S K R I P T 2 0 1 9
Gesamter Stoff für die Berufsreifeprüfung Mathe
Gesamter Stoff für die Berufsreifeprüfung Mathe
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
Skript<br />
für eine erfolgreiche Berufsmatura<br />
von<br />
Nur zur Ansicht<br />
Manfred Ambach<br />
Ausgabe
Mathe für die BRP zentral<br />
Lernen und nicht denken ist unnütz.<br />
Denken und nicht lernen ist zwecklos.<br />
Konfuzius<br />
(551-479 v.Chr)<br />
<br />
Einleitende Bemerkungen<br />
Nachdem mittlerweile etliche Maturatermine<br />
nach den Vorgaben der standardisierten Reifeprüfung<br />
abgelaufen sind, zeigt sich, dass die Mathematura für die<br />
BRP auch unter diesen Bedingungen von Erfolg gekrönt<br />
ist.<br />
Neben dem Eifer und Interesse der KandidatInnen sind es<br />
folgende Faktoren, die zu den guten Ergebnissen führen:<br />
Wir Vortragenden vom WIFI sind seit ca. einem Jahrzehnt in die Entwicklung der Aufgaben eingebunden und stehen in<br />
regelmäßigem Kontakt mit Personen, die für die bundesweite Durchführung der Zentralmatura verantwortlich zeichnen,<br />
oder die Beispiele für die Reifeprüfung erstellen. Deshalb ist uns klar, wie die zentrale Mathematura im Rahmen der BRP<br />
aufgebaut ist, welche Anforderungen zu erfüllen und welche Fragestellungen zu bewältigen sind.<br />
Diese Rahmenbedingungen geben uns die Möglichkeit, den Lehrstoff von diversen alten Zöpfen zu befreien. Schwierige<br />
Rechentechniken, deren Sinn sich nicht erschließen, sind Vergangenheit. Ebenso abstrakte Problemstellungen ohne<br />
jeden Alltagsbezug. Hier wird Mathe auf eine Weise vermittelt, die es jeder Person ermöglicht mitzukommen und die<br />
Prüfung zu bestehen, unabhängig von anfänglichen Kenntnissen und Fertigkeiten.<br />
Die TrainerInnen verstehen sich als Begleiter im Lernprozess, die zu jeder Zeit auf alle Belange der TeilnehmerInnen<br />
eingehen. In den Kursen herrscht ein Klima, in dem sich jeder jederzeit zu fragen traut. Fragen sind erwünscht und nicht<br />
lästiges Übel, die gar mit Abwertungen verbunden sind!<br />
Das vorliegende richtet sich in den Themenstellungen, Erläuterungen und der geforderten Mathematik<br />
ausschließlich nach den Ansprüchen der Zentralmatura. Kein relevanter Aufgabenkreis ist weggelassen, kein über-<br />
flüssiges Gebiet erwähnt. Gleiches gilt für die im Anhang befindlichen<br />
die<br />
können.<br />
und ebenso für<br />
. Dort sind die Erfordernisse durchweg so formuliert, wie sie auch zur Matura kommen<br />
Begleitet werden diese Unterlagen von zahlreichen<br />
( MAY Mathe Ambach YouTube ), in denen<br />
Stoffgebiete und konkrete Beispiele in kleinsten und verständlichen Schritten erläutert werden (siehe auch Leitfaden<br />
und die entsprechenden Stellen im Stoffteil).<br />
Nur zur Ansicht<br />
Vielleicht kann dieses Skriptum auch einen Beitrag dazu leisten, die Abneigung gegenüber Mathematik abzubauen. Denn<br />
hinter dem Widerwillen steht nicht selten die Angst, an diesem Fach zu scheitern. Angst ist aber ein schlechter<br />
Lernbegleiter. Sie lässt uns Dinge meiden, anstatt sich einzulassen. Auf unserem Weg durch die Mathematik kann<br />
erlebbar werden, dass trotz negativer Erfahrungen in der Vergangenheit alle Erfordernisse schaffbar sind und manche<br />
Aspekte sehr wohl Interesse wecken können.<br />
Salzburg, im Frühjahr 2019<br />
Manfred Ambach<br />
Man kann sich nur auf etwas stützen,<br />
das Widerstand leistet.<br />
Heinrich SIMON<br />
(1805 – 1860)<br />
manfred.ambach<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
Leitfaden<br />
Der Lernprozess ist wie eine Bergwanderung. Nicht die Höhe des Zieles ist entscheidend, sondern der Weg dorthin.<br />
Wird es (einem) zu steil, so entsteht aus Lust auf Vorwärtskommen erlebte Mühsal und Beschwerlichkeit. Es kommen<br />
Stress oder gar Angst vor dem Scheitern auf. Wir verlieren das Ziel vor Augen und die Bindung. Auf sich alleine gestellt,<br />
wirkt der Weg nach oben wie eine Herausforderung, der wir uns nicht gewachsen fühlen.<br />
Wie kann ich aber Interesse erzeugen, wenn mich ein Fach wenig fesselt, wie das bei Mathe häufig der Fall ist?<br />
Hier kann helfen, sich einerseits das übergeordnete Ziel vor Augen zu führen: Mit der Reifeprüfung, und dazu gehört<br />
auch Mathe, stehen mir erstrebenswerte Möglichkeiten offen. Mathe ist dann der Streckenabschnitt meiner<br />
Bergwanderung, der vielleicht zunächst weniger reizvoll erscheint. Dabei soll mir klar werden, dass daran kein Weg<br />
vorbei führt, will ich mein Ziel erreichen! Andererseits hilft es, sich auf die Erlangung von Etappenzielen zu<br />
konzentrieren. Diese sind schneller und leichter erreichbar als das Gesamtvorhaben und ich motiviere mich durch<br />
erlangte Kenntnisse und Fertigkeiten.<br />
Ich durfte schon viele TeilnehmerInnen erleben, die alleine dadurch motiviert waren, weil sie die Angst vor diesem Fach<br />
im Laufe des Kurses verloren hatten!<br />
Gerald HÜTHER (1) :<br />
© Martina Meven<br />
Kinder bauen in den ersten Lebensjahren ihr Fundament jeglicher<br />
Entwicklung: Die Überzeugung, Erfahrung, Fertigkeiten und Wissen<br />
erlangen zu können, gleich welche Ausgangsbedingungen vorherrschen.<br />
Das geschieht einerseits durch Vertrauen in gebotene Anregungen, Wege<br />
und Gewichtungen. Andererseits durch das Einlassen mit allen Sinnen,<br />
gepaart mit Emotionen. Zum Dritten durch unermüdliches Herangehen,<br />
selbst wenn es zunächst nicht von Erfolg gekrönt ist. Wir alle haben auf<br />
diese Weise das Wesentliche unseres Lebens gewonnen.<br />
Auch im Erwachsenenalter ist es möglich und sehr effektiv, diese Art des<br />
Erlernens zu reaktivieren.<br />
Nur zur Ansicht<br />
" Das Hirn baut bei neuen Erfahrungen neue Vernetzungen auf, gleich in welchem Alter.<br />
Aber nicht durch reines Üben, sondern nur in Verbindung mit Freude und Begeisterung. "<br />
© Martina Meven<br />
Mathematik wird nicht immer vor Spannung knistern. Doch zu erleben, dieses Fach ohne Angst bewältigen zu können<br />
und Anwendungsmöglichkeiten zu erkennen, können Tatenlust und Energie wecken.<br />
(1) G. HÜTHER: Was wir sind und was wir sein könnten. Fischer Taschenbuch. Frankfurt (Main) 2013. ISBN: 978-3-596-18850-5<br />
Weiterer Buchtipp zum Thema Lernen: Christiane STENGER: Wer lernen will, muss fühlen. Rowohlt Verlag. Reinbek bei Hamburg 2016. ISBN: 978-3-499-63123-8<br />
manfred.ambach<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
Dieses Skript soll einen Beitrag dazu leisten, den Weg durch die Schulmathematik anschaulich und begreifbar zu machen,<br />
sodass jede(r) im eigentlichen Sinn des Wortes mitkommen kann.<br />
Ich habe diese Themensammlung so zusammengestellt, dass die einzelnen Kapitel aufbauend gestaltet sind. Der Stoff kann<br />
Schritt für Schritt erfasst werden. Wie auf einer Treppe, deren Stufen eine geeignete Höhe besitzen, ist der Weg nach oben<br />
gut schaffbar. Es ist auch möglich, nur jene Kapitel durchzuarbeiten, bei denen das persönliche Wissen erweitert bzw.<br />
vervollständigt werden soll.<br />
Zentrale Begriffe oder Gesetze tauchen in einzelnen Abschnitten immer wieder auf oder es wird auf das Kapitel und die Seite<br />
ihrer ausführlichen Darlegung hingewiesen. Einerseits, um sich durch Wiederholung in Erinnerung zu rufen, andererseits um<br />
zu verfestigen.<br />
Wovor ich abrate ist, die Seiten wie bei einer Zeitung zu durchblättern und nur bei augenfälligen Textteilen, Rechnungen<br />
oder grafischen Darstellungen zu verweilen. Bei dieser Art von Durchsicht mag sich ein Eindruck eröffnen, doch die<br />
Gewichtung und alle notwendigen Sachverhalte können auf diese Weise nicht wahrgenommen werden.<br />
Um die dargebotenen Inhalte in der Folge selbst anwenden zu können, ist es unabdingbar, die in diesem Skript angeführten<br />
Beispiele simultan auf einem Blatt Papier mitzurechnen. Man sagt, einmal konzentriert schreiben wirke wie das Gleiche<br />
zehnmal lesen. Auch wenn die hier präsentierten Beispiele in kleinen Schritten nachvollziehbar entwickelt sind, ist<br />
mathematisches Wissen in aller Regel zu konzentriert, um alleine durch Lesen nachhaltig erfasst zu werden.<br />
Ich hätte die Seiten auch platzsparender gestalten können, doch wäre das auf Kosten der Übersichtlichkeit gegangen.<br />
Lief ich Gefahr die sprachliche Klarheit zu verlieren, verzichtete ich auf eine gendergemäße Schreibweise, wiewohl auch in<br />
solchen Fällen immer beide Geschlechter gemeint sind.<br />
Für etwaige (Schreib-) Fehler bitte ich um Entschuldigung!<br />
Ich habe mich bemüht, die Anzahl der Fehler zu minimieren. Doch steht mir kein Lektor zur Verfügung und es ist naturgemäß<br />
unmöglich alle eigenen Fehler selbst zu finden!<br />
Neben dem Skript stehen drei elektronische Hilfsmittel zur Verfügung:<br />
Erstens:<br />
Der Taschenrechner<br />
Zahlen.<br />
unterstützt uns bei Berechnungen mit konkreten<br />
Seine unkomplizierte und übersichtliche Handhabung liefert schnell und sicher die<br />
gewünschten Ergebnisse.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Darstellungsart von Brüchen hilft, rund 50 % der Rechen- bzw.<br />
Vorrangfehler zu vermeiden.<br />
Klare Symbole erleichtern die entsprechende Eingabe.<br />
Den Taschenrechner gibt es ohne Aufpreis vom WIFI.<br />
manfred.ambach<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
Zweitens:<br />
Für unkomplizierte, anschauliche Darstellungen dient uns das Rechenprogramm<br />
Im der Suchmaschine (im Internet) das Stichwort<br />
vorderster Stelle:<br />
Linke Spalte:<br />
eingegeben und es erscheint an<br />
Hier klicken wir mit der<br />
linken Maustaste diese Web-<br />
Adresse mit einem Doppel-<br />
Klick an.<br />
Scrollt man weiter, so erscheinen in der rechten<br />
Spalte die links abgebildeten Symbole.<br />
Zwei Varianten bieten sich an:<br />
GeoGebra Classic<br />
GeoGebra Classic<br />
Je nach Betriebssystem klickt man mit der linken<br />
Maustaste den entsprechenden Button an.<br />
Nach derzeitigem Stand wird bei der Matura<br />
GeoGebra Classic verwendet.<br />
Die Unterschiede dieser Varianten sind minimal.<br />
Am besten, man lädt beide Varianten herunter und<br />
arbeitet abwechselnd mit diesen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Diese App gibt es derzeit nur für Android-Smartphones.<br />
Für Smartphones mit anderen Betriebssystemen:<br />
GeoGebra Web Version im Web Browser des Smartphones<br />
manfred.ambach<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
Nach der Installation erscheint folgende Oberfläche:<br />
GeoGebra :<br />
GeoGebra :<br />
Nur zur Ansicht<br />
Installation siehe auch in YouTube:<br />
Das bedeutet: Abschnitt II, Kapitel 2.5., Seite 85 und folgende<br />
Link:<br />
https://www.youtube.com/watch?v=ISrfXEpfoAs&t=103s<br />
manfred.ambach<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
Drittens:<br />
Unter dem Titel<br />
Mathe Ambach YouTube<br />
finden sich zu vielen Themen dieses Skripts Videoclips in YouTube.<br />
Diese können entweder direkt über QR-Code (zu finden bei den entsprechenden Stellen im Skript) erreicht werden,<br />
oder über den jeweiligen Link: https://www.youtube.com/watch?v=vnO-VbiQyDM&t=2s<br />
erreicht werden. (Einfach mit der linken Maustaste anklicken.)<br />
Es gibt derzeit über 80 Videos zum Stoff, zur Handhabung von GeoGebra und zu ausgewählten Aufgaben der<br />
Beispielsammlung.<br />
Lernkarten<br />
Da ich die Videos immer wieder aktualisiere, werden einige QR-Codes veralten.<br />
In diesem Fall ist das entsprechende Video unter selbem Titel auf meinem Videokanal<br />
MAY Ambach zu finden:<br />
Bei manchen Bezeichnungen, Themen oder Stoffgebieten sind<br />
Im Skript Karteikarten gezeichnet, auf denen Wichtiges kurz<br />
zusammengefasst ist.<br />
Solche Karten, wenn du sie selbst anlegst, können ein effektives<br />
Mittel sein, um wesentliche Lerninhalte zu merken.<br />
Auf diese Idee brachte mich die ehemalige Teilnehmerin Katrin HERZOG.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach<br />
pro-test.at
#<br />
Mathe für die BRP zentral<br />
Sollte jemand mit den zahlreichen Beispielen der Übungsaufgaben und den Aufgaben der Beispielsammlung nicht über<br />
genügend Übungsmaterial verfügen, so finden sich im Internet unter den Adressen<br />
www.aufgabenpool.at oder www.srdp.at oder www.mathestunde.at<br />
weitere, der Zentralmatura entsprechende Aufgaben. Jedoch kommen für uns nur<br />
in Frage.<br />
Beachte jedoch:<br />
Teil A – Aufgaben und jene von Cluster P<br />
Nicht die Menge der Beispiele, sondern die Qualität ihrer Auflösung macht den Erfolg aus!<br />
Bei den Prüfungs- bzw. Testaufgaben geben Signalwörter konkrete Hinweise, welche Kenntnisse bzw. Fertigkeiten<br />
gefordert sind. Eine Liste der gängigen Signalwörter findet im Skript<br />
Das bedeutet: Seite 460 und folgende<br />
Ja, und da wäre dann noch Fredo.<br />
Fredo wird sich immer wieder einmal erlauben, seine Erkenntnisse oder<br />
Gefühle zu äußern: Einsichten, Zuversicht, doch auch Ärger oder gar manche<br />
Verzagtheit. Fredo reagiert, wie jede(r) Lernende: guten Mutes und voll<br />
Vertrauen, doch auch manchmal mühsam oder kleinmütig. Alles ganz normale<br />
Bekundungen, wenn man sich ernsthaft mit zuweilen herausfordernder<br />
Materie auseinandersetzt.<br />
Wenn Fragen zu mathematischen Belangen bestehen oder Anregungen bzw. kritische Bemerkungen zum Skript auftreten:<br />
Ich freue mich, wenn ich kontaktiert werde!<br />
Entweder über mathe@pro-test.at oder über<br />
Sehen wir es so:<br />
Du gehst auf eine Reise, die manchmal Herausforderungen verursacht. Doch du bist nicht alleine. Du wirst begleitet von<br />
erfahrenen TrainerInnen und Unterlagen, auf die du dich verlassen kannst!<br />
Nur zur Ansicht<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=vnO-VbiQyDM&t=2s<br />
manfred.ambach<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
ZAHLEN & MAßE<br />
1. ZAHLEN 3<br />
1.1. Zahlenmengen 3<br />
1.1.1. Natürliche Zahlen 5<br />
1.1.2. Ganze Zahlen 7<br />
1.1.3. Rationale Zahlen 9<br />
1.1.4. Reelle Zahlen 11<br />
1.1.5. Komplexe Zahlen 13<br />
1.2. Rechnen mit Zahlen 16<br />
1.2.1. Vorrangregeln 16<br />
1.2.2. Rechnen mit natürlichen Zahlen 17<br />
1.2.3. Rechnen mit ganzen Zahlen 20<br />
1.2.4. Runden von Zahlen 23<br />
1.2.5. Rechnen mit Casio 24<br />
1.3. Prozent– und Promillrechnung 33<br />
1.3.1. Prozentrechnung 33<br />
1.3.2. Promillrechnung 40<br />
1.4. Maße 41<br />
1.4.1. Längenmaße 41<br />
1.4.2. Flächenmaße 43<br />
1.4.3. Raum- und Hohlmaße 45<br />
1.4.3.1. Raummaße 45<br />
1.4.3.2. Hohlmaße 45<br />
1.4.4. Masse 47<br />
1.4.5. Zeitmaße 51<br />
II<br />
ALGEBRA & GEOMETRIE<br />
2. TERME 54<br />
2.1. Benennungen 54<br />
2.2. Potenzen 57<br />
2.2.1. Einführung 57<br />
2.2.2. Rechenregeln für Potenzen 60<br />
2.2.3. Multiplikation von Monom und Klammer 72<br />
2.2.4. Multiplikation von Klammern 73<br />
2.2.5. Binomische Formeln 74<br />
2.2.6. Fließkomma- bzw. Gleitkommadarstellung 75<br />
Nur zur Ansicht<br />
2.3. Zerlegung von Termen 79<br />
2.3.1. eingliedrige Terme 80<br />
2.3.2. mehrgliedrige Terme 80<br />
2.4. Kleines Einmaleins des Bruchrechnens 82<br />
2.4.1. Addieren und Subtrahieren 82<br />
2.4.2. Multiplizieren 83<br />
2.4.3. Dividieren 84<br />
2.5. Einführung in GeoGebra 85<br />
Seite<br />
manfred.ambach<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
3. GLEICHUNGEN 91<br />
3.1. Gleichungen mit einer Variablen 91<br />
3.1.1. Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen) 91<br />
3.1.1.1. Elementares 92<br />
3.1.1.2. Gleichungen mit Klammern 98<br />
3.1.1.3. Gleichungen mit Bruchtermen 98<br />
3.1.1.4. Formeln umformen 100<br />
3.1.1.5. Gleichungen mit GeoGebra 106<br />
3.1.2. Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen) 109<br />
3.1.2.1. Normalform 109<br />
3.1.3. Gleichungen höheren ( als 2. ) Grades 117<br />
3.1.3.1. Gleichungen 3. Grades 117<br />
3.1.3.2. Gleichungen 4. Grades 119<br />
3.2. Gleichungen mit mehreren Variablen 121<br />
3.2.1. Lineare Gleichungen mit 2 Variablen 122<br />
3.2.1.1. Lösungsmethoden 123<br />
3.2.1.1.1. Gleichsetzmethode 123<br />
3.2.1.1.2. Einsetzmethode 125<br />
3.2.1.1.3. Additionsmethode 125<br />
3.2.2. Gleichungssysteme mit GeoGebra 126<br />
4. ELEMENTARGEOMETRIE 132<br />
4.1. Lehrsatz des PYTHAGORAS 132<br />
4.2. Strahlensatz 135<br />
4.3. Kreis und Kreisteile 137<br />
4.4. Prismen 139<br />
4.5. Spitze Körper 142<br />
4.6. Kugel 144<br />
5. TRIGONOMETRIE 146<br />
5.1. Winkelmaße 146<br />
5.2. Graphen der Winkelfunktionen 150<br />
5.2.1. sin und cos 150<br />
5.2.2. tan 152<br />
5.3. Winkelfunktionen im Einheitskreis 153<br />
5.4. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck 156<br />
5.5. Winkelsätze 161<br />
5.5.1. Sinus – Satz 161<br />
5.5.2. Cosinus – Satz 164<br />
5.6. Vermessungsaufgaben 167<br />
III<br />
FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE<br />
Nur zur Ansicht<br />
6. FUNKTIONEN 175<br />
6.1. Koordinatensystem 177<br />
6.2. Funktionen – allgemein 179<br />
6.2.1. Was ist eine Funktion? 179<br />
6.2.2. Bezeichnungen und Ausdrücke 184<br />
6.2.3. Darstellungsarten 186<br />
6.2.4. Funktionen mit GeoGebra 188<br />
6.2.5. Eigenschaften von Funktionen 196<br />
6.2.5.1. Nullpunkte 196<br />
6.2.5.2. Monotonie 198<br />
6.3. Polynomfunktionen 200<br />
6.3.1. Polynomfunktionen 1. Grades (lineare Funktionen) 201<br />
6.3.1.1. Gleichung einer linearen Funktion (Geraden) 201<br />
6.3.1.2. Proportionalität 206<br />
manfred.ambach<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
6.3.1.2.1. direkt proportional 206<br />
