Didaktik der Geometrie - Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Didaktik der Geometrie
© Michael Schober

Inhaltsangabe:
1. ZIELE – INHALTE – STOFFANORDNUNG 3
→ EXKURS: KOPFRECHNUNG 10
2. FIGUREN UND RELATIONEN 15
→ EXKURS: GEOMETRIEUNTERRICHT IN DER 5. UND 6. KLASSE 18
→ EXKURS: DAS HAUS DER VIERECKE 21
3. KONSTRUIEREN 22
4. MESSEN UND BERECHNEN 24
5. ABBILDUNGEN 28
6. BEWEISEN 32
7. ENTDECKENDES LERNEN 38
8. PROBLEMLÖSEN 45
9. DIDAKTISCHE PRINZIPIEN 52
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1. Ziele – Inhalte – Stoffanordnung:
a) Inhalts- und Prozessziele
b) Aspekte der Geometrie
c) Inhalte des Geometrieunterrichts (GU)
d) Lehrstoffanalyse und Lehrzielauswahl
e) Strukturierung des Lehrstoffs
f) Beispiel für ein Inhaltsziel im Geometrieunterricht in der 5. Klasse
a) Inhalts- und Prozessziele
Inhaltsziele:
Inhaltsziele beziehen sich auf spezielle mathematische Inhalte.
Sie betreffen Kenntnisse von:
- Begriffen: z.B. „Was ist eine Gerade?“
- Sätzen: z.B. „Was für Sätze gibt es?“ � Ähnlichkeitssätze
- Formeln: z.B. „Wie lautet der Satz des Pythagoras?“
- Verfahren: z.B. „Wie formt man ein Rechteck in ein flächengleiches Quadrat um?“
- Definitionen: z.B. „Wie ist eine Parallele definiert?“
- Beweise: z.B. „Wie könnte der Satz des Pythagoras geometrisch bewiesen werden?“
� Inhaltsziele sind kurzfristig realisierbar und leicht zu operationalisieren
Beispiel am Höhensatz des Euklid:
- Begriffskenntnis: Wissen, was man unter der Hypotenuse und den Katheten eines
rechtwinkligen Dreiecks versteht
- Satzkenntnis: Den Höhensatz kennen
- Anwendung von Begriffs- und Satzkenntnis: Mit Hilfe des Höhensatzes die Höhe aus den
Hypotenusenabschnitten berechnen
- Kenntnis des Verfahrens: Mit Hilfe des Höhensatzes ein gegebenes Rechteck in ein
flächengleiches Quadrat verwandeln
- Beweiskenntnis: Einen Beweis für den Höhensatz kennen
Prozessziele:
Prozessziele beziehen sich auf mathematische Aktivitäten und betreffen die Fähigkeiten zu
derartigen Aktivitäten. Sie sind zwar an Inhalte gebunden, aber ihre Realisierung ist nur durch
Übung an vielen Inhalten, und daher nur langfristig möglich. Die Operationalisierung von
Prozesszielen ist schwierig.
Beispiele für Prozessziele:
- Fähigkeit zum Entdecken mathematischer Zusammenhänge:
• Fallunterscheidungen durchführen
• Vermutungen äußern und in variierter Situation überprüfen
• Situationen variieren
- Fähigkeit zum Definieren:
• Fähigkeit einen vorgegeben Begriff mit Hilfe anderer Begriffe zu definieren
• Fähigkeit zwischen einer Definition und einem Satz zu unterscheiden
• Denselben Begriff auf verschiedene Weise definieren
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- Fähigkeit zum Beweisen:
• Einen Beweisgedanken verstehen und reproduzieren
• Lücken in einem Beweis erkennen
• Notwendige Fallunterscheidung bei einem Beweis beachten
- Fähigkeit zum Konstruieren:
• Konstruktionsschritte kennen und durchführen können
- Fähigkeit zum Problemlösen:
• Geometrische Konstruktionsprobleme, Berechnungsprobleme und Beweisprobleme
lösen
• Eine gefundene Problemlösung beurteilen und gegebenenfalls verbessern
- Fähigkeit zum Mathematisieren:
• Zu einer Textaufgabe ein mathematisches Modell angeben � z.B. ein
Gleichungssystem
• Zu einer Umweltsituation ein mathematisches Modell angeben
Beispiele zum Höhensatz des Euklid:
- Höhensatz an Beispielen � Entdecken
- Höhensatz � Beweisen
- Aufgaben zum Höhensatz � Problemlösen
- Textaufgaben lösen � Mathematisieren
b) Aspekte der Geometrie
- Hilfsmittel, um die Umwelt besser zu verstehen
- Hilfsmittel für andere Wissenschaften wie z.B. die Physik
- Übungsfeld für das Problemlösen:
• Hauptziel ist es, die Freude am Problemlösen zu wecken und die Fähigkeit zum Lösen
geometrischer Probleme zu fördern.
• Es geht primär um Lösungsfindung, nicht um eine möglichst lückenlose Darstellung
der Lösung.
Beispielaufgabe aus der Timss-Studie:
Eine Pizzeria bietet zwei runde Pizzas mit derselben Dicke in verschiedenen Größen an. Die
kleinere hat einen Durchmesser von 30 cm und kostet 30 Cent. Die größere hat einen
Durchmesser von 40 cm und kostet 40 Cent.
Bei welcher Pizza bekommt man mehr für sein Geld? Gib eine Begründung an.
- Entwickelt und schult die Fähigkeit des Argumentierens und Begründens � Schüler lernen
sich korrekt auszudrücken
- Entwickelt die Fähigkeit zu begrifflichem Denken und sprachlichem Ausdrucksvermögen
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c) Inhalte des Geometrieunterrichts (GU)
5.-6. Klasse:
- Geometrische Figuren:
• Geraden, Halbgeraden, Strecken, Vielecke, Winkel, Kreis
• Parallelen und orthogonale Geraden
• Parallelogramm und Rechtecke
• Würfel und Quader
- Abbildungen – Symmetrie:
• Geradenspiegelung und Achsensymmetrie
- Messen und Berechnen:
• Länge von Strecken und Streckenzügen, Abstand eines Punktes von einer Geraden
• Flächeninhalt von Rechtecken
• Winkelmessung
• Oberfläche und Volumen von Würfeln und Quadern
7.-8. Klasse:
- Figurenlehre:
• Dreiecke, Schnittpunktsätze
• Kreis und Kreistangente
• Winkelsätze
• Geometrische Körper
• Spezielle Vierecke
- Kongruenzgeometrie:
• Kongruente Figuren, Kongruenzsätze für Dreiecke
• Beweisen von Kongruenzsätzen
- Messen und Berechnen:
• Flächeninhalt von Vielecken
9.-10. Klasse:
- Ähnlichkeitsgeometrie:
• Strahlensatz
• Ähnliche Figuren
• Zentrische Streckung
• Ähnlichkeit von Dreiecken
- Satzgruppe des Pythagoras:
• Satz des Pythagoras
• Kathetensatz und Höhensatz des Euklid
- Trigonometrie:
• Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks
• Trigonometrie beliebiger Dreiecke
- Messen und Berechnen:
• Flächeninhalt und Umfang des Kreises
• Oberfläche und Volumen von Pyramiden, Zylindern, Kegeln und Kugeln
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d) Lehrstoffanalyse und Lehrzielauswahl
Lehrstoffanalyse:
Die Lehrstoffanalyse eines Unterrichtsgegenstandes soll
- einerseits potentielle Inhaltsziele formulieren und operationalisieren
- andererseits Möglichkeit des Unterrichtsgegenstandes zur Realisierung von Prozesszielen
aufweisen
Die Lehrstoffanalyse kann in folgenden drei Schritten erfolgen:
1. Der Unterrichtsgegenstand wird in einzelne Sachverhalte aufgeteilt
2. Zu dem jeweiligen Sachverhalte werden Inhaltsziele formuliert und operationalisiert
3. Zu dem Sachverhalt zu den Sachverhalten werden Aktivitäten formuliert, die auf ein oder
mehrere Prozessziele abzielen
Beispiel einer Lehrstoffanalyse: Thema: Kreis und Kreistangente
Lehrziel 1: Beziehungen zwischen Kreis und Gerade, Begriff der Tangente
Lehrziel 2: Eigenschaft der Kreistangente
Lehrziel 3: Inkreis eines Dreiecks
Zu Lehrziel 1: Beziehungen zwischen Kreis und Gerade, Begriff der Tangente
Sachverhalt:
1. Eine Gerade a hat mit einem Kreis k(M, r)
- keinen Punkt gemeinsam, falls abst(M, a) > r, � Passante
- genau einen Punkt gemeinsam, falls abst(M, a) = r � Tangente
- zwei Punkte gemeinsam, falls abst(M,a) < r. � Sekante
2. Eine Gerade heißt Tangente an einen Kreis, falls Kreis und Gerade genau einen Punkt
gemeinsam haben. Dieser Punkt heißt Berührpunkt der Kreistangente
Inhaltsziele:
(1.1) Die Anzahl der gemeinsamen Punkte
einer Geraden mit einem Kreis angeben
können und zwar in Abhängigkeit vom
Kreisradius r und vom Abstand d des
Kreismittelpunktes von der Geraden.
(1.2) Wissen, dass eine Gerade g, welche
genau einen Punkt P mit einem Kreis k(M,
r) gemeinsam hat, Tangente an den Kreis im
Berührpunkt P heißt.
Prozessziele:
• Schnittpunktbeziehungen untersuchen � Entdecken
und Bedingungen für die Anzahl der Punkte formulieren � Formalisieren
• Formeln (z.B. Radius r < Abstand (M, g) � kein gemeinsamer Punkt) begründen
können � Beweisen
Zu Lehrziel 2: Eigenschaft der Kreistangente
Sachverhalt:
1. Die Tangente an einen Kreis k (M, r) im Punkt P ist die Orthogonale durch den
Punkt P zu der Geraden g (M, P)
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2. Durch einen Punkt außerhalb eines Kreises gibt es genau zwei Tangenten an den
Kreis.
Inhaltsziele:
(2.1) Wissen, dass die Tangente an einen Kreis k (M, r) im Punkt P die Orthogonale
durch den Punkt P zur Geraden g (M, P) ist. (Satz)
(2.2) Zu gegebenen Kreispunkt die Tangente durch den Punkt an den Kreis
konstruieren können. (Verfahren)
(2.3) Von einem Punkt außerhalb des Kreises die beiden Tangenten an den Kreis
konstruieren können. (Verfahren)
Prozessziele:
• Den SchülerInnen wird die Aufgabe zu (2.3) als Problem gestellt. Sie lösen die
Aufgabe mit Hilfe der Methode der Ortslinie.
• Tangentenkonstruktionen beschreiben (Mathematisieren)
Zu Lehrziel 3: Inkreis eines Dreiecks
Inhaltsziele:
• Wissen, was ein Inkreis ist (Begriff)
• zu Winkeln „Berührkreise“ konstruieren können (Verfahren)
• zu Dreiecken Inkreise konstruieren können (Verfahren)
• Wissen, dass sich alle drei Winkelhalbierenden in einem Punkt schneiden (Satz)
Prozessziele:
– „Berührkreise“ in Winkeln oder Inkreise in Dreiecken finden (Problemlösen)
– räumliches Analogon entdecken (Entdecken)
Wichtig hierbei ist, dass die Lehrstoffanalyse zunächst alle diejenigen potenziellen Lehrziele
liefert, die generell als sinnvoll und wünschenswert für alle SchülerInnen gelten können.
Operationalisierung von Lehrzielen:
- Lehrziele müssen präzise formuliert werden: z.B. Kathetensatz soll am Ende der Stunde
gelernt sein
- Aufgaben dem Lehrziel zuordnen � es wird überprüft ob die Schüler das Gelernte
verstanden haben („eigentliches operationalisieren“)
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- nach Beendigung eines Unterrichtsabschnitts das Lehrziel überprüfen � was wurde
verstanden
- andere Prüfungsaufgaben um Reproduktion zu verhindern � nicht dieselben Aufgabentypen
stellen, Schüler müssen gefordert werden
=> Lehrziele überprüfbar machen
Lehrzielauswahl:
Im Gegensatz zur Lehrstoffanalyse findet bei der Lehrzielauswahl die Auswahl geeigneter
Lehrziele für die aktuelle Lerngruppe statt. Dies erfolgt nach Beurteilung der potenziellen
Ziele nach bestimmten Kriterien wie z.B.:
- Bedeutung innerhalb des Lehrplans: Der Lehrplan ist die Grundlage aus denen die Lehrziele
behandelt werden � er gibt an, welche Lehrinhalte die Schüler beherrschen müssen
- Bedeutung für andere Schulfächer � wie ist der Lehrplan verzahnt, z.B. werden
mathematische Kenntnis für den Physikunterricht vorausgesetzt
- Bedeutung für spätere Berufe: Welche geometrischen Sachverhalte sollten dem Schüler
vermittelt werden damit er z.B. für technische Berufe die nötige Grundlage hat
- Bedeutung für die Lebenswelt der Schüler: Schüler können mit erlernten Fähigkeiten z.B.
unterschiedliche Handytarife vergleichen
e) Strukturierung des Lehrstoffs
- systemorientierte Lehrstoffsequenzierung � Ein zu beweisender Satz kann erst dann
eingeführt werden, wenn die zum Beweis benötigten Sätze entweder als Grundsätze
eingeführt oder selbst bereits bewiesen geworden sind
- am Lernprozess orientierte Lehrstoffsequenzierung � man schaut, was sich zu unterrichten
anbietet, wenn man vorher Symmetrie unterrichtet hat („wo kann man anknüpfen“)
- Strukturierung mit Hilfe von Lernhierarchien � man darf ein bestimmtes Lernziel nur dann
unterrichten, wenn das erforderliche Vorwissen bekannt ist; z.B. muss der Begriff Gerade
bekannt sein, bevor man Parallelen einführt
- Sequenzierung eines Themenblocks
- Spiralige Strukturierung des Lehrstoffs
f) Beispiel für ein Inhaltsziel im Geometrieunterricht in der 5. Klasse
Lehrplan: Geometrische Figuren: Strecke, Halbgerade, ... (Lehr- oder Lerninhalte)
1. Stunde: Punkte und Strecken
Lernziel 1: Geometrische Punkte
- Punkte in Umwelt und Alltagssprache � Inhaltsziel ist der Begriff
1. Aufgabe: Nenne Wörter, in denen das Wort Punkt vorkommt. Sind das
geometrische Punkte?
2. Aufgabe: Finde verschiedene Punkte im Klassenzimmer. Wie groß sind die Punkte
jeweils?
� Diese zwei Aufgaben dienen zum operationalisieren. Außerdem entdecken die
Schüler bei der 2. Aufgabe vllt., dass die Punkte eine unterschiedliche Ausdehnung
haben (Prozessziel: Entdecken)
- Punkte zeichnen � Inhaltsziel: Begriff
1. Aufgabe: Untersuche, welche der Punkte auf einer geraden Linie liegen.
2. Aufgabe: Zeichne drei Punkte, die auf einer geraden Linie liegen.
3. Aufgabe: Wie nah kannst du 10 Punkte zeichnen?
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� Prozessziel: Entdecken; Aufgabe 3 hilft z.B. sehr für das Verständnis der Schüler, sie
stoßen wieder auf das Problem wie groß ein Punkt ist;
Lernziel 2: Strecken � Inhaltsziel: Begriff
- Strecke ist kürzeste Verbindung zweier Punkte
Aufgabe: Welcher Weg ist der kürzeste von deinem Platz zur Tür?
� Schüler können Entdecken, indem sie z.B. die Tische verrücken dürfen
Aufgabe: Zeichne verschiedene Strecken zwischen zwei Punkte.
� Schüler sollen auch mal krumme Linien zeichnen, damit sie Entdecken, dass
eine Gerade wirklich die kürzeste Strecke ist
- Länge einer Strecke, Strecken messen � Inhaltsziel: Verfahren
Aufgabe: Miss die vorgegebenen Strecken.
� Schülern lernen Fertigkeiten mit dem Geo-Dreieck
Aufgabe: Zeichne eine Strecke, die genauso lang ist wie die Strecke a.
� Kombination aus dem Begriff Strecke und dem Erlernten zeichnen eine
korrekte Strecke mit Anfangs- und Endpunkt zu zeichnen
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Exkurs: Kopfrechnung
Thurstone: Primärfaktoren der Intelligenz
1. Sprachverständnis
2. Wortflüssigkeit
3. Rechenfertigkeit
4. Wahrnehmungstempo
5. Räumliches Vorstellungsvermögen
6. Merkfähigkeit
7. Logisches Denken
zu 5. Räumliches Vorstellungsvermögen
a) Räumliche Wahrnehmung
b) Räumliche Visualisierung
c) Mentale Rotation
d) Räumliche Beziehungen
e) Räumliche Orientierung
f) Förderung der Raumvorstellung
g) Vorbereitungen zur Kopfgeometrie
h) Kopfgeometrie Beispiele
i) Kopfgeometrie Schwierigkeitsgrad
j) Kopfgeometrie Anmerkungen
a) Räumliche Wahrnehmung:
Fähigkeit, die Senkrechte und Waagrechte zu identifizieren, also räumliche Beziehungen in
Bezug auf den eigenen Körper erfassen zu können.
Beispiel: Wasseroberfläche – In welchem Behälter ist der Wasserspiegel richtig dargestellt?
In diesem Beispiel ist der Betrachter fest gewählt, die Situation verändert sich jedoch.
Die Schüler haben mehrere Lösungen vorgegeben und müssen durch verschiedene
Denkansätze auf die richtige Lösung können. Entscheidend ist hier die Kenntnis dass die
Wasseroberfläche waagerecht zur Ebenen Grundfläche ist.
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) Räumliche Visualisierung:
Fähigkeit, sich gedanklich Aktivitäten wie Verschieben, Falten und Schneiden von
räumlichen Objekten oder Objektteilen vorstellen zu können.
Beispiel: Welche Buchstaben des Schrägbilds entsprechen den Ziffern im Netz?
Bei diesem Beispiel ist der Betrachter fest, die Situation ist beweglich. Schüler müssen sich
nun die Bewegungen des Schrägbilds vorstellen.
c) Mentale Rotation:
Fähigkeit, sich Rotationen von zwei- oder dreidimensionalen Objekten vorstellen zu können.
Beispiel: Welche der vier Figuren (a – d) stimmen mit der oben links überein?
Hier ist der Betrachter fest gewählt und es werden Bewegungen am Körper durchgeführt.
Schüler müssen gedanklich die einzelnen Figuren durch Drehung/Rotation aufeinander
bringen. Dabei kommen Sie auf das Ergebnis dass a und d richtig sind.
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d) Räumliche Beziehungen:
Fähigkeit, räumliche Konfigurationen von mehreren Objekten oder Objektteilen zu erfassen.
Beispiel: Drei der vier Schrägbilder zeigen denselben Würfel. Welches Bild zeigt einen
anderen?
In diesem Beispiel ist der Betrachter fest gewählt und es werden Veränderungen am Objekt
durchgeführt. Schüler bekommen eine erschwerte Situation gestellt, da vom Würfel nur 3
Seiten zu sehen sind. Zunächst müssen die Schüler erkennen dass die Würfel a und c auf
keinen Fall gleich sein können. Als nächstes muss herausgefunden werden, ob die beiden
