S K R I P T 2 0 1 9

Skript 

für eine erfolgreiche Berufsmatura 

von 

Nur zur Ansicht 

Manfred Ambach 

Ausgabe

Mathe für die BRP zentral 

Lernen und nicht denken ist unnütz. 

Denken und nicht lernen ist zwecklos. 

Konfuzius 

(551-479 v.Chr) 

 

Einleitende Bemerkungen 

Nachdem mittlerweile etliche Maturatermine 

nach den Vorgaben der standardisierten Reifeprüfung 

abgelaufen sind, zeigt sich, dass die Mathematura für die 

BRP auch unter diesen Bedingungen von Erfolg gekrönt 

ist. 

Neben dem Eifer und Interesse der KandidatInnen sind es 

folgende Faktoren, die zu den guten Ergebnissen führen: 

Wir Vortragenden vom WIFI sind seit ca. einem Jahrzehnt in die Entwicklung der Aufgaben eingebunden und stehen in 

regelmäßigem Kontakt mit Personen, die für die bundesweite Durchführung der Zentralmatura verantwortlich zeichnen, 

oder die Beispiele für die Reifeprüfung erstellen. Deshalb ist uns klar, wie die zentrale Mathematura im Rahmen der BRP 

aufgebaut ist, welche Anforderungen zu erfüllen und welche Fragestellungen zu bewältigen sind. 

Diese Rahmenbedingungen geben uns die Möglichkeit, den Lehrstoff von diversen alten Zöpfen zu befreien. Schwierige 

Rechentechniken, deren Sinn sich nicht erschließen, sind Vergangenheit. Ebenso abstrakte Problemstellungen ohne 

jeden Alltagsbezug. Hier wird Mathe auf eine Weise vermittelt, die es jeder Person ermöglicht mitzukommen und die 

Prüfung zu bestehen, unabhängig von anfänglichen Kenntnissen und Fertigkeiten. 

Die TrainerInnen verstehen sich als Begleiter im Lernprozess, die zu jeder Zeit auf alle Belange der TeilnehmerInnen 

eingehen. In den Kursen herrscht ein Klima, in dem sich jeder jederzeit zu fragen traut. Fragen sind erwünscht und nicht 

lästiges Übel, die gar mit Abwertungen verbunden sind! 

Das vorliegende richtet sich in den Themenstellungen, Erläuterungen und der geforderten Mathematik 

ausschließlich nach den Ansprüchen der Zentralmatura. Kein relevanter Aufgabenkreis ist weggelassen, kein über- 

flüssiges Gebiet erwähnt. Gleiches gilt für die im Anhang befindlichen 

die 

können. 

und ebenso für 

. Dort sind die Erfordernisse durchweg so formuliert, wie sie auch zur Matura kommen 

Begleitet werden diese Unterlagen von zahlreichen 

( MAY Mathe Ambach YouTube ), in denen 

Stoffgebiete und konkrete Beispiele in kleinsten und verständlichen Schritten erläutert werden (siehe auch Leitfaden 

und die entsprechenden Stellen im Stoffteil). 


Vielleicht kann dieses Skriptum auch einen Beitrag dazu leisten, die Abneigung gegenüber Mathematik abzubauen. Denn 

hinter dem Widerwillen steht nicht selten die Angst, an diesem Fach zu scheitern. Angst ist aber ein schlechter 

Lernbegleiter. Sie lässt uns Dinge meiden, anstatt sich einzulassen. Auf unserem Weg durch die Mathematik kann 

erlebbar werden, dass trotz negativer Erfahrungen in der Vergangenheit alle Erfordernisse schaffbar sind und manche 

Aspekte sehr wohl Interesse wecken können. 

Salzburg, im Frühjahr 2019 


Man kann sich nur auf etwas stützen, 

das Widerstand leistet. 

Heinrich SIMON 

(1805 – 1860) 

manfred.ambach 

pro-test.at


Leitfaden 

Der Lernprozess ist wie eine Bergwanderung. Nicht die Höhe des Zieles ist entscheidend, sondern der Weg dorthin. 

Wird es (einem) zu steil, so entsteht aus Lust auf Vorwärtskommen erlebte Mühsal und Beschwerlichkeit. Es kommen 

Stress oder gar Angst vor dem Scheitern auf. Wir verlieren das Ziel vor Augen und die Bindung. Auf sich alleine gestellt, 

wirkt der Weg nach oben wie eine Herausforderung, der wir uns nicht gewachsen fühlen. 

Wie kann ich aber Interesse erzeugen, wenn mich ein Fach wenig fesselt, wie das bei Mathe häufig der Fall ist? 

Hier kann helfen, sich einerseits das übergeordnete Ziel vor Augen zu führen: Mit der Reifeprüfung, und dazu gehört 

auch Mathe, stehen mir erstrebenswerte Möglichkeiten offen. Mathe ist dann der Streckenabschnitt meiner 

Bergwanderung, der vielleicht zunächst weniger reizvoll erscheint. Dabei soll mir klar werden, dass daran kein Weg 

vorbei führt, will ich mein Ziel erreichen! Andererseits hilft es, sich auf die Erlangung von Etappenzielen zu 

konzentrieren. Diese sind schneller und leichter erreichbar als das Gesamtvorhaben und ich motiviere mich durch 

erlangte Kenntnisse und Fertigkeiten. 

Ich durfte schon viele TeilnehmerInnen erleben, die alleine dadurch motiviert waren, weil sie die Angst vor diesem Fach 

im Laufe des Kurses verloren hatten! 

Gerald HÜTHER (1) : 

© Martina Meven 

Kinder bauen in den ersten Lebensjahren ihr Fundament jeglicher 

Entwicklung: Die Überzeugung, Erfahrung, Fertigkeiten und Wissen 

erlangen zu können, gleich welche Ausgangsbedingungen vorherrschen. 

Das geschieht einerseits durch Vertrauen in gebotene Anregungen, Wege 

und Gewichtungen. Andererseits durch das Einlassen mit allen Sinnen, 

gepaart mit Emotionen. Zum Dritten durch unermüdliches Herangehen, 

selbst wenn es zunächst nicht von Erfolg gekrönt ist. Wir alle haben auf 

diese Weise das Wesentliche unseres Lebens gewonnen. 

Auch im Erwachsenenalter ist es möglich und sehr effektiv, diese Art des 

Erlernens zu reaktivieren. 


" Das Hirn baut bei neuen Erfahrungen neue Vernetzungen auf, gleich in welchem Alter. 

Aber nicht durch reines Üben, sondern nur in Verbindung mit Freude und Begeisterung. " 


Mathematik wird nicht immer vor Spannung knistern. Doch zu erleben, dieses Fach ohne Angst bewältigen zu können 

und Anwendungsmöglichkeiten zu erkennen, können Tatenlust und Energie wecken. 

(1) G. HÜTHER: Was wir sind und was wir sein könnten. Fischer Taschenbuch. Frankfurt (Main) 2013. ISBN: 978-3-596-18850-5 

Weiterer Buchtipp zum Thema Lernen: Christiane STENGER: Wer lernen will, muss fühlen. Rowohlt Verlag. Reinbek bei Hamburg 2016. ISBN: 978-3-499-63123-8 


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Dieses Skript soll einen Beitrag dazu leisten, den Weg durch die Schulmathematik anschaulich und begreifbar zu machen, 

sodass jede(r) im eigentlichen Sinn des Wortes mitkommen kann. 

Ich habe diese Themensammlung so zusammengestellt, dass die einzelnen Kapitel aufbauend gestaltet sind. Der Stoff kann 

Schritt für Schritt erfasst werden. Wie auf einer Treppe, deren Stufen eine geeignete Höhe besitzen, ist der Weg nach oben 

gut schaffbar. Es ist auch möglich, nur jene Kapitel durchzuarbeiten, bei denen das persönliche Wissen erweitert bzw. 

vervollständigt werden soll. 

Zentrale Begriffe oder Gesetze tauchen in einzelnen Abschnitten immer wieder auf oder es wird auf das Kapitel und die Seite 

ihrer ausführlichen Darlegung hingewiesen. Einerseits, um sich durch Wiederholung in Erinnerung zu rufen, andererseits um 

zu verfestigen. 

Wovor ich abrate ist, die Seiten wie bei einer Zeitung zu durchblättern und nur bei augenfälligen Textteilen, Rechnungen 

oder grafischen Darstellungen zu verweilen. Bei dieser Art von Durchsicht mag sich ein Eindruck eröffnen, doch die 

Gewichtung und alle notwendigen Sachverhalte können auf diese Weise nicht wahrgenommen werden. 

Um die dargebotenen Inhalte in der Folge selbst anwenden zu können, ist es unabdingbar, die in diesem Skript angeführten 

Beispiele simultan auf einem Blatt Papier mitzurechnen. Man sagt, einmal konzentriert schreiben wirke wie das Gleiche 

zehnmal lesen. Auch wenn die hier präsentierten Beispiele in kleinen Schritten nachvollziehbar entwickelt sind, ist 

mathematisches Wissen in aller Regel zu konzentriert, um alleine durch Lesen nachhaltig erfasst zu werden. 

Ich hätte die Seiten auch platzsparender gestalten können, doch wäre das auf Kosten der Übersichtlichkeit gegangen. 

Lief ich Gefahr die sprachliche Klarheit zu verlieren, verzichtete ich auf eine gendergemäße Schreibweise, wiewohl auch in 

solchen Fällen immer beide Geschlechter gemeint sind. 

Für etwaige (Schreib-) Fehler bitte ich um Entschuldigung! 

Ich habe mich bemüht, die Anzahl der Fehler zu minimieren. Doch steht mir kein Lektor zur Verfügung und es ist naturgemäß 

unmöglich alle eigenen Fehler selbst zu finden! 

Neben dem Skript stehen drei elektronische Hilfsmittel zur Verfügung: 

Erstens: 

Der Taschenrechner 

Zahlen. 

unterstützt uns bei Berechnungen mit konkreten 

Seine unkomplizierte und übersichtliche Handhabung liefert schnell und sicher die 

gewünschten Ergebnisse. 


Die Darstellungsart von Brüchen hilft, rund 50 % der Rechen- bzw. 

Vorrangfehler zu vermeiden. 

Klare Symbole erleichtern die entsprechende Eingabe. 

Den Taschenrechner gibt es ohne Aufpreis vom WIFI. 


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Zweitens: 

Für unkomplizierte, anschauliche Darstellungen dient uns das Rechenprogramm 

Im der Suchmaschine (im Internet) das Stichwort 

vorderster Stelle: 

Linke Spalte: 

eingegeben und es erscheint an 

Hier klicken wir mit der 

linken Maustaste diese Web- 

Adresse mit einem Doppel- 

Klick an. 

Scrollt man weiter, so erscheinen in der rechten 

Spalte die links abgebildeten Symbole. 

Zwei Varianten bieten sich an: 

GeoGebra Classic 

GeoGebra Classic 

Je nach Betriebssystem klickt man mit der linken 

Maustaste den entsprechenden Button an. 

Nach derzeitigem Stand wird bei der Matura 

GeoGebra Classic verwendet. 

Die Unterschiede dieser Varianten sind minimal. 

Am besten, man lädt beide Varianten herunter und 

arbeitet abwechselnd mit diesen. 


Diese App gibt es derzeit nur für Android-Smartphones. 

Für Smartphones mit anderen Betriebssystemen: 

GeoGebra Web Version im Web Browser des Smartphones 


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Nach der Installation erscheint folgende Oberfläche: 

GeoGebra : 

GeoGebra : 


Installation siehe auch in YouTube: 

Das bedeutet: Abschnitt II, Kapitel 2.5., Seite 85 und folgende 

Link: 

https://www.youtube.com/watch?v=ISrfXEpfoAs&t=103s 


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Drittens: 

Unter dem Titel 

Mathe Ambach YouTube 

finden sich zu vielen Themen dieses Skripts Videoclips in YouTube. 

Diese können entweder direkt über QR-Code (zu finden bei den entsprechenden Stellen im Skript) erreicht werden, 

oder über den jeweiligen Link: https://www.youtube.com/watch?v=vnO-VbiQyDM&t=2s 

erreicht werden. (Einfach mit der linken Maustaste anklicken.) 

Es gibt derzeit über 80 Videos zum Stoff, zur Handhabung von GeoGebra und zu ausgewählten Aufgaben der 

Beispielsammlung. 

Lernkarten 

Da ich die Videos immer wieder aktualisiere, werden einige QR-Codes veralten. 

In diesem Fall ist das entsprechende Video unter selbem Titel auf meinem Videokanal 

MAY Ambach zu finden: 

Bei manchen Bezeichnungen, Themen oder Stoffgebieten sind 

Im Skript Karteikarten gezeichnet, auf denen Wichtiges kurz 

zusammengefasst ist. 

Solche Karten, wenn du sie selbst anlegst, können ein effektives 

Mittel sein, um wesentliche Lerninhalte zu merken. 

Auf diese Idee brachte mich die ehemalige Teilnehmerin Katrin HERZOG. 



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# 


Sollte jemand mit den zahlreichen Beispielen der Übungsaufgaben und den Aufgaben der Beispielsammlung nicht über 

genügend Übungsmaterial verfügen, so finden sich im Internet unter den Adressen 

www.aufgabenpool.at oder www.srdp.at oder www.mathestunde.at 

weitere, der Zentralmatura entsprechende Aufgaben. Jedoch kommen für uns nur 

in Frage. 

Beachte jedoch: 

Teil A – Aufgaben und jene von Cluster P 

Nicht die Menge der Beispiele, sondern die Qualität ihrer Auflösung macht den Erfolg aus! 

Bei den Prüfungs- bzw. Testaufgaben geben Signalwörter konkrete Hinweise, welche Kenntnisse bzw. Fertigkeiten 

gefordert sind. Eine Liste der gängigen Signalwörter findet im Skript 

Das bedeutet: Seite 460 und folgende 

Ja, und da wäre dann noch Fredo. 

Fredo wird sich immer wieder einmal erlauben, seine Erkenntnisse oder 

Gefühle zu äußern: Einsichten, Zuversicht, doch auch Ärger oder gar manche 

Verzagtheit. Fredo reagiert, wie jede(r) Lernende: guten Mutes und voll 

Vertrauen, doch auch manchmal mühsam oder kleinmütig. Alles ganz normale 

Bekundungen, wenn man sich ernsthaft mit zuweilen herausfordernder 

Materie auseinandersetzt. 

Wenn Fragen zu mathematischen Belangen bestehen oder Anregungen bzw. kritische Bemerkungen zum Skript auftreten: 

Ich freue mich, wenn ich kontaktiert werde! 

Entweder über mathe@pro-test.at oder über 

Sehen wir es so: 

Du gehst auf eine Reise, die manchmal Herausforderungen verursacht. Doch du bist nicht alleine. Du wirst begleitet von 

erfahrenen TrainerInnen und Unterlagen, auf die du dich verlassen kannst! 


Link: https://www.youtube.com/watch?v=vnO-VbiQyDM&t=2s 


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I 

Inhaltsverzeichnis 

ZAHLEN & MAßE 

1. ZAHLEN 3 

1.1. Zahlenmengen 3 

1.1.1. Natürliche Zahlen 5 

1.1.2. Ganze Zahlen 7 

1.1.3. Rationale Zahlen 9 

1.1.4. Reelle Zahlen 11 

1.1.5. Komplexe Zahlen 13 

1.2. Rechnen mit Zahlen 16 

1.2.1. Vorrangregeln 16 

1.2.2. Rechnen mit natürlichen Zahlen 17 

1.2.3. Rechnen mit ganzen Zahlen 20 

1.2.4. Runden von Zahlen 23 

1.2.5. Rechnen mit Casio 24 

1.3. Prozent– und Promillrechnung 33 

1.3.1. Prozentrechnung 33 

1.3.2. Promillrechnung 40 

1.4. Maße 41 

1.4.1. Längenmaße 41 

1.4.2. Flächenmaße 43 

1.4.3. Raum- und Hohlmaße 45 

1.4.3.1. Raummaße 45 

1.4.3.2. Hohlmaße 45 

1.4.4. Masse 47 

1.4.5. Zeitmaße 51 

II 

ALGEBRA & GEOMETRIE 

2. TERME 54 

2.1. Benennungen 54 

2.2. Potenzen 57 

2.2.1. Einführung 57 

2.2.2. Rechenregeln für Potenzen 60 

2.2.3. Multiplikation von Monom und Klammer 72 

2.2.4. Multiplikation von Klammern 73 

2.2.5. Binomische Formeln 74 

2.2.6. Fließkomma- bzw. Gleitkommadarstellung 75 


2.3. Zerlegung von Termen 79 

2.3.1. eingliedrige Terme 80 

2.3.2. mehrgliedrige Terme 80 

2.4. Kleines Einmaleins des Bruchrechnens 82 

2.4.1. Addieren und Subtrahieren 82 

2.4.2. Multiplizieren 83 

2.4.3. Dividieren 84 

2.5. Einführung in GeoGebra 85 

Seite 


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3. GLEICHUNGEN 91 

3.1. Gleichungen mit einer Variablen 91 

3.1.1. Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen) 91 

3.1.1.1. Elementares 92 

3.1.1.2. Gleichungen mit Klammern 98 

3.1.1.3. Gleichungen mit Bruchtermen 98 

3.1.1.4. Formeln umformen 100 

3.1.1.5. Gleichungen mit GeoGebra 106 

3.1.2. Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen) 109 

3.1.2.1. Normalform 109 

3.1.3. Gleichungen höheren ( als 2. ) Grades 117 

3.1.3.1. Gleichungen 3. Grades 117 

3.1.3.2. Gleichungen 4. Grades 119 

3.2. Gleichungen mit mehreren Variablen 121 

3.2.1. Lineare Gleichungen mit 2 Variablen 122 

3.2.1.1. Lösungsmethoden 123 

3.2.1.1.1. Gleichsetzmethode 123 

3.2.1.1.2. Einsetzmethode 125 

3.2.1.1.3. Additionsmethode 125 

3.2.2. Gleichungssysteme mit GeoGebra 126 

4. ELEMENTARGEOMETRIE 132 

4.1. Lehrsatz des PYTHAGORAS 132 

4.2. Strahlensatz 135 

4.3. Kreis und Kreisteile 137 

4.4. Prismen 139 

4.5. Spitze Körper 142 

4.6. Kugel 144 

5. TRIGONOMETRIE 146 

5.1. Winkelmaße 146 

5.2. Graphen der Winkelfunktionen 150 

5.2.1. sin und cos 150 

5.2.2. tan 152 

5.3. Winkelfunktionen im Einheitskreis 153 

5.4. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck 156 

5.5. Winkelsätze 161 

5.5.1. Sinus – Satz 161 

5.5.2. Cosinus – Satz 164 

5.6. Vermessungsaufgaben 167 

III 

FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE 


6. FUNKTIONEN 175 

6.1. Koordinatensystem 177 

6.2. Funktionen – allgemein 179 

6.2.1. Was ist eine Funktion? 179 

6.2.2. Bezeichnungen und Ausdrücke 184 

6.2.3. Darstellungsarten 186 

6.2.4. Funktionen mit GeoGebra 188 

6.2.5. Eigenschaften von Funktionen 196 

6.2.5.1. Nullpunkte 196 

6.2.5.2. Monotonie 198 

6.3. Polynomfunktionen 200 

6.3.1. Polynomfunktionen 1. Grades (lineare Funktionen) 201 

6.3.1.1. Gleichung einer linearen Funktion (Geraden) 201 

6.3.1.2. Proportionalität 206 


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6.3.1.2.1. direkt proportional 206 

6.3.1.2.2. indirekt proportional 207 

6.3.1.3. Aufstellen einer Geradengleichung mit 2 gegebenen Punkten 208 

6.3.1.4. Lineare Bewegungsaufgaben 212 

6.3.2. Polynomfunktionen 2. Grades (quadratische Funktionen) 223 

6.3.3. Polynomfunktionen 3. und höheren Grades 231 

6.3.4. Gerade und ungerade Polynomfunktionen 237 

6.3.4.1. Gerade Polynomfunktionen 237 

6.3.4.2. Ungerade Polynomfunktionen 238 

6.4. Exponential- und Logarithmusfunktionen 239 

6.4.1. Eigenschaften 239 

6.4.2. Zinseszinsen 244 

6.4.3. Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse 246 

IV 

ANALYSIS 

7. DIFFERENZIEREN 252 

7.1. Ableitungsregel 253 

7.1.1. Potenzregel 253 

7.1.2. Differenzieren mit GeoGebra 257 

7.2. Veranschaulichung des Differenzierens 260 

7.2.1. Steigung der Tangente 260 

7.2.2. Änderungsraten 264 

7.2.2.1. Absolute Änderung(srate) 264 

7.2.2.2. Relative Änderung(srate) 264 

7.2.2.3. Mittlere Änderung(srate) (mittlere Steigung) 265 

7.2.2.4. Lokale (momentane) Änderung(srate) (momentane Steigung) 268 

7.3. Weitere Anwendungen der Differentialrechnung 273 

7.3.1. Extrema 273 

7.3.2. Krümmung 280 

7.3.3. Wendepunkt und Wendetangente 282 

7.4. Kleine Betriebskunde 300 

8. INTEGRIEREN 306 

8.1. Integrationsregel 306 

8.1.1. Potenzregel 306 

8.1.2. Integrieren mit GeoGebra 312 

8.2. Flächenberechnungen 314 

8.2.1 Veranschaulichung 314 

8.2.2. Grundaufgaben 321 

8.2.2.1. Fläche innerhalb gegebener Grenzen 321 

8.2.2.2. Fläche von Funktion und Achse begrenzt 323 

8.2.2.3. Fläche nur von 2 Funktionen begrenzt 325 

8.3. Integrieren und Differenzieren als Umkehrungen 335 

V 


STOCHASTIK 

Vorbemerkungen 341 

9. STATISTIK & REGRESSION 342 

9.1. Empirische Statistik 342 

9.1.1. Kenngrößen 342 

9.1.2. Kenngrößen mit GeoGebra 349 

9.1.3. Grafische Darstellungen 352 

9.1.4. Klassen - Einteilung 355 


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# 


9.2. Regression 357 

9.2.1. Lineare Regression 357 

9.2.2. Korrelationskoeffizient 361 

9.2.3. Quadratische Regression 364 

9.2.4. Exponentielle Regression 366 

9. 3. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 367 

9.3.1. Grundbegriffe 367 

9.3.2. Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ereignisse 369 

9.3.2.1. entweder - oder ( oder beide ) – Wahrscheinlichkeit 369 

9.3.2.2. sowohl als auch – Wahrscheinlichkeit 370 

9.3.2.3. Baumdiagramm 372 

9.3.2.4. . . . mindestens einmal . . . 377 

9.4. Wahrscheinlichkeitsverteilungen 381 

9.4.1. Diskrete Verteilungen (diskrete Zufallsvariablen) 381 

9.4.1.1. (Allgemeine) diskrete Verteilungen 382 

9.4.1.2 Binomialverteilung 384 

9.4.2. GAUßsche Normalverteilung 397 

VI 

CLUSTER P 

10. VEKTOREN 407 

10.1. Grundbegriffe 407 

10.2. Grafische Verbindungen von Vektoren 409 

10.2.1. Addition 409 

10.2.2. Gegenvektor eines Vektors 410 

10.2.3. Subtraktion 410 

10.2.4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 412 

10.3. Rechnerische Verbindungen von Vektoren 413 

10.3.1. Koordinaten eines Vektors 413 

10.3.2. Addition 415 

10.3.3. Subtraktion 418 

10.3.4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 420 

10.4. Weitere Eigenschaften von Vektoren 423 

10.4.1. Ortsvektor 423 

10.4.2. Betrag (Länge) eines Vektors 424 

10.4.3. Gegeben zwei Punkte A und B . . . 427 

10.4.3.1. . . . gesucht: Der Vektor von A nach B: AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 427 

10.4.3.2. . . . gesucht: Die Länge der Strecke AB 430 

10.4.3.3. . . . gesucht: Halbierungspunkt H der Strecke AB 431 

10.4.4. Einheitsvektor eines Vektors 434 

10.4.5. Normalvektoren eines Vektors 436 

10.4.6. Skalarprodukt zweier Vektoren 438 


11. FOLGEN & REIHEN 446 

11.1. Allgemeines 446 

11.2. Arithmetische Folgen 447 

11.3. Geometrische Folgen 449 

12. MENGEN 454 

12.1. Was ist eine Menge? 454 

12.2. Durchschnittsmenge 455 

12.3. Vereinigungsmenge 456 

12.4. Differenzmenge 457 

Liste der Signalwörter 460 

Dank 464 


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I Zahlen & Maße 

I 

1. ZAHLEN 

ZAHLEN & MAßE 

1.1. Zahlenmengen 

altägyptische Zahlen-Hieroglyphen 

Keilschrift-Zahlen 

Die Notwendigkeit für Zahlen könnte sich ergeben haben, als unsere Urahnen 

sesshaft wurden. Damit begannen sie Ackerbau und Viehzucht zu betreiben. Die 

Erträge bzw. der Bestand wollten festgehalten sein und dies könnte die Geburt 

der Zahlen bedeuten. 

Ishango-Knochen 

Der Ishango – Knochen, gefunden im Jahre 1960 an der Küste des Lake Edwards, 

an der Grenze zwischen Uganda und Zaire, ist eines der ältesten Dokumente für 

die Verwendung von Zahlen und zeigt Gravuren davon. Dieser Fund ist 20 000 

Jahre alt und belegt, dass das prähistorische afrikanische Volk der Ishango bereits 

systematische quantitative Betrachtungen anstellte. 


indisch 3. Jhdt v. Chr. 

indisch 8. Jhdt n. Chr. 

westarabisch 11. Jhdt. 

europäisch 15. Jhdt. 

europäisch 16. Jhdt. 

Neuzeit 

In nichts zeigt sich der Mangel mathematischer Bildung mehr, 

als in einer übertrieben genauen Rechnung. 

Carl Friedrich GAUß 

( 1777–1855 ) 

Wann Zahlen erstmals in der Menschheitsgeschichte auftauchen, lässt sich 

nicht genau eruieren, mag aber um die 50 000 Jahre zurückliegen. 

Es gilt die Tendenz für die nördliche Halbkugel: 

Je weiter wir nach Osten blicken, desto früher finden wir in den alten 

Hochkulturen die Verwendung von Zahlen. 

Die von uns verwendeten Ziffern sind indischen 

Ursprungs, von den Arabern weiterentwickelt. Die 

Schreibweise gelangte über Vorderasien und das 

lange unter arabischem Einfluss stehende Spanien in 

unsere Breiten. 

Die ersten Darstellungen der Zahl Null finden sich 

bereits vor mehr als 2 000 Jahren bei den Indern. 

In Europa führte Leonardo von PISA ( genannt 

FIBONACCI [ figlio di Bonaccio – Sohn des Bonaccio ] ) 

[ 1180(?) – 1241(?) ] im Jahr 1202 die Null ins 

kaufmännische Rechnen ein. 

manfred.ambach 3 pro-test.at



Wie vorteilhaft die indisch-arabischen Ziffern im Gegensatz zu den römischen Zahlenzeichen sind, soll folgendes 

Beispiel verdeutlichen: 

Multiplizieren wir 5 . 25 = 125 mit römischen Ziffern: 

V 

II 

I 

. XXV 

L 

C 

XXV + C 

= CXXV 

Siehe auch: https://www.youtube.com/watch?v=_C9CCoMYgDE 

Adam RIES 

( 1492(3) – 1559 ) 

Lange Zeit war Rechnen nur gebildeten Menschen vorbehalten. Adam RIES(E), deutscher 

Rechenmeister, verfasste sein Werk in deutscher Sprache, obwohl damals vorwiegend auf 

lateinisch publiziert wurde. Damit trug er zur Popularisierung dieser Kulturtechnik bei. Sein 

Lehrbuch Rechenung auff der linihen und federn wurde bis ins 17. Jhdt mindestens 

120-mal aufgelegt. 

Rechenung auff der linihen, also Rechnen auf Linien, funktioniert so: 

Es werden waagrechte Linien gezeichnet. 

Eine Münze auf der ersten (untersten) Linie hatte den Wert 1, eine Münze 

im ersten Zwischenraum den Wert 5, auf der zweiten Linie den Wert 10. 

Eine Münze im zweiten Zwischenraum erhielt den Wert 50, auf der dritten 

Linie 100 usw. Die Tausend wurde mit einem X markiert. 

So stellt die nebenstehende Lage der Münzen die Zahl 2 128 dar. 


Die Unendlichkeit der Mathematik 1 

Was bedeutet eigentlich der Begriff unendlich? 

Der Duden meint: sehr großes, unabsehbares, unbegrenztes 

größer als jeder endliche, beliebig große Zahlenwert 

Das Symbol für unendlich in der Mathematik ist die liegende Acht: ∞ 

Der relativ komplizierte Vorgang rührt daher, dass die Römer keine 

Stellenwerte und damit keinen Übertrag kannten. 

Solche Rechnungen wurden mit einem System aus dem jeweiligen 

Halbieren des einen Faktors und dem Verdoppeln des anderen 

bewerkstelligt. Führt die Halbierung auf keine ganze Zahl, wurde 

abgerundet. 

Danach wurden alle Zeilen gestrichen, bei denen beim Halbieren 

gerade Zahlen herauskamen und die verbliebenen Zahlen in der 

Verdoppelungsspalte addiert. 

Fortsetzung auf S 12 




1.1.1. Natürliche Zahlen 

Auf einem Zahlenstrahl (1) besitzen die natürlichen Zahlen folgende Lage: 

Die Menge der natürlichen Zahlen, abgekürzt mit dem Symbol N, 

bezeichnet die Zahlen des Zählens. 

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . } 

Die kleinste natürliche Zahl ist eins. Jeder Nachfolger ist um eins größer als der Vorgänger. Die natürlichen Zahlen 

enden nicht, sie führen ins Unendliche. 

Zusatzbezeichnungen können Zahlen ein- oder ausschließen: 

N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Bemerkung: Manchmal meint auch N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . } 

N g = { 2, 4, 6, 8, 10, ... } 

N u = { 1, 3, 5, 7, 9, ... } 

Freilich lassen sich natürliche Zahlen auch anders darstellen, wenngleich es meistens vorteilhaft ist, die einfachste 

Schreibweise zu wählen: 

4 

5 7 

Beispiele: 2 N oder 3 N oder 

3 

64 4 N 

2 

4 

Bemerkungen: ∈ ist das Symbol für " ist Element von " , im Sinne von " gehört zu … " , 

∉ ist das Symbol für " ist kein Element von " , im Sinne von " gehört nicht zu … " . 


Der Bruchstrich steht für ein Divisionszeichen 

Das bedeutet: 

Abschnitt VI, Kapitel 12.1., Seite 454 

(1) 

Ein Zahlenstrahl hat einen Anfang und kein Ende (denke an einen Sonnenstrahl). 

Eine Zahlengerade hat weder Anfang noch Ende, geht also vom negativ-Unendlichen bis ins positiv Unendliche. 




Beispiel: Die märchenhafte Sieben 

Warum kommt die Zahl sieben so häufig in unseren Märchen vor? 

Schneewittchen und die sieben Zwerge 

Der Wolf und die sieben Geißlein 

Die sieben Raben 

oder auch die sieben Weltwunder oder die sieben Tage der Woche. 

In der christlichen Zahlensymbolik des Mittelalters steht sieben für die Gnade bzw. für Ruhe und Frieden. 

Sieben ergibt sich durch die Addition von drei und vier. 

Drei ist das Symbol für Gott bzw. die Dreifaltigkeit, vier steht für die Welt mit ihren vier Elementen 

Luft, Feuer, Wasser und Erde. 

Gewisse natürliche Zahlen sind sog. Primzahlen. 

Die ersten Primzahlen sind: 

Primzahlen sind natürliche Zahlen, 

die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . . . 

Die bisher größte Primzahl wurde im Rahmen des GIMPS 

( Great Internet Mersenne Prime Search )-Projekts am 26.12. 2017 

gefunden: 2 77 323 917 − 1 . Eine Zahl mit über 23 Millionen 

Ziffern. (1) Würde man diese Zahl aufschreiben, füllte sie ca. 

4 750 Din-A4 Seiten. 

Nebenstehend das Sieb des ERATOSTHENES ( ≈276 – 194 v.Chr. ) zur 

Ermittlung der Primzahlen, hier bis 100. 

Zuerst streicht man alle Zahlen, die durch 2 teilbar sind, dann die 

Vielfachen von 3, nun die durch vier teilbaren Zahlen, gefolgt von 

allen Vielfachen von 5 usw. bis nur noch jene Zahlen bleiben, die 

nur durch 1 und sich selbst teilbar sind, also die Primzahlen. 


Ja, warum ist die Zahl 1 eigentlich keine Primzahl, wenn sie doch, wie gefordert, nur durch 1 und sich selbst 

teilbar ist? 

................................................................................................................................................................................... 

................................................................................................................................................................................... 

gnusöL: trednärev sthcin snie hcrud noisivid eid dnu driw treidivid nelhazmirp hcrud liew 

(1) 

https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl 




Primzahlen haben in der Zahlentheorie eine fundamentale Bedeutung, um 

Strukturen zu erkennen und festzulegen. So lässt sich jede natürliche Zahl als 

Produkt (Ergebnis einer Multiplikation) von Primzahlen darstellen. Heute finden 

Primzahlen unter anderem in der Verschlüsselungstechnik Verwendung, um z.B. 

den Datenaustausch via Internet sicherer zu gestalten. 

Ältere Verfahren verwenden Zahlen mit 129 Dezimalstellen, die von modernen 

Rechnern in Kürze zu knacken sind. Neue und sehr sichere 

Verschlüsselungsmethoden beruhen auf Zahlen mit 1 924 Stellen, die mit 

handelsüblichen Methoden nicht aufzuspüren sind. Allerdings sind derartige Zahlen für (Smart-) Phones der heutigen 

Generation zu groß! 

1.1.2. Ganze Zahlen 

Die ganzen Zahlen auf einer Zahlengeraden: 

Die Menge der ganzen Zahlen, symbolisiert durch Z , meint alle natürlichen 

Zahlen, die Zahl Null, sowie alle negativen ganzen Zahlen. 

Z = { . . . . . . . , – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . . . . } 

Die ganzen Zahlen kommen aus dem Negativ-Unendlichen und reichen bis ins Positiv-Unendliche. Auch hier ist der 

Nachfolger stets um eins größer als der Vorgänger. 


Zusatzbezeichnungen sind möglich und üblich: 

Z + = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . } = N 

Z − = { . . . . ., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1 } Z g 

− = { . . . . ., – 8, – 6, – 4, – 2 } usw. 

Die ganzen Zahlen existieren seit mindestens knapp zweieinhalbtausend Jahren, als die Babylonier um 300 v. Chr. 

auf die Notwendigkeit der Erweiterung der natürlichen Zahlen beim Lösen von Gleichungen stießen. 




Babylonische Zahlen-Zeichen (ca. 2000 – 1500 v.Chr.) 

In Europa gewannen nach 1000 nach Christus 

Handelszentren wie die deutsche Hanse oder Stadtsaaten 

wie Venedig, Genua oder Florenz immer mehr an Einfluss. 

Der rege Handel bedingte die Notwendigkeit ganzer 

Zahlen, denn fehlende Ware oder Schulden mussten 

entsprechend gekennzeichnet werden. 

Noch heute findet sich der Einfluss italienischer Handelsmetropolen in Bezeichnungen wie Konto 

( il conto: die Rechnung ) oder dem Lombard-Satz ( Lombarden wurden im Heiligen Römischen Reich deutscher Nation die 

italienischen Kaufleute genannt ) als dem Zinssatz, den die jeweilige Zentralbank festlegt. 

Beispiel: 

Stephan rechnet offensichtlich so: 

Am Abend werden – 20 Grad Celsius ( °C ) gemessen. In der Nacht soll die Temperatur 

um 5° C sinken. 

Stephan meint: " Dann wird es in der Nacht −15° C haben. " 

Julia entgegnet: " Ich glaube, die Temperatur wird auf – 25 ° C sinken. " 

Tom: " Komisch, wenn ich rechne, komme ich auf + 25 ° C ! " 

– Begründe, wer von den Dreien recht hat. 

– 20° C + 5° C = −15° C Plus heißt aber mehr. Wenn die Temperatur sinkt, 

wird sie jedoch weniger. Und weniger heißt minus. 

Also hat Stephan unrecht. 

Julias Überlegung: 

Es hat am Abend – 20 ° C . In der Nacht wird es noch 5 ° C weniger haben. 

– 20 ° C – 5 ° C = – 25 ° C 

Tom rechnet augenscheinlich so: 

weniger heißt minus 


– 20 ° C – 5 ° C = + 25 ° C Tom wendet dabei die Vorzeichen-Regel der Multiplikation 

− ⋅ − = + 

Das bedeutet: 

Damit liegt nur Julia mit ihren Überlegungen und dem Ergebnis richtig. 

Abschnitt I, Kapitel 1.2.3., Seite 20 und folgende 

Der schwedische Physiker und Mathematiker Anders CELSIUS (1701 – 1744) legte den Gefrierpunkt von Wasser 

bei 100 o C fest, den Siedepunkt bei 0 o C. Carl von LINNÈ (1707 – 1778 , schwedischer Naturforscher) drehte 1745 

die Skala um, so wie wir sie heute verwenden. 




1.1.3. Rationale Zahlen 

Einige Beispiele rationaler Zahlen: 

Die Menge der rationalen Zahlen, abgekürzt mit Q, beinhaltet alle Zahlen, 

die sich als Brüche darstellen lassen, 

in deren Zähler und Nenner ganze Zahlen stehen ( im Nenner ≠ 0 ). 

Bemerkung: Das Symbol Q rührt daher, dass man statt des Bruchstriches 

auch ein Divisionszeichen setzen kann und das Ergebnis einer 

Division Quotient genannt wird. 

Zuvor eine Bemerkung: entstammt der Mengenlehre und bedeutet „ ist Element von “, was so viel wie „ gehört zu “ meint. 

3 

∈ 4 Q, da 3 

= 3,0 

4 4,0 

1,25 ∈ Q, , da 1,25 = 1,25 

Um auf die Darstellung 

2 ∈ Q, , da 2 = 2,0 

1,0 

1,0 

0, 4̇ ∈ Q, , da 0, 4̇ = 4 

4 

9 = 0, 4̇ 4 

zu kommen, muss man allerdings 

9 

− 3 ∈ Q, , da−3 = −3,0 


Wozu soll ich denn Zahlen, 

wie z.B. 2 , als Brüche 

darstellen, wenn sie als 

ganze Zahlen viel einfacher 

sind? 

9 

als Division auffassen: 

1,0 

Musst du ja nicht, lieber Fredo! 

4 : 9 = 0,444 . . . 

40 

40 

40 

. . . 

Es heißt ja, rationale Zahlen sind solche, die man als Brüche 

mit ganzzahligem Zähler und Nenner darstellen kann und 

nicht muss! 

Rationale Zahlen sind demnach neben den Bruchzahlen, auch die natürlichen und ganzen Zahlen, ebenso 

alle Dezimalzahlen mit endlich vielen Stellen und periodische Dezimalzahlen, also Zahlen mit unendlich vielen 

Stellen, wobei sich die Ziffern regelmäßig wiederholen. 




Die rationalen Zahlen liegen so dicht, dass sich der Nachfolger oder Vorgänger einer bestimmten Zahl nicht exakt 

angeben lässt: 

Der Nachfolger der Zahl 1 kann nur angedeutet werden: 1,000000 . . . 0001 

Ebenso der Vorgänger der Zahl 2: 1,999999 . . . . 9998 

Auch wenn wir den Abstand zweier rationaler Zahlen verkleinern, lassen sich Nachfolger und Vorgänger nur 

andeuten und nicht exakt angeben. 

Obwohl die rationalen Zahlen so dicht liegen, gibt es noch Zahlen, die nicht zu den rationalen Zahlen gehören, 

sich also nicht als Brüche darstellen lassen, in deren Zähler und Nenner ganze Zahlen stehen: 

Beispiele: √ 2 = 1,4142135623730950488016887 . . . 


oder die Kreiszahl π = 3.1415926535897932 . . . 

Diese Wurzel, als Dezimalzahl dargestellt, besteht aus 

unendlich vielen Ziffern, die sich jedoch nicht, wie bei den 

periodischen Dezimalzahlen, regelmäßig wiederholen. 

Darstellung der Zahl pi (π) in der Wiener Opernpassage 




Solche Zahlen nennt man irrationale Zahlen, wobei irrational nicht als vernunftwidrig oder unsinnig gedeutet 

wird, sondern als unvorstellbar [ ratio (lateinisch): u.a.: Denkart, Anschauung ]. 

Die Berücksichtigung solcher Zahlen führt uns zur nächsten Zahlenmenge, den reellen Zahlen. 

Die rationalen Zahlen auf einer Zahlengeraden: 

0 1 

Trotz ihrer Dichte weisen die rationalen Zahlen immer noch Löcher auf, nämlich die irrationalen Zahlen. 

Bemerkung: Zahlentheoretisch, also mathematisch, lässt sich zeigen, dass die rationalen Zahlen „dicht“ sind. 

Doch ist dieser Sachverhalt recht abstrakt zu verstehen. 

Deshalb erlaube ich mir die obige Anschauung zu vertreten. 

1.1.4. Reelle Zahlen 

Damit sind alle bisher behandelten Zahlen auch reelle Zahlen: 

Beispiele: 

Die Menge der reellen Zahlen R besteht aus jenen Zahlen, 

die sich als Brüche darstellen lassen, 

in deren Zähler und Nenner Dezimalzahlen 

mit endlich oder unendlich vielen Ziffern 

( im Nenner ≠ 0 ) stehen. 


3 

∈ 4 R, da 3 

= 3,0 

4 4,0 

1,25 ∈ R, da 1,25 = 1,25 

2 ∈ R, da 2 = 2,0 

. . 

1,0 

1,0 

− 3 ∈ R, da−3 = −3,0 

1,0 

0, 4̇ ∈ R, da 0, 4̇ = 0,44444 … = 0,44444… 

1,0 

Aber auch: 

π ∈ R, da π = 3,141592654 … = 3,141592654… 

1,0 

√2 ∈ R, da √2 = 1,414213562 … = 1,414213562… 

1,0 




Die reellen Zahlen liegen so dicht, dass sie eine durchgehende Gerade bilden. 

Wir können uns die bisher behandelten Zahlenmengen folgendermaßen veranschaulichen: 

Bemerkung: Bei der obigen Darstellung handelt es sich nur um eine grobe Illustration, bei der die Größenverhältnisse 

zwischen den Zahlenmengen nicht stimmen. 

0 



Ist ∞ eine Zahl? 

Was ergibt dann z.B. ∞ − 1 ? 





1.1.5. Komplexe Zahlen 

Beispiel: 

2 

√ 4 = √ 4 

2 

√ 4 = √ 4 

Trotz der völligen Dichte reeller Zahlen sind in dieser Menge noch immer nicht 

alle möglichen Zahlen berücksichtigt. 

= 2 Probe: 2 2 = 2 . 2 = 4 

Folgende Beispiele sollen den Bedarf einer zusätzlichen Zahlenmenge darlegen: 

= −2 Probe: (−2) 2 = (−2) . (−2) = 4 

Wie sieht das nun mit der Quadratwurzel aus einer negativen Zahl aus? 

Beispiel: 

2 

√− 4 

2 

√− 4 

= 2 Probe: 2 2 = 2 . 2 = 4 und nicht − 4 → √−4 

= −2 Probe: (−2) 2 = (−2). (−2) = 4 und nicht − 4 → √−4 

Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl kann 

zwei Werte besitzen: Einen positiven und ihre 

negative Gegenzahl. Denn gleich, ob ich eine 

positive Zahl quadriere ( also mit sich selbst 

multipliziere ) oder ihre negative Gegenzahl, 

ich erhalte immer das gleiche positive Ergebnis. 


2 

2 

≠ 2 

≠ −2 

Es existiert keine reelle Zahl, die quadriert eine negative Zahl ergibt. 

Folglich kann die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl keinen Wert in den bisherigen Zahlenmengen besitzen. 

Link: https://www.youtube.com/watch?v=WAzGp8Wqxtk&t=2s 




Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich GAUß ging nun her und setzte die 

Carl Friedrich GAUß 

( 1777 – 1855 ) 

und benannte i als imaginäre Einheit. 

2 

√– 1 

Damit lassen sich Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wie folgt angeben: 

√− 4 = √4 ⋅ (−1) = √4 ⋅ √− 1 = ±2 i 

±2 i 

Typisch Mathematiker! 

Machen aus etwas, was eben 

nicht existiert, nicht nur ein 

Problem, sondern gleich eine 

neue Theorie daraus! 


= i 

Gemeint sind die beiden Zahlen 2 i und −2 i 

Lieber Fredo, 

Ich möchte versuchen, ein Argument für die Existenz komplexer Zahlen anzuführen: 

auf den ersten Blick hast du natürlich Recht! 

Du befindest dich mit deiner Skepsis in literarischer 

Gemeinschaft mit 

Friedrich TORBERGs Schüler Gerber , 

der im gleichnamigen Roman seinen Mathelehrer Kupfer 

über den Sinn komplexer Zahlen befragt. 

Auch Zahlen wie 1, 2 oder 3 sind abstrakte Gedankengebilde. Sie nennen sich zwar natürliche Zahlen, aber niemand 

hat im Frühling z.B. eine Eins aus dem Boden sprießen sehen. Solche Zahlen ergeben erst dann Sinn, wenn wir sie mit 

Gegenständen verbinden, um sie z.B. zu zählen und damit quantitativ (mengenmäßig) zu erfassen. 

Als Kinder lernten wir die Namen der Zahlen und schließlich konnten wir sie in 

richtiger Reihenfolge nennen. Doch was sollen denn 

bedeuten? 

eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben . . . 

Der Sinn erschließt sich erst, wenn diesen Zahlen Objekte zugeordnet werden, 

wenn wir Utensilien zählen um ihre Anzahl festzustellen und Ordnungen zu 

schaffen. Auch mit der imaginären Einheit bzw. den komplexen Zahlen lassen sich Gesetzmäßigkeiten und Strukturen in 

Natur und Technik beschreiben und zwar einfacher als mit den uns gewohnten Zahlen. Wichtig ist, wie bei jeder Zahl und 

Rechnung, eine passende Deutung zu finden! 

Mit Hilfe der komplexen Zahlen, können z.B. Schwingungszustände, 

die Einsichten in Materiestrukturen verleihen, wesentlich leichter 

berechnet werden als mit den uns geläufigen Zahlen. 

Komplexe Zahlen finden u.a. auch in der Chaostheorie ihre 

Verwendung und sind heute aus Naturwissenschaft und Technik 

nicht mehr wegzudenken. 




Gebäudekomplex in Düsseldorf 

Woher der Name komplexe Zahlen? 

Wie ein Gebäudekomplex aus mehreren Häusern besteht, so setzt 

sich eine komplexe Zahl aus mehreren Gliedern (Ausdrücke, die mit 

+ oder – verbunden sind) zusammen, die nicht addiert bzw. 

subtrahiert werden können. 

Beispiel: z = 4 + 3 . i 

Allgemein lässt sich eine komplexe Zahl z in sog. BINOMIAL-Form wie folgt darstellen: 

mit a, b R ( a und b sind reelle Zahlen ) 

i … imaginäre Einheit mit i = √− 1 

Beispiel: z = 4 + 3 i 

Diese komplexe Zahl z wird in einer 

Ebene (flach und unendlich groß) als 

Pfeil dargestellt. 

Auf der waagrechten Achse wird 

a = 4 aufgetragen, auf der nach 

hinten gehenden Achse 3 i . 


Die komplexen Zahlen sind eine ganze Dimension größer als alle Zahlen, die wir bisher besprachen: 

Während sich natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen auf der waagrechten Achse (eindimensional) 

darstellen lassen, bedecken die Pfeilspitzen aller komplexen Zahlen jeden Punkt in einer (unendlich großen) Ebene 

(zweidimensional). 




1.2. Rechnen mit Zahlen 

1.2.1. Vorrangregeln 

Wegen der Bedeutung der Vorrangregeln für das richtige Rechnen seien diese Gebote in Erinnerung gerufen: 

(1) Klammern müssen immer zuerst berücksichtigt werden 

(2) Hochrechnung ( Potenzen, Wurzeln ) kommt vor Punktrechnung ( . : ) 

(3) Punktrechnung kommt vor Strichrechnung ( + – ) 

Stehen mehrere Klammern ineinander, mit der innersten Klammer beginnen. 

Innerhalb der Klammern gilt auch: Hoch– vor Punkt– vor Strichrechnung. 





1.2.2. Rechnen mit natürlichen Zahlen 

Betrachten wir folgendes Beispiel: 

4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 3 2 ) ] + 2 3 = 

Stehen mehrere Klammern ineinander, beginne mit der innersten Klammer. 

Zunächst berücksichtigen wir die Hochrechnung in der innersten (runden) Klammer. 

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 3 2 ) ] + 2 3 = 

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 9 ) ] + 2 3 = 

Es folgt die Punktrechnung in der runden Klammer. 

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 9 ) ] + 2 3 = 

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 12 – 9 ) ] + 2 3 = 

Jetzt noch die Strichrechnung in der runden Klammer. 

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 12 – 9 ) ] + 2 3 = 

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 ) ] + 2 3 = 

In der runden Klammer steht nur noch eine Zahl. Deshalb dürfen wir diese Klammer weglassen. 

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 ) ] + 2 3 = 

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – 3 ] + 2 3 = 

Nun berechnen wir die eckige Klammer anhand der Vorrangregeln. 

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – 3 ] + 2 3 = 


= 4 + 2 . [ 5 . 4 – 3 ] + 2 3 = 

= 4 + 2 . [ 5 . 4 – 3 ] + 2 3 = 

= 4 + 2 . [ 20 – 3 ] + 2 3 = 

= 4 + 2 . [ 20 – 3 ] + 2 3 = 

= 4 + 2 . [ 17 ] + 2 3 = 

= 4 + 2 . [ 17 ] + 2 3 = 




Nachdem auch die eckige Klammer weggelassen werden kann, sind die restlichen Rechenoperationen 

wiederum entsprechend den Vorrangregeln durchzuführen. 

= 4 + 2 . 17 + 2 3 = 

= 4 + 2 . 17 + 2 3 = 

= 4 + 2 . 17 + 8 = 

= 4 + 2 . 17 + 8 = 

= 4 + 34 + 8 = 

= 46 

Bemerkung 1: Freilich lässt sich ein solches Beispiel in weniger Schritten bewerkstelligen, doch soll hier die richtige 

Anwendung der Vorrangregeln bewusst gemacht werden, die auch für das Rechnen mit Buchstaben gelten. 

Bemerkung 2: Der Gebrauch der Vorrangregeln wirkt im Zusammenhang mit konkreten Zahlen meist recht banal, 

ist aber häufig eine Ursache für falsches Rechnen! 

Beispiel: 

2 3 = 2 . 2 . 2 = 8 und nicht 2 3 = 2 . 3 = 6 

3-mal 

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB 


Festungsbahn Salzburg 

Das bedeutet: Abschnitt II, Kapitel 2.2.1., Seite 56 und folgende 

Ein Wagen der Salzburger Festungsbahn kann maximal 55 Personen fassen. 

Es fährt immer ein Wagen nach oben und einer gleichzeitig nach unten. 

Die Fahrzeit für eine Strecke beträgt 39 Sekunden, die Stehzeit 2,6 Minuten. 

Bild: SLB 

– Berechnen Sie, wie viele Personen in der 12-stündigen Öffnungszeit maximal nach oben befördert werden 

können. 




Möglicher Lösungsweg: 

Fahrzeit = 39 Sekunden 

Stehzeit = 2,6 Minuten 2,6 Minuten . 60 = 156 Sekunden (s) 

Fahrzeit + Stehzeit für eine Strecke = 39 + 156 = 195 Sekunden → Alle 195 s fährt ein Wagen nach oben. 

1 Stunde = 60 Minuten = 3 600 s → 12 Stunden = 12 . 3 600 s = 43 200 s 

43 200 : 195 = 221,54 Das heißt, die Wagen können in 12 Stunden 221-mal zur Gänze hinauffahren. (*) 

221 . 55 = 12 155 

In den 12 Stunden Betriebszeit können maximal 12 155 Personen nach oben befördert werden. 

(*) 

Würde ein Wagen in 12 Stunden 221,54-mal hinauffahren, bliebe er bei seiner 222. Fahrt auf offener Strecke stehen, 

weil er da nur noch das 0,54-fache (= 

Richtig wäre auch folgende Überlegung: 

12 Stunden = 12 . 3 600 s = 43 200 s 

54 

100 

Bei der ersten Fahrt gibt es noch keine Stehzeit. 

43 161 : 195 = 221,34 → 221 ganze Fahrten + 1. Fahrt = 222 Fahrten 

222 . 55 = 12 210 

= 54 % ) der Strecke, also nur noch gut die Hälfte, zurücklegte. 

43 200 – 39 = 43 161 s 

Bei dieser Überlegung könnten in den 12 Betriebsstunden maximal 12 210 Personen nach oben befördert werden. 

Aus der Sendung die Millionenshow: 





1.2.3. Rechnen mit ganzen Zahlen 

Für das Rechnen mit ganzen Zahlen benötigen wir neben den Vorrangregeln auch die 

Dazu passende Beispiele: 

der Multiplikation 

Vorzeichenregeln 

der Division 

+ ⋅ + = + + : + = + 

– ⋅ – = + – : – = + 

+ ⋅ – = – + : – = – 

– ⋅ + = – – : + = – 

( + 3 ) . ( + 2 ) = + 6 ( + 8 ) : ( + 4 ) = + 2 

( – 3 ) . ( – 2 ) = + 6 ( – 8 ) : ( – 4 ) = + 2 

( + 3 ) . ( – 2 ) = – 6 ( + 8 ) : ( – 4 ) = – 2 

( – 3 ) . ( + 2 ) = – 6 ( – 8 ) : ( + 4 ) = – 2 


Warum ergibt denn eigentlich 

z.B. – . – = + ? 

und 

→ Das kannst du in der Übung 01 - 02 erfahren. 

Glücklicherweise haben wir in 

der Volksschule nicht so 

kompliziert multiplizieren 

gelernt, sonst könnte ich es bis 

heute nicht! 

→ Richtig, und deshalb schreiben wir jetzt die gleichen 

Aufgaben nochmals so einfach wie möglich an. 




3 . 2 = 6 8 : 4 = 2 oder 

4 

2 

8 2 

– 3 . ( – 2 ) = 6 – 8 : ( – 4 ) = 2 oder 

3 . ( – 2 ) = – 6 8 : ( – 4 ) = – 2 oder 

– 3 . 2 = – 6 – 8 : 4 = – 2 oder 

Was können wir daraus für Schreibregeln folgern? 

o Steht zu Beginn vor einer Zahl ( oder einem Buchstaben ) kein Vorzeichen, so 

ist + gemeint 

Jetzt ein Beispiel mit ganzen Zahlen: 

o Zwei unmittelbar aufeinander folgende Vor- bzw. Rechenzeichen müssen 

( aus Gründen der Übersicht ) durch eine (optische) Klammer getrennt werden 

aber: 

– 2 . ( – 2 ) 2 – [ – 4 . 3 2 – ( – 2 ) 2 + 4 ] = 

= (–2) – 2 3 . + ( 2 –. 2 [ )–2 2 –. [(–3)– 4 2 . – 3 2 4 –. (–1)( – 2 3 ) + 2 + 2 2 4 ]] = 

= – 2 . ( – 2 ) 2 – [ – 4 . 9 – (+ 4 ) + 4 ] = 

= (–2) 3 + 2 . [ –2 . 9 – 4 . (–1) + 4 ] = 


= – 2 . ( – 2 ) 2 – [ – 4 . 9 – 1.(+ 4 ) + 4 ] = 

= 

= 

(–2) 

– 2 3 . 

+ 

( – 

2 

2 

. [ 

) 2 – 

–18 

[ – 36 

+ 

– 

4 

4 

+ 

+ 4 

] 

] = 

= – 2 

= (–2) 3 . ( – 2 ) 2 – [ – 36 ] = 

+ 2 . [ –10 ] = 

= – 2 . 4 – [ – 36 ] = 

= –8 + 2 . [ –10 ] = 

= – 8 – [ – 36 ] = 

8 

4 

8 

4 

8 

4 

2 

2 

Laut Vorrangregeln müssen Klammern zuerst berücksichtigt werden. 

In der runden (innersten) Klammer können wir nichts rechnen. Diese 

Klammer ist zu quadrieren (Hochrechnung), wie auch 3 2 , was vor allen 

anderen Rechenoperationen in der eckigen Klammer Vorrang hat. 

Es folgt die Punktrechnung in der eckigen Klammer, 

Beachte, dass das Vorzeichen – vor der runden Klammer eigentlich 

die Multiplikation mit – 1 meint. 

Das bedeutet: 

Jetzt folgt die Strichrechnung in der eckigen Klammer. 

In der eckigen Klammer steht nur noch eine Zahl. Wir könnten also die 

eckige Klammer weglassen. Da aber zwei Rechenzeichen 

( das Minus vor der eckigen Klammer und das Minus vor 36 ) 

nicht unmittelbar aufeinander folgen dürfen, müssen wir die Klammer 

stehen lassen. 

Nun ist die Hochrechnung außerhalb der eckigen Klammer an der Reihe, 

gefolgt von der Punktrechnung. 

Abschnitt I, Kapitel 2.2.3., Seite 72 

= –8 




= – 8 – 1 . [ – 36 ] = 

= – 8 + 36 = 

= 28 

Noch weitere Beispiele: 

–2 . +3 . ( – 4 ) = + 24 = 24 

– ⋅ – = + 

(–2) 2 = (–2) . (–2) = + 4 = 4 

(–2) 3 = (–2) . (–2) . (–2) = – 8 

Richtig! Doch muss dabei die sog. Basis ( Grundzahl ) negativ sein! 

2 3 = (+2) 3 = + 8 = 8 

Kann es sein, dass bei gerader 

Hochzahl das Ergebnis positiv ist, 

während eine ungerade Hochzahl ein 

negatives Resultat zur Folge hat? 

Wie lösen wir jetzt die eckige Klammer auf? 

Das Minus vor der Klammer ist eigentlich das 

Vorzeichen der Zahl 1, mit der wir uns die Klammer 

multipliziert vorstellen können 

Das bedeutet: 

Der erste Faktor – 2 ist negativ. Der zweite, +3 , ist positiv. 

– mal + ist – und 

– mal – ( von – 4 ) ist schließlich + 

Zuletzt berücksichtigen wir noch die Strichrechnung. 

Abschnitt I, Kapitel 2.2.3., Seite 72 


Ist die Basis positiv, ist das Ergebnis immer positiv, gleich ob die Hochzahl gerade oder ungerade ist! 


∞ − 1 = ∞ behaupte ich einmal. 

Fortsetzung S 38 




1.2.4. Runden von Zahlen 

Wir betrachten das Kaufmännische Runden 

Beispiel: 

Die Zahl 6,2379 soll auf zwei Nachkommastellen gerundet werden. 

Beispiele: 

6,2379 ≈ 6,24 

Runde die folgenden Zahlen auf zwei Nachkommastellen: 

16,0329 ≈ 

16,0351 ≈ 

16,03 

............................................... 

16,04 

............................................... 


8,003 ≈ 

1,0081 ≈ 

0,0002 ≈ 

Wir betrachten die nächstfolgende Dezimalstelle. 

In unserem Beispiel die dritte, da wir auf zwei Stellen nach dem Komma runden wollen. 

Steht an dieser Stelle die Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4, dann bleibt die Ziffer, auf die gerundet werden soll, 

unverändert. 

Steht an dieser Stelle die Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9, dann wird die Ziffer, auf die gerundet werden soll, 

um 1 erhöht. 

8,00 

............................................... 

1,01 

............................................... 

0,00 

............................................... 

4,997 ≈ 

5,00 

............................................... 




1.2.5. Rechnen mit Casio 

Wollen wir uns zunächst einmal mit den grundlegenden 

Bedienungselementen unseres Rechners auseinandersetzen. 

Dieser Taschenrechner zeichnet sich einerseits durch einfache Bedienung 

aus. Außerdem entspricht die Darstellung am Display in aller Regel der 

handschriftlichen Aufzeichnung. 

Das Einschalten des Rechners erfolgt über die Taste 

( 1. Reihe, ganz rechts) 

Für die Anfangs-Einstellung betätigen wir die Tasten 

und 

( 1. Reihe, ganz links ) 


Es erscheint das abgebildete Befehlsfenster. 

Jetzt die 

gedrückt, und folgendes Befehlsfenster erscheint: 




Da wir die Setup – Daten zurücksetzen wollen, 

betätigen wir die Taste 

Nun noch betätigt ( 6. Reihe, ganz rechts ) 

Das Display erscheint in der links abgebildeten Form. 

Auf diese Weise erfolgt auch das Zurücksetzen , wenn 

sich durch die Solarzelle die Einstellungen verändert haben 

sollten. 


Bemerkung: Das M in der obigen Zeile muss nicht unbedingt angezeigt sein. 

Ausschalten des Taschenrechners: 

und 




Beispiel: 

Ermitteln wir mit Hilfe des Rechners das Ergebnis von 4 . 5 – 3 . 2 3 = 

Wir geben ein: 

Zunächst geben wir die Ziffer 4 

ein, gefolgt vom 

Mal-Zeichen 

( 3. Reihe von unten, 

2. Taste rechts ). 

Jetzt Minus 

( 2. Reihe von 

unten, ganz 

rechts ) 

gedrückt. 

Nun die Ziffer 3, das 

Mal-Zeichen und die Ziffer 2 

betätigt. 

Am Display erscheint die Rechnung in folgender Form: 

Vor jeder neuen Rechnung die 

Eingaben zu löschen. 

Beispiel: 

2 3 +5 = 

– 

Die Hoch- 

Taste ist in 

der 3. 

Reihe von 

oben, 3. 

Taste von 

rechts. 

Jetzt noch die 

Ziffer 3 gedrückt 

und zuletzt das 

(ENTER) 

- Zeichen 

(unterste Reihe, rechts) 

betätigt. 

In der zweiten Zeile des Displays erscheint das 

Ergebnis rechts. 

-Taste betätigen ( 4. Reihe von unten, ganz rechts ), um alle alten 


Nach der Hochzahl 3 muss die Replay–Taste 

( oben Mitte ) betätigt werden, sodass der blinkende 

Cursor im Display nach rechts unten wandert. Ansonsten würden wir 2 3+5 statt 2 3 + 5 rechnen! 




Die Rechnung am Display: 

Auch Brüche lassen sich leicht berechnen. 

Dafür steht die Bruchtaste 

( 3. Reihe von oben, ganz links ) zur Verfügung. 

Soll ein Bruch eingegeben werden, so ist zuerst die Bruchtaste zu aktivieren. Am Display erscheint folgende Form: 

Angenommen, wir wollen den Bruch 3 

4 

eingeben. 

Zuerst die Bruchtaste betätigt, dann die Zahl eingeben, die Cursor-Taste betätigen 

und danach die Zahl eingeben. Schließlich noch auf drücken. 

Auf dem Display erscheint die abgebildete Eingabe und das dargestellte 

Resultat. 


Bemerkung: Unser Taschenrechner stellt Ergebnisse, wenn irgend möglich, 

immer als Brüche dar. Will man das Ergebnis in Dezimalform, 

dann ist die 

- Taste ( 5. Reihe von unten, 2. von rechts ) zu drücken. 




Wir könnten den Taschenrechner auch so einstellen, dass das Resultat sofort in Dezimalform erscheint, doch 

gehen damit alle Vorteile, die der Casio bei Eingabe und Rechnung bietet, verloren. 

Beispiel: 

Berechnen wir jetzt 

3 5 1 

 

4 8 2 

Schriebe man ohne Betätigung des Cursors, so 

könnten z.B. nebenstehende Eingaben entstehen. 

Wir werden manchmal auch solche Darstellungen 

benötigen, hier aber nicht. 

Wir drücken die Bruchtaste (3. Reihe von oben, links ) 

und am Display erscheint das Bruch–Symbol. 

Jetzt geben wir die Brüche ein und positionieren mit 

Hilfe der -Taste ( ganz oben Mitte ) 

die Zahlen an ihrer richtigen Stelle. 

Abschließend die ENTER-Taste ( ganz unten rechts ) 

gedrückt und das Ergebnis erscheint in Bruchform. 

Die Ergebnisse erscheinen immer optimal vereinfacht in Bruchform, wenn 

irgend möglich. 

Für die Schul-Mathematik ist diese Darstellungsform tendenziell besser. 

Sind die Ergebnisse in Dezimalschreibweise erwünscht, braucht nur die 


-Taste ( 5. Reihe von oben , 2. von rechts ) gedrückt werden. 

In unserem Fall erscheint dann das Resultat als 0.875 




Was macht man, wenn eine falsche Ziffer eingegeben wurde? 

Beispiel: 

Wir wollten die Zahl 604 eingeben und haben stattdessen 614 getippt. 

Der Cursor blinkt immer rechts der zuletzt eingegebenen Ziffer. 

Mit der Replay-Taste 

der Ziffer, die wir löschen wollen. 

In unserem Fall rechts vor die Ziffer 1. 

Jetzt drücken wir die LÖSCHEN – Taste 

2. Taste von rechts), 

sodass die Ziffer 1 verschwindet . . . 

setzen wir den Cursor rechts 

(6. Reihe von oben, 


. . . und fügen die gewünschte Ziffer ein. 




Wie speichern wir Zahlen auf dem Taschenrechner ? 

Betrachten wir dafür zunächst die Tastatur des Rechners: 

Betrachten wir unser letztes Beispiel: 

7 

Das Ergebnis lautet . 

8 

In der unteren Reihe interessiert die 

Taste . 

(links). 

STO ( store ) . . . speichern 

RCL ( recall ) . . . zurückrufen 

Wollen wir das Resultat in Speicher A legen, betätigen wir 

folgende Tastenkombination: 

In der oberen Reihe sehen wir Tasten, 

über denen die Buchstaben 

A B C D E F stehen. 

Das sind die sechs Speicherplätze 

des TR und werden ohne 

– Taste betätigt. 


und am Display scheint rechts stehendes Bild auf. 

Ans 

A bedeutet, die Zahl ist auf Platz A gespeichert. 

Ans bedeutet Ansicht 




Wenn eine Zahl in der ersten Zeile des Displays steht und gespeichert wird: 

Wollen wir den gespeicherten Wert zurückrufen, so drücken wir 

und am Display tritt der gespeicherte Wert auf. 

Noch drei Bemerkungen: 

 

Der Rechner verfügt nur über runde Klammern 

Auch hier betätigen wir die Tastenkombination 

so wir die Zahl auch in A speichern wollen. 

Jetzt erscheint am Display das links dargestellte Bild. 

Auch das bedeutet, die Zahl 7 ist auf Platz A 

8 

gespeichert. 


Die Hochrechnung wird mit der Taste ( 3. Reihe von oben, 3. von rechts ) bewerkstelligt 

Bsp.: 2 3 : 2 3 8. 

(5. Reihe von oben, Mitte ). 

Die Komma-Taste 

Punkt, wie sonst bei Taschenrechnern üblich. 

( unterste Reihe, 2. von links ) besitzt als Symbol einen Beistrich und keinen 




Beispiel 

Geben wir die Zahl 1 000 000 000 000 000 ein. 

Diese Form nennt man normierte Fließkomma- oder Gleitkomma-Darstellung und wird uns in Kapitel 2.2.6., S 75 f 

beschäftigen. 

Rechnen wir folgendes Beispiel: 

4 . 10 8 : 2 . 10 6 

Verwende die Taste 

Als Ergebnis muss 200 erscheinen. 

Beispiel: Mordsmäßig 

(ganz unten, Mitte) 

Im Jahr 2014 wurden in Wien 9 Morde begangen, im Jahr 2015 waren es 20. 

– Ermittle die absolute Änderung(srate) = neuer Wert – alter Wert : 20 – 9 = 11 

Die Zahl der Morde veränderte (erhöhte) sich von 2014 auf 2015 um 11. 


– Ermittle die relative Änderung(srate) = 

20 – 9 

9 

= 1,22 = 122,22 % 

Wir geben die Zahl ohne Abstände ein. 

betätigt und die Zahl erscheint 

in der Form 1 x I0 15 . 

neuer Wert − alter Wert 

alter Wert 

Die Zahl der Morde veränderte (erhöhte) sich von 2014 auf 2015 um 122,22 %. 

relativ bedeutet bezüglich, hier also die Anzahl der Morde 2015 bezogen auf die frühere Menge, also die Anzahl 

der Morde 2014. 

bezogen auf (bezüglich, relativ) = dividieren 




1.3. Prozent– und Promillrechnung 

1.3.1. Prozentrechnung 

Das Wort Prozent kommt aus dem Lateinischen. 

In diesem Wort steckt die Zahl 100 ( lateinisch centum ). 

Z.B. wird ein Hundertstel Euro Cent genannt. 

Frei übersetzt bedeutet das Wort Prozent : durch 100. 

1 % = 

50 % = 

1 

100 

100 % = 100 

50 

= 1 

100 2 

100 

von einem Ganzen 


= 1 . . . entspricht dem Ganzen 

Das Ganze ( die Grundmenge, die ursprüngliche Menge, die Vergleichsbasis ) entspricht 100 % 

Beispiel: 

Ist 1 % immer weniger als 100 %? 

Vom gleichen Ganzen ja, denn 1 % ist nur der hundertste Teil 

des Ganzen, während 100 % das Ganze darstellt. 

Doch: 100 % aller Österreicher sind 8,4 Mio. Menschen, 

1 

1 % aller Chinesen sind von 1, 3 Mrd. = 13 Mio. Menschen 

100 


Im Jahr 2012 wurden Pensionen bis zu einer Brutto-Höhe von 3 300 Euro 

um 2,7 % erhöht. 

Jemand erhielt bisher monatlich 1 018 Euro brutto Pension. 

– Bestimme, wie viel Euro die Erhöhung ausmacht. 




100 % entspricht der ursprünglichen Brutto-Pension von € 1 018,- 

Davon wollen wir 2,7 % bestimmen. 

100 % : 100 % 

= 1 % 

1 % . 2, 7 % = 2,7 % 

100 % . . . . . . . € 1 018,- 

1 % 

2,7 % . . . . . . . x 

x = 

1 018 . 2,7 

100 

Die Brutto-Pensionserhöhung macht 27,49 Euro aus. 


Schnäppchenjagd 

Bild: Deutsche Wirtschaft 

= 27,486 

: 100 % 

. 2, 7 % 

Der Preis, den wir Konsumenten für ein T-Shirt zahlen, setzt sich aus 

folgenden Faktoren zusammen: 


Ein T-Shirt kostet € 4,99. 

Quelle: Heute-Journal, 26.04.2013 

– Berechnen Sie die absoluten Anteile der einzelnen Faktoren. 




Siehe auch S 32. 


100 % . . . . . . . . . . . 4,99 € 

50 % . . . . . . . . . . . . . . x € 

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 € 

1,5 % . . . . . . . . . . . . . . x € 

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 € 

12,5 % . . . . . . . . . . . . . . x € 

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 € 

25 % . . . . . . . . . . . . . . x € 

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 € 

11 % . . . . . . . . . . . . . . x € 

absolute Anteile … die Anteile in Euro (in diesem Beispiel) 

relative Anteile … die Anteile in Prozent 

Sollten die Arbeitsbedingungen, wie Lärm, Luft und Brandschutz verbessert werden, bedeutete das eine 

Erhöhung der Herstellungskosten um 50 % . 