6.3.1.2.2. indirekt proportional 207<br />
6.3.1.3. Aufstellen einer Geradengleichung mit 2 gegebenen Punkten 208<br />
6.3.1.4. Lineare Bewegungsaufgaben 212<br />
6.3.2. Polynomfunktionen 2. Grades (quadratische Funktionen) 223<br />
6.3.3. Polynomfunktionen 3. und höheren Grades 231<br />
6.3.4. Gerade und ungerade Polynomfunktionen 237<br />
6.3.4.1. Gerade Polynomfunktionen 237<br />
6.3.4.2. Ungerade Polynomfunktionen 238<br />
6.4. Exponential- und Logarithmusfunktionen 239<br />
6.4.1. Eigenschaften 239<br />
6.4.2. Zinseszinsen 244<br />
6.4.3. Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse 246<br />
IV<br />
ANALYSIS<br />
7. DIFFERENZIEREN 252<br />
7.1. Ableitungsregel 253<br />
7.1.1. Potenzregel 253<br />
7.1.2. Differenzieren mit GeoGebra 257<br />
7.2. Veranschaulichung des Differenzierens 260<br />
7.2.1. Steigung der Tangente 260<br />
7.2.2. Änderungsraten 264<br />
7.2.2.1. Absolute Änderung(srate) 264<br />
7.2.2.2. Relative Änderung(srate) 264<br />
7.2.2.3. Mittlere Änderung(srate) (mittlere Steigung) 265<br />
7.2.2.4. Lokale (momentane) Änderung(srate) (momentane Steigung) 268<br />
7.3. Weitere Anwendungen der Differentialrechnung 273<br />
7.3.1. Extrema 273<br />
7.3.2. Krümmung 280<br />
7.3.3. Wendepunkt und Wendetangente 282<br />
7.4. Kleine Betriebskunde 300<br />
8. INTEGRIEREN 306<br />
8.1. Integrationsregel 306<br />
8.1.1. Potenzregel 306<br />
8.1.2. Integrieren mit GeoGebra 312<br />
8.2. Flächenberechnungen 314<br />
8.2.1 Veranschaulichung 314<br />
8.2.2. Grundaufgaben 321<br />
8.2.2.1. Fläche innerhalb gegebener Grenzen 321<br />
8.2.2.2. Fläche von Funktion und Achse begrenzt 323<br />
8.2.2.3. Fläche nur von 2 Funktionen begrenzt 325<br />
8.3. Integrieren und Differenzieren als Umkehrungen 335<br />
V<br />
Nur zur Ansicht<br />
STOCHASTIK<br />
Vorbemerkungen 341<br />
9. STATISTIK & REGRESSION 342<br />
9.1. Empirische Statistik 342<br />
9.1.1. Kenngrößen 342<br />
9.1.2. Kenngrößen mit GeoGebra 349<br />
9.1.3. Grafische Darstellungen 352<br />
9.1.4. Klassen - Einteilung 355<br />
manfred.ambach<br />
pro-test.at
#<br />
Mathe für die BRP zentral<br />
9.2. Regression 357<br />
9.2.1. Lineare Regression 357<br />
9.2.2. Korrelationskoeffizient 361<br />
9.2.3. Quadratische Regression 364<br />
9.2.4. Exponentielle Regression 366<br />
9. 3. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 367<br />
9.3.1. Grundbegriffe 367<br />
9.3.2. Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ereignisse 369<br />
9.3.2.1. entweder - oder ( oder beide ) – Wahrscheinlichkeit 369<br />
9.3.2.2. sowohl als auch – Wahrscheinlichkeit 370<br />
9.3.2.3. Baumdiagramm 372<br />
9.3.2.4. . . . mindestens einmal . . . 377<br />
9.4. Wahrscheinlichkeitsverteilungen 381<br />
9.4.1. Diskrete Verteilungen (diskrete Zufallsvariablen) 381<br />
9.4.1.1. (Allgemeine) diskrete Verteilungen 382<br />
9.4.1.2 Binomialverteilung 384<br />
9.4.2. GAUßsche Normalverteilung 397<br />
VI<br />
CLUSTER P<br />
10. VEKTOREN 407<br />
10.1. Grundbegriffe 407<br />
10.2. Grafische Verbindungen von Vektoren 409<br />
10.2.1. Addition 409<br />
10.2.2. Gegenvektor eines Vektors 410<br />
10.2.3. Subtraktion 410<br />
10.2.4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 412<br />
10.3. Rechnerische Verbindungen von Vektoren 413<br />
10.3.1. Koordinaten eines Vektors 413<br />
10.3.2. Addition 415<br />
10.3.3. Subtraktion 418<br />
10.3.4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 420<br />
10.4. Weitere Eigenschaften von Vektoren 423<br />
10.4.1. Ortsvektor 423<br />
10.4.2. Betrag (Länge) eines Vektors 424<br />
10.4.3. Gegeben zwei Punkte A und B . . . 427<br />
10.4.3.1. . . . gesucht: Der Vektor von A nach B: AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 427<br />
10.4.3.2. . . . gesucht: Die Länge der Strecke AB 430<br />
10.4.3.3. . . . gesucht: Halbierungspunkt H der Strecke AB 431<br />
10.4.4. Einheitsvektor eines Vektors 434<br />
10.4.5. Normalvektoren eines Vektors 436<br />
10.4.6. Skalarprodukt zweier Vektoren 438<br />
Nur zur Ansicht<br />
11. FOLGEN & REIHEN 446<br />
11.1. Allgemeines 446<br />
11.2. Arithmetische Folgen 447<br />
11.3. Geometrische Folgen 449<br />
12. MENGEN 454<br />
12.1. Was ist eine Menge? 454<br />
12.2. Durchschnittsmenge 455<br />
12.3. Vereinigungsmenge 456<br />
12.4. Differenzmenge 457<br />
Liste der Signalwörter 460<br />
Dank 464<br />
manfred.ambach<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
I<br />
1. ZAHLEN<br />
ZAHLEN & MAßE<br />
1.1. Zahlenmengen<br />
altägyptische Zahlen-Hieroglyphen<br />
Keilschrift-Zahlen<br />
Die Notwendigkeit für Zahlen könnte sich ergeben haben, als unsere Urahnen<br />
sesshaft wurden. Damit begannen sie Ackerbau und Viehzucht zu betreiben. Die<br />
Erträge bzw. der Bestand wollten festgehalten sein und dies könnte die Geburt<br />
der Zahlen bedeuten.<br />
Ishango-Knochen<br />
Der Ishango – Knochen, gefunden im Jahre 1960 an der Küste des Lake Edwards,<br />
an der Grenze zwischen Uganda und Zaire, ist eines der ältesten Dokumente für<br />
die Verwendung von Zahlen und zeigt Gravuren davon. Dieser Fund ist 20 000<br />
Jahre alt und belegt, dass das prähistorische afrikanische Volk der Ishango bereits<br />
systematische quantitative Betrachtungen anstellte.<br />
Nur zur Ansicht<br />
indisch 3. Jhdt v. Chr.<br />
indisch 8. Jhdt n. Chr.<br />
westarabisch 11. Jhdt.<br />
europäisch 15. Jhdt.<br />
europäisch 16. Jhdt.<br />
Neuzeit<br />
In nichts zeigt sich der Mangel mathematischer Bildung mehr,<br />
als in einer übertrieben genauen Rechnung.<br />
Carl Friedrich GAUß<br />
( 1777–1855 )<br />
Wann Zahlen erstmals in der Menschheitsgeschichte auftauchen, lässt sich<br />
nicht genau eruieren, mag aber um die 50 000 Jahre zurückliegen.<br />
Es gilt die Tendenz für die nördliche Halbkugel:<br />
Je weiter wir nach Osten blicken, desto früher finden wir in den alten<br />
Hochkulturen die Verwendung von Zahlen.<br />
Die von uns verwendeten Ziffern sind indischen<br />
Ursprungs, von den Arabern weiterentwickelt. Die<br />
Schreibweise gelangte über Vorderasien und das<br />
lange unter arabischem Einfluss stehende Spanien in<br />
unsere Breiten.<br />
Die ersten Darstellungen der Zahl Null finden sich<br />
bereits vor mehr als 2 000 Jahren bei den Indern.<br />
In Europa führte Leonardo von PISA ( genannt<br />
FIBONACCI [ figlio di Bonaccio – Sohn des Bonaccio ] )<br />
[ 1180(?) – 1241(?) ] im Jahr 1202 die Null ins<br />
kaufmännische Rechnen ein.<br />
manfred.ambach 3 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Wie vorteilhaft die indisch-arabischen Ziffern im Gegensatz zu den römischen Zahlenzeichen sind, soll folgendes<br />
Beispiel verdeutlichen:<br />
Multiplizieren wir 5 . 25 = 125 mit römischen Ziffern:<br />
V<br />
II<br />
I<br />
. XXV<br />
L<br />
C<br />
XXV + C<br />
= CXXV<br />
Siehe auch: https://www.youtube.com/watch?v=_C9CCoMYgDE<br />
Adam RIES<br />
( 1492(3) – 1559 )<br />
Lange Zeit war Rechnen nur gebildeten Menschen vorbehalten. Adam RIES(E), deutscher<br />
Rechenmeister, verfasste sein Werk in deutscher Sprache, obwohl damals vorwiegend auf<br />
lateinisch publiziert wurde. Damit trug er zur Popularisierung dieser Kulturtechnik bei. Sein<br />
Lehrbuch Rechenung auff der linihen und federn wurde bis ins 17. Jhdt mindestens<br />
120-mal aufgelegt.<br />
Rechenung auff der linihen, also Rechnen auf Linien, funktioniert so:<br />
Es werden waagrechte Linien gezeichnet.<br />
Eine Münze auf der ersten (untersten) Linie hatte den Wert 1, eine Münze<br />
im ersten Zwischenraum den Wert 5, auf der zweiten Linie den Wert 10.<br />
Eine Münze im zweiten Zwischenraum erhielt den Wert 50, auf der dritten<br />
Linie 100 usw. Die Tausend wurde mit einem X markiert.<br />
So stellt die nebenstehende Lage der Münzen die Zahl 2 128 dar.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 1<br />
Was bedeutet eigentlich der Begriff unendlich?<br />
Der Duden meint: sehr großes, unabsehbares, unbegrenztes<br />
größer als jeder endliche, beliebig große Zahlenwert<br />
Das Symbol für unendlich in der Mathematik ist die liegende Acht: ∞<br />
Der relativ komplizierte Vorgang rührt daher, dass die Römer keine<br />
Stellenwerte und damit keinen Übertrag kannten.<br />
Solche Rechnungen wurden mit einem System aus dem jeweiligen<br />
Halbieren des einen Faktors und dem Verdoppeln des anderen<br />
bewerkstelligt. Führt die Halbierung auf keine ganze Zahl, wurde<br />
abgerundet.<br />
Danach wurden alle Zeilen gestrichen, bei denen beim Halbieren<br />
gerade Zahlen herauskamen und die verbliebenen Zahlen in der<br />
Verdoppelungsspalte addiert.<br />
Fortsetzung auf S 12<br />
manfred.ambach 4 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.1.1. Natürliche Zahlen<br />
Auf einem Zahlenstrahl (1) besitzen die natürlichen Zahlen folgende Lage:<br />
Die Menge der natürlichen Zahlen, abgekürzt mit dem Symbol N,<br />
bezeichnet die Zahlen des Zählens.<br />
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . }<br />
Die kleinste natürliche Zahl ist eins. Jeder Nachfolger ist um eins größer als der Vorgänger. Die natürlichen Zahlen<br />
enden nicht, sie führen ins Unendliche.<br />
Zusatzbezeichnungen können Zahlen ein- oder ausschließen:<br />
N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Bemerkung: Manchmal meint auch N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . }<br />
N g = { 2, 4, 6, 8, 10, ... }<br />
N u = { 1, 3, 5, 7, 9, ... }<br />
Freilich lassen sich natürliche Zahlen auch anders darstellen, wenngleich es meistens vorteilhaft ist, die einfachste<br />
Schreibweise zu wählen:<br />
4<br />
5 7<br />
Beispiele: 2 N oder 3 N oder<br />
3<br />
64 4 N<br />
2<br />
4<br />
Bemerkungen: ∈ ist das Symbol für " ist Element von " , im Sinne von " gehört zu … " ,<br />
∉ ist das Symbol für " ist kein Element von " , im Sinne von " gehört nicht zu … " .<br />
Nur zur Ansicht<br />
Der Bruchstrich steht für ein Divisionszeichen<br />
Das bedeutet:<br />
Abschnitt VI, Kapitel 12.1., Seite 454<br />
(1)<br />
Ein Zahlenstrahl hat einen Anfang und kein Ende (denke an einen Sonnenstrahl).<br />
Eine Zahlengerade hat weder Anfang noch Ende, geht also vom negativ-Unendlichen bis ins positiv Unendliche.<br />
manfred.ambach 5 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Beispiel: Die märchenhafte Sieben<br />
Warum kommt die Zahl sieben so häufig in unseren Märchen vor?<br />
Schneewittchen und die sieben Zwerge<br />
Der Wolf und die sieben Geißlein<br />
Die sieben Raben<br />
oder auch die sieben Weltwunder oder die sieben Tage der Woche.<br />
In der christlichen Zahlensymbolik des Mittelalters steht sieben für die Gnade bzw. für Ruhe und Frieden.<br />
Sieben ergibt sich durch die Addition von drei und vier.<br />
Drei ist das Symbol für Gott bzw. die Dreifaltigkeit, vier steht für die Welt mit ihren vier Elementen<br />
Luft, Feuer, Wasser und Erde.<br />
Gewisse natürliche Zahlen sind sog. Primzahlen.<br />
Die ersten Primzahlen sind:<br />
Primzahlen sind natürliche Zahlen,<br />
die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.<br />
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . . .<br />
Die bisher größte Primzahl wurde im Rahmen des GIMPS<br />
( Great Internet Mersenne Prime Search )-Projekts am 26.12. 2017<br />
gefunden: 2 77 323 917 − 1 . Eine Zahl mit über 23 Millionen<br />
Ziffern. (1) Würde man diese Zahl aufschreiben, füllte sie ca.<br />
4 750 Din-A4 Seiten.<br />
Nebenstehend das Sieb des ERATOSTHENES ( ≈276 – 194 v.Chr. ) zur<br />
Ermittlung der Primzahlen, hier bis 100.<br />
Zuerst streicht man alle Zahlen, die durch 2 teilbar sind, dann die<br />
Vielfachen von 3, nun die durch vier teilbaren Zahlen, gefolgt von<br />
allen Vielfachen von 5 usw. bis nur noch jene Zahlen bleiben, die<br />
nur durch 1 und sich selbst teilbar sind, also die Primzahlen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Ja, warum ist die Zahl 1 eigentlich keine Primzahl, wenn sie doch, wie gefordert, nur durch 1 und sich selbst<br />
teilbar ist?<br />
...................................................................................................................................................................................<br />
...................................................................................................................................................................................<br />
gnusöL: trednärev sthcin snie hcrud noisivid eid dnu driw treidivid nelhazmirp hcrud liew<br />
(1)<br />
https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl<br />
manfred.ambach 6 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Primzahlen haben in der Zahlentheorie eine fundamentale Bedeutung, um<br />
Strukturen zu erkennen und festzulegen. So lässt sich jede natürliche Zahl als<br />
Produkt (Ergebnis einer Multiplikation) von Primzahlen darstellen. Heute finden<br />
Primzahlen unter anderem in der Verschlüsselungstechnik Verwendung, um z.B.<br />
den Datenaustausch via Internet sicherer zu gestalten.<br />
Ältere Verfahren verwenden Zahlen mit 129 Dezimalstellen, die von modernen<br />
Rechnern in Kürze zu knacken sind. Neue und sehr sichere<br />
Verschlüsselungsmethoden beruhen auf Zahlen mit 1 924 Stellen, die mit<br />
handelsüblichen Methoden nicht aufzuspüren sind. Allerdings sind derartige Zahlen für (Smart-) Phones der heutigen<br />
Generation zu groß!<br />
1.1.2. Ganze Zahlen<br />
Die ganzen Zahlen auf einer Zahlengeraden:<br />
Die Menge der ganzen Zahlen, symbolisiert durch Z , meint alle natürlichen<br />
Zahlen, die Zahl Null, sowie alle negativen ganzen Zahlen.<br />
Z = { . . . . . . . , – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . . . . }<br />
Die ganzen Zahlen kommen aus dem Negativ-Unendlichen und reichen bis ins Positiv-Unendliche. Auch hier ist der<br />
Nachfolger stets um eins größer als der Vorgänger.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Zusatzbezeichnungen sind möglich und üblich:<br />
Z + = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . } = N<br />
Z − = { . . . . ., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1 } Z g<br />
− = { . . . . ., – 8, – 6, – 4, – 2 } usw.<br />
Die ganzen Zahlen existieren seit mindestens knapp zweieinhalbtausend Jahren, als die Babylonier um 300 v. Chr.<br />
auf die Notwendigkeit der Erweiterung der natürlichen Zahlen beim Lösen von Gleichungen stießen.<br />
manfred.ambach 7 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Babylonische Zahlen-Zeichen (ca. 2000 – 1500 v.Chr.)<br />
In Europa gewannen nach 1000 nach Christus<br />
Handelszentren wie die deutsche Hanse oder Stadtsaaten<br />
wie Venedig, Genua oder Florenz immer mehr an Einfluss.<br />
Der rege Handel bedingte die Notwendigkeit ganzer<br />
Zahlen, denn fehlende Ware oder Schulden mussten<br />
entsprechend gekennzeichnet werden.<br />
Noch heute findet sich der Einfluss italienischer Handelsmetropolen in Bezeichnungen wie Konto<br />
( il conto: die Rechnung ) oder dem Lombard-Satz ( Lombarden wurden im Heiligen Römischen Reich deutscher Nation die<br />
italienischen Kaufleute genannt ) als dem Zinssatz, den die jeweilige Zentralbank festlegt.<br />
Beispiel:<br />
Stephan rechnet offensichtlich so:<br />
Am Abend werden – 20 Grad Celsius ( °C ) gemessen. In der Nacht soll die Temperatur<br />
um 5° C sinken.<br />
Stephan meint: " Dann wird es in der Nacht −15° C haben. "<br />
Julia entgegnet: " Ich glaube, die Temperatur wird auf – 25 ° C sinken. "<br />
Tom: " Komisch, wenn ich rechne, komme ich auf + 25 ° C ! "<br />
– Begründe, wer von den Dreien recht hat.<br />
– 20° C + 5° C = −15° C Plus heißt aber mehr. Wenn die Temperatur sinkt,<br />
wird sie jedoch weniger. Und weniger heißt minus.<br />
Also hat Stephan unrecht.<br />
Julias Überlegung:<br />
Es hat am Abend – 20 ° C . In der Nacht wird es noch 5 ° C weniger haben.<br />
– 20 ° C – 5 ° C = – 25 ° C<br />
Tom rechnet augenscheinlich so:<br />
weniger heißt minus<br />
Nur zur Ansicht<br />
– 20 ° C – 5 ° C = + 25 ° C Tom wendet dabei die Vorzeichen-Regel der Multiplikation<br />
− ⋅ − = +<br />
Das bedeutet:<br />
Damit liegt nur Julia mit ihren Überlegungen und dem Ergebnis richtig.<br />
Abschnitt I, Kapitel 1.2.3., Seite 20 und folgende<br />
Der schwedische Physiker und Mathematiker Anders CELSIUS (1701 – 1744) legte den Gefrierpunkt von Wasser<br />
bei 100 o C fest, den Siedepunkt bei 0 o C. Carl von LINNÈ (1707 – 1778 , schwedischer Naturforscher) drehte 1745<br />
die Skala um, so wie wir sie heute verwenden.<br />
manfred.ambach 8 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.1.3. Rationale Zahlen<br />
Einige Beispiele rationaler Zahlen:<br />
Die Menge der rationalen Zahlen, abgekürzt mit Q, beinhaltet alle Zahlen,<br />
die sich als Brüche darstellen lassen,<br />
in deren Zähler und Nenner ganze Zahlen stehen ( im Nenner ≠ 0 ).<br />
Bemerkung: Das Symbol Q rührt daher, dass man statt des Bruchstriches<br />
auch ein Divisionszeichen setzen kann und das Ergebnis einer<br />
Division Quotient genannt wird.<br />
Zuvor eine Bemerkung: entstammt der Mengenlehre und bedeutet „ ist Element von “, was so viel wie „ gehört zu “ meint.<br />
3<br />
∈ 4 Q, da 3<br />
= 3,0<br />
4 4,0<br />
1,25 ∈ Q, , da 1,25 = 1,25<br />
Um auf die Darstellung<br />
2 ∈ Q, , da 2 = 2,0<br />
1,0<br />
1,0<br />
0, 4̇ ∈ Q, , da 0, 4̇ = 4<br />
4<br />
9 = 0, 4̇ 4<br />
zu kommen, muss man allerdings<br />
9<br />
− 3 ∈ Q, , da−3 = −3,0<br />
Nur zur Ansicht<br />
Wozu soll ich denn Zahlen,<br />
wie z.B. 2 , als Brüche<br />
darstellen, wenn sie als<br />
