S K R I P T 2 0 1 9

hugonotte

Gesamter Stoff für die Berufsreifeprüfung Mathe

Skript

für eine erfolgreiche Berufsmatura

von

Nur zur Ansicht

Manfred Ambach

Ausgabe


Mathe für die BRP zentral

Lernen und nicht denken ist unnütz.

Denken und nicht lernen ist zwecklos.

Konfuzius

(551-479 v.Chr)


Einleitende Bemerkungen

Nachdem mittlerweile etliche Maturatermine

nach den Vorgaben der standardisierten Reifeprüfung

abgelaufen sind, zeigt sich, dass die Mathematura für die

BRP auch unter diesen Bedingungen von Erfolg gekrönt

ist.

Neben dem Eifer und Interesse der KandidatInnen sind es

folgende Faktoren, die zu den guten Ergebnissen führen:

Wir Vortragenden vom WIFI sind seit ca. einem Jahrzehnt in die Entwicklung der Aufgaben eingebunden und stehen in

regelmäßigem Kontakt mit Personen, die für die bundesweite Durchführung der Zentralmatura verantwortlich zeichnen,

oder die Beispiele für die Reifeprüfung erstellen. Deshalb ist uns klar, wie die zentrale Mathematura im Rahmen der BRP

aufgebaut ist, welche Anforderungen zu erfüllen und welche Fragestellungen zu bewältigen sind.

Diese Rahmenbedingungen geben uns die Möglichkeit, den Lehrstoff von diversen alten Zöpfen zu befreien. Schwierige

Rechentechniken, deren Sinn sich nicht erschließen, sind Vergangenheit. Ebenso abstrakte Problemstellungen ohne

jeden Alltagsbezug. Hier wird Mathe auf eine Weise vermittelt, die es jeder Person ermöglicht mitzukommen und die

Prüfung zu bestehen, unabhängig von anfänglichen Kenntnissen und Fertigkeiten.

Die TrainerInnen verstehen sich als Begleiter im Lernprozess, die zu jeder Zeit auf alle Belange der TeilnehmerInnen

eingehen. In den Kursen herrscht ein Klima, in dem sich jeder jederzeit zu fragen traut. Fragen sind erwünscht und nicht

lästiges Übel, die gar mit Abwertungen verbunden sind!

Das vorliegende richtet sich in den Themenstellungen, Erläuterungen und der geforderten Mathematik

ausschließlich nach den Ansprüchen der Zentralmatura. Kein relevanter Aufgabenkreis ist weggelassen, kein über-

flüssiges Gebiet erwähnt. Gleiches gilt für die im Anhang befindlichen

die

können.

und ebenso für

. Dort sind die Erfordernisse durchweg so formuliert, wie sie auch zur Matura kommen

Begleitet werden diese Unterlagen von zahlreichen

( MAY Mathe Ambach YouTube ), in denen

Stoffgebiete und konkrete Beispiele in kleinsten und verständlichen Schritten erläutert werden (siehe auch Leitfaden

und die entsprechenden Stellen im Stoffteil).

Nur zur Ansicht

Vielleicht kann dieses Skriptum auch einen Beitrag dazu leisten, die Abneigung gegenüber Mathematik abzubauen. Denn

hinter dem Widerwillen steht nicht selten die Angst, an diesem Fach zu scheitern. Angst ist aber ein schlechter

Lernbegleiter. Sie lässt uns Dinge meiden, anstatt sich einzulassen. Auf unserem Weg durch die Mathematik kann

erlebbar werden, dass trotz negativer Erfahrungen in der Vergangenheit alle Erfordernisse schaffbar sind und manche

Aspekte sehr wohl Interesse wecken können.

Salzburg, im Frühjahr 2019

Manfred Ambach

Man kann sich nur auf etwas stützen,

das Widerstand leistet.

Heinrich SIMON

(1805 – 1860)

manfred.ambach

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Mathe für die BRP zentral

Leitfaden

Der Lernprozess ist wie eine Bergwanderung. Nicht die Höhe des Zieles ist entscheidend, sondern der Weg dorthin.

Wird es (einem) zu steil, so entsteht aus Lust auf Vorwärtskommen erlebte Mühsal und Beschwerlichkeit. Es kommen

Stress oder gar Angst vor dem Scheitern auf. Wir verlieren das Ziel vor Augen und die Bindung. Auf sich alleine gestellt,

wirkt der Weg nach oben wie eine Herausforderung, der wir uns nicht gewachsen fühlen.

Wie kann ich aber Interesse erzeugen, wenn mich ein Fach wenig fesselt, wie das bei Mathe häufig der Fall ist?

Hier kann helfen, sich einerseits das übergeordnete Ziel vor Augen zu führen: Mit der Reifeprüfung, und dazu gehört

auch Mathe, stehen mir erstrebenswerte Möglichkeiten offen. Mathe ist dann der Streckenabschnitt meiner

Bergwanderung, der vielleicht zunächst weniger reizvoll erscheint. Dabei soll mir klar werden, dass daran kein Weg

vorbei führt, will ich mein Ziel erreichen! Andererseits hilft es, sich auf die Erlangung von Etappenzielen zu

konzentrieren. Diese sind schneller und leichter erreichbar als das Gesamtvorhaben und ich motiviere mich durch

erlangte Kenntnisse und Fertigkeiten.

Ich durfte schon viele TeilnehmerInnen erleben, die alleine dadurch motiviert waren, weil sie die Angst vor diesem Fach

im Laufe des Kurses verloren hatten!

Gerald HÜTHER (1) :

© Martina Meven

Kinder bauen in den ersten Lebensjahren ihr Fundament jeglicher

Entwicklung: Die Überzeugung, Erfahrung, Fertigkeiten und Wissen

erlangen zu können, gleich welche Ausgangsbedingungen vorherrschen.

Das geschieht einerseits durch Vertrauen in gebotene Anregungen, Wege

und Gewichtungen. Andererseits durch das Einlassen mit allen Sinnen,

gepaart mit Emotionen. Zum Dritten durch unermüdliches Herangehen,

selbst wenn es zunächst nicht von Erfolg gekrönt ist. Wir alle haben auf

diese Weise das Wesentliche unseres Lebens gewonnen.

Auch im Erwachsenenalter ist es möglich und sehr effektiv, diese Art des

Erlernens zu reaktivieren.

Nur zur Ansicht

" Das Hirn baut bei neuen Erfahrungen neue Vernetzungen auf, gleich in welchem Alter.

Aber nicht durch reines Üben, sondern nur in Verbindung mit Freude und Begeisterung. "

© Martina Meven

Mathematik wird nicht immer vor Spannung knistern. Doch zu erleben, dieses Fach ohne Angst bewältigen zu können

und Anwendungsmöglichkeiten zu erkennen, können Tatenlust und Energie wecken.

(1) G. HÜTHER: Was wir sind und was wir sein könnten. Fischer Taschenbuch. Frankfurt (Main) 2013. ISBN: 978-3-596-18850-5

Weiterer Buchtipp zum Thema Lernen: Christiane STENGER: Wer lernen will, muss fühlen. Rowohlt Verlag. Reinbek bei Hamburg 2016. ISBN: 978-3-499-63123-8

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Mathe für die BRP zentral

Dieses Skript soll einen Beitrag dazu leisten, den Weg durch die Schulmathematik anschaulich und begreifbar zu machen,

sodass jede(r) im eigentlichen Sinn des Wortes mitkommen kann.

Ich habe diese Themensammlung so zusammengestellt, dass die einzelnen Kapitel aufbauend gestaltet sind. Der Stoff kann

Schritt für Schritt erfasst werden. Wie auf einer Treppe, deren Stufen eine geeignete Höhe besitzen, ist der Weg nach oben

gut schaffbar. Es ist auch möglich, nur jene Kapitel durchzuarbeiten, bei denen das persönliche Wissen erweitert bzw.

vervollständigt werden soll.

Zentrale Begriffe oder Gesetze tauchen in einzelnen Abschnitten immer wieder auf oder es wird auf das Kapitel und die Seite

ihrer ausführlichen Darlegung hingewiesen. Einerseits, um sich durch Wiederholung in Erinnerung zu rufen, andererseits um

zu verfestigen.

Wovor ich abrate ist, die Seiten wie bei einer Zeitung zu durchblättern und nur bei augenfälligen Textteilen, Rechnungen

oder grafischen Darstellungen zu verweilen. Bei dieser Art von Durchsicht mag sich ein Eindruck eröffnen, doch die

Gewichtung und alle notwendigen Sachverhalte können auf diese Weise nicht wahrgenommen werden.

Um die dargebotenen Inhalte in der Folge selbst anwenden zu können, ist es unabdingbar, die in diesem Skript angeführten

Beispiele simultan auf einem Blatt Papier mitzurechnen. Man sagt, einmal konzentriert schreiben wirke wie das Gleiche

zehnmal lesen. Auch wenn die hier präsentierten Beispiele in kleinen Schritten nachvollziehbar entwickelt sind, ist

mathematisches Wissen in aller Regel zu konzentriert, um alleine durch Lesen nachhaltig erfasst zu werden.

Ich hätte die Seiten auch platzsparender gestalten können, doch wäre das auf Kosten der Übersichtlichkeit gegangen.

Lief ich Gefahr die sprachliche Klarheit zu verlieren, verzichtete ich auf eine gendergemäße Schreibweise, wiewohl auch in

solchen Fällen immer beide Geschlechter gemeint sind.

Für etwaige (Schreib-) Fehler bitte ich um Entschuldigung!

Ich habe mich bemüht, die Anzahl der Fehler zu minimieren. Doch steht mir kein Lektor zur Verfügung und es ist naturgemäß

unmöglich alle eigenen Fehler selbst zu finden!

Neben dem Skript stehen drei elektronische Hilfsmittel zur Verfügung:

Erstens:

Der Taschenrechner

Zahlen.

unterstützt uns bei Berechnungen mit konkreten

Seine unkomplizierte und übersichtliche Handhabung liefert schnell und sicher die

gewünschten Ergebnisse.

Nur zur Ansicht

Die Darstellungsart von Brüchen hilft, rund 50 % der Rechen- bzw.

Vorrangfehler zu vermeiden.

Klare Symbole erleichtern die entsprechende Eingabe.

Den Taschenrechner gibt es ohne Aufpreis vom WIFI.

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Mathe für die BRP zentral

Zweitens:

Für unkomplizierte, anschauliche Darstellungen dient uns das Rechenprogramm

Im der Suchmaschine (im Internet) das Stichwort

vorderster Stelle:

Linke Spalte:

eingegeben und es erscheint an

Hier klicken wir mit der

linken Maustaste diese Web-

Adresse mit einem Doppel-

Klick an.

Scrollt man weiter, so erscheinen in der rechten

Spalte die links abgebildeten Symbole.

Zwei Varianten bieten sich an:

GeoGebra Classic

GeoGebra Classic

Je nach Betriebssystem klickt man mit der linken

Maustaste den entsprechenden Button an.

Nach derzeitigem Stand wird bei der Matura

GeoGebra Classic verwendet.

Die Unterschiede dieser Varianten sind minimal.

Am besten, man lädt beide Varianten herunter und

arbeitet abwechselnd mit diesen.

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Diese App gibt es derzeit nur für Android-Smartphones.

Für Smartphones mit anderen Betriebssystemen:

GeoGebra Web Version im Web Browser des Smartphones

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Mathe für die BRP zentral

Nach der Installation erscheint folgende Oberfläche:

GeoGebra :

GeoGebra :

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Installation siehe auch in YouTube:

Das bedeutet: Abschnitt II, Kapitel 2.5., Seite 85 und folgende

Link:

https://www.youtube.com/watch?v=ISrfXEpfoAs&t=103s

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Mathe für die BRP zentral

Drittens:

Unter dem Titel

Mathe Ambach YouTube

finden sich zu vielen Themen dieses Skripts Videoclips in YouTube.

Diese können entweder direkt über QR-Code (zu finden bei den entsprechenden Stellen im Skript) erreicht werden,

oder über den jeweiligen Link: https://www.youtube.com/watch?v=vnO-VbiQyDM&t=2s

erreicht werden. (Einfach mit der linken Maustaste anklicken.)

Es gibt derzeit über 80 Videos zum Stoff, zur Handhabung von GeoGebra und zu ausgewählten Aufgaben der

Beispielsammlung.

Lernkarten

Da ich die Videos immer wieder aktualisiere, werden einige QR-Codes veralten.

In diesem Fall ist das entsprechende Video unter selbem Titel auf meinem Videokanal

MAY Ambach zu finden:

Bei manchen Bezeichnungen, Themen oder Stoffgebieten sind

Im Skript Karteikarten gezeichnet, auf denen Wichtiges kurz

zusammengefasst ist.

Solche Karten, wenn du sie selbst anlegst, können ein effektives

Mittel sein, um wesentliche Lerninhalte zu merken.

Auf diese Idee brachte mich die ehemalige Teilnehmerin Katrin HERZOG.

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#

Mathe für die BRP zentral

Sollte jemand mit den zahlreichen Beispielen der Übungsaufgaben und den Aufgaben der Beispielsammlung nicht über

genügend Übungsmaterial verfügen, so finden sich im Internet unter den Adressen

www.aufgabenpool.at oder www.srdp.at oder www.mathestunde.at

weitere, der Zentralmatura entsprechende Aufgaben. Jedoch kommen für uns nur

in Frage.

Beachte jedoch:

Teil A – Aufgaben und jene von Cluster P

Nicht die Menge der Beispiele, sondern die Qualität ihrer Auflösung macht den Erfolg aus!

Bei den Prüfungs- bzw. Testaufgaben geben Signalwörter konkrete Hinweise, welche Kenntnisse bzw. Fertigkeiten

gefordert sind. Eine Liste der gängigen Signalwörter findet im Skript

Das bedeutet: Seite 460 und folgende

Ja, und da wäre dann noch Fredo.

Fredo wird sich immer wieder einmal erlauben, seine Erkenntnisse oder

Gefühle zu äußern: Einsichten, Zuversicht, doch auch Ärger oder gar manche

Verzagtheit. Fredo reagiert, wie jede(r) Lernende: guten Mutes und voll

Vertrauen, doch auch manchmal mühsam oder kleinmütig. Alles ganz normale

Bekundungen, wenn man sich ernsthaft mit zuweilen herausfordernder

Materie auseinandersetzt.

Wenn Fragen zu mathematischen Belangen bestehen oder Anregungen bzw. kritische Bemerkungen zum Skript auftreten:

Ich freue mich, wenn ich kontaktiert werde!

Entweder über mathe@pro-test.at oder über

Sehen wir es so:

Du gehst auf eine Reise, die manchmal Herausforderungen verursacht. Doch du bist nicht alleine. Du wirst begleitet von

erfahrenen TrainerInnen und Unterlagen, auf die du dich verlassen kannst!

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Link: https://www.youtube.com/watch?v=vnO-VbiQyDM&t=2s

manfred.ambach

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Mathe für die BRP zentral

I

Inhaltsverzeichnis

ZAHLEN & MAßE

1. ZAHLEN 3

1.1. Zahlenmengen 3

1.1.1. Natürliche Zahlen 5

1.1.2. Ganze Zahlen 7

1.1.3. Rationale Zahlen 9

1.1.4. Reelle Zahlen 11

1.1.5. Komplexe Zahlen 13

1.2. Rechnen mit Zahlen 16

1.2.1. Vorrangregeln 16

1.2.2. Rechnen mit natürlichen Zahlen 17

1.2.3. Rechnen mit ganzen Zahlen 20

1.2.4. Runden von Zahlen 23

1.2.5. Rechnen mit Casio 24

1.3. Prozent– und Promillrechnung 33

1.3.1. Prozentrechnung 33

1.3.2. Promillrechnung 40

1.4. Maße 41

1.4.1. Längenmaße 41

1.4.2. Flächenmaße 43

1.4.3. Raum- und Hohlmaße 45

1.4.3.1. Raummaße 45

1.4.3.2. Hohlmaße 45

1.4.4. Masse 47

1.4.5. Zeitmaße 51

II

ALGEBRA & GEOMETRIE

2. TERME 54

2.1. Benennungen 54

2.2. Potenzen 57

2.2.1. Einführung 57

2.2.2. Rechenregeln für Potenzen 60

2.2.3. Multiplikation von Monom und Klammer 72

2.2.4. Multiplikation von Klammern 73

2.2.5. Binomische Formeln 74

2.2.6. Fließkomma- bzw. Gleitkommadarstellung 75

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2.3. Zerlegung von Termen 79

2.3.1. eingliedrige Terme 80

2.3.2. mehrgliedrige Terme 80

2.4. Kleines Einmaleins des Bruchrechnens 82

2.4.1. Addieren und Subtrahieren 82

2.4.2. Multiplizieren 83

2.4.3. Dividieren 84

2.5. Einführung in GeoGebra 85

Seite

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3. GLEICHUNGEN 91

3.1. Gleichungen mit einer Variablen 91

3.1.1. Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen) 91

3.1.1.1. Elementares 92

3.1.1.2. Gleichungen mit Klammern 98

3.1.1.3. Gleichungen mit Bruchtermen 98

3.1.1.4. Formeln umformen 100

3.1.1.5. Gleichungen mit GeoGebra 106

3.1.2. Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen) 109

3.1.2.1. Normalform 109

3.1.3. Gleichungen höheren ( als 2. ) Grades 117

3.1.3.1. Gleichungen 3. Grades 117

3.1.3.2. Gleichungen 4. Grades 119

3.2. Gleichungen mit mehreren Variablen 121

3.2.1. Lineare Gleichungen mit 2 Variablen 122

3.2.1.1. Lösungsmethoden 123

3.2.1.1.1. Gleichsetzmethode 123

3.2.1.1.2. Einsetzmethode 125

3.2.1.1.3. Additionsmethode 125

3.2.2. Gleichungssysteme mit GeoGebra 126

4. ELEMENTARGEOMETRIE 132

4.1. Lehrsatz des PYTHAGORAS 132

4.2. Strahlensatz 135

4.3. Kreis und Kreisteile 137

4.4. Prismen 139

4.5. Spitze Körper 142

4.6. Kugel 144

5. TRIGONOMETRIE 146

5.1. Winkelmaße 146

5.2. Graphen der Winkelfunktionen 150

5.2.1. sin und cos 150

5.2.2. tan 152

5.3. Winkelfunktionen im Einheitskreis 153

5.4. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck 156

5.5. Winkelsätze 161

5.5.1. Sinus – Satz 161

5.5.2. Cosinus – Satz 164

5.6. Vermessungsaufgaben 167

III

FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE

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6. FUNKTIONEN 175

6.1. Koordinatensystem 177

6.2. Funktionen – allgemein 179

6.2.1. Was ist eine Funktion? 179

6.2.2. Bezeichnungen und Ausdrücke 184

6.2.3. Darstellungsarten 186

6.2.4. Funktionen mit GeoGebra 188

6.2.5. Eigenschaften von Funktionen 196

6.2.5.1. Nullpunkte 196

6.2.5.2. Monotonie 198

6.3. Polynomfunktionen 200

6.3.1. Polynomfunktionen 1. Grades (lineare Funktionen) 201

6.3.1.1. Gleichung einer linearen Funktion (Geraden) 201

6.3.1.2. Proportionalität 206

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6.3.1.2.1. direkt proportional 206

6.3.1.2.2. indirekt proportional 207

6.3.1.3. Aufstellen einer Geradengleichung mit 2 gegebenen Punkten 208

6.3.1.4. Lineare Bewegungsaufgaben 212

6.3.2. Polynomfunktionen 2. Grades (quadratische Funktionen) 223

6.3.3. Polynomfunktionen 3. und höheren Grades 231

6.3.4. Gerade und ungerade Polynomfunktionen 237

6.3.4.1. Gerade Polynomfunktionen 237

6.3.4.2. Ungerade Polynomfunktionen 238

6.4. Exponential- und Logarithmusfunktionen 239

6.4.1. Eigenschaften 239

6.4.2. Zinseszinsen 244

6.4.3. Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse 246

IV

ANALYSIS

7. DIFFERENZIEREN 252

7.1. Ableitungsregel 253

7.1.1. Potenzregel 253

7.1.2. Differenzieren mit GeoGebra 257

7.2. Veranschaulichung des Differenzierens 260

7.2.1. Steigung der Tangente 260

7.2.2. Änderungsraten 264

7.2.2.1. Absolute Änderung(srate) 264

7.2.2.2. Relative Änderung(srate) 264

7.2.2.3. Mittlere Änderung(srate) (mittlere Steigung) 265

7.2.2.4. Lokale (momentane) Änderung(srate) (momentane Steigung) 268

7.3. Weitere Anwendungen der Differentialrechnung 273

7.3.1. Extrema 273

7.3.2. Krümmung 280

7.3.3. Wendepunkt und Wendetangente 282

7.4. Kleine Betriebskunde 300

8. INTEGRIEREN 306

8.1. Integrationsregel 306

8.1.1. Potenzregel 306

8.1.2. Integrieren mit GeoGebra 312

8.2. Flächenberechnungen 314

8.2.1 Veranschaulichung 314

8.2.2. Grundaufgaben 321

8.2.2.1. Fläche innerhalb gegebener Grenzen 321

8.2.2.2. Fläche von Funktion und Achse begrenzt 323

8.2.2.3. Fläche nur von 2 Funktionen begrenzt 325

8.3. Integrieren und Differenzieren als Umkehrungen 335

V

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STOCHASTIK

Vorbemerkungen 341

9. STATISTIK & REGRESSION 342

9.1. Empirische Statistik 342

9.1.1. Kenngrößen 342

9.1.2. Kenngrößen mit GeoGebra 349

9.1.3. Grafische Darstellungen 352

9.1.4. Klassen - Einteilung 355

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#

Mathe für die BRP zentral

9.2. Regression 357

9.2.1. Lineare Regression 357

9.2.2. Korrelationskoeffizient 361

9.2.3. Quadratische Regression 364

9.2.4. Exponentielle Regression 366

9. 3. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 367

9.3.1. Grundbegriffe 367

9.3.2. Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ereignisse 369

9.3.2.1. entweder - oder ( oder beide ) – Wahrscheinlichkeit 369

9.3.2.2. sowohl als auch – Wahrscheinlichkeit 370

9.3.2.3. Baumdiagramm 372

9.3.2.4. . . . mindestens einmal . . . 377

9.4. Wahrscheinlichkeitsverteilungen 381

9.4.1. Diskrete Verteilungen (diskrete Zufallsvariablen) 381

9.4.1.1. (Allgemeine) diskrete Verteilungen 382

9.4.1.2 Binomialverteilung 384

9.4.2. GAUßsche Normalverteilung 397

VI

CLUSTER P

10. VEKTOREN 407

10.1. Grundbegriffe 407

10.2. Grafische Verbindungen von Vektoren 409

10.2.1. Addition 409

10.2.2. Gegenvektor eines Vektors 410

10.2.3. Subtraktion 410

10.2.4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 412

10.3. Rechnerische Verbindungen von Vektoren 413

10.3.1. Koordinaten eines Vektors 413

10.3.2. Addition 415

10.3.3. Subtraktion 418

10.3.4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 420

10.4. Weitere Eigenschaften von Vektoren 423

10.4.1. Ortsvektor 423

10.4.2. Betrag (Länge) eines Vektors 424

10.4.3. Gegeben zwei Punkte A und B . . . 427

10.4.3.1. . . . gesucht: Der Vektor von A nach B: AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 427

10.4.3.2. . . . gesucht: Die Länge der Strecke AB 430

10.4.3.3. . . . gesucht: Halbierungspunkt H der Strecke AB 431

10.4.4. Einheitsvektor eines Vektors 434

10.4.5. Normalvektoren eines Vektors 436

10.4.6. Skalarprodukt zweier Vektoren 438

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11. FOLGEN & REIHEN 446

11.1. Allgemeines 446

11.2. Arithmetische Folgen 447

11.3. Geometrische Folgen 449

12. MENGEN 454

12.1. Was ist eine Menge? 454

12.2. Durchschnittsmenge 455

12.3. Vereinigungsmenge 456

12.4. Differenzmenge 457

Liste der Signalwörter 460

Dank 464

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Mathe für die BRP zentral

I Zahlen & Maße

I

1. ZAHLEN

ZAHLEN & MAßE

1.1. Zahlenmengen

altägyptische Zahlen-Hieroglyphen

Keilschrift-Zahlen

Die Notwendigkeit für Zahlen könnte sich ergeben haben, als unsere Urahnen

sesshaft wurden. Damit begannen sie Ackerbau und Viehzucht zu betreiben. Die

Erträge bzw. der Bestand wollten festgehalten sein und dies könnte die Geburt

der Zahlen bedeuten.

Ishango-Knochen

Der Ishango – Knochen, gefunden im Jahre 1960 an der Küste des Lake Edwards,

an der Grenze zwischen Uganda und Zaire, ist eines der ältesten Dokumente für

die Verwendung von Zahlen und zeigt Gravuren davon. Dieser Fund ist 20 000

Jahre alt und belegt, dass das prähistorische afrikanische Volk der Ishango bereits

systematische quantitative Betrachtungen anstellte.

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indisch 3. Jhdt v. Chr.

indisch 8. Jhdt n. Chr.

westarabisch 11. Jhdt.

europäisch 15. Jhdt.

europäisch 16. Jhdt.

Neuzeit

In nichts zeigt sich der Mangel mathematischer Bildung mehr,

als in einer übertrieben genauen Rechnung.

Carl Friedrich GAUß

( 1777–1855 )

Wann Zahlen erstmals in der Menschheitsgeschichte auftauchen, lässt sich

nicht genau eruieren, mag aber um die 50 000 Jahre zurückliegen.

Es gilt die Tendenz für die nördliche Halbkugel:

Je weiter wir nach Osten blicken, desto früher finden wir in den alten

Hochkulturen die Verwendung von Zahlen.

Die von uns verwendeten Ziffern sind indischen

Ursprungs, von den Arabern weiterentwickelt. Die

Schreibweise gelangte über Vorderasien und das

lange unter arabischem Einfluss stehende Spanien in

unsere Breiten.

Die ersten Darstellungen der Zahl Null finden sich

bereits vor mehr als 2 000 Jahren bei den Indern.

In Europa führte Leonardo von PISA ( genannt

FIBONACCI [ figlio di Bonaccio – Sohn des Bonaccio ] )

[ 1180(?) – 1241(?) ] im Jahr 1202 die Null ins

kaufmännische Rechnen ein.

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Mathe für die BRP zentral

I Zahlen & Maße

Wie vorteilhaft die indisch-arabischen Ziffern im Gegensatz zu den römischen Zahlenzeichen sind, soll folgendes

Beispiel verdeutlichen:

Multiplizieren wir 5 . 25 = 125 mit römischen Ziffern:

V

II

I

. XXV

L

C

XXV + C

= CXXV

Siehe auch: https://www.youtube.com/watch?v=_C9CCoMYgDE

Adam RIES

( 1492(3) – 1559 )

Lange Zeit war Rechnen nur gebildeten Menschen vorbehalten. Adam RIES(E), deutscher

Rechenmeister, verfasste sein Werk in deutscher Sprache, obwohl damals vorwiegend auf

lateinisch publiziert wurde. Damit trug er zur Popularisierung dieser Kulturtechnik bei. Sein

Lehrbuch Rechenung auff der linihen und federn wurde bis ins 17. Jhdt mindestens

120-mal aufgelegt.

Rechenung auff der linihen, also Rechnen auf Linien, funktioniert so:

Es werden waagrechte Linien gezeichnet.

Eine Münze auf der ersten (untersten) Linie hatte den Wert 1, eine Münze

im ersten Zwischenraum den Wert 5, auf der zweiten Linie den Wert 10.

Eine Münze im zweiten Zwischenraum erhielt den Wert 50, auf der dritten

Linie 100 usw. Die Tausend wurde mit einem X markiert.

So stellt die nebenstehende Lage der Münzen die Zahl 2 128 dar.

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Die Unendlichkeit der Mathematik 1

Was bedeutet eigentlich der Begriff unendlich?

Der Duden meint: sehr großes, unabsehbares, unbegrenztes

größer als jeder endliche, beliebig große Zahlenwert

Das Symbol für unendlich in der Mathematik ist die liegende Acht: ∞

Der relativ komplizierte Vorgang rührt daher, dass die Römer keine

Stellenwerte und damit keinen Übertrag kannten.

Solche Rechnungen wurden mit einem System aus dem jeweiligen

Halbieren des einen Faktors und dem Verdoppeln des anderen

bewerkstelligt. Führt die Halbierung auf keine ganze Zahl, wurde

abgerundet.

Danach wurden alle Zeilen gestrichen, bei denen beim Halbieren

gerade Zahlen herauskamen und die verbliebenen Zahlen in der

Verdoppelungsspalte addiert.

Fortsetzung auf S 12

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Mathe für die BRP zentral

I Zahlen & Maße

1.1.1. Natürliche Zahlen

Auf einem Zahlenstrahl (1) besitzen die natürlichen Zahlen folgende Lage:

Die Menge der natürlichen Zahlen, abgekürzt mit dem Symbol N,

bezeichnet die Zahlen des Zählens.

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . }

Die kleinste natürliche Zahl ist eins. Jeder Nachfolger ist um eins größer als der Vorgänger. Die natürlichen Zahlen

enden nicht, sie führen ins Unendliche.

Zusatzbezeichnungen können Zahlen ein- oder ausschließen:

N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Bemerkung: Manchmal meint auch N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . }

N g = { 2, 4, 6, 8, 10, ... }

N u = { 1, 3, 5, 7, 9, ... }

Freilich lassen sich natürliche Zahlen auch anders darstellen, wenngleich es meistens vorteilhaft ist, die einfachste

Schreibweise zu wählen:

4

5 7

Beispiele: 2 N oder 3 N oder

3

64 4 N

2

4

Bemerkungen: ∈ ist das Symbol für " ist Element von " , im Sinne von " gehört zu … " ,

∉ ist das Symbol für " ist kein Element von " , im Sinne von " gehört nicht zu … " .

Nur zur Ansicht

Der Bruchstrich steht für ein Divisionszeichen

Das bedeutet:

Abschnitt VI, Kapitel 12.1., Seite 454

(1)

Ein Zahlenstrahl hat einen Anfang und kein Ende (denke an einen Sonnenstrahl).

Eine Zahlengerade hat weder Anfang noch Ende, geht also vom negativ-Unendlichen bis ins positiv Unendliche.

manfred.ambach 5 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Beispiel: Die märchenhafte Sieben

Warum kommt die Zahl sieben so häufig in unseren Märchen vor?

Schneewittchen und die sieben Zwerge

Der Wolf und die sieben Geißlein

Die sieben Raben

oder auch die sieben Weltwunder oder die sieben Tage der Woche.

In der christlichen Zahlensymbolik des Mittelalters steht sieben für die Gnade bzw. für Ruhe und Frieden.

Sieben ergibt sich durch die Addition von drei und vier.

Drei ist das Symbol für Gott bzw. die Dreifaltigkeit, vier steht für die Welt mit ihren vier Elementen

Luft, Feuer, Wasser und Erde.

Gewisse natürliche Zahlen sind sog. Primzahlen.

Die ersten Primzahlen sind:

Primzahlen sind natürliche Zahlen,

die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . . .

Die bisher größte Primzahl wurde im Rahmen des GIMPS

( Great Internet Mersenne Prime Search )-Projekts am 26.12. 2017

gefunden: 2 77 323 917 − 1 . Eine Zahl mit über 23 Millionen

Ziffern. (1) Würde man diese Zahl aufschreiben, füllte sie ca.

4 750 Din-A4 Seiten.

Nebenstehend das Sieb des ERATOSTHENES ( ≈276 – 194 v.Chr. ) zur

Ermittlung der Primzahlen, hier bis 100.

Zuerst streicht man alle Zahlen, die durch 2 teilbar sind, dann die

Vielfachen von 3, nun die durch vier teilbaren Zahlen, gefolgt von

allen Vielfachen von 5 usw. bis nur noch jene Zahlen bleiben, die

nur durch 1 und sich selbst teilbar sind, also die Primzahlen.

Nur zur Ansicht

Ja, warum ist die Zahl 1 eigentlich keine Primzahl, wenn sie doch, wie gefordert, nur durch 1 und sich selbst

teilbar ist?

...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

gnusöL: trednärev sthcin snie hcrud noisivid eid dnu driw treidivid nelhazmirp hcrud liew

(1)

https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl

manfred.ambach 6 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Primzahlen haben in der Zahlentheorie eine fundamentale Bedeutung, um

Strukturen zu erkennen und festzulegen. So lässt sich jede natürliche Zahl als

Produkt (Ergebnis einer Multiplikation) von Primzahlen darstellen. Heute finden

Primzahlen unter anderem in der Verschlüsselungstechnik Verwendung, um z.B.

den Datenaustausch via Internet sicherer zu gestalten.

Ältere Verfahren verwenden Zahlen mit 129 Dezimalstellen, die von modernen

Rechnern in Kürze zu knacken sind. Neue und sehr sichere

Verschlüsselungsmethoden beruhen auf Zahlen mit 1 924 Stellen, die mit

handelsüblichen Methoden nicht aufzuspüren sind. Allerdings sind derartige Zahlen für (Smart-) Phones der heutigen

Generation zu groß!

1.1.2. Ganze Zahlen

Die ganzen Zahlen auf einer Zahlengeraden:

Die Menge der ganzen Zahlen, symbolisiert durch Z , meint alle natürlichen

Zahlen, die Zahl Null, sowie alle negativen ganzen Zahlen.

Z = { . . . . . . . , – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . . . . }

Die ganzen Zahlen kommen aus dem Negativ-Unendlichen und reichen bis ins Positiv-Unendliche. Auch hier ist der

Nachfolger stets um eins größer als der Vorgänger.

Nur zur Ansicht

Zusatzbezeichnungen sind möglich und üblich:

Z + = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . } = N

Z − = { . . . . ., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1 } Z g

− = { . . . . ., – 8, – 6, – 4, – 2 } usw.

Die ganzen Zahlen existieren seit mindestens knapp zweieinhalbtausend Jahren, als die Babylonier um 300 v. Chr.

auf die Notwendigkeit der Erweiterung der natürlichen Zahlen beim Lösen von Gleichungen stießen.

manfred.ambach 7 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Babylonische Zahlen-Zeichen (ca. 2000 – 1500 v.Chr.)

In Europa gewannen nach 1000 nach Christus

Handelszentren wie die deutsche Hanse oder Stadtsaaten

wie Venedig, Genua oder Florenz immer mehr an Einfluss.

Der rege Handel bedingte die Notwendigkeit ganzer

Zahlen, denn fehlende Ware oder Schulden mussten

entsprechend gekennzeichnet werden.

Noch heute findet sich der Einfluss italienischer Handelsmetropolen in Bezeichnungen wie Konto

( il conto: die Rechnung ) oder dem Lombard-Satz ( Lombarden wurden im Heiligen Römischen Reich deutscher Nation die

italienischen Kaufleute genannt ) als dem Zinssatz, den die jeweilige Zentralbank festlegt.

Beispiel:

Stephan rechnet offensichtlich so:

Am Abend werden – 20 Grad Celsius ( °C ) gemessen. In der Nacht soll die Temperatur

um 5° C sinken.

Stephan meint: " Dann wird es in der Nacht −15° C haben. "

Julia entgegnet: " Ich glaube, die Temperatur wird auf – 25 ° C sinken. "

Tom: " Komisch, wenn ich rechne, komme ich auf + 25 ° C ! "

– Begründe, wer von den Dreien recht hat.

– 20° C + 5° C = −15° C Plus heißt aber mehr. Wenn die Temperatur sinkt,

wird sie jedoch weniger. Und weniger heißt minus.

Also hat Stephan unrecht.

Julias Überlegung:

Es hat am Abend – 20 ° C . In der Nacht wird es noch 5 ° C weniger haben.

– 20 ° C – 5 ° C = – 25 ° C

Tom rechnet augenscheinlich so:

weniger heißt minus

Nur zur Ansicht

– 20 ° C – 5 ° C = + 25 ° C Tom wendet dabei die Vorzeichen-Regel der Multiplikation

− ⋅ − = +

Das bedeutet:

Damit liegt nur Julia mit ihren Überlegungen und dem Ergebnis richtig.

Abschnitt I, Kapitel 1.2.3., Seite 20 und folgende

Der schwedische Physiker und Mathematiker Anders CELSIUS (1701 – 1744) legte den Gefrierpunkt von Wasser

bei 100 o C fest, den Siedepunkt bei 0 o C. Carl von LINNÈ (1707 – 1778 , schwedischer Naturforscher) drehte 1745

die Skala um, so wie wir sie heute verwenden.

manfred.ambach 8 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

1.1.3. Rationale Zahlen

Einige Beispiele rationaler Zahlen:

Die Menge der rationalen Zahlen, abgekürzt mit Q, beinhaltet alle Zahlen,

die sich als Brüche darstellen lassen,

in deren Zähler und Nenner ganze Zahlen stehen ( im Nenner ≠ 0 ).

Bemerkung: Das Symbol Q rührt daher, dass man statt des Bruchstriches

auch ein Divisionszeichen setzen kann und das Ergebnis einer

Division Quotient genannt wird.

Zuvor eine Bemerkung: entstammt der Mengenlehre und bedeutet „ ist Element von “, was so viel wie „ gehört zu “ meint.

3

∈ 4 Q, da 3

= 3,0

4 4,0

1,25 ∈ Q, , da 1,25 = 1,25

Um auf die Darstellung

2 ∈ Q, , da 2 = 2,0

1,0

1,0

0, 4̇ ∈ Q, , da 0, 4̇ = 4

4

9 = 0, 4̇ 4

zu kommen, muss man allerdings

9

− 3 ∈ Q, , da−3 = −3,0

Nur zur Ansicht

Wozu soll ich denn Zahlen,

wie z.B. 2 , als Brüche

darstellen, wenn sie als

ganze Zahlen viel einfacher

sind?

9

als Division auffassen:

1,0

Musst du ja nicht, lieber Fredo!

4 : 9 = 0,444 . . .

40

40

40

. . .

Es heißt ja, rationale Zahlen sind solche, die man als Brüche

mit ganzzahligem Zähler und Nenner darstellen kann und

nicht muss!

Rationale Zahlen sind demnach neben den Bruchzahlen, auch die natürlichen und ganzen Zahlen, ebenso

alle Dezimalzahlen mit endlich vielen Stellen und periodische Dezimalzahlen, also Zahlen mit unendlich vielen

Stellen, wobei sich die Ziffern regelmäßig wiederholen.

manfred.ambach 9 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Die rationalen Zahlen liegen so dicht, dass sich der Nachfolger oder Vorgänger einer bestimmten Zahl nicht exakt

angeben lässt:

Der Nachfolger der Zahl 1 kann nur angedeutet werden: 1,000000 . . . 0001

Ebenso der Vorgänger der Zahl 2: 1,999999 . . . . 9998

Auch wenn wir den Abstand zweier rationaler Zahlen verkleinern, lassen sich Nachfolger und Vorgänger nur

andeuten und nicht exakt angeben.

Obwohl die rationalen Zahlen so dicht liegen, gibt es noch Zahlen, die nicht zu den rationalen Zahlen gehören,

sich also nicht als Brüche darstellen lassen, in deren Zähler und Nenner ganze Zahlen stehen:

Beispiele: √ 2 = 1,4142135623730950488016887 . . .

Nur zur Ansicht

oder die Kreiszahl π = 3.1415926535897932 . . .

Diese Wurzel, als Dezimalzahl dargestellt, besteht aus

unendlich vielen Ziffern, die sich jedoch nicht, wie bei den

periodischen Dezimalzahlen, regelmäßig wiederholen.

Darstellung der Zahl pi (π) in der Wiener Opernpassage

manfred.ambach 10 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Solche Zahlen nennt man irrationale Zahlen, wobei irrational nicht als vernunftwidrig oder unsinnig gedeutet

wird, sondern als unvorstellbar [ ratio (lateinisch): u.a.: Denkart, Anschauung ].

Die Berücksichtigung solcher Zahlen führt uns zur nächsten Zahlenmenge, den reellen Zahlen.

Die rationalen Zahlen auf einer Zahlengeraden:

0 1

Trotz ihrer Dichte weisen die rationalen Zahlen immer noch Löcher auf, nämlich die irrationalen Zahlen.

Bemerkung: Zahlentheoretisch, also mathematisch, lässt sich zeigen, dass die rationalen Zahlen „dicht“ sind.

Doch ist dieser Sachverhalt recht abstrakt zu verstehen.

Deshalb erlaube ich mir die obige Anschauung zu vertreten.

1.1.4. Reelle Zahlen

Damit sind alle bisher behandelten Zahlen auch reelle Zahlen:

Beispiele:

Die Menge der reellen Zahlen R besteht aus jenen Zahlen,

die sich als Brüche darstellen lassen,

in deren Zähler und Nenner Dezimalzahlen

mit endlich oder unendlich vielen Ziffern

( im Nenner ≠ 0 ) stehen.

Nur zur Ansicht

3

∈ 4 R, da 3

= 3,0

4 4,0

1,25 ∈ R, da 1,25 = 1,25

2 ∈ R, da 2 = 2,0

. .

1,0

1,0

− 3 ∈ R, da−3 = −3,0

1,0

0, 4̇ ∈ R, da 0, 4̇ = 0,44444 … = 0,44444…

1,0

Aber auch:

π ∈ R, da π = 3,141592654 … = 3,141592654…

1,0

√2 ∈ R, da √2 = 1,414213562 … = 1,414213562…

1,0

manfred.ambach 11 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Die reellen Zahlen liegen so dicht, dass sie eine durchgehende Gerade bilden.

Wir können uns die bisher behandelten Zahlenmengen folgendermaßen veranschaulichen:

Bemerkung: Bei der obigen Darstellung handelt es sich nur um eine grobe Illustration, bei der die Größenverhältnisse

zwischen den Zahlenmengen nicht stimmen.

0

Nur zur Ansicht

Die Unendlichkeit der Mathematik 2

Ist ∞ eine Zahl?

Was ergibt dann z.B. ∞ − 1 ?

Fortsetzung auf S 22

manfred.ambach 12 pro-test.at


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1.1.5. Komplexe Zahlen

Beispiel:

2

√ 4 = √ 4

2

√ 4 = √ 4

Trotz der völligen Dichte reeller Zahlen sind in dieser Menge noch immer nicht

alle möglichen Zahlen berücksichtigt.

= 2 Probe: 2 2 = 2 . 2 = 4

Folgende Beispiele sollen den Bedarf einer zusätzlichen Zahlenmenge darlegen:

= −2 Probe: (−2) 2 = (−2) . (−2) = 4

Wie sieht das nun mit der Quadratwurzel aus einer negativen Zahl aus?

Beispiel:

2

√− 4

2

√− 4

= 2 Probe: 2 2 = 2 . 2 = 4 und nicht − 4 → √−4

= −2 Probe: (−2) 2 = (−2). (−2) = 4 und nicht − 4 → √−4

Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl kann

zwei Werte besitzen: Einen positiven und ihre

negative Gegenzahl. Denn gleich, ob ich eine

positive Zahl quadriere ( also mit sich selbst

multipliziere ) oder ihre negative Gegenzahl,

ich erhalte immer das gleiche positive Ergebnis.

Nur zur Ansicht

2

2

≠ 2

≠ −2

Es existiert keine reelle Zahl, die quadriert eine negative Zahl ergibt.

Folglich kann die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl keinen Wert in den bisherigen Zahlenmengen besitzen.

Link: https://www.youtube.com/watch?v=WAzGp8Wqxtk&t=2s

manfred.ambach 13 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich GAUß ging nun her und setzte die

Carl Friedrich GAUß

( 1777 – 1855 )

und benannte i als imaginäre Einheit.

2

√– 1

Damit lassen sich Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wie folgt angeben:

√− 4 = √4 ⋅ (−1) = √4 ⋅ √− 1 = ±2 i

±2 i

Typisch Mathematiker!

Machen aus etwas, was eben

nicht existiert, nicht nur ein

Problem, sondern gleich eine

neue Theorie daraus!

Nur zur Ansicht

= i

Gemeint sind die beiden Zahlen 2 i und −2 i

Lieber Fredo,

Ich möchte versuchen, ein Argument für die Existenz komplexer Zahlen anzuführen:

auf den ersten Blick hast du natürlich Recht!

Du befindest dich mit deiner Skepsis in literarischer

Gemeinschaft mit

Friedrich TORBERGs Schüler Gerber ,

der im gleichnamigen Roman seinen Mathelehrer Kupfer

über den Sinn komplexer Zahlen befragt.

Auch Zahlen wie 1, 2 oder 3 sind abstrakte Gedankengebilde. Sie nennen sich zwar natürliche Zahlen, aber niemand

hat im Frühling z.B. eine Eins aus dem Boden sprießen sehen. Solche Zahlen ergeben erst dann Sinn, wenn wir sie mit

Gegenständen verbinden, um sie z.B. zu zählen und damit quantitativ (mengenmäßig) zu erfassen.

Als Kinder lernten wir die Namen der Zahlen und schließlich konnten wir sie in

richtiger Reihenfolge nennen. Doch was sollen denn

bedeuten?

eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben . . .

Der Sinn erschließt sich erst, wenn diesen Zahlen Objekte zugeordnet werden,

wenn wir Utensilien zählen um ihre Anzahl festzustellen und Ordnungen zu

schaffen. Auch mit der imaginären Einheit bzw. den komplexen Zahlen lassen sich Gesetzmäßigkeiten und Strukturen in

Natur und Technik beschreiben und zwar einfacher als mit den uns gewohnten Zahlen. Wichtig ist, wie bei jeder Zahl und

Rechnung, eine passende Deutung zu finden!

Mit Hilfe der komplexen Zahlen, können z.B. Schwingungszustände,

die Einsichten in Materiestrukturen verleihen, wesentlich leichter

berechnet werden als mit den uns geläufigen Zahlen.

Komplexe Zahlen finden u.a. auch in der Chaostheorie ihre

Verwendung und sind heute aus Naturwissenschaft und Technik

nicht mehr wegzudenken.

manfred.ambach 14 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Gebäudekomplex in Düsseldorf

Woher der Name komplexe Zahlen?

Wie ein Gebäudekomplex aus mehreren Häusern besteht, so setzt

sich eine komplexe Zahl aus mehreren Gliedern (Ausdrücke, die mit

+ oder – verbunden sind) zusammen, die nicht addiert bzw.

subtrahiert werden können.

Beispiel: z = 4 + 3 . i

Allgemein lässt sich eine komplexe Zahl z in sog. BINOMIAL-Form wie folgt darstellen:

mit a, b R ( a und b sind reelle Zahlen )

i … imaginäre Einheit mit i = √− 1

Beispiel: z = 4 + 3 i

Diese komplexe Zahl z wird in einer

Ebene (flach und unendlich groß) als

Pfeil dargestellt.

Auf der waagrechten Achse wird

a = 4 aufgetragen, auf der nach

hinten gehenden Achse 3 i .

Nur zur Ansicht

Die komplexen Zahlen sind eine ganze Dimension größer als alle Zahlen, die wir bisher besprachen:

Während sich natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen auf der waagrechten Achse (eindimensional)

darstellen lassen, bedecken die Pfeilspitzen aller komplexen Zahlen jeden Punkt in einer (unendlich großen) Ebene

(zweidimensional).

manfred.ambach 15 pro-test.at


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1.2. Rechnen mit Zahlen

1.2.1. Vorrangregeln

Wegen der Bedeutung der Vorrangregeln für das richtige Rechnen seien diese Gebote in Erinnerung gerufen:

(1) Klammern müssen immer zuerst berücksichtigt werden

(2) Hochrechnung ( Potenzen, Wurzeln ) kommt vor Punktrechnung ( . : )

(3) Punktrechnung kommt vor Strichrechnung ( + – )

Stehen mehrere Klammern ineinander, mit der innersten Klammer beginnen.

Innerhalb der Klammern gilt auch: Hoch– vor Punkt– vor Strichrechnung.

Nur zur Ansicht

manfred.ambach 16 pro-test.at


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1.2.2. Rechnen mit natürlichen Zahlen

Betrachten wir folgendes Beispiel:

4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 3 2 ) ] + 2 3 =

Stehen mehrere Klammern ineinander, beginne mit der innersten Klammer.

Zunächst berücksichtigen wir die Hochrechnung in der innersten (runden) Klammer.

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 3 2 ) ] + 2 3 =

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 9 ) ] + 2 3 =

Es folgt die Punktrechnung in der runden Klammer.

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 9 ) ] + 2 3 =

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 12 – 9 ) ] + 2 3 =

Jetzt noch die Strichrechnung in der runden Klammer.

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 12 – 9 ) ] + 2 3 =

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 ) ] + 2 3 =

In der runden Klammer steht nur noch eine Zahl. Deshalb dürfen wir diese Klammer weglassen.

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 ) ] + 2 3 =

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – 3 ] + 2 3 =

Nun berechnen wir die eckige Klammer anhand der Vorrangregeln.

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – 3 ] + 2 3 =

Nur zur Ansicht

= 4 + 2 . [ 5 . 4 – 3 ] + 2 3 =

= 4 + 2 . [ 5 . 4 – 3 ] + 2 3 =

= 4 + 2 . [ 20 – 3 ] + 2 3 =

= 4 + 2 . [ 20 – 3 ] + 2 3 =

= 4 + 2 . [ 17 ] + 2 3 =

= 4 + 2 . [ 17 ] + 2 3 =

manfred.ambach 17 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Nachdem auch die eckige Klammer weggelassen werden kann, sind die restlichen Rechenoperationen

wiederum entsprechend den Vorrangregeln durchzuführen.

= 4 + 2 . 17 + 2 3 =

= 4 + 2 . 17 + 2 3 =

= 4 + 2 . 17 + 8 =

= 4 + 2 . 17 + 8 =

= 4 + 34 + 8 =

= 46

Bemerkung 1: Freilich lässt sich ein solches Beispiel in weniger Schritten bewerkstelligen, doch soll hier die richtige

Anwendung der Vorrangregeln bewusst gemacht werden, die auch für das Rechnen mit Buchstaben gelten.