– Berechne, um wie viel sich dadurch der Verkaufspreis erhöhte. 



x = 

x = 

x = 

x = 

x = 

4,99 ⋅ 50 

100 

4,99 ⋅ 1,5 

100 

4,99 ⋅ 12,5 

100 

4,99 ⋅ 25 

100 

= 2,50 € 

= 0,07 € 

= 0,62 € 

= 1,25 € 

4,99 ⋅ 11 

= 0,55 € 

100 

Ursprüngliche Herstellungskosten: 0,62 Euro 150% von 0,62 = 150 

⋅ 0,62 = 1,5 ⋅ 0,62 = 0,93 

Der Verkaufspreis erhöhte sich dadurch um 0,93 − 0,62 = 0,31 Euro. 

100 





a) In Österreich sind jährlich etwa 60 000 

SchifahrerInnen von einem Schiunfall 

betroffen. 

Die Grafik zeigt die prozentuelle Verteilung 

(prozentuellen Anteile) der verletzten 

Körperteile. 

– Ermitteln Sie, um wievielmal öfter Knie- als 

Schädelverletzungen auftreten. 

(Ermittle den relativen Anteil der Knie- 

Verletzungen bezüglich der Schädel- 

Verletzungen) 



Grafik: BMB 

36 % 

12,7 % 

= 2,83 

Knieverletzungen treten 2,83-mal öfter auf als Schädelverletzungen 




– Ermitteln Sie, um wie viel Prozent der Anteil an Schulterverletzungen höher ist als der Anteil der 

Verletzungen des Handgelenks. 


. . . Anteil Schulterverletzungen höher als Verletzungen des Handgelenks 

100 % . . . . . . . . . . . 8,7 % 

x % . . . . . . . . . . . . . 19,3 % 

x = 

100 ⋅ 19,3 

8,7 

= 221,84 % 

Der Anteil der Schulterverletzungen ist um 121,84 % höher als jener der Handverletzungen. 

Warum ist der Anteil der 

Schulter-Verletzungen nicht 

um 221,84 % höher als der 

der Hand-verletzungen? 

Vergleichsbasis = 100 % 

Da der Anteil der Hand-Verletzungen bereits 100 % beträgt und der 

Anteil der Schulter-Verletzungen 221,84 % , ist der Anteil der 

Schulter-Verletzungen um 121,84 % höher als jener der 

Hand-Verletzungen. 





b) Laut Statistik liegt die Wahrscheinlichkeit, sich bei einem einwöchigen Schiurlaub zu verletzen, bei 0,8 %. 

Circa 30 % der Verletzungen sind so schwer, dass der Einsatz eines Notarztes erforderlich ist. 

In einem Schigebiet sind wöchentlich ca. 20 000 Menschen auf den Pisten unterwegs. 

– Berechnen Sie, mit wie vielen Notarzt-Einsätzen hier pro Woche zu rechnen ist. 


0,8 % von 20 000 = 

30 % von den Verletzten = 

0,8 

⋅ 20 000 = 0,008 ⋅ 20 000 = 160 verletzen sich. 

100 

Es ist mit 48 Notarzt-Einsätzen pro Woche zu rechnen. 

Beachte: 

30 

⋅ 160 = 0,3 ⋅ 160 = 48 benötigen einen Notarzt. 

100 

Neue Änderung bedeutet neue Grundmenge (neue 100 %) 


Nehmen wir an, z wäre eine beliebige, auch sehr, sehr große, jedoch endliche Zahl. 

Dann gilt doch, z + 1 ist wiederum eine endliche Zahl. 


Gälte hingegen z + 1 = ∞ so könnten wir folgern: 

z + 1 = ∞ | – 1 

z + 1 − 1 = ∞ − 1 

z = ∞ − 1 

Das bedeutete "unendlich" ist gerade mal um eins größer als eine sehr, sehr große, aber endliche Zahl. 

Das kann doch nicht sein, denn dann hätten wir das "Ende" von unendlich (= nicht endend) gefunden! 







U . . . ursprünglicher Wert 

E . . . Wert nach dem ersten Jahr 

Z . . . Wert nach dem zweiten Jahr 

E = 115 % von U = 115 

⋅ U = 1, 15 ⋅ U 

100 

Der Wert einer goldenen Ein-DM-Münze ist in einem Jahr um 15 % gestiegen. Im 

folgenden Jahr ist ihr Wert nochmals um 10 % gestiegen. 

„ Dann ist der Wert einer goldenen Ein-DM-Münze in diesen beiden Jahren 

um insgesamt 25 % gestiegen. “ 

– Begründen Sie, warum die Aussage über die Wertentwicklung falsch ist. 

Z = 110 % von E = 110 

126,5 

⋅ E = 1, 10 ⋅ E = 1, 10 ⋅ 1, 15 ⋅ U = 1, 265 ⋅ U = ⋅ U = 126, 5 % von U 

100 


100 

Die Aussage ist falsch, weil sich der Wert einer goldenen Ein-DM-Münze in diesen zwei Jahren um 26,5 % erhöht 

hat. 

Das Signalwort begründen bedeutet: 

1) Eine Rechnung (bei gegebenen Zahlen) oder einen Rechengang (wenn keine Zahlen gegeben) anführen. 

2) Einen begründenden Satz schreiben: Die Behauptung (Aussage) ist richtig / falsch, weil . . . 




1.3.2. Promillrechnung 

Im Wort Promill steckt die Zahl 1 000. 

mille (lateinisch) : 1 000 → 

Promill = durch 1 000 

1 ‰ = 1 Promill = 

1 000 ‰ = 

durch 1 000 


1 000 

1 000 

1 

1 000 


. . . entspricht dem Ganzen 

Das Ganze ( die Grundmenge, die ursprüngliche Menge, die Vergleichsbasis ) entspricht 1 000 ‰ 

– Beispiel 

Beispiel, wie es bei der Aufnahmeprüfung in Medizin, Ökonomie oder den Humanwissenschaften an Unis in der Schweiz, in Deutschland 

und Österreich vorkommen kann. 

Nach einem Verkehrsunfall wird bei einer beteiligten Person eine Alkoholkontrolle 

vorgenommen. Die Messung ergibt einen Blut-Alkoholgehalt von 0,85 ‰. 

– Berechne, wie viel Milliliter (ml) reinen Alkohol diese Person im Blut hat, wenn von 

einer Blutmenge von 5,8 Litern ausgegangen werden kann. 


5,8 ⋅ 0,85 

1 000 ‰ . . . . . . . . . . . 5,8 l 

x = = 0,00493 l 

0,85 ‰ . . . . . . . . . . . . . x l 

1 000 

0,00493 l = 4,93 ml 

1 l = 1 000 ml 

⋅ 1 000 

Die Person hat 4,93 ml reinen Alkohol im Blut. 




1.4. Maße 

Zunächst einmal einige Größenordnungen, die allgemein gelten: 

Name Bezeichnung Größenordnung 

Tera T 10 12 = 1 000 000 000 000 

Giga G 10 9 = 1 000 000 000 

Mega M 10 6 = 1 000 000 

Kilo K 10 3 = 1 000 

Ein(s) 10 0 = 1 

milli m 10 – 3 = 0,001 

micro μ 10 – 6 = 0,000 001 

nano n 10 – 9 = 0,000 000 001 

: 1 000 . 1 000 

Z.B.: 1 Gigabite = 1 Gbite = 1 000 000 000 Bites ( Speicherkapazität von Computern ) 

1 Megawatt = 1 MW = 1 000 000 W(att) ( Elektrische Leistung ) 

1.4.1. Längenmaße 

1 km = 1 000 m 

1 m = 10 dm 


1 dm = 10 cm 

1 cm = 10 mm 

Die Umwandlungszahl bei Längenmaßen ist 10 . Ausgenommen bei Kilometer kilo (griechisch) : 1 000 




Beispiel: 

Der Mond umkreist die Erde in einem Abstand von 385 000 km. 

Angenommen, man möchte davon ein Modell im Maßstab 

1 ∶ 75 000 000 bauen. 

– Ermittle, wie groß der Abstand Erde – Mond in diesem Modell ist. 

Die Signalwörter berechnen, ermitteln, bestimmen bedeuten: 

Eine Rechnung durchführen. 


385 000 km = 385 000 000 m 

385 000 000 m : 75 000 000 = 5,13 m 

In diesem Modell beträgt der Abstand Erde – Mond 5,13 m. 


Wenn also ∞ − 1 keine endliche Zahl ergeben kann, so muss 

∞ − 1 = ∞ sein, wie auf S 15 behauptet. 


Wäre nun ∞ eine Zahl, wie wir sie kennen, so müssten auch für ∞ die Rechengesetze gelten 

und wir erhielten 

∞ − 1 = ∞ | + 1 

∞ − 1 + 1 = ∞ + 1 |– ∞ 

−1 + 1 = +1 

0 = +1 

Das ist doch offensichtlich nicht richtig. Also kann ∞ keine Zahl sein 





1.4.2. Flächenmaße 

Die Umwandlungszahl bei Flächenmaßen ist 100. 

Beispiel: 

1 km 2 = 100 ha 

1 ha = 100 a 

1 a = 100 m 2 

1 m 2 = 100 dm 2 

1 dm 2 = 100 cm 2 

1 cm 2 = 100 mm 2 


Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:BurjKhalifaHeight.de.svg&filetimestamp=20100816072853 

Der derzeit höchste Wolkenkratzer, Burj 

[ burdsch ] Chalifa, steht in Dubai. 

Das Gebäude 

beherbergt 45,43 ha Geschoßfläche, 

in denen 900 Wohnungen vorgesehen 

sind. 

– Berechne die durchschnittliche Größe einer Wohnung in m 2 . 





45,43 ha = 4 543 a = 454 300 m 2 

1 ha = 100 a 1 a = 100 m 2 

. 100 . 100 

454 300 m 2 ∶ 900 = 504,78 m 2 

Die durchschnittliche Wohnungsgröße beträgt 504,78 m 2 . 



Was hat denn dann ∞ für Eigenschaften, wenn nicht jene von Zahlen? 

Auch für alle anderen Maße eignen sich solche Karteikarten! 

Obige Tabelle ist nach einer Anregung von Teilnehmerin Theresa ANDEXER gestaltet, 

die es von ihrer Volksschullehrerin hat. 

Funktioniert entsprechend auch bei den Längen- und Raummaßen. 

Schon im antiken Griechenland beschäftigten sich Menschen damit, den Begriff unendlich mathematisch zu fassen. 

ZENO von Elea (~ 490 – ~430 vor Christi Geburt), ein Junge vom Land, stellte folgendes Paradoxon 

(griechisch: scheinbar oder tatsächlich unauflösbarer Widerspruch) auf: 





1.4.3. Raum- und Hohlmaße 

1.4.3.1. Raummaße 

Die Umwandlungszahl bei den Raummaßen ist 1 000. 

1.4.3.2. Hohlmaße 

Für Flüssigkeiten werden sog. Hohlmaße verwendet: 

1 m 3 = 1 000 dm 3 

1 dm 3 = 1 000 cm 3 

1 cm 3 = 1 000 mm 3 

1 Hektoliter = 1 hl = 100 l 

1 Liter = 1 l = 10 dl 

1 Deziliter = 1 dl = 10 cl 

1 Centiliter = 1 cl = 10 ml 

Bemerkungen: Die Einheit Liter wird in der Folge ausgeschrieben oder mit L abgekürzt. 


Der Zusammenhang zwischen Raum- und Hohlmaßen: 

1Liter = 1dm 3 




Beispiel: 

Wie viel hl sind 22 500 cm 3 ? 

Beispiel: 


22 500 cm 3 = 22,50 dm 3 = 22,50 l = 0,225 hl 

1 000 cm 3 = 1 dm 3 1 dm 3 = 1 l 100 l = 1 hl 

1 000 : 1 000 = 1 100 : 100 = 1 

Um für die kalte Jahreszeit gewappnet zu sein, bestellt Familie Müller 20 hl Heizöl. 

Nach der Füllung misst Herr Müller nach und stellt fest, dass der Ölspiegel um knapp 

40 cm gestiegen ist. Der Hausherr ist skeptisch, ob die vereinbarte Menge auch eingefüllt 

wurde. 

Wie kann Herr Müller überprüfen, ob die georderten 20 hl Öl auch tatsächlich im Tank 

sind, wenn er weiß, dass der zylindrische Öltank einen Durchmesser von 2,6 m besitzt? 

Hektoliter sind ein Maß für ein Volumen. 

Deshalb nehmen wir die Volumsformel. 

Da der Tank die Form eines Zylinders besitzt: 

Wir kennen 

den Radius r = d 

V Zylinder = r 2 ⋅ π ⋅ h 

= 2,6 = 1,3 m = 13 dm 

2 2 

und die Höhe h ≈ 40 cm = 4 dm 


V = r 2 ⋅ π ⋅ h → V = 13 2 ⋅ π ⋅ 4 → V = 2 123,72 dm 3 = 2 123,72 Liter = 21,24 hl 

Bei einer Höhe von 40 cm wären 21,24 hl in den Tank geflossen. Demnach werden bei einer Höhe von knapp 

40 cm sicherlich 20 hl in den Tank geflossen sein. 

1 km³ = 1 000 000 000 m³ 




1.4.4. Masse 

Sir Isaac NEWTON 

( 1642 – 1727 ) 

Albert EINSTEIN 

( 1879 – 1955 ) 

Masse, dieser alltägliche Begriff, doch mit den tiefsten Erkenntnissen der Naturforschung 

verbunden, war Jahrhunderte nicht in der für letzte Einsichten nötigen Klarheit zu beschreiben. 

Erst Sir Isaac NEWTON war es gegönnt, grundlegende Einsichten KOPERNIKUS’, KEPLERs und anderer 

Großgeister der Physik zu einer umfassenden Theorie zu vereinen, mit der alle physikalischen 

Phänomene der erfahrbaren Welt ein für allemal eine schlüssige Erklärung fanden. 

NEWTON stellte fest, dass die Ursache jeder Bewegung eine Kraft ist und sich jede Kraft F als 

Produkt aus der Masse m des bewegten Körpers und seiner Beschleunigung a darstellen lässt. 

F = m . a 

Mit seinem Konzept der Absolutheit von Raum und Zeit konnten nicht nur Kräfte richtig 

beschrieben, die auf kleinem Raum wirken, sondern es wurde damit auch die exakte Ortung von 

Himmelskörpern möglich. Eine Grundbedingung exakter Zeitmessung, auf der unsere 

Kommunikation und unser Wohlstand beruhen. 

Unsere heutige Technik, ja wesentliche Teile unserer Welt(en)sicht wäre ohne die NEWTONschen 

Prinzipien und Theorien nicht möglich. 

Doch bedurfte es eines bahnbrechenden Epochen-Genies wie Albert EINSTEIN, der NEWTONs 

Ansichten nur noch den Platz eines Spezialfalls in einer Fundamentaltheorie noch nicht gekannten 

Ausmaßes zuwies. 

Schon in seiner Speziellen Relativitätstheorie, die 1905 veröffentlicht wurde, widerlegt EINSTEIN 

das Modell der universellen Konstanz von Raum und Zeit und bewies drei Phänomene: 

o Bewegte Uhren gehen langsamer ( Zeitdehnung ) 

o Bewegte Körper schrumpfen ( Längenverminderung ) 

o Die Masse bewegter Körper wächst ( Massenzunahme ) 

Wenn ich weiter als andere gesehen habe, dann nur deshalb, 

weil ich auf Schultern von Giganten stand. 

Sir Isaac NEWTON 

( 1642 – 1727 ) 

Eine Konsequenz dieser Theorie ist folgendes Gedankenexperiment, Zwillingsparadoxon 

genannt: 

Einer der eineiigen Zwillinge verbleibt auf der Erde, der andere unternimmt eine Reise mit einem 

Raumschiff, das sich mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt. Als der Raumfahrer nach einem 

Jahr auf die Erde zurückkehrt, erscheint dem zurück gebliebenen Bruder der Reisende weniger 

gealtert als er selbst. 


Erst in den 1950er Jahren konnte dieser Effekt mit einem Jagdbomber und Atomuhren 

experimentell nachgewiesen werden. 

Doch handelte es sich bei der 1905 veröffentlichten Theorie sozusagen um 

EINSTEINs Gesellenstück, dem noch das wahre Meisterwerk folgte: 

Die Allgemeine Relativitätstheorie, die Welt-Zeit in ein Vorher- und 

Nachher unterteilend*, wurde 1916 fertig formuliert und bewiesen. Darin 

wies EINSTEIN nach, dass Raum und Zeit eine Einheit bilden, die sich unter 

Einwirkung von Gravitation 

(Massenanziehung) verändert. Damit ließen sich nun auch bisher noch nicht 

erklärbare Erscheinungen, wie z.B. die Krümmung von Licht im Schwerefeld 

und damit z.B. Schwarze Löcher, begründen. 

* Sabine RÜCKERT in DIE ZEIT Nr.53, 19.12.2018 




Literaturtipp: Jürgen NEFFE: Einstein – eine Biographie. ISBN: 3-499-61937-7 

Stephen HAWKING 

( 1942 – 2018 ) 

Nach Veröffentlichung dieser Theorie gab es neben EINSTEIN nur zwei Physiker, die Ausmaße und 

Tiefe dieser Formulierungen verstanden. EINSTEIN erhielt 1922 den Nobelpreis auch nicht für die 

Relativitätstheorien, sondern für den sog. Photoelektrischen Effekt, in dem er Licht 

Quanteneigenschaften zumaß. 

Laut Stephen HAWKING begreifen bis heute ungefähr 10 000 Menschen EINSTEINs Allgemeine 

Relativitätstheorie. 

Der Astrophysiker Stephen HAWKING zeigte mathematisch, dass es den von EINSTEIN postulierten 

Urknall gegeben haben müsse. HAWKING wandte die Quantentheorie auf Schwarze Löcher an und 

konnte damit theoretisch zeigen, dass Schwarze Löcher nicht alles in ihrer Umgebung auf ewig 

verschlingen, sondern langsam „verdampfen“, also Strahlung (=Energie) wieder freigeben. 

HAWKING versuchte über Jahrzehnte, die Relativitätstheorie mit der Quantenphysik zu vereinen 

und auf diese Weise eine Art „Weltformel“ zu finden - in der Sprache der Physiker eine „Große 

Vereinheitlichte Theorie“, die sogenannte Quantengravitation. 

Stephen HAWKING war über drei Jahrzehnte Inhaber des renommierten Lucasischen Lehrstuhls für 

Mathematik an der Universität Cambridge. Denselben Lehrstuhl bekleidete bereits Sir Isaac 

NEWTON. 

Stephen HAWKING zählt zu den großen Naturwissenschaftlern der Welt. Er litt schon seit seiner 

Jugend an einer nervenbedingten Muskelschwunderkrankung und verstarb am 14. März 2018, 

dem Geburtstag Albert EINSTEINs. Die Asche HAWKINGs fand in der Westminster Abbey in der Nähe 

des Grabmals Sir Isaac NEWTONs und der englischen Monarchen ihre letzte Ruhestätte. 

Trotz der unbeschreiblichen Leistungen 

EINSTEINs sind auch seine Erkenntnisse 

noch nicht der Weisheit letzter Schluss. 

Seit Jahrzehnten arbeiten zahlreiche 

Physiker aus aller Welt an einem 

Megamodell, das die 

quantenmechanischen Modelle mit 

der Allgemeinen Relativitätstheorie zu 

einer einheitlichen Welttheorie, der 

Quantentheorie der Gravitation, kurz 

Quantengravitation, verbinden soll. 

Wenn dieses Vorhaben gelingt, 

könnten wir wirklich erfahren, wie 

wohl alles begann. 


Nun aber zurück zu unseren mathematischen Dimensionen: 

Der größte Feind des Wissens ist nicht Unwissenheit, 

sondern die Illusion, wissend zu sein. 


( 1942 – 2018 ) 

Die Masse m eine Körpers bestimmt sich aus seinem Volumen V, 

multipliziert mit der sog. Dichte ρ ( rho: griechisches r ): 

Masse = Volumen x Dichte 

m = V . ρ 




Unter der Dichte ρ ist nicht die Menge an Molekülen in einem bestimmten 

Volumen gemeint. Diese Sicht führt uns zur 

1Liter = 1dm 3 

AVOGADRO- bzw. LOSCHMIDTschen Zahl, deren Wert 

6,0221367 . 10 23 beträgt. 

Zum Vergleich: Eine Million ( 1 000 000 ) kann als 1 . 10 6 dargestellt werden. 

Die AVOGADRO-Zahl gibt die Zahl jener Moleküle an, die in 2,016 g Wasserstoff enthalten sind. Um 

sich eine Vorstellung von der Größe dieser Zahl zu machen: Mit einer solchen Anzahl Popcorns 

könnte man die gesamte USA 15 km hoch bedecken. 

Aus: Bill BRYSON: Eine kurze Geschichte von fast allem. ISBN: 978-3-442-46071-7 

1 kg 

Wasser mit einem Volumen von 1 Liter = 1 dm 3 

besitzt die Masse 1 kg. 

m = V . ρ ➝ 1 kg = 1 dm³ . 1 

Also muss Wasser die Dichte 1 

besitzen. 

Stoffe, deren Moleküle dichter als bei Wasser liegen, haben eine Dichte größer als 1, entsprechend haben 

lockerere Molekülanordnungen kleinere Dichten als Wasser. 

Hier die (relativen) Dichten einiger Stoffe: Stoff Dichte 

Wasser (rein) 1 

Luft 0,0012 

Fichte 0,47 – 0,74 

Fette 0,9 – 0,95 

Mensch 0,99 – 1,02 

Beton (trocken) 1,5 – 2,5 

Silber 10,5 

Gold 19,8 

Die gängigen Einheiten der Masse: 

1 t = 1 000 kg 

1 kg = 1 000 g 


kg 

dm 

3 

kg 

3 

dm 

1 dag = 10 g 

1 dag = 1 Dekagramm deka (griechisch): 10 Eine nur in Österreich übliche Einheit für Masse. 





Alles Gold der Welt 

Korrekt ist kg die Einheit der Masse. 

Im Alltag sagen wir zu Masse häufig Gewicht. 

Ist zwar nicht dasselbe, jedoch für unseren 

Matheunterricht ist der Unterschied nicht von 

Bedeutung. 

Derzeit sind weltweit 177 200 Tonnen (t) pures (reines) Gold geschürft. 

kg 

Gold besitzt eine Dichte von ρ Gold = 19,8 

dm 3 

Angenommen, die gesamte Goldmenge würde zu einem Würfel gegossen. 

– Bestimmen Sie die Kantenlänge dieses Würfels in Meter (m). 

Tonne (t) ist eine Einheit der Masse. Wir benötigen demnach die Formel für die Masse. 

Masse = Volumen mal Dichte, als Formel: m = V ⋅ ρ 

Masse und Dichte kennen wir, also können wir mit dieser Formel das Volumen bestimmen: 

m = V ⋅ ρ | ∶ ρ 

m 

ρ = V 

Die Dichte beträgt ρ Gold = 19,8 

kg 

dm 3 

Damit die Masse entsprechend passt, müssen wir sie in kg verwandeln: 

177 200 t = 177 200 000 kg 

Warum wird hier immer 

von Masse gesprochen? 

Sind nicht kg usw. 

Einheiten für Gewicht? 


Masse und Dichte in die Formel eingesetzt: 

Für das Volumen des Würfels gilt: 

V = a 3 

V = a 3 | √ 3 

V = m 177 200 000 kg 

= = 8 949 494,95 dm 

ρ kg 

3 

19,8 

dm 3 

mit a als der Kantenlänge 

3 

√V 

= a 

3 

√8 949 494,95 dm 3 

Der Würfel besäße eine Kantenlänge von 20,76 m. 

= 207,62 dm = 20,76 m 




1.4.5. Zeitmaße 

Der älteste Zeitmesser ist die Sonnenuhr, die schon vor ca. 5000 Jahren im alten Ägypten Verwendung fand. Um vom Licht der 

Sonne unabhängig zu sein, wurden Wasser- oder Öluhren anfertigt: Durch ein kleines Loch im Boden eines Behältnisses rann 

die Flüssigkeit regelmäßig in einen zweiten Behälter. Anhand des Flüssigkeitsstandes ließ sich die Zeit ablesen. 

Die SUMERER erstellten die im 3. Jahrtausend v. Chr. in Mesopotamien einen Kalender, um neben der Tages- auch die Jahreszeit 

angeben zu können. Sie teilten das Jahr in 12 Monate zu je 30 Tagen. Da das astronomische Jahr, also eine Umrundung der Erde 

um die Sonne, 365,25 Tage dauert, mussten immer wieder Korrekturen angebracht werden, ähnlich unserer Schaltjahre. 

Die alten Ägypter legten das Jahr mit 365 Tagen fest und unterteilten es in 12 Monate mit je drei Wochen zu 10 Tagen mit fünf 

Zusatztagen am Jahresende. 

Der römische Kalender stammt ursprünglich von den Griechen und orientiert sich am Mond. Da der Mond zur Umrundung 

der Erde 29,53 Tage benötigt, erhielten die Monate abwechselnd 29 und 30 Tage. In Abständen wurde der Mondkalender 

dem Sonnenjahr angepasst. 

Die Grundstruktur unseres heutigen Kalenders geht auf Julius CAESAR (100 – 44 v. Chr.) zurück. Das Jahr bestand nun aus 

12 Monaten mit abwechselnd 31 bzw. 30 Tagen. Der Februar hatte damit gewöhnlich 30 Tage, alle vier Jahre nur 29. Da 

CAESAR aus dem Hause der JULIER stammte, spricht man vom Julianischen Kalender. 

Der Monat Juli ist nach den JULIERN benannt, der Monat August nach Kaiser AUGUSTUS. Dieser wollte dem Geschlecht CAESARs 

gleichrangig erscheinen, und verlieh dem August auch 31 Tage. Somit erlangte der Februar seine 28 Tage. 

Die letzte kalendarische Reform geht auf Papst GREGOR XIII (1502 – 

1585) im Jahre 1582 zurück. Man spricht vom Gregorianischen 

Kalender. Alle vier Jahre wurde ein Jahr mit 366 Tagen geschaltet. Von 

den Jahrhundert-Jahren, wie 1600 oder 1700, nur jene, deren erste 

beiden Ziffern durch vier teilbar sind. So war zwar das Jahr 1600 ein 

Schaltjahr, da 16 durch vier teilbar ist, nicht aber die Jahre 1700, 1800 

oder 1900. 

Im antiken Rom begann man die Jahre mit der Gründung Roms (754 v. 

Chr.) zu zählen. Im Jahr 525 n. Chr. wurde Abt Dionysius EXUIGUUS von 

Papst JOHANNES I beauftragt, den genauen 

Ostertermin für das folgende Jahr zu bestimmen. Dabei orientierte er sich am Datum der Geburt Christi und machte dieses Jahr 

zum Jahr 1 unsere Zeitrechnung war geboren. 

Wie kurz unsere gewohnte Zeitordnung erst gültig ist, soll folgendes Beispiel zeigen: 

Als im Jahr 1887 die Gaisbergbahn eröffnet wurde (1928 eingestellt), wies man darauf hin, dass diese Bahn nach der Prager Zeit 

verkehrt. Zu dieser Zeit existierten weder Zeitzonen, noch eine einheitliche Zeitmessung. 1891 wurde die Mitteleuropäische 

Eisenbahnzeit eingeführt und erst 1893 die Mitteleuropäische Zeit, die zunächst nur in Österreich-Ungarn, dem Deutschen 

Kaiserreich und in der Schweiz galt. 

Einige Erläuterungen über die Zeit finden sich im Buch: 

Werner KINNEBROCK: Was macht die Zeit, wenn sie vergeht? Verlag C.H. Beck. ISBN: 9 783406 630422 

Einige der gängigen Zeitmaße: 

1 Jahr = 1 a ≈ 365 Tage 


1 Tag = 1 d = 24 h ( Stunden ) 

1 h = 60 min ( Minuten ) 

1 min = 60 s ( Sekunden ) 

Bemerkungen: Jahr wird mit a abgekürzt: annus (lateinisch das Jahr ) 

Tag wird mit d abgekürzt: dies ( lateinisch der Tag ) 

Stunde wird mit h abgekürzt: hora ( lateinisch die Stunde ) 

englisch: annual . . . jährlich 

englisch: day . . . . . . Tag 

englisch: hour . . . . . Stunde 




1 Stunde besteht aus 60 Minuten und 1 Minute aus 60 Sekunden. 

Das gleiche gilt für Winkelmaße: 

1 Winkelgrad ( ° ) besteht aus 60 Winkel-Minuten ( ‘ ) und 1 Winkel-Minute aus 60 Winkel-Sekunden ( ‘‘ ). 

Deshalb kann man für die beschriebenen Zeit-Einheiten am Casio auch die entsprechende Winkel-Taste 

verwenden: 

(4. von oben, 2. von links) 

Beispiel: 3,26 h in h min s verwandeln: 3,26 3 o 15’ 36’’ 

Das bedeutet, 3,26 h = 3 h 15 min 36 s 

Beim Lichtjahr ( La ) handelt es sich um keine Zeit- sondern Längeneinheit. 

1 La ist jene Länge, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Licht bewegt sich ( im Vakuum ) 

mit ca. 300 000 km / sec. Das ergibt im Jahr eine Distanz von rund 9 500 000 000 000 km ( 9,5 Billionen km ). 

1 La ≈ 9 500 000 000 000 km = 9,5 . 10 12 km 

Zum Vergleich: Von der Sonne bis zur Erde benötigt Licht ungefähr 8 Minuten. 



Unsere Sonne befindet sich ca. 35 000 Lichtjahre (La) vom Zentrum der Milchstraße entfernt und benötigt für eine 

kreisförmige Umrundung in etwa 250 Mio. Jahre. 

1 La = 9,5 Billionen km. 

– Bestimmen Sie die Geschwindigkeit in km/h, mit der die Sonne das Zentrum der Milchstraße umkreist. 





Die Sonne bewegt sich entlang des Kreisumfangs U. 

Geschwindigkeit v = Weg 

Zeit 

= 2,089⋅1018 km 

250 000 000 Jahre 

U = 2 ⋅ r ⋅ π 

Der Radius r = 35 000 La = 3,325 ⋅ 10 17 km 

9,5 Billionen = 9 500 000 000 000 = 9,5 ⋅ 10 12 

35 000 ⋅ 9,5 ⋅ 10 12 = 3,325 ⋅ 10 17 

U = 2 ⋅ 3,325 ⋅ 10 17 ⋅ π = 2,089 ⋅ 10 18 km 

= 2,089⋅1018 km 

2,19⋅10 12 h 

1 a = 365 d = 8 760 h 

1 d = 24 h 

= 953 881,28 km/h 

Unsere Sonne bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 953 881,28 km/h um das Zentrum der Milchstraße. 

(Von wegen Fixstern, was ja bedeutet, der Stern bleibt fix, also an Ort und Stelle!) 

Bemerkung : 

Zahlen, wie 2,89 ⋅ 10 18 oder 2,19 ⋅ 10 12 sind in sogenannter normierter Fließ- oder Gleitkommadarstellung 

angegeben. 

Diese Darstellungsart ist für sehr große Zahlen oder Zahlen nahe null vonnöten, weil auch elektronische 

Rechenhilfen dann nicht mehr alle Ziffern anführen können. 


Ein Schi-Rennläufer schafft eine 3,2 km lange Piste in 2 Minuten und 15 Sekunden. 

Ein Hobby-Schifahrer fährt auf dieser Piste mit durchschnittlich 35 km/h. 

Beide fahren gleichzeitig los. 


– Ermitteln Sie, wie viel Meter der Hobby-Schifahrer noch zum Ziel hat, wenn der Schi-Rennläufer im Ziel 

einläuft. 


3,2 km 

Hobby-Schifahrer: 

35 km/h 

= 0,0914 h = 5 min 29,14 s 5 min 29,14 s − 2 min 15 s = 3 min 14,14 s 

35 km h = 35 000 m 

3 600 s 

= 9,72 m s 

3 min 14,14 s = 194,14 s 9,72m/s ⋅ 194,14 s = 1 887, 04 m 



II Algebra & Geometrie 

II 

2. TERME 

2.1. Benennungen 

Beispiele für Terme: 

( 2 . 3 + 5 ) : 8 

– 4 x 2 y 

x . e x – 1 

ALGEBRA & GEOMETRIE 

Ein Term ist jeder sinnvolle mathematische Ausdruck, gleich, ob es sich um 

Zahlen oder Buchstaben handelt. 

Einzig bei mathematisch nicht festgelegten Darstellungen handelt es sich 

um keine Terme: 

Z.B.: 

8 : 0 ( Die Division durch Null ist nicht durchführbar ) 

a 2 + 2 a – ( Es ist nicht geklärt, welcher Ausdruck noch zu subtrahieren ist ) 

Es folgen jene Bezeichnungen, die uns während unserer Mathematik-Reise begleiten werden: 

Glieder sind Ausdrücke, die mit Strichrechnung ( + – ) verbunden sind. 


G G G 

Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: 

redet man mit ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, 

und damit ist es alsobald ganz etwas anderes. 

Johann Wolfgang von GOETHE 

( 1749–1832 ) 

Beispiel: + 3 x – 5 a b + 1 ist ein dreigliedriger Ausdruck ( Die Glieder sind: + 3 x , – 5 a b und + 1 ) 

Ein 

Glied reicht von einer Strichrechnung bis vor die nächste. 

So wie ein Eisenbahnwaggon von seiner vorderen Kupplung bis vor die Kupplung 

des nächsten Wagens reicht. 




Monom: ein 1-gliedriger Ausdruck Bsp.: x 2 oder – 5 a b 

Binom: ein 2-gliedriger Ausdruck Bsp.: a + b oder 3 x – 5 a b 

Trinom: ein 3-gliedriger Ausdruck Bsp.: 3 x – 5 a b + 1 

Polynom: ein mehr als 3-gliedriger Ausdruck Bsp.: 

Faktoren sind Ausdrücke, die mit Punktrechnung ( . : ) verbunden sind. 

x 3 

2 1 

2x 

2 x 

4 3 2 

Beispiel: – 2 x y 2 = – 2 . x . y 2 Dieser Term besteht aus drei Faktoren ( aus – 2 , aus x und aus y 2 ) 

G G G 

+2 . x 2 – 3 . x . y + 5 

F 

Wir sehen: Glieder können aus Faktoren bestehen. 

F 

F 

Das erste Glied dieses dreigliedrigen Terms besteht aus 

zwei Faktoren ( +2 und x 2 ), 

das zweite Glied aus drei Faktoren ( – 3 , x und y ). 

Das letzte Glied + 5 besteht aus keinem Faktor! 

– 4 x 3 


Potenz 

Vorzahl ( Koeffizient ) 

Vorzeichen 

Eigentlich gibt es 

keine Potenz ohne Vorzeichen und Vorzahl. 




Beispiele: – 4 x 3 = – 4 . x 3 

4 x 3 = + 4 . x 3 

– x 3 = – 1 . x 3 

x 3 = + 1 . x 3 

Bei Casio kann statt des Vorzeichen-Minus auch das Rechen-Minus verwendet werden. 

Am besten, man nimmt in beiden Fällen die Taste 

Weiters gilt: 

2 x – 3 y = + 2 x – 3 y 

3 y = 3 . y 

x y = x . y 

25 = 2 . 5 

Beachte folgenden Unterschied: 

(2. Reihe von unten, rechts) 

3 . x = x + x + x aber: x³ = x . x . x 


Weiters trifft zu: 

0 . 3 = 0 

0 . 7 = 0 

0 . x = 0 

Streng genommen muss man zwischen Vorzeichen und 

Rechenzeichen unterscheiden. 

Viele Taschenrechner verwenden für das 

Vorzeichen Minus Tasten wie 

Rechenzeichen Minus Tasten wie 

Steht zwischen einer Zahl und einem Buchstaben 

oder zwischen zwei Buchstaben kein Rechenzeichen geschrieben, 

so sind sie mit mal verbunden. 

1 . 2 = 2 

1 . 6 = 6 

1 . x = x 

und für das 

Steht vor dem ersten Glied kein Vorzeichen, so ist + gemeint. 

– 1 . 4 = – 4 

– 1 . 5 = – 5 

– 1 . x = – x 

Ist (mindestens) ein Faktor Null, so ist das 

Ergebnis der Multiplikation (das Produkt) Null. 

Die Vorzahl 1 braucht nicht geschrieben zu werden, 

weil die Multiplikation mit 1 nichts verändert. 




Angenommen, jemand benötigt 3 m Stoff. Dann wird man mit einem Maßband 

drei Mal einen Meter Stoff abmessen. 

3 . 1 m = 3 . 1 . m = 3 . m = 3 m 

Link: https://www.youtube.com/watch?v=w4dxS7hX7AA 

2.2. Potenzen 

2.2.1. Einführung 

Was ist eine Potenz? 

Die Potenz besteht aus der Basis und der Hochzahl 

allgemein: 

Potenz 

Da die Multiplikation mit 1 nichts verändert und wir uns möglichst kurz ausdrücken 

wollen, sagen wir statt 3 mal ein Meter: 3 Meter. 

Diese Sprechweise hat sich derart eingebürgert, dass im Gegensatz zu 3 m ( ein Stoffteil von 

3 Meter Länge ) 3-mal ein Meter wohl heißt, drei Stoffteile von jeweils einem Meter 

abzumessen. 

x³ 


x 3 = x . x . x 

3–mal 

x n = x . x . x . … . x 

Hochzahl ( Exponent ) 

Basis (Grundzahl) 

n – mal 

Sofern die Hochzahl ( der Exponent ) eine natürliche Zahl ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ) ist, 

gibt die Hochzahl an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 




Beispiele: 

2 3 = 2 . 2 . 2 = 8 

x 5 x.x.x.x.x 

Für die Basen 0 und 1 gilt: 

0 2 0 . 0 0 

1 3 1.1. 1 = 1 

0 6 0.0.0 .0. 0.0 0 

1 4 1.1.1.1 1 

allgemein gilt: 

0 n = 0 

1 n = 1 

Bemerkung: Natürlich gilt dieser Sachverhalt nur für Potenzen mit der Basis 0 oder 1 . 

Betrachten wir im Folgenden Potenzen mit negativer Basis: 

Beispiele: 

(–2) 2 = (–2) . (–2) = + 4 = + 2 2 

(–2) 4 = (–2) . (–2) . (–2) . (–2) = + 16 = + 2 4 

(–2) 3 = (–2) . (–2) . (–2) = – 8 = – 2 3 

(–2) 5 = (–2) . (–2) . (–2) . (–2) . (–2) = – 32 = – 2 5 

An diesen Beispielen lässt sich erkennen, dass 


Potenzen mit negativer Basis und gerader Hochzahl aufgelöst ein positives Ergebnis liefern, 

während bei ungerader Hochzahl dieses Ergebnis negativ ausfällt. 




Beispiele: 

( – x ) gerade Zahl = + x gerade Zahl = + 1 . x 

( – x ) UNgerade Zahl = – x UNgerade Zahl = – 1 . x 

gerade Zahl 

! In beiden Fällen, gleich ob die Hochzahl gerade oder ungerade, 

erhält die Potenz mit negativer Basis beim Auflösen der 

Klammer eine positive Basis! 

UNgerade Zahl 

Ist die Hochzahl gerade, so wird das Vorzeichen ( der Vorzahl 1 ) positiv, 

ist die Hochzahl UNgerade, wird das Vorzeichen ( der Vorzahl 1 ) negativ. 

2 

( x) 1. 

x x x 

3 

( x ) 1.x 

x 

2 

3 

x 3 = x 3 ≠ −x 3 

2 

3 

2 

. . . Da die Basis dieser Potenz positiv ist. 


Link: https://www.youtube.com/watch?v=JrShMyJOch4 




2.2.2. Rechenregeln für Potenzen 

Einführungsbeispiel für Potenzregel P1: 

3 2 

5 32 

Beispiel: x . x x.x.x . x.x x x 

Daraus lässt sich folgende Regel verallgemeinern: 

. . . Regel P1 gilt für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis 

Beispiele: 

x 

x 

x 

4 

5 

4 

2 

. x 

3 

x 

. x x 

. x . x 

2 

3 

a . a 

2 

4 

5 

a 

4 3 

. x 

 

4 

x 

1 

x 

x 

4 

. x 

2 

7 

6 

1 

. x 

2x 

. 3 x 2.x . 3. x 2.3.x .x 6.x 

3 

4 

 

x 

8 

2 

= 6 = x 6 

4 


3 

2 

( x) . ( x) 

( x) 

1. 

x x 

5 

5 

5 

6 

Beachte x = x 1 ≠ x O 

Da die Multiplikation vertauschbar ist 

( z.B. ist 2 . 3 = 3 . 2 = 6 ), 

können wir die Faktoren beliebig reihen. 

4 3 

x) . x 

4 3 7 

1. 

x . x 1.x 

7 

x 

Beim diesem Beispiel müssen wir zuerst die 

Potenzen auf gleiche Basis bringen, damit 

wir Regel P 1 anwenden können. 

( 

( – x ) 4 = + 1 . x 4 




Lieber Fredo, 


Beispiel: 

x 

5 

: x 

x 2 . y 3 = x . x . y . y . y 

während 

( x . y ) 5 = ( x . y ) . ( x . y ) . ( x . y ) . ( x . y ) . ( x . y ) = 

= x . y . x . y . x . y . x . y . x . y = 

= x . x . x . x . x . y . y . y . y . y = x 5 . y 5 ist! 

= x 5 = y 5 

Man darf also nur Potenzen mit gleichen Basen multiplizieren. 

3 

 

x 

x 

Ergibt nicht 

x 2 . y 3 = ( x . y ) 5 ? 

5 

3 

 

1 1 1 

x .x.x.x.x 

x.x.x 

 

1 1 1 

Dieses Beispiel weist auf folgende Regel hin: 

x .x 

1 

x .x x 

2 

x 


5 3 

Regel P 2 gibt an, wie zwei Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden. 

Beachte, dass die Hochzahl der Potenz des Nenners 

von der Hochzahl der Potenz des Zählers zu subtrahieren ist. 

Beispiel: 

x 6 

x 2 = x 6−2 = x 4 




Weitere Beispiele: 

a 

a 

x 

4 

 

a 

a 

4 

1 

a 

3 

3 

x 3 2 1 

x x 

2 

a 2 

a 3 = a −1 

6 a 4 b 6 

3 a 2 b 3 

( x ) 

x 

3 

7 

 

= 

x 

2 

62 

. a 4 . b 6 

3 . a 2 . b 3 

1 

x 

1. 

x 


x 

3 

7 

 

= 

x 

x 

x 3 3 0 

Beispiel: 1 x x 

3 

x 

P 2 

3 

7 

3 

2 a 2 b 3 

1 

x 

4 

= 2 a 2 b 3 

Bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die 

Potenzen auf gleiche Basis bringen, damit 

wir Regel P 2 anwenden können. 

Wollen wir nicht mit den Gesetzen der Division in Widerspruch kommen, lässt dieses Beispiel nur folgende Regel 

als sinnvoll erscheinen: 


Jeder Potenz (ausgenommen mit der Basis Null) mit der Hochzahl 0 wird der Wert 1 zugeordnet. 




Beispiele: a 0 1 

8 0 1 

1 0 1 

( x ) 

0 

1 

( – 3 x 2 y ) 0 = 1 


Beispiel: 

0 

1 x 0 3 3 

x 

x 

3 3 

x 

x 

P 3 P 2 

Mit diesem Beispiel kann nachfolgende Regel formuliert werden: 

Man spricht hier vom Kehrwert einer Potenz, wobei eigentlich der Kehrwert des Bruches gemeint ist. 

Beispiel: 


Bringe folgende Potenzen aus dem Nenner: 

1 

= x 4 x−4 

4 

= 4 

3 x 2 3 

x −2 

4 

3 x 2 

≠ 4 . 3 . x −2 

Nur für die Potenz ( hier x 2 ) gibt es die Kehrwertregel. 

Nicht für nachrangige Faktoren. 

Außerdem ist doch 

4 

3 = 4 ∶ 3 ≠ 4 . 3 




Beispiel: Bringe folgende Potenz in den Nenner: x −1 = 1 

= 1 

x 1 x 


Beispiel: 

Leiten wir daraus ab: 

3 

2 

3 

( x ) x . x x x 

Diese Regel gibt an, wie eine Potenz potenziert (hochgerechnet) wird. 

Beispiele: 

2 

2 

2.2 

( x ) x x 

3 

4 

( a ) a 

12 

P 1 

4 

3 

6 

3.2 


(−x 3 ) 2 = +1 . x 6 = +x 6 = x 6 

(−x 2 ) 3 = −1 . x 6 = −x 6 

( z 

5 

) 

0 

z 

0 

1 

Beachte: 

während 






Mit 

– Gib für das Volumen des dargestellten Körpers 

eine möglichst einfache Formel an, in der nur 

die bezeichnete Variable vorkommt. 

Die L-förmige Fläche können wir in zwei Rechtecke aufteilen: 

A 1 = 2x ⋅ x = 2 x 2 

A 2 = 2x ⋅ x = 2 x 2 

A gesamt = A 1 + A 2 = 2 x 2 + 2 x 2 = 4 x 2 

Für das Volumen des abgebildeten Körpers gilt: 

V = A gesamt . h = 4 x 2 . 4 x = 16 x 3 


Näheres mit GeoGebra : 

Bedeutet: Abschnitt II, Kapitel 2.5., Seite 85 und folgende 

Bemerkung: 

Eine Lösung wie V = 4 x 2 . 4 x würde nicht gelten, weil eine möglichst einfache Formel verlangt ist. 




Die Umkehrung des Addierens ist das Subtrahieren, 

die Umkehrung des Subtrahierens ist das Addieren. 

Die Umkehrung des Multiplizierens ist das Dividieren, 

die Umkehrung des Dividierens ist das Multiplizieren. 

Die Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen, 

die Umkehrung des Wurzelziehens ist das Potenzieren. 

Aus den obigen Überlegungen lässt sich (zumindest formal, wenn auch nicht anschaulich) die nächste Regel herleiten. 


Beispiel: (x 3 ) 2 = x 3 ⋅ 2 2 

→ √x 3 

Daraus folgern wir: 

= x 3 

2 

P6 ist eine Regel für das Wurzelziehen ( Radizieren ) aus einer Potenz 

radix (lateinisch): die Wurzel 

Radieschen: kleine Wurzel 

Deshalb wählte man für das Wurzelzeichen den stilisierten Buchstaben r: r → r → √ 

3 

Beispiel: Verwandle die Wurzel in eine Potenz: √x 4 = x 4 

3 


Beispiel: Verwandle die Potenz in eine Wurzel: x 1 2 

2 = √x 1 = √x 

Gegeben ist der Ausdruck T 1,32 . 

Beispiel Zentralmatura vom 16.1.2018 

– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der diesem Ausdruck 

äquivalent (gleichwertig) ist. [ 1 aus 5 ] 




Mögliche Gedankengänge: 

T 1 32 

132 

√T 

100 

√T 132 

 

 

 

1 

1,32 

T 

1 

 

T 32 

Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass von den 5 gebotenen Alternativen genau eine richtig ist. 


Beispiel: 

Verallgemeinert gilt: 

Beispiele: 

3 

( x. y ) (x. y ).(x. y).(x. y ) x. y.x. y.x. y x.x.x. y. y.y x 

2 

2 

( 2x) (2.x) 2 . x 4. x 4 x 

2 

2 

2 

2 

x 


2 

3 

3 

( 3a ) 3 . (a ) 27 a 

2 

2 

( 2x y ) 4 x 

2 

2 

y 

3 

4 

Der Ausdruck T 1,32 = T 132 

100 

Denn 

Nach der Regel P 6 ist T 132 

6 

3 

y 

3 

100 

100 = √T 132 

Demnach ist die 3. der Alternativen anzukreuzen. 

3 

. y 

3 

2 0 

( 2x ) 1 

2 

2 

9x 

3 .x (3x) 

2 

2 





Beispiel: 

 

 

 

x 

y 

3 

 

 

 

Davon abgeleitet ergibt sich: 

 

x x x 

. . 

y y y 

 

x .x.x 

y . y . y 

 

x 

y 

3 

3 

Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler mit den Zählern 

und die Nenner mit den Nennern multipliziert. 

Die Regeln P 7 und P 8 beschreiben das Auflösen einer Potenz, in deren Basis Faktoren stehen. 

Beispiele: 

Beispiel: 

2 

x 

 

3 

3 

2 

5 

2 

x 

2 

3 

9 

25 

 

2 

x 

9 

≠ 3 

5 

(− 4 a2 b 

3 x y 3 )2 = +1 ⋅ 42 (a 2 ) 2 b 2 

3 2 x 2 (y 3 ) 2 

Manchmal wird das Kürzen eines Bruches, 

also das Dividieren des Zählers und Nenners durch den gleichen 

Ausdruck, mit dem Wurzelziehen verwechselt, denn nur 

9 

25 

3 

 

5 

= 16 a4 b 2 

9 x 2 y 6 


Man darf nur faktorenweise ( . : ) getrennt hochrechnen oder Wurzel ziehen, 

nie gliedweise ( + – ) ! 

2 2 2 

Beispiele: a.b 

a . b 

a.b 

 

a 

. 

b 

 

 

 

a 

b 

n 

 

 

 

 

a 

b 

n 

n 

a 

b 

a 

b 




2 2 

2 

ab 

a 2ab b 

= a 2 + b 2 

a 

b 

 

a 

 

b 

2 2 

2 

ab 

a 2ab b 

= a 2 – b 2 

a 

b 

P1 bis P8 liefern Regeln für die Verbindung von Potenzen mit Hoch- und Punktrechnung. 

Gilt noch die Frage zu klären, ob bzw. unter welchen Bedingungen Potenzen addiert oder subtrahiert 

werden können. 

Beispiel: 7 a + 4 b – 3 a – 2 b = 

Stellen wir uns für a Äpfel und für b Birnen vor, so wird es nur sinnvoll sein, Äpfel mit Äpfeln und Birnen 

mit Birnen zu vergleichen. 

7 a + 4 b – 3 a – 2 b = 4 a + 2 b 

Beispiel: 6 a 2 + 5a – 2 a 2 – 3 a = 

Folgender Vergleich hilft: 


Ein Obsthändler bietet zwei Apfelsorten an. Die Sorte a 2 und die Sorte a . 

Zu Beginn des Tages besitzt er 6 (Kisten) der Sorte a 2 und 5 (Kisten) der Sorte a . 

Im Laufe des Tages verkauft der Händler 2 (Kisten) der Sorte a 2 und 3 (Kisten) der Sorte a . 

Um entsprechende Nachbestellungen ordern zu können, muss wohl der Umsatz beider Apfelsorten 

getrennt berücksichtigt werden. Das führt uns auf folgende Rechnung: 

 

a 

 

b 

6 a 2 + 5 a –2 a 2 – 3 a = 4 a 2 + 2 a 




Diese beiden Beispiele belegen: 

Man darf nur Glieder ( + – ) mit gleichen Potenzen 

addieren oder subtrahieren. 

Gleiche Potenzen besitzen die gleiche Basis UND die gleiche Hochzahl. 

Beispiel: 3 a 2 b + 3 a b 2 + 3 a b – 3 b a 2 – 3 a b 2 + a b = 

Ein weiterer Aspekt: 

Man sieht relativ leicht, dass das zweite und vorletzte Glied, sowie das dritte und letzte Glied 

jeweils gleiche Potenzen besitzen. 

Doch auch das erste und vierte Glied besitzen die gleichen Potenzen a 2 und b . 

Damit man nicht Glieder mit gleichen Potenzen übersieht, ist es vorteilhaft, 

die Potenzen innerhalb eines Gliedes bezüglich der Basis alphabetisch zu ordnen. 

= 3 a 2 b + 3 a b 2 + 3 a b – 3 b a 2 – 3 a b 2 + a b = 

= 3 a 2 b + 3 a b 2 + 3 a b – 3 a 2 b – 3 a b 2 + a b = 4 a b 

+ ( – 2 x + 3 y ) = – 2 x + 3 y 

Steht vor einer Klammer ein + , so behalten die Glieder in 

der Klammer beim Auflösen ihr Vorzeichen. 

– ( – 2 x + 3 y ) = + 2 x – 3 y 

Steht vor einer Klammer ein – , sind die Vorzeichen der 


Die Begründung für diese Rechengänge erfolgt in 

Glieder in der Klammer beim Auflösen zu ändern. 

Beispiel: 3 x² – ( 2 x² – 5 ) = 3 x² – 2 x² + 5 = x² + 5 




Beispiel: – x² – [ – x² – (– x²–1) ] = 

= – x² – [ – x² + x² + 1 ] = 

= – x² – [ + 1] = 

= – x² – 1 

Link: https://www.youtube.com/watch?v=rMCpcB5wC_c 


Der Flächeninhalt A eines gleichseitigen Dreiecks lässt sich mit folgender Formel bestimmen: 

a … Seitenlänge des Dreiecks 

Behauptung: 

A = a2 ⋅ √ 3 

4 

„ Wird die Seitenlänge verdoppelt, so verdoppelt sich auch der Flächeninhalt. “ 

– Argumentieren Sie, warum diese Behauptung falsch ist. 


argumentieren bedeutet in aller Regel zweierlei: 

1) Einen Rechengang (allgemein) oder 

eine Rechnung (mit Zahlen) durchführen 

und 

2) Eine verbale Begründung für deine Entscheidung anführen: 

„ Die Behauptung ist richtig, weil . . .“ 

oder: „ Die Behauptung ist falsch, weil . . .“ 




Wenn keine Zahlen gegeben sind, ist der Rechengang allgemein durchzuführen. 

1) Ursprünglicher Flächeninhalt: A alt = a2 ⋅√ 3 

Neuer Flächeninhalt: A neu = (2⋅a)2 ⋅√ 3 

4 

4 

= 22 ⋅a 2 ⋅√ 3 

4 

= 4⋅a2 ⋅√ 3 

4 

= 4 ⋅ a2 ⋅√ 3 

2) Die Behauptung ist falsch, weil sich bei einer Verdoppelung der Seitenlänge der Flächeninhalt 

vervierfacht. 

2.2.3. Multiplikation von Monom und Klammer 

Monom: ein eingliedriger Ausdruck 

Beispiel: 

( 2 x² – 3 ) . ( – 4 x ) = – 8 x³ + 12 x 

Monom 

1) Vorzeichen: + . – = – 

2) Vorzahlen: 2 . 4 = 8 

3) Potenzen: x² . x = x³ 


Jedes Glied der Klammer wird mit dem Monom multipliziert. 

4 

= 4 ⋅ A alt 

Wir könnten obiges Beispiel auch so anschreiben, da ja die Multiplikation vertauschbar ist: 

– 4 x . ( 2 x² – 3 ) = – 8 x³ + 12 x 




Welche der Schreibweisen wirkt einfacher? 

Noch ein Beispiel: 

4 x . ( 2 x + 1 ) – 2 x . ( 2 x – 1 ) = 

= 8 x² + 4 x – 4 x² + 2 x = 

= 4 x² + 6 x 

Warum bleiben die Vorzeichen unverändert, wenn vor einer Klammer ein + steht und warum sind 

bei einem – vor der Klammer die Vorzeichen zu ändern? 

+ ( – 2 x + 3 y ) = + 1 . ( – 2 x + 3 y ) = – 2 x + 3 y 

– ( – 2 x + 3 y ) = – 1 . ( – 2 x + 3 y ) = + 2 x – 3 y 

2.2.4. Multiplikation von Klammern 

Das + vor der Klammer bedeutet eigentlich die 

Vorzahl + 1 , mit der die Klammer multipliziert 


wird. 

Das – vor der Klammer bedeutet eigentlich die 

Vorzahl – 1 , mit der die Klammer multipliziert 

wird. 

Beispiel: ( 3 x – 2 y ) . ( 2 x + 5 y ) = 6 x² + 15 x y – 4 x y – 10 y² = 6 x² + 11 x y – 10 y² 

Jedes Glied der einen Klammer wird 

mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert. 




Beispiel: ( 2 x – 1 ) . ( 2 x + 1 ) – x ( 4 x – 1 ) = 

= 4 x 2 + 2 x – 2 x – 1 – 4 x 2 + x = 

= – 1 + x = 

= x – 1 

2.2.5. Binomische Formeln 

(A + B) 2 = A 2 + 2 . A . B + B 2 ≠ A 2 + B 2 

(A − B) 2 = A 2 − 2 . A . B + B 2 ≠ A 2 − B 2 

(A − B) . (A + B) = A 2 − B 2 

Bemerkung: Die Binomischen Formeln gibt es auch für höhere Potenzen, also für (a ± b) 3 , (a ± b) 4 u.s.w. 

Beispiel: ( 2 x – 3 y ) 2 = 

( A – B ) 2 = A 2 – 2 . A . B + B 2 

( 2 x – 3 y ) 2 = ( 2x ) 2 – 2 . 2 x . 3 y + ( 3y) 2 = 4 x 2 – 12 x y + 9 y 2 


Beispiel: ( 2 x – 1 ) 2 – ( 2 x – 1 ) . ( 2 x + 1 ) = 

= 4 x 2 – 4 x + 1 – ( 4 x 2 – 1 ) = 

= 4 x 2 – 4 x + 1 – 4 x 2 + 1 = 

= – 4 x + 2 

Bemerkung: Ist mit GeoGebra leicht zu bewerkstelligen! 




Bemerkung: 

Weil vor dem Minus noch die Punktrechnung der 

Klammern ( 2 x – 1 ) . ( 2 x + 1) zu berücksichtigen ist. 

Das Minus vor diesen Klammern bedeutet aber einen 

Vorzeichenwechsel, der gerne vergessen wird, 

multipliziert man und löst gleichzeitig die Klammern auf! 

Natürlich kann man statt ( 2 x – 1 ) 2 auch ( 2 x – 1 ) . ( 2 x – 1 ) rechnen. 

2.2.6. Fließkomma- bzw. Gleitkommadarstellung 

Die Gleitkomma- bzw. Fließkommadarstellung von Zahlen findet vornehmlich in Naturwissenschaft und Technik 

Verwendung um sehr große bzw. sehr kleine Zahlen (sehr nahe bei null) übersichtlich darzustellen. 

Die uns gewohnte Kommadarstellung nennt man Fixkomma- oder festkomma-Darstellung. 

Normierte Fließkommadarstellung: a . 10 k mit 1 ≤ a < 10 und a ∈ R und k ∈ Z 

Es bedeuten: 

Warum haben wir in der zweiten 

Zeile das Minus und die Klammer 

nochmals gesetzt? 

1 ≤ a < 10 , a ∈ R . . . a ist eine reelle Zahl zwischen einschließlich 1 und ausschließlich 10 

k ∈ Z . . . k ist eine ganze Zahl: . . . , − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . 

Beispiel einer Zahl in normierter Fließkommadarstellung: 

E 


Die Zahl ( 4,37 ) vor der Zehnerpotenz ( hier 10 3 ) besitzt als 

höchsten Stellenwert immer Einer ( E ) ( hier die Ziffer 4 ) . 

Wie groß ist diese Zahl eigentlich? 

4,37 . 10 3 = 4,37 . 1000 = 4 370 

10 3 = 10 . 10 . 10 = 1 000 




Beispiel: 

6,23 . 10 – 4 = 6,23 . 0,0001 = 0,000623 

10 – 4 1 1 

= 0,0001 siehe Regel P4 

4 

10 10000 

Aus den beiden obigen Beispielen lässt sich erkennen: 

1,234 . 10 n 

1,234 . 10 – n 

Ist die Hochzahl der Zehnerpotenz positiv, so wird das Komma um n Stellen 

nach rechts verschoben, soll die Zahl in die für uns übliche Fixkomma-Darstellung 

verwandelt werden. 

Ist die Hochzahl der Zehnerpotenz negativ, so wird das Komma um n Stellen 

nach links verschoben, soll die Zahl in die für uns übliche Fixkomma-Darstellung 

verwandelt werden. 

Umgekehrt lassen sich Zahlen in Fixkomma-Darstellung auch in die normierte Gleitkomma-Schreibweise 

verwandeln: 

Beispiel: 

1 023 648 = 1,023 648 . 1 000 000 = 1,023 648 . 10 6 ≈ 1,02 . 10 6 

Um von 1 023 648 auf 1,023 648 zu kommen, müssen wir 1 023 648 durch eine Million (= 1 000 000 = 10 6 ) 

dividieren. 

Damit aber der Wert von 1 023 648 erhalten bleibt, müssen wir die Zahl 1, 023 648 zum Ausgleich mit 

1 000 000 = 10 6 multiplizieren. 

Bemerkung: Auf wie viel Stellen die Zahl vor der 10-er Potenz gerundet wird, hängt vom jeweiligen Sachverhalt ab. 

Beispiel: 


0,000 000 002 = 2 . 

1 

1 000 000 000 

1 

= 2 . 

10 = 2 . 10 – 9 

9 

Um von 0,000 000 002 auf 2 zu kommen, müssen wir 0,000 000 002 mit einer Milliarde (= 1 000 000 000 = 10 9 ) 

multiplizieren. 

Damit aber der Wert von 0,000 000 002 erhalten bleibt, müssen wir die Zahl 2 zum Ausgleich durch 

1 000 000 000 = 10 9 dividieren oder eben mit 10 – 9 multiplizieren. 




Auch dafür lässt sich eine Regel ableiten: 

1234 . . . 678,9 

= 1,234 . 10 n 

Komma n Stellen nach links 

0,000 . . . 005678 

Komma n Stellen nach rechts 

Beispiel der Zentralmatura vom 16.1.2018 

= 5,568 . 10 – n Ich glaube, lieber Fredo, dich von der 

Sinnhaftigkeit der Fließkommadarstellung 

überzeugen zu können: 

Die „elektromagnetische Wechselwirkung“ ist 10 000-Milliarden-mal so groß wie die „schwache Wechselwirkung“. 

– Ergänzen Sie in der nachstehenden Tabelle die fehlende Hochzahl für die „schwache Wechselwirkung“. 


Wechselwirkung 

Stärke 

elektromagnetische Wechselwirkung 1 

schwache Wechselwirkung 

Das ist ja eine sch . . . öne Darstellungsart! 

Mathematiker scheinen keine wirklichen Sorgen zu 

haben! 

Erst bekommt man in der Schule die 

Dezimalschreibweise eingetrichtert und jetzt wird 

sie einem madig gemacht! 

10 

Gravitation 

10 −39 

– Ermitteln Sie, um welchen Faktor die „schwache Wechselwirkung“ stärker ist als die Gravitation. 





elektromagnetische Wechselwirkung: EW 

schwache Wechselwirkung: SW 

EW = 10 000 . 1 000 000 000 SW = 10 000 000 000 000 . SW = 1 . 10 13 . SW 

EW = 1 . 10 13 . SW | : 1 . 10 13 = . 1 . 10 –13 

1 . 10 –13 . EW = SW 10 –13 . EW = SW 

Also muss in das Kästchen 10 –13 eingetragen werden. 

10 –13 = 10 –39 . 10 26 

Deshalb ist die SW 10 26 - mal stärker als die Gravitation. 

Folgende Tabelle gibt nochmals eine Übersicht über Größenordnungen und Bezeichnungen 

Fixkomma-Darstellung Fließkomma-Darstellung Bezeichnung Abkürzung 

milliardstel 0,000 000 001 10 −9 nano n 

millionstel 0,000 001 10 −6 micro μ 

tausendstel 0,001 10 −3 milli m 

hundertstel 0,01 10 −2 centi c 

zehntel 0,1 10 −1 dezi d 

eins 1 10 0 

zehn 10 10 1 deka da 

hundert 100 10 2 hekto h 

tausend 1 000 10 3 kilo k 

Million 1 000 000 10 6 Mega M 

Milliarde 1 000 000 000 10 9 Giga G 

Billion 1 000 000 000 000 10 12 Tera T 


Auch unser Taschenrechner beherrscht die normierte Fließkommadarstellung: 

unterste Reihe, Mitte 

Beispiel: 5 . 10 7 : Als Ergebnis erscheint 50000000 

Solange Zahlen in der üblichen Form am Display Platz finden, werden sie in der uns gewohnten, 

sog. Fixkommadarstellung, wiedergegeben. 




Beispiel: 

Die Zahl 1 000 000 000 000 000 000 ist für das Display zu groß und wird am TR als 1 x 10 18 in 

Gleitkommadarstellung angegeben. 

Beispiel: 

Verwandeln der Zahl 123 000 in Gleitkommadarstellung mit Casio: 

Wir geben die Zahl ein und betätigen . Danach drücken wir die Taste (5. Reihe von oben, 

2. Von links). 

Damit erscheint das Ergebnis in der Form 123 x I0 3 . 

Durch weiteres Drücken der 

durch drücken von 

-Taste wird die Zahl vor der 10-er Potenz 1 000 mal größer, 

-Taste wird die Zahl vor der 10-er Potenz 1 000 mal kleiner. 

Die Hochzahl der 10-er Potenz wird jeweils entsprechend verändert. 

Leider verwandelt der Taschenrechner die Zahl nicht automatisch in die normierte Gleit- bzw. 

Fixkommadarstellung. 

2.3. Zerlegen von Termen 


Beachte, dass eingliedrige und mehrgliedrige Terme gänzlich anders zu zerlegen sind. 

Beispiele: 

eingliedrige Terme 

mehrgliedrige Terme 

4 x x² – 2x 

– 6 x 2 y 4 x² + 12 x y + 9 y² 




2.3.1. eingliedrige Terme 

Beispiel: 12 x² y 

Die Zahl wird in Primfaktoren zerlegt, die Potenzen in ihrer ausführlichen Schreibweise angegeben. 

Primfaktoren sind mit mal verbundene Primzahlen. Primzahlen siehe 

Primfaktorenzerlegung von 12: 12 2 

6 2 

3 3 

Also lautet 12 in Primfaktoren zerlegt: 12 = 2 . 2 . 3 

Zerlegung der Potenzen: x² = x . x und y 1 = y 

Somit lautet die Zerlegung des eingliedrigen Terms 12 x² y = 2 . 2 . 3 . x . x . y 

2.3.2. mehrgliedrige Terme 

Für mehrgliedrige Terme steht uns das 

zur Verfügung. 

1 

Herausheben gemeinsamer Faktoren 

Wir dividieren durch die jeweils kleinstmögliche 

Primzahl, bis wir als Ergebnis 1 erhalten. 


Faktoren, die in jedem Glied vorkommen, kann man herausheben. 

Beispiel: 6 x² y – 9 x² y² = 2 . 3 . x . x . y – 3 . 3 . x . x . y . y = 3 . x . x . y . ( 2 – 3 . y ) 

Diese Schreibweise ist nur eine Hilfs-Darstellung, 

um die gemeinsamen Faktoren besser zu erkennen. 

# Es handelt sich aber NICHT um die Zerlegung des mehrgliedrigen Terms! 


+ Wird 



In dem du ( im Kopf ) die Probe machst: 

Beispiel: 3 x – 3 = 3 . ( x – 1 ) 

weil 3 x – 3 = 3 x – 3.1 = 3 .( x – 1) 

In der Klammer stehen immer so viele Glieder wie es ursprünglich waren. 

3 x 2 y . ( 2 – 3 y ) = 6 x² y – 9 x² y² 

Bemerkung: Es existieren noch weitere Methoden der Zerlegung mehrgliedriger Terme, 

auf die wir verzichten. 

Herausheben mit 

Wie weiß ich, ob ich richtig 

herausgehoben habe? 

ein Glied zur Gänze herausgehoben, muss es in der 

Klammer durch 1 ersetzt werden. Ansonsten erhalten wir 

beim Ausmultiplizieren nicht mehr den ursprünglichen Ausdruck. 

Man gibt im CAS –Fenster den zu zerlegenden Term 

ein und klickt anschließend mit der linken Maustaste 

und klickt 


Bemerkung: Das Programm hebt – 3 x 2 y heraus, damit in der Klammer das erste Glied positiv erscheint. 

Warum – 3 y vor der Klammer und x 2 danach steht, entzieht sich meiner Kenntnis. 

an. 

Ausführlicheres zu GeoGebra siehe 




2.4. Kleines Einmaleins des Bruchrechnens 

2.4.1. Addieren und Subtrahieren 

Beispiel: 

Beispiele: 

3 

+ 2 

= 

2 8 

Man darf Brüche nur addieren bzw. subtrahieren, wenn sie gleiche Nenner besitzen. 

3 

2 + 2 

8 = Ef 

N 1 : 2 2 . 2 

N 2 : 8 = 2 . 2 . 2 2 

N: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 

3 

2 + 2 

8 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 

N 

= 12 + 2 

N 

= 14 

N 

7 

= 2 ⋅ 7 

2 ⋅ 2 ⋅ 2 

1 

Das Ergebnis des Zählers wird entsprechend zerlegt und man kürzt man den Bruch, 

wenn man darf und wenn man kann. 

Man darf einen Bruch nur dann kürzen, wenn im Zähler und Nenner alles mit Punktrechnung 

verbunden ist. Vorhandene Strichrechnung muss in Klammern stehen. 

Man kann einen Bruch kürzen, wenn sich Zahlen bzw. Ausdrücke im Zähler und Nenner durch 

die gleiche Zahl bzw. den gleichen Ausdruck dividieren lassen. 


Beispiel 

DARF 

ich kürzen? 

KANN 

ich kürzen? 

x + 1 

x 

Die Nenner werden entsprechend 

(ein- oder mehrgliedrig) zerlegt. 

Die Erweiterungsfaktoren Ef sind jene 

Faktoren, die dem einzelnen Nenner 

zum gemeinsamen Nenner N fehlen. 

2 ⋅ (x + 1) 

x 

= 

7 

4 

x ⋅ (x + 1) 

x 

1 

x⋅(x+1) 

x 

1 

= x + 1 




Beispiel: 

x 

x 2 − x − x + 1 

x 2 + x 

= 

x 2 + x − x 2 + 1 

N 

Ef 

N 1 : x 2 − x = x ⋅ (x − 1) (x + 1) 

N 2 : x 2 + x = x ⋅ (x + 1) (x − 1) 

= 

N: x ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1) 

2.4.2. Multiplizieren 

Beispiel: 

x ⋅ (x + 1) − (x + 1) ⋅ (x − 1) 

N 

= x + 1 

N = (x + 1) 

x ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1) = 1 

x ⋅ (x − 1) 

1 

= 

x 2 + x − (x 2 + x − x − 1) 

3 

⋅ 4 

= 8 9 

Brüche werden multipliziert, 

indem man 


N 

= 

x 2 + x − (x 2 − 1) 

die Zähler mit den Zählern und die Nenner mit den Nennern multipliziert. 

Beispiel: 

3 

⋅ 4 

1 1 

= 3 . 4 

8 9 8 . 9 

2 3 

1 

a 

n ⋅ 

= 1 

6 

Für den kleinsten gemeinsamen Nenner N wird jeder 

verschiedene Faktor genommen, der in einer der Zerlegungen 

vorkommt und zwar so oft er in einer Einzelzerlegung an 

häufigsten auftritt. 

b 

m 

= 

a ⋅ b 

n ⋅ m 

Wenn möglich, vor dem Ausmultiplizieren kürzen. 

