0.168 0.118 0.14 0.108 0.116n = 100 0.092 0.038 0.03 0.406 0.22 0.316 0.174 0.336n = 200 0.732 0.648 0.6 0.812 0.534 0.704 0.386 0.872n = 400 0.996 0.998 0.996 0.986 0.864 0.974 0.794 1Students t (5df) n = 10 0.158 0.156 0.144 0.134 0.104 0.126 0.112 0.146n = 20 0.222 0.232 0.24 0.196 0.114 0.166 0.09 0.23n = 50 0.416 0.426 0.424 0.274 0.204 0.242 0.13 0.394n = 100 0.642 0.66 0.646 0.51 0.326 0.45 0.184 0.648n = 200 0.89 0.894 0.894 0.732 0.534 0.7 0.288 0.876n = 400 0.986 0.984 0.986 0.96 0.812 0.92 0.474 0.982Gamma(2,1) n = 10 0.192 0.176 0.174 0.202 0.152 0.178 0.182 0.206n = 20 0.382 0.352 0.358 0.44 0.282 0.394 0.286 0.482n = 50 0.848 0.792 0.798 0.906 0.726 0.862 0.664 0.932n = 100 0.992 0.988 0.988 0.998 0.954 0.992 0.926 1n = 200 1 1 1 1 1 1 1 1n = 400 1 1 1 1 1 0.996 1 1Log-Normal n = 10 0.5 0.432 0.43 0.584 0.464 0.558 0.53 0.594n = 20 0.832 0.81 0.818 0.892 0.798 0.874 0.82 0.904n = 50 1 1 1 1 0.996 1 0.998 1n = 100 1 1 1 1 1 0.884 1 1n = 200 1 1 1 1 1 0.158 1 1n = 400 1 1 1 1 1 0 1 1Tabelle 4.4: Powervergleich bei 500 Replikationen, α = 0.05. Zur leichteren Interpretationder Testergebnisse sind die effizientesten Tests in den einzelnen Kategoriendurch Fettdruck hervorgehoben. Die Grafiken zeigen die Dichte derentsprechenden Verteilungen (durchgezogene Linien) im Vergleich zur normiertenund zentrierten Normalverteilung (gestrichelte Linien).Da nun für den p-Wert bei Vorliegen einer Stichprobe x und einer Teststatistik S mitdem Ergebnis S(x) = s die Beziehung p = P (S ≥ s|H 0 ) erfüllt ist und für den kritischenWert c zum Signifikanzniveau α die Beziehung α = P (S ≥ c|H 0 ) gilt, lässt sich auch