Testen auf Normalverteilung: Der Jarque-Bera-Test

30 Der Jarque-Bera-Test im Vergleichschung rund um den JB-Test wurden so bereits in immer umfangreicheren Untersuchungenvon einigen Autoren wie [Urz96], [DS96] und aktuell von [WK09] emprische kritischeWerte (ekW) publiziert. Dazu wurden Monte-Carlo Simulationen auf der Basis normalverteilterStichproben unterschiedlicher Größenordnung durchgeführt. Um möglichst präziseErgebnisse zu erhalten wird eine große Anzahl solcher Simulationen, sog. Replikationen,durchgeführt und die Werte der JB-Statistik dieser Simulationen berechnet. Die kW zugegebenem Signifikanzniveau α lassen sich dann anhand der JB-Werte bestimmen, d.h.zum Niveau α bildet der (1 − α) · (#Replikationen)-größte JB-Wert den ekW. Aufgrunddes Umfangs und der daraus resultierenden Genauigkeit genannter Analysen, die in eigenenUntersuchungen so nicht möglich wäre, wird an dieser Stelle auf erneute Berechnungvon ekW verzichtet und auf vorhandene Datensätze zurückgegriffen. Zum Vergleich mitden asymptotischen kW werden die kW für verschiedene Stichprobengrößen n und Signifikanzniveausα angegeben, die auf der Basis von je 10 7 Replikationen von Wurtz undKatzgraber mit dem Programm R berechnet wurden und in [WK09] zu finden sind. Diesewaren nach eigenem Wissensstand die genauesten zur Zeit der Veröffentlichung ihres Papersverfügbaren. Eine Übersicht der ekW gibt die Tabelle (4.1)n = 10 n = 20 n = 35 n = 50 n = 75 n = 100 n = 150 n = 200α = 0.005 7.300 13.471 16.414 17.281 17.305 16.959 16.257 15.638α = 0.01 5.703 9.718 11.736 12.392 12.586 12.491 12.185 11.882α = 0.05 2.525 3.795 4.593 4.976 5.278 5.430 5.598 5.676α = 0.1 1.623 2.347 2.881 3.183 3.486 3.673 3.904 4.033α = 0.2 1.124 1.562 1.916 2.128 2.346 2.487 2.656 2.756n = 300 n = 400 n = 800 n = 1000 n = 1600 n = 2400 n = 10000 n → ∞α = 0.005 14.669 13.583 12.726 12.366 11.762 11.384 10.792 10.597α = 0.01 11.358 10.778 10.299 10.117 9.810 9.608 9.313 9.210α = 0.05 5.773 5.855 5.910 5.924 5.957 5.967 5.986 5.991α = 0.1 4.189 4.332 4.427 4.457 4.513 4.542 4.589 4.605α = 0.2 2.876 2.988 3.065 3.091 3.136 3.161 3.207 3.219Tabelle 4.1: Empirische kritische Werte der JB-Statistik bei 10 7 Replikationen. Vgl.[WK09], Tabelle 1.Man sieht, dass der JB-Test für α ≥ 0.05 bei Benutzung der kW der asymptotischenVerteilung vor allem bei kleinen Stichproben sehr konservativ ist. Die fehlende Struktur derkW für α < 0.05 lässt sich nicht so leicht interpretieren. Dass die ekW großer Stichprobenjedoch weiter entfernt von den asymptotischen kW liegen als die ekW kleiner Stichprobenzeigt deutlich, dass die Verwendung der Quantlile der χ 2 (2)-Verteilung speziell in der Situationkleiner Stichproben zwangsläufig zu fehlerhaften Schlussfolgerungen führt.Obwohl der heute als Jarque-Bera-Test bekannte Test auf Normalverteilung erst durch