Testen auf Normalverteilung: Der Jarque-Bera-Test

4.2. Powervergleich innerhalb des Pearson-Systems 33in den Untersuchungen benutzt werden. Die folgende Tabelle gibt die ermittelten Wertean.n = 10 n = 20 n = 50 n = 100 n = 200 n = 400α = 0.05 5.879 5.700 6.094 6.294 6.223 5.990Tabelle 4.3: Empirische kritische Werte der JB JG -Statistik bei 10 4 Replikationen.4.2 Powervergleich innerhalb des Pearson-SystemsUm zu verstehen wie die Power der Jarque-Bera-Statistiken im Vergleich zu anderen Testsauf Normalverteilung einzuordnen ist, werden wir diese im vorliegenden Abschnitt innerhalbdes Pearson-Systems mit der Power anderer Tests vergleichen. Power bezeichnet dabeidie Wahrscheinlichkeit, bei Vorliegen der Alternativhypothese richtigerweise die Nullhypotheseder Normalverteilung zu verwerfen. Je höher die Power eines Tests ist, destogeringer ist also die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 2. Art zu begehen. Dabei hängt diePower maßgeblich vom vorgegebenen Signifikanzniveau α ab, zumal dieses ja gerade derWahrscheinlichkeit entspricht, mit der ein Fehler 1. Art gerade noch toleriert wird. Diesmotiviert also nach denjenigen Tests zu suchen, deren Power im Vergleich zu anderen Testsmöglichst groß ist. Dazu wird das Testmodell in [JB87], Kapitel 5, überarbeitet und auf derBasis aktueller kritischer Werte für JB, JB U und JB JG , sowie unter Austausch und Hinzunahmeeiniger Tests auf Normalverteilung erweitert und präzisiert. Die Alternativen zurNormalverteilung bestehen aus den folgenden Pearson-Verteilungen: Beta(3, 2)-Verteilung,Student’s t-Verteilung mit 5 Freiheitsgraden und Gamma(2, 1)-Verteilung. Zusätzlich wirdals Nicht-Pearson-Verteilung die Lognormal-Verteilung untersucht. Speziell wird in dervorliegenden Situation für die Stichprobengrößen n ∈ {10, 20, 50, 100, 200, 400} zum Signifikanzniveauα ∈ {0.01, 0.05, 0.1} die Power der folgenden Tests verglichen:• Anderson-Darling-(Anpassungs-)Test: Der Anderson-Darling-Test ist ein Test derempirischen Verteilungsfunktion. Er basiert auf der Tatsache, dass unter Annahmeder Normalverteilung eine Transformation in eine Gleichverteilung möglich ist. Dazuwird die geordnete Stichprobe X (1) , . . . , X (n) nach der Transformation mit einemAbstandstest auf Gleichverteilung getestet. Mit Y (i) = ˆσ −1 (X (i) − ¯X) wobei ˆσ 2 =(n − 1) −1 ∑ ni=1 (X i − ¯X) 2 lautet die TeststatistikAD = −n − 1 nn∑(2i − 1) ( log ( Φ ( )) ( ( )))Y (i) + log 1 − Φ Y(n−i+1) .i=1