Testen auf Normalverteilung: Der Jarque-Bera-Test

3.3. Testen von Regressionsresiduen 273.3 Testen von RegressionsresiduenIn diesem Abschnitt gehen wir einen Schritt weiter und leiten einen Test her, mit dem dieMöglichkeit besteht unbekannte und zudem auch unbeobachtbare Regressionsresiduen aufNormalverteilung zu testen. Dazu betrachten wir das lineare Regressionsmodellx = Y β + ɛmit Beobachtungsvektor x = (x 1 , . . . , x n ) T , bekannter (n × d) Design-Matrix Y = (y ij ),unbekannten Regressionskoeffizienten β 1 , . . . , β d , zusammengefasst im Vektor β = (β 1 , . . . , β d ) Tund i.i.d. Zufallsvariablen (Regressionsresiduen) ɛ 1 , . . . , ɛ n mit IE[ɛ i ] = 0 für alle i =1, . . . , n und Var[ɛ i ] = Var[ɛ j ] für alle i ≠ j. Es sei g(ɛ) die Dichte der Residuen ɛ i füri = 1, . . . , n und zudem sei g(ɛ) aus dem Pearson-Verteilungssystem, so dass∂∂ɛ g(ɛ; c c 1 + ɛ1, c 2 , c 0 ) = −c 0 + c 1 ɛ + c 2 ɛ 2 g(ɛ; c 1, c 2 , c 0 )gilt. Wie im vorherigen Modell definieren die j-ten empirischen Momente der Residuen ɛ idurch µ j = n −1 ∑ ni=1 ɛj i, wobei ein entscheidender Unterschied auftritt. Da die Parameterβ i für i = 1, . . . , d in unserem Modell nicht bekannt sind, müssen diese geschätzt werden.Dazu sei Y i = (Y i1 , . . . , Y id ). Dann gilt ˆµ j = n −1 ∑ ni=1 ˆɛj i = n−1 ∑ ni=1 (x i − Y i ˆβ) j , wobeiwir als Schätzer für β den Kleinste-Quadrate-Schätzer (KQS) ˆβ(x) = (Y T Y ) −1 Y T xverwenden. Erneut stellt die Funktion g(ɛ; c 1 , c 2 , c 0 ) mit c 1 = c 2 = 0 die Dichte einerNormalverteilung dar, so dass mit θ = (θ T 1 , θ 2 ), θ T 1 = (c 1 , c 2 ), θ 2 = c 0 die zu testendeHypothese H 0 : θ 1 = (0, 0) T lautet. Die Log-Likelihood-Funktion l(c 1 , c 2 , c 0 ; ɛ) ist folglichidentisch (3.3) mit ɛ anstelle von y, so dass an der Stelle θ 0 mit dem Beweis zu Proposition(3.2.2)und mit dem Beweis zu Proposition (3.2.3)(S 1 (θ 0 ; ɛ) T µ1= nσ 2 − µ 33σ 4 , µ 44σ 4 − 3 )4⎛I(θ 0 ; ɛ) = n ⎜⎝23σ 2 0 00 63032σ 2 1⎞⎟2σ 2 ⎠2σ 4folgt. Somit gilt wegen ˆσ 2 = ˆµ 2 und mit etwas Rechenarbeit( 1 ˆµ 2 3Λ S = n6 ˆµ 3 + 1 ( ) 2 ) ( ˆµ43 ˆµ 2 1224 ˆµ 2 − 3 + n − ˆµ )1ˆµ 322 ˆµ 2 ˆµ 2 .2Beachtet man, dass für die KQS-Residuen ˆɛ i das erste empirische Moment unter Schätzungdes Erwartungswerts, namentlich ˆµ 1= n −1 ∑ ni=1 ˆɛ i = n −1( ∑ ni=1 x i − ∑ ni=1 Y i ˆβ(x i ) ) ,