N 

Beispiel: 

x 2 −x 

4 x 2 ⋅ 

2 x 

x−1 

= 

Zähler und Nenner werden vor dem Ausmultiplizieren zerlegt um die Bedingungen zu schaffen kürzen zu dürfen. 




Z 1: x 2 – x = x ( x – 1 ) 

Z 2: 2 x = 2 . x 

N 1: 4 x 2 = 2 . 2 . x . x N 2: x – 1 = ( x – 1 ) 

= 

x . (x−1) 

2 . 2 . x . x 

⋅ 

2 x 

= 

(x−1 ) 

2.4.3. Dividieren 

Beispiel: 

Beispiel: 

4 

∶ 2 

= 

9 3 

1 1 1 1 

x . (x−1 ) . 2 . 1 x 

= 1 

2 . 2 . x . x . (x−1) 2 

1 1 1 1 

Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man 

den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. 

= 4 

9 ∶ 2 

3 = 4 

9 . 3 

2 1 

2 = 4 . 3 

9 . 2 

3 1 

2 

x4 x 

2 

 

a 

n 

∶ 

= 2 

3 

b 

m 

= 

a 

n ⋅ m 

b 


x 

x 1 

2 x 

= x2 − x 

4 x 2 

∶ 

x − 1 

2 x 

= x2 − x 

4 x 2 

Beachte: 

⋅ 

2 x 

x − 1 

= 

= 

x . (x − 1) 

2 . 2 . x . x 

⋅ 

2 . x 

(x − 1) 

= 

1 1 1 1 

x . (x − 1) . 2 . x 

2 . 2 . x . x . (x − 1) = 1 

2 

1 1 1 1 




2.5. Einführung in 

Öffnet man das Programm, so erscheint die folgende Benutzeroberfläche in GeoGebra Classic 5 

In GeoGebra Classic 6 sieht die Benutzerebene wie folgt aus: 





Die Unterschiede in der Handhabung sind minimal. 

Bemerkung: Die Videos mit der Bezeichnung GeoGebra behandeln GeoGebra Classic 5, 

die Videos mit der Bezeichnung GeoGebraExam behandeln GeoGebra Classic 6. 

In das Eingabe-Fenster werden Berechnungen mit Zahlen und Funktionen 

eingegeben. 

Beispiel: 

4 . 5 + 6 = 

ZUERST die entsprechende Zeile im Eingabe -Fenster aktivieren, 

damit der Cursor blinkt. 

Dies geschieht durch klicken mit der linken Maustaste in der gewünschten Zeile. 

Wir geben in die Eingabe-Zeile die entsprechende Rechnung 

ohne = Zeichen ein. 

Das Mal-Zeichen: 

Tastatur Ziffernblock virtuelle Tastatur 

In der Eingabe-Zeile erscheint das Mal-zeichen als Punkt: 4 ⋅ 5 + 6 

OHNE ENTER, also 

unterhalb der Eingabe das Ergebnis. 

, zu betätigten, erscheint 


Betätigt man die ENTER – Taste, so werden Eingabe und Ergebnis mit 

einem Kleinbuchstaben versehen. 

GeoGebra benennt solcherlei in alphabetischer Reihenfolge. 

Beispiel: 

4 . 3 2 – 5 




Wir geben wiederum in die Eingabe-Zeile die Angabe ein. 

Das „Hoch“-Zeichen: 

Will man die Hochzahl verlassen, geschieht das mit der Taste 

Ansonsten schreibt das Programm 

Tastatur 

virtuelle Tastatur 

Im sogenannten CAS – Fenster werden Buchstaben und auch Gleichungen eingegeben und dort 

berechnet. 

Bemerkung: CAS bedeutet Computer Algebra System 

Öffnen des CAS-Fensters in Classic 5: 

Öffnen des CAS-Fensters in Classic 6: 

In der Kopfzeile klickt man Ansicht mit der linken 

Maustaste an und im sich öffnenden Fenster CAS. 

Ganz oben rechts findet man das Symbol . 

Dieses wird mit der linken Maustaste angeklickt. 


Damit öffnet sich das links abgebildete Fenster, in dem wir den Button 

Ansicht aktivieren (linke Maustaste). 




Beispiel: (a + b)² = 

Merken wir schon mal vor: 

In dem sich öffnenden Fenster aktivieren wir nun CAS 

(wenn nicht anders beschrieben, immer durch Klicken mit der linken 

Maustaste). 

Die entsprechende Zeile des CAS-Fensters ist erst dann 

aktivieret, wenn die Zeilenzahl blau hinterlegt erscheint 

und der rot gefärbte Cursor blinkt. 

Wir schreiben die Angabe in die entsprechende Zeile des CAS – Fensters. 

Nun betätigen wir NICHT ENTER, sondern klicken mit der linken 

Maustaste auf das Symbol 

Damit erscheint der ausgerechnete Ausdruck unterhalb der Eingabe. 





Eingaben korrigieren: 

Geht ganz einfach, wie bei Casio: 

Beispiel: 

2 x ⋅ (1 − 3x) 

Wurzeln: 

Beispiel: 

3 

√x 2 + 1 

Allgemeiner Befehl: 

Wir schreiben die Angabe ins CAS-Fenster. 

Bei der Kontrolle stellen wir den Fehler fest. 

Wir gehen mit dem Cursor | rechts der Zahl, die wir hier verändern 

wollen, und klicken auf der 

Tastatur 

virtuellen Tastatur 

Nun brauchen wir nur noch an der Stelle des Cursors die richtige Zahl 

einzugeben. 

Nun brauchen wir nur noch an der Stelle des Cursors die richtige Zahl 

einzugeben. 

NteWurzel(, ) 

Wurzelinhalt Grad der Wurzel 


ENTER 

Neben dem Ergebnis im Algebra-Fenster 

wird gleichzeitig der Graph dieser 

Funktion im Grafik-Fenster dargestellt, 

sofern der Kreis ausgefüllt ist. 




Link: https://www.youtube.com/watch?v=6qdCv1_hQIo 

Link: https://www.youtube.com/watch?v=MBS3R0dBdYo 

Bemerkung: Die entsprechenden Videos für GeoGebra 5 laufen unter gleicher Nummer. 

Also: MAY GeoGebraExam 02 behandelt das Gleiche wie MAY GeoGebra 02, 

Link: https://www.youtube.com/watch?v=Zh3FfaIbw1k 

MAY GeoGebraExam 03 behandelt das Gleiche wie MAY GeoGebra 03 

Link: https://www.youtube.com/watch?v=nFvNPPZje5w 



Paradoxon von Zeno 

Stellen wir uns einen Läufer vor, der im 

Punkt S startet und 

zum Ziel Z gelangen will. 





"Just a darn minute! Yesterday you said X equals two!" 

3. GLEICHUNGEN 

Um nicht, wie der bedauernswerte junge Mann im Bild 

nebenan, Gleichungen als unverständliches Mysterium 

zu erleben, wollen wir uns zunächst mit den grundsätzlichen 

Eigenschaften von Gleichungen vertraut machen. 

Beachte, dass bei Gleichungen, im Gegensatz zu allen bisherigen Berechnungen 

(sogenannten Umformungen), schon 

in der Angabe links und rechts vom 

Beispiele: 5 x = 20 

x 2 −4x 

2 

− 1 = 0 

etwas steht! 

Mit Gleichungen lässt sich nämlich zum Teil anders rechnen als mit Umformungen. 

3.1. Gleichungen mit einer Variablen 

Die Variable ist die Unbekannte. 


3.1.1. Gleichungen 1. Grades ( lineare Gleichungen ) 

= 

Man hat mir gesagt, 

dass jede Gleichung in dem Buch 

die Verkaufszahlen halbiert. 


(1942 -2018) 

In linearen Gleichungen kommt die Variable nur linear vor, d.h. sie hat die Hochzahl 1 und steht 

nicht im Nenner. 

Beispiele: 3 x 1 + 5 = 11 ; 2 ( 1 – 3 x 1 ) + 8 = 9 x 1 – 3 ( 2 + x 1 ) ; 

2 x 1 –1 

4 

= – 1 

2 


# 



3.1.1.1. Elementares 

Lineare Gleichungen werden soweit umgeformt, 

bis die Variable alleine auf nur einer Seite der Gleichung steht. 

Beim Umformen von Gleichungen denke an 

b 

Dornröschen & an eine Balkenwaage 

Die Variable stellt in diesem Bild die Prinzessin dar. 

Wie die Königstochter während der gesamten Märchenhandlung 

im Schloss verweilt, soll auch die Variable beim Umformen der 

Gleichung in der Regel auf ihrem Platz verweilen. 

Die Person, die die Gleichung löst, ist der Prinz, der von außen 

kommt. 

Verfügt der Prinz über keine märchenhaften Eigenschaften, so 

wird er die Hecke an ihrer dünnsten Stelle zu durchdringen 

versuchen. 

Umgesetzt auf die Gleichung: Zuerst bringt man jene Zahlen von 

der Variablen weg, die mit ihr am schwächsten verbunden sind, 

also die Strichrechnung. Erst danach widmet man sich der 

Punkt-, und, wenn vorhanden, anschließend der Hochrechnung. 


Also: 

Gehe beim Umformen der Gleichung in 

umgekehrter Reihenfolge 

zu den Vorrangregeln vor. 

Eine Balkenwaage besitzt zwei Waagschalen, 

eine Gleichung zwei Seiten. 

So wie beim Wägen immer Gleichgewicht herrschen soll, 

so ist beim Umformen der Gleichung Bedacht zu nehmen, 

dass auf beiden Seiten stets Balance herrscht. 

Also: 

Führe beim Umformen der Gleichung 

auf beiden Seiten 

die gleichen Rechenoperationen 

durch. 




Beispiel: 

x + 5 = 8 

Die Variable stellt in unserem Bild die Prinzessin dar. 

+ 5 = 8 

Wir bringen die Strichrechnung von der Prinzessin weg: 

das Glied + 5 , indem wir auf beiden Seiten – 5 subtrahieren. 

2 + 5 = 8 – 5 

2 +5 – 5 = 8 – 5 

= 3 

x = 3 

Stellt damit x = 3 automatisch die Lösung der Gleichung dar? 

NEIN ! Ob der errechnete Wert auch Lösung der Gleichung ist, zeigt erst die Probe: 

Wir setzen den errechneten Wert für die Variable in die Ausgangsgleichung ein: 

x + 5 = 8 

? 

3 + 5 = 8 

manfredambach 

8 = 8 w. A. ➝ x = 3 ist eine Lösung dieser Gleichung. 

w.A. steht für wahre ( im Sinne von richtige ) Aussage 

x + 5 8 

Die Gleichung ist fertig umgeformt, da die Variable alleine auf nur einer Seite steht. 


Nur wenn wir bei der Probe eine w.A. erhalten ( und uns nicht verrechnet haben ), 

ist der errechnete Wert Lösung der Gleichung. 

+ 5 

– 5 

– 5 

Erhielten wir bei der Probe beispielsweise 

– 4 = 8 also eine f.A. ( falsche Aussage ), so wäre der errechnete Wert 

keine Lösung der Gleichung. 




Und ich dachte immer, die 

Probe dient dazu, um 

Rechenfehler festzustellen! 

Dazu dient die Probe gar nicht! 

Wie oben erwähnt, führt man die Probe durch um 

klarzulegen, ob die erhaltene Zahl auch Lösung der 

Gleichung ist. 

Deine Aufgabe wird nicht primär das Lösen von Gleichungen sein, 

sondern die Lösung(en) der Gleichung geometrisch richtig zu deuten. 

Deshalb hier schon mal eine kleine Vorschau: 

Eine lineare Gleichung entstammt einer linearen Funktion , 

bei der y = 0 gesetzt wird. 

Eine lineare Funktion ergibt gezeichnet eine Gerade. 

Da wir y = 0 setzen, suchen wir demnach Punkte der 

Geraden mit y = 0. Das sind Punkte auf der x-Achse. 

Solche Punkte nennt man Nullpunkte. 

Z.B.: y = x – 5 

. . . lineare Funktion 

0 = x – 5 + 5 . . . lineare Gleichung in einer Variablen 

5 = x 

x = 5 

Was wir derzeit noch nicht bestimmen können, ist der konkrete Verlauf 

der Geraden. Wir wissen nur, dass sie durch den Nullpunkt ( 5 / 0 ) geht. 

Nun kann es sein, dass eine Gerade parallel 

zur x-Achse verläuft und damit keinen Nullpunkt 

(keinen Punkt auf der x- Achse) besitzt. 


In einem solchen Fall verfügt die entsprechende lineare 

Gleichung über keine Lösung. 

Beispiel: y = 3 


0 = 3 f. A. → keine Lösung 

Bemerkung: Hier erhält man schon beim Umformen der 

Gleichung eine f.A. und nicht erst bei der Probe. 




Oder die Gerade liegt auf der x –Achse. 

Dann verfügen Gerade und x-Achse über alle und damit 

unendlich viele gemeinsame Punkte. 

Die entsprechende lineare Gleichung besitzt dann 

unendlich viele Lösungen, nämlich jede reelle Zahl. 

Beispiel: y = 0 


0 = 0 w. A. für alle (reellen) Zahlen 

Bemerkung: Hier erhält man schon beim Umformen der Gleichung 

eine w.A. und nicht erst bei der Probe. 

Zusammenfassend lässt sich sagen: 

Eine lineare Funktion ( eine Gerade ) kann auf der x-Achse 

einen Punkt haben, keinen Punkt haben unendlich viele Punkte 

eine lineare Gleichung somit 

eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösung 


Und das soll ich mir alles 

merken!?! 

Keine Angst, lieber Fredo, das wird noch alles ausführlich in Abschnitt 

III FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE erörtert. 

Im Folgenden weitere Beispiele linearer Gleichungen mit Lösungsweg. 




Beispiel: 

x – 2 = 3 + 2 

x – 2 + 2 = 3 + 2 

x = 5 

Beispiel: 

Beispiel: 

→ N(5/0) 

2 . x = 6 : 2 

1 

3 

2 . x 

= 

6 

2 2 

1 1 

x = 3 → N(3/0) 

x 

3 

1 . 3 

x . 3 = – 1 . 3 

3 

Wir bringen von der Variablen x die Zahl – 2 weg, indem wir auf 

beiden Seiten + 2 addieren. 

Die Zahl 2 ist mit x mit mal verbunden, also dividieren wir beide Seiten 

der Gleichung durch 2. 


x 3 

. 1. 3 

3 1 

1 

x.3 

3 

1 

 

3 

manfredambach 

+ 2 

x – 2 3 

: 2 

2 x 6 

Die Zahl 3 ist mit x mit dividiert verbunden, also multiplizieren wir beide 

Seiten der Gleichung mit 3. 

x 

3 

. 3 

– 1 

+ 2 

: 2 

. 3 

x = – 3 → N(−3/0) 




Beispiel: 

Beispiel: 

2 x + 3 = 9 

2 . x + 3 = 9 – 3 

2 . x = 6 : 2 

x = 3 → N(3/0) 

4 – x = 6 

+ 4 – 1. x = 6 – 4 

–1. x = 2 : (–1) 

1 

1.x 

 

1 

x = – 2 

→ N(−2/0) 

 

2 

1 

oder 

Beim Umformen einer Gleichung gehen wir in entgegengesetzter 

Reihenfolge zu den Vorrangregeln vor. 

Zuerst bringen wir die Zahl + 3 weg, da sie mit der Variablen x 

mit Strichrechnung verbunden ist. 

Jetzt widmen wir uns der Zahl 2, die mit x mit mal verbunden ist. 

Die Zahl 4 ist mit x mit + verbunden, da + das Vorzeichen 

von 4 ist. Das Minus gehört als Vorzeichen zu x , eigentlich zu 

seiner Vorzahl – 1. 

–1. x = 2 . (–1) 

–1 . x . (–1) = 2 . (–1) 

–1 . (–1) . x = – 2 

1 . x = –2 

x = –2 

Statt durch ( –1 ) 

zu dividieren, können wir auch 

mit ( –1 ) multiplizieren. 

Warum? 


Link: https://www.youtube.com/watch?v=12LXOeXoFIQ 




3.1.1.2. Gleichungen mit Klammern 

Beispiel: 

2 x ( 3 x – 1 ) = (2 x – 2 ) ( 3 x + 1 ) 

6 x 2 – 2 x = 6 x 2 + 2 x – 6 x – 2 

6 x 2 – 2 x = 6 x 2 – 4 x – 2 – 6 x 2 + 4 x 

2 x = – 2 : 2 

x = – 1 

3.1.1.3. Gleichungen mit Bruchtermen 

Bruchterme sind Brüche, bei denen die Variable zumindest im Nenner steht. 

Steht die Variable im Nenner, so muss zunächst die Gleichung bruchfrei gemacht werden! 

Beispiel: 

2 x + 1 

x 2 − 2 x = 4 

x − 2 


Ef 

N1 x . (x – 2) 1 

N2 (x – 2) x 

N x . (x – 2) 

Steht die Variable in Klammern, 

muss man diese auflösen. 

Kommt die Variable in mehreren Gliedern ( + – ) 

vor, so bringt man die Glieder mit der Variablen 

auf die eine Seite der Gleichung, 

die Glieder ohne Variable auf die andere Seite. 

Zunächst ermitteln wir einen kleinsten 

gemeinsamen Nenner N und 

die Erweiterungsfaktoren Ef. 

Für den gemeinsamen Nenner N werden alle 

verschiedenen Faktoren gewählt, die in den 

Zerlegungen vorkommen und zwar so oft sie in einer 

einzelnen Zerlegung am häufigsten auftreten. 

Die Erweiterungsfaktoren Ef sind jene Faktoren, die dem einzelnen Nenner zum gemeinsamen Nenner N 

fehlen. 




Probe: 

(2 x + 1) . 1 4 . x 

Jetzt bringen wir alle Brüche auf 

= | . N 

N 

N 

N und multiplizieren die Zähler 

mit ihren Ef. 

1 1 

(2 x+ 1) . N 4 . x . N 

= 

N 

N 

1 1 

(2 x + 1) = 4 . x 


2 x + 1 = 4 . x | − 2 x 

1 = 2 x | ∶ 2 

0,5 = x 

2 . 0,5+1 

= 4 

0,5 2 −2 .0,5 0,5−2 

1+1 

= 4 

0,25 − 1 0,5 − 2 

2 

= 4 

−0,75 −1,5 

−2, 67 = −2, 67 

Danach multiplizieren wir die 

Gleichung mit N, und kürzen danach 

durch N damit sie bruchfrei wird. 

w.A. → x = 0, 5 ist Lösung der Gleichung. 


Um von S nach Z zu gelangen, 

muss der Läufer die Mitte M 1 dieser 

Strecke passieren. 

Fortsetzung: S 105 




3.1.1.4. Formeln umformen 

Jede Formel ist eine Gleichung, da sie ein 

Deshalb behandeln wir 

Es gibt drei Grundformen: 

- Zeichen besitzt mit vorgegebener linker und rechter Seite. 

Formeln wie Gleichungen. 

A: Die gesuchte Größe steht nicht in Klammern und nicht im Nenner 

Beispiel: 

U = 2 a + 2 b a = ? 

U = 2 a + 2 b 

– 2 b 

U – 2 b = 2 a : 2 

U2b 

2 

 

a 

B: Die gesuchte Größe steht in Klammer(n) 

Beispiel: 

A 

A 

 

 

(a 

c).h 

2 

c ? 

Die gesuchte Größe ist die Variable. 

In unserem Beispiel a 

Wir formen entsprechend die Gleichung um, bis a alleine 

auf nur einer Seite steht und gehen dabei wiederum in 

entgegengesetzter Reihenfolge zu den Vorrangregeln vor 


(a 

c).h 

2 

2. A (a 

c).h 

2. A 

h 

2. A 

h 

a 

c 

a c 

. 2 

: h 

a 

= 

Steht die gesuchte Größe in Klammern, so muss man die 

Klammern zuerst auflösen. 

Stelle dir die Klammern als Mauern vor. 

Der Dornröschen-Prinz kommt von außen und hat vor der Mauer 

noch die „Hindernisse“ h und die 2 im Nenner zu überwinden. 

2 ist mit der „Mauer“ mit dividiert verbunden und kommt mit mal 

weg. 

h ist mit der "Mauer" mit mal verbunden und kommt mit dividiert 

weg. 

Jetzt besitzt die Klammer keine Bedeutung mehr und kann 

weggelassen werden. 




C: Die gesuchte Größe steht im Nenner 

Beispiel: 

1 

R = 1 

R + 1 

1 

R 2 

Ef 

N 1 : R R 1 ⋅ R 2 

N 2 : R 1 R ⋅ R 2 

N 3 : R 2 R ⋅ R 1 

N = R ⋅ R 1 ⋅ R 2 

R 1 =? 

1 ⋅ R 1 ⋅ R 2 

= 1 ⋅ R ⋅ R 2 

+ 1 ⋅ R ⋅ R 1 

N 

N 

N 

⋅ N 

1 ⋅ R 1 ⋅ R 2 ⋅ N 

= 1 ⋅ R ⋅ R 2 ⋅ N 

+ 1 ⋅ R ⋅ R 1 ⋅ N 

N 

N 

N 

R .R2 

R.R R.R1 

R.R1 

1 2 

R1 .R2 

R.R1 

 

R.R 

R . (R2 

R) R.R : (R2 

R 

1 2 

1 

 

1 

R.R 

2 

(R R) 

2 

R) 


2 

1 

1 

1 

1 

1 

Steht die gesuchte Größe im Nenner, so muss die 

Gleichung bruchfrei gemacht werden. 

Zuerst sucht man den gemeinsamen Nenner N der 

Einzelnenner und die Erweiterungsfaktoren Ef. 

Die Gleichung wird mit dem N multipliziert 

( Balkenwaage ). 

Die Glieder mit R 1 kommen auf die eine Seite, 

jene ohne R 1 auf die andere . 

Jetzt können wir R 1 herausheben 

Bemerkung: Es gibt meistens mehrere Möglichkeiten, eine Formel umzuformen. 

Bist du nicht sicher, ob deine Umformung richtig ist, wähle für alle Buchstaben, außer der gesuchten Größe, 

Zahlen (nicht null oder eins) und setze sie in deinen umgeformten Ausdruck ein. 

Dann setze die gleichen Zahlen in die gebotene Lösung. Bei Übereinstimmung ist auch deine Umformung richtig. 


https://www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E&index=7 



Link: https://www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&t=174s 

https://www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&t=174shttps://www.youtube.com/watch 

?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E&index=7https://www.youtu 

be.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E&index=7https: 

//www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E 

&index=7 

Link: https://www.youtube.com/watch?v=yoe3c2dRwNM 

Aufgabe der Kompensationsprüfung am 06.06.2018 

Für den Tageseintritt in einen Alpenzoo bezahlt man für Kinder (3 bis 5 Jahre) € 5, Erwachsene bezahlen € 10, 

wobei es für Seniorinnen und Senioren ermäßigte Tickets zum Preis von € 8,50 gibt. 

An einem Sommertag besuchen a Erwachsene und b Kinder den Zoo: Unter den Erwachsenen sind c Seniorinnen 

und Senioren. 

– Erstellen Sie mit Hilfe von a, b und c eine Formel für die Gesamteinnahmen G dieses Tages. 



Erfundenes Zahlenbeispiel: 

a = 100 … Erwachsene mit Senioren ! 

c = 20 … Senioren c 

Übertragung auf die Textaufgabe: 

100 – 20 … Erwachsene ohne Senioren a – c 

b = 30 … Kinder 

b 

a 

G = (100 – 20) . 10 + 30 . 5 + 20 . 8,50 G = (a – c) . 10 + b . 5 + c . 8,50 




Erben 

Eine Erbschaft von 260 000 Euro wird unter drei Erben wie folgt aufgeteilt: 

Erbe A erhält zwei Drittel von Erbe B. Erbe C erhält das eineinhalb Fache von Erbe A. 

– Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die einzelnen Anteile bestimmt werden können. 

– Berechnen Sie die Höhe der einzelnen Anteile. 


x … Anteil in Euro des Erben B 

Anteil von A: A erhält 2 

Anteil von C: erhält 3 

Gleichung: 

2 

3 

von B → 

von A → 

Ich wähle deshalb x für den Anteil von B, weil sich sämtliche Angaben 

letztlich auf B beziehen. 

2 

3 ⋅ x 

3 

⋅ 2 

2 3 

⋅ x = x 

Anteil A + Anteil B + Anteil C = Erbschaft 

2 

⋅ x + x + x = 260 000 oder zusammengefasst: 8 

⋅ x = 260 000 

3 3 


8 

8 

⋅ x = 260 000 | ∶ 

3 3 

x = 97 500 

B und C erhalten 97 500 Euro, A erhält 65 000 Euro. 




Aufgabe Zentralmatura am 10.5.2017 

Bei der Abbildung eines Gegenstandes mithilfe einer Sammellinse gelten folgende Beziehungen: 

B 

G = b 

g ⋅ f 

und b = 

g 

g − f 

B = 1 

2 ⋅ G → B < G 

B … Höhe des Bildes 

G ... Höhe des Gegenstandes 

b … Abstand des Bildes von der Linse 

g … Abstand des Gegenstandes von der Linse 

f … Brennweite der Linse 

– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [ 1 aus 5 ] 

Wenn g = 3 ⋅ f gilt, dann ist B größer als G. 

Wenn g = 3 ⋅ f gilt, dann ist B = G. 

Wenn g = 2 ⋅ f gilt, dann ist B kleiner als G. 

Wenn g = 2 ⋅ f gilt, dann ist B = G. 

Wenn g = 2 ⋅ f gilt, dann ist B größer als G. 

Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass genau eine der gebotenen Alternativen richtig ist. 


g = 3 ⋅ f 

3 ⋅ f ⋅ f 

→ b = 

3 ⋅ f − f = 3 ⋅ f2 

= 3 ⋅ f 

2 ⋅ f 2 

B 

G = b | ⋅ G → B = b 

3 ⋅ f 

g 

g ⋅ G → B = 2 3 ⋅ f 

⋅ G = ⋅ G ∶ 3 ⋅ f = 3 ⋅ f ⋅ G ⋅ 

3 ⋅ f 2 1 2 

1 

3 ⋅ f = 3 ⋅ f 

2 ⋅ 3 ⋅ f ⋅ G = 1 

2 ⋅ G 



# 



g = 2 ⋅ f 

→ b = 

2 ⋅ f ⋅ f 

2 ⋅ f − f = 2 ⋅ f2 

f 

= 2 ⋅ f 

B 

G = b 

g 

| ⋅ G → B = b 

g 

B = G → 4. Alternative ist richtig. 

⋅ G → B = 

2 ⋅ f 

2 ⋅ f 

⋅ G = G 

Beispiel: Idee: Angewandte Mathematik@HUM, Teil 1, S 63 ISBN 978-3-7101-0634-7 

Folgende Tabelle gibt zum Teil die Umrechnungen in verschiedene Temperaturmaße an. 

Kelvin (K) …… T K … Temperatur in K Grad Celsius (°C) …… T C … Temperatur in °C 

Grad Rèaumur (°R) …… T R … Temperatur in °R Grad Fahrenheit (°F) …... T F … Temperatur in °F 

von → 

nach ↓ 

K °C °R °F 

K = T K = T C + 273,15 = 1,25 ⋅ T R + 273,15 = (T F + 459,67) ⋅ 5 

9 

°C = T C = 1,25 ⋅ T R 

= (T F − 32) ⋅ 5 

9 

°R = T R 

= (T F − 32) ⋅ 4 

9 

°F = T F 

– Fülle die leeren Zellen entsprechend aus. 

– Ermittle, um wie viel Prozent 1 °R größer ist als 1 °C. 

– Bestimme die Grade für die gilt °C = °F 

Lösungen: 



* 1 °R ist um 25 % größer als 1 °C 

* – 40° 

Um von M 1 nach Z zu gelangen, 

muss der Läufer die Mitte M 2 der 

Reststrecke passieren. 



# 



3.1.1.5. Gleichungen mit 

Beispiel: 

2 x − 3 = 7 

Öffnen des CAS – Fensters siehe 

Wir geben in einer Zeile des CAS-Fensters die Gleichung ein. 

Dann klicken wir (mit der linken Maustaste) das Symbol 


an 

und unterhalb der Eingabe erscheint die Lösung. 




Beispiel: 

1 

2 = 2 

x − 1 − 3 

4 

Bemerkung: Die obige Gleichung wurde in GeoGebra Classic 6 eingegeben. 

! Nicht vergessen, mit der Taste 

jeweils aus dem Nenner zu gehen! 

Ansonsten entstehen Ausdrücke wie 

Auch Gleichungen zweiten und höheren Grades lassen sich einfach lösen: 

Beispiel: 

4 x 2 − 7 x − 2 = 0 

Beispiel: 


2 x 3 + x 2 − 5 x + 2 = 0 




Wie ist denn mit Formeln umformen? 

Will ich zum Beispiel die Formel U = 2 a + 2 b 

nach b umformen, dann erhalte ich mit GeoGebra 

Woher soll denn das Programm 

wissen, welchen Buchstaben du 

ausgedrückt haben willst? 

Es gibt trotzdem eine 

Möglichkeit: 

Schreibe in eine Zeile des CAS – Fensters den Befehl 

Löse. 

Damit öffnet sich ein Fenster, in dem der Befehl 

Löse[ , ] 

angeklickt wird. 

In das Feld schreibt man die 

Formel in der ursprünglichen Form, 

in das Feld den Buchstaben, der 

ausgedrückt werden soll. 

Die Klammern < > müssen auch beseitigt 

werden. 

ENTER betätigt und die gewünschte Umformung 

erscheint. 


Bemerkung: GeoGebra formt in der Regel nicht so um, wie wir das mit dem Bild Dornröschen erreichen. 

Mit dem Befehl Löse[ , ] lassen sich alle Gleichungen mit einer Variablen einschließlich 

Formeln umformen bewerkstelligen. 

Link: https://www.youtube.com/watch?v=rJur673IUzg 




3.1.2. Gleichungen 2. Grades ( quadratische Gleichungen ) 

In quadratischen Gleichungen ist die höchste Potenz der Variablen quadratisch. 

Beispiele: x 2 = 4 oder 4 x 2 – 7 x – 2 = 0 

3.1.2.1. Normalform 

Die sog. Norm(al)form (allgemeine Form) einer quadratischen Gleichung lautet: 

mit a, b, c R ( also reellen Zahlen ) 

a . x 2 + b . x + c = 0 

a ist die Vorzahl von x², b die Vorzahl von x und c steht für das konstante Glied, also jenes ohne Variable. 

Solche Gleichungen lassen sich mit einer Formel lösen, die hier ohne Herleitung angegeben ist: 

Die dazugehörige Auflösungsformel lautet 


x 1/2 = 

– b ± √ b 2 – 4 . a . c 

2 . a 

Diese Formel nennt man a-b-c– Formel oder Mitternachtsformel. 

Mitternachtsformel deswegen, weil man sie in seligen Schulzeiten auch dann hersagen können sollte, würde man mitten in der 

Nacht geweckt ( ein Mörder-Brüller! ). 




Beispiel: 4 x 2 – 7 x – 2 = 0 . . . eine quadratische Gleichung, weil die 

höchste Potenz der Variablen x quadratisch ist. 

a x 2 + b x + c = 0 

4 x 2 – 7 x – 2 = 0 mit a = 4, + b = – 7 und + c = – 2 gilt: 

x 1/2 = − (−7) ± √ (−7)2 − 4 . 4 . (−2) 

2 . 4 

x 1/2 = 

x 1/2 = 

− (−7) ± √ 49 − 4 . 4 . (−2) 

2 . 4 

7 ± √ 49 + 32 

8 

x 1/2 = 7 ± √ 81 

8 

x 1/2 = 7 ± 9 

8 

x 1 = 7 + 9 

8 

x 2 = 7 − 9 

8 


x 1 = 2 x 2 = − 1 

4 

Sie ist in der Norm(al)form gegeben. 

Beachte, dass nur die Vorzahlen 

a , b und c in die Formel eingesetzt 

werden und nicht die Variable x. 

– 4 . (+) 4 . ( – 2 ) = + 32 

Wollen wir uns auch hier in einer Vorschau veranschaulichen, was wir beim Lösen quadratischer Gleichungen 

eigentlich berechnen: 




Eine quadratische Gleichung der Norm(al)-Form a . x 2 + b . x + c = 0 

entstammt einer sog. quadratischen Funktion der allgemeinen Form a . x 2 + b . x + c = y . 

Jede quadratische Funktion besitzt prinzipiell eine der unten angeführten Formen: 

Lautet die quadratische Funktion z.B. 

y = 4 x² – 7 x – 2 

und wir setzen y = 0, so erhalten wir die 

quadratische Gleichung 0 = 4 x² – 7 x – 2 , 

deren Lösungen x 1 =2 und x 2 = – 1 4 

wir im letzten Beispiel bestimmten. 

lauten, 

Da wir in der Funktionsgleichung y = 0 setzten, 

ermitteln wir auch hier die Punkte der Kurve, 

die auf der x-Achse liegen, 

also die Nullpunkte. 

Was wir derzeit noch nicht angeben können ist, ob die Kurve 

oben oder unten offen ist und wie weit sie in diesen Fällen 

nach unten bzw. oben reicht. 


Wie viele Punkte kann eine quadratische Funktion auf der x-Achse haben? 

Anders gefragt: 

Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben? 




Beispiel: 2 x² + x – 6 = 0 a = 2 b = 1 c = – 6 

x 1/2 = 

– 1 ± √ 1 2 – 4 . 2 . (– 6) 

2 . 2 

x 1/2 = 

x 1/2 = 

x 1 = 3 

2 

N 1 ( 3 2 /0) 

– 1 ± √ 49 

4 

– 1 ± 7 

4 

x 2 = – 2 

N 2(−2/0) 

Beispiel: x² – 4 x + 4 = 0 a = 1 b = – 4 c = 4 

x 1/2 = 

– (−4) ± √ (−4) 2 – 4 . 1 . 4 

2 . 1 

x 1/2 = 

x 1/2 = 

4 ± √ 0 

2 

x 1/2 = 2 

N(2/0) 

4 ± 0 

2 

Man spricht von einer sog. Doppellösung. 

Beispiel: 3 x² + 2 x + 1 = 0 a = 3 b = 2 c = 1 


x 1/2 = − 2 ± √ 2 2 – 4 . 3 . 1 

2 . 3 

x 1/2 = − 2 ± √ – 8 

6 

Da die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl 

keine reelle Zahl ergibt, 

besitzt die Gleichung keine reelle Lösung. 

→ kein Nullpunkt 

Welcher der Nullpunkte mit N 1 bzw. N 2 bezeichnet wird, ist unerheblich. 




Betrachten wir die letzten drei Beispiele, lässt sich folgendes erkennen: 

Rechnerisch hängen die Lösungsmöglichkeiten einer quadratischen Gleichung 

vom Wurzelinhalt der Auflösungsformel ab: 

Die allgemeine Norm(al)form einer quadratischen Gleichung lautet 

und die dazugehörige Auflösungsformel 

x 1/2 = 

a x 2 + b x + c = 0 

– b ± √ b 2 – 4 . a . c 

2 . a 

Den Wurzelinhalt, also b 2 – 4 a c , nennt man Diskriminante D 

discriminare ( lateinisch ): unterscheiden 

All unsere Berechnungen finden immer in den reellen Zahlen R satt. Demnach gilt: 

Ist D > 0, der Wurzelinhalt also positiv, besitzt die Gleichung 2 (reelle) Lösungen, 

ist D = 0, der Wurzelinhalt also null, besitzt die Gleichung 1 (reelle) Lösung, 

ist D < 0, der Wurzelinhalt also negativ, besitzt die Gleichung keine (reelle) Lösung. 






– Bestimme in der Gleichung 2 x 2 + 4 x + c = 0 den Koeffizienten (die Vorzahl) c so, dass diese Gleichung 

* zwei (reelle) Lösungen, 

* eine (reelle) Lösung, 

* keine (reelle) Lösung besitzt. 

Der Wurzelinhalt lautet hier D = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = 4 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ c = 16 − 8 ⋅ c 

* 2 Lösungen: D > 0 → 16 − 8 ⋅ c > 0 | − 16 

−8 ⋅ c > −16 | ∶ (−8) 

c < 2 (#) 

* 1 Lösung: D = 0 → 16 − 8 ⋅ c = 0 | − 16 

−8 ⋅ c = −16 

c = 2 

| ∶ (−8) 

* keine Lösung: D < 0 → 16 − 8 ⋅ c < 0 | − 16 

−8 ⋅ c < −16 | ∶ (−8) 

c > 2 (#) 

(#) (Lineare) Ungleichungen werden im Prinzip wie Gleichungen behandelt. 

2 Ausnahmen: 


 

 

Am Ende soll die Variable auf der linken Seite stehen. 

Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder 

durch eine negative Zahl dividiert, so ist das Ungleichheits-Zeichen zu ändern! 

Für c < 2 besitzt diese Gleichung 

zwei reelle Lösungen. 

Für c = 2 besitzt diese Gleichung 

eine reelle Lösungen. 

Für c > 2 besitzt diese Gleichung 

keine reelle Lösungen. 

Beispiele: 

4 < 8 | . (−2) 9 > 6 | ∶ (−3) 

−8 > −16 

−3 < −2 




Beispiel der Zentralmatura am 12.1.2017 

Die tatsächliche Leistung eines bestimmten Windrades in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit v kann 

für Windgeschwindigkeiten von 5 m/s bis 10 m/s näherungsweise durch die Polynomfunktion P beschrieben 

werden. 

P(v) = 0,0175 ⋅ v 2 − 0,0796 ⋅ v + 0,0391 mit 5 ≤ v ≤ 10 

v … Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) 

P(v) … Leistung bei der Windgeschwindigkeit v in Megawatt (MW) 

– Berechnen Sie, bei welcher Windgeschwindigkeit eine Leistung von 0,5 MW erzielt wird. 

Zunächst zum Text: 


Wir suchen die Windgeschwindigkeit v, bei der die Leistung P = 0,5 MW beträgt: 

P(v) = 0, 5 

Diesen Wert setzen wir statt P(v) in die Funktionsgleichung ein: 

P(v) = 0, 5 ∶ 0, 5 = 0, 0175 ⋅ v 2 – 0, 0796 ⋅ v + 0, 0391 


Damit erhalten wir eine Gleichung in v, die wir mit GeoGebra lösen: 

Da nur der Wert 7,89 im Gültigkeitsbereich liegt, lautet die Antwort: 

Bei einer Windgeschwindigkeit von 7,89 m/s beträgt die Leistung 0,5 MW. 





Beim Fallschirmspringen befindet man sich solange im freien Fall, bis der Schirm geöffnet wird. 

Während des freien Falls wird der dabei zurückgelegte Weg s annähernd durch folgende Weg-Zeit-Funktion 

beschrieben: 

s(t) = g 

2 ⋅ t2 

t … freier Fall in Sekunden (s) 

s(t) … zurückgelegter Weg in Metern (m) zum Zeitpunkt t 

g … Erdbeschleunigung ≈ 10 m/s 2 

– Berechnen Sie wie lange es dauert, bis der Fallschirmspringer 1 Kilometer (km) im freien Fall zurückgelegt hat. 


1 km = 1 000 m = s(t) 

s(t) = g 

2 ⋅ t2 

1 000 = 10 

2 

⋅ t 2 

1 000 = 5 ⋅ t 2 | ∶ 5 

200 = t 2 | √ 


±14,14 = t 

oder: 

Beachte, dass die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl zwei Werte ergibt! 

Für diese Aufgabe kommt nur der positive Wert in Frage. 

Es dauert 14,14 Sekunden, bis der Fallschirmspringer 1 km im freien Fall zurückgelegt hat. 




3.1.3. Gleichungen höheren ( als 2. ) Grades 

Beispiele für solche Gleichungen: 

4 x 3 – 5 x 2 + x + 1 = 0 Gleichung 3. Grades 

x 4 – 2 x 3 = 0 

3.1.3.1. Gleichungen 3. Grades 

Gleichung 4. Grades 

Die Norm(al)form (allgemeine Form) einer Gleichung 3. Grades lautet: 

mit a, b, c und d als Zahlen und x der Variablen. 

Beispiel: 2 x 3 + x 2 – 5 x + 2 = 0 

Veranschaulichung: 

Die der Gleichung 3. Grades 2 x 3 + x 2 – 5 x + 2 = 0 

a . x 3 + b . x 2 + c . x 1 + d . x 0 = 0 


entsprechende Funktion 3. Grades 

2 x 3 + x 2 – 5 x + 2 = y 

besitzt drei Punkte auf der x-Achse: 

Die sogenannten Nullpunkte 

N 1 (−2/0) N 2 (0,5/0) N 3 (1/0) 




( Polynom- ) Funktionen 3. Grades können in der Regel folgende Verläufe einnehmen: 

N 1 

y 

Da eine Polynomfunktion 3. Grades 

höchstens 3 Nullpunkte (Punkte auf der x-Achse ) 

besitzen kann, 

verfügt eine Gleichung 3. Grades 

über höchstens 3 (reelle) Lösungen. 

Eine Polynomfunktion 3. Grades kann auch nur 

2 Nullpunkte besitzen, deshalb kann eine 

Gleichung 3. Grades auch nur 

2 (reelle) Lösungen aufweisen. 


N 

y 

N 2 

x 

x 

Oder es existiert nur 1 Nullpunkt 

und somit auch nur 1 (reelle) Lösung. 

Einen Nullpunkt besitzt eine Polynomfunktion 3. Grades 

immer, da sie entweder aus dem Negativ-Unendlichen 

y-Bereich kommt und ins Positiv-Unendliche geht 

oder umgekehrt und damit zumindest einmal die x-Achse 

kreuzen muss. 




3.1.3.2. Gleichungen 4. Grades 

Die Norm(al)form (allgemeine Form) einer Gleichung 4. Grades lautet: 

mit a, b, c, d und e als Zahlen und x der Variablen. 

Beispiel: x 4 – 3 x 3 – x² + 3 x = 0 


Die der Gleichung 4. Grades x 4 – 3 x 3 – x² + 3 x = 0 

entsprechende Funktion 4. Grades 

x 4 – 3 x 3 – x² + 3 x = y 

besitzt vier Punkte auf der x-Achse: 

Die sogenannten Nullpunkte 

N 1 (−1/0) N 2 (0/0) N 3 (1/0) N 4 (3/0) 


a . x 4 + b . x 3 + c . x 2 + d . x 1 + e . x 0 = 0 


Jetzt gilt es noch M 3 zu passieren, . . . 


. . . . . danach den nächsten 

Mittelpunkt usw. 




( Polynom- ) Funktionen 4. Grades können in der Regel folgende Verläufe einnehmen: 

Da eine Polynomfunktion 4. Grades 

höchstens 4 Nullpunkte (Punkte auf der x-Achse ) besitzen kann, 

verfügt eine Gleichung 4. Grades 

über höchstens 4 (reelle) Lösungen. 










1 Nullpunkt besitzen, deshalb kann eine 


1 (reelle) Lösung aufweisen. 


Oder es existiert kein Nullpunkt 

und somit auch keine (reelle) Lösung. 




3.2. Gleichungen mit mehreren Variablen 

Korrekt spricht man von Gleichungssystemen. 

Gleichungs-System meint, es werden Lösungen gesucht, die für alle Gleichungen gelten. 

Suchen wir gemeinsame Lösungen von Gleichungen, 

sind das geometrisch gemeinsame Punkte von Linien. 

Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen ( Unbekannten ): 

I: 2 x + y = 10 

II: 3 x + y = 13 

Beispiel eines nicht-linearen Gleichungssystems in zwei Variablen: 

f: y = x 2 – 2 x – 2 

g: y = x – 2 

g 

Wie wir sehen werden, stellt eine 

lineare Gleichung mit zwei Variablen 

geometrisch eine Gerade dar. 

Der gemeinsame Punkt beider Geraden ist der 

Schnittpunkt S. 

f ist eine quadratische Funktion und g eine 

lineare Funktion. 


In diesem Fall haben die Linien zwei 

gemeinsame Punkte, die beiden 

Schnittpunkte S1 und S2 . 




3.2.1. Lineare Gleichungen mit 2 Variablen 

Bevor wir uns den Lösungsverfahren widmen, veranschaulichen wir die 

manfredambach 

manfredambach 

möglichen Lösungen linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen 

y 

y 

y 

S 

I 

I 

II 

II 

x 

x 

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen stellen 

lineare Funktionen dar, deren Graphen Geraden sind. 

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 

können demnach 

. . . eine Lösung – dh, einen Schnittpunkt – besitzen, 

wenn die Geraden zueinander nicht parallel liegen, 

. . . über keine Lösung (keine gemeinsamen Punkte) 

verfügen, wenn die Geraden zueinander parallel sind, 


I = II 

x 

. . . unendlich viele Lösungen 

(unendlich viele gemeinsame Punkte) besitzen, wenn 

die Geraden identisch sind, dh, beide Gleichungen 

dieselbe Gerade beschreiben. 

manfredambach 




Nun zu den 

3.2.1.1. Lösungsmethoden 

3.2.1.1.1. Gleichsetzmethode 

Beispiel: 

I: 2 x + 1 y = 10 – 2 x 

II: 3 x + 1 y = 13 

I: y = 10 – 2 x 

II: y = 13 – 3 x 

– 3 x 

10 – 2 x = 13 – 3 x + 3 x 

10 + x = 13 – 10 

x = 3 

I: y = 10 – 2 . 3 

y = 10 – 6 

y = 4 

Man wird wohl den einfacheren Ausdruck auswählen. 

Egal, welchen Ausdruck man wählt, man erhält für die noch zu berechnende Variable immer denselben Wert! 

Der gemeinsame Punkt ( der Schnittpunkt ) beider 

Geraden hat die Koordinaten S ( 3 / 4 ). 

y 

Man drückt aus beiden Gleichungen 

die gleiche Variable aus und setzt die 

Ausdrücke einander gleich. 

Die andere Variable berechnet 

man, indem man den errechneten 

Wert in einen der Ausdrücke 

einsetzt. 


Die Gleichsetzmethode ist dann günstig, wenn eine der Variablen in beiden Gleichungen 

die Vorzahlen 1 bzw. – 1 besitzt. 




3.2.1.1.2. Einsetzmethode ( Substitutionsmethode ) 

Beispiel: I: 4 x + 5 y = 23 

II: 1 x – 2 y = – 4 

II: x = – 4 + 2 y 

x 

+ 2 y 

I: 4 . ( – 4 + 2 y ) + 5 y = 23 

– 16 + 8 y + 5 y = 23 

– 16 + 13 y = 23 + 16 

13 y = 39 : 13 

y = 3 

II: x = – 4 + 2 . 3 

x = – 4 + 6 

x = 2 

Der gemeinsame Punkt (der Schnittpunkt) beider 

Geraden besitzt die Koordinaten S ( 2 / 3 ). 

Man drückt aus einer Gleichung eine Variable aus 

und setzt diesen Ausdruck in die andere Gleichung 

ein. 

Die andere Variable berechnet man, 

indem man den errechneten Wert in 

den Ausdruck einsetzt. 


Die Einsetzmethode ist dann günstig, wenn eine der Variablen in einer der Gleichungen 

die Vorzahl 1 oder – 1 besitzt. 




3.2.1.1.3. Additionsmethode ( Eliminationsmethode ) 

Beispiel: I: 6 x + 3 y = 12 

II: 9 x – 4 y = 1 

I: 6 x + 3 y = 12 . 4 

II: 9 x – 4 y = 1 . 3 

I: 24 x + 12 y = 48 

II: 27 x – 12 y = 3 

Bemerkung: 

51 x = 51 : 51 

x = 1 

II: 9 . 1 – 4 y = 1 

Prinzipiell ist es gleichgültig, ob die Variable x oder y eliminiert (zum Verschwinden gebracht) wird. 

Im eigenen Interesse sollte man jedoch jene Variable wählen, bei der man mit einfacheren 

Berechnungen das Auslangen findet. 

9 – 4 y = 1 – 9 

– 4 y = – 8 : ( – 4) 

y = 2 

+ 


Somit lauten die Koordinaten des Schnittpunktes 

S ( 1 / 2 ). 

Man multipliziert eine oder beide 

Gleichungen mit jeweils solchen Zahlen, dass 

eine der Variablen gegengleiche Vorzahlen 

erhält. 

Gegengleiche Zahlen sind z.B. + 9 und – 9 

Dann addiert man die Gleichungen. 

Die andere Variable berechnet man, indem 

man den errechneten Wert in die einfachere 

Ausgangsgleichung einsetzt. 




3.2.2. Gleichungssysteme mit 

Beispiel: 

I: x + y + z = 0 

II : 4 x + 2 y + z = 1 

III : 9 x + 3 y + z = 3 

Man schreibt jede Gleichung in eine eigene Zeile des 

CAS – Fensters. 


Durch Betätigen von ENTER kommt man in die 

nächste Zeile. 

Beachte, dass die Kreise unterhalb der Zeilen-Nummern nicht ausgefüllt sind! 




Jetzt hält man die 

-Taste 

und die linke Maustaste gedrückt halten 

und markiert alle Zeilennummern (blau hinterlegt), in 

denen die Gleichungen stehen. 

Jetzt noch den Button 

angeklickt und 

In der den Gleichungen folgenden Zeile werden die 

Lösungen ersichtlich. 

Auf diese Weise lassen sich 

alle Gleichungssysteme, gleich welchen Grades und mit wie viel Variablen, 

berechnen. 





Drei Geschwister, Hanni, Lea und Paul, besitzen Handys von drei verschiedenen Anbietern. Hanni zahlt pro Monat 

a Euro. Lea zahlt pro Monat drei Viertel so viel wie Hanni, Paul bezahlt pro Monat das eineinhalb Fache von Lea. 

Die Eltern zahlen Hanni, Lea und Paul zu Weihnachten ihre Handyrechnungen für den Monat Dezember. 

– Stellen Sie eine möglichst vereinfachte Formel für den Gesamtbetrag G auf, den die Eltern dafür zu 

bezahlen haben. 


G = a + 0,75 ⋅ a + 1,5 ⋅ 0,75 ⋅ a = 23 

⋅ a Euro= 2, 875 ⋅ a Euro 




8 

Um zum Ziel Z zu gelangen, 

muss der Läufer immer mehr 

"Mittelpunkte" durchlaufen, 

deren Anzahl immer größer 

wird, also gegen unendlich 

geht. 


Nennen wir die Reststrecken vom 

jeweiligen Mittelpunkt bis 

zum Ziel Z den jeweiligen " M-Lauf " . 

Dann könnten wir folgende Aussagen formulieren: 

Der Läufer müsste eine unendliche Anzahl von "M-Läufen" zurücklegen. 

Es ist unmöglich, dass der Läufer eine unendliche Anzahl von "M-Läufen" absolviert. 

Also kommt der Läufer nie ans Ziel. 





Aufgabe Kompensationsprüfung am 05.06.2018 

Ein Betrieb produziert Packungen mit gemischten, qualitativ hochwertigen Nüssen. Werden 18 kg Haselnüsse 

mit 6 kg Walnüssen vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese Mischung 67,5 Cent pro 100 g. 

Werden 9 kg Haselnüsse und 15 kg Walnüsse vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese 

Mischung 78,75 Cent pro 100 g. 

– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Kosten für 1 kg Haselnüsse und der Kosten für 1 kg 

Walnüsse. 


Der grau hinterlegte Textteil ist nicht notwendig! 

Ein Betrieb produziert Packungen mit gemischten, qualitativ hochwertigen Nüssen. Werden 18 kg Haselnüsse 

mit 6 kg Walnüssen vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese Mischung 67,5 Cent pro 100 g. 

Werden 9 kg Haselnüsse und 15 kg Walnüsse vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese 

Mischung 78,75 Cent pro 100 g. 

x … Kosten in € für 1 kg Haselnüsse 

y … Kosten in € für 1 kg Walnüsse 

67,5 Cent pro 100 g 10 . 100 g = 1 000 g = 1 kg 10 . 67,5 Cent = 675 Cent = 6,75 € pro kg 

78,75 Cent pro 100 g 10 . 100 g = 1 000 g = 1 kg 10 . 78,75 Cent = 787,5 Cent = 7,875 € pro kg 

Wenn 1 kg Haselnüsse x € kosten, kosten 18 kg Haselnüsse 18-mal so viel: 18 . x 

Wenn 1 kg Walnüsse y € kosten, kosten 6 kg Walnüsse 6-mal so viel: 6 . y 

Diese Mischung besteht dann aus 18 kg + 6 kg = 24 kg, wobei 1 kg dieser Mischung 6,75 € kostet: 24 . 6,75 

Wenn 1 kg Haselnüsse x € kosten, kosten 9 kg Haselnüsse 9-mal so viel: 9 . x 

Wenn 1 kg Walnüsse y € kosten, kosten 15 kg Walnüsse 15-mal so viel: 15 . y 

Diese Mischung besteht dann aus 9 kg + 15 kg = 24 kg, wobei 1 kg dieser Mischung 7,875 € kostet: 24 . 7,875 

Damit lautet das Gleichungssystem: 


18 . x + 6 . y = 24 . 6,75 

9 . x + 15 . y = 24 . 7,875 





Die Entfernung von A nach B auf einer geradlinigen Strecke beträgt 20 km. Der Zug fährt mit einer 

Durchschnittsgeschwindigkeit von v 1 von A nach B. Eine Schnellbahn, deren Geschwindigkeit um ein Drittel 

geringer ist als die des Zuges, fährt in die entgegengesetzte Richtung. Der Zug passiert A zum selben Zeitpunkt wie 

die Schnellbahn den Ort B. Sie begegnen einander nach 10 Minuten. 

– Berechnen Sie die Geschwindigkeit v 1 des Zuges. 


Eine Skizze zur Veranschaulichung: 

Die Geschwindigkeit v 2 der Schnellbahn ist um ein Drittel kleiner als die Geschwindigkeit des Zuges. 

Also beträgt die Geschwindigkeit der Schnellbahn zwei Drittel von der Geschwindigkeit des Zuges. → v 2 = 2 

⋅ v 3 

1 

Die zurückgelegten Wege der beiden Bahnen bis zum Treffpunkt müssen wohl die 20 km ergeben. → s 1 + s 2 = 20 

Die Formel für die Geschwindigkeit lautet v = s 

s 1 = v 1 ⋅ t = v 1 ⋅ 10 

s 1 + s 2 = 20 

v 1 

= v 1 

60 6 

s 2 = v 2 ⋅ t = v 2 ⋅ 10 

t 

| . t → v . t = s 

60 = 2 

3 ⋅ v 1 ⋅ 1 

6 = 1 

⋅ v 9 

1 = v 1 

9 


6 + v 1 

9 = 20 Bemerkung 1: 

Gleichung im CAS-Fenster! 

Bemerkung 2: 

v1 erhält man in GeoGebra, indem man v_1 eingibt. 

! Da die Geschwindigkeit in km/h 

gegeben ist, muss der Weg in km 

und die Zeit in h (Stunden) 

angegeben werden! 

10 min = 10 

60 h 

Der Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von 72 km/h. 




Aufgabe der Zentralmatura am 09.05.2018 

Katharina und Georg arbeiten als Pflegekräfte in einem Heim. Sie bekommen das gleiche monatliche Grundgehalt. 

Im Februar lag in diesem Heim ein besonderer Arbeitsbedarf vor. Georg leistete 14 Überstunden, Katharina 

leistete 46 Überstunden. Ihr jeweiliges Gesamtentgelt setzt sich aus dem Grundgehalt und der Abgeltung für die 

geleisteten Überstunden zusammen. Jede Überstunde wird dabei gleich abgegolten. 

Das Gesamtentgelt von Georg betrug im Februar € 2.617, jenes von Katharina betrug € 3.433. 

– Ermitteln Sie das Grundgehalt und die Abgeltung für eine Überstunde. 


x … Grundgehalt in € y … Abgeltung für eine Überstunde in € 

Georg: x + 14 y = 2 617 

Katharina: x + 46 y = 3 433 


Das Grundgehalt beträgt 2 260 €, eine Überstunde wird mit 25,50 € abgegolten. 




Man sollte alles so einfach wie möglich sehen– 

aber nicht einfacher. 

Albert EINSTEIN 

( 1879 – 1955 ) 

4. ELEMENTARGEOMETRIE 

4.1. Lehrsatz des PYTHAGORAS 

Der Lehrsatz des PYTHAGORAS darf NUR in rechtwinkeligen Dreiecken verwendet werden. 

A 

Kathete 

Hypotenuse 

Der Lehrsatz des PYTHAGORAS lautet: 

C 

. 

Kathete 

B 

Im rechtwinkeligen Dreieck gilt: 

Katheten . . . . . die Seiten, die den rechten Winkel 

einschließen 

Hypotenuse . . . die Seite gegenüber dem 

rechten Winkel ( die längste Seite ) 

Nicht die Bezeichnung der Seiten ist von 

Bedeutung, sondern deren Lage. 

So kann z.B. die Seite gegenüber dem rechten Winkel 

a oder s heißen und ist trotzdem die Hypotenuse. 


manfred.ambach 132 pro-test.-at



Beispiel: 

Gib für folgende rechtwinkelige Dreiecke den pythagoräischen Lehrsatz mit den in den Skizzen verwendeten 

Bezeichnungen an. 

Beispiel: 

a 2 + b 2 = x 2 b 2 + c 2 = a 2 m 2 + x 2 = a 2 

Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man die Längen der Kathete a = 4,6 cm und der Hypotenuse c = 6,2 cm. 

Berechne die Länge der fehlenden Kathete und den Flächeninhalt des Dreiecks. 

gegeben: a = 4,6 cm 

c = 6,2 cm 

gesucht: b = 

A = 

Zur Ermittlung des Rechengangs 

genügt es, wenn die Skizze den 

beschriebenen Sachverhalt 

entsprechend wiedergibt, ohne 

die konkreten Zahlenangaben zu 

berücksichtigen. 

Allerdings kann es dann z.B. sein, 

dass die in der Skizze längere 

Kathete sich rechnerisch als die 

kürzere erweist. 


a² + b² = c² 

4,6² + b² = 6,2² | – 4,6² 

A 

Skizze: 

b 

Rechengang 

c 

C 

. 

a 

B 

Ergebnisse 

b² = 6,2² – 4,6² | √ 

b = √ 

6,2² – 4,6² ≠ √ 6,2² − √ 4,6² 

b = 4,16 cm 




Für das rechtwinkelige Dreieck gilt 

a.b 

A mit a und b als den Katheten A = 9,56 cm² 

2 

Aus 

b 

2 

2 

2 

c a 

folgt NICHT b c a 

Dieser Sachverhalt lässt sich auch gut veranschaulichen: 

Beispiel: 

. 

Wollen wir uns obigen Sachverhalt verbildlichen: 

Angenommen, ein Flugzeug möchte direkt von Salzburg 

nach Linz fliegen. Wegen einer Gewitterfront muss es den 

Umweg über Suben im Innviertel einschlagen. 

Sollte aus a² + b² = c² folgen, dass a + b = c 

ist, würde jeder noch so weite Umweg gleich lang wie die 

direkte Strecke sein! 

Der Lehrsatz des PYTHAGORAS darf auch dann verwendet werden, 

wenn sich in Formen rechtwinkelige Dreiecke als Teilfiguren finden lassen. 

Der Querschnitt eines Daches ist ein gleichschenkeliges Dreieck mit 

den abgebildeten Längen in Metern (m). 


– Bestimme die Höhe dieses Daches. 

Was ist denn eigentlich 

ein Querschnitt? 




Rechengang 

h 2 + 2,1 2 = 6,5 2 | − 2,1 2 

h 2 = 6,5 2 − 2,1 2 | √ 

h = √ 6,5 2 − 2,1 2 

4.2. Strahlensatz 

Querschnitt oder Querschnittsfläche bedeutet, dass 

ein Körper quer, d.h. im rechten Winkel, zu seiner 

Längsachse durchschnitten wird. 

Ergebnisse 

h = 6,15 m 

Der Strahlensatz darf in allen ähnlichen Dreiecken verwendet werden. 

Das sind Dreiecke, die in allen entsprechenden Winkeln übereinstimmen 

bzw. deren entsprechende Seiten parallel liegen. 

Mögliche Strahlensätze: 


a 1 

a 2 

a 1 

b 1 

b 2 

c 2 

= 

= 

= 

. . . 

b 1 

b 2 

a 2 

b 2 

b 1 

c 1 

Die Reihenfolge, die auf der linken Seite gewählt wurde, muss rechts beibehalten werden! 




Beispiel Zentralmatura am 21.9.2015 

Tennis 

Ein Spieler trifft beim Aufschlag den Ball in einer Höhe von 2,3 m im Punkt A genau über der Mitte der Grundlinie. 

Er visiert den Punkt B (Mitte der Aufschlaglinie) an. Um nicht ins Netz zu gehen, muss der Ball das Netz in einer 

Höhe von mindestens 1 Meter (über dem Boden) überqueren. Die Flugbahn des Tennisballes beim Aufschlag kann 

modellhaft mittels einer Gerade beschrieben werden. 

Skizze: BMB 

– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Aufschlag über das Netz geht. 


Das rote und das blaue 

Dreieck sind rechtwinkelig. 

Die Seiten x und 2,3 m 

sowie die Seiten 6,4 m und 

6,4 + 6,4 + 5,5 = 18,3 m 

liegen zueinander parallel. 

Deshalb dürfen wir hier den 

Strahlensatz anwenden: 


x 

2,3 

= 6,4 

18,3 

| ⋅ 2,3 → x = 6,4 

18,3 

⋅ 2,3 = 0,80 m 

Da der Ball beim Netz nur eine Höhe von 0,8 m erreicht, geht er nicht über das Netz. 




4.3. Kreis und Kreisteile 

k 

d 

Auf der Kreislinie k liegen alle unendlich vielen Punkte, die von einem 

Punkt, dem Mittelpunkt M, den gleichen Abstand r besitzen. 

M . . . Mittelpunkt 

r . . . Radius 

d . . . Durchmesser 

k . . . Kreislinie 

Flächeninhalt 

Umfang 

d = 2 . r 

A = r 2 . π 

U = 2 . r . π 

Die Zahl π entstammt dem Versuch, aus einem Kreis von gegebenem Radius ein Quadrat zu konstruieren, das 

über den gleichen Flächeninhalt verfügt. Bei diesem Problem handelt es sich um die sog. Quadratur des Kreises. 

Kreissektor (Kreisausschnitt): 

M 

r … Radius 

b … Bogenlänge 

α … Zentriwinkel 

A … Flächeninhalt des Kreisbogens 

b = 

r ⋅ π ⋅ α 

180° 



r 

A = 

r² ⋅ π ⋅ α 

360° 

Dass der Läufer eine endlich lange Strecke nie durchlaufen können sollte, 

widerspricht unserer Erfahrung und Logik! 





Beispiel Kompensationsprüfung am 06.06.2018 

Zur Modellierung einer Flammenspitze können Kreisbögen mit dem Radius a verwendet werden. 


Grafik: BMB 

– Berechnen Sie den Flächeninhalt der 

Flamme für a = 3 cm. 

Der grüne und der rote Kreissektor sind gleich 

groß, denn beide haben als Radius r = a und den 

Zentriwinkel 60°. 

2 ⋅ a2 ⋅ π ⋅ 60° 

= 32 ⋅ π 

= 3 π = 9,42 cm² 

360° 3 

Allerdings ist das blaue Dreieck bei beiden 

Flächen der Sektoren dabei. Deshalb müssen wir 

einmal die Fläche des gleichseitigen Dreiecks 

abziehen. 


A ∆ = a2 ⋅ √ 3 

4 

= 32 ⋅ √ 3 

4 

= 3,90 cm 

9, 42 cm 2 − 3, 90 cm 2 = 5, 52 cm² ist der Flächeninhalt der Flamme. 




4.4. Prismen 

Beispiele für Prismen: 

Für alle Prismen gilt: 

Prismen sind Körper, deren Grundfläche G und Deckfläche D gleich sind, 

d.h. gleich geformt und gleich groß. 

Quader Zylinder allgemeines Prisma 

G: Rechteck G: Kreis G: beliebige Form 


→ Volumen des Quaders: 

V = a . b . h 

Volumen = Grundfläche mal Körperhöhe 

V = G ⋅ h 

→ Volumen des Zylinders: 

V =⋅ r 2 ⋅ π ⋅ h 




Beispiel: 

Wie viel m 3 hat ein km 3 ? 

Volumen eines Würfels: V = a 3 = a . a . a 

V = 1 km . 1 km . 1 km = 1 . km . 1. km . 1 . km = 1 . 1 . 1 . km . km . km = 1 km 3 

V = 1 000 m . 1 000 m . 1 000 m = 1 000 . m . 1 000 . m . 1 000 . m = 1 000 . 1 000 . 1 000 . m . m . m 

V = 1 000 000 000 m 3 

So muss gelten: 1 km 3 = 1 000 000 000 m 3 = 1.10 9 m 3 






Ein Volumen von 2 500 Barrel (bbl) auslaufenden Erdöls bedeckt eine Meeresfläche von 4 250 km 2 . Der Ölteppich 

breitet sich gleichmäßig aus. 1 bbl Erdöl entspricht ungefähr 159 Liter. 

– Berechnen Sie, wie dick der Ölteppich ist. 

– Geben Sie das Ergebnis in Nanometer (nm) an. 

V = A ⋅ h ∶ A 

V 

A 

= h 

397 500 dm 3 


4,25 ⋅ 10 11 dm 2 

A = 4 250 km 2 

Der Ölteppich ist 93,53 nm dick. 

h 

= h → h = 0,0000009353 dm 

1 m 

V = 2 500 . 159 

V = 397 500 l = 397 500 dm 3 (1) 

A = 4 250 km 2 = 425 000 000 000 dm 2 

= 4,25 ⋅ 10 11 dm 2 (2) 

Für alle Körper, deren Grundfläche G und Deckfläche D 

gleich sind, gilt: 

Volumen V = G ⋅ h 

= 0,000009353 m = 93,53 nm = h 

= 10 dm 1 nm = 1 . 10 –9 m 

: 10 : 1 . 10 –9 

(1) 1 l = 1 dm 3 

(2) 1 km 2 = 100 ha → 1 ha = 100 a → 1 a = 100 m 2 → 1 m 2 = 100 dm 2 → 1 km 2 = 100 000 000 dm² 




4.5. Spitze Körper 

Beispiele für spitze Körper: 

Für alle spitzen Körper gilt: 

quadratische Pyramide 


→ Volumen der quadratischen Pyramide: 

Kegel 

G: Quadrat G: Kreis 

Volumen = 

V = G⋅h 

Grundfläche mal Körperhöhe 

3 

V = a2 . h 

3 

3 

→ Volumen des Kegels: V = r2 .π⋅ h 

3 





Hilfsskizze: 

Die Pyramide vor dem Pariser Louvre hat eine quadratische 

Grundfläche mit einer Grundkante von 

a = 35 m und einer Höhe von h = 21 m. 

– Bestimmen Sie die mit Glas verbaute Fläche. 

Wir suchen den Mantel M der Pyramide. 

Dieser besteht aus 4 gleichschenkeligen Dreiecken mit 

der Grundlinie a und der Höhe h a . 

Das gleichschenkelige Dreieck besitzt die 

Flächenformel A = a . h a 

. 

Damit lautet die Formel für den Mantel M 


Mit a = 35 m und h = 21 m erhalten wir: 

h a = √( a 2 )2 + h 2 = √( 35 

2 )2 + 21 2 = 27,34 m 

2 

M = 4 ⋅ a . h a 

= 2 . a . h 

2 

a 

h a können wir im eingezeichneten rechtwinkeligen 

Dreieck mit dem pythagoräischen Lehrsatz bestimmen: 

h 2 a = ( a 2 

2 ) + h 2 → h a = √( a 2 

2 ) + h 2 

Man kann natürlich gleich so rechnen: 

h a = √17,5 2 + 21 2 = 27,34 m 

M = 2 . a . h a = 2 . 35 . 27,34 = 1 913,8 m 2 

Die mit Glas verbaute Fläche misst 1 913,8 m 2 . 




4.6. Kugel 


r … Radius V … Volumen O …Oberfläche 


V = 

4 ⋅ r3 ⋅ π 

3 

0 = 4 ⋅ r 2 ⋅ π 

Das Atomium in Brüssel ist ein Bau, der ein Eisenmolekül in 165-milliardenfacher Vergrößerung darstellt. 

Die Kugeln, aus denen dieser Bau besteht, haben einen Durchmesser von 18 Metern. 

– Bestimmen Sie den Radius eines kugelförmigen Eisenmoleküls in Nanometern (nm). 

r Atomium = 18 

2 = 9 m → r Eisenmolekül = 

9 m 

165 ⋅ 10 9 

– Ermittle das Gesamtvolumen der 9 Kugeln des Atomiums. 

V = 9 ⋅ 

4 ⋅ 9 3 ⋅ π 

3 

= 27 482,65 m³ 

= 5,45 ⋅ 10 −11 m = 0,055 nm 

1 nm = 1 ⋅ 10 −9 m 

: 1 ⋅ 10 −9 

Link: https://www.youtube.com/watch?v=WQkFClzyiAI 




Lösung: 

– Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, 

dass eine korrekte Aussage entsteht. 

Begründung: 

V alt = 4 ⋅ r3 ⋅ π 

3 

Wird der Radius einer Kugel ______1_________ , so _______2_______ sich ihr Volumen. 

verdoppelt 

2 

halbiert 

verdreifacht 

1 


V = 4 ⋅ (2 ⋅ r)3 ⋅ π 

= 4 ⋅ 8 ⋅ r3 ⋅ π 

= 8 ⋅ 4 ⋅ r3 ⋅ π 

= 8 ⋅ V 

3 

3 

3 

alt 

V = 4 ⋅ (r 2 )3 ⋅ π 

3 

= 4 ⋅ r3 

8 ⋅ r3 ⋅ π 

3 

= 4 ⋅ 1 ⋅ r3 

⋅ r 

8 

3 ⋅ π 

3 

verdoppelt 

2 

achtelt 

verneunfacht 

= 1 8 ⋅ 4 ⋅ r3 ⋅ π 

3 

2 

= 1 8 ⋅ V alt 

V = 4 ⋅ (3 ⋅ r)3 ⋅ π 

3 

= 4 ⋅ 27 ⋅ r3 ⋅ π 

3 

= 27 ⋅ 4 ⋅ r3 ⋅ π 

3 

= 27 ⋅ V alt 




5. TRIGONOMETRIE 

5.1. Winkelmaße 

Es gibt auf der Welt zwei fundamentale Richtungen: 

senkrecht oder lotrecht, auch vertikal genannt. Diese 

Richtung zeigt zum Erdmittelpunkt. Alle Körper in Erdnähe 

werden von unserem Planeten in diese Richtung 

angezogen. 

waagrecht bzw. horizontal: Die Lage, die die 

Wasseroberfläche in ruhendem Zustand einnimmt. 

Spätestens die Babylonier ( Babylonisches Reich 1839 v. Chr. – 539 v. Chr. ) 

teilten den rechten ( im Sinne für das Bauen richtigen ) Winkel in 

90 o ein und entsprechend den Vollkreis in 360 o . 