anderen Würfel nun zu a oder c passen. Durch richtige Begutachtung kommt man zu dem
Ergebnis, dass a, b und d zusammengehören.
e) Räumliche Orientierung:
Fähigkeit, den Standort der eigenen Person, also die Perspektive unter der etwas betrachtet
wird, zu wechseln.
Beispiel: Ein Urlauber ist mit dem Boot von
Westen kommend die Küste entlanggefahren.
In welcher Reihenfolge hat er die sechs Fotos
aufgenommen?
In diesem Beispiel wird nun der Betrachter verändert und die Objekte bleiben gleich. Hier
liegt nun die Schwierigkeit mehrere Dinge gleichzeitig zu beachten wie z.B. „wie weit sind
die einzelnen Objekte auseinander“, “in welchem Winkel stehen die Objekte zueinander“ oder
„wie ist ein Objekt gedreht“.
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f) Förderung der Raumvorstellung:
Kopfgeometrie:
Das Lösen geometrischer Aufgaben im Kopf erfordert die Fähigkeit, sich geometrische
Gebilde vorstellen zu können, ihre Lage, Größe und Form zu variieren, sie zu kombinieren
und dabei das Wissen über sie anzuwenden.
1. Phase: Vorstellung der Fragestellung:
Für Schüler ist es oft schwierig die Fragestellung wie z.B. bei einer Textaufgabe erstmal
richtig zu verstehen, d.h. was will der Lehrer von den Schülern. Es ist für die Schüler oft
schwierig wenn lediglich der Sachverhalt erklärt wird. Wesentlich größer ist das Verständnis
der Schüler wenn zusätzlich noch mit Gesten und Mimiken gearbeitet wird wie z.B. „schaut
mal dorthin“ (mit Fingerdeut), oder „achtet auf die Parallelen“.
2. Phase: Räumliches Vorstellen, Operieren im Kopf:
Hier kann und sollte man nicht helfen. Der Schüler muss diese Phase selbst durchführen,
damit er sein räumliches Vorstellungsvermögen schult.
3. Phase: Präsentation der Ergebnisse:
Dies kann wieder man wieder erschweren, indem man den Schüler dazu auffordert, den
Sachverhalt nur durch Sprache zu erläutern. Einfacher fällt es dem Schüler, wenn er z.B. die
Tafel verwenden darf, um z.B. Skizzen zur Erläuterung anzufertigen.
g) Vorbereitungen zur Kopfgeometrie:
Piaget: Denken basiert auf verinnerlichte Handlungen
● Empirische Untersuchungen belegen:
Handlungsorientiertes und experimentelles Arbeiten mit Modellen ist sehr wichtig für die
Entwicklung der Raumvorstellung.
● Durch sinnliche Wahrnehmungen entstehen Vorstellungsbilder, die auch ohne das
Vorhandensein der realen Objekte verfügbar sind und gedanklich verändert werden können.
● Schülern durch operative Aktivitäten ausreichend Gelegenheit zur Ausbildung und
Stärkung ihrer räumlichen Vorstellungen geben.
h) Kopfgeometrie – Beispiele:
1. Papierfalten im Kopf: Wie sieht das aufgefaltete Papier nun aus?
�
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2. Wie sieht das aufgefaltete Papier jeweils anschließend aus?
�
�
i) Kopfgeometrie – Schwierigkeitsgrad:
● Bei Faltaufgaben zunächst nur einmal falten
● Lösungsmöglichkeiten anbieten, von denen nur eine richtig ist
j) Kopfgeometrie – Anmerkungen:
● Kontrollfragen der Lehrkraft
– Wie viele Schichten Papier liegen nach dem Falten übereinander?
– Wo befinden sich beim zusammengefalteten Papier die Faltachsen bzw. die Ränder des
aufgefalteten Blattes?
– Wie würde das aufgefaltete Blatt aussehen, wenn man nach dem Falten nur die Ecken
abgeschnitten hätte?
● Vorstellungen konkretisieren
– Beim vorgestellten Operieren die Augen schließen
– Vorstellend kienästhetisch arbeiten (imaginäres Blatt mit Händen falten, Schnitte
ausführen, ...)
Solche Vorstellungen helfen wirklich! Probieren Sie es aus.
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2. Figuren und Relationen:
a) Figurenbegriffe
b) Relationenbegriffe
c) Konfigurationen
d) Definieren von Begriffen
e) Begriffserwerb im GU
f) Stufen des Begriffsverständnisses
a) Figurenbegriffe
Figurenbegriffe der ebenen Geometrie Figurenbegriffe der Raumgeometrie
– Gerade – Ebene
– Halbgerade – Halbebene
– Strecke
– Dreieck, Quadrat, Rechteck – Tetraeder, Würfel, Quader
– Polygon (Vieleck, n-Eck) – Polyeder
– Kreis – Kugel, Zylinder, Kegel
– konvexe Figur – konvexer Körper
– achsensymmetrische Figur – ebenensymmetrischer Körper
b) Relationenbegriffe
• Relation ist Beziehung zwischen Objekten
• Beispiele für Relationen
- ist kongruent zu – ist Umkreismittelpunkt
- ist ähnlich zu – ist Schwerpunkt von
- ist zerlegungsgleich zu – ist Mittelpunkt von
- ist flächengleich zu – ist Seitenhalbierende von
- ist parallel zu – Tangente an
• Unterscheidung: Vor- und Nachbereich
- Falls bei einer Relation R Vorbereich V und Nachbereich N dieselbe Menge ist, so
nennt man R eine Relation auf der Menge V. Andernfalls spricht man von einer
Relation zwischen den beiden Mengen V und N.
- Beispiele für Relationen mit gleichem Vor- und Nachbereich:
Relation Figurenmenge
ist kongruent zu Figuren der Ebene oder des Raumes
ist ähnlich zu Figuren der Ebene oder des Raumes
ist zerlegungsgleich zu Vielecke oder Körper
ist flächengleich zu Vielecke, Kreise
ist parallel zu Geraden der Ebene oder Ebenen des Raumes
ist orthogonal zu Geraden der Ebene oder Ebenen des Raumes
ist richtungsgleich zu Halbgeraden der Ebene
ist Wechselwinkel zu Winkel der Ebene
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- Beispiele für Relationen mit unterschiedliche Vor- und Nachbereich
Relation Vorbereich Nachbereich
ist Umkreismittelpunkt
von
Punkte Dreiecke
ist Mittelpunkt von Punkte Strecken
ist orthogonal von Geraden im Raum Ebenen im Raum
ist Tangente an Geraden Kreise
ist Seitenhalbierende von Strecken Dreiecke
ist Schwerpunkt von Punkte Dreiecke
hat als Schwerpunkt Dreiecke Punkte
c) Konfigurationen
• Punkte und Figuren, die durch Relationen in einem bestimmten Zusammenhang
stehen
• Zeichnung ist Repräsentant der Konfiguration
• Repräsentant sinnvoll wählen
– kein Rechteck oder Raute wählen, wenn ein Parallelogramm gezeichnet werden soll
d) Definieren von Begriffen
- Oberbegriff: Ein Begriff A heißt Oberbegriff eines Begriffs B, wenn der Begriffsumfang
von B eine echte Teilmenge des Begriffsumfangs von A ist � jedes Beispiel des Begriffs B
ist auch ein Beispiel von Begriff A.
- Unterbegriff: Den Begriff B nennt man dann einen Unterbegriff des Begriffs A.
Bsp.: Quader ist Oberbegriff von Würfel
- spezifische Merkmale: Alle unter den Unterbegriff fallenden Objekte haben dann eine oder
mehrere Merkmale, die den anderen Objekten des Oberbegriffs nicht zukommen.
Bsp.: Würfel ist ein Quader mit gleich langen Kanten
- nebengeordneter Begriff: Zwei Begriffe, die einen gemeinsamen Oberbegriff haben, aber
von denen keiner Oberbegriff des anderen ist.
Bsp.: Trapez und Drachenviereck sind Vierecke
- Definition durch Funktionsterm
Bsp.: Kreis ist Menge der Punkte mit Abstand r von M
� Mit bekanntem Oberbegriff ist es einfacher etwas Neues zu erlernen. Die Schüler haben so
einen Bezugspunkt der Ihnen helfen kann.
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e) Begriffserwerb im GU
- Konstruktiver Begriffserwerb:
Beispiel: Würfel aus Würfelnetz herstellen � Schüler lernen am besten wenn sie
etwas selbst herstellen/konstruieren, sie müssen es erleben können
- Spezifikation aus Oberbegriff:
Beim Begriffserwerb aus Spezifikationen wird der zu lernende Begriff auf Grund
spezifischer Merkmale aus einem bereits erworbenen Oberbegriff gewonnen.
a) Begriffserwerb durch Definition:
* Beispiel: Raute ist Parallelogramm mit gleich langen Seiten
b) durch Beispiele und Gegenbeispiele
* Beispiel: Wie unterscheiden sich die roten und grünen Vierecke
- Begriffserwerb durch intensionale Abstraktion:
Während man den Begriff Tetraeder leicht durch Spezifikationen aus dem Oberbegriff
Pyramide gewinnen kann, ist es viel schwieriger, den letzteren zu erwerben. SchülerInnen
steht kein Oberbegriff zur Verfügung, aus dem sie den Begriff Pyramide durch Spezifikation
gewinnen können. Daher kann dieser Begriff nur durch Abstraktion von charakteristischen
Merkmalen anhand von Beispielen und Gegenbeispielen erworben werden.
- Begriffserwerb durch Idealisierung und Komplettierung:
* Beispiele zur Idealisierung: Punkt hat keine Ausdehnung, Linien sind „unendlich“ dünn
* Beispiele zur Komplettierung: Ebene ist „unendlich“ ausgedehnt, Gerade „unendlich“ lang
- Thematisierung von Aussagen:
* Durch zwei Punkte kann man genau eine Gerade zeichnen.
* Zwei Geraden einer Ebene haben entweder keinen oder einen Punkt gemeinsam.
f) Stufen des Begriffsverständnisses
1. Stufe: inhaltliches Begriffsverständnis (Klasse 5-6)
– inhaltliche Erfassung
– Anwendung des Begriffs auf Umweltsituationen
– Bezugnahme auf den Begriff bei Argumentationen
Inhaltsziele:
– Für einen Figurenbegriff entscheiden, ob Figur unter den Begriff fällt oder nicht
– Für einen Relationsbegriff entscheiden, ob für ein vorgegebenes Figurenpaar die Relation
zutrifft oder nicht
– Beispiele des Begriffs zeichnen oder herstellen können
– Beispiele des Begriffs in Umweltsituationen aufweisen
2. Stufe: Integriertes Begriffsverständnis (ab Klasse 7)
– Beziehung zu anderen Begriffen
Inhaltsziele:
– Zu dem Figurenbegriff Unterbegriffe, Oberbegriffe und nebengeordnete Begriffe angeben
– Sätze angeben, in deren Voraussetzungen oder Behauptung der Figurenbegriff eingeht
– Die definierenden Eigenschaften des Begriffs kennen und Beweis von Sätzen benutzen
– Den Begriff zur Beschreibung von Umweltsituationen anwenden
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Exkurs: Geometrieunterricht in der 5. und 6. Klasse
Einige Schülerfehler im Geometrieunterricht:
5. Klasse:
- Anlegen des Geodreiecks:
Bsp.: Das Dreieck sollte so angelegt werden, dass der Punkt an
einer vorgegeben Achse auf den Punkt P´ gespiegelt wird
� Die Schüler sind nicht in der Lage mehrere Bedingungen
gleichzeitig umzusetzen. Die Nullmarke auf der Spiegelachse und
die richtige Entfernung sind meist korrekt, jedoch wird der
verlangte rechte Winkel zwischen der Spiegelachse und der
Geraden PP´ nicht beachtet.
- Fehler bei der Klassifikation nur nach Endpunkteigenschaften:
Aufgabe: Sie dir die Linien im Zeichenfeld genau an!
1. Welche Linien sind Geraden?
2. Welche Linien sind Strecken?
3. Welche Linien sind Halbgeraden?
Die Schüler kennen zwar die Beschreibung aus dem Unterricht („Geraden haben keinen
Anfang und kein Ende, Strecken haben einen Anfangspunkt und einen Endpunkt und
Halbgeraden haben einen Anfang aber kein Ende), beachteten aber die Geradlinigkeit nicht.
� Somit machen sie den Fehler und bezeichnen a und b als Gerade, f und e als Strecke und g,
d und c als Halbgerade.
- Verwechslung von Begriffen:
Aufgabe a) Sie dir die Linien im Zeichenfeld genau an!
1. Welche Linien sind Geraden?
2. Welche Linien sind Strecken?
3. Welche Linien sind Halbgeraden?
Die Schüler wissen zwar, dass sie die Geradlinigkeit zu beachten haben, wissen aber nicht,
dass es sich bei einer Geraden nicht um alle Strecken wie z.B. Halbgeraden handelt.
� Somit machen sie den Fehler und bezeichnen f, g, c und a als Gerade und b, d und e als
Halbgerade.
Aufgabe b) Gib die Seiten des Vierecks an!
� Es wurden zum Beispiel die Diagonalen anstelle der Seiten
genannt, oder die Ecken an Stelle der Seiten.
- Fehler bei der Zeichenkonvention:
Aufgabe a) Zeichne die Gerade durch E und F!
� Die Schüler haben zwar eine Gerade von E nach F gezeichnet,
haben aber die Gerade nicht nach ihrer genauen Beschreibung
gezeichnet und bei den Punkten E und F als Strecke enden lassen.
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Aufgabe b) Zeichne Halbgeraden ein!
� Die Schüler haben zwar einen Endpunkt markiert, aber die Zeichenkonvention nicht
eingehalten
- Fehler bei Senkrechten:
* Meist sind die Schüler verunsichert wenn der Begriff anders
formuliert wird. Z.b. steht senkrecht auf oder eine zu g senkrechte
Gerade … Dadurch entstehen Fehler wie in folgender Abbildung.
Der Schüler hat eine Senkrechte zu g durch B gezeichnet.
6. Klasse:
In der 6. Klasse werden natürlich noch viele Fehler aus der 5. Klasse begangen. Zudem
werden die alten Fehler auf neue Aufgabentypen übertragen.
- Fehler beim Koordinatensystem:
* Schüler verwechseln die Reihenfolge der Koordinaten
* Schüler haben Probleme beim Einzeichnen von gemischten Brüchen in das
Koordinatensystem � meist wird nur die Ganze Zahl eingetragen
Der Schüler sollte im nebenstehenden Bild den Punkt C mit den
Koordinaten (2, 2 1/2 ) einzeichnen
- Fehler beim Spiegeln:
* Schüler zählen die Kästchen nicht richtig
* Fehler beim Spiegeln mit dem Geodreieck wie in der 5. Klasse (siehe oben)
* Fehler beim Einzeichen einer Spiegelachse
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Beispiel einer Lehrstoffanalyse in der 5. Klasse:
Thema: Geraden, Strecken und Halbgeraden
Lehrziel: Eigenschaften von Geraden, Strecken und Halbgeraden:
* Gerade: Anschaulich stellt man sich darunter eine unendlich lange, unendlich dünne und
gerade/nicht krumme Linie vor.
* Strecke: Eine Strecke ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird, sie ist die
kürzeste Verbindung ihrer beiden Endpunkte.
* Halbgerade: Der Strahl und die Halbgerade sind in der Geometrie - anschaulich gesprochen
- eine gerade Linie, die auf einer Seite begrenzt ist, sich aber auf der anderen Seite ins
Unendliche erstreckt.
Inhaltsziele:
* Wissen, dass eine Gerade mit kleinen Buchstaben wie g, h, … bezeichnet wird,
* Wissen, dass eine Strecke auf einer Geraden g liegt mit Anfangs – und Endpunkt und mit
großen Buchstaben wie A, B, … bezeichnet wird, mit der Schreibweise A ∈g und B ∈g
* Wissen, dass eine Halbgerade einen Anfangs- aber keinen Endpunkt hat
* Erkennen können, welche „Linien“ Geraden sind und welche nicht
* Erkennen, welche „Linien“ Strecken, welche Halbgeraden und welche Geraden sind
Prozessziele:
* Untersuchen, bei welchen Linien es sich um Geraden, bei
welchen um Strecken und bei welchen es sich um Halbgeraden
handelt
* Angabe der einzelnen Linien in einer mathematisch korrekten
Schreibweise
* Korrektes Abzeichnen der vorgegebenen Strecken und
Halbgeraden auf ein Blatt
Operationalisierung:
- Die Schüler sollen am Ende der Stunde die Eigenschaften von Geraden, Strecken und
Halbgeraden verstanden und gelernt haben
- Durch Aufgaben wie z.B. im Prozessziel aufgezeigt, wird überprüft, ob der Schüler das
Gelernte verstanden hat � „eigentliches operationalisieren“
- Anschließend die Aufgabentypen variieren lassen, um eine Reproduktion zu verhindern und
die Schüler zu fordern
=> Lehrziel überprüfbar machen
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Exkurs: Das Haus der Vierecke
Zugehörigkeit / Oberbegriff
- ist Viereck (konvexes)
- ist Trapez
- ist Parallelogramm
- ist gleichschenkliges Trapez
- ist Rechteck
- ist Drachenviereck
- ist Raute
- ist Quadrat
Eigenschaften
- parallele Seiten
- gleichlange Seiten
- gleich große Winkel
- rechte Winkel
- Symmetrieachsen
- Drehsymmetrie
- Punktsymmetrie
- Diagonalen senkrecht zueinander
- Diagonalen halbieren sich
Einige Erläuterungen aus
Wikipedia:
Ein Trapez ist ein Viereck mit
mindestens zwei parallelen Seiten.
Sind je zwei einander
gegenüberliegende Seiten parallel,
so spricht man von einem Parallelogramm.
Ein Viereck mit vier gleich großen Winkeln (90°, siehe rechter Winkel) nennt man Rechteck.
Bei einem Drachenviereck(Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und eine
Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paaren
benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht
man von einem Rhombus (Raute). Ein Quadrat hat sowohl vier gleich lange Seiten als auch
vier gleich großen (Innen-)Winkeln (90°). Bei einem Sehnenviereck sind die vier Seiten
Sehnen des Umkreises. Sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises so spricht man von
einem Tangentenviereck.
Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten diverse Mengenrelationen, insb. die in der
Grafik dargestellten Teilmengenbeziehungen, wie zum Beispiel:
� Quadrat ⊂ Rechteck ⊂ Parallelogramm ⊂ Trapez ⊂ konvexes Viereck
21

