Testen auf Normalverteilung: Der Jarque-Bera-Test

Kapitel 2Score TestIn der mathematischen Statistik ist man daran interessiert anhand von Stichproben, dargestelltdurch Realisierungen zumeist unabhängiger und identisch verteilter (i.i.d.) Zufallsvariablen,Aussagen über die Parameter der Verteilung einer Grundgesamtheit zu treffen.Dazu werden statistische Modelle aufgestellt, auf deren Grundlage Schätz- oder Testproblemebehandelt werden können. Ziel des ersten Kapitels ist es, eine Teststatistik herzuleiten,mit deren Hilfe Fragen in Bezug auf Hypothesen über bestimmte Verteilungsparameterbeantwortet werden können. Unabdingbare Voraussetzung dafür bildet die Theorieder Likelihood-Schätzer, die im Bereich der Schätzprobleme als eine der gängigsten zumAuffinden von Schätzern für Parameterfunktionen angesehen werden kann. Aus diesemGrund wird im ersten Abschnitt eine kurze Einführung in die Schätztheorie gegeben unddarauf aufbauend in Abschnitt zwei die Theorie der Likelihood-Funktionen entwickelt,in der Maximum-Likelihood-Schätzer definiert und im Anschluß einige wichtige Eigenschaftenvon Maximum-Likelihood-Schätzern bewiesen werden. Abschnitt drei beginnt miteiner Erläuterung der Problematik in Testproblemen und motiviert, ausgehend von einfachenHypothesen, in Abschnitt vier mit Hilfe von Likelihood-Quotienten den Übergangzu komplexeren Hypothesen. Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an der in [CH74].Definitionen und Notationen sind zum Teil aus [Als09], sowie [Hel08] übernommen.2.1 Grundlagen SchätztheorieWie der Name bereits vermuten lässt ist es das Ziel der Schätztheorie, anhand von StichprobenSchätzungen über interessierende Parameter anzustellen. Dabei ist eine Stichprobex = (x 1 , . . . , x n ) ein n-Tupel von Beobachtungen, die im wahrscheinlichkeitstheoretischenZusammenhang als Realisierung von Zufallsvariablen X 1 , . . . , X n aufgefasst werden. Daszugrunde liegende Modell lässt sich dabei wie folgt beschreiben:Ausgangspunkt bildet ein statistischen Experiment E = (X , A, (P θ ) θ∈Θ ), welches sich aus2