Testen auf Normalverteilung: Der Jarque-Bera-Test

5.2. Asymptotische Verteilung 53Ein weiteres Ergebnis von Khatri und Pillai ist hilfreich, um die Gleichung zu vereinfachen.= n(5.15),(5.18),(5.21)= n(n∑[( p∑IEj=1i=1[( p∑+ 2IEj=1++ 2n∑i=1( p∑j=1p∑j 1 ,j 2 =1j 1 ≠j 2n−1∑n−1∑k=i−1( n−1 ∑( n−1 ∑k=i−1k=i−1n−1∑k=i−1c 2 k Z2 j,kc 2 k Z2 j,k)( p∑j=1c 4 k IE[Z4 j,k ] + 3c 4 k IE[Z2 j 1 ,k Z2 j 2 ,k ] +) 2 ] [( p∑+ IEj=1n−1∑n−1∑k 1 ,k 2 =i−1k 1 ≠k 2Z j,k1 c k2 Z) 2 ]c k1 Z j,k1 c k2 Z j,k2)] )j,k2k 1 ≠k 2k 1 ,k 2 =i−1n−1∑k 1 ,k 2 =i−1k 1 ≠k 2c 2 k 1c 2 k 2IE[Z 2 j,k 1Z 2 j,k 2]n−1∑k 1 ,k 2 =i−1k 1 ,k 2 =i−1k 1 ≠k 2c 2 k 1c 2 k 2IE[Z j1 ,k 1Z j2 ,k 1Z j1 ,k 2Z j2 ,k 2])k 1 ≠k 2c 2 k 1c 2 k 2IE[Z 2 j 1 ,k 1Z 2 j 2 ,k 2]Lemma 5.2.9. Es sei M eine (p × k)-Matrix bestehend aus Zufallsvariablen M ji für j =1, . . . , p, i = 1, . . . , k. M besitze die Dichte g(M; f, k, p) = c(f, k, p) ∣ ∣I p −MM T ∣ 1 2 (f−p−k−1)mit c(f, k, p) = π − 1 2 pk ∏ ( )( ( ))pj=1 Γ f−j+12Γ f−k−j+1 −1.2 Dann gilt:) ) .IE [ Mji2 ] 1 =fIE [ Mj 2 1 i 1Mj 2 ] 32 i 2 =f(f + 2)1=f(f + 2)f + 1=(f − 1)f(f + 2)für j = 1, . . . , p, i = 1, . . . , k,für j 1 = j 2 , i 1 = i 2 ,für j 1 = j 2 , i 1 ≠ i 2 oder j 1 ≠ j 2 , i 1 = i 2 ,für j 1 ≠ j 2 , i 1 ≠ i 2 .Beweis. Der Beweis basiert auf einer Zerlegung der multivariaten Dichte von M in einProdukt univariater Beta-Verteilungen, soll aber hier nicht näher ausgeführt werden. FürDetails verweisen wir auf [KP66], S.149ff.Mit Lemma 5.2.9 folgt somitIE [ (]n∑(3b 2,p = n p(n − 1)(n + 1)i=1(1+ p(p − 1)(n − 1)(n + 1)n−1∑k=i−1n−1∑k=i−1c 4 k + 3(n − 1)(n + 1)c 4 k +n−1∑)c 2 k 1c 2 k 2k 1 ,k 2 =i−1k 1 ≠k 2n(n − 2)(n − 1)(n + 1)n−1∑)c 2 k 1c 2 k 2k 1 ,k 2 =i−1k 1 ≠k 2