Dabei gilt: 1 o = 60 ' 1 ' = 60 '' ' ... Winkelminuten '' ... Winkelsekunden 

Winkel in diesem Gradmaß werden mit griechischen Kleinbuchstaben angegeben. Hier einige Bezeichnungen: 

alpha lamda 

beta μ my 

gamma pi 

delta ρ rho 

epsilon sigma 

Ach, sagte die Maus, die Welt wird enger mit jedem Tag. Zuerst war sie so breit, dass ich Angst hatte, 

ich lief weiter und war glücklich, dass ich endlich rechts und links in der Ferne Mauern sah, 

aber diese langen Mauern eilen so schnell aufeinander zu, dass ich schon im letzten Zimmer bin 

und dort im Winkel steht die Falle, in die ich laufe. 

Du musst nur die Laufrichtung ändern, sagte die Katze, und fraß sie. 

Franz KAFKA 

( 1883 – 1924 ) 

(1) 


(1) tria ( griechisch: drei ), gōnia ( griechisch: Eck ), - metrie bedeutet, es wird etwas gemessen 




Im Jahre 1795 legten Franzosen die Winkel-Einheit Neugrad ( gon ) , 

wie nebenstehend skizziert, fest. Demnach besitzt der 

Vollkreis 400 g(on) , der rechte Winkel misst 100 g(on) . 

Einerseits wurde dieses Winkelmaß nach der Französischen Revolution als Zeichen 

des Bruches mit früheren Verhältnissen eingeführt, andererseits war es der 

Versuch, auch die Winkeleinteilung dekadisch, also nach den Regeln des 

10-er Systems, zu gestalten. 

Diese Winkeleinheit hat sich nicht durchgesetzt. Der Vorteil, dass 

1 g = 100 Winkelminuten und 1 Winkelminute = 100 Winkelsekunden hat, 

ist durch die elektronischen Unterstützungen obsolet geworden. 

Mit dem Bogenmaß existiert eine dritte Möglichkeit, die Größe von Winkeln anzugeben. Es findet in der Physik 

Verwendung und besitzt (eigentlich) keine Einheit. Da wir nur das gängige Gradmaß verwenden, belasse ich den 

Ausflug in die Winkelmaße damit. 

Gradmaß α 

π ⋅ α 

180° 

= x 

Danach ergibt sich beispielsweise für 

Bogenmaß x 

180° π 

90° 

270° 



Nehmen wir an, der Läufer 

benötigt für die Strecke von S bis M 1 

2 min. Dann braucht er (bei gleicher 

Geschwindigkeit) von M 1 bis M 2 die Hälfte 

π 

2 

3 π 

2 

dieser Zeit, also 1 min, von M 2 bis M 3 

1 

Minute, von 2 M3 nach M4 1 Minute usw. 

4 





Das Rechnen mit Winkelfunktionen mit Casio : 

Kennen den Winkel und suchen den Wert der Winkelfunktion: 

Beispiel: sin ( 30 o ) = 

Beachte, dass in der Kopfzeile des Displays der Buchstabe D 

steht. 

D steht für Degree ( englisch: Grad ) 

Steht statt D ein G [ Gon, gemeint sind Neugrad ] oder R [ Radiant ( Bogenmaß ) ], so gehe so vor: 

Betätige die abgebildete Tastenkombination . . . 

. . . und es erscheint das abgebildete Befehls-Fenster. 

Drücke nun die Taste 

. . . und es erscheint das abgebildete Befehls-Fenster. 

Drücke nun die Taste 


Wir betätigen die 

–Taste ( 4. Reihe von oben, 

3. von rechts ) und am Display erscheint 

nebenstehender Befehl. 




Jetzt geben wir den Winkel ein und schließen die 

Es ist also sin ( 30 o ) = 1 

2 

bzw. 0,5 

Klammer 

Zuletzt noch auf 

das Ergebnis. 

Kennen den Wert der Winkelfunktion und suchen den Wert des Winkels: 

Beispiel: sin α = 0,7071 

Den Wert der Winkelfunktion eingegeben, die Klammer geschlossen , auf 

erscheint. 

α = sin – 1 ( 0,7071 ) = 44,99945053 o = 45,00 o . 

(5. Reihe von oben, 3. von rechts). 

gedrückt und wir erhalten 

Die Umkehrfunktion von sin, den sog. arcsin, am TR 

sin –1 , erhalten wir mit folgender Tastenkombination: 

Damit erscheint am Display sin –1 . 

gedrückt und der Winkel 


Im Folgenden die Winkelfunktionen, ihre Umkehrungen 

und die Bezeichnungen am Taschenrechner: 

Winkelfunktion ihre Umkehrung Casio 

Sinus ( sin ) Arcussinus ( arcsin ) sin –1 

Cosinus ( cos ) Arcuscosinus ( arccos ) cos –1 

Tangens ( tan ) Arcustangens ( arctan ) tan –1 




sinus (lateinisch): Biegung, Rundung 

cosinus : Abkürzung von sinus complementari : der Sinus des Komplementärwinkels (des auf 90 o ergänzten Winkels) 

z.B. ist der sin (30 o ) = cos ( 90 o – 30 o ) = cos (60 o ) 

tangens (lateinisch): berührend 

arcus (lateinisch): Bogen 

5.2. Graphen der Winkelfunktionen 

5.2.1. sin und cos 

Im Folgenden sind die Graphen dargestellt und wesentliche Eigenschaften besprochen. 

Sinus 

Eigenschaften: 

• Die Funktion sin ist für alle x R, also für alle reellen Zahlen definiert 

• Alle 360° wiederholen sich die Funktionswerte 


Man spricht deshalb von einer periodischen Funktion mit der Periode 360° 

• Der größte y-Wert, den der Sinus annimmt, ist + 1, der kleinste y-Wert, den der Sinus annimmt, ist – 1 

sin 


Für die benötigte Laufzeit ergibt demnach 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . Minuten 





Cosinus 


• Die Funktion cos ist für alle x R, also für alle reellen Zahlen definiert 

• Alle 360° wiederholen sich die Funktionswerte 

Man spricht deshalb von einer periodischen Funktion mit der Periode 360 

• Der größte y-Wert, den der Cosinus annimmt, ist + 1, der kleinste y-Wert, den der Cosinus annimmt, ist – 1 


Verschiebt man den Graphen des Sinus um 90° nach links, so entsteht der Graph des Cosinus. 

Verschiebt man den Graphen des Cosinus um 90° nach rechts, so entsteht der Graph des Sinus. 

cos 

sin 

cos 




5.2.2. tan 

Tangens 

tan tan tan tan 

tan tan tan tan 


• Die Funktion tan ist für alle reellen Zahlen außer den ungeraden Vielfachen von 90° definiert. 

• Alle 180° wiederholen sich die Funktionswerte. 

Man spricht deshalb von einer periodischen Funktion mit der Periode 180° 

• Die y-Werte können jede reelle Zahl annehmen, also von −∞ bis +∞ gehen. 


Der Tangens ist deshalb für alle ungeraden Vielfachen von 90° nicht definiert, weil der Tangens festgelegt ist als 

tan(α) = 

sin(α) 

cos(α) 

und der Cosinus bei allen ungeraden Vielfachen von 90° gleich Null ist. 

Ein Bruch mit dem Nenner Null ergibt aber keine Zahl (und auch nichts anderes). 




5.3. Winkelfunktionen im Einheitskreis 

Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung. 

Der Radius ist 1 Längeneinheit groß. 

Betrachten wir zunächst den Einheitskreis: 

 

 

Was soll denn das heißen? 

1 Längeneinheit ??? 

Warum nicht 1 cm oder 1 dm ? 

Weil, lieber Fredo, ein Radius von 1 cm oft zu klein 

ist um alles Notwendige einzuzeichnen und 1 dm 

wiederum zu groß! 

Du musst dir nur im Klaren sein, dass der Radius im 

Einheitskreis immer 

1 Längeneinheit lang ist, gleich, ob du ihn z.B. 4 cm 

oder 55 mm lang zeichnest! 


Alle Winkel werden von der positiven x-Achse aus gemessen. 

Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn aufgetragen, 

negative Winkel mit dem Uhrzeigersinn. 

≡ ist das Zeichen für entspricht 

II 

III 

I 

IV 

I … 1. Quadrant: 0° < α < 90° II … 2. Quadrant: 90° < α < 180° 

III … 3. Quadrant: 180° < α < 270° IV … 4. Quadrant: 270° < α < 360° 




Sin und Cosinus im Einheitskreis 

 

Alle Winkel werden von der positiven x-Achse (= 1. Schenkel des Winkels) aus gemessen. 

Der 2. Schenkel des Winkels schneidet in einem Punkt den Einheitskreises. 

Dessen x-Koordinate ist der Cosinus des Winkels, dessen y-Koordinate der Sinus des Winkels. 





Tangens im Einheitskreis 

 

Alle Winkel werden von der positiven x-Achse (= 1. Schenkel des Winkels) aus gemessen. 

Der 2. Schenkel des Winkels schneidet in einem Punkt den Einheitskreis. 

Der Tangens berührt den Einheitskreis parallel zum Sinus des Winkels. 


tangere (lateinisch): berühren 




5.4. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck 

Beispiel: 

Im rechtwinkeligen Dreieck ist die Seite gegenüber 

dem rechten Winkel die Hypotenuse, 

die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, 

die Katheten. 

Die am Winkel anliegende Kathete heißt 

Ankathete. 

Die dem Winkel gegenüberliegende Kathete nennt 

man Gegenkathete. 

Nur die Hypotenuse bleibt immer Seite gegenüber rechtem Winkel. 

Wer An– und wer Gegenkathete ist, richtet sich nach dem verwendeten Winkel! 

Gleich wie die Seiten benannt werden, 

die Lage ist es, die entscheidet! 


Hypotenuse . . . . . . . . . y 

Hypotenuse . . . . . . . . . PR ̅̅̅̅ 

Ankathete von β . . . . . z 

Gegenkathete von β . . x 

Ankathete von ε . . . . . ̅̅̅̅ QR 

Gegenkathete von ε . . ̅̅̅̅ PQ 




Im rechtwinkeligen Dreieck sind die Winkelfunktionen wie folgt definiert: 

sin (α) = Gegenkathete 

Hypotenuse 

cos (α) = 

Ankathete 

Hypotenuse 

tan (α) = Gegenkathete 

Ankathete 

Die Winkelfunktionen dürfen nur in rechtwinkligen Dreiecken verwendet werden. 

Mit dem rechten Winkel lässt sich keine Winkelfunktion angeben, 

da der rechte Winkel keine Gegenkathete und zwei Ankatheten besitzt. 

Betrachten wir die Formeln der Winkelfunktionen, so kommen in jeder der Gleichungen 3 Größen – 2 Seiten und 

1 Winkel – vor. Will ich konkrete Zahlenwerte erhalten, darf ich in einer Gleichung nur eine unbekannte Größe 

vorfinden. Deshalb benötige ich im rechtwinkeligen Dreieck stets 2 gegebene Größen: 

entweder 2 Seiten oder 1 Seite und 1 Winkel ( 90° ). 

Bemerkung: Kenne ich den Winkel, so lässt sich der Wert der Winkelfunktion leicht bestimmen. 


Weiters gilt in rechtwinkeligen Dreiecken: 

o Lehrsatz des PYTHAGORAS: ( eine Kathete ) 2 + ( andere Kathete ) 2 = ( Hypotenuse ) 2 

o Flächeninhalt: A= a . b 

2 

a, b . . . Katheten 

o 

In allen Dreiecken gilt: + + γ = 180 o 




Beispiel: 

Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man den Winkel = 42 o und die Länge der Kathete a = 4,6 cm. 

Berechne die fehlenden Umfangstücke und den Flächeninhalt des Dreiecks. 

Umfangstücke: alle Seiten und Innenwinkel 

gegeben: 

gesucht: b = 

c = 

= 

A = 

= 42 o 

a = 4,6 cm 

Fertige zunächst ruhig eine Freihand-Skizze an, um dir einen 

ersten Überblick zu verschaffen. 

Jetzt die Skizze mit Lineal. 

Erläuterungen Rechengang Ergebnisse 


Die gegebene Seite a ist Gegenkathete 

des bekannten Winkels . 

Also wählen wir eine Winkelfunktion, 

die die Gegenkathete besitzt. 

Zur Auswahl stehen Sinus und Tangens. 

Entscheiden wir uns für den Sinus, so 

berechnen wir die Hypotenuse, bei 

Verwendung des Tangens die 

Ankathete. 

Wir haben die Wahl. 

sin(α) = a 

c 

sin(42°) = 4,6 

c 

| . c 

c . sin(42°) = 4,6 | ∶ sin (42°) 

c = 

4,6 

sin(42°) 

c = 6,87 cm 




Erläuterungen Rechengang Ergebnisse 

Jetzt kennen wir die Kathete a und die 

Hypotenuse c. 

Mit Hilfe des pythagoräischen 

Lehrsatzes können wir die Länge der 

Seite b ermitteln. 

In jedem Dreieck beträgt die Summe der 

Innenwinkel 180 o . Zwei der drei Winkel, 

und 90 o , kennen wir. 

Für den Flächeninhalt eines 

rechtwinkeligen Dreiecks verfügen wir 

über eine eigene Flächenformel. 

a 2 + b 2 = c² 

4,6 2 + b 2 = 6,87 2 | − 4,6² 

b 2 = 6,87 2 − 4,6 2 | √ 

b = √ 6,87 2 − 4,6 2 

+ + 90° + 180° → 42° + β − 90° = 180° 

A = 

a . b 

2 

b = 5,10 cm 

132° + β = 180° | − 132° = 48 O 

→ A = 

4,6 . 5,10 

2 

Wähle immer die passenden Einheiten und beschrifte die Resultate. 

≠ √6, 87 2 − √4, 6² 

A = 11,73 cm² 



Hausbau 

a) Der Querschnitt eines Dachstuhls ist in der nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt. 

– Erstellen Sie eine Formel, mit der 

man den Winkel α aus a und h 

berechnen kann. 

Erstellen Sie eine Formel, mit der man den Winkel α aus a und h berechnen kann. 





Formel erstellen 

= Rechengang (allgemein) angeben 

Formel … aus a und h: 

Es dürfen nur diese Größen in der Formel vorkommen 

b) Der Querschnitt eines Dachstuhls ist in der 

nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt. 

Alle Längen sind in Metern angegeben. 

– Berechnen Sie b. 

cos(38°) = 

x 

6,50 

tan(α) = 


5,12 − 4,25 = 0, 87 m 

h 

a 

2 

→ α = tan −1 2 ⋅ h 

( 

a ) 


| ⋅ x → cos(38°) ⋅ 6,50 = x → 5,12 m= x 

= h ∶ a 

2 = h ⋅ 2 

a = 2 ⋅ h 

a 

Link: https://www.youtube.com/watch?v=0H_Wji_bV1Y 




5.5. Winkelsätze (Cluster ) 

Die Winkelsätze können auch in allgemeinen (nicht–rechtwinkeligen) Dreiecken 

angewendet werden. 

5.5.1. Sinus – Satz 

 

 

Beispiel: 

a 

sin(α) = 

b 

sin(β) = 

Für den Sinus – Satz benötigt man 3 gegebene Größen: entweder 2 Seiten und 1 Winkel 

oder: 1 Seite und 2 Winkel 

Für den Sinus – Satz liegen die passenden Bestimmungsstücke gegenüber. 


Von einem (allgemeinen) Dreieck kennt man die Länge der Seite a = 16 cm und die Winkeln α = 46° 

sowie β = 52°. 

– Bestimme alle fehlenden Umfangstücke. 

c 

sin(γ) 

Umfangstücke: alle Seiten und (Innen-) Winkel 




Skizze: 

gegeben: a = 16 cm 

α = 46° 

β = 52° 

gesucht: b, c und γ 

a 

sin(α) = 

16 

sin(46°) = 

16 ⋅ sin (52°) 

sin(46°) 

b 

sin(β) 

b 

sin(52°) 

| ⋅ sin(52°) 

= b → b = 17, 53 cm 

 

 

 

Wir kennen 2 Winkel und 1 Seite. 

Ein gegebener Winkel und eine gegebene Seite 

liegen einander gegenüber Sinussatz 

Dem gegebenen Winkel β liegt die Seite b 

gegenüber Wir berechnen zunächst b. 

In jedem Dreieck gilt: 

α + β + γ = 180° 

46° + 52° + γ = 180° 

98° + γ = 180° | − 98° 

γ = 82° 






Mit dem Sinus – Satz können wir jetzt noch die Seite c 

berechnen: 

a 

sin(α) = 

16 

sin(46°) = 

c 

sin(γ) 

16 ⋅ sin (82°) 

sin(46°) 

c 

sin(82°) 

| ⋅ sin(82°) 

= c → c = 22, 03 cm 

Für ein Konzert wird ein Sektor für VIPs reserviert. Die nachstehende Skizze veranschaulicht die Fläche dieses 

Sektors, wobei die Seitenlängen in Metern (m) angegeben sind. 


– Berechnen Sie die Seitenlänge x aus den gegebenen Größen. 

108,24° + 28,6° + α = 180° 

136,84° + α = 180° | − 136,84° 

α = 43, 16° 




x 

sin(43,16°) = 18 

sin(108,24°) 

| ⋅ sin (43,16°) 

x = 

18 ⋅ sin (43,16°) 

sin(108,24°) 

x = 12, 96 m 

– Erläutern Sie, warum die Berechnung der Länge x mit x = sin(28,6°) ⋅ h falsch ist. 

sin(28,6°) = h 

x 


| ⋅ x 

x ⋅ sin(28,6°) = h | ∶ sin (28,6°) 

x = 

h 

sin (28,6°) 

Die gegebene Umformung ist falsch, weil h durch den sin (28,6°) dividiert werden muss und nicht mit sin(28,6°) 

zu multiplizieren ist. 

5.5.2. Cosinus – Satz 

 

Für den Cosinus – Satz benötigt man 3 gegebene Größen: 

entweder 2 Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel 

oder: 

3 Seiten 

a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos(α) 

b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos(β) 

c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos(γ) 

 

Hat man einmal mit dem Cosinus – Satz gerechnet, kann danach immer der Sinus – Satz verwendet werden. 




Weiters gilt in (allgemeinen) Dreiecken: 

 

 

Beispiel: 

A = a⋅h a 

2 

A = a⋅b 

2 

= b⋅h b 

2 

⋅ sin(γ) 

= c⋅h c 

2 

Gemeint sind: 2 Seiten und der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels 

Die gegebenen Größen liegen hier wie für den Cosinus – Satz, 

aber bei der Flächenformel ist sin zu verwenden! 

Von einem (allgemeinen) Dreieck kennt man die Längen der Seiten a = 34 mm , b = 28 mm und den Winkel 

γ = 76° 

– Berechne die fehlende Seite und den Flächeninhalt des Dreiecks. 


c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos (γ) 

c 2 = 34 2 + 28 2 − 2 ⋅ 34 ⋅ 28 ⋅ cos (76°) 

Wir kennen zwei Seiten und den von 

ihnen eingeschlossenen Winkel 

Cosinus – Satz 

c 2 = 1 479,38 | √ 

c = 38, 46 mm 




A = 

34 ⋅ 28 

2 

⋅ sin(76°) 

A = 461, 86 mm² 

https://www.youtube.com/watch?v=xsCR34mblpo&t=348s 

Lösungen: * A = 6 ⋅ 

d 

2 ⋅ d 

2 

2 

Jemand möchte ein Gartenhaus errichten, das als Grundfläche 

ein regelmäßiges Sechseck besitzt, wie nebenstehend 

abgebildet. 

– Geben Sie eine Formel für den Flächeninhalt des 

Sechsecks in Abhängigkeit von d und α an. 

– Geben Sie die Größe des Winkels α an. 

⋅ sin ( α 

) = 3⋅d2 

⋅ sin ( α 

) * 120° 

2 4 

2 

Eigenschaften eines regelmäßigen Sechsecks: 


Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs 

gleichseitigen Dreiecken. 




5.6. Vermessungsaufgaben 

Höhenwinkel Tiefenwinkel Sehwinkel 

Beim Höhen- und Tiefenwinkel wird immer von der Waagrechten aus gemessen. 

Beim Visierwinkel ist das nicht zwingend. Hier wird das Objekt von den Winkel-Schenkeln umschlossen. 

horizontal . . . waagrecht → Horizontalebene: eine waagrechte Ebene 

vertikal . . . senkrecht bzw. lotrecht 

Beachte beim Ergänzen von Winkeln 

Horizontalwinkel: ein Winkel in einer waagrechten Ebene 

 

α + β = 90° α + β = 180° 


 

In allen Dreiecken gilt: α + β + γ = 180° 




 

Z „ Z-Regel“: 


Sind zwei parallele Strecken durch eine dritte Strecke verbunden, 

so sind die Winkel in den Ecken jeweils gleich groß. 

Ein Turm und ein Mast stehen in einer waagrechten Ebene. 

Von dem a Meter (m) hohen Turm sieht man die Spitze S des Mastes der Höhe h unter dem Höhenwinkel α, 

den Fußpunkt F dieses Mastes unter dem Tiefenwinkel β . 

– Fertigen Sie eine den Sachverhalt beschreibende Skizze an, in der alle beschriebenen Größen beschriftet 

werden. 





– Berechnen Sie mit a = 5 m, α = 32° und β = 8,88° die Höhe h des Mastes. 


Wegen der Z-Regel befindet sich der Winkel β 

auch bei F. 

x ist im rechtwinkeligen Dreieck AFP die 

Hypothenuse. 

Die gegebene Seite a ist Gegenkathete des Winkel 

β 

→ Sinus 

sin(β) = a 

x 

x . sin (β) = a 

x = 

a 

sin (β) 

5 

x = 

sin (8,88°) 

x = 32, 39 m 


| . x 

| ∶ sin (β) 

Die Winkel β und ε ergeben zusammen 90°. 

90° − ß = ε 

90° − 8,88° = 81, 12° = ε 

Im (allgemeinen) Dreieck PFS gilt: 

(α + β) + ε + μ = 180° 

μ = 180° − (α + β) − ε 

| − (α + β) − ε 

μ = 180° − (32° + 8,88°) − 81,12° 

μ = 58° 




Die Höhe des Turmes beträgt 25 m. 


Jetzt kennen wir alle passenden Größen, um mit 

dem Sinus-Satz h berechnen zu können: 

h 

sin(α + β) = 

h = 

h = 

x 

sin(μ) 

x ⋅ sin (α + β) 

sin (μ) 

32,39 ⋅ sin (40,88°) 

sin (58°) 

h = 25, 00 m 

| . sin (α + β) 


Die Bahn auf die Festung Hohensalzburg ist eine Standseilbahn. Die Talstation liegt 429 Meter (m) 

über dem Meeresspiegel (ü.d.M.), die Bergstation 525,6 m ü.d.M. Die direkte Verbindungsstrecke 

zwischen Tal- und Bergstation hat eine Länge von 198,5 m. 

– Übertragen Sie den Text in eine passende Skizze, die mit den gegebenen Größen vollständig zu beschriften 

ist. 




h = 525,6 – 429 = 96,6 m 

– Berechnen Sie den Steigungswinkel der direkten Verbindungsstrecke zwischen Tal- und Bergstation. 

sin(α) = h 

s 

→ 

α = sin −1 ( h 

) → α = 29, 12° 

s 


Bemerkung1: Höhenwinkel und Tiefenwinkel werden auch Neigungswinkel genannt. 

Bemerkung 2: Bei Diesen Berechnungen ist das Vorzeichen des Winkels ohne Bedeutung, weil es hier nur 

um die Größe geht. 

– Geben Sie die Steigung dieser Verbindungsstrecke in Prozent an. 




Was bedeutet eigentlich die Steigung k einer Strecke (Geraden) ? 

Beispiel: 

Die Steigung k einer (geradlinigen) Strecke ist das 

Verhältnis von Höhenunterschied h und waagrecht gedachter Entfernung w, 

ist also der Tangens des Steigungswinkels 

Eine Steigung k von z.B. 12 % bedeutet, dass eine Strecke 

in w =100 m waagrechter Entfernung um h =12 m ansteigt. 

Damit gilt: Steigung k = h 

tan(α) = 0,12 

α = tan −1 (0,12) = 6,84° 

w 

= 12 % = 

12 


100 

= 0, 12 = tan(α) 





Die Grundfläche einer Dachterrasse besitzt die Form eines Dreiecks mit den Seiten a, b und c. 

Folgende Informationen liegen vor: 

Der Umfang der Dachterrasse beträgt 36 m. 

Die Seite a ist eineinhalb Mal so lang wie b. 

Die Seite c um 100 cm länger als die Seite b. 

– Stellen Sie ein Gleichungssystem mit den Unbekannten a, b und c auf, mit dem sich diese Seitenlängen 

bestimmen lassen. 

– Ermitteln Sie die Längen der Seiten. 

– Berechnen Sie den größten Winkel in diesem Dreieck. 


I : a + b + c = 36 

II : a = 1,5 . b 

III : c = b + 1 





In jedem Dreieck gilt: 

Der größten Seite liegt der größte Winkel gegenüber. 

a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos (α) 

15 2 = 10 2 + 11 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ cos (α) 

225 = 100 + 121 − 220 ⋅ cos (α) 

225 = 221 − 220 ⋅ cos(α) | − 221 

4 = −220 ⋅ cos(α) | ∶ (−220) 

−0,01818 = cos(α) 

cos −1 (−0,01818) = α 

91, 04° = α 

Da hab‘ ich gleich zwei Fragen: 

Was mach ich, wenn ich nicht weiß, dass der 

größten Seite der größte Winkel gegenüber 

liegt? 

Warum lösen wir die Gleichung 

15 2 = 10 2 + 11 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ cos (α) 

nicht mit GeoGebra? 

Kannst du, erhältst aber 

Dann musst du alle Winkel 

berechnen. 

Um die entsprechenden Grad zu finden, müsstest du den Winkel 1,59 vom Bogenmaß ins Gradmaß verwandeln 

(siehe S 147) und außerdem wissen, dass für ein Dreieck k1 = 0 zu setzen ist. 


https://www.youtube.com/watch?v=xsCR34mblpo&t=348s 



III Funktionale Zusammenhänge 

III FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE 

6. FUNKTIONEN 

Wer auf andere Leute wirken will, 

der muss erst einmal in ihrer Sprache mit ihnen reden. 

Kurt TUCHOLSKY 

( 1890 – 1935 ) 

Idee: Univ. Prof. Dr. Stefan SILLER 


Der grundlegende Unterschied zur ELEMENTARGEOMETRIE ( Kapitel 4 ) und TRIGONOMETRIE ( Kapitel 5 ) besteht darin, 

dass wir uns hier nicht mit der Berechnung von Längen, Flächen, Rauminhalten oder Winkeln befassen, sondern 

unser Interesse den Bedingungen für Punkte, die auf einer Linie liegen. 

Jede Linie, gleich ob sie unendlich lange oder begrenzt ist, setzt sich aus unendlich vielen Punkten zusammen. 

Die Gleichungen dieser Linien sind Maßgabe für die Koordinaten dieser Punkte. Deshalb spricht man auch von 

Koordinatengeometrie. 

Da wir nur zweidimensionale Fälle behandeln, stehen die x und y in jeder Linien-Gleichung 

für die x- und y- Koordinaten aller unzähligen Punkte, aus denen sich die jeweilige Linie zusammensetzt. 

Natürlich kann es nicht Aufgabe sein, die Koordinaten all dieser unendlich vielen Punkte zu bestimmen. Vielmehr 

müssen alle anderen Größen gegeben sein, damit die Gleichung eine konkret bestimmte Linie beschreibt. 


175 

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Hier Beispiele, die noch genaue Behandlung erfahren: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Polynomfunktion 1. Grades (lineare Funktion) 

y = k . x + d 

Gleichung beschreibt eine Linie, weil x und y vorkommen. 

x und y stehen für jeden der unendlich vielen Punkte, 

aus denen die Linie besteht. 

Gleichung beschreibt eine Funktion, weil y nur linear vorkommt. 

Gleichung beschreibt eine lineare Funktion (eine Gerade), 

weil x nur linear vorkommt. 

Gleichung beschreibt eine allgemeine lineare Funktion (Gerade), 

weil außer x und y noch andere Buchstaben vorkommen. 

y = 2 x + 1 beschreibt eine konkret gegebene lineare Funktion 

(Gerade), weil außer x und y nur Zahlen vorkommen. 

Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion) 

y = a . x² + b . x + c 





Gleichung beschreibt eine quadratische Funktion, weil die höchste 

Potenz von x quadratisch ist. 

Gleichung beschreibt eine allgemeine quadratische Funktion, 


y = 3 x² +2 x – 1 beschreibt eine konkret gegebene 

quadratische Funktion, weil außer x und y nur Zahlen vorkommen. 

Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion) 

y = a . x³ + b . x² + c . x + d 






 

 

 

Gleichung beschreibt eine Funktion 3. Grades, weil die höchste Potenz 

von x hoch 3 ist. 

Gleichung beschreibt eine allgemeine Funktion 3. Grades, 


y = 2 x³ +3 x² –4 x + 1 beschreibt eine konkret gegebene 

Funktion 3. Grades, weil außer x und y nur Zahlen vorkommen. 


176 

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6.1. Koordinatensystem 

René DESCARTES 

( 1596 – 1650 ) 

manfredambach 

y 

- 3 

- 2 

Wir verwenden ausschließlich das kartesische ( rechtwinkelige ) Koordinatensystem, 

benannt nach René DESCARTES, latinisiert, wie es zu seiner Zeit Mode war, Renatus 

CARTESIUS. 

DESCARTES war französischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler. Mit 

seinen Ideen und Auffassungen trug er maßgeblich zum Weltbild der Neuzeit bei. 

Zwar wurden seine naturwissenschaftlichen Theorien durch die NEWTONsche Physik zum 

Teil widerlegt bzw. ergänzt, doch gilt DESCARTES als Wegbereiter der mechanistischen 

Denkweise, die die zuvor Jahrhunderte gültige aristotelische Sicht der Naturphänomene 

hinter sich ließ und die Naturwissenschaften zu neuen Ufern führte. 

y- y-Achse 

- 1 

- 1 

- 2 

- 3 

+ 3 

+ 2 

+ 1 

+ 1 + 2 + 3 

Koordinaten - Ursprung 

x- x-Achse 

Die waagrechte Achse ist die x-Achse, 

die senkrechte Achse wird y-Achse 

genannt. 

Der Schnittpunkt der Koordinatenachsen 

ist der (Koordinaten-) Ursprung. 

Links des Ursprungs liegen die negativen 

x-Werte, rechts die positiven. 

Oberhalb des Ursprungs finden sich die 

positiven y-Werte, unterhalb die 

negativen. 

Die Koordinaten eines Punktes sind Strecken, 

gemessen vom Ursprung aus. 


1 

x 

1 4 

oder Ordinate 

P ( 4 / 3 ) 

3 

y 

oder Stelle oder Argument 

oder Abszisse 

manfredambach 


177 

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In allen Fällen sind die Achsen zu beschriften und auf beiden 

Achsen die Einheiten festzulegen (skalieren). 

Beispiel: Die Entwicklung der Weltbevölkerung seit dem Jahr 1700 

Jahresanfang 

Milliarden (Mrd.) 

1700 0,5 

1800 1,0 

1900 1,5 

1950 2,5 

1980 4,5 

2020 7,7 

Punkte werden in der Regel mittels (oder Kreuzchen) markiert. 

Nur besondere Punkte (siehe später) werden mit Großbuchstaben 

beschriftet. 

Das ist nicht immer möglich, wie das folgende Beispiel zeigt. 


Da die jeweilige Bevölkerungs-Zahl abhängig vom betrachteten Jahr ist, ist 

t … die Zeit in Jahren , die unabhängige Variable 

und 

Müssen auf der x-Ache 

und y-Achse immer die 

gleichen Einheiten 

gewählt werden? 

B … die Bevölkerungszahl in Milliarden (Mrd.) , die abhängige Variable 

Man schreibt dann B(t) und meint die Bevölkerungszahl in Abhängigkeit des betrachteten Jahres. 

Die unabhängige Variable kommt immer auf die waagrechte Achse, 

die abhängige Variable auf die senkrechte Achse. 


178 

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6.2. Funktionen – allgemein 

6.2.1. Was ist eine Funktion? 

Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der JEDEM Element der sog. Definitionsmenge 

GENAU EIN Element der sog. Wertemenge zugeordnet wird. 

Die Wertemange nennt man auch Wertebereich oder Bildmenge. 

Beispiel: 

Kann mir mal einer erklären, 

was dieser Satz bedeuten 

soll?? 

Wir betrachten die Körpergrößen verschiedener Personen. 

OK, lieber Fredo, ein Beispiel gefällig? 

Die sog Definitionsmenge Df besteht hier aus den (Vor-) Namen der gemessenen Personen, die Wertemenge Wf 

aus den dabei erhaltenen Körpergrößen: 

Df = { Conny, Fabian, Norbert, Sara, Tom } 

Wf = { 165 cm, 172 cm, 184 cm } 

Die Zuordnung lautet hier: Jeder Person wird ihre Körpergröße zugeordnet. 

Angenommen, Conny misst 172 cm, ebenso Fabian. Norbert ist 184 cm groß, Sara verfügt über eine 

Körpergröße von 165 cm und Tom von 184 cm. Dann sieht diese Funktion im sog. Pfeil - Diagramm 

wie folgt aus: 


Im Pfeildiagramm erkennt man eine Funktion daran, dass von 

jedem Element der Definitionsmenge genau ein Pfeil abgeht. 


179 

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Würden wir beispielsweise jeder Person ihre 

Lieblingsspeise(n) zuordnen, so wäre diese Zuordnung 

nicht eindeutig und stellte keine Funktion dar. 

In nebenstehendem Beispiel isst Conny gerne Schnitzel und Mcs (Speisen 

von Mc Donald, Burger King, etc.). So führen von Conny zwei Pfeile weg. 

Fabians Favorit sind Spaghetti. Deshalb geht von Fabian nur ein Pfeil ab. 

Norbert führt Mcs als Lieblingsspeise an, dorthin führt sein Pfeil. 

Sara hat keine Lieblingsspeise, also geht auch kein Pfeil von ihrem 

Namen aus. 

Tom liebt Mcs und Gemüse, demnach gehen in diesem Fall zwei Pfeile 

von Tom aus. 

Funktionen begegnen uns oft im Alltag. Meist in grafischer Darstellung, wobei die Abhängigkeit einer Größe von 

einer anderen illustriert wird. 

Beispiel: 

Mcs 

Welche der folgenden Graphen stellt eine Funktion dar? 

A B C D 


Lösung: Nur C Warum? Weil nur bei C jedem x genau ein y zugeordnet ist. 

A B C D 


180 

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Beispiel einer Funktion: 

Um wie viel Uhr wird die Tageshöchsttemperatur erreicht? 

Allgemein gilt: 

Hier ist der Temperaturverlauf T in Zell am See 

in Abhängigkeit der Tageszeit t an einem 

Augusttag eines bestimmten Jahres 

wiedergegeben. 

t … unabhängige Variable 

T … abhängige Variable 

Man schreibt in diesem Fall T(t) und meint 

damit, dass die Temperatur T abhängig ist von 

der Tageszeit t . 

Diese nebenstehende Darstellung nennt man 

Funktionsgraph. Dieser wird mit T beschriftet. 

Zwischen 13:30 und 13:50 wird die 

Tageshöchsttemperatur erreicht. 


Beispiel: Ein Heim und ein Land * 

T 

T 

Hungersnöte, politische Willkür und Unterdrückung hatten zur Folge, dass im 19. und 20. Jahrhundert Millionen Europäer ihren 

Kontinent verließen und ihr Glück in den Vereinigten Staaten von Amerika suchten. 

Nachfolgend ein Diagramm der Flüchtlingsströme: 

Die Anzahl E der Einwanderer pro Jahr ist in Abhängigkeit der Zeitdauer t in Jahren dargestellt. 

Es handelt sich also um eine Funktion E(t) . 

* Eine Zeile der US-Hymne 


181 

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Lesen wir folgende Daten aus dem Diagramm ab: 

a) Wie viele Menschen wanderten im Jahr 1910 in die USA ein? 

Im Jahr 1910 wanderten ca. 884 000 bis 905 000 Menschen in die USA ein 

b) Wann erreichte der Flüchtlingsstrom erstmals eine Größe von 800 000 Menschen pro Jahr? 


Im Jahr 1906 bzw. 1907 erreichte die Einwandererzahl erstmals eine Größe von 800 000. 

Es gilt wie in der Schule: bei Messfehler: 

Toleranzbereich ± 1 mm 


182 

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Der folgende Graph zeigt die Fahrt zweier Züge, TEE 24 und IC 640 auf der Strecke Salzburg – Stuttgart. 

– Kreuzen Sie die richtige Aussage an: [ 1 aus 5 ] * 

Beide Züge sind einschließlich Halte gleich lange unterwegs 

Der TEE fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 150 km/h 

Die Züge begegnen einander 200 km von Stuttgart entfernt. 

Der IC verlässt Stuttgart um 8:45 

Der TEE fährt bis zum ersten Halt 1,30 Stunden. 

* Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass von den 5 Aussagen genau eine richtig ist. 

Lösung: 


Der TEE ist 3 h unterwegs, der IC 3,75 h. 

400 km 

v TEE = = 133,33 km/h 

3 h 

Sie begegnen einander 400-200 = 200 km von 

Stuttgart entfernt. 

Der IC verlässt Stuttgart um 8:30 

Der TEE fährt bis zum ersten Halt 1,5 h. 

! 1,5 h = 1 h 30 min ≠ 1,30 h 

Man muss beim [ 1 aus 5 ] – Format nichts rechnen, doch ist die Chance niedrig, durch Raten die richtige Lösung zu finden! 


183 

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6.2.2. Bezeichnungen und Ausdrücke 

Aus Gründen der Übersicht seien hier die gängigen Begriffe und Benennungen für Funktionen zusammengefasst. 

A, B, C, . . . , P1 , P2 , . . . Punkte werden, wenn überhaupt, mit Großbuchstaben bezeichnet 

f , g , . . . , f 1 , f 2 , . . . Linien werden mit Kleinbuchstaben benannt. Ist auch der Name der Linie. 

Df . . . Definitionsmenge einer Funktion f 

Wf . . . Wertemenge bzw. Wertebereich bzw. Bildmenge einer Funktion f 

x . . . Elemente der Definitionsmenge bzw. x – Koordinate bzw. Stelle bzw. Argument 

bzw. unabhängige Variable bzw. Abszisse 

y . . . Elemente der Wertemenge bzw. Wertebereichs bzw. der Bildmenge bzw. abhängige Variable 

bzw. Ordinate 

y = f(x) 

f(x) . . . Funktionswert an der Stelle x bzw. Element der Wertemenge bzw. des Wertebereichs 

bzw abhängige Variable bzw. Ordinate 


Für Teilbereiche der reellen Zahlen ( R ) gibt es die 

Intervall-Schreibweise, 

wobei hier immer die unabhängige Variable gemeint ist. 


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Beispiele und ihre Veranschaulichung: 

[ – 2 ; 3 ] bzw. [ – 2 ; 3 ] 

oder: −2 ≤ x ≤ 3 

] – 2 ; 3 ] bzw. ( – 2 ; 3 ] 

oder: −2 < x ≤ 3 

[ – 2 ; 3 [ bzw. [ – 2 ; 3 ) 

oder: −2 ≤ x < 3 

] – 2 ; 3 [ bzw. ( – 2 ; 3 ) 

oder: −2 < x < 3 

Beispiel: 

– Stelle den Graphen einer (natürlich gegebenen) Funktion im Intervall [ – 2 ; 3 ] dar. 

Schaut die eckige Klammer 

zur Zahl hin, wie z.B. bei [ –2 

oder bei 3 ] , ist die 

Randzahl eingeschlossen. 

Schaut die eckige Klammer 

von der Zahl weg, wie z.B. 

bei ] –2 

oder bei 3 [ , oder steht eine 

runde Klammer, ist die 

Randzahl ausgeschlossen. 

Ist ein Intervall angegeben, so wird der Funktionsgraph nur innerhalb dieser x-Werte gezeichnet. 

Demnach könnte die grafische Darstellung eine der Formen annehmen: 


Bemerkung: Natürlich muss die konkrete Funktionsgleichung gegeben sein, um ihren entsprechenden Graphen zeichnen zu 

können. 


- 2 - 1 0 1 2 3 

- 2 - 1 0 1 2 3 

- 2 - 1 0 1 2 3 

- 2 - 1 0 1 2 3 

Was ergibt aber die Summe der unendlich vielen Zahlen 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . ? 

Obwohl wir unendlich viele Zahlen addieren wird wohl kaum unendlich herauskommen, weil die 

zu summierenden Zahlen in der Folge immer kleiner werden. 

Intuitiv wird die Summe sicherlich über drei, jedoch kaum über fünf liegen. 



185 

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6.2.3. Darstellungsarten 

Beispiel: Df = R und Wf = R 

Das bedeutet, sowohl die x- Werte als auch die y-Werte können jede reelle Zahl annehmen. 

Zuordnung: Jedem Element x wird sein Quadrat zugeordnet. 

(1) Funktionsterm: Allgemein weist ein Funktionsterm folgende Gestalt auf: 

Für unser Beispiel bedeutet das: 

f: Df Wf 

x 

f: R R 

y 

x x ² 

Bemerkung: Der Funktionsterm braucht nicht aufgestellt zu werden, er muss nur richtig gelesen werden können. 

(2) Funktionsgleichung: Die Funktionsgleichung gibt an, wie y gebildet wird. 

Funktionsterm: f: R R 

x x ² 

y 


Demnach lautet die Funktionsgleichung für unser Beispiel: y = x ² 

Statt y kann man auch f(x) schreiben. 

Beachte, dass die Elemente der Wertemenge nicht 

einfach mit y bezeichnet werden, sondern durch 

jenen Ausdruck, der ihre Bildung beschreibt. 

Da bei dieser Funktion jedem x sein Quadrat 

zuzuordnen ist, lautet y = x ² 

Insofern kann die Funktionsgleichung auch als f (x) = x ² angegeben werden. 

Bemerkung 1: Der Name der Funktion lautet nur f. 

Die Bezeichnung f (x) wird nur in der Funktionsgleichung verwendet. 

Beispiel: Die Gleichung der Funktion f lautet f(x) = x 2 


186 

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Bemerkung 2: 

Nicht jede Funktion besitzt die Gleichung f(x) = x 2 . 

Es gibt unzählige Möglichkeiten von Funktionsgleichungen. 

f(x) = 3 

4 

f(x) = x3 

8 

x 1 + 2 eine lineare Funktion, weil die höchste Potenz von x x 1 ist. 

f(x) = 4,45 . e 0,0023⋅x 

+ x eine Polynomfunktion 3. Grades, weil die höchste Potenz von x x 3 ist. 

eine Exponentialfunktion, weil x in der Hochzahl ( im Exponenten ) steht. 

All diese Funktionstypen werden wir in der Folge noch genau behandeln. 

Bemerkung 3: In den meisten unserer Beispiele sind Definitions– und Wertemenge immer alle reellen Zahlen ( R ), sodass nur 

in jenen Fällen, in denen D f bzw. W f nicht alle reellen Zahlen sein sollen, D f bzw. W f extra angegeben sind. 

(3) Wertetabelle: Wir ermitteln Punkte der Funktion, indem wir aus der Definitionsmenge ( hier R ) 

Bemerkung: 

Wertetabelle: 

geeignete Zahlen-Werte wählen und mittels Funktionsgleichung die jeweils 

dazugehörigen Funktions-Werte berechnen. 

Geeignete x-Werte sind, wenn D f =R , bei vielen schulmathematischen Aufgaben Zahlen 

um den Wert null. Meistens ist das Intervall vorgegeben. 

x y = f (x) = x ² 

– 3 9 

– 2 4 

– 1 1 

0 0 

1 1 

2 4 

3 9 

Berechnungen: 

y = f (– 3) = ( –3 ) ² = 9 

y = f (– 2) = ( –2 ) ² = 4 

y = f (– 1) = ( –1 ) ² = 1 

y = f (0) = 0 ² = 0 

y = f (1) = 1 ² = 1 

y = f (2) = 2 ² = 4 

y = f (3) = 3 ² = 9 

(4) Funktions – Graph: Die Punkte werden in ein Koordinatensystem geeigneter Größe 

gezeichnet und durch eine Linie verbunden, da die Definitionsmenge D f = R 

und somit alle reellen Zahlen umfasst. 


 

Es ist möglich und manchmal auch nötig, die 

Einheiten in x – und y – Richtung verschieden 

groß zu wählen. 

 

Wenn die Gestalt des Graphen noch nicht 

konkret zum Ausdruck kommt, müssen weitere 

Punkte ermittelt werden. 

 

Die eingezeichneten Punkte werden durch eine 

entsprechende Linie verbunden 


187 

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https://www.youtube.com/watch?v=dg2Oj5wZp3A 

6.2.4. Funktionen mit 

Beispiel: 

Stellen wir die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 1 

2 x3 − 2 x 2 + 3 

4 

Bemerkung: Diese Benutzeroberfläche findet sich in GeoGebra Classic 6. 


dar. 

Wir geben die 

Funktionsgleichung in das 

Algebra – Fenster ein. 

Auf ENTER gedrückt und 

im Algebra-Fenster 

erscheint die 

Funktionsgleichung, 

im Grafik-Fenster der 

Graph der Funktion, 

sofern der Kreis 

ausgefüllt ist. 

Man kann den Kreis 

ausfüllen oder leer lassen, 

indem man mit der linken 

Maustaste in den Kreis 

klickt. 


188 

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Damit die Funktionsgleichung zur 

Gänze sichtbar wird, führt man mit 

der Maus das bzw. Pfeil-Symbol 

+ 

auf die Trennungslinie von Algebraund 

Grafik-Fenster, bis das Symbol 

entsteht. 

Mit gedrückter linker Maustaste verschiebt man die Breite des Algebra-Fensters auf das gewünschte Maß. 

Auf diese Weise lassen sich alle Trennungslinien der sichtbaren Fenster verschieben. 

Wollen wir den Ausschnitt des 

Koordinatensystems im 

Grafik-Fenster verändern, 

gehen wir so vor: 

Wir schieben den Maus-Pfeil 

bzw. das Kreuz 

auf den Button . 

Damit öffnet sich das links 

abgebildete Fenster. 

Fahren wir mit dem Pfeil-bzw. 

Kreuz-Symbol auf 


so wird es blau hinterlegt. 

Dann klicken wir mit der linken 

Maustaste drauf. 


189 

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Auch die Linien-Farbe und die Linien-Stärke des Graphen lassen sich festlegen: 

Wandern wir mit dem Pfeil- 

Symbol ins Grafik-Fenster, 

so wird aus dem Pfeil eine 

Hand. 

Halten wir die linke 

Maustaste gedrückt, so 

können wir den 

Koordinatenausschnitt 

beliebig verschieben. 

Mit dem Maus-Rädchen 

kann man auch die Größe 

des Ausschnitts bestimmen. 

Wir wandern mit dem Pfeil- bzw. Kreuz-Symbol auf den Kreis 

links neben f(x) und betätigen die rechte Maustaste. 

Damit öffnet sich das links abgebildete Fenster. 

Dort klicken wir (mit linker Maustaste) Eigenschaften an 


Im rechten Bereich der Oberfläche öffnet sich die links abgebildete Fläche. 


190 

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Wollen wir die Farbe des Graphen verändern, 

klicken wir den Button Farbe an. 

Im sich öffnenden Farbspektrum kann eine Farbe durch Anklicken 

des betreffenden Quadrats gewählt werden. 

Ich habe mich für blau mit den RGB-Anteilen 0, 0, 204 entschieden. 

Die Funktionsgleichung erscheint in der 

gewählten Farbe. 

Zur Wahl der Linienstärke klicken wir auf den 

Befehl Darstellung. 

Mit gedrückter linker Maustaste können wir den 

Regler auf die gewünschte Linienstärke schieben. 


Sollte das Koordinatengitter nicht angezeigt 

sein: 

Mit dem Kreuz-Symbol ins Grafik-Fenster und dort die 

rechte Maustaste drücken. 

Es öffnet sich das links gezeigte Fenster. 

Bei Koordinatengitter das Häkchen setzen. 


191 

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Punkte bestimmen 

Man kann sowohl grafisch als auch rechnerisch Punkte einer Funktion ermitteln. 

Punkt graphisch bestimmen 

Angenommen, wir wollen die Koordinaten des 

Punktes auf der y-Achse erhalten. 

Klicke das Symbol 

unterhalb 

öffnet sich folgendes Fenster: 

an und 

Hier klicken wir 

diesen Befehl an. 

Fahre mit dem Kreuz-Symbol genau auf diesen Punkt, 

bis ein Pfeil in der abgebildeten Form entsteht . . . 


. . . und klicke die linke Maustaste. 

GeoGebra markiert den Punkt im Grafik- 

Fenster und bezeichnet ihn (A). 

Im Algebra-Fenster erscheint dieser Punkt 

mit seinen Koordinaten. 


192 

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Will man den Punkt umbenennen: 

Punkt rechnerisch bestimmen 

Den Punkt im Algebra-Fenster mit der rechten 

Maustaste anklicken. 

Nebenstehendes Fenster erscheint. 

Mit dem Mauszeiger auf den Befehl 

Umbenennen gehen und mit der linken 

Maustaste klicken. 

Im auftretenden Fenster die gewünschte 

Bezeichnung eingeben (z.B. P ) 

und die OK-Taste betätigt. 

Im Algebra-Fenster und 

im Grafik-Fenster erscheint der Punkt mit neuer 

Bezeichnung. 


Wenn wir z.B. die y-Koordinate des Punktes der Funktion f an der Stelle x = 0 

wollen, schreiben wir in die Eingabe-Zeile f(0). 

ENTER betätigt und der Wert der y-Koordinate erscheint im Algebra-Fenster. 

Bemerkung: GeoGebra benennt alle numerischen Ergebnisse 

in alphabetischer Reihenfolge, beginnend mit a . 

Damit wissen wir, der gesuchte Punkt hat die Koordinaten ( 0 / 0,75 ) . 


193 

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Aufgabe der Zentralmatura am 10.05.2016 

Betrachtet man den Querschnitt eines Blutgefäßes vereinfacht als Kreis, so lässt sich die 

Strömungsgeschwindigkeit des Blutes in Blutgefäßen näherungsweise durch die Funktion v beschreiben: 

v(x) = v max ⋅ (1 − x2 

2) mit 0 ≤ x ≤ R 

x ... Abstand von der Mitte des Blutgefäßes in Metern (m) 

v(x) ... Strömungsgeschwindigkeit des Blutes im Abstand x in m/s 

v max ... maximale Geschwindigkeit des Blutes in Metern pro Sekunde (m/s) mit v max > 0 

R ... Radius des Blutgefäßes in m 

– Skizzieren Sie den Graphen dieser Funktion v in der nachstehenden Abbildung. [1 Punkt] 


v(x) bedeutet, dass x die unabhängige Variable ist und v die abhängige. 

Für alle anderen Buchstaben, in dem Fall für vmax und R, wählen wir frei erfundene Zahlen (nicht 0 oder 1) und 

stellen diese Funktion in GeoGebra dar: 

Zum Beispiel 

vmax =2 

R = 3 

R 


Die Kurve liegt laut Angabe nur im positiven x-Bereich 

(0≤x≤R) und reicht dort bis R (bei uns R = 3). 

Auch in der Senkrechten soll es die Kurve nur im 

Positiven geben und zwar bis vmax (bei und vmax =2). 

Demnach hat die Kurve skizziert den nebenstehenden 

Verlauf. 


194 

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https://www.youtube.com/watch?v=dg2Oj5wZp3A 


Vielleicht führt uns folgender Gedankengang zum Ziel: 

Summe = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . 

1 

2 Summe = 1 

2 (2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . ) 

1 

2 Summe = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 . . . 



Summe = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 

+ 1 

+ 1 

16 32 

64 + . . . 


− 1 

2 Summe = −1 − 1 2 − 1 4 − 1 8 − 1 

− 1 

+ – 

1 

16 32 

Summe − 1 

2 Summe = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 . . . 

1 

2 Summe = 2 | . 2 

64 − . . . 

Summe = 4 



195 

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6.2.5. Eigenschaften von Funktionen 

6.2.5.1. Nullpunkte 

Nullpunkte sind Punkte der Linie, 

die auf der x-Achse liegen. 

Alle Punkte auf der x-Achse haben y = 0. 

Suchen wir die Nullpunkte, dann wollen wir jene 

Punkte der Linie mit 

y = 0 bestimmen, 

also setzen wir 

y = 0 

Bemerkung: In der obigen Skizze mit einer beliebigen Funktion sind die Nullpunkte der Reihe nach von links nach rechts 

nummeriert. Es spielt aber keine Rolle, welcher der Nullpunkte mit N 1 , N 2 usw. bezeichnet wird. 

Die Reihenfolge der Beschriftung ist also unerheblich. 

Beispiel: 

Bestimme die Nullpunkte der Funktion f(x) = 1 

8 x3 − 3 

2 x2 + 9 

x 2 . 

Nullpunkte mit 

 

 

f 


Funktionsgleichung in Eingabe- 

Zeile 

ENTER gedrückt 

 

Funktionsgleichung erscheint im 

Algebra-Fenster, 

Funktions-Graph im Grafik- 

Fenster. 


196 

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In die Eingabe-Zeile schreiben wir den Befehl 

Nullstelle[ ] 

Es reicht, die ersten Buchstaben des Wortes Nullstelle einzugeben. 

Erscheint der Befehl Nullstelle[ ] , so wird dieser 

angeklickt. 

Bemerkung: Die Nullstelle ist die x-Koordinate des Nullpunktes. 

Da unsere Funktion f heißt, schreiben wir in das Feld f: 

Somit erscheinen alle Nullpunkte, in diesem Beispiel A (0/0) und B (6/0), sowohl im Algebra-Fenster als auch 

eingezeichnet im Grafik-Fenster. 

Bemerkung: GeoGebra benennt Punkte in alphabetischer Reihenfolge. Will man sie umbenennen: 

Die tiefgestellte 1 bei N 1 erhält man, indem man N_1 eingibt. 

Damit lauten die Koordinaten der Nullpunkte von f : N1 ( 6 / 0 ) N2 ( 0 / 0 ) 


Bemerkung: Derzeit interessieren nur Nullpunkte. 

https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38 


197 

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6.2.5.2. Monotonie 

Eine Funktion f ist streng monoton steigend 

( streng monoton wachsend ), 

wenn mit wachsendem x 

die Funktionswerte y = f (x) immer größer werden. 

Eine Funktion f ist streng monoton fallend , 

wenn mit wachsendem x 

die Funktionswerte y = f (x) immer kleiner 

werden. 

wachsendes x bedeutet, die x-Werte werden immer größer. Wir betrachten also die Funktion in Schreibrichtung: 

von links kommend, nach rechts schauend 

Ist eine Funktion monoton steigend, so steigen in dieser Blickrichtung auch die entsprechenden y-Werte, 

sie werden also größer. 

Ist eine Funktion monoton fallend, so werden die y-Werte in dieser Blickrichtung immer kleiner. 

Denke dir den Funktionsgraphen als Berg- und 

Tallandschaft, die du in Schreibrichtung durchwanderst. 


Dort, wo du bergauf gehst, es also ansteigt, 

ist der Graph monoton steigend in jenen Bereichen, 

wo's bergab geht, monoton fallend. 

Im höchsten Punkt H und tiefsten Punkt T ist die 

Funktion weder steigend noch fallend, da es hier 

weder bergauf noch bergab geht. 

Hier ist die Steigung null. 


198 

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Hier verwechselst du Ursache mit Wirkung, 

lieber Fredo! 

monoton [ monos (griechisch): allein, 

teinein (griechisch): spannen ] 

Gespannt wurden Saiteninstrumente um ihnen Töne zu entlocken. " Alleine spannen " bedeutet so viel wie regelmäßiger, reiner 

Klang. In diesem Sinne können wir monoton mit regelmäßig übersetzen. Spricht jemand monoton, so meint das eine 

gleichbleibende Sprechweise ohne Veränderung der Tonlage oder Lautstärke. Die Wirkung beim Zuhörer kann Langeweile sein. 

Beispiel: 

Monoton heißt doch langweilig! 

Welch heißes Thema ist das denn? 

Bestimme die Monotonie der abgebildeten Funktion mit D f = R. 

Von links nach rechts (in Schreibrichtung) geschaut: 

Für alle x-Werte bis zu x = 2 werden die y-Werte der Funktion immer größer. 

Von x = − ∞ bis (ausschließlich) x = 2 ist die Funktion demnach monoton steigend. 

Bei x = 2 wachsen oder fallen die Funktionswerte nicht, weil dort der höchste Punkt liegt, 

bei dem es weder bergauf noch bergab geht. 


Nach x = 2 bis (ausschließlich) x = 6 werden die y-Werte immer kleiner. In diesem Bereich ist die Funktion monoton 

fallend. 

Bei x = 6 fallen oder steigen die Funktionswerte nicht, weil dort der tiefste Punkt liegt, 

bei dem es weder bergab noch bergauf geht. 

Nach x = 6 steigen dann die y-Werte für alle weiteren x-Werte an. Die Funktion ist demnach ab hier immer 

monoton steigend. 

Wir schreiben: 

für ] − ∞ ; 2 [ bzw. (−∞ ; 2 ) bzw. x < 2 ist f monoton steigend, bedeutet Anstieg und positive Steigung, 

für ] 2 ; 6 [ bzw. ( 2 ; 6 ) bzw. 2 < x < 6 ist f monoton fallend, bedeutet Gefälle und negative Steigung, 

für ] 6 ; ∞ [ bzw. ( 6 ; ∞ ) bzw. x > 6 ist f monoton steigend, bedeutet Anstieg und positive Steigung. 


199 

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https://www.youtube.com/watch?v=gdjhgyp0xKY 

6.3. Polynomfunktionen 

Polynomfunktionen bestehen in der Regel aus mehreren Gliedern ( + – ), wobei die unabhängige Variable ( x ) 

in der Basis einer Potenz steht und sich nicht im Nenner befindet. 

Beispiele: f 1 (x) = 1 

f 2 (x) = x 2 + 3 4 

4 x1 − 2 Polynomfunktion 1. Grades ( lineare Funktionen ) 

Polynomfunktion 2. Grades ( quadratische Funktionen ) 

y = 1 8 x3 − 5x 2 − 3x + 1 Polynomfunktion 3. Grades ( kubische Funktionen ) 

Polynomfunktionen werden auch ganzrationale Funktionen oder Potenzfunktionen genannt. 

Keine Polynomfunktionen sind z.B.: 

Auch Parabeln, weil ihre Graphen (ab 2. Grades) so bezeichnet werden. 

f 1 (x) = 

f 2 (x) = 2 x 

1 + x2 

2 x 



( gebrochen ) rationale Funktion 

Exponentialfunktion 

Die Summe der unendlich vielen Zahlen 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . = 4 

wird wohl nach diesem einleuchtenden Beweis richtig sein! 



200 

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6.3.1. Polynomfunktionen 1. Grades ( lineare Funktionen ) 

6.3.1.1. Gleichung einer linearen Funktion ( Geraden ) 

In Gleichungen linearer Funktionen kommt x nur linear vor, das heißt, es hat die Hochzahl 1 und 

steht nicht im Nenner, 

y = f(x) kommt in jeder Funktion nur linear vor. 

Beispiele: f(x) = 1 

4 x1 − 2 

3x 1 + 2y 1 = 4 

Alle linearen Funktionen lassen sich auf folgende Form bringen: 

g: y = k . x + d 


Beachte: Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn angegeben. 


201 

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( x / y ) . . . x und y stehen, wie in jeder Gleichung, die eine Linie beschreibt, 

für die x- und y- Koordinaten aller unendlich vielen Punkte, aus denen die Linie 

( hier die Gerade ) besteht. 

Bemerkung: Es kann also nie Aufgabe sein, diese Variablen, nämlich alle unendlich vielen Punkte, zu berechnen. 

d . . . Der Abstand ( die Distanz ) des Schnittpunktes der Geraden mit der y-Achse 

vom Koordinaten-Ursprung. 

k . . . Steigung ( Anstieg, Gefälle, Richtung, mittlere Änderungsrate m.Ä. ) der Geraden 

Die Steigung k ist festgelegt als 

tan ist die Winkelfunktion Tangens 

Beispiel: Eine Steigung von 12 % 

k = Gegenkathete 

Ankathete 

= G 

A 

= tan(α) 


Eine Steigung von 12 % = 

12 

100 

bedeutet, 

dass die Linie alle 100 Meter waagrechter Entfernung um 12 Meter ansteigt. 


202 

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Wählt man die Ankathete A = 1, so entspricht die Gegenkathete G immer der Steigung k der Geraden. 

Warum? 

k = G 

A = k 

1 

Ein Beispiel: 

Es sei k = 2 



Ja, die Summe dieser unendlich vielen Zahlen ist vier. 

Jedoch nicht, weil die einleuchtenden Folgerungen auf Seite 201 richtig sind! 

Das Eigenartige ist, dass auch noch so scheinbar einleuchtende Schlussfolgerungen 

kein Beweis für deren Richtigkeit sein müssen! 

3 : 

k = 2 2 

3 → k = 3 

1 

= k 

1 

= G 

A 



203 

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Kennzeichnend für lineare Zunahme (lineares Wachstum) ist, dass 

in gleichen waagrechten Abständen die senkrechten Abstände um den gleichen Wert zunehmen, 

Beispiel: 

dass also die y-Werte in gleichen x-Intervallen (x-Abständen) 

um den gleichen Wert zunehmen. 

Kennzeichnend für lineare Abnahme (linearen Zerfall) ist, dass 

in gleichen waagrechten Abständen die senkrechten Abstände um den gleichen Wert abnehmen, 

Beispiel: 

dass also die y-Werte in gleichen x-Intervallen (x-Abständen) 

um den gleichen Wert abnehmen. 


Beachte: 


204 

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https://www.youtube.com/watch?v=_y5X81CbYyc&t=5s 

a) Eine Prepaid-Karte ist mit 25 Euro aufgeladen. Eine Gesprächsminute kostet 2 Cent. 

– Kreuze an, welche der folgenden Funktionsgleichungen das Guthaben G(x) nach x Gesprächsminuten 

beschreibt. [ 1 aus 5 ] 

G(x) = 25 – 2 . x 

G(x) = 2 500 – 0,02 . x 

G(x) = 0,02 . x + 25 

G(x) = – 2 . x + 25 

G(x) = 25 – 0,02 . x 

Angenommen, die Funktionsgleichung lautet G(x) = – 0,05 . x + 50 

 

 

 

 

 

– Interpretieren Sie die Zahlen –0,05 und 50 im konkreten Sachzusammenhang. 

b) Jemand möchte ein Handy kaufen. Die Anzahlung beträgt 200 Euro, die monatliche Rate 20 Euro. 


– Stellen Sie die lineare Funktionsgleichung G(x) für die Gesamtzahlung nach x Monaten auf. 

– Berechnen Sie die Gesamtzahlung nach einem Jahr. 

Lösungen: a) * 5. Alternative 

* –0,05 … pro Gesprächsminute sind 0,05 € zu zahlen 

50 … Anfangsguthaben in € 

b) * G(x) = 20 . x + 200 * 440 € 


205 

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6.3.1.2. Proportionalität 

6.3.1.2.1. direkt proportional 

Eine Zuordnung (Funktion) heißt 

direkt proportional, 

wenn sich jeder y-Wert durch Multiplikation 

des entsprechenden x-Wertes 

mit derselben Zahl k ergibt. 

y = k . x 

k … Proportionalitätsfaktor 

In nebenstehendem Beispiel ist 

k = 2 → y = 2 . x 

Der Proportionalitätsfaktor k entspricht der Steigung 

der Geraden. 

Gezeichnet bedeutet direkte Proportionalität eine 

Gerade mit der Steigung k, die durch den Ursprung 

geht. 

Bei Schlussrechnungen (Dreisatz) bedeutet direkt proportional: „ Je mehr . . . . . . . desto mehr . . . . .“ 

Beispiel: 

oder „ Je weniger . . . . desto weniger . . . . .“ 


Pro gefahrenem Meter ist für einen Taxi-Transport 0,15 Cent zu bezahlen. 

– Bestimme die Fahrtkosten in Euro (ohne Grundgebühr) für einen 3,4 km langen Weg. 

Fahrtkosten y = 0,15 . x x … Fahrstrecke in Metern 

y = 0,15 . 3 400 = 510 Cent = 5,10 Euro. 


206 

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6.3.1.2.2. indirekt proportional 

Eine Zuordnung (Funktion) heißt 

p … Proportionalitätsfaktor 

Im unteren Beispiel ist p = 2 

indirekt proportional, 

wenn die Multiplikation jedes y-Wertes 

mit dem entsprechenden x-Wert 

dieselbe Zahl ergibt. 

→ y = 2 

y . x = p → y = p 

x 

x 


Gezeichnet bedeutet indirekte Proportionalität eine sogenannte Hyperbel mit zwei Ästen, die bei x = 0 

nicht existiert (keinen y-Wert besitzt), weil mit y = p 

ein Bruch mit dem Nenner null entsteht 

0 

und die Division durch null nicht festgelegt ist. 

Bei Schlussrechnungen (Dreisatz) bedeutet indirekt proportional: „ Je mehr . . . . . . . desto weniger . . . . .“ 

oder „ Je weniger . . . . desto mehr . . . . .“ 


207 

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6.3.1.3. Aufstellen einer Geradengleichung mit 2 gegebenen Punkten: 

Beispiel: Die Punkte A ( –2 / 1 ) und B ( 4 / 3 ) sind gegeben. 

Gesucht: die Gleichung der Geraden g(A,B) , die durch die Punkte A und B geht. 

Man schreibt in eine Zeile des Algebra-Fensters 

(der Eingabe-Zeile) den Befehl 

Polynom[ ] 

Auch hier reicht es, nur die ersten Buchstaben des Befehls zu 

schreiben. 

Es öffnet sich das links dargestellte Fenster. Hier klickt man 

den Befehl 

Polynom[ ] an. 

In < Liste von Punkten > schreibt man die Koordinaten der 

Punkte, die auf der Geraden liegen sollen. 

In GeoGebra: 

 

 

Statt des Schrägstrichs bei Koordinaten ein 

Beistrich 

Also: Statt (–2 / 1 ) schreibt man (–2, 1) 

Das Dezimalkomma ist ein Punkt 

ENTER betätigt und im Algebra-Fenster erscheint die Funktionsgleichung, im Grafik-Fenster der Graph (die 

Gerade). 



208 

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# 



Merken wir uns: 

Polynomfunktion 

nötig zum Aufstellen der Funktionsgleichung sind 

1. Grades 2 Punkte 




Sollte man nicht wissen welcher Zahlenwert die Steigung darstellt: 

Man schreibt in das Algebra-Fenster den Befehl Steigung und in die eckige Klammer den Namen der Funktion, 

in unserem Falle f. 

ENTER betätigt und der Wert der Steigung a = k = 0,33 erscheint im Algebra-Fenster. 

Im Grafik-Fenster wird ein Steigungsdreieck mit der Ankathete = 1 und der Gegenkathete k ersichtlich. 

Allgemeiner Befehl: Steigung( ) 

Konkret auf das Beispiel bezogen: 

Wie zeigt man, ob ein Punkt auf einer Linie liegt? 

Beispiel: Liegt der Punkt P(4/3) auf der eben aufgestellten Geraden? 

grafisch: 



209 

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rechnerisch: 

Siehe auch S 195 

a = 3 bedeutet, dass bei x = 4 der y-Wert = 3 ist, wie das dem Punkt P(4/3) entspricht. 


Die Pumpleistung P des Herzens in Litern pro Minute (L/min) in Abhängigkeit des Alters in Jahren kann annähernd 

durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Die Pumpleistung beträgt bei 15-jährigen 5,1 L/min und bei 

65-jährigen 2,6 L/min. 

– Stellen Sie die Gleichung der Funktion P auf. 


Die Gleichung von P lautet: P(t) = −0,05 ⋅ t + 5,85 

t … Zeit in Lebensjahren 

P(t) … Pumpleistung in L/min nach t Lebensjahren 


– Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser linearen Funktion im konkreten Sachzusammenhang. 



210 

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Links ist ein Steigungsdreieck gezeichnet. 

– Bestimme die Pumpleistung einer 50-jährigen Person. 


k = – 0,05 L/min 

Die Pumpleistung einer 50-jährigen Person beträgt 3,35 L/min. 

Im Sachzusammenhang bedeutet die Steigung k : 

k = G 

A = 

−0, 05 L/min 

1 Lebensjahr 

Die Pumpleistung nimmt pro Lebensjahr um 

0,05 L/min ab. 



In unserem Fall haben wir angenommen, dass Rechengesetze für endlich viele Zahlen 

einfach auch für unendlich viele Zahlen gelten. 



211 

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6.3.1.4. Lineare Bewegungsaufgaben 

Will sich jemand im Bereich der Technik, gleich welcher Sparte, 

(weiter-) bilden, ist es von Vorteil, Bewegungsdiagramme 

lesen zu können. 

Für das Grundverständnis ist keine Differentialrechnung nötig, wie das folgende Beispiel zeigt. 

Beispiel: (*) 

Was muss man alles wissen um solche Diagramme lesen zu können? 

Ein Radfahrer fährt den abgebildeten Hügel hinauf. 

Erkläre, welches der drei folgenden Diagramme die 

Bewegung des Radfahrers am besten beschreibt. 

t . . . Zeitdauer, die seit Beobachtungsbeginn, dem Zeit-Nullpunkt ( t = 0 ) vergangen ist. 


s (t) . . . Der Abstand vom Orts–Nullpunkt , nachdem die Zeitdauer t vergangen ist. 

s (t) ist nicht automatisch der zurückgelegte Weg! 

s (t) entspricht nur dann dem zurückgelegten Weg, wenn die Bewegung bei der Orts-Nullpunkt beginnt. 

(*) angelehnt an: G. MALLE u.a.: Mathematik verstehen. ÖBV-Verlag, Wien 2010, S 277. 


212 

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Sehen wir uns diesen Sachverhalt einmal an: 

Ein Radfahrer verlässt um 6:00 sein Haus 

und erreicht um 8:00 seinen Zielort. 

Als Zeit-Nullpunkt wählen wir die 

Abfahrtszeit 6:00 . 

Angenommen, der Orts-Nullpunkt ist beim 

Haus des Radfahrers gewählt. Dann 

entspricht die Entfernung des Radfahrers 

vom Orts-Nullpunkt 2 Stunden nach Start 

s (2) = 30 km dem zurückgelegten Weg 

(laut Skizze). 

Läge das Haus des Radfahrers 10 km 

nach dem Orts-Nullpunkt, verhielt es sich 

mit s (t) wie in nebenstehender Skizze. 

Der Radfahrer wäre dann 2 Stunden nach 

der Abfahrt 40 km vom Orts-Nullpunkt 

entfernt, hätte aber trotzdem nur einen 

Weg von 

s (2) = 40 km – 10 km = 30 km 

zurückgelegt. 

Für unser Beispiel gelte, der Radfahrer fährt vom Orts-Nullpunkt weg. 


Mit den oben getroffenen Annahmen ergibt 

im Diagramm die Bewegung (die Fahrt) 

des Radfahrers, als Weg-Zeit-Funktion 

dargestellt 

eine Gerade ( lineare Funktion ), unter der 

Voraussetzung konstanter Geschwindigkeit. 


213 

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Was bedeutet das für die Geschwindigkeit v ? 

Benötigt der Radfahrer zwei Stunden für 

30 km, so legt er in einer Stunde 15 km zurück und 

fährt damit mit einer 

Geschwindigkeit von 15 km pro Stunde ( h ) 

v = 

30 km 

2 h 

15 km 

= = 15 km/h 

1 h 

Die Geschwindigkeit v stellt also die 

Steigung der Geraden dar. 

