Testen auf Normalverteilung: Der Jarque-Bera-Test

3.1. Pearson-Verteilungssystem 21eine DGL mit stetigen Funktionen a(x) und p(x), die hier vorerst nicht weiter spezifiziertwerden sollen. Dann bildetp(x) = c exp ( A(x) )mit A(x) als Stammfunktion von a(x) und c ∈ R konstant eine Lösung der gegebenenDGL.Es sei nun X eine Zufallsvariable mit X ∼ N (0, σ 2 ) und Dichte f(x) = (2πσ 2 ) −1/2 exp ( −x 2 /(2σ 2 ) ) . Dann ist eine Darstellung der Dichte f(x) in Form obiger DGL mit Lösungf(x) = c exp ( A(x) ) , c = (2πσ 2 ) −1/2 , A(x) = −x 2 /(2σ 2 ) durch(−x/σ 2 )f(x) gegeben.∂∂x f(x) = A′ (x)f(x) =Wir konkretisieren den Ausdruck a(x) in obiger DGL, indem wir ein System von Gleichungenfür a(x) angeben, welches durch Variation der darin enthaltenen Variablen spezifiziertwerden kann. Dieses auf Pearson zurückgehende System aus dem Jahre 1895 besitzt dieGestalt∂∂x p(x) = − c 1 + xp(x) (3.1)c 0 + c 1 x + c 2 x2 für x ∈ R und wird als Pearson-Verteilungssystem bezeichnet. Es enthält alle Funktionenp(x), die eine Lösung dieser DGL darstellen, wobei c 0 , c 1 und c 2 formgebende Parametersind, die maßgeblich für die Gestalt der Funktionen verantwortlich sind. Für eineausführlichere Auseinandersetzung mit dieser DGL sei auf [KS69], Kap. 6, sowie [JK94]verwiesen.Damit Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Lösungen von (3.1) resultieren, ist auf Normiertheitund Positivität, d.h. ∫ ∞−∞p(x)dx = 1 und p(x) ≥ 0 für alle x ∈ R zu achten. Inder Situation c 0 = σ 2 , c 1 = c 2 = 0 erhält man den Spezialfall der Normalverteilung mitErwartungswert 0 und Varianz σ 2 , wenn die Stammfunktion von a(x) wie im obigen Fallals A(x) = ∫ x0 a(t)dt = −x2 /(2σ 2 ) gewählt ist und der konstante Faktor c = (2πσ 2 ) −1/2entspricht. Diesen Spezialfall werden wir im folgenden dazu nutzen, beobachtete Ereignisseinnerhalb dieses Systems auf Normalverteilung zu testen.Dass das Testen auf Normalverteilung nur innerhalb dieses Systems, also nur gegen Verteilungenaus diesem System vorgenommen wird, stellt insofern eine Einschränkung dar,als dass gegen gewisse Verteilungen, wie bspw. die Lognormal-Verteilung nicht getestetwerden kann. Empirische Studien allerdings belegen, dass trotz dieser misslichen Situationdie Jarque-Bera-Teststatistik im Vergleich mit anderen Tests auf Normalverteilung,die auch gegen Nicht-Pearson-Verteilungen testen, eine höhere Güte aufweist. 1 Desweiterenist festzuhalten, dass ein breites Spektrum an Verteilungen (u.a. Beta-, Gamma-, t-und F -Verteilung) durch das Pearson-System abgedeckt wird, was die Attraktivität desJarque-Bera-Tests nicht nur anhand seiner einfachen Form begründet.1 Vgl. [JB87].