Bemerkung 2: Der Gebrauch der Vorrangregeln wirkt im Zusammenhang mit konkreten Zahlen meist recht banal,

ist aber häufig eine Ursache für falsches Rechnen!

Beispiel:

2 3 = 2 . 2 . 2 = 8 und nicht 2 3 = 2 . 3 = 6

3-mal

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Nur zur Ansicht

Festungsbahn Salzburg

Das bedeutet: Abschnitt II, Kapitel 2.2.1., Seite 56 und folgende

Ein Wagen der Salzburger Festungsbahn kann maximal 55 Personen fassen.

Es fährt immer ein Wagen nach oben und einer gleichzeitig nach unten.

Die Fahrzeit für eine Strecke beträgt 39 Sekunden, die Stehzeit 2,6 Minuten.

Bild: SLB

– Berechnen Sie, wie viele Personen in der 12-stündigen Öffnungszeit maximal nach oben befördert werden

können.

manfred.ambach 18 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Möglicher Lösungsweg:

Fahrzeit = 39 Sekunden

Stehzeit = 2,6 Minuten 2,6 Minuten . 60 = 156 Sekunden (s)

Fahrzeit + Stehzeit für eine Strecke = 39 + 156 = 195 Sekunden → Alle 195 s fährt ein Wagen nach oben.

1 Stunde = 60 Minuten = 3 600 s → 12 Stunden = 12 . 3 600 s = 43 200 s

43 200 : 195 = 221,54 Das heißt, die Wagen können in 12 Stunden 221-mal zur Gänze hinauffahren. (*)

221 . 55 = 12 155

In den 12 Stunden Betriebszeit können maximal 12 155 Personen nach oben befördert werden.

(*)

Würde ein Wagen in 12 Stunden 221,54-mal hinauffahren, bliebe er bei seiner 222. Fahrt auf offener Strecke stehen,

weil er da nur noch das 0,54-fache (=

Richtig wäre auch folgende Überlegung:

12 Stunden = 12 . 3 600 s = 43 200 s

54

100

Bei der ersten Fahrt gibt es noch keine Stehzeit.

43 161 : 195 = 221,34 → 221 ganze Fahrten + 1. Fahrt = 222 Fahrten

222 . 55 = 12 210

= 54 % ) der Strecke, also nur noch gut die Hälfte, zurücklegte.

43 200 – 39 = 43 161 s

Bei dieser Überlegung könnten in den 12 Betriebsstunden maximal 12 210 Personen nach oben befördert werden.

Aus der Sendung die Millionenshow:

Nur zur Ansicht

manfred.ambach 19 pro-test.at


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1.2.3. Rechnen mit ganzen Zahlen

Für das Rechnen mit ganzen Zahlen benötigen wir neben den Vorrangregeln auch die

Dazu passende Beispiele:

der Multiplikation

Vorzeichenregeln

der Division

+ ⋅ + = + + : + = +

– ⋅ – = + – : – = +

+ ⋅ – = – + : – = –

– ⋅ + = – – : + = –

( + 3 ) . ( + 2 ) = + 6 ( + 8 ) : ( + 4 ) = + 2

( – 3 ) . ( – 2 ) = + 6 ( – 8 ) : ( – 4 ) = + 2

( + 3 ) . ( – 2 ) = – 6 ( + 8 ) : ( – 4 ) = – 2

( – 3 ) . ( + 2 ) = – 6 ( – 8 ) : ( + 4 ) = – 2

Nur zur Ansicht

Warum ergibt denn eigentlich

z.B. – . – = + ?

und

→ Das kannst du in der Übung 01 - 02 erfahren.

Glücklicherweise haben wir in

der Volksschule nicht so

kompliziert multiplizieren

gelernt, sonst könnte ich es bis

heute nicht!

→ Richtig, und deshalb schreiben wir jetzt die gleichen

Aufgaben nochmals so einfach wie möglich an.

manfred.ambach 20 pro-test.at


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3 . 2 = 6 8 : 4 = 2 oder

4

2

8 2

– 3 . ( – 2 ) = 6 – 8 : ( – 4 ) = 2 oder

3 . ( – 2 ) = – 6 8 : ( – 4 ) = – 2 oder

– 3 . 2 = – 6 – 8 : 4 = – 2 oder

Was können wir daraus für Schreibregeln folgern?

o Steht zu Beginn vor einer Zahl ( oder einem Buchstaben ) kein Vorzeichen, so

ist + gemeint

Jetzt ein Beispiel mit ganzen Zahlen:

o Zwei unmittelbar aufeinander folgende Vor- bzw. Rechenzeichen müssen

( aus Gründen der Übersicht ) durch eine (optische) Klammer getrennt werden

aber:

– 2 . ( – 2 ) 2 – [ – 4 . 3 2 – ( – 2 ) 2 + 4 ] =

= (–2) – 2 3 . + ( 2 –. 2 [ )–2 2 –. [(–3)– 4 2 . – 3 2 4 –. (–1)( – 2 3 ) + 2 + 2 2 4 ]] =

= – 2 . ( – 2 ) 2 – [ – 4 . 9 – (+ 4 ) + 4 ] =

= (–2) 3 + 2 . [ –2 . 9 – 4 . (–1) + 4 ] =

Nur zur Ansicht

= – 2 . ( – 2 ) 2 – [ – 4 . 9 – 1.(+ 4 ) + 4 ] =

=

=

(–2)

– 2 3 .

+

( –

2

2

. [

) 2 –

–18

[ – 36

+


4

4

+

+ 4

]

] =

= – 2

= (–2) 3 . ( – 2 ) 2 – [ – 36 ] =

+ 2 . [ –10 ] =

= – 2 . 4 – [ – 36 ] =

= –8 + 2 . [ –10 ] =

= – 8 – [ – 36 ] =

8

4

8

4

8

4

2

2

Laut Vorrangregeln müssen Klammern zuerst berücksichtigt werden.

In der runden (innersten) Klammer können wir nichts rechnen. Diese

Klammer ist zu quadrieren (Hochrechnung), wie auch 3 2 , was vor allen

anderen Rechenoperationen in der eckigen Klammer Vorrang hat.

Es folgt die Punktrechnung in der eckigen Klammer,

Beachte, dass das Vorzeichen – vor der runden Klammer eigentlich

die Multiplikation mit – 1 meint.

Das bedeutet:

Jetzt folgt die Strichrechnung in der eckigen Klammer.

In der eckigen Klammer steht nur noch eine Zahl. Wir könnten also die

eckige Klammer weglassen. Da aber zwei Rechenzeichen

( das Minus vor der eckigen Klammer und das Minus vor 36 )

nicht unmittelbar aufeinander folgen dürfen, müssen wir die Klammer

stehen lassen.

Nun ist die Hochrechnung außerhalb der eckigen Klammer an der Reihe,

gefolgt von der Punktrechnung.

Abschnitt I, Kapitel 2.2.3., Seite 72

= –8

manfred.ambach 21 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

= – 8 – 1 . [ – 36 ] =

= – 8 + 36 =

= 28

Noch weitere Beispiele:

–2 . +3 . ( – 4 ) = + 24 = 24

– ⋅ – = +

(–2) 2 = (–2) . (–2) = + 4 = 4

(–2) 3 = (–2) . (–2) . (–2) = – 8

Richtig! Doch muss dabei die sog. Basis ( Grundzahl ) negativ sein!

2 3 = (+2) 3 = + 8 = 8

Kann es sein, dass bei gerader

Hochzahl das Ergebnis positiv ist,

während eine ungerade Hochzahl ein

negatives Resultat zur Folge hat?

Wie lösen wir jetzt die eckige Klammer auf?

Das Minus vor der Klammer ist eigentlich das

Vorzeichen der Zahl 1, mit der wir uns die Klammer

multipliziert vorstellen können

Das bedeutet:

Der erste Faktor – 2 ist negativ. Der zweite, +3 , ist positiv.

– mal + ist – und

– mal – ( von – 4 ) ist schließlich +

Zuletzt berücksichtigen wir noch die Strichrechnung.

Abschnitt I, Kapitel 2.2.3., Seite 72

Nur zur Ansicht

Ist die Basis positiv, ist das Ergebnis immer positiv, gleich ob die Hochzahl gerade oder ungerade ist!

Die Unendlichkeit der Mathematik 3

∞ − 1 = ∞ behaupte ich einmal.

Fortsetzung S 38

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Mathe für die BRP zentral

I Zahlen & Maße

1.2.4. Runden von Zahlen

Wir betrachten das Kaufmännische Runden

Beispiel:

Die Zahl 6,2379 soll auf zwei Nachkommastellen gerundet werden.

Beispiele:

6,2379 ≈ 6,24

Runde die folgenden Zahlen auf zwei Nachkommastellen:

16,0329 ≈

16,0351 ≈

16,03

...............................................

16,04

...............................................

Nur zur Ansicht

8,003 ≈

1,0081 ≈

0,0002 ≈

Wir betrachten die nächstfolgende Dezimalstelle.

In unserem Beispiel die dritte, da wir auf zwei Stellen nach dem Komma runden wollen.

Steht an dieser Stelle die Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4, dann bleibt die Ziffer, auf die gerundet werden soll,

unverändert.

Steht an dieser Stelle die Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9, dann wird die Ziffer, auf die gerundet werden soll,

um 1 erhöht.

8,00

...............................................

1,01

...............................................

0,00

...............................................

4,997 ≈

5,00

...............................................

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Mathe für die BRP zentral

I Zahlen & Maße

1.2.5. Rechnen mit Casio

Wollen wir uns zunächst einmal mit den grundlegenden

Bedienungselementen unseres Rechners auseinandersetzen.

Dieser Taschenrechner zeichnet sich einerseits durch einfache Bedienung

aus. Außerdem entspricht die Darstellung am Display in aller Regel der

handschriftlichen Aufzeichnung.

Das Einschalten des Rechners erfolgt über die Taste

( 1. Reihe, ganz rechts)

Für die Anfangs-Einstellung betätigen wir die Tasten

und

( 1. Reihe, ganz links )

Nur zur Ansicht

Es erscheint das abgebildete Befehlsfenster.

Jetzt die

gedrückt, und folgendes Befehlsfenster erscheint:

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I Zahlen & Maße

Da wir die Setup – Daten zurücksetzen wollen,

betätigen wir die Taste

Nun noch betätigt ( 6. Reihe, ganz rechts )

Das Display erscheint in der links abgebildeten Form.

Auf diese Weise erfolgt auch das Zurücksetzen , wenn

sich durch die Solarzelle die Einstellungen verändert haben

sollten.

Nur zur Ansicht

Bemerkung: Das M in der obigen Zeile muss nicht unbedingt angezeigt sein.

Ausschalten des Taschenrechners:

und

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I Zahlen & Maße

Beispiel:

Ermitteln wir mit Hilfe des Rechners das Ergebnis von 4 . 5 – 3 . 2 3 =

Wir geben ein:

Zunächst geben wir die Ziffer 4

ein, gefolgt vom

Mal-Zeichen

( 3. Reihe von unten,

2. Taste rechts ).

Jetzt Minus

( 2. Reihe von

unten, ganz

rechts )

gedrückt.

Nun die Ziffer 3, das

Mal-Zeichen und die Ziffer 2

betätigt.

Am Display erscheint die Rechnung in folgender Form:

Vor jeder neuen Rechnung die

Eingaben zu löschen.

Beispiel:

2 3 +5 =


Die Hoch-

Taste ist in

der 3.

Reihe von

oben, 3.

Taste von

rechts.

Jetzt noch die

Ziffer 3 gedrückt

und zuletzt das

(ENTER)

- Zeichen

(unterste Reihe, rechts)

betätigt.

In der zweiten Zeile des Displays erscheint das

Ergebnis rechts.

-Taste betätigen ( 4. Reihe von unten, ganz rechts ), um alle alten

Nur zur Ansicht

Nach der Hochzahl 3 muss die Replay–Taste

( oben Mitte ) betätigt werden, sodass der blinkende

Cursor im Display nach rechts unten wandert. Ansonsten würden wir 2 3+5 statt 2 3 + 5 rechnen!

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I Zahlen & Maße

Die Rechnung am Display:

Auch Brüche lassen sich leicht berechnen.

Dafür steht die Bruchtaste

( 3. Reihe von oben, ganz links ) zur Verfügung.

Soll ein Bruch eingegeben werden, so ist zuerst die Bruchtaste zu aktivieren. Am Display erscheint folgende Form:

Angenommen, wir wollen den Bruch 3

4

eingeben.

Zuerst die Bruchtaste betätigt, dann die Zahl eingeben, die Cursor-Taste betätigen

und danach die Zahl eingeben. Schließlich noch auf drücken.

Auf dem Display erscheint die abgebildete Eingabe und das dargestellte

Resultat.

Nur zur Ansicht

Bemerkung: Unser Taschenrechner stellt Ergebnisse, wenn irgend möglich,

immer als Brüche dar. Will man das Ergebnis in Dezimalform,

dann ist die

- Taste ( 5. Reihe von unten, 2. von rechts ) zu drücken.

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I Zahlen & Maße

Wir könnten den Taschenrechner auch so einstellen, dass das Resultat sofort in Dezimalform erscheint, doch

gehen damit alle Vorteile, die der Casio bei Eingabe und Rechnung bietet, verloren.

Beispiel:

Berechnen wir jetzt

3 5 1


4 8 2

Schriebe man ohne Betätigung des Cursors, so

könnten z.B. nebenstehende Eingaben entstehen.

Wir werden manchmal auch solche Darstellungen

benötigen, hier aber nicht.

Wir drücken die Bruchtaste (3. Reihe von oben, links )

und am Display erscheint das Bruch–Symbol.

Jetzt geben wir die Brüche ein und positionieren mit

Hilfe der -Taste ( ganz oben Mitte )

die Zahlen an ihrer richtigen Stelle.

Abschließend die ENTER-Taste ( ganz unten rechts )

gedrückt und das Ergebnis erscheint in Bruchform.

Die Ergebnisse erscheinen immer optimal vereinfacht in Bruchform, wenn

irgend möglich.

Für die Schul-Mathematik ist diese Darstellungsform tendenziell besser.

Sind die Ergebnisse in Dezimalschreibweise erwünscht, braucht nur die

Nur zur Ansicht

-Taste ( 5. Reihe von oben , 2. von rechts ) gedrückt werden.

In unserem Fall erscheint dann das Resultat als 0.875

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I Zahlen & Maße

Was macht man, wenn eine falsche Ziffer eingegeben wurde?

Beispiel:

Wir wollten die Zahl 604 eingeben und haben stattdessen 614 getippt.

Der Cursor blinkt immer rechts der zuletzt eingegebenen Ziffer.

Mit der Replay-Taste

der Ziffer, die wir löschen wollen.

In unserem Fall rechts vor die Ziffer 1.

Jetzt drücken wir die LÖSCHEN – Taste

2. Taste von rechts),

sodass die Ziffer 1 verschwindet . . .

setzen wir den Cursor rechts

(6. Reihe von oben,

Nur zur Ansicht

. . . und fügen die gewünschte Ziffer ein.

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I Zahlen & Maße

Wie speichern wir Zahlen auf dem Taschenrechner ?

Betrachten wir dafür zunächst die Tastatur des Rechners:

Betrachten wir unser letztes Beispiel:

7

Das Ergebnis lautet .

8

In der unteren Reihe interessiert die

Taste .

(links).

STO ( store ) . . . speichern

RCL ( recall ) . . . zurückrufen

Wollen wir das Resultat in Speicher A legen, betätigen wir

folgende Tastenkombination:

In der oberen Reihe sehen wir Tasten,

über denen die Buchstaben

A B C D E F stehen.

Das sind die sechs Speicherplätze

des TR und werden ohne

– Taste betätigt.

Nur zur Ansicht

und am Display scheint rechts stehendes Bild auf.

Ans

A bedeutet, die Zahl ist auf Platz A gespeichert.

Ans bedeutet Ansicht

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I Zahlen & Maße

Wenn eine Zahl in der ersten Zeile des Displays steht und gespeichert wird:

Wollen wir den gespeicherten Wert zurückrufen, so drücken wir

und am Display tritt der gespeicherte Wert auf.

Noch drei Bemerkungen:


Der Rechner verfügt nur über runde Klammern

Auch hier betätigen wir die Tastenkombination

so wir die Zahl auch in A speichern wollen.

Jetzt erscheint am Display das links dargestellte Bild.

Auch das bedeutet, die Zahl 7 ist auf Platz A

8

gespeichert.

Nur zur Ansicht

Die Hochrechnung wird mit der Taste ( 3. Reihe von oben, 3. von rechts ) bewerkstelligt

Bsp.: 2 3 : 2 3 8.

(5. Reihe von oben, Mitte ).

Die Komma-Taste

Punkt, wie sonst bei Taschenrechnern üblich.

( unterste Reihe, 2. von links ) besitzt als Symbol einen Beistrich und keinen

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I Zahlen & Maße

Beispiel

Geben wir die Zahl 1 000 000 000 000 000 ein.

Diese Form nennt man normierte Fließkomma- oder Gleitkomma-Darstellung und wird uns in Kapitel 2.2.6., S 75 f

beschäftigen.

Rechnen wir folgendes Beispiel:

4 . 10 8 : 2 . 10 6

Verwende die Taste

Als Ergebnis muss 200 erscheinen.

Beispiel: Mordsmäßig

(ganz unten, Mitte)

Im Jahr 2014 wurden in Wien 9 Morde begangen, im Jahr 2015 waren es 20.

– Ermittle die absolute Änderung(srate) = neuer Wert – alter Wert : 20 – 9 = 11

Die Zahl der Morde veränderte (erhöhte) sich von 2014 auf 2015 um 11.

Nur zur Ansicht

– Ermittle die relative Änderung(srate) =

20 – 9

9

= 1,22 = 122,22 %

Wir geben die Zahl ohne Abstände ein.

betätigt und die Zahl erscheint

in der Form 1 x I0 15 .

neuer Wert − alter Wert

alter Wert

Die Zahl der Morde veränderte (erhöhte) sich von 2014 auf 2015 um 122,22 %.

relativ bedeutet bezüglich, hier also die Anzahl der Morde 2015 bezogen auf die frühere Menge, also die Anzahl

der Morde 2014.

bezogen auf (bezüglich, relativ) = dividieren

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I Zahlen & Maße

1.3. Prozent– und Promillrechnung

1.3.1. Prozentrechnung

Das Wort Prozent kommt aus dem Lateinischen.

In diesem Wort steckt die Zahl 100 ( lateinisch centum ).

Z.B. wird ein Hundertstel Euro Cent genannt.

Frei übersetzt bedeutet das Wort Prozent : durch 100.

1 % =

50 % =

1

100

100 % = 100

50

= 1

100 2

100

von einem Ganzen

von einem Ganzen

= 1 . . . entspricht dem Ganzen

Das Ganze ( die Grundmenge, die ursprüngliche Menge, die Vergleichsbasis ) entspricht 100 %

Beispiel:

Ist 1 % immer weniger als 100 %?

Vom gleichen Ganzen ja, denn 1 % ist nur der hundertste Teil

des Ganzen, während 100 % das Ganze darstellt.

Doch: 100 % aller Österreicher sind 8,4 Mio. Menschen,

1

1 % aller Chinesen sind von 1, 3 Mrd. = 13 Mio. Menschen

100

Nur zur Ansicht

Im Jahr 2012 wurden Pensionen bis zu einer Brutto-Höhe von 3 300 Euro

um 2,7 % erhöht.

Jemand erhielt bisher monatlich 1 018 Euro brutto Pension.

– Bestimme, wie viel Euro die Erhöhung ausmacht.

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I Zahlen & Maße

100 % entspricht der ursprünglichen Brutto-Pension von € 1 018,-

Davon wollen wir 2,7 % bestimmen.

100 % : 100 %

= 1 %

1 % . 2, 7 % = 2,7 %

100 % . . . . . . . € 1 018,-

1 %

2,7 % . . . . . . . x

x =

1 018 . 2,7

100

Die Brutto-Pensionserhöhung macht 27,49 Euro aus.

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Schnäppchenjagd

Bild: Deutsche Wirtschaft

= 27,486

: 100 %

. 2, 7 %

Der Preis, den wir Konsumenten für ein T-Shirt zahlen, setzt sich aus

folgenden Faktoren zusammen:

Nur zur Ansicht

Ein T-Shirt kostet € 4,99.

Quelle: Heute-Journal, 26.04.2013

– Berechnen Sie die absoluten Anteile der einzelnen Faktoren.

manfred.ambach 34 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

I Zahlen & Maße

Siehe auch S 32.

Möglicher Lösungsweg:

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €

50 % . . . . . . . . . . . . . . x €

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €

1,5 % . . . . . . . . . . . . . . x €

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €

12,5 % . . . . . . . . . . . . . . x €

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €

25 % . . . . . . . . . . . . . . x €

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €

11 % . . . . . . . . . . . . . . x €

absolute Anteile … die Anteile in Euro (in diesem Beispiel)

relative Anteile … die Anteile in Prozent

Sollten die Arbeitsbedingungen, wie Lärm, Luft und Brandschutz verbessert werden, bedeutete das eine

Erhöhung der Herstellungskosten um 50 % .

– Berechne, um wie viel sich dadurch der Verkaufspreis erhöhte.

Nur zur Ansicht

Möglicher Lösungsweg:

x =

x =

x =

x =

x =

4,99 ⋅ 50

100

4,99 ⋅ 1,5

100

4,99 ⋅ 12,5

100

4,99 ⋅ 25

100

= 2,50 €

= 0,07 €

= 0,62 €

= 1,25 €

4,99 ⋅ 11

= 0,55 €

100

Ursprüngliche Herstellungskosten: 0,62 Euro 150% von 0,62 = 150

⋅ 0,62 = 1,5 ⋅ 0,62 = 0,93

Der Verkaufspreis erhöhte sich dadurch um 0,93 − 0,62 = 0,31 Euro.

100

manfred.ambach 35 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

a) In Österreich sind jährlich etwa 60 000

SchifahrerInnen von einem Schiunfall

betroffen.

Die Grafik zeigt die prozentuelle Verteilung

(prozentuellen Anteile) der verletzten

Körperteile.

– Ermitteln Sie, um wievielmal öfter Knie- als

Schädelverletzungen auftreten.

(Ermittle den relativen Anteil der Knie-

Verletzungen bezüglich der Schädel-

Verletzungen)

Nur zur Ansicht

Möglicher Lösungsweg:

Grafik: BMB

36 %

12,7 %

= 2,83

Knieverletzungen treten 2,83-mal öfter auf als Schädelverletzungen

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I Zahlen & Maße

– Ermitteln Sie, um wie viel Prozent der Anteil an Schulterverletzungen höher ist als der Anteil der

Verletzungen des Handgelenks.

Möglicher Lösungsweg:

. . . Anteil Schulterverletzungen höher als Verletzungen des Handgelenks

100 % . . . . . . . . . . . 8,7 %

x % . . . . . . . . . . . . . 19,3 %

x =

100 ⋅ 19,3

8,7

= 221,84 %

Der Anteil der Schulterverletzungen ist um 121,84 % höher als jener der Handverletzungen.

Warum ist der Anteil der

Schulter-Verletzungen nicht

um 221,84 % höher als der

der Hand-verletzungen?

Vergleichsbasis = 100 %

Da der Anteil der Hand-Verletzungen bereits 100 % beträgt und der

Anteil der Schulter-Verletzungen 221,84 % , ist der Anteil der

Schulter-Verletzungen um 121,84 % höher als jener der

Hand-Verletzungen.

Nur zur Ansicht

manfred.ambach 37 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

I Zahlen & Maße

b) Laut Statistik liegt die Wahrscheinlichkeit, sich bei einem einwöchigen Schiurlaub zu verletzen, bei 0,8 %.

Circa 30 % der Verletzungen sind so schwer, dass der Einsatz eines Notarztes erforderlich ist.

In einem Schigebiet sind wöchentlich ca. 20 000 Menschen auf den Pisten unterwegs.

– Berechnen Sie, mit wie vielen Notarzt-Einsätzen hier pro Woche zu rechnen ist.

Möglicher Lösungsweg:

0,8 % von 20 000 =

30 % von den Verletzten =

0,8

⋅ 20 000 = 0,008 ⋅ 20 000 = 160 verletzen sich.

100

Es ist mit 48 Notarzt-Einsätzen pro Woche zu rechnen.

Beachte:

30

⋅ 160 = 0,3 ⋅ 160 = 48 benötigen einen Notarzt.

100

Neue Änderung bedeutet neue Grundmenge (neue 100 %)

Die Unendlichkeit der Mathematik 4

Nehmen wir an, z wäre eine beliebige, auch sehr, sehr große, jedoch endliche Zahl.

Dann gilt doch, z + 1 ist wiederum eine endliche Zahl.

Nur zur Ansicht

Gälte hingegen z + 1 = ∞ so könnten wir folgern:

z + 1 = ∞ | – 1

z + 1 − 1 = ∞ − 1

z = ∞ − 1

Das bedeutete "unendlich" ist gerade mal um eins größer als eine sehr, sehr große, aber endliche Zahl.

Das kann doch nicht sein, denn dann hätten wir das "Ende" von unendlich (= nicht endend) gefunden!

Fortsetzung auf S 42

manfred.ambach 38 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Möglicher Lösungsweg:

U . . . ursprünglicher Wert

E . . . Wert nach dem ersten Jahr

Z . . . Wert nach dem zweiten Jahr

E = 115 % von U = 115

⋅ U = 1, 15 ⋅ U

100

Der Wert einer goldenen Ein-DM-Münze ist in einem Jahr um 15 % gestiegen. Im

folgenden Jahr ist ihr Wert nochmals um 10 % gestiegen.

„ Dann ist der Wert einer goldenen Ein-DM-Münze in diesen beiden Jahren

um insgesamt 25 % gestiegen. “

– Begründen Sie, warum die Aussage über die Wertentwicklung falsch ist.

Z = 110 % von E = 110

126,5

⋅ E = 1, 10 ⋅ E = 1, 10 ⋅ 1, 15 ⋅ U = 1, 265 ⋅ U = ⋅ U = 126, 5 % von U

100

Nur zur Ansicht

100

Die Aussage ist falsch, weil sich der Wert einer goldenen Ein-DM-Münze in diesen zwei Jahren um 26,5 % erhöht

hat.

Das Signalwort begründen bedeutet:

1) Eine Rechnung (bei gegebenen Zahlen) oder einen Rechengang (wenn keine Zahlen gegeben) anführen.

2) Einen begründenden Satz schreiben: Die Behauptung (Aussage) ist richtig / falsch, weil . . .

manfred.ambach 39 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

1.3.2. Promillrechnung

Im Wort Promill steckt die Zahl 1 000.

mille (lateinisch) : 1 000 →

Promill = durch 1 000

1 ‰ = 1 Promill =

1 000 ‰ =

durch 1 000

Nur zur Ansicht

1 000

1 000

1

1 000

von einem Ganzen

. . . entspricht dem Ganzen

Das Ganze ( die Grundmenge, die ursprüngliche Menge, die Vergleichsbasis ) entspricht 1 000 ‰

– Beispiel

Beispiel, wie es bei der Aufnahmeprüfung in Medizin, Ökonomie oder den Humanwissenschaften an Unis in der Schweiz, in Deutschland

und Österreich vorkommen kann.

Nach einem Verkehrsunfall wird bei einer beteiligten Person eine Alkoholkontrolle

vorgenommen. Die Messung ergibt einen Blut-Alkoholgehalt von 0,85 ‰.

– Berechne, wie viel Milliliter (ml) reinen Alkohol diese Person im Blut hat, wenn von

einer Blutmenge von 5,8 Litern ausgegangen werden kann.

Möglicher Lösungsweg:

5,8 ⋅ 0,85

1 000 ‰ . . . . . . . . . . . 5,8 l

x = = 0,00493 l

0,85 ‰ . . . . . . . . . . . . . x l

1 000

0,00493 l = 4,93 ml

1 l = 1 000 ml

⋅ 1 000

Die Person hat 4,93 ml reinen Alkohol im Blut.

manfred.ambach 40 pro-test.at


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1.4. Maße

Zunächst einmal einige Größenordnungen, die allgemein gelten:

Name Bezeichnung Größenordnung

Tera T 10 12 = 1 000 000 000 000

Giga G 10 9 = 1 000 000 000

Mega M 10 6 = 1 000 000

Kilo K 10 3 = 1 000

Ein(s) 10 0 = 1

milli m 10 – 3 = 0,001

micro μ 10 – 6 = 0,000 001

nano n 10 – 9 = 0,000 000 001

: 1 000 . 1 000

Z.B.: 1 Gigabite = 1 Gbite = 1 000 000 000 Bites ( Speicherkapazität von Computern )

1 Megawatt = 1 MW = 1 000 000 W(att) ( Elektrische Leistung )

1.4.1. Längenmaße

1 km = 1 000 m

1 m = 10 dm

Nur zur Ansicht

1 dm = 10 cm

1 cm = 10 mm

Die Umwandlungszahl bei Längenmaßen ist 10 . Ausgenommen bei Kilometer kilo (griechisch) : 1 000

manfred.ambach 41 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Beispiel:

Der Mond umkreist die Erde in einem Abstand von 385 000 km.

Angenommen, man möchte davon ein Modell im Maßstab

1 ∶ 75 000 000 bauen.

– Ermittle, wie groß der Abstand Erde – Mond in diesem Modell ist.

Die Signalwörter berechnen, ermitteln, bestimmen bedeuten:

Eine Rechnung durchführen.

Möglicher Lösungsweg:

385 000 km = 385 000 000 m

385 000 000 m : 75 000 000 = 5,13 m

In diesem Modell beträgt der Abstand Erde – Mond 5,13 m.

Die Unendlichkeit der Mathematik 5

Wenn also ∞ − 1 keine endliche Zahl ergeben kann, so muss

∞ − 1 = ∞ sein, wie auf S 15 behauptet.

Nur zur Ansicht

Wäre nun ∞ eine Zahl, wie wir sie kennen, so müssten auch für ∞ die Rechengesetze gelten

und wir erhielten

∞ − 1 = ∞ | + 1

∞ − 1 + 1 = ∞ + 1 |– ∞

−1 + 1 = +1

0 = +1

Das ist doch offensichtlich nicht richtig. Also kann ∞ keine Zahl sein

Fortsetzung auf S 44

manfred.ambach 42 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

1.4.2. Flächenmaße

Die Umwandlungszahl bei Flächenmaßen ist 100.

Beispiel:

1 km 2 = 100 ha

1 ha = 100 a

1 a = 100 m 2

1 m 2 = 100 dm 2

1 dm 2 = 100 cm 2

1 cm 2 = 100 mm 2

Nur zur Ansicht

Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:BurjKhalifaHeight.de.svg&filetimestamp=20100816072853

Der derzeit höchste Wolkenkratzer, Burj

[ burdsch ] Chalifa, steht in Dubai.

Das Gebäude

beherbergt 45,43 ha Geschoßfläche,

in denen 900 Wohnungen vorgesehen

sind.

– Berechne die durchschnittliche Größe einer Wohnung in m 2 .

manfred.ambach 43 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

I Zahlen & Maße

Möglicher Lösungsweg:

45,43 ha = 4 543 a = 454 300 m 2

1 ha = 100 a 1 a = 100 m 2

. 100 . 100

454 300 m 2 ∶ 900 = 504,78 m 2

Die durchschnittliche Wohnungsgröße beträgt 504,78 m 2 .

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Die Unendlichkeit der Mathematik 6

Was hat denn dann ∞ für Eigenschaften, wenn nicht jene von Zahlen?

Auch für alle anderen Maße eignen sich solche Karteikarten!

Obige Tabelle ist nach einer Anregung von Teilnehmerin Theresa ANDEXER gestaltet,

die es von ihrer Volksschullehrerin hat.

Funktioniert entsprechend auch bei den Längen- und Raummaßen.

Schon im antiken Griechenland beschäftigten sich Menschen damit, den Begriff unendlich mathematisch zu fassen.

ZENO von Elea (~ 490 – ~430 vor Christi Geburt), ein Junge vom Land, stellte folgendes Paradoxon

(griechisch: scheinbar oder tatsächlich unauflösbarer Widerspruch) auf:

Fortsetzung S 90

manfred.ambach 44 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

1.4.3. Raum- und Hohlmaße

1.4.3.1. Raummaße

Die Umwandlungszahl bei den Raummaßen ist 1 000.

1.4.3.2. Hohlmaße

Für Flüssigkeiten werden sog. Hohlmaße verwendet:

1 m 3 = 1 000 dm 3

1 dm 3 = 1 000 cm 3

1 cm 3 = 1 000 mm 3

1 Hektoliter = 1 hl = 100 l

1 Liter = 1 l = 10 dl

1 Deziliter = 1 dl = 10 cl

1 Centiliter = 1 cl = 10 ml

Bemerkungen: Die Einheit Liter wird in der Folge ausgeschrieben oder mit L abgekürzt.

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Der Zusammenhang zwischen Raum- und Hohlmaßen:

1Liter = 1dm 3

manfred.ambach 45 pro-test.at


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I Zahlen & Maße

Beispiel:

Wie viel hl sind 22 500 cm 3 ?

Beispiel:

Möglicher Lösungsweg:

22 500 cm 3 = 22,50 dm 3 = 22,50 l = 0,225 hl

1 000 cm 3 = 1 dm 3 1 dm 3 = 1 l 100 l = 1 hl

1 000 : 1 000 = 1 100 : 100 = 1

Um für die kalte Jahreszeit gewappnet zu sein, bestellt Familie Müller 20 hl Heizöl.

Nach der Füllung misst Herr Müller nach und stellt fest, dass der Ölspiegel um knapp

40 cm gestiegen ist. Der Hausherr ist skeptisch, ob die vereinbarte Menge auch eingefüllt

wurde.

Wie kann Herr Müller überprüfen, ob die georderten 20 hl Öl auch tatsächlich im Tank

sind, wenn er weiß, dass der zylindrische Öltank einen Durchmesser von 2,6 m besitzt?

Hektoliter sind ein Maß für ein Volumen.

Deshalb nehmen wir die Volumsformel.

Da der Tank die Form eines Zylinders besitzt:

Wir kennen

den Radius r = d

V Zylinder = r 2 ⋅ π ⋅ h

= 2,6 = 1,3 m = 13 dm

2 2

und die Höhe h ≈ 40 cm = 4 dm

Nur zur Ansicht

V = r 2 ⋅ π ⋅ h → V = 13 2 ⋅ π ⋅ 4 → V = 2 123,72 dm 3 = 2 123,72 Liter = 21,24 hl

Bei einer Höhe von 40 cm wären 21,24 hl in den Tank geflossen. Demnach werden bei einer Höhe von knapp

40 cm sicherlich 20 hl in den Tank geflossen sein.

1 km³ = 1 000 000 000 m³

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I Zahlen & Maße

1.4.4. Masse

Sir Isaac NEWTON

( 1642 – 1727 )

Albert EINSTEIN

( 1879 – 1955 )

Masse, dieser alltägliche Begriff, doch mit den tiefsten Erkenntnissen der Naturforschung

verbunden, war Jahrhunderte nicht in der für letzte Einsichten nötigen Klarheit zu beschreiben.

Erst Sir Isaac NEWTON war es gegönnt, grundlegende Einsichten KOPERNIKUS’, KEPLERs und anderer

Großgeister der Physik zu einer umfassenden Theorie zu vereinen, mit der alle physikalischen

Phänomene der erfahrbaren Welt ein für allemal eine schlüssige Erklärung fanden.

NEWTON stellte fest, dass die Ursache jeder Bewegung eine Kraft ist und sich jede Kraft F als

Produkt aus der Masse m des bewegten Körpers und seiner Beschleunigung a darstellen lässt.

F = m . a

Mit seinem Konzept der Absolutheit von Raum und Zeit konnten nicht nur Kräfte richtig

beschrieben, die auf kleinem Raum wirken, sondern es wurde damit auch die exakte Ortung von

Himmelskörpern möglich. Eine Grundbedingung exakter Zeitmessung, auf der unsere

Kommunikation und unser Wohlstand beruhen.

Unsere heutige Technik, ja wesentliche Teile unserer Welt(en)sicht wäre ohne die NEWTONschen

Prinzipien und Theorien nicht möglich.

Doch bedurfte es eines bahnbrechenden Epochen-Genies wie Albert EINSTEIN, der NEWTONs

Ansichten nur noch den Platz eines Spezialfalls in einer Fundamentaltheorie noch nicht gekannten

Ausmaßes zuwies.

Schon in seiner Speziellen Relativitätstheorie, die 1905 veröffentlicht wurde, widerlegt EINSTEIN

das Modell der universellen Konstanz von Raum und Zeit und bewies drei Phänomene:

o Bewegte Uhren gehen langsamer ( Zeitdehnung )

o Bewegte Körper schrumpfen ( Längenverminderung )

o Die Masse bewegter Körper wächst ( Massenzunahme )

Wenn ich weiter als andere gesehen habe, dann nur deshalb,

weil ich auf Schultern von Giganten stand.

Sir Isaac NEWTON

( 1642 – 1727 )

Eine Konsequenz dieser Theorie ist folgendes Gedankenexperiment, Zwillingsparadoxon

genannt:

Einer der eineiigen Zwillinge verbleibt auf der Erde, der andere unternimmt eine Reise mit einem

Raumschiff, das sich mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt. Als der Raumfahrer nach einem

Jahr auf die Erde zurückkehrt, erscheint dem zurück gebliebenen Bruder der Reisende weniger

gealtert als er selbst.

Nur zur Ansicht

Erst in den 1950er Jahren konnte dieser Effekt mit einem Jagdbomber und Atomuhren

experimentell nachgewiesen werden.

Doch handelte es sich bei der 1905 veröffentlichten Theorie sozusagen um

EINSTEINs Gesellenstück, dem noch das wahre Meisterwerk folgte:

Die Allgemeine Relativitätstheorie, die Welt-Zeit in ein Vorher- und

Nachher unterteilend*, wurde 1916 fertig formuliert und bewiesen. Darin

wies EINSTEIN nach, dass Raum und Zeit eine Einheit bilden, die sich unter

Einwirkung von Gravitation

(Massenanziehung) verändert. Damit ließen sich nun auch bisher noch nicht

erklärbare Erscheinungen, wie z.B. die Krümmung von Licht im Schwerefeld

und damit z.B. Schwarze Löcher, begründen.

* Sabine RÜCKERT in DIE ZEIT Nr.53, 19.12.2018

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I Zahlen & Maße

Literaturtipp: Jürgen NEFFE: Einstein – eine Biographie. ISBN: 3-499-61937-7

Stephen HAWKING

( 1942 – 2018 )

Nach Veröffentlichung dieser Theorie gab es neben EINSTEIN nur zwei Physiker, die Ausmaße und

Tiefe dieser Formulierungen verstanden. EINSTEIN erhielt 1922 den Nobelpreis auch nicht für die

Relativitätstheorien, sondern für den sog. Photoelektrischen Effekt, in dem er Licht

Quanteneigenschaften zumaß.

Laut Stephen HAWKING begreifen bis heute ungefähr 10 000 Menschen EINSTEINs Allgemeine

Relativitätstheorie.

Der Astrophysiker Stephen HAWKING zeigte mathematisch, dass es den von EINSTEIN postulierten

Urknall gegeben haben müsse. HAWKING wandte die Quantentheorie auf Schwarze Löcher an und

konnte damit theoretisch zeigen, dass Schwarze Löcher nicht alles in ihrer Umgebung auf ewig

verschlingen, sondern langsam „verdampfen“, also Strahlung (=Energie) wieder freigeben.

HAWKING versuchte über Jahrzehnte, die Relativitätstheorie mit der Quantenphysik zu vereinen

und auf diese Weise eine Art „Weltformel“ zu finden - in der Sprache der Physiker eine „Große

Vereinheitlichte Theorie“, die sogenannte Quantengravitation.

Stephen HAWKING war über drei Jahrzehnte Inhaber des renommierten Lucasischen Lehrstuhls für

Mathematik an der Universität Cambridge. Denselben Lehrstuhl bekleidete bereits Sir Isaac

NEWTON.

Stephen HAWKING zählt zu den großen Naturwissenschaftlern der Welt. Er litt schon seit seiner

Jugend an einer nervenbedingten Muskelschwunderkrankung und verstarb am 14. März 2018,

dem Geburtstag Albert EINSTEINs. Die Asche HAWKINGs fand in der Westminster Abbey in der Nähe

des Grabmals Sir Isaac NEWTONs und der englischen Monarchen ihre letzte Ruhestätte.

Trotz der unbeschreiblichen Leistungen

EINSTEINs sind auch seine Erkenntnisse

noch nicht der Weisheit letzter Schluss.

Seit Jahrzehnten arbeiten zahlreiche

Physiker aus aller Welt an einem

Megamodell, das die

quantenmechanischen Modelle mit

der Allgemeinen Relativitätstheorie zu

einer einheitlichen Welttheorie, der

Quantentheorie der Gravitation, kurz

Quantengravitation, verbinden soll.

Wenn dieses Vorhaben gelingt,

könnten wir wirklich erfahren, wie

wohl alles begann.

Nur zur Ansicht

Nun aber zurück zu unseren mathematischen Dimensionen:

Der größte Feind des Wissens ist nicht Unwissenheit,

sondern die Illusion, wissend zu sein.

Stephen HAWKING

( 1942 – 2018 )

Die Masse m eine Körpers bestimmt sich aus seinem Volumen V,

multipliziert mit der sog. Dichte ρ ( rho: griechisches r ):

Masse = Volumen x Dichte

m = V . ρ

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I Zahlen & Maße

Unter der Dichte ρ ist nicht die Menge an Molekülen in einem bestimmten

Volumen gemeint. Diese Sicht führt uns zur

1Liter = 1dm 3

AVOGADRO- bzw. LOSCHMIDTschen Zahl, deren Wert

6,0221367 . 10 23 beträgt.

Zum Vergleich: Eine Million ( 1 000 000 ) kann als 1 . 10 6 dargestellt werden.

Die AVOGADRO-Zahl gibt die Zahl jener Moleküle an, die in 2,016 g Wasserstoff enthalten sind. Um

sich eine Vorstellung von der Größe dieser Zahl zu machen: Mit einer solchen Anzahl Popcorns

könnte man die gesamte USA 15 km hoch bedecken.

Aus: Bill BRYSON: Eine kurze Geschichte von fast allem. ISBN: 978-3-442-46071-7

1 kg

Wasser mit einem Volumen von 1 Liter = 1 dm 3

besitzt die Masse 1 kg.

m = V . ρ ➝ 1 kg = 1 dm³ . 1

Also muss Wasser die Dichte 1

besitzen.

Stoffe, deren Moleküle dichter als bei Wasser liegen, haben eine Dichte größer als 1, entsprechend haben

lockerere Molekülanordnungen kleinere Dichten als Wasser.

Hier die (relativen) Dichten einiger Stoffe: Stoff Dichte

Wasser (rein) 1

Luft 0,0012

Fichte 0,47 – 0,74

Fette 0,9 – 0,95

Mensch 0,99 – 1,02

Beton (trocken) 1,5 – 2,5

Silber 10,5

Gold 19,8

Die gängigen Einheiten der Masse:

1 t = 1 000 kg

1 kg = 1 000 g

Nur zur Ansicht

kg

dm

3

kg

3

dm

1 dag = 10 g

1 dag = 1 Dekagramm deka (griechisch): 10 Eine nur in Österreich übliche Einheit für Masse.

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I Zahlen & Maße

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Alles Gold der Welt

Korrekt ist kg die Einheit der Masse.

Im Alltag sagen wir zu Masse häufig Gewicht.

Ist zwar nicht dasselbe, jedoch für unseren

Matheunterricht ist der Unterschied nicht von

Bedeutung.

Derzeit sind weltweit 177 200 Tonnen (t) pures (reines) Gold geschürft.

kg

Gold besitzt eine Dichte von ρ Gold = 19,8

dm 3

Angenommen, die gesamte Goldmenge würde zu einem Würfel gegossen.

– Bestimmen Sie die Kantenlänge dieses Würfels in Meter (m).

Tonne (t) ist eine Einheit der Masse. Wir benötigen demnach die Formel für die Masse.

Masse = Volumen mal Dichte, als Formel: m = V ⋅ ρ

Masse und Dichte kennen wir, also können wir mit dieser Formel das Volumen bestimmen:

m = V ⋅ ρ | ∶ ρ

m

ρ = V

Die Dichte beträgt ρ Gold = 19,8

kg

dm 3

Damit die Masse entsprechend passt, müssen wir sie in kg verwandeln:

177 200 t = 177 200 000 kg

Warum wird hier immer

von Masse gesprochen?

Sind nicht kg usw.

Einheiten für Gewicht?

Nur zur Ansicht

Masse und Dichte in die Formel eingesetzt:

Für das Volumen des Würfels gilt:

V = a 3

V = a 3 | √ 3

V = m 177 200 000 kg

= = 8 949 494,95 dm

ρ kg

3

19,8

dm 3

mit a als der Kantenlänge

3

√V

= a

3

√8 949 494,95 dm 3

Der Würfel besäße eine Kantenlänge von 20,76 m.

= 207,62 dm = 20,76 m

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I Zahlen & Maße

1.4.5. Zeitmaße

Der älteste Zeitmesser ist die Sonnenuhr, die schon vor ca. 5000 Jahren im alten Ägypten Verwendung fand. Um vom Licht der

Sonne unabhängig zu sein, wurden Wasser- oder Öluhren anfertigt: Durch ein kleines Loch im Boden eines Behältnisses rann

die Flüssigkeit regelmäßig in einen zweiten Behälter. Anhand des Flüssigkeitsstandes ließ sich die Zeit ablesen.

Die SUMERER erstellten die im 3. Jahrtausend v. Chr. in Mesopotamien einen Kalender, um neben der Tages- auch die Jahreszeit

angeben zu können. Sie teilten das Jahr in 12 Monate zu je 30 Tagen. Da das astronomische Jahr, also eine Umrundung der Erde

um die Sonne, 365,25 Tage dauert, mussten immer wieder Korrekturen angebracht werden, ähnlich unserer Schaltjahre.

Die alten Ägypter legten das Jahr mit 365 Tagen fest und unterteilten es in 12 Monate mit je drei Wochen zu 10 Tagen mit fünf

Zusatztagen am Jahresende.

Der römische Kalender stammt ursprünglich von den Griechen und orientiert sich am Mond. Da der Mond zur Umrundung

der Erde 29,53 Tage benötigt, erhielten die Monate abwechselnd 29 und 30 Tage. In Abständen wurde der Mondkalender

dem Sonnenjahr angepasst.

Die Grundstruktur unseres heutigen Kalenders geht auf Julius CAESAR (100 – 44 v. Chr.) zurück. Das Jahr bestand nun aus

12 Monaten mit abwechselnd 31 bzw. 30 Tagen. Der Februar hatte damit gewöhnlich 30 Tage, alle vier Jahre nur 29. Da

CAESAR aus dem Hause der JULIER stammte, spricht man vom Julianischen Kalender.

Der Monat Juli ist nach den JULIERN benannt, der Monat August nach Kaiser AUGUSTUS. Dieser wollte dem Geschlecht CAESARs

gleichrangig erscheinen, und verlieh dem August auch 31 Tage. Somit erlangte der Februar seine 28 Tage.

Die letzte kalendarische Reform geht auf Papst GREGOR XIII (1502 –

1585) im Jahre 1582 zurück. Man spricht vom Gregorianischen

Kalender. Alle vier Jahre wurde ein Jahr mit 366 Tagen geschaltet. Von

den Jahrhundert-Jahren, wie 1600 oder 1700, nur jene, deren erste

beiden Ziffern durch vier teilbar sind. So war zwar das Jahr 1600 ein

Schaltjahr, da 16 durch vier teilbar ist, nicht aber die Jahre 1700, 1800

oder 1900.

Im antiken Rom begann man die Jahre mit der Gründung Roms (754 v.

Chr.) zu zählen. Im Jahr 525 n. Chr. wurde Abt Dionysius EXUIGUUS von

Papst JOHANNES I beauftragt, den genauen

Ostertermin für das folgende Jahr zu bestimmen. Dabei orientierte er sich am Datum der Geburt Christi und machte dieses Jahr

zum Jahr 1 unsere Zeitrechnung war geboren.

Wie kurz unsere gewohnte Zeitordnung erst gültig ist, soll folgendes Beispiel zeigen:

Als im Jahr 1887 die Gaisbergbahn eröffnet wurde (1928 eingestellt), wies man darauf hin, dass diese Bahn nach der Prager Zeit

verkehrt. Zu dieser Zeit existierten weder Zeitzonen, noch eine einheitliche Zeitmessung. 1891 wurde die Mitteleuropäische

Eisenbahnzeit eingeführt und erst 1893 die Mitteleuropäische Zeit, die zunächst nur in Österreich-Ungarn, dem Deutschen

Kaiserreich und in der Schweiz galt.

Einige Erläuterungen über die Zeit finden sich im Buch:

Werner KINNEBROCK: Was macht die Zeit, wenn sie vergeht? Verlag C.H. Beck. ISBN: 9 783406 630422

Einige der gängigen Zeitmaße:

1 Jahr = 1 a ≈ 365 Tage

Nur zur Ansicht

1 Tag = 1 d = 24 h ( Stunden )

1 h = 60 min ( Minuten )

1 min = 60 s ( Sekunden )

Bemerkungen: Jahr wird mit a abgekürzt: annus (lateinisch das Jahr )

Tag wird mit d abgekürzt: dies ( lateinisch der Tag )

Stunde wird mit h abgekürzt: hora ( lateinisch die Stunde )

englisch: annual . . . jährlich

englisch: day . . . . . . Tag

englisch: hour . . . . . Stunde

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I Zahlen & Maße

1 Stunde besteht aus 60 Minuten und 1 Minute aus 60 Sekunden.

Das gleiche gilt für Winkelmaße:

1 Winkelgrad ( ° ) besteht aus 60 Winkel-Minuten ( ‘ ) und 1 Winkel-Minute aus 60 Winkel-Sekunden ( ‘‘ ).

Deshalb kann man für die beschriebenen Zeit-Einheiten am Casio auch die entsprechende Winkel-Taste

verwenden:

(4. von oben, 2. von links)

Beispiel: 3,26 h in h min s verwandeln: 3,26 3 o 15’ 36’’

Das bedeutet, 3,26 h = 3 h 15 min 36 s

Beim Lichtjahr ( La ) handelt es sich um keine Zeit- sondern Längeneinheit.