Wenn ein geübter Radfahrer in 2 Stunden 60 km 

zurücklegt, dann fährt er in einer Stunde 30 km und 

fährt somit mit einer Geschwindigkeit von 

v = 

60 km 

2 h 

30 km 

= = 30 km/h 

1 h 


Vergleichen wir die letzten beiden Diagramme, so erkennen wir: 

Je höher die Geschwindigkeit, 

desto mehr Weg wird innerhalb der gleichen Zeit zurückgelegt, 

desto steiler verläuft die Gerade, 

desto größer ist ihre Steigung. 

Je geringer die Geschwindigkeit, 

desto weniger Weg wird innerhalb der gleichen Zeit zurückgelegt, 

desto flacher verläuft die Gerade, 

desto geringer ist ihre Steigung. 


214 

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Das gilt auch für Kurven 

Was bedeutet es, wenn die Linie von s(t) (in Schreibrichtung) bergab geht, also monoton fallend ist? 

Angenommen, eine Stunde nach Abfahrt befindet sich der 

Radfahrer 40 km vom Orts-Nullpunkt entfernt, drei 

Stunden nach Abfahrt beträgt sein Abstand vom Orts- 

Nullpunkt 

nur noch 10 km. 


➝ Er fährt zurück 

Widmen wir uns jetzt wieder unserem Ausgangsbeispiel: 


215 

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Welches der dargestellten Diagramme beschreibt nun die Fahrt des Radfahrers entsprechend? 

H 

Die Steigung der Kurve im 

Diagramm A nimmt zunächst ab. 

Der Radfahrer wird demnach 

immer langsamer, was bei steiler 

werdendem Gelände zu erwarten 

ist. 

Anschließend fährt er zurück, da 

die Kurve im Bewegungsdiagramm 

nach dem Hochpunkt H monoton 

fallend ist. 

Die Steigung der Kurve im 

Diagramm B nimmt zunächst zu. 

Der Radfahrer würde demnach 

immer schneller, obwohl das 

Gelände immer steiler wird. 

Mit flacher werdendem Gelände 

würde der Radfahrer immer 

langsamer, weil die Steigung der 

Kurve im Bewegungsdiagramm B 

geringer wird. 

Laut Bewegungsdiagramm C 

würde der Radfahrer zunächst 

zurückfahren, da die Kurve im 

ersten Abschnitt fallend ist. 


Damit beschreibt nur das Bewegungsdiagramm 

die Fahrt des Radfahrers entsprechend. 


216 

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Tom und Chris sind Jogger. Tom wohnt in St. Johann/Pg. (JO), Chris in Schwarzach (S). Sie wohnen 6 km 

voneinander entfernt. Beide vereinbaren, einander entgegen und gleichzeitig los zu laufen. Tom läuft mit einer 

Durchschnittsgeschwindigkeit von 12 km/h, Chris mit 8 km/h. 

– Stellen Sie die lineare Weg-Zeit Funktionen beider Läufer auf, wobei s den Abstand von Toms Haus 

in St. Johann/Pg. nach der Zeitdauer t beschreiben soll. 


Skizze für das Verständnis: 

f (x) = k . x + d 

allgemeine Gleichung der linearen Weg-Zeit Funktion s (t) = k . t + d 

Damit wir die konkreten Weg-Zeit Funktionen beider Läufer erhalten, müssen wir für beide Funktionen k und d 

bestimmen. 

Wir ermitteln jeweils zwei Punkte und können so die Funktionsgleichungen aufstellen: 

Wir wählen als Zeit-Nullpunkt 

als Orts-Nullpunkt 

den Start beider Läufer, 

Toms Haus in St. Johann / Pg. 

( Ist vorgegeben, weil laut Angabe s der Abstand von Toms Haus sein soll. ) 


Tom: t in h s (t) in 

km 

0 0 

0,5 6 

Man darf nur einen Zeit-Nullpunkt und einen Orts-Nullpunkt wählen 

und nicht für jede der Bewegungen eigene. 

Zu Beobachtungsbeginn 

(beim Start) ist Tom 0 km vom 

Orts-Nullpunkt (seinem Haus) 

entfernt. 

Eine halbe Stunde später ist Tom 

6 km vom Orts-Nullpunkt 

entfernt, weil er ja in einer 

Stunde 12 km zurücklegt. 

y 

Chris: t in h s (t) in 

km 

0 6 

0,5 2 


(beim Start) ist Chris 6 km vom 

Ortsnullpunkt (von Toms Haus) 

entfernt. Eine halbe Stunde 

später ist er nur noch 2 km vom 

Orts-Nullpunkt entfernt, weil er 

bereits 4 km in Richtung Toms 

Haus zurückgelegt hat. 


217 

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Es ist ratsam, für die Zeiten solche Werte zu wählen, deren Abstände vom Orts-Nullpunkt innerhalb der 

gegebenen Strecke (hier 6 km) liegen. Ansonsten verlieren wir schnell die Anschaulichkeit. 

Tom: 

Chris: 

Bemerkung: Wenn man nicht umbenennt, gibt GeoGebra die Funktion als f(x) bzw. g(x) an und nicht als s(t). 

Man sieht: 

k entspricht der Geschwindigkeit, d dem Abstand von der Orts-Nullmarke 

zu Beobachtungsbeginn (t = 0) 

Das negative k bei Chris bedeutet, seine Bewegung erfolgt in entgegengesetzter Richtung zu Tom. 

– Ermitteln Sie, wann und in welcher Entfernung von Toms Haus sie einander treffen. 

Man trifft einander, wenn man zur selben Zeit am selben Ort ist. 

Der Treffpunkt T ist der Schnittpunkt beider Linien: 

Befehl in GeoGebra: Schneide[ , ] 

Für die Objekte werden die Namen der Funktionen 

eingegeben: 


( t / s ) 

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten (0,3 / 3,6) 

Sie treffen einander 0,3 Stunden nach dem Start in 3,6 km Entfernung von Toms Haus. 


218 

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Veranschaulichen wir uns die Graphen von Toms und Chris‘ Lauf noch: 



Ein Läufer startet um 8:00 mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 8 km/h. 

Eineinhalb Stunden später fährt ihm ein Radfahrer mit 20 km/h Durchschnittsgeschwindigkeit 

vom selben Ausgangsort nach. 

– Stellen Sie die lineare Weg-Zeit Funktionen beider Bewegungen auf. 

Möglicher Lösungsweg 


219 

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Skizze für das Verständnis: 

f (x) = k . x + d 

allgemeine Gleichung der linearen Weg-Zeit Funktion s (t) = k . t + d 

Damit wir die konkreten Weg-Zeit Funktionen beider Bewegungen erhalten, müssen wir jeweils k und d 

bestimmen. 

Wir ermitteln jeweils zwei Punkte und können so die Funktionsgleichungen aufstellen: 

Wir wählen als Zeit-Nullpunkt den früheren Zeitpunkt, also den Start des Läufers ( 8:00 ), 

als Orts-Nullpunkt 

Läufer: t in h 

Läufer: 

s (t) in km 

0 0 

1 8 

den gemeinsamen Startpunkt. 

Man darf nur einen Zeit-Nullpunkt und einen Orts-Nullpunkt wählen 

und nicht für jede der Bewegungen eigene. 


(beim Start) ist der Läufer 


(dem Startpunkt) entfernt. 

Eine Stunde später ist der Läufer 


entfernt, weil er ja in einer 

Stunde 8 km zurücklegt. 

y 

Rad: t in h s (t) in km Eineinhalb Stunden, nachdem 

der Läufer startete, ist der 

Radfahrer 0 km vom 

1,5 0 Ortsnullpunkt (Startpunkt) 

2,5 20 entfernt, da es für ihn erst jetzt 

losgeht. 2 1 Stunden nach Start 

2 

des Läufers ist der Radfahrer 


entfernt, weil er ja dann eine 

Stunde unterwegs ist und 20 

km zurücklegt hat. 

Radfahrer: 


s Läufer (t) = 8 t s Radfahrer (t) = 20 t − 30 


220 

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Was bedeutet denn d = – 30 

beim Radfahrer? 

Ist er zum Zeitpunkt t = 0 

minus 30 km von seinem eigenen 

Startpunkt entfernt ?? 

Schauen wir uns folgende Zeichnung an: 

Würden Läufer und Radfahrer zur selben Zeit losstarten, dann müsste der Radfahrer 30 km hinter dem 

eigentlichen Startpunkt losfahren, damit er um 9: 30 beim Startpunkt des Läufers einträfe, wie es im Text 

vorgesehen ist. 

Diese der Bewegungsrichtung entgegengesetzte Entfernung wird durch das Minus bei − 30 km ausgedrückt. 



221 

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Bewegung vom Orts-Nullpunkt weg: 

Bewegung zum Orts-Nullpunkt hin: 


https://www.youtube.com/watch?v=Ix8-EJMtyjg&t=3s 


222 

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6.3.2. Polynomfunktionen 2. Grades (quadratische Funktionen) 


Polynomfunktionen 2. Grades nennt man auch quadratische Funktionen, 

weil die höchste Potenz der unabhängigen Variablen (x) quadratisch ist. 

f 2 (x) = x 2 + 1 

4 x2 − 2x − 5 

Die allgemeine Form einer Polynomfunktion 2. Grades lautet: 

f (x) = a . x² + b . x 1 + c . x 0 

Die einfachste quadratische Funktion besitzt die Gleichung 

f(x) = x 2 , 

deren Graph nebenstehenden Verlauf besitzt. 

Den Graphen einer Polynomfunktion 2. oder höheren Grades 

nennt man Parabel 2. Ordnung. 

Deshalb nennt man die Polynomfunktion 2. oder höheren 

Grades auch Parabel 2. bzw. 3. usw. Ordnung. 

Alle Polynomfunktionen 2. Grades verfügen über diese charakteristische Form, wenngleich nicht immer 

in besonderer Lage wie f(x) = x 2 . 


Die Graphen von Polynomfunktionen 2. und höheren Grades nennt man Parabeln. 

Betrachten wir jetzt inwieweit die Zahlen a, b und c den Graphen einer Funktion verändern: 


223 

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Am besten ist es, aktiv mitzuzeichnen. 

Zeichne zunächst f1 (x) = x 2 mit Hilfe von GeoGebra, dann 

f2 (x) = 2.x 2 , danach f3 (x) = 0,5.x 2 und schließlich für f4 (x) = –1.x 2 . 

Entsprechend auch für alle weiteren Funktionen. 

Man sieht: 

f (x) = a . ( x + b ) 2 + c 

Man sieht: 

a > 1 gestreckt 

0 < a < 1 gestaucht 

a < 0 gespiegelt an der x-Achse 

bezüglich der Ausgangsfunktion f (x) = x 2 

f (x) = a . ( x + b ) 2 + c 

Man sieht: 

b > 0 Verschiebung nach links 

b < 0 Verschiebung nach rechts 


f (x) = a . ( x + b ) 2 + c 


c > 0 Verschiebung nach oben 

c < 0 Verschiebung nach unten 


Beachte, dass in den Darstellungen f(x) = a x 2 + b x + c und f (x) = a . ( x+b ) 2 + c nur a der gleichen Zahl entspricht. 


224 

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Beispiel: 

Polynomfunktionen 2. Grades sind spiegel-symmetrisch bezüglich der Achse 

durch ihren tiefsten Punkt T bzw. höchsten Punktes H. 

Ordne den folgenden Graphen die passende Funktionsgleichung zu. 

........................................... ............................................. 


........................................... ....................................... 

f 1 (x) = −x 2 − 1 f 2 (x) = −x 2 + 2 

f 3 (x) = (x − 3) 2 f 4 (x) = x 2 + 1 


225 

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Aufgabe Kompensationsprüfung am 06.06.2018 

– Ordnen Sie den jeweiligen Aussagen über den Ursprung des Koordinatensystems die passende Form 

der Funktionsgleichung von p aus A bis D zu. [ 2 zu 4 ]. 


Grafik: BMB 

Grafik: BMB 

Da der Graph der Funktion durch den Koordinaten- 

Ursprung geht, ist c = 0. 

B muss ≠ 0 sein, weil der Graph ansonsten 

symmetrisch zur y-Achse läge. 

p(x) = a . x² + b . x 

B 1. Feld 


Da der Graph der Funktion durch den Koordinaten- 

Ursprung geht, ist c = 0. 

Da der tiefste Punkt im Koordinaten-Ursprung liegt, ist 

der Graph symmetrisch zur y-Achse. 

b = 0 

p(x) = a . x² 

D 2. Feld 


226 

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Es gibt zwei Arten von Würfen: 

Vom Boden abgeschossen: Fußball, Golf, . . . 

x 1 , x 2 … Nullstellen 

H … höchster Punkt der Flugbahn 

x H … x-Koordinate von H 

y H … y-Koordinate von H = maximale Flughöhe 

Nicht vom Boden abgeschossen: Tennis, Federball . . . 

−x 1 , x 2 … Nullstellen 

H … höchster Punkt der Flugbahn 

x H … x-Koordinate von H 

… y-Koordinate von H = maximale Flughöhe 

y H 

Die Bahn eines Wurfes nennt man Wurfparabel. 

Jede Wurfparabel muss eine Polynomfunktion 2. Grades f(x) = a x 2 + b x + c mit negativem a sein. 



a) Ein Golfball wird in waagrechtem Gelände 

abgeschlagen. Die Flugbahn des Balles kann 

ohne 

Berücksichtigung des Luftwiderstandes 

näherungsweise durch die folgende Funktion 

beschrieben werden: 

f (x) = – 0,0016 x 2 + 0,16 x 

x … Wurfweite in Metern (m) 

f(x) … Wurfhöhe in m 


227 

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– Berechnen Sie, wie weit der Golfball fliegt. 


Skizze: 

Vor x² steht deswegen nur 0 , weil die Rundung auf 

2 Nachkommastellen eingestellt ist. 

GeoGebra Classic 5 GeoGebra Classic 6 


Die Flugweite beträgt 100 m. 


228 

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b) – Bestimmen Sie die maximale Flughöhe des Balles. 

x H = x 1+ x 2 

2 

= 0+100 

2 

= 50 

y H = f(x H ) = f(50) = −0,0016 ⋅ 50 2 + 0,16 ⋅ 50 = 4 

Die maximale Flughöhe beträgt 4 Meter. 

c) – Dokumentieren Sie, wie die Wurfweite bestimmt werden kann, ohne eine konkrete Berechnung 

anzugeben. 

Dokumentieren bedeutet, dass der (allgemeine) Rechengang, der zum gesuchten Resultat führt, 

in Worten anzugeben ist. 

Setzt Funktion gleich null. Daraus entstehende Gleichung hat die Lösungen x 1 = 0 und x 2 > 0. 

Wurfweite beträgt x 2 Meter. 

d) – Stellen Sie mit Hilfe der Angaben aus folgender Skizze die Gleichung der Polynomfunktion 

2. Grades (der Wurfparabel) auf. 


f 


229 

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f(x) = a x 2 + b x + c 

Offensichtlich liegt der Punkt (30/2,5) auf dem Funktionsgraphen. 

Da der Graph durch den Ursprung geht, ist auch (0/0) ein Punkt des Graphen. 

Bei x = 60 landet das Wurfobjekt auf dem Boden. Damit ist dort eine Nullstelle 

und der betreffende Nullpunkt lautet (60/0). 

Somit kennen wir drei Punkte der Funktion. 

https://www.youtube.com/watch?v=NwPOPkXEAX4 



Ein Beispiel, in dem die Rechengesetze endlich vieler Zahlen auf unendliche viele Zahlen nicht anwendbar sind: 

0 = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . 

0 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . 

0 = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . 

0 = 1 



230 

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6.3.3. Polynomfunktionen 3. und höheren Grades 


Beispiele: f 1 (x) = − 1 

f (x) = a . x³ + b . x² + c . x 1 + d . x 0 

8 x3 − 2 x 2 − 5 x + 2 3 



f 2 (x) = x 3 + 1 

f (x) = a . x 4 + b . x³ + c . x² + d . x 1 + e . x 0 

Charakteristische Verläufe solcher Funktionen: 

16 x4 − 2 x 2 − 1 

8 x3 + 2 3 x2 − 2 x + 4 f 2 (x) = x 4 + 1 



231 

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a) Die Pulsfrequenz eines Läufers lässt sich für die ersten 5 Minuten durch folgende Funktion beschreiben: 

P(t) = 3,75 ⋅ t 3 − 36,75 ⋅ t 2 + 92,5 ⋅ t + 60 

für 0 ≤ t ≤ 5 

P(t) . . . Pulsfrequenz in Herzschlägen pro Minute, t Minuten nach dem Start 

t 

. . . Zeit in Minuten nach dem Start 

0 ≤ t ≤ 5 bedeutet, dass die Kurve nur für die ersten 5 Minuten die Pulsfrequenz beschreibt. 

– Ermitteln Sie die Pulsfrequenz zwei Minuten nach dem Start. 


Zwei Minuten nach dem Start beträgt die Pulsfrequenz 128 Herzschläge pro Minute. 


– Bestimmen Sie, wie viel Minuten nach dem Start die Pulsfrequenz 100 Herzschläge/min beträgt? 


P(t) = 100: 

t 1 = 0,54 min t 2 = 3,29 min ! t 3 = 5,96 min liegt nicht zwischen 0 ≤ t ≤ 5 

0,54 Minuten und 3,29 Minuten nach dem Start beträgt die Pulsfrequenz 100 Schläge/min. 


232 

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b) Die Pulsfrequenz eines anderen Läufers kann ebenfalls durch eine Polynomfunktion 3. Grades beschrieben 

werden. 

Beim Start beträgt die Pulsfrequenz 65 Herzschläge pro Minute (H/min), zwei Minuten nach dem Start beträgt 

die Pulsfrequenz 140 H/min, nach weiteren 6 min beträgt die Pulsfrequenz nur noch 135 H/min. 

Eine viertel Stunde nach dem Start beträgt die Pulsfrequenz noch 130 H/min. 

– Stellen Sie das Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten der Polynomfunktion bestimmt 


– Bestimmen Sie die Koeffizienten. 


Koeffizienten: Die Vorzahlen a, b, c und d der Funktionsgleichung f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d 

Allgemeine Gleichung einer Polynomfunktion 3. Grades: f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d 

Wir haben vier Bestimmungsstücke ( a , b , c und d ) und benötigen deshalb vier Gleichungen 

in diesen Größen. 

Gleichungen → 

Jetzt gehen wir mit dem Pfeil-Symbol auf die jeweilige 

Zeilennummer der Gleichungen für a, b, c und d 

und klicken die Zeilennummer mit der linken 

Maustaste an, während wir die 

gedrückt halten. 

CAS - Fenster 

Damit lautet das Gleichungssystem für a, b c und d: 

I : d = 65 

II : 8 a + 4 b + 2 c + d = 140 

III : 512 a + 64 b + 8 c + d = 135 

IV : 3 375 a + 225 b + 15 c + d = 130 

-Taste 

Damit werden die entsprechenden Zeilennummern 

blau hinterlegt. 


Danach aktivieren wir (mit der linken Maustaste) 

die nächstleere Zeile, so dass dort der Cursor (rot) 

blinkt 

und klicken das Symbol an. 

Damit erscheinen die Werte für a, b, c und d. 

Klicken wir statt 

auf das Symbol 


anklicken, so erhalten wir die Werte in 

Dezimalzahlen. 

233 

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Angry Birds 


Bei einem Angriff durch einen Vogel auf ein Schwein kann die Flugbahn durch den Graphen 

Der Funktion f beschrieben werden. 

f(x) = 1 ⋅ x³ – 3 ∙ x² + 4 ∙ x + 4 mit x ≥ 0 

2 

x ... horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in LE (Längeneinheiten) 

h(x) ... Flughöhe des Vogels über dem horizontalen Boden an der Stelle x in LE 

Ein Schwein befindet sich im Punkt P = (4|5). 

– Ermitteln Sie den Abstand des Schweins vom Abschusspunkt. 

Die Funktionsgleichung wird eingegeben. 

Der Punkt, ohne seinen Namen P, ebenfalls 

Um sicher zu gehen, wie groß der y-Wert ander 

Abschuss-Stelle x = 0 ist, geben wir f(0) 

ein 

und erhalten y = f(0) = 4 

Damit wissen wir die Koordinaten des 

Abschusspunktes und geben sie ein. 

GeoGebra benannte die Punkte A und B. 


Damit stellt sich im Grafik-Fenster nebenstehendes Bild dar. 


234 

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Der Abstand vom Abschusspunkt zum Schwein entspricht der Strecke zwischen den Punkten B und A. 

– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Punkt P auf der Flugbahn des Vogels liegt. 

Der Abstand des Schweins vom Abschusspunkt 

beträgt 4,12 LE. 

Wenn P, den GeoGebra mit A benannte, auf der Flugbahn f liegt, so muss P an der Stelle x = 4 denselben y-Wert 

besitzen, wie die Funktion an der Stelle x = 4: 


Die Funktion f hat an der Stelle x = 4 den 

y-Wert 4, der Punkt P=A aber den y-Wert 5. 

Demnach kann der Punkt P nicht auf dem 

Graphen von f liegen! 


235 

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Zusammenfassung 



236 

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Lösung: 

– Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, 

dass eine korrekte Aussage entsteht. 

Ist eine Polynomfunktion ______1_________ , so hat sie _______2_______ . 

2. Grades 

2 

3. Grades 

4. Grades 

1 

6.3.4. Gerade und ungerade Polynomfunktionen 

6.3.4.1. Gerade Polynomfunktionen 


Gerade Funktionen besitzen nur gerade Potenzen, also Potenzen mit geraden Hochzahlen. 

2. Grades: f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x 0 

4. Grades: f(x) = a ⋅ x 4 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x 0 

2 

mindestens einen Nullpunkt 

2 

mindestens 2 Nullpunkte 

mindestens 3 Nullpunkte 

Gerade Funktionen liegen spiegelsymmetrisch zur y-Achse. 

Beispiele für gerade Funktionen: 


237 

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Verwechsle nicht gerade Funktionen (spiegelsymmetrisch zur y-Achse) 

mit Geraden, den Graphen linearer Funktionen. 

6.3.4.2. Ungerade Polynomfunktionen 

Ungerade Funktionen besitzen nur ungerade Potenzen, also Potenzen mit ungeraden Hochzahlen. 

1. Grades: f(x) = a ⋅ x 1 

3. Grades: f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 1 

Ungerade Funktionen liegen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. 

Beispiele für ungerade Funktionen: 


Ungerade Funktionen besitzen kein konstantes Glied (bzw. das konstante Glied ist null): 

f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x 1 + d ⋅ x 0 → f(x) = a ⋅ x 3 + c ⋅ x 

Der Graph ungerader Funktionen geht demnach immer durch den Koordinatenursprung. 


238 

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6.4. Exponential – und Logarithmusfunktionen 

6.4.1. Eigenschaften 

Sowie Potenz– und Wurzelfunktionen die gegenseitigen Umkehrfunktionen sind, 

verhält es sich auch bei den Exponential– und Logarithmusfunktionen: 

Potenzfunktion bzw. Polynomfunktion 

Exponentialfunktion 

Exponential – Funktionen 

Bei Exponentialfunktionen steht 

die Variable im Exponenten ( in der Hochzahl ) 

Logarithmus – Funktionen 

Bei Logarithmusfunktionen steht 

die Variable im Argument 

Bsp.: f(x) = 2 x Bsp.: f(x) = log 2 (x) 


Folgende Bezeichnungen gelten: 

Wurzelfunktion 

Logarithmusfunktion 

Argument bzw. Logarithmand 

log a (x) 

Basis 

Bemerkung: Manchmal liest man statt log a (x) auch die Schreibweise 

a 

log (x) 


239 

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Der Zusammenhang zwischen Exponential– und Logarithmusfunktion: 

a x = u log a (u) = x 

Beispiele: 2 3 = 8 ↔ log 2 (8) = 3 

Beispiel: Ermittle x: 

log 3 (x) = 2 

Vor der Berechnung: 

10 2 = 100 ↔ log 10 (100) = 2 

↔ 3 2 = x → 9 = x 

log x (16) = 4 ↔ x 4 = 16 | √ 4 → x = 2 

log 7 (343) = x ↔ 7 x = 343 ... Exponentialgleichung 

Rechenregeln für Logarithmen 

L1: log a (u . v) = log a (u) + log a (v) 

L2: log a ( u 

v ) = log a(u) − log a (v) 

L3: log a (u n ) = n . log a (u) 


m 

L4: log a ( √ u 

) = 

Für Logarithmen bestimmter Basen gibt es eigene Abkürzungen: 

1 

m . log a(u) 

Name Schreibweise Casio 

m 

log a ( √u n 

) = n 

m ⋅ log a(u) 

dekadischer Logarithmus 

log 10 (x) = lg (x) 

4.Reihe, links 

natürlicher Logarithmus 

( logarithmus naturalis ) 

log e (x) = ln (x) 

3. Reihe, rechts 


240 

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Zurück zur Exponentialgleichung: 

7 x = 343 | ln 

Bemerkung 1: 

ln (7 x ) = ln (343) 

. . . L 3 

x ⋅ ln(7) = l n(343) | ∶ ln (7) 

x = ln(343) 

x = 3 

ln(7) 

Während man z.B. bei x² die Quadratwurzel ziehen muss, um x zu erhalten, braucht bei 7 x nicht der log 7 gewählt 

werden. 

Bemerkung 2: 

ln (7 x ) bedeutet ln von 7 x 

ln (343) bedeutet ln von 343 

Also nicht die ln am Bruch kürzen! 

Beispiel: 

Bestimme x: 1,15 x+1 = 36,25 

1,15 x+1 = 36,25 | ln 

ln(1,15 x+1 ) = ln(36,25) 

(x + 1) ⋅ ln(1,15) = ln(36,25) | ∶ ln(1,15) 

x + 1 = ln(36,25) | − 1 

ln(1,15) 

x = ln(36,25) 

ln(1,15) − 1 


x = 24,69 

Beispiel: 

Bestimme x: 3 . 0,95 2x−1 = 12 

3 . 0,95 2x−1 = 12 | ∶ 3 

0,95 2x−1 = 4 | ln 

ln(0,95 2x−1 ) = ln(4) 

(2x − 1). ln(0,95) = l n(4) | ∶ ln(0,95) 

2x − 1 = 

2x = 

x = 

ln(4) 

ln(0,95) 

| + 1 

ln(4) 

ln(0,95) + 1 |: 2 

ln(4) 

ln(0,95) + 1 

x = −13,01 

2 

Mit GeoGebra: 

Mit GeoGebra: 


241 

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Beispielhaft der Graph einer Exponentialfunktion : f (x) = 2 x : 

Beispielhaft der Graph einer Logarithmusfunktion : f (x) = log 2 (x) 

 

 

 


 

 

 

Exponentialfunktionen existieren für 

alle x R (für alle reellen Zahlen). 

Dh.: Für jede reelle Zahl x gibt es einen y- 

Wert. 

Die Funktionswerte ( y-Werte ) können nur 

positive reelle Zahlen sein. 

Jede Exponentialfunktion geht durch den 

Punkt (0/1) 

weil ja a 0 = 1 

Logarithmusfunktionen existieren nur für x 

R + (nur für die positiven reellen Zahlen). 

Dh.: Nur für positive x gibt es y-Werte. 

Die Funktionswerte ( y-Werte ) können alle 

reellen Zahlen sein. 

Für jede Logarithmusfunktion gilt: 

log a (1) = 0 weil a 0 = 1 

log a (a) = 1 weil a 1 = a 

Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion, indem man den Graphen der Funktion an der 1. Mediane: y = x 

spiegelt. 

und 


242 

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e ist die EULERsche Zahl e 2,7182 . . . 

Leonhard EULER 

( 1707 – 1783 ) 

auf einer ehemaligen Schweizer Banknote 


A(t) = B 0 ⋅ c | ∶ B 0 

A(t) 

= c | ln 

B 0 

Leonhard EULER, Schweizer Mathematiker, entwickelte diese Zahl, 

indem er in der Zinseszins-Formel die Anzahl der Verzinsungen 

(Vermehrungen) pro Jahr gegen unendlich gehen ließ. 

Mit der Exponentialfunktion f(x) = e x und ihrer Umkehrung 

dem ln (x) lassen sich 

natürliche Wachstumsvorgänge, wie z.B. die Anzahl der Bakterien 

in Nährlösungen 

oder der radioaktive Zerfall, mathematisch beschreiben. 

Gegeben ist folgende Gleichung: 

A(t) = B 0 ⋅ c 

ln A(t) 

= TM ⋅ ln (c) 

ln B 0 

– Begründen Sie, warum folgende Umformung falsch ist. 



ln ( A(t) ) = ln (c) 

B 0 

ln(A(t)) − ln(B 0 ) = TM ⋅ ln (c) 

Statt – wurde dividiert! 

Wie kann man denn nun zeigen, ob 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . = 4 ist? 

2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 

16 + 1 

32 + . . . = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 

16 + 1 

32 + . . . + 1 

2 n−1 



243 

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6.4.2. Zinseszinsen 

Zinseszinsen bedeutet, dass die Zinsen des Vorjahrs im nächsten 

Kalenderjahr mitverzinst werden. 

Die Formel ohne Herleitung: 

K n = K 0 ⋅ (1 + i) n 

n … Anzahl der Kalenderjahre, die das Kapital angelegt bzw. geliehen ist 

K 0 … Anfangskapital 

K n … Kapital nach n Kalenderjahren samt Zinseszinsen 

i = 

p 

mit p … Zinssatz p.a. (per anno, also pro Jahr) 

100 

Man kann die Zinseszinsformel auch so darstellen: 

Dann ist t die Anzahl der Kalenderjahre. 


K n = K 0 ⋅ (1 + i) n 

N(t) = N 0 ⋅ 

Auf ein Konto werden € 3 000 angelegt. 

Für eine Zeitspanne von 3 Jahren wird dieser Betrag mit 5 % pro Jahr verzinst, anschließend für zwei Jahre mit 

1 % pro Jahr. 

– Ermitteln Sie den Kontostand nach 5 Jahren. 



K 0 = 3 000 € n = 3 a i = 5 

= 0,05 

100 

K 3 = 3 000 ⋅ (1 + 0,05) 3 = 3 472,875 

K 0 = 3 472,875 € n = 2 a i = 1 

= 0,01 

100 

Für die restlichen 2 Jahre K 0 die 3 472,875 Euro: 

a t 

Jede Veränderung 

bedeutet 

eine neue Rechnung! 

K 2 = 3 472,875 ⋅ (1 + 0,01) 2 = 3 542,68 

Das Kapital ist in diesem Zeitraum auf 3 542,68 Euro angewachsen. 


244 

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Beispiel: 

Ein Kapital von 1 800 Euro wird 3 Kalenderjahre angelegt und wächst in diesem Zeitraum auf 1 854,54 Euro an. 

– Berechnen Sie den Jahreszinssatz p. 

K 0 = 1 800 € n = 3 a K 3 = 1 854,54 € 

K n = K 0 ⋅ (1 + i) n 

1 854,54 = 1 800 ⋅ (1 + i) 3 | ∶ 1 800 

Beispiel: 

1 854,54 

1 800 

3 

√ 1 854,54 

1 800 

1,01 − 1 = i 

0,01 = p 

1% = p 

= (1 + i) 3 | √ 3 

0,01 = i 

100 

= 1 + i | − 1 

| . 100 → 1 = p 

Das Kapital wurde mit einem Jahreszinssatz von 1% angelegt. 

Ein Kapital von 1 500 Euro wird zu einem Zinssatz von 1,1 % p.a. angelegt und wächst in diesem Zeitraum auf 

1 637,20 Euro an. 

– Ermitteln Sie, wie viel Kalenderjahre das Kapital angelegt war. 

K 0 = 1 500 € p = 1,1% → i = 0,011 K n = 1637,20 € 

K n = K 0 ⋅ (1 + i) n 


1637,20 = 1 500 ⋅ (1 + 0,011) n | ∶ 1 500 

1,0915 = (1,011) n | ln 

ln(1,0915) = ln (1,011) n 

ln(1,0915) = n ⋅ ln (1,011) | ∶ ln (1,011) 

Mit GeoGebra: 

oder : 

Setzt man statt i = 

gleich den Zinssatz p: 

Mit GeoGebra: 

p 

100 

, so erhält man 

ln(1,0915) 

ln(1,011) 

= n 

n = 8,00 

Das Kapital war 8 Kalenderjahre angelegt. 


245 

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6.4.3. Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse 

Wir behandeln exponentielle(s) Wachstum (Zunahme) oder exponentielle(n) Zerfall (Abnahme), 

also Prozesse, 

bei denen die Funktionswerte in gleichen Zeitabständen um den gleichen Prozentsatz zunehmen 

(Wachstum), 

bzw. die Funktionswerte in gleichen Zeitabständen um den gleichen Prozentsatz abnehmen (Zerfall). 

Man kann es auch so ausdrücken: 

Kennzeichnend für exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall ist, dass 

der Quotient (*) der Funktionswerte in gleichen Intervallen immer gleich groß ist, 

bzw. die prozentuelle Zunahme bzw. Abnahme in gleichen Intervallen gleich groß ist. 

(*) 

... Quotient: Ergebnis einer Division 

Beispiel: 

f (x) = e 0,05⋅x 

f (10) 

f (0) = 1,65 = 1,65 → + 65 % 

1 

f (20) 

f (10) = 2,72 = 1,65 → + 65 % 

1,65 



246 

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Exponentielles Wachstum 

N(t) = N 0 . e λ⋅t 

Exponentieller Zerfall 

N(t) = N 0 . e −λ⋅t 

N(t) = N 0 . a t 

N(t) = N 0 . a t 

mit a = e λ > 1 bzw. 0 < a = e λ < 1 

e … die EULERsche Zahl Mit Casio: SHIFT → ln 

Ist das Wachstums- bzw. Zerfallsgesetz gesucht, so ist die Konstante λ bzw. a gesucht. 

Beispiel für ein gegebenes Wachstumsgesetz: N (t) = N0 . e 0,1234 . t bzw. N (t) = N0 . 1,1313 t 

Beispiel für ein gegebenes Zerfallsgesetz: N (t) = N0 . e – 0,1234 . t bzw. N (t) = N0 . 0,8839 t 

Benötigt man N(t) in Prozent, so setzt man, gleich ob die Menge gegeben oder nicht, N0 = 100 % . 

Benötigt man N(t) in Promill, so setzt man, gleich ob die Menge gegeben oder nicht, N0 = 1 000 ‰ . 

Für das Wachstumsgesetz gilt: 

bzw. 

bzw. 

Für das Zerfallsgesetz gilt: 


τ ... tau, das griechische t 


247 

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Warum müssen wir zwei verschiedene 

Arten des Wachstums- und 

Zerfallsgesetzes lernen? 

Weil beide Arten recht praktisch sein können. 

Beträgt z.B. die Wachstumsrate 5 %, so ist a = 1,05. 

Beträgt z.B. die Abnahmerate 5 %, so ist a = 0,95. 

Beispiel: 

Prinzipieller Aufbau eines HIV-Virus 

Quelle: http://www.aids- 

hilfe.at/Wissenswertes/Fakten-HIV-AIDS/Das-HI- 

Virus-und-seine-Vermehrung 

Probiere durch Rechnung! 

HIV-Viren vermehren sich pro Tag um 3,5 %. 

– Begründe, warum es sich dabei um ein exponentielles Wachstum handelt. 

Da sich die Viren in gleichen Zeitabschnitten (pro Tag) um den gleichen 

Prozentsatz (um 3,5 %) vermehren, handelt es sich um ein exponentielles 

Wachstum. 

– Stelle das entsprechende Wachstumsgesetz der Form N(t) = N 0 ⋅ e λ⋅t auf: 

Wir schreiben in das Algebra-Fenster den Befehl 

TrendExp[ ] 

Nun geben wir zwei Punkte ein: 

Wir wählen für N0 = 100% als die ursprüngliche Menge. Das heißt, bei t = 0 ist die vorhandene Menge 100 (%). 

Also ist ein Punkt ( 0 / 100 ). 

Da sich die Viren pro Tag um 3,5 % vermehren, sind nach einem Tag ( t = 1 ) 100 % + 3,5 % = 103,5 % vorhanden. 

Also lautet ein zweiter Punkt ( 1 / 103,5 ). 

ENTER betätigt und die entsprechende Funktion erscheint. 

Mit x = t und f(x) = N(t) lautet das gesuchte Wachstumsgesetz N(t) = N 0 ⋅ e 0,0344⋅t 


Bemerkung: Es reicht, nur den Wert für die Konstante λ einzusetzen. 

Es sei denn, man möchte eine konkrete Menge berechnen. Dann benötigt man auch die 

Anfangsmenge. 

– Stelle das entsprechende Wachstumsgesetz der Form N(t) = N 0 ⋅ a t auf: 

Wir schreiben in das Algebra-Fenster den Befehl 

TrendExp2[ ] 


248 

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Nun geben wir zwei Punkte ein 

und verwenden die gleichen Überlegungen wie vorhin: 

Wir wählen für N0 = 100% als die ursprüngliche Menge. Das heißt, bei t = 0 ist die vorhandene Menge 100 (%). 

Also ist ein Punkt ( 0 / 100 ). 

Da sich die Viren pro Tag um 3,5 % vermehren, sind nach einem Tag ( t = 1 ) 100 % + 3,5 % = 103,5 % vorhanden. 

Also lautet ein zweiter Punkt ( 1 / 103,5 ). 

ENTER betätigt und die entsprechende Funktion erscheint. 

Mit x = t und f(x) = N(t) lautet das gesuchte Wachstumsgesetz N(t) = N 0 ⋅ 1, 035 t 

Zu Beginn werden 216 500 Viren nachgewiesen. 

– Bestimme die Dauer, bis die Anzahl der Viren auf eine Milliarde angewachsen ist. 

Wir verwenden das Gesetz in der Form N(t) = N 0 ⋅ 1, 035 t 

N 0 = 216 500 

N (t) = 1 000 000 000 

t = ? 

215, 14 Tage 

Erhalten wir das gleiche Ergebnis, wenn wir mit 

N(t) = N 0 ⋅ e λ⋅t rechnen? 

Wir geben die Gleichung mit den konkreten Werten ein 

und klicken auf . 

Probiere es aus, lieber Fredo! 



249 

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Todsicher 

Stirbt ein Mensch, so nimmt seine Körpertemperatur nach folgendem Gesetz ab: 

T(t) = 16 ⋅ e −0,0575⋅t + 22 

t … Zeit in Stunden (h), die seit dem Todeseintritt vergangen ist 

T(t) … Körpertemperatur in Grad Celsius (°C), t Stunden nach Todeseintritt 

Ein Mordopfer wird um 23: 00 gefunden. Seine Körpertemperatur beträgt 29 °C. 

Ein Tatverdächtiger hat für die Zeit von 12: 00 bis 15: 00 desselben Tages ein Alibi. 

– Begründen Sie mittels Rechnung, ob der Tatverdächtige als Mörder in Frage kommen kann 

Von 15:00 bis 23:00 sind 8 Stunden vergangen: 

T(8) = 32,10 °C 

Von 12:00 bis 23:00 sind 11 Stunden vergangen: 

T(11) = 30,50 °C 

Wäre das Mordopfer zwischen 12:00 und 15:00 umgebracht worden, müsste es um 23:00 eine Temperatur 

zwischen 30,5 °C und 32,1 °C haben. 

Schlecht für den Tatverdächtigen: 

Da die Temperatur des Mordopfers um 23:00 nur noch 29 °C betrug, muss es vor 12:00 umgebracht worden sein. 

– Argumentieren Sie, ob das Zerfallsgesetz T(t) = 16 ⋅ e −0,0575⋅t + 22 richtig umgeformt wurde: 

ln ( T(t) − 16) = −0,0575 ⋅ t 

22 


Möglicher Lösungsweg: Händisches Umformen 

T(t) = 16 ⋅ e −0,0575⋅t + 22 | − 22 

T(t) − 22 = 16 ⋅ e −0,0575⋅t | ∶ 16 

T(t) − 22 

16 

= e −0,0575⋅t | ln 

T(t) − 22 

ln ( ) = ln(e −0,0575⋅t ) 

16 

ln ( 

ln ( 

T(t) − 22 

) = −0,0575 ⋅ t ⋅ ln (e) 

16 

=1 

T(t) − 22 

) = −0,0575 ⋅ t 

16 

Die Umformung ist falsch, weil statt 22 zu subtrahieren durch 22 dividiert und statt durch 16 zu dividieren, 

16 subtrahiert wurde. 


250 

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Lieber Fredo, 

hier muss man einmal selbst Hand anlegen! 

GeoGebra liefert hier nach Eingabe der Funktion 

keine Lösung, da in der einen Gleichung zwei 

Variabel, t und T(t), vorkommen! 

Wird eine Limo aus dem Kühlschrank genommen, so erhöht sich ihre Temperatur nach folgendem Gesetz: 

T(t) = T 2 − (T 2 − T 1 ) ⋅ 0,92 t mit T 2 > T 1 

t … Zeit in Minuten 

T(t) … Temperatur der Limo in °C , t Minuten, nachdem sie aus dem Kühlschrank genommen wurde. 

– Bestimmen Sie die Temperatur der Limo, eine viertel Stunde nachdem sie aus dem Kühlschrank genommen 

wurde, wenn T 1 = 6 °C und T 2 = 22 °C betragen. 

T(15) = 22 − (22 − 6) ⋅ 0,92 15 = 17, 42 °C 

Tom hat Halsentzündung und darf die Limo erst trinken, wenn sie 20°C hat. 

– Ermitteln Sie die Zeit, wie lange Tom warten muss, wenn T 1 = 8 °C und T 2 = 24 °C betragen. 

T(t) = T 2 − (T 2 − T 1 ) ⋅ 0,92 t 

20 = 24 − 16 ⋅ 0,92 t 


Tom muss 16,63 Minuten warten. 

Geht das nicht einfacher mit 

GeoGebra ?? 

https://www.youtube.com/watch?v=gBUF5oKgn10&t=33s 


251 

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IV Analysis 

Ein jeder hört nur das, was er versteht. 

Johann Wolfgang von GOETHE 

( 1749 – 1832 ) 

IV 

ANALYSIS 

Alleine das Wort 

Analysis klingt schon 

sehr "ermutigend"! 

7. DIFFERENZIEREN 

Das Wort Analysis stammt aus dem Griechischen und bedeutet so viel 

wie auflösen (analysieren). 

Was wollen wir in diesem Abschnitt auflösen, also durch die Zerlegung 

in kleine Schritte entschlüsseln und erhellen: 

Den genauen Verlauf von Kurven mittels Berechnung besonderer 

Punkte, Steigungen und Krümmungen, 

sowie die Berechnung gekrümmt begrenzter Flächen. 


Idee: Univ. Prof. Dr. Stefan SILLER 



IV Analysis 

Besprechen wir zunächst das Rechentechnische, bevor wir uns der Veranschaulichung und den Anwendungen 

widmen. 

7.1. Ableitungsregel 

Differenzieren nennt man auch Ableiten. 

Wir verzichten wie immer auf theoretische Herleitungen. 

Es gibt mehrere Ableitungsregeln, doch wir beschränken uns händisch auf eine. 

Außerdem kann man mit GeoGebra auch differenzieren. 

7.1.1. Potenzregel 

Diese Regel gibt an, wie Potenzen der Form x n mit n ∈ R (reelle Zahl) differenziert werden. 

Die Regel lautet: 

Man sagt zu f ′ (x) f Strich von x oder erste Ableitung von f 

Beispiel: 

f(x) = x 3 → f ′ (x) = 3 . x 3−1 = 3 . x 2 


Die Potenzregel darf NUR dann verwendet werden, 

wenn in der Basis der Potenz nur die Variable steht 

und sich die Potenz nicht im Nenner befindet! 

So wäre die Anwendung der Potenzregel bei Funktionen folgender Form falsch: 

Beispiel: f(x) = ( 4 x – 5 ) f ‘ (x) = 3 . ( 4 x – 5 ) 2 

Da in der Basis dieser Potenz nicht nur die 

Variable x steht, 

darf nicht mit der Potenzregel differenziert 

werden! 



IV Analysis 

Beispiel: f(x) = 

1 

x 3 f ′(x) = 1 

3 ⋅ x 2 

Da die Potenz im Nenner steht, darf nicht mit der Potenzregel differenziert werden! 

Betrachten wir weitere Beispiele, die mit der Potenzregel differenziert werden können: 

f (x) = x 5 f ‘ (x) = 5 . x 4 

f (x) = x – 3 f ‘ (x) = – 3 . x – 4 

f (x) = x = x 1 f ‘ (x) = 1 . x 0 = 1 . 1 = 1 

x 0 = 1 

Beispiel: 

f (x) = 4 x 3 = 4 . x 3 f ‘ (x) = 4 . 3 . x 2 = 12 x 2 

Beachte, dass hier die Basis der Potenz in f (x) = 4 x 3 = 4 . x 3 nur aus der Variablen x besteht. 

Die Vorrangregeln klären eindeutig, dass Hochrechnung vor Punktrechnung kommt! 

Da eine höhere Rechenstufe NIE über eine niedrigere hinausgeht, lautet die Potenz nur x 3 

mit der Basis x . Die Zahl 4 ist ein konstanter Faktor, nachrangig mit mal mit x 3 verbunden. 

Stünde in der Basis der Potenz 4x, was bei ( 4x ) 3 der Fall wäre, dürfte die Potenzregel 

nicht zur Anwendung kommen! 

Konstante Faktoren ( . : ) werden unverändert in die Ableitung übernommen. 


f ( x ) = k . x n f ’ ( x ) = k . n . x n – 1 

Dieser Buchstabe ist die Variable. Alle anderen Buchstaben gelten als Konstanten. 

Weitere Beispiele: 

2 

x 1 2 

f (x) = .x 

f ’ (x) = 

2 2 

1 

2 

.2.x 

1.x 

x 



IV Analysis 

6 

4 x 4 6 

4 5 

f (x) = .x 

f ’ (x) = . 6.x = 8 x 5 

3 3 

3 

Beispiel: 

1 

f(x) = = x – 3 f ’ (x) = – 3 . x – 4 1 

= – 3 . = 

3 

x 

4 

x 

Bemerkung: P4 ist Potenzregel Nr. 4. 

Beispiel: 

f (x) 

P 4 P 4 

Potenzen im Nenner müssen vor dem Differenzieren nach der Regel P4: 

aus dem Nenner gebracht werden ! 

P 4 P 4 

5 5 1 5 

f (x) = – = – . = – x – 2 f ’ (x) = 

2 

4 x 4 2 

x 4 

5 

4 x 2 

4 

x 

6 

≠ 5 . 4 x −2 

denn 

5 

4 ≠ 5 . 4 

Beispiel: f(x) = 2 = 2 . 1 = 2 . x 0 f ’ (x) = 2 . 0 . x –1 = 0 


1 = x 0 

Da man sich jede Konstante mit 1 bzw. x 0 multipliziert vorstellen kann, wird in der Ableitung stets der Faktor 

Null vorkommen und damit das Ergebnis immer Null sein. 

x 

3 

4 

1 

x 

n 

x 

n 

= 4 . x – 6 f ’ (x) = 4 . (–6). x – 7 = – 24 . x – 7 1 24 

= 24. = 

7 

7 

x x 

5 

.( 2).x 

4 

3 

 

5 1 

. 

2 3 

x 

 

5 

2x 

Ist ein Faktor Null, so ist das 

Ergebnis Null. 

3 

f ( x ) = k → f ’ ( x ) = 0 

Eine Konstante für sich ergibt abgeleitet null. 



IV Analysis 

Beispiele: 

3 

f (x) = 

f ’ (x) = 0 

2 

f (x) = 

f ’ (x) = 0 

f (x) = a 3 f ’ (x) = 0 

f (a) = a 3 f ’ (a) = 3 a 2 

Beispiel: Gegeben ist die Funktion y = a⋅b2 ⋅x 

c 

– Ermittle f ′ (a), f ′ (b), f ′ (x), f ′ (c) 

f(a) = a⋅b2 ⋅x 

c 

f(b) = a⋅b2 ⋅x 

c 

f(x) = a⋅b2 ⋅x 

c 

f(c) = a⋅b2 ⋅x 

c 

→ f ′ (a) = 1⋅a0 ⋅ b 2 ⋅x 

→ f ′ (b) = a⋅2⋅b1 ⋅x 

→ f ′ (x) = a⋅ b2 ⋅1⋅x 0 

c 

c 

c 

= 1⋅b2 ⋅x 

c 

= 2⋅a⋅b⋅x 

c 

= a⋅b2 ⋅1 

c 

= a ⋅ b 2 ⋅ x ⋅ c −1 → f ′ (c) = a ⋅ b 2 ⋅ x ⋅ (−1) ⋅ c −2 = − a⋅b2 ⋅x 

Beispiel: f (x) = 6 x 2 – 4 x + 3 f ’ (x) = 6 . 2 x 1 – 4 . 1 . x 0 + 0 = 12 x – 4 


Man darf gliedweise ( + – ) getrennt differenzieren. 

Beispiele: 

f (x) 

2 

3 

x 

3 

 

1 

4 

x 

2 

1 

2 2 1 

f '(x) .3. x .2.x – 0 2 x 

3 4 

2 

 

1 

2 

x 

c 2 

f (x) = a x 3 + b x 2 + c x 1 + d 

f ’ (x) = a . 3 . x 2 + b . 2 . x + c . 1 . x 0 + 0 = 3 a x 2 + 2 b x + c 



IV Analysis 

7.1.2. Differenzieren mit 

Nehmen wir als Beispiel f(x) = 2 

⋅ 3 x3 − 1 

⋅ 4 x2 − 2 ⋅ x − 1 

CAS - Fenster: 

Man gibt die Funktion im CAS-Fenster ein und betätigt ENTER. 

Damit erscheint die Funktionsgleichung im Algebra- und CAS-Fenster, sowie der Graph im Grafik-Fenster (siehe 

oben). 

Will man die erste Ableitung, so schreibt man in die nächste Zeile des 

CAS-fensters f‘(x) : 

statt = ist : = zu schreiben 

Will man auch den Graphen der Ableitungsfunktion f‘, so klickt man den Kreis mit der linken Maustaste an, 

sodass er blau gefüllt ist. 


Bemerkung1: f‘ als Ableitung erscheint als anderer Ausdruck als f‘ als Funktion. 

Das hat programmtechnische Gründe und ist unerheblich, weilbeide Ausdrücke richtig sind. 

Bemerkung 2: Wird f‘ als Funktion dargestellt, so nennt sie GeoGebra um. Bei diesem Beispiel wird aus f‘(x) g(x). 



IV Analysis 

Auf die gleiche Weise kann man die zweite Ableitung f‘‘(x) ermitteln: 

Beispiel: f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d 

Beispiel: 

statt = ist : = zu schreiben 

Nicht a x sondern a*x usw. schreiben 

a x liest GeoGebra als die eine Variable ax 

ENTER betätigt und unterhalb der Eingabe erscheint die 

Funktionsgleichung nochmals. 


In die folgende Zeile schreiben wir f‘(x) 

ENTER betätigt und unterhalb f‘(x) erscheint 

die erste Ableitung. 


# 


IV Analysis 

Auf die gleiche Weise erhalten wir die zweite Ableitung f‘‘(x): 

Bemerkung: Hier kann kein Graph angezeigt werden, weil die Koeffizienten (Vorzahlen) a, b und c nicht bekannt 

sind. 

Auch mit anderen Variablen außer x und y = f(x) kann man die Ableitungen bestimmen: 

Beispiel von S 256 

f(a) = 

a ⋅ b2 ⋅ x 

c 

4 

Zur Erinnerung: √4 ⋅ x 3 ∶ 

Beispiel: 

Wurzelinhalt Grad der Wurzel 


f(t) = 2 ⋅ √t 2 + t 

3 

Bemerkung 1: Wenn der Buchstabe in der Klammer blau erscheint, hier a, 

dann ist festgelegt, dass dieser Buchstabe die Variable bedeutet. 

Bemerkung 2: Die Darstellungsweise in GeoGebra ist etwas anders 

als die handschriftliche, denn GeoGebra schreibt die Vorzahlen immer 

vor die Potenz mit der Variablen. 

b 2 ⋅ x 

c = b2 

1 ⋅ x 

c = b2 ⋅ x 

1 ⋅ c = b2 ⋅ x 

c 

Die erste Ableitung sieht etwas kompliziert aus! 

Das Tolle an GeoGebra ist, dass wir damit auch nach Regeln ableiten können, 

von deren Existenz wir gar nichts wissen! 



IV Analysis 

7.2. Veranschaulichung des Differenzierens 

7.2.1. Steigung der Tangente 

Lassen wir alle Formalitäten beiseite. 

Die zwei wichtigsten Zusammenhänge in der Differentialrechnung sind erstens: 

Die erste Ableitung f′(x 1 ) ist die Steigung k t der Tangente t , 

die man an der Stelle x 1 an den Graphen von f legen kann. 


kurz: f ′ (x 1 ) = k t 

Wenn wir die erste Ableitung einer Funktion bilden, 

dann ermitteln wir die Steigung der Tangente an der Stelle x 1 . 

Steigung einer Geraden: Siehe auch 



IV Analysis 

Man nennt die erste Ableitung auch Steigung der Tangente 

oder Differentialquotient oder (lokale) momentane Änderungsrate. 

Denken wir an einen Schlüssel, den wir drehen. 

Zunächst fliegt der Schlüssel entlang einer 

kurvigen Bahn. Ab dem Moment des Loslassens fliegt 

der Schlüssel (zunächst) geradlinig in Richtung 

der Tangente, weil die Kurve im Punkt des 

Loslassens die Richtung der Tangente besitzt. 

… und zweitens: 

Denken wir an ein Schleifrad, an dem ein Werkstück 

bearbeitet wird. Die glühenden Metallspäne fliegen 

geradlinig weg, weil sie sich in jene Richtung 

bewegen, die die Kurve in diesem Punkt besitzt und das 

ist die Richtung der Tangente. 


In jedem Berührpunkt haben Kurve und Tangente 

die gleiche Steigung (Richtung) 

f ′ (x 1 ) = k t 



IV Analysis 

Beispiel: Bestimme die Gleichung der Tangente t, die man an der Stelle x = 1 an den Graphen der Funktion 

f(x) = 1 

2 ⋅ x2 + x legen kann. 

Händische Berechnung 

 

Tangente = Gerade, die berührt 

y = k ⋅ x + d 

Wir müssen k und d bestimmen. 

y = f(x) = 1 ⋅ 2 x2 + x 

Steigung = f ′ (x) = x + 1 

k t = f ′ (1) = 1 + 1 = 2 

Der Berührpunkt liegt auch auf der Tangente, also können wir ihn für x und y in die Tangentengleichung 

einsetzen. Den y-Wert müssen wir jedoch noch berechnen: 

y = f(x) = 1 

⋅ 2 x2 + x → y = f(1) = 1 

Mit GeoGebra: 

y = k ⋅ x + d 

2 ⋅ 12 + 1 = 1, 5 → (1/1, 5) 

(1/1, 5) → 1, 5 = 2 ⋅ 1 + d → −0, 5 = d → t: y = 2 ⋅ x − 0, 5 

k t = f′(2) 

Wir geben im Algebra-Fenster (in die Eingabezeile) die Gleichung der Funktion 

ein. 

In die Zeile darunter schreiben wir den Befehl 


Tangente[ , ] 

Da die Tangente bei x = 1 gelegt werden soll und der Name der Funktion 

f lautet, schreiben wir 

Tangente [1, f] 

ENTER betätigt und die Gleichung der Tangente steht da. 

Bemerkung: GeoGebra hat in diesem Fall der Tangente den Namen g gegeben. 



IV Analysis 

Sollte man nicht wissen, welche der Zahlen die Steigung ist: 

Wir schreiben den Befehl Steigung[ ] 

Da in diesem Fall die Tangente g heißt, 

schreiben wir Steigung[ g ] 

und betätigen ENTER. 

Damit gibt GeoGebra sowohl den 

Zahlenwert der Steigung (a = k = 2) an, 

als auch im Grafik-Fenster ein gezeichnetes 

Steigungsdreieck. 


https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38&t=3s 

https://www.youtube.com/watch?v=Y7JjSVIHPY8&t=2s 



IV Analysis 

7.2.2. Änderungsraten 

7.2.2.1. Absolute Änderung(srate) 

7.2.2.2. Relative Änderung(srate) 

Die absolute Änderung(srate): 

f(x 2 ) − f(x 1 ) = y 2 − y 1 

Beispiel: Jemand verdiente im Jahr 2012 monatlich 2 354 € 

brutto, im Jahr 2018 waren es 2 476 €. 

Die absolute Änderung = 2 476 – 2354 = 122 € 

Beispiel: f(x) = x² 

Die absolute Änderung im Intervall [2 ; 4 ]: 

f(4) − f(2) = 4 2 − 2 2 = 16 − 4 = 12 

Die relative Änderung(srate): 

f(x 2 ) − f(x 1 ) 

= y 2 − y 1 

f(x 1 ) 

Beispiel: Jemand verdiente im Jahr 2012 monatlich 2 354 € 

brutto, im Jahr 2018 waren es 2 476 €. 


Dier relative Änderung = 

Beispiel: f(x) = x² 

y 1 

2 476−2 354 

= 0,0518 = 5,18 % 

2 354 

Die relative Änderung im Intervall [2 ; 4 ]: 

f(4) − f(2) 

f(2) 

= 

4² − 22 

= 

2² 

16 − 4 

4 

= 3 = 300 % 



IV Analysis 

7.2.2.3. Mittlere Änderung(srate) (mittlere Steigung) 

Denken wir uns einen Berghang. 

Wollen wir diesen Hang von A bis B 

erklimmen, so gilt es steilere und 

weniger steile Stücke zurückzulegen. 

Die durchschnittliche (mittlere) 

Steigung nennt man mittlere 

Änderungsrate (m.Ä.) und meint die 

Steigung der Geraden, die durch den 

Anfangs- und Endpunkt der Strecke 

führt. 

Die mittlere Änderungsrate nennt man 

auch durchschnittliche Steigung oder 

Differenzenquotient. 

Bemerkung: Differenz: das Ergebnis einer Subtraktion Quotient: das Ergebnis einer Division (siehe untere Erklärung) 

Die Steigung der Geraden durch die 

Punkte A und B ist die 

mittlere Änderungsrate (m.Ä.) 

und berechnet sich wie folgt: 

m. Ä. [x 1 ; x 2 ] = 

Δ … Delta = griechisches D, es steht hier für Differenz 

m. Ä. [x 1 ; x 2 ] = f(x 2) − f(x 1 ) 

x 2 − x 1 


bzw. 

y 2 − y 1 

x 2 − x 1 

Δ y 

= 

Δ x 

Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung einer Geraden durch 2 Punkte (Sekante). 

Bemerkung: Anfangs- und Endpunkt der Strecke müssen nicht A und B heißen. 



IV Analysis 

Beispiel: Das Ländle ist begehrt! 

Bregenz hatte im Jahr 1880 6 691 Einwohner, im Jahr 2018 waren es 29 806 Einwohner. 

Bestimmen wir zunächst die absolute Änderung(srate): 29 806 – 6 691 = 23 115 

Bregenz wuchs von 1880 bis 2018 um 23 115 Einwohner. 

Nun zur relativen Änderung(srate): 

29 806−6 691 

6 691 

Bregenz wuchs von 1880 bis 2018 um 345,46 % 

Jetzt noch die mittlere Änderungsrate: 

= 3,4546 = 345,46 % 

29 806−6 691 

2018−1880 = 167,5 

Bregenz wuchs zwischen 1880 und 2018 jährlich (pro Jahr) um durchschnittlich 167,5 Einwohner. 

Oder: Bregenz wuchs zwischen 1880 und 2018 im Mittel pro Jahr um 167,5 Einwohner. 


Der Energieverbrauch beim Joggen kann näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben werden: 

E(t) = −0,05 ⋅ t 2 + 3 ⋅ t + 50 für 0 < t < 45 

t … Zeit in Minuten (min) 

E(t) … Energieverbrauch in Kilojoule pro Minute (kJ/min) zum Zeitpunkt t 


– Geben Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall [20 ; 40] mit der entsprechenden Einheit an. 



( 


IV Analysis 

Die entsprechende Einheit: E(t) in kJ/min und t in min 

→ 

kJ/ min 

min 

m. Ä. [20 ; 40] = 0 

kJ/ min 

min 

Das bedeutet, dass im Zeitintervall [20 min ; 40 min] durchschnittlich in einer Minute um null kJ/min 

mehr bzw. weniger Energie verbraucht wird. 

Veranschaulichen wir uns das mit Hilfe einer Skizze: 

Ein Vergleich: 

Da die Funktionswerte an den 

Stellen x = 20 und 

x = 40 gleich groß sind, 

f(20) = 90 und f(40) = 90 , 

ist die Differenz 

f(40) − f(20) = 0 

Das bedeutet nicht, dass im 

Intervall [20 min ; 40 min] 

keine Energie verbraucht wird! 

Ansonsten müsste der Graph 

von E in diesem Bereich 

waagrecht verlaufen. 

Du beginnst eine Wanderung auf 900 m Seehöhe. Der Weg führt dich über einen Gipfel von 2 500 m Höhe. 

Das Ziel liegt wiederum auf 900 m Seehöhe. 

Die Verbindungslinie zwischen Start und Ziel ist waagrecht, hat also die Steigung null. 


https://www.youtube.com/watch?v=DwwOeMyHW38 



IV Analysis 

7.2.2.4. Lokale (momentane) Änderung(srate) (momentane Steigung) 

Bemerkung: Differentiale sind kleinste Differenzen 

Die lokale (momentane) Änderungsrate ist 

die Steigung (Richtung) der Tangente 

in einem Punkt der Kurve. 

Die momentane Änderungsrate nennt man auch 

Differentialquotient. 

Die momentane Änderungsrate ist die Steigung einer Tangente 

Beispiel: Bestimme die momentane Änderungsrate der Funktion f(x) = 1 

2 ⋅ x2 + 1 an der Stelle x = 2 . 


y = f(x) = 1 

⋅ 2 x2 + 1 

Wir bilden die erste Ableitung f ′ (x) = x 

Da wir die Steigung der Tangente an der Stelle x = 2 wollen, setzen wir in die Steigung für 

x = 2 ∶ 

k t = f ′ (2) = 2 

Die momentane Änderungsrate (die momentane Steigung) an der Stelle x = 2 beträgt 2. 



IV Analysis 

Mit GeoGebra: 

Die lokale (momentane) Änderungsrate an der 

Stelle x = 2 beträgt f‘(2) = 2 




IV Analysis 


Der untere Wert des Blutdrucks während eines Laufes kann für die ersten sechs Minuten annähernd durch 

folgende Funktion beschrieben werden: 

B(t) = −1,25 ⋅ t 3 + 7,5 ⋅ t 2 + 10 ⋅ t + 60 

t … Zeit, die seit dem Start vergangen ist, in Minuten (min) 

B(t) … Blutdruck in Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) zum Zeitpunkt t 

– Beschreiben Sie, was mit den folgenden Rechnungen im Sachzusammenhang ermittelt wird. 

B(4)−B(0) 

4 

und 

B(4)−B(0) 

B(0) 

– Berechnen Sie die momentane Steigung (Steigerung) des Blutdrucks für t = 2 min. 

– Interpretieren Sie die momentane Steigung im konkreten Sachzusammenhang. 


B(4)−B(0) 

4 

= B(4)−B(0) 

4−0 

ist die mittlere Änderungsrate im Intervall [ 0 min ; 4 min ]. 

Im Sachzusammenhang: Die (mittlere) durchschnittliche Veränderung des Blutdrucks in den 

ersten vier Minuten nach dem Start. 

B(4)−B(0) 

B(0) 

ist die relative Änderungsrate im Intervall [ 0 min ; 4 min ] 

Im Sachzusammenhang: Die prozentuelle Veränderung des Blutdrucks in den 

ersten vier Minuten nach dem Start. 


Die momentane Steigung ist die momentane Änderungsrate, also die Steigung der Tangente, 

somit die erste Ableitung der Funktion: 

B ′ (t) = −3,75 ⋅ t 2 + 15 ⋅ t + 10 

Wir wollen die momentane Steigung zum Zeitpunkt t = 2, also setzen wir in die erste Ableitung für 

t = 2 ∶ B ′ (2) = −3,75 ⋅ 2 2 + 15 ⋅ 2 + 10 = 25 

mmHg 

min 



IV Analysis 

Mit GeoGebra: 

Interpretation: 

Die Steigung jeder Geraden ist 

k = G 


A 

bzw. k = k 

1 

Da die Einheit der Gegenkathete bzw. 

y-Achse mmHg lautet und jene der 

Ankathete bzw. x-Achse min, lautet die 

momentane Steigung 2 Minuten nach 

dem Start 

25 mmHg 

1 min 

also 25 mmHg pro 1 min 

Somit lautet die Interpretation im 

konkreten Sachzusammenhang: 

Der Blutdruck nimmt pro Minute 

um 25 mmHg zu. 

– Erklären Sie, wie am unten abgebildeten Diagramm die momentane Steigung der Funktion abgelesen 

werden kann. 



IV Analysis 

erklären, erläutern . . . 

mit Hilfe mathematischer Fachsprache einen Rechengang angeben 


Anderes wäre gefragt bei 

Dokumentieren (beschreiben) . . . 

einen Rechengang (Lösungsweg) in Worten angeben 

ODER: 

B′(t 1 ) 

Bemerkung: t 1 bedeutet nicht eine 1. Lösung, 

sondern einen bestimmten, 

also bekannten t-Wert 

– Dokumentieren Sie, wie im oben abgebildeten Diagramm die momentane Änderungsrate an einer 

Stelle t 1 ermitteln können. 

An der Stelle t 1 an den Graphen Tangente legen. 

Die momentane Änderungsrate ist Steigung dieser Tangente. 


https://www.youtube.com/watch?v=DwwOeMyHW38 



IV Analysis 

7.3. Weitere Anwendungen der Differentialrechnung 

7.3.1. Extrema 1 

Greifen wir das Bild von der Bergwanderung auf: 

Denke dir den Funktionsgraphen als 

Berg- und Tallandschaft, die du in 

Schreibrichtung durchwanderst. 

Zunächst steigt es an. Kommen wir am 

höchsten Punkt H an, so geht es weder 

bergauf noch bergab. 

Im Hochpunkt H 

liegt die Tangente waagrecht, 

hat also die Steigung ist Null. 

Gehen wir vom Hochpunkt aus weiter, 

so geht's bergab. 

Gelangen wir zum tiefsten Punkt T, so 

geht es weder bergab noch bergauf. 

Im Tiefpunkt T 

liegt die Tangente waagrecht, 

hat also die Steigung ist Null. 

. 

Hochpunkt H und Tiefpunkt T nennt man die (relativen) Extrema. 

Relativ höchster bzw. relativ tiefster Punkt deshalb, weil ja die unendlich lange Linie des Funktions-Graphen ins negativ bzw. 

positiv Unendliche geht und somit absolut gesehen höhere und tiefere Punkte der Kurve existieren. 


Extrema sind Punkte der Kurve, 

mit der Steigung Null . 

also setzen wir 

f ′ = 0 

1 extrema ist die Mehrzahl von extremum (lateinisch): das Äußerste 



IV Analysis 

Außerdem gilt: 

Der Hochpunkt liegt im Bereich 

rechter Krümmung. 

Rechte Krümmung ist negativ, 

weil hier die Steigung abnimmt. 

Bemerkung: Mit positiver und negativer Laune lässt sich die Krümmung gut merken. 

Beispiel: 

Der Tiefpunkt liegt im Bereich 

linker Krümmung. 

Linke Krümmung ist positiv, 

weil hier die Steigung zunimmt. 

– Bestimme die Extrema ( Hochpunkt H und Tiefpunkt T ) der Funktion f(x) = 1 

bestimmen, ermitteln, berechnen . . . 

eine konkrete Berechnung durchführen 

8 x3 − 3 

2 x2 + 9 


Händische Berechnung: 

y = f(x) = 1 

8 x3 − 3 

2 x2 + 9 

2 x 

Steigung = f ′ (x) = 3 

8 x2 − 3x + 9 

2 

2 x . 

Krümmung = f ′′ (x) = 3 4 x − 



IV Analysis 

Da in den Extrema die Steigung = 0 ist, setzen wir die Steigung = 0: 


→ 

3 

8 x2 − 3x + 9 

2 = 0 → x 1 = 2 x 2 = 6 

y 1 = f(2) = 1 

8 ⋅ 23 − 3 

2 ⋅ 22 + 9 ⋅ 2 = 4 → (2/4) 

2 

Krümmung = f ′′ (2) = 3 4 ⋅ 2 − 3 = − 3 2 < 0 

y 2 = f(6) = 1 

8 ⋅ 63 − 3 

2 ⋅ 62 + 9 ⋅ 6 = 0 → (6/0) 

2 

Krümmung = f ′′ (6) = 3 4 ⋅ 6 − 3 = + 3 2 > 0 

Mit GeoGebra: 

→ Hochpunkt H(2/4) 

→ Tiefpunkt T(6/0) 

Man schreibt die Funktionsgleichung in das Algebra-Fenster und betätigt ENTER. 

Damit erscheint gleichzeitig im Grafik-Fenster der Funktionsgraph. 

Nun schreibt man in die folgende Eingabe-Zeile den Befehl 

Extremum[ ] 

Der Name unserer Funktion ist f . 

Deshalb ersetzen wir durch f. 

Dann betätigen wir ENTER. 




IV Analysis 

Wir erhalten die Punkte A ( 2 / 4 ) und B ( 6 / 0 ). 

Im Grafik-Fenster lässt sich leicht ersehen, wer Hoch- und wer Tiefpunkt ist: H ( 2 / 4 ) und T ( 6 / 0 ) 

f ′ (x) = 0 

– Erkläre, wie man die Extrema einer Polynomfunktion f 3. Grades bestimmen kann. 

erklären, erläutern . . . 

mit Hilfe mathematischer Fachsprache einen Rechengang angeben 

→ x 1 , x 2 

f ′′ (x 1 ) < 0 → Maximum (Hochpunkt) → y 1 = f(x 1 ) → H(x 1 /y 1 ) 

f ′′ (x 2 ) > 0 → Minimum (Tiefpunkt) → y 2 = f(x 2 ) → T(x 2 /y 2 ) 

– Dokumentiere, wie man die Extrema einer Polynomfunktion f 3. Grades bestimmen kann. 

dokumentieren, beschreiben . . . 

einen Rechengang (Lösungsweg) in Worten angeben 

1. Ableitung gleich null gesetzt. Gleichung liefert zwei x-Werte. Diese in die 2. Ableitung eingesetzt. 

Erhält man eine negative Zahl, so ist es der Hochpunkt. Erhält man eine positive Zahl, so ist es der Tiefpunkt. 

Die dazugehörigen y-Werte erhält man, indem man die x-Werte in f(x) einsetzt. 





IV Analysis 


Die Wurfbahn einer Kugel wird durch folgende Funktion beschrieben: 

f(x) ... Flughöhe in Metern (m) 

x ... Flugweite in m 

– Ermitteln Sie die maximale Wurfhöhe. 


Folgende Überlegungen führen ans Ziel: 

f(x) = − 3 

121 x2 + 6 

11 x 

Die maximale Flughöhe ist die y-Koordinate y 1 des Hochpunktes H. 