3. Konstruieren:
a) Klassisches Zeichenmedium
b) Dynamisches Geometriesystem (DGS)
c) Konstruktionsbeschreibung/-programm
d) Konstruktionsaufgaben
e) Konstruktionsprotokoll
a) Klassisches Zeichenmedium
Zum klassischen Zeichenmedium im Geometrieunterricht der Schule gehören:
- ein Blatt Papier, welches einen Ausschnitt der allseitig unbegrenzten Zeichenebene
repräsentiert,
- ein Zeichenstift (Bleistift) zum Zeichnen (Markieren) von Punkten und zum Zeichnen von
Geraden, Halbgeraden und Strecken
- ein Lineal zum Zeichnen von Geraden, Halbgeraden und Strecken
- ein Zirkel zum Zeichnen von Kreisen und zum Übertragen von Streckenlängen
- Geodreieck zum Zeichnen von Strecken, Geraden, Halbgeraden, Winkeln, Mittelpunkten,
senkrechten und parallelen Geraden sowie zum Messen von Strecken und Winkeln
b) Dynamisches Geometriesystem (DGS)
- Variationsmöglichkeiten durch Schieberegler und Zugmodus:
* Schieberegler (kurze Einweisung):
Der Schieberegler ist zu finden unter dem Winkelsymbol. Ein Schieberegler dient dazu
mühelos eine bestimmte Strecke oder einen Winkel in einem bestimmten Intervall und mit
einer bestimmten Schrittweite zu variieren. Ist der Schieberegler erstmal erstellt, dann kann
der Regler mit Hilfe des Pfeils verschoben werden. Nun kann eine Strecke oder ein Winkel
erstellt werden, hierbei ist es wichtig dass immer zuerst der Schieberegler erstellt wurde.
* Zugmodus:
Beim Zugmodus kann eine Konstruktion, z.B. ein Dreieck, an einem beliebigen Punkt
gezogen und verzogen werden.
- Modulares Konstruieren durch Zusammenfassen mehrerer Konstruktionsschritte zu einem
Makro:
Aus einer vorhandenen Konstruktion kann ein Werkzeug erstellt werden, indem die
Ausgangsobjekte und die Zielobjekte ausgewählt werden. Man kann dann mit einem
passenden Icon auch einen Knopf in der Werkzeugleiste zu diesem Werkzeug erstellen, damit
das Werkzeug auch bei einem Neustart des Programms wieder verwendet werden kann.
- Spurlinien als Punktmenge eines sich verändernden Punktes während der Variation einer
Größe:
Beispiel: Erstellt wird ein Dreieck ABC und zwei Mittelsenkrechten durch die Seite a und b.
Beide Punkte lässt man schneiden über den Arbeitsschritt „miteinander schneiden“. Der
Schnittpunkt erhält die Bezeichnung D. Mit Rechtsklick wird nun auf D geklickt und die Spur
angestellt. Zieht man nun im Zugmodus an C so entsteht die Spur der Mittelsenkrechten durch
die Seite c. Durch Arbeiten mit der Spurlinie haben die Schüler die Möglichkeit solche
Erkenntnisse selbst zu entdecken.
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c) Konstruktionsbeschreibung/-programm
- Sequenz von Konstruktionsschritten � schrittweiser Aufbau der Zielkonfiguration
- schrittweise Erzeugung von Punkten, Geraden, Kreisen, ...
- Schnittpunkte von Ortslinien
- zielgerichtet zur Lösung einer Konstruktionsaufgabe
- Grundkonstruktion: Konstruktionen, die in einem Schritt durchführbar sind
d) Konstruktionsaufgaben
- leerer oder nicht leerer Anfangszustand
- gleichwertige Konstruktionsprogramme
- eindeutige (bzw. mehrere kongruente) oder mehrere nicht kongruente Lösungszustände
- Überprüfung der richtigen Lösung durch
* Konstruktionsprogramm
* empirisch durch Zugmodus
e) Konstruktionsprotokoll
Es gibt 2 Möglichkeiten ein Konstruktionsprotokoll anzufertigen:
1. Möglichkeit:
Jeder einzelne Schritt und jede einzelne Linie wird chronologisch aufgeführt
� läuft im Computer so, jedes Objekt wird schrittweise erzeugt
2. Möglichkeit:
Es werden schrittweise Punkte erzeugt und wenn für einen Punkt zwei Eigenschaften benötigt
werden, dann werden diese hingeschrieben
� Schwierigkeit liegt darin, dass man sich vorher überlegen muss wie man konstruieren will
23