1 La ist jene Länge, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Licht bewegt sich ( im Vakuum )

mit ca. 300 000 km / sec. Das ergibt im Jahr eine Distanz von rund 9 500 000 000 000 km ( 9,5 Billionen km ).

1 La ≈ 9 500 000 000 000 km = 9,5 . 10 12 km

Zum Vergleich: Von der Sonne bis zur Erde benötigt Licht ungefähr 8 Minuten.

Nur zur Ansicht

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Unsere Sonne befindet sich ca. 35 000 Lichtjahre (La) vom Zentrum der Milchstraße entfernt und benötigt für eine

kreisförmige Umrundung in etwa 250 Mio. Jahre.

1 La = 9,5 Billionen km.

– Bestimmen Sie die Geschwindigkeit in km/h, mit der die Sonne das Zentrum der Milchstraße umkreist.

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I Zahlen & Maße

Möglicher Lösungsweg:

Die Sonne bewegt sich entlang des Kreisumfangs U.

Geschwindigkeit v = Weg

Zeit

= 2,089⋅1018 km

250 000 000 Jahre

U = 2 ⋅ r ⋅ π

Der Radius r = 35 000 La = 3,325 ⋅ 10 17 km

9,5 Billionen = 9 500 000 000 000 = 9,5 ⋅ 10 12

35 000 ⋅ 9,5 ⋅ 10 12 = 3,325 ⋅ 10 17

U = 2 ⋅ 3,325 ⋅ 10 17 ⋅ π = 2,089 ⋅ 10 18 km

= 2,089⋅1018 km

2,19⋅10 12 h

1 a = 365 d = 8 760 h

1 d = 24 h

= 953 881,28 km/h

Unsere Sonne bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 953 881,28 km/h um das Zentrum der Milchstraße.

(Von wegen Fixstern, was ja bedeutet, der Stern bleibt fix, also an Ort und Stelle!)

Bemerkung :

Zahlen, wie 2,89 ⋅ 10 18 oder 2,19 ⋅ 10 12 sind in sogenannter normierter Fließ- oder Gleitkommadarstellung

angegeben.

Diese Darstellungsart ist für sehr große Zahlen oder Zahlen nahe null vonnöten, weil auch elektronische

Rechenhilfen dann nicht mehr alle Ziffern anführen können.

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Ein Schi-Rennläufer schafft eine 3,2 km lange Piste in 2 Minuten und 15 Sekunden.

Ein Hobby-Schifahrer fährt auf dieser Piste mit durchschnittlich 35 km/h.

Beide fahren gleichzeitig los.

Nur zur Ansicht

– Ermitteln Sie, wie viel Meter der Hobby-Schifahrer noch zum Ziel hat, wenn der Schi-Rennläufer im Ziel

einläuft.

Möglicher Lösungsweg:

3,2 km

Hobby-Schifahrer:

35 km/h

= 0,0914 h = 5 min 29,14 s 5 min 29,14 s − 2 min 15 s = 3 min 14,14 s

35 km h = 35 000 m

3 600 s

= 9,72 m s

3 min 14,14 s = 194,14 s 9,72m/s ⋅ 194,14 s = 1 887, 04 m

manfred.ambach 53 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

II

2. TERME

2.1. Benennungen

Beispiele für Terme:

( 2 . 3 + 5 ) : 8

– 4 x 2 y

x . e x – 1

ALGEBRA & GEOMETRIE

Ein Term ist jeder sinnvolle mathematische Ausdruck, gleich, ob es sich um

Zahlen oder Buchstaben handelt.

Einzig bei mathematisch nicht festgelegten Darstellungen handelt es sich

um keine Terme:

Z.B.:

8 : 0 ( Die Division durch Null ist nicht durchführbar )

a 2 + 2 a – ( Es ist nicht geklärt, welcher Ausdruck noch zu subtrahieren ist )

Es folgen jene Bezeichnungen, die uns während unserer Mathematik-Reise begleiten werden:

Glieder sind Ausdrücke, die mit Strichrechnung ( + – ) verbunden sind.

Nur zur Ansicht

G G G

Die Mathematiker sind eine Art Franzosen:

redet man mit ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache,

und damit ist es alsobald ganz etwas anderes.

Johann Wolfgang von GOETHE

( 1749–1832 )

Beispiel: + 3 x – 5 a b + 1 ist ein dreigliedriger Ausdruck ( Die Glieder sind: + 3 x , – 5 a b und + 1 )

Ein

Glied reicht von einer Strichrechnung bis vor die nächste.

So wie ein Eisenbahnwaggon von seiner vorderen Kupplung bis vor die Kupplung

des nächsten Wagens reicht.

manfred.ambach 54 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Monom: ein 1-gliedriger Ausdruck Bsp.: x 2 oder – 5 a b

Binom: ein 2-gliedriger Ausdruck Bsp.: a + b oder 3 x – 5 a b

Trinom: ein 3-gliedriger Ausdruck Bsp.: 3 x – 5 a b + 1

Polynom: ein mehr als 3-gliedriger Ausdruck Bsp.:

Faktoren sind Ausdrücke, die mit Punktrechnung ( . : ) verbunden sind.

x 3

2 1

2x

2 x

4 3 2

Beispiel: – 2 x y 2 = – 2 . x . y 2 Dieser Term besteht aus drei Faktoren ( aus – 2 , aus x und aus y 2 )

G G G

+2 . x 2 – 3 . x . y + 5

F

Wir sehen: Glieder können aus Faktoren bestehen.

F

F

Das erste Glied dieses dreigliedrigen Terms besteht aus

zwei Faktoren ( +2 und x 2 ),

das zweite Glied aus drei Faktoren ( – 3 , x und y ).

Das letzte Glied + 5 besteht aus keinem Faktor!

– 4 x 3

Nur zur Ansicht

Potenz

Vorzahl ( Koeffizient )

Vorzeichen

Eigentlich gibt es

keine Potenz ohne Vorzeichen und Vorzahl.

manfred.ambach 55 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Beispiele: – 4 x 3 = – 4 . x 3

4 x 3 = + 4 . x 3

– x 3 = – 1 . x 3

x 3 = + 1 . x 3

Bei Casio kann statt des Vorzeichen-Minus auch das Rechen-Minus verwendet werden.

Am besten, man nimmt in beiden Fällen die Taste

Weiters gilt:

2 x – 3 y = + 2 x – 3 y

3 y = 3 . y

x y = x . y

25 = 2 . 5

Beachte folgenden Unterschied:

(2. Reihe von unten, rechts)

3 . x = x + x + x aber: x³ = x . x . x

Nur zur Ansicht

Weiters trifft zu:

0 . 3 = 0

0 . 7 = 0

0 . x = 0

Streng genommen muss man zwischen Vorzeichen und

Rechenzeichen unterscheiden.

Viele Taschenrechner verwenden für das

Vorzeichen Minus Tasten wie

Rechenzeichen Minus Tasten wie

Steht zwischen einer Zahl und einem Buchstaben

oder zwischen zwei Buchstaben kein Rechenzeichen geschrieben,

so sind sie mit mal verbunden.

1 . 2 = 2

1 . 6 = 6

1 . x = x

und für das

Steht vor dem ersten Glied kein Vorzeichen, so ist + gemeint.

– 1 . 4 = – 4

– 1 . 5 = – 5

– 1 . x = – x

Ist (mindestens) ein Faktor Null, so ist das

Ergebnis der Multiplikation (das Produkt) Null.

Die Vorzahl 1 braucht nicht geschrieben zu werden,

weil die Multiplikation mit 1 nichts verändert.

manfred.ambach 56 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Angenommen, jemand benötigt 3 m Stoff. Dann wird man mit einem Maßband

drei Mal einen Meter Stoff abmessen.

3 . 1 m = 3 . 1 . m = 3 . m = 3 m

Link: https://www.youtube.com/watch?v=w4dxS7hX7AA

2.2. Potenzen

2.2.1. Einführung

Was ist eine Potenz?

Die Potenz besteht aus der Basis und der Hochzahl

allgemein:

Potenz

Da die Multiplikation mit 1 nichts verändert und wir uns möglichst kurz ausdrücken

wollen, sagen wir statt 3 mal ein Meter: 3 Meter.

Diese Sprechweise hat sich derart eingebürgert, dass im Gegensatz zu 3 m ( ein Stoffteil von

3 Meter Länge ) 3-mal ein Meter wohl heißt, drei Stoffteile von jeweils einem Meter

abzumessen.


Nur zur Ansicht

x 3 = x . x . x

3–mal

x n = x . x . x . … . x

Hochzahl ( Exponent )

Basis (Grundzahl)

n – mal

Sofern die Hochzahl ( der Exponent ) eine natürliche Zahl ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ) ist,

gibt die Hochzahl an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.

manfred.ambach 57 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Beispiele:

2 3 = 2 . 2 . 2 = 8

x 5 x.x.x.x.x

Für die Basen 0 und 1 gilt:

0 2 0 . 0 0

1 3 1.1. 1 = 1

0 6 0.0.0 .0. 0.0 0

1 4 1.1.1.1 1

allgemein gilt:

0 n = 0

1 n = 1

Bemerkung: Natürlich gilt dieser Sachverhalt nur für Potenzen mit der Basis 0 oder 1 .

Betrachten wir im Folgenden Potenzen mit negativer Basis:

Beispiele:

(–2) 2 = (–2) . (–2) = + 4 = + 2 2

(–2) 4 = (–2) . (–2) . (–2) . (–2) = + 16 = + 2 4

(–2) 3 = (–2) . (–2) . (–2) = – 8 = – 2 3

(–2) 5 = (–2) . (–2) . (–2) . (–2) . (–2) = – 32 = – 2 5

An diesen Beispielen lässt sich erkennen, dass

Nur zur Ansicht

Potenzen mit negativer Basis und gerader Hochzahl aufgelöst ein positives Ergebnis liefern,

während bei ungerader Hochzahl dieses Ergebnis negativ ausfällt.

manfred.ambach 58 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Beispiele:

( – x ) gerade Zahl = + x gerade Zahl = + 1 . x

( – x ) UNgerade Zahl = – x UNgerade Zahl = – 1 . x

gerade Zahl

! In beiden Fällen, gleich ob die Hochzahl gerade oder ungerade,

erhält die Potenz mit negativer Basis beim Auflösen der

Klammer eine positive Basis!

UNgerade Zahl

Ist die Hochzahl gerade, so wird das Vorzeichen ( der Vorzahl 1 ) positiv,

ist die Hochzahl UNgerade, wird das Vorzeichen ( der Vorzahl 1 ) negativ.

2

( x) 1.

x x x

3

( x ) 1.x

x

2

3

x 3 = x 3 ≠ −x 3

2

3

2

. . . Da die Basis dieser Potenz positiv ist.

Nur zur Ansicht

Link: https://www.youtube.com/watch?v=JrShMyJOch4

manfred.ambach 59 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

2.2.2. Rechenregeln für Potenzen

Einführungsbeispiel für Potenzregel P1:

3 2

5 32

Beispiel: x . x x.x.x . x.x x x

Daraus lässt sich folgende Regel verallgemeinern:

. . . Regel P1 gilt für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Beispiele:

x

x

x

4

5

4

2

. x

3

x

. x x

. x . x

2

3

a . a

2

4

5

a

4 3

. x


4

x

1

x

x

4

. x

2

7

6

1

. x

2x

. 3 x 2.x . 3. x 2.3.x .x 6.x

3

4


x

8

2

= 6 = x 6

4

Nur zur Ansicht

3

2

( x) . ( x)

( x)

1.

x x

5

5

5

6

Beachte x = x 1 ≠ x O

Da die Multiplikation vertauschbar ist

( z.B. ist 2 . 3 = 3 . 2 = 6 ),

können wir die Faktoren beliebig reihen.

4 3

x) . x

4 3 7

1.

x . x 1.x

7

x

Beim diesem Beispiel müssen wir zuerst die

Potenzen auf gleiche Basis bringen, damit

wir Regel P 1 anwenden können.

(

( – x ) 4 = + 1 . x 4

manfred.ambach 60 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Lieber Fredo,

Einführungsbeispiel für Potenzregel P2:

Beispiel:

x

5

: x

x 2 . y 3 = x . x . y . y . y

während

( x . y ) 5 = ( x . y ) . ( x . y ) . ( x . y ) . ( x . y ) . ( x . y ) =

= x . y . x . y . x . y . x . y . x . y =

= x . x . x . x . x . y . y . y . y . y = x 5 . y 5 ist!

= x 5 = y 5

Man darf also nur Potenzen mit gleichen Basen multiplizieren.

3


x

x

Ergibt nicht

x 2 . y 3 = ( x . y ) 5 ?

5

3


1 1 1

x .x.x.x.x

x.x.x


1 1 1

Dieses Beispiel weist auf folgende Regel hin:

x .x

1

x .x x

2

x

Nur zur Ansicht

5 3

Regel P 2 gibt an, wie zwei Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden.

Beachte, dass die Hochzahl der Potenz des Nenners

von der Hochzahl der Potenz des Zählers zu subtrahieren ist.

Beispiel:

x 6

x 2 = x 6−2 = x 4

manfred.ambach 61 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Weitere Beispiele:

a

a

x

4


a

a

4

1

a

3

3

x 3 2 1

x x

2

a 2

a 3 = a −1

6 a 4 b 6

3 a 2 b 3

( x )

x

3

7


=

x

2

62

. a 4 . b 6

3 . a 2 . b 3

1

x

1.

x

Einführungsbeispiel für Potenzregel P3:

x

3

7


=

x

x

x 3 3 0

Beispiel: 1 x x

3

x

P 2

3

7

3

2 a 2 b 3

1

x

4

= 2 a 2 b 3

Bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die

Potenzen auf gleiche Basis bringen, damit

wir Regel P 2 anwenden können.

Wollen wir nicht mit den Gesetzen der Division in Widerspruch kommen, lässt dieses Beispiel nur folgende Regel

als sinnvoll erscheinen:

Nur zur Ansicht

Jeder Potenz (ausgenommen mit der Basis Null) mit der Hochzahl 0 wird der Wert 1 zugeordnet.

manfred.ambach 62 pro-test.at


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Beispiele: a 0 1

8 0 1

1 0 1

( x )

0

1

( – 3 x 2 y ) 0 = 1

Einführungsbeispiel für Potenzregel P4:

Beispiel:

0

1 x 0 3 3

x

x

3 3

x

x

P 3 P 2

Mit diesem Beispiel kann nachfolgende Regel formuliert werden:

Man spricht hier vom Kehrwert einer Potenz, wobei eigentlich der Kehrwert des Bruches gemeint ist.

Beispiel:

Nur zur Ansicht

Bringe folgende Potenzen aus dem Nenner:

1

= x 4 x−4

4

= 4

3 x 2 3

x −2

4

3 x 2

≠ 4 . 3 . x −2

Nur für die Potenz ( hier x 2 ) gibt es die Kehrwertregel.

Nicht für nachrangige Faktoren.

Außerdem ist doch

4

3 = 4 ∶ 3 ≠ 4 . 3

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Beispiel: Bringe folgende Potenz in den Nenner: x −1 = 1

= 1

x 1 x

Einführungsbeispiel für Potenzregel P5:

Beispiel:

Leiten wir daraus ab:

3

2

3

( x ) x . x x x

Diese Regel gibt an, wie eine Potenz potenziert (hochgerechnet) wird.

Beispiele:

2

2

2.2

( x ) x x

3

4

( a ) a

12

P 1

4

3

6

3.2

Nur zur Ansicht

(−x 3 ) 2 = +1 . x 6 = +x 6 = x 6

(−x 2 ) 3 = −1 . x 6 = −x 6

( z

5

)

0

z

0

1

Beachte:

während

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Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Möglicher Lösungsweg:

Mit

– Gib für das Volumen des dargestellten Körpers

eine möglichst einfache Formel an, in der nur

die bezeichnete Variable vorkommt.

Die L-förmige Fläche können wir in zwei Rechtecke aufteilen:

A 1 = 2x ⋅ x = 2 x 2

A 2 = 2x ⋅ x = 2 x 2

A gesamt = A 1 + A 2 = 2 x 2 + 2 x 2 = 4 x 2

Für das Volumen des abgebildeten Körpers gilt:

V = A gesamt . h = 4 x 2 . 4 x = 16 x 3

Nur zur Ansicht

Näheres mit GeoGebra :

Bedeutet: Abschnitt II, Kapitel 2.5., Seite 85 und folgende

Bemerkung:

Eine Lösung wie V = 4 x 2 . 4 x würde nicht gelten, weil eine möglichst einfache Formel verlangt ist.

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Die Umkehrung des Addierens ist das Subtrahieren,

die Umkehrung des Subtrahierens ist das Addieren.

Die Umkehrung des Multiplizierens ist das Dividieren,

die Umkehrung des Dividierens ist das Multiplizieren.

Die Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen,

die Umkehrung des Wurzelziehens ist das Potenzieren.

Aus den obigen Überlegungen lässt sich (zumindest formal, wenn auch nicht anschaulich) die nächste Regel herleiten.

Einführungsbeispiel für Potenzregel P6:

Beispiel: (x 3 ) 2 = x 3 ⋅ 2 2

→ √x 3

Daraus folgern wir:

= x 3

2

P6 ist eine Regel für das Wurzelziehen ( Radizieren ) aus einer Potenz

radix (lateinisch): die Wurzel

Radieschen: kleine Wurzel

Deshalb wählte man für das Wurzelzeichen den stilisierten Buchstaben r: r → r → √

3

Beispiel: Verwandle die Wurzel in eine Potenz: √x 4 = x 4

3

Nur zur Ansicht

Beispiel: Verwandle die Potenz in eine Wurzel: x 1 2

2 = √x 1 = √x

Gegeben ist der Ausdruck T 1,32 .

Beispiel Zentralmatura vom 16.1.2018

– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der diesem Ausdruck

äquivalent (gleichwertig) ist. [ 1 aus 5 ]

manfred.ambach 66 pro-test.at


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Mögliche Gedankengänge:

T 1 32

132

√T

100

√T 132




1

1,32

T

1


T 32

Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass von den 5 gebotenen Alternativen genau eine richtig ist.

Einführungsbeispiel für Potenzregel P7:

Beispiel:

Verallgemeinert gilt:

Beispiele:

3

( x. y ) (x. y ).(x. y).(x. y ) x. y.x. y.x. y x.x.x. y. y.y x

2

2

( 2x) (2.x) 2 . x 4. x 4 x

2

2

2

2

x

Nur zur Ansicht

2

3

3

( 3a ) 3 . (a ) 27 a

2

2

( 2x y ) 4 x

2

2

y

3

4

Der Ausdruck T 1,32 = T 132

100

Denn

Nach der Regel P 6 ist T 132

6

3

y

3

100

100 = √T 132

Demnach ist die 3. der Alternativen anzukreuzen.

3

. y

3

2 0

( 2x ) 1

2

2

9x

3 .x (3x)

2

2

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Einführungsbeispiel für Potenzregel P8:

Beispiel:




x

y

3




Davon abgeleitet ergibt sich:


x x x

. .

y y y


x .x.x

y . y . y


x

y

3

3

Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler mit den Zählern

und die Nenner mit den Nennern multipliziert.

Die Regeln P 7 und P 8 beschreiben das Auflösen einer Potenz, in deren Basis Faktoren stehen.

Beispiele:

Beispiel:

2

x


3

3

2

5

2

x

2

3

9

25


2

x

9

≠ 3

5

(− 4 a2 b

3 x y 3 )2 = +1 ⋅ 42 (a 2 ) 2 b 2

3 2 x 2 (y 3 ) 2

Manchmal wird das Kürzen eines Bruches,

also das Dividieren des Zählers und Nenners durch den gleichen

Ausdruck, mit dem Wurzelziehen verwechselt, denn nur

9

25

3


5

= 16 a4 b 2

9 x 2 y 6

Nur zur Ansicht

Man darf nur faktorenweise ( . : ) getrennt hochrechnen oder Wurzel ziehen,

nie gliedweise ( + – ) !

2 2 2

Beispiele: a.b

a . b

a.b


a

.

b




a

b

n





a

b

n

n

a

b

a

b

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2 2

2

ab

a 2ab b

= a 2 + b 2

a

b


a


b

2 2

2

ab

a 2ab b

= a 2 – b 2

a

b

P1 bis P8 liefern Regeln für die Verbindung von Potenzen mit Hoch- und Punktrechnung.

Gilt noch die Frage zu klären, ob bzw. unter welchen Bedingungen Potenzen addiert oder subtrahiert

werden können.

Beispiel: 7 a + 4 b – 3 a – 2 b =

Stellen wir uns für a Äpfel und für b Birnen vor, so wird es nur sinnvoll sein, Äpfel mit Äpfeln und Birnen

mit Birnen zu vergleichen.

7 a + 4 b – 3 a – 2 b = 4 a + 2 b

Beispiel: 6 a 2 + 5a – 2 a 2 – 3 a =

Folgender Vergleich hilft:

Nur zur Ansicht

Ein Obsthändler bietet zwei Apfelsorten an. Die Sorte a 2 und die Sorte a .

Zu Beginn des Tages besitzt er 6 (Kisten) der Sorte a 2 und 5 (Kisten) der Sorte a .

Im Laufe des Tages verkauft der Händler 2 (Kisten) der Sorte a 2 und 3 (Kisten) der Sorte a .

Um entsprechende Nachbestellungen ordern zu können, muss wohl der Umsatz beider Apfelsorten

getrennt berücksichtigt werden. Das führt uns auf folgende Rechnung:


a


b

6 a 2 + 5 a –2 a 2 – 3 a = 4 a 2 + 2 a

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Diese beiden Beispiele belegen:

Man darf nur Glieder ( + – ) mit gleichen Potenzen

addieren oder subtrahieren.

Gleiche Potenzen besitzen die gleiche Basis UND die gleiche Hochzahl.

Beispiel: 3 a 2 b + 3 a b 2 + 3 a b – 3 b a 2 – 3 a b 2 + a b =

Ein weiterer Aspekt:

Man sieht relativ leicht, dass das zweite und vorletzte Glied, sowie das dritte und letzte Glied

jeweils gleiche Potenzen besitzen.

Doch auch das erste und vierte Glied besitzen die gleichen Potenzen a 2 und b .

Damit man nicht Glieder mit gleichen Potenzen übersieht, ist es vorteilhaft,

die Potenzen innerhalb eines Gliedes bezüglich der Basis alphabetisch zu ordnen.

= 3 a 2 b + 3 a b 2 + 3 a b – 3 b a 2 – 3 a b 2 + a b =

= 3 a 2 b + 3 a b 2 + 3 a b – 3 a 2 b – 3 a b 2 + a b = 4 a b

+ ( – 2 x + 3 y ) = – 2 x + 3 y

Steht vor einer Klammer ein + , so behalten die Glieder in

der Klammer beim Auflösen ihr Vorzeichen.

– ( – 2 x + 3 y ) = + 2 x – 3 y

Steht vor einer Klammer ein – , sind die Vorzeichen der

Nur zur Ansicht

Die Begründung für diese Rechengänge erfolgt in

Glieder in der Klammer beim Auflösen zu ändern.

Beispiel: 3 x² – ( 2 x² – 5 ) = 3 x² – 2 x² + 5 = x² + 5

manfred.ambach 70 pro-test.at


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Beispiel: – x² – [ – x² – (– x²–1) ] =

= – x² – [ – x² + x² + 1 ] =

= – x² – [ + 1] =

= – x² – 1

Link: https://www.youtube.com/watch?v=rMCpcB5wC_c

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Der Flächeninhalt A eines gleichseitigen Dreiecks lässt sich mit folgender Formel bestimmen:

a … Seitenlänge des Dreiecks

Behauptung:

A = a2 ⋅ √ 3

4

„ Wird die Seitenlänge verdoppelt, so verdoppelt sich auch der Flächeninhalt. “

– Argumentieren Sie, warum diese Behauptung falsch ist.

Nur zur Ansicht

argumentieren bedeutet in aller Regel zweierlei:

1) Einen Rechengang (allgemein) oder

eine Rechnung (mit Zahlen) durchführen

und

2) Eine verbale Begründung für deine Entscheidung anführen:

„ Die Behauptung ist richtig, weil . . .“

oder: „ Die Behauptung ist falsch, weil . . .“

manfred.ambach 71 pro-test.at


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Wenn keine Zahlen gegeben sind, ist der Rechengang allgemein durchzuführen.

1) Ursprünglicher Flächeninhalt: A alt = a2 ⋅√ 3

Neuer Flächeninhalt: A neu = (2⋅a)2 ⋅√ 3

4

4

= 22 ⋅a 2 ⋅√ 3

4

= 4⋅a2 ⋅√ 3

4

= 4 ⋅ a2 ⋅√ 3

2) Die Behauptung ist falsch, weil sich bei einer Verdoppelung der Seitenlänge der Flächeninhalt

vervierfacht.

2.2.3. Multiplikation von Monom und Klammer

Monom: ein eingliedriger Ausdruck

Beispiel:

( 2 x² – 3 ) . ( – 4 x ) = – 8 x³ + 12 x

Monom

1) Vorzeichen: + . – = –

2) Vorzahlen: 2 . 4 = 8

3) Potenzen: x² . x = x³

Nur zur Ansicht

Jedes Glied der Klammer wird mit dem Monom multipliziert.

4

= 4 ⋅ A alt

Wir könnten obiges Beispiel auch so anschreiben, da ja die Multiplikation vertauschbar ist:

– 4 x . ( 2 x² – 3 ) = – 8 x³ + 12 x

manfred.ambach 72 pro-test.at


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Welche der Schreibweisen wirkt einfacher?

Noch ein Beispiel:

4 x . ( 2 x + 1 ) – 2 x . ( 2 x – 1 ) =

= 8 x² + 4 x – 4 x² + 2 x =

= 4 x² + 6 x

Warum bleiben die Vorzeichen unverändert, wenn vor einer Klammer ein + steht und warum sind

bei einem – vor der Klammer die Vorzeichen zu ändern?

+ ( – 2 x + 3 y ) = + 1 . ( – 2 x + 3 y ) = – 2 x + 3 y

– ( – 2 x + 3 y ) = – 1 . ( – 2 x + 3 y ) = + 2 x – 3 y

2.2.4. Multiplikation von Klammern

Das + vor der Klammer bedeutet eigentlich die

Vorzahl + 1 , mit der die Klammer multipliziert

Nur zur Ansicht

wird.

Das – vor der Klammer bedeutet eigentlich die

Vorzahl – 1 , mit der die Klammer multipliziert

wird.

Beispiel: ( 3 x – 2 y ) . ( 2 x + 5 y ) = 6 x² + 15 x y – 4 x y – 10 y² = 6 x² + 11 x y – 10 y²

Jedes Glied der einen Klammer wird

mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert.

manfred.ambach 73 pro-test.at


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Beispiel: ( 2 x – 1 ) . ( 2 x + 1 ) – x ( 4 x – 1 ) =

= 4 x 2 + 2 x – 2 x – 1 – 4 x 2 + x =

= – 1 + x =

= x – 1

2.2.5. Binomische Formeln

(A + B) 2 = A 2 + 2 . A . B + B 2 ≠ A 2 + B 2

(A − B) 2 = A 2 − 2 . A . B + B 2 ≠ A 2 − B 2

(A − B) . (A + B) = A 2 − B 2

Bemerkung: Die Binomischen Formeln gibt es auch für höhere Potenzen, also für (a ± b) 3 , (a ± b) 4 u.s.w.

Beispiel: ( 2 x – 3 y ) 2 =

( A – B ) 2 = A 2 – 2 . A . B + B 2

( 2 x – 3 y ) 2 = ( 2x ) 2 – 2 . 2 x . 3 y + ( 3y) 2 = 4 x 2 – 12 x y + 9 y 2

Nur zur Ansicht

Beispiel: ( 2 x – 1 ) 2 – ( 2 x – 1 ) . ( 2 x + 1 ) =

= 4 x 2 – 4 x + 1 – ( 4 x 2 – 1 ) =

= 4 x 2 – 4 x + 1 – 4 x 2 + 1 =

= – 4 x + 2

Bemerkung: Ist mit GeoGebra leicht zu bewerkstelligen!

manfred.ambach 74 pro-test.at


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Bemerkung:

Weil vor dem Minus noch die Punktrechnung der

Klammern ( 2 x – 1 ) . ( 2 x + 1) zu berücksichtigen ist.

Das Minus vor diesen Klammern bedeutet aber einen

Vorzeichenwechsel, der gerne vergessen wird,

multipliziert man und löst gleichzeitig die Klammern auf!

Natürlich kann man statt ( 2 x – 1 ) 2 auch ( 2 x – 1 ) . ( 2 x – 1 ) rechnen.

2.2.6. Fließkomma- bzw. Gleitkommadarstellung

Die Gleitkomma- bzw. Fließkommadarstellung von Zahlen findet vornehmlich in Naturwissenschaft und Technik

Verwendung um sehr große bzw. sehr kleine Zahlen (sehr nahe bei null) übersichtlich darzustellen.

Die uns gewohnte Kommadarstellung nennt man Fixkomma- oder festkomma-Darstellung.

Normierte Fließkommadarstellung: a . 10 k mit 1 ≤ a < 10 und a ∈ R und k ∈ Z

Es bedeuten:

Warum haben wir in der zweiten

Zeile das Minus und die Klammer

nochmals gesetzt?

1 ≤ a < 10 , a ∈ R . . . a ist eine reelle Zahl zwischen einschließlich 1 und ausschließlich 10

k ∈ Z . . . k ist eine ganze Zahl: . . . , − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .

Beispiel einer Zahl in normierter Fließkommadarstellung:

E

Nur zur Ansicht

Die Zahl ( 4,37 ) vor der Zehnerpotenz ( hier 10 3 ) besitzt als

höchsten Stellenwert immer Einer ( E ) ( hier die Ziffer 4 ) .

Wie groß ist diese Zahl eigentlich?

4,37 . 10 3 = 4,37 . 1000 = 4 370

10 3 = 10 . 10 . 10 = 1 000

manfred.ambach 75 pro-test.at


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Beispiel:

6,23 . 10 – 4 = 6,23 . 0,0001 = 0,000623

10 – 4 1 1

= 0,0001 siehe Regel P4

4

10 10000

Aus den beiden obigen Beispielen lässt sich erkennen:

1,234 . 10 n

1,234 . 10 – n

Ist die Hochzahl der Zehnerpotenz positiv, so wird das Komma um n Stellen

nach rechts verschoben, soll die Zahl in die für uns übliche Fixkomma-Darstellung

verwandelt werden.

Ist die Hochzahl der Zehnerpotenz negativ, so wird das Komma um n Stellen

nach links verschoben, soll die Zahl in die für uns übliche Fixkomma-Darstellung

verwandelt werden.

Umgekehrt lassen sich Zahlen in Fixkomma-Darstellung auch in die normierte Gleitkomma-Schreibweise

verwandeln:

Beispiel:

1 023 648 = 1,023 648 . 1 000 000 = 1,023 648 . 10 6 ≈ 1,02 . 10 6

Um von 1 023 648 auf 1,023 648 zu kommen, müssen wir 1 023 648 durch eine Million (= 1 000 000 = 10 6 )

dividieren.

Damit aber der Wert von 1 023 648 erhalten bleibt, müssen wir die Zahl 1, 023 648 zum Ausgleich mit

1 000 000 = 10 6 multiplizieren.

Bemerkung: Auf wie viel Stellen die Zahl vor der 10-er Potenz gerundet wird, hängt vom jeweiligen Sachverhalt ab.

Beispiel:

Nur zur Ansicht

0,000 000 002 = 2 .

1

1 000 000 000

1

= 2 .

10 = 2 . 10 – 9

9

Um von 0,000 000 002 auf 2 zu kommen, müssen wir 0,000 000 002 mit einer Milliarde (= 1 000 000 000 = 10 9 )

multiplizieren.

Damit aber der Wert von 0,000 000 002 erhalten bleibt, müssen wir die Zahl 2 zum Ausgleich durch

1 000 000 000 = 10 9 dividieren oder eben mit 10 – 9 multiplizieren.

manfred.ambach 76 pro-test.at


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Auch dafür lässt sich eine Regel ableiten:

1234 . . . 678,9

= 1,234 . 10 n

Komma n Stellen nach links

0,000 . . . 005678

Komma n Stellen nach rechts

Beispiel der Zentralmatura vom 16.1.2018

= 5,568 . 10 – n Ich glaube, lieber Fredo, dich von der

Sinnhaftigkeit der Fließkommadarstellung

überzeugen zu können:

Die „elektromagnetische Wechselwirkung“ ist 10 000-Milliarden-mal so groß wie die „schwache Wechselwirkung“.

– Ergänzen Sie in der nachstehenden Tabelle die fehlende Hochzahl für die „schwache Wechselwirkung“.

Nur zur Ansicht

Wechselwirkung

Stärke

elektromagnetische Wechselwirkung 1

schwache Wechselwirkung

Das ist ja eine sch . . . öne Darstellungsart!

Mathematiker scheinen keine wirklichen Sorgen zu

haben!

Erst bekommt man in der Schule die

Dezimalschreibweise eingetrichtert und jetzt wird

sie einem madig gemacht!

10

Gravitation

10 −39

– Ermitteln Sie, um welchen Faktor die „schwache Wechselwirkung“ stärker ist als die Gravitation.

manfred.ambach 77 pro-test.at


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Möglicher Lösungsweg:

elektromagnetische Wechselwirkung: EW

schwache Wechselwirkung: SW

EW = 10 000 . 1 000 000 000 SW = 10 000 000 000 000 . SW = 1 . 10 13 . SW

EW = 1 . 10 13 . SW | : 1 . 10 13 = . 1 . 10 –13

1 . 10 –13 . EW = SW 10 –13 . EW = SW

Also muss in das Kästchen 10 –13 eingetragen werden.

10 –13 = 10 –39 . 10 26

Deshalb ist die SW 10 26 - mal stärker als die Gravitation.

Folgende Tabelle gibt nochmals eine Übersicht über Größenordnungen und Bezeichnungen

Fixkomma-Darstellung Fließkomma-Darstellung Bezeichnung Abkürzung

milliardstel 0,000 000 001 10 −9 nano n

millionstel 0,000 001 10 −6 micro μ

tausendstel 0,001 10 −3 milli m

hundertstel 0,01 10 −2 centi c

zehntel 0,1 10 −1 dezi d

eins 1 10 0

zehn 10 10 1 deka da

hundert 100 10 2 hekto h

tausend 1 000 10 3 kilo k

Million 1 000 000 10 6 Mega M

Milliarde 1 000 000 000 10 9 Giga G

Billion 1 000 000 000 000 10 12 Tera T

Nur zur Ansicht

Auch unser Taschenrechner beherrscht die normierte Fließkommadarstellung:

unterste Reihe, Mitte

Beispiel: 5 . 10 7 : Als Ergebnis erscheint 50000000

Solange Zahlen in der üblichen Form am Display Platz finden, werden sie in der uns gewohnten,

sog. Fixkommadarstellung, wiedergegeben.

manfred.ambach 78 pro-test.at


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Beispiel:

Die Zahl 1 000 000 000 000 000 000 ist für das Display zu groß und wird am TR als 1 x 10 18 in

Gleitkommadarstellung angegeben.

Beispiel:

Verwandeln der Zahl 123 000 in Gleitkommadarstellung mit Casio:

Wir geben die Zahl ein und betätigen . Danach drücken wir die Taste (5. Reihe von oben,

2. Von links).

Damit erscheint das Ergebnis in der Form 123 x I0 3 .

Durch weiteres Drücken der

durch drücken von

-Taste wird die Zahl vor der 10-er Potenz 1 000 mal größer,

-Taste wird die Zahl vor der 10-er Potenz 1 000 mal kleiner.

Die Hochzahl der 10-er Potenz wird jeweils entsprechend verändert.

Leider verwandelt der Taschenrechner die Zahl nicht automatisch in die normierte Gleit- bzw.

Fixkommadarstellung.

2.3. Zerlegen von Termen

Nur zur Ansicht

Beachte, dass eingliedrige und mehrgliedrige Terme gänzlich anders zu zerlegen sind.

Beispiele:

eingliedrige Terme

mehrgliedrige Terme

4 x x² – 2x

– 6 x 2 y 4 x² + 12 x y + 9 y²

manfred.ambach 79 pro-test.at


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2.3.1. eingliedrige Terme

Beispiel: 12 x² y

Die Zahl wird in Primfaktoren zerlegt, die Potenzen in ihrer ausführlichen Schreibweise angegeben.

Primfaktoren sind mit mal verbundene Primzahlen. Primzahlen siehe

Primfaktorenzerlegung von 12: 12 2

6 2

3 3

Also lautet 12 in Primfaktoren zerlegt: 12 = 2 . 2 . 3

Zerlegung der Potenzen: x² = x . x und y 1 = y

Somit lautet die Zerlegung des eingliedrigen Terms 12 x² y = 2 . 2 . 3 . x . x . y

2.3.2. mehrgliedrige Terme

Für mehrgliedrige Terme steht uns das

zur Verfügung.

1

Herausheben gemeinsamer Faktoren

Wir dividieren durch die jeweils kleinstmögliche

Primzahl, bis wir als Ergebnis 1 erhalten.

Nur zur Ansicht

Faktoren, die in jedem Glied vorkommen, kann man herausheben.

Beispiel: 6 x² y – 9 x² y² = 2 . 3 . x . x . y – 3 . 3 . x . x . y . y = 3 . x . x . y . ( 2 – 3 . y )

Diese Schreibweise ist nur eine Hilfs-Darstellung,

um die gemeinsamen Faktoren besser zu erkennen.

# Es handelt sich aber NICHT um die Zerlegung des mehrgliedrigen Terms!

manfred.ambach 80 pro-test.at


+ Wird

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II Algebra & Geometrie

In dem du ( im Kopf ) die Probe machst:

Beispiel: 3 x – 3 = 3 . ( x – 1 )

weil 3 x – 3 = 3 x – 3.1 = 3 .( x – 1)

In der Klammer stehen immer so viele Glieder wie es ursprünglich waren.

3 x 2 y . ( 2 – 3 y ) = 6 x² y – 9 x² y²

Bemerkung: Es existieren noch weitere Methoden der Zerlegung mehrgliedriger Terme,

auf die wir verzichten.

Herausheben mit

Wie weiß ich, ob ich richtig

herausgehoben habe?

ein Glied zur Gänze herausgehoben, muss es in der

Klammer durch 1 ersetzt werden. Ansonsten erhalten wir

beim Ausmultiplizieren nicht mehr den ursprünglichen Ausdruck.

Man gibt im CAS –Fenster den zu zerlegenden Term

ein und klickt anschließend mit der linken Maustaste

und klickt

Nur zur Ansicht

Bemerkung: Das Programm hebt – 3 x 2 y heraus, damit in der Klammer das erste Glied positiv erscheint.

Warum – 3 y vor der Klammer und x 2 danach steht, entzieht sich meiner Kenntnis.

an.

Ausführlicheres zu GeoGebra siehe

manfred.ambach 81 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

2.4. Kleines Einmaleins des Bruchrechnens

2.4.1. Addieren und Subtrahieren

Beispiel:

Beispiele:

3

+ 2

=

2 8

Man darf Brüche nur addieren bzw. subtrahieren, wenn sie gleiche Nenner besitzen.

3

2 + 2

8 = Ef

N 1 : 2 2 . 2

N 2 : 8 = 2 . 2 . 2 2

N: 2 ⋅ 2 ⋅ 2

3

2 + 2

8 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2

N

= 12 + 2

N

= 14

N

7

= 2 ⋅ 7

2 ⋅ 2 ⋅ 2

1

Das Ergebnis des Zählers wird entsprechend zerlegt und man kürzt man den Bruch,

wenn man darf und wenn man kann.

Man darf einen Bruch nur dann kürzen, wenn im Zähler und Nenner alles mit Punktrechnung

verbunden ist. Vorhandene Strichrechnung muss in Klammern stehen.

Man kann einen Bruch kürzen, wenn sich Zahlen bzw. Ausdrücke im Zähler und Nenner durch

die gleiche Zahl bzw. den gleichen Ausdruck dividieren lassen.

Nur zur Ansicht

Beispiel

DARF

ich kürzen?

KANN

ich kürzen?

x + 1

x

Die Nenner werden entsprechend

(ein- oder mehrgliedrig) zerlegt.

Die Erweiterungsfaktoren Ef sind jene

Faktoren, die dem einzelnen Nenner

zum gemeinsamen Nenner N fehlen.

2 ⋅ (x + 1)

x

=

7

4

x ⋅ (x + 1)

x

1

x⋅(x+1)

x

1

= x + 1

manfred.ambach 82 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Beispiel:

x

x 2 − x − x + 1

x 2 + x

=

x 2 + x − x 2 + 1

N

Ef

N 1 : x 2 − x = x ⋅ (x − 1) (x + 1)

N 2 : x 2 + x = x ⋅ (x + 1) (x − 1)

=

N: x ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1)

2.4.2. Multiplizieren

Beispiel:

x ⋅ (x + 1) − (x + 1) ⋅ (x − 1)

N

= x + 1

N = (x + 1)

x ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1) = 1

x ⋅ (x − 1)

1

=

x 2 + x − (x 2 + x − x − 1)

3

⋅ 4

= 8 9

Brüche werden multipliziert,

indem man

Nur zur Ansicht

N

=

x 2 + x − (x 2 − 1)

die Zähler mit den Zählern und die Nenner mit den Nennern multipliziert.

Beispiel:

3

⋅ 4

1 1

= 3 . 4

8 9 8 . 9

2 3

1

a

n ⋅

= 1

6

Für den kleinsten gemeinsamen Nenner N wird jeder

verschiedene Faktor genommen, der in einer der Zerlegungen

vorkommt und zwar so oft er in einer Einzelzerlegung an

häufigsten auftritt.

b

m

=

a ⋅ b

n ⋅ m

Wenn möglich, vor dem Ausmultiplizieren kürzen.

N

Beispiel:

x 2 −x

4 x 2 ⋅

2 x

x−1

=

Zähler und Nenner werden vor dem Ausmultiplizieren zerlegt um die Bedingungen zu schaffen kürzen zu dürfen.

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II Algebra & Geometrie

Z 1: x 2 – x = x ( x – 1 )

Z 2: 2 x = 2 . x

N 1: 4 x 2 = 2 . 2 . x . x N 2: x – 1 = ( x – 1 )

=

x . (x−1)

2 . 2 . x . x


2 x

=

(x−1 )

2.4.3. Dividieren

Beispiel:

Beispiel:

4

∶ 2

=

9 3

1 1 1 1

x . (x−1 ) . 2 . 1 x

= 1

2 . 2 . x . x . (x−1) 2

1 1 1 1

Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man

den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.

= 4

9 ∶ 2

3 = 4

9 . 3

2 1

2 = 4 . 3

9 . 2

3 1

2

x4 x

2


a

n


= 2

3

b

m

=

a

n ⋅ m

b

Nur zur Ansicht

x

x 1

2 x

= x2 − x

4 x 2


x − 1

2 x

= x2 − x

4 x 2

Beachte:


2 x

x − 1

=

=

x . (x − 1)

2 . 2 . x . x


2 . x

(x − 1)

=

1 1 1 1

x . (x − 1) . 2 . x

2 . 2 . x . x . (x − 1) = 1

2

1 1 1 1

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2.5. Einführung in

Öffnet man das Programm, so erscheint die folgende Benutzeroberfläche in GeoGebra Classic 5

In GeoGebra Classic 6 sieht die Benutzerebene wie folgt aus:

Nur zur Ansicht

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Die Unterschiede in der Handhabung sind minimal.

Bemerkung: Die Videos mit der Bezeichnung GeoGebra behandeln GeoGebra Classic 5,

die Videos mit der Bezeichnung GeoGebraExam behandeln GeoGebra Classic 6.

In das Eingabe-Fenster werden Berechnungen mit Zahlen und Funktionen

eingegeben.

Beispiel:

4 . 5 + 6 =

ZUERST die entsprechende Zeile im Eingabe -Fenster aktivieren,

damit der Cursor blinkt.

Dies geschieht durch klicken mit der linken Maustaste in der gewünschten Zeile.

Wir geben in die Eingabe-Zeile die entsprechende Rechnung

ohne = Zeichen ein.

Das Mal-Zeichen:

Tastatur Ziffernblock virtuelle Tastatur

In der Eingabe-Zeile erscheint das Mal-zeichen als Punkt: 4 ⋅ 5 + 6

OHNE ENTER, also

unterhalb der Eingabe das Ergebnis.

, zu betätigten, erscheint

Nur zur Ansicht

Betätigt man die ENTER – Taste, so werden Eingabe und Ergebnis mit

einem Kleinbuchstaben versehen.

GeoGebra benennt solcherlei in alphabetischer Reihenfolge.

Beispiel:

4 . 3 2 – 5

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Wir geben wiederum in die Eingabe-Zeile die Angabe ein.

Das „Hoch“-Zeichen:

Will man die Hochzahl verlassen, geschieht das mit der Taste

Ansonsten schreibt das Programm

Tastatur

virtuelle Tastatur

Im sogenannten CAS – Fenster werden Buchstaben und auch Gleichungen eingegeben und dort

berechnet.

Bemerkung: CAS bedeutet Computer Algebra System

Öffnen des CAS-Fensters in Classic 5:

Öffnen des CAS-Fensters in Classic 6:

In der Kopfzeile klickt man Ansicht mit der linken

Maustaste an und im sich öffnenden Fenster CAS.

Ganz oben rechts findet man das Symbol .

Dieses wird mit der linken Maustaste angeklickt.

Nur zur Ansicht

Damit öffnet sich das links abgebildete Fenster, in dem wir den Button

Ansicht aktivieren (linke Maustaste).

manfred.ambach 87 pro-test.at


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Beispiel: (a + b)² =

Merken wir schon mal vor:

In dem sich öffnenden Fenster aktivieren wir nun CAS

(wenn nicht anders beschrieben, immer durch Klicken mit der linken

Maustaste).

Die entsprechende Zeile des CAS-Fensters ist erst dann

aktivieret, wenn die Zeilenzahl blau hinterlegt erscheint

und der rot gefärbte Cursor blinkt.

Wir schreiben die Angabe in die entsprechende Zeile des CAS – Fensters.

Nun betätigen wir NICHT ENTER, sondern klicken mit der linken

Maustaste auf das Symbol

Damit erscheint der ausgerechnete Ausdruck unterhalb der Eingabe.

Nur zur Ansicht

manfred.ambach 88 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Eingaben korrigieren:

Geht ganz einfach, wie bei Casio:

Beispiel:

2 x ⋅ (1 − 3x)

Wurzeln:

Beispiel:

3

√x 2 + 1

Allgemeiner Befehl:

Wir schreiben die Angabe ins CAS-Fenster.

Bei der Kontrolle stellen wir den Fehler fest.

Wir gehen mit dem Cursor | rechts der Zahl, die wir hier verändern

wollen, und klicken auf der

Tastatur

virtuellen Tastatur

Nun brauchen wir nur noch an der Stelle des Cursors die richtige Zahl

einzugeben.

Nun brauchen wir nur noch an der Stelle des Cursors die richtige Zahl

einzugeben.

NteWurzel(, )

Wurzelinhalt Grad der Wurzel

Nur zur Ansicht

ENTER

Neben dem Ergebnis im Algebra-Fenster

wird gleichzeitig der Graph dieser

Funktion im Grafik-Fenster dargestellt,

sofern der Kreis ausgefüllt ist.

manfred.ambach 89 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Link: https://www.youtube.com/watch?v=6qdCv1_hQIo

Link: https://www.youtube.com/watch?v=MBS3R0dBdYo

Bemerkung: Die entsprechenden Videos für GeoGebra 5 laufen unter gleicher Nummer.

Also: MAY GeoGebraExam 02 behandelt das Gleiche wie MAY GeoGebra 02,

Link: https://www.youtube.com/watch?v=Zh3FfaIbw1k

MAY GeoGebraExam 03 behandelt das Gleiche wie MAY GeoGebra 03

Link: https://www.youtube.com/watch?v=nFvNPPZje5w

Die Unendlichkeit der Mathematik 7

Nur zur Ansicht

Paradoxon von Zeno

Stellen wir uns einen Läufer vor, der im

Punkt S startet und

zum Ziel Z gelangen will.

Fortsetzung S 99

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II Algebra & Geometrie

"Just a darn minute! Yesterday you said X equals two!"

3. GLEICHUNGEN

Um nicht, wie der bedauernswerte junge Mann im Bild

nebenan, Gleichungen als unverständliches Mysterium

zu erleben, wollen wir uns zunächst mit den grundsätzlichen

Eigenschaften von Gleichungen vertraut machen.

Beachte, dass bei Gleichungen, im Gegensatz zu allen bisherigen Berechnungen

(sogenannten Umformungen), schon

in der Angabe links und rechts vom

Beispiele: 5 x = 20

x 2 −4x

2

− 1 = 0

etwas steht!

Mit Gleichungen lässt sich nämlich zum Teil anders rechnen als mit Umformungen.

3.1. Gleichungen mit einer Variablen

Die Variable ist die Unbekannte.

