Abschlussarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Bachelor ...

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Re( C(
f )) Im( C(
))
C ( f ) = + f
(3.1.2)
Die Berechnung des arithmetischen Mittelwerts für jeden Frequenzanteil fa im Spektrum
erfolgt nach Gl. (3.1.3).
1
C(
f a ) 1 + C(
f a ) 2 + ... + C(
f a ) n
C(
f a ) arithm = ⋅ C(
f a ) i =
(3.1.3)
n
n
n
∑
i=
1
Die folgenden Beispielrechnungen mit den beiden komplexen Werten C1=2+1i und C2=-1+1i
sollen zeigen, dass die Berechnung des Mittelwerts direkt aus den komplexen Werten zu
falschen Durchschnittswerten für die Beträge führt.
Durchschnitt direkt aus den Beträgen: C arithm =
5 +
2
2
≈ 1,
82514 (3.1.4)
Durchschnitt aus den komplexen Werten:
1+
2i
Carithm− k = = 0,
5 + 1i
2
(3.1.5)
Betrag des komplexen Durchschnitts: C = 0, 25 + 1 ≈ 1,
11803 (3.1.6)
arithm−k
Der Vergleich der beiden Beträge aus Gl.(3.1.4) und Gl.(3.1.6) zeigt, dass es bei der direkten
Berechnung aus den komplexen Werten zu Abweichungen kommt. Da jedoch die
Amplitudengänge von Frequenzspektren aus den Beträgen ermittelt werden, ist die korrekte
Berechnungsvorschrift die in Gl.(3.1.3) dargestellte.
• Ermittlung des Durchschnitts der Phasen
Die Ermittlung des Durchschnitts der Phasen erfolgt auf fast identischer Weise wie bei den
Amplitudenwerten. Auch hier wird der arithmetische Mittelwert aus den Phasenwerten
mehrere Frequenzspektren berechnet. Dazu werden die Werte des Phasengangs mit dem
Befehl angle(komplexer wert) aus dem Frequenzspektrum bestimmt. Die entwickelte
Software unterstützt nur die Darstellung des durchschnittlichen Phasengangs. Mit der in
MATLAB zur Verfügung stehenden Funktion unwrap(phase) wird eine Darstellung des
Phasengangs erzeugt, bei der Sprünge um π im Verlauf unterdrückt werden. Dadurch entsteht
ein kontinuierlicher Phasenverlauf. In Abbildung 3.1.1 werden die bei 7 Messungen
ermittelten Phasengänge eines Kopfhörers (blau) und dem daraus gebildeten
durchschnittlichen Phasengang (rot) dargestellt.
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