4. Messen und Berechnen:
a) Größen
b) Begriffserwerb bei Größenbegriffen
c) Zählen und Messen
d) Berechnen von Flächen und Volumen
e) Stufen des Begriffsverständnisses
f) Winkelbegriff
a) Größen
Es gibt 4 Größen:
- Längen (z.B. von Strecken, 3 cm, 2,05 km)
- Flächen (z.B. von Rechtecken, 12 cm², 3 ha)
- Volumen (z.B. von Quadern, 40 dm², 3,1 m³)
- Winkel (z.B. zwischen zwei Geraden, 33°, 21°30')
Jede Größe wird durch eine Maßfunktion bestimmt. Es kann also zu einer Fläche nur einen
eindeutigen Flächeninhalt geben (funktionaler Zusammenhang).
* Maßfunktion:
Zur Erfassung der Größenbegriffe gehört die begriffliche Unterscheidung zwischen der zu
messenden geometrischen Figur und der gemessenen Größe.
Für die Schreibweise ist es üblich dasselbe Symbol sowohl für die Figur als auch für die
Größe der Figur zu verwenden. So bezeichnen wir a, b, c, α, β, y, sowohl die Seiten und
Winkel in einem Dreieck ABC, als auch die zugehörigen Streckenlängen bzw. Winkelgrößen.
b) Begriffserwerb bei Größenbegriffen
1. Größenvergleich
- direkter Vergleich:
* zwei Stäbe gleicher Länge werden miteinander verglichen
* zwei Figuren haben den gleichen Flächeninhalt, wenn sie mit denselben Plättchen ausgelegt
werden können
- zerlegungsgleiche Vielecke und Körper:
Mit Beginn der Flächenberechnung von Parallelogrammen, Dreiecken und Trapezen wird für
Vielecke der Flächenvergleich mit Hilfe der Relationen zerlegungsgleich präzisiert:
* Zwei Vielecke (Körper) heißen zerlegungsgleich, wenn man sie in kongruente Teilvielecke
(Teilkörper) zerlegen kann.
* Zerlegungsgleiche Vielecke (Körper) haben denselben Flächeninhalt
– Beispiele:
Sind die beiden Vielecke zerlegungsgleich?
24

Zeichne drei zerlegungsgleiche Vielecke
2. Erweiterung der Definitionsbereiche
� es werden bestehende Begriffe erweitert von:
- bei Längen auf Kreise
- bei Flächen auf beliebige Vielecke, Kreisflächen und Oberflächen von Körpern,
- bei Volumen auf Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel und Kugeln.
Übergang von Zähl- und Messverfahren zu Berechnungsverfahren und Formeln.
� nicht mehr zählen von einfachen Kästchen � Abzählen wird verkürzt durch z.B. Produkt
aus Länge x Breite x Höhe � Übergang für Schüler ist schwierig und man muss sich Zeit
nehmen
Flächen und Volumen werden aus gegebenen Längen und Winkeln berechnet.
c) Zählen und Messen
Die Bestimmung einer Größe durch Zählen und Messen beruht auf folgender Einsicht:
Ist eine Figur in n kongruente Teilfiguren zerlegbar, dann ist sie n-mal so groß wie jede der
Teilfiguren.
Willkürliche Festlegung einer „Einheitsgröße“
* Elle, Stabilo-Stifte, Meter
* Einheitsquadrat aus Pappe, Rest mit kleineren Quadraten, Auszählen im Gitternetz
* Umschüttversuche mit Wasser, Einheitswürfel, Rest mit kleineren Würfeln ausfüllen
* rechter Winkel (aus Quadrat und Rechteck bekannt), gestreckter Winkel in kongruente
Teilwinkel unterteilen
Messen von Streckenlängen und Winkeln mit Geodreieck – Auszählen von Flächen und
Volumen
d) Berechnen von Flächen und Volumen
-Herleitung von Formeln mithilfe kongruenter Figuren
* Beispiel: Flächeninhalt des Parallelogramms
Wegen AFD = BEC folgt
f(AFD) = f(BEC) und somit
f(ABEF) = f(ABED) – f(AFD)
= f(ABED) – f(BEC)
= f(ABCD)
= AB * AD ,
also f(ABEF) = AB * AD
25