Nur zur Ansicht

3.1.1. Gleichungen 1. Grades ( lineare Gleichungen )

=

Man hat mir gesagt,

dass jede Gleichung in dem Buch

die Verkaufszahlen halbiert.

Stephen HAWKING

(1942 -2018)

In linearen Gleichungen kommt die Variable nur linear vor, d.h. sie hat die Hochzahl 1 und steht

nicht im Nenner.

Beispiele: 3 x 1 + 5 = 11 ; 2 ( 1 – 3 x 1 ) + 8 = 9 x 1 – 3 ( 2 + x 1 ) ;

2 x 1 –1

4

= – 1

2

manfred.ambach 91 pro-test.at


#

Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

3.1.1.1. Elementares

Lineare Gleichungen werden soweit umgeformt,

bis die Variable alleine auf nur einer Seite der Gleichung steht.

Beim Umformen von Gleichungen denke an

b

Dornröschen & an eine Balkenwaage

Die Variable stellt in diesem Bild die Prinzessin dar.

Wie die Königstochter während der gesamten Märchenhandlung

im Schloss verweilt, soll auch die Variable beim Umformen der

Gleichung in der Regel auf ihrem Platz verweilen.

Die Person, die die Gleichung löst, ist der Prinz, der von außen

kommt.

Verfügt der Prinz über keine märchenhaften Eigenschaften, so

wird er die Hecke an ihrer dünnsten Stelle zu durchdringen

versuchen.

Umgesetzt auf die Gleichung: Zuerst bringt man jene Zahlen von

der Variablen weg, die mit ihr am schwächsten verbunden sind,

also die Strichrechnung. Erst danach widmet man sich der

Punkt-, und, wenn vorhanden, anschließend der Hochrechnung.

Nur zur Ansicht

Also:

Gehe beim Umformen der Gleichung in

umgekehrter Reihenfolge

zu den Vorrangregeln vor.

Eine Balkenwaage besitzt zwei Waagschalen,

eine Gleichung zwei Seiten.

So wie beim Wägen immer Gleichgewicht herrschen soll,

so ist beim Umformen der Gleichung Bedacht zu nehmen,

dass auf beiden Seiten stets Balance herrscht.

Also:

Führe beim Umformen der Gleichung

auf beiden Seiten

die gleichen Rechenoperationen

durch.

manfred.ambach 92 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Beispiel:

x + 5 = 8

Die Variable stellt in unserem Bild die Prinzessin dar.

+ 5 = 8

Wir bringen die Strichrechnung von der Prinzessin weg:

das Glied + 5 , indem wir auf beiden Seiten – 5 subtrahieren.

2 + 5 = 8 – 5

2 +5 – 5 = 8 – 5

= 3

x = 3

Stellt damit x = 3 automatisch die Lösung der Gleichung dar?

NEIN ! Ob der errechnete Wert auch Lösung der Gleichung ist, zeigt erst die Probe:

Wir setzen den errechneten Wert für die Variable in die Ausgangsgleichung ein:

x + 5 = 8

?

3 + 5 = 8

manfredambach

8 = 8 w. A. ➝ x = 3 ist eine Lösung dieser Gleichung.

w.A. steht für wahre ( im Sinne von richtige ) Aussage

x + 5 8

Die Gleichung ist fertig umgeformt, da die Variable alleine auf nur einer Seite steht.

Nur zur Ansicht

Nur wenn wir bei der Probe eine w.A. erhalten ( und uns nicht verrechnet haben ),

ist der errechnete Wert Lösung der Gleichung.

+ 5

– 5

– 5

Erhielten wir bei der Probe beispielsweise

– 4 = 8 also eine f.A. ( falsche Aussage ), so wäre der errechnete Wert

keine Lösung der Gleichung.

manfred.ambach 93 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Und ich dachte immer, die

Probe dient dazu, um

Rechenfehler festzustellen!

Dazu dient die Probe gar nicht!

Wie oben erwähnt, führt man die Probe durch um

klarzulegen, ob die erhaltene Zahl auch Lösung der

Gleichung ist.

Deine Aufgabe wird nicht primär das Lösen von Gleichungen sein,

sondern die Lösung(en) der Gleichung geometrisch richtig zu deuten.

Deshalb hier schon mal eine kleine Vorschau:

Eine lineare Gleichung entstammt einer linearen Funktion ,

bei der y = 0 gesetzt wird.

Eine lineare Funktion ergibt gezeichnet eine Gerade.

Da wir y = 0 setzen, suchen wir demnach Punkte der

Geraden mit y = 0. Das sind Punkte auf der x-Achse.

Solche Punkte nennt man Nullpunkte.

Z.B.: y = x – 5

. . . lineare Funktion

0 = x – 5 + 5 . . . lineare Gleichung in einer Variablen

5 = x

x = 5

Was wir derzeit noch nicht bestimmen können, ist der konkrete Verlauf

der Geraden. Wir wissen nur, dass sie durch den Nullpunkt ( 5 / 0 ) geht.

Nun kann es sein, dass eine Gerade parallel

zur x-Achse verläuft und damit keinen Nullpunkt

(keinen Punkt auf der x- Achse) besitzt.

Nur zur Ansicht

In einem solchen Fall verfügt die entsprechende lineare

Gleichung über keine Lösung.

Beispiel: y = 3

. . . lineare Funktion

0 = 3 f. A. → keine Lösung

Bemerkung: Hier erhält man schon beim Umformen der

Gleichung eine f.A. und nicht erst bei der Probe.

manfred.ambach 94 pro-test.at


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Oder die Gerade liegt auf der x –Achse.

Dann verfügen Gerade und x-Achse über alle und damit

unendlich viele gemeinsame Punkte.

Die entsprechende lineare Gleichung besitzt dann

unendlich viele Lösungen, nämlich jede reelle Zahl.

Beispiel: y = 0

. . . lineare Funktion

0 = 0 w. A. für alle (reellen) Zahlen

Bemerkung: Hier erhält man schon beim Umformen der Gleichung

eine w.A. und nicht erst bei der Probe.

Zusammenfassend lässt sich sagen:

Eine lineare Funktion ( eine Gerade ) kann auf der x-Achse

einen Punkt haben, keinen Punkt haben unendlich viele Punkte

eine lineare Gleichung somit

eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösung

Nur zur Ansicht

Und das soll ich mir alles

merken!?!

Keine Angst, lieber Fredo, das wird noch alles ausführlich in Abschnitt

III FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE erörtert.

Im Folgenden weitere Beispiele linearer Gleichungen mit Lösungsweg.

manfred.ambach 95 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Beispiel:

x – 2 = 3 + 2

x – 2 + 2 = 3 + 2

x = 5

Beispiel:

Beispiel:

→ N(5/0)

2 . x = 6 : 2

1

3

2 . x

=

6

2 2

1 1

x = 3 → N(3/0)

x

3

1 . 3

x . 3 = – 1 . 3

3

Wir bringen von der Variablen x die Zahl – 2 weg, indem wir auf

beiden Seiten + 2 addieren.

Die Zahl 2 ist mit x mit mal verbunden, also dividieren wir beide Seiten

der Gleichung durch 2.

Nur zur Ansicht

x 3

. 1. 3

3 1

1

x.3

3

1


3

manfredambach

+ 2

x – 2 3

: 2

2 x 6

Die Zahl 3 ist mit x mit dividiert verbunden, also multiplizieren wir beide

Seiten der Gleichung mit 3.

x

3

. 3

– 1

+ 2

: 2

. 3

x = – 3 → N(−3/0)

manfred.ambach 96 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Beispiel:

Beispiel:

2 x + 3 = 9

2 . x + 3 = 9 – 3

2 . x = 6 : 2

x = 3 → N(3/0)

4 – x = 6

+ 4 – 1. x = 6 – 4

–1. x = 2 : (–1)

1

1.x


1

x = – 2

→ N(−2/0)


2

1

oder

Beim Umformen einer Gleichung gehen wir in entgegengesetzter

Reihenfolge zu den Vorrangregeln vor.

Zuerst bringen wir die Zahl + 3 weg, da sie mit der Variablen x

mit Strichrechnung verbunden ist.

Jetzt widmen wir uns der Zahl 2, die mit x mit mal verbunden ist.

Die Zahl 4 ist mit x mit + verbunden, da + das Vorzeichen

von 4 ist. Das Minus gehört als Vorzeichen zu x , eigentlich zu

seiner Vorzahl – 1.

–1. x = 2 . (–1)

–1 . x . (–1) = 2 . (–1)

–1 . (–1) . x = – 2

1 . x = –2

x = –2

Statt durch ( –1 )

zu dividieren, können wir auch

mit ( –1 ) multiplizieren.

Warum?

Nur zur Ansicht

Link: https://www.youtube.com/watch?v=12LXOeXoFIQ

manfred.ambach 97 pro-test.at


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3.1.1.2. Gleichungen mit Klammern

Beispiel:

2 x ( 3 x – 1 ) = (2 x – 2 ) ( 3 x + 1 )

6 x 2 – 2 x = 6 x 2 + 2 x – 6 x – 2

6 x 2 – 2 x = 6 x 2 – 4 x – 2 – 6 x 2 + 4 x

2 x = – 2 : 2

x = – 1

3.1.1.3. Gleichungen mit Bruchtermen

Bruchterme sind Brüche, bei denen die Variable zumindest im Nenner steht.

Steht die Variable im Nenner, so muss zunächst die Gleichung bruchfrei gemacht werden!

Beispiel:

2 x + 1

x 2 − 2 x = 4

x − 2

Nur zur Ansicht

Ef

N1 x . (x – 2) 1

N2 (x – 2) x

N x . (x – 2)

Steht die Variable in Klammern,

muss man diese auflösen.

Kommt die Variable in mehreren Gliedern ( + – )

vor, so bringt man die Glieder mit der Variablen

auf die eine Seite der Gleichung,

die Glieder ohne Variable auf die andere Seite.

Zunächst ermitteln wir einen kleinsten

gemeinsamen Nenner N und

die Erweiterungsfaktoren Ef.

Für den gemeinsamen Nenner N werden alle

verschiedenen Faktoren gewählt, die in den

Zerlegungen vorkommen und zwar so oft sie in einer

einzelnen Zerlegung am häufigsten auftreten.

Die Erweiterungsfaktoren Ef sind jene Faktoren, die dem einzelnen Nenner zum gemeinsamen Nenner N

fehlen.

manfred.ambach 98 pro-test.at


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Probe:

(2 x + 1) . 1 4 . x

Jetzt bringen wir alle Brüche auf

= | . N

N

N

N und multiplizieren die Zähler

mit ihren Ef.

1 1

(2 x+ 1) . N 4 . x . N

=

N

N

1 1

(2 x + 1) = 4 . x

Die Unendlichkeit der Mathematik 8

2 x + 1 = 4 . x | − 2 x

1 = 2 x | ∶ 2

0,5 = x

2 . 0,5+1

= 4

0,5 2 −2 .0,5 0,5−2

1+1

= 4

0,25 − 1 0,5 − 2

2

= 4

−0,75 −1,5

−2, 67 = −2, 67

Danach multiplizieren wir die

Gleichung mit N, und kürzen danach

durch N damit sie bruchfrei wird.

w.A. → x = 0, 5 ist Lösung der Gleichung.

Nur zur Ansicht

Um von S nach Z zu gelangen,

muss der Läufer die Mitte M 1 dieser

Strecke passieren.

Fortsetzung: S 105

manfred.ambach 99 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

3.1.1.4. Formeln umformen

Jede Formel ist eine Gleichung, da sie ein

Deshalb behandeln wir

Es gibt drei Grundformen:

- Zeichen besitzt mit vorgegebener linker und rechter Seite.

Formeln wie Gleichungen.

A: Die gesuchte Größe steht nicht in Klammern und nicht im Nenner

Beispiel:

U = 2 a + 2 b a = ?

U = 2 a + 2 b

– 2 b

U – 2 b = 2 a : 2

U2b

2


a

B: Die gesuchte Größe steht in Klammer(n)

Beispiel:

A

A



(a

c).h

2

c ?

Die gesuchte Größe ist die Variable.

In unserem Beispiel a

Wir formen entsprechend die Gleichung um, bis a alleine

auf nur einer Seite steht und gehen dabei wiederum in

entgegengesetzter Reihenfolge zu den Vorrangregeln vor

Nur zur Ansicht

(a

c).h

2

2. A (a

c).h

2. A

h

2. A

h

a

c

a c

. 2

: h

a

=

Steht die gesuchte Größe in Klammern, so muss man die

Klammern zuerst auflösen.

Stelle dir die Klammern als Mauern vor.

Der Dornröschen-Prinz kommt von außen und hat vor der Mauer

noch die „Hindernisse“ h und die 2 im Nenner zu überwinden.

2 ist mit der „Mauer“ mit dividiert verbunden und kommt mit mal

weg.

h ist mit der "Mauer" mit mal verbunden und kommt mit dividiert

weg.

Jetzt besitzt die Klammer keine Bedeutung mehr und kann

weggelassen werden.

manfred.ambach 100 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

C: Die gesuchte Größe steht im Nenner

Beispiel:

1

R = 1

R + 1

1

R 2

Ef

N 1 : R R 1 ⋅ R 2

N 2 : R 1 R ⋅ R 2

N 3 : R 2 R ⋅ R 1

N = R ⋅ R 1 ⋅ R 2

R 1 =?

1 ⋅ R 1 ⋅ R 2

= 1 ⋅ R ⋅ R 2

+ 1 ⋅ R ⋅ R 1

N

N

N

⋅ N

1 ⋅ R 1 ⋅ R 2 ⋅ N

= 1 ⋅ R ⋅ R 2 ⋅ N

+ 1 ⋅ R ⋅ R 1 ⋅ N

N

N

N

R .R2

R.R R.R1

R.R1

1 2

R1 .R2

R.R1


R.R

R . (R2

R) R.R : (R2

R

1 2

1


1

R.R

2

(R R)

2

R)

Nur zur Ansicht

2

1

1

1

1

1

Steht die gesuchte Größe im Nenner, so muss die

Gleichung bruchfrei gemacht werden.

Zuerst sucht man den gemeinsamen Nenner N der

Einzelnenner und die Erweiterungsfaktoren Ef.

Die Gleichung wird mit dem N multipliziert

( Balkenwaage ).

Die Glieder mit R 1 kommen auf die eine Seite,

jene ohne R 1 auf die andere .

Jetzt können wir R 1 herausheben

Bemerkung: Es gibt meistens mehrere Möglichkeiten, eine Formel umzuformen.

Bist du nicht sicher, ob deine Umformung richtig ist, wähle für alle Buchstaben, außer der gesuchten Größe,

Zahlen (nicht null oder eins) und setze sie in deinen umgeformten Ausdruck ein.

Dann setze die gleichen Zahlen in die gebotene Lösung. Bei Übereinstimmung ist auch deine Umformung richtig.

manfred.ambach 101 pro-test.at


https://www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E&index=7

Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Link: https://www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&t=174s

https://www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&t=174shttps://www.youtube.com/watch

?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E&index=7https://www.youtu

be.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E&index=7https:

//www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E

&index=7

Link: https://www.youtube.com/watch?v=yoe3c2dRwNM

Aufgabe der Kompensationsprüfung am 06.06.2018

Für den Tageseintritt in einen Alpenzoo bezahlt man für Kinder (3 bis 5 Jahre) € 5, Erwachsene bezahlen € 10,

wobei es für Seniorinnen und Senioren ermäßigte Tickets zum Preis von € 8,50 gibt.

An einem Sommertag besuchen a Erwachsene und b Kinder den Zoo: Unter den Erwachsenen sind c Seniorinnen

und Senioren.

– Erstellen Sie mit Hilfe von a, b und c eine Formel für die Gesamteinnahmen G dieses Tages.

Möglicher Lösungsweg:

Nur zur Ansicht

Erfundenes Zahlenbeispiel:

a = 100 … Erwachsene mit Senioren !

c = 20 … Senioren c

Übertragung auf die Textaufgabe:

100 – 20 … Erwachsene ohne Senioren a – c

b = 30 … Kinder

b

a

G = (100 – 20) . 10 + 30 . 5 + 20 . 8,50 G = (a – c) . 10 + b . 5 + c . 8,50

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II Algebra & Geometrie

Erben

Eine Erbschaft von 260 000 Euro wird unter drei Erben wie folgt aufgeteilt:

Erbe A erhält zwei Drittel von Erbe B. Erbe C erhält das eineinhalb Fache von Erbe A.

– Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die einzelnen Anteile bestimmt werden können.

– Berechnen Sie die Höhe der einzelnen Anteile.

Möglicher Lösungsweg:

x … Anteil in Euro des Erben B

Anteil von A: A erhält 2

Anteil von C: erhält 3

Gleichung:

2

3

von B →

von A →

Ich wähle deshalb x für den Anteil von B, weil sich sämtliche Angaben

letztlich auf B beziehen.

2

3 ⋅ x

3

⋅ 2

2 3

⋅ x = x

Anteil A + Anteil B + Anteil C = Erbschaft

2

⋅ x + x + x = 260 000 oder zusammengefasst: 8

⋅ x = 260 000

3 3

Nur zur Ansicht

8

8

⋅ x = 260 000 | ∶

3 3

x = 97 500

B und C erhalten 97 500 Euro, A erhält 65 000 Euro.

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II Algebra & Geometrie

Aufgabe Zentralmatura am 10.5.2017

Bei der Abbildung eines Gegenstandes mithilfe einer Sammellinse gelten folgende Beziehungen:

B

G = b

g ⋅ f

und b =

g

g − f

B = 1

2 ⋅ G → B < G

B … Höhe des Bildes

G ... Höhe des Gegenstandes

b … Abstand des Bildes von der Linse

g … Abstand des Gegenstandes von der Linse

f … Brennweite der Linse

– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [ 1 aus 5 ]

Wenn g = 3 ⋅ f gilt, dann ist B größer als G.

Wenn g = 3 ⋅ f gilt, dann ist B = G.

Wenn g = 2 ⋅ f gilt, dann ist B kleiner als G.

Wenn g = 2 ⋅ f gilt, dann ist B = G.

Wenn g = 2 ⋅ f gilt, dann ist B größer als G.

Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass genau eine der gebotenen Alternativen richtig ist.

Möglicher Lösungsweg:

g = 3 ⋅ f

3 ⋅ f ⋅ f

→ b =

3 ⋅ f − f = 3 ⋅ f2

= 3 ⋅ f

2 ⋅ f 2

B

G = b | ⋅ G → B = b

3 ⋅ f

g

g ⋅ G → B = 2 3 ⋅ f

⋅ G = ⋅ G ∶ 3 ⋅ f = 3 ⋅ f ⋅ G ⋅

3 ⋅ f 2 1 2

1

3 ⋅ f = 3 ⋅ f

2 ⋅ 3 ⋅ f ⋅ G = 1

2 ⋅ G

Nur zur Ansicht

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#

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II Algebra & Geometrie

g = 2 ⋅ f

→ b =

2 ⋅ f ⋅ f

2 ⋅ f − f = 2 ⋅ f2

f

= 2 ⋅ f

B

G = b

g

| ⋅ G → B = b

g

B = G → 4. Alternative ist richtig.

⋅ G → B =

2 ⋅ f

2 ⋅ f

⋅ G = G

Beispiel: Idee: Angewandte Mathematik@HUM, Teil 1, S 63 ISBN 978-3-7101-0634-7

Folgende Tabelle gibt zum Teil die Umrechnungen in verschiedene Temperaturmaße an.

Kelvin (K) …… T K … Temperatur in K Grad Celsius (°C) …… T C … Temperatur in °C

Grad Rèaumur (°R) …… T R … Temperatur in °R Grad Fahrenheit (°F) …... T F … Temperatur in °F

von →

nach ↓

K °C °R °F

K = T K = T C + 273,15 = 1,25 ⋅ T R + 273,15 = (T F + 459,67) ⋅ 5

9

°C = T C = 1,25 ⋅ T R

= (T F − 32) ⋅ 5

9

°R = T R

= (T F − 32) ⋅ 4

9

°F = T F

– Fülle die leeren Zellen entsprechend aus.

– Ermittle, um wie viel Prozent 1 °R größer ist als 1 °C.

– Bestimme die Grade für die gilt °C = °F

Lösungen:

Nur zur Ansicht

Die Unendlichkeit der Mathematik 9

* 1 °R ist um 25 % größer als 1 °C

* – 40°

Um von M 1 nach Z zu gelangen,

muss der Läufer die Mitte M 2 der

Reststrecke passieren.

Fortsetzung S 119

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#

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II Algebra & Geometrie

3.1.1.5. Gleichungen mit

Beispiel:

2 x − 3 = 7

Öffnen des CAS – Fensters siehe

Wir geben in einer Zeile des CAS-Fensters die Gleichung ein.

Dann klicken wir (mit der linken Maustaste) das Symbol

Nur zur Ansicht

an

und unterhalb der Eingabe erscheint die Lösung.

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II Algebra & Geometrie

Beispiel:

1

2 = 2

x − 1 − 3

4

Bemerkung: Die obige Gleichung wurde in GeoGebra Classic 6 eingegeben.

! Nicht vergessen, mit der Taste

jeweils aus dem Nenner zu gehen!

Ansonsten entstehen Ausdrücke wie

Auch Gleichungen zweiten und höheren Grades lassen sich einfach lösen:

Beispiel:

4 x 2 − 7 x − 2 = 0

Beispiel:

Nur zur Ansicht

2 x 3 + x 2 − 5 x + 2 = 0

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II Algebra & Geometrie

Wie ist denn mit Formeln umformen?

Will ich zum Beispiel die Formel U = 2 a + 2 b

nach b umformen, dann erhalte ich mit GeoGebra

Woher soll denn das Programm

wissen, welchen Buchstaben du

ausgedrückt haben willst?

Es gibt trotzdem eine

Möglichkeit:

Schreibe in eine Zeile des CAS – Fensters den Befehl

Löse.

Damit öffnet sich ein Fenster, in dem der Befehl

Löse[ , ]

angeklickt wird.

In das Feld schreibt man die

Formel in der ursprünglichen Form,

in das Feld den Buchstaben, der

ausgedrückt werden soll.

Die Klammern < > müssen auch beseitigt

werden.

ENTER betätigt und die gewünschte Umformung

erscheint.

Nur zur Ansicht

Bemerkung: GeoGebra formt in der Regel nicht so um, wie wir das mit dem Bild Dornröschen erreichen.

Mit dem Befehl Löse[ , ] lassen sich alle Gleichungen mit einer Variablen einschließlich

Formeln umformen bewerkstelligen.

Link: https://www.youtube.com/watch?v=rJur673IUzg

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II Algebra & Geometrie

3.1.2. Gleichungen 2. Grades ( quadratische Gleichungen )

In quadratischen Gleichungen ist die höchste Potenz der Variablen quadratisch.

Beispiele: x 2 = 4 oder 4 x 2 – 7 x – 2 = 0

3.1.2.1. Normalform

Die sog. Norm(al)form (allgemeine Form) einer quadratischen Gleichung lautet:

mit a, b, c R ( also reellen Zahlen )

a . x 2 + b . x + c = 0

a ist die Vorzahl von x², b die Vorzahl von x und c steht für das konstante Glied, also jenes ohne Variable.

Solche Gleichungen lassen sich mit einer Formel lösen, die hier ohne Herleitung angegeben ist:

Die dazugehörige Auflösungsformel lautet

Nur zur Ansicht

x 1/2 =

– b ± √ b 2 – 4 . a . c

2 . a

Diese Formel nennt man a-b-c– Formel oder Mitternachtsformel.

Mitternachtsformel deswegen, weil man sie in seligen Schulzeiten auch dann hersagen können sollte, würde man mitten in der

Nacht geweckt ( ein Mörder-Brüller! ).

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II Algebra & Geometrie

Beispiel: 4 x 2 – 7 x – 2 = 0 . . . eine quadratische Gleichung, weil die

höchste Potenz der Variablen x quadratisch ist.

a x 2 + b x + c = 0

4 x 2 – 7 x – 2 = 0 mit a = 4, + b = – 7 und + c = – 2 gilt:

x 1/2 = − (−7) ± √ (−7)2 − 4 . 4 . (−2)

2 . 4

x 1/2 =

x 1/2 =

− (−7) ± √ 49 − 4 . 4 . (−2)

2 . 4

7 ± √ 49 + 32

8

x 1/2 = 7 ± √ 81

8

x 1/2 = 7 ± 9

8

x 1 = 7 + 9

8

x 2 = 7 − 9

8

Nur zur Ansicht

x 1 = 2 x 2 = − 1

4

Sie ist in der Norm(al)form gegeben.

Beachte, dass nur die Vorzahlen

a , b und c in die Formel eingesetzt

werden und nicht die Variable x.

– 4 . (+) 4 . ( – 2 ) = + 32

Wollen wir uns auch hier in einer Vorschau veranschaulichen, was wir beim Lösen quadratischer Gleichungen

eigentlich berechnen:

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II Algebra & Geometrie

Eine quadratische Gleichung der Norm(al)-Form a . x 2 + b . x + c = 0

entstammt einer sog. quadratischen Funktion der allgemeinen Form a . x 2 + b . x + c = y .

Jede quadratische Funktion besitzt prinzipiell eine der unten angeführten Formen:

Lautet die quadratische Funktion z.B.

y = 4 x² – 7 x – 2

und wir setzen y = 0, so erhalten wir die

quadratische Gleichung 0 = 4 x² – 7 x – 2 ,

deren Lösungen x 1 =2 und x 2 = – 1 4

wir im letzten Beispiel bestimmten.

lauten,

Da wir in der Funktionsgleichung y = 0 setzten,

ermitteln wir auch hier die Punkte der Kurve,

die auf der x-Achse liegen,

also die Nullpunkte.

Was wir derzeit noch nicht angeben können ist, ob die Kurve

oben oder unten offen ist und wie weit sie in diesen Fällen

nach unten bzw. oben reicht.

Nur zur Ansicht

Wie viele Punkte kann eine quadratische Funktion auf der x-Achse haben?

Anders gefragt:

Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben?

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II Algebra & Geometrie

Beispiel: 2 x² + x – 6 = 0 a = 2 b = 1 c = – 6

x 1/2 =

– 1 ± √ 1 2 – 4 . 2 . (– 6)

2 . 2

x 1/2 =

x 1/2 =

x 1 = 3

2

N 1 ( 3 2 /0)

– 1 ± √ 49

4

– 1 ± 7

4

x 2 = – 2

N 2(−2/0)

Beispiel: x² – 4 x + 4 = 0 a = 1 b = – 4 c = 4

x 1/2 =

– (−4) ± √ (−4) 2 – 4 . 1 . 4

2 . 1

x 1/2 =

x 1/2 =

4 ± √ 0

2

x 1/2 = 2

N(2/0)

4 ± 0

2

Man spricht von einer sog. Doppellösung.

Beispiel: 3 x² + 2 x + 1 = 0 a = 3 b = 2 c = 1

Nur zur Ansicht

x 1/2 = − 2 ± √ 2 2 – 4 . 3 . 1

2 . 3

x 1/2 = − 2 ± √ – 8

6

Da die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl

keine reelle Zahl ergibt,

besitzt die Gleichung keine reelle Lösung.

→ kein Nullpunkt

Welcher der Nullpunkte mit N 1 bzw. N 2 bezeichnet wird, ist unerheblich.

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II Algebra & Geometrie

Betrachten wir die letzten drei Beispiele, lässt sich folgendes erkennen:

Rechnerisch hängen die Lösungsmöglichkeiten einer quadratischen Gleichung

vom Wurzelinhalt der Auflösungsformel ab:

Die allgemeine Norm(al)form einer quadratischen Gleichung lautet

und die dazugehörige Auflösungsformel

x 1/2 =

a x 2 + b x + c = 0

– b ± √ b 2 – 4 . a . c

2 . a

Den Wurzelinhalt, also b 2 – 4 a c , nennt man Diskriminante D

discriminare ( lateinisch ): unterscheiden

All unsere Berechnungen finden immer in den reellen Zahlen R satt. Demnach gilt:

Ist D > 0, der Wurzelinhalt also positiv, besitzt die Gleichung 2 (reelle) Lösungen,

ist D = 0, der Wurzelinhalt also null, besitzt die Gleichung 1 (reelle) Lösung,

ist D < 0, der Wurzelinhalt also negativ, besitzt die Gleichung keine (reelle) Lösung.

Nur zur Ansicht

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II Algebra & Geometrie

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

– Bestimme in der Gleichung 2 x 2 + 4 x + c = 0 den Koeffizienten (die Vorzahl) c so, dass diese Gleichung

* zwei (reelle) Lösungen,

* eine (reelle) Lösung,

* keine (reelle) Lösung besitzt.

Der Wurzelinhalt lautet hier D = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = 4 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ c = 16 − 8 ⋅ c

* 2 Lösungen: D > 0 → 16 − 8 ⋅ c > 0 | − 16

−8 ⋅ c > −16 | ∶ (−8)

c < 2 (#)

* 1 Lösung: D = 0 → 16 − 8 ⋅ c = 0 | − 16

−8 ⋅ c = −16

c = 2

| ∶ (−8)

* keine Lösung: D < 0 → 16 − 8 ⋅ c < 0 | − 16

−8 ⋅ c < −16 | ∶ (−8)

c > 2 (#)

(#) (Lineare) Ungleichungen werden im Prinzip wie Gleichungen behandelt.

2 Ausnahmen:

Nur zur Ansicht



Am Ende soll die Variable auf der linken Seite stehen.

Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder

durch eine negative Zahl dividiert, so ist das Ungleichheits-Zeichen zu ändern!

Für c < 2 besitzt diese Gleichung

zwei reelle Lösungen.

Für c = 2 besitzt diese Gleichung

eine reelle Lösungen.

Für c > 2 besitzt diese Gleichung

keine reelle Lösungen.

Beispiele:

4 < 8 | . (−2) 9 > 6 | ∶ (−3)

−8 > −16

−3 < −2

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II Algebra & Geometrie

Beispiel der Zentralmatura am 12.1.2017

Die tatsächliche Leistung eines bestimmten Windrades in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit v kann

für Windgeschwindigkeiten von 5 m/s bis 10 m/s näherungsweise durch die Polynomfunktion P beschrieben

werden.

P(v) = 0,0175 ⋅ v 2 − 0,0796 ⋅ v + 0,0391 mit 5 ≤ v ≤ 10

v … Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)

P(v) … Leistung bei der Windgeschwindigkeit v in Megawatt (MW)

– Berechnen Sie, bei welcher Windgeschwindigkeit eine Leistung von 0,5 MW erzielt wird.

Zunächst zum Text:

Möglicher Lösungsweg:

Wir suchen die Windgeschwindigkeit v, bei der die Leistung P = 0,5 MW beträgt:

P(v) = 0, 5

Diesen Wert setzen wir statt P(v) in die Funktionsgleichung ein:

P(v) = 0, 5 ∶ 0, 5 = 0, 0175 ⋅ v 2 – 0, 0796 ⋅ v + 0, 0391

Nur zur Ansicht

Damit erhalten wir eine Gleichung in v, die wir mit GeoGebra lösen:

Da nur der Wert 7,89 im Gültigkeitsbereich liegt, lautet die Antwort:

Bei einer Windgeschwindigkeit von 7,89 m/s beträgt die Leistung 0,5 MW.

manfred.ambach 115 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Beim Fallschirmspringen befindet man sich solange im freien Fall, bis der Schirm geöffnet wird.

Während des freien Falls wird der dabei zurückgelegte Weg s annähernd durch folgende Weg-Zeit-Funktion

beschrieben:

s(t) = g

2 ⋅ t2

t … freier Fall in Sekunden (s)

s(t) … zurückgelegter Weg in Metern (m) zum Zeitpunkt t

g … Erdbeschleunigung ≈ 10 m/s 2

– Berechnen Sie wie lange es dauert, bis der Fallschirmspringer 1 Kilometer (km) im freien Fall zurückgelegt hat.

Möglicher Lösungsweg:

1 km = 1 000 m = s(t)

s(t) = g

2 ⋅ t2

1 000 = 10

2

⋅ t 2

1 000 = 5 ⋅ t 2 | ∶ 5

200 = t 2 | √

Nur zur Ansicht

±14,14 = t

oder:

Beachte, dass die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl zwei Werte ergibt!

Für diese Aufgabe kommt nur der positive Wert in Frage.

Es dauert 14,14 Sekunden, bis der Fallschirmspringer 1 km im freien Fall zurückgelegt hat.

manfred.ambach 116 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

3.1.3. Gleichungen höheren ( als 2. ) Grades

Beispiele für solche Gleichungen:

4 x 3 – 5 x 2 + x + 1 = 0 Gleichung 3. Grades

x 4 – 2 x 3 = 0

3.1.3.1. Gleichungen 3. Grades

Gleichung 4. Grades

Die Norm(al)form (allgemeine Form) einer Gleichung 3. Grades lautet:

mit a, b, c und d als Zahlen und x der Variablen.

Beispiel: 2 x 3 + x 2 – 5 x + 2 = 0

Veranschaulichung:

Die der Gleichung 3. Grades 2 x 3 + x 2 – 5 x + 2 = 0

a . x 3 + b . x 2 + c . x 1 + d . x 0 = 0

Nur zur Ansicht

entsprechende Funktion 3. Grades

2 x 3 + x 2 – 5 x + 2 = y

besitzt drei Punkte auf der x-Achse:

Die sogenannten Nullpunkte

N 1 (−2/0) N 2 (0,5/0) N 3 (1/0)

manfred.ambach 117 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

( Polynom- ) Funktionen 3. Grades können in der Regel folgende Verläufe einnehmen:

N 1

y

Da eine Polynomfunktion 3. Grades

höchstens 3 Nullpunkte (Punkte auf der x-Achse )

besitzen kann,

verfügt eine Gleichung 3. Grades

über höchstens 3 (reelle) Lösungen.

Eine Polynomfunktion 3. Grades kann auch nur

2 Nullpunkte besitzen, deshalb kann eine

Gleichung 3. Grades auch nur

2 (reelle) Lösungen aufweisen.

Nur zur Ansicht

N

y

N 2

x

x

Oder es existiert nur 1 Nullpunkt

und somit auch nur 1 (reelle) Lösung.

Einen Nullpunkt besitzt eine Polynomfunktion 3. Grades

immer, da sie entweder aus dem Negativ-Unendlichen

y-Bereich kommt und ins Positiv-Unendliche geht

oder umgekehrt und damit zumindest einmal die x-Achse

kreuzen muss.

manfred.ambach 118 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

3.1.3.2. Gleichungen 4. Grades

Die Norm(al)form (allgemeine Form) einer Gleichung 4. Grades lautet:

mit a, b, c, d und e als Zahlen und x der Variablen.

Beispiel: x 4 – 3 x 3 – x² + 3 x = 0

Veranschaulichung:

Die der Gleichung 4. Grades x 4 – 3 x 3 – x² + 3 x = 0

entsprechende Funktion 4. Grades

x 4 – 3 x 3 – x² + 3 x = y

besitzt vier Punkte auf der x-Achse:

Die sogenannten Nullpunkte

N 1 (−1/0) N 2 (0/0) N 3 (1/0) N 4 (3/0)

Die Unendlichkeit der Mathematik 10

a . x 4 + b . x 3 + c . x 2 + d . x 1 + e . x 0 = 0

Nur zur Ansicht

Jetzt gilt es noch M 3 zu passieren, . . .

Fortsetzung S 129

. . . . . danach den nächsten

Mittelpunkt usw.

manfred.ambach 119 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

( Polynom- ) Funktionen 4. Grades können in der Regel folgende Verläufe einnehmen:

Da eine Polynomfunktion 4. Grades

höchstens 4 Nullpunkte (Punkte auf der x-Achse ) besitzen kann,

verfügt eine Gleichung 4. Grades

über höchstens 4 (reelle) Lösungen.

Eine Polynomfunktion 4. Grades kann auch nur

3 Nullpunkte besitzen, deshalb kann eine

Gleichung 4. Grades auch nur

3 (reelle) Lösungen aufweisen.

Eine Polynomfunktion 4. Grades kann auch nur

2 Nullpunkte besitzen, deshalb kann eine

Gleichung 2. Grades auch nur

2 (reelle) Lösungen aufweisen.

Eine Polynomfunktion 4. Grades kann auch nur

1 Nullpunkt besitzen, deshalb kann eine

Gleichung 2. Grades auch nur

1 (reelle) Lösung aufweisen.

Nur zur Ansicht

Oder es existiert kein Nullpunkt

und somit auch keine (reelle) Lösung.

manfred.ambach 120 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

3.2. Gleichungen mit mehreren Variablen

Korrekt spricht man von Gleichungssystemen.

Gleichungs-System meint, es werden Lösungen gesucht, die für alle Gleichungen gelten.

Suchen wir gemeinsame Lösungen von Gleichungen,

sind das geometrisch gemeinsame Punkte von Linien.

Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen ( Unbekannten ):

I: 2 x + y = 10

II: 3 x + y = 13

Beispiel eines nicht-linearen Gleichungssystems in zwei Variablen:

f: y = x 2 – 2 x – 2

g: y = x – 2

g

Wie wir sehen werden, stellt eine

lineare Gleichung mit zwei Variablen

geometrisch eine Gerade dar.

Der gemeinsame Punkt beider Geraden ist der

Schnittpunkt S.

f ist eine quadratische Funktion und g eine

lineare Funktion.

Nur zur Ansicht

In diesem Fall haben die Linien zwei

gemeinsame Punkte, die beiden

Schnittpunkte S1 und S2 .

manfred.ambach 121 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

3.2.1. Lineare Gleichungen mit 2 Variablen

Bevor wir uns den Lösungsverfahren widmen, veranschaulichen wir die

manfredambach

manfredambach

möglichen Lösungen linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen

y

y

y

S

I

I

II

II

x

x

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen stellen

lineare Funktionen dar, deren Graphen Geraden sind.

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

können demnach

. . . eine Lösung – dh, einen Schnittpunkt – besitzen,

wenn die Geraden zueinander nicht parallel liegen,

. . . über keine Lösung (keine gemeinsamen Punkte)

verfügen, wenn die Geraden zueinander parallel sind,

Nur zur Ansicht

I = II

x

. . . unendlich viele Lösungen

(unendlich viele gemeinsame Punkte) besitzen, wenn

die Geraden identisch sind, dh, beide Gleichungen

dieselbe Gerade beschreiben.

manfredambach

manfred.ambach 122 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Nun zu den

3.2.1.1. Lösungsmethoden

3.2.1.1.1. Gleichsetzmethode

Beispiel:

I: 2 x + 1 y = 10 – 2 x

II: 3 x + 1 y = 13

I: y = 10 – 2 x

II: y = 13 – 3 x

– 3 x

10 – 2 x = 13 – 3 x + 3 x

10 + x = 13 – 10

x = 3

I: y = 10 – 2 . 3

y = 10 – 6

y = 4

Man wird wohl den einfacheren Ausdruck auswählen.

Egal, welchen Ausdruck man wählt, man erhält für die noch zu berechnende Variable immer denselben Wert!

Der gemeinsame Punkt ( der Schnittpunkt ) beider

Geraden hat die Koordinaten S ( 3 / 4 ).

y

Man drückt aus beiden Gleichungen

die gleiche Variable aus und setzt die

Ausdrücke einander gleich.

Die andere Variable berechnet

man, indem man den errechneten

Wert in einen der Ausdrücke

einsetzt.

Nur zur Ansicht

Die Gleichsetzmethode ist dann günstig, wenn eine der Variablen in beiden Gleichungen

die Vorzahlen 1 bzw. – 1 besitzt.

manfred.ambach 123 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

3.2.1.1.2. Einsetzmethode ( Substitutionsmethode )

Beispiel: I: 4 x + 5 y = 23

II: 1 x – 2 y = – 4

II: x = – 4 + 2 y

x

+ 2 y

I: 4 . ( – 4 + 2 y ) + 5 y = 23

– 16 + 8 y + 5 y = 23

– 16 + 13 y = 23 + 16

13 y = 39 : 13

y = 3

II: x = – 4 + 2 . 3

x = – 4 + 6

x = 2

Der gemeinsame Punkt (der Schnittpunkt) beider

Geraden besitzt die Koordinaten S ( 2 / 3 ).

Man drückt aus einer Gleichung eine Variable aus

und setzt diesen Ausdruck in die andere Gleichung

ein.

Die andere Variable berechnet man,

indem man den errechneten Wert in

den Ausdruck einsetzt.

Nur zur Ansicht

Die Einsetzmethode ist dann günstig, wenn eine der Variablen in einer der Gleichungen

die Vorzahl 1 oder – 1 besitzt.

manfred.ambach 124 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

3.2.1.1.3. Additionsmethode ( Eliminationsmethode )

Beispiel: I: 6 x + 3 y = 12

II: 9 x – 4 y = 1

I: 6 x + 3 y = 12 . 4

II: 9 x – 4 y = 1 . 3

I: 24 x + 12 y = 48

II: 27 x – 12 y = 3

Bemerkung:

51 x = 51 : 51

x = 1

II: 9 . 1 – 4 y = 1

Prinzipiell ist es gleichgültig, ob die Variable x oder y eliminiert (zum Verschwinden gebracht) wird.

Im eigenen Interesse sollte man jedoch jene Variable wählen, bei der man mit einfacheren

Berechnungen das Auslangen findet.

9 – 4 y = 1 – 9

– 4 y = – 8 : ( – 4)

y = 2

+

Nur zur Ansicht

Somit lauten die Koordinaten des Schnittpunktes

S ( 1 / 2 ).

Man multipliziert eine oder beide

Gleichungen mit jeweils solchen Zahlen, dass

eine der Variablen gegengleiche Vorzahlen

erhält.

Gegengleiche Zahlen sind z.B. + 9 und – 9

Dann addiert man die Gleichungen.

Die andere Variable berechnet man, indem

man den errechneten Wert in die einfachere

Ausgangsgleichung einsetzt.

manfred.ambach 125 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

3.2.2. Gleichungssysteme mit

Beispiel:

I: x + y + z = 0

II : 4 x + 2 y + z = 1

III : 9 x + 3 y + z = 3

Man schreibt jede Gleichung in eine eigene Zeile des

CAS – Fensters.

Nur zur Ansicht

Durch Betätigen von ENTER kommt man in die

nächste Zeile.

Beachte, dass die Kreise unterhalb der Zeilen-Nummern nicht ausgefüllt sind!

manfred.ambach 126 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Jetzt hält man die

-Taste

und die linke Maustaste gedrückt halten

und markiert alle Zeilennummern (blau hinterlegt), in

denen die Gleichungen stehen.

Jetzt noch den Button

angeklickt und

In der den Gleichungen folgenden Zeile werden die

Lösungen ersichtlich.

Auf diese Weise lassen sich

alle Gleichungssysteme, gleich welchen Grades und mit wie viel Variablen,

berechnen.

Nur zur Ansicht

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Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Drei Geschwister, Hanni, Lea und Paul, besitzen Handys von drei verschiedenen Anbietern. Hanni zahlt pro Monat

a Euro. Lea zahlt pro Monat drei Viertel so viel wie Hanni, Paul bezahlt pro Monat das eineinhalb Fache von Lea.

Die Eltern zahlen Hanni, Lea und Paul zu Weihnachten ihre Handyrechnungen für den Monat Dezember.

– Stellen Sie eine möglichst vereinfachte Formel für den Gesamtbetrag G auf, den die Eltern dafür zu

bezahlen haben.

Möglicher Lösungsweg:

G = a + 0,75 ⋅ a + 1,5 ⋅ 0,75 ⋅ a = 23

⋅ a Euro= 2, 875 ⋅ a Euro

Die Unendlichkeit der Mathematik 11

Fortsetzung S 128

Die Unendlichkeit der Mathematik 12

8

Um zum Ziel Z zu gelangen,

muss der Läufer immer mehr

"Mittelpunkte" durchlaufen,

deren Anzahl immer größer

wird, also gegen unendlich

geht.

Nur zur Ansicht

Nennen wir die Reststrecken vom

jeweiligen Mittelpunkt bis

zum Ziel Z den jeweiligen " M-Lauf " .

Dann könnten wir folgende Aussagen formulieren:

Der Läufer müsste eine unendliche Anzahl von "M-Läufen" zurücklegen.

Es ist unmöglich, dass der Läufer eine unendliche Anzahl von "M-Läufen" absolviert.

Also kommt der Läufer nie ans Ziel.

Fortsetzung S 137

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Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Aufgabe Kompensationsprüfung am 05.06.2018

Ein Betrieb produziert Packungen mit gemischten, qualitativ hochwertigen Nüssen. Werden 18 kg Haselnüsse

mit 6 kg Walnüssen vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese Mischung 67,5 Cent pro 100 g.

Werden 9 kg Haselnüsse und 15 kg Walnüsse vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese

Mischung 78,75 Cent pro 100 g.

– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Kosten für 1 kg Haselnüsse und der Kosten für 1 kg

Walnüsse.

Möglicher Lösungsweg:

Der grau hinterlegte Textteil ist nicht notwendig!

Ein Betrieb produziert Packungen mit gemischten, qualitativ hochwertigen Nüssen. Werden 18 kg Haselnüsse

mit 6 kg Walnüssen vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese Mischung 67,5 Cent pro 100 g.

Werden 9 kg Haselnüsse und 15 kg Walnüsse vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese

Mischung 78,75 Cent pro 100 g.

x … Kosten in € für 1 kg Haselnüsse

y … Kosten in € für 1 kg Walnüsse

67,5 Cent pro 100 g 10 . 100 g = 1 000 g = 1 kg 10 . 67,5 Cent = 675 Cent = 6,75 € pro kg

78,75 Cent pro 100 g 10 . 100 g = 1 000 g = 1 kg 10 . 78,75 Cent = 787,5 Cent = 7,875 € pro kg

Wenn 1 kg Haselnüsse x € kosten, kosten 18 kg Haselnüsse 18-mal so viel: 18 . x

Wenn 1 kg Walnüsse y € kosten, kosten 6 kg Walnüsse 6-mal so viel: 6 . y

Diese Mischung besteht dann aus 18 kg + 6 kg = 24 kg, wobei 1 kg dieser Mischung 6,75 € kostet: 24 . 6,75

Wenn 1 kg Haselnüsse x € kosten, kosten 9 kg Haselnüsse 9-mal so viel: 9 . x

Wenn 1 kg Walnüsse y € kosten, kosten 15 kg Walnüsse 15-mal so viel: 15 . y

Diese Mischung besteht dann aus 9 kg + 15 kg = 24 kg, wobei 1 kg dieser Mischung 7,875 € kostet: 24 . 7,875

Damit lautet das Gleichungssystem:

Nur zur Ansicht

18 . x + 6 . y = 24 . 6,75

9 . x + 15 . y = 24 . 7,875

manfred.ambach 129 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Die Entfernung von A nach B auf einer geradlinigen Strecke beträgt 20 km. Der Zug fährt mit einer

Durchschnittsgeschwindigkeit von v 1 von A nach B. Eine Schnellbahn, deren Geschwindigkeit um ein Drittel

geringer ist als die des Zuges, fährt in die entgegengesetzte Richtung. Der Zug passiert A zum selben Zeitpunkt wie

die Schnellbahn den Ort B. Sie begegnen einander nach 10 Minuten.

– Berechnen Sie die Geschwindigkeit v 1 des Zuges.

Möglicher Lösungsweg:

Eine Skizze zur Veranschaulichung:

Die Geschwindigkeit v 2 der Schnellbahn ist um ein Drittel kleiner als die Geschwindigkeit des Zuges.

Also beträgt die Geschwindigkeit der Schnellbahn zwei Drittel von der Geschwindigkeit des Zuges. → v 2 = 2

⋅ v 3

1

Die zurückgelegten Wege der beiden Bahnen bis zum Treffpunkt müssen wohl die 20 km ergeben. → s 1 + s 2 = 20

Die Formel für die Geschwindigkeit lautet v = s

s 1 = v 1 ⋅ t = v 1 ⋅ 10

s 1 + s 2 = 20

v 1

= v 1

60 6

s 2 = v 2 ⋅ t = v 2 ⋅ 10

t

| . t → v . t = s

60 = 2

3 ⋅ v 1 ⋅ 1

6 = 1

⋅ v 9

1 = v 1

9

Nur zur Ansicht

6 + v 1

9 = 20 Bemerkung 1:

Gleichung im CAS-Fenster!

Bemerkung 2:

v1 erhält man in GeoGebra, indem man v_1 eingibt.

! Da die Geschwindigkeit in km/h

gegeben ist, muss der Weg in km

und die Zeit in h (Stunden)

angegeben werden!

10 min = 10

60 h

Der Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von 72 km/h.

manfred.ambach 130 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Aufgabe der Zentralmatura am 09.05.2018

Katharina und Georg arbeiten als Pflegekräfte in einem Heim. Sie bekommen das gleiche monatliche Grundgehalt.

Im Februar lag in diesem Heim ein besonderer Arbeitsbedarf vor. Georg leistete 14 Überstunden, Katharina

leistete 46 Überstunden. Ihr jeweiliges Gesamtentgelt setzt sich aus dem Grundgehalt und der Abgeltung für die

geleisteten Überstunden zusammen. Jede Überstunde wird dabei gleich abgegolten.

Das Gesamtentgelt von Georg betrug im Februar € 2.617, jenes von Katharina betrug € 3.433.

– Ermitteln Sie das Grundgehalt und die Abgeltung für eine Überstunde.

Möglicher Lösungsweg:

x … Grundgehalt in € y … Abgeltung für eine Überstunde in €

Georg: x + 14 y = 2 617

Katharina: x + 46 y = 3 433

Nur zur Ansicht

Das Grundgehalt beträgt 2 260 €, eine Überstunde wird mit 25,50 € abgegolten.

manfred.ambach 131 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Man sollte alles so einfach wie möglich sehen–

aber nicht einfacher.

Albert EINSTEIN

( 1879 – 1955 )

4. ELEMENTARGEOMETRIE

4.1. Lehrsatz des PYTHAGORAS

Der Lehrsatz des PYTHAGORAS darf NUR in rechtwinkeligen Dreiecken verwendet werden.