ganze Zahlen viel einfacher<br />
sind?<br />
9<br />
als Division auffassen:<br />
1,0<br />
Musst du ja nicht, lieber Fredo!<br />
4 : 9 = 0,444 . . .<br />
40<br />
40<br />
40<br />
. . .<br />
Es heißt ja, rationale Zahlen sind solche, die man als Brüche<br />
mit ganzzahligem Zähler und Nenner darstellen kann und<br />
nicht muss!<br />
Rationale Zahlen sind demnach neben den Bruchzahlen, auch die natürlichen und ganzen Zahlen, ebenso<br />
alle Dezimalzahlen mit endlich vielen Stellen und periodische Dezimalzahlen, also Zahlen mit unendlich vielen<br />
Stellen, wobei sich die Ziffern regelmäßig wiederholen.<br />
manfred.ambach 9 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Die rationalen Zahlen liegen so dicht, dass sich der Nachfolger oder Vorgänger einer bestimmten Zahl nicht exakt<br />
angeben lässt:<br />
Der Nachfolger der Zahl 1 kann nur angedeutet werden: 1,000000 . . . 0001<br />
Ebenso der Vorgänger der Zahl 2: 1,999999 . . . . 9998<br />
Auch wenn wir den Abstand zweier rationaler Zahlen verkleinern, lassen sich Nachfolger und Vorgänger nur<br />
andeuten und nicht exakt angeben.<br />
Obwohl die rationalen Zahlen so dicht liegen, gibt es noch Zahlen, die nicht zu den rationalen Zahlen gehören,<br />
sich also nicht als Brüche darstellen lassen, in deren Zähler und Nenner ganze Zahlen stehen:<br />
Beispiele: √ 2 = 1,4142135623730950488016887 . . .<br />
Nur zur Ansicht<br />
oder die Kreiszahl π = 3.1415926535897932 . . .<br />
Diese Wurzel, als Dezimalzahl dargestellt, besteht aus<br />
unendlich vielen Ziffern, die sich jedoch nicht, wie bei den<br />
periodischen Dezimalzahlen, regelmäßig wiederholen.<br />
Darstellung der Zahl pi (π) in der Wiener Opernpassage<br />
manfred.ambach 10 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Solche Zahlen nennt man irrationale Zahlen, wobei irrational nicht als vernunftwidrig oder unsinnig gedeutet<br />
wird, sondern als unvorstellbar [ ratio (lateinisch): u.a.: Denkart, Anschauung ].<br />
Die Berücksichtigung solcher Zahlen führt uns zur nächsten Zahlenmenge, den reellen Zahlen.<br />
Die rationalen Zahlen auf einer Zahlengeraden:<br />
0 1<br />
Trotz ihrer Dichte weisen die rationalen Zahlen immer noch Löcher auf, nämlich die irrationalen Zahlen.<br />
Bemerkung: Zahlentheoretisch, also mathematisch, lässt sich zeigen, dass die rationalen Zahlen „dicht“ sind.<br />
Doch ist dieser Sachverhalt recht abstrakt zu verstehen.<br />
Deshalb erlaube ich mir die obige Anschauung zu vertreten.<br />
1.1.4. Reelle Zahlen<br />
Damit sind alle bisher behandelten Zahlen auch reelle Zahlen:<br />
Beispiele:<br />
Die Menge der reellen Zahlen R besteht aus jenen Zahlen,<br />
die sich als Brüche darstellen lassen,<br />
in deren Zähler und Nenner Dezimalzahlen<br />
mit endlich oder unendlich vielen Ziffern<br />
( im Nenner ≠ 0 ) stehen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
3<br />
∈ 4 R, da 3<br />
= 3,0<br />
4 4,0<br />
1,25 ∈ R, da 1,25 = 1,25<br />
2 ∈ R, da 2 = 2,0<br />
. .<br />
1,0<br />
1,0<br />
− 3 ∈ R, da−3 = −3,0<br />
1,0<br />
0, 4̇ ∈ R, da 0, 4̇ = 0,44444 … = 0,44444…<br />
1,0<br />
Aber auch:<br />
π ∈ R, da π = 3,141592654 … = 3,141592654…<br />
1,0<br />
√2 ∈ R, da √2 = 1,414213562 … = 1,414213562…<br />
1,0<br />
manfred.ambach 11 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Die reellen Zahlen liegen so dicht, dass sie eine durchgehende Gerade bilden.<br />
Wir können uns die bisher behandelten Zahlenmengen folgendermaßen veranschaulichen:<br />
Bemerkung: Bei der obigen Darstellung handelt es sich nur um eine grobe Illustration, bei der die Größenverhältnisse<br />
zwischen den Zahlenmengen nicht stimmen.<br />
0<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 2<br />
Ist ∞ eine Zahl?<br />
Was ergibt dann z.B. ∞ − 1 ?<br />
Fortsetzung auf S 22<br />
manfred.ambach 12 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.1.5. Komplexe Zahlen<br />
Beispiel:<br />
2<br />
√ 4 = √ 4<br />
2<br />
√ 4 = √ 4<br />
Trotz der völligen Dichte reeller Zahlen sind in dieser Menge noch immer nicht<br />
alle möglichen Zahlen berücksichtigt.<br />
= 2 Probe: 2 2 = 2 . 2 = 4<br />
Folgende Beispiele sollen den Bedarf einer zusätzlichen Zahlenmenge darlegen:<br />
= −2 Probe: (−2) 2 = (−2) . (−2) = 4<br />
Wie sieht das nun mit der Quadratwurzel aus einer negativen Zahl aus?<br />
Beispiel:<br />
2<br />
√− 4<br />
2<br />
√− 4<br />
= 2 Probe: 2 2 = 2 . 2 = 4 und nicht − 4 → √−4<br />
= −2 Probe: (−2) 2 = (−2). (−2) = 4 und nicht − 4 → √−4<br />
Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl kann<br />
zwei Werte besitzen: Einen positiven und ihre<br />
negative Gegenzahl. Denn gleich, ob ich eine<br />
positive Zahl quadriere ( also mit sich selbst<br />
multipliziere ) oder ihre negative Gegenzahl,<br />
ich erhalte immer das gleiche positive Ergebnis.<br />
Nur zur Ansicht<br />
2<br />
2<br />
≠ 2<br />
≠ −2<br />
Es existiert keine reelle Zahl, die quadriert eine negative Zahl ergibt.<br />
Folglich kann die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl keinen Wert in den bisherigen Zahlenmengen besitzen.<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=WAzGp8Wqxtk&t=2s<br />
manfred.ambach 13 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich GAUß ging nun her und setzte die<br />
Carl Friedrich GAUß<br />
( 1777 – 1855 )<br />
und benannte i als imaginäre Einheit.<br />
2<br />
√– 1<br />
Damit lassen sich Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wie folgt angeben:<br />
√− 4 = √4 ⋅ (−1) = √4 ⋅ √− 1 = ±2 i<br />
±2 i<br />
Typisch Mathematiker!<br />
Machen aus etwas, was eben<br />
nicht existiert, nicht nur ein<br />
Problem, sondern gleich eine<br />
neue Theorie daraus!<br />
Nur zur Ansicht<br />
= i<br />
Gemeint sind die beiden Zahlen 2 i und −2 i<br />
Lieber Fredo,<br />
Ich möchte versuchen, ein Argument für die Existenz komplexer Zahlen anzuführen:<br />
auf den ersten Blick hast du natürlich Recht!<br />
Du befindest dich mit deiner Skepsis in literarischer<br />
Gemeinschaft mit<br />
Friedrich TORBERGs Schüler Gerber ,<br />
der im gleichnamigen Roman seinen Mathelehrer Kupfer<br />
über den Sinn komplexer Zahlen befragt.<br />
Auch Zahlen wie 1, 2 oder 3 sind abstrakte Gedankengebilde. Sie nennen sich zwar natürliche Zahlen, aber niemand<br />
hat im Frühling z.B. eine Eins aus dem Boden sprießen sehen. Solche Zahlen ergeben erst dann Sinn, wenn wir sie mit<br />
Gegenständen verbinden, um sie z.B. zu zählen und damit quantitativ (mengenmäßig) zu erfassen.<br />
Als Kinder lernten wir die Namen der Zahlen und schließlich konnten wir sie in<br />
richtiger Reihenfolge nennen. Doch was sollen denn<br />
bedeuten?<br />
eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben . . .<br />
Der Sinn erschließt sich erst, wenn diesen Zahlen Objekte zugeordnet werden,<br />
wenn wir Utensilien zählen um ihre Anzahl festzustellen und Ordnungen zu<br />
schaffen. Auch mit der imaginären Einheit bzw. den komplexen Zahlen lassen sich Gesetzmäßigkeiten und Strukturen in<br />
Natur und Technik beschreiben und zwar einfacher als mit den uns gewohnten Zahlen. Wichtig ist, wie bei jeder Zahl und<br />
Rechnung, eine passende Deutung zu finden!<br />
Mit Hilfe der komplexen Zahlen, können z.B. Schwingungszustände,<br />
die Einsichten in Materiestrukturen verleihen, wesentlich leichter<br />
berechnet werden als mit den uns geläufigen Zahlen.<br />
Komplexe Zahlen finden u.a. auch in der Chaostheorie ihre<br />
Verwendung und sind heute aus Naturwissenschaft und Technik<br />
nicht mehr wegzudenken.<br />
manfred.ambach 14 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Gebäudekomplex in Düsseldorf<br />
Woher der Name komplexe Zahlen?<br />
Wie ein Gebäudekomplex aus mehreren Häusern besteht, so setzt<br />
sich eine komplexe Zahl aus mehreren Gliedern (Ausdrücke, die mit<br />
+ oder – verbunden sind) zusammen, die nicht addiert bzw.<br />
subtrahiert werden können.<br />
Beispiel: z = 4 + 3 . i<br />
Allgemein lässt sich eine komplexe Zahl z in sog. BINOMIAL-Form wie folgt darstellen:<br />
mit a, b R ( a und b sind reelle Zahlen )<br />
i … imaginäre Einheit mit i = √− 1<br />
Beispiel: z = 4 + 3 i<br />
Diese komplexe Zahl z wird in einer<br />
Ebene (flach und unendlich groß) als<br />
Pfeil dargestellt.<br />
Auf der waagrechten Achse wird<br />
a = 4 aufgetragen, auf der nach<br />
hinten gehenden Achse 3 i .<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die komplexen Zahlen sind eine ganze Dimension größer als alle Zahlen, die wir bisher besprachen:<br />
Während sich natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen auf der waagrechten Achse (eindimensional)<br />
darstellen lassen, bedecken die Pfeilspitzen aller komplexen Zahlen jeden Punkt in einer (unendlich großen) Ebene<br />
(zweidimensional).<br />
manfred.ambach 15 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.2. Rechnen mit Zahlen<br />
1.2.1. Vorrangregeln<br />
Wegen der Bedeutung der Vorrangregeln für das richtige Rechnen seien diese Gebote in Erinnerung gerufen:<br />
(1) Klammern müssen immer zuerst berücksichtigt werden<br />
(2) Hochrechnung ( Potenzen, Wurzeln ) kommt vor Punktrechnung ( . : )<br />
(3) Punktrechnung kommt vor Strichrechnung ( + – )<br />
Stehen mehrere Klammern ineinander, mit der innersten Klammer beginnen.<br />
Innerhalb der Klammern gilt auch: Hoch– vor Punkt– vor Strichrechnung.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 16 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.2.2. Rechnen mit natürlichen Zahlen<br />
Betrachten wir folgendes Beispiel:<br />
4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 3 2 ) ] + 2 3 =<br />
Stehen mehrere Klammern ineinander, beginne mit der innersten Klammer.<br />
Zunächst berücksichtigen wir die Hochrechnung in der innersten (runden) Klammer.<br />
= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 3 2 ) ] + 2 3 =<br />
= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 9 ) ] + 2 3 =<br />
Es folgt die Punktrechnung in der runden Klammer.<br />
= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 9 ) ] + 2 3 =<br />
= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 12 – 9 ) ] + 2 3 =<br />
Jetzt noch die Strichrechnung in der runden Klammer.<br />
= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 12 – 9 ) ] + 2 3 =<br />
= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 ) ] + 2 3 =<br />
In der runden Klammer steht nur noch eine Zahl. Deshalb dürfen wir diese Klammer weglassen.<br />
= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 ) ] + 2 3 =<br />
= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – 3 ] + 2 3 =<br />
Nun berechnen wir die eckige Klammer anhand der Vorrangregeln.<br />
= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – 3 ] + 2 3 =<br />
Nur zur Ansicht<br />
= 4 + 2 . [ 5 . 4 – 3 ] + 2 3 =<br />
= 4 + 2 . [ 5 . 4 – 3 ] + 2 3 =<br />
= 4 + 2 . [ 20 – 3 ] + 2 3 =<br />
= 4 + 2 . [ 20 – 3 ] + 2 3 =<br />
= 4 + 2 . [ 17 ] + 2 3 =<br />
= 4 + 2 . [ 17 ] + 2 3 =<br />
manfred.ambach 17 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Nachdem auch die eckige Klammer weggelassen werden kann, sind die restlichen Rechenoperationen<br />
wiederum entsprechend den Vorrangregeln durchzuführen.<br />
= 4 + 2 . 17 + 2 3 =<br />
= 4 + 2 . 17 + 2 3 =<br />
= 4 + 2 . 17 + 8 =<br />
= 4 + 2 . 17 + 8 =<br />
= 4 + 34 + 8 =<br />
= 46<br />
Bemerkung 1: Freilich lässt sich ein solches Beispiel in weniger Schritten bewerkstelligen, doch soll hier die richtige<br />
Anwendung der Vorrangregeln bewusst gemacht werden, die auch für das Rechnen mit Buchstaben gelten.<br />
Bemerkung 2: Der Gebrauch der Vorrangregeln wirkt im Zusammenhang mit konkreten Zahlen meist recht banal,<br />
ist aber häufig eine Ursache für falsches Rechnen!<br />
Beispiel:<br />
2 3 = 2 . 2 . 2 = 8 und nicht 2 3 = 2 . 3 = 6<br />
3-mal<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Nur zur Ansicht<br />
Festungsbahn Salzburg<br />
Das bedeutet: Abschnitt II, Kapitel 2.2.1., Seite 56 und folgende<br />
Ein Wagen der Salzburger Festungsbahn kann maximal 55 Personen fassen.<br />
Es fährt immer ein Wagen nach oben und einer gleichzeitig nach unten.<br />
Die Fahrzeit für eine Strecke beträgt 39 Sekunden, die Stehzeit 2,6 Minuten.<br />
Bild: SLB<br />
– Berechnen Sie, wie viele Personen in der 12-stündigen Öffnungszeit maximal nach oben befördert werden<br />
können.<br />
manfred.ambach 18 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Fahrzeit = 39 Sekunden<br />
Stehzeit = 2,6 Minuten 2,6 Minuten . 60 = 156 Sekunden (s)<br />
Fahrzeit + Stehzeit für eine Strecke = 39 + 156 = 195 Sekunden → Alle 195 s fährt ein Wagen nach oben.<br />
1 Stunde = 60 Minuten = 3 600 s → 12 Stunden = 12 . 3 600 s = 43 200 s<br />
43 200 : 195 = 221,54 Das heißt, die Wagen können in 12 Stunden 221-mal zur Gänze hinauffahren. (*)<br />
221 . 55 = 12 155<br />
In den 12 Stunden Betriebszeit können maximal 12 155 Personen nach oben befördert werden.<br />
(*)<br />
Würde ein Wagen in 12 Stunden 221,54-mal hinauffahren, bliebe er bei seiner 222. Fahrt auf offener Strecke stehen,<br />
weil er da nur noch das 0,54-fache (=<br />
Richtig wäre auch folgende Überlegung:<br />
12 Stunden = 12 . 3 600 s = 43 200 s<br />
54<br />
100<br />
Bei der ersten Fahrt gibt es noch keine Stehzeit.<br />
43 161 : 195 = 221,34 → 221 ganze Fahrten + 1. Fahrt = 222 Fahrten<br />
222 . 55 = 12 210<br />
= 54 % ) der Strecke, also nur noch gut die Hälfte, zurücklegte.<br />
43 200 – 39 = 43 161 s<br />
Bei dieser Überlegung könnten in den 12 Betriebsstunden maximal 12 210 Personen nach oben befördert werden.<br />
Aus der Sendung die Millionenshow:<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 19 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.2.3. Rechnen mit ganzen Zahlen<br />
Für das Rechnen mit ganzen Zahlen benötigen wir neben den Vorrangregeln auch die<br />
Dazu passende Beispiele:<br />
der Multiplikation<br />
Vorzeichenregeln<br />
der Division<br />
+ ⋅ + = + + : + = +<br />
– ⋅ – = + – : – = +<br />
+ ⋅ – = – + : – = –<br />
– ⋅ + = – – : + = –<br />
( + 3 ) . ( + 2 ) = + 6 ( + 8 ) : ( + 4 ) = + 2<br />
( – 3 ) . ( – 2 ) = + 6 ( – 8 ) : ( – 4 ) = + 2<br />
( + 3 ) . ( – 2 ) = – 6 ( + 8 ) : ( – 4 ) = – 2<br />
( – 3 ) . ( + 2 ) = – 6 ( – 8 ) : ( + 4 ) = – 2<br />
Nur zur Ansicht<br />
Warum ergibt denn eigentlich<br />
z.B. – . – = + ?<br />
und<br />
→ Das kannst du in der Übung 01 - 02 erfahren.<br />
Glücklicherweise haben wir in<br />
der Volksschule nicht so<br />
kompliziert multiplizieren<br />
gelernt, sonst könnte ich es bis<br />
heute nicht!<br />
→ Richtig, und deshalb schreiben wir jetzt die gleichen<br />
Aufgaben nochmals so einfach wie möglich an.<br />
manfred.ambach 20 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
3 . 2 = 6 8 : 4 = 2 oder<br />
4<br />
2<br />
8 2<br />
– 3 . ( – 2 ) = 6 – 8 : ( – 4 ) = 2 oder<br />
3 . ( – 2 ) = – 6 8 : ( – 4 ) = – 2 oder<br />
– 3 . 2 = – 6 – 8 : 4 = – 2 oder<br />
Was können wir daraus für Schreibregeln folgern?<br />
o Steht zu Beginn vor einer Zahl ( oder einem Buchstaben ) kein Vorzeichen, so<br />
ist + gemeint<br />
Jetzt ein Beispiel mit ganzen Zahlen:<br />
o Zwei unmittelbar aufeinander folgende Vor- bzw. Rechenzeichen müssen<br />
( aus Gründen der Übersicht ) durch eine (optische) Klammer getrennt werden<br />
aber:<br />
– 2 . ( – 2 ) 2 – [ – 4 . 3 2 – ( – 2 ) 2 + 4 ] =<br />
= (–2) – 2 3 . + ( 2 –. 2 [ )–2 2 –. [(–3)– 4 2 . – 3 2 4 –. (–1)( – 2 3 ) + 2 + 2 2 4 ]] =<br />
= – 2 . ( – 2 ) 2 – [ – 4 . 9 – (+ 4 ) + 4 ] =<br />
= (–2) 3 + 2 . [ –2 . 9 – 4 . (–1) + 4 ] =<br />
Nur zur Ansicht<br />
= – 2 . ( – 2 ) 2 – [ – 4 . 9 – 1.(+ 4 ) + 4 ] =<br />
=<br />
=<br />
(–2)<br />
– 2 3 .<br />
+<br />
( –<br />
2<br />
2<br />
. [<br />
) 2 –<br />
–18<br />
[ – 36<br />
+<br />
–<br />
4<br />
4<br />
+<br />
+ 4<br />
]<br />
] =<br />
= – 2<br />
= (–2) 3 . ( – 2 ) 2 – [ – 36 ] =<br />
+ 2 . [ –10 ] =<br />
= – 2 . 4 – [ – 36 ] =<br />
= –8 + 2 . [ –10 ] =<br />
= – 8 – [ – 36 ] =<br />
8 <br />
4<br />
8<br />
4<br />
8<br />
4<br />
2<br />
2<br />
Laut Vorrangregeln müssen Klammern zuerst berücksichtigt werden.<br />
In der runden (innersten) Klammer können wir nichts rechnen. Diese<br />
Klammer ist zu quadrieren (Hochrechnung), wie auch 3 2 , was vor allen<br />
anderen Rechenoperationen in der eckigen Klammer Vorrang hat.<br />
Es folgt die Punktrechnung in der eckigen Klammer,<br />
Beachte, dass das Vorzeichen – vor der runden Klammer eigentlich<br />
die Multiplikation mit – 1 meint.<br />
Das bedeutet:<br />
Jetzt folgt die Strichrechnung in der eckigen Klammer.<br />
In der eckigen Klammer steht nur noch eine Zahl. Wir könnten also die<br />
eckige Klammer weglassen. Da aber zwei Rechenzeichen<br />
( das Minus vor der eckigen Klammer und das Minus vor 36 )<br />
nicht unmittelbar aufeinander folgen dürfen, müssen wir die Klammer<br />
stehen lassen.<br />
Nun ist die Hochrechnung außerhalb der eckigen Klammer an der Reihe,<br />
gefolgt von der Punktrechnung.<br />
Abschnitt I, Kapitel 2.2.3., Seite 72<br />
= –8<br />
manfred.ambach 21 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
= – 8 – 1 . [ – 36 ] =<br />
= – 8 + 36 =<br />
= 28<br />
Noch weitere Beispiele:<br />
–2 . +3 . ( – 4 ) = + 24 = 24<br />
– ⋅ – = +<br />
(–2) 2 = (–2) . (–2) = + 4 = 4<br />
(–2) 3 = (–2) . (–2) . (–2) = – 8<br />
Richtig! Doch muss dabei die sog. Basis ( Grundzahl ) negativ sein!<br />
2 3 = (+2) 3 = + 8 = 8<br />
Kann es sein, dass bei gerader<br />
Hochzahl das Ergebnis positiv ist,<br />
während eine ungerade Hochzahl ein<br />
negatives Resultat zur Folge hat?<br />