Mit GeoGebra: 

Die maximale Wurfhöhe beträgt 3 m. 



IV Analysis 

– Bestimmen Sie den Aufschlagwinkel der Kugel beim Landen auf dem Boden. 


Der Aufschlagwinkel ist der Winkel, den die Tangente im Aufschlagpunkt mit der x-Achse einschließt. 

Bestimmen wir zunächst den Punkt, in dem die Kugel aufschlägt: Das ist der rechte Nullpunkt von f. 

Die rechte Nullpunkt hat die Koordinaten (22/0) . 

Bemerkung: Damit kennen wir auch die Wurfweite: 22 m 

An der Stelle x 1 = 22 berechnen wir nun den Aufschlagwinkel. 


Dazu benötigen wir erstmal die Steigung der Tangente an der Stelle x 1 = 22 : 

Beachte, dass zuvor schon die Gleichung 

der Funktion eingegeben sein muss 



IV Analysis 

k = – 0,55 

Für jede Steigung gilt: 

Beachte: Gefälle = negative Steigung 

k = tan (α) 

α = tan −1 (−0, 55) 

α = −28, 81 o bzw. 180 o – 28, 61 o = 151, 19 o 

Bemerkung: Der Winkel kann sowohl negativ als auch positiv angegeben werden. Es sind beide Lösungen richtig. 

Ich würde die negative Lösung belassen. Ein negativer Winkel bedeutet, er wird mit dem Uhrzeigersinn 

aufgetragen (siehe Skizze). 




IV Analysis 

7.3.2. Krümmung f′′ 

Die Krümmung ist ein Maß, wie stark sich die 

Steigung ( also die Richtung ) ändert. 

Je stärker die Steigungs-, also Richtungsänderung, 

umso stärker ist die Krümmung. 

Ist eine Kurve rechts gekrümmt, 

so nimmt die Steigung von links gesehen ab. 

Deshalb ist rechte Krümmung negativ. 

Ist eine Kurve links gekrümmt, 

so nimmt die Steigung von links gesehen zu. 

Deshalb ist linke Krümmung positiv. 

Somit lässt sich, wie schon auf S 274 angedeutet, mit Hilfe der Krümmung mathematisch zeigen, ob das 

berechnete Extremum einen Hochpunkt H oder ein Tiefpunkt T darstellt: 

Ein Extremum im Bereich rechter (negativer) Krümmung 

muss ein Hochpunkt H sein. 

Ein Extremum im Bereich linker (positiver) Krümmung 

muss 

ein Tiefpunkt T sein. 


Deshalb gilt, wie schon erwähnt: 

f ''(x) > 0 

f '' ( x E ) < 0 ➝ Extremum ist Hochpunkt H 

E ( x E / y E ) 

f '' ( x E ) > 0 ➝ Extremum ist Tiefpunkt T 



IV Analysis 

Beispiel: 

– Schreibe in folgende Tabelle, welchen Wert ( +, – oder 0 ) f, f′ und f′′ an den angegebenen Stellen 

besitzt. 

Lösungen: 

x = –1 

x = 0 

x = 1 

x = 2 

x = 3 

f f′ f′′ 




IV Analysis 

7.3.3. Wendepunkt & Wendetangente 

Wollen wir den Wendepunkt W bestimmen, suchen wir jene Punkte der Kurve, 

in denen die Krümmung Null ist. Deshalb setzen wir die Krümmung 

Für die Krümmung denken wir uns eine Straße aus der 

Vogelperspektive betrachtet, die wir in Schreibrichtung, also 

von links kommend, durchfahren. 

Zunächst müssen wir nach rechts lenken, 

anfangs leicht, in der Folge stärker, weil die 

Straße rechts gekrümmt ist. Den stärksten 

Einschlag verzeichnen wir im Hochpunkt H. 

Danach beginnen wir nach links zu lenken, 

haben aber das Lenkrad noch geraume Zeit 

rechts der neutralen Geradeaus-Stellung. Erst im Punkt W ist 

das Steuer für einen Augenblick in Neutralstellung. Danach 

links davon, weil die Straße ab hier links gekrümmt ist. Den 

stärksten Links-Einschlag verzeichnen wir im Tiefpunkt T. 

Danach beginnen wir wieder nach rechts zu lenken. Das 

Lenkrad wird jedoch bei diesem Kurvenverlauf nie mehr die 

Geradeaus-Stellung erreichen oder gar eine rechts davon. 

f ’’ = 0 

Im Wendepunkt ist die Steigung am größten (maximal) bzw. 

oder 

Im sog. Wendepunkt W ändert sich der Krümmungssinn der 

Kurve. Im Punkt W selbst ist die Krümmung null, weil sich das 

Lenkrad für einen Moment in Neutralstellung befindet, wie auf 

geraden Straßen. 

das Gefälle am größten (maximal) 


Im Wendepunkt ist die Steigung am kleinsten (minimal) bzw. 

das Gefälle am kleinsten (minimal) 



IV Analysis 

Beispiel: f(x) = 1 

8 x3 − 3 

2 x2 + 9 

2 x 

– Berechne den Wendepunkt dieser Funktion. 

berechnen (bestimmen, ermitteln): konkrete Berechnung(en) anstellen 


y = f(x) = 1 

8 x3 − 3 

2 x2 + 9 

2 x 


8 x2 − 3x + 9 

2 

Krümmung = f ′′ (x) = 3 x − 3 

4 

Da im Wendepunkt die Krümmung= 0 ist, setzen wir die Krümmung = 0: 

Krümmung = f ′′ (x) = 0 

→ 

3 

x − 3 = 0 

4 

→ x = 4 

y = f(4) = 1 

8 ⋅ 43 − 3 

2 ⋅ 42 + 9 ⋅ 4 = 2 → W(4/2) 

2 

Wendepunkt mit GeoGebra 

 

Funktionsgleichung eingeben 


 

Befehl: Wendepunkt[ ] eingeben & 

ENTER 

Der nebenstehende Befehl erscheint 

 

Da unsere Funktion f heißt, schreiben wir in das Feld 

f 



IV Analysis 

ENTER betätigt und der Wendepunkt, hier mit A bezeichnet, wird angegeben. 

Gleichzeitig erscheint im Grafik-Fenster der Graph der Funktion samt eingezeichnetem Wendepunkt. 

Will man den Wendepunkt auf W umbenennen, siehe S 194. 

– Erkläre (erläutere), wie man den Wendepunkt einer Polynomfunktion 3. Grades bestimmen kann. 

erklären, erläutern . . . mit mathematischer Fachsprache einen Rechengang angeben 

f ′′ (x) = 0 → x 1 

y 1 = f(x 1 ) → W(x 1 /y 1 ) 

– Dokumentiere, wie man den Wendepunkt einer Polynomfunktion 3. Grades bestimmen kann. 


dokumentieren, beschreiben . . . Lösungsweg in Worten beschreiben 

Bildet erste und zweite Ableitung. 

Zweite Ableitung null gesetzt, liefert x-Wert x 1. 

x 1 in Funktionsgleichung eingesetzt, liefert dazugehörigen y-Wert y 1. 



IV Analysis 

Wendetangente: Die Wendetangente tW ist die Tangente im Wendepunkt 


Die Steigung der Tangente ist die erste Ableitung der Funktion 

 

W(4/2) → k = f ′ (4) = 3 

⋅ 8 42 − 3 ⋅ 4 + 9 

= − 3 

2 2 

Eine Tangente ist eine Gerade, 

die eine Kurve in einem Punkt berührt. 

Gleichung einer Geraden: tW: y = k . x + d 

Diese Gleichung beschreibt dann eine konkrete Gerade, 

wenn wir die Zahlenwerte für k und d kennen. 

Zwei Überlegungen führen uns auf diese Größen: 

Da der Wendepunkt auch auf der Wendetangente liegt, können wir seine Koordinaten für x und y sowie 

das errechnete k in die Gleichung der Tangente einsetzen : 

tW: y = 

k . x + d 


x y 

3 

W ( 4 / 2 ) : 2 = . 4 + d 

2 

2 = – 6 + d | + 6 

8 = d 

Die Werte für k und d in die Geradengleichung eingesetzt, liefert die Gleichung der Wendetangente: 

t W : y = − 3 

2 

x + 8 



IV Analysis 

Bemerkung 1: Hat eine Funktion mehrere Wendepunkte, so besitzt jeder Wendepunkt eine eigene Wendetangente. 

Bemerkung 2: Auf diese Weise kann jede Tangente in (irgend-)einem Berührpunkt einer Kurve aufgestellt werden. 

Wendetangente mit GeoGebra 

 

 

 

Funktionsgleichung eingeben 

Wendepunkt bestimmen 

Befehl Tangente[ , ] eingeben 


Der x-Wert des Wendepunktes ist 4 und der Name der Funktion ist f. 



IV Analysis 


– Bestimmen Sie bei der Funktion f(x) = 1 

8 x3 − 3 

2 x2 + 9 

x die Stelle mit dem größten Gefälle. 

2 

Gedankengänge: Das größte Gefälle ist das Maximum des Gefälles, also der (negativen) Steigung. 

Im Wendepunkt ist die Steigung maximal 

W ( 4 / 2 ) 

Die Stelle ist die x-Koordinate. 

An der Stelle x = 4 ist das Gefälle am größten 




IV Analysis 


– Begründen Sie, warum eine Polynomfunktion 3. Grades höchstens (maximal) einen Wendepunkt besitzen kann. 


Die Funktion f ist 3. Grades. 

Die erste Ableitung f‘ (Steigung) ist 2. Grades. 

Die zweite Ableitung f‘‘ (Krümmung) ist 1. Grades. 

Im Wendepunkt ist die Krümmung = 0. Setzen wir die Krümmung null, erhalten wir mit 6 a x + 2 b = 0 

eine lineare Gleichung in x. Diese hat mit 

Damit kann die Funktion nur einen Wendepunkt besitzen. 



Weil bei n = 1 ist 

1 

= 1 

= 1 

= 1 

2 n−1 2 1−1 2 0 

1 = 1 

nur eine Lösung. 


bei n = 2 ist 

bei n = 3 ist 

1 

= 1 

= 1 

= 1 

2 n−1 2 2−1 2 1 2 

1 

= 1 

= 1 

= 1 

2 n−1 2 3−1 2 2 4 

x = − 2 b 

6 a 

So lässt sich 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 

16 + 1 

32 

usw. 

+ . . . darstellen als 

2 + 1 

2 1−1 + 1 

2 2−1 + 1 

2 3−1 + 1 

2 4−1 + 1 

2 5−1 + . . . + 1 

2 n−1 




IV Analysis 

Fassen wir zusammen: 

Nullpunkte 

Alle Nullpunkte haben y = 0, weil sie auf der x-Achse 

liegen. 

Extrema 

Im Hoch- und Tiefpunkt hat die Tangente die Steigung null, 

weil sie waagrecht liegt. 

Wendepunkte 

N2 

f ''(x) > 0 

Im Wendepunkt ist die Krümmung null. 

Denke an das Lenken auf einer kurvigen Straße. 




IV Analysis 

Stellen wir y = f (x), die Steigung f '(x) und die Krümmung f ''(x) des letzten Beispiels als Funktionen 

grafisch dar: 

Zur Orientierung: 

f (x) f ' (x) f '' (x) 

Im Hochpunkt H und Tiefpunkt T ist 

die Steigung f '(x) = 0. Deshalb hat 

der Graph von f '(x) dort seine 

Nullpunkte (bei x = 2 und x = 6), wo 

die Funktion f (x) ihre Extrema hat. 

Vor dem Wendpunkt W ist die 

Funktion f (x) rechts gekrümmt, 

die Steigung nimmt also ab. 

Deshalb ist der Graph von f ' (x) vor 

dem Wendepunkt monoton fallend. 

Nach dem Wendepunkt ist f (x) 

links gekrümmt, demnach nimmt die 

Steigung zu. So ist der Graph von 

f ' (x) nach dem Wendepunkt 

monoton steigend. 

Das Extremum der Steigung f ' (x) 

liegt an der Stelle des Wendepunktes 

von f. 

Im Wendepunkt ist die Krümmung f ''(x) = 0. 

Deshalb besitzt der Graph von f ''(x) an der 

x-Koordinate des Wendepunktes ( x = 4 ) seinen 

Nullpunkt. 

Vor dem Wendpunkt W ist die Funktion f (x) 

rechts gekrümmt, die Krümmung also negativ. 

Deshalb liegt der Graph von f ''(x) vor dem 

Wendepunkt unterhalb der x-Achse. 

Nach dem Wendepunkt ist f (x) links gekrümmt, 

demnach die Krümmung f '' (x) positiv. 

So liegt der Graph von f '' (x) nach dem 

Wendepunkt oberhalb der x-Achse. 


Da sich durch das Ableiten der Grad der 

entstehenden Funktion jeweils um eins 

erniedrigt, ist in diesem Fall 

f (x) . . . 3. Grades 

f‘ (x) . . . 2. Grades (quadratisch) 

f‘‘ (x) . . . 1. Grades (linear) 



IV Analysis 

Beispiel: 

Gegeben ist die Gleichung der Funktion f(x) = 1 

8 x3 − 3 

2 x2 + 9 

2 x . 

– Stelle die Graphen von f, f‘ und f‘‘ in einem Koordinatensystem dar. 

Man schreibt in die Eingabe-Zeile die Gleichung der Funktion f 

ENTER betätigt und im Grafik-Fenster erscheint der Funktions-Graph. 

Nun schreibt man in die Eingabe-Zeile f‘(x) und betätigt ENTER . 

Im Algebra-Fenster 

erscheint 

die erste Ableitung f‘ 

und im Grafik-Fenster 

der Graph von f‘. 




IV Analysis 

Jetzt wollen wir f‘‘ bilden: 

Siehe auch 

Eine einfache Merkregel: 


Das bedeutet: 

Die Extrema von y = f liegen an den Stellen der Nullpunkte der Steigung f′ , 

die Wendepunkte von y = f liegen an den Stellen der Extrema von f′ und den Nullpunkten der Krümmung f′′ , 

die Wendepunkte von f′ liegen an den Stellen der Extrema von f′′. 



IV Analysis 


Fußballspielen 

Ronald und Julian spielen auf einer horizontalen Wiese Fußball. 

Die Flugbahn des Balles kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades h beschrieben 

werden. Dabei wird der Ball als punktförmig angenommen. 

h(x) = −0,003 ⋅ x 3 + 0,057 ⋅ x 2 mit x ≥ 0 

x … horizontale Entfernung des Balles vom Abschusspunkt in Metern (m) 

h(x) … Höhe des Balles über dem Boden an der Stelle x in m. 

a) – Ermitteln Sie den für diesen Sachzusammenhang größtmöglichen sinnvollen Definitionsbereich 

für die Funktion h. 

– Bestimmen Sie den höchsten Punkt der Flugbahn. 

b) Julian fängt den Ball aus einer Höhe von 1,80 m. 

– Berechnen Sie die beiden horizontalen Entfernungen von der Abschussstelle, an denen Julian sich dabei 

befinden kann. 

c) Ronald überlegt, ob er bei diesem Schuss den Ball über ein 2,8 m hohes Klettergerüst, das in direkter 

Schussrichtung 10 m von der Abschussstelle entfernt steht, schießen könnte. 

– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Schuss tatsächlich über das Klettergerüst fliegen 

kann. 

Möglicher Lösungsweg: a) 


Der Ball fliegt im Koordinatenursprung los, weil laut Angabe x ≥ 0 sein soll und landet bei x = 19 auf der 

horizontalen Wiese. 

Deshalb lautet die größtmögliche sinnvolle Definitionsmenge D f = [0; 19] 



IV Analysis 

Der höchste Punkt ist der Hochpunkt von h: 

Der höchste Punkt (Hochpunkt) ist offensichtlich B = H(12,67/3,05) 

b) 

Wir legen eine Gerade auf der Höhe 1,8 m. Diese Gerade hat die Gleichung y = 1, 8 weil ja alle Punkte auf ihr 

den y-Wert 1,8 haben sollen. 

Jetzt schneiden wir die Funktion h mit der Geraden y = 1, 8 die GeoGebra g 

benannt hat. 


Damit erhalten wir die drei Schnittpunkte A, B und C. 

A kommt nicht in Frage, weil seine x-Koordinate –5 beträgt und damit nicht x ≥ 0 erfüllt. 

Die beiden horizontalen Entfernungen von der Abschussstelle betragen demnach 7,10 m und 16,90 m 

(auf zwei Nachkommastellen gerundet). 



IV Analysis 

c) 

Kompensationsprüfung am 05.06.2018 

Da der y-Wert an der Stelle x = 10 mit h(10) = 2, 7 beträgt, besitzt 

der Ball an dieser Stelle nur eine Höhe von 2,70 m über dem Boden und 

kann hier nicht über das Klettergerüst fliegen, das ja 2,80 m hoch ist. 

Das Höhenprofil des ersten Abschnitts einer Laufstrecke in einem Wald kann annähernd durch die 

Polynomfunktion g geschrieben werden: 

g(x) = a . x² + b . x + c mit 0 ≤ x ≤ 30 

x … waagrechte Entfernung vom Startpunkt in m 

g(x) … Höhe bei Entfernung x in m 

Der Startpunkt befindet sich in 40 m Höhe und besitzt ein Gefälle von 5%. In einer waagrechten Entfernung 

von 25 m vom Startpunkt wird die maximale Höhe erreicht. 

– Stellen Sie das Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten dieser Polynomfunktion berechnet 



Die Gedankengänge: 

Koeffizienten = Vorzahlen a, b und c 3 Bestimmungsstücke → 3 Angaben 


Startpunkt P( 0/40 ) → g(0) = 40 

In P( 0/40 ) ist Gefälle 5 % → g‘(0) = – 0,05 

Bei x = 25 eine Extremstelle → g‘(25) = 0 

! Gefälle = negative Steigung 



IV Analysis 

CAS-Fenster: 

Nicht vergessen: Nach g (x) 

schreiben. 

– Stellen Sie die Gleichung der Funktion auf. 

Das Gleichungssystem lautet: 

g(0)=40 c = 40 

g’(0)=–0,05 

bzw. 

b = – 1 

g’(25)=0 50 a + b = 0 

Mit gedrückter 



20 

-Taste und gedrückter linker Maustaste 

diejenigen Zeilennummern markieren, in denen die Gleichungen 

stehen (hier die Nummern 2, 3 und 4, die dann grau unterlegt sind). 

Schließlich noch den Button 

g(x) = 1 

⋅ 1 000 x² − 1 ⋅ x + 40 

20 

betätigen. 

f ist eine Polynomfunktion 3. Grades. f hat im Punkt P(3/2) einen Hochpunkt und an der Stelle x = 0 

eine Wendestelle mit der Steigung k = 1 . 

– Kreuzen Sie die Bedingung an, die nicht den obigen Angaben entspricht: [ 1 aus 5 ] 



IV Analysis 

f ′ (3) = 0 

f(0) = 0 

f ′ (0) = 1 

f′′(0) = 0 

f(3) = 2 

Solche Aufgaben nennen sich “ 1 aus 5 ” , weil immer genau eine gebotene Alternative die geforderte ist. 

Lösung: 


f ′ (3) = 0 ist richtig, weil P ein Extremum ist und dort die Steigung null ist. 

f(0) = 0 ist falsch, weil der Wendpunkt nicht automatisch y = 0 hat. 

f ′ (0) = 1 ist richtig, weil die Steigung im Wendepunkt laut Angabe 1 ist. 

f ′′ (0) = 0 ist richtig, weil bei x = 0 der Wendepunkt liegt. 

f(3) = 2 ist richtig, weil P ein Punkt von f ist. 

Für die Strecke zwischen den Stationen Christopher Street und Canal Street des Train 3 der New Yorker Subway 

benötigt ein Zug durchschnittlich ca. 3,97 Minuten. 

Der zurückgelegte Weg des Zuges zwischen den beiden Stationen lässt sich näherungsweise durch folgende 

Funktion beschreiben: 

s(t) = −0,0003 ⋅ t 3 + 0,1128 ⋅ t 2 + 2,48 ⋅ t 

t … Zeit nach der Abfahrt in Sekunden s, 0 ≤ t ≤ 240 

s(t) … zurückgelegter Weg in Metern (m) zum Zeitpunkt t 

a) – Berechnen Sie die Länge der Strecke s, die der Zug wischen beiden Stationen zurücklegt. 


Der Zug benötigt für diese Strecke 238, Sekunden, also setzen wir für t diesen Wert in s(t) ein. 

s(238, 2) = −0,0003 ⋅ 238, 2 3 + 0,1128 ⋅ 238, 2 2 + 2,48 ⋅ 238, 2 = 2 936,34 m 

Die Strecke zwischen den beiden Stationen ist ca. 2 936 m lang. 



IV Analysis 

b) – Ermitteln Sie die mittlere Geschwindigkeit des Zuges in km/h im Intervall [40 ; 120] 

mittlere Geschwindigkeit = mittlere Änderungsrate 

m. Ä. = s(120)−s(40) 

120−40 

= 1 403,52−260,48 

80 

s(120) = 1 403,52 s(40) = 260,48 

. . . oder mit GeoGebra . . . 

= 14,29 m/s = 

14,29 m 

Die mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) beträgt 51,44 km/h. 

– Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeit in m/s zum Zeitpunkt t = 120 s. 


1 s 

= 

0,01429 km 

1 

3 600 h = 51,44 km/h 

momentane Geschwindigkeit = momentane Änderungsrate = s′ 

s(t) = −0,0003 ⋅ t 3 + 0,1128 ⋅ t 2 + 2,48 ⋅ t 

s′(t) = −0,0009 ⋅ t 2 + 0,2256 ⋅ t + 2,48 

s ′ (120) = −0,0009 ⋅ 120 2 + 0,2256 ⋅ 120 + 2,48 = 16,59 m/s 

. . . oder mit GeoGebra 

c) – Dokumentieren Sie, wie man am unten abgebildeten Weg-Zeit Diagramm die 

Momentangeschwindigkeit ablesen kann. 

Die Momentangeschwindigkeit entspricht der 

Steigung der Tangente in einem bestimmten 

Punkt der Kurve. 



IV Analysis 

– Lesen Sie näherungsweise den Zeitpunkt ab, in dem die Momentangeschwindigkeit am größten ist. 

Die größte Momentangeschwindigkeit ist das Maximum der Momentangeschwindigkeit. 

Momentangeschwindigkeit: s ′ (t) → Maximum der Momentangeschwindigkeit: s ′′ (t) = 0 

Das bedeutet, dass im Wendepunkt von s(t) die Momentangeschwindigkeit am größten ist. 

Dieser liegt in etwa bei t = 125 s 



Summe = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . + 1 

2 n−1 

1 

2 Summe = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 

16 + 1 

32 + 1 

64 + . . . + 1 

2 n−1 + 

1 

2 n 

Bedenke: 

1 

⋅ 1 

= 1⋅1 

= 1 

= 1 

2 2 n−1 2 1 ⋅ 2 n−1 2 1+n−1 2 n (Potenzregel P1, 2.2.2. S 59) 




IV Analysis 

7.4. Kleine Betriebskunde 

Alle Begriffe sind aus Sicht des Produzenten bzw. Verkäufers und nicht des Konsumenten. 

Fagus-Werk in Alfeld 

Im Folgenden einige Begriffe der Kosten- und Preistheorie und ihre 

Anwendungen in der Differentialrechnung: 

x … die Mengeneinheiten (ME) 

des erzeugten bzw. verkauften Produktes 

K(x) … die Gesamtkosten, die dem Unternehmen bei Erzeugung 

von x ME des Produktes entstehen 

p(x) … Preis eines Produktes in Geldeinheiten (GE) 

bei Verkauf von x ME des Produktes 

E(x) … Erlös (Einnahmen) in GE für das Unternehmen bei Verkauf von x ME des Produktes 

G(x) … Gewinn bei Verkauf von x ME des Produktes 

n(x) … Preis-Funktion der Nachfrage 

Höchstpreis p H : 

Jener Preis, bei dem nichts mehr verkauft wird. 

p H = p(0) 

Sättigungsmenge x S : 

Jene Menge, die höchstens abgegeben werden 

kann, wenn der Preis null ist. 

p(x) = 0 → x S 

E(x) = p(x) ⋅ x 

Gewinn = Einnahmen – Ausgaben 

G(x) = E(x) − K(x) 


x S ist die Nullstelle von n. 



IV Analysis 

Wie kann es sein, dass man von einer 

Ware, die verschenkt wird, nicht 

grenzenlos viel absetzen kann? 

Lieber Fredo, stell dir vor, es gäbe Nägel 

geschenkt. Wie viele würdest du davon 

heimschleppen? 

Gewinnzone: 

Die Gewinnzone ist jener Bereich der ME, bei dem ein Gewinn erwirtschaftet wird. 

Es ist der Bereich zwischen den (positiven) Nullstellen der Gewinnfunktion. 

G(x) = 0 → x 1 , x 2 > 0 Gewinnzone = [ x 1 ; x 2 ] 

x 1 nennt man den Break-Even (Point): Jene Menge des verkauften Produktes, 

bei der erstmals kein Verlust gemacht wird. 



Die Gesamtkosten für die Produktion von Tageslichtlampen können durch folgende Funktion beschrieben werden: 

K(x) = 0, 01 ⋅ x 3 − 0, 75 ⋅ x 2 + 50 ⋅ x + 300 

x … Anzahl der produzierten Tageslichtlampen 

K(x) … Gesamtkosten in Euro bei Erzeugung von x Tageslichtlampen 



IV Analysis 

Die Preis-Funktion lautet: 

p(x) = 100 − 0, 5 ⋅ x 

x … Anzahl der produzierten Tageslichtlampen 

p(x) … Preis in Euro pro Tageslichtlampe bei einem Verkauf von x Tageslichtlampen 

– Interpretieren Sie den Wert −0, 5 in der Funktion p(x) im gegebenen Sachzusammenhang. 

– Bestimmen Sie die Anzahl der Lampen, die verkauft werden müssen, damit der Gewinn maximal wird. 

– Ermittlen Sie den maximalen Gewinn. 


∗ −0, 5 bedeutet, dass der Preis für eine Tageslichtlampe pro verkaufter Lampe um 0, 5 Euro weniger wird. 

∗ Gewinn = Einnahmen − Ausgaben 

G(x) = E(x) − K(x) 

E(x) = p(x) ⋅ x = (100 − 0,5 ⋅ x) ⋅ x = 100 x − 0,5 ⋅ x² 

G(x) = 100 ⋅ x − 0,5 ⋅ x 2 − (0,01 ⋅ x 3 − 0,75 ⋅ x 2 + 50 ⋅ x + 300) 

G(x) = 100 ⋅ x − 0,5 ⋅ x 2 − 0,01 ⋅ x 3 + 0,75 ⋅ x 2 − 50 ⋅ x − 300 

G(x) = −0,01 ⋅ x 3 + 0,25 ⋅ x 2 + 50 ⋅ x − 300 

Mit GeoGebra: 

Maximum = Extremum: 




IV Analysis 

Offensichtlich ist der Punkt B ( 50 / 1 575 ) das Maximum. 

Beim Verkauf von 50 Tageslichtlampen wird maximaler Gewinn erzielt. 

Der maximale Gewinn beträgt 1 575 Euro. 

Nach einem Beispiel der Zentralmatura am 10.5.2017 

a) Ein Bekleidungsgeschäft bietet Polo-Shirts an und überlegt, wie sich der Preis der Polo-Shirts auf die verkaufte 

Stückzahl auswirkt. 

Der Preis für diese Polo-Shirts in Abhängigkeit der nachgefragten Menge kann durch die Funktion f 


f(x) = −0,125 ⋅ x + 100 

x … Anzahl der nachgefragten Polo-Shirts 

f(x) … Preis bei x nachgefragten Polo-Shirts in Euro pro Polo-Shirt 

Ein Polo-Shirt wird um 55 Euro verkauft 

– Berechnen Sie die entsprechende Anzahl der nachgefragten Polo-Shirts. 

– Bestimmen Sie den entsprechenden Erlös. 


Wir kennen den Preis f(x) = 55 und suchen die entsprechende Menge x: 

Bei einem Preis von 55 Euro je Polo-Shirt werden 360 Polo-Shirts 

nachgefragt. 


E(x) = f(x) ⋅ x 

Bei 360 verkauften Polo-Shirts beträgt der Erlös 19 800 Euro. 



IV Analysis 

b) Der Zusammenhang zwischen dem Preis und der nachgefragten Menge an T-Shirts wird durch die 

Preisfunktion der Nachfrage festgelegt. 

Der Graph der Preisfunktion der Nachfrage g für T-Shirts ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt. 

– Ermitteln Sie die Steigung der Funktion g. 

– Lesen Sie denjenigen Preis ab, bei dem gemäß diesem Modell niemand mehr bereit ist, ein T-Shirt zu kaufen. 




Textilfarben werden im Großhandel in ganzen Paletten verkauft. Bei Abnahme größerer Mengen wird Mengenrabatt 

gewährt. Der Preis pro Palette kann durch folgendes Modell beschrieben werden: 

p(x) = 10 000 + a ⋅ e −b⋅x 

x … Palettenanzahl 

p(x) … Preis pro Palette in Euro, bei Abnahme von x Paletten 



IV Analysis 

Bei Abnahme einer Palette beträgt der Preis 18 000 Euro, bei Abnahme von 2 Paletten beträgt der Preis 

für eine Palette 15 000 Euro. 

– Ermitteln Sie die Parameter a und b der Funktion p. 

– Stellen Sie die dazugehörige Erlösfunktion in Abhängigkeit von x auf. 

– Zeigen Sie nachweislich, dass der Erlös kein Maximum besitzt. 


* 

* 

* 

Man kann hier nicht den Befehl TrendExp[ ] 

wählen, weil dieser nur für Exponentialfunktionen der Form 

f(x) = f 0 ⋅ e ±λ⋅x bzw. N(t) = N 0 ⋅ e ±λ⋅t gilt! 

Der Befehl Extremum[ ] kann 

bei Exponentialfunktionen nicht verwendet werden! 


Da diese Gleichung keine Lösung besitzt, gibt es auch 

kein Maximum. 

https://www.youtube.com/watch?v=_gV6GGXV4j8&t=1050s 



IV Analysis 

Den größten Fehler, den man im Leben machen kann, ist, 

immer Angst zu haben, einen Fehler zu machen. 

Dietrich BONHOEFFER 

( 1906 – 1945 ) 

8. INTEGRIEREN 

Idee: univ. Prof. Sr. Stefan SILLER 

Bevor wir uns den Anwendungen der Integralrechnung widmen, werfen wir einen Blick auf die rechentechnischen Aspekte. 

8.1. Integrationsregel 

8.1.1. Potenzregel 


Differenzieren und Integrieren sind die jeweiligen Umkehrungen. 

Differenzieren 

Integrieren 

Die folgende Regel gibt an, wie Potenzen der Form x n (mit n als Zahl) integriert werden: 



IV Analysis 

Potenzregel: 

Folgende Anmerkungen: Das Integralzeichen ist ein langgezogenes S und steht für Summe. 

dx ist ein feststehender Ausdruck und bedeutet nicht d . x 

C ist die sog. Integrationskonstante. 

Beispiel: 

∫ x 3 . dx = x3+1 

Die anderen Begriffe erfahren in 

3+1 

+ C = x4 

4 

+ C 

ihre geometrische Bedeutung. 

Wie beim Differenzieren, so darf auch beim Integrieren die Potenzregel nur dann verwendet werden, 

wenn in der Basis der Potenz nur die Variable steht und sich die Potenz nicht im Nenner befindet. 

 

… in der Basis steht NICHT nur die Variable 

Weiteres Beispiel für die Potenzregel: 

… die Potenz steht im NENNER 


∫ x . dx = ∫ x 1 . dx = 

Beispiel: 

3 

(2x 1) 

.dx 

(2x 1) 

4 

x2 

2 

+ c 

4 

C 

 

 

1 

x 

3 

.dx 

1 

4 

x 

4 

C 

∫ 4x 3 . dx = ∫ 4 . x 3 . dx = 4 . x4 

4 

1 

4 ⋅ x4 

+ C = 

4 

1 

x 4 + C 



IV Analysis 

Konstante Faktoren ( . : ) werden, wie beim Differenzieren, unverändert übernommen. 

Beispiel: 

∫ 3 x2 

2 

Beispiel: 

∫ x −3 . dx = 

Beispiel: 

∫ 6 

5 x 2 

∫ k . x n . dx = k . 

x n+1 

n+1 

. dx = ∫ 3 

2 x2 . dx = 3 

2 ∫ x2 . dx = 3 

2 . x3 

+ C = x3 

+ C 

3 2 

x−2 

−2 

. dx = ∫ 6 

5 . 1 

x 2 

+ C = 1 . x−2 

+ C = 1 

−2 

−2 


+ C 

Dieser Buchstabe ist die Variable. 

. x −2 + C = − 1 

2 . x−2 + C = − 1 

2 . 1 

x 2 + C = − 1 

2 x 2 

Kehrwertregel für Potenzen P4: 

Potenzen im Nenner müssen vor dem Integrieren nach der 

Regel P4: 

. dx = ∫ 6 

5 . x−2 . dx = 

6 

5 

aus dem Nenner gebracht werden. 

x −1 

= − 6 

5 x−1 + C = − 6 

5 . 1 

x 1 + C = − 6 

5 . 1 

x + C = − 6 + C 

5 x 

Beispiel: 

∫ 1 

x 

. dx = ∫ x −1 . dx = x−1+1 

−1+1 

1 n 

x 

n 

x 

+ C = x0 

0 

−1 

+ C = 6 x−1 

+ C = 

−5 

+ C = ln|x| +c 

+ C 

Ein Bruch mit dem Nenner Null ist nicht definiert. Er ergibt keine Zahl (und auch sonst nichts). 

Obwohl in der Basis der Potenz nur die Variable steht, kann für n = – 1 die Potenzregel des Integrierens 

nicht angewendet werden, da der Nenner Null wird. 



IV Analysis 

Es gilt: 


Beispiel: 

So muss doch zutreffen: 

Da der ln (x) nur für positive x existiert, muss 

geschrieben werden. 

x 

bedeutet den Betrag von x 

Der Betrag macht jede Zahl positiv. 

Beispiele: 

1 = x 0 

f (x) = ln x → f ’ (x) = 

Integrieren 

Da wir jede Konstante mit 1 bzw. x 0 multiplizieren können, erhalten wir integriert immer 

die Konstante mal der Variablen: 

Eine Konstante für sich ergibt integriert die Konstante mal der Variablen. 

Beispiel: 


dx = π . x + C 

 

1 

.dx ln 

x 

4 4 4 4 

0 

2.dx 2.1 .dx 2.x .dx 2. x 

 

 

x 

0 

C 

x 

x 

.dx 2. 

1 

∫ k . dx = k . x + C 

1 

1 

x 

C 2.x C 

. 

C 

Dieser Buchstabe ist die Variable! 

. dπ 

 

 

 

2 

2 

 



IV Analysis 

Beispiel: 

 

(3 x 

2 

Beispiel: 

Bemerkung: Hebe nur heraus, wenn du dir sicher bist! 

Beispiel: 

x 

4 x 1).dx 

3. 

3 

4 3 2 

oder x x c 

9 

∫(a x 3 + b x 2 + c x + d) . dx = 

x 

4. 

2 

Man darf gliedweise ( + – ) getrennt integrieren. 

a x 4 

4 

1.x 

C 

+ 

b x3 

3 

+ 

c x2 

2 

+ d . x + e 

Da in dieser Funktion c die Vorzahl von x darstellt, können wir diesen Buchstaben 

nicht als Integrationskonstante wählen. 

Ich habe e gewählt, in alphabetischer Reihenfolge. 

3 

2 

3.x 

3 

3 

1.x 

C x 

2 x 

x C 

Die integrierte Funktion nennt man Stammfunktion 

und bezeichnet sie mit F(x) 


2 

4.x 

 

2 

4 

2 

3 

2 

2 

2 2 

2 x 

( x 2 x ).dx 2.( x x ).dx 2. ( .x x ).dx 2. . 

3 3 3 

3 3 

2 

x 

C 2. 

2 

 

3 

2 x 

9 

3 

2 

2 

x 

C 

2 

 

Integrieren mit 

siehe 



IV Analysis 

Beispiel: 

Wie heißt die Gleichung einer Funktion f, deren Graph durch den Punkt P(2/4) geht und deren Steigung 

f ′ (x) = x lautet? 


Integrieren 

f (x) = ∫ f ′(x). dx = ∫ x ⋅ dx = 1 2 

x 2 + C 

f(x) = 1 2 x2 + C 

ist eine quadratische Funktion, da die 

höchste Potenz von x quadratisch ist. 

Das C in der Gleichung bedeutet, dass 

wir eine ganze Schar von Funktionen 

dieser Form erhalten. Alle diese 

Funktionen haben an einer 

bestimmten Stelle die gleiche 

Steigung k = f′. 

Von den unendlich vielen Funktionen 

dieser Art suchen wir jene, deren 

Graph durch den Punkt P(2/4) geht: 

f(x) = y 

P(2/4) f(2) = 4 

f(2) = 1 2 ⋅ 22 + C 


f(2) = 4 

4 = 1 ⋅ 4 + C 

2 

4 = 2 + C 

2 = c 

Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung 

f(x) = 1 2 x2 + 2 



IV Analysis 

8.1.2. Integrieren mit 

Integrieren in der Eingabe-Zeile bzw. im Algebra-Fenster 

Beispiel: 

Wir geben die Gleichung der Funktion in die Eingabe-Zeile bzw. 

ins Algebra-Fenster ein. 

Dann wählen wir den Befehl 

Integral( , ) 

In unserem Beispiel heißt die Funktion f, 

die Variable, ach der integriert werden soll, ist x 

ENTER betätigt und das Integral der 

Funktion f 

erscheint als Funktion g. 

Außerdem sind im Grafik-Fenster die 

Graphen der Funktion f und deren Integral 

als Funktion g sichtbar. 

Die Integrationskonstante wird hier nicht 

mitgeliefert. 


Integrieren im der CAS –Fenster 

 

 

4 

( x 

3 

2 

2x).dx 

Wir geben die Funktion im CAS-Fenster mit := ein 

Wählen den Befehl Integral( , ) 

 

Schreiben Integral( f, x ) und betätigen ENTER. 



IV Analysis 

Bemerkung 1: GeoGebra wählt als Integrationskonstanten c 1 , c 2 usw., wie in der Physik üblich. 

Bemerkung 2: Ist der Kreis unter der Zeilennummer blau ausgefüllt (geschieht durch rechten Mausklick), so 

erscheint die Funktionsgleichung auch im Algebra-Fenster und der Graph im Grafik-Fenster. 

Bemerkung 3: Im Algebra-Fenster steht c 1 = 0, weil der Funktionsgraph nur für einen konkreten Wert für c 1 

gezeichnet werden kann. GeoGebra wählt hier als Voreinstellung für c 1 = 0. 


Die Geschwindigkeit eines Autos kann im Zeitintervall [0 s ; 3 s] 

näherungsweise durch die Funktion v beschrieben werden. 

Der Graph dieser Funktion v ist in nachstehender Abbildung dargestellt 

km … Kilometer 

s … Sekunden 

– Erstellen Sie eine Gleichung der 

zugehörigen Weg-Zeit-Funktion s 

im Intervall [1 s ; 3 s] mit s(1) = 15. 



v(t) = s ′ (t) → s(t) = ∫ v(t) ⋅ dt 

Siehe auch 

→ 

v(t) = 5 ⋅ t + 10 

→ s(t) = 5 2 ⋅ t2 + 10 ⋅ t + C 

s(1) = 15 → 15 = 5 2 ⋅ 12 + 10 ⋅ 1 + C → C = 2, 5 → s(t) = 5 2 ⋅ t2 + 10 ⋅ t + 2, 5 



IV Analysis 

8.2. Flächenberechnungen 

8.2.1. Veranschaulichung 

Zunächst widmen wir uns der Frage, welche Flächeninhalte mittels Integral berechnet werden können: 

Das Integral berechnet den 

Inhalt jener Fläche, die in drei 

Begrenzungen einem Rechteck 

gleichen: Die Randlinien sind 

gerade und stehen angrenzend 

aufeinander im rechten Winkel. 

Die vierte Begrenzungslinie kann 

eine andere Form aufweisen: Sie 

muss mit ihren Nachbarn keinen 

rechten Winkel einschließen und 

kann auch gekrümmt sein. 

Mit Hilfe des Integrals werden 

Flächeninhalte dadurch 

bestimmt, indem das 

Flächenstück in Rechtecke 

gleicher Breite zerlegt wird. Die 

Längen dieser Rechtecke sind die 

jeweiligen Funktionswerte y = f 

(x). 


Summiert man die Inhalte dieser 

Rechtecke, so erhält man 

annähernd die Größe der 

gesuchten Fläche. Wie 

nebenstehende Skizze zeigt, wird 

der Flächeninhalt all dieser 

Rechtecke größer sein als der 

gesuchte. 



IV Analysis 

Wir könnten auch Rechtecke wählen, die 

jeweils unterhalb des Graphen enden. Dann 

ergäbe die Summe dieser Rechteckflächen 

eine Fläche, die kleiner ist als der gesuchte 

Inhalt. 

Es genügt allerdings nicht, den Mittelwert 

der sog. Ober- und Untersumme zu 

bestimmen, da ja die Kurvenlinie gekrümmt 

ist und damit den Überlappungsbereich 

nicht halbiert. 

Überlappungsbereich: 

Ohne uns in die exakte Theorie zu 

vertiefen: 

Die Abweichungen bei Berechnung der 

Unter- bzw. Obersummen werden durch 

folgende Überlegung vermieden: 

Indem wir das gesuchte Flächenstück in 

unzählige und damit unendlich schmale 

Rechtecke unterteilen, werden die 

Überlappungsfehler immer kleiner und 

gehen schließlich gegen Null. 

Betrachten wir einmal ein einzelnes 

Rechteck: 

Die Breite dieses und jedes anderen 

Rechtecks erhalten wir, indem wir die 

Breite des Intervalls x2 – x1 durch die 

Anzahl der Rechtecke dividieren, in die wir 

das zu bestimmende Flächenstück 

unterteilen wollen. 


Sind es, allgemein ausgedrückt, 

n Rechtecke, so lautet jede Rechteckbreite 

∆x = 

x 2 − x 1 

n 

Die Rechteck-Länge ist der jeweilige 

y-Wert. 

Damit lautet der Inhalt eines solchen 

Rechtecks A = y . x 



IV Analysis 

Zerlegen wir die gesuchte Fläche in 

unzählig viele Rechtecke, lassen wir also n 

immer größer werden. Damit wird wohl 

Δx = x 2−x 1 

immer kleiner. 

n 

Für eine so unendlich kleine Breite schreibt 

man dx. 

Somit lautet der Inhalt eines unendlich 

schmalen Rechtecks A = y . dx 

Bemerkungen: 

Δ ( Delta: griechisch: D, steht für Differenz ) 

d steht für kleinste Differenzen 

dx ist ein feststehender Begriff 

und darf nicht als d . x gedeutet werden! 

Summieren wir die Inhalte der unendlich 

vielen und unendlich schmalen 

Rechtecke, so erhalten wir den 

gesuchten Flächeninhalt A: 

A = ∫ y ⋅ dx 


x 2 

x 1 

x 1 ... untere ( kleinere, links liegende ) 

Grenze 

x 2 ... obere ( größere, rechts liegende ) 

Grenze 

Was zu merken ist: 

Das Integral berechnet immer den 

Inhalt jener 

Fläche, die innerhalb der sog. 

Grenzen x1 und x2 

vom Funktionsgraphen und 

der x-Achse begrenzt wird. 



IV Analysis 

Beispiel: 

Bestimme den Inhalt jener Fläche, die im Intervall [ – 2 ; 3 ] vom Graphen der Funktion f(x) = 1 

der x-Achse begrenzt wird? 

2 

x 2 + 1 und 

Berechnung per Hand: 

3 

A = ∫ y . dx = ∫ ( 1 

2 x2 + 1) . dx = [ 1 

2 . x 3 

3 

−2 

3 

−2 

Um den Sachverhalt zu veranschaulichen, 

stellen wir die Funktion grafisch dar. 

+ 1 . x] 

3 

−2 

Wir sollen den Inhalt jener Fläche bestimmen, die innerhalb 

der Grenzen x 1 = – 2 und x 2 = 3 von der Funktion und der 

x-Achse begrenzt ist. 

Das ist die gelb markierte Fläche. 

Integrieren wir die Funktion von x 1 = – 2 bis x 2 = 3 , 

dann erhalten wir den Inhalt der gesuchten Fläche, denn 

das Integral bestimmt ja immer jene Fläche innerhalb der 

Grenzen, die dort vom Funktionsgraph und der x-Achse 

begrenzt ist. 

= [ x3 

6 


y = f(x) = 1 

2 

x 2 + 1 

= ( 3 3 

+ 3) − ( (−2)3 

+ (−2)) = 65 

E 2 = 10,83 E 2 

6 

6 

Es wird immer 

obere – untere 

Grenze 

gerechnet! 

6 

+ x] 

3 

−2 

= 

E ... steht für Längen-Einheit 

E 2 ... steht für Flächen-Einheit 



IV Analysis 

Flächen- (Berechnung) mit GeoGebra 

Die Funktionsgleichung in die Eingabe-Zeile schreiben und ENTER drücken 

In die Eingabe-Zeile den Befehl 

Integral [ , , ] 

schreiben 

Im sich öffnenden Fenster schreiben wir 

Name unserer Funktion: f 

Startwert = untere Grenze = hier – 2 

Endwert = obere Grenze = hier 3 

ENTER 

Im Algebra-Fenster erscheint die Größe des Flächeninhalts (hier: a = 10,83) 

# 

im Grafik-Fenster die vom Integral berechnete Fläche farblich markiert samt berechnetem Inhalt. 




IV Analysis 

https://www.youtube.com/watch?v=FYibSj7Lfa0&t=93s 

Das nebenstehende Diagramm 

beschreibt das Netto-Jahres- 

Einkommen E in Euro in 

Abhängigkeit des Lebensalters t 

einer Person zwischen 25 und 65 

Jahren (a): 

E(t) = 3,5 x²+300 x+20 500 


für 25 ≤ x ≤ 65 a 

– Lesen Sie das Netto-Monats-Einkommen dieser Person im 35. Lebensjahr ab. 

– Berechnen Sie die Lebensverdienstsumme dieser Person im angegebenen Zeitraum. 

– Interpretieren Sie den Ausdruck 

1 

⋅ 40 ∫65 E(t) . dt 

25 



IV Analysis 


* knapp 3 000 Euro 

65 

25 

* ∫ (3,5 x 2 + 300 x + 20500). dx = 1 662 166,67 Euro 

* Durchschnittliches (mittleres) Netto-Jahres-Einkommen dieser Person zwischen dem 25. Und 65. Lebensjahr. 



Summe 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 

16 + 1 

32 + . . . + 1 

2 n−1 

− 1 2 Summe = −1 − 1 2 − 1 4 − 1 8 − 1 16 − 1 32 − . . . − 1 

2 n−1 − 1 2 n 

1 

2 Summe = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . + 0 − 1 2 n 

+ 




IV Analysis 

8.2.2. Grundaufgaben 

8.2.2.1. Fläche innerhalb gegebener Grenzen 

gegeben: f (x) und [ x 1 ; x 2 ] 

Rufen wir uns in Erinnerung: 

Das Integral berechnet Flächeninhalte, indem es jene 

von Rechtecken ermittelt und deren Flächeninhalte 

summiert. 

In nebenstehender Abbildung besitzen im linken 

Flächenbereich die Rechtecklängen positive y-Werte. 

Im rechten Teil der gesuchten Fläche verfügen die 

Rechtecklängen über negative y-Werte, da hier der 

Graph unterhalb der x-Achse liegt. 

Die Rechteckbreiten dx sind in beiden Fällen positiv, 

da dx = x 2−x 1 


n 

z.B. x 1 = −2 x 2 = 3 → dx = 3−(−2) 

n ist als Anzahl immer eine positive Zahl 

n 

= 3+2 

= 5 

n n 

Da der Flächeninhalt eines Rechtecks das Produkt aus 

Länge mal Breite ist, werden die Rechteckflächen im 

linken Teilstück positiv, im rechten Teil wohl negativ. 

Würden wir von den gegebenen Grenzen x1 bis x2 in 

einem integrieren, so zögen sich die Inhalte der 

Teilflächen ab und wir erhielten damit ein geometrisch 

unsinniges Ergebnis! 

Wenn ein Bauer ober- und 

unterhalb eines Weges Felder 

besitzt, so wird er folgende 

Überlegung nicht anstellen: 

Das Feld oberhalb des Weges 

misst z.B. 8 ha, der Acker 

unterhalb des Weges ist 5 ha 

groß. Demnach benötige ich 

Saatgut für 8 ha – 5 ha = 3 ha! 



IV Analysis 

Deshalb: Nicht automatisch über Nullstellen integrieren ! 

Bezogen auf die obige Skizze ergibt sich demnach folgender Rechengang: 

(1) Nullstellen berechnen 

(2) Graph darstellen 

x N 

(3) A + = ∫ y. dx A 

x − = ∫ y. dx A 

1 x ges = |A + | + |A − | 

N 

x 2 

Bemerkung 1: Die Betragstriche || bei | A + | und | A – | bedeuten, dass die Ergebnisse positiv zu deuten sind. 

Bemerkung 2: Freilich besitzt diese Kurve drei Nullstellen, doch hat für die Flächenberechnung nur x N Bedeutung. 

Beispiel: 

Bestimme den Inhalt jener Fläche, die vom Graphen der Funktion 

im Intervall [ 0; 6 ] begrenzt ist. 

A + : 

und der x-Achse 


A + = 5,33 E² 

A − : 

f(x) = − x2 

8 

+ 2 

A − = −2,33 → A − = 2,33 E² 

A ges = A + + A − = 5,33 + 2,33 = 7,66 E 2 



IV Analysis 

8.2.2.2. Fläche von Funktion und Achse begrenzt 

Rechengang: 

(1) Nullstellen berechnen 

(2) Graph darstellen 

x 2 

gegeben: f (x) 

Der Unterschied zur ersten Art der 

Flächenberechnung besteht darin, dass 

wir diesmal keine Grenzen gegeben 

haben. Wie links ersichtlich, sind hier die 

Nullstellen die Grenzen. 

Auch bei dieser Art der Flächenermittlung 

kann ein Flächenteil oberhalb der 

x-Achse liegen und somit eine positive 

Zahl als Inhalt ergeben, ein anderer Teil 

sich unterhalb der x-Achse befinden und 

einen negativen Flächeninhalt als Ergebnis 

haben. 

Deshalb integrieren wir 

von Nullstelle zu Nullstelle. 

(3) A + = ∫ y. dx A 

x − = ∫ y. dx A 

1 x ges = |A + | + |A − | 

2 


x 3 


1 

2 Summe = 2 − 1 2 n | . 2 

Summe = 4 − 1 

denn 

2 n−1 

1 

2 n . 2 = 

1 

2 n . 2 

1 = 2 

2 n = 

2 1 

2 n = 

1 

2 n . 2 −1 = 1 

2 n−1 

Fortsetzung und Ende S 324 



IV Analysis 

Beispiel: 

Bestimme den Inhalt jener Fläche, die vom Graphen der Funktion 

begrenzt ist. 

f(x) = − x3 

8 

+ 2 x und der x-Achse 


Summe = 4 − 1 

2 n−1 

A + : 

A + = 8 E² 

A − : 

A − = −8 → A − = 8 E² 

A ges = A + + A − = 8 + 8 = 16 E 2 


Je größer n wird, desto größer wird der Wert 2 n−1 , desto kleiner wird aber der Bruch 

da ja 1 durch eine immer größer werdende Zahl dividiert wird. 

Wenn n gegen unendlich strebt der Wert des Bruchs 

2 n−1 gegen Null. 

Damit erhalten wir für die Summe 4 – 0 = 4 . 

1 

1 

, 2 n−1 

* * * 

Die Gedankengänge entstammen dem Buch von 

Gaurav SURI & Hartosh SINGH BAL: Eine gewisse Ungewissheit oder Der Zauber der Mathematik. ISBN: 978-3-8321-8067- 



IV Analysis 

8.2.2.3. Fläche nur von 2 Funktionen begrenzt 

gegeben: f(x) und g(x) 

Wir wollen den Inhalt jenes 

Flächenstücks bestimmen, das nur 

von den Graphen der Funktionen 

f und 

g begrenzt wird. 

Die Grenzen dieses Flächenstücks 

sind offensichtlich die x-Koordinaten 

der Schnittpunkte S 1 und S 2 , die 

sogenannten Schnittstellen. 

Dieses Flächenstück reicht nicht bis 

zur x-Achse hinunter. 

Da das Integral aber immer die Fläche 

innerhalb der Grenzen bestimmt, die 

von Funktion und x-Achse begrenzt 

ist, gehen wir so vor: 

Zunächst integrieren die Funktion f 

innerhalb der Schnittstellen, also 

∫ f(x). dx 


x 2 

x 1 

und erhalten die in nebenstehender 

Skizze blau markierte Fläche. 

In der blau markierten Fläche ist der 

Teil zu viel, der unterhalb des 

Graphen von g liegt. 

Deshalb integrieren wir die Funktion 

g innerhalb der Schnittstellen, also 

x 2 

∫ g(x). dx 

x 1 

und erhalten die rot schraffierte 

Fläche. 



IV Analysis 

Ziehen wir von der blau markierten 

die rot schraffierte Fläche ab, erhalten 

wir den Inhalt A der gesuchten Fläche: 

A = ∫ f(x). dx − ∫ g(x). dx 

Somit ergibt sich für die Berechnung des Inhalts von Flächen, die nur von zwei Funktionen begrenzt sind, 

folgender Rechengang: 

Beispiel: 

(1) Schnittstellen berechnen 

(2) Graphen darstellen 

x 2 

(3) A = ∫ f(x). dx − ∫ g(x). dx 

x 1 

x 2 

x 1 

( größere – kleinere Fläche ) 

Die Graphen der Funktionen f (x) = x² + 2 x + 6 und g (x) = 2 x² + x begrenzen ein Flächenstück. Berechne 

dessen Inhalt. 

(1) Schnittstellen: 


x 2 

x 1 

Schnittpunkte sind gemeinsame Punkte von Linien. 

x 2 

x 1 



IV Analysis 

Schneiden mit 

Funktionsgleichungen jeweils in Eingabe-Zeile und danach ENTER betätigt. 

 

 

Den Befehl 

Schneide[ , ] eingeben. 

Die Objekte sind 

unsere Funktionen mit den Namen f und g . 

ENTER betätigt und die Koordinaten der Schnittpunkte ( A und B ) erscheinen. 

Im Grafik-Fenster sieht man diese Schnittpunkte auf den Funktionsgraphen eingezeichnet. 




IV Analysis 

Flächenberechnung 

3 

A = ∫[ f(x) − g(x)]. dx = mit f(x) = x 2 + 2x + 6 g(x) = 2x 2 + x 

−2 

Unsere Funktionen heißen f und g , 

der Startwert = untere Grenze = –2 

der Endwert = obere Grenze = 3 

Bemerkung: Es ist unerheblich, ob zuerst die Funktion f oder g geschrieben wird. 


 

 

In die Eingabe-Zeile den Befehl 

Im sich öffnenden Fenster füllen 

wir diesen Befehl aus. 

ENTER betätigt und die Größe des Flächeninhalts erscheint, im Grafik-Fenster die entsprechende Fläche 

eingefärbt samt Größe. 



IV Analysis 

Bemerkung: Als erste Funktion gibt man jene ein, die weiter weg von der x-Achse liegt. 

Ansonsten erhält man ein negatives Ergebnis. 

https://www.youtube.com/watch?v=FYibSj7Lfa0&t=93s 


a) Ein Kanal besteht aus Betonbauteilen, deren Querschnitt in folgender Abbildung zu sehen ist: 

Der Kanalboden kann durch 

folgende Funktion 



f(x) = 

3 

16 ⋅ x2 + 1 

– Bestimmen Sie den 

Inhalt der abgebildeten 

Querschnittsfläche. 



IV Analysis 


4 

A f = ∫ ( 3 

16 ⋅ x2 + 1) . dx = 16 m 2 

−4 

Zu dem Flächeninhalt unterhalb der Funktion kommen noch die Flächen der beiden Rand-Rechtecke: 

A rechtecke = 2 ⋅ 4 ⋅ 1 = 8 m 2 

Damit beträgt der Inhalt der Querschnittsfläche A Querschnitt = A f + A rechtecke = 24 m 2 

b) Gegeben ist folgendes Integral: 

Lösung: 

4 

4 

∫[4 − f(x)]. dx 

−4 

– Kennzeichnen Sie in der folgenden Abbildung jene Fläche, deren Inhalt mit diesem Integral bestimmt 

werden kann. 

∫[4 − f(x)]. dx = ∫ 4 ⋅ dx − ∫ f(x) ⋅ dx 

−4 

4 

4 


−4 

−4 

= – 

Demnach beschreibt das gegebene Integral die grün markierte, karierte Fläche. 



IV Analysis 


Die Leistung einer Solaranlage kann durch folgende Funktion beschrieben werden: 

P(t) = 0,006 ⋅ t 4 − 0,155 ⋅ t 3 + 0,975 ⋅ t 2 + 1,15 mit 0 ≤ t ≤ 10 

t … Zeit in Stunden (h), wobei t = 0 der Uhrzeit 8:00 entspricht 

P(t) … Leistung der Solaranlage nach t Stunden in Kilowatt (kW) 

Die in einem Zeitintervall gelieferte Energie wird mit Hilfe des Integrals der Leistung in diesem Zeitintervall 

berechnet. 

– Berechnen Sie die an einem Tag gelieferte Energie dieser Solaranlage in Kilowattstunden (kWh). 

Bemerkung: 1 kWh = 1 kW . 1 h 


Energie = ∫ P(t). dt 

t 1 

t 2 

→ 

10 

Energie an einem Tag = ∫ (0,006 ⋅ t 4 − 0,155 ⋅ t 3 + 0,975 ⋅ t 2 + 1,15) . dt 

0 

Die Solaranlage ist täglich nur 10 Stunden in Betrieb. 


Die an einem Tag gelieferte Energie der Solaranlage: 69 kW ⋅ h = 69 kWh 

– Ermitteln Sie die Leistung der Solaranlage um 12:00. 

12:00 bedeutet t = 4 

P(4) = 0,006 ⋅ 4 4 − 0,155 ⋅ 4 3 + 0,975 ⋅ 4 2 + 1,15 



IV Analysis 

Mit GeoGebra: 

P(4) = 8,37 kW 

Die Leistung der Solaranlage beträgt um 12:00 8,37 kW. 

Beispiel aus dem Aufgabenpool des BMB 

Der innere Teil eines Brückenbogens kann durch die Funktion f beschrieben werden. Der äußere Teil des 

Brückenbogens kann durch die Funktion g beschrieben werden. 

x, f(x), g(x) … Koordinaten in m 

f(x) = − 3 

125 x2 + 42 82 

x − 

25 5 

Grafik: BMB 

a) – Berechnen Sie die Spannweite a (siehe obige Grafik) des inneren Teils des Brückenbogens. 

– Berechnen Sie den höchsten Punkt des inneren Teils des Brückenbogens. 


b) – Dokumentieren Sie, wie man mithilfe der Differenzialrechnung den Steigungswinkel des inneren Teils des 

Brückenbogens an einer beliebigen Stelle x0 ermitteln kann. 

c) Der äußere Teil des Brückenbogens verläuft so, dass der senkrechte Abstand zum inneren Brückenbogen 

in jedem Punkt 2 m beträgt. 

– Stellen Sie eine Gleichung der Funktion g auf, die den äußeren Teil des Brückenbogens beschreibt. 

Der Flächeninhalt zwischen den beiden Teilen des Brückenbogens und der xAchse soll berechnet werden. 

– Kreuzen Sie diejenige Formel an, die zur Berechnung dieses Flächeninhalts verwendet werden kann. 

[1 aus 5] 



IV Analysis 

a) 


58,27 – 11,73 = 46,54 m … Spannweite 

H (35/13) 

Grafik: BMB 

b) 1. Ableitung bilden. x0 einsetzen, ergibt Steigung an der Stelle x0. Der Steigungswinkel ist der Tangens der Steigung. 

c) f(x) = − 3 

125 x2 + 42 

25 

x − 

82 

5 

→ g(x) = − 3 

125 x2 + 42 

25 

82 

3 

x − + 2 → g(x) = − 

5 

125 x2 + 42 

25 

x − 

72 


5 



IV Analysis 

Beispiel Kompensationsprüfung am 06.06.2018 

Eine Werbeagentur entwirft für eine Tourismusregion in den Alpen ein neues Logo 

(siehe nebenstehende Abbildung). Dabei werden zur Modellierung die Funktionen g 1 

(für 0 ≤ x ≤ 1), f (für 1 ≤ x ≤ 6) und g 2 (für 6 ≤ x ≤ 7) verwendet. 

(siehe nachstehende Abbildung). 

Die Fläche der zwischen der waagrechten Strecke P2P3 und dem Graphen von f soll 

eingefärbt werden. Für die Funktion f gilt: 


Grafik: BMB 

Grafik: BMB 

f(x) = − 32 

125 ⋅ x3 + 336 

125 ⋅ x2 − 951 1 147 

⋅ x + 

125 125 

x, f(x) … Koordinaten in cm 

– Berechnen Sie den Inhalt der grau markierten 

Fläche. 

– Berechnen Sie die Stelle der maximalen Steigung 

der Funktion f. 


A = 1,94 cm² 

W(3,5 / 4,5) An der Stelle x = 3,5 



IV Analysis 

8.3. Integrieren und Differenzieren als Umkehrungen 

Somit gilt: 

Daraus folgt: 

Differenzieren und Integrieren sind die jeweiligen Umkehrungen. 


Integrieren 


f(x) → f ′ (x) 

f(x) ← f ′ (x) 

Integrieren 

∫ f ′ (x) = f(x) + C 

Bezeichnungen in der Mathematik und bei Bewegungsaufgaben: 

Mathematik 

Funktion f(x) = y s(t) = Entfernung 

Bewegungsaufgaben 


1. Ableitung f ′ (x) = Steigung v(t) = s ′ (t) = Geschwindigkeit 

2. Ableitung f ′′ (x) = Krümmung a(t) = v ′ (t) = s ′′ (t) = Beschleunigung 

t ... Zeitdauer seit Beobachtungsbeginn 

s(t) ... momentane Entfernung zum Orts-Nullpunkt nach der Zeitdauer t 

v(t) ... momentane Geschwindigkeit nach der Zeitdauer t 

a(t) … momentane Beschleunigung nach der Zeitdauer t 

Meistens ist die Beschleunigung gleichbleibend (konstant). Dann schreibt man statt a(t) einfach a . 



IV Analysis 

Beispiel: 

Bemerkung: Da die Beschleunigung konstant ist, schreiben wir a statt a(t). 

v(t) = ∫ a ⋅ dt 

Ein A 380 startet aus dem Stillstand mit einer 

Beschleunigung von a = 1,23 m/s 2 und benötigt bis zum 

Abheben 68 s. 

– Ermittle die Geschwindigkeit beim Abheben in km/h 

– Berechne den Weg, den das Flugzeug bis zum Abheben 

zurücklegt. 

Wir schreiben in eine Zeile des CAS-Fensters den 

Befehl 

Integral [ , ] 

Für die Funktion setzen wir a (Beschleunigung) ein, 

für die Variable die Zeit t. 


v(t) = ∫ a ⋅ dt = a ⋅ t + v 0 

ENTER betätigt und wir erhalten den integrierten 

Ausdruck. 

Die Integrationskonstante c 1 ist hier mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 zu deuten. 

Da das Flugzeug aus dem Stillstand startet, ist v 0 = 0 und es gilt 

v(t) = a ⋅ t 



IV Analysis 

s(t) = ∫ v ⋅ dt 

s(t) = ∫ v ⋅ dt = ∫ a ⋅ t ⋅ dt = a 

2 ⋅ t2 + s 0 

Die Integrationskonstante c 2 ist hier mit dem Abstand s 0 von der Nullmarke zu t = 0 v 0 zu deuten. 

Da das Flugzeug bei 0 m startet, ist s 0 = 0 und es gilt 

s(t) = a 

v(t) = a ⋅ t → v(68) = 1,23 ⋅ 68 = 83,64 m/s = 301,10km/h 

s(t) = a 

2 ⋅ t2 → s(68) = 1,23 ⋅ 68 2 = 2 843,76 m 

2 

2 ⋅ t2 



Die Geschwindigkeit v eines Schnellzuges kann für die ersten 60 Minuten (min) Fahrt näherungsweise durch 

folgende Funktion beschrieben werden: 

v(t) = −0,0043 t 2 + 0,2156 t + 2,0667 



IV Analysis 

t … Zeit in min 

v(t) … Geschwindigkeit des Schnellzuges zur Zeit t in km/h 

– Berechnen Sie die Länge des zurückgelegten Weges in der ersten halben Stunde. 

30 

s(t) = ∫ v(t) dt 

0 

Der Schnellzug legt in den ersten 30 Minuten 120,3 km zurück. 

– Begründen Sie durch Rechnung, dass der Schnellzug in den ersten 30 min einen weiteren Weg zurücklegt 

als in den zweiten 30 min. 

Der Schnellzug legt in den zweiten 30 Minuten nur 82,2 km zurück, in den ersten 30 Minuten jedoch 120,3 km. 


Angry Birds 

Im Computerspiel Angry Birds muss man mithilfe einer Schleuder Schweine treffen. Als Wurfgeschoße stehen 

verschiedene Vögel zur Verfügung. Einige dieser Vögel haben besondere Funktionen, die durch einen Mausklick 

ausgelöst werden können. Koordinaten bzw. Abstände sind im Folgenden in Längeneinheiten (LE) angegeben. 


Die Flugparabel des Vogels Red bei einem Wurf kann durch den Graphen der Funktion f beschrieben werden: 

f(x) = – 0,1 ∙ x² + 0,9 ∙ x + 1 mit x ≥ 0 

x ... horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in Längeneinheiten (LE) 

f(x) ... Flughöhe des Vogels über dem horizontalen Boden an der Stelle x in LE 

Red trifft kein Schwein und prallt auf den Boden auf. 

– Berechnen Sie, in welcher horizontalen Entfernung vom Abschusspunkt der Vogel auf dem Boden aufprallt. 



IV Analysis 

Der Weg, den der Vogel vom Abschusspunkt bis zum Aufprall am Boden zurücklegt, entspricht der Länge der 

Kurve zwischen diesen Punkten. Für die Länge s der Kurve in einem Intervall [a; b] gilt: 

b 

s = ∫ √ 1 + [f′(x)] 2 dx 

a 

– Berechnen Sie den vom Vogel zurückgelegten Weg vom Abschusspunkt bis zum Aufprall am Boden. 


Der Vogel prallt in einer horizontalen (waagrechten) Entfernung von 10 LE auf. 


Der vom Vogel zurückgelegte Weg ist 11,51 LE lang. 

Die Geschwindigkeit eines Läufers in Abhängigkeit der Zeit lässt sich näherungsweise mit Hilfe der Funktion v 

beschreiben. Der Graph dieser Funktion ist in folgender Abbildung dargestellt. 


– Veranschaulichen Sie in dieser Abbildung den 

Weg, den der Läufer zwischen t = 0,4 s und t = 

1,2 s zurücklegt. 

– Beschreiben Sie die Bedeutung von v‘(0,5) im 

gegebenen Sachzusammenhang. 

0,8 

– Interpretieren Sie ∫ v(t)dt 

0 

gegebenen Sachzusammenhang. 

im 

– Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion 

v an. 



IV Analysis 


– v‘(0,5) ist die Beschleunigung in m/s², 

0,5 Sekunden nach dem Start. 

Die beiden Diagramme beschreiben jeweils einen Bewegungsvorgang. 

0,8 

ist der zurückgelegte Weg 

0 

in den ersten 0,8 Sekunden. 

– ∫ v(t)dt 

– D v = [ 0 s ; 1,6 s ] 

t .. Zeit seit dem Beginn der Bewegung s(t) .. zurückgelegter Weg zur Zeit t v(t) Geschwindigkeit zur Zeit t 

– Ordnen Sie den beiden Diagrammen die jeweils treffende Aussage aus A bis D zu. [ 2 zu 4 ] 

Lösungen: 




V Stochastik 

V 

STOCHASTIK 

Stochastik (griechisch): die Kunst des Vermutens 

Vorbemerkungen 


Es gibt drei Arten von Lügen: 

Lügen, infame Lügen und Statistik. 

Benjamin DISRAELI 

( 1804 – 1881 ) 

Mit Statistik lässt sich alles belegen. Dieser Ausspruch ist richtig und er ist falsch. Es stimmt, dass fast jeder 

Zusammenhang mit Modellen der Statistik scheinbar schlüssig nachzuweisen ist. Doch manches Mal nur deshalb, weil 

dem Betrachter der Resultate die Datenquellen, die zu solch Schlüssen führen, vorenthalten werden. Damit wird der 

Manipulation ein Tor geöffnet. Zweitens findet der Streubereich, innerhalb dessen ein Ergebnis mit einer bestimmten 

Wahrscheinlichkeit auftritt, nicht immer die gebührende Erwähnung. So erklärt sich, warum ein und dieselbe 

Auswertung einer Beobachtung recht verschiedene Deutungen der Analyse erfahren kann. 

Weiters besteht die Gefahr, mit einer (unbewusst) falschen Fragestellung das Untersuchungsziel zu verfehlen. 

Ein Beispiel: Die Frage nach der Geburtenrate. Im Jahr 2014 lag sie in Deutschland bei 1,4 Kindern pro gebärfähiger Frau 

und damit im unteren Drittel der EU-Staaten. Doch was bedeutet diese Zahl? Freilich, dass eine Bevölkerung mit solchen 

Zuwächsen einmal aussterben wird, da die Elterngeneration von den Nachkommen zahlenmäßig nur noch zu 70% ersetzt 

wird. Doch wie groß ist denn der Anteil gebärfähiger Frauen in der Gesamtbevölkerung? Gäbe es nur einige tausend in 

einem Land mit über 80 Mio. Einwohnern, könnte die Geburtenrate noch so hoch sein, die Einwohnerzahl würde 

dennoch dramatisch abnehmen. Die Zahl, die über die Bevölkerungsentwicklung tatsächlich Auskunft gibt, ist die Anzahl 

der Kinder pro Zahl von Einwohnern. Da lag 2014 die Bundesrepublik mit 8,2 Kindern pro 1 000 Einwohnern an letzter 

Stelle in der Europäischen Union. 

Der folgende Grund erscheint mir der Wesentliche für allfällige Irrtümer in der Statistik: 

Eine Tatsache erfährt in der Regel zu wenig Würdigung: 

Die Statistik kann nur kalkulative und 

keine kausalen Zusammenhänge klären. 


Ein oft zitiertes Beispiel soll dies verdeutlichen: 

In einem Ort ließen sich in einem Sommer deutlich mehr Störche nieder als in den 

vergangenen Brutsaisonen. Im folgenden Jahr erfreuten sich die Menschen dieser 

Gemeinde über eine größere Anzahl neuer Erdenbürger als in vergangenen Jahren. 