A

Kathete

Hypotenuse

Der Lehrsatz des PYTHAGORAS lautet:

C

.

Kathete

B

Im rechtwinkeligen Dreieck gilt:

Katheten . . . . . die Seiten, die den rechten Winkel

einschließen

Hypotenuse . . . die Seite gegenüber dem

rechten Winkel ( die längste Seite )

Nicht die Bezeichnung der Seiten ist von

Bedeutung, sondern deren Lage.

So kann z.B. die Seite gegenüber dem rechten Winkel

a oder s heißen und ist trotzdem die Hypotenuse.

Nur zur Ansicht

manfred.ambach 132 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Beispiel:

Gib für folgende rechtwinkelige Dreiecke den pythagoräischen Lehrsatz mit den in den Skizzen verwendeten

Bezeichnungen an.

Beispiel:

a 2 + b 2 = x 2 b 2 + c 2 = a 2 m 2 + x 2 = a 2

Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man die Längen der Kathete a = 4,6 cm und der Hypotenuse c = 6,2 cm.

Berechne die Länge der fehlenden Kathete und den Flächeninhalt des Dreiecks.

gegeben: a = 4,6 cm

c = 6,2 cm

gesucht: b =

A =

Zur Ermittlung des Rechengangs

genügt es, wenn die Skizze den

beschriebenen Sachverhalt

entsprechend wiedergibt, ohne

die konkreten Zahlenangaben zu

berücksichtigen.

Allerdings kann es dann z.B. sein,

dass die in der Skizze längere

Kathete sich rechnerisch als die

kürzere erweist.

Nur zur Ansicht

a² + b² = c²

4,6² + b² = 6,2² | – 4,6²

A

Skizze:

b

Rechengang

c

C

.

a

B

Ergebnisse

b² = 6,2² – 4,6² | √

b = √

6,2² – 4,6² ≠ √ 6,2² − √ 4,6²

b = 4,16 cm

manfred.ambach 133 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Für das rechtwinkelige Dreieck gilt

a.b

A mit a und b als den Katheten A = 9,56 cm²

2

Aus

b

2

2

2

c a

folgt NICHT b c a

Dieser Sachverhalt lässt sich auch gut veranschaulichen:

Beispiel:

.

Wollen wir uns obigen Sachverhalt verbildlichen:

Angenommen, ein Flugzeug möchte direkt von Salzburg

nach Linz fliegen. Wegen einer Gewitterfront muss es den

Umweg über Suben im Innviertel einschlagen.

Sollte aus a² + b² = c² folgen, dass a + b = c

ist, würde jeder noch so weite Umweg gleich lang wie die

direkte Strecke sein!

Der Lehrsatz des PYTHAGORAS darf auch dann verwendet werden,

wenn sich in Formen rechtwinkelige Dreiecke als Teilfiguren finden lassen.

Der Querschnitt eines Daches ist ein gleichschenkeliges Dreieck mit

den abgebildeten Längen in Metern (m).

Nur zur Ansicht

– Bestimme die Höhe dieses Daches.

Was ist denn eigentlich

ein Querschnitt?

manfred.ambach 134 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Rechengang

h 2 + 2,1 2 = 6,5 2 | − 2,1 2

h 2 = 6,5 2 − 2,1 2 | √

h = √ 6,5 2 − 2,1 2

4.2. Strahlensatz

Querschnitt oder Querschnittsfläche bedeutet, dass

ein Körper quer, d.h. im rechten Winkel, zu seiner

Längsachse durchschnitten wird.

Ergebnisse

h = 6,15 m

Der Strahlensatz darf in allen ähnlichen Dreiecken verwendet werden.

Das sind Dreiecke, die in allen entsprechenden Winkeln übereinstimmen

bzw. deren entsprechende Seiten parallel liegen.

Mögliche Strahlensätze:

Nur zur Ansicht

a 1

a 2

a 1

b 1

b 2

c 2

=

=

=

. . .

b 1

b 2

a 2

b 2

b 1

c 1

Die Reihenfolge, die auf der linken Seite gewählt wurde, muss rechts beibehalten werden!

manfred.ambach 135 pro-test.-at


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II Algebra & Geometrie

Beispiel Zentralmatura am 21.9.2015

Tennis

Ein Spieler trifft beim Aufschlag den Ball in einer Höhe von 2,3 m im Punkt A genau über der Mitte der Grundlinie.

Er visiert den Punkt B (Mitte der Aufschlaglinie) an. Um nicht ins Netz zu gehen, muss der Ball das Netz in einer

Höhe von mindestens 1 Meter (über dem Boden) überqueren. Die Flugbahn des Tennisballes beim Aufschlag kann

modellhaft mittels einer Gerade beschrieben werden.

Skizze: BMB

– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Aufschlag über das Netz geht.

Möglicher Lösungsweg:

Das rote und das blaue

Dreieck sind rechtwinkelig.

Die Seiten x und 2,3 m

sowie die Seiten 6,4 m und

6,4 + 6,4 + 5,5 = 18,3 m

liegen zueinander parallel.

Deshalb dürfen wir hier den

Strahlensatz anwenden:

Nur zur Ansicht

x

2,3

= 6,4

18,3

| ⋅ 2,3 → x = 6,4

18,3

⋅ 2,3 = 0,80 m

Da der Ball beim Netz nur eine Höhe von 0,8 m erreicht, geht er nicht über das Netz.

manfred.ambach 136 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

4.3. Kreis und Kreisteile

k

d

Auf der Kreislinie k liegen alle unendlich vielen Punkte, die von einem

Punkt, dem Mittelpunkt M, den gleichen Abstand r besitzen.

M . . . Mittelpunkt

r . . . Radius

d . . . Durchmesser

k . . . Kreislinie

Flächeninhalt

Umfang

d = 2 . r

A = r 2 . π

U = 2 . r . π

Die Zahl π entstammt dem Versuch, aus einem Kreis von gegebenem Radius ein Quadrat zu konstruieren, das

über den gleichen Flächeninhalt verfügt. Bei diesem Problem handelt es sich um die sog. Quadratur des Kreises.

Kreissektor (Kreisausschnitt):

M

r … Radius

b … Bogenlänge

α … Zentriwinkel

A … Flächeninhalt des Kreisbogens

b =

r ⋅ π ⋅ α

180°

Nur zur Ansicht

Die Unendlichkeit der Mathematik 13

r

A =

r² ⋅ π ⋅ α

360°

Dass der Läufer eine endlich lange Strecke nie durchlaufen können sollte,

widerspricht unserer Erfahrung und Logik!

Fortsetzung S 147

manfred.ambach 137 pro-test.-at


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II Algebra & Geometrie

Beispiel Kompensationsprüfung am 06.06.2018

Zur Modellierung einer Flammenspitze können Kreisbögen mit dem Radius a verwendet werden.

Möglicher Lösungsweg:

Grafik: BMB

– Berechnen Sie den Flächeninhalt der

Flamme für a = 3 cm.

Der grüne und der rote Kreissektor sind gleich

groß, denn beide haben als Radius r = a und den

Zentriwinkel 60°.

2 ⋅ a2 ⋅ π ⋅ 60°

= 32 ⋅ π

= 3 π = 9,42 cm²

360° 3

Allerdings ist das blaue Dreieck bei beiden

Flächen der Sektoren dabei. Deshalb müssen wir

einmal die Fläche des gleichseitigen Dreiecks

abziehen.

Nur zur Ansicht

A ∆ = a2 ⋅ √ 3

4

= 32 ⋅ √ 3

4

= 3,90 cm

9, 42 cm 2 − 3, 90 cm 2 = 5, 52 cm² ist der Flächeninhalt der Flamme.

manfred.ambach 138 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

4.4. Prismen

Beispiele für Prismen:

Für alle Prismen gilt:

Prismen sind Körper, deren Grundfläche G und Deckfläche D gleich sind,

d.h. gleich geformt und gleich groß.

Quader Zylinder allgemeines Prisma

G: Rechteck G: Kreis G: beliebige Form

Nur zur Ansicht

→ Volumen des Quaders:

V = a . b . h

Volumen = Grundfläche mal Körperhöhe

V = G ⋅ h

→ Volumen des Zylinders:

V =⋅ r 2 ⋅ π ⋅ h

manfred.ambach 139 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Beispiel:

Wie viel m 3 hat ein km 3 ?

Volumen eines Würfels: V = a 3 = a . a . a

V = 1 km . 1 km . 1 km = 1 . km . 1. km . 1 . km = 1 . 1 . 1 . km . km . km = 1 km 3

V = 1 000 m . 1 000 m . 1 000 m = 1 000 . m . 1 000 . m . 1 000 . m = 1 000 . 1 000 . 1 000 . m . m . m

V = 1 000 000 000 m 3

So muss gelten: 1 km 3 = 1 000 000 000 m 3 = 1.10 9 m 3

Nur zur Ansicht

manfred.ambach 140 pro-test.-at


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II Algebra & Geometrie

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Ein Volumen von 2 500 Barrel (bbl) auslaufenden Erdöls bedeckt eine Meeresfläche von 4 250 km 2 . Der Ölteppich

breitet sich gleichmäßig aus. 1 bbl Erdöl entspricht ungefähr 159 Liter.

– Berechnen Sie, wie dick der Ölteppich ist.

– Geben Sie das Ergebnis in Nanometer (nm) an.

V = A ⋅ h ∶ A

V

A

= h

397 500 dm 3

Nur zur Ansicht

4,25 ⋅ 10 11 dm 2

A = 4 250 km 2

Der Ölteppich ist 93,53 nm dick.

h

= h → h = 0,0000009353 dm

1 m

V = 2 500 . 159

V = 397 500 l = 397 500 dm 3 (1)

A = 4 250 km 2 = 425 000 000 000 dm 2

= 4,25 ⋅ 10 11 dm 2 (2)

Für alle Körper, deren Grundfläche G und Deckfläche D

gleich sind, gilt:

Volumen V = G ⋅ h

= 0,000009353 m = 93,53 nm = h

= 10 dm 1 nm = 1 . 10 –9 m

: 10 : 1 . 10 –9

(1) 1 l = 1 dm 3

(2) 1 km 2 = 100 ha → 1 ha = 100 a → 1 a = 100 m 2 → 1 m 2 = 100 dm 2 → 1 km 2 = 100 000 000 dm²

manfred.ambach 141 pro-test.-at


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II Algebra & Geometrie

4.5. Spitze Körper

Beispiele für spitze Körper:

Für alle spitzen Körper gilt:

quadratische Pyramide

Nur zur Ansicht

→ Volumen der quadratischen Pyramide:

Kegel

G: Quadrat G: Kreis

Volumen =

V = G⋅h

Grundfläche mal Körperhöhe

3

V = a2 . h

3

3

→ Volumen des Kegels: V = r2 .π⋅ h

3

manfred.ambach 142 pro-test.-at


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II Algebra & Geometrie

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Hilfsskizze:

Die Pyramide vor dem Pariser Louvre hat eine quadratische

Grundfläche mit einer Grundkante von

a = 35 m und einer Höhe von h = 21 m.

– Bestimmen Sie die mit Glas verbaute Fläche.

Wir suchen den Mantel M der Pyramide.

Dieser besteht aus 4 gleichschenkeligen Dreiecken mit

der Grundlinie a und der Höhe h a .

Das gleichschenkelige Dreieck besitzt die

Flächenformel A = a . h a

.

Damit lautet die Formel für den Mantel M

Nur zur Ansicht

Mit a = 35 m und h = 21 m erhalten wir:

h a = √( a 2 )2 + h 2 = √( 35

2 )2 + 21 2 = 27,34 m

2

M = 4 ⋅ a . h a

= 2 . a . h

2

a

h a können wir im eingezeichneten rechtwinkeligen

Dreieck mit dem pythagoräischen Lehrsatz bestimmen:

h 2 a = ( a 2

2 ) + h 2 → h a = √( a 2

2 ) + h 2

Man kann natürlich gleich so rechnen:

h a = √17,5 2 + 21 2 = 27,34 m

M = 2 . a . h a = 2 . 35 . 27,34 = 1 913,8 m 2

Die mit Glas verbaute Fläche misst 1 913,8 m 2 .

manfred.ambach 143 pro-test.-at


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II Algebra & Geometrie

4.6. Kugel

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

r … Radius V … Volumen O …Oberfläche

Nur zur Ansicht

V =

4 ⋅ r3 ⋅ π

3

0 = 4 ⋅ r 2 ⋅ π

Das Atomium in Brüssel ist ein Bau, der ein Eisenmolekül in 165-milliardenfacher Vergrößerung darstellt.

Die Kugeln, aus denen dieser Bau besteht, haben einen Durchmesser von 18 Metern.

– Bestimmen Sie den Radius eines kugelförmigen Eisenmoleküls in Nanometern (nm).

r Atomium = 18

2 = 9 m → r Eisenmolekül =

9 m

165 ⋅ 10 9

– Ermittle das Gesamtvolumen der 9 Kugeln des Atomiums.

V = 9 ⋅

4 ⋅ 9 3 ⋅ π

3

= 27 482,65 m³

= 5,45 ⋅ 10 −11 m = 0,055 nm

1 nm = 1 ⋅ 10 −9 m

: 1 ⋅ 10 −9

Link: https://www.youtube.com/watch?v=WQkFClzyiAI

manfred.ambach 144 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral

II Algebra & Geometrie

Lösung:

– Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so,

dass eine korrekte Aussage entsteht.

Begründung:

V alt = 4 ⋅ r3 ⋅ π

3

Wird der Radius einer Kugel ______1_________ , so _______2_______ sich ihr Volumen.

verdoppelt

2

halbiert

verdreifacht

1

Nur zur Ansicht

V = 4 ⋅ (2 ⋅ r)3 ⋅ π

= 4 ⋅ 8 ⋅ r3 ⋅ π

= 8 ⋅ 4 ⋅ r3 ⋅ π

= 8 ⋅ V

3

3

3

alt

V = 4 ⋅ (r 2 )3 ⋅ π

3

= 4 ⋅ r3

8 ⋅ r3 ⋅ π

3

= 4 ⋅ 1 ⋅ r3

⋅ r

8

3 ⋅ π

3

verdoppelt

2

achtelt

verneunfacht

= 1 8 ⋅ 4 ⋅ r3 ⋅ π

3

2

= 1 8 ⋅ V alt

V = 4 ⋅ (3 ⋅ r)3 ⋅ π

3

= 4 ⋅ 27 ⋅ r3 ⋅ π

3

= 27 ⋅ 4 ⋅ r3 ⋅ π

3

= 27 ⋅ V alt

manfred.ambach 145 pro-test.-at


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II Algebra & Geometrie

5. TRIGONOMETRIE

5.1. Winkelmaße

Es gibt auf der Welt zwei fundamentale Richtungen:

senkrecht oder lotrecht, auch vertikal genannt. Diese

Richtung zeigt zum Erdmittelpunkt. Alle Körper in Erdnähe

werden von unserem Planeten in diese Richtung

angezogen.

waagrecht bzw. horizontal: Die Lage, die die

Wasseroberfläche in ruhendem Zustand einnimmt.

Spätestens die Babylonier ( Babylonisches Reich 1839 v. Chr. – 539 v. Chr. )

teilten den rechten ( im Sinne für das Bauen richtigen ) Winkel in

90 o ein und entsprechend den Vollkreis in 360 o .

Dabei gilt: 1 o = 60 ' 1 ' = 60 '' ' ... Winkelminuten '' ... Winkelsekunden

Winkel in diesem Gradmaß werden mit griechischen Kleinbuchstaben angegeben. Hier einige Bezeichnungen:

alpha lamda

beta μ my

gamma pi

delta ρ rho

epsilon sigma

Ach, sagte die Maus, die Welt wird enger mit jedem Tag. Zuerst war sie so breit, dass ich Angst hatte,

ich lief weiter und war glücklich, dass ich endlich rechts und links in der Ferne Mauern sah,

aber diese langen Mauern eilen so schnell aufeinander zu, dass ich schon im letzten Zimmer bin

und dort im Winkel steht die Falle, in die ich laufe.

Du musst nur die Laufrichtung ändern, sagte die Katze, und fraß sie.

Franz KAFKA

( 1883 – 1924 )

(1)

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(1) tria ( griechisch: drei ), gōnia ( griechisch: Eck ), - metrie bedeutet, es wird etwas gemessen

manfred.ambach 146 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Im Jahre 1795 legten Franzosen die Winkel-Einheit Neugrad ( gon ) ,

wie nebenstehend skizziert, fest. Demnach besitzt der

Vollkreis 400 g(on) , der rechte Winkel misst 100 g(on) .

Einerseits wurde dieses Winkelmaß nach der Französischen Revolution als Zeichen

des Bruches mit früheren Verhältnissen eingeführt, andererseits war es der

Versuch, auch die Winkeleinteilung dekadisch, also nach den Regeln des

10-er Systems, zu gestalten.

Diese Winkeleinheit hat sich nicht durchgesetzt. Der Vorteil, dass

1 g = 100 Winkelminuten und 1 Winkelminute = 100 Winkelsekunden hat,

ist durch die elektronischen Unterstützungen obsolet geworden.

Mit dem Bogenmaß existiert eine dritte Möglichkeit, die Größe von Winkeln anzugeben. Es findet in der Physik

Verwendung und besitzt (eigentlich) keine Einheit. Da wir nur das gängige Gradmaß verwenden, belasse ich den

Ausflug in die Winkelmaße damit.

Gradmaß α

π ⋅ α

180°

= x

Danach ergibt sich beispielsweise für

Bogenmaß x

180° π

90°

270°

Nur zur Ansicht

Die Unendlichkeit der Mathematik 14

Nehmen wir an, der Läufer

benötigt für die Strecke von S bis M 1

2 min. Dann braucht er (bei gleicher

Geschwindigkeit) von M 1 bis M 2 die Hälfte

π

2

3 π

2

dieser Zeit, also 1 min, von M 2 bis M 3

1

Minute, von 2 M3 nach M4 1 Minute usw.

4

Fortsetzung S 150

manfred.ambach 147 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Das Rechnen mit Winkelfunktionen mit Casio :

Kennen den Winkel und suchen den Wert der Winkelfunktion:

Beispiel: sin ( 30 o ) =

Beachte, dass in der Kopfzeile des Displays der Buchstabe D

steht.

D steht für Degree ( englisch: Grad )

Steht statt D ein G [ Gon, gemeint sind Neugrad ] oder R [ Radiant ( Bogenmaß ) ], so gehe so vor:

Betätige die abgebildete Tastenkombination . . .

. . . und es erscheint das abgebildete Befehls-Fenster.

Drücke nun die Taste

. . . und es erscheint das abgebildete Befehls-Fenster.

Drücke nun die Taste

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Wir betätigen die

–Taste ( 4. Reihe von oben,

3. von rechts ) und am Display erscheint

nebenstehender Befehl.

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II Algebra & Geometrie

Jetzt geben wir den Winkel ein und schließen die

Es ist also sin ( 30 o ) = 1

2

bzw. 0,5

Klammer

Zuletzt noch auf

das Ergebnis.

Kennen den Wert der Winkelfunktion und suchen den Wert des Winkels:

Beispiel: sin α = 0,7071

Den Wert der Winkelfunktion eingegeben, die Klammer geschlossen , auf

erscheint.

α = sin – 1 ( 0,7071 ) = 44,99945053 o = 45,00 o .

(5. Reihe von oben, 3. von rechts).

gedrückt und wir erhalten

Die Umkehrfunktion von sin, den sog. arcsin, am TR

sin –1 , erhalten wir mit folgender Tastenkombination:

Damit erscheint am Display sin –1 .

gedrückt und der Winkel

Nur zur Ansicht

Im Folgenden die Winkelfunktionen, ihre Umkehrungen

und die Bezeichnungen am Taschenrechner:

Winkelfunktion ihre Umkehrung Casio

Sinus ( sin ) Arcussinus ( arcsin ) sin –1

Cosinus ( cos ) Arcuscosinus ( arccos ) cos –1

Tangens ( tan ) Arcustangens ( arctan ) tan –1

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II Algebra & Geometrie

sinus (lateinisch): Biegung, Rundung

cosinus : Abkürzung von sinus complementari : der Sinus des Komplementärwinkels (des auf 90 o ergänzten Winkels)

z.B. ist der sin (30 o ) = cos ( 90 o – 30 o ) = cos (60 o )

tangens (lateinisch): berührend

arcus (lateinisch): Bogen

5.2. Graphen der Winkelfunktionen

5.2.1. sin und cos

Im Folgenden sind die Graphen dargestellt und wesentliche Eigenschaften besprochen.

Sinus

Eigenschaften:

• Die Funktion sin ist für alle x R, also für alle reellen Zahlen definiert

• Alle 360° wiederholen sich die Funktionswerte

Nur zur Ansicht

Man spricht deshalb von einer periodischen Funktion mit der Periode 360°

• Der größte y-Wert, den der Sinus annimmt, ist + 1, der kleinste y-Wert, den der Sinus annimmt, ist – 1

sin

Die Unendlichkeit der Mathematik 15

Für die benötigte Laufzeit ergibt demnach 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . Minuten

Fortsetzung S 185

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II Algebra & Geometrie

Cosinus

Eigenschaften:

• Die Funktion cos ist für alle x R, also für alle reellen Zahlen definiert

• Alle 360° wiederholen sich die Funktionswerte

Man spricht deshalb von einer periodischen Funktion mit der Periode 360

• Der größte y-Wert, den der Cosinus annimmt, ist + 1, der kleinste y-Wert, den der Cosinus annimmt, ist – 1

Nur zur Ansicht

Verschiebt man den Graphen des Sinus um 90° nach links, so entsteht der Graph des Cosinus.

Verschiebt man den Graphen des Cosinus um 90° nach rechts, so entsteht der Graph des Sinus.

cos

sin

cos

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5.2.2. tan

Tangens

tan tan tan tan

tan tan tan tan

Eigenschaften:

• Die Funktion tan ist für alle reellen Zahlen außer den ungeraden Vielfachen von 90° definiert.

• Alle 180° wiederholen sich die Funktionswerte.

Man spricht deshalb von einer periodischen Funktion mit der Periode 180°

• Die y-Werte können jede reelle Zahl annehmen, also von −∞ bis +∞ gehen.

Nur zur Ansicht

Der Tangens ist deshalb für alle ungeraden Vielfachen von 90° nicht definiert, weil der Tangens festgelegt ist als

tan(α) =

sin(α)

cos(α)

und der Cosinus bei allen ungeraden Vielfachen von 90° gleich Null ist.

Ein Bruch mit dem Nenner Null ergibt aber keine Zahl (und auch nichts anderes).

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5.3. Winkelfunktionen im Einheitskreis

Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung.

Der Radius ist 1 Längeneinheit groß.

Betrachten wir zunächst den Einheitskreis:



Was soll denn das heißen?

1 Längeneinheit ???

Warum nicht 1 cm oder 1 dm ?

Weil, lieber Fredo, ein Radius von 1 cm oft zu klein

ist um alles Notwendige einzuzeichnen und 1 dm

wiederum zu groß!

Du musst dir nur im Klaren sein, dass der Radius im

Einheitskreis immer

1 Längeneinheit lang ist, gleich, ob du ihn z.B. 4 cm

oder 55 mm lang zeichnest!

Nur zur Ansicht

Alle Winkel werden von der positiven x-Achse aus gemessen.

Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn aufgetragen,

negative Winkel mit dem Uhrzeigersinn.

≡ ist das Zeichen für entspricht

II

III

I

IV

I … 1. Quadrant: 0° < α < 90° II … 2. Quadrant: 90° < α < 180°

III … 3. Quadrant: 180° < α < 270° IV … 4. Quadrant: 270° < α < 360°

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Sin und Cosinus im Einheitskreis


Alle Winkel werden von der positiven x-Achse (= 1. Schenkel des Winkels) aus gemessen.

Der 2. Schenkel des Winkels schneidet in einem Punkt den Einheitskreises.

Dessen x-Koordinate ist der Cosinus des Winkels, dessen y-Koordinate der Sinus des Winkels.

Nur zur Ansicht

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Tangens im Einheitskreis


Alle Winkel werden von der positiven x-Achse (= 1. Schenkel des Winkels) aus gemessen.

Der 2. Schenkel des Winkels schneidet in einem Punkt den Einheitskreis.

Der Tangens berührt den Einheitskreis parallel zum Sinus des Winkels.

Nur zur Ansicht

tangere (lateinisch): berühren

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5.4. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck

Beispiel:

Im rechtwinkeligen Dreieck ist die Seite gegenüber

dem rechten Winkel die Hypotenuse,

die Seiten, die den rechten Winkel einschließen,

die Katheten.

Die am Winkel anliegende Kathete heißt

Ankathete.

Die dem Winkel gegenüberliegende Kathete nennt

man Gegenkathete.

Nur die Hypotenuse bleibt immer Seite gegenüber rechtem Winkel.

Wer An– und wer Gegenkathete ist, richtet sich nach dem verwendeten Winkel!

Gleich wie die Seiten benannt werden,

die Lage ist es, die entscheidet!

Nur zur Ansicht

Hypotenuse . . . . . . . . . y

Hypotenuse . . . . . . . . . PR ̅̅̅̅

Ankathete von β . . . . . z

Gegenkathete von β . . x

Ankathete von ε . . . . . ̅̅̅̅ QR

Gegenkathete von ε . . ̅̅̅̅ PQ

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Im rechtwinkeligen Dreieck sind die Winkelfunktionen wie folgt definiert:

sin (α) = Gegenkathete

Hypotenuse

cos (α) =

Ankathete

Hypotenuse

tan (α) = Gegenkathete

Ankathete

Die Winkelfunktionen dürfen nur in rechtwinkligen Dreiecken verwendet werden.

Mit dem rechten Winkel lässt sich keine Winkelfunktion angeben,

da der rechte Winkel keine Gegenkathete und zwei Ankatheten besitzt.

Betrachten wir die Formeln der Winkelfunktionen, so kommen in jeder der Gleichungen 3 Größen – 2 Seiten und

1 Winkel – vor. Will ich konkrete Zahlenwerte erhalten, darf ich in einer Gleichung nur eine unbekannte Größe

vorfinden. Deshalb benötige ich im rechtwinkeligen Dreieck stets 2 gegebene Größen:

entweder 2 Seiten oder 1 Seite und 1 Winkel ( 90° ).

Bemerkung: Kenne ich den Winkel, so lässt sich der Wert der Winkelfunktion leicht bestimmen.

Nur zur Ansicht

Weiters gilt in rechtwinkeligen Dreiecken:

o Lehrsatz des PYTHAGORAS: ( eine Kathete ) 2 + ( andere Kathete ) 2 = ( Hypotenuse ) 2

o Flächeninhalt: A= a . b

2

a, b . . . Katheten

o

In allen Dreiecken gilt: + + γ = 180 o

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Beispiel:

Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man den Winkel = 42 o und die Länge der Kathete a = 4,6 cm.

Berechne die fehlenden Umfangstücke und den Flächeninhalt des Dreiecks.

Umfangstücke: alle Seiten und Innenwinkel

gegeben:

gesucht: b =

c =

=

A =

= 42 o

a = 4,6 cm

Fertige zunächst ruhig eine Freihand-Skizze an, um dir einen

ersten Überblick zu verschaffen.

Jetzt die Skizze mit Lineal.

Erläuterungen Rechengang Ergebnisse

Nur zur Ansicht

Die gegebene Seite a ist Gegenkathete

des bekannten Winkels .

Also wählen wir eine Winkelfunktion,

die die Gegenkathete besitzt.

Zur Auswahl stehen Sinus und Tangens.

Entscheiden wir uns für den Sinus, so

berechnen wir die Hypotenuse, bei

Verwendung des Tangens die

Ankathete.

Wir haben die Wahl.

sin(α) = a

c

sin(42°) = 4,6

c

| . c

c . sin(42°) = 4,6 | ∶ sin (42°)

c =

4,6

sin(42°)

c = 6,87 cm

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Erläuterungen Rechengang Ergebnisse

Jetzt kennen wir die Kathete a und die

Hypotenuse c.

Mit Hilfe des pythagoräischen

Lehrsatzes können wir die Länge der

Seite b ermitteln.

In jedem Dreieck beträgt die Summe der

Innenwinkel 180 o . Zwei der drei Winkel,

und 90 o , kennen wir.

Für den Flächeninhalt eines

rechtwinkeligen Dreiecks verfügen wir

über eine eigene Flächenformel.

a 2 + b 2 = c²

4,6 2 + b 2 = 6,87 2 | − 4,6²

b 2 = 6,87 2 − 4,6 2 | √

b = √ 6,87 2 − 4,6 2

+ + 90° + 180° → 42° + β − 90° = 180°

A =

a . b

2

b = 5,10 cm

132° + β = 180° | − 132° = 48 O

→ A =

4,6 . 5,10

2

Wähle immer die passenden Einheiten und beschrifte die Resultate.

≠ √6, 87 2 − √4, 6²

A = 11,73 cm²

Nur zur Ansicht

Beispiel der Zentralmatura am 12.1.2017

Hausbau

a) Der Querschnitt eines Dachstuhls ist in der nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt.

– Erstellen Sie eine Formel, mit der

man den Winkel α aus a und h

berechnen kann.

Erstellen Sie eine Formel, mit der man den Winkel α aus a und h berechnen kann.

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II Algebra & Geometrie

Möglicher Lösungsweg:

Formel erstellen

= Rechengang (allgemein) angeben

Formel … aus a und h:

Es dürfen nur diese Größen in der Formel vorkommen

b) Der Querschnitt eines Dachstuhls ist in der

nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt.

Alle Längen sind in Metern angegeben.

– Berechnen Sie b.

cos(38°) =

x

6,50

tan(α) =

Nur zur Ansicht

5,12 − 4,25 = 0, 87 m

h

a

2

→ α = tan −1 2 ⋅ h

(

a )

Möglicher Lösungsweg:

| ⋅ x → cos(38°) ⋅ 6,50 = x → 5,12 m= x

= h ∶ a

2 = h ⋅ 2

a = 2 ⋅ h

a

Link: https://www.youtube.com/watch?v=0H_Wji_bV1Y

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5.5. Winkelsätze (Cluster )

Die Winkelsätze können auch in allgemeinen (nicht–rechtwinkeligen) Dreiecken

angewendet werden.

5.5.1. Sinus – Satz



Beispiel:

a

sin(α) =

b

sin(β) =

Für den Sinus – Satz benötigt man 3 gegebene Größen: entweder 2 Seiten und 1 Winkel

oder: 1 Seite und 2 Winkel

Für den Sinus – Satz liegen die passenden Bestimmungsstücke gegenüber.

Nur zur Ansicht

Von einem (allgemeinen) Dreieck kennt man die Länge der Seite a = 16 cm und die Winkeln α = 46°

sowie β = 52°.

– Bestimme alle fehlenden Umfangstücke.

c

sin(γ)

Umfangstücke: alle Seiten und (Innen-) Winkel

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Skizze:

gegeben: a = 16 cm

α = 46°

β = 52°

gesucht: b, c und γ

a

sin(α) =

16

sin(46°) =

16 ⋅ sin (52°)

sin(46°)

b

sin(β)

b

sin(52°)

| ⋅ sin(52°)

= b → b = 17, 53 cm




Wir kennen 2 Winkel und 1 Seite.

Ein gegebener Winkel und eine gegebene Seite

liegen einander gegenüber Sinussatz

Dem gegebenen Winkel β liegt die Seite b

gegenüber Wir berechnen zunächst b.

In jedem Dreieck gilt:

α + β + γ = 180°

46° + 52° + γ = 180°

98° + γ = 180° | − 98°

γ = 82°

Nur zur Ansicht

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Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Mit dem Sinus – Satz können wir jetzt noch die Seite c

berechnen:

a

sin(α) =

16

sin(46°) =

c

sin(γ)

16 ⋅ sin (82°)

sin(46°)

c

sin(82°)

| ⋅ sin(82°)

= c → c = 22, 03 cm

Für ein Konzert wird ein Sektor für VIPs reserviert. Die nachstehende Skizze veranschaulicht die Fläche dieses

Sektors, wobei die Seitenlängen in Metern (m) angegeben sind.

Nur zur Ansicht

– Berechnen Sie die Seitenlänge x aus den gegebenen Größen.

108,24° + 28,6° + α = 180°

136,84° + α = 180° | − 136,84°

α = 43, 16°

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x

sin(43,16°) = 18

sin(108,24°)

| ⋅ sin (43,16°)

x =

18 ⋅ sin (43,16°)

sin(108,24°)

x = 12, 96 m

– Erläutern Sie, warum die Berechnung der Länge x mit x = sin(28,6°) ⋅ h falsch ist.

sin(28,6°) = h

x

Nur zur Ansicht

| ⋅ x

x ⋅ sin(28,6°) = h | ∶ sin (28,6°)

x =

h

sin (28,6°)

Die gegebene Umformung ist falsch, weil h durch den sin (28,6°) dividiert werden muss und nicht mit sin(28,6°)

zu multiplizieren ist.

5.5.2. Cosinus – Satz


Für den Cosinus – Satz benötigt man 3 gegebene Größen:

entweder 2 Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel

oder:

3 Seiten

a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos(α)

b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos(β)

c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos(γ)


Hat man einmal mit dem Cosinus – Satz gerechnet, kann danach immer der Sinus – Satz verwendet werden.

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II Algebra & Geometrie

Weiters gilt in (allgemeinen) Dreiecken:



Beispiel:

A = a⋅h a

2

A = a⋅b

2

= b⋅h b

2

⋅ sin(γ)

= c⋅h c

2

Gemeint sind: 2 Seiten und der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels

Die gegebenen Größen liegen hier wie für den Cosinus – Satz,

aber bei der Flächenformel ist sin zu verwenden!

Von einem (allgemeinen) Dreieck kennt man die Längen der Seiten a = 34 mm , b = 28 mm und den Winkel

γ = 76°

– Berechne die fehlende Seite und den Flächeninhalt des Dreiecks.

Nur zur Ansicht

c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos (γ)

c 2 = 34 2 + 28 2 − 2 ⋅ 34 ⋅ 28 ⋅ cos (76°)

Wir kennen zwei Seiten und den von

ihnen eingeschlossenen Winkel

Cosinus – Satz

c 2 = 1 479,38 | √

c = 38, 46 mm

manfred.ambach 165 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

A =

34 ⋅ 28

2

⋅ sin(76°)

A = 461, 86 mm²

https://www.youtube.com/watch?v=xsCR34mblpo&t=348s

Lösungen: * A = 6 ⋅

d

2 ⋅ d

2

2

Jemand möchte ein Gartenhaus errichten, das als Grundfläche

ein regelmäßiges Sechseck besitzt, wie nebenstehend

abgebildet.

– Geben Sie eine Formel für den Flächeninhalt des

Sechsecks in Abhängigkeit von d und α an.

– Geben Sie die Größe des Winkels α an.

⋅ sin ( α

) = 3⋅d2

⋅ sin ( α

) * 120°

2 4

2

Eigenschaften eines regelmäßigen Sechsecks:

Nur zur Ansicht

Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs

gleichseitigen Dreiecken.

manfred.ambach 166 pro-test.at


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5.6. Vermessungsaufgaben

Höhenwinkel Tiefenwinkel Sehwinkel

Beim Höhen- und Tiefenwinkel wird immer von der Waagrechten aus gemessen.

Beim Visierwinkel ist das nicht zwingend. Hier wird das Objekt von den Winkel-Schenkeln umschlossen.

horizontal . . . waagrecht → Horizontalebene: eine waagrechte Ebene

vertikal . . . senkrecht bzw. lotrecht

Beachte beim Ergänzen von Winkeln

Horizontalwinkel: ein Winkel in einer waagrechten Ebene


α + β = 90° α + β = 180°

Nur zur Ansicht


In allen Dreiecken gilt: α + β + γ = 180°

manfred.ambach 167 pro-test.at


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Z „ Z-Regel“:

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Sind zwei parallele Strecken durch eine dritte Strecke verbunden,

so sind die Winkel in den Ecken jeweils gleich groß.

Ein Turm und ein Mast stehen in einer waagrechten Ebene.

Von dem a Meter (m) hohen Turm sieht man die Spitze S des Mastes der Höhe h unter dem Höhenwinkel α,

den Fußpunkt F dieses Mastes unter dem Tiefenwinkel β .

– Fertigen Sie eine den Sachverhalt beschreibende Skizze an, in der alle beschriebenen Größen beschriftet

werden.

Nur zur Ansicht

manfred.ambach 168 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

– Berechnen Sie mit a = 5 m, α = 32° und β = 8,88° die Höhe h des Mastes.

Möglicher Lösungsweg:

Wegen der Z-Regel befindet sich der Winkel β

auch bei F.

x ist im rechtwinkeligen Dreieck AFP die

Hypothenuse.

Die gegebene Seite a ist Gegenkathete des Winkel

β

→ Sinus

sin(β) = a

x

x . sin (β) = a

x =

a

sin (β)

5

x =

sin (8,88°)

x = 32, 39 m

Nur zur Ansicht

| . x

| ∶ sin (β)

Die Winkel β und ε ergeben zusammen 90°.

90° − ß = ε

90° − 8,88° = 81, 12° = ε

Im (allgemeinen) Dreieck PFS gilt:

(α + β) + ε + μ = 180°

μ = 180° − (α + β) − ε

| − (α + β) − ε

μ = 180° − (32° + 8,88°) − 81,12°

μ = 58°

manfred.ambach 169 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Die Höhe des Turmes beträgt 25 m.

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Jetzt kennen wir alle passenden Größen, um mit

dem Sinus-Satz h berechnen zu können:

h

sin(α + β) =

h =

h =

x

sin(μ)

x ⋅ sin (α + β)

sin (μ)

32,39 ⋅ sin (40,88°)

sin (58°)

h = 25, 00 m

| . sin (α + β)

Nur zur Ansicht

Die Bahn auf die Festung Hohensalzburg ist eine Standseilbahn. Die Talstation liegt 429 Meter (m)

über dem Meeresspiegel (ü.d.M.), die Bergstation 525,6 m ü.d.M. Die direkte Verbindungsstrecke

zwischen Tal- und Bergstation hat eine Länge von 198,5 m.

– Übertragen Sie den Text in eine passende Skizze, die mit den gegebenen Größen vollständig zu beschriften

ist.

manfred.ambach 170 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

h = 525,6 – 429 = 96,6 m

– Berechnen Sie den Steigungswinkel der direkten Verbindungsstrecke zwischen Tal- und Bergstation.

sin(α) = h

s


α = sin −1 ( h

) → α = 29, 12°

s

Nur zur Ansicht

Bemerkung1: Höhenwinkel und Tiefenwinkel werden auch Neigungswinkel genannt.

Bemerkung 2: Bei Diesen Berechnungen ist das Vorzeichen des Winkels ohne Bedeutung, weil es hier nur

um die Größe geht.

– Geben Sie die Steigung dieser Verbindungsstrecke in Prozent an.

manfred.ambach 171 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Was bedeutet eigentlich die Steigung k einer Strecke (Geraden) ?

Beispiel:

Die Steigung k einer (geradlinigen) Strecke ist das

Verhältnis von Höhenunterschied h und waagrecht gedachter Entfernung w,

ist also der Tangens des Steigungswinkels

Eine Steigung k von z.B. 12 % bedeutet, dass eine Strecke

in w =100 m waagrechter Entfernung um h =12 m ansteigt.

Damit gilt: Steigung k = h

tan(α) = 0,12

α = tan −1 (0,12) = 6,84°

w

= 12 % =

12

Nur zur Ansicht

100

= 0, 12 = tan(α)

manfred.ambach 172 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Die Grundfläche einer Dachterrasse besitzt die Form eines Dreiecks mit den Seiten a, b und c.

Folgende Informationen liegen vor:

Der Umfang der Dachterrasse beträgt 36 m.

Die Seite a ist eineinhalb Mal so lang wie b.

Die Seite c um 100 cm länger als die Seite b.

– Stellen Sie ein Gleichungssystem mit den Unbekannten a, b und c auf, mit dem sich diese Seitenlängen

bestimmen lassen.

– Ermitteln Sie die Längen der Seiten.

– Berechnen Sie den größten Winkel in diesem Dreieck.

Möglicher Lösungsweg:

I : a + b + c = 36

II : a = 1,5 . b

III : c = b + 1

Nur zur Ansicht

manfred.ambach 173 pro-test.at


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II Algebra & Geometrie

In jedem Dreieck gilt:

Der größten Seite liegt der größte Winkel gegenüber.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos (α)

15 2 = 10 2 + 11 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ cos (α)

225 = 100 + 121 − 220 ⋅ cos (α)

225 = 221 − 220 ⋅ cos(α) | − 221

4 = −220 ⋅ cos(α) | ∶ (−220)

−0,01818 = cos(α)

cos −1 (−0,01818) = α

91, 04° = α

Da hab‘ ich gleich zwei Fragen:

Was mach ich, wenn ich nicht weiß, dass der

größten Seite der größte Winkel gegenüber

liegt?

Warum lösen wir die Gleichung

15 2 = 10 2 + 11 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ cos (α)

nicht mit GeoGebra?

Kannst du, erhältst aber

Dann musst du alle Winkel

berechnen.

Um die entsprechenden Grad zu finden, müsstest du den Winkel 1,59 vom Bogenmaß ins Gradmaß verwandeln

(siehe S 147) und außerdem wissen, dass für ein Dreieck k1 = 0 zu setzen ist.

Nur zur Ansicht

https://www.youtube.com/watch?v=xsCR34mblpo&t=348s

manfred.ambach 174 pro-test.at


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III Funktionale Zusammenhänge

III FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE

6. FUNKTIONEN

Wer auf andere Leute wirken will,

der muss erst einmal in ihrer Sprache mit ihnen reden.

Kurt TUCHOLSKY

( 1890 – 1935 )

Idee: Univ. Prof. Dr. Stefan SILLER

Nur zur Ansicht

Der grundlegende Unterschied zur ELEMENTARGEOMETRIE ( Kapitel 4 ) und TRIGONOMETRIE ( Kapitel 5 ) besteht darin,

dass wir uns hier nicht mit der Berechnung von Längen, Flächen, Rauminhalten oder Winkeln befassen, sondern

unser Interesse den Bedingungen für Punkte, die auf einer Linie liegen.

Jede Linie, gleich ob sie unendlich lange oder begrenzt ist, setzt sich aus unendlich vielen Punkten zusammen.

Die Gleichungen dieser Linien sind Maßgabe für die Koordinaten dieser Punkte. Deshalb spricht man auch von

Koordinatengeometrie.

Da wir nur zweidimensionale Fälle behandeln, stehen die x und y in jeder Linien-Gleichung

für die x- und y- Koordinaten aller unzähligen Punkte, aus denen sich die jeweilige Linie zusammensetzt.

Natürlich kann es nicht Aufgabe sein, die Koordinaten all dieser unendlich vielen Punkte zu bestimmen. Vielmehr

müssen alle anderen Größen gegeben sein, damit die Gleichung eine konkret bestimmte Linie beschreibt.

manfred.ambach

175

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III Funktionale Zusammenhänge

Hier Beispiele, die noch genaue Behandlung erfahren:













Polynomfunktion 1. Grades (lineare Funktion)

y = k . x + d

Gleichung beschreibt eine Linie, weil x und y vorkommen.

x und y stehen für jeden der unendlich vielen Punkte,

aus denen die Linie besteht.

Gleichung beschreibt eine Funktion, weil y nur linear vorkommt.

Gleichung beschreibt eine lineare Funktion (eine Gerade),

weil x nur linear vorkommt.

Gleichung beschreibt eine allgemeine lineare Funktion (Gerade),

weil außer x und y noch andere Buchstaben vorkommen.

y = 2 x + 1 beschreibt eine konkret gegebene lineare Funktion

(Gerade), weil außer x und y nur Zahlen vorkommen.

Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion)

y = a . x² + b . x + c

Gleichung beschreibt eine Linie, weil x und y vorkommen.

x und y stehen für jeden der unendlich vielen Punkte,

aus denen die Linie besteht.

Gleichung beschreibt eine Funktion, weil y nur linear vorkommt.

Gleichung beschreibt eine quadratische Funktion, weil die höchste

Potenz von x quadratisch ist.

Gleichung beschreibt eine allgemeine quadratische Funktion,

weil außer x und y noch andere Buchstaben vorkommen.

y = 3 x² +2 x – 1 beschreibt eine konkret gegebene

quadratische Funktion, weil außer x und y nur Zahlen vorkommen.

Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion)

y = a . x³ + b . x² + c . x + d

Nur zur Ansicht

Gleichung beschreibt eine Linie, weil x und y vorkommen.

x und y stehen für jeden der unendlich vielen Punkte,

aus denen die Linie besteht.

Gleichung beschreibt eine Funktion, weil y nur linear vorkommt.




Gleichung beschreibt eine Funktion 3. Grades, weil die höchste Potenz

von x hoch 3 ist.

Gleichung beschreibt eine allgemeine Funktion 3. Grades,

weil außer x und y noch andere Buchstaben vorkommen.

y = 2 x³ +3 x² –4 x + 1 beschreibt eine konkret gegebene

Funktion 3. Grades, weil außer x und y nur Zahlen vorkommen.

manfred.ambach

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III Funktionale Zusammenhänge

6.1. Koordinatensystem

René DESCARTES

( 1596 – 1650 )

manfredambach

y

- 3

- 2

Wir verwenden ausschließlich das kartesische ( rechtwinkelige ) Koordinatensystem,

benannt nach René DESCARTES, latinisiert, wie es zu seiner Zeit Mode war, Renatus

CARTESIUS.

DESCARTES war französischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler. Mit

seinen Ideen und Auffassungen trug er maßgeblich zum Weltbild der Neuzeit bei.

Zwar wurden seine naturwissenschaftlichen Theorien durch die NEWTONsche Physik zum

Teil widerlegt bzw. ergänzt, doch gilt DESCARTES als Wegbereiter der mechanistischen

Denkweise, die die zuvor Jahrhunderte gültige aristotelische Sicht der Naturphänomene

hinter sich ließ und die Naturwissenschaften zu neuen Ufern führte.

y- y-Achse

- 1

- 1

- 2

- 3

+ 3

+ 2

+ 1

+ 1 + 2 + 3

Koordinaten - Ursprung

x- x-Achse

Die waagrechte Achse ist die x-Achse,

die senkrechte Achse wird y-Achse

genannt.

Der Schnittpunkt der Koordinatenachsen

ist der (Koordinaten-) Ursprung.

Links des Ursprungs liegen die negativen

x-Werte, rechts die positiven.

Oberhalb des Ursprungs finden sich die

positiven y-Werte, unterhalb die

negativen.

Die Koordinaten eines Punktes sind Strecken,

gemessen vom Ursprung aus.

Nur zur Ansicht

1

x

1 4

oder Ordinate

P ( 4 / 3 )

3

y

oder Stelle oder Argument

oder Abszisse

manfredambach

manfred.ambach

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III Funktionale Zusammenhänge

In allen Fällen sind die Achsen zu beschriften und auf beiden

Achsen die Einheiten festzulegen (skalieren).

Beispiel: Die Entwicklung der Weltbevölkerung seit dem Jahr 1700

Jahresanfang

Milliarden (Mrd.)

1700 0,5

1800 1,0

1900 1,5

1950 2,5

1980 4,5

2020 7,7

Punkte werden in der Regel mittels (oder Kreuzchen) markiert.

Nur besondere Punkte (siehe später) werden mit Großbuchstaben

beschriftet.

Das ist nicht immer möglich, wie das folgende Beispiel zeigt.

Nur zur Ansicht

Da die jeweilige Bevölkerungs-Zahl abhängig vom betrachteten Jahr ist, ist

t … die Zeit in Jahren , die unabhängige Variable

und

Müssen auf der x-Ache

und y-Achse immer die

gleichen Einheiten

gewählt werden?

B … die Bevölkerungszahl in Milliarden (Mrd.) , die abhängige Variable

Man schreibt dann B(t) und meint die Bevölkerungszahl in Abhängigkeit des betrachteten Jahres.

Die unabhängige Variable kommt immer auf die waagrechte Achse,

die abhängige Variable auf die senkrechte Achse.

manfred.ambach

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III Funktionale Zusammenhänge

6.2. Funktionen – allgemein

6.2.1. Was ist eine Funktion?

Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der JEDEM Element der sog. Definitionsmenge

GENAU EIN Element der sog. Wertemenge zugeordnet wird.

Die Wertemange nennt man auch Wertebereich oder Bildmenge.

Beispiel:

Kann mir mal einer erklären,

was dieser Satz bedeuten

soll??

Wir betrachten die Körpergrößen verschiedener Personen.

OK, lieber Fredo, ein Beispiel gefällig?

Die sog Definitionsmenge Df besteht hier aus den (Vor-) Namen der gemessenen Personen, die Wertemenge Wf

aus den dabei erhaltenen Körpergrößen:

Df = { Conny, Fabian, Norbert, Sara, Tom }

Wf = { 165 cm, 172 cm, 184 cm }

Die Zuordnung lautet hier: Jeder Person wird ihre Körpergröße zugeordnet.

Angenommen, Conny misst 172 cm, ebenso Fabian. Norbert ist 184 cm groß, Sara verfügt über eine

Körpergröße von 165 cm und Tom von 184 cm. Dann sieht diese Funktion im sog. Pfeil - Diagramm

wie folgt aus:

Nur zur Ansicht

Im Pfeildiagramm erkennt man eine Funktion daran, dass von

jedem Element der Definitionsmenge genau ein Pfeil abgeht.

manfred.ambach

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III Funktionale Zusammenhänge

Würden wir beispielsweise jeder Person ihre

Lieblingsspeise(n) zuordnen, so wäre diese Zuordnung

nicht eindeutig und stellte keine Funktion dar.

In nebenstehendem Beispiel isst Conny gerne Schnitzel und Mcs (Speisen

von Mc Donald, Burger King, etc.). So führen von Conny zwei Pfeile weg.

