ingo.strauch.diplom - Desy

5.1. THEORIE 41
Eine naheliegende Wahl für lorentzinvariante Größen zur Beschreibung der Kinematik sind
die sogenannten Mandelstam-Variablen, die über
m 2 X ≈ m2 X + m2 p + 2m2 e
s := (k + P ) 2 = (h + k ′ ) 2
t := (k − k ′ ) 2 = (h − P ) 2
u := (P − k ′ ) 2 = (h − k) 2
(5.7a)
(5.7b)
(5.7c)
= s + t + u, (5.7d)
definiert sind. Für die Summe der drei Variablen ergibt sich die Summe über die Massenquadrate
aller beteiligten Teilchen. Die Massen von Elektron und Proton werden hierbei als klein gegenüeber
der invarianten Masse des hadronischen Endzustandes X angenommen. Die Variable t kann
als invariantes Massenquadrat des Austausches zwischen Elektron und Proton angesehen werden,
d.h. als Virtualität des ausgetauschten Bosons (t = q2 ). Nun ist s jedoch schon durch die
einlaufenden Teilchen zu 4EpEe festgelegt und da die vierte Gleichung eine Beziehung zwischen
den drei Größen herstellt, reichen sie nicht zur vollständigen Beschreibung aus.
Dazu behilft man sich mit den beiden lorentzinvarianten Skalenvariablen x und y, die definiert
sind als
−t
x :=
2P · (k − k ′ (5.8a)
)
P · q
y :=
P · k = 2P · (k − k′ )
(5.8b)
s
Q 2
:= −t = sxy, (5.8c)
wobei die letzte Gleichung die Skalenvariablen mit mit den Mandelstam-Variablen s und t verknüpft.
Somit stehen zwei unabhängige Größen zur Verfügung, z.B. Q2 und x.
y wird auch Inelastizität genannt. Man sieht dies nach einer Lorentztransformation ins Ruhesystem
des Protons. Dort ist
P prs ⎛ ⎞
mp
⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟
= ⎜ ⎟ ,
⎝ 0 ⎠
0
(5.9)
so daß y dem relativen Energieverlust des Elektrons entspricht:
y = P · (k − k′ )
p · k
= mp(E prs
e
mpE prs
e
− Eprs
e ′ )
= Eprs e
− Eprs
e ′
E prs
e
. (5.10)
Die invarianten Größen lassen sich bei einem Prozeß der neutralen Ströme auf unterschiedliche
Arten berechnen. Zunächst bietet es sich an, als Observablen den Winkel θe ′ und die Energie
Ee ′ des gestreuten Elektrons zu benutzen:
Q 2 θe ′
e = 4EeEe ′ cos2
xe =
4Ep
�
Q 2 e
2
Ee − Ee ′ sin2 θ e ′
2
(5.11a)
� (5.11b)