Wie lösen wir jetzt die eckige Klammer auf?<br />
Das Minus vor der Klammer ist eigentlich das<br />
Vorzeichen der Zahl 1, mit der wir uns die Klammer<br />
multipliziert vorstellen können<br />
Das bedeutet:<br />
Der erste Faktor – 2 ist negativ. Der zweite, +3 , ist positiv.<br />
– mal + ist – und<br />
– mal – ( von – 4 ) ist schließlich +<br />
Zuletzt berücksichtigen wir noch die Strichrechnung.<br />
Abschnitt I, Kapitel 2.2.3., Seite 72<br />
Nur zur Ansicht<br />
Ist die Basis positiv, ist das Ergebnis immer positiv, gleich ob die Hochzahl gerade oder ungerade ist!<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 3<br />
∞ − 1 = ∞ behaupte ich einmal.<br />
Fortsetzung S 38<br />
manfred.ambach 22 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.2.4. Runden von Zahlen<br />
Wir betrachten das Kaufmännische Runden<br />
Beispiel:<br />
Die Zahl 6,2379 soll auf zwei Nachkommastellen gerundet werden.<br />
Beispiele:<br />
6,2379 ≈ 6,24<br />
Runde die folgenden Zahlen auf zwei Nachkommastellen:<br />
16,0329 ≈<br />
16,0351 ≈<br />
16,03<br />
...............................................<br />
16,04<br />
...............................................<br />
Nur zur Ansicht<br />
8,003 ≈<br />
1,0081 ≈<br />
0,0002 ≈<br />
Wir betrachten die nächstfolgende Dezimalstelle.<br />
In unserem Beispiel die dritte, da wir auf zwei Stellen nach dem Komma runden wollen.<br />
Steht an dieser Stelle die Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4, dann bleibt die Ziffer, auf die gerundet werden soll,<br />
unverändert.<br />
Steht an dieser Stelle die Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9, dann wird die Ziffer, auf die gerundet werden soll,<br />
um 1 erhöht.<br />
8,00<br />
...............................................<br />
1,01<br />
...............................................<br />
0,00<br />
...............................................<br />
4,997 ≈<br />
5,00<br />
...............................................<br />
manfred.ambach 23 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.2.5. Rechnen mit Casio<br />
Wollen wir uns zunächst einmal mit den grundlegenden<br />
Bedienungselementen unseres Rechners auseinandersetzen.<br />
Dieser Taschenrechner zeichnet sich einerseits durch einfache Bedienung<br />
aus. Außerdem entspricht die Darstellung am Display in aller Regel der<br />
handschriftlichen Aufzeichnung.<br />
Das Einschalten des Rechners erfolgt über die Taste<br />
( 1. Reihe, ganz rechts)<br />
Für die Anfangs-Einstellung betätigen wir die Tasten<br />
und<br />
( 1. Reihe, ganz links )<br />
Nur zur Ansicht<br />
Es erscheint das abgebildete Befehlsfenster.<br />
Jetzt die<br />
gedrückt, und folgendes Befehlsfenster erscheint:<br />
manfred.ambach 24 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Da wir die Setup – Daten zurücksetzen wollen,<br />
betätigen wir die Taste<br />
Nun noch betätigt ( 6. Reihe, ganz rechts )<br />
Das Display erscheint in der links abgebildeten Form.<br />
Auf diese Weise erfolgt auch das Zurücksetzen , wenn<br />
sich durch die Solarzelle die Einstellungen verändert haben<br />
sollten.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bemerkung: Das M in der obigen Zeile muss nicht unbedingt angezeigt sein.<br />
Ausschalten des Taschenrechners:<br />
und<br />
manfred.ambach 25 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Beispiel:<br />
Ermitteln wir mit Hilfe des Rechners das Ergebnis von 4 . 5 – 3 . 2 3 =<br />
Wir geben ein:<br />
Zunächst geben wir die Ziffer 4<br />
ein, gefolgt vom<br />
Mal-Zeichen<br />
( 3. Reihe von unten,<br />
2. Taste rechts ).<br />
Jetzt Minus<br />
( 2. Reihe von<br />
unten, ganz<br />
rechts )<br />
gedrückt.<br />
Nun die Ziffer 3, das<br />
Mal-Zeichen und die Ziffer 2<br />
betätigt.<br />
Am Display erscheint die Rechnung in folgender Form:<br />
Vor jeder neuen Rechnung die<br />
Eingaben zu löschen.<br />
Beispiel:<br />
2 3 +5 =<br />
–<br />
Die Hoch-<br />
Taste ist in<br />
der 3.<br />
Reihe von<br />
oben, 3.<br />
Taste von<br />
rechts.<br />
Jetzt noch die<br />
Ziffer 3 gedrückt<br />
und zuletzt das<br />
(ENTER)<br />
- Zeichen<br />
(unterste Reihe, rechts)<br />
betätigt.<br />
In der zweiten Zeile des Displays erscheint das<br />
Ergebnis rechts.<br />
-Taste betätigen ( 4. Reihe von unten, ganz rechts ), um alle alten<br />
Nur zur Ansicht<br />
Nach der Hochzahl 3 muss die Replay–Taste<br />
( oben Mitte ) betätigt werden, sodass der blinkende<br />
Cursor im Display nach rechts unten wandert. Ansonsten würden wir 2 3+5 statt 2 3 + 5 rechnen!<br />
manfred.ambach 26 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Die Rechnung am Display:<br />
Auch Brüche lassen sich leicht berechnen.<br />
Dafür steht die Bruchtaste<br />
( 3. Reihe von oben, ganz links ) zur Verfügung.<br />
Soll ein Bruch eingegeben werden, so ist zuerst die Bruchtaste zu aktivieren. Am Display erscheint folgende Form:<br />
Angenommen, wir wollen den Bruch 3<br />
4<br />
eingeben.<br />
Zuerst die Bruchtaste betätigt, dann die Zahl eingeben, die Cursor-Taste betätigen<br />
und danach die Zahl eingeben. Schließlich noch auf drücken.<br />
Auf dem Display erscheint die abgebildete Eingabe und das dargestellte<br />
Resultat.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bemerkung: Unser Taschenrechner stellt Ergebnisse, wenn irgend möglich,<br />
immer als Brüche dar. Will man das Ergebnis in Dezimalform,<br />
dann ist die<br />
- Taste ( 5. Reihe von unten, 2. von rechts ) zu drücken.<br />
manfred.ambach 27 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Wir könnten den Taschenrechner auch so einstellen, dass das Resultat sofort in Dezimalform erscheint, doch<br />
gehen damit alle Vorteile, die der Casio bei Eingabe und Rechnung bietet, verloren.<br />
Beispiel:<br />
Berechnen wir jetzt<br />
3 5 1<br />
<br />
4 8 2<br />
Schriebe man ohne Betätigung des Cursors, so<br />
könnten z.B. nebenstehende Eingaben entstehen.<br />
Wir werden manchmal auch solche Darstellungen<br />
benötigen, hier aber nicht.<br />
Wir drücken die Bruchtaste (3. Reihe von oben, links )<br />
und am Display erscheint das Bruch–Symbol.<br />
Jetzt geben wir die Brüche ein und positionieren mit<br />
Hilfe der -Taste ( ganz oben Mitte )<br />
die Zahlen an ihrer richtigen Stelle.<br />
Abschließend die ENTER-Taste ( ganz unten rechts )<br />
gedrückt und das Ergebnis erscheint in Bruchform.<br />
Die Ergebnisse erscheinen immer optimal vereinfacht in Bruchform, wenn<br />
irgend möglich.<br />
Für die Schul-Mathematik ist diese Darstellungsform tendenziell besser.<br />
Sind die Ergebnisse in Dezimalschreibweise erwünscht, braucht nur die<br />
Nur zur Ansicht<br />
-Taste ( 5. Reihe von oben , 2. von rechts ) gedrückt werden.<br />
In unserem Fall erscheint dann das Resultat als 0.875<br />
manfred.ambach 28 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Was macht man, wenn eine falsche Ziffer eingegeben wurde?<br />
Beispiel:<br />
Wir wollten die Zahl 604 eingeben und haben stattdessen 614 getippt.<br />
Der Cursor blinkt immer rechts der zuletzt eingegebenen Ziffer.<br />
Mit der Replay-Taste<br />
der Ziffer, die wir löschen wollen.<br />
In unserem Fall rechts vor die Ziffer 1.<br />
Jetzt drücken wir die LÖSCHEN – Taste<br />
2. Taste von rechts),<br />
sodass die Ziffer 1 verschwindet . . .<br />
setzen wir den Cursor rechts<br />
(6. Reihe von oben,<br />
Nur zur Ansicht<br />
. . . und fügen die gewünschte Ziffer ein.<br />
manfred.ambach 29 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Wie speichern wir Zahlen auf dem Taschenrechner ?<br />
Betrachten wir dafür zunächst die Tastatur des Rechners:<br />
Betrachten wir unser letztes Beispiel:<br />
7<br />
Das Ergebnis lautet .<br />
8<br />
In der unteren Reihe interessiert die<br />
Taste .<br />
(links).<br />
STO ( store ) . . . speichern<br />
RCL ( recall ) . . . zurückrufen<br />
Wollen wir das Resultat in Speicher A legen, betätigen wir<br />
folgende Tastenkombination:<br />
In der oberen Reihe sehen wir Tasten,<br />
über denen die Buchstaben<br />
A B C D E F stehen.<br />
Das sind die sechs Speicherplätze<br />
des TR und werden ohne<br />
– Taste betätigt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
und am Display scheint rechts stehendes Bild auf.<br />
Ans<br />
A bedeutet, die Zahl ist auf Platz A gespeichert.<br />
Ans bedeutet Ansicht<br />
manfred.ambach 30 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Wenn eine Zahl in der ersten Zeile des Displays steht und gespeichert wird:<br />
Wollen wir den gespeicherten Wert zurückrufen, so drücken wir<br />
und am Display tritt der gespeicherte Wert auf.<br />
Noch drei Bemerkungen:<br />
<br />
Der Rechner verfügt nur über runde Klammern<br />
Auch hier betätigen wir die Tastenkombination<br />
so wir die Zahl auch in A speichern wollen.<br />
Jetzt erscheint am Display das links dargestellte Bild.<br />
Auch das bedeutet, die Zahl 7 ist auf Platz A<br />
8<br />
gespeichert.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Hochrechnung wird mit der Taste ( 3. Reihe von oben, 3. von rechts ) bewerkstelligt<br />
Bsp.: 2 3 : 2 3 8.<br />
(5. Reihe von oben, Mitte ).<br />
Die Komma-Taste<br />
Punkt, wie sonst bei Taschenrechnern üblich.<br />
( unterste Reihe, 2. von links ) besitzt als Symbol einen Beistrich und keinen<br />
manfred.ambach 31 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Beispiel<br />
Geben wir die Zahl 1 000 000 000 000 000 ein.<br />
Diese Form nennt man normierte Fließkomma- oder Gleitkomma-Darstellung und wird uns in Kapitel 2.2.6., S 75 f<br />
beschäftigen.<br />
Rechnen wir folgendes Beispiel:<br />
4 . 10 8 : 2 . 10 6<br />
Verwende die Taste<br />
Als Ergebnis muss 200 erscheinen.<br />
Beispiel: Mordsmäßig<br />
(ganz unten, Mitte)<br />
Im Jahr 2014 wurden in Wien 9 Morde begangen, im Jahr 2015 waren es 20.<br />
– Ermittle die absolute Änderung(srate) = neuer Wert – alter Wert : 20 – 9 = 11<br />
Die Zahl der Morde veränderte (erhöhte) sich von 2014 auf 2015 um 11.<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Ermittle die relative Änderung(srate) =<br />
20 – 9<br />
9<br />
= 1,22 = 122,22 %<br />
Wir geben die Zahl ohne Abstände ein.<br />
betätigt und die Zahl erscheint<br />
in der Form 1 x I0 15 .<br />
neuer Wert − alter Wert<br />
alter Wert<br />
Die Zahl der Morde veränderte (erhöhte) sich von 2014 auf 2015 um 122,22 %.<br />
relativ bedeutet bezüglich, hier also die Anzahl der Morde 2015 bezogen auf die frühere Menge, also die Anzahl<br />
der Morde 2014.<br />
bezogen auf (bezüglich, relativ) = dividieren<br />
manfred.ambach 32 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.3. Prozent– und Promillrechnung<br />
1.3.1. Prozentrechnung<br />
Das Wort Prozent kommt aus dem Lateinischen.<br />
In diesem Wort steckt die Zahl 100 ( lateinisch centum ).<br />
Z.B. wird ein Hundertstel Euro Cent genannt.<br />
Frei übersetzt bedeutet das Wort Prozent : durch 100.<br />
1 % =<br />
50 % =<br />
1<br />
100<br />
100 % = 100<br />
50<br />
= 1<br />
100 2<br />
100<br />
von einem Ganzen<br />
von einem Ganzen<br />
= 1 . . . entspricht dem Ganzen<br />
Das Ganze ( die Grundmenge, die ursprüngliche Menge, die Vergleichsbasis ) entspricht 100 %<br />
Beispiel:<br />
Ist 1 % immer weniger als 100 %?<br />
Vom gleichen Ganzen ja, denn 1 % ist nur der hundertste Teil<br />
des Ganzen, während 100 % das Ganze darstellt.<br />
Doch: 100 % aller Österreicher sind 8,4 Mio. Menschen,<br />
1<br />
1 % aller Chinesen sind von 1, 3 Mrd. = 13 Mio. Menschen<br />
100<br />
Nur zur Ansicht<br />
Im Jahr 2012 wurden Pensionen bis zu einer Brutto-Höhe von 3 300 Euro<br />
um 2,7 % erhöht.<br />
Jemand erhielt bisher monatlich 1 018 Euro brutto Pension.<br />
– Bestimme, wie viel Euro die Erhöhung ausmacht.<br />
manfred.ambach 33 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
100 % entspricht der ursprünglichen Brutto-Pension von € 1 018,-<br />
Davon wollen wir 2,7 % bestimmen.<br />
100 % : 100 %<br />
= 1 %<br />
1 % . 2, 7 % = 2,7 %<br />
100 % . . . . . . . € 1 018,-<br />
1 %<br />
2,7 % . . . . . . . x<br />
x =<br />
1 018 . 2,7<br />
100<br />
Die Brutto-Pensionserhöhung macht 27,49 Euro aus.<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Schnäppchenjagd<br />
Bild: Deutsche Wirtschaft<br />
= 27,486<br />
: 100 %<br />
. 2, 7 %<br />
Der Preis, den wir Konsumenten für ein T-Shirt zahlen, setzt sich aus<br />
folgenden Faktoren zusammen:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Ein T-Shirt kostet € 4,99.<br />
Quelle: Heute-Journal, 26.04.2013<br />
– Berechnen Sie die absoluten Anteile der einzelnen Faktoren.<br />
manfred.ambach 34 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Siehe auch S 32.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €<br />
50 % . . . . . . . . . . . . . . x €<br />
100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €<br />
1,5 % . . . . . . . . . . . . . . x €<br />
100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €<br />
12,5 % . . . . . . . . . . . . . . x €<br />
100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €<br />
25 % . . . . . . . . . . . . . . x €<br />
100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €<br />
11 % . . . . . . . . . . . . . . x €<br />
absolute Anteile … die Anteile in Euro (in diesem Beispiel)<br />
relative Anteile … die Anteile in Prozent<br />
Sollten die Arbeitsbedingungen, wie Lärm, Luft und Brandschutz verbessert werden, bedeutete das eine<br />
Erhöhung der Herstellungskosten um 50 % .<br />
– Berechne, um wie viel sich dadurch der Verkaufspreis erhöhte.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
x =<br />
x =<br />
x =<br />
x =<br />
x =<br />
4,99 ⋅ 50<br />
100<br />
4,99 ⋅ 1,5<br />
100<br />
4,99 ⋅ 12,5<br />
100<br />
4,99 ⋅ 25<br />
100<br />
= 2,50 €<br />
= 0,07 €<br />
= 0,62 €<br />
= 1,25 €<br />
4,99 ⋅ 11<br />
= 0,55 €<br />
100<br />
Ursprüngliche Herstellungskosten: 0,62 Euro 150% von 0,62 = 150<br />
⋅ 0,62 = 1,5 ⋅ 0,62 = 0,93<br />
Der Verkaufspreis erhöhte sich dadurch um 0,93 − 0,62 = 0,31 Euro.<br />
100<br />
manfred.ambach 35 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
a) In Österreich sind jährlich etwa 60 000<br />
SchifahrerInnen von einem Schiunfall<br />
betroffen.<br />
Die Grafik zeigt die prozentuelle Verteilung<br />
(prozentuellen Anteile) der verletzten<br />
Körperteile.<br />
– Ermitteln Sie, um wievielmal öfter Knie- als<br />
Schädelverletzungen auftreten.<br />
(Ermittle den relativen Anteil der Knie-<br />
Verletzungen bezüglich der Schädel-<br />
Verletzungen)<br />
Nur zur Ansicht<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Grafik: BMB<br />
36 %<br />
12,7 %<br />
= 2,83<br />
Knieverletzungen treten 2,83-mal öfter auf als Schädelverletzungen<br />
manfred.ambach 36 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
– Ermitteln Sie, um wie viel Prozent der Anteil an Schulterverletzungen höher ist als der Anteil der<br />
Verletzungen des Handgelenks.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
. . . Anteil Schulterverletzungen höher als Verletzungen des Handgelenks<br />
100 % . . . . . . . . . . . 8,7 %<br />
x % . . . . . . . . . . . . . 19,3 %<br />
x =<br />
100 ⋅ 19,3<br />
8,7<br />
= 221,84 %<br />
Der Anteil der Schulterverletzungen ist um 121,84 % höher als jener der Handverletzungen.<br />
Warum ist der Anteil der<br />
Schulter-Verletzungen nicht<br />
um 221,84 % höher als der<br />
der Hand-verletzungen?<br />
Vergleichsbasis = 100 %<br />
Da der Anteil der Hand-Verletzungen bereits 100 % beträgt und der<br />
Anteil der Schulter-Verletzungen 221,84 % , ist der Anteil der<br />
Schulter-Verletzungen um 121,84 % höher als jener der<br />
Hand-Verletzungen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 37 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
b) Laut Statistik liegt die Wahrscheinlichkeit, sich bei einem einwöchigen Schiurlaub zu verletzen, bei 0,8 %.<br />
Circa 30 % der Verletzungen sind so schwer, dass der Einsatz eines Notarztes erforderlich ist.<br />
In einem Schigebiet sind wöchentlich ca. 20 000 Menschen auf den Pisten unterwegs.<br />
– Berechnen Sie, mit wie vielen Notarzt-Einsätzen hier pro Woche zu rechnen ist.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
0,8 % von 20 000 =<br />
30 % von den Verletzten =<br />
0,8<br />
⋅ 20 000 = 0,008 ⋅ 20 000 = 160 verletzen sich.<br />
100<br />
Es ist mit 48 Notarzt-Einsätzen pro Woche zu rechnen.<br />
Beachte:<br />
30<br />
⋅ 160 = 0,3 ⋅ 160 = 48 benötigen einen Notarzt.<br />
100<br />
Neue Änderung bedeutet neue Grundmenge (neue 100 %)<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 4<br />
Nehmen wir an, z wäre eine beliebige, auch sehr, sehr große, jedoch endliche Zahl.<br />
Dann gilt doch, z + 1 ist wiederum eine endliche Zahl.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Gälte hingegen z + 1 = ∞ so könnten wir folgern:<br />
z + 1 = ∞ | – 1<br />
z + 1 − 1 = ∞ − 1<br />
z = ∞ − 1<br />
Das bedeutete "unendlich" ist gerade mal um eins größer als eine sehr, sehr große, aber endliche Zahl.<br />
Das kann doch nicht sein, denn dann hätten wir das "Ende" von unendlich (= nicht endend) gefunden!<br />
Fortsetzung auf S 42<br />
manfred.ambach 38 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
U . . . ursprünglicher Wert<br />
E . . . Wert nach dem ersten Jahr<br />
Z . . . Wert nach dem zweiten Jahr<br />
E = 115 % von U = 115<br />
⋅ U = 1, 15 ⋅ U<br />
100<br />
Der Wert einer goldenen Ein-DM-Münze ist in einem Jahr um 15 % gestiegen. Im<br />
folgenden Jahr ist ihr Wert nochmals um 10 % gestiegen.<br />