- infinitesimale Methoden
Die Berechnung der Kreisfläche, sowie die Berechnung des Volumens von Pyramide, Kegel
und Kugel erfordern infinitesimale Methoden. Die Kreisfläche wird mit Hilfe der
Intervallschachtelung berechnet, indem man die Kreisfläche durch einbeschriebene und
umbeschriebene regelmäßige Vielecke einschachtelt
* Kreisberechnung durch ein- und umbeschriebene reguläre Vielecke
* Prinzip von Cavalieri
http://www.cybernautenshop.de/virtuelle_schule/dfu/DFU-Koerper/cavalieri.html
Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei verschiedene Körper das gleiche Volumen
besitzen, wenn in jeder Schnitthöhe die Schnittfiguren beider Körper gleich groß sind. Im Bild
erkennt man, dass jeweils beide Körper volumengleich sind, da sie gleich hoch sind und in
jeder Höhe die Schnittfiguren den gleichen Flächeninhalt besitzen:
e) Stufen des Begriffsverständnisses
Es werden drei Stufen des Begriffsverständnisses unterschieden:
1. Inhaltliches Begriffsverständnis
* Zwischen der Figur und ihrer Größe unterscheiden
* Größe in verschiedenen Maßeinheiten angeben
* Inhaltsgleichheit durch Zerlegen und/oder Ergänzen zeigen
* Berechnungsformeln kennen und anwenden können
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2. Integriertes Begriffsverständnis
* Herleiten von Berechnungsformeln
* Begründen der Umfangs- und Flächenformeln für den Kreis
* Herleiten der Oberflächen- und Volumenformeln für Quader, Pyramide, Kegel und Kugel
3. Formales Begriffsverständnis
Dieses zielt auf die axiomatische Verankerung des Messens in einem deduktiven Aufbau der
Geometrie und hängt daher von dem jeweiligen axiomatischen Aufbau der Geometrie ab.
f) Winkelbegriff
- Gerichteter Winkel:
*Jedes Halbgeradenpaar (a,b) mit einem gemeinsamen Anfangspunkt
S nennt man einen gerichteten oder orientierten Winkel mit dem
Scheitel S, dem Erstschenkel a und dem Zweitschenkel b.
* Nachteil: sehr aufwändig
- Ungerichteter Winkel
* Winkel zwischen 0° und 180°
* Nachteil: keine überstumpfen Winkel (>180°)
- Ungerichteter Winkel im Winkelfeld
* Winkel zwischen Schenkeln im Winkelfeld
* Schenkel werden nicht unterschieden
* zu zwei Schenkeln gibt es immer zwei Winkel
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5. Abbildungen:
a) Definition Abbildung
b) Affine Abbildungen
c) Ähnlichkeitsabbildungen (Unterbegriff der affinen Abbildung)
d) Kongruenzabbildungen (Unterbegriff der Ähnlichkeitsabbildung)
e) Stufen des Begriffsverständnisses
f) Einführung von Abbildungsbegriffen
g) Symmetrische Figuren
a) Definition Abbildung
Abbildung sind eindeutige Zuordnungen, die einer Figur eindeutig eine Bildfigur zuordnen.
Dabei handelt es sich im GU fast ausschließlich um bijektive Abbildungen der Ebene.
- Existenz einer inversen Abbildung � Bild wird auf die Originalfigur abgebildet
- Identische Abbildung � symmetrische Figur � Figur wird auf sich selbst abgebildet
Zwei Abbildungen können hintereinander ausgeführt werden: Verkettung von Abbildungen
- Assoziativgesetz
s1os2os3 z.B. bei drei Achsenspiegelungen: = s1,2 os3
oder
= s1os2,3 - im Allgemeinen gilt das Kommutativgesetz nicht!
b) Affine Abbildungen
Abbildungen, bei der Geraden auf Geraden abgebildet werden, heißen affine Abbildungen.
- Eigenschaften affiner Abbildungen:
* parallele Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet � parallelentreu
* A,B,C sind kollinear => Verhältnis ist invariant � Verhältnistreu, aber nur innerhalb einer
Gerade
* zu zwei Dreiecken ABC und A'B'C' existiert genau eine affine
Abbildung, die A auf A', B auf B' und C auf C' abbilden
- alle Abbildungen im GU sind affine Abbildungen
- Gruppe der affinen Abbildung:
28

c) Ähnlichkeitsabbildungen
Wenn zur affinen Abbildung noch eine zweite Vorschrift dazukommt, dann hat man eine
Ähnlichkeitsabbildung
Affine Abbildungen, bei der die Relation „ist orthogonal zu“ erhalten bleibt, heißen
Ähnlichkeitsabbildungen.
- Eigenschaften der Ähnlichkeitsabbildungen
* Eigenschaften der affinen Abbildungen
* Kreise werden auf Kreise abgebildet
* Winkel werden auf Winkel gleicher Größe abgebildet � Winkeltreue
* Streckenverhältnisse zweier Strecken sind invariant � Verhältnistreue von Strecke
- Ähnlichkeitsabbildungen sind Verkettungen von
* Zentrischer Streckung und
* Kongruenzabbildungen
d) Kongruenzabbildungen
Kongruenzabbildungen sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen.
Abbildungen, bei denen deckungsgleiche (kongruente) Figuren aufeinander abgebildet
werden, heißen Kongruenzabbildungen.
ODER:
Ähnlichkeitsabbildungen, bei denen die Streckenlängen erhalten bleiben, heißen
Kongruenzabbildungen.
- Eigenschaften
* Eigenschaften der Ähnlichkeitsabbildungen
* Strecken werden auf Strecken gleicher Länge abgebildet � Längentreue
- Kongruenzabbildungen:
* Achsenspiegelung � Drehsinn wird umgekehrt
29

* Punktspiegelung � Drehsinn bleibt erhalten
* Drehung � Drehsinn bleibt erhalten
* Verschiebung � Drehsinn bleibt erhalten
⇒ Hier sind 4 Kongruenzabbildungen aufgeführt, es gibt aber auch noch mehr, es reicht aber
auch nur eine! � Mit der Achsenspiegelung könnte man alle kongruenten Abbildungen
durchführen.
⇒ maximal 3 Achsenspiegelungen müssen durchgeführt werden
30

e) Stufen des Begriffsverständnisses
- inhaltliches Begriffsverständnis
* Kenntnis von Verfahren um Punkte auf Bildpunkte abzubilden
* Figur und Bildfigur einer Abbildung zuordnen können
* Kenntnis der Invarianzeigenschaften der Abbildungen
* Lösen von Konstruktionsaufgaben
- integriertes Begriffsverständnis (systematisches Begriffsverständnis)
* Unterscheidung der Eigenschaften von Affinen, Ähnlichkeits- und Kongruenzabbildungen
� klar herausstellen
* Abbildungen als Verkettung von Abbildungen darstellen
� erfordert sehr hohes Begriffsverständnis
f) Einführung von Abbildungsbegriffen
konstruktives Einführen von Abbildungsbegriffen
- „Tintenklecks“-Bilder
- Klapp- und Faltverfahren
- Spiegel, halbdurchlässiger Spiegel
- Transparentpapier-Verfahren
- Konstruktion mit Zeichengerät
g) Symmetrische Figuren
symmetrische Figur: kommt durch Kongruenzabbildung wieder zur Deckung
z.B.: Fünfeck = symmetrische Figur
Das Fünfeck ist Achsensymmetrisch (5 Symmetrieachsen)
5 Drehungen (72° * K)
oder: Punktsymmetrie:
2 Symmetrieachsen
1-Punktsymmetrie
2 Drehungen (180° * K)
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6. Beweisen:
a) Sätze im GU
b) Innenwinkelsummensatz
c) Thaleskreis
d) Kongruenzsätze
e) Ähnlichkeitssätze
f) Vierstreckensatz/Strahlensätze
g) Satzgruppe des Pythagoras
h) Kongruenzbeweise
i) Abbildungsbeweise
a) Sätze im GU
- Sätze sind allgemeingültige Aussagen
- Beweis durch logische Folgerung aus anderen Aussagen, die selber unmittelbar einsichtig
sind
- Niveaustufen (die Schüler erreichen können):
* Stufe des Argumentierens � einen Sachverhalt erkennen (kein Beweis � mathematische
Übersetzung in deutsche Sprache)
* Stufe des inhaltlichen Schließens � es werden bereits bekannte Sachverhalte verwendet um
einen Beweis durchzuführen
- Abwägung der Beweisnotwendigkeit von Sätzen gegenüber dem Aspekt von Geometrie als
Lehre vom Anschauungsraum
� Sind Beweise notwendig?
� Schwierig !?!?
Logisches Denken ist wichtiger als Beweisen
⇒ Ausgleich schaffen: Neue Sachverhalte durch entdeckendes Lernen erfahren und
anschließend beweisen
b) Innenwinkelsummensatz
Stufe des Argumentierens:
- Parkettierung mit kongruenten Dreiecken (Parkettierung kann variiert werden; bei
Parkettierung mit kongruenten Dreiecken gilt der Innenwikelsummens.)
- Gleiche Winkel mit gleicher Farbe markieren
- Hilfsfragen:
* Welche Farben bei Innenwinkeln?
* Welche Farben an Geradenkreuzungen?
- Formulierung des Satzes über die
Innenwinkelsumme � Satz muss
aufgeschrieben werden
32

Stufe des inhaltlichen Schließens:
- Beweis mit Hilfe des Wechselwinkelsatzes
(1) α, β, γ sind Innenwinkel eines Dreiecks ABC. (Voraussetzung)
(2) g || AB (Beweisidee)
(3) α2 + γ + β2 = 180° ((1), gestreckter Winkel)
(4) α2 = α (Wechselwinkel)
(5) β2 = β (Wechselwinkel)
(6) α + β + γ = 180° ((3), (4), (5), Behauptung
c) Thaleskreis
Liegt ein Eckpunkt C eines Dreiecks ABC auf dem Thaleskreis über [AB], dann ist der
Winkel ACB = 90° (Umkehrung gilt auch)
Beweis:
Zum Beweis werden zwei ebenfalls von Thales
bewiesene Sätze benötigt:
1. Die beiden Winkel an der Grundseite (Basiswinkel)
eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich groß.
2. Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
Halbkreis mit Dreieck und Mittelpunkt M
ABC sei ein Dreieck innerhalb eines Kreises mit [AB] als Kreisdurchmesser und dem Radius
r. Dann ist der Mittelpunkt M der Strecke AB auch der Kreismittelpunkt. Die Streckenlängen
AM, BM und CM sind also gleich dem Radius r.
Die Strecke CM teilt das Dreieck ABC in zwei Dreiecke AMC und BCM auf, die
gleichschenklig sind. Die Basiswinkel dieser Dreiecke, also die Winkel an der Grundseite AC
bzw. BC, sind daher jeweils gleich (α und β in der Abbildung).
Die Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt 180°:
Dividiert man diese Gleichung durch 2, so ergibt sich
Damit ist gezeigt, dass der Winkel α + β im Punkt C ein rechter Winkel ist.
33