Statistisch stellte sich die Zahl der Störche und Geburten in signifikantem 

Zusammenhang dar, obwohl doch kaum Meister Adebar für die Zahl der Neugeborenen 

verantwortlich zeichnet. 

Ob eine Beziehung zwischen vermeintlicher Ursache und Wirkung besteht, ist nur durch andere Recherchen oder 

manchmal ganz einfach durch Hausverstand zu erfassen. 

Eine solide Bewertung von Ergebnissen bedingt, dass zu überprüfende Hypothesen (Behauptungen) bereits vor der 

Untersuchung formuliert werden und nicht aufgrund der vorliegenden Daten- bzw. Resultatslage. Beschreitet man den 

zweiten Weg, so finden sich häufig die gewünschten Ergebnisse bestätigt, jedoch nicht, was Sache ist. 

# 



V Stochastik 

9. STATISTIK & REGRESSION 

9.1. Empirische Statistik 

empeirikós (griechisch): erfahren (von etwas Kenntnis erlangen) 

9.1.1. Kenngrößen 

Die beschreibende (empirische oder deskriptive) Statistik behandelt die numerische 

Aufarbeitung untersuchter Stichproben ohne verallgemeinerungsfähige Schlüsse auf 

eine sog. Gesamtheit zu ziehen. 

Größen der Stichprobe werden mit unseren gebräuchlichen lateinischen 

Buchstaben bezeichnet, jene der Gesamtheit (die uns in späteren Kapiteln 

begegnen wird) in der Regel mit griechischen Lettern. 

Zunächst die gängigen Bezeichnungen in Stichproben und Gesamtheiten. Folgende Tabelle gibt eine 

Übersicht der Kenngrößen und ihrer Bezeichnungen: 

Bezeichnung in der 

Begriff Stichprobe ( Grund-) Gesamtheit 

Anzahl der Stichproben m – 

Stichprobenumfang n – 

Merkmal x , y – 

i-te Merkmalsausprägung x i ,y i – 

Summe ∑ ∑ 

absolute Häufigkeit H i – 

relative Häufigkeit h i 

– 

Mittelwert x̅ μ 

Standardabweichung 

( Streuung ) 

s 


Minimum Min 

– 

Maximum Max 

– 

Spannweite – 

Median Med – 

Modus 

Quartil Q – 

σ 

Alle hier erwähnten Kenngrößen lassen sich nur dann sinnvoll bestimmen, wenn die untersuchten Variablen 

zumindest ordinalskaliert sind, d.h., wenn eine „größer-kleiner“-Beziehung besteht (siehe folgendes Beispiel). 

# 



V Stochastik 

Beispiel: Handymania 

Zehn Jugendliche wurden beobachtet, nach wie viel Minuten die 

Kids im Unterricht zum ersten Mal zum Handy greifen: 

6 3 9 8 2 8 12 12 8 9 

Die sog. Rohdaten in der Reihenfolge der Beobachtung nennt man 

Urliste. 

Man kann die Ergebnisse auch in einer sog. Häufigkeitstabelle oder Frequenztabelle darstellen: Hier wird 

aufgelistet, wie oft eine Eigenschaft in ihren verschiedenen Ausprägungen in der Untersuchung vorkommt. 

Anzahl der Stichproben m 

Stichprobenumfang n 

Merkmal x 

Minuten x i ihre Häufigkeit H i 

2 1 

3 1 

6 1 

8 3 

9 2 

12 2 

Gibt Auskunft, wie viele Stichproben einer Beobachtung unterzogen werden. 

m = 1, da wir nur Daten einer Stichprobe (Auswahl) von Jugendlichen besitzen 

Die Anzahl aller Daten einer Stichprobe 

n = 10, da 10 Daten vorliegen 

Jede beobachtete Größe wird durch eine Variable beschrieben. 

x . . . Anzahl der Minuten, bis erstmals im Unterricht zum Handy gegriffen wird 

Ein anderes Merkmal könnte z.B.: die Anwendung des Handys sein 

(SMS, WhatsApp, …) 

Wird nur ein Merkmal überprüft, spricht man von einer 

1-dimensionalen (Häufigkeits-) Verteilung. 


Merkmalsausprägung 

Jedes Merkmal kommt in verschiedenen Variationen vor. 

Die Ausprägungen sind hier die verschiedenen Minuten 

x1 = 2, x2 = 3, x3 = 6, x4 = 8, x5 = 9, x6 = 12 

Laufvariable i i = { 1, 2, 3, . . ., k } mit k ... Anzahl der Merkmalsausprägungen 

i = { 1, 2, 3, 4, 5,6 } 

Wir haben 6 verschiedene Anzahlen von Minuten 

x i steht allgemein für die i-te (Merkmals-) Ausprägung 

# 



V Stochastik 

absolute Häufigkeit 

H i = H(x i ) 

Gibt an, wie oft eine Merkmalsausprägung in der Stichprobe vorkommt. 

H1 = H (x1 ) = H (2) = 1, H2 = H (x2 ) = H (3) = 1, H3 = H (x3 ) = H (6) = 1, 

H4 = H (x4 ) = H (8) = 3, H5 = H (x5 ) = H (9) = 2, H6 = H (x6 ) = H (12) = 2 

relative Häufigkeit h i 

Arithmetisches Mittel x̅ 

Es gilt offensichtlich: 

H 1 + H 2 + H 3 + … + H k = ∑ H i = n 

6 


k 

i=1 

∑ H i = H 1 + H 2 + H 3 + H 4 + H 5 + H 6 = 1 + 1 + 1 + 3 + 2 + 2 = 10 = n 

i=1 

h i = H i 

n 

h 1 = H 1 

= 1 = 0,1 = 10 % 

n 10 

h 2 = H 2 

= 1 = 0,4 = 10 % 

n 10 

h 3 = H 3 

= 1 = 0,3 = 10 % 

n 10 

h 4 = H 4 

= 3 = 0,1 = 30 % 

n 10 

h 5 = H 5 

= 2 = 0,1 = 20 % 

n 10 

h 6 = H 6 

= 2 = 0,1 = 20 % 

n 10 

h 1 + h 2 + h 3 + … + h k = ∑ h i = 1 = 100 % 

k 

i=1 

Der Mittelwert wird bestimmt, weil sich statistische Untersuchungen immer nur auf 

Stichproben beziehen können. Bei Folgerungen für die Gesamtheit stellt das 

arithmetische Mittel x̅ der Stichprobe den besten Schätzwert für den Mittelwert μ 

der Grund-Gesamtheit dar. 

x̅ = 

x 1. H 1 + x 2 . H 2 + … + x k . H k 

n 

x̅ = 2 . 1 + 3 . 1 + 6 . 1 + 8 . 3 + 9 . 2 + 12 . 2 

10 

Die relative Häufigkeit kann in 

Prozent angegeben werden, 

indem der 

errechnete Wert mit 100 

multipliziert wird. 

k 

= 1 

n . ∑ x i . H i 

i=1 

= 7,7 

Das bedeutet: 

Im Durchschnitt greift jede(r) Jugendliche dieser Stichprobe im Unterricht 

nach 7,7 Minuten erstmals zum Handy. 

# 



V Stochastik 

(Empirische) 

Standardabweichung 

bzw. 

Streuung s 

s = √ 

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, inwieweit die Daten der Stichprobe vom 

Mittelwert abweichen. 

So könnten z.B. alle Jugendlichen nach exakt 7,7 Minuten erstmals zum Handy gegriffen 

haben. Dann wäre das arithmetische Mittel ebenfalls x̅ = 7,7 Minuten, 

die Streuung aber in diesem Fall s = 0, weil keine der Einzel-Daten vom arithmetischen 

mittelabweichte. 

s = √ 

(x 1 − x̅) 2 . H 1 + (x 2 − x̅) 2 . H 2 + … + (x k − x̅) 2 . H k 

n 

Als grobe Orientierung dient: 

Die Erfahrung lehrt, s dass < 1 Streuungen eher kleine Streuung 

1 ≤ s ≤ 1, 3 mittlere Streuung 

s > 1, 3 

s < 1 

große Streuung 

kleine Abweichungen 


Median Med 

( Zentralwert ) 

(2 − 7,7) 2 . 1 + (3 − 7,7) 2 . 1 + (6 − 7,7) 2 . 3 + (8 − 7,7) 2 . 3 + (9 − 7,7) 2 . 2 + (12 − 7,7) 2 . 2 

10 

Bemerkung: (1 Sollte 2,96 man ) 

2 

.3 ernsthaft (2 

2,96 Statistik ) 

2 

.5 betreiben, (3 2,96 ) müsste 

2 

.7 ( 4man 2,96 jene ) 

2 

.6 Formel (5für 2,96) die 

2 

Streuung .2 verwenden, die 

s 

im Nenner nicht n, sondern n–1 stehen 23 hat. Diese wäre eigentlich die Streuung einer Stichprobe. 

Bei uns ist es gleichgültig, welche der beiden Varianten zur Anwendung kommt. 

s = 1,1601 ~ 1,16 

1 ≤ s < 1,3 mittlere Abweichungen 

Minimum und Min s ≥ 1,3 

kleinste 

große 

Merkmalsausprägung 

Abweichungen 

Min = 2 

Maximum Max größte Merkmalsausprägung Max = 12 

von Einzeldaten bezüglich des Mittelwertes bedeuten. 

Spannweite Max – Min Spannweite = 12 − 2 = 10 

Reiht man die Daten der Stichprobe von klein nach groß, so ist Med jener Wert, unter 

und über dem sich jeweils ca. 50 % der Daten befindet. 

2 3 6 8 8 8 9 9 12 12 

= 3,13 

Bei gerader Anzahl der Daten, wie hier mit n = 10, liegt in der "Mitte" kein Wert. 

In diesem Fall wählt man als Med das arithmetische Mittel der Werte links und rechts 

der "Mitte". 

# 



V Stochastik 

Quartil Q 

( Viertelabstand ) 

Med = 8+8 


2 

= 8 

Bei ungerader Anzahl von Daten ist der Med der Wert in der Mitte. 

Ein (anderes) Beispiel: 

Med = 3 

z.B.: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5 

Q 1 bzw. Q1 nennt sich unteres Quartil = Median der unteren Datenreihe 

Q 2 bzw. Q2 ist der Median 

Q 3 bzw. Q3 nennt sich oberes Quartil = Median der oberen Datenreihe 

Zeichnen wir noch das Minimum und Maximum ein: 

# 



V Stochastik 

Mit diesen Größen lässt sich das sogenannte Boxplot – Diagramm anfertigen: 

Die Box (das Rechteck) reicht immer von Q1 bis Q3. 

In der Box liegen immer 

der Daten. 

Der Interquartilabstand, reicht immer von Q1 bis Q3. Er entspricht der „Länge“ der Box. 

Die sog. Quartil-Abstände lassen sich auch grafisch im Boxplot darstellen: 

Boxplot 


Mögliche Interpretationen: 

50 % 

Interquartilabstand 

50 % 

25 % der Jugendlichen dieser Stichprobe schaut alle 2 bis 6 Minuten auf ihr Handy, 


25 % aller Jugendlichen alle 8 bis 9 Minuten und 

25 % alle 9 bis 12 Minuten. 

oder 


50 % der Jugendlichen alle 8 bis 12 Minuten. 

. . . . . 

# 



V Stochastik 

Modus bzw. Modalwert 

Die Merkmalsausprägung mit der größten Häufigkeit 

Tragen wir die einzelnen Daten auf, so oft sie vorkommen: 

2 

3 

6 

8 8 8 

9 9 

12 12 

Da die Merkmalsausprägung 8 Minuten am häufigsten auftritt, stellt sie den 

Modus dar. → Modus (Modalwert) = 8 

Es können auch mehrere Modi (Plural von Modus) auftreten. 

Arithmetisches Mittel und Median, die sog. Zentralmaße, können nur bestimmt werden, wenn die Daten 

ordinalskaliert (größer – kleiner) sind. 

Idee: Beispiel Zentralmatura am 10.5.2017 

Nebenstehende Darstellung wird als 

Stängelblatt -Diagramm bezeichnet. 

In einem Fitnesshotel werden Gäste, die ein Wochenende dort verbringen, nach ihren Ausgaben für Wellness und 

Essen/Trinken befragt. 


– Interpretieren Sie das Boxplot-Diagramm Wellness bezüglich Minimum, Maximum, Spannweite, 

Q1, Median und Q3. 

– Geben Sie an, wie viel Prozent der befragten Gäste für Essen/Trinken mindestens 120 Euro ausgeben. 

# 



V Stochastik 

Jemand behauptet, aus den beiden Boxplots Folgendes ablesen zu können: 

„ Es gibt mit Sicherheit mindestens einen Gast, der insgesamt 360 Euro für Wellness und Essen/Trinken ausgibt.“ 

– Argumentieren Sie, warum diese Behauptung falsch ist. 


– Min = 0 € Max = 160 € Spannweite = 160 € Q1 = 80 € Med = 100 € Q3 = 120 € 

– 75 % 

– Die Behauptung ist falsch, weil aus den Boxplots nicht abgelesen werden kann, dass derselbe Gast maximal 

160 € für Wellness und 200 € für Essen/Trinken; also insgesamt 360 €, ausgibt. 

9.1.2. Kenngrößen mit 

Arithmetisches Mittel x̅ 

In eine Zeile des Algebra-Fensters werden die Daten als Menge eingeben, 

also in { } gesetzt. 

ENTER betätigt und die Liste erscheint benannt (Liste1). 

Schreibe den Befehl 

Mittelwert[ ] 


In das Feld schreiben wir 

Liste1 , weil wir unsere Liste so benannt haben. 

ENTER betätigt und der Wert des Mittelwertes wird angegeben. 

x̅ = 7, 7 

GeoGebra bezeichnet berechnete Zahlen in alphabetischer Reihenfolge. 

Auf diese Weise lassen sich alle Kenngrößen der empirischen Statistik ermitteln: 

# 



V Stochastik 

Standardabweichung bzw. Streuung s 

Schreibe in die Eingabe-Zeile den Befehl 

Standardabweichung[ 

Median Med 

Quartilen Q 

Das zweite Quartil Q2 = Med 

Boxplot (-Diagramm) 

Schreibe in die Eingabe-Zeile den Befehl 

s = 3, 13 

Med = 8 

Q1 = 6 

Q3 = 9 

Nun schreiben wir 


für den Wert 1, 

für den Wert 0.5 und in 

die Bezeichnung Liste1 

Gleichzeitig erscheint 

im 

Grafik-Fenster das 

Boxplot-Diagramm. 

f = 8 bzw. a = 8 

bedeutet, der 

Median = 8. 

# 



V Stochastik 

y Abstand bedeutet den Abstand der waagrechten Mittellinie des Boxplots von der x-Achse, 

y-Skalierung die halbe Breite der Box. 

Diese Einstellungen sind nicht von Bedeutung und eher kosmetischer Natur. 

Modus bzw. Modalwert 

https://www.youtube.com/watch?v=UEv3nkx_vm8&t=2s 

https://www.youtube.com/watch?v=Xu6Ce48uwuU 

Beispiel: Achtung Kontrolle! 

Der Modalwert wird als Liste angegeben. 

Bei einer Verkehrskontrolle werden Lenker bezüglich Blutalkohol überprüft: 


Blutalkohol in ‰ 0,0 0,3 0,5 0,8 1,0 1,1 1,5 

Anzahl der Lenker 26 10 12 8 3 1 1 

– Ermittle das arithmetische Mittel und die Standardabweichung (Streuung) dieser Stichprobe. 

Man gibt die Werte der beiden Zeilen in jeweils eine eigene 

Liste ein. 

Beachte, dass die Reihenfolge der eingegebenen Werte in 

beiden Listen die gleiche ist. 

# 



V Stochastik 

Nebenstehender Befehl wird aktiviert. 

9.1.3. Grafische Darstellungen 

Balkendiagramm 

Der entsprechende Befehl in der Eingabe-Zeile lautet: 

Die Häufigkeiten sind hier die 

Anzahlen der Lenker. 

ENTER betätigt und wir erhalten das arithmetische 

Mittel, von GeoGebra Mittelwert genannt. 

Genauso berechnen wir die 

Standardabweichung. 

Für schreiben wir Liste1, wenn wir sie so benannt haben (siehe Beispiel auf S 345) 

Als wählen wir zum Beispiel 0,8 

löschen wir: 

Automatisch erfolgt die Darstellung im Grafik-Fenster: 

Auf der senkrechten Achse erscheinen die absoluten Häufigkeiten. 

Die Breite der Balken (0,8) ist so gewählt, dass zwischen den Balken Abstände erscheinen. 


Bemerkung: Die Zahl g = 8 gibt den Flächeninhalt aller Balken an und ist unerheblich. 

# 



V Stochastik 

Histogramm 

Gleicher Vorgang wie beim Balkendiagramm. Nur wird die Balkenbreite so gewählt, dass kein Abstand zwischen 

den Balken entsteht. 

Bemerkung: Die Zahl h = 10 gibt den Flächeninhalt aller Balken an und ist unerheblich. 

Warum ist der Flächeninhalt aller 

Balken im Balkendiagramm kleiner 

als im Histogramm? 

Wir haben doch in beiden 

Darstellungen die jeweils gleiche 

Höhe und gleiche Anzahl an Balken! 

Weil die Balkenbreite im Balkendiagramm 

kleiner ist als im Histogramm! 

Doch der Flächeninhalt aller Balken hat für uns 

keine Bedeutung! 


– Lesen Sie aus folgendem Balkendiagramm ab, wie viel Prozent der Jugendlichen 

mindestens 7 Minuten verstreichen lassen, bevor sie erstmals ihr Handy ergreifen. 

# 



V Stochastik 


Mindestens 7 Minuten bedeuten hier 8 oder 9 oder 12 Minuten. 

Das sind jeweils 3 oder 2 oder 2 Jugendliche (abzulesen als absolute Häufigkeiten auf der senkrechten 

Achse), insgesamt demnach 7 Jugendliche. 

Die Stichprobe besteht aus n = 10 Jugendlichen. 

7 

10 

= 0,7 = 70 % 

70 % dieser Jugendlichen lassen mindestens 7 Minuten verstreichen, bevor sie erstmals ihr Handy 

ergreifen. 

Kreisdiagramm 

Beispiel: TV-Werbung 

Laut einer Umfrage wechseln zwei von fünf TV-Konsumenten bei Werbeeinschaltungen das Programm, 

20 % gehen auf die Toilette, 15 % holen sich zu essen oder trinken, 12 % fangen sich zu unterhalten an und 

13 % sehen sich die Werbungen an. 

– Stelle die beschriebenen Anteile in einem Kreisdiagramm dar. 


Der ganze Kreis (Vollkreis) hat 360°, 

das Ganze hat 100 % 100 % = 360° 

: 100 100 % . . . . . 360° : 100 

1 % . . . . . 3, 6° 

2 von 5 = 2 

= 0,4 = 40 % 

5 


100 % . . . . . 360° 

40 % . . . . . x → x = 3,6 . 40 = 144° 

20 % . . . . . x → x = 3,6 . 20 = 72° 

15 % . . . . . x → x = 3,6 . 15 = 54° 

12 % . . . . . x → x = 3,6 . 12 = 43,2° 

13 % . . . . . x → x = 3,6 . 13 = 46,8° 

# 



V Stochastik 

9.1.4. Klassen - Einteilung 

Manchmal macht es Sinn, Daten zu sog. Klassen zusammenzufassen. 

Sei es, weil die Datenmenge zu groß ist, oder weil zu feine Unterteilungen keinen Sinn machen. 

Beispiel: 

Beispiel mit 20 Personen: 

Gemessene Körpergrößen in cm 

Angenommen, es werden 1 020 Personen im Alter von 15 bis 94 Jahren gemessen, um ihre 

Körpergröße zu erhalten. 

Wir bekämen vielleicht 55 verschiedene Größen auf cm gerundet. Doch was drückten hier 

Kennzahlen wie der Mittelwert oder Median aus? Wohl nichts Aussagekräftiges. 

Sinnvoller wäre es, wir würden die Personen in Altersgruppen zusammenfassen und dort jeweils 

geeignete Kennzahlen ermitteln. 

153 187 172 168 183 189 168 174 159 166 

171 163 185 170 166 182 179 160 173 177 

Wichtig ist, sinnvolle Klassenbreiten festzulegen! 

Richtwert für die günstige Klassenanzahl = √ n , wobei n die Anzahl aller Daten ist. 

In unserem Beispiel ist n = 20 → Klassenanzahl = √ 20 ≈ 4,5 → Klassenanzahl 4 oder 5 

Richtwert für die Klassenbreite = 

Spannweite 

Anzahl der Klassen 


Klassenbreite = 189−153 

= 9 oder Klassenbreite = 189−153 

= 7,2 ≈ 7 

4 

Auch die errechnete Klassenbreite stellt nur einen Richtwert dar. Die tatsächliche Breite muss für die betreffende 

Untersuchung sinnvoll sein. 

5 

Im konkreten Fall wird für die Klassenbreite 10 ( und damit werden 4 Klassen ) gewählt, da das Minimum nahe genug bei 

150 cm und das Maximum nahe genug bei 190 cm liegt. Außerdem sind die dadurch entstehenden Klassenränder leichter zu 

lesen. 

# 



V Stochastik 

Klasse Klassenbereiche Klassenmitte x i absolute Häufigkeit H(x i ) 

1 150 ≤ x < 160 155 2 

2 160 ≤ x < 170 165 6 

3 170 ≤ x < 180 175 7 

4 180 ≤ x < 190 185 5 

Die Klassenmitte ist das arithmetische Mittel der Randwerte der betreffenden Klasse. 

ZB: 

150+160 

2 

=155= x 1 

Grafische Darstellung im sog. Histogramm: 

Matherätsel 1: 

Erwachsene Zahlen für den Eintritt ins Schwimmbad 5 Euro, Jugendliche um 20 % weniger. 

Nach 16:00 werden alle Eintrittspreise um 25 % gesenkt. 


Wie viel Euro zahlen Jugendliche nach 16:00 für den Eintritt? 

Angenommen, Erwachsene zahlen normalerweise a Euro Eintritt. Nach 16:00 betreten m Erwachsene und n Jugendliche das 

Schwimmbad. 

Was berechnet folgende Formel? 0,8 . a . ( m + 0,75 . n ) 

Lösungen: 3 Euro 

Die gesamten Einnahmen für den Eintritt nach 16:00 

# 



V Stochastik 

9.2. Regression (Cluster ) 

9.2.1. Lineare Regression 

Mit Hilfe der Linearen Regression überprüft man, ob zwischen einer unabhängigen und einer abhängigen 

Variablen, also zwischen zwei Variablen, ein linearer Zusammenhang besteht. 

Die sogenannte Regressionsgerade ist jene Gerade, von der die Daten-Punkte den jeweils minimalen Abstand 

haben. 

Hier kann man annehmen, dass 

zwischen den beiden Variablen x und y 

ein linearer Zusammenhang besteht. 

Die Gleichung der Regressionsgeraden kann mit 



ein quadratischer Zusammenhang 

besteht. 



kein Zusammenhang besteht. 

leicht ermittelt werden: 


Beispiel: Schnee als Verkaufsrenner 

Nach einem Beispiel der Universität Zürich 

Es wird behauptet, die gefallene Schneemenge eines Tages habe in der Vorweihnachtszeit Auswirkungen auf das 

Kaufverhalten von Menschen. 

Die nachfolgende Tabelle zeigt die Schneehöhe in Zentimetern (cm) an acht Einkaufstagen im Dezember und 

den Tages-Umsatz in Schweizer Franken (CHF) eines Züricher Kaufhaues an diesen Tagen. 

# 



V Stochastik 

Schneehöhe in cm Umsatz in CHF in 1 000 

12 8,5 

11 7,5 

8 5,0 

15 8,0 

4 8,5 

5 4,5 

0 4,0 

12 8,0 

GeoGebra Classic 6: In der blauen Kopfzeile ganz rechts das abgebildete Symbol (mit 

der linken Maustaste) angeklickt, öffnet folgendes Fenster. 

In GeoGebra Classic 5 wie links abgebildet. 

Wir gehen auf Ansicht 

und klicken den Befehl Tabelle an. 

In GeoGebra Classic 5 wie links abgebildet. 


In Spalte A geben wir die Schneehöhen in cm ein, in Spalte B die Umsätze in 1 000 CHF. 

Bemerkung: Wie bei Funktionen üblich, beschreibt x die unabhängige Variable und 

y die abhängige Variable. 

Natürlich ist die gefallene Schneemenge und damit –höhe unabhängig vom 

Umsatz. Deshalb ist die Schneehöhe die Variable x. 

# 



V Stochastik 

In der Tabelle werden die entsprechenden Daten mit links gedrückter Maustaste markiert. 

Links oben in der blauen Kopfzeile befindet sich der links abgebildete Button. 

Diesen klicken wir an. 

Dabei öffnet sich nebenstehendes Fenster, in dem wir den Befehl 

Analyse zweier Variablen anklicken. 

Es erscheint das links abgebildete Fenster. 

Wir klicken unterhalb von 

Regressionsmodell 

den Pfeil rechts neben Keines an 


. . . . . und klicken im sich öffnenden Fenster Linear an. 

# 



V Stochastik 

Die Gleichung der Regressionsgeraden lautet: 

y = 0, 25 x + 4, 64 

Es erscheint die Gleichung 

der Regressionsgeraden 

(Trendlinie) samt grafischer 

Darstellung. 

Die Darstellung der 

einzelnen Punkte nennt man 

Punktwolke. 

– Interpretiere die Steigung der Regressionsgeraden im Sachzusammenhang. 

Pro cm Schneedecke erhöht sich der Umsatz um 0,25 . 1 000 = 250 CHF. 

Angenommen, wir wollen wissen, welcher Tages-Umsatz bei 20 cm Schneehöhe zu erwarten ist. 

Daraus lässt sich folgern: 

Damit erscheint y = 9.6746 

Wir finden im Fenster mit der 

Regressionsgeraden ( y = 0.25 x + 4.64 ) 

den Befehl Berechne symbolisch: 

Dort geben wir für x = 20 ein und 

betätigen ENTER. 


Bei einer Schneehöhe von 20 cm ist ein Tages-Umsatz von ca. 9 675 CHF zu erwarten. 


Ein Vater ist so alt, wie seine drei Söhne zusammen. Vor zehn Jahren war er dreimal so alt wie sein ältester und fünfmal so 

alt wie sein zweiter Sohn. Der jüngste Sohn ist 14 Jahre jünger 

als sein ältester Bruder. 

Wie alt ist jeder der drei Söhne? 

Quelle: denksport.de 

Lösung: 25, 19 und 11 

# 



V Stochastik 

9.2.2. Korrelationskoeffizient 

Der sogenannte Korrelationskoeffizient r gibt Auskunft, wie stark der lineare Zusammenhang 

zwischen den beiden Variablen x und y ist. r kann Werte zwischen einschließlich – 1 und einschließlich + 1 

annehmen. 

Hier kann man erwarten, 

dass r nahe +1 liegt. Ein starker 

linearer Zusammenhang im Sinne je 

mehr desto mehr bzw. je weniger desto 

weniger. 

Beispiel: 

Je mehr Körpergröße eine Person hat, 

desto mehr Masse (Gewicht) hat sie. 

Je weniger Körpergröße eine Person 

hat, desto weniger Masse (Gewicht) hat 

sie. 

Die Formel für den Korrelationskoeffizienten r lautet: 

r = 


dass r nahe –1 liegt. Ein starker 

linearer Zusammenhang im Sinne je 

mehr desto weniger bzw. je weniger 

desto mehr. 

Beispiel: 

Je mehr jemand lernt, desto weniger 

oft muss er die Prüfung wiederholen. 

Je weniger jemand lernt, desto mehr 

(öfter) muss er die Prüfung 

wiederholen. 

∑ 

n 

i=1 

(x i − x̅) ⋅ (y i − y̅) 

√ ∑ 

n i=1 

(x i − x̅) 2 ⋅ √ ∑ (y i − y̅) 2 

Diese Formel müssen wir nicht anwenden, wie haben ja GeoGebra! 


dass r nahe 0 liegt. Es herrscht kein 

(linearer) Zusammenhang zwischen 

den beiden Variablen vor. 

Beispiel: 

Je mehr jemand schläft, desto mehr 

fährt er auf Urlaub. 

Je weniger jemand schläft, desto mehr 

weiß er über vietnamesische 

Hängebauchschweine Bescheid. 


Mit GeoGebra leicht berechnet: 

In das Algebra-Fenster schreiben wir den Befehl 

Korrelationskoeffizient[ , ] 

n 

i=1 

# 



V Stochastik 

Der Korrelationskoeffizient r beträgt 0,66. 

Betrachten wir noch das sogenannte Bestimmtheitsmaß B: 

Bezogen auf unser Beispiel: 

B = 0,66 2 = 0,4356 

B = r 2 

Interpretation: 43,56 % (also gut 40 %) des Umsatzes werden von der Menge gefallenen Schnees beeinflusst. 

Der restliche Anteil rührt von anderen Faktoren, die hier nicht bekannt sind. 


In einer Messreihe wurden die Körpermassen von Jugendlichen in Abhängigkeit der Körpergröße festgehalten. 

Anhand der Daten wurde eine lineare Regression erstellt. 


# 



V Stochastik 

Das Tabellenkalkulationsprogramm liefert statt des Korrelationskoeffizienten r sein Quadrat R² = r². 

– Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten r. 

– Interpretieren Sie den Korrelationskoeffizienten bezüglich des Zusammenhangs zwischen der Körpergröße 

und der Körpermasse. 

– Interpretieren Sie die Steigung der gegebenen Regressionsgeraden im konkreten Sachzusammenhang. 


– r = √ r 2 = √ 0,5041 = 0,71 Besitzt die Regressionsgerade ein Gefälle, 

so ist der Korrelationskoeffizient negativ. 

– Ein Korrelationskoeffizient r = 0,71 bedeutet ein Bestimmtheitsmaß B = 0,71 2 = 0,5041 = 50,41 %: 

Gut 50% beträgt der Einfluss der Körpergröße auf die Körpermasse. Der Rest sind andere Faktoren 

(Bewegung, Essen, …) 

Bemerkung: Sollte man wirklich Statistik betreiben, so sind solche Schlussfolgerungen nicht statthaft! 

– Pro Meter Körpergröße nimmt die Körpermasse um 54,64 kg zu. 



Jemand mischt einen viertel Liter Wein mit 12 % Alkoholgehalt mit einem achtel Liter Wasser, das 0 % Alkoholgehalt 

besitzt. 

Welchen Alkoholgehalt besitzt die Mischung? 

Lösung: 8 % 

# 



V Stochastik 

9.2.3. Quadratische Regression 

Bei der Quadratischen Regression ist der Zusammenhang einer unabhängigen und einer abhängigen Variablen, 

also zwischen zwei Variablen, quadratisch. Das heißt, die Wertepaare (=Punkte) liegen annähernd auf einer 

quadratischen Funktion = Polynomfunktion 2. Grades. 


Folgende Grafik zeigt die Entwicklung des Tourismus in Wien. 


– Interpretieren Sie die in der Grafik markierte Zahl 7,2 im Sachzusammenhang. 

– Erstellen Sie basierend auf den Daten der Grafik eine quadratische Regressionsfunktion. 

Wähle dabei das Jahr 1980 als t = 0. 

– Ermitteln Sie mit Hilfe der aufgestellten Regressionsfunktion eine Prognose für die Übernachtungszahlen 

des Jahres 2018. 

# 



V Stochastik 


 

 

Im Jahr 1990 gab es in Wien 7,2 Millionen Übernachtungen. 

Tabellen-Fenster öffnen 

Daten eingeben und 

entsprechenden Tabellenbereich markieren 

ENTER betätigt und die Gleichung der Regressionskurve steht da. 

 

Blau umrandeten Button drücken und 

Analyse zweier Variablen anklicken 

y = f(x) = −0, 0011 x 2 + 0, 2632 x + 4, 4708 

Regressionsmodell: 

Polynom 

Grad: 2 


Wir geben für x = 38 ein, da 2018 

38 Jahre nach 1980 liegt. 

Dann ENTER betätigt und y = 12.8571 

erscheint. 

Im Jahr 2018 sind ca. 12,9 Millionen Übernachtungen zu erwarten. 

# 



V Stochastik 

9.2.4. Exponentielle Regression 

Bei der Exponentiellen Regression liegen die Wertepaare (= Punkte) annähernd auf einer exponentiellen Funktion. 

Beispiel: 

Folgende Tabelle zeigt das Jahresmittel an Feinstaub in Mikrogramm pro Kubikmeter (μg/m³) in der Stadt Graz: 

Jahr 

Jahresmittel in μg/m³ 

2000 55 

2005 42 

2010 38 

2015 30 

– Stelle anhand der gegebenen Daten eine exponentielle Regressionsfunktion auf. 

Daten eingeben und 

entsprechenden Tabellenbereich markieren 

ENTER betätigt und die Gleichung der Regressionskurve steht da. 

Blau umrandeten Button drücken und 

Analyse zweier Variablen anklicken 

Regressionsmodell: 

Exponentiell 

y = 53,72 ⋅ e −0,04⋅x 

Mit GeoGebra lassen sich noch weitere Arten von Regressionsfunktionen aufstellen: 

Lineare Regression 

Logarithmische Regression 

Quadratische (Kubische …) Regression 

Exponentielle Regression 


# 



V Stochastik 

9.3. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 

9.3.1. Grundbegriffe 

Zufallsversuch 

Ereignis E 

Gegenereignis E’ 

Ein mit Bewegung verbundener Vorgang, der ein Ergebnis liefert, das noch nicht 

bekannt ist. 

z.B. Das Einmalige Werfen eines Würfels. 

Ein Ergebnis des Experiments 

z.B. E: Die Augenzahl vier wird gewürfelt 

Bemerkung: Das Ereignis E kann durch einen Aussagesatz (siehe oben) oder 

durch ein geeignetes Symbol, hier z.B.: E = 

E ’ erhält man, indem man E verneint. 

, angegeben werden. 

z.B.: E’: Die Augenzahl vier wird nicht gewürfelt bzw. E‘= ' 

Das Ereignis E und sein Gegenereignis E‘ deckt alle Möglichkeiten ab. 

P (E) . . . . . . . . . . . . die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis E eintritt 

P ’(E) . . . . . . . . . . . 

. 

Für die Berechnung von P (E) gilt: 

die Gegenwahrscheinlichkeit von P (E) 


P (E) = 

die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ausgänge des Experiments 

die Anzahl aller möglichen Ausgänge des Experiments 

Da die Anzahl der günstigen Ereignisse höchstens gleich groß sein kann wie die Anzahl aller möglichen Ereignisse, 

kann jede Wahrscheinlichkeit maximal den Wert 1 annehmen. Der kleinste Wert muss Null sein, da es minimal 

Null günstige Ausgänge geben kann. 

Somit gilt: 

Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1 

# 



V Stochastik 

Multipliziert man P (E) mit 100, so erhält man den Wert in Prozent: 

P ( E ) . 100 P ( E ) in % 

Für die Gegenwahrscheinlichkeit P‘ ( E ) gilt: 

P‘(E) = 1 – P (E) 

Beispiel: 

Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Augenzahl vier zu würfeln? 

Experiment: das einmalige Werfen des Würfels 

E = 

1 

P ( E ) = P ( ) = = 0,1667 = 16,67 % 

6 

Die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Werfen eines Würfels die Augenzahl vier zu würfeln, beträgt knapp 17 %. 

E ’ : die Augenzahl vier wird nicht gewürfelt 

P ( E’ ) = P (( ' ) = 

Die Gegenwahrscheinlichkeit von P(E) beträgt: 


1 5 

P ‘ ( E ) = 1 – P ( E ) = 1 – P( ) = 1 – = P ( ’ ) = P ( E ’) 

6 6 

Dieses Beispiel zeigt: 

5 

6 

P'(E) = P(E') 

Im Folgenden behandeln wir die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ereignisse. 

# 



V Stochastik 

9.3.2. Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ereignisse 

9.3.2.1. entweder – oder ( oder beide ) - Wahrscheinlichkeit 

∨ . . . vel (lateinisch): oder 

Dieses oder ist im nicht-ausschließlichen Sinn gemeint. 

Beispiel: 

Auf einem Tisch liegen bunt gemischt 52 verdeckte Spielkarten 

( von jeder der vier Kartenfarben Kreuz, Blatt, Herz und Karo die 

13 Karten As, König, Dame, Bub, 10er, 9er, 8er,7er, 6er, 5er, 4er, 

3er und 2er ). Es wird zufällig * eine Karte gezogen. 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Herz- oder eine 

Karokarte zu ziehen? 

* zufällig ziehen bedeutet nicht, dass jemand unbeabsichtigt vorbeikommt und eine Karte zieht. 

Es bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit berechnet wird bevor das Experiment (hier das Ziehen der Karte) stattfindet. 

E 1 = E 2 = 

13 1 

13 1 

P ( ) = P ( )= 

52 4 

52 4 


P ( ) = 

1 

4 

 

1 

4 

 

1 

2 

P( 

E1 E2 

) P(E1 

) P(E2 

) 

Die Wahrscheinlichkeit, eine Herz- oder Karokarte zu ziehen, beträgt 0,5 bzw. 50 %. 

# 



V Stochastik 

9.3.2.2. sowohl – als auch-Wahrscheinlichkeit 

P ( E1 E2 

) P (E1 

) . P (E2 

) 

∧ . . . und ( im Sinne von sowohl – als auch ) (Hier wurde einfach das v von vel umgedreht.) 

Beispiel: 

Auf einem Tisch liegen bunt gemischt 52 verdeckte Spielkarten 

( von jeder der vier Kartenfarben Kreuz, Blatt, Herz und Karo die 

13 Karten As, König, Dame, Bub, 10er, 9er, 8er, 7er, 6er, 5er, 4er, 

3er und 2er ). Es wird zufällig eine Karte gezogen. Diese Karte 

wird betrachtet, untergemischt und danach wird neuerlich eine 

Karte gezogen. 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Herz- und eine 

Karokarte zu ziehen? 

Beachte, dass ein Unterschied vorliegt, ob die zuerst gezogene Karte wieder zurückgelegt wird oder nicht! 

Wird die gezogene Karte wieder zurückgelegt, so gibt es bei der zweiten Ziehung gleich viele möglichen und 

günstigen Fälle wie bei der ersten. 

Wird die Karte hingegen nicht zurückgelegt, so vermindert sich bei der nächsten Ziehung zumindest die Anzahl 

der Möglichkeiten. 


E 1 = E 2 = 

P( ) = 

13 1 

13 1 

1 1 1 

P ( ) = P ( ) = . 

52 4 

52 4 

4 4 16 

# 



V Stochastik 

Dieses Ergebnis ist 

Nicht, weil wir uns verrechnet, sondern weil wir günstige Ausgänge nicht berücksichtigt haben. 

Günstig sind folgende Ergebnisse (Ausgänge), weil in beiden Fällen eine Herz- und eine Karokarte gezogen werden: 

Zuerst eine Herz- und dann eine Karokarte oder zuerst eine Karo- und dann eine Herzkarte ziehen. 

1 

4 

und oder und 

. 

1 

4 

 

Die Wahrscheinlichkeit, eine Herz- und eine Karokarte zu ziehen, wenn es auf die Reihenfolge nicht ankommt, 

1 

beträgt somit = 0,125 bzw. 12,5 %. 

8 


Damit man bei mehreren Experimenten und damit mehreren Ereignissen keine günstigen Ausgänge übersieht, ist 

es ratsam, ein sog. Baumdiagramm anzufertigen. 

1 

4 

. 

1 

4 

 

1 

8 

# 



V Stochastik 

9.3.2.3. Baumdiagramm 

Beispiel: 

Fertigen wir ein entsprechendes Baumdiagramm an: 

In einer Urne befinden sich 3 grüne und 2 rote Kugeln. Es werden zwei 

Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 

grüne und eine rote Kugel zu ziehen? 

Gleichzeitiges Ziehen ist gleichbedeutend mit 

hintereinander Ziehen ohne Zurücklegen. 


Zunächst suchen wir jene Äste, bei denen in den beiden Ziehungen eine grüne und eine rote Kugel gezogen 

werden, wobei die Reihenfolge unwesentlich ist. 

Beachte: Die Ziehungen erfolgen von oben nach unten! 

# 



V Stochastik 

Beim linken Ast ziehen wir zuerst eine grüne Kugel und dann eine rote Kugel. 

Beim rechten Ast ziehen wir zuerst eine rote Kugel und dann eine grüne Kugel. 

Wie groß sind nun die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten? 


Die Wahrscheinlichkeit zuerst eine grüne Kugel und dann eine rote Kugel zu ziehen ist 3 

⋅ 2 

5 4 

Die Wahrscheinlichkeit zuerst eine rote Kugel und dann eine grüne Kugel zu ziehen ist 2 

⋅ 3 

5 4 

# 



V Stochastik 

Damit ist die Wahrscheinlichkeit eine grüne und eine rote Kugel zu ziehen (wenn die Reihenfolge unerheblich ist): 

Entweder zuerst eine grüne und dann eine rote Kugel zu ziehen oder zuerst eine rote und dann eine grüne Kugel 

zu ziehen: 

Man sieht: 

P( 

) = 3 

5 ⋅ 2 

4 + 2 

5 ⋅ 3 

4 = 3 = 0, 6 = 60% 

5 

Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Astes werden multipliziert, 

die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Äste werden addiert. 


Ein Prozent des Fluggepäcks kommt nicht mit dem Passagier am Zielflughafen an. 

Von diesem vermissten Fluggepäck tauchen 95 % wieder auf. 

– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Fluggepäck nicht mehr auftaucht. 

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fluggepäck mit dem 

Passagier mitkommt (M), beträgt 99 % = 0,99. 

Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass das 

Fluggepäck nicht mit dem Passagier ankommt 

(N) 1 % = 0,01. 


Von dem nicht mit dem Passagier angekommenen 

Fluggepäck tauchen 95 % = 0,95 wieder auf (A), 

5 % = 0,05 sind verloren (V). 

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein 

beliebiges Fluggepäck nicht mit dem Passagier 

ankommt und verloren geht 

0,01 . 0,05 = 0,0005 = 0,05 % 

# 



V Stochastik 

Nach der Landung werden drei Gepäckstücke zufällig ausgewählt. 

– Kreuze an, welche Wahrscheinlichkeit im abgebildeten Baumdiagramm durch den orange eingefärbten 

Ast dargestellt wird: [ 1 aus 5 ] 

B … Gepäckstück ist beschädigt U … Gepäckstück ist unbeschädigt 

Zur Erinnerung: Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass von den 5 gebotenen Aussagen genau eine richtig ist. 

Beispiel: 

Zwei der drei Gepäckstücke sind beschädigt. 

Kein Gepäckstück ist beschädigt. 

Ein Drittel der Gepäckstücke ist beschädigt. 

Das erste und letzte Gepäckstück sind beschädigt. 

Das mittlere Gepäckstück ist unbeschädigt. 

Lösung: Die 3. Aussage ist richtig. 

– Ergänze die Textlücken in folgendem Satz durch Auswahl der jeweils richtigen Alternativen A bis D. 


Es seien p1 und p2 die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, dass zwei unabhängige Kontrollen Alarm schlagen. 

__ 1__ 

ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Störfall __2__ Kontrolle(n) Alarm schlägt/schlagen. 

# 



V Stochastik 

Lösung: 1 B 

2 D 

Zusammenstellung verschiedener Maturabeispiele 

Bei einer Besucherbefragung in einem Vergnügungspark wurden folgende Daten erhoben: 

60 % der Besucher sind aus dem Inland. Die Besucher aus dem Inland reisen zu 45 % mit dem PKW an, die 

restlichen Besucher aus dem Inland mit öffentlichen Verkehrsmitteln. 90 % der Besucher aus dem Ausland 

reisen mit öffentlichen Verkehrsmitteln an, die restlichen Besucher aus dem Ausland mit dem PKW. 

– Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen Sachverhalt wiedergibt. 

– Beschreiben Sie, was mit folgendem Ausdruck berechnet wird: 0,6 . 0,55 + 0,4 . 0,9 

Angenommen, an einem Tisch sitzen 6 Österreicher, 2 Italiener und d Deutsche. 

Grafik: BMB 

– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P, dass ein zufällig ausgewählter 

Gast dieses Tisches ein Deutscher ist. 


Möglicher Lösungsweg 

– Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher 

mit öffentlichen Verkehrsmitteln anreist. 

– P = b 

6+2+a 

Grafik: BMB 

# 



V Stochastik 

9.3.2.4. . . . mindestens einmal . . . 

Beispiel: 

Nehmen wir an, zwei Lampen brennen jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,9. 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe brennt? 

Folgende Fälle sind möglich: 

beide Lampen brennen 

die 1. Lampe brennt und die 2. nicht 

die 1. Lampe brennt nicht und die 2. brennt 

die 1. und die 2. Lampe brennen nicht 

Die Summe 1,00 bedeutet, wir haben alle möglichen Fälle berücksichtigt. 

In den ersten drei Fällen brennt mindestens eine Lampe. Das bedeutet: 

P (mindestens eine Lampe brennt) = 0,81 + 0,09 + 0,09 = 0,99 

Wahrscheinlichkeiten: 

0,9 . 0,9 = 0,81 

0,9 . 0,1 = 0,09 

0,1 . 0,9 = 0,09 

0,1 . 0,1 = 0,01 

Σ 1,00 

Das gleiche Ergebnis erhalte ich, wenn ich von 1 die Wahrscheinlichkeit abziehe, 

dass keine Lampe brennt: 


P (mindestens eine Lampe brennt) = 1 – P (keine Lampe brennt) = 1 – 0,01 = 0,99 

Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mindestens einmal eintritt, in jedem Fall berechnen: 

P(mindestens einmal) = 1 – P(keinmal) 

# 



V Stochastik 

Beispiel: 

Ein Würfel wird fünfmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal die Augenzahl vier zu 

würfeln? 

Beispiel: 

P (bei 5 Würfen mindestens einmal ) = 1 – P ( bei 5 Würfen keinmal ) 

P ( bei einem Wurf keine ) = 

P (bei 5 Würfen keinmal ) = 

5 

Somit gilt: P ( bei 5 Würfen mindestens einmal ) = 1 – = 0,5981 

6 

Die Wahrscheinlichkeit, bei fünfmaligem Würfeln eines Würfels mindestens einmal die Augenzahl vier zu 

erhalten beträgt 0,5981 = 59,81 %, also knapp 60 %. 

Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal die Augenzahl vier zu 

erhalten, mindestens 95 % beträgt? 

Wie oft ? . . . Es ist nach der Anzahl der Würfe gesucht: 

Wir wollen n berechnen. 

n ist die Anzahl der Würfe 

P ( bei n Würfen mindestens einmal ) = 1 – P ( bei n Würfen keinmal ) 

P ( bei einem Wurf keine ) = 


P (bei n Würfen keinmal ) = 

5 

6 

Bei 5 Würfen keinmal die Augenzahl vier zu werfen bedeutet: Sowohl beim ersten Wurf als auch 

beim zweiten Wurf als auch beim dritten als auch beim vierten als auch beim fünften Wurf 

nicht vier zu würfeln. 

5 5 5 5 5 

. . . . 

6 6 6 6 6 

5 

5 

 

6 

5 

6 

5 5 5 5 

. . . ... . 

6 6 6 6 

n-mal 

n 

5 

 

6 

5 

Somit gilt: P ( bei n Würfen mindestens einmal ) = 1 – 

 

 

 

n 

5 

6 

# 



V Stochastik 

Diese Wahrscheinlichkeit soll nach Angabe mindestens 95 % betragen. Dies führt uns auf folgende 

Exponentialungleichung: 

1 − ( 5 

6 )n ≥ 95 % 

Ungleichungen werden prinzipiell wie Gleichungen gelöst. 

2 Ausnahmen: 

o 

o 

Wird die Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl 

dividiert, so ist das Ungleichheitszeichen zu ändern. 

Beispiele: 3 < 5 . ( – 2 ) 6 > 4 : ( – 2 ) 

1 − ( 5 

6 )n ≥ 95 % 

1 − ( 5 

6 )n ≥ 95 

100 

1 − ( 5 

6 )n ≥ 0,95 | – 1 

− ( 5 

6 )n ≥ − 0,05 | . ( – 1) 

( 5 

6 )n ≤ 0,05 | ln 


ln ( 5 

6 )n ≤ ln(0,05) 

n . ln ( 5 

5 

) ≤ ln(0,05) | : ln ( 

n ≥ 

6 

ln(0,05) 

ln ( 5 n 

6 ) 

– 6 > – 10 – 3 < – 2 

Am Ende soll ( wegen der leichteren Deutung des Ergebnisses ) die Variable auf der linken Seite 

stehen. 

neg 

6 ) 

mindestens bedeutet ≥ ( größer oder gleich ) 

Logarithmen von negativen Zahlen existieren nicht. 

n ≥ 16,43 

# 



V Stochastik 

n = 17, 18, 19, . . . 

Diese Ungleichung ist für alle natürlichen Zahlenerfüllt, die mindestens 17 sind. 

Damit lautet die Antwort: 

Man muss mindestens 17-mal würfeln, um mit mindestens 95%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal die 

Augenzahl 

Mit 

zu würfeln. 

Beispiel des Aufgabenpools des BMB 

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand beim Glücksrad mindestens € 50.000 gewinnt, beträgt ungefähr 7,8 %. 

– Berechnen Sie, wie viele Personen das Glücksrad drehen müssen, damit mit mindestens 90%iger 

Wahrscheinlichkeit mindestens 1-mal ein Betrag dieser Höhe ausbezahlt werden muss. 



7,8 % = 0,078 

1 – 0,078 = 0,922 

Man muss mindestens 29-mal drehen. 

# 



V Stochastik 

9.4. Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

Bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden ( prinzipiell ) die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse 

betrachtet. Damit wird ersichtlich, welche Ereignisse vermutlich auftreten und welche weniger wahrscheinlich 

sind. 

9.4.1. Diskrete – Verteilungen (diskrete Zufallsvariablen) 

Bei diskreten (Wahrscheinlichkeits-) Verteilungen ist die Anzahl möglicher Ereignisse endlich. 

Die sogenannte Zufallsvariable (Zufallsgröße) X ist das untersuchte Merkmal in seinen verschiedenen 

Ausprägungen als Zahlen wiedergegeben. 

Beispiele: 

Merkmal 

Schulnote 

Ausprägungen 

Sehr gut 

Gut 

Befriedigend 

Genügend 

Nicht genügend 

Merkmal 

Geschlecht 

Ausprägungen 

weiblich 

männlich 

Zufallsvariable X 

Schulnote 

Ausprägungen 

x 1 = 1 

x 2 = 2 

x 3 = 3 

x 4 = 4 

x 5 = 5 


Geschlecht 

Ausprägungen 

x 1 = 1 

x 2 = 2 


Bemerkung: Ob man weiblich oder männlich x 1 = 1 zuordnet, ist unerheblich. 

Merkmal 


Frequenz 

Frequenz 

Ausprägungen 

Ausprägungen 

keinmal 

x 1 = 0 

einmal 

x 2 = 1 

zweimal 

x 3 = 2 

# 



V Stochastik 

9.4.1.1. (Allgemeine) diskrete – Verteilungen (Cluster ) 


In einer Schachtel befinden sich Bonbons mit verschiedenen Füllungen: ein Bonbon mit Nugat-Füllung, eines mit 

Himbeer-Füllung, eines mit Kirsch-Füllung und drei Bonbons mit Marzipanfüllung. 

Pias Lieblings-Bonbons sind jene mit Marzipan-Füllung. Pia greift blind in die Schachtel und entnimmt ein Bonbon. 

Ist das entnommene Bonbon mit Marzipan gefüllt, so isst es Pia sofort und beendet die Entnahmen. Ist es ein 

Bonbon mit anderer Füllung, so legt es Pia weg und entnimmt ein neues Bonbon. 

Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Entnahmen, bis Pia ein Marzipan-Bonbon in Händen hat. 

– Stellen Sie eine Tabelle auf, der man die möglichen Werte der Zufallsvariablen und ihrer dazugehörigen 

Wahrscheinlichkeiten entnehmen kann. 


Zufallsvariable X: Mögliche Anzahl der Entnahmen bis zum Ergreifen eines Marzipan-Bonbons. 

Spätestens bei der vierten Entnahme hat Pia das Marzipan-Bonbon ergriffen. 

Mögliche Anzahl von Entnahmen: 1 oder 2 oder 3 oder 4 → x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 3 x 4 = 4 

Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten bestimmt man am besten mit einem Baumdiagramm: 

Bei der 1. Entnahme ist die 

Wahrscheinlichkeit, ein 

Marzipan-Bonbon zu ziehen, 


3 

6 

, weil von den 6 Bonbons 

3 aus Marzipan bestehen. 

Ist eine 2. Entnahme nötig, 

so sind noch 5 Bonbons in 

der Schale, davon alle 3 aus 

Marzipan, weil bei diesem 

Ast vorher kein Marzipan 

gezogen wurde. 

Wird eine 3. Entnahme 

benötigt, so sind noch 4 

Bonbons in der Schale, 

davon alle 3 aus Marzipan. 

Wird eine 4. Entnahme 

benötigt um ein Marzipan- 

Bonbon zu ergattern, so sind 

jetzt alle 3 von den noch 3 

Bonbons aus Marzipan. 

# 



V Stochastik 

Damit schaut die geforderte Tabelle so aus: 

x i 1 2 3 4 

P(x i ) 

3 

6 = 1 

2 

3 

6 ⋅ 3 

5 = 3 

10 

– Berechnen Sie den Erwartungswert bzw. Mittelwert von X 

Erwartungswert 

mit n als der Anzahl der Merkmalsausprägungen 

Auf unser Beispiel bezogen: 

E(X) = μ = 1 ⋅ 1 

2 + 2 ⋅ 3 

10 + 3 ⋅ 3 

20 + 4 ⋅ 1 

20 = 7 

4 = 1,75 


3 

6 ⋅ 2 

5 ⋅ 3 

4 = 3 

20 

3 

6 ⋅ 2 

5 ⋅ 1 

4 ⋅ 3 

3 = 1 

20 

Wird oft auf diese Weise ein Marzipan-Bonbon entnommen, so benötigt man durchschnittlich 1, 75 Entnahmen, 

bis man ein Marzipan-Bonbon in Händen hält. 

Varianz: 

Auf unser Beispiel bezogen: 

V(X) = (1 − 1,75) 2 ⋅ 1 

+ (2 − 2 1,75)2 3 

⋅ + (3 − 10 1,75)2 3 

⋅ + (4 − 20 1,75)2 ⋅ 1 

= 0,7875 

20 


Die sog. Streuung s = √ V(X) s = √0,7875 = 0,8874 

Erwartungswert = Mittelwert und Streuung = Standardabweichung können auch mit GeoGebra bestimmt 

werden. 

# 



V Stochastik 

9.4.1.2. Binomial – Verteilung 

Statt der Häufigkeiten werden 

die Wahrscheinlichkeiten 

angeführt. 

ENTER betätigen 

Der Binomialverteilung liegt das Modell des Ziehens von Kugeln zugrunde, wobei 

die gezogene Kugel stets zurückgelegt wird, sodass jedes Experiment unter den 

gleichen Bedingungen stattfindet. 

X ist eine sogenannte diskrete Zufallsvariable, weil X endlich viele Werte 

annehmen kann. 

Bei dieser Verteilung wird mit der sog. Binomial-Wahrscheinlichkeit P(X = k) gerechnet: 

P(X = k) = ( n k ) ⋅ pk ⋅ (1 − p) n−k 


Zunächst wollen wir uns der Frage widmen, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit diese 

Wahrscheinlichkeit zur Anwendung kommt: 

gleiches Experiment wird n - mal durchgeführt 

 

 

 

 

 

in jedem Experiment können nur das Ereignis E oder sein Gegenereignis E‘ eintreten 

interessieren uns jedes Mal für das Eintreten des gleichen Ereignisses E 

kennen Wahrscheinlichkeit p, mit der E bei einem Experiment eintritt 

Binomialwahrscheinlichkeit P(X = k) berechnet jene Wahrscheinlichkeit, mit der E 

bei n Experimenten k - mal eintritt, wobei die Reihenfolge des Eintretens gleichgültig ist 

Die Ereignisse sind voneinander unabhängig 

# 



V Stochastik 

Beispiel: 

Ein Test besteht aus 6 Fragen. Unterhalb jeder Frage stehen vier Auswahlantworten, von denen eine richtig ist. 

Jemand kreuzt die Auswahlantworten zufällig an. Wir interessieren uns für die Anzahl der richtig beantworteten 

Fragen. 


# 



V Stochastik 

Sind die Bedingungen für die Binomial-Wahrscheinlichkeit erfüllt? 

 

 

 

 

Das Experiment: das Ankreuzen einer der Auswahlantworten unterhalb einer Frage. 

Da unter jeder Frage vier Auswahlantworten stehen, von denen jeweils eine richtig ist, 

handelt es sich jedes Mal um das gleiche Experiment 

Wir interessieren uns jedes Mal dafür, ob die richtige Antwort gewählt wurde. 

Das Experiment (das Ankreuzen) wird n = 6 -mal durchgeführt 

Wir kennen die Wahrscheinlichkeit p, mit der bei einer Frage die richtige Auswahlantwort angekreuzt wird, 

nämlich p = 1 

= 0,25 

4 

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 da es ja möglich ist, von den 6 Fragen keine oder eine oder zwei . . . oder fünf 

oder alle sechs Fragen richtig zu beantworten. 

Damit sind alle Bedingungen für die Binomial-Wahrscheinlichkeit mit den Kenngrößen 

n = 6, p = 0,25 sowie k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 erfüllt. 

Lösungen des Tests von S 385: 1. Niemals 2. 1803 3. 6,3 % 

4. Australien 5. Atlanta 6. Ulm 

Stellen wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten aller Möglichkeiten, also für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 mit Hilfe der 

Formel von S 384 bzw. S 385 auf: 

n = 6, p = 0,25 → 1 – p = 1 – 0,25 = 0,75 

Der sogenannte Binomial-Koeffizient ( n ) findet sich am Casio unter dem Befehl nCr : 

k 


Wir müssen vor der Divisions-Taste SHIFT betätigen: 

z.B.: ( 6 0 ) : 6 0 ENTER 1 

# 



V Stochastik 

Hier spricht man von der Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil man sieht, wie die Wahrscheinlichkeiten 

aller möglichen Ereignisse verteilt sind, welches Ereignis also wahrscheinlicher eintritt und welche(s) 

unwahrscheinlicher. 

P(X = 0) = ( 6 0 ) ⋅ 0,250 ⋅ 0,75 6 = 0,1780 = 17,80 % 

P(X = 1) = ( 6 1 ) ⋅ 0,251 ⋅ 0,75 5 = 0,3560 = 35,60 % 

P(X = 2) = ( 6 2 ) ⋅ 0,252 ⋅ 0,75 4 = 0,2966 = 29,66 % 

P(X = 3) = ( 6 3 ) ⋅ 0,253 ⋅ 0,75 3 = 0,1318 = 13,18 % 

P(X = 4) = ( 6 4 ) ⋅ 0,254 ⋅ 0,75 2 = 0,0330 = 3,30 % 

P(X = 5) = ( 6 5 ) ⋅ 0,255 ⋅ 0,75 1 = 0,0044 = 0,44 % 

P(X = 6) = ( 6 6 ) ⋅ 0,256 ⋅ 0,75 0 = 0,0002 = 0,02 % 

Summe: 1 = 100 % 

Berechnung der Binomial-Wahrscheinlichkeit mit 

Beispiel: 

a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den 6 Fragen (genau) zwei richtig beantwortet werden. 

Ganz oben rechts befindet sich das links abgebildete Symbol. 

Dieses wird mit der linken Maustaste angeklickt. 


In GeoGebra 6: 


Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten, 

also die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller 

möglichen Ereignisse muss 1 = 100 % sein. 

Ansonsten hätten wir Möglichkeiten vergessen. 

Durch Rundungsabweichungen kann die Summe 

leicht von 1 = 100 % abweichen. 

Dort klicken wir Ansicht an. 

# 



V Stochastik 

In GeoGebra Classic 5: 

Somit erscheint die folgende Oberfläche: 


Wir benötigen den Wahrscheinlichkeitsrechner 

und klicken dieses Symbol mit der linken Maustaste an. 


Das Feld Normal mit der linken Maustaste angeklickt, öffnet das links 

abgebildete Fenster. 

In diesem Fenster klicken wir nun den Befehl Binomial an . . . . . 

# 



V Stochastik 

. . . . . und es eröffnet sich folgende Sicht: 

In unserem Beispiel sind n = 6 und p = 0,25 

So geben wir diese Zahlen in die entsprechenden Zellen ein. 

In der Tabelle rechts finden sich die Wahrscheinlichkeiten 

der einzelnen möglichen Ausgänge. 

Wir suchen P(X = 2) , deshalb wählen wir die hier blau hinterlegte Zeile. 

In der linken Spalte steht das entsprechende k (=2), 

in der rechten Spalte die dazugehörige Wahrscheinlichkeit (0,2966). 


b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den sechs Fragen höchstens zwei richtig beantwortet werden. 

höchstens zwei Fragen bedeutet entweder 0 oder 1 oder 2 Fragen richtig zu beantworten 

Demnach ist X ≤ 2 und wir suchen P(X ≤ 2) 

# 



V Stochastik 


Die Gesamt-Oberfläche sieht dann wie folgt 

Wir klicken (mit der linken Maustaste) links unten das Symbol 

(linksseitig) an und erhalten die nachstehende abgebildete 

Oberfläche. 

Da wir P(X ≤ 2) bestimmen wollen, 

geben wir die 2 in das entsprechende Feld ein 



Wir lesen ab, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 2) = 0,8306 beträgt. 

Die Wahrscheinlichkeit, höchstens zwei Fragen richtig zu beantworten, beträgt 0,8306 bzw. 83,06 % . 

# 



V Stochastik 

Das Tolle an diesem Programm ist, dass ich hier drei Kontrollmöglichkeiten habe, ob ich richtig liege: 

c) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der Fragen richtig beantwortet wird. 

Die Hälfte von 6 = 1 

⋅ 6 = 3 

2 

mindestens die Hälfte der Fragen sind hier 3 oder 4 oder 5 oder 6 Fragen 

Demnach ist X ≥ 3 und wir suchen P(X ≥ 3) 


Die entsprechenden Balken sind eingefärbt. 

In der Tabelle sind die entsprechenden 

Wahrscheinlichkeiten farblich unterlegt, 

deren Summe (auch) das Ergebnis liefert. 

Hier steht die gewünschte Wahrscheinlichkeit in entsprechender Form: P(X ≤ 2) 


# 



V Stochastik 


(rechtsseitig) an und erhalten die unten dargestellte 

Oberfläche. 

Wir wollen P(X ≥ 3) bestimmen, also geben wir in das entsprechende Feld die 3 ein. 

Beachte, dass P(3 ≤ X), wie oben dargestellt, P(X ≥ 3) bedeutet! 

NICHT vergessen, ENTER zu betätigen! 


Die Wahrscheinlichkeit, mindestens die Hälfte der Fragen richtig zu beantworten, beträgt 0,1694 bzw. 16,94 % . 

d) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, zwischen einschließlich 2 und einschließlich 4 der Fragen 

richtig zu beantworten. 

zwischen 2 und 4 der Fragen richtig zu beantworten bedeutet, 2 oder 3 oder 4 Fragen richtig zu beantworten 

Demnach ist 2 ≤ X ≤ 4 und wir suchen P(2 ≤ X ≤ 4 ) 

# 



V Stochastik 

2 ≤ X ≤ 4 heißt einerseits, dass 2 ≤ X und damit X ≥ 2 und 

andererseits X ≤ 4 sein soll 

und damit X zwischen (einschließlich) 2 und (einschließlich) 4 liegt. 



(beidseitig) an und erhalten die unten abgebildete 

Oberfläche. 


Wir wollen P(2 ≤ X ≤ 4) bestimmen, also geben wir die Zahlen in die entsprechenden Felder ein 


Die Wahrscheinlichkeit, zwischen einschließlich 2 und einschließlich 4 Fragen richtig zu beantworten, beträgt 

0,4614 bzw. 46,14 % . 

# 



V Stochastik 

Mittel- bzw. Erwartungswert μ und Streuung bzw. Standardabweichung σ der Binomialverteilung: 

μ = E(X) = n ⋅ p Für unser Beispiel: μ = E(X) = 6 ⋅ 0,25 = 1,5 

σ = √ n ⋅ p ⋅ (1 − p) Für unser Beispiel: σ = √ 6 ⋅ 0,25 ⋅ (1 − 0,25) = 1,06 

In GeoGebra: 

Diese beiden Werte stehen bereits nach Eingabe von 

p und n links oben auf der entsprechenden Oberfläche. 

Ein Test besteht aus 6 Fragen. Unterhalb jeder Frage stehen vier Auswahlantworten, von denen eine richtig ist. 

– Interpretieren Sie folgendes Diagramm hinsichtlich der gefärbten Balken. 


# 



V Stochastik 


Die eingefärbten Balken beschreiben die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Fragen richtig beantwortet 

werden. 

– Interpretieren Sie folgenden Ausdruck im Sachzusammenhang. 

( 6 2 ) ⋅ 0,252 ⋅ 0,75 4 

P(X = 2) = ( 6 2 ) ⋅ 0,252 ⋅ 0,75 4 

Die Wahrscheinlichkeit, dass von 6 Fragen 2 Fragen richtig beantwortet werden. 

Beispiel Zentralmatura am10.5.2017 

Aus Erfahrung weiß man, dass eine bestimmte Attraktion des Vergnügungsparks von jeder Person mit der 

Wahrscheinlichkeit p genutzt wird. 

Es werden 10 Personen zufällig ausgewählt. 

– Kreuzen Sie dasjenige Ereignis E an, für dessen Wahrscheinlichkeit gilt: [ 1 aus 5 ] 

P(E) = ( 10 

3 ) ⋅ p3 ⋅ (1 − p) 7 


Grafik: BMB 

# 



V Stochastik 

Lösung: 1. Alternative 

https://www.youtube.com/watch?v=jH7zPmXXfyQ 

https://www.youtube.com/watch?v=zzmjIZ-QMQU 



In einer Gemeinschaftspraxis teilen sich sechs Therapeuten die anfallende Monatsmiete zu gleichen Teilen auf. Am Ende des 

Jahres verlassen Mitglieder die Praxisgemeinschaft. Daher muss der Mietanteil für die Verbleibenden um jeweils € 20 

erhöht werden und beträgt ab dem neuen Jahr nun monatlich € 60. 

Wie viele Therapeuten verlassen am Ende des Jahres die Praxisgemeinschaft? 

Quelle: Maturabeispiel aus www.srdp 

Lösung: 2 

# 



V Stochastik 

9.4.2. GAUßsche (Normal-) Verteilung 

Carl Friedrich GAUß (1777 – 1855) 

Johann Carl Friedrich GAUß deutscher Mathematiker, der bereits zu seinen 

Lebzeiten als Princeps mathematicorum – Fürst der Mathematik – bezeichnet 

wurde und zu den bedeutendsten Erscheinungen seines Faches zählt, 

entwickelte neben vielen bis heute grundlegenden Werken der 

Naturwissenschaften fundamentale Modelle der Wahrscheinlichkeitstheorie, 

auf denen z.B. Hochrechnungen von Wahlergebnissen oder quantitative 

Modelle für Humanwissenschaften ( Soziologie, Psychologie, Medizin etc. ) 

beruhen. 

GAUßschen Intentionen ist es zu verdanken, dass das Mathematische Institut in Göttingen bis zur Machtergreifung der 

Nationalsozialisten weltweit die bedeutendste Einrichtung seiner Art war. Die Schergen der Nazidiktatur ermordeten oder vertrieben 

auch wesentliche Vertreter der Intelligenz, was nicht zuletzt den USA ihre naturwissenschaftlich-technische Vormachtstellung 

ermöglichte, fand der gewichtige Teil der geistigen Elite deutscher Zunge, der dem Holocaust entfliehen konnte, in der Neuen Welt ihre 

neue Heimat. Seit der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts bis zum Zweiten Weltkrieg war die Wissenschaftssprache Deutsch. Nach 

diesem Inferno wurde übernahm schlagartig Englisch diese Stellung. 

Die GAUßsche Normalverteilung ist eine stetige Verteilung, dh, sie gibt Wahrscheinlichkeiten für alle unendlich 

vielen reellen Zahlen in einem bestimmten Bereich (Intervall) an. Wie das möglich ist, soll später ein Beispiel 

erhellen. 

X ist eine sogenannte stetige Zufallsvariable, weil X unendlich viele Zahlen-Werte annehmen kann. 

Zunächst die 

o 

Bedingungen und Bezeichnungen für die GAUßsche Normalverteilung 


Die Wahrscheinlichkeit f für das Auftreten des Mittelwertes μ ist am größten. 

o Die Kurve liegt symmetrisch zu μ. 

o Die Wendepunkte der Kurve liegen im Abstand σ von μ, wobei σ die Standardabweichung darstellt. 

o 

P(X=x) 

f (μ) 

f nennt man Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte oder Wahrscheinlichkeitsfunktion. 

f 

# 



V Stochastik 

P(X=x) 

Die Größe der 

Gesamtfläche unterhalb 

der Kurve beträgt , 

da die Summe der 

Wahrscheinlichkeiten 

aller möglichen Ereignisse immer 

1 ist und die summierten 

Wahrscheinlichkeiten der Fläche 

unterhalb der Kurve entsprechen. 

Der Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion (Dichtefunktion) dieser Verteilung wird aus naheliegenden Gründen 

GAUßsche Glockenkurve genannt. 

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Dichtefunktion), die diese Kurve beschreibt, besitzt die Gleichung: 

Beispiel: 

f(x) = 

1 

σ . √ 2 π 

. e − 1 2 ( x−μ 


σ )2 

Mit μ als dem Mittelwert (oder Erwartungswert) und 

σ der Standardabweichung ( Streuung ) der Normalverteilung. 

Will man beispielsweise die 

Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass 

eine Größe (ein Merkmal) höchstens 

den Wert x erreicht, also P(X ≤ x) , 

so entspricht das dem Inhalt der 

abgebildeten Fläche F(x), der 

eigentlich durch Integration zu 

ermitteln wäre. 

Mit den elektronischen Programmen 

erfolgt diese Bestimmung auf 

einfachem Wege. 

Der Durchmesser von Schrauben ist normalverteilt mit μ = 4,00 mm und 

σ = 0,03 mm. 

a) – Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Produktion 

zufällig entnommene Schraube einen Durchmesser von höchstens 

4,05 mm besitzt. 

# 



V Stochastik 

Berechnung mit 

Wir öffnen das Fenster Wahrscheinlichkeitsrechner 

Die Voreinstellung Normal ist passend. 

Wir wollen Schraubendurchmesser von höchstens 4,05 mm, das bedeutet X ≤ 4,05 

Somit wollen wir die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 4,05) 


und für X = 4,05 ein. 

Wir klicken links unten das Symbol (linksseitig) an . . . 

. . . und tragen in die 

betreffenden Felder für 

μ = 4 , 

für σ = 0,03 

ENTER betätigt und wir kennen die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 

# 



V Stochastik 

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig der Produktion entnommene Schraube einen Durchmesser von 4,05 mm 

besitzt, beträgt 0,9522 bzw. 95,22 % . 