Fabians Favorit sind Spaghetti. Deshalb geht von Fabian nur ein Pfeil ab.

Norbert führt Mcs als Lieblingsspeise an, dorthin führt sein Pfeil.

Sara hat keine Lieblingsspeise, also geht auch kein Pfeil von ihrem

Namen aus.

Tom liebt Mcs und Gemüse, demnach gehen in diesem Fall zwei Pfeile

von Tom aus.

Funktionen begegnen uns oft im Alltag. Meist in grafischer Darstellung, wobei die Abhängigkeit einer Größe von

einer anderen illustriert wird.

Beispiel:

Mcs

Welche der folgenden Graphen stellt eine Funktion dar?

A B C D

Nur zur Ansicht

Lösung: Nur C Warum? Weil nur bei C jedem x genau ein y zugeordnet ist.

A B C D

manfred.ambach

180

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III Funktionale Zusammenhänge

Beispiel einer Funktion:

Um wie viel Uhr wird die Tageshöchsttemperatur erreicht?

Allgemein gilt:

Hier ist der Temperaturverlauf T in Zell am See

in Abhängigkeit der Tageszeit t an einem

Augusttag eines bestimmten Jahres

wiedergegeben.

t … unabhängige Variable

T … abhängige Variable

Man schreibt in diesem Fall T(t) und meint

damit, dass die Temperatur T abhängig ist von

der Tageszeit t .

Diese nebenstehende Darstellung nennt man

Funktionsgraph. Dieser wird mit T beschriftet.

Zwischen 13:30 und 13:50 wird die

Tageshöchsttemperatur erreicht.

Nur zur Ansicht

Beispiel: Ein Heim und ein Land *

T

T

Hungersnöte, politische Willkür und Unterdrückung hatten zur Folge, dass im 19. und 20. Jahrhundert Millionen Europäer ihren

Kontinent verließen und ihr Glück in den Vereinigten Staaten von Amerika suchten.

Nachfolgend ein Diagramm der Flüchtlingsströme:

Die Anzahl E der Einwanderer pro Jahr ist in Abhängigkeit der Zeitdauer t in Jahren dargestellt.

Es handelt sich also um eine Funktion E(t) .

* Eine Zeile der US-Hymne

manfred.ambach

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III Funktionale Zusammenhänge

Lesen wir folgende Daten aus dem Diagramm ab:

a) Wie viele Menschen wanderten im Jahr 1910 in die USA ein?

Im Jahr 1910 wanderten ca. 884 000 bis 905 000 Menschen in die USA ein

b) Wann erreichte der Flüchtlingsstrom erstmals eine Größe von 800 000 Menschen pro Jahr?

Nur zur Ansicht

Im Jahr 1906 bzw. 1907 erreichte die Einwandererzahl erstmals eine Größe von 800 000.

Es gilt wie in der Schule: bei Messfehler:

Toleranzbereich ± 1 mm

manfred.ambach

182

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III Funktionale Zusammenhänge

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Der folgende Graph zeigt die Fahrt zweier Züge, TEE 24 und IC 640 auf der Strecke Salzburg – Stuttgart.

– Kreuzen Sie die richtige Aussage an: [ 1 aus 5 ] *

Beide Züge sind einschließlich Halte gleich lange unterwegs

Der TEE fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 150 km/h

Die Züge begegnen einander 200 km von Stuttgart entfernt.

Der IC verlässt Stuttgart um 8:45

Der TEE fährt bis zum ersten Halt 1,30 Stunden.

* Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass von den 5 Aussagen genau eine richtig ist.

Lösung:

Nur zur Ansicht

Der TEE ist 3 h unterwegs, der IC 3,75 h.

400 km

v TEE = = 133,33 km/h

3 h

Sie begegnen einander 400-200 = 200 km von

Stuttgart entfernt.

Der IC verlässt Stuttgart um 8:30

Der TEE fährt bis zum ersten Halt 1,5 h.

! 1,5 h = 1 h 30 min ≠ 1,30 h

Man muss beim [ 1 aus 5 ] – Format nichts rechnen, doch ist die Chance niedrig, durch Raten die richtige Lösung zu finden!

manfred.ambach

183

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III Funktionale Zusammenhänge

6.2.2. Bezeichnungen und Ausdrücke

Aus Gründen der Übersicht seien hier die gängigen Begriffe und Benennungen für Funktionen zusammengefasst.

A, B, C, . . . , P1 , P2 , . . . Punkte werden, wenn überhaupt, mit Großbuchstaben bezeichnet

f , g , . . . , f 1 , f 2 , . . . Linien werden mit Kleinbuchstaben benannt. Ist auch der Name der Linie.

Df . . . Definitionsmenge einer Funktion f

Wf . . . Wertemenge bzw. Wertebereich bzw. Bildmenge einer Funktion f

x . . . Elemente der Definitionsmenge bzw. x – Koordinate bzw. Stelle bzw. Argument

bzw. unabhängige Variable bzw. Abszisse

y . . . Elemente der Wertemenge bzw. Wertebereichs bzw. der Bildmenge bzw. abhängige Variable

bzw. Ordinate

y = f(x)

f(x) . . . Funktionswert an der Stelle x bzw. Element der Wertemenge bzw. des Wertebereichs

bzw abhängige Variable bzw. Ordinate

Nur zur Ansicht

Für Teilbereiche der reellen Zahlen ( R ) gibt es die

Intervall-Schreibweise,

wobei hier immer die unabhängige Variable gemeint ist.

manfred.ambach

184

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III Funktionale Zusammenhänge

Beispiele und ihre Veranschaulichung:

[ – 2 ; 3 ] bzw. [ – 2 ; 3 ]

oder: −2 ≤ x ≤ 3

] – 2 ; 3 ] bzw. ( – 2 ; 3 ]

oder: −2 < x ≤ 3

[ – 2 ; 3 [ bzw. [ – 2 ; 3 )

oder: −2 ≤ x < 3

] – 2 ; 3 [ bzw. ( – 2 ; 3 )

oder: −2 < x < 3

Beispiel:

– Stelle den Graphen einer (natürlich gegebenen) Funktion im Intervall [ – 2 ; 3 ] dar.

Schaut die eckige Klammer

zur Zahl hin, wie z.B. bei [ –2

oder bei 3 ] , ist die

Randzahl eingeschlossen.

Schaut die eckige Klammer

von der Zahl weg, wie z.B.

bei ] –2

oder bei 3 [ , oder steht eine

runde Klammer, ist die

Randzahl ausgeschlossen.

Ist ein Intervall angegeben, so wird der Funktionsgraph nur innerhalb dieser x-Werte gezeichnet.

Demnach könnte die grafische Darstellung eine der Formen annehmen:

Nur zur Ansicht

Bemerkung: Natürlich muss die konkrete Funktionsgleichung gegeben sein, um ihren entsprechenden Graphen zeichnen zu

können.

Die Unendlichkeit der Mathematik 16

- 2 - 1 0 1 2 3

- 2 - 1 0 1 2 3

- 2 - 1 0 1 2 3

- 2 - 1 0 1 2 3

Was ergibt aber die Summe der unendlich vielen Zahlen 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . ?

Obwohl wir unendlich viele Zahlen addieren wird wohl kaum unendlich herauskommen, weil die

zu summierenden Zahlen in der Folge immer kleiner werden.

Intuitiv wird die Summe sicherlich über drei, jedoch kaum über fünf liegen.

Fortsetzung S 195

manfred.ambach

185

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III Funktionale Zusammenhänge

6.2.3. Darstellungsarten

Beispiel: Df = R und Wf = R

Das bedeutet, sowohl die x- Werte als auch die y-Werte können jede reelle Zahl annehmen.

Zuordnung: Jedem Element x wird sein Quadrat zugeordnet.

(1) Funktionsterm: Allgemein weist ein Funktionsterm folgende Gestalt auf:

Für unser Beispiel bedeutet das:

f: Df Wf

x

f: R R

y

x x ²

Bemerkung: Der Funktionsterm braucht nicht aufgestellt zu werden, er muss nur richtig gelesen werden können.

(2) Funktionsgleichung: Die Funktionsgleichung gibt an, wie y gebildet wird.

Funktionsterm: f: R R

x x ²

y

Nur zur Ansicht

Demnach lautet die Funktionsgleichung für unser Beispiel: y = x ²

Statt y kann man auch f(x) schreiben.

Beachte, dass die Elemente der Wertemenge nicht

einfach mit y bezeichnet werden, sondern durch

jenen Ausdruck, der ihre Bildung beschreibt.

Da bei dieser Funktion jedem x sein Quadrat

zuzuordnen ist, lautet y = x ²

Insofern kann die Funktionsgleichung auch als f (x) = x ² angegeben werden.

Bemerkung 1: Der Name der Funktion lautet nur f.

Die Bezeichnung f (x) wird nur in der Funktionsgleichung verwendet.

Beispiel: Die Gleichung der Funktion f lautet f(x) = x 2

manfred.ambach

186

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III Funktionale Zusammenhänge

Bemerkung 2:

Nicht jede Funktion besitzt die Gleichung f(x) = x 2 .

Es gibt unzählige Möglichkeiten von Funktionsgleichungen.

f(x) = 3

4

f(x) = x3

8

x 1 + 2 eine lineare Funktion, weil die höchste Potenz von x x 1 ist.

f(x) = 4,45 . e 0,0023⋅x

+ x eine Polynomfunktion 3. Grades, weil die höchste Potenz von x x 3 ist.

eine Exponentialfunktion, weil x in der Hochzahl ( im Exponenten ) steht.

All diese Funktionstypen werden wir in der Folge noch genau behandeln.

Bemerkung 3: In den meisten unserer Beispiele sind Definitions– und Wertemenge immer alle reellen Zahlen ( R ), sodass nur

in jenen Fällen, in denen D f bzw. W f nicht alle reellen Zahlen sein sollen, D f bzw. W f extra angegeben sind.

(3) Wertetabelle: Wir ermitteln Punkte der Funktion, indem wir aus der Definitionsmenge ( hier R )

Bemerkung:

Wertetabelle:

geeignete Zahlen-Werte wählen und mittels Funktionsgleichung die jeweils

dazugehörigen Funktions-Werte berechnen.

Geeignete x-Werte sind, wenn D f =R , bei vielen schulmathematischen Aufgaben Zahlen

um den Wert null. Meistens ist das Intervall vorgegeben.

x y = f (x) = x ²

– 3 9

– 2 4

– 1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Berechnungen:

y = f (– 3) = ( –3 ) ² = 9

y = f (– 2) = ( –2 ) ² = 4

y = f (– 1) = ( –1 ) ² = 1

y = f (0) = 0 ² = 0

y = f (1) = 1 ² = 1

y = f (2) = 2 ² = 4

y = f (3) = 3 ² = 9

(4) Funktions – Graph: Die Punkte werden in ein Koordinatensystem geeigneter Größe

gezeichnet und durch eine Linie verbunden, da die Definitionsmenge D f = R

und somit alle reellen Zahlen umfasst.

Nur zur Ansicht


Es ist möglich und manchmal auch nötig, die

Einheiten in x – und y – Richtung verschieden

groß zu wählen.


Wenn die Gestalt des Graphen noch nicht

konkret zum Ausdruck kommt, müssen weitere

Punkte ermittelt werden.


Die eingezeichneten Punkte werden durch eine

entsprechende Linie verbunden

manfred.ambach

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III Funktionale Zusammenhänge

https://www.youtube.com/watch?v=dg2Oj5wZp3A

6.2.4. Funktionen mit

Beispiel:

Stellen wir die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 1

2 x3 − 2 x 2 + 3

4

Bemerkung: Diese Benutzeroberfläche findet sich in GeoGebra Classic 6.

Nur zur Ansicht

dar.

Wir geben die

Funktionsgleichung in das

Algebra – Fenster ein.

Auf ENTER gedrückt und

im Algebra-Fenster

erscheint die

Funktionsgleichung,

im Grafik-Fenster der

Graph der Funktion,

sofern der Kreis

ausgefüllt ist.

Man kann den Kreis

ausfüllen oder leer lassen,

indem man mit der linken

Maustaste in den Kreis

klickt.

manfred.ambach

188

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III Funktionale Zusammenhänge

Damit die Funktionsgleichung zur

Gänze sichtbar wird, führt man mit

der Maus das bzw. Pfeil-Symbol

+

auf die Trennungslinie von Algebraund

Grafik-Fenster, bis das Symbol

entsteht.

Mit gedrückter linker Maustaste verschiebt man die Breite des Algebra-Fensters auf das gewünschte Maß.

Auf diese Weise lassen sich alle Trennungslinien der sichtbaren Fenster verschieben.

Wollen wir den Ausschnitt des

Koordinatensystems im

Grafik-Fenster verändern,

gehen wir so vor:

Wir schieben den Maus-Pfeil

bzw. das Kreuz

auf den Button .

Damit öffnet sich das links

abgebildete Fenster.

Fahren wir mit dem Pfeil-bzw.

Kreuz-Symbol auf

Nur zur Ansicht

so wird es blau hinterlegt.

Dann klicken wir mit der linken

Maustaste drauf.

manfred.ambach

189

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III Funktionale Zusammenhänge

Auch die Linien-Farbe und die Linien-Stärke des Graphen lassen sich festlegen:

Wandern wir mit dem Pfeil-

Symbol ins Grafik-Fenster,

so wird aus dem Pfeil eine

Hand.

Halten wir die linke

Maustaste gedrückt, so

können wir den

Koordinatenausschnitt

beliebig verschieben.

Mit dem Maus-Rädchen

kann man auch die Größe

des Ausschnitts bestimmen.

Wir wandern mit dem Pfeil- bzw. Kreuz-Symbol auf den Kreis

links neben f(x) und betätigen die rechte Maustaste.

Damit öffnet sich das links abgebildete Fenster.

Dort klicken wir (mit linker Maustaste) Eigenschaften an

Nur zur Ansicht

Im rechten Bereich der Oberfläche öffnet sich die links abgebildete Fläche.

manfred.ambach

190

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III Funktionale Zusammenhänge

Wollen wir die Farbe des Graphen verändern,

klicken wir den Button Farbe an.

Im sich öffnenden Farbspektrum kann eine Farbe durch Anklicken

des betreffenden Quadrats gewählt werden.

Ich habe mich für blau mit den RGB-Anteilen 0, 0, 204 entschieden.

Die Funktionsgleichung erscheint in der

gewählten Farbe.

Zur Wahl der Linienstärke klicken wir auf den

Befehl Darstellung.

Mit gedrückter linker Maustaste können wir den

Regler auf die gewünschte Linienstärke schieben.

Nur zur Ansicht

Sollte das Koordinatengitter nicht angezeigt

sein:

Mit dem Kreuz-Symbol ins Grafik-Fenster und dort die

rechte Maustaste drücken.

Es öffnet sich das links gezeigte Fenster.

Bei Koordinatengitter das Häkchen setzen.

manfred.ambach

191

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III Funktionale Zusammenhänge

Punkte bestimmen

Man kann sowohl grafisch als auch rechnerisch Punkte einer Funktion ermitteln.

Punkt graphisch bestimmen

Angenommen, wir wollen die Koordinaten des

Punktes auf der y-Achse erhalten.

Klicke das Symbol

unterhalb

öffnet sich folgendes Fenster:

an und

Hier klicken wir

diesen Befehl an.

Fahre mit dem Kreuz-Symbol genau auf diesen Punkt,

bis ein Pfeil in der abgebildeten Form entsteht . . .

Nur zur Ansicht

. . . und klicke die linke Maustaste.

GeoGebra markiert den Punkt im Grafik-

Fenster und bezeichnet ihn (A).

Im Algebra-Fenster erscheint dieser Punkt

mit seinen Koordinaten.

manfred.ambach

192

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III Funktionale Zusammenhänge

Will man den Punkt umbenennen:

Punkt rechnerisch bestimmen

Den Punkt im Algebra-Fenster mit der rechten

Maustaste anklicken.

Nebenstehendes Fenster erscheint.

Mit dem Mauszeiger auf den Befehl

Umbenennen gehen und mit der linken

Maustaste klicken.

Im auftretenden Fenster die gewünschte

Bezeichnung eingeben (z.B. P )

und die OK-Taste betätigt.

Im Algebra-Fenster und

im Grafik-Fenster erscheint der Punkt mit neuer

Bezeichnung.

Nur zur Ansicht

Wenn wir z.B. die y-Koordinate des Punktes der Funktion f an der Stelle x = 0

wollen, schreiben wir in die Eingabe-Zeile f(0).

ENTER betätigt und der Wert der y-Koordinate erscheint im Algebra-Fenster.

Bemerkung: GeoGebra benennt alle numerischen Ergebnisse

in alphabetischer Reihenfolge, beginnend mit a .

Damit wissen wir, der gesuchte Punkt hat die Koordinaten ( 0 / 0,75 ) .

manfred.ambach

193

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III Funktionale Zusammenhänge

Aufgabe der Zentralmatura am 10.05.2016

Betrachtet man den Querschnitt eines Blutgefäßes vereinfacht als Kreis, so lässt sich die

Strömungsgeschwindigkeit des Blutes in Blutgefäßen näherungsweise durch die Funktion v beschreiben:

v(x) = v max ⋅ (1 − x2

2) mit 0 ≤ x ≤ R

x ... Abstand von der Mitte des Blutgefäßes in Metern (m)

v(x) ... Strömungsgeschwindigkeit des Blutes im Abstand x in m/s

v max ... maximale Geschwindigkeit des Blutes in Metern pro Sekunde (m/s) mit v max > 0

R ... Radius des Blutgefäßes in m

– Skizzieren Sie den Graphen dieser Funktion v in der nachstehenden Abbildung. [1 Punkt]

Möglicher Lösungsweg:

v(x) bedeutet, dass x die unabhängige Variable ist und v die abhängige.

Für alle anderen Buchstaben, in dem Fall für vmax und R, wählen wir frei erfundene Zahlen (nicht 0 oder 1) und

stellen diese Funktion in GeoGebra dar:

Zum Beispiel

vmax =2

R = 3

R

Nur zur Ansicht

Die Kurve liegt laut Angabe nur im positiven x-Bereich

(0≤x≤R) und reicht dort bis R (bei uns R = 3).

Auch in der Senkrechten soll es die Kurve nur im

Positiven geben und zwar bis vmax (bei und vmax =2).

Demnach hat die Kurve skizziert den nebenstehenden

Verlauf.

manfred.ambach

194

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III Funktionale Zusammenhänge

https://www.youtube.com/watch?v=dg2Oj5wZp3A

Die Unendlichkeit der Mathematik 17

Vielleicht führt uns folgender Gedankengang zum Ziel:

Summe = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . .

1

2 Summe = 1

2 (2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . )

1

2 Summe = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 . . .

Fortsetzung S 195

Die Unendlichkeit der Mathematik 18

Summe = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1

+ 1

+ 1

16 32

64 + . . .

Nur zur Ansicht

− 1

2 Summe = −1 − 1 2 − 1 4 − 1 8 − 1

− 1

+ –

1

16 32

Summe − 1

2 Summe = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 . . .

1

2 Summe = 2 | . 2

64 − . . .

Summe = 4

Fortsetzung S 200

manfred.ambach

195

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III Funktionale Zusammenhänge

6.2.5. Eigenschaften von Funktionen

6.2.5.1. Nullpunkte

Nullpunkte sind Punkte der Linie,

die auf der x-Achse liegen.

Alle Punkte auf der x-Achse haben y = 0.

Suchen wir die Nullpunkte, dann wollen wir jene

Punkte der Linie mit

y = 0 bestimmen,

also setzen wir

y = 0

Bemerkung: In der obigen Skizze mit einer beliebigen Funktion sind die Nullpunkte der Reihe nach von links nach rechts

nummeriert. Es spielt aber keine Rolle, welcher der Nullpunkte mit N 1 , N 2 usw. bezeichnet wird.

Die Reihenfolge der Beschriftung ist also unerheblich.

Beispiel:

Bestimme die Nullpunkte der Funktion f(x) = 1

8 x3 − 3

2 x2 + 9

x 2 .

Nullpunkte mit



f

Nur zur Ansicht

Funktionsgleichung in Eingabe-

Zeile

ENTER gedrückt


Funktionsgleichung erscheint im

Algebra-Fenster,

Funktions-Graph im Grafik-

Fenster.

manfred.ambach

196

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III Funktionale Zusammenhänge

In die Eingabe-Zeile schreiben wir den Befehl

Nullstelle[ ]

Es reicht, die ersten Buchstaben des Wortes Nullstelle einzugeben.

Erscheint der Befehl Nullstelle[ ] , so wird dieser

angeklickt.

Bemerkung: Die Nullstelle ist die x-Koordinate des Nullpunktes.

Da unsere Funktion f heißt, schreiben wir in das Feld f:

Somit erscheinen alle Nullpunkte, in diesem Beispiel A (0/0) und B (6/0), sowohl im Algebra-Fenster als auch

eingezeichnet im Grafik-Fenster.

Bemerkung: GeoGebra benennt Punkte in alphabetischer Reihenfolge. Will man sie umbenennen:

Die tiefgestellte 1 bei N 1 erhält man, indem man N_1 eingibt.

Damit lauten die Koordinaten der Nullpunkte von f : N1 ( 6 / 0 ) N2 ( 0 / 0 )

Nur zur Ansicht

Bemerkung: Derzeit interessieren nur Nullpunkte.

https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38

manfred.ambach

197

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III Funktionale Zusammenhänge

6.2.5.2. Monotonie

Eine Funktion f ist streng monoton steigend

( streng monoton wachsend ),

wenn mit wachsendem x

die Funktionswerte y = f (x) immer größer werden.

Eine Funktion f ist streng monoton fallend ,

wenn mit wachsendem x

die Funktionswerte y = f (x) immer kleiner

werden.

wachsendes x bedeutet, die x-Werte werden immer größer. Wir betrachten also die Funktion in Schreibrichtung:

von links kommend, nach rechts schauend

Ist eine Funktion monoton steigend, so steigen in dieser Blickrichtung auch die entsprechenden y-Werte,

sie werden also größer.

Ist eine Funktion monoton fallend, so werden die y-Werte in dieser Blickrichtung immer kleiner.

Denke dir den Funktionsgraphen als Berg- und

Tallandschaft, die du in Schreibrichtung durchwanderst.

Nur zur Ansicht

Dort, wo du bergauf gehst, es also ansteigt,

ist der Graph monoton steigend in jenen Bereichen,

wo's bergab geht, monoton fallend.

Im höchsten Punkt H und tiefsten Punkt T ist die

Funktion weder steigend noch fallend, da es hier

weder bergauf noch bergab geht.

Hier ist die Steigung null.

manfred.ambach

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III Funktionale Zusammenhänge

Hier verwechselst du Ursache mit Wirkung,

lieber Fredo!

monoton [ monos (griechisch): allein,

teinein (griechisch): spannen ]

Gespannt wurden Saiteninstrumente um ihnen Töne zu entlocken. " Alleine spannen " bedeutet so viel wie regelmäßiger, reiner

Klang. In diesem Sinne können wir monoton mit regelmäßig übersetzen. Spricht jemand monoton, so meint das eine

gleichbleibende Sprechweise ohne Veränderung der Tonlage oder Lautstärke. Die Wirkung beim Zuhörer kann Langeweile sein.

Beispiel:

Monoton heißt doch langweilig!

Welch heißes Thema ist das denn?

Bestimme die Monotonie der abgebildeten Funktion mit D f = R.

Von links nach rechts (in Schreibrichtung) geschaut:

Für alle x-Werte bis zu x = 2 werden die y-Werte der Funktion immer größer.

Von x = − ∞ bis (ausschließlich) x = 2 ist die Funktion demnach monoton steigend.

Bei x = 2 wachsen oder fallen die Funktionswerte nicht, weil dort der höchste Punkt liegt,

bei dem es weder bergauf noch bergab geht.

Nur zur Ansicht

Nach x = 2 bis (ausschließlich) x = 6 werden die y-Werte immer kleiner. In diesem Bereich ist die Funktion monoton

fallend.

Bei x = 6 fallen oder steigen die Funktionswerte nicht, weil dort der tiefste Punkt liegt,

bei dem es weder bergab noch bergauf geht.

Nach x = 6 steigen dann die y-Werte für alle weiteren x-Werte an. Die Funktion ist demnach ab hier immer

monoton steigend.

Wir schreiben:

für ] − ∞ ; 2 [ bzw. (−∞ ; 2 ) bzw. x < 2 ist f monoton steigend, bedeutet Anstieg und positive Steigung,

für ] 2 ; 6 [ bzw. ( 2 ; 6 ) bzw. 2 < x < 6 ist f monoton fallend, bedeutet Gefälle und negative Steigung,

für ] 6 ; ∞ [ bzw. ( 6 ; ∞ ) bzw. x > 6 ist f monoton steigend, bedeutet Anstieg und positive Steigung.

manfred.ambach

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https://www.youtube.com/watch?v=gdjhgyp0xKY

6.3. Polynomfunktionen

Polynomfunktionen bestehen in der Regel aus mehreren Gliedern ( + – ), wobei die unabhängige Variable ( x )

in der Basis einer Potenz steht und sich nicht im Nenner befindet.

Beispiele: f 1 (x) = 1

f 2 (x) = x 2 + 3 4

4 x1 − 2 Polynomfunktion 1. Grades ( lineare Funktionen )

Polynomfunktion 2. Grades ( quadratische Funktionen )

y = 1 8 x3 − 5x 2 − 3x + 1 Polynomfunktion 3. Grades ( kubische Funktionen )

Polynomfunktionen werden auch ganzrationale Funktionen oder Potenzfunktionen genannt.

Keine Polynomfunktionen sind z.B.:

Auch Parabeln, weil ihre Graphen (ab 2. Grades) so bezeichnet werden.

f 1 (x) =

f 2 (x) = 2 x

1 + x2

2 x

Nur zur Ansicht

Die Unendlichkeit der Mathematik 19

( gebrochen ) rationale Funktion

Exponentialfunktion

Die Summe der unendlich vielen Zahlen 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . = 4

wird wohl nach diesem einleuchtenden Beweis richtig sein!

Fortsetzung S 203

manfred.ambach

200

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Mathe für die BRP zentral

III Funktionale Zusammenhänge

6.3.1. Polynomfunktionen 1. Grades ( lineare Funktionen )

6.3.1.1. Gleichung einer linearen Funktion ( Geraden )

In Gleichungen linearer Funktionen kommt x nur linear vor, das heißt, es hat die Hochzahl 1 und

steht nicht im Nenner,

y = f(x) kommt in jeder Funktion nur linear vor.

Beispiele: f(x) = 1

4 x1 − 2

3x 1 + 2y 1 = 4

Alle linearen Funktionen lassen sich auf folgende Form bringen:

g: y = k . x + d

Nur zur Ansicht

Beachte: Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn angegeben.

manfred.ambach

201

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Mathe für die BRP zentral

III Funktionale Zusammenhänge

( x / y ) . . . x und y stehen, wie in jeder Gleichung, die eine Linie beschreibt,

für die x- und y- Koordinaten aller unendlich vielen Punkte, aus denen die Linie

( hier die Gerade ) besteht.

Bemerkung: Es kann also nie Aufgabe sein, diese Variablen, nämlich alle unendlich vielen Punkte, zu berechnen.

d . . . Der Abstand ( die Distanz ) des Schnittpunktes der Geraden mit der y-Achse

vom Koordinaten-Ursprung.

k . . . Steigung ( Anstieg, Gefälle, Richtung, mittlere Änderungsrate m.Ä. ) der Geraden

Die Steigung k ist festgelegt als

tan ist die Winkelfunktion Tangens

Beispiel: Eine Steigung von 12 %

k = Gegenkathete

Ankathete

= G

A

= tan(α)

Nur zur Ansicht

Eine Steigung von 12 % =

12

100

bedeutet,

dass die Linie alle 100 Meter waagrechter Entfernung um 12 Meter ansteigt.

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202

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Mathe für die BRP zentral

III Funktionale Zusammenhänge

Wählt man die Ankathete A = 1, so entspricht die Gegenkathete G immer der Steigung k der Geraden.

Warum?

k = G

A = k

1

Ein Beispiel:

Es sei k = 2

Nur zur Ansicht

Die Unendlichkeit der Mathematik 20

Ja, die Summe dieser unendlich vielen Zahlen ist vier.

Jedoch nicht, weil die einleuchtenden Folgerungen auf Seite 201 richtig sind!

Das Eigenartige ist, dass auch noch so scheinbar einleuchtende Schlussfolgerungen

kein Beweis für deren Richtigkeit sein müssen!

3 :

k = 2 2

3 → k = 3

1

= k

1

= G

A

Fortsetzung S 211

manfred.ambach

203

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III Funktionale Zusammenhänge

Kennzeichnend für lineare Zunahme (lineares Wachstum) ist, dass

in gleichen waagrechten Abständen die senkrechten Abstände um den gleichen Wert zunehmen,

Beispiel:

dass also die y-Werte in gleichen x-Intervallen (x-Abständen)

um den gleichen Wert zunehmen.

Kennzeichnend für lineare Abnahme (linearen Zerfall) ist, dass

in gleichen waagrechten Abständen die senkrechten Abstände um den gleichen Wert abnehmen,

Beispiel:

dass also die y-Werte in gleichen x-Intervallen (x-Abständen)

um den gleichen Wert abnehmen.

Nur zur Ansicht

Beachte:

manfred.ambach

204

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Mathe für die BRP zentral

III Funktionale Zusammenhänge

https://www.youtube.com/watch?v=_y5X81CbYyc&t=5s

a) Eine Prepaid-Karte ist mit 25 Euro aufgeladen. Eine Gesprächsminute kostet 2 Cent.

– Kreuze an, welche der folgenden Funktionsgleichungen das Guthaben G(x) nach x Gesprächsminuten

beschreibt. [ 1 aus 5 ]

G(x) = 25 – 2 . x

G(x) = 2 500 – 0,02 . x

G(x) = 0,02 . x + 25

G(x) = – 2 . x + 25

G(x) = 25 – 0,02 . x

Angenommen, die Funktionsgleichung lautet G(x) = – 0,05 . x + 50






– Interpretieren Sie die Zahlen –0,05 und 50 im konkreten Sachzusammenhang.

b) Jemand möchte ein Handy kaufen. Die Anzahlung beträgt 200 Euro, die monatliche Rate 20 Euro.

Nur zur Ansicht

– Stellen Sie die lineare Funktionsgleichung G(x) für die Gesamtzahlung nach x Monaten auf.

– Berechnen Sie die Gesamtzahlung nach einem Jahr.

Lösungen: a) * 5. Alternative

* –0,05 … pro Gesprächsminute sind 0,05 € zu zahlen

50 … Anfangsguthaben in €

b) * G(x) = 20 . x + 200 * 440 €

manfred.ambach

205

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III Funktionale Zusammenhänge

6.3.1.2. Proportionalität

6.3.1.2.1. direkt proportional

Eine Zuordnung (Funktion) heißt

direkt proportional,

wenn sich jeder y-Wert durch Multiplikation

des entsprechenden x-Wertes

mit derselben Zahl k ergibt.

y = k . x

k … Proportionalitätsfaktor

In nebenstehendem Beispiel ist

k = 2 → y = 2 . x

Der Proportionalitätsfaktor k entspricht der Steigung

der Geraden.

Gezeichnet bedeutet direkte Proportionalität eine

Gerade mit der Steigung k, die durch den Ursprung

geht.

Bei Schlussrechnungen (Dreisatz) bedeutet direkt proportional: „ Je mehr . . . . . . . desto mehr . . . . .“

Beispiel:

oder „ Je weniger . . . . desto weniger . . . . .“

Nur zur Ansicht

Pro gefahrenem Meter ist für einen Taxi-Transport 0,15 Cent zu bezahlen.

– Bestimme die Fahrtkosten in Euro (ohne Grundgebühr) für einen 3,4 km langen Weg.

Fahrtkosten y = 0,15 . x x … Fahrstrecke in Metern

y = 0,15 . 3 400 = 510 Cent = 5,10 Euro.

manfred.ambach

206

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III Funktionale Zusammenhänge

6.3.1.2.2. indirekt proportional

Eine Zuordnung (Funktion) heißt

p … Proportionalitätsfaktor

Im unteren Beispiel ist p = 2

indirekt proportional,

wenn die Multiplikation jedes y-Wertes

mit dem entsprechenden x-Wert

dieselbe Zahl ergibt.

→ y = 2

y . x = p → y = p

x

x

Nur zur Ansicht

Gezeichnet bedeutet indirekte Proportionalität eine sogenannte Hyperbel mit zwei Ästen, die bei x = 0

nicht existiert (keinen y-Wert besitzt), weil mit y = p

ein Bruch mit dem Nenner null entsteht

0

und die Division durch null nicht festgelegt ist.

Bei Schlussrechnungen (Dreisatz) bedeutet indirekt proportional: „ Je mehr . . . . . . . desto weniger . . . . .“

oder „ Je weniger . . . . desto mehr . . . . .“

manfred.ambach

207

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III Funktionale Zusammenhänge

6.3.1.3. Aufstellen einer Geradengleichung mit 2 gegebenen Punkten:

Beispiel: Die Punkte A ( –2 / 1 ) und B ( 4 / 3 ) sind gegeben.

Gesucht: die Gleichung der Geraden g(A,B) , die durch die Punkte A und B geht.

Man schreibt in eine Zeile des Algebra-Fensters

(der Eingabe-Zeile) den Befehl

Polynom[ ]

Auch hier reicht es, nur die ersten Buchstaben des Befehls zu

schreiben.

Es öffnet sich das links dargestellte Fenster. Hier klickt man

den Befehl

Polynom[ ] an.

In < Liste von Punkten > schreibt man die Koordinaten der

Punkte, die auf der Geraden liegen sollen.

In GeoGebra:



Statt des Schrägstrichs bei Koordinaten ein

Beistrich

Also: Statt (–2 / 1 ) schreibt man (–2, 1)

Das Dezimalkomma ist ein Punkt

ENTER betätigt und im Algebra-Fenster erscheint die Funktionsgleichung, im Grafik-Fenster der Graph (die

Gerade).

Nur zur Ansicht

manfred.ambach

208

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#

Mathe für die BRP zentral

III Funktionale Zusammenhänge

Merken wir uns:

Polynomfunktion

nötig zum Aufstellen der Funktionsgleichung sind

1. Grades 2 Punkte

2. Grades 3 Punkte

3. Grades 4 Punkte

4. Grades 5 Punkte

Sollte man nicht wissen welcher Zahlenwert die Steigung darstellt:

Man schreibt in das Algebra-Fenster den Befehl Steigung und in die eckige Klammer den Namen der Funktion,

in unserem Falle f.

ENTER betätigt und der Wert der Steigung a = k = 0,33 erscheint im Algebra-Fenster.

Im Grafik-Fenster wird ein Steigungsdreieck mit der Ankathete = 1 und der Gegenkathete k ersichtlich.

Allgemeiner Befehl: Steigung( )

Konkret auf das Beispiel bezogen:

Wie zeigt man, ob ein Punkt auf einer Linie liegt?

Beispiel: Liegt der Punkt P(4/3) auf der eben aufgestellten Geraden?

grafisch:

Nur zur Ansicht

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209

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III Funktionale Zusammenhänge

rechnerisch:

Siehe auch S 195

a = 3 bedeutet, dass bei x = 4 der y-Wert = 3 ist, wie das dem Punkt P(4/3) entspricht.

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Die Pumpleistung P des Herzens in Litern pro Minute (L/min) in Abhängigkeit des Alters in Jahren kann annähernd

durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Die Pumpleistung beträgt bei 15-jährigen 5,1 L/min und bei

65-jährigen 2,6 L/min.

– Stellen Sie die Gleichung der Funktion P auf.

Möglicher Lösungsweg:

Die Gleichung von P lautet: P(t) = −0,05 ⋅ t + 5,85

t … Zeit in Lebensjahren

P(t) … Pumpleistung in L/min nach t Lebensjahren

Nur zur Ansicht

– Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser linearen Funktion im konkreten Sachzusammenhang.

Möglicher Lösungsweg:

manfred.ambach

210

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Mathe für die BRP zentral

III Funktionale Zusammenhänge

Links ist ein Steigungsdreieck gezeichnet.

– Bestimme die Pumpleistung einer 50-jährigen Person.

Möglicher Lösungsweg:

k = – 0,05 L/min

Die Pumpleistung einer 50-jährigen Person beträgt 3,35 L/min.

Im Sachzusammenhang bedeutet die Steigung k :

k = G

A =

−0, 05 L/min

1 Lebensjahr

Die Pumpleistung nimmt pro Lebensjahr um

0,05 L/min ab.

Nur zur Ansicht

Die Unendlichkeit der Mathematik 21

In unserem Fall haben wir angenommen, dass Rechengesetze für endlich viele Zahlen

einfach auch für unendlich viele Zahlen gelten.

Fortsetzung S 211

manfred.ambach

211

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III Funktionale Zusammenhänge

6.3.1.4. Lineare Bewegungsaufgaben

Will sich jemand im Bereich der Technik, gleich welcher Sparte,

(weiter-) bilden, ist es von Vorteil, Bewegungsdiagramme

lesen zu können.

Für das Grundverständnis ist keine Differentialrechnung nötig, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel: (*)

Was muss man alles wissen um solche Diagramme lesen zu können?

Ein Radfahrer fährt den abgebildeten Hügel hinauf.

Erkläre, welches der drei folgenden Diagramme die

Bewegung des Radfahrers am besten beschreibt.

t . . . Zeitdauer, die seit Beobachtungsbeginn, dem Zeit-Nullpunkt ( t = 0 ) vergangen ist.

Nur zur Ansicht

s (t) . . . Der Abstand vom Orts–Nullpunkt , nachdem die Zeitdauer t vergangen ist.

s (t) ist nicht automatisch der zurückgelegte Weg!

s (t) entspricht nur dann dem zurückgelegten Weg, wenn die Bewegung bei der Orts-Nullpunkt beginnt.

(*) angelehnt an: G. MALLE u.a.: Mathematik verstehen. ÖBV-Verlag, Wien 2010, S 277.

manfred.ambach

212

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III Funktionale Zusammenhänge

Sehen wir uns diesen Sachverhalt einmal an:

Ein Radfahrer verlässt um 6:00 sein Haus

und erreicht um 8:00 seinen Zielort.

Als Zeit-Nullpunkt wählen wir die

Abfahrtszeit 6:00 .

Angenommen, der Orts-Nullpunkt ist beim

Haus des Radfahrers gewählt. Dann

entspricht die Entfernung des Radfahrers

vom Orts-Nullpunkt 2 Stunden nach Start

s (2) = 30 km dem zurückgelegten Weg

(laut Skizze).

Läge das Haus des Radfahrers 10 km

nach dem Orts-Nullpunkt, verhielt es sich

mit s (t) wie in nebenstehender Skizze.

Der Radfahrer wäre dann 2 Stunden nach

der Abfahrt 40 km vom Orts-Nullpunkt

entfernt, hätte aber trotzdem nur einen

Weg von

s (2) = 40 km – 10 km = 30 km

zurückgelegt.

Für unser Beispiel gelte, der Radfahrer fährt vom Orts-Nullpunkt weg.

Nur zur Ansicht

Mit den oben getroffenen Annahmen ergibt

im Diagramm die Bewegung (die Fahrt)

des Radfahrers, als Weg-Zeit-Funktion

dargestellt

eine Gerade ( lineare Funktion ), unter der

Voraussetzung konstanter Geschwindigkeit.

manfred.ambach

213

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Mathe für die BRP zentral

III Funktionale Zusammenhänge

Was bedeutet das für die Geschwindigkeit v ?

Benötigt der Radfahrer zwei Stunden für

30 km, so legt er in einer Stunde 15 km zurück und

fährt damit mit einer

Geschwindigkeit von 15 km pro Stunde ( h )

v =

30 km

2 h

15 km

= = 15 km/h

1 h

Die Geschwindigkeit v stellt also die

Steigung der Geraden dar.

Wenn ein geübter Radfahrer in 2 Stunden 60 km

zurücklegt, dann fährt er in einer Stunde 30 km und

fährt somit mit einer Geschwindigkeit von

v =

60 km

2 h

30 km

= = 30 km/h

1 h

Nur zur Ansicht

Vergleichen wir die letzten beiden Diagramme, so erkennen wir:

Je höher die Geschwindigkeit,

desto mehr Weg wird innerhalb der gleichen Zeit zurückgelegt,

desto steiler verläuft die Gerade,

desto größer ist ihre Steigung.

Je geringer die Geschwindigkeit,

desto weniger Weg wird innerhalb der gleichen Zeit zurückgelegt,

desto flacher verläuft die Gerade,

desto geringer ist ihre Steigung.

manfred.ambach

214

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Mathe für die BRP zentral

III Funktionale Zusammenhänge

Das gilt auch für Kurven

Was bedeutet es, wenn die Linie von s(t) (in Schreibrichtung) bergab geht, also monoton fallend ist?

Angenommen, eine Stunde nach Abfahrt befindet sich der

Radfahrer 40 km vom Orts-Nullpunkt entfernt, drei

Stunden nach Abfahrt beträgt sein Abstand vom Orts-

Nullpunkt

nur noch 10 km.

Nur zur Ansicht

➝ Er fährt zurück

Widmen wir uns jetzt wieder unserem Ausgangsbeispiel:

manfred.ambach

215

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III Funktionale Zusammenhänge

Welches der dargestellten Diagramme beschreibt nun die Fahrt des Radfahrers entsprechend?

H

Die Steigung der Kurve im

Diagramm A nimmt zunächst ab.

Der Radfahrer wird demnach

immer langsamer, was bei steiler

werdendem Gelände zu erwarten

ist.

Anschließend fährt er zurück, da

die Kurve im Bewegungsdiagramm

nach dem Hochpunkt H monoton

fallend ist.

Die Steigung der Kurve im

Diagramm B nimmt zunächst zu.

Der Radfahrer würde demnach

immer schneller, obwohl das

Gelände immer steiler wird.

Mit flacher werdendem Gelände

würde der Radfahrer immer

langsamer, weil die Steigung der

Kurve im Bewegungsdiagramm B

geringer wird.

Laut Bewegungsdiagramm C

würde der Radfahrer zunächst

zurückfahren, da die Kurve im

ersten Abschnitt fallend ist.

Nur zur Ansicht

Damit beschreibt nur das Bewegungsdiagramm

die Fahrt des Radfahrers entsprechend.

manfred.ambach

216

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III Funktionale Zusammenhänge

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Tom und Chris sind Jogger. Tom wohnt in St. Johann/Pg. (JO), Chris in Schwarzach (S). Sie wohnen 6 km

voneinander entfernt. Beide vereinbaren, einander entgegen und gleichzeitig los zu laufen. Tom läuft mit einer

Durchschnittsgeschwindigkeit von 12 km/h, Chris mit 8 km/h.

– Stellen Sie die lineare Weg-Zeit Funktionen beider Läufer auf, wobei s den Abstand von Toms Haus

in St. Johann/Pg. nach der Zeitdauer t beschreiben soll.

Möglicher Lösungsweg:

Skizze für das Verständnis:

f (x) = k . x + d

allgemeine Gleichung der linearen Weg-Zeit Funktion s (t) = k . t + d

Damit wir die konkreten Weg-Zeit Funktionen beider Läufer erhalten, müssen wir für beide Funktionen k und d

bestimmen.

Wir ermitteln jeweils zwei Punkte und können so die Funktionsgleichungen aufstellen:

Wir wählen als Zeit-Nullpunkt

als Orts-Nullpunkt

den Start beider Läufer,

Toms Haus in St. Johann / Pg.

( Ist vorgegeben, weil laut Angabe s der Abstand von Toms Haus sein soll. )

Nur zur Ansicht

Tom: t in h s (t) in

km

0 0

0,5 6

Man darf nur einen Zeit-Nullpunkt und einen Orts-Nullpunkt wählen

und nicht für jede der Bewegungen eigene.

Zu Beobachtungsbeginn

(beim Start) ist Tom 0 km vom

Orts-Nullpunkt (seinem Haus)

entfernt.

Eine halbe Stunde später ist Tom

6 km vom Orts-Nullpunkt

entfernt, weil er ja in einer

Stunde 12 km zurücklegt.

y

Chris: t in h s (t) in

km

0 6

0,5 2

Zu Beobachtungsbeginn

(beim Start) ist Chris 6 km vom

Ortsnullpunkt (von Toms Haus)

entfernt. Eine halbe Stunde

später ist er nur noch 2 km vom

Orts-Nullpunkt entfernt, weil er

bereits 4 km in Richtung Toms

Haus zurückgelegt hat.

manfred.ambach

217

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Mathe für die BRP zentral

III Funktionale Zusammenhänge

Es ist ratsam, für die Zeiten solche Werte zu wählen, deren Abstände vom Orts-Nullpunkt innerhalb der

gegebenen Strecke (hier 6 km) liegen. Ansonsten verlieren wir schnell die Anschaulichkeit.

Tom:

Chris:

Bemerkung: Wenn man nicht umbenennt, gibt GeoGebra die Funktion als f(x) bzw. g(x) an und nicht als s(t).

Man sieht:

k entspricht der Geschwindigkeit, d dem Abstand von der Orts-Nullmarke

zu Beobachtungsbeginn (t = 0)

Das negative k bei Chris bedeutet, seine Bewegung erfolgt in entgegengesetzter Richtung zu Tom.

– Ermitteln Sie, wann und in welcher Entfernung von Toms Haus sie einander treffen.

Man trifft einander, wenn man zur selben Zeit am selben Ort ist.

Der Treffpunkt T ist der Schnittpunkt beider Linien:

Befehl in GeoGebra: Schneide[ , ]

Für die Objekte werden die Namen der Funktionen

eingegeben:

Nur zur Ansicht

( t / s )

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten (0,3 / 3,6)

Sie treffen einander 0,3 Stunden nach dem Start in 3,6 km Entfernung von Toms Haus.

manfred.ambach

218

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III Funktionale Zusammenhänge

Veranschaulichen wir uns die Graphen von Toms und Chris‘ Lauf noch:

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Nur zur Ansicht

Ein Läufer startet um 8:00 mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 8 km/h.

Eineinhalb Stunden später fährt ihm ein Radfahrer mit 20 km/h Durchschnittsgeschwindigkeit

vom selben Ausgangsort nach.

– Stellen Sie die lineare Weg-Zeit Funktionen beider Bewegungen auf.

Möglicher Lösungsweg

manfred.ambach

219

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III Funktionale Zusammenhänge

Skizze für das Verständnis:

f (x) = k . x + d

allgemeine Gleichung der linearen Weg-Zeit Funktion s (t) = k . t + d

Damit wir die konkreten Weg-Zeit Funktionen beider Bewegungen erhalten, müssen wir jeweils k und d

bestimmen.

Wir ermitteln jeweils zwei Punkte und können so die Funktionsgleichungen aufstellen:

Wir wählen als Zeit-Nullpunkt den früheren Zeitpunkt, also den Start des Läufers ( 8:00 ),

als Orts-Nullpunkt

Läufer: t in h

Läufer:

s (t) in km

0 0

1 8

den gemeinsamen Startpunkt.

Man darf nur einen Zeit-Nullpunkt und einen Orts-Nullpunkt wählen

und nicht für jede der Bewegungen eigene.

Zu Beobachtungsbeginn

(beim Start) ist der Läufer

0 km vom Orts-Nullpunkt

(dem Startpunkt) entfernt.

Eine Stunde später ist der Läufer

8 km vom Orts-Nullpunkt

entfernt, weil er ja in einer

Stunde 8 km zurücklegt.

y

Rad: t in h s (t) in km Eineinhalb Stunden, nachdem

der Läufer startete, ist der

Radfahrer 0 km vom

1,5 0 Ortsnullpunkt (Startpunkt)

2,5 20 entfernt, da es für ihn erst jetzt

losgeht. 2 1 Stunden nach Start

2

des Läufers ist der Radfahrer

20 km vom Orts-Nullpunkt

entfernt, weil er ja dann eine

Stunde unterwegs ist und 20

km zurücklegt hat.

Radfahrer:

Nur zur Ansicht

s Läufer (t) = 8 t s Radfahrer (t) = 20 t − 30

manfred.ambach

220

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III Funktionale Zusammenhänge

Was bedeutet denn d = – 30

beim Radfahrer?

Ist er zum Zeitpunkt t = 0

minus 30 km von seinem eigenen

Startpunkt entfernt ??

Schauen wir uns folgende Zeichnung an:

Würden Läufer und Radfahrer zur selben Zeit losstarten, dann müsste der Radfahrer 30 km hinter dem

eigentlichen Startpunkt losfahren, damit er um 9: 30 beim Startpunkt des Läufers einträfe, wie es im Text

vorgesehen ist.

Diese der Bewegungsrichtung entgegengesetzte Entfernung wird durch das Minus bei − 30 km ausgedrückt.

Nur zur Ansicht

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221

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III Funktionale Zusammenhänge

Bewegung vom Orts-Nullpunkt weg:

Bewegung zum Orts-Nullpunkt hin:

Nur zur Ansicht

https://www.youtube.com/watch?v=Ix8-EJMtyjg&t=3s

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222

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III Funktionale Zusammenhänge

6.3.2. Polynomfunktionen 2. Grades (quadratische Funktionen)

Beispiele: f 1 (x) = 1

Polynomfunktionen 2. Grades nennt man auch quadratische Funktionen,

weil die höchste Potenz der unabhängigen Variablen (x) quadratisch ist.

f 2 (x) = x 2 + 1

4 x2 − 2x − 5

Die allgemeine Form einer Polynomfunktion 2. Grades lautet:

f (x) = a . x² + b . x 1 + c . x 0

Die einfachste quadratische Funktion besitzt die Gleichung

f(x) = x 2 ,

deren Graph nebenstehenden Verlauf besitzt.

Den Graphen einer Polynomfunktion 2. oder höheren Grades

nennt man Parabel 2. Ordnung.