d) Kongruenzsätze
1. SSS-Satz
Wenn zwei Dreiecke in den Längen dreier Seiten übereinstimmen, dann sind sie kongruent.
2. SWS-Satz
Wenn zwei Dreiecke in den Längen zweier Seiten und der Größe des eingeschlossenen
Winkels übereinstimmen, dann sind sie kongruent.
3. WSW-Satz
Wenn zwei Dreiecke in der Länge einer Seite und der Größe der anliegenden Winkel
übereinstimmen, dann sind sie kongruent.
4. SsW-Satz
Wenn zwei Dreiecke in der Länge zweier Seiten und der Größe eines Winkels, der nicht von
den Seiten eingeschlossen wird, übereinstimmen und die größere der beiden Seiten dem
Winkel gegenüberliegt, dann sind sie kongruent.
5. WWW-Kongruenzsatz
Wenn zwei Dreiecke in der Größe dreier Winkel übereinstimmen, dann sind sie kongruent.
→ zwei genügen, aber die beiden Dreiecke sind ähnlich, nicht deckungsgleich!
Eigenschaften
e) Ähnlichkeitssätze
Von den Kongruenzsätzen kommt man zu den Ähnlichkeitssätzen, da diese die
abgeschwächten Kongruenzsätze darstellen.
Wenn zwei Figuren F und F' ähnlich sind, stimmen sie im Verhältnis ihrer Seiten und in allen
drei Winkeln überein.
a b c
Mathematisch ausgedrückt: F : F´
⇒ = = ∧ α = α´, β = β´, χ = χ´
a´ b´ c´
Zwei Figuren F und F' sind ähnlich, wenn sie
1) sie in zwei Winkeln übereinstimmen
M.: α = α´ ∧ β = β´
⇒ F : F´
2) sie im Verhältnis aller drei Strecken übereinstimmen
a b c
M.: = = ⇒ F : F´
a´ b´ c´
3) sie im Verhältnis zweier Strecken und dem dazwischenliegenden Winkel übereinstimmen
a b
M.: = ∧ χ = χ´
⇒ F : F´
a´ b´
4) sie im Verhältnis zweier Strecken und dem gegenüberliegenden Winkel der längeren
Strecke übereinstimmen
a b
M.: = ∧ α = α´(wenn
a> b) ⇒ F : F´
a´ b´ 34

f) Vierstreckensatz/Strahlensätze
Wie zuvor die Ähnlichkeitssätze die abgeschwächte Version der Kongruenzsätze dargestellt
hat, können nun die Vierstreckensätze von den Ähnlichkeitssätzen abgeleitet werden
Werden zwei sich in Z schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, dann gilt:
1) Die Längen der Streckenabschnitte auf der einen Geraden verhalten sich wie die
entsprechenden Längen der Streckenabschnitte auf der anderen Geraden.
Werden zwei sich in Z schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, dann gilt:
2) Die Längen der Streckenabschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die zugehörigen
Streckenlängen (von Z ausgehend) auf einer Geraden.
Achtung: Häufigster Fehler bei Schülern:
Schüler vergessen, dass von Z ausgegangen werden muss
35

g) Satzgruppe des Pythagoras
http://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_des_Pythagoras
Die Satzgruppe des Pythagoras umfasst drei Sätze der Mathematik, die sich mit
Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken befassen:
1. Satz des Pythagoras
2. Kathetensatz des Euklid
3. Höhensatz des Euklid
Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem
rechtwinkligen Dreieck die Fläche des großen Quadrats
über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der
Quadrate über den beiden Katheten ist.
Seien a,b,c die Seiten eines Dreiecks mit der Seite c
(Hypotenuse), die sich stets gegenüber einem 90°-
Winkel befindet, den b auf a bildet. Das Quadrat über c
ist flächengleich zu der Summe der Quadrate über a
und b genau dann, wenn das Dreieck rechtwinklig ist
und dieser rechte Winkel bei C ist.
2 2 2
Als Formel: a + b = c
Kathetensatz des Euklid
Der Aufpunkt der Höhe h teilt die Hypotenuse in zwei Teile. Das Verhältnis dieser beiden
Teile wird durch den Kathetensatz beschrieben. Er besagt, dass in rechtwinkligen Dreiecken
die Rechtecke im Quadrat über der Hypotenuse unter den Kathetenquadraten diesen jeweils
flächengleich sind.
Oder:
Seien a,b,c die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der
Hypotenuse c. Teilt man dieses Dreieck an der Höhe h und ist p der
Hypotenusenabschnitt über a, q der entsprechende Abschnitt über b,
so gilt:
Das Quadrat über a ist flächengleich zum Rechteck mit den Seiten p und
c, und das Quadrat über b ist flächengleich zum Rechteck mit den Seiten
q und c.
Als Formeln:
2
a = pg
c
2
b = qg
c
36

Höhensatz des Euklid
Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe
flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten ist.
Oder:
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h,
welche die Hypotenuse in die Abschnitte p und q teilt.
2
Dann ist h = pg.
q
Die Umkehrung gilt ebenso:
Gilt der Höhensatz in einem Dreieck, so ist dieses Dreieck
rechtwinklig.
h) Kongruenzbeweise
- Beweis eines Satzes mithilfe kongruenter Dreiecke
Beispiel: Wenn man die Basis [AB] eines gleichschenkligen Dreiecks ABC über die
Eckpunkte A und B hinaus um jeweils die gleiche Strecke d verlängert, dann entsteht ein
neues Dreieck EFC, das wieder gleichschenklig ist.
Kongruenzbeweis:
- EA= d = BF (Voraussetzung)
- SCAE = 180°− SBAC = 180°−
SCBA = SFBC
(Nebenwinkel) (Basiswinkel im gleichsch. Dreieck) ( Nebenwinkel)
- AC = BC (gleiche Schenkel im gleichsch. Dreieck)
⇒VEAC ≅V
BFC (Kongruenzsätze SWS)
i) Abbildungsbeweise
Beweis eines Satzes mithilfe der Eigenschaften von Kongruenzabbildungen
(Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung und Verschiebung)
Abbildungsbeweis:
(siehe Skizze Kongruenzbeweis)
-
1
EM = EA + AM = d + AB = BF + MB = MF
2
(E,M,A sind kollinear) (Voraussetzung) (Vorraussetzung) (M,B,F sind kollinear)
- EF ⊥ MC da AB ⊥ MC
(AB = EF) (Voraussetzung)
- C ist Fixpunkt bezüglich Symmetrieachse MC, da C∈ MC
⇒V EFC ist achsensymmetrisch bzgl. CM ⇒ VEFC
ist gleichschenklig
37

7. Entdeckendes Lernen:
a) Darbietender Unterricht
b) Entdeckender Unterricht
c) Charakterisierung Lernsequenz
d) Vergleich: entdeckend – darbietend
e) Beispiel: Herleitung Trapezfläche
f) Beispiel: Satz des Pythagoras
g) Methoden zum entdeckenden Lernen:
- Induktive Satzfindung
- Analyse einer Konfiguration
- Konstruktionsaufgaben
- Berechnungsaufgaben
h) Aussagen über Ortslinien entdecken
i) elektronische Lernpfade
a) Darbietender Unterricht
Beispiel: Darbietendes Lernen
- Ziel der Stunde zu Beginn bekannt geben
- Herleitung der Formel an der Tafel oder am OHP (Overhead-Projektor)
- Wahl der Herleitung nach
* Kenntnisstand der Schüler � welche Vorkenntnisse sind vorhanden
* einfachster Verständlichkeit � Lernpfad der für den Schüler am ehesten zu verstehen ist
Darbietender Unterricht: Darbietender Unterricht versucht mathematische Sachverhalte
(Inhaltsziele)
- als „Fertigprodukt“, � reproduktive Leistung der Schüler
- möglichst effektiv, also mit möglichst geringem Zeitaufwand, � größter Vorteil des
darbietenden Unterrichts, da wenig Zeit viel vermittelt
- mit geeigneter Wahl der Veranschaulichungsmittel und
- mit sorgfältiger Abstufung der Schwierigkeiten
zu vermitteln.
� Schülern wird reproduktive Leistung abverlangt:
Teilschritte der Problemlösung müssen nachvollzogen und verstanden werden.
b) Entdeckender Unterricht
Beispiel: Entdeckendes Lernen
- Lehrer hat mithilfe von Arbeitsblättern Lernsequenz (bestehend aus einzelnen Lernstufen)
vorbereitet
� Schüler kann mit Materialien selbstständig Sachverhalte erarbeiten
- Schüler bearbeiten die einzelnen Stufen in Einzelarbeit, Partnerarbeit, Unterrichtsgespräch
- Schüler entdecken den Inhalt jeder Stufe selbstständig und schreiben sich die Ergebnisse auf
- Ergebnis der Stunde wird formuliert, vorgestellt und gesichert (aufgeschrieben)
� Schriftliche Sicherung ist von höchster Bedeutung
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Entdeckender Unterricht:
Entdeckender Unterricht, bei dem ein Inhaltsziel selbst entdeckt werden soll.
Inhaltsbezogenes Problem wird so in Teilprobleme zerlegt,
- dass die Mehrzahl der Schüler diese jeweils selbstständig durchlaufen können und
- für jeden Schritt eigene produktive Leistung der Schüler nötig ist, die schließlich zum
Inhaltsziel führen.
=> Lernsequenz zum entdeckenden Lernen
c) Charakterisierung Lernsequenz
Charakterisierung Lernsequenz
- Lernsequenz ist auf Inhaltsziel hin konzipiert � zielstrebig
- Lernsequenz gibt Schülern viele Möglichkeiten zur Realisierung von Prozesszielen � da
jeder Schüler anders denkt müssen untersch. Möglichkeiten angeboten werden
- jede Teilaufgabe ist eine die Schüler motivierende Problemstellung
- Feinheit der Stufung hängt von der Leistungsfähigkeit der Lerngruppe ab
d) Vergleich: entdeckend – darbietend
Vergleich: entdeckend - darbietend
Nachteil: Vorteil:
- größerer Zeitaufwand - Motivation durch Eigentätigkeit
- Erfolgserlebnis in einer Stufe wirken sich auf nächste Stufe aus
- Herleitung durch Schüler ermöglicht integriertes
Begriffsverständnis
- Förderung von Prozesszielen
� Schüler müssen bewiesen, formulieren und argumentieren lernen
e) Beispiel: Herleitung Trapezfläche
1. Zerlege das Parallelogramm im Gitternetz auf verschiedene Weise in zwei kongruente
Trapeze.
Wie groß ist der Flächeninhalt
a) des Parallelogramms?
b) der beiden Trapeze?
2. Bestimme den Flächeninhalt des Trapezes.
39

3. Bestimme den Flächeninhalt des Trapezes mit den angegebenen Maßen.
4. Gib eine allgemeine Formel an, mit der man aus den Längen der parallelen Seiten a und c
und der Höhe h den Flächeninhalt A berechnen kann.
f) Beispiel: Satz des Pythagoras
1. Wie groß ist der Flächeninhalt der Vielecke? (Gitterabstand 1cm)
� Schüler sollen Flächeninhalt von Vielecken im Gitternetz durch Umrahmung mit
geeigneten Rechtecks-Figuren berechnen. Die Spezialisierung auf Quadrate führt dann zur
Entdeckung des Satzes von Pythagoras.
2. Wie lang ist die Quadratseite des Quadrates in c)? Benutze den Taschenrechner.
� Überleitung zu Stufe 3.
40

3. Wie lang ist die Strecke [AB]? (Gitterabstand 1cm) Beschreibe ein Verfahren, mit dem
man die Länge einer Strecke im Gitternetz bestimmen kann.
� Schüler müssen Quadrat zu gegebener Strecke selbst konstruieren. Damit wird ein
Verfahren entdeckt, mit dem man zu jeder Strecke im Gitternetz deren Länge berechnen kann.
4. Leite eine Formel ab, mit der man die Länge c aus den Streckenlängen a und b berechnen
kann.
� Durch Einführung von Variablen wird spezielles zu allgemeinem Berechnungsproblem
(Abstraktion). Dessen Lösung liefert eine Formel zur Berechnung der gesuchten Seitenlänge:
c 2 = (a + b) 2 – 4 · ½ab = a 2 + 2ab + b 2 – 2ab = a 2 + b 2
5. Begründe: In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: c2 = a2 + b2.
Schüler müssen Problemstellung umstrukturieren. Vom Gitternetz losgelöst bleibt ein
rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenusenlänge aus den Kathetenlängen zu berechnen ist.
Schüler müssen ohne Hilfe des Gitternetzes ein- bzw. umbeschriebene Quadrate zeichnen und
die Gleichung c2 = a2 + b2 herleiten.
g) Methoden zum entdeckenden Lernen:
Induktive Satzfindung:
Satzfindung und Einsicht der Allgemeingültigkeit in zwei Stufen:
1. Stufe: An Einzelbeispielen erkennen die Schüler durch Zeichnen und Messen die
Allgemeingültigkeit eines Sachverhaltes (mathematischer Satz). Gewonnene Erkenntnis
alleine sollte Schüler noch nicht zufrieden stellen.
=> Motivation zum allgemeingültigen Beweisen
2. Stufe: Durch anschließenden Beweis des Satzes sollen die Schüler die Allgemeingültigkeit
einsehen.
41

