Testen auf Normalverteilung: Der Jarque-Bera-Test
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Kapitel 4<strong>Der</strong> <strong>Jarque</strong>-<strong>Bera</strong>-<strong>Test</strong> im VergleichObwohl der <strong>Jarque</strong>-<strong>Bera</strong>-<strong>Test</strong> <strong>auf</strong>grund seiner einfachen Struktur ein praktisches Werkzeugim <strong><strong>Test</strong>en</strong> <strong>auf</strong> <strong>Normalverteilung</strong> darstellt, stellen sich bei genauerer Untersuchung einigesehr mangelhafte Eigenschaften heraus. Auf diese soll im vorliegenden Kapitel näher eingegangenwerden und zugleich werden einige Modifizierungen der <strong>Test</strong>statistik hergeleitet.Zusätzlich wird zur Einordnung der Effizienz des JB-<strong>Test</strong> ein Vergleich mit anderen –sowohl parametrischen als auch nicht-parametrischen – <strong>Test</strong>s <strong>auf</strong> <strong>Normalverteilung</strong> vorgenommenund die Ergebnisse anhand von empirischen Analysen untermauert. Begonnenwird im ersten Abschnitt mit der Herleitung empirischer kritischer Werte, die für dienachfolgenden Untersuchungen unerlässlich sind.4.1 Kritische Werte und <strong>Test</strong>alternativenDa in vielen Gebieten der Wissenschaft der <strong>Jarque</strong>-<strong>Bera</strong>-<strong>Test</strong> (JB-<strong>Test</strong>) ein gängiges Mittelzum <strong><strong>Test</strong>en</strong> <strong>auf</strong> <strong>Normalverteilung</strong> sowohl von Beobachtungen als auch hauptsächlichzum <strong><strong>Test</strong>en</strong> von Regressionsresiduen geworden ist, gewinnt die Frage nach seiner Effizienzimmer mehr an Bedeutung. Zudem werden in den meisten Anwendungen nicht seine exaktenQuantile bei den Untersuchungen zur Entscheidung herangezogen, sondern wesentlichhäufiger die seiner asymptotischen Verteilung. Da jedoch die Verteilung des JB-<strong>Test</strong>s nursehr langsam gegen seine Grenzverteilung konvergiert, resultieren erhebliche Abweichungender Verteilung der <strong>Test</strong>statistik bei endlichen Stichproben von der asymptotischenVerteilung. Dies hat zur Folge, dass ungenügende Ergebnisse resultieren können, wenn dieSignifikanzwerte der χ 2 (2)-Verteilung dazu genutzt werden, eine Entscheidung über die Hypotheseder <strong>Normalverteilung</strong> bei Vorliegen kleiner Stichproben zu treffen. Um dennochin sinnvoller Weise mit dem JB-<strong>Test</strong> arbeiten zu können, müssen für endliche und insbesonderekleine Stichproben die kritischen Werte (kW) empirisch bestimmt werden, da dieexakte Verteilung der <strong>Test</strong>statistik für endliches n nicht bekannt ist. Im L<strong>auf</strong>e der For-29
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