Deshalb nennt man die Polynomfunktion 2. oder höheren

Grades auch Parabel 2. bzw. 3. usw. Ordnung.

Alle Polynomfunktionen 2. Grades verfügen über diese charakteristische Form, wenngleich nicht immer

in besonderer Lage wie f(x) = x 2 .

Nur zur Ansicht

Die Graphen von Polynomfunktionen 2. und höheren Grades nennt man Parabeln.

Betrachten wir jetzt inwieweit die Zahlen a, b und c den Graphen einer Funktion verändern:

manfred.ambach

223

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III Funktionale Zusammenhänge

Am besten ist es, aktiv mitzuzeichnen.

Zeichne zunächst f1 (x) = x 2 mit Hilfe von GeoGebra, dann

f2 (x) = 2.x 2 , danach f3 (x) = 0,5.x 2 und schließlich für f4 (x) = –1.x 2 .

Entsprechend auch für alle weiteren Funktionen.

Man sieht:

f (x) = a . ( x + b ) 2 + c

Man sieht:

a > 1 gestreckt

0 < a < 1 gestaucht

a < 0 gespiegelt an der x-Achse

bezüglich der Ausgangsfunktion f (x) = x 2

f (x) = a . ( x + b ) 2 + c

Man sieht:

b > 0 Verschiebung nach links

b < 0 Verschiebung nach rechts

bezüglich der Ausgangsfunktion f (x) = x 2

f (x) = a . ( x + b ) 2 + c

Nur zur Ansicht

c > 0 Verschiebung nach oben

c < 0 Verschiebung nach unten

bezüglich der Ausgangsfunktion f (x) = x 2

Beachte, dass in den Darstellungen f(x) = a x 2 + b x + c und f (x) = a . ( x+b ) 2 + c nur a der gleichen Zahl entspricht.

manfred.ambach

224

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III Funktionale Zusammenhänge

Beispiel:

Polynomfunktionen 2. Grades sind spiegel-symmetrisch bezüglich der Achse

durch ihren tiefsten Punkt T bzw. höchsten Punktes H.

Ordne den folgenden Graphen die passende Funktionsgleichung zu.

........................................... .............................................

Nur zur Ansicht

........................................... .......................................

f 1 (x) = −x 2 − 1 f 2 (x) = −x 2 + 2

f 3 (x) = (x − 3) 2 f 4 (x) = x 2 + 1

manfred.ambach

225

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III Funktionale Zusammenhänge

Aufgabe Kompensationsprüfung am 06.06.2018

– Ordnen Sie den jeweiligen Aussagen über den Ursprung des Koordinatensystems die passende Form

der Funktionsgleichung von p aus A bis D zu. [ 2 zu 4 ].

Möglicher Lösungsweg:

Grafik: BMB

Grafik: BMB

Da der Graph der Funktion durch den Koordinaten-

Ursprung geht, ist c = 0.

B muss ≠ 0 sein, weil der Graph ansonsten

symmetrisch zur y-Achse läge.

p(x) = a . x² + b . x

B 1. Feld

Nur zur Ansicht

Da der Graph der Funktion durch den Koordinaten-

Ursprung geht, ist c = 0.

Da der tiefste Punkt im Koordinaten-Ursprung liegt, ist

der Graph symmetrisch zur y-Achse.

b = 0

p(x) = a . x²

D 2. Feld

manfred.ambach

226

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III Funktionale Zusammenhänge

Es gibt zwei Arten von Würfen:

Vom Boden abgeschossen: Fußball, Golf, . . .

x 1 , x 2 … Nullstellen

H … höchster Punkt der Flugbahn

x H … x-Koordinate von H

y H … y-Koordinate von H = maximale Flughöhe

Nicht vom Boden abgeschossen: Tennis, Federball . . .

−x 1 , x 2 … Nullstellen

H … höchster Punkt der Flugbahn

x H … x-Koordinate von H

… y-Koordinate von H = maximale Flughöhe

y H

Die Bahn eines Wurfes nennt man Wurfparabel.

Jede Wurfparabel muss eine Polynomfunktion 2. Grades f(x) = a x 2 + b x + c mit negativem a sein.

Nur zur Ansicht

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

a) Ein Golfball wird in waagrechtem Gelände

abgeschlagen. Die Flugbahn des Balles kann

ohne

Berücksichtigung des Luftwiderstandes

näherungsweise durch die folgende Funktion

beschrieben werden:

f (x) = – 0,0016 x 2 + 0,16 x

x … Wurfweite in Metern (m)

f(x) … Wurfhöhe in m

manfred.ambach

227

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III Funktionale Zusammenhänge

– Berechnen Sie, wie weit der Golfball fliegt.

Möglicher Lösungsweg:

Skizze:

Vor x² steht deswegen nur 0 , weil die Rundung auf

2 Nachkommastellen eingestellt ist.

GeoGebra Classic 5 GeoGebra Classic 6

Nur zur Ansicht

Die Flugweite beträgt 100 m.

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228

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III Funktionale Zusammenhänge

b) – Bestimmen Sie die maximale Flughöhe des Balles.

x H = x 1+ x 2

2

= 0+100

2

= 50

y H = f(x H ) = f(50) = −0,0016 ⋅ 50 2 + 0,16 ⋅ 50 = 4

Die maximale Flughöhe beträgt 4 Meter.

c) – Dokumentieren Sie, wie die Wurfweite bestimmt werden kann, ohne eine konkrete Berechnung

anzugeben.

Dokumentieren bedeutet, dass der (allgemeine) Rechengang, der zum gesuchten Resultat führt,

in Worten anzugeben ist.

Setzt Funktion gleich null. Daraus entstehende Gleichung hat die Lösungen x 1 = 0 und x 2 > 0.

Wurfweite beträgt x 2 Meter.

d) – Stellen Sie mit Hilfe der Angaben aus folgender Skizze die Gleichung der Polynomfunktion

2. Grades (der Wurfparabel) auf.

Nur zur Ansicht

f

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229

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Mathe für die BRP zentral

III Funktionale Zusammenhänge

f(x) = a x 2 + b x + c

Offensichtlich liegt der Punkt (30/2,5) auf dem Funktionsgraphen.

Da der Graph durch den Ursprung geht, ist auch (0/0) ein Punkt des Graphen.

Bei x = 60 landet das Wurfobjekt auf dem Boden. Damit ist dort eine Nullstelle

und der betreffende Nullpunkt lautet (60/0).

Somit kennen wir drei Punkte der Funktion.

https://www.youtube.com/watch?v=NwPOPkXEAX4

Die Unendlichkeit der Mathematik 22

Nur zur Ansicht

Ein Beispiel, in dem die Rechengesetze endlich vieler Zahlen auf unendliche viele Zahlen nicht anwendbar sind:

0 = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . .

0 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . .

0 = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . .

0 = 1

Fortsetzung S 243

manfred.ambach

230

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III Funktionale Zusammenhänge

6.3.3. Polynomfunktionen 3. und höheren Grades

Die allgemeine Form einer Polynomfunktion 3. Grades lautet:

Beispiele: f 1 (x) = − 1

f (x) = a . x³ + b . x² + c . x 1 + d . x 0

8 x3 − 2 x 2 − 5 x + 2 3

Die allgemeine Form einer Polynomfunktion 4. Grades lautet:

Beispiele: f 1 (x) = 1

f 2 (x) = x 3 + 1

f (x) = a . x 4 + b . x³ + c . x² + d . x 1 + e . x 0

Charakteristische Verläufe solcher Funktionen:

16 x4 − 2 x 2 − 1

8 x3 + 2 3 x2 − 2 x + 4 f 2 (x) = x 4 + 1

Nur zur Ansicht

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231

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III Funktionale Zusammenhänge

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

a) Die Pulsfrequenz eines Läufers lässt sich für die ersten 5 Minuten durch folgende Funktion beschreiben:

P(t) = 3,75 ⋅ t 3 − 36,75 ⋅ t 2 + 92,5 ⋅ t + 60

für 0 ≤ t ≤ 5

P(t) . . . Pulsfrequenz in Herzschlägen pro Minute, t Minuten nach dem Start

t

. . . Zeit in Minuten nach dem Start

0 ≤ t ≤ 5 bedeutet, dass die Kurve nur für die ersten 5 Minuten die Pulsfrequenz beschreibt.

– Ermitteln Sie die Pulsfrequenz zwei Minuten nach dem Start.

Möglicher Lösungsweg:

Zwei Minuten nach dem Start beträgt die Pulsfrequenz 128 Herzschläge pro Minute.

Nur zur Ansicht

– Bestimmen Sie, wie viel Minuten nach dem Start die Pulsfrequenz 100 Herzschläge/min beträgt?

Möglicher Lösungsweg:

P(t) = 100:

t 1 = 0,54 min t 2 = 3,29 min ! t 3 = 5,96 min liegt nicht zwischen 0 ≤ t ≤ 5

0,54 Minuten und 3,29 Minuten nach dem Start beträgt die Pulsfrequenz 100 Schläge/min.

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232

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III Funktionale Zusammenhänge

b) Die Pulsfrequenz eines anderen Läufers kann ebenfalls durch eine Polynomfunktion 3. Grades beschrieben

werden.

Beim Start beträgt die Pulsfrequenz 65 Herzschläge pro Minute (H/min), zwei Minuten nach dem Start beträgt

die Pulsfrequenz 140 H/min, nach weiteren 6 min beträgt die Pulsfrequenz nur noch 135 H/min.

Eine viertel Stunde nach dem Start beträgt die Pulsfrequenz noch 130 H/min.

– Stellen Sie das Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten der Polynomfunktion bestimmt

werden können.

– Bestimmen Sie die Koeffizienten.

Möglicher Lösungsweg:

Koeffizienten: Die Vorzahlen a, b, c und d der Funktionsgleichung f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d

Allgemeine Gleichung einer Polynomfunktion 3. Grades: f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d

Wir haben vier Bestimmungsstücke ( a , b , c und d ) und benötigen deshalb vier Gleichungen

in diesen Größen.

Gleichungen →

Jetzt gehen wir mit dem Pfeil-Symbol auf die jeweilige

Zeilennummer der Gleichungen für a, b, c und d

und klicken die Zeilennummer mit der linken

Maustaste an, während wir die

gedrückt halten.

CAS - Fenster

Damit lautet das Gleichungssystem für a, b c und d:

I : d = 65

II : 8 a + 4 b + 2 c + d = 140

III : 512 a + 64 b + 8 c + d = 135

IV : 3 375 a + 225 b + 15 c + d = 130

-Taste

Damit werden die entsprechenden Zeilennummern

blau hinterlegt.

Nur zur Ansicht

Danach aktivieren wir (mit der linken Maustaste)

die nächstleere Zeile, so dass dort der Cursor (rot)

blinkt

und klicken das Symbol an.

Damit erscheinen die Werte für a, b, c und d.

Klicken wir statt

auf das Symbol

manfred.ambach

anklicken, so erhalten wir die Werte in

Dezimalzahlen.

233

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III Funktionale Zusammenhänge

Angry Birds

Beispiel Zentralmatura am 20.9.2016

Bei einem Angriff durch einen Vogel auf ein Schwein kann die Flugbahn durch den Graphen

Der Funktion f beschrieben werden.

f(x) = 1 ⋅ x³ – 3 ∙ x² + 4 ∙ x + 4 mit x ≥ 0

2

x ... horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in LE (Längeneinheiten)

h(x) ... Flughöhe des Vogels über dem horizontalen Boden an der Stelle x in LE

Ein Schwein befindet sich im Punkt P = (4|5).

– Ermitteln Sie den Abstand des Schweins vom Abschusspunkt.

Die Funktionsgleichung wird eingegeben.

Der Punkt, ohne seinen Namen P, ebenfalls

Um sicher zu gehen, wie groß der y-Wert ander

Abschuss-Stelle x = 0 ist, geben wir f(0)

ein

und erhalten y = f(0) = 4

Damit wissen wir die Koordinaten des

Abschusspunktes und geben sie ein.

GeoGebra benannte die Punkte A und B.

Nur zur Ansicht

Damit stellt sich im Grafik-Fenster nebenstehendes Bild dar.

manfred.ambach

234

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III Funktionale Zusammenhänge

Der Abstand vom Abschusspunkt zum Schwein entspricht der Strecke zwischen den Punkten B und A.

– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Punkt P auf der Flugbahn des Vogels liegt.

Der Abstand des Schweins vom Abschusspunkt

beträgt 4,12 LE.

Wenn P, den GeoGebra mit A benannte, auf der Flugbahn f liegt, so muss P an der Stelle x = 4 denselben y-Wert

besitzen, wie die Funktion an der Stelle x = 4:

Nur zur Ansicht

Die Funktion f hat an der Stelle x = 4 den

y-Wert 4, der Punkt P=A aber den y-Wert 5.

Demnach kann der Punkt P nicht auf dem

Graphen von f liegen!

manfred.ambach

235

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III Funktionale Zusammenhänge

Zusammenfassung

Nur zur Ansicht

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236

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III Funktionale Zusammenhänge

Lösung:

– Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so,

dass eine korrekte Aussage entsteht.

Ist eine Polynomfunktion ______1_________ , so hat sie _______2_______ .

2. Grades

2

3. Grades

4. Grades

1

6.3.4. Gerade und ungerade Polynomfunktionen

6.3.4.1. Gerade Polynomfunktionen

Nur zur Ansicht

Gerade Funktionen besitzen nur gerade Potenzen, also Potenzen mit geraden Hochzahlen.

2. Grades: f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x 0

4. Grades: f(x) = a ⋅ x 4 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x 0

2

mindestens einen Nullpunkt

2

mindestens 2 Nullpunkte

mindestens 3 Nullpunkte

Gerade Funktionen liegen spiegelsymmetrisch zur y-Achse.

Beispiele für gerade Funktionen:

manfred.ambach

237

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III Funktionale Zusammenhänge

Verwechsle nicht gerade Funktionen (spiegelsymmetrisch zur y-Achse)

mit Geraden, den Graphen linearer Funktionen.

6.3.4.2. Ungerade Polynomfunktionen

Ungerade Funktionen besitzen nur ungerade Potenzen, also Potenzen mit ungeraden Hochzahlen.

1. Grades: f(x) = a ⋅ x 1

3. Grades: f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 1

Ungerade Funktionen liegen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Beispiele für ungerade Funktionen:

Nur zur Ansicht

Ungerade Funktionen besitzen kein konstantes Glied (bzw. das konstante Glied ist null):

f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x 1 + d ⋅ x 0 → f(x) = a ⋅ x 3 + c ⋅ x

Der Graph ungerader Funktionen geht demnach immer durch den Koordinatenursprung.

manfred.ambach

238

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III Funktionale Zusammenhänge

6.4. Exponential – und Logarithmusfunktionen

6.4.1. Eigenschaften

Sowie Potenz– und Wurzelfunktionen die gegenseitigen Umkehrfunktionen sind,

verhält es sich auch bei den Exponential– und Logarithmusfunktionen:

Potenzfunktion bzw. Polynomfunktion

Exponentialfunktion

Exponential – Funktionen

Bei Exponentialfunktionen steht

die Variable im Exponenten ( in der Hochzahl )

Logarithmus – Funktionen

Bei Logarithmusfunktionen steht

die Variable im Argument

Bsp.: f(x) = 2 x Bsp.: f(x) = log 2 (x)

Nur zur Ansicht

Folgende Bezeichnungen gelten:

Wurzelfunktion

Logarithmusfunktion

Argument bzw. Logarithmand

log a (x)

Basis

Bemerkung: Manchmal liest man statt log a (x) auch die Schreibweise

a

log (x)

manfred.ambach

239

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III Funktionale Zusammenhänge

Der Zusammenhang zwischen Exponential– und Logarithmusfunktion:

a x = u log a (u) = x

Beispiele: 2 3 = 8 ↔ log 2 (8) = 3

Beispiel: Ermittle x:

log 3 (x) = 2

Vor der Berechnung:

10 2 = 100 ↔ log 10 (100) = 2

↔ 3 2 = x → 9 = x

log x (16) = 4 ↔ x 4 = 16 | √ 4 → x = 2

log 7 (343) = x ↔ 7 x = 343 ... Exponentialgleichung

Rechenregeln für Logarithmen

L1: log a (u . v) = log a (u) + log a (v)

L2: log a ( u

v ) = log a(u) − log a (v)

L3: log a (u n ) = n . log a (u)

Nur zur Ansicht

m

L4: log a ( √ u

) =

Für Logarithmen bestimmter Basen gibt es eigene Abkürzungen:

1

m . log a(u)

Name Schreibweise Casio

m

log a ( √u n

) = n

m ⋅ log a(u)

dekadischer Logarithmus

log 10 (x) = lg (x)

4.Reihe, links

natürlicher Logarithmus

( logarithmus naturalis )

log e (x) = ln (x)

3. Reihe, rechts

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240

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III Funktionale Zusammenhänge

Zurück zur Exponentialgleichung:

7 x = 343 | ln

Bemerkung 1:

ln (7 x ) = ln (343)

. . . L 3

x ⋅ ln(7) = l n(343) | ∶ ln (7)

x = ln(343)

x = 3

ln(7)

Während man z.B. bei x² die Quadratwurzel ziehen muss, um x zu erhalten, braucht bei 7 x nicht der log 7 gewählt

werden.

Bemerkung 2:

ln (7 x ) bedeutet ln von 7 x

ln (343) bedeutet ln von 343

Also nicht die ln am Bruch kürzen!

Beispiel:

Bestimme x: 1,15 x+1 = 36,25

1,15 x+1 = 36,25 | ln

ln(1,15 x+1 ) = ln(36,25)

(x + 1) ⋅ ln(1,15) = ln(36,25) | ∶ ln(1,15)

x + 1 = ln(36,25) | − 1

ln(1,15)

x = ln(36,25)

ln(1,15) − 1

Nur zur Ansicht

x = 24,69

Beispiel:

Bestimme x: 3 . 0,95 2x−1 = 12

3 . 0,95 2x−1 = 12 | ∶ 3

0,95 2x−1 = 4 | ln

ln(0,95 2x−1 ) = ln(4)

(2x − 1). ln(0,95) = l n(4) | ∶ ln(0,95)

2x − 1 =

2x =

x =

ln(4)

ln(0,95)

| + 1

ln(4)

ln(0,95) + 1 |: 2

ln(4)

ln(0,95) + 1

x = −13,01

2

Mit GeoGebra:

Mit GeoGebra:

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III Funktionale Zusammenhänge

Beispielhaft der Graph einer Exponentialfunktion : f (x) = 2 x :

Beispielhaft der Graph einer Logarithmusfunktion : f (x) = log 2 (x)




Nur zur Ansicht




Exponentialfunktionen existieren für

alle x R (für alle reellen Zahlen).

Dh.: Für jede reelle Zahl x gibt es einen y-

Wert.

Die Funktionswerte ( y-Werte ) können nur

positive reelle Zahlen sein.

Jede Exponentialfunktion geht durch den

Punkt (0/1)

weil ja a 0 = 1

Logarithmusfunktionen existieren nur für x

R + (nur für die positiven reellen Zahlen).

Dh.: Nur für positive x gibt es y-Werte.

Die Funktionswerte ( y-Werte ) können alle

reellen Zahlen sein.

Für jede Logarithmusfunktion gilt:

log a (1) = 0 weil a 0 = 1

log a (a) = 1 weil a 1 = a

Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion, indem man den Graphen der Funktion an der 1. Mediane: y = x

spiegelt.

und

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III Funktionale Zusammenhänge

e ist die EULERsche Zahl e 2,7182 . . .

Leonhard EULER

( 1707 – 1783 )

auf einer ehemaligen Schweizer Banknote

Möglicher Lösungsweg:

A(t) = B 0 ⋅ c | ∶ B 0

A(t)

= c | ln

B 0

Leonhard EULER, Schweizer Mathematiker, entwickelte diese Zahl,

indem er in der Zinseszins-Formel die Anzahl der Verzinsungen

(Vermehrungen) pro Jahr gegen unendlich gehen ließ.

Mit der Exponentialfunktion f(x) = e x und ihrer Umkehrung

dem ln (x) lassen sich

natürliche Wachstumsvorgänge, wie z.B. die Anzahl der Bakterien

in Nährlösungen

oder der radioaktive Zerfall, mathematisch beschreiben.

Gegeben ist folgende Gleichung:

A(t) = B 0 ⋅ c

ln A(t)

= TM ⋅ ln (c)

ln B 0

– Begründen Sie, warum folgende Umformung falsch ist.

Nur zur Ansicht

Die Unendlichkeit der Mathematik 23

ln ( A(t) ) = ln (c)

B 0

ln(A(t)) − ln(B 0 ) = TM ⋅ ln (c)

Statt – wurde dividiert!

Wie kann man denn nun zeigen, ob 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . = 4 ist?

2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1

16 + 1

32 + . . . = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1

16 + 1

32 + . . . + 1

2 n−1

Fortsetzung S 288

manfred.ambach

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III Funktionale Zusammenhänge

6.4.2. Zinseszinsen

Zinseszinsen bedeutet, dass die Zinsen des Vorjahrs im nächsten

Kalenderjahr mitverzinst werden.

Die Formel ohne Herleitung:

K n = K 0 ⋅ (1 + i) n

n … Anzahl der Kalenderjahre, die das Kapital angelegt bzw. geliehen ist

K 0 … Anfangskapital

K n … Kapital nach n Kalenderjahren samt Zinseszinsen

i =

p

mit p … Zinssatz p.a. (per anno, also pro Jahr)

100

Man kann die Zinseszinsformel auch so darstellen:

Dann ist t die Anzahl der Kalenderjahre.

Beispiel der Zentralmatura am 16.1.2018

K n = K 0 ⋅ (1 + i) n

N(t) = N 0 ⋅

Auf ein Konto werden € 3 000 angelegt.

Für eine Zeitspanne von 3 Jahren wird dieser Betrag mit 5 % pro Jahr verzinst, anschließend für zwei Jahre mit

1 % pro Jahr.

– Ermitteln Sie den Kontostand nach 5 Jahren.

Möglicher Lösungsweg:

Nur zur Ansicht

K 0 = 3 000 € n = 3 a i = 5

= 0,05

100

K 3 = 3 000 ⋅ (1 + 0,05) 3 = 3 472,875

K 0 = 3 472,875 € n = 2 a i = 1

= 0,01

100

Für die restlichen 2 Jahre K 0 die 3 472,875 Euro:

a t

Jede Veränderung

bedeutet

eine neue Rechnung!

K 2 = 3 472,875 ⋅ (1 + 0,01) 2 = 3 542,68

Das Kapital ist in diesem Zeitraum auf 3 542,68 Euro angewachsen.

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III Funktionale Zusammenhänge

Beispiel:

Ein Kapital von 1 800 Euro wird 3 Kalenderjahre angelegt und wächst in diesem Zeitraum auf 1 854,54 Euro an.

– Berechnen Sie den Jahreszinssatz p.

K 0 = 1 800 € n = 3 a K 3 = 1 854,54 €

K n = K 0 ⋅ (1 + i) n

1 854,54 = 1 800 ⋅ (1 + i) 3 | ∶ 1 800

Beispiel:

1 854,54

1 800

3

√ 1 854,54

1 800

1,01 − 1 = i

0,01 = p

1% = p

= (1 + i) 3 | √ 3

0,01 = i

100

= 1 + i | − 1

| . 100 → 1 = p

Das Kapital wurde mit einem Jahreszinssatz von 1% angelegt.

Ein Kapital von 1 500 Euro wird zu einem Zinssatz von 1,1 % p.a. angelegt und wächst in diesem Zeitraum auf

1 637,20 Euro an.

– Ermitteln Sie, wie viel Kalenderjahre das Kapital angelegt war.

K 0 = 1 500 € p = 1,1% → i = 0,011 K n = 1637,20 €

K n = K 0 ⋅ (1 + i) n

Nur zur Ansicht

1637,20 = 1 500 ⋅ (1 + 0,011) n | ∶ 1 500

1,0915 = (1,011) n | ln

ln(1,0915) = ln (1,011) n

ln(1,0915) = n ⋅ ln (1,011) | ∶ ln (1,011)

Mit GeoGebra:

oder :

Setzt man statt i =

gleich den Zinssatz p:

Mit GeoGebra:

p

100

, so erhält man

ln(1,0915)

ln(1,011)

= n

n = 8,00

Das Kapital war 8 Kalenderjahre angelegt.

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III Funktionale Zusammenhänge

6.4.3. Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse

Wir behandeln exponentielle(s) Wachstum (Zunahme) oder exponentielle(n) Zerfall (Abnahme),

also Prozesse,

bei denen die Funktionswerte in gleichen Zeitabständen um den gleichen Prozentsatz zunehmen

(Wachstum),

bzw. die Funktionswerte in gleichen Zeitabständen um den gleichen Prozentsatz abnehmen (Zerfall).

Man kann es auch so ausdrücken:

Kennzeichnend für exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall ist, dass

der Quotient (*) der Funktionswerte in gleichen Intervallen immer gleich groß ist,

bzw. die prozentuelle Zunahme bzw. Abnahme in gleichen Intervallen gleich groß ist.

(*)

... Quotient: Ergebnis einer Division

Beispiel:

f (x) = e 0,05⋅x

f (10)

f (0) = 1,65 = 1,65 → + 65 %

1

f (20)

f (10) = 2,72 = 1,65 → + 65 %

1,65

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Exponentielles Wachstum

N(t) = N 0 . e λ⋅t

Exponentieller Zerfall

N(t) = N 0 . e −λ⋅t

N(t) = N 0 . a t

N(t) = N 0 . a t

mit a = e λ > 1 bzw. 0 < a = e λ < 1

e … die EULERsche Zahl Mit Casio: SHIFT → ln

Ist das Wachstums- bzw. Zerfallsgesetz gesucht, so ist die Konstante λ bzw. a gesucht.

Beispiel für ein gegebenes Wachstumsgesetz: N (t) = N0 . e 0,1234 . t bzw. N (t) = N0 . 1,1313 t

Beispiel für ein gegebenes Zerfallsgesetz: N (t) = N0 . e – 0,1234 . t bzw. N (t) = N0 . 0,8839 t

Benötigt man N(t) in Prozent, so setzt man, gleich ob die Menge gegeben oder nicht, N0 = 100 % .

Benötigt man N(t) in Promill, so setzt man, gleich ob die Menge gegeben oder nicht, N0 = 1 000 ‰ .

Für das Wachstumsgesetz gilt:

bzw.

bzw.

Für das Zerfallsgesetz gilt:

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τ ... tau, das griechische t

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III Funktionale Zusammenhänge

Warum müssen wir zwei verschiedene

Arten des Wachstums- und

Zerfallsgesetzes lernen?

Weil beide Arten recht praktisch sein können.

Beträgt z.B. die Wachstumsrate 5 %, so ist a = 1,05.

Beträgt z.B. die Abnahmerate 5 %, so ist a = 0,95.

Beispiel:

Prinzipieller Aufbau eines HIV-Virus

Quelle: http://www.aids-

hilfe.at/Wissenswertes/Fakten-HIV-AIDS/Das-HI-

Virus-und-seine-Vermehrung

Probiere durch Rechnung!

HIV-Viren vermehren sich pro Tag um 3,5 %.

– Begründe, warum es sich dabei um ein exponentielles Wachstum handelt.

Da sich die Viren in gleichen Zeitabschnitten (pro Tag) um den gleichen

Prozentsatz (um 3,5 %) vermehren, handelt es sich um ein exponentielles

Wachstum.

– Stelle das entsprechende Wachstumsgesetz der Form N(t) = N 0 ⋅ e λ⋅t auf:

Wir schreiben in das Algebra-Fenster den Befehl

TrendExp[ ]

Nun geben wir zwei Punkte ein:

Wir wählen für N0 = 100% als die ursprüngliche Menge. Das heißt, bei t = 0 ist die vorhandene Menge 100 (%).

Also ist ein Punkt ( 0 / 100 ).

Da sich die Viren pro Tag um 3,5 % vermehren, sind nach einem Tag ( t = 1 ) 100 % + 3,5 % = 103,5 % vorhanden.

Also lautet ein zweiter Punkt ( 1 / 103,5 ).

ENTER betätigt und die entsprechende Funktion erscheint.

Mit x = t und f(x) = N(t) lautet das gesuchte Wachstumsgesetz N(t) = N 0 ⋅ e 0,0344⋅t

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Bemerkung: Es reicht, nur den Wert für die Konstante λ einzusetzen.

Es sei denn, man möchte eine konkrete Menge berechnen. Dann benötigt man auch die

Anfangsmenge.

– Stelle das entsprechende Wachstumsgesetz der Form N(t) = N 0 ⋅ a t auf:

Wir schreiben in das Algebra-Fenster den Befehl

TrendExp2[ ]

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III Funktionale Zusammenhänge

Nun geben wir zwei Punkte ein

und verwenden die gleichen Überlegungen wie vorhin:

Wir wählen für N0 = 100% als die ursprüngliche Menge. Das heißt, bei t = 0 ist die vorhandene Menge 100 (%).

Also ist ein Punkt ( 0 / 100 ).

Da sich die Viren pro Tag um 3,5 % vermehren, sind nach einem Tag ( t = 1 ) 100 % + 3,5 % = 103,5 % vorhanden.

Also lautet ein zweiter Punkt ( 1 / 103,5 ).

ENTER betätigt und die entsprechende Funktion erscheint.

Mit x = t und f(x) = N(t) lautet das gesuchte Wachstumsgesetz N(t) = N 0 ⋅ 1, 035 t

Zu Beginn werden 216 500 Viren nachgewiesen.

– Bestimme die Dauer, bis die Anzahl der Viren auf eine Milliarde angewachsen ist.

Wir verwenden das Gesetz in der Form N(t) = N 0 ⋅ 1, 035 t

N 0 = 216 500

N (t) = 1 000 000 000

t = ?

215, 14 Tage

Erhalten wir das gleiche Ergebnis, wenn wir mit

N(t) = N 0 ⋅ e λ⋅t rechnen?

Wir geben die Gleichung mit den konkreten Werten ein

und klicken auf .

Probiere es aus, lieber Fredo!

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III Funktionale Zusammenhänge

Todsicher

Stirbt ein Mensch, so nimmt seine Körpertemperatur nach folgendem Gesetz ab:

T(t) = 16 ⋅ e −0,0575⋅t + 22

t … Zeit in Stunden (h), die seit dem Todeseintritt vergangen ist

T(t) … Körpertemperatur in Grad Celsius (°C), t Stunden nach Todeseintritt

Ein Mordopfer wird um 23: 00 gefunden. Seine Körpertemperatur beträgt 29 °C.

Ein Tatverdächtiger hat für die Zeit von 12: 00 bis 15: 00 desselben Tages ein Alibi.

– Begründen Sie mittels Rechnung, ob der Tatverdächtige als Mörder in Frage kommen kann

Von 15:00 bis 23:00 sind 8 Stunden vergangen:

T(8) = 32,10 °C

Von 12:00 bis 23:00 sind 11 Stunden vergangen:

T(11) = 30,50 °C

Wäre das Mordopfer zwischen 12:00 und 15:00 umgebracht worden, müsste es um 23:00 eine Temperatur

zwischen 30,5 °C und 32,1 °C haben.

Schlecht für den Tatverdächtigen:

Da die Temperatur des Mordopfers um 23:00 nur noch 29 °C betrug, muss es vor 12:00 umgebracht worden sein.

– Argumentieren Sie, ob das Zerfallsgesetz T(t) = 16 ⋅ e −0,0575⋅t + 22 richtig umgeformt wurde:

ln ( T(t) − 16) = −0,0575 ⋅ t

22

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Möglicher Lösungsweg: Händisches Umformen

T(t) = 16 ⋅ e −0,0575⋅t + 22 | − 22

T(t) − 22 = 16 ⋅ e −0,0575⋅t | ∶ 16

T(t) − 22

16

= e −0,0575⋅t | ln

T(t) − 22

ln ( ) = ln(e −0,0575⋅t )

16

ln (

ln (

T(t) − 22

) = −0,0575 ⋅ t ⋅ ln (e)

16

=1

T(t) − 22

) = −0,0575 ⋅ t

16

Die Umformung ist falsch, weil statt 22 zu subtrahieren durch 22 dividiert und statt durch 16 zu dividieren,

16 subtrahiert wurde.

manfred.ambach

250

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III Funktionale Zusammenhänge

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Lieber Fredo,

hier muss man einmal selbst Hand anlegen!

GeoGebra liefert hier nach Eingabe der Funktion

keine Lösung, da in der einen Gleichung zwei

Variabel, t und T(t), vorkommen!

Wird eine Limo aus dem Kühlschrank genommen, so erhöht sich ihre Temperatur nach folgendem Gesetz:

T(t) = T 2 − (T 2 − T 1 ) ⋅ 0,92 t mit T 2 > T 1

t … Zeit in Minuten

T(t) … Temperatur der Limo in °C , t Minuten, nachdem sie aus dem Kühlschrank genommen wurde.

– Bestimmen Sie die Temperatur der Limo, eine viertel Stunde nachdem sie aus dem Kühlschrank genommen

wurde, wenn T 1 = 6 °C und T 2 = 22 °C betragen.

T(15) = 22 − (22 − 6) ⋅ 0,92 15 = 17, 42 °C

Tom hat Halsentzündung und darf die Limo erst trinken, wenn sie 20°C hat.

– Ermitteln Sie die Zeit, wie lange Tom warten muss, wenn T 1 = 8 °C und T 2 = 24 °C betragen.

T(t) = T 2 − (T 2 − T 1 ) ⋅ 0,92 t

20 = 24 − 16 ⋅ 0,92 t

Nur zur Ansicht

Tom muss 16,63 Minuten warten.

Geht das nicht einfacher mit

GeoGebra ??

https://www.youtube.com/watch?v=gBUF5oKgn10&t=33s

manfred.ambach

251

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IV Analysis

Ein jeder hört nur das, was er versteht.

Johann Wolfgang von GOETHE

( 1749 – 1832 )

IV

ANALYSIS

Alleine das Wort

Analysis klingt schon

sehr "ermutigend"!

7. DIFFERENZIEREN

Das Wort Analysis stammt aus dem Griechischen und bedeutet so viel

wie auflösen (analysieren).

Was wollen wir in diesem Abschnitt auflösen, also durch die Zerlegung

in kleine Schritte entschlüsseln und erhellen:

Den genauen Verlauf von Kurven mittels Berechnung besonderer

Punkte, Steigungen und Krümmungen,

sowie die Berechnung gekrümmt begrenzter Flächen.

Nur zur Ansicht

Idee: Univ. Prof. Dr. Stefan SILLER

manfred.ambach 252 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

Besprechen wir zunächst das Rechentechnische, bevor wir uns der Veranschaulichung und den Anwendungen

widmen.

7.1. Ableitungsregel

Differenzieren nennt man auch Ableiten.

Wir verzichten wie immer auf theoretische Herleitungen.

Es gibt mehrere Ableitungsregeln, doch wir beschränken uns händisch auf eine.

Außerdem kann man mit GeoGebra auch differenzieren.

7.1.1. Potenzregel

Diese Regel gibt an, wie Potenzen der Form x n mit n ∈ R (reelle Zahl) differenziert werden.

Die Regel lautet:

Man sagt zu f ′ (x) f Strich von x oder erste Ableitung von f

Beispiel:

f(x) = x 3 → f ′ (x) = 3 . x 3−1 = 3 . x 2

Nur zur Ansicht

Die Potenzregel darf NUR dann verwendet werden,

wenn in der Basis der Potenz nur die Variable steht

und sich die Potenz nicht im Nenner befindet!

So wäre die Anwendung der Potenzregel bei Funktionen folgender Form falsch:

Beispiel: f(x) = ( 4 x – 5 ) f ‘ (x) = 3 . ( 4 x – 5 ) 2

Da in der Basis dieser Potenz nicht nur die

Variable x steht,

darf nicht mit der Potenzregel differenziert

werden!

manfred.ambach 253 pro-test.at


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IV Analysis

Beispiel: f(x) =

1

x 3 f ′(x) = 1

3 ⋅ x 2

Da die Potenz im Nenner steht, darf nicht mit der Potenzregel differenziert werden!

Betrachten wir weitere Beispiele, die mit der Potenzregel differenziert werden können:

f (x) = x 5 f ‘ (x) = 5 . x 4

f (x) = x – 3 f ‘ (x) = – 3 . x – 4

f (x) = x = x 1 f ‘ (x) = 1 . x 0 = 1 . 1 = 1

x 0 = 1

Beispiel:

f (x) = 4 x 3 = 4 . x 3 f ‘ (x) = 4 . 3 . x 2 = 12 x 2

Beachte, dass hier die Basis der Potenz in f (x) = 4 x 3 = 4 . x 3 nur aus der Variablen x besteht.

Die Vorrangregeln klären eindeutig, dass Hochrechnung vor Punktrechnung kommt!

Da eine höhere Rechenstufe NIE über eine niedrigere hinausgeht, lautet die Potenz nur x 3

mit der Basis x . Die Zahl 4 ist ein konstanter Faktor, nachrangig mit mal mit x 3 verbunden.

Stünde in der Basis der Potenz 4x, was bei ( 4x ) 3 der Fall wäre, dürfte die Potenzregel

nicht zur Anwendung kommen!

Konstante Faktoren ( . : ) werden unverändert in die Ableitung übernommen.

Nur zur Ansicht

f ( x ) = k . x n f ’ ( x ) = k . n . x n – 1

Dieser Buchstabe ist die Variable. Alle anderen Buchstaben gelten als Konstanten.

Weitere Beispiele:

2

x 1 2

f (x) = .x

f ’ (x) =

2 2

1

2

.2.x

1.x

x

manfred.ambach 254 pro-test.at


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IV Analysis

6

4 x 4 6

4 5

f (x) = .x

f ’ (x) = . 6.x = 8 x 5

3 3

3

Beispiel:

1

f(x) = = x – 3 f ’ (x) = – 3 . x – 4 1

= – 3 . =

3

x

4

x

Bemerkung: P4 ist Potenzregel Nr. 4.

Beispiel:

f (x)

P 4 P 4

Potenzen im Nenner müssen vor dem Differenzieren nach der Regel P4:

aus dem Nenner gebracht werden !

P 4 P 4

5 5 1 5

f (x) = – = – . = – x – 2 f ’ (x) =

2

4 x 4 2

x 4

5

4 x 2

4

x

6

≠ 5 . 4 x −2

denn

5

4 ≠ 5 . 4

Beispiel: f(x) = 2 = 2 . 1 = 2 . x 0 f ’ (x) = 2 . 0 . x –1 = 0

Nur zur Ansicht

1 = x 0

Da man sich jede Konstante mit 1 bzw. x 0 multipliziert vorstellen kann, wird in der Ableitung stets der Faktor

Null vorkommen und damit das Ergebnis immer Null sein.

x

3

4

1

x

n

x

n

= 4 . x – 6 f ’ (x) = 4 . (–6). x – 7 = – 24 . x – 7 1 24

= 24. =

7

7

x x

5

.( 2).x

4

3


5 1

.

2 3

x


5

2x

Ist ein Faktor Null, so ist das

Ergebnis Null.

3

f ( x ) = k → f ’ ( x ) = 0

Eine Konstante für sich ergibt abgeleitet null.

manfred.ambach 255 pro-test.at


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IV Analysis

Beispiele:

3

f (x) =

f ’ (x) = 0

2

f (x) =

f ’ (x) = 0

f (x) = a 3 f ’ (x) = 0

f (a) = a 3 f ’ (a) = 3 a 2

Beispiel: Gegeben ist die Funktion y = a⋅b2 ⋅x

c

– Ermittle f ′ (a), f ′ (b), f ′ (x), f ′ (c)

f(a) = a⋅b2 ⋅x

c

f(b) = a⋅b2 ⋅x

c

f(x) = a⋅b2 ⋅x

c

f(c) = a⋅b2 ⋅x

c

→ f ′ (a) = 1⋅a0 ⋅ b 2 ⋅x

→ f ′ (b) = a⋅2⋅b1 ⋅x

→ f ′ (x) = a⋅ b2 ⋅1⋅x 0

c

c

c

= 1⋅b2 ⋅x

c

= 2⋅a⋅b⋅x

c

= a⋅b2 ⋅1

c

= a ⋅ b 2 ⋅ x ⋅ c −1 → f ′ (c) = a ⋅ b 2 ⋅ x ⋅ (−1) ⋅ c −2 = − a⋅b2 ⋅x

Beispiel: f (x) = 6 x 2 – 4 x + 3 f ’ (x) = 6 . 2 x 1 – 4 . 1 . x 0 + 0 = 12 x – 4

Nur zur Ansicht

Man darf gliedweise ( + – ) getrennt differenzieren.

Beispiele:

f (x)

2

3

x

3


1

4

x

2

1

2 2 1

f '(x) .3. x .2.x – 0 2 x

3 4

2


1

2

x

c 2

f (x) = a x 3 + b x 2 + c x 1 + d

f ’ (x) = a . 3 . x 2 + b . 2 . x + c . 1 . x 0 + 0 = 3 a x 2 + 2 b x + c

manfred.ambach 256 pro-test.at


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IV Analysis

7.1.2. Differenzieren mit

Nehmen wir als Beispiel f(x) = 2

⋅ 3 x3 − 1

⋅ 4 x2 − 2 ⋅ x − 1

CAS - Fenster:

Man gibt die Funktion im CAS-Fenster ein und betätigt ENTER.

Damit erscheint die Funktionsgleichung im Algebra- und CAS-Fenster, sowie der Graph im Grafik-Fenster (siehe

oben).

Will man die erste Ableitung, so schreibt man in die nächste Zeile des

CAS-fensters f‘(x) :

statt = ist : = zu schreiben

Will man auch den Graphen der Ableitungsfunktion f‘, so klickt man den Kreis mit der linken Maustaste an,

sodass er blau gefüllt ist.

Nur zur Ansicht

Bemerkung1: f‘ als Ableitung erscheint als anderer Ausdruck als f‘ als Funktion.

Das hat programmtechnische Gründe und ist unerheblich, weilbeide Ausdrücke richtig sind.

Bemerkung 2: Wird f‘ als Funktion dargestellt, so nennt sie GeoGebra um. Bei diesem Beispiel wird aus f‘(x) g(x).

manfred.ambach 257 pro-test.at


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IV Analysis

Auf die gleiche Weise kann man die zweite Ableitung f‘‘(x) ermitteln:

Beispiel: f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d

Beispiel:

statt = ist : = zu schreiben

Nicht a x sondern a*x usw. schreiben

a x liest GeoGebra als die eine Variable ax

ENTER betätigt und unterhalb der Eingabe erscheint die

Funktionsgleichung nochmals.

Nur zur Ansicht

In die folgende Zeile schreiben wir f‘(x)

ENTER betätigt und unterhalb f‘(x) erscheint

die erste Ableitung.

manfred.ambach 258 pro-test.at


#

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IV Analysis

Auf die gleiche Weise erhalten wir die zweite Ableitung f‘‘(x):

Bemerkung: Hier kann kein Graph angezeigt werden, weil die Koeffizienten (Vorzahlen) a, b und c nicht bekannt

sind.

Auch mit anderen Variablen außer x und y = f(x) kann man die Ableitungen bestimmen:

Beispiel von S 256

f(a) =

a ⋅ b2 ⋅ x

c

4

Zur Erinnerung: √4 ⋅ x 3 ∶

Beispiel:

Wurzelinhalt Grad der Wurzel

Nur zur Ansicht

f(t) = 2 ⋅ √t 2 + t

3

Bemerkung 1: Wenn der Buchstabe in der Klammer blau erscheint, hier a,

dann ist festgelegt, dass dieser Buchstabe die Variable bedeutet.

Bemerkung 2: Die Darstellungsweise in GeoGebra ist etwas anders

als die handschriftliche, denn GeoGebra schreibt die Vorzahlen immer

vor die Potenz mit der Variablen.

b 2 ⋅ x

c = b2

1 ⋅ x

c = b2 ⋅ x

1 ⋅ c = b2 ⋅ x

c

Die erste Ableitung sieht etwas kompliziert aus!

Das Tolle an GeoGebra ist, dass wir damit auch nach Regeln ableiten können,

von deren Existenz wir gar nichts wissen!

manfred.ambach 259 pro-test.at


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IV Analysis

7.2. Veranschaulichung des Differenzierens

7.2.1. Steigung der Tangente

Lassen wir alle Formalitäten beiseite.

Die zwei wichtigsten Zusammenhänge in der Differentialrechnung sind erstens:

Die erste Ableitung f′(x 1 ) ist die Steigung k t der Tangente t ,

die man an der Stelle x 1 an den Graphen von f legen kann.

Nur zur Ansicht

kurz: f ′ (x 1 ) = k t

Wenn wir die erste Ableitung einer Funktion bilden,

dann ermitteln wir die Steigung der Tangente an der Stelle x 1 .

Steigung einer Geraden: Siehe auch

manfred.ambach 260 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

Man nennt die erste Ableitung auch Steigung der Tangente

oder Differentialquotient oder (lokale) momentane Änderungsrate.

Denken wir an einen Schlüssel, den wir drehen.

Zunächst fliegt der Schlüssel entlang einer

kurvigen Bahn. Ab dem Moment des Loslassens fliegt

der Schlüssel (zunächst) geradlinig in Richtung

der Tangente, weil die Kurve im Punkt des

Loslassens die Richtung der Tangente besitzt.

… und zweitens:

Denken wir an ein Schleifrad, an dem ein Werkstück

bearbeitet wird. Die glühenden Metallspäne fliegen

geradlinig weg, weil sie sich in jene Richtung

bewegen, die die Kurve in diesem Punkt besitzt und das

ist die Richtung der Tangente.

Nur zur Ansicht

In jedem Berührpunkt haben Kurve und Tangente

die gleiche Steigung (Richtung)

f ′ (x 1 ) = k t

manfred.ambach 261 pro-test.at


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IV Analysis

Beispiel: Bestimme die Gleichung der Tangente t, die man an der Stelle x = 1 an den Graphen der Funktion

f(x) = 1

2 ⋅ x2 + x legen kann.

Händische Berechnung


Tangente = Gerade, die berührt

y = k ⋅ x + d

Wir müssen k und d bestimmen.

y = f(x) = 1 ⋅ 2 x2 + x

Steigung = f ′ (x) = x + 1

k t = f ′ (1) = 1 + 1 = 2

Der Berührpunkt liegt auch auf der Tangente, also können wir ihn für x und y in die Tangentengleichung

einsetzen. Den y-Wert müssen wir jedoch noch berechnen:

y = f(x) = 1

⋅ 2 x2 + x → y = f(1) = 1

Mit GeoGebra:

y = k ⋅ x + d

2 ⋅ 12 + 1 = 1, 5 → (1/1, 5)

(1/1, 5) → 1, 5 = 2 ⋅ 1 + d → −0, 5 = d → t: y = 2 ⋅ x − 0, 5

k t = f′(2)

Wir geben im Algebra-Fenster (in die Eingabezeile) die Gleichung der Funktion

ein.

In die Zeile darunter schreiben wir den Befehl

Nur zur Ansicht

Tangente[ , ]

Da die Tangente bei x = 1 gelegt werden soll und der Name der Funktion

f lautet, schreiben wir

Tangente [1, f]

ENTER betätigt und die Gleichung der Tangente steht da.

Bemerkung: GeoGebra hat in diesem Fall der Tangente den Namen g gegeben.

manfred.ambach 262 pro-test.at


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IV Analysis

Sollte man nicht wissen, welche der Zahlen die Steigung ist:

Wir schreiben den Befehl Steigung[ ]

Da in diesem Fall die Tangente g heißt,

schreiben wir Steigung[ g ]

und betätigen ENTER.

Damit gibt GeoGebra sowohl den

Zahlenwert der Steigung (a = k = 2) an,

als auch im Grafik-Fenster ein gezeichnetes

Steigungsdreieck.

Nur zur Ansicht

https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38&t=3s

https://www.youtube.com/watch?v=Y7JjSVIHPY8&t=2s

manfred.ambach 263 pro-test.at


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IV Analysis

7.2.2. Änderungsraten

7.2.2.1. Absolute Änderung(srate)

7.2.2.2. Relative Änderung(srate)

Die absolute Änderung(srate):

f(x 2 ) − f(x 1 ) = y 2 − y 1

Beispiel: Jemand verdiente im Jahr 2012 monatlich 2 354 €

brutto, im Jahr 2018 waren es 2 476 €.

Die absolute Änderung = 2 476 – 2354 = 122 €

Beispiel: f(x) = x²

Die absolute Änderung im Intervall [2 ; 4 ]:

f(4) − f(2) = 4 2 − 2 2 = 16 − 4 = 12

Die relative Änderung(srate):

f(x 2 ) − f(x 1 )

= y 2 − y 1

f(x 1 )

Beispiel: Jemand verdiente im Jahr 2012 monatlich 2 354 €

brutto, im Jahr 2018 waren es 2 476 €.

Nur zur Ansicht

Dier relative Änderung =

Beispiel: f(x) = x²

y 1

2 476−2 354

= 0,0518 = 5,18 %

2 354

Die relative Änderung im Intervall [2 ; 4 ]:

f(4) − f(2)

f(2)

=

4² − 22

=


16 − 4

4

= 3 = 300 %

manfred.ambach 264 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

7.2.2.3. Mittlere Änderung(srate) (mittlere Steigung)

Denken wir uns einen Berghang.

Wollen wir diesen Hang von A bis B

erklimmen, so gilt es steilere und

weniger steile Stücke zurückzulegen.

Die durchschnittliche (mittlere)

Steigung nennt man mittlere

Änderungsrate (m.Ä.) und meint die

Steigung der Geraden, die durch den

Anfangs- und Endpunkt der Strecke

führt.

Die mittlere Änderungsrate nennt man

auch durchschnittliche Steigung oder

Differenzenquotient.