Beispiel:
1. Stufe: Satzfindung
Es gibt einen Winkelsummensatz für Dreiecke. Gibt es auch einen für Vierecke? Zeichnet
beliebige Vierecke, messt die vier Innenwinkel und addiert diese.
� Voraussetzung: Winkelsummensatz muss bekannt sein
2. Stufe: Beweis des Satzes
Kann man auch ohne zu zeichnen und zu messen herausfinden, dass die Winkelsumme 360°
beträgt? Ihr wisst ja bereits, dass die Winkelsumme in jedem Dreieck 180° beträgt. Kann uns
das weiterhelfen?
Bewertung:
Beide Stufen ermöglichen entdeckendes Lernen
* gut geeignet für:
� Thalessatz
� Umfangswinkelsatz
� Schnittpunktsatz für Mittelsenkrechte im Dreieck
� Schnittpunktsatz für Winkelhalbierende im Dreieck
* schlecht geeignet für:
� Satz des Pythagoras
� Schnittpunktsatz für Höhen im Dreieck
Analyse einer Konfiguration:
Satzfindung und Einsicht der Allgemeingültigkeit durch betrachten einer vorgegebenen
Konfiguration und anschließender Analyse:
1. Stufe: Lehrer gibt geeignete Konfiguration vor
2. Stufe: Schüler analysieren Konfiguration unter bestimmtem vorgegebenen Gesichtspunkt,
entdecken den Satz und erkennen zugleich seine Allgemeingültigkeit.
Beispiel:
1. Stufe: Konfiguration
Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M und ein Sehnenviereck ABCD. Der Kreismittelpunkt
M sollte im Inneren des Vierecks liegen. Verbinde die Eckpunkte des Vierecks mit dem
Kreismittelpunkt M.
2. Stufe: Analyse
1. Färbe in der Figur gleichgroße Winkel mit derselben Farbe.
2. Begründe, warum gleichgefärbte Winkel gleich groß sind.
3. Was fällt dir bei gegenüberliegenden Winkeln im Viereck auf?
4. Wie groß ist jeweils die Summe der gegenüberliegenden Winkel?
5. Formuliere einen Satz für Sehnenvierecke.
Bewertung:
Methode anwendbar, wenn Konfiguration während des Beweises nicht verändert werden
braucht.
* Für leistungsschwächere Schüler geeignet.
* Schüler sollten Konfiguration selbst zeichnen, damit nicht mehr Voraussetzungen in die
Figur hineininterpretiert werden. Keine Spezialfälle zeichnen.
* gut geeignet für
� Winkelsummensatz für Dreiecke
� Sehnenvierecksatz
� Umfangswinkelsatz / Umfangswinkel-Mittelpunktswinkelsatz
� Sehnensatz
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Konstruktionsaufgaben:
Lösen einer Konstruktionsaufgabe:
Satzfindung und Einsicht der Allgemeingültigkeit durch vorheriges Lösen einer
Konstruktionsaufgabe und anschließender ergänzender Überlegung.
1. Stufe: Schüler lösen Konstruktionsaufgabe und begründen Richtigkeit der Konstruktion.
2. Stufe: Durch zusätzliche Überlegung wird Satz entdeckt und seine Allgemeingültigkeit
eingesehen.
Beispiel:
Voraussetzung: Gemeinsamer Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist bekannt.
1. Stufe: Konstruktionsaufgabe
Gegeben ist ein Dreieck ABC. Zeichne ein Dreieck PQR, so dass das Dreieck ABC das
Mittendreieck von Dreieck PQR ist, also dass die Punkte A,B und C jeweils Mittelpunkte der
Seiten des Dreiecks PQR sind.
2. Stufe: Zusätzliche Überlegung Zeichnet die Mittelsenkrechten des Dreiecks PQR. Welche
Bedeutung haben die Mittelsenkrechten des Dreiecks PQR für das Dreieck ABC?
Bewertung:
Es ist nicht für jeden Satz eine geeignete Konstruktionsaufgabe vorhanden.
* Konstruktionsaufgabe sollte nicht zu schwer gewählt werden.
* gut geeignet für:
� Schnittpunktsatz für Höhen im Dreieck
� Schnittpunktsatz für Mittelsenkrechten im Dreieck (Umkreis)
� Schnittpunktsatz für Winkelhalbierende im Dreieck (Inkreis)
� Schwerpunktsatz für Dreiecke (Seitenhalbierende)
� Kathetensatz des Euklid
Berechnungsaufgaben:
Satzfindung durch Berechnung einer speziellen Aufgabe und anschließender
Verallgemeinerung:
1. Stufe: Schüler lösen eine spezielle Berechnungsaufgabe.
2. Stufe: Die Einführung von Variablen führt zur allgemeinen Lösung und damit zu dem
gewünschten Satz.
Beispiel:
Voraussetzung: Satz des Pythagoras und die trigonometrischen Funktionen sin(φ) und cos(φ)
sind bekannt.
1. Stufe: Berechnungsaufgabe
Ein Dreieck ABC ist gegeben mit a = 5cm, b = 7cm und γ = 75°. Berechne c.
2. Stufe: Allgemeine Lösung
Finde eine Formel, um c für ein allgemeines Dreieck ABC aus den bekannten Größen a, b und
γ zu berechnen.
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Bewertung:
Methode ist besonders für leistungsschwächere Klassen geeignet und für Sätze, die eine
Formel (Zusammenhänge zwischen Größen) als Inhalt haben.
* gut geeignet für:
� Kosinussatz der Trigonometrie
� Sinussatz der Trigonometrie
� Satz des Pythagoras
� Winkelsummensatz für Dreiecke
� Thalessatz
� Flächenformel für Trapeze
Welche Methode ist auf den Satz überhaupt anwendbar?
* hängt von Kenntnissen und Einfallsreichtum des Lehrers ab
* Anlegen einer Beispielsammlung und didaktische Literatur verfolgen
� Welche der anwendbaren Methoden ist für die jeweilige Lerngruppe am meisten
geeignet?
* Induktives Vorgehen fördert Prozessziel Beweisen
* Analyse einer Konfiguration am einfachsten, da keine Problemaufgabe gelöst werden muss
* Konstruktions- und Berechnungsaufgaben im Schwierigkeitsgrad variierbar
h) Aussagen über Ortslinien entdecken
- Beispiele für Ortslinienaussagen
* Kreis ist Menge aller Punkte mit festem Abstand (=Radius des Kreises) zum Mittelpunkt
des Kreises
* Parabel ist Menge aller Punkte, die vom Brennpunkt den gleichen Abstand besitzen, wie
von der Leitlinie
* Ellipse ist Menge aller Punkte, deren Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten
gleich ist
* Mittelsenkrechte ist Menge aller Punkte, die von zwei Punkten gleich weit entfernt sind
* Thaleskreis ist Menge aller Punkte, die einen 90°-Winkel zu zwei Punkten ergeben
Beispiele:
Ermittle die Ortslinie aller Punkte,
- die von den Endpunkten einer Strecke [AB] dieselbe Entfernung haben.
- die von den Schenkeln eines Winkels denselben Abstand haben.
- für die der Winkel ACB zu gegebener Strecke [AB] 90° ist.
- für die der Winkel ACB zu gegebener Strecke [AB] eine bestimmte Größe hat.
Bewertung:
- Durch Ortslinien können Sachverhalte (Sätze) entdeckt und formuliert werden
- „Spur“-Funktion in einem DGS hilft bei der Entdeckung des Sachverhaltes
- Beweisführung durch Ortslinieneigenschaften möglich aber schwierig
i) elektronische Lernpfade
- Beispiele im Internet: http://wiki.zum.de/Mathematik-digital
- Wechsel zwischen Aufgabenstellung (Text) und DGS zur Aufgabenbearbeitung (Programm)
- Linksammlung von vorgefertigten Programmen im Internet:
http://www.mathematik-digital.de
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8. Problemlösen:
a) Routineaufgabe vs. Problemlösen
b) Routineaufgabe oder Problem?
c) Warum Problemlösen im MU?
d) Lösungsstrategien
e) Heuristische Hilfsmittel
f) Umfang mit Schwierigkeiten
g) Beispielstunde Japan
h) Interpolationsprobleme
i) Berechnungsprobleme
j) Konstruktionsprobleme
k) Weglassen einer Bedingung
l) Reduktion auf ein Berechungsproblem
m) Ein Kästchen fehlt...
a) Routineaufgabe vs. Problemlösen
Erläuterungen:
- Operator ist z.B. ein bekannter Satz der angewendet wird
- Algorithmus: Operatorkette
- Routineaufgabe: bei Routineaufgaben ist der weg bekannt; Routineaufgaben sollten nicht zu
sehr gewichtet werden, da sie im Berufsleben kaum noch benötigt werden � deshalb muss
man dem Schüler Problemlösungsstrategien beibringen
- Problem: man weiß nicht wie man vom Anfangszustand zum Zielzustand kommen soll
� Weg ist das Problemlösen
b) Routineaufgabe oder Problem?
- subjektiv sehr verschieden � von Schüler zu Schüler unterschiedlich
- abhängig vom Vorwissen � unterschiedliche Kenntnisstände der Schüler
- dieselbe Aufgabe kann für verschiedene Menschen eine Routineaufgabe oder ein Problem
sein � ein Schüler empfindet es so, der andere so
- Fehleinschätzungen bzgl. der Schwierigkeit einer Aufgabe beruhen in der Regel auf falscher
Einschätzung des Vorwissens
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c) Warum Problemlösen im MU?
- Kontexte aus der Umwelt, die mathematischen Sinn ergeben
* Behalten, Motivation, nachhaltiges Lernen � Bezug aus dem Alltag motiviert
- Schlüsselkompetenz für das lebenslange Lernen � wenn der Schüler gelernt hat Probleme
zu lösen, dann wendet er das auch auf andere Probleme an
* eigene Lösungsansätze und Strategien entwickeln
* mit uneindeutigen Informationen umgehen
- emotionale Erlebnisse
* Durchhaltevermögen, Aushalten von Widerständen
* Durchbrüche, Aha-Erlebnisse
- Transfer
* Umgang mit unbekannten Situationen
* Sammeln und strukturieren von Informationen
d) Lösungsstrategien
- Vorwärtsarbeiten
* was ist gegeben?
* was weiß ich über das Gegebene?
* was kann ich daraus ermitteln?
� Man betrachtet die Angabe und schaut was kann man machen. Mit diesem Ergebnis schaut
man sich die Aufgabe wieder an und überlegt was kann man nun machen …
Beispiel:
* A, a, b, c ist gegeben
* F soll berechnet werden
a+ c
T = gb
2
2A
d =
a
h= b−d 1
D= gg c h
2
⇒ F = T − A−D 46