Man kann das Ergebnis auch so deuten: 

95,22 % aller Schrauben (dieser Produktion) besitzen einen Durchmesser von höchstens 4,05 mm. 

b) – Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Produktion zufällig entnommene Schraube einen 

Durchmesser zwischen 3,98 mm und 4,05 mm besitzt. 

Wir wollen Schraubendurchmesser von zwischen 3,98 mm und 4,05 mm. 

Das bedeutet 3,98 ≤ X ≤ 4,05 

Denn 3,98 ≤ X bedeutet, dass X ≥ 3,98 ist. Somit ist X größer oder gleich groß 3,98 

und auch kleiner oder gleich 4,05, weil ja X ≤ 4,05 gilt. 

Wir wollen also die Wahrscheinlichkeit P(3,98 ≤ X ≤ 4,05) berechnen. 

Wir klicken links unten das Symbol (zweiseitig) an . . . 


Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig der Produktion entnommene Schraube einen Durchmesser zwischen 

3,98 mm und 4,05 mm besitzt, beträgt 0,6997 bzw. 69,97 %. 


69,97 % aller Schrauben (dieser Produktion) besitzen einen Durchmesser von zwischen 3,98 mm und 4,05 mm. 

# 



V Stochastik 

c) – Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Produktion zufällig entnommene Schraube einen 

Durchmesser von mindestens 4,05 mm besitzt? 

Wir wollen Schraubendurchmesser von mindestens 4,05 mm. Das bedeutet X ≥ 4,05 

Wir wollen also die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 4,05) ermitteln. 

Wir klicken links unten das Symbol (rechtsseitig) an . . . 

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig der Produktion entnommene Schraube einen Durchmesser von 

mindestens 4,05 mm besitzt, beträgt 0,0478 bzw. 4,78 %. 


4,78 % aller Schrauben (dieser Produktion) besitzen einen Durchmesser von mindestens 4,05 mm. 


Abschließend noch eine Art Umkehraufgabe: 

d) – Ermittle die Durchmesser, die die 4 % der Schrauben mit den größten Durchmessern besitzen. 

Die 4 % der größten Schrauben müssen wohl am rechten Rand der GAUßschen Glockenkurve liegen. 

# 



V Stochastik 

4 % als 0,04 eingeben. 

Die 4 % der größten Schrauben besitzen einen Durchmesser von mindestens 4,05 mm. 


Das Wort mindestens ist von Bedeutung, weil 

die größten 4 % der Schrauben Durchmesser 

von 4,05 mm und mehr besitzen. 

# 



V Stochastik 

Verteilungsfunktion F(X) 

Beispiel: 

Die Verteilungsfunktion F entspricht dem Inhalt der Fläche unter der Dichtefunktion 

vom linken Rand bis zum Wert x . 

Dieser Inhalt entspricht wiederum der Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) . 

Da der Mittelwert μ die Fläche unter der 

Dichtefunktion halbiert, ist 


P(X≤ μ ) = 0,5 

# 



V Stochastik 

Das bedeutet für die Verteilungsfunktion, 

F(μ) = P(X≤ μ ) = 0,5 

Mit diesen Überlegungen ist eine Verteilungsfunktion leicht skizziert: 

Mit wachsendem x nähert sich F dem 

Wert 1, da die Gesamtfläche unter dem 

Graphen der Dichtefunktion 

(der Gaußschen Glockenkurve) 1 ist. 

Mit GeoGebra erhält man den Graphen der Verteilungsfunktion, indem man im Wahrscheinlichkeitsrechner den 

abgebildeten Button anklickt: 


# 



V Stochastik 

https://www.youtube.com/watch?v=X6SFohKqFDY 

Zusammengestellt aus verschiedenen Beispielen der Zentralmatura 

Körpermassen 

Die Körpermassen von männlichen Absolventen der Berufsreifeprüfung seien annähernd normalverteilt mit dem 

Erwartungswert μ = 76 kg und einer Standardabweichung von σ = 8,5 kg. 

– Berechnen Sie diejenige Körpermasse, die von einem Absolventen der Berufsreifeprüfung mit einer 

Wahrscheinlichkeit von 75 % überschritten wird. 

– Veranschaulichen Sie in der nachstehenden Abbildung der Dichtefunktion dieser Normalverteilung die 

Wahrscheinlichkeit, dass die Körpermasse eines zufällig ausgewählten Absolventen der Berufsreifeprüfung 

im Intervall [ 59 kg ; 93 kg ] liegt. 

– Skizzieren Sie im folgenden Diagramm die Verteilungsfunktion. 


– Beschreiben Sie die Bedeutung der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang: 

F(80) – F(70) = 0,4197 

# 



V Stochastik 


– 

– Begründen Sie, woran man erkennen kann, 

dass in der nebenstehenden Abbildung der 

Graph der strichlierten Funktion keine 

Dichtefunktion sein kann, wenn der Graph 

der durchgezogenen Funktion eine 

Dichtefunktion darstellt. 

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % wird eine Körpermasse von ca. 70,3 kg überschritten. 

– 


– Die Wahrscheinlichkeit, dass die Körpermasse eines zufällig ausgewählten Absolventen 

der Berufsreifeprüfung zwischen 70 kg und 80 kg liegt, beträgt 0,4197 bzw. 41,97 %. 

– Weil die Fläche unter jeder Dichtefunktion 1 = 100 % groß sein muss. Wenn die Fläche unter der 

durchgezogenen Funktion 1 ist, so kann dies bei der strichlierten Kurve nicht der Fall sein, das diese 

schmäler und niedriger ist. 

# 



VI Cluster P 

VI 

Cluster 

10. VEKTOREN 

10.1. Grundbegriffe 

Ein Vektor ist eine gerichtete Größe. 

Das bedeutet, ein Vektor besitzt 

zwei Informationen: 

eine Richtung und eine Größe . 

Ein Vektor wird durch einen Pfeil dargestellt. 

Der Pfeil ist aber nur ein Symbol und 

nicht der eigentliche Vektor. 

Ein Vektor wird in der Regel mit einem Kleinbuchstaben bezeichnet, über dem ein nach rechts zeigender Pfeil 

gezeichnet ist (siehe obere Abbildung). 

Beispiele für Vektoren: 

Die Fließgeschwindigkeit eines Flusses 

Größe heißt: Richtung geben 

Friedrich NIETZSCHE 

(1844 – 1900 ) 


Bei der Fließgeschwindigkeit eines 

Flusses sind wohl beide 

Informationen von Bedeutung: 

In welche Richtung das Wasser fließt 

und mit welcher Geschwindigkeit 

(Größe). 

Ein Schiff, das in Fließrichtung (stromabwärts) fährt, benötigt für eine bestimmte Strecke weniger Zeit als ein Schiff 

für diese Strecke beansprucht, das sich gegen die Fließgeschwindigkeit (stromaufwärts) bewegt. 



VI Cluster P 

Wegweiser 

Um von Salzburg nach München zu kommen, muss ich 

beide Eigenschaften des Vektors erfüllen: 

Ich muss die richtige Richtung wählen und die 

vorgeschriebene Länge (Größe) zurücklegen. 

Erfülle ich nur eine der Eigenschaften, wird’s mit München nicht klappen! 

Wähle ich die richtige Richtung, lege aber nur eine Länge von 88 km zurück, so lande ich in Griesstätt. Fahre ich 140 km, 

aber statt nach Westen in Richtung Osten, so werde ich der Stadt Enns einen Besuch abstatten. 

Eine wichtige Vereinbarung: 

Alle Pfeile, die 


 

 

 

parallel 

gleich lang und 

gleich gerichtet 

sind, beschreiben den 

gleichen Vektor. 

Es gibt demnach unendlich viele Pfeile, die den gleichen Vektor beschreiben können, 

nämlich alle Pfeile, die durch parallel verschieben entstehen. 



VI Cluster P 

10.2. Grafische Verbindungen von Vektoren 

10.2.1. Addition 

Die Pfeile zweier Vektoren 

werden addiert, indem man sie 

so parallel verschiebt, dass der 

Schaft des zweiten Pfeils in der 

Spitze des ersten Pfeils liegt. 

Der Pfeil des Summenvektors 

hat seinen Schaft im Schaft des 

ersten Pfeils und seine Spitze in 

der Spitze des zweiten Pfeils. 

Bemerkung: Da der Pfeil des Summenvektors in der Regel weder parallel zu einem der Ausgangs-Vektoren ist, 

noch deren Länge besitzt, könnte man ihn auch ganz anders als a⃗ + b⃗ nennen, zum Beispiel c⃗. 

Man nennt ihn deshalb a⃗ + b⃗ , weil er der Summenvektor von a⃗ und b⃗ ist. 


Da der Pfeil des Vektors a⃗⃗ + b⃗⃗ parallel zum Pfeil des Vektors b⃗⃗ + a⃗⃗ ist und auch gleich lang und gleich gerichtet, 

beschreiben doch beide Pfeile den gleichen Vektor. 

Demnach gilt: 

a⃗⃗ + b⃗⃗ = b⃗⃗ + a⃗⃗ 



VI Cluster P 

10.2.2. Gegenvektor eines Vektors 

10.2.3. Subtraktion 

Dann funktioniert die Vektorrechnung 

ohnehin wie das Rechnen mit Zahlen! 

Selten ja, meistens nein !! 

Der Gegenvektor −a⃗⃗ eines Vektors a⃗⃗ 

 

 

 

Es kann ja auch nicht sein, dass Zahlen, die nur 

eine Information enthalten (ihre Größe) durchweg 

das Gleiche ergeben wie Vektoren, die zwei Infos 

besitzen, nämlich Richtung und Größe!! 

ist parallel zum Pfeil des Vektors a⃗⃗ 

gleich lang wie dieser und 

entgegengesetzt gerichtet 

Bemerkung: Der Gegenvektor eines Vektors b⃗ wird mit −b⃗⃗ bezeichnet. 


Die Pfeile zweier Vektoren werden 

subtrahiert, indem man den Pfeil 

des ersten Vektors mit dem Pfeil des 

Gegenvektors addiert. 



VI Cluster P 

Was ergibt b⃗⃗ − b⃗⃗ ? 

Eigentlich bestimmen wir b⃗⃗ + (−b⃗⃗). 

Der Schaft des Pfeils des Vektors −b⃗⃗ 

liegt laut Addition in der Spitze des Pfeils 

des Vektors b⃗⃗ . 

Der Pfeil des „Summen“-Vektors hat 

seinen Schaft im Schaft von b⃗⃗ und seine 

Spitze 

in der Spitze von −b⃗⃗ . 

Ein Vektor mit der Länge null heißt Nullvektor und wird mit o⃗⃗ bezeichnet. 

Da der Schaft von b⃗⃗ und die Spitze von 

−b⃗⃗ im selben Punkt liegen, hat der 

„Summen“-Vektor in diesem Fall 

die Länge null. 

Eine Zahl besitzt nur eine Information, ihre Größe. 

Ein Vektor besitzt zwei Informationen: 

Größe und Richtung. 


Denke dir den Nullvektor folgendermaßen: 

Wo liegt denn der Unterschied 

zwischen der Zahl null und 

dem Nullvektor? 

Du fährst zunächst eine bestimmte Strecke nach Norden und anschließend die gleiche Strecke zurück, 

also entgegengesetzt. Dann landest du genau dort, wo du gestartet bist. 

Vektor-mäßig ist es das Gleiche, wie wenn du dich vom Ausgangsort null Meter wegbewegt hättest. 

Streckenmäßig ist es natürlich nicht das Gleiche. 



VI Cluster P 

10.2.4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 


Was ergibt denn die 

Multiplikation zweier Vektoren? 

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 

verändert nur seine Größe (Länge). 

Ist die Zahl negativ, erhält der Vektor zusätzlich 

die entgegengesetzte Richtung. 

Das werden wir später sehen! 


Ein Rettungshubschrauber fliegt zunächst von 

WIEN nach Wr. Neustadt und von dort nach 

St. Pölten. 

Dort erhält er den Auftrag, zurück nach 

Wr. Neustadt zu fliegen, von wo es über 

Eisenstadt nach Stockerau geht. 

– Zeichnen Sie die beschriebenen Flüge als 

Vektoren in die nebenstehende Skizze ein. 



VI Cluster P 


10.3. Rechnerische Verbindungen von Vektoren 

10.3.1. Koordinaten eines Vektors 

Wir legen folgendes fest: 

Basisvektor i ⃗⃗: Zeigt eine Einheit 

in die positive x-Richtung 

Basisvektor j ⃗⃗: Zeigt eine Einheit 

in die positive y-Richtung 


Alle (unendlich vielen) Vektoren im (2-dimensionalen) Koordinatensystem 

lassen sich durch Addition bzw. Subtraktion von Vielfachen dieser Basisvektoren 

darstellen. 



VI Cluster P 

Beispiel: 

Addieren wir zum 3-fachen des Basisvektors i⃗ 

das 2-fache des Basisvektors j⃗ erhalten wir den 

Vektor a⃗⃗ . 

Es gilt demnach: 

a⃗⃗ = 3 ⋅ i⃗ + 2 ⋅ j⃗ 

Deshalb kann ein Vektor durch Angabe der Vielfachen der Basisvektoren eindeutig angegeben werden: 

a⃗⃗ = 3 ⋅ i⃗ + 2 ⋅ j⃗ = ( 3 

2 ) 

Man nennt diese Vielfachen auch Koordinaten des Vektors. 

3 ist seine x-Koordinate 

Allgemein lässt sich schreiben 

a x ist die x-Koordinate des Vektors a⃗⃗ 

a y ist die y-Koordinate des Vektors a⃗⃗ 

2 ist seine y-Koordinate 

a⃗⃗ = a x ⋅ i⃗ + a y ⋅ j⃗ = ( a x 

a ) 

y 

Komponenten- 

Schreibweise 

Koordinaten- 

Schreibweise 


Beispiel: 

Zeichne die (Pfeile der) Vektoren b⃗⃗ = ( 

3 ) und c⃗⃗ = (−2 ) in ein Koordinatensystem von geeignetem 

−1 3 

Maßstab. 



VI Cluster P 

10.3.2. Addition 

Gegeben: a⃗⃗ = ( 3 2 ) und b ⃗⃗ = ( 1 2 ) 

Addieren wir zunächst die Pfeile der beiden Vektoren 

grafisch (siehe 10.2.1., S 405) 

Der Summenvektor ergibt sich offenbar durch folgende 

Addition: 

a⃗⃗ + b⃗⃗ = 4 ⋅ i⃗ + 4 ⋅ j⃗ = ( 4 4 ) 


Demnach gilt: 

a⃗⃗ + b⃗⃗ = ( 3 

2 ) + ( 1 

2 ) = ( 4 

4 

) = ( 

3 + 1 

2 + 2 ) 



VI Cluster P 

Offensichtlich müssen die x-Koordinaten und die y-Koordinaten der beiden Vektoren addiert werden. 

Allgemein: 

Mit : 

a⃗⃗ = ( ax 

a ) b⃗⃗ = ( b x 

y b 

) → a⃗⃗ + b⃗⃗ = ( ax + b x 

y a y + b ) 

y 

Im Algebra-Fenster bzw. in der Eingabe-Zeile den Vektor wie einen Punkt 

eingeben. 

Ich schreibe deshalb vor den Befehl a = weil der Vektor a heißen soll. 

ENTER betätigt und der Vektor a⃗⃗ erscheint im Algebra- 

Fenster (in der Eingabe-Zeile) und im 

Grafik-Fenster als Pfeil dargestellt. 

Bemerkung: GeoGebra beschreibt den Pfeil nur mit a und 

nicht mit a⃗ . 

Ebenso verfährt man mit der Eingabe 

des Vektors b⃗⃗. 

Möchte man den Vektor a⃗⃗ + b⃗⃗ ermitteln, so gibt man den 

entsprechenden Rechengang in der Folgezeile ein. 


Das Programm hat den Summenvektor hier u getauft und stellt 

ihn auch im Grafik-Fenster als Pfeil dar. 

Bemerkung: Der Summenvektor wird nur als Ergebnis dargestellt 

und nicht, wie er sich als Addition der Vektoren a⃗ und b⃗ ergibt: 



VI Cluster P 



Ein Hubschrauberflug startet in 

GRAZ und wird durch folgende 

Vektoren beschrieben: 

Zuerst ( −1 ) , dann (−1,5 

1,5 −1 ) 

und 

schließlich ( 3 

−3 ) 

– Zeichnen Sie den 

Hubschrauberflug in die linke 

Abbildung ein. 

– Geben Sie den Ort an, in 

dem der Hubschrauberflug 

endet. 

– Geben Sie die Koordinaten 

des Summenvektors dieser 

drei Vektoren an. 


Der Hubschrauberflug endet in Maribor. 

Summenvektor: 

( −1 5 

) + (−1, 

1, 5 −1 ) + ( 3 

−3 ) = ( 0, 5 

−2, 5 ) 



VI Cluster P 

10.3.3. Subtraktion 

Demnach gilt: 

Gegeben: a⃗⃗ = ( 3 3 ) und b ⃗⃗ = ( 1 2 ) 

Wir subtrahieren die Pfeile der beiden Vektoren grafisch, indem 

wir zum Pfeil des Vektors a⃗⃗ den Pfeil des Gegenvektors von b⃗⃗ 

addieren (siehe 10.2.3., S 406) 

Der Vektor a⃗⃗ − b⃗⃗ ergibt sich offenbar durch folgende Addition: 

a⃗⃗ − b⃗⃗ = 2 ⋅ i⃗ + 1 ⋅ j⃗ = ( 2 1 ) 


a⃗⃗ − b⃗⃗ = ( 3 

3 ) − ( 1 

2 ) = ( 2 

1 

) = ( 

3 − 1 

3 − 2 ) 

Offensichtlich müssen die x-Koordinaten und die y-Koordinaten der beiden Vektoren subtrahiert werden. 



VI Cluster P 

Allgemein: 

Beispiel: 

a⃗⃗ = ( ax 

a y 

) b⃗⃗ = ( b x 

b y 

) → a⃗⃗ − b⃗⃗ = ( ax − b x 

a y − b y ) 

Gegeben sind die Vektoren a⃗⃗ = ( −3 2 ) und b ⃗⃗ = ( 

1 

−2 ) 

– Bestimme die Koordinaten der Vektoren a⃗⃗ − b⃗⃗ und b⃗⃗ − a⃗⃗ 

a⃗⃗ − b⃗⃗ = ( −3 

2 ) − ( 1 −3 − 1 

) = ( 

−2 2 − (−2) ) = (−4 4 ) 

b⃗⃗ − a⃗⃗ = ( 

1 

−2 ) − (−3 − (−3) 

) = (1 

2 −2 − 2 ) = ( 4 

−4 ) 

Mit GeoGebra: 


Farbliche Gestaltung siehe 



VI Cluster P 

10.3.4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 

Gegeben ist der Vektor a⃗⃗ = ( 3 2 ) 

Der Pfeil des Vektors 2 ⋅ a⃗⃗⃗ hat die gleiche Richtung wie 

der Pfeil des Vektors a⃗⃗ , ist parallel und zweimal so lang. 

Der Vektor 2 ⋅ a⃗⃗⃗ ergibt sich offenbar durch folgende 

Addition: 

2 ⋅ a⃗⃗⃗ = 6 ⋅ i ⃗ + 4 ⋅ j ⃗ = ( 6 4 ) 

Demnach gilt: 

2 ⋅ a⃗⃗ = 2 ( 3 

2 ) = ( 6 2 ⋅ 3 

) = ( 

4 2 ⋅ 2 ) 


Offensichtlich müssen die x-Koordinate und die y-Koordinate mit der Zahl 2 multipliziert werden. 

Allgemein 

λ ∈ R und a⃗⃗ = ( ax 

λ ⋅ ax 

a ) → λ ⋅ a⃗⃗ = ( ) 

y λ ⋅ a y 



VI Cluster P 

Mit GeoGebra: 

Beispiel: 


1 

−2 ) 

Ermittle die Koordinaten folgender Vektoren: 

1 

2 

1 

⋅ a⃗⃗ = ⋅ ( −3 5 

) = (−1, 

2 2 1 ) 

Nullvektor im Koordinatensystem: 

1 

2 ⋅ a⃗⃗⃗ 

und 


Der Nullvektor besitzt die Länge null. 

Man kann ihn also als Punkt im Koordinatensystem darstellen. 

Demnach muss gelten: 

1 

2 

⋅ a⃗⃗⃗ − 2 ⋅ b⃗⃗ 

1 

⋅ a⃗⃗ − 2 ⋅ b⃗⃗ = 1 ⋅ 2 2 ( −3 2 ) − 2 ⋅ ( 1 5 

) = (−1, 

−2 1 ) − ( 2 5 − 2 5 

) = (−1, ) = (−3, 

−4 1 − (−4) 5 ) 

o⃗⃗ = 0 ⋅ i⃗ + 0 ⋅ j⃗ = ( 0 

0 ) 



VI Cluster P 

Beispiel Zentralmatura 16.01.2018, erweitert 


Grafik: BMB 

Grafik: BMB 

– Zeichnen Sie die Gesamtkraft, die sich aus der 

Summe der beiden Kräfte F⃗⃗⃗⃗⃗ 1 und F⃗⃗⃗⃗ 2 ergibt, 

ausgehend vom Punkt E in nebenstehender Grafik 

ein. 

Angenommen, die Vektoren F⃗⃗⃗⃗⃗ 1 und F⃗⃗⃗⃗ 2 besitzen 

folgende Koordinaten: F⃗⃗⃗⃗⃗ 1 = ( 3 2 ) , F ⃗⃗⃗⃗ 

2 = ( −4 

1 ) 

– Bestimmen Sie die Koordinaten folgender 

1 

Vektoren: F⃗⃗⃗⃗ 2 − F⃗⃗⃗⃗ 1 , ⋅ F ⃗⃗⃗⃗ 

2 

2 + 2 ⋅ F⃗⃗⃗⃗ 

1 

– ( −7 

−1 ) – ( 4 

4,5 ) 



Die Summe zweier Zahlen soll doppelt so groß sein wie ihre (positive) Differenz. Ihr Produkt aber soll dreimal so groß sein 

wie ihre Summe. 

Um welche beiden Zahlen handelt es sich? 


Lösung: 4 und 12 



VI Cluster P 

10.4. Weitere Eigenschaften von Vektoren 

10.4.1. Ortsvektor 

Ein Ortsvektor ist ein Vektor, dessen Pfeil- 

Schaft im Koordinatenursprung liegt. 

Der Ortsvektor und der Punkt an der Pfeil- 

Spitze haben offensichtlich die gleichen 

Koordinaten. 

Der Ortsvektor wir meistens so bezeichnet wie 

der Punkt an seiner Spitze. 

Heißt der Punkt an der Spitze P, so nennt man den Ortsvektor P⃗⃗⃗ bzw. 0P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , weil er im Ursprung 0 seinen Schaft 

hat und bis zum Punkt P reicht. 

Man kann aus jedem Vektor durch 

Parallelverschieben seines Pfeiles einen 

Ortsvektor machen, indem man den 

Schaft des Pfeiles in den Ursprung 

schiebt. 


Aber nur in der Lage als Ortsvektor 

stimmen die Koordinaten des Punktes 

an der Spitze mit den Vektor- 

Koordinaten überein. 



VI Cluster P 

Beispiel: 

Wie lauten die Koordinaten des Ortsvektors, an dessen Spitze der Punkt A(−3/2) liegt? 

A⃗⃗ = ( −3 2 ) 

Beispiel: 

Wie lauten die Koordinaten des Punktes an der Spitze des Ortsvektors M⃗⃗⃗⃗ = ( 

M(4/−1) 

4 

−1 ) ? 

Bemerkung: Auf diese Weise lassen sich mit Vektoren die Koordinaten von Punkten bestimmen: 

Man ermittelt den Ortsvektor zum gesuchten Punkt. Der Ortsvektor besitzt dann 

die gleichen Koordinaten wie der Punkt an seiner Pfeil-Spitze. 

10.4.2. Betrag (Länge) eines Vektors 

Der Betrag (die Länge) eines Vektors a ⃗⃗⃗⃗ , 

bezeichnet mit |a⃗⃗| , 

kann folgendermaßen ermittelt werden: 

Im abgebildeten Beispiel ist der Basisvektor 

i⃗ 4 Einheiten lang und der Basisvektor j⃗ 

3 Einheiten. Zusammen mit der Länge des 

Vektors, |a⃗⃗|, ergeben die Längen der 

Basisvektoren ein rechtwinkeliges Dreieck. Dort 

gilt der Lehrsatz des Pythagoras: 

|a⃗⃗| 2 = 4 2 + 3 2 | √ 


|a⃗⃗| 

= √ 4 2 + 3 2 



VI Cluster P 

Allgemein: 

Mit GeoGebra: 

Oder: 

Mit dem Befehl 

Beispiel: 

a⃗⃗ = ( a x 

a y 

) → |a⃗⃗| = √ a x 2 + a y 

2 

Die Betragsstriche erhält man durch folgende Tastenkombination: 

Zwischen die Betragsstriche schreibt man den Namen des Vektors, hier a, 

und erhält seinen Betrag. 


Bestimme den Betrag (die Länge) des Vektors b⃗⃗ = ( 

2, 5 

−1 ) ? 

|b⃗⃗| = √ 2, 5 2 + (−1) 2 = 2,69 E 

E steht für Längen-Einheit(en) 



VI Cluster P 



Der Vektor ( − 4 ) beschreibt den Flug eines Hubscharubers von WIEN 

−10 

nach GRAZ. 

– Berechnen Sie die Länge dieses Hubschrauberfluges auf ganze 

Kilometer gerundet. 


−4 ⋅ 10 

( 

−10 ⋅ 20 ) = ( −40 

−200 ) 

|( −40 

−200 )| = √ (−40)2 + (−200) 2 = 203,96 ≈ 204 

Der Hubschrauber legt eine Strecke von rund 204 km zurück. 



VI Cluster P 

10.4.3. Gegeben: 2 Punkte A und B . . . 

10.4.3.1. . . . gesucht: Der Vektor von A nach B: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB 

Die beiden Punkte A(2/4) und B(6/3) seien 

gegeben. 

Wir wollen die Koordinaten des Vektors AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , also vom 

Punkt A zum Punkt B bestimmen 




VI Cluster P 

Da wir die die Koordinaten der Punkte A und B 

kennen, können wir sofort die Koordinaten der 

Ortsvektoren A⃗⃗ und B⃗⃗⃗ zu diesen Punkten angeben. Sie 

besitzen die gleichen Koordinaten wie die Punkte an 

ihrer Pfeil-Spitze (siehe 10.4.1., S 419) 

n 

Nun bilden wir den Gegenvektor von A ⃗⃗⃗ , den Vektor 

−A ⃗⃗⃗ 

Der Vektor B⃗⃗⃗ mit – A⃗⃗ addiert, ergibt den Vektor B⃗⃗⃗ − 

A⃗⃗ . 


Da der Pfeil des Vektors B⃗⃗⃗ − A⃗⃗ . 

 

 

 

parallel, 

gleich gerichtet und 

gleich lang 

wie der Pfeil des Vektors AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ist, gilt 

AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B⃗⃗⃗ − A⃗⃗ 



VI Cluster P 

Beispiel: 

Gegeben sind die Punkte A(2/4) und B(6/3) . 

– Bestimme die Koordinaten des Vektors AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB = B⃗⃗⃗ − A⃗⃗ = ( 6 3 ) − (2 − 2 

) = (6 

4 3 − 4 ) = ( 4 

−1 ) 

Mit GeoGebra: 

Im Algebra-Fenster (in der Eingabe-Zeile)der Befehl 

Vektor[ , ] anklicken. 

Ich schreibe deshalb vor den Befehl 

heißen soll. 

AB = weil der Vektor AB 

Anfangs- und Endpunkt des 

Vektors werden, wie in der 

ersten Zeile ersichtlich, 

eingegeben. 


ENTER betätigt und die 

Koordinaten des Vektors AB 

erscheinen im Algebra- 

Fenster. 

Im Grafik-Fenster sieht man 

den Vektor als Pfeil 

dargestellt. 



VI Cluster P 

10.4.3.2. . . . gesucht: Die Länge der Strecke AB 

Beispiel: 


– Bestimme die Länge der Strecke AB . 

Offensichtlich ist die Strecke AB gleich lang 

wie der Vektor AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 

AB ̅̅̅̅ = |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 

Bemerkung: Die Strecke heißt AB. 

Ihre Länge wird mit AB ̅̅̅̅ bezeichnet. 


⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB = ( 4 

−1 ) → |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √ 4 2 + (−1) 2 = √ 16 + 1 = √ 17 = 4, 12 E 

Nochmals erinnert: E steht für Längen-Einheit(en) 



VI Cluster P 

10.4.3.3. . . . gesucht: Halbierungspunkt H der Strecke AB 

Den Halbierungspunkt kann man auch Mittelpunkt nennen. 

Wir kennen die Koordinaten der Punkte A und B. Die 

Strecke AB ist hier hellblau eingezeichnet. 

Der Halbierungspunkt H der Strecke AB liegt genau in 

der Mitte zwischen A und B . 


Da wir die die Koordinaten der Punkte A und B 

kennen, können wir sofort die Koordinaten der 

Ortsvektoren A⃗⃗ und B⃗⃗⃗ zu diesen Punkten angeben. Sie 

besitzen die gleichen Koordinaten wie die Punkte an 

ihrer Pfeil-Spitze. 



VI Cluster P 

Wir addieren die Ortsvektoren A⃗⃗ und B⃗⃗⃗ und erhalten 

den Vektor A⃗⃗ + B⃗⃗⃗ . 

Wir bestimmen die Koordinaten des 

Halbierungspunktes H , indem wir den Ortsvektor H⃗⃗ 

berechnen. 

(Ortsvektor und Punkt an seiner Pfeil-Spitze haben die 

gleichen Koordinaten.) 

Der Pfeil des Ortsvektors H⃗⃗ ist offensichtlich 

 

parallel, 


 

 

gleich gerichtet wie der Pfeil des Vektors A⃗⃗+B⃗⃗⃗ und 

halb so lang 

Deshalb gilt: 

H⃗⃗ = 1 

2 ⋅ (A ⃗⃗ + B⃗⃗⃗) 



VI Cluster P 

Beispiel: 


– Bestimme die die Koordinaten des Halbierungspunktes H. 

H⃗⃗ = 1 

2 ⋅ (A ⃗⃗ + B⃗⃗⃗) = 1 

2 ⋅ [(2 4 ) + (6 1 

)] = 

3 2 ⋅ (8 7 ) = ( 4 ) → H(4/3, 5) 

3, 5 

Diese Ausdrücke klingen nur ähnlich, stellen jedoch 

völlig verschiedene Vektoren dar: 


Mit GeoGebra: 

AB 

Sind eigentlich und 

2 

A 

B 

 

das Gleiche? 

2 

A 

A 

AB 

2 

B 

H 

A+B 

2 

B 



VI Cluster P 

10.4.4. Einheitsvektor eines Vektors 

Beispiel: 

Gegeben ist der Vektor a⃗⃗ = ( 

3 

−4 ) . 

– Ermittle den Einheitsvektor dieses Vektors. 

⃗⃗⃗⃗⃗ = 

a 0 

1 

|a⃗⃗| ⋅ a⃗⃗ = 

1 

Der Einheitsvektor a⃗⃗⃗⃗⃗ 0 eines Vektors a ⃗⃗⃗⃗ist 

 

 

 

parallel, 

gleichgerichtet wie der Pfeil des Vektors a ⃗⃗⃗⃗ und hat 

die Länge 1 (E) 

Deshalb wird er berechnet: 

⃗⃗⃗⃗⃗ = 

a 0 

a⃗⃗ 

|a⃗⃗| = 

1 

|a⃗⃗| ⋅ a⃗⃗ 


= 1 

5 

√ 3 2 + (−4) 2 

3 

⋅ ( 

3 

−4 ) = ( 5 0, 6 

) = ( 

−4 −0, 8 ) 

5 

⋅ ( 

3 

−4 ) = 

1 

√ 9 + 16 

⋅ ( 

3 

−4 ) = 

1 

√ 25 

⋅ ( 

3 

−4 ) 



VI Cluster P 

Mit GeoGebra: 

Nachdem wir den gewünschten Vektor eingegeben haben . . . 

. . . klicken wir den Befehl Einheitsvektor[ ] an. 

In das Feld schreiben wir den Namen 

des Vektors, in unserem Falle a. 

ENTER betätigt und die Koordinaten des 

Einheitsvektors sowie seine Darstellung als Pfeil 

werden sichtbar. 




VI Cluster P 

10.4.5. Normalvektoren eines Vektors 

Welche Koordinaten vertauscht 

man für einen Normalvektor im 

R 3 , also im Raum? 

Die Normalvektoren n⃗⃗ 1 bzw. n⃗⃗ 2 eines Vektors a 

 

 

gleich lang wie der Pfeil des Vektors a⃗⃗ und 

schließen mit a⃗⃗ einen rechten Winkel ein 

Wie nebenstehende Skizze zeigt, gibt es zwei 

Normalvektoren mit den Koordinaten 

a⃗⃗ = ( a x 

a ) → n⃗⃗⃗⃗⃗ 1 = ( −a y 

y a 

) 

x 

Bemerkung: Wer n 1 

⃗⃗⃗⃗⃗ oder n 2 

⃗⃗⃗⃗sind 

n⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = ( a y 

−a 

) 

x 

⃗⃗⃗⃗⃗ ist, ist unerheblich. 


R 2 bedeutet die x-y-Ebene 

R 3 bedeutet den Raum 

Man kann nur im R 2 Normalvektoren zu einem Vektor 

angeben! 

Im R 3 gibt es zu einem Vektor unendlich viele 

Normalvektoren. Deshalb sind im Raum Normalvektoren 

bezüglich eines Vektors nicht eindeutig bestimmbar. 

Im R 3 lassen sich nur zu zwei nicht parallelen Vektoren 

eindeutige Normalvektoren angeben. 

Diese Thematik beschäftigt uns aber nicht! 



VI Cluster P 

Beispiel: 

Gegeben ist der Vektor a⃗⃗ = ( 

3 

−4 ) . 

– Ermittle die Koordinaten der Normalvektoren von a⃗⃗ . 

a⃗⃗ = ( 

3 

−4 ) → 

⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 4 3 ) 

n 1 

n ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = ( −4 

−3 ) . 

EIN Normalvektor lässt sich mit Geogebra ermitteln: 


https://www.youtube.com/watch?v=Q15JN8COHbs&t=187s 



VI Cluster P 

10.4.6. Skalarprodukt zweier Vektoren 

Eine skalare Größe (ein Skalar) meint 

eine Zahl. 

Das Skalarprodukt zweier Vektoren 

ergibt demnach (nur) eine Zahl 

und keinen Vektor, wie wir sehen 

werden. 

Um die Formel des Skalarproduktes ein wenig zu verstehen, benötigen wir zunächst den Begriff der 

(physikalischen) Arbeit: 

In der Physik ist Arbeit wie folgt 

festgelegt: 

Arbeit = Weg mal Kraft 

Also das Produkt aus dem 

zurückgelegten Weg mal der dafür 

aufgewendeten Kraft. 

Der zurückgelegte Weg ist in der 

Skizze durch den Vektor s⃗⃗ 

gekennzeichnet, die aufgewendete 

Kraft durch den Vektor F⃗⃗ . 

Allerdings ist nur jener Teil der Kraft 

für die geleistete Arbeit von 

Bedeutung, die in Bewegungsrichtung 

erfolgt, hier durch den Vektor F⃗⃗⃗⃗⃗ 

s 

dargestellt. 


Da die gleiche Arbeit geleistet wird, wenn der Wagen die gleiche Strecke zurückgeschoben wird, ist nicht die 

Richtung der geleisteten Arbeit von Bedeutung, sondern alleine ihre Größe: 

Arbeit = |s⃗⃗| ⋅ |F⃗⃗⃗⃗⃗| 

s 



VI Cluster P 

Im Englischen heißt Arbeit work (W), Kraft force (F) und Strecke stretch (s) . 

Deshalb schreibt man 

cos(α) = 

|F ⃗⃗⃗⃗⃗ 

s | 

|F⃗⃗ | 

|F⃗⃗ | ⋅ cos(α) = |F⃗⃗⃗⃗⃗ s | 

| ⋅ |F⃗⃗ | 

W = |s⃗⃗| ⋅ |F ⃗⃗⃗⃗⃗| s 

Wie können wir nun die Größe der in Bewegungsrichtung wirkenden Kraft |F⃗⃗⃗⃗⃗ s | 

berechnen, wenn wir die Vektoren s⃗⃗ und F⃗⃗ kennen? 

Im rechtwinkeligen Dreieck ist |F⃗⃗ | die Hypotenuse und |F⃗⃗⃗⃗⃗ s | die Ankathete. 

Damit können wir mit dem Cosinus rechnen: 

cos(α) = 

Ankathete 

Hypotenuse 

Diesen Ausdruck für |F⃗⃗⃗⃗⃗ s | in die Formel für W eingesetzt, und wir erhalten 

Verallgemeinern wir nun unsere Erkenntnisse: 

W = |s⃗⃗| ⋅ |F⃗⃗ | ⋅ cos(α) 


Gegeben sind die Vektoren a⃗⃗ und b⃗⃗ . 

Das Skalarprodukt a⃗⃗ ⋅ b⃗⃗ dieser Vektoren: 

a⃗⃗ ⋅ b⃗⃗ = |a⃗⃗| ⋅ |b⃗⃗ | ⋅ cos(α) 



VI Cluster P 

Beispiel: 

Das ist wohl ein Schildbürgerstreich 

der Spitzenklasse!!! 

Wie soll man denn das Skalarprodukt 

berechnen, wenn man den 

Winkel α nicht kennt?? 

Vollkommen richtig, lieber Fredo! 

Es gibt noch eine zweite Formel, wie sich das 

Skalarprodukt bestimmen lässt, die ich hier 

ohne Herleitung anführe: 

a⃗⃗ = ( a x 

a ) b⃗⃗ = ( b x 

y b 

) → a⃗⃗ ⋅ b⃗⃗ = a x ⋅ b x + a y ⋅ b y 

y 


1 

−2 ) 

– Ermittle das Skalarprodukt dieser Vektoren. 

a⃗⃗ ⋅ b⃗⃗ = −3 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−2) = −3 − 4 = −7 

Mit Geogebra: – Ermittle den Winkel, den die Vektoren a⃗⃗ und b⃗⃗ 

miteinander einschließen. 

a⃗⃗ ⋅ b⃗⃗ = |a⃗⃗| ⋅ |b⃗⃗ | ⋅ cos(α) | ∶ (|a⃗⃗| ⋅ |b⃗⃗ |) 

a⃗⃗ ⋅ b⃗⃗ 


|a⃗⃗| ⋅ |b⃗⃗ | 

|a⃗⃗| = √ (−3) 2 + 2 2 

= cos(α) 

= √13 

|b⃗⃗| = √ 1 2 + (−2) 2 = √5 

α = cos −1 ( 

−7 

√13 ⋅ √5 

) 

α = 150, 26° 



VI Cluster P 

Beispiel: 

Gegeben sind die Vektoren a⃗⃗ = ( −3 2 ) und einer seiner Normalvektoren n⃗⃗ = ( 2 3 ) 

– Ermittle das Skalarprodukt dieser Vektoren. 

a⃗⃗ ⋅ n⃗⃗ = −3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = −6 + 6 = 0 

Physiker scheinen etwas 

arrogant zu sein!! 

Hebt jemand einen 

Leiterwagen, so ist das 

ziemlich anstrengend und 

entsprechend wird Arbeit 

geleistet!! 

Zur Veranschaulichung: 

Wenn jemand den Leiterwagen senkrecht zur 

Bewegungsrichtung hebt, so leistet er in 

Bewegungsrichtung keine Arbeit, wenn er sich auch noch so 

plagt! 

Also ist W = 0 

In Richtung, oder besser gesagt gegen die 

Schwerkraft wird große Arbeitet geleistet, aber 

nicht in Bewegungsrichtung (siehe Vektor s⃗⃗ ). 

Wenn du den Leiterwagen z.B. 3 Meter nach 

rechts bewegen möchtest, ihn aber senkrecht 

nach oben hebst und dabei eine Kraft von 

500 Newton aufwendest, dann bewegst du den 

Leiterwagen null Meter in die gewünschte 

Richtung: 

W = |s⃗⃗| ⋅ |F⃗⃗⃗⃗⃗| s = 0 ⋅ 500 = 0 




VI Cluster P 



Hallein liegt im Punkt (1/1, 5), St. Johann/Pg. Im Punkt (1/−2) 

Eine Brieftaube A fliegt von Hallein 

nach St. Johann/Pg, eine Brieftaube B 

fliegt von Zell am See 18,25 km in 

Richtung des Vektors ( 6 

−1 ) 

– Ermitteln Sie die Koordinaten 

jenes Vektors, der den Flug von 

Brieftaube A beschreibt. 

– Ermitteln Sie die Koordinaten 

jenes Vektors, der den Flug von 

Brieftaube B beschreibt. 

– Berechnen Sie die fehlende 

Koordinate a, 

wenn ( −2 3 ) ⋅ (−3 a ) = 0 

Die Koordinaten des Vektors ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ HS (Hallein – St. Johann/Pg.) lauten: HS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 

1 

−2 ) − ( 1 

1, 5 ) = ( 0 

−3, 5 ) 

Wir bilden den Einheitsvektor von ( 6 ) , denn dieser besitzt die Länge 1 km. Multiplizieren wir ihn mit der 

−1 

gegebenen Länge, so erhalten wir den Vektor mit gewünschter Richtung und Länge: 


|( 6 

−1 )| = √ 62 + (−1) 2 = √ 37 = 6, 08 km Einheitsvektor von ( 6 

−1 ) 1 

6, 08 ⋅ ( 6 

−1 ) 

1 

6, 08 ⋅ ( 6 ) ⋅ 18, 25 = ( 

6 ) ⋅ 3, 00 = (18 

−1 −1 −3 ) 

( −2 3 ) ⋅ (−3 ) = 0 → −2 ⋅ (−3) + 3 ⋅ a = 0 → 6 + 3 ⋅ a = 0 → a = −2 

a 



VI Cluster P 


Mountainbiking 


Fährt man bergauf, hat man in erster Linie die Hangabtriebskraft F⃗⃗⃗⃗⃗ H zu 

überwinden. 

Nebenstehende Grafik zeigt die Zerlegung der Gewichtskraft F⃗⃗⃗⃗⃗ G in eine 

Normalkomponente F⃗⃗⃗⃗⃗⃗ N und die Hangabtriebskraft. 

F⃗⃗⃗⃗⃗ H und F⃗⃗⃗⃗⃗⃗ N sind die Komponenten von F⃗⃗⃗⃗⃗ G , weil sich F⃗⃗⃗⃗⃗ G additiv aus 

F⃗⃗⃗⃗⃗ H und F⃗⃗⃗⃗⃗⃗ N zusammensetzt. 

– Berechnen Sie den Steigungswinkel für eine Steigung von 18 %. 

– Bestimmen Sie für diese Steigung die Hangabtriebskraft in Newton 

(N), wenn Fahrer und Rad zusammen eine Gewichtskraft von 872 N 

aufweisen. 

18 % = 18 

100 

tan(α) = 18 

100 

α = tan −1 ( 18 

100 ) 

α = 10,2° 

α = 10,2° , | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ F G | = 872 N 

sin(10,2°) = 

x | . 872 

872 


872 ⋅ sin(10,2°) = x 

154,42 N = x = | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| F H 



VI Cluster P 


Radrennen 


∗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ LD = D⃗⃗ − L⃗⃗ = ( 0 3 ) − (3 9 ) = (−3 −6 ) → |(−3 )| = 6,71 km 

−6 

Die Strecke des Radrennens führt geradlinig von 

Lackenbach über Draßmarkt nach Stoob. 

Die Richtung und Länge von Draßmarkt nach Stoob 

ist durch den Vektor ( 3 1 ) gegeben. 

– Berechnen Sie die Länge der Strecke von 

Lackenbach nach Draßmarkt. 

– Zeichnen Sie den Ort Stoob als Punkt in das 

nebenstehende Koordinatensystem ein. 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ LD ist der Vektor von Lackenbach nach Draßmarkt, 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DS ist der Vektor von Draßmarkt nach Stoob. 

– Beschreiben Sie, was mit dem Ausdruck 

−(LD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DS ) berechnet wird. 

* ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ LD + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DS ist die Strecke von Lackenbach nach Stoob über 

Draßmarkt. 

−(LD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) DS ist der Gegenvektor, also die Strecke von 

Stoob nach Lackenbach über Draßmarkt 

(bzw. die Strecke zurück) 




VI Cluster P 


Geocaching 

Geocaching ist die Suche nach einem Schatz (Cache). 

Entlang eines Rundwanderweges sind 4 Caches versteckt. Der Rundwanderweg ist annähernd durch die 

Koordinaten der Cache-Verstecke (Einheit = 1 km) dargestellt. 

Ausgangspunkt = Endpunkt = A(–5/–2) 

Cache-Verstecke: B(–2/0), C(3/2), D(0/3) und E(–4/1) 

– Zeichnen Sie den Wanderweg in ein Koordinatensystem ein. 

– Stellen Sie den Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CD auf. 

– Zeigen Sie, dass die Vektoren ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CD und ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DE keinen rechten Winkel bilden (nicht orthogonal sind). 

– Dokumentieren Sie, wie man die Länge des Vektors ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CD berechnet. 



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CD = D⃗⃗ − C⃗ = ( 0 3 ) − (3 2 ) = (−3 1 ) 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DE = E⃗ − D⃗⃗ = ( −4 1 ) − (0 3 ) = ( −4 

−2 ) 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CD ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DE = −3 ⋅ (−4) + 1 ⋅ (−2) = 12 − 2 = 10 ≠ 0 

Man quadriert die Koordinaten des Vektors, addiert diese Quadrate und zieht aus der Summe die (Quadrat-) 

Wurzel. 



VI Cluster P 

11. FOLGEN & REIHEN 

Wir werden schwerpunktmäßig nur arithmetische und geometrische Folgen bzw. Reihen behandeln. 

11.1. Allgemeines 

Eine (Zahlen-) Folge < a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . > ist eine Funktion: 

N 

R 

n a n 

Dabei wird jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zugeordnet. 

1 

2 

3 

n 

. . . 

a 1 

a 2 

a 3 

a n 

Eine Folge < a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . > besteht aus den sogenannten 

Gliedern a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . 

Im Gegensatz zu Mengen, ist hier die Reihenfolge der Glieder von Bedeutung. 

Das erste Glied a 1 muss an erster Stelle stehen, 

das zweite Glied a 2 muss an zweiter Stelle stehen usw. 

a n ist das n-te oder auch allgemeine Glied oder auch Bildungsgesetz der Folge. 

Die Glieder der Folgen werden in kleiner-größer Klammern < > geschrieben. 


Bei den Folgen sind die Glieder nicht mit + oder – verbunden, sie heißen nur so! 

Die Glieder einer Reihe entstehen durch die Summe der entsprechenden Folgen-Glieder. 

s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + s 3 . . . 

Die Reihe lautet damit: < s 1 , s 2 , s 3 , . . . , s n , . . . > 



VI Cluster P 

11.2. Arithmetische Folgen 

In einer arithmetischen Folge < a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . > ist die Differenz d eines Gliedes und 

seines Vorgängers immer gleich groß: 

a 2 − a 1 = d | + a 1 → a 2 = a 1 + d 

a 3 − a 2 = d | + a 2 → a 3 = a 2 + d = a 1 + d + d = a 1 + 2 d 

a 4 − a 3 = d | + a 3 → a 4 = a 3 + d = a 1 + 2 d + d = a 1 + 3 d 

. . . 

Damit muss wohl das sogenannte (explizite) Bildungsgesetz (die explizite Darstellungsform) gelten: 

a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d 

Kennt man das erste Glied a 1 und die Differenz d der arithmetischen Folge, so kann man jedes ihrer Glieder 

bestimmen. 

Mit 

a 2 = a 1 + (2 − 1) ⋅ d = a 1 + 1 ⋅ d 

a 3 = a 1 + (3 − 1) ⋅ d = a 1 + 2 ⋅ d 

Wegen 

a 2 − a 1 = d | + a 1 → a 2 = a 1 + d 

a 3 − a 2 = d | + a 2 → a 3 = a 2 + d 

a 4 − a 3 = d | + a 3 → a 4 = a 3 + d 

gilt doch auch 

u.s.w. 

Das ist das sogenannte rekursive Bildungsgesetz (rekursive Darstellungsform)einer arithmetischen Folge mit 

bekanntem a 1 und d . 

Beispiel: 

a n+1 = a n + d 


Von einer arithmetischen Folge kennt man a 1 = 2 und d = 3. 

– Stelle die ersten fünf Glieder dieser Folge auf. 



VI Cluster P 

a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d 

a 1 = a 1 + (1 − 1) ⋅ d = a 1 + 0 ⋅ d = a 1 = 2 

a 2 = a 1 + (2 − 1) ⋅ d = a 1 + 1 ⋅ d = 2 + 1 ⋅ 3 = 2 + 3 = 5 

a 3 = a 1 + (3 − 1) ⋅ d = a 1 + 2 ⋅ d = 2 + 2 ⋅ 3 = 2 + 6 = 8 

Da hier die Differenz zweier Nachbarglieder immer 3 ist, lassen sich die folgenden Glieder leicht bestimmen: 

a 4 = 8 + 3 = 11 

a 5 = 11 + 3 = 14 


Sven hat sich folgenden Trainingsplan für Langlauf aufgestellt: 

1. Woche 2. Woche 3. Woche 

75 min 88 min 101 min 

– Zeigen Sie, dass es sich bei den Trainingszeiten um eine arithmetische Folge handelt. 

a 1 = 75 a 2 = 88 a 2 − a 1 = 88 − 75 = 13 

a 3 = 101 a 2 = 88 a 3 − a 2 = 101 − 88 = 13 


Da die Differenzen der jeweiligen Nachbarglieder jeweils gleich groß sind, handelt es sich um eine 

arithmetische Folge. 

– Stellen Sie das rekursive Bildungsgesetz auf, mit dem die Dauer der Trainingszeit für die jeweils 

nachfolgende Woche berechnet werden kann. 

a n+1 = a n + 13 mit a 1 = 75 



VI Cluster P 

– Bestimmen Sie die Trainingszeit fünf Wochen nach Trainingsbeginn. 


Eine Woche nach Trainingsbeginn befinden wir uns in der 2. Woche, 

zwei Wochen nach Trainingsbeginn in der 3. Woche und damit 

fünf Wochen nach Trainingsbeginn in der 6. Woche. Wir suchen also a 6 

a 6 = a 1 + 5 ⋅ d = 75 + 5 ⋅ 13 = 75 + 65 = 140 

Fünf Wochen nach Trainingsbeginn beträgt die Trainingszeit 140 Minuten. 

11.3. Geometrische Folgen 

In einer geometrischen Folge ist der Quotient q (Ergebnis einer Division) 

aus einem Glied und seinem Vorgängers immer gleich groß: 

Bemerkung: Bei geometrischen Folgen werden die Glieder üblicherweise mit b bezeichnet. 

b 2 

b 1 

= q | ⋅ b 1 → b 2 = b 1 ⋅ q 

b 3 

b 2 

= q | ⋅ b 2 → b 3 = b 2 ⋅ q = b 1 ⋅ q ⋅ q = b 1 ⋅ q 2 

b 4 

b 3 

= q | ⋅ b 3 → b 4 = b 3 ⋅ q = b 1 ⋅ q 2 ⋅ q = b 1 ⋅ q 3 

. . . 


Damit muss wohl das sogenannte (explizite) Bildungsgesetz (die explizite Darstellungsform) gelten: 

b n = b 1 ⋅ q n−1 

Kennt man das erste Glied b 1 und die Quotienten q der geometrischen Folge, so kann man jedes ihrer Glieder 

bestimmen. 



VI Cluster P 

Wegen 

b 2 

b 1 

= q | ⋅ b 1 → b 2 = b 1 ⋅ q 

b 3 

b 2 

= q | ⋅ b 2 → b 3 = b 2 ⋅ q 

b 4 

b 3 

= q | ⋅ b 3 → b 4 = b 3 ⋅ q 

muss wohl das rekursive Bildungsgesetz (rekursive Darstellungsform)einer geometrischen Folge lauten: 

mit bekanntem b 1 und q . 

Beispiel: 

Von einer geometrischen Folge kennt man b 1 = 2 und q = 0,5 . 

b 1 = 2 

– Stelle die ersten drei Glieder dieser Folge auf. 

b 2 = a 1 ⋅ q = 2 ⋅ 0,5 = 1 

b 3 = a 1 ⋅ q 2 = 2 ⋅ 0,5 2 = 0,5 


b n+1 = b n ⋅ q 

Die klassische Oktave besteht aus 8 Ganztönen bzw. 12 Halbtönen: 


Halbtonschritt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

Bezeichnung des Tons C Cis D Dis E F Fis G Gis A Ais H 

Die Frequenz f der einzelnen Töne wird durch folgende Formel bestimmt: 

f 0 … Frequenz in Hertz (Hz) des Ausgangstons 

i … Anzahl der Halbton-Schritte, ausgehend vom gewählten Ausgangston 

f i … Frequenz in Hz des i-ten Halbtonschrittes, ausgehend vom gewählten Ausgangston 



VI Cluster P 

Alle Instrumente eines Orchesters werden auf den sogenannten Kammerton eingestimmt. Das ist das 

„eingestrichene“ A mit einer Frequenz von 440 Hz. 

– Ermitteln Sie mit Hilfe der angegebenen Tabelle und Formel die Frequenz des nächsttieferen E. 


Halbtonschritt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

Bezeichnung des Tons C Cis D Dis E F Fis G Gis A Ais H 

f 5 = f 0 ⋅ 2 5 

12 

440 = E ⋅ 2 5 

12 | ∶ 2 5 

440 

2 5 

12 

= E 

329,63 Hz = E 

12 

Das nächsttiefere E hat eine Frequenz von 329,63 Hz. 

– Erstellen Sie eine Formel, mit der man ausgehend von einem beliebigen Ton mit der Frequenz f n 

die Frequenz des den nächsthöheren Halbtons bestimmen kann. 


f n+1 = f n ⋅ 2 1 

12 

5 Halbtonschritte nach UNTEN 

Der tiefste Ton einer Gitarre hat eine Frequenz von 82,41 Hz, der höchste Ton eine Frequenz von 987,77 Hz. 

– Berechnen Sie, wie viele Halbtonschritte diese Gitarre umfasst. 



VI Cluster P 

f i = f 0 ⋅ 2 i 

12 | ∶ f 0 

f i 

f 0 

= 2 i 

12 | ln 

ln ( f i 

i 

) = ln (2 

f 0 

ln ( f i 

f ) = 

0 

12 ) 

i 

⋅ ln(2) | . 12 

12 

12 ⋅ ln ( f i 

) = i ⋅ ln(2) | ∶ ln (2) 

f 0 

12 ⋅ ln ( f i 

f ) 

0 

ln(2) 

= i 

Mit f 0 = 82,41 Hz und f i = 987,77 Hz 

→ 

12⋅ln( 987,77 

82,41 ) 

ln(2) 

43,00 = i 

= i 

Diese Gitarre umfasst 43 Halbtonschritte. 


https://www.youtube.com/watch?v=xUaxQiGE408 


Doppelt so viel plus die Hälfte plus ein Viertel plus eins ist 100. 

Für welche Zahl gilt diese Aussage? 


Lösung: 36 



VI Cluster P 

Stochastik im Alltag 

Stochastik ist die Kunst des Vermutens. Im Alltag meint man damit (t)ratschen. 

Ein Stadtpolitiker wird um zwei Uhr früh von einem Stadtbewohner in einem anrüchigen Lokal entdeckt. 

Dieser Zeuge teilt seine Entdeckung via Handy in der folgenden Stunde fünf weiteren Stadtbewohnern mit. 

Diese via Handy informierten Stadtbewohner teilen diese Nachricht in der nächsten Stunde wiederum fünf 

anderen Stadtbewohnern mit. Auf diese Weise macht diese Nachricht ihre Runde in der Stadt. 

– Begründen Sie, warum es sich bei der Anzahl in einer Stunde jeweils informierter Stadtbewohner um eine 

geometrische Folge handelt. 

– Ermitteln Sie, wie viele Stadtbewohner 5 Stunden nach Entdeckung vom Lokalbesuch des Stadtpolitikers 

wissen. 

In der nullten Stunde nach Entdeckung weiß der 1 Zeuge Bescheid = 1 ⋅ 1 = 1 ⋅ 5 0 

In der ersten Stunde nach Entdeckung werden weitere 5 = 1 ⋅ 5 1 Stadtbewohner neu informiert. 

In der der zweiten Stunde werden weitere 25 = 1 ⋅ 5 2 Stadtbewohner neu informiert. 

In der dritten Stunde nach Entdeckung werden 125 = 1 ⋅ 5³ Stadtbewohner neu informiert. 

Es handelt sich um eine geometrische Folge, weil der Quotient zweier Nachbarglieder jeweils q = 5 

beträgt. Damit gilt: 

b n = 1 ⋅ 5 n 

Damit wissen 5 Stunden nach Entdeckung b 0 + b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 Bewohner Bescheid 

b 0 + b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 lässt sich mit GeoGebra bestimmen: 


Fünf Stunden nach Entdeckung des Stadtpolitikers wissen 3 906 Stadtbewohner von diesem Lokalbesuch Bescheid. 



VI Cluster P 

12. MENGEN 

12.1. Was ist eine Menge? 

Eine Menge besteht aus sogenannten Elementen, die in beliebiger Reihenfolge und beliebig oft 

angeführt werden können und in geschwungenen Klammern stehen. 

Beispiele: 

{1, 2, 3, 4, 5} 

{1, 2, 3, 4, 5} = {2, 4, 1, 3, 5} 

{1, 2, 3, 4, 5} = {1, 1,1, 2, 3, 3, 5,4} 

Mengen werden mit Großbuchstaben bezeichnet. 

Beispiele: 

A = {1, 2, 3, 4, 5} 

A = {1, 1,1, 2, 3, 3, 5,4} 

M = { , , , } 

2 ∈ A bedeutet: 2 ist ein Element der Menge A 

7 ∉ A bedeutet: 7 ist kein Element der Menge A 

{ , , , } 

{ , , , } = { , , , } 

{ , , , } = { , , , , , } 

Gleiche Mengen werden mit gleichen Buchstaben 

bezeichnet. 


Man kann Mengen grafisch im sogenannten Venn-Diagramm darstellen: 



VI Cluster P 

12.2. Durchschnittsmenge 

Die Durchschnitts-Menge zweier Mengen A und B, A ∩ B , besteht aus den Elementen, die 

sowohl zur Menge A als auch zur Menge B gehören. 

Beispiel: 

A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8} 

A ∩ B = {2, 4} 

Beispiel: 

A 1 = N u = {1, 3, 5, 7, . . . } A 2 = N g = {2, 4, 6, 8, . . . } 


A ∩ B = { } 

Leere Menge: { 

} Menge ohne Elemente 

Verwechsle NICHT die leere Menge { 

} mit der Menge mit dem Element null {0} 



VI Cluster P 

12.3. Vereinigungsmenge 

Die Vereinigungs-Menge zweier Mengen A und B, A ∪ B , besteht aus den Elementen, die 

entweder zur Menge A oder zur Menge B oder zu beiden Mengen gehören. 

Beispiel: 

A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8} 

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} 

Beispiel: 

A 1 = N u = {1, 3, 5, 7, . . . } A 2 = N g = {2, 4, 6, 8, . . . } 


A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . } = N 

https://www.youtube.com/watch?v=9wROeE5DPyU&t=183s 



VI Cluster P 

12.4. Differenzmenge 

Die Differenz-Menge zweier Mengen A und B, A\B , besteht aus den Elementen, 

die zur Menge A gehören, aber nicht zur Menge B. 

Beispiel: 

A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8} 

A\B = {1, 3, 5} 

B\A = {6, 8} 

Beispiel: 

A 1 = N u = {1, 3, 5, 7, . . . } A 2 = N g = {2, 4, 6, 8, . . . } 

A\B = {1, 3, 5, 7,. . . } = N u = A 1 


Komplementärmenge A̅ bzw. A′: 

M ist eine Menge und A eine Teilmenge von M, A ⊂ M. Das heißt, jedes Element von A ist auch Element von M. 

Dann gilt A̅ = M\A 

Beispiel: 

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A = {2, 4, 6} → A̅ = M\A = {1, 3, 5, 7} 



VI Cluster P 


In einer Klasse mit 30 SchülerInnen wird erhoben, welche Betriebssysteme ihre Handys bzw. Smartphones 

benützen. 

14 SchülerInnen verwenden das Android- Betriebssystem (A), 15 SchülerInnen das IOS-Betriebssystem (I). 

5 SchülerInnen verwenden keines dieser Betriebssysteme. 

– Vervollständigen Sie das nachfolgende Venndiagramm bzw. Mengendiagramm, durch eintragen 

der richtigen Zahlen. 


Folgende Überlegungen führen zum Ziel: 

Die Klasse besteht aus 30 SchülerInnen. 

5 Schülerinnen verwenden weder Android 

noch IOS als Betriebssystem. 

Bleiben 30 – 5 = 25 SchülerInnen, die eines 

dieser Betriebssysteme verwenden. 

14 SchülerInnen verwenden Android, 

15 SchülerInnen IOS. 

Macht zusammen 29. 


Da nur 25 SchülerInnen eines der beiden Betriebssysteme verwenden, müssen 

29 – 25 = 4 SchülerInnen beide Betriebssysteme verwenden. 

Bleibt für die alleinigen Android-User 14 – 4 = 10 und für die reinen IOS-User 15 – 4 = 11 



VI Cluster P 

Noch eine abschließende Bemerkung: 

Es werden immer wieder neue Videos produziert. Man kann alle produzierten Videos leicht finden: 

https://www.pro-test.at/videos/ 

oder 

Unsere Reise durch die Mathematik ist nun zu Ende. 

Du verfügst damit über Kenntnisse und ein Gerüst, um die Berufsreifeprüfung in Mathe erfolgreich abzulegen, 

gleich welches Wissen und welche Fertigkeiten zu Beginn vorhanden waren. 

Solltest du eine universitäre Weiterbildung in technischen oder ökonomischen Studienrichtungen erwägen, bist du 

im Besitz des mathematischen Basis-Wissens. In 

(Kurs oder Skriptum) werden darüber hinaus Themen behandelt, die Grundlage für besagte Studiengänge sind. 

Nähere Auskünfte: mathe@pro-test.at 

Ich habe eine Bitte: Teile mir auf alle Fälle mit, wie du dieses Skriptum empfindest! 

Nur so kann ich es anpassen und optimieren. 


mathe@pro-test.at 

" Am Ende gilt doch nur, 

was wir getan und gelebt – 

und nicht, 

was wir ersehnt haben. " 

Arthur Schnitzler 

Welchen Weg du auch immer einschlägst, 

ich wünsche dir von Herzen ein erfolgreiches und erfüllendes Leben! 

oder 




# 


Liste der Signalwörter 

Modell bilden / modellieren 

aufstellen 

erstellen 

Texte und Aufgabenstellungen sind in geeignete mathematische 

Modelle, also Formeln bzw. Gleichungen oder auch Grafiken zu 

übertragen. 

Eine Gleichung, einer Funktion oder eine Formel aufstellen, 

bzw. eine Grafik darstellen. 

Eine Gleichung bzw. ein Gleichungssystem (= mehrere 

Gleichungen mit mehreren Unbekannten) aufstellen. 

 

 

 

Eine Gleichung bzw. ein Gleichungssystem (= mehrere 

Gleichungen mit mehreren Unbekannten) aufstellen. 

Eine Grafik oder eine Tabelle anführen. 


Signalwörter 

manfred.ambach 460 pro-test.at 

Beispiele 

Bilden Sie ein geeignetes Modell, um den Flächeninhalt der abgebildeten 

Figur berechnen zu können. 

Gemeint ist: eine geeignete Formel zu bilden, also den Flächeninhalt 

allgemein ohne Verwendung von Zahlen zu ermitteln. 

Stellen Sie eine (Funktions-) Gleichung auf, die den beschriebenen 

Sachverhalt wiedergibt. 

Erstellen Sie eine Tabelle (oder ein Balkendiagramm), das den 

beschriebenen Sachverhalt darstellt. 

übersetzen / übertragen Alltags-Formulierungen in mathematische Sprache übersetzen Übertragen Sie den Text in eine Gleichung (oder Grafik). 

veranschaulichen / skizzieren 

Sachverhalt ( Text ) durch passende Grafik bzw. Skizze 

veranschaulichen 

Begriffe ohne Anschauungen sind leer, 

Anschauungen ohne Begriffe blind. 

Immanuel KANT 

( 1724 – 1804 ) 

Veranschaulichen Sie den Sachverhalt durch eine Skizze, in der alle 

beschriebenen Größen beschriftet sind.


berechnen 

Mittels Formel(n) bzw. Gleichung(en) sind auf mathematischem Wege 

Lösungen zu ermitteln, wobei elektronische Rechenhilfen zum Einsatz 

kommen können. 

Berechnen einer Größe 

Umformen einer Gleichung (Formel) 

lösen Berechnen einer Größe Lösen Sie die Gleichung. 

bestimmen 

ermitteln 

schätzen / abschätzen 

 

 

 

Wie berechnen, kann aber auch ohne konkrete Zahlen erfolgen 

(=Rechengang). 

Wie berechnen 

oder auf grafischem Wege 

darstellen / zeichnen Grafische Darstellung 

Durch Abschätzen und Runden ungefähre numerische Werte 

gewinnen 


Signalwörter 


Beispiele 

Berechnen Sie den Funktionswert an der Stelle x = 2. 

Berechnen Sie aus der Formel des Rechteckumfanges die Breite des 

Rechtecks. 

Bestimmen Sie die Länge der Bahnstrecke. 

Ermitteln Sie die maximale Steigung. 

Schätzen Sie die Zeitdauer bis zum Eintreffen des Zuges ab. 

Stellen Sie die das Wachstum für die ersten drei Stunden grafisch dar. 

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall [ 0 ; 10 ]. 

umformen Formel nach einer Größe umformen Formen Sie das Zerfallsgesetz nach der Zeitdauer t um.


interpretieren 

vergleichen 

Der mathematische Lösungsweg ist nachvollziehbar zu deuten. 

Die Wirkung bei Veränderung von Einflussgrößen ist fallweise zu 

erläutern. 

 

 

 

1 

Mathematische Ergebnisse oder Bezeichnungen mit Worten auf 

den Sachverhalt beziehen. 

Einfluss von Parametern (Größen) abschätzen und beschreiben 

Gemeinsamkeiten oder Unterschiede in mathematischer 

Fachsprache ausdrücken 

dokumentieren Lösungsweg in Worten beschreiben 

beschreiben 

ablesen 

kennzeichnen / markieren 

argumentieren 

erklären / erläutern 

 

 

 

 

 

 

Wörtliche, mathematische oder grafische Beschreibung eines 

Vorganges oder Sachverhalts 

Eigenschaften ( Punkte, Intervalle, Monotonie, Steigerungsraten 

etc.) aus einer Grafik ablesen 

In Diagrammen oder Tabellen Punkte, Bereiche oder Linien 

hervorheben 

Mathematische Denkschritte entwickeln 

Eine Begründung für eine Entscheidung oder einen Sachverhalt 

angeben 

Mit mathematischer Fachsprache Vorgangsweisen in einer 

Berechnung erklären. 


Signalwörter 


Beispiele 

Interpretieren Sie die 1. Ableitung im konkreten Sachzusammenhang 

Interpretieren Sie den Graphen in Bezug auf die Bewohnerzahl 

Luxemburgs. 

Vergleichen Sie die beiden Graphen hinsichtlich der Steigungsrate. 

Dokumentieren Sie, wie Sie die Extrema einer Polynomfunktion 3. 

Grades ermitteln können. 

Beschreiben Sie, wie Sie den Treffpunkt der beiden Radfahrer ermitteln. 

Lesen Sie ab, an welcher Stelle sich das Maximum befindet. 

Kennzeichnen Sie beim Funktionsgraf die monoton fallenden Bereiche. 

Argumentieren Sie, warum die Fallhöhe nicht negativ sein kann. 

Argumentieren Sie, weshalb die Funktion f bei x = 0 ein Extremum 

besitzt. 

Erklären Sie, wie sich die Punkte mit der größten Steigung ermitteln 

lassen. 

begründen Einsatz mathematischer Formeln und Rechenverfahren erläutern Begründen Sie, warum hier die erste Ableitung verwendet wird. 

zeigen / nachweisen Erwartet eine Begründung Zeigen Sie, dass diese Funktion keine Nullpunkte besitzt. 

prüfen / überprüfen 

 

 

Prüfen, ob eine (mathematische) Aussage wahr ist 

Überprüfen, ob eine grafische Darstellung den Sachverhalt 

beschreibt 

Überprüfen Sie, ob die Halbierung des Radius eine Verdopplung des 

Inhalts zur Folge hat. 

beurteilen Zu einem Sachverhalt Stellung nehmen Beurteilen Sie, ob die Fahrt mit dem Taxi günstiger kommt.


Bemerkung: Diese Liste wurde vom BMB erstellt, das für die Aufgaben der Zentralmatura verantwortlich ist. 

Die Signalwörter sollen eine Hilfe darstellen, wonach gefragt bzw. was verlangt w 

Eine zu enge Auslegung der Anordnungen ist nicht zu empfehlen, da die meisten Aufträge mittels Hausverstand oder zusätzlicher Erläuterungen zu durchblicken sind. 

Siehe auch: MAY Signalwörter https://www.youtube.com/watch?v=h2V1XBcUXNU 


Signalwörter 



Gedenke der Quellen, wenn du trinkst. 

Chinesisches Sprichwort 

Dank 

Mein Dank gilt Frau MMag. Annemarie SCHAUR. Einerseits für ihre Offenheit gegenüber meinen Ideen, auch 

wenn sie zu Anfang nicht ausgegoren sind. Andererseits für die Ermutigung und die Unterstützung bei der 

Umsetzung. Zum Dritten für ihre Art und ihre beruflichen Qualitäten, die entscheidend dazu beitragen solche 

Projekte wirklich werden zu lassen. 

Ich empfinde gegenüber Herrn Dr. Hans KRÜGER, dem ehemaligen Institutsleiter, der leider viel zu früh 

verstorben ist, große Dankbarkeit, weil er mir die Türen für diese Art Tätigkeit geöffnet und mich 

in den ersten Jahren förderlich begleitet hat. 

Bedanken möchte ich mich auch bei Frau Mag. Rosa LAßHOFER für die Korrekturen des Skripts, der 

Übungsaufgaben und Beispielsammlung. 

Ich danke Herrn DI Sourosh FOROUGHI für die Hinweise zu passenden Beispielen. 

Der Administration bin ich dankbar für die reibungslosen Abläufe. Beileibe keine Selbstverständlichkeit! 

Ich danke Frau Martina MEVEN für ihre kontinuierliche Hilfe und Begleitung solcher Vorhaben. Seien es die 

photographischen Belange oder Fragen der Gestaltung, der Entdeckung elektronischen Medien für den Einsatz 

in diesem Bereich, sowie deren Handhabung. 

Seien es die vielen Gespräche, die die Koordinaten für Richtung und Wertung meiner Vorhaben legen. Vor 

allem danke ich für ihr Verständnis, für den Raum und die Zeit, die solche Arbeiten beanspruchen. 

Ich habe dir überhaupt so vieles zu verdanken!

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