„ Dann ist der Wert einer goldenen Ein-DM-Münze in diesen beiden Jahren<br />
um insgesamt 25 % gestiegen. “<br />
– Begründen Sie, warum die Aussage über die Wertentwicklung falsch ist.<br />
Z = 110 % von E = 110<br />
126,5<br />
⋅ E = 1, 10 ⋅ E = 1, 10 ⋅ 1, 15 ⋅ U = 1, 265 ⋅ U = ⋅ U = 126, 5 % von U<br />
100<br />
Nur zur Ansicht<br />
100<br />
Die Aussage ist falsch, weil sich der Wert einer goldenen Ein-DM-Münze in diesen zwei Jahren um 26,5 % erhöht<br />
hat.<br />
Das Signalwort begründen bedeutet:<br />
1) Eine Rechnung (bei gegebenen Zahlen) oder einen Rechengang (wenn keine Zahlen gegeben) anführen.<br />
2) Einen begründenden Satz schreiben: Die Behauptung (Aussage) ist richtig / falsch, weil . . .<br />
manfred.ambach 39 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.3.2. Promillrechnung<br />
Im Wort Promill steckt die Zahl 1 000.<br />
mille (lateinisch) : 1 000 →<br />
Promill = durch 1 000<br />
1 ‰ = 1 Promill =<br />
1 000 ‰ =<br />
durch 1 000<br />
Nur zur Ansicht<br />
1 000<br />
1 000<br />
1<br />
1 000<br />
von einem Ganzen<br />
. . . entspricht dem Ganzen<br />
Das Ganze ( die Grundmenge, die ursprüngliche Menge, die Vergleichsbasis ) entspricht 1 000 ‰<br />
– Beispiel<br />
Beispiel, wie es bei der Aufnahmeprüfung in Medizin, Ökonomie oder den Humanwissenschaften an Unis in der Schweiz, in Deutschland<br />
und Österreich vorkommen kann.<br />
Nach einem Verkehrsunfall wird bei einer beteiligten Person eine Alkoholkontrolle<br />
vorgenommen. Die Messung ergibt einen Blut-Alkoholgehalt von 0,85 ‰.<br />
– Berechne, wie viel Milliliter (ml) reinen Alkohol diese Person im Blut hat, wenn von<br />
einer Blutmenge von 5,8 Litern ausgegangen werden kann.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
5,8 ⋅ 0,85<br />
1 000 ‰ . . . . . . . . . . . 5,8 l<br />
x = = 0,00493 l<br />
0,85 ‰ . . . . . . . . . . . . . x l<br />
1 000<br />
0,00493 l = 4,93 ml<br />
1 l = 1 000 ml<br />
⋅ 1 000<br />
Die Person hat 4,93 ml reinen Alkohol im Blut.<br />
manfred.ambach 40 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.4. Maße<br />
Zunächst einmal einige Größenordnungen, die allgemein gelten:<br />
Name Bezeichnung Größenordnung<br />
Tera T 10 12 = 1 000 000 000 000<br />
Giga G 10 9 = 1 000 000 000<br />
Mega M 10 6 = 1 000 000<br />
Kilo K 10 3 = 1 000<br />
Ein(s) 10 0 = 1<br />
milli m 10 – 3 = 0,001<br />
micro μ 10 – 6 = 0,000 001<br />
nano n 10 – 9 = 0,000 000 001<br />
: 1 000 . 1 000<br />
Z.B.: 1 Gigabite = 1 Gbite = 1 000 000 000 Bites ( Speicherkapazität von Computern )<br />
1 Megawatt = 1 MW = 1 000 000 W(att) ( Elektrische Leistung )<br />
1.4.1. Längenmaße<br />
1 km = 1 000 m<br />
1 m = 10 dm<br />
Nur zur Ansicht<br />
1 dm = 10 cm<br />
1 cm = 10 mm<br />
Die Umwandlungszahl bei Längenmaßen ist 10 . Ausgenommen bei Kilometer kilo (griechisch) : 1 000<br />
manfred.ambach 41 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Beispiel:<br />
Der Mond umkreist die Erde in einem Abstand von 385 000 km.<br />
Angenommen, man möchte davon ein Modell im Maßstab<br />
1 ∶ 75 000 000 bauen.<br />
– Ermittle, wie groß der Abstand Erde – Mond in diesem Modell ist.<br />
Die Signalwörter berechnen, ermitteln, bestimmen bedeuten:<br />
Eine Rechnung durchführen.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
385 000 km = 385 000 000 m<br />
385 000 000 m : 75 000 000 = 5,13 m<br />
In diesem Modell beträgt der Abstand Erde – Mond 5,13 m.<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 5<br />
Wenn also ∞ − 1 keine endliche Zahl ergeben kann, so muss<br />
∞ − 1 = ∞ sein, wie auf S 15 behauptet.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Wäre nun ∞ eine Zahl, wie wir sie kennen, so müssten auch für ∞ die Rechengesetze gelten<br />
und wir erhielten<br />
∞ − 1 = ∞ | + 1<br />
∞ − 1 + 1 = ∞ + 1 |– ∞<br />
−1 + 1 = +1<br />
0 = +1<br />
Das ist doch offensichtlich nicht richtig. Also kann ∞ keine Zahl sein<br />
Fortsetzung auf S 44<br />
manfred.ambach 42 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.4.2. Flächenmaße<br />
Die Umwandlungszahl bei Flächenmaßen ist 100.<br />
Beispiel:<br />
1 km 2 = 100 ha<br />
1 ha = 100 a<br />
1 a = 100 m 2<br />
1 m 2 = 100 dm 2<br />
1 dm 2 = 100 cm 2<br />
1 cm 2 = 100 mm 2<br />
Nur zur Ansicht<br />
Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:BurjKhalifaHeight.de.svg&filetimestamp=20100816072853<br />
Der derzeit höchste Wolkenkratzer, Burj<br />
[ burdsch ] Chalifa, steht in Dubai.<br />
Das Gebäude<br />
beherbergt 45,43 ha Geschoßfläche,<br />
in denen 900 Wohnungen vorgesehen<br />
sind.<br />
– Berechne die durchschnittliche Größe einer Wohnung in m 2 .<br />
manfred.ambach 43 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
45,43 ha = 4 543 a = 454 300 m 2<br />
1 ha = 100 a 1 a = 100 m 2<br />
. 100 . 100<br />
454 300 m 2 ∶ 900 = 504,78 m 2<br />
Die durchschnittliche Wohnungsgröße beträgt 504,78 m 2 .<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 6<br />
Was hat denn dann ∞ für Eigenschaften, wenn nicht jene von Zahlen?<br />
Auch für alle anderen Maße eignen sich solche Karteikarten!<br />
Obige Tabelle ist nach einer Anregung von Teilnehmerin Theresa ANDEXER gestaltet,<br />
die es von ihrer Volksschullehrerin hat.<br />
Funktioniert entsprechend auch bei den Längen- und Raummaßen.<br />
Schon im antiken Griechenland beschäftigten sich Menschen damit, den Begriff unendlich mathematisch zu fassen.<br />
ZENO von Elea (~ 490 – ~430 vor Christi Geburt), ein Junge vom Land, stellte folgendes Paradoxon<br />
(griechisch: scheinbar oder tatsächlich unauflösbarer Widerspruch) auf:<br />
Fortsetzung S 90<br />
manfred.ambach 44 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.4.3. Raum- und Hohlmaße<br />
1.4.3.1. Raummaße<br />
Die Umwandlungszahl bei den Raummaßen ist 1 000.<br />
1.4.3.2. Hohlmaße<br />
Für Flüssigkeiten werden sog. Hohlmaße verwendet:<br />
1 m 3 = 1 000 dm 3<br />
1 dm 3 = 1 000 cm 3<br />
1 cm 3 = 1 000 mm 3<br />
1 Hektoliter = 1 hl = 100 l<br />
1 Liter = 1 l = 10 dl<br />
1 Deziliter = 1 dl = 10 cl<br />
1 Centiliter = 1 cl = 10 ml<br />
Bemerkungen: Die Einheit Liter wird in der Folge ausgeschrieben oder mit L abgekürzt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Der Zusammenhang zwischen Raum- und Hohlmaßen:<br />
1Liter = 1dm 3<br />
manfred.ambach 45 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Beispiel:<br />
Wie viel hl sind 22 500 cm 3 ?<br />
Beispiel:<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
22 500 cm 3 = 22,50 dm 3 = 22,50 l = 0,225 hl<br />
1 000 cm 3 = 1 dm 3 1 dm 3 = 1 l 100 l = 1 hl<br />
1 000 : 1 000 = 1 100 : 100 = 1<br />
Um für die kalte Jahreszeit gewappnet zu sein, bestellt Familie Müller 20 hl Heizöl.<br />
Nach der Füllung misst Herr Müller nach und stellt fest, dass der Ölspiegel um knapp<br />
40 cm gestiegen ist. Der Hausherr ist skeptisch, ob die vereinbarte Menge auch eingefüllt<br />
wurde.<br />
Wie kann Herr Müller überprüfen, ob die georderten 20 hl Öl auch tatsächlich im Tank<br />
sind, wenn er weiß, dass der zylindrische Öltank einen Durchmesser von 2,6 m besitzt?<br />
Hektoliter sind ein Maß für ein Volumen.<br />
Deshalb nehmen wir die Volumsformel.<br />
Da der Tank die Form eines Zylinders besitzt:<br />
Wir kennen<br />
den Radius r = d<br />
V Zylinder = r 2 ⋅ π ⋅ h<br />
= 2,6 = 1,3 m = 13 dm<br />
2 2<br />
und die Höhe h ≈ 40 cm = 4 dm<br />
Nur zur Ansicht<br />
V = r 2 ⋅ π ⋅ h → V = 13 2 ⋅ π ⋅ 4 → V = 2 123,72 dm 3 = 2 123,72 Liter = 21,24 hl<br />
Bei einer Höhe von 40 cm wären 21,24 hl in den Tank geflossen. Demnach werden bei einer Höhe von knapp<br />
40 cm sicherlich 20 hl in den Tank geflossen sein.<br />
1 km³ = 1 000 000 000 m³<br />
manfred.ambach 46 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.4.4. Masse<br />
Sir Isaac NEWTON<br />
( 1642 – 1727 )<br />
Albert EINSTEIN<br />
( 1879 – 1955 )<br />
Masse, dieser alltägliche Begriff, doch mit den tiefsten Erkenntnissen der Naturforschung<br />
verbunden, war Jahrhunderte nicht in der für letzte Einsichten nötigen Klarheit zu beschreiben.<br />
Erst Sir Isaac NEWTON war es gegönnt, grundlegende Einsichten KOPERNIKUS’, KEPLERs und anderer<br />
Großgeister der Physik zu einer umfassenden Theorie zu vereinen, mit der alle physikalischen<br />
Phänomene der erfahrbaren Welt ein für allemal eine schlüssige Erklärung fanden.<br />
NEWTON stellte fest, dass die Ursache jeder Bewegung eine Kraft ist und sich jede Kraft F als<br />
Produkt aus der Masse m des bewegten Körpers und seiner Beschleunigung a darstellen lässt.<br />
F = m . a<br />
Mit seinem Konzept der Absolutheit von Raum und Zeit konnten nicht nur Kräfte richtig<br />
beschrieben, die auf kleinem Raum wirken, sondern es wurde damit auch die exakte Ortung von<br />
Himmelskörpern möglich. Eine Grundbedingung exakter Zeitmessung, auf der unsere<br />
Kommunikation und unser Wohlstand beruhen.<br />
Unsere heutige Technik, ja wesentliche Teile unserer Welt(en)sicht wäre ohne die NEWTONschen<br />
Prinzipien und Theorien nicht möglich.<br />
Doch bedurfte es eines bahnbrechenden Epochen-Genies wie Albert EINSTEIN, der NEWTONs<br />
Ansichten nur noch den Platz eines Spezialfalls in einer Fundamentaltheorie noch nicht gekannten<br />
Ausmaßes zuwies.<br />
Schon in seiner Speziellen Relativitätstheorie, die 1905 veröffentlicht wurde, widerlegt EINSTEIN<br />
das Modell der universellen Konstanz von Raum und Zeit und bewies drei Phänomene:<br />
o Bewegte Uhren gehen langsamer ( Zeitdehnung )<br />
o Bewegte Körper schrumpfen ( Längenverminderung )<br />
o Die Masse bewegter Körper wächst ( Massenzunahme )<br />
Wenn ich weiter als andere gesehen habe, dann nur deshalb,<br />
weil ich auf Schultern von Giganten stand.<br />
Sir Isaac NEWTON<br />
( 1642 – 1727 )<br />
Eine Konsequenz dieser Theorie ist folgendes Gedankenexperiment, Zwillingsparadoxon<br />
genannt:<br />
Einer der eineiigen Zwillinge verbleibt auf der Erde, der andere unternimmt eine Reise mit einem<br />
Raumschiff, das sich mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt. Als der Raumfahrer nach einem<br />
Jahr auf die Erde zurückkehrt, erscheint dem zurück gebliebenen Bruder der Reisende weniger<br />
gealtert als er selbst.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Erst in den 1950er Jahren konnte dieser Effekt mit einem Jagdbomber und Atomuhren<br />
experimentell nachgewiesen werden.<br />
Doch handelte es sich bei der 1905 veröffentlichten Theorie sozusagen um<br />
EINSTEINs Gesellenstück, dem noch das wahre Meisterwerk folgte:<br />
Die Allgemeine Relativitätstheorie, die Welt-Zeit in ein Vorher- und<br />
Nachher unterteilend*, wurde 1916 fertig formuliert und bewiesen. Darin<br />
wies EINSTEIN nach, dass Raum und Zeit eine Einheit bilden, die sich unter<br />
Einwirkung von Gravitation<br />
(Massenanziehung) verändert. Damit ließen sich nun auch bisher noch nicht<br />
erklärbare Erscheinungen, wie z.B. die Krümmung von Licht im Schwerefeld<br />
und damit z.B. Schwarze Löcher, begründen.<br />
* Sabine RÜCKERT in DIE ZEIT Nr.53, 19.12.2018<br />
manfred.ambach 47 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Literaturtipp: Jürgen NEFFE: Einstein – eine Biographie. ISBN: 3-499-61937-7<br />
Stephen HAWKING<br />
( 1942 – 2018 )<br />
Nach Veröffentlichung dieser Theorie gab es neben EINSTEIN nur zwei Physiker, die Ausmaße und<br />
Tiefe dieser Formulierungen verstanden. EINSTEIN erhielt 1922 den Nobelpreis auch nicht für die<br />
Relativitätstheorien, sondern für den sog. Photoelektrischen Effekt, in dem er Licht<br />
Quanteneigenschaften zumaß.<br />
Laut Stephen HAWKING begreifen bis heute ungefähr 10 000 Menschen EINSTEINs Allgemeine<br />
Relativitätstheorie.<br />
Der Astrophysiker Stephen HAWKING zeigte mathematisch, dass es den von EINSTEIN postulierten<br />
Urknall gegeben haben müsse. HAWKING wandte die Quantentheorie auf Schwarze Löcher an und<br />
konnte damit theoretisch zeigen, dass Schwarze Löcher nicht alles in ihrer Umgebung auf ewig<br />
verschlingen, sondern langsam „verdampfen“, also Strahlung (=Energie) wieder freigeben.<br />
HAWKING versuchte über Jahrzehnte, die Relativitätstheorie mit der Quantenphysik zu vereinen<br />
und auf diese Weise eine Art „Weltformel“ zu finden - in der Sprache der Physiker eine „Große<br />
Vereinheitlichte Theorie“, die sogenannte Quantengravitation.<br />
Stephen HAWKING war über drei Jahrzehnte Inhaber des renommierten Lucasischen Lehrstuhls für<br />
Mathematik an der Universität Cambridge. Denselben Lehrstuhl bekleidete bereits Sir Isaac<br />
NEWTON.<br />
Stephen HAWKING zählt zu den großen Naturwissenschaftlern der Welt. Er litt schon seit seiner<br />
Jugend an einer nervenbedingten Muskelschwunderkrankung und verstarb am 14. März 2018,<br />
dem Geburtstag Albert EINSTEINs. Die Asche HAWKINGs fand in der Westminster Abbey in der Nähe<br />
des Grabmals Sir Isaac NEWTONs und der englischen Monarchen ihre letzte Ruhestätte.<br />
Trotz der unbeschreiblichen Leistungen<br />
EINSTEINs sind auch seine Erkenntnisse<br />
noch nicht der Weisheit letzter Schluss.<br />
Seit Jahrzehnten arbeiten zahlreiche<br />
Physiker aus aller Welt an einem<br />
Megamodell, das die<br />
quantenmechanischen Modelle mit<br />
der Allgemeinen Relativitätstheorie zu<br />
einer einheitlichen Welttheorie, der<br />
Quantentheorie der Gravitation, kurz<br />
Quantengravitation, verbinden soll.<br />
Wenn dieses Vorhaben gelingt,<br />
könnten wir wirklich erfahren, wie<br />
wohl alles begann.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Nun aber zurück zu unseren mathematischen Dimensionen:<br />
Der größte Feind des Wissens ist nicht Unwissenheit,<br />
sondern die Illusion, wissend zu sein.<br />
Stephen HAWKING<br />
( 1942 – 2018 )<br />
Die Masse m eine Körpers bestimmt sich aus seinem Volumen V,<br />
multipliziert mit der sog. Dichte ρ ( rho: griechisches r ):<br />
Masse = Volumen x Dichte<br />
m = V . ρ<br />
manfred.ambach 48 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Unter der Dichte ρ ist nicht die Menge an Molekülen in einem bestimmten<br />
Volumen gemeint. Diese Sicht führt uns zur<br />
1Liter = 1dm 3<br />
AVOGADRO- bzw. LOSCHMIDTschen Zahl, deren Wert<br />
6,0221367 . 10 23 beträgt.<br />
Zum Vergleich: Eine Million ( 1 000 000 ) kann als 1 . 10 6 dargestellt werden.<br />
Die AVOGADRO-Zahl gibt die Zahl jener Moleküle an, die in 2,016 g Wasserstoff enthalten sind. Um<br />
sich eine Vorstellung von der Größe dieser Zahl zu machen: Mit einer solchen Anzahl Popcorns<br />
könnte man die gesamte USA 15 km hoch bedecken.<br />
Aus: Bill BRYSON: Eine kurze Geschichte von fast allem. ISBN: 978-3-442-46071-7<br />
1 kg<br />
Wasser mit einem Volumen von 1 Liter = 1 dm 3<br />
besitzt die Masse 1 kg.<br />
m = V . ρ ➝ 1 kg = 1 dm³ . 1<br />
Also muss Wasser die Dichte 1<br />
besitzen.<br />
Stoffe, deren Moleküle dichter als bei Wasser liegen, haben eine Dichte größer als 1, entsprechend haben<br />
lockerere Molekülanordnungen kleinere Dichten als Wasser.<br />
Hier die (relativen) Dichten einiger Stoffe: Stoff Dichte<br />
Wasser (rein) 1<br />
Luft 0,0012<br />
Fichte 0,47 – 0,74<br />
Fette 0,9 – 0,95<br />
Mensch 0,99 – 1,02<br />
Beton (trocken) 1,5 – 2,5<br />
Silber 10,5<br />
Gold 19,8<br />
Die gängigen Einheiten der Masse:<br />
1 t = 1 000 kg<br />
1 kg = 1 000 g<br />
Nur zur Ansicht<br />
kg<br />
dm<br />
3<br />
kg<br />
3<br />
dm<br />
1 dag = 10 g<br />
1 dag = 1 Dekagramm deka (griechisch): 10 Eine nur in Österreich übliche Einheit für Masse.<br />
manfred.ambach 49 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Alles Gold der Welt<br />
Korrekt ist kg die Einheit der Masse.<br />
Im Alltag sagen wir zu Masse häufig Gewicht.<br />
Ist zwar nicht dasselbe, jedoch für unseren<br />
Matheunterricht ist der Unterschied nicht von<br />
Bedeutung.<br />
Derzeit sind weltweit 177 200 Tonnen (t) pures (reines) Gold geschürft.<br />
kg<br />
Gold besitzt eine Dichte von ρ Gold = 19,8<br />
dm 3<br />
Angenommen, die gesamte Goldmenge würde zu einem Würfel gegossen.<br />
– Bestimmen Sie die Kantenlänge dieses Würfels in Meter (m).<br />
Tonne (t) ist eine Einheit der Masse. Wir benötigen demnach die Formel für die Masse.<br />
Masse = Volumen mal Dichte, als Formel: m = V ⋅ ρ<br />
Masse und Dichte kennen wir, also können wir mit dieser Formel das Volumen bestimmen:<br />
m = V ⋅ ρ | ∶ ρ<br />
m<br />
ρ = V<br />
Die Dichte beträgt ρ Gold = 19,8<br />
kg<br />
dm 3<br />
Damit die Masse entsprechend passt, müssen wir sie in kg verwandeln:<br />
177 200 t = 177 200 000 kg<br />
Warum wird hier immer<br />
von Masse gesprochen?<br />
Sind nicht kg usw.<br />
Einheiten für Gewicht?<br />
Nur zur Ansicht<br />
Masse und Dichte in die Formel eingesetzt:<br />
Für das Volumen des Würfels gilt:<br />
V = a 3<br />
V = a 3 | √ 3<br />
V = m 177 200 000 kg<br />
= = 8 949 494,95 dm<br />
ρ kg<br />
3<br />
19,8<br />
dm 3<br />
mit a als der Kantenlänge<br />
3<br />
√V<br />
= a<br />
3<br />
√8 949 494,95 dm 3<br />
Der Würfel besäße eine Kantenlänge von 20,76 m.<br />
= 207,62 dm = 20,76 m<br />
manfred.ambach 50 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1.4.5. Zeitmaße<br />
Der älteste Zeitmesser ist die Sonnenuhr, die schon vor ca. 5000 Jahren im alten Ägypten Verwendung fand. Um vom Licht der<br />
Sonne unabhängig zu sein, wurden Wasser- oder Öluhren anfertigt: Durch ein kleines Loch im Boden eines Behältnisses rann<br />
die Flüssigkeit regelmäßig in einen zweiten Behälter. Anhand des Flüssigkeitsstandes ließ sich die Zeit ablesen.<br />
Die SUMERER erstellten die im 3. Jahrtausend v. Chr. in Mesopotamien einen Kalender, um neben der Tages- auch die Jahreszeit<br />