- Rückwärtsarbeiten
* was ist gesucht?
* was weiß ich über das Gesuchte?
* was benötige ich, um das Gesuchte zu ermitteln?
� Was benötige ich um F zu berechnen
F = T −A−D a+ c
T = gb
2
1
D= gg c h
2
h= b−d 2A
d =
a
- Analogiebildung
* wurde schon einmal etwas Ähnliches gelöst?
* lassen sich bekannte Lösungsschritte übernehmen?
- Zerlegungsprinzip
* welche Teilprobleme sind lösbar?
* Zerlegen in überschaubare Portionen
* Abarbeiten der Teilprobleme
- Suchraumeingrenzung
* in welchen Grenzen liegt das Ergebnis?
* systematisches Probieren
- Ziel-Mittel-Analyse
* welche (heuristischen) Hilfsmittel können auf dem Weg zum Ziel hilfreich sein?
e) Heuristische Hilfsmittel
- Tabelle
* Ausprobieren
* welche Werte sollen eingetragen werden?
- Informative Figur / Skizze / Hilfslinien
* hilft beim Verständnis des Problems
* beim Zeichnen wird deutlich, welche Informationen zur Lösung benötigt werden
- Gleichung / Term
* Beziehungen der Informationen werden verknüpft dargestellt
* nicht immer notwendig
f) Umgang mit Schwierigkeiten
- mangelnde Operatorkenntnis (� Formeln, Sätze etc. müssen beherrscht werden)
* Anwenden in einfache Übungsaufgaben mit Problemcharakter (vgl. Goldberg)
* Liste mit benötigten Operatoren anfertigen
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- Anwendbarkeit eines Operators wird nicht erkannt
* Erkennen von (Teil-) Konfigurationen üben
- falsche Anwendung eines Operators
* Eigenschaften von Teilfiguren dürfen nicht der Anschauung entnommen werden
- Schwierigkeit beim Anwenden heuristischer Strategien
* zunächst nur Vorwärtsarbeiten einsetzen
g) Beispielstunde Japan
- Stunde ist Teil einer größeren Unterrichtseinheit zur Ähnlichkeit geometrischer Figuren
- Beginn der Stunde: Wiederholung der Strahlensätze im Lehrervortrag
� Ziel ist das Problemlösen, deshalb ist es sinnvoll den Schülern die Operatoren noch mal
nahe zu bringen, damit alle Schüler auf dem gleichen Stand sind
(Keine Hausaufgabenbesprechung)
PQ || BC
⇒ AP : AB = AQ : AC = PQ : BC
PQ || BC
⇒ AP : PB = AQ : QC
⇒ PQ || BC
- anschließend wird Spezialfall eingeführt und durch zwei Schüler bewiesen
� die Klasse bekommt ein Problem dargestellt welches dann auch gelöst wird
- er wird zur Berechnung von Strecken genutzt, die die Schenkel gegebener Dreiecke
halbieren
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- Aufgabe für Gruppenarbeit:
Die Länge der Mittelparallele eines Trapezes mit bekannten Längen der parallelen Seiten soll
bestimmt werden.
- nach Klärung der Problemstellung Einteilung der Klasse in Vierergruppen, in denen ein
Austausch von Ideen stattfindet.
- Lehrer läuft während Gruppenarbeit von Tisch zu Tisch und beantwortet Fragen, rät oder
hilft, merkt sich die Lösungen der Schüler und bereitet anschließende Besprechung an der
Tafel vor
- vier der sieben verschiedenen Lösungen, die gefunden werden, lässt er an der Tafel
darstellen
h) Interpolationsprobleme
- Anfangszustand ist genau definiert
- Zielzustand ist genau definiert
- Schüler kennt keine Lösung der Aufgabe (sonst Routineaufgabe), die den Anfangszustand in
den Zielzustand überführt
- Schüler verfügt über Kenntnisse (Operatoren), die eine Lösung des Problems gestatten
- drei Arten:
* Berechnungsprobleme
* Konstruktionsprobleme
* Beweisprobleme
49

i) Berechnungsprobleme
- Lösungsfindung durch
* Vorwärtsarbeiten
* Rückwärtsarbeiten
* Lösen eines Gleichungssystems
- Themenbereiche der Geometrie
* Winkelbeziehungen in Figuren (Klasse 7)
* Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken (Klasse 7 – 9)
* Satzgruppe des Pythagoras (Klasse 9)
* Flächeninhalt des Kreises (Klasse 9)
* Strahlensätze (Klasse 9)
* Trigonometrie (Klasse 10)
j) Konstruktionsprobleme
- Problemanalyse
* Planfigur zeichnen, Gegebenes und Gesuchtes mit verschiedenen Farben markieren
* Fallunterscheidungen durchführen, verschiedene Fälle nacheinander Lösen
- Lösungsfindung (Heuristische Regeln)
* Weglassen einer Bedingung der Zielkonfiguration
* Ortslinienmethode
* Reduktion auf ein Berechnungsproblem
- Themenbereiche der Geometrie:
* Kongruenzabbildungen – Dreiecke und Vierecke (Klasse 7)
* Zentrische Streckung (Klasse 9)
k) Weglassen einer Bedingung
einem spitzwinkligen Dreieck soll ein Quadrat einbeschrieben werden
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l) Reduktion auf ein Berechungsproblem
einem „Kirchenfenster“ soll ein Kreis einbeschrieben werden
1. Vorwärtsarbeiten
• Was ist bekannt?
� Symmetrie!
2. Rückwärtsarbeiten!
• Wie bekommt man den Kreis?
� Mittelpunkt M
• Wie bekommt man M?
� Radius R oder Höhe h
• Wie bekommt man R bzw. h?
� ???
3. Hilfslinien einzeichnen!
• Wie liegt der neue Kreis zu
den alten?
• Weitere Hilfslinie? � Ja
• Wie bekommt man R bzw. h?
4. Berechnen!
m) Ein Kästchen fehlt...
Tipp! Unterschiedliche Steigungen …
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9. Didaktische Prinzipien:
a) Spiralprinzip und Orientierung an Leitideen
b) Lernen Fragen zu stellen oder das Sokratische Prinzip
c) Problemlösender Unterricht und Genetisches Prinzip
d) Inner- und außermathematische Beziehungen herstellen
e) Produktiv Üben und Wiederholen
f) Veränderte Leistungsmessung
g) Das Operative Prinzip
h) Das Prinzip der Selbsttätigkeit
a) Spiralprinzip und Orientierung an Leitideen
Die Inhalte des Mathematikunterrichts dürfen nicht in unzusammenhängende Gebiete
zerfallen, sondern Lernende sollen Beziehungslinien oder rote Fäden und Beziehungsnetze im
Mathematiklehrgang erkennen. Derartige Fundamentale Ideen sollen den Lernenden eine
Orientierung in der Stofffülle einer Wissenschaft geben und die Grundzüge des Fachs unter
einem bestimmten Aspekt aufzeigen. Sie orientieren sich an Begriffen oder Aktivitäten des
Mathematikunterrichts, wie etwa Algorithmus, Funktion, Linearität, Invarianz, Approximation
oder Modellbildung bzw. an Prozesszielen wie Beweisen, Optimieren, Auffinden von
Zusammenhängen oder Begriffsbildung
b) Lernen Fragen zu stellen oder das Sokratische Prinzip
Das Sokratische Prinzip beschreibt einen Unterricht, der am Fragen orientiert ist. Der Name
„sokratisch“ geht auf den Menon-Dialog von Sokrates zurück, in dem er einen Sklaven durch
fortgesetztes Fragen dahin führt, dass dieser die Frage nach der Seitenlänge eines Quadrates
doppelter Fläche beantworten kann (vg. http://www2.rz.hu –– berlin.de/cusima/
aufgaben/menontxt.htm). Unter der sokratischen Methode verstehen wir eine
Unterrichtsmethode, bei dem der Lehrende durch Fragen den Problemlöseprozess beim
Lernenden initiiert und steuert und so dem Lernenden hilft, sich Wissen selbst anzueignen.
c) Problemlösender Unterricht und Genetisches Prinzip
Das zentrale Anliegen des genetischen Prinzips ist es, dass Mathematik nicht als ein
Fertigprodukt gelernt wird, sondern dass Lernende einen Einblick in den Prozess der
Entstehung von Mathematik erhalten. Mathematik ist etwas, bei dem Lernende entdecken
oder erfinden können, auch wenn es sich meist oder fast ausschließlich nur um
Nacherfindungen handelt.
d) Inner- und außermathematische Beziehungen herstellen
Das Prinzip der Beziehungshaltigkeit hat seine Wurzeln im Prinzip der Realitätsnähe oder
Lebensnähe aus der Reformpädagogik. Durch das Aufzeigen von Beziehungen soll
Mathematik besser gelernt und länger behalten werden, indem es auf Vorerfahrungen der
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Lernenden aufbaut, es soll der Sinn mathematischer Begriffe durch Umweltbezug gezeigt
werden und schließlich soll im Sinne des fachübergreifendes Lernen der Isolierung der
einzelnen Fächer entgegengewirkt werden.
e) Produktiv Üben und Wiederholen
Üben und Wiederholen sind notwendig zur Sicherung und Vertiefung des Gelernten und zur
Entwicklung der Fähigkeit, das Gelernte in ähnlichen Situationen anwenden zu können. Üben
kann in verschiedenen Formen erfolgen, wie etwa Verständnisübungen, stabilisierendes Üben,
operatives Üben, anwendungsorientiertes Üben oder heuristisches Üben (vgl. ZECH, S. 208).
Üben darf keine isolierte Tätigkeit sein, sondern muss in die Unterrichtskonzeption
eingebunden sein und muss mit Einsicht verbunden sein. Üben muss ferner regelmäßig
stattfinden („Prinzip der konsequenten Wiederholung“) und sollte bereits gelernte Dinge
immer wieder in neuen Kontexten aufgreifen („Prinzip der integrierten Wiederholung“).
Damit ein Schema erlernt und verfügbar bleibt –– es also ein stabiles Wissenselement wird –
– , muss es in herausfordernden und anregenden Kontexten immer wieder geübt werden
(„Prinzip der Stabilisierung“).
f) Veränderte Leistungsmessung
Eine veränderte Aufgabenkultur muss sich auch auf die Aufgabenstellungen in
Leistungskontrollen und die gesamte Art der Leistungsmessung auswirken.
Leistungsmessung wird als ein Prozess angesehen, der den gesamten Unterricht begleitet und
der insbesondere auch den „Zuwachs von Kompetenz erfahrbar machen“ (BLK – Modul 5)
soll.
g) Das Operative Prinzip
„Das operative Prinzip leitet einen Unterricht, der das Denken im Rahmen des Handelns
weckt, es als ein System von Operativen aufbaut und es schließlich wieder in den Dienst des
praktischen Handelns stellt.“ (AEBLI) Dieses ist die Grundannahme des operativen Prinzips,
das AEBLI in die allgemeine Didaktik eingeführt hat.
h) Das Prinzip der Selbsttätigkeit
Viele sog. schülerorientierte Arbeitsformen wie problemlösender, entdeckender, Projekt –
oder offener Unterricht setzen Eigenaktivitäten oder Selbsttätigkeit des Lernenden voraus. Mit
einem auf Selbsttätigkeit aufbauenden Unterricht sind Ziele wie Entwicklung von
Selbstständigkeit, kritisches Reflektieren der eigenen Tätigkeit und Motivation durch eigenen
Erfolg verbunden. Insbesondere sollten Verständnisfehler produktiv genutzt werden, zum
einen um die Ursachen von Fehlerquellen aufzuspüren, zum anderen um durch das Aufzeigen
von Konsequenzen aus fehlerhaften Überlegungen bewusst die Widersprüche zu
mathematischen Gesetzmöglichkeiten deutlich werden zu lassen.
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