Bemerkung: Differenz: das Ergebnis einer Subtraktion Quotient: das Ergebnis einer Division (siehe untere Erklärung)

Die Steigung der Geraden durch die

Punkte A und B ist die

mittlere Änderungsrate (m.Ä.)

und berechnet sich wie folgt:

m. Ä. [x 1 ; x 2 ] =

Δ … Delta = griechisches D, es steht hier für Differenz

m. Ä. [x 1 ; x 2 ] = f(x 2) − f(x 1 )

x 2 − x 1

Nur zur Ansicht

bzw.

y 2 − y 1

x 2 − x 1

Δ y

=

Δ x

Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung einer Geraden durch 2 Punkte (Sekante).

Bemerkung: Anfangs- und Endpunkt der Strecke müssen nicht A und B heißen.

manfred.ambach 265 pro-test.at


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IV Analysis

Beispiel: Das Ländle ist begehrt!

Bregenz hatte im Jahr 1880 6 691 Einwohner, im Jahr 2018 waren es 29 806 Einwohner.

Bestimmen wir zunächst die absolute Änderung(srate): 29 806 – 6 691 = 23 115

Bregenz wuchs von 1880 bis 2018 um 23 115 Einwohner.

Nun zur relativen Änderung(srate):

29 806−6 691

6 691

Bregenz wuchs von 1880 bis 2018 um 345,46 %

Jetzt noch die mittlere Änderungsrate:

= 3,4546 = 345,46 %

29 806−6 691

2018−1880 = 167,5

Bregenz wuchs zwischen 1880 und 2018 jährlich (pro Jahr) um durchschnittlich 167,5 Einwohner.

Oder: Bregenz wuchs zwischen 1880 und 2018 im Mittel pro Jahr um 167,5 Einwohner.

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Der Energieverbrauch beim Joggen kann näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben werden:

E(t) = −0,05 ⋅ t 2 + 3 ⋅ t + 50 für 0 < t < 45

t … Zeit in Minuten (min)

E(t) … Energieverbrauch in Kilojoule pro Minute (kJ/min) zum Zeitpunkt t

Nur zur Ansicht

– Geben Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall [20 ; 40] mit der entsprechenden Einheit an.

Möglicher Lösungsweg:

manfred.ambach 266 pro-test.at


(

Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

Die entsprechende Einheit: E(t) in kJ/min und t in min


kJ/ min

min

m. Ä. [20 ; 40] = 0

kJ/ min

min

Das bedeutet, dass im Zeitintervall [20 min ; 40 min] durchschnittlich in einer Minute um null kJ/min

mehr bzw. weniger Energie verbraucht wird.

Veranschaulichen wir uns das mit Hilfe einer Skizze:

Ein Vergleich:

Da die Funktionswerte an den

Stellen x = 20 und

x = 40 gleich groß sind,

f(20) = 90 und f(40) = 90 ,

ist die Differenz

f(40) − f(20) = 0

Das bedeutet nicht, dass im

Intervall [20 min ; 40 min]

keine Energie verbraucht wird!

Ansonsten müsste der Graph

von E in diesem Bereich

waagrecht verlaufen.

Du beginnst eine Wanderung auf 900 m Seehöhe. Der Weg führt dich über einen Gipfel von 2 500 m Höhe.

Das Ziel liegt wiederum auf 900 m Seehöhe.

Die Verbindungslinie zwischen Start und Ziel ist waagrecht, hat also die Steigung null.

Nur zur Ansicht

https://www.youtube.com/watch?v=DwwOeMyHW38

manfred.ambach 267 pro-test.at


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IV Analysis

7.2.2.4. Lokale (momentane) Änderung(srate) (momentane Steigung)

Bemerkung: Differentiale sind kleinste Differenzen

Die lokale (momentane) Änderungsrate ist

die Steigung (Richtung) der Tangente

in einem Punkt der Kurve.

Die momentane Änderungsrate nennt man auch

Differentialquotient.

Die momentane Änderungsrate ist die Steigung einer Tangente

Beispiel: Bestimme die momentane Änderungsrate der Funktion f(x) = 1

2 ⋅ x2 + 1 an der Stelle x = 2 .

Nur zur Ansicht

y = f(x) = 1

⋅ 2 x2 + 1

Wir bilden die erste Ableitung f ′ (x) = x

Da wir die Steigung der Tangente an der Stelle x = 2 wollen, setzen wir in die Steigung für

x = 2 ∶

k t = f ′ (2) = 2

Die momentane Änderungsrate (die momentane Steigung) an der Stelle x = 2 beträgt 2.

manfred.ambach 268 pro-test.at


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IV Analysis

Mit GeoGebra:

Die lokale (momentane) Änderungsrate an der

Stelle x = 2 beträgt f‘(2) = 2

Nur zur Ansicht

manfred.ambach 269 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Der untere Wert des Blutdrucks während eines Laufes kann für die ersten sechs Minuten annähernd durch

folgende Funktion beschrieben werden:

B(t) = −1,25 ⋅ t 3 + 7,5 ⋅ t 2 + 10 ⋅ t + 60

t … Zeit, die seit dem Start vergangen ist, in Minuten (min)

B(t) … Blutdruck in Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) zum Zeitpunkt t

– Beschreiben Sie, was mit den folgenden Rechnungen im Sachzusammenhang ermittelt wird.

B(4)−B(0)

4

und

B(4)−B(0)

B(0)

– Berechnen Sie die momentane Steigung (Steigerung) des Blutdrucks für t = 2 min.

– Interpretieren Sie die momentane Steigung im konkreten Sachzusammenhang.

Möglicher Lösungsweg:

B(4)−B(0)

4

= B(4)−B(0)

4−0

ist die mittlere Änderungsrate im Intervall [ 0 min ; 4 min ].

Im Sachzusammenhang: Die (mittlere) durchschnittliche Veränderung des Blutdrucks in den

ersten vier Minuten nach dem Start.

B(4)−B(0)

B(0)

ist die relative Änderungsrate im Intervall [ 0 min ; 4 min ]

Im Sachzusammenhang: Die prozentuelle Veränderung des Blutdrucks in den

ersten vier Minuten nach dem Start.

Nur zur Ansicht

Die momentane Steigung ist die momentane Änderungsrate, also die Steigung der Tangente,

somit die erste Ableitung der Funktion:

B ′ (t) = −3,75 ⋅ t 2 + 15 ⋅ t + 10

Wir wollen die momentane Steigung zum Zeitpunkt t = 2, also setzen wir in die erste Ableitung für

t = 2 ∶ B ′ (2) = −3,75 ⋅ 2 2 + 15 ⋅ 2 + 10 = 25

mmHg

min

manfred.ambach 270 pro-test.at


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IV Analysis

Mit GeoGebra:

Interpretation:

Die Steigung jeder Geraden ist

k = G

Nur zur Ansicht

A

bzw. k = k

1

Da die Einheit der Gegenkathete bzw.

y-Achse mmHg lautet und jene der

Ankathete bzw. x-Achse min, lautet die

momentane Steigung 2 Minuten nach

dem Start

25 mmHg

1 min

also 25 mmHg pro 1 min

Somit lautet die Interpretation im

konkreten Sachzusammenhang:

Der Blutdruck nimmt pro Minute

um 25 mmHg zu.

– Erklären Sie, wie am unten abgebildeten Diagramm die momentane Steigung der Funktion abgelesen

werden kann.

manfred.ambach 271 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

erklären, erläutern . . .

mit Hilfe mathematischer Fachsprache einen Rechengang angeben

Möglicher Lösungsweg:

Anderes wäre gefragt bei

Dokumentieren (beschreiben) . . .

einen Rechengang (Lösungsweg) in Worten angeben

ODER:

B′(t 1 )

Bemerkung: t 1 bedeutet nicht eine 1. Lösung,

sondern einen bestimmten,

also bekannten t-Wert

– Dokumentieren Sie, wie im oben abgebildeten Diagramm die momentane Änderungsrate an einer

Stelle t 1 ermitteln können.

An der Stelle t 1 an den Graphen Tangente legen.

Die momentane Änderungsrate ist Steigung dieser Tangente.

Nur zur Ansicht

https://www.youtube.com/watch?v=DwwOeMyHW38

manfred.ambach 272 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

7.3. Weitere Anwendungen der Differentialrechnung

7.3.1. Extrema 1

Greifen wir das Bild von der Bergwanderung auf:

Denke dir den Funktionsgraphen als

Berg- und Tallandschaft, die du in

Schreibrichtung durchwanderst.

Zunächst steigt es an. Kommen wir am

höchsten Punkt H an, so geht es weder

bergauf noch bergab.

Im Hochpunkt H

liegt die Tangente waagrecht,

hat also die Steigung ist Null.

Gehen wir vom Hochpunkt aus weiter,

so geht's bergab.

Gelangen wir zum tiefsten Punkt T, so

geht es weder bergab noch bergauf.

Im Tiefpunkt T

liegt die Tangente waagrecht,

hat also die Steigung ist Null.

.

Hochpunkt H und Tiefpunkt T nennt man die (relativen) Extrema.

Relativ höchster bzw. relativ tiefster Punkt deshalb, weil ja die unendlich lange Linie des Funktions-Graphen ins negativ bzw.

positiv Unendliche geht und somit absolut gesehen höhere und tiefere Punkte der Kurve existieren.

Nur zur Ansicht

Extrema sind Punkte der Kurve,

mit der Steigung Null .

also setzen wir

f ′ = 0

1 extrema ist die Mehrzahl von extremum (lateinisch): das Äußerste

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Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

Außerdem gilt:

Der Hochpunkt liegt im Bereich

rechter Krümmung.

Rechte Krümmung ist negativ,

weil hier die Steigung abnimmt.

Bemerkung: Mit positiver und negativer Laune lässt sich die Krümmung gut merken.

Beispiel:

Der Tiefpunkt liegt im Bereich

linker Krümmung.

Linke Krümmung ist positiv,

weil hier die Steigung zunimmt.

– Bestimme die Extrema ( Hochpunkt H und Tiefpunkt T ) der Funktion f(x) = 1

bestimmen, ermitteln, berechnen . . .

eine konkrete Berechnung durchführen

8 x3 − 3

2 x2 + 9

Nur zur Ansicht

Händische Berechnung:

y = f(x) = 1

8 x3 − 3

2 x2 + 9

2 x

Steigung = f ′ (x) = 3

8 x2 − 3x + 9

2

2 x .

Krümmung = f ′′ (x) = 3 4 x −

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Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

Da in den Extrema die Steigung = 0 ist, setzen wir die Steigung = 0:

Steigung = f ′ (x) = 0


3

8 x2 − 3x + 9

2 = 0 → x 1 = 2 x 2 = 6

y 1 = f(2) = 1

8 ⋅ 23 − 3

2 ⋅ 22 + 9 ⋅ 2 = 4 → (2/4)

2

Krümmung = f ′′ (2) = 3 4 ⋅ 2 − 3 = − 3 2 < 0

y 2 = f(6) = 1

8 ⋅ 63 − 3

2 ⋅ 62 + 9 ⋅ 6 = 0 → (6/0)

2

Krümmung = f ′′ (6) = 3 4 ⋅ 6 − 3 = + 3 2 > 0

Mit GeoGebra:

→ Hochpunkt H(2/4)

→ Tiefpunkt T(6/0)

Man schreibt die Funktionsgleichung in das Algebra-Fenster und betätigt ENTER.

Damit erscheint gleichzeitig im Grafik-Fenster der Funktionsgraph.

Nun schreibt man in die folgende Eingabe-Zeile den Befehl

Extremum[ ]

Der Name unserer Funktion ist f .

Deshalb ersetzen wir durch f.

Dann betätigen wir ENTER.

Nur zur Ansicht

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IV Analysis

Wir erhalten die Punkte A ( 2 / 4 ) und B ( 6 / 0 ).

Im Grafik-Fenster lässt sich leicht ersehen, wer Hoch- und wer Tiefpunkt ist: H ( 2 / 4 ) und T ( 6 / 0 )

f ′ (x) = 0

– Erkläre, wie man die Extrema einer Polynomfunktion f 3. Grades bestimmen kann.

erklären, erläutern . . .

mit Hilfe mathematischer Fachsprache einen Rechengang angeben

→ x 1 , x 2

f ′′ (x 1 ) < 0 → Maximum (Hochpunkt) → y 1 = f(x 1 ) → H(x 1 /y 1 )

f ′′ (x 2 ) > 0 → Minimum (Tiefpunkt) → y 2 = f(x 2 ) → T(x 2 /y 2 )

– Dokumentiere, wie man die Extrema einer Polynomfunktion f 3. Grades bestimmen kann.

dokumentieren, beschreiben . . .

einen Rechengang (Lösungsweg) in Worten angeben

1. Ableitung gleich null gesetzt. Gleichung liefert zwei x-Werte. Diese in die 2. Ableitung eingesetzt.

Erhält man eine negative Zahl, so ist es der Hochpunkt. Erhält man eine positive Zahl, so ist es der Tiefpunkt.

Die dazugehörigen y-Werte erhält man, indem man die x-Werte in f(x) einsetzt.

Nur zur Ansicht

https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38&t=153s

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IV Analysis

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Die Wurfbahn einer Kugel wird durch folgende Funktion beschrieben:

f(x) ... Flughöhe in Metern (m)

x ... Flugweite in m

– Ermitteln Sie die maximale Wurfhöhe.

Möglicher Lösungsweg:

Folgende Überlegungen führen ans Ziel:

f(x) = − 3

121 x2 + 6

11 x

Die maximale Flughöhe ist die y-Koordinate y 1 des Hochpunktes H.

Nur zur Ansicht

Mit GeoGebra:

Die maximale Wurfhöhe beträgt 3 m.

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IV Analysis

– Bestimmen Sie den Aufschlagwinkel der Kugel beim Landen auf dem Boden.

Möglicher Lösungsweg:

Der Aufschlagwinkel ist der Winkel, den die Tangente im Aufschlagpunkt mit der x-Achse einschließt.

Bestimmen wir zunächst den Punkt, in dem die Kugel aufschlägt: Das ist der rechte Nullpunkt von f.

Die rechte Nullpunkt hat die Koordinaten (22/0) .

Bemerkung: Damit kennen wir auch die Wurfweite: 22 m

An der Stelle x 1 = 22 berechnen wir nun den Aufschlagwinkel.

Nur zur Ansicht

Dazu benötigen wir erstmal die Steigung der Tangente an der Stelle x 1 = 22 :

Beachte, dass zuvor schon die Gleichung

der Funktion eingegeben sein muss

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IV Analysis

k = – 0,55

Für jede Steigung gilt:

Beachte: Gefälle = negative Steigung

k = tan (α)

α = tan −1 (−0, 55)

α = −28, 81 o bzw. 180 o – 28, 61 o = 151, 19 o

Bemerkung: Der Winkel kann sowohl negativ als auch positiv angegeben werden. Es sind beide Lösungen richtig.

Ich würde die negative Lösung belassen. Ein negativer Winkel bedeutet, er wird mit dem Uhrzeigersinn

aufgetragen (siehe Skizze).

Nur zur Ansicht

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IV Analysis

7.3.2. Krümmung f′′

Die Krümmung ist ein Maß, wie stark sich die

Steigung ( also die Richtung ) ändert.

Je stärker die Steigungs-, also Richtungsänderung,

umso stärker ist die Krümmung.

Ist eine Kurve rechts gekrümmt,

so nimmt die Steigung von links gesehen ab.

Deshalb ist rechte Krümmung negativ.

Ist eine Kurve links gekrümmt,

so nimmt die Steigung von links gesehen zu.

Deshalb ist linke Krümmung positiv.

Somit lässt sich, wie schon auf S 274 angedeutet, mit Hilfe der Krümmung mathematisch zeigen, ob das

berechnete Extremum einen Hochpunkt H oder ein Tiefpunkt T darstellt:

Ein Extremum im Bereich rechter (negativer) Krümmung

muss ein Hochpunkt H sein.

Ein Extremum im Bereich linker (positiver) Krümmung

muss

ein Tiefpunkt T sein.

Nur zur Ansicht

Deshalb gilt, wie schon erwähnt:

f ''(x) > 0

f '' ( x E ) < 0 ➝ Extremum ist Hochpunkt H

E ( x E / y E )

f '' ( x E ) > 0 ➝ Extremum ist Tiefpunkt T

manfred.ambach 280 pro-test.at


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IV Analysis

Beispiel:

– Schreibe in folgende Tabelle, welchen Wert ( +, – oder 0 ) f, f′ und f′′ an den angegebenen Stellen

besitzt.

Lösungen:

x = –1

x = 0

x = 1

x = 2

x = 3

f f′ f′′

Nur zur Ansicht

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IV Analysis

7.3.3. Wendepunkt & Wendetangente

Wollen wir den Wendepunkt W bestimmen, suchen wir jene Punkte der Kurve,

in denen die Krümmung Null ist. Deshalb setzen wir die Krümmung

Für die Krümmung denken wir uns eine Straße aus der

Vogelperspektive betrachtet, die wir in Schreibrichtung, also

von links kommend, durchfahren.

Zunächst müssen wir nach rechts lenken,

anfangs leicht, in der Folge stärker, weil die

Straße rechts gekrümmt ist. Den stärksten

Einschlag verzeichnen wir im Hochpunkt H.

Danach beginnen wir nach links zu lenken,

haben aber das Lenkrad noch geraume Zeit

rechts der neutralen Geradeaus-Stellung. Erst im Punkt W ist

das Steuer für einen Augenblick in Neutralstellung. Danach

links davon, weil die Straße ab hier links gekrümmt ist. Den

stärksten Links-Einschlag verzeichnen wir im Tiefpunkt T.

Danach beginnen wir wieder nach rechts zu lenken. Das

Lenkrad wird jedoch bei diesem Kurvenverlauf nie mehr die

Geradeaus-Stellung erreichen oder gar eine rechts davon.

f ’’ = 0

Im Wendepunkt ist die Steigung am größten (maximal) bzw.

oder

Im sog. Wendepunkt W ändert sich der Krümmungssinn der

Kurve. Im Punkt W selbst ist die Krümmung null, weil sich das

Lenkrad für einen Moment in Neutralstellung befindet, wie auf

geraden Straßen.

das Gefälle am größten (maximal)

Nur zur Ansicht

Im Wendepunkt ist die Steigung am kleinsten (minimal) bzw.

das Gefälle am kleinsten (minimal)

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IV Analysis

Beispiel: f(x) = 1

8 x3 − 3

2 x2 + 9

2 x

– Berechne den Wendepunkt dieser Funktion.

berechnen (bestimmen, ermitteln): konkrete Berechnung(en) anstellen

Händische Berechnung:

y = f(x) = 1

8 x3 − 3

2 x2 + 9

2 x

Steigung = f ′ (x) = 3

8 x2 − 3x + 9

2

Krümmung = f ′′ (x) = 3 x − 3

4

Da im Wendepunkt die Krümmung= 0 ist, setzen wir die Krümmung = 0:

Krümmung = f ′′ (x) = 0


3

x − 3 = 0

4

→ x = 4

y = f(4) = 1

8 ⋅ 43 − 3

2 ⋅ 42 + 9 ⋅ 4 = 2 → W(4/2)

2

Wendepunkt mit GeoGebra


Funktionsgleichung eingeben

Nur zur Ansicht


Befehl: Wendepunkt[ ] eingeben &

ENTER

Der nebenstehende Befehl erscheint


Da unsere Funktion f heißt, schreiben wir in das Feld

f

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IV Analysis

ENTER betätigt und der Wendepunkt, hier mit A bezeichnet, wird angegeben.

Gleichzeitig erscheint im Grafik-Fenster der Graph der Funktion samt eingezeichnetem Wendepunkt.

Will man den Wendepunkt auf W umbenennen, siehe S 194.

– Erkläre (erläutere), wie man den Wendepunkt einer Polynomfunktion 3. Grades bestimmen kann.

erklären, erläutern . . . mit mathematischer Fachsprache einen Rechengang angeben

f ′′ (x) = 0 → x 1

y 1 = f(x 1 ) → W(x 1 /y 1 )

– Dokumentiere, wie man den Wendepunkt einer Polynomfunktion 3. Grades bestimmen kann.

Nur zur Ansicht

dokumentieren, beschreiben . . . Lösungsweg in Worten beschreiben

Bildet erste und zweite Ableitung.

Zweite Ableitung null gesetzt, liefert x-Wert x 1.

x 1 in Funktionsgleichung eingesetzt, liefert dazugehörigen y-Wert y 1.

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IV Analysis

Wendetangente: Die Wendetangente tW ist die Tangente im Wendepunkt

Händische Berechnung:

Die Steigung der Tangente ist die erste Ableitung der Funktion


W(4/2) → k = f ′ (4) = 3

⋅ 8 42 − 3 ⋅ 4 + 9

= − 3

2 2

Eine Tangente ist eine Gerade,

die eine Kurve in einem Punkt berührt.

Gleichung einer Geraden: tW: y = k . x + d

Diese Gleichung beschreibt dann eine konkrete Gerade,

wenn wir die Zahlenwerte für k und d kennen.

Zwei Überlegungen führen uns auf diese Größen:

Da der Wendepunkt auch auf der Wendetangente liegt, können wir seine Koordinaten für x und y sowie

das errechnete k in die Gleichung der Tangente einsetzen :

tW: y =

k . x + d

Nur zur Ansicht

x y

3

W ( 4 / 2 ) : 2 = . 4 + d

2

2 = – 6 + d | + 6

8 = d

Die Werte für k und d in die Geradengleichung eingesetzt, liefert die Gleichung der Wendetangente:

t W : y = − 3

2

x + 8

manfred.ambach 285 pro-test.at


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IV Analysis

Bemerkung 1: Hat eine Funktion mehrere Wendepunkte, so besitzt jeder Wendepunkt eine eigene Wendetangente.

Bemerkung 2: Auf diese Weise kann jede Tangente in (irgend-)einem Berührpunkt einer Kurve aufgestellt werden.

Wendetangente mit GeoGebra




Funktionsgleichung eingeben

Wendepunkt bestimmen

Befehl Tangente[ , ] eingeben

Nur zur Ansicht

Der x-Wert des Wendepunktes ist 4 und der Name der Funktion ist f.

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IV Analysis

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

– Bestimmen Sie bei der Funktion f(x) = 1

8 x3 − 3

2 x2 + 9

x die Stelle mit dem größten Gefälle.

2

Gedankengänge: Das größte Gefälle ist das Maximum des Gefälles, also der (negativen) Steigung.

Im Wendepunkt ist die Steigung maximal

W ( 4 / 2 )

Die Stelle ist die x-Koordinate.

An der Stelle x = 4 ist das Gefälle am größten

Nur zur Ansicht

manfred.ambach 287 pro-test.at


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IV Analysis

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

– Begründen Sie, warum eine Polynomfunktion 3. Grades höchstens (maximal) einen Wendepunkt besitzen kann.

Möglicher Lösungsweg:

Die Funktion f ist 3. Grades.

Die erste Ableitung f‘ (Steigung) ist 2. Grades.

Die zweite Ableitung f‘‘ (Krümmung) ist 1. Grades.

Im Wendepunkt ist die Krümmung = 0. Setzen wir die Krümmung null, erhalten wir mit 6 a x + 2 b = 0

eine lineare Gleichung in x. Diese hat mit

Damit kann die Funktion nur einen Wendepunkt besitzen.

https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38&t=153s

Die Unendlichkeit der Mathematik 24

Weil bei n = 1 ist

1

= 1

= 1

= 1

2 n−1 2 1−1 2 0

1 = 1

nur eine Lösung.

Nur zur Ansicht

bei n = 2 ist

bei n = 3 ist

1

= 1

= 1

= 1

2 n−1 2 2−1 2 1 2

1

= 1

= 1

= 1

2 n−1 2 3−1 2 2 4

x = − 2 b

6 a

So lässt sich 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1

16 + 1

32

usw.

+ . . . darstellen als

2 + 1

2 1−1 + 1

2 2−1 + 1

2 3−1 + 1

2 4−1 + 1

2 5−1 + . . . + 1

2 n−1

Fortsetzung S 299

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Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

Fassen wir zusammen:

Nullpunkte

Alle Nullpunkte haben y = 0, weil sie auf der x-Achse

liegen.

Extrema

Im Hoch- und Tiefpunkt hat die Tangente die Steigung null,

weil sie waagrecht liegt.

Wendepunkte

N2

f ''(x) > 0

Im Wendepunkt ist die Krümmung null.

Denke an das Lenken auf einer kurvigen Straße.

Nur zur Ansicht

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IV Analysis

Stellen wir y = f (x), die Steigung f '(x) und die Krümmung f ''(x) des letzten Beispiels als Funktionen

grafisch dar:

Zur Orientierung:

f (x) f ' (x) f '' (x)

Im Hochpunkt H und Tiefpunkt T ist

die Steigung f '(x) = 0. Deshalb hat

der Graph von f '(x) dort seine

Nullpunkte (bei x = 2 und x = 6), wo

die Funktion f (x) ihre Extrema hat.

Vor dem Wendpunkt W ist die

Funktion f (x) rechts gekrümmt,

die Steigung nimmt also ab.

Deshalb ist der Graph von f ' (x) vor

dem Wendepunkt monoton fallend.

Nach dem Wendepunkt ist f (x)

links gekrümmt, demnach nimmt die

Steigung zu. So ist der Graph von

f ' (x) nach dem Wendepunkt

monoton steigend.

Das Extremum der Steigung f ' (x)

liegt an der Stelle des Wendepunktes

von f.

Im Wendepunkt ist die Krümmung f ''(x) = 0.

Deshalb besitzt der Graph von f ''(x) an der

x-Koordinate des Wendepunktes ( x = 4 ) seinen

Nullpunkt.

Vor dem Wendpunkt W ist die Funktion f (x)

rechts gekrümmt, die Krümmung also negativ.

Deshalb liegt der Graph von f ''(x) vor dem

Wendepunkt unterhalb der x-Achse.

Nach dem Wendepunkt ist f (x) links gekrümmt,

demnach die Krümmung f '' (x) positiv.

So liegt der Graph von f '' (x) nach dem

Wendepunkt oberhalb der x-Achse.

Nur zur Ansicht

Da sich durch das Ableiten der Grad der

entstehenden Funktion jeweils um eins

erniedrigt, ist in diesem Fall

f (x) . . . 3. Grades

f‘ (x) . . . 2. Grades (quadratisch)

f‘‘ (x) . . . 1. Grades (linear)

manfred.ambach 290 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung der Funktion f(x) = 1

8 x3 − 3

2 x2 + 9

2 x .

– Stelle die Graphen von f, f‘ und f‘‘ in einem Koordinatensystem dar.

Man schreibt in die Eingabe-Zeile die Gleichung der Funktion f

ENTER betätigt und im Grafik-Fenster erscheint der Funktions-Graph.

Nun schreibt man in die Eingabe-Zeile f‘(x) und betätigt ENTER .

Im Algebra-Fenster

erscheint

die erste Ableitung f‘

und im Grafik-Fenster

der Graph von f‘.

Nur zur Ansicht

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Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

Jetzt wollen wir f‘‘ bilden:

Siehe auch

Eine einfache Merkregel:

Nur zur Ansicht

Das bedeutet:

Die Extrema von y = f liegen an den Stellen der Nullpunkte der Steigung f′ ,

die Wendepunkte von y = f liegen an den Stellen der Extrema von f′ und den Nullpunkten der Krümmung f′′ ,

die Wendepunkte von f′ liegen an den Stellen der Extrema von f′′.

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IV Analysis

Beispiel der Zentralmatura am 10.5.2017

Fußballspielen

Ronald und Julian spielen auf einer horizontalen Wiese Fußball.

Die Flugbahn des Balles kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades h beschrieben

werden. Dabei wird der Ball als punktförmig angenommen.

h(x) = −0,003 ⋅ x 3 + 0,057 ⋅ x 2 mit x ≥ 0

x … horizontale Entfernung des Balles vom Abschusspunkt in Metern (m)

h(x) … Höhe des Balles über dem Boden an der Stelle x in m.

a) – Ermitteln Sie den für diesen Sachzusammenhang größtmöglichen sinnvollen Definitionsbereich

für die Funktion h.

– Bestimmen Sie den höchsten Punkt der Flugbahn.

b) Julian fängt den Ball aus einer Höhe von 1,80 m.

– Berechnen Sie die beiden horizontalen Entfernungen von der Abschussstelle, an denen Julian sich dabei

befinden kann.

c) Ronald überlegt, ob er bei diesem Schuss den Ball über ein 2,8 m hohes Klettergerüst, das in direkter

Schussrichtung 10 m von der Abschussstelle entfernt steht, schießen könnte.

– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Schuss tatsächlich über das Klettergerüst fliegen

kann.

Möglicher Lösungsweg: a)

Nur zur Ansicht

Der Ball fliegt im Koordinatenursprung los, weil laut Angabe x ≥ 0 sein soll und landet bei x = 19 auf der

horizontalen Wiese.

Deshalb lautet die größtmögliche sinnvolle Definitionsmenge D f = [0; 19]

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Mathe für die BRP zentral

IV Analysis

Der höchste Punkt ist der Hochpunkt von h:

Der höchste Punkt (Hochpunkt) ist offensichtlich B = H(12,67/3,05)

b)

Wir legen eine Gerade auf der Höhe 1,8 m. Diese Gerade hat die Gleichung y = 1, 8 weil ja alle Punkte auf ihr

den y-Wert 1,8 haben sollen.

Jetzt schneiden wir die Funktion h mit der Geraden y = 1, 8 die GeoGebra g

benannt hat.

Nur zur Ansicht

Damit erhalten wir die drei Schnittpunkte A, B und C.

A kommt nicht in Frage, weil seine x-Koordinate –5 beträgt und damit nicht x ≥ 0 erfüllt.

Die beiden horizontalen Entfernungen von der Abschussstelle betragen demnach 7,10 m und 16,90 m

(auf zwei Nachkommastellen gerundet).

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IV Analysis

c)

Kompensationsprüfung am 05.06.2018

Da der y-Wert an der Stelle x = 10 mit h(10) = 2, 7 beträgt, besitzt

der Ball an dieser Stelle nur eine Höhe von 2,70 m über dem Boden und

kann hier nicht über das Klettergerüst fliegen, das ja 2,80 m hoch ist.

Das Höhenprofil des ersten Abschnitts einer Laufstrecke in einem Wald kann annähernd durch die

Polynomfunktion g geschrieben werden:

g(x) = a . x² + b . x + c mit 0 ≤ x ≤ 30

x … waagrechte Entfernung vom Startpunkt in m

g(x) … Höhe bei Entfernung x in m

Der Startpunkt befindet sich in 40 m Höhe und besitzt ein Gefälle von 5%. In einer waagrechten Entfernung

von 25 m vom Startpunkt wird die maximale Höhe erreicht.

– Stellen Sie das Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten dieser Polynomfunktion berechnet

werden können.

Möglicher Lösungsweg:

Die Gedankengänge:

Koeffizienten = Vorzahlen a, b und c 3 Bestimmungsstücke → 3 Angaben

Nur zur Ansicht

Startpunkt P( 0/40 ) → g(0) = 40

In P( 0/40 ) ist Gefälle 5 % → g‘(0) = – 0,05

Bei x = 25 eine Extremstelle → g‘(25) = 0

! Gefälle = negative Steigung

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IV Analysis

CAS-Fenster:

Nicht vergessen: Nach g (x)

schreiben.

– Stellen Sie die Gleichung der Funktion auf.

Das Gleichungssystem lautet:

g(0)=40 c = 40

g’(0)=–0,05

bzw.

b = – 1

g’(25)=0 50 a + b = 0

Mit gedrückter

Nur zur Ansicht

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

20

-Taste und gedrückter linker Maustaste

diejenigen Zeilennummern markieren, in denen die Gleichungen

stehen (hier die Nummern 2, 3 und 4, die dann grau unterlegt sind).

Schließlich noch den Button

g(x) = 1

⋅ 1 000 x² − 1 ⋅ x + 40

20

betätigen.

f ist eine Polynomfunktion 3. Grades. f hat im Punkt P(3/2) einen Hochpunkt und an der Stelle x = 0

eine Wendestelle mit der Steigung k = 1 .

– Kreuzen Sie die Bedingung an, die nicht den obigen Angaben entspricht: [ 1 aus 5 ]

manfred.ambach 296 pro-test.at


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IV Analysis

f ′ (3) = 0

f(0) = 0

f ′ (0) = 1

f′′(0) = 0

f(3) = 2

Solche Aufgaben nennen sich “ 1 aus 5 ” , weil immer genau eine gebotene Alternative die geforderte ist.

Lösung:

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

f ′ (3) = 0 ist richtig, weil P ein Extremum ist und dort die Steigung null ist.

f(0) = 0 ist falsch, weil der Wendpunkt nicht automatisch y = 0 hat.

f ′ (0) = 1 ist richtig, weil die Steigung im Wendepunkt laut Angabe 1 ist.

f ′′ (0) = 0 ist richtig, weil bei x = 0 der Wendepunkt liegt.

f(3) = 2 ist richtig, weil P ein Punkt von f ist.

Für die Strecke zwischen den Stationen Christopher Street und Canal Street des Train 3 der New Yorker Subway

benötigt ein Zug durchschnittlich ca. 3,97 Minuten.

Der zurückgelegte Weg des Zuges zwischen den beiden Stationen lässt sich näherungsweise durch folgende

Funktion beschreiben:

s(t) = −0,0003 ⋅ t 3 + 0,1128 ⋅ t 2 + 2,48 ⋅ t

t … Zeit nach der Abfahrt in Sekunden s, 0 ≤ t ≤ 240

s(t) … zurückgelegter Weg in Metern (m) zum Zeitpunkt t

a) – Berechnen Sie die Länge der Strecke s, die der Zug wischen beiden Stationen zurücklegt.

Nur zur Ansicht

Der Zug benötigt für diese Strecke 238, Sekunden, also setzen wir für t diesen Wert in s(t) ein.

s(238, 2) = −0,0003 ⋅ 238, 2 3 + 0,1128 ⋅ 238, 2 2 + 2,48 ⋅ 238, 2 = 2 936,34 m

Die Strecke zwischen den beiden Stationen ist ca. 2 936 m lang.

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IV Analysis

b) – Ermitteln Sie die mittlere Geschwindigkeit des Zuges in km/h im Intervall [40 ; 120]

mittlere Geschwindigkeit = mittlere Änderungsrate

m. Ä. = s(120)−s(40)

120−40

= 1 403,52−260,48

80

s(120) = 1 403,52 s(40) = 260,48

. . . oder mit GeoGebra . . .

= 14,29 m/s =

14,29 m

Die mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) beträgt 51,44 km/h.

– Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeit in m/s zum Zeitpunkt t = 120 s.

Nur zur Ansicht

1 s

=

0,01429 km

1

3 600 h = 51,44 km/h

momentane Geschwindigkeit = momentane Änderungsrate = s′

s(t) = −0,0003 ⋅ t 3 + 0,1128 ⋅ t 2 + 2,48 ⋅ t

s′(t) = −0,0009 ⋅ t 2 + 0,2256 ⋅ t + 2,48

s ′ (120) = −0,0009 ⋅ 120 2 + 0,2256 ⋅ 120 + 2,48 = 16,59 m/s

. . . oder mit GeoGebra

c) – Dokumentieren Sie, wie man am unten abgebildeten Weg-Zeit Diagramm die

Momentangeschwindigkeit ablesen kann.

Die Momentangeschwindigkeit entspricht der

Steigung der Tangente in einem bestimmten

Punkt der Kurve.

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IV Analysis

– Lesen Sie näherungsweise den Zeitpunkt ab, in dem die Momentangeschwindigkeit am größten ist.

Die größte Momentangeschwindigkeit ist das Maximum der Momentangeschwindigkeit.

Momentangeschwindigkeit: s ′ (t) → Maximum der Momentangeschwindigkeit: s ′′ (t) = 0

Das bedeutet, dass im Wendepunkt von s(t) die Momentangeschwindigkeit am größten ist.

Dieser liegt in etwa bei t = 125 s

Die Unendlichkeit der Mathematik 25

Nur zur Ansicht

Summe = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . + 1

2 n−1

1

2 Summe = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1

16 + 1

32 + 1

64 + . . . + 1

2 n−1 +

1

2 n

Bedenke:

1

⋅ 1

= 1⋅1

= 1

= 1

2 2 n−1 2 1 ⋅ 2 n−1 2 1+n−1 2 n (Potenzregel P1, 2.2.2. S 59)

Fortsetzung S 320

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IV Analysis

7.4. Kleine Betriebskunde

Alle Begriffe sind aus Sicht des Produzenten bzw. Verkäufers und nicht des Konsumenten.

Fagus-Werk in Alfeld

Im Folgenden einige Begriffe der Kosten- und Preistheorie und ihre

Anwendungen in der Differentialrechnung:

x … die Mengeneinheiten (ME)

des erzeugten bzw. verkauften Produktes

K(x) … die Gesamtkosten, die dem Unternehmen bei Erzeugung

von x ME des Produktes entstehen

p(x) … Preis eines Produktes in Geldeinheiten (GE)

bei Verkauf von x ME des Produktes

E(x) … Erlös (Einnahmen) in GE für das Unternehmen bei Verkauf von x ME des Produktes

G(x) … Gewinn bei Verkauf von x ME des Produktes

n(x) … Preis-Funktion der Nachfrage

Höchstpreis p H :

Jener Preis, bei dem nichts mehr verkauft wird.

p H = p(0)

Sättigungsmenge x S :

Jene Menge, die höchstens abgegeben werden

kann, wenn der Preis null ist.

p(x) = 0 → x S

E(x) = p(x) ⋅ x

Gewinn = Einnahmen – Ausgaben

G(x) = E(x) − K(x)

Nur zur Ansicht

x S ist die Nullstelle von n.

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IV Analysis

Wie kann es sein, dass man von einer

Ware, die verschenkt wird, nicht

grenzenlos viel absetzen kann?

Lieber Fredo, stell dir vor, es gäbe Nägel

geschenkt. Wie viele würdest du davon

heimschleppen?

Gewinnzone:

Die Gewinnzone ist jener Bereich der ME, bei dem ein Gewinn erwirtschaftet wird.

Es ist der Bereich zwischen den (positiven) Nullstellen der Gewinnfunktion.

G(x) = 0 → x 1 , x 2 > 0 Gewinnzone = [ x 1 ; x 2 ]

x 1 nennt man den Break-Even (Point): Jene Menge des verkauften Produktes,

bei der erstmals kein Verlust gemacht wird.

Nur zur Ansicht

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Die Gesamtkosten für die Produktion von Tageslichtlampen können durch folgende Funktion beschrieben werden:

K(x) = 0, 01 ⋅ x 3 − 0, 75 ⋅ x 2 + 50 ⋅ x + 300

x … Anzahl der produzierten Tageslichtlampen

K(x) … Gesamtkosten in Euro bei Erzeugung von x Tageslichtlampen

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Die Preis-Funktion lautet:

p(x) = 100 − 0, 5 ⋅ x

x … Anzahl der produzierten Tageslichtlampen

p(x) … Preis in Euro pro Tageslichtlampe bei einem Verkauf von x Tageslichtlampen

– Interpretieren Sie den Wert −0, 5 in der Funktion p(x) im gegebenen Sachzusammenhang.

– Bestimmen Sie die Anzahl der Lampen, die verkauft werden müssen, damit der Gewinn maximal wird.

– Ermittlen Sie den maximalen Gewinn.

Möglicher Lösungsweg:

∗ −0, 5 bedeutet, dass der Preis für eine Tageslichtlampe pro verkaufter Lampe um 0, 5 Euro weniger wird.

∗ Gewinn = Einnahmen − Ausgaben

G(x) = E(x) − K(x)

E(x) = p(x) ⋅ x = (100 − 0,5 ⋅ x) ⋅ x = 100 x − 0,5 ⋅ x²

G(x) = 100 ⋅ x − 0,5 ⋅ x 2 − (0,01 ⋅ x 3 − 0,75 ⋅ x 2 + 50 ⋅ x + 300)

G(x) = 100 ⋅ x − 0,5 ⋅ x 2 − 0,01 ⋅ x 3 + 0,75 ⋅ x 2 − 50 ⋅ x − 300

G(x) = −0,01 ⋅ x 3 + 0,25 ⋅ x 2 + 50 ⋅ x − 300

Mit GeoGebra:

Maximum = Extremum:

Nur zur Ansicht

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Offensichtlich ist der Punkt B ( 50 / 1 575 ) das Maximum.

Beim Verkauf von 50 Tageslichtlampen wird maximaler Gewinn erzielt.

Der maximale Gewinn beträgt 1 575 Euro.

Nach einem Beispiel der Zentralmatura am 10.5.2017

a) Ein Bekleidungsgeschäft bietet Polo-Shirts an und überlegt, wie sich der Preis der Polo-Shirts auf die verkaufte

Stückzahl auswirkt.

Der Preis für diese Polo-Shirts in Abhängigkeit der nachgefragten Menge kann durch die Funktion f

beschrieben werden:

f(x) = −0,125 ⋅ x + 100

x … Anzahl der nachgefragten Polo-Shirts

f(x) … Preis bei x nachgefragten Polo-Shirts in Euro pro Polo-Shirt

Ein Polo-Shirt wird um 55 Euro verkauft

– Berechnen Sie die entsprechende Anzahl der nachgefragten Polo-Shirts.

– Bestimmen Sie den entsprechenden Erlös.

Möglicher Lösungsweg:

Wir kennen den Preis f(x) = 55 und suchen die entsprechende Menge x:

Bei einem Preis von 55 Euro je Polo-Shirt werden 360 Polo-Shirts

nachgefragt.

Nur zur Ansicht

E(x) = f(x) ⋅ x

Bei 360 verkauften Polo-Shirts beträgt der Erlös 19 800 Euro.

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b) Der Zusammenhang zwischen dem Preis und der nachgefragten Menge an T-Shirts wird durch die

Preisfunktion der Nachfrage festgelegt.

Der Graph der Preisfunktion der Nachfrage g für T-Shirts ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

– Ermitteln Sie die Steigung der Funktion g.

– Lesen Sie denjenigen Preis ab, bei dem gemäß diesem Modell niemand mehr bereit ist, ein T-Shirt zu kaufen.

Möglicher Lösungsweg:

Nur zur Ansicht

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB

Textilfarben werden im Großhandel in ganzen Paletten verkauft. Bei Abnahme größerer Mengen wird Mengenrabatt

gewährt. Der Preis pro Palette kann durch folgendes Modell beschrieben werden:

p(x) = 10 000 + a ⋅ e −b⋅x

x … Palettenanzahl

p(x) … Preis pro Palette in Euro, bei Abnahme von x Paletten

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Bei Abnahme einer Palette beträgt der Preis 18 000 Euro, bei Abnahme von 2 Paletten beträgt der Preis

für eine Palette 15 000 Euro.

– Ermitteln Sie die Parameter a und b der Funktion p.

– Stellen Sie die dazugehörige Erlösfunktion in Abhängigkeit von x auf.

– Zeigen Sie nachweislich, dass der Erlös kein Maximum besitzt.

Möglicher Lösungsweg:

*

*

*

Man kann hier nicht den Befehl TrendExp[ ]

wählen, weil dieser nur für Exponentialfunktionen der Form

f(x) = f 0 ⋅ e ±λ⋅x bzw. N(t) = N 0 ⋅ e ±λ⋅t gilt!

Der Befehl Extremum[ ] kann

bei Exponentialfunktionen nicht verwendet werden!

Nur zur Ansicht

Da diese Gleichung keine Lösung besitzt, gibt es auch

kein Maximum.

https://www.youtube.com/watch?v=_gV6GGXV4j8&t=1050s

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Den größten Fehler, den man im Leben machen kann, ist,

immer Angst zu haben, einen Fehler zu machen.

Dietrich BONHOEFFER

( 1906 – 1945 )

8. INTEGRIEREN

Idee: univ. Prof. Sr. Stefan SILLER

Bevor wir uns den Anwendungen der Integralrechnung widmen, werfen wir einen Blick auf die rechentechnischen Aspekte.

8.1. Integrationsregel

8.1.1. Potenzregel

Nur zur Ansicht

Differenzieren und Integrieren sind die jeweiligen Umkehrungen.

Differenzieren

Integrieren

Die folgende Regel gibt an, wie Potenzen der Form x n (mit n als Zahl) integriert werden:

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Potenzregel:

Folgende Anmerkungen: Das Integralzeichen ist ein langgezogenes S und steht für Summe.

dx ist ein feststehender Ausdruck und bedeutet nicht d . x

C ist die sog. Integrationskonstante.

Beispiel:

∫ x 3 . dx = x3+1

Die anderen Begriffe erfahren in

3+1

+ C = x4

4

+ C

ihre geometrische Bedeutung.

Wie beim Differenzieren, so darf auch beim Integrieren die Potenzregel nur dann verwendet werden,

wenn in der Basis der Potenz nur die Variable steht und sich die Potenz nicht im Nenner befindet.


… in der Basis steht NICHT nur die Variable

Weiteres Beispiel für die Potenzregel:

… die Potenz steht im NENNER

Nur zur Ansicht

∫ x . dx = ∫ x 1 . dx =

Beispiel:

3

(2x 1)

.dx

(2x 1)

4

x2

2

+ c

4

C



1

x

3

.dx

1

4

x

4

C

∫ 4x 3 . dx = ∫ 4 . x 3 . dx = 4 . x4

4

1

4 ⋅ x4

+ C =

4

1

x 4 + C

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Konstante Faktoren ( . : ) werden, wie beim Differenzieren, unverändert übernommen.

Beispiel:

∫ 3 x2

2

Beispiel:

∫ x −3 . dx =

Beispiel:

∫ 6

5 x 2

∫ k . x n . dx = k .

x n+1

n+1

. dx = ∫ 3

2 x2 . dx = 3

2 ∫ x2 . dx = 3

2 . x3

+ C = x3

+ C

3 2

x−2

−2

. dx = ∫ 6

5 . 1

x 2

+ C = 1 . x−2

+ C = 1

−2

−2

Nur zur Ansicht

+ C

Dieser Buchstabe ist die Variable.

. x −2 + C = − 1

2 . x−2 + C = − 1

2 . 1

x 2 + C = − 1

2 x 2

Kehrwertregel für Potenzen P4:

Potenzen im Nenner müssen vor dem Integrieren nach der

Regel P4:

. dx = ∫ 6

5 . x−2 . dx =

6

5

aus dem Nenner gebracht werden.

x −1

= − 6

5 x−1 + C = − 6

5 . 1

x 1 + C = − 6

5 . 1

x + C = − 6 + C

5 x

Beispiel:

∫ 1

x

. dx = ∫ x −1 . dx = x−1+1

−1+1

1 n

x

n

x

+ C = x0

0

−1

+ C = 6 x−1

+ C =

−5

+ C = ln|x| +c

+ C

Ein Bruch mit dem Nenner Null ist nicht definiert. Er ergibt keine Zahl (und auch sonst nichts).

Obwohl in der Basis der Potenz nur die Variable steht, kann für n = – 1 die Potenzregel des Integrierens

nicht angewendet werden, da der Nenner Null wird.

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Es gilt:

Differenzieren

Beispiel:

So muss doch zutreffen:

Da der ln (x) nur für positive x existiert, muss

geschrieben werden.

x

bedeutet den Betrag von x

Der Betrag macht jede Zahl positiv.

Beispiele:

1 = x 0

f (x) = ln x → f ’ (x) =

Integrieren

Da wir jede Konstante mit 1 bzw. x 0 multiplizieren können, erhalten wir integriert immer

die Konstante mal der Variablen:

Eine Konstante für sich ergibt integriert die Konstante mal der Variablen.

Beispiel:

Nur zur Ansicht

dx = π . x + C


1

.dx ln

x

4 4 4 4

0

2.dx 2.1 .dx 2.x .dx 2. x



x

0

C

x

x

.dx 2.

1

∫ k . dx = k . x + C

1

1

x

C 2.x C

.

C

Dieser Buchstabe ist die Variable!

. dπ




2

2


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Beispiel:


(3 x

2

Beispiel:

Bemerkung: Hebe nur heraus, wenn du dir sicher bist!

Beispiel:

x

4 x 1).dx

3.

3

4 3 2

oder x x c

9

∫(a x 3 + b x 2 + c x + d) . dx =

x

4.

2

Man darf gliedweise ( + – ) getrennt integrieren.

a x 4

4

1.x

C

+

b x3

3

+

c x2

2

+ d . x + e

Da in dieser Funktion c die Vorzahl von x darstellt, können wir diesen Buchstaben

nicht als Integrationskonstante wählen.

Ich habe e gewählt, in alphabetischer Reihenfolge.

3

2

3.x

3

3

1.x

C x

2 x

x C

Die integrierte Funktion nennt man Stammfunktion

und bezeichnet sie mit F(x)

Nur zur Ansicht

2

4.x


2

4

2

3

2

2

2 2

2 x

( x 2 x ).dx 2.( x x ).dx 2. ( .x x ).dx 2. .

3 3 3

3 3

2

x

C 2.

2


3

2 x

9

3

2

2

x

C

2


Integrieren mit

siehe

manfred.ambach 310 pro-test.at


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Beispiel:

Wie heißt die Gleichung einer Funktion f, deren Graph durch den Punkt P(2/4) geht und deren Steigung

f ′ (x) = x lautet?

Differenzieren

Integrieren

f (x) = ∫ f ′(x). dx = ∫ x ⋅ dx = 1 2

x 2 + C

f(x) = 1 2 x2 + C

ist eine quadratische Funktion, da die

höchste Potenz von x quadratisch ist.

Das C in der Gleichung bedeutet, dass

wir eine ganze Schar von Funktionen

dieser Form erhalten. Alle diese

Funktionen haben an einer

bestimmten Stelle die gleiche

Steigung k = f′.

Von den unendlich vielen Funktionen

dieser Art suchen wir jene, deren

Graph durch den Punkt P(2/4) geht:

f(x) = y

P(2/4) f(2) = 4