angeben zu können. Sie teilten das Jahr in 12 Monate zu je 30 Tagen. Da das astronomische Jahr, also eine Umrundung der Erde<br />
um die Sonne, 365,25 Tage dauert, mussten immer wieder Korrekturen angebracht werden, ähnlich unserer Schaltjahre.<br />
Die alten Ägypter legten das Jahr mit 365 Tagen fest und unterteilten es in 12 Monate mit je drei Wochen zu 10 Tagen mit fünf<br />
Zusatztagen am Jahresende.<br />
Der römische Kalender stammt ursprünglich von den Griechen und orientiert sich am Mond. Da der Mond zur Umrundung<br />
der Erde 29,53 Tage benötigt, erhielten die Monate abwechselnd 29 und 30 Tage. In Abständen wurde der Mondkalender<br />
dem Sonnenjahr angepasst.<br />
Die Grundstruktur unseres heutigen Kalenders geht auf Julius CAESAR (100 – 44 v. Chr.) zurück. Das Jahr bestand nun aus<br />
12 Monaten mit abwechselnd 31 bzw. 30 Tagen. Der Februar hatte damit gewöhnlich 30 Tage, alle vier Jahre nur 29. Da<br />
CAESAR aus dem Hause der JULIER stammte, spricht man vom Julianischen Kalender.<br />
Der Monat Juli ist nach den JULIERN benannt, der Monat August nach Kaiser AUGUSTUS. Dieser wollte dem Geschlecht CAESARs<br />
gleichrangig erscheinen, und verlieh dem August auch 31 Tage. Somit erlangte der Februar seine 28 Tage.<br />
Die letzte kalendarische Reform geht auf Papst GREGOR XIII (1502 –<br />
1585) im Jahre 1582 zurück. Man spricht vom Gregorianischen<br />
Kalender. Alle vier Jahre wurde ein Jahr mit 366 Tagen geschaltet. Von<br />
den Jahrhundert-Jahren, wie 1600 oder 1700, nur jene, deren erste<br />
beiden Ziffern durch vier teilbar sind. So war zwar das Jahr 1600 ein<br />
Schaltjahr, da 16 durch vier teilbar ist, nicht aber die Jahre 1700, 1800<br />
oder 1900.<br />
Im antiken Rom begann man die Jahre mit der Gründung Roms (754 v.<br />
Chr.) zu zählen. Im Jahr 525 n. Chr. wurde Abt Dionysius EXUIGUUS von<br />
Papst JOHANNES I beauftragt, den genauen<br />
Ostertermin für das folgende Jahr zu bestimmen. Dabei orientierte er sich am Datum der Geburt Christi und machte dieses Jahr<br />
zum Jahr 1 unsere Zeitrechnung war geboren.<br />
Wie kurz unsere gewohnte Zeitordnung erst gültig ist, soll folgendes Beispiel zeigen:<br />
Als im Jahr 1887 die Gaisbergbahn eröffnet wurde (1928 eingestellt), wies man darauf hin, dass diese Bahn nach der Prager Zeit<br />
verkehrt. Zu dieser Zeit existierten weder Zeitzonen, noch eine einheitliche Zeitmessung. 1891 wurde die Mitteleuropäische<br />
Eisenbahnzeit eingeführt und erst 1893 die Mitteleuropäische Zeit, die zunächst nur in Österreich-Ungarn, dem Deutschen<br />
Kaiserreich und in der Schweiz galt.<br />
Einige Erläuterungen über die Zeit finden sich im Buch:<br />
Werner KINNEBROCK: Was macht die Zeit, wenn sie vergeht? Verlag C.H. Beck. ISBN: 9 783406 630422<br />
Einige der gängigen Zeitmaße:<br />
1 Jahr = 1 a ≈ 365 Tage<br />
Nur zur Ansicht<br />
1 Tag = 1 d = 24 h ( Stunden )<br />
1 h = 60 min ( Minuten )<br />
1 min = 60 s ( Sekunden )<br />
Bemerkungen: Jahr wird mit a abgekürzt: annus (lateinisch das Jahr )<br />
Tag wird mit d abgekürzt: dies ( lateinisch der Tag )<br />
Stunde wird mit h abgekürzt: hora ( lateinisch die Stunde )<br />
englisch: annual . . . jährlich<br />
englisch: day . . . . . . Tag<br />
englisch: hour . . . . . Stunde<br />
manfred.ambach 51 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
1 Stunde besteht aus 60 Minuten und 1 Minute aus 60 Sekunden.<br />
Das gleiche gilt für Winkelmaße:<br />
1 Winkelgrad ( ° ) besteht aus 60 Winkel-Minuten ( ‘ ) und 1 Winkel-Minute aus 60 Winkel-Sekunden ( ‘‘ ).<br />
Deshalb kann man für die beschriebenen Zeit-Einheiten am Casio auch die entsprechende Winkel-Taste<br />
verwenden:<br />
(4. von oben, 2. von links)<br />
Beispiel: 3,26 h in h min s verwandeln: 3,26 3 o 15’ 36’’<br />
Das bedeutet, 3,26 h = 3 h 15 min 36 s<br />
Beim Lichtjahr ( La ) handelt es sich um keine Zeit- sondern Längeneinheit.<br />
1 La ist jene Länge, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Licht bewegt sich ( im Vakuum )<br />
mit ca. 300 000 km / sec. Das ergibt im Jahr eine Distanz von rund 9 500 000 000 000 km ( 9,5 Billionen km ).<br />
1 La ≈ 9 500 000 000 000 km = 9,5 . 10 12 km<br />
Zum Vergleich: Von der Sonne bis zur Erde benötigt Licht ungefähr 8 Minuten.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Unsere Sonne befindet sich ca. 35 000 Lichtjahre (La) vom Zentrum der Milchstraße entfernt und benötigt für eine<br />
kreisförmige Umrundung in etwa 250 Mio. Jahre.<br />
1 La = 9,5 Billionen km.<br />
– Bestimmen Sie die Geschwindigkeit in km/h, mit der die Sonne das Zentrum der Milchstraße umkreist.<br />
manfred.ambach 52 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
I Zahlen & Maße<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Die Sonne bewegt sich entlang des Kreisumfangs U.<br />
Geschwindigkeit v = Weg<br />
Zeit<br />
= 2,089⋅1018 km<br />
250 000 000 Jahre<br />
U = 2 ⋅ r ⋅ π<br />
Der Radius r = 35 000 La = 3,325 ⋅ 10 17 km<br />
9,5 Billionen = 9 500 000 000 000 = 9,5 ⋅ 10 12<br />
35 000 ⋅ 9,5 ⋅ 10 12 = 3,325 ⋅ 10 17<br />
U = 2 ⋅ 3,325 ⋅ 10 17 ⋅ π = 2,089 ⋅ 10 18 km<br />
= 2,089⋅1018 km<br />
2,19⋅10 12 h<br />
1 a = 365 d = 8 760 h<br />
1 d = 24 h<br />
= 953 881,28 km/h<br />
Unsere Sonne bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 953 881,28 km/h um das Zentrum der Milchstraße.<br />
(Von wegen Fixstern, was ja bedeutet, der Stern bleibt fix, also an Ort und Stelle!)<br />
Bemerkung :<br />
Zahlen, wie 2,89 ⋅ 10 18 oder 2,19 ⋅ 10 12 sind in sogenannter normierter Fließ- oder Gleitkommadarstellung<br />
angegeben.<br />
Diese Darstellungsart ist für sehr große Zahlen oder Zahlen nahe null vonnöten, weil auch elektronische<br />
Rechenhilfen dann nicht mehr alle Ziffern anführen können.<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Ein Schi-Rennläufer schafft eine 3,2 km lange Piste in 2 Minuten und 15 Sekunden.<br />
Ein Hobby-Schifahrer fährt auf dieser Piste mit durchschnittlich 35 km/h.<br />
Beide fahren gleichzeitig los.<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Ermitteln Sie, wie viel Meter der Hobby-Schifahrer noch zum Ziel hat, wenn der Schi-Rennläufer im Ziel<br />
einläuft.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
3,2 km<br />
Hobby-Schifahrer:<br />
35 km/h<br />
= 0,0914 h = 5 min 29,14 s 5 min 29,14 s − 2 min 15 s = 3 min 14,14 s<br />
35 km h = 35 000 m<br />
3 600 s<br />
= 9,72 m s<br />
3 min 14,14 s = 194,14 s 9,72m/s ⋅ 194,14 s = 1 887, 04 m<br />
manfred.ambach 53 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
II<br />
2. TERME<br />
2.1. Benennungen<br />
Beispiele für Terme:<br />
( 2 . 3 + 5 ) : 8<br />
– 4 x 2 y<br />
x . e x – 1<br />
ALGEBRA & GEOMETRIE<br />
Ein Term ist jeder sinnvolle mathematische Ausdruck, gleich, ob es sich um<br />
Zahlen oder Buchstaben handelt.<br />
Einzig bei mathematisch nicht festgelegten Darstellungen handelt es sich<br />
um keine Terme:<br />
Z.B.:<br />
8 : 0 ( Die Division durch Null ist nicht durchführbar )<br />
a 2 + 2 a – ( Es ist nicht geklärt, welcher Ausdruck noch zu subtrahieren ist )<br />
Es folgen jene Bezeichnungen, die uns während unserer Mathematik-Reise begleiten werden:<br />
Glieder sind Ausdrücke, die mit Strichrechnung ( + – ) verbunden sind.<br />
Nur zur Ansicht<br />
G G G<br />
Die Mathematiker sind eine Art Franzosen:<br />
redet man mit ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache,<br />
und damit ist es alsobald ganz etwas anderes.<br />
Johann Wolfgang von GOETHE<br />
( 1749–1832 )<br />
Beispiel: + 3 x – 5 a b + 1 ist ein dreigliedriger Ausdruck ( Die Glieder sind: + 3 x , – 5 a b und + 1 )<br />
Ein<br />
Glied reicht von einer Strichrechnung bis vor die nächste.<br />
So wie ein Eisenbahnwaggon von seiner vorderen Kupplung bis vor die Kupplung<br />
des nächsten Wagens reicht.<br />
manfred.ambach 54 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Monom: ein 1-gliedriger Ausdruck Bsp.: x 2 oder – 5 a b<br />
Binom: ein 2-gliedriger Ausdruck Bsp.: a + b oder 3 x – 5 a b<br />
Trinom: ein 3-gliedriger Ausdruck Bsp.: 3 x – 5 a b + 1<br />
Polynom: ein mehr als 3-gliedriger Ausdruck Bsp.:<br />
Faktoren sind Ausdrücke, die mit Punktrechnung ( . : ) verbunden sind.<br />
x 3<br />
2 1<br />
2x<br />
2 x <br />
4 3 2<br />
Beispiel: – 2 x y 2 = – 2 . x . y 2 Dieser Term besteht aus drei Faktoren ( aus – 2 , aus x und aus y 2 )<br />
G G G<br />
+2 . x 2 – 3 . x . y + 5<br />
F<br />
Wir sehen: Glieder können aus Faktoren bestehen.<br />
F<br />
F<br />
Das erste Glied dieses dreigliedrigen Terms besteht aus<br />
zwei Faktoren ( +2 und x 2 ),<br />
das zweite Glied aus drei Faktoren ( – 3 , x und y ).<br />
Das letzte Glied + 5 besteht aus keinem Faktor!<br />
– 4 x 3<br />
Nur zur Ansicht<br />
Potenz<br />
Vorzahl ( Koeffizient )<br />
Vorzeichen<br />
Eigentlich gibt es<br />
keine Potenz ohne Vorzeichen und Vorzahl.<br />
manfred.ambach 55 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiele: – 4 x 3 = – 4 . x 3<br />
4 x 3 = + 4 . x 3<br />
– x 3 = – 1 . x 3<br />
x 3 = + 1 . x 3<br />
Bei Casio kann statt des Vorzeichen-Minus auch das Rechen-Minus verwendet werden.<br />
Am besten, man nimmt in beiden Fällen die Taste<br />
Weiters gilt:<br />
2 x – 3 y = + 2 x – 3 y<br />
3 y = 3 . y<br />
x y = x . y<br />
25 = 2 . 5<br />
Beachte folgenden Unterschied:<br />
(2. Reihe von unten, rechts)<br />
3 . x = x + x + x aber: x³ = x . x . x<br />
Nur zur Ansicht<br />
Weiters trifft zu:<br />
0 . 3 = 0<br />
0 . 7 = 0<br />
0 . x = 0<br />
Streng genommen muss man zwischen Vorzeichen und<br />
Rechenzeichen unterscheiden.<br />
Viele Taschenrechner verwenden für das<br />
Vorzeichen Minus Tasten wie<br />
Rechenzeichen Minus Tasten wie<br />
Steht zwischen einer Zahl und einem Buchstaben<br />
oder zwischen zwei Buchstaben kein Rechenzeichen geschrieben,<br />
so sind sie mit mal verbunden.<br />
1 . 2 = 2<br />
1 . 6 = 6<br />
1 . x = x<br />
und für das<br />
Steht vor dem ersten Glied kein Vorzeichen, so ist + gemeint.<br />
– 1 . 4 = – 4<br />
– 1 . 5 = – 5<br />
– 1 . x = – x<br />
Ist (mindestens) ein Faktor Null, so ist das<br />
Ergebnis der Multiplikation (das Produkt) Null.<br />
Die Vorzahl 1 braucht nicht geschrieben zu werden,<br />
weil die Multiplikation mit 1 nichts verändert.<br />
manfred.ambach 56 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Angenommen, jemand benötigt 3 m Stoff. Dann wird man mit einem Maßband<br />
drei Mal einen Meter Stoff abmessen.<br />
3 . 1 m = 3 . 1 . m = 3 . m = 3 m<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=w4dxS7hX7AA<br />
2.2. Potenzen<br />
2.2.1. Einführung<br />
Was ist eine Potenz?<br />
Die Potenz besteht aus der Basis und der Hochzahl<br />
allgemein:<br />
Potenz<br />
Da die Multiplikation mit 1 nichts verändert und wir uns möglichst kurz ausdrücken<br />
wollen, sagen wir statt 3 mal ein Meter: 3 Meter.<br />
Diese Sprechweise hat sich derart eingebürgert, dass im Gegensatz zu 3 m ( ein Stoffteil von<br />
3 Meter Länge ) 3-mal ein Meter wohl heißt, drei Stoffteile von jeweils einem Meter<br />
abzumessen.<br />
x³<br />
Nur zur Ansicht<br />
x 3 = x . x . x<br />
3–mal<br />
x n = x . x . x . … . x<br />
Hochzahl ( Exponent )<br />
Basis (Grundzahl)<br />
n – mal<br />
Sofern die Hochzahl ( der Exponent ) eine natürliche Zahl ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ) ist,<br />
gibt die Hochzahl an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.<br />
manfred.ambach 57 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiele:<br />
2 3 = 2 . 2 . 2 = 8<br />
x 5 x.x.x.x.x<br />
Für die Basen 0 und 1 gilt:<br />
0 2 0 . 0 0<br />
1 3 1.1. 1 = 1<br />
0 6 0.0.0 .0. 0.0 0<br />
1 4 1.1.1.1 1<br />
allgemein gilt:<br />
0 n = 0<br />
1 n = 1<br />
Bemerkung: Natürlich gilt dieser Sachverhalt nur für Potenzen mit der Basis 0 oder 1 .<br />
Betrachten wir im Folgenden Potenzen mit negativer Basis:<br />
Beispiele:<br />
(–2) 2 = (–2) . (–2) = + 4 = + 2 2<br />
(–2) 4 = (–2) . (–2) . (–2) . (–2) = + 16 = + 2 4<br />
(–2) 3 = (–2) . (–2) . (–2) = – 8 = – 2 3<br />
(–2) 5 = (–2) . (–2) . (–2) . (–2) . (–2) = – 32 = – 2 5<br />
An diesen Beispielen lässt sich erkennen, dass<br />
Nur zur Ansicht<br />
Potenzen mit negativer Basis und gerader Hochzahl aufgelöst ein positives Ergebnis liefern,<br />
während bei ungerader Hochzahl dieses Ergebnis negativ ausfällt.<br />
manfred.ambach 58 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiele:<br />
( – x ) gerade Zahl = + x gerade Zahl = + 1 . x<br />
( – x ) UNgerade Zahl = – x UNgerade Zahl = – 1 . x<br />
gerade Zahl<br />
! In beiden Fällen, gleich ob die Hochzahl gerade oder ungerade,<br />
erhält die Potenz mit negativer Basis beim Auflösen der<br />
Klammer eine positive Basis!<br />
UNgerade Zahl<br />
Ist die Hochzahl gerade, so wird das Vorzeichen ( der Vorzahl 1 ) positiv,<br />
ist die Hochzahl UNgerade, wird das Vorzeichen ( der Vorzahl 1 ) negativ.<br />
2<br />
( x) 1.<br />
x x x<br />
3<br />
( x ) 1.x<br />
x<br />
2<br />
3<br />
x 3 = x 3 ≠ −x 3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
. . . Da die Basis dieser Potenz positiv ist.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=JrShMyJOch4<br />
manfred.ambach 59 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
2.2.2. Rechenregeln für Potenzen<br />
Einführungsbeispiel für Potenzregel P1:<br />
3 2<br />
5 32<br />
Beispiel: x . x x.x.x . x.x x x<br />
Daraus lässt sich folgende Regel verallgemeinern:<br />
. . . Regel P1 gilt für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis<br />
Beispiele:<br />
x<br />
x<br />
x<br />
4<br />
5<br />
4<br />
2<br />
. x<br />
3<br />
x<br />
. x x<br />
. x . x<br />
2<br />
3<br />
a . a <br />
2<br />
4<br />
5<br />
a<br />
4 3<br />
. x<br />
<br />
4<br />
x<br />
1<br />
x<br />
x<br />
4<br />
. x<br />
2<br />
7<br />
6<br />
1<br />
. x<br />
2x<br />
. 3 x 2.x . 3. x 2.3.x .x 6.x<br />
3<br />
4<br />
<br />
x<br />
8<br />
2<br />
= 6 = x 6<br />
4<br />
Nur zur Ansicht<br />
3<br />
2<br />
( x) . ( x)<br />
( x)<br />
1.<br />
x x<br />
5<br />
5<br />
5<br />
6<br />
Beachte x = x 1 ≠ x O<br />
Da die Multiplikation vertauschbar ist<br />
( z.B. ist 2 . 3 = 3 . 2 = 6 ),<br />
können wir die Faktoren beliebig reihen.<br />
4 3<br />
x) . x<br />
4 3 7<br />
1.<br />
x . x 1.x<br />
7<br />
x<br />
Beim diesem Beispiel müssen wir zuerst die<br />
Potenzen auf gleiche Basis bringen, damit<br />
wir Regel P 1 anwenden können.<br />
( <br />
( – x ) 4 = + 1 . x 4<br />
manfred.ambach 60 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Lieber Fredo,<br />
Einführungsbeispiel für Potenzregel P2:<br />
Beispiel:<br />
x<br />
5<br />
: x<br />
x 2 . y 3 = x . x . y . y . y<br />
während<br />
( x . y ) 5 = ( x . y ) . ( x . y ) . ( x . y ) . ( x . y ) . ( x . y ) =<br />
= x . y . x . y . x . y . x . y . x . y =<br />
= x . x . x . x . x . y . y . y . y . y = x 5 . y 5 ist!<br />
= x 5 = y 5<br />
Man darf also nur Potenzen mit gleichen Basen multiplizieren.<br />
3<br />
<br />
x<br />
x<br />
Ergibt nicht<br />
x 2 . y 3 = ( x . y ) 5 ?<br />
5<br />
3<br />
<br />
1 1 1<br />
x .x.x.x.x<br />
x.x.x<br />
<br />
1 1 1<br />
Dieses Beispiel weist auf folgende Regel hin:<br />
x .x<br />
1<br />
x .x x<br />
2<br />
x<br />
Nur zur Ansicht<br />
5 3<br />
Regel P 2 gibt an, wie zwei Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden.<br />
Beachte, dass die Hochzahl der Potenz des Nenners<br />
von der Hochzahl der Potenz des Zählers zu subtrahieren ist.<br />
Beispiel:<br />
x 6<br />
x 2 = x 6−2 = x 4<br />
manfred.ambach 61 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Weitere Beispiele:<br />
a<br />
a<br />
x<br />
4<br />
<br />
a<br />
a<br />
4<br />
1<br />
a<br />
3<br />
3<br />
x 3 2 1<br />
x x<br />
2<br />
a 2<br />
a 3 = a −1<br />
6 a 4 b 6<br />
3 a 2 b 3<br />
( x )<br />
x<br />
3<br />
7<br />
<br />
=<br />
x<br />
2<br />
62<br />
. a 4 . b 6<br />
3 . a 2 . b 3<br />
1<br />
x<br />
1.<br />
x<br />
Einführungsbeispiel für Potenzregel P3:<br />
x<br />
3<br />
7<br />
<br />
=<br />
x<br />
x<br />
x 3 3 0<br />
Beispiel: 1 x x<br />
3<br />
x<br />
P 2<br />
3<br />
7<br />
3<br />
2 a 2 b 3<br />
1<br />
x<br />
4<br />
= 2 a 2 b 3<br />
Bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die<br />
Potenzen auf gleiche Basis bringen, damit<br />
wir Regel P 2 anwenden können.<br />
Wollen wir nicht mit den Gesetzen der Division in Widerspruch kommen, lässt dieses Beispiel nur folgende Regel<br />
als sinnvoll erscheinen:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Jeder Potenz (ausgenommen mit der Basis Null) mit der Hochzahl 0 wird der Wert 1 zugeordnet.<br />
manfred.ambach 62 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiele: a 0 1<br />
8 0 1<br />
1 0 1<br />
( x )<br />
0 <br />
1<br />
( – 3 x 2 y ) 0 = 1<br />
Einführungsbeispiel für Potenzregel P4:<br />
Beispiel:<br />
0<br />
1 x 0 3 3<br />
x<br />
x<br />
3 3<br />
x<br />
x<br />
P 3 P 2<br />
Mit diesem Beispiel kann nachfolgende Regel formuliert werden:<br />
Man spricht hier vom Kehrwert einer Potenz, wobei eigentlich der Kehrwert des Bruches gemeint ist.<br />
Beispiel:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bringe folgende Potenzen aus dem Nenner:<br />
1<br />
= x 4 x−4<br />
4<br />
= 4<br />
3 x 2 3<br />
x −2<br />
4<br />
3 x 2<br />
≠ 4 . 3 . x −2<br />
Nur für die Potenz ( hier x 2 ) gibt es die Kehrwertregel.<br />
Nicht für nachrangige Faktoren.<br />
Außerdem ist doch<br />
4<br />
3 = 4 ∶ 3 ≠ 4 . 3<br />
manfred.ambach 63 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel: Bringe folgende Potenz in den Nenner: x −1 = 1<br />
= 1<br />
x 1 x<br />
Einführungsbeispiel für Potenzregel P5:<br />
Beispiel:<br />
Leiten wir daraus ab:<br />
3<br />
2<br />
3<br />
( x ) x . x x x<br />
Diese Regel gibt an, wie eine Potenz potenziert (hochgerechnet) wird.<br />
Beispiele:<br />
2<br />
2<br />
2.2<br />
( x ) x x<br />
3<br />
4<br />
( a ) a<br />
12<br />
P 1<br />
4<br />
3<br />
6<br />
3.2<br />
Nur zur Ansicht<br />
(−x 3 ) 2 = +1 . x 6 = +x 6 = x 6<br />
(−x 2 ) 3 = −1 . x 6 = −x 6<br />
( z<br />
5<br />
)<br />
0<br />
z<br />
0<br />
1<br />
Beachte:<br />
während<br />
manfred.ambach 64 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Mit<br />
– Gib für das Volumen des dargestellten Körpers<br />
eine möglichst einfache Formel an, in der nur<br />
die bezeichnete Variable vorkommt.<br />
Die L-förmige Fläche können wir in zwei Rechtecke aufteilen:<br />
A 1 = 2x ⋅ x = 2 x 2<br />
A 2 = 2x ⋅ x = 2 x 2<br />
A gesamt = A 1 + A 2 = 2 x 2 + 2 x 2 = 4 x 2<br />
Für das Volumen des abgebildeten Körpers gilt:<br />
V = A gesamt . h = 4 x 2 . 4 x = 16 x 3<br />
Nur zur Ansicht<br />
Näheres mit GeoGebra :<br />
Bedeutet: Abschnitt II, Kapitel 2.5., Seite 85 und folgende<br />
Bemerkung:<br />
Eine Lösung wie V = 4 x 2 . 4 x würde nicht gelten, weil eine möglichst einfache Formel verlangt ist.<br />
manfred.ambach 65 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Die Umkehrung des Addierens ist das Subtrahieren,<br />
die Umkehrung des Subtrahierens ist das Addieren.<br />
Die Umkehrung des Multiplizierens ist das Dividieren,<br />
die Umkehrung des Dividierens ist das Multiplizieren.<br />
Die Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen,<br />
die Umkehrung des Wurzelziehens ist das Potenzieren.<br />
Aus den obigen Überlegungen lässt sich (zumindest formal, wenn auch nicht anschaulich) die nächste Regel herleiten.<br />
Einführungsbeispiel für Potenzregel P6:<br />
Beispiel: (x 3 ) 2 = x 3 ⋅ 2 2<br />
→ √x 3<br />
Daraus folgern wir:<br />
= x 3<br />
2<br />
P6 ist eine Regel für das Wurzelziehen ( Radizieren ) aus einer Potenz<br />
radix (lateinisch): die Wurzel<br />
Radieschen: kleine Wurzel<br />
Deshalb wählte man für das Wurzelzeichen den stilisierten Buchstaben r: r → r → √<br />
3<br />
Beispiel: Verwandle die Wurzel in eine Potenz: √x 4 = x 4<br />
3<br />
Nur zur Ansicht<br />
Beispiel: Verwandle die Potenz in eine Wurzel: x 1 2<br />
2 = √x 1 = √x<br />
Gegeben ist der Ausdruck T 1,32 .<br />
Beispiel Zentralmatura vom 16.1.2018<br />
– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der diesem Ausdruck<br />
äquivalent (gleichwertig) ist. [ 1 aus 5 ]<br />
manfred.ambach 66 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Mögliche Gedankengänge:<br />
T 1 32<br />
132<br />
√T<br />
100<br />
√T 132<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1,32 <br />
T<br />
1<br />
<br />
T 32<br />
Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass von den 5 gebotenen Alternativen genau eine richtig ist.<br />
Einführungsbeispiel für Potenzregel P7:<br />
Beispiel:<br />
Verallgemeinert gilt:<br />
Beispiele:<br />
3<br />
( x. y ) (x. y ).(x. y).(x. y ) x. y.x. y.x. y x.x.x. y. y.y x<br />
2<br />
2<br />
( 2x) (2.x) 2 . x 4. x 4 x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x<br />
Nur zur Ansicht<br />
2<br />
3<br />
3<br />
( 3a ) 3 . (a ) 27 a<br />
2<br />
2<br />
( 2x y ) 4 x<br />
2<br />
2<br />
y<br />
3<br />
4<br />
Der Ausdruck T 1,32 = T 132<br />
100<br />
Denn<br />
Nach der Regel P 6 ist T 132<br />
6<br />
3<br />
y<br />
3<br />
100<br />
100 = √T 132<br />
Demnach ist die 3. der Alternativen anzukreuzen.<br />
3<br />
. y<br />
3<br />
2 0<br />
( 2x ) 1<br />
2<br />
2<br />
9x<br />
3 .x (3x)<br />
2<br />
2<br />
manfred.ambach 67 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Einführungsbeispiel für Potenzregel P8:<br />
Beispiel:<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
y<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
Davon abgeleitet ergibt sich:<br />
<br />
x x x<br />
. .<br />
y y y<br />
<br />
x .x.x<br />
y . y . y<br />
<br />
x<br />
y<br />
3<br />
3<br />
Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler mit den Zählern<br />
und die Nenner mit den Nennern multipliziert.<br />
Die Regeln P 7 und P 8 beschreiben das Auflösen einer Potenz, in deren Basis Faktoren stehen.<br />
Beispiele:<br />
Beispiel:<br />
2<br />
x <br />
<br />
3 <br />
3 <br />
2 <br />
5 <br />
2<br />
x<br />
2<br />
3<br />
9<br />
25<br />
<br />
2<br />
x<br />
9<br />
≠ 3<br />
5<br />
(− 4 a2 b<br />
3 x y 3 )2 = +1 ⋅ 42 (a 2 ) 2 b 2<br />
3 2 x 2 (y 3 ) 2<br />
Manchmal wird das Kürzen eines Bruches,<br />
also das Dividieren des Zählers und Nenners durch den gleichen<br />
Ausdruck, mit dem Wurzelziehen verwechselt, denn nur<br />
9<br />
25<br />
3<br />
<br />
5<br />
= 16 a4 b 2<br />
9 x 2 y 6<br />
Nur zur Ansicht<br />
Man darf nur faktorenweise ( . : ) getrennt hochrechnen oder Wurzel ziehen,<br />
nie gliedweise ( + – ) !<br />
2 2 2<br />
Beispiele: a.b<br />
a . b<br />
a.b<br />
<br />
a<br />
.<br />
b<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
b<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
b<br />
n<br />
n<br />
a <br />
b<br />
a<br />
b<br />
manfred.ambach 68 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
2 2<br />
2<br />
ab<br />
a 2ab b<br />
= a 2 + b 2<br />
a<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
b<br />
2 2<br />
2<br />
ab<br />
a 2ab b<br />
= a 2 – b 2<br />
a<br />
b<br />
P1 bis P8 liefern Regeln für die Verbindung von Potenzen mit Hoch- und Punktrechnung.<br />
Gilt noch die Frage zu klären, ob bzw. unter welchen Bedingungen Potenzen addiert oder subtrahiert<br />
werden können.<br />
Beispiel: 7 a + 4 b – 3 a – 2 b =<br />
Stellen wir uns für a Äpfel und für b Birnen vor, so wird es nur sinnvoll sein, Äpfel mit Äpfeln und Birnen<br />
mit Birnen zu vergleichen.<br />
7 a + 4 b – 3 a – 2 b = 4 a + 2 b<br />
Beispiel: 6 a 2 + 5a – 2 a 2 – 3 a =<br />
Folgender Vergleich hilft:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Ein Obsthändler bietet zwei Apfelsorten an. Die Sorte a 2 und die Sorte a .<br />
Zu Beginn des Tages besitzt er 6 (Kisten) der Sorte a 2 und 5 (Kisten) der Sorte a .<br />
Im Laufe des Tages verkauft der Händler 2 (Kisten) der Sorte a 2 und 3 (Kisten) der Sorte a .<br />
Um entsprechende Nachbestellungen ordern zu können, muss wohl der Umsatz beider Apfelsorten<br />
getrennt berücksichtigt werden. Das führt uns auf folgende Rechnung:<br />
<br />
a<br />
<br />
b<br />
6 a 2 + 5 a –2 a 2 – 3 a = 4 a 2 + 2 a<br />
manfred.ambach 69 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Diese beiden Beispiele belegen:<br />
Man darf nur Glieder ( + – ) mit gleichen Potenzen<br />
addieren oder subtrahieren.<br />
Gleiche Potenzen besitzen die gleiche Basis UND die gleiche Hochzahl.<br />
Beispiel: 3 a 2 b + 3 a b 2 + 3 a b – 3 b a 2 – 3 a b 2 + a b =<br />
Ein weiterer Aspekt:<br />
Man sieht relativ leicht, dass das zweite und vorletzte Glied, sowie das dritte und letzte Glied<br />
jeweils gleiche Potenzen besitzen.<br />
Doch auch das erste und vierte Glied besitzen die gleichen Potenzen a 2 und b .<br />
Damit man nicht Glieder mit gleichen Potenzen übersieht, ist es vorteilhaft,<br />
die Potenzen innerhalb eines Gliedes bezüglich der Basis alphabetisch zu ordnen.<br />
= 3 a 2 b + 3 a b 2 + 3 a b – 3 b a 2 – 3 a b 2 + a b =<br />
= 3 a 2 b + 3 a b 2 + 3 a b – 3 a 2 b – 3 a b 2 + a b = 4 a b<br />
+ ( – 2 x + 3 y ) = – 2 x + 3 y<br />
Steht vor einer Klammer ein + , so behalten die Glieder in<br />
der Klammer beim Auflösen ihr Vorzeichen.<br />
– ( – 2 x + 3 y ) = + 2 x – 3 y<br />
Steht vor einer Klammer ein – , sind die Vorzeichen der<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Begründung für diese Rechengänge erfolgt in<br />
Glieder in der Klammer beim Auflösen zu ändern.<br />
Beispiel: 3 x² – ( 2 x² – 5 ) = 3 x² – 2 x² + 5 = x² + 5<br />
manfred.ambach 70 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel: – x² – [ – x² – (– x²–1) ] =<br />
= – x² – [ – x² + x² + 1 ] =<br />
= – x² – [ + 1] =<br />
= – x² – 1<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=rMCpcB5wC_c<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Der Flächeninhalt A eines gleichseitigen Dreiecks lässt sich mit folgender Formel bestimmen:<br />
a … Seitenlänge des Dreiecks<br />
Behauptung:<br />
A = a2 ⋅ √ 3<br />
4<br />
„ Wird die Seitenlänge verdoppelt, so verdoppelt sich auch der Flächeninhalt. “<br />
– Argumentieren Sie, warum diese Behauptung falsch ist.<br />
Nur zur Ansicht<br />
argumentieren bedeutet in aller Regel zweierlei:<br />
1) Einen Rechengang (allgemein) oder<br />
eine Rechnung (mit Zahlen) durchführen<br />
und<br />
2) Eine verbale Begründung für deine Entscheidung anführen:<br />
„ Die Behauptung ist richtig, weil . . .“<br />
oder: „ Die Behauptung ist falsch, weil . . .“<br />
manfred.ambach 71 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Wenn keine Zahlen gegeben sind, ist der Rechengang allgemein durchzuführen.<br />
1) Ursprünglicher Flächeninhalt: A alt = a2 ⋅√ 3<br />
Neuer Flächeninhalt: A neu = (2⋅a)2 ⋅√ 3<br />
4<br />
4<br />
= 22 ⋅a 2 ⋅√ 3<br />
4<br />
= 4⋅a2 ⋅√ 3<br />
4<br />
= 4 ⋅ a2 ⋅√ 3<br />
2) Die Behauptung ist falsch, weil sich bei einer Verdoppelung der Seitenlänge der Flächeninhalt<br />
vervierfacht.<br />
2.2.3. Multiplikation von Monom und Klammer<br />
Monom: ein eingliedriger Ausdruck<br />
Beispiel:<br />
( 2 x² – 3 ) . ( – 4 x ) = – 8 x³ + 12 x<br />
Monom<br />
1) Vorzeichen: + . – = –<br />
2) Vorzahlen: 2 . 4 = 8<br />
3) Potenzen: x² . x = x³<br />
Nur zur Ansicht<br />
Jedes Glied der Klammer wird mit dem Monom multipliziert.<br />
4<br />
= 4 ⋅ A alt<br />
Wir könnten obiges Beispiel auch so anschreiben, da ja die Multiplikation vertauschbar ist:<br />
– 4 x . ( 2 x² – 3 ) = – 8 x³ + 12 x<br />
manfred.ambach 72 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Welche der Schreibweisen wirkt einfacher?<br />
Noch ein Beispiel:<br />
4 x . ( 2 x + 1 ) – 2 x . ( 2 x – 1 ) =<br />
= 8 x² + 4 x – 4 x² + 2 x =<br />
= 4 x² + 6 x<br />
Warum bleiben die Vorzeichen unverändert, wenn vor einer Klammer ein + steht und warum sind<br />
bei einem – vor der Klammer die Vorzeichen zu ändern?<br />
+ ( – 2 x + 3 y ) = + 1 . ( – 2 x + 3 y ) = – 2 x + 3 y<br />
– ( – 2 x + 3 y ) = – 1 . ( – 2 x + 3 y ) = + 2 x – 3 y<br />
2.2.4. Multiplikation von Klammern<br />
Das + vor der Klammer bedeutet eigentlich die<br />
Vorzahl + 1 , mit der die Klammer multipliziert<br />
Nur zur Ansicht<br />
wird.<br />
Das – vor der Klammer bedeutet eigentlich die<br />
Vorzahl – 1 , mit der die Klammer multipliziert<br />
wird.<br />
Beispiel: ( 3 x – 2 y ) . ( 2 x + 5 y ) = 6 x² + 15 x y – 4 x y – 10 y² = 6 x² + 11 x y – 10 y²<br />
Jedes Glied der einen Klammer wird<br />
mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert.<br />
manfred.ambach 73 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel: ( 2 x – 1 ) . ( 2 x + 1 ) – x ( 4 x – 1 ) =<br />
= 4 x 2 + 2 x – 2 x – 1 – 4 x 2 + x =<br />
= – 1 + x =<br />
= x – 1<br />
2.2.5. Binomische Formeln<br />
(A + B) 2 = A 2 + 2 . A . B + B 2 ≠ A 2 + B 2<br />
(A − B) 2 = A 2 − 2 . A . B + B 2 ≠ A 2 − B 2<br />
(A − B) . (A + B) = A 2 − B 2<br />
Bemerkung: Die Binomischen Formeln gibt es auch für höhere Potenzen, also für (a ± b) 3 , (a ± b) 4 u.s.w.<br />
Beispiel: ( 2 x – 3 y ) 2 =<br />
( A – B ) 2 = A 2 – 2 . A . B + B 2<br />
( 2 x – 3 y ) 2 = ( 2x ) 2 – 2 . 2 x . 3 y + ( 3y) 2 = 4 x 2 – 12 x y + 9 y 2<br />
Nur zur Ansicht<br />
Beispiel: ( 2 x – 1 ) 2 – ( 2 x – 1 ) . ( 2 x + 1 ) =<br />
= 4 x 2 – 4 x + 1 – ( 4 x 2 – 1 ) =<br />
= 4 x 2 – 4 x + 1 – 4 x 2 + 1 =<br />
= – 4 x + 2<br />
Bemerkung: Ist mit GeoGebra leicht zu bewerkstelligen!<br />
manfred.ambach 74 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Bemerkung:<br />
Weil vor dem Minus noch die Punktrechnung der<br />
Klammern ( 2 x – 1 ) . ( 2 x + 1) zu berücksichtigen ist.<br />
Das Minus vor diesen Klammern bedeutet aber einen<br />
Vorzeichenwechsel, der gerne vergessen wird,<br />
multipliziert man und löst gleichzeitig die Klammern auf!<br />
Natürlich kann man statt ( 2 x – 1 ) 2 auch ( 2 x – 1 ) . ( 2 x – 1 ) rechnen.<br />
2.2.6. Fließkomma- bzw. Gleitkommadarstellung<br />
Die Gleitkomma- bzw. Fließkommadarstellung von Zahlen findet vornehmlich in Naturwissenschaft und Technik<br />
Verwendung um sehr große bzw. sehr kleine Zahlen (sehr nahe bei null) übersichtlich darzustellen.<br />
Die uns gewohnte Kommadarstellung nennt man Fixkomma- oder festkomma-Darstellung.<br />
Normierte Fließkommadarstellung: a . 10 k mit 1 ≤ a < 10 und a ∈ R und k ∈ Z<br />
Es bedeuten:<br />
Warum haben wir in der zweiten<br />
Zeile das Minus und die Klammer<br />
nochmals gesetzt?<br />
1 ≤ a < 10 , a ∈ R . . . a ist eine reelle Zahl zwischen einschließlich 1 und ausschließlich 10<br />
k ∈ Z . . . k ist eine ganze Zahl: . . . , − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .<br />
Beispiel einer Zahl in normierter Fließkommadarstellung:<br />
E<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Zahl ( 4,37 ) vor der Zehnerpotenz ( hier 10 3 ) besitzt als<br />
höchsten Stellenwert immer Einer ( E ) ( hier die Ziffer 4 ) .<br />
Wie groß ist diese Zahl eigentlich?<br />
4,37 . 10 3 = 4,37 . 1000 = 4 370<br />
10 3 = 10 . 10 . 10 = 1 000<br />
manfred.ambach 75 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel:<br />
6,23 . 10 – 4 = 6,23 . 0,0001 = 0,000623<br />
10 – 4 1 1<br />
= 0,0001 siehe Regel P4<br />
4<br />
10 10000<br />
Aus den beiden obigen Beispielen lässt sich erkennen:<br />
1,234 . 10 n<br />
1,234 . 10 – n<br />
Ist die Hochzahl der Zehnerpotenz positiv, so wird das Komma um n Stellen<br />
nach rechts verschoben, soll die Zahl in die für uns übliche Fixkomma-Darstellung<br />
verwandelt werden.<br />
Ist die Hochzahl der Zehnerpotenz negativ, so wird das Komma um n Stellen<br />
nach links verschoben, soll die Zahl in die für uns übliche Fixkomma-Darstellung<br />
verwandelt werden.<br />
Umgekehrt lassen sich Zahlen in Fixkomma-Darstellung auch in die normierte Gleitkomma-Schreibweise<br />
verwandeln:<br />
Beispiel:<br />
1 023 648 = 1,023 648 . 1 000 000 = 1,023 648 . 10 6 ≈ 1,02 . 10 6<br />
Um von 1 023 648 auf 1,023 648 zu kommen, müssen wir 1 023 648 durch eine Million (= 1 000 000 = 10 6 )<br />
dividieren.<br />
Damit aber der Wert von 1 023 648 erhalten bleibt, müssen wir die Zahl 1, 023 648 zum Ausgleich mit<br />
1 000 000 = 10 6 multiplizieren.<br />
Bemerkung: Auf wie viel Stellen die Zahl vor der 10-er Potenz gerundet wird, hängt vom jeweiligen Sachverhalt ab.<br />
Beispiel:<br />
Nur zur Ansicht<br />
0,000 000 002 = 2 .<br />
1<br />
1 000 000 000<br />
1<br />
= 2 .<br />
10 = 2 . 10 – 9<br />
9<br />
Um von 0,000 000 002 auf 2 zu kommen, müssen wir 0,000 000 002 mit einer Milliarde (= 1 000 000 000 = 10 9 )<br />
multiplizieren.<br />
Damit aber der Wert von 0,000 000 002 erhalten bleibt, müssen wir die Zahl 2 zum Ausgleich durch<br />
1 000 000 000 = 10 9 dividieren oder eben mit 10 – 9 multiplizieren.<br />
manfred.ambach 76 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Auch dafür lässt sich eine Regel ableiten:<br />
1234 . . . 678,9<br />
= 1,234 . 10 n<br />
Komma n Stellen nach links<br />
0,000 . . . 005678<br />
Komma n Stellen nach rechts<br />
Beispiel der Zentralmatura vom 16.1.2018<br />
= 5,568 . 10 – n Ich glaube, lieber Fredo, dich von der<br />
Sinnhaftigkeit der Fließkommadarstellung<br />
überzeugen zu können:<br />
Die „elektromagnetische Wechselwirkung“ ist 10 000-Milliarden-mal so groß wie die „schwache Wechselwirkung“.<br />
– Ergänzen Sie in der nachstehenden Tabelle die fehlende Hochzahl für die „schwache Wechselwirkung“.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Wechselwirkung<br />
Stärke<br />
elektromagnetische Wechselwirkung 1<br />
schwache Wechselwirkung<br />
Das ist ja eine sch . . . öne Darstellungsart!<br />
Mathematiker scheinen keine wirklichen Sorgen zu<br />
haben!<br />
Erst bekommt man in der Schule die<br />
Dezimalschreibweise eingetrichtert und jetzt wird<br />
sie einem madig gemacht!<br />
10<br />
Gravitation<br />
10 −39<br />
– Ermitteln Sie, um welchen Faktor die „schwache Wechselwirkung“ stärker ist als die Gravitation.<br />
manfred.ambach 77 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
elektromagnetische Wechselwirkung: EW<br />
schwache Wechselwirkung: SW<br />
EW = 10 000 . 1 000 000 000 SW = 10 000 000 000 000 . SW = 1 . 10 13 . SW<br />
EW = 1 . 10 13 . SW | : 1 . 10 13 = . 1 . 10 –13<br />
1 . 10 –13 . EW = SW 10 –13 . EW = SW<br />
Also muss in das Kästchen 10 –13 eingetragen werden.<br />
10 –13 = 10 –39 . 10 26<br />
Deshalb ist die SW 10 26 - mal stärker als die Gravitation.<br />
Folgende Tabelle gibt nochmals eine Übersicht über Größenordnungen und Bezeichnungen<br />
Fixkomma-Darstellung Fließkomma-Darstellung Bezeichnung Abkürzung<br />
milliardstel 0,000 000 001 10 −9 nano n<br />
millionstel 0,000 001 10 −6 micro μ<br />
tausendstel 0,001 10 −3 milli m<br />
hundertstel 0,01 10 −2 centi c<br />
zehntel 0,1 10 −1 dezi d<br />
eins 1 10 0<br />
zehn 10 10 1 deka da<br />
hundert 100 10 2 hekto h<br />
tausend 1 000 10 3 kilo k<br />
Million 1 000 000 10 6 Mega M<br />
Milliarde 1 000 000 000 10 9 Giga G<br />
Billion 1 000 000 000 000 10 12 Tera T<br />
Nur zur Ansicht<br />
Auch unser Taschenrechner beherrscht die normierte Fließkommadarstellung:<br />
unterste Reihe, Mitte<br />
Beispiel: 5 . 10 7 : Als Ergebnis erscheint 50000000<br />
Solange Zahlen in der üblichen Form am Display Platz finden, werden sie in der uns gewohnten,<br />
sog. Fixkommadarstellung, wiedergegeben.<br />
manfred.ambach 78 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel:<br />
Die Zahl 1 000 000 000 000 000 000 ist für das Display zu groß und wird am TR als 1 x 10 18 in<br />
Gleitkommadarstellung angegeben.<br />
Beispiel:<br />
Verwandeln der Zahl 123 000 in Gleitkommadarstellung mit Casio:<br />
Wir geben die Zahl ein und betätigen . Danach drücken wir die Taste (5. Reihe von oben,<br />
2. Von links).<br />
Damit erscheint das Ergebnis in der Form 123 x I0 3 .<br />
Durch weiteres Drücken der<br />
durch drücken von<br />
-Taste wird die Zahl vor der 10-er Potenz 1 000 mal größer,<br />
-Taste wird die Zahl vor der 10-er Potenz 1 000 mal kleiner.<br />
Die Hochzahl der 10-er Potenz wird jeweils entsprechend verändert.<br />
Leider verwandelt der Taschenrechner die Zahl nicht automatisch in die normierte Gleit- bzw.<br />
Fixkommadarstellung.<br />
2.3. Zerlegen von Termen<br />
Nur zur Ansicht<br />
Beachte, dass eingliedrige und mehrgliedrige Terme gänzlich anders zu zerlegen sind.<br />
Beispiele:<br />
eingliedrige Terme<br />
mehrgliedrige Terme<br />
4 x x² – 2x<br />
– 6 x 2 y 4 x² + 12 x y + 9 y²<br />
manfred.ambach 79 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
2.3.1. eingliedrige Terme<br />
Beispiel: 12 x² y<br />
Die Zahl wird in Primfaktoren zerlegt, die Potenzen in ihrer ausführlichen Schreibweise angegeben.<br />
Primfaktoren sind mit mal verbundene Primzahlen. Primzahlen siehe<br />
Primfaktorenzerlegung von 12: 12 2<br />
6 2<br />
3 3<br />
Also lautet 12 in Primfaktoren zerlegt: 12 = 2 . 2 . 3<br />
Zerlegung der Potenzen: x² = x . x und y 1 = y<br />
Somit lautet die Zerlegung des eingliedrigen Terms 12 x² y = 2 . 2 . 3 . x . x . y<br />
2.3.2. mehrgliedrige Terme<br />
Für mehrgliedrige Terme steht uns das<br />
zur Verfügung.<br />
1<br />
Herausheben gemeinsamer Faktoren<br />
Wir dividieren durch die jeweils kleinstmögliche<br />
Primzahl, bis wir als Ergebnis 1 erhalten.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Faktoren, die in jedem Glied vorkommen, kann man herausheben.<br />
Beispiel: 6 x² y – 9 x² y² = 2 . 3 . x . x . y – 3 . 3 . x . x . y . y = 3 . x . x . y . ( 2 – 3 . y )<br />
Diese Schreibweise ist nur eine Hilfs-Darstellung,<br />
um die gemeinsamen Faktoren besser zu erkennen.<br />
# Es handelt sich aber NICHT um die Zerlegung des mehrgliedrigen Terms!<br />
manfred.ambach 80 pro-test.at
+ Wird<br />
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
In dem du ( im Kopf ) die Probe machst:<br />
Beispiel: 3 x – 3 = 3 . ( x – 1 )<br />
weil 3 x – 3 = 3 x – 3.1 = 3 .( x – 1)<br />
In der Klammer stehen immer so viele Glieder wie es ursprünglich waren.<br />
3 x 2 y . ( 2 – 3 y ) = 6 x² y – 9 x² y²<br />
Bemerkung: Es existieren noch weitere Methoden der Zerlegung mehrgliedriger Terme,<br />
auf die wir verzichten.<br />
Herausheben mit<br />
Wie weiß ich, ob ich richtig<br />
herausgehoben habe?<br />
ein Glied zur Gänze herausgehoben, muss es in der<br />
Klammer durch 1 ersetzt werden. Ansonsten erhalten wir<br />
beim Ausmultiplizieren nicht mehr den ursprünglichen Ausdruck.<br />
Man gibt im CAS –Fenster den zu zerlegenden Term<br />
ein und klickt anschließend mit der linken Maustaste<br />
und klickt<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bemerkung: Das Programm hebt – 3 x 2 y heraus, damit in der Klammer das erste Glied positiv erscheint.<br />
Warum – 3 y vor der Klammer und x 2 danach steht, entzieht sich meiner Kenntnis.<br />
an.<br />
Ausführlicheres zu GeoGebra siehe<br />
manfred.ambach 81 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
2.4. Kleines Einmaleins des Bruchrechnens<br />
2.4.1. Addieren und Subtrahieren<br />
Beispiel:<br />
Beispiele:<br />
3<br />
+ 2<br />
=<br />
2 8<br />
Man darf Brüche nur addieren bzw. subtrahieren, wenn sie gleiche Nenner besitzen.<br />
3<br />
2 + 2<br />
8 = Ef<br />
N 1 : 2 2 . 2<br />
N 2 : 8 = 2 . 2 . 2 2<br />
N: 2 ⋅ 2 ⋅ 2<br />
3<br />
2 + 2<br />
8 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2<br />
N<br />
= 12 + 2<br />
N<br />
= 14<br />
N<br />
7<br />
= 2 ⋅ 7<br />
2 ⋅ 2 ⋅ 2<br />
1<br />
Das Ergebnis des Zählers wird entsprechend zerlegt und man kürzt man den Bruch,<br />
wenn man darf und wenn man kann.<br />
Man darf einen Bruch nur dann kürzen, wenn im Zähler und Nenner alles mit Punktrechnung<br />
verbunden ist. Vorhandene Strichrechnung muss in Klammern stehen.<br />
Man kann einen Bruch kürzen, wenn sich Zahlen bzw. Ausdrücke im Zähler und Nenner durch<br />
die gleiche Zahl bzw. den gleichen Ausdruck dividieren lassen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Beispiel<br />
DARF<br />
ich kürzen?<br />
KANN<br />
ich kürzen?<br />
x + 1<br />
x<br />
Die Nenner werden entsprechend<br />
(ein- oder mehrgliedrig) zerlegt.<br />
Die Erweiterungsfaktoren Ef sind jene<br />
Faktoren, die dem einzelnen Nenner<br />
zum gemeinsamen Nenner N fehlen.<br />
2 ⋅ (x + 1)<br />
x<br />
=<br />
7<br />
4<br />
x ⋅ (x + 1)<br />
x<br />
1<br />
x⋅(x+1)<br />
x<br />
1<br />
= x + 1<br />
manfred.ambach 82 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel:<br />
x<br />
x 2 − x − x + 1<br />
x 2 + x<br />
=<br />
x 2 + x − x 2 + 1<br />
N<br />
Ef<br />
N 1 : x 2 − x = x ⋅ (x − 1) (x + 1)<br />
N 2 : x 2 + x = x ⋅ (x + 1) (x − 1)<br />
=<br />
N: x ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1)<br />
2.4.2. Multiplizieren<br />
Beispiel:<br />
x ⋅ (x + 1) − (x + 1) ⋅ (x − 1)<br />
N<br />
= x + 1<br />
N = (x + 1)<br />
x ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1) = 1<br />
x ⋅ (x − 1)<br />
1<br />
=<br />
x 2 + x − (x 2 + x − x − 1)<br />
3<br />
⋅ 4<br />
= 8 9<br />
Brüche werden multipliziert,<br />
indem man<br />
Nur zur Ansicht<br />
N<br />
=<br />
x 2 + x − (x 2 − 1)<br />
die Zähler mit den Zählern und die Nenner mit den Nennern multipliziert.<br />
Beispiel:<br />
3<br />
⋅ 4<br />
1 1<br />
= 3 . 4<br />
8 9 8 . 9<br />
2 3<br />
1<br />
a<br />
n ⋅<br />
= 1<br />
6<br />
Für den kleinsten gemeinsamen Nenner N wird jeder<br />
verschiedene Faktor genommen, der in einer der Zerlegungen<br />
vorkommt und zwar so oft er in einer Einzelzerlegung an<br />
häufigsten auftritt.<br />
b<br />
m<br />
=<br />
a ⋅ b<br />
n ⋅ m<br />
Wenn möglich, vor dem Ausmultiplizieren kürzen.<br />
N<br />
Beispiel:<br />
x 2 −x<br />
4 x 2 ⋅<br />
2 x<br />
x−1<br />
=<br />
Zähler und Nenner werden vor dem Ausmultiplizieren zerlegt um die Bedingungen zu schaffen kürzen zu dürfen.<br />
manfred.ambach 83 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Z 1: x 2 – x = x ( x – 1 )<br />
Z 2: 2 x = 2 . x<br />
N 1: 4 x 2 = 2 . 2 . x . x N 2: x – 1 = ( x – 1 )<br />
=<br />
x . (x−1)<br />
2 . 2 . x . x<br />
⋅<br />
2 x<br />
=<br />
(x−1 )<br />
2.4.3. Dividieren<br />
Beispiel:<br />
Beispiel:<br />
4<br />
∶ 2<br />
=<br />
9 3<br />
1 1 1 1<br />
x . (x−1 ) . 2 . 1 x<br />
= 1<br />
2 . 2 . x . x . (x−1) 2<br />
1 1 1 1<br />
Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man<br />
den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.<br />
= 4<br />
9 ∶ 2<br />
3 = 4<br />
9 . 3<br />
2 1<br />
2 = 4 . 3<br />
9 . 2<br />
3 1<br />
2<br />
x4 x<br />
2<br />
<br />
a<br />
n<br />
∶<br />
= 2<br />
3<br />
b<br />
m<br />
=<br />
a<br />
n ⋅ m<br />
b<br />
Nur zur Ansicht<br />
x <br />
x 1<br />
2 x<br />
= x2 − x<br />
4 x 2<br />
∶<br />
x − 1<br />
2 x<br />
= x2 − x<br />
4 x 2<br />
Beachte:<br />
⋅<br />
2 x<br />
x − 1<br />
=<br />
=<br />
x . (x − 1)<br />
2 . 2 . x . x<br />
⋅<br />
2 . x<br />
(x − 1)<br />
=<br />
1 1 1 1<br />
x . (x − 1) . 2 . x<br />
2 . 2 . x . x . (x − 1) = 1<br />
2<br />
1 1 1 1<br />
manfred.ambach 84 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
2.5. Einführung in<br />
Öffnet man das Programm, so erscheint die folgende Benutzeroberfläche in GeoGebra Classic 5<br />
In GeoGebra Classic 6 sieht die Benutzerebene wie folgt aus:<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 85 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Die Unterschiede in der Handhabung sind minimal.<br />
Bemerkung: Die Videos mit der Bezeichnung GeoGebra behandeln GeoGebra Classic 5,<br />
die Videos mit der Bezeichnung GeoGebraExam behandeln GeoGebra Classic 6.<br />
In das Eingabe-Fenster werden Berechnungen mit Zahlen und Funktionen<br />
eingegeben.<br />
Beispiel:<br />
4 . 5 + 6 =<br />
ZUERST die entsprechende Zeile im Eingabe -Fenster aktivieren,<br />
damit der Cursor blinkt.<br />
Dies geschieht durch klicken mit der linken Maustaste in der gewünschten Zeile.<br />
Wir geben in die Eingabe-Zeile die entsprechende Rechnung<br />
ohne = Zeichen ein.<br />
Das Mal-Zeichen:<br />
Tastatur Ziffernblock virtuelle Tastatur<br />
In der Eingabe-Zeile erscheint das Mal-zeichen als Punkt: 4 ⋅ 5 + 6<br />
OHNE ENTER, also<br />
unterhalb der Eingabe das Ergebnis.<br />
, zu betätigten, erscheint<br />
Nur zur Ansicht<br />
Betätigt man die ENTER – Taste, so werden Eingabe und Ergebnis mit<br />
einem Kleinbuchstaben versehen.<br />
GeoGebra benennt solcherlei in alphabetischer Reihenfolge.<br />
Beispiel:<br />
4 . 3 2 – 5<br />
manfred.ambach 86 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Wir geben wiederum in die Eingabe-Zeile die Angabe ein.<br />
Das „Hoch“-Zeichen:<br />
Will man die Hochzahl verlassen, geschieht das mit der Taste<br />
Ansonsten schreibt das Programm<br />
Tastatur<br />
virtuelle Tastatur<br />
Im sogenannten CAS – Fenster werden Buchstaben und auch Gleichungen eingegeben und dort<br />
berechnet.<br />
Bemerkung: CAS bedeutet Computer Algebra System<br />
Öffnen des CAS-Fensters in Classic 5:<br />
Öffnen des CAS-Fensters in Classic 6:<br />
In der Kopfzeile klickt man Ansicht mit der linken<br />
Maustaste an und im sich öffnenden Fenster CAS.<br />
Ganz oben rechts findet man das Symbol .<br />
Dieses wird mit der linken Maustaste angeklickt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Damit öffnet sich das links abgebildete Fenster, in dem wir den Button<br />
Ansicht aktivieren (linke Maustaste).<br />
manfred.ambach 87 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel: (a + b)² =<br />
Merken wir schon mal vor:<br />
In dem sich öffnenden Fenster aktivieren wir nun CAS<br />
(wenn nicht anders beschrieben, immer durch Klicken mit der linken<br />
Maustaste).<br />
Die entsprechende Zeile des CAS-Fensters ist erst dann<br />
aktivieret, wenn die Zeilenzahl blau hinterlegt erscheint<br />
und der rot gefärbte Cursor blinkt.<br />
Wir schreiben die Angabe in die entsprechende Zeile des CAS – Fensters.<br />
Nun betätigen wir NICHT ENTER, sondern klicken mit der linken<br />
Maustaste auf das Symbol<br />
Damit erscheint der ausgerechnete Ausdruck unterhalb der Eingabe.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 88 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Eingaben korrigieren:<br />
Geht ganz einfach, wie bei Casio:<br />
Beispiel:<br />
2 x ⋅ (1 − 3x)<br />
Wurzeln:<br />
Beispiel:<br />
3<br />
√x 2 + 1<br />
Allgemeiner Befehl:<br />
Wir schreiben die Angabe ins CAS-Fenster.<br />
Bei der Kontrolle stellen wir den Fehler fest.<br />
Wir gehen mit dem Cursor | rechts der Zahl, die wir hier verändern<br />
wollen, und klicken auf der<br />
Tastatur<br />
virtuellen Tastatur<br />
Nun brauchen wir nur noch an der Stelle des Cursors die richtige Zahl<br />
einzugeben.<br />
Nun brauchen wir nur noch an der Stelle des Cursors die richtige Zahl<br />
einzugeben.<br />
NteWurzel(, )<br />
Wurzelinhalt Grad der Wurzel<br />
Nur zur Ansicht<br />
ENTER<br />
Neben dem Ergebnis im Algebra-Fenster<br />
wird gleichzeitig der Graph dieser<br />
Funktion im Grafik-Fenster dargestellt,<br />
sofern der Kreis ausgefüllt ist.<br />
manfred.ambach 89 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=6qdCv1_hQIo<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=MBS3R0dBdYo<br />
Bemerkung: Die entsprechenden Videos für GeoGebra 5 laufen unter gleicher Nummer.<br />
Also: MAY GeoGebraExam 02 behandelt das Gleiche wie MAY GeoGebra 02,<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=Zh3FfaIbw1k<br />
MAY GeoGebraExam 03 behandelt das Gleiche wie MAY GeoGebra 03<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=nFvNPPZje5w<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 7<br />
Nur zur Ansicht<br />
Paradoxon von Zeno<br />
Stellen wir uns einen Läufer vor, der im<br />
Punkt S startet und<br />
zum Ziel Z gelangen will.<br />
Fortsetzung S 99<br />
manfred.ambach 90 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
"Just a darn minute! Yesterday you said X equals two!"<br />
3. GLEICHUNGEN<br />
Um nicht, wie der bedauernswerte junge Mann im Bild<br />
nebenan, Gleichungen als unverständliches Mysterium<br />
zu erleben, wollen wir uns zunächst mit den grundsätzlichen<br />
Eigenschaften von Gleichungen vertraut machen.<br />
Beachte, dass bei Gleichungen, im Gegensatz zu allen bisherigen Berechnungen<br />
(sogenannten Umformungen), schon<br />
in der Angabe links und rechts vom<br />
Beispiele: 5 x = 20<br />
x 2 −4x<br />
2<br />
− 1 = 0<br />
etwas steht!<br />
Mit Gleichungen lässt sich nämlich zum Teil anders rechnen als mit Umformungen.<br />
3.1. Gleichungen mit einer Variablen<br />
Die Variable ist die Unbekannte.<br />
Nur zur Ansicht<br />
3.1.1. Gleichungen 1. Grades ( lineare Gleichungen )<br />
=<br />
Man hat mir gesagt,<br />
dass jede Gleichung in dem Buch<br />
die Verkaufszahlen halbiert.<br />
Stephen HAWKING<br />
(1942 -2018)<br />
In linearen Gleichungen kommt die Variable nur linear vor, d.h. sie hat die Hochzahl 1 und steht<br />
nicht im Nenner.<br />
Beispiele: 3 x 1 + 5 = 11 ; 2 ( 1 – 3 x 1 ) + 8 = 9 x 1 – 3 ( 2 + x 1 ) ;<br />
2 x 1 –1<br />
4<br />
= – 1<br />
2<br />
manfred.ambach 91 pro-test.at
#<br />
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
3.1.1.1. Elementares<br />
Lineare Gleichungen werden soweit umgeformt,<br />
bis die Variable alleine auf nur einer Seite der Gleichung steht.<br />
Beim Umformen von Gleichungen denke an<br />
b<br />
Dornröschen & an eine Balkenwaage<br />
Die Variable stellt in diesem Bild die Prinzessin dar.<br />
Wie die Königstochter während der gesamten Märchenhandlung<br />
im Schloss verweilt, soll auch die Variable beim Umformen der<br />
Gleichung in der Regel auf ihrem Platz verweilen.<br />
Die Person, die die Gleichung löst, ist der Prinz, der von außen<br />
kommt.<br />
Verfügt der Prinz über keine märchenhaften Eigenschaften, so<br />
wird er die Hecke an ihrer dünnsten Stelle zu durchdringen<br />
versuchen.<br />
Umgesetzt auf die Gleichung: Zuerst bringt man jene Zahlen von<br />
der Variablen weg, die mit ihr am schwächsten verbunden sind,<br />
also die Strichrechnung. Erst danach widmet man sich der<br />
Punkt-, und, wenn vorhanden, anschließend der Hochrechnung.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Also:<br />
Gehe beim Umformen der Gleichung in<br />
umgekehrter Reihenfolge<br />
zu den Vorrangregeln vor.<br />
Eine Balkenwaage besitzt zwei Waagschalen,<br />
eine Gleichung zwei Seiten.<br />
So wie beim Wägen immer Gleichgewicht herrschen soll,<br />
so ist beim Umformen der Gleichung Bedacht zu nehmen,<br />
dass auf beiden Seiten stets Balance herrscht.<br />
Also:<br />
Führe beim Umformen der Gleichung<br />
auf beiden Seiten<br />
die gleichen Rechenoperationen<br />
durch.<br />
manfred.ambach 92 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel:<br />
x + 5 = 8<br />
Die Variable stellt in unserem Bild die Prinzessin dar.<br />
+ 5 = 8<br />
Wir bringen die Strichrechnung von der Prinzessin weg:<br />
das Glied + 5 , indem wir auf beiden Seiten – 5 subtrahieren.<br />
2 + 5 = 8 – 5<br />
2 +5 – 5 = 8 – 5<br />
= 3<br />
x = 3<br />
Stellt damit x = 3 automatisch die Lösung der Gleichung dar?<br />
NEIN ! Ob der errechnete Wert auch Lösung der Gleichung ist, zeigt erst die Probe:<br />
Wir setzen den errechneten Wert für die Variable in die Ausgangsgleichung ein:<br />
x + 5 = 8<br />
?<br />
3 + 5 = 8<br />
manfredambach<br />
8 = 8 w. A. ➝ x = 3 ist eine Lösung dieser Gleichung.<br />
w.A. steht für wahre ( im Sinne von richtige ) Aussage<br />
x + 5 8<br />
Die Gleichung ist fertig umgeformt, da die Variable alleine auf nur einer Seite steht.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Nur wenn wir bei der Probe eine w.A. erhalten ( und uns nicht verrechnet haben ),<br />
ist der errechnete Wert Lösung der Gleichung.<br />
+ 5<br />
– 5<br />
– 5<br />
Erhielten wir bei der Probe beispielsweise<br />
– 4 = 8 also eine f.A. ( falsche Aussage ), so wäre der errechnete Wert<br />
keine Lösung der Gleichung.<br />
manfred.ambach 93 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Und ich dachte immer, die<br />
Probe dient dazu, um<br />
Rechenfehler festzustellen!<br />
Dazu dient die Probe gar nicht!<br />
Wie oben erwähnt, führt man die Probe durch um<br />
klarzulegen, ob die erhaltene Zahl auch Lösung der<br />
Gleichung ist.<br />
Deine Aufgabe wird nicht primär das Lösen von Gleichungen sein,<br />
sondern die Lösung(en) der Gleichung geometrisch richtig zu deuten.<br />
Deshalb hier schon mal eine kleine Vorschau:<br />
Eine lineare Gleichung entstammt einer linearen Funktion ,<br />
bei der y = 0 gesetzt wird.<br />
Eine lineare Funktion ergibt gezeichnet eine Gerade.<br />
Da wir y = 0 setzen, suchen wir demnach Punkte der<br />
Geraden mit y = 0. Das sind Punkte auf der x-Achse.<br />
Solche Punkte nennt man Nullpunkte.<br />
Z.B.: y = x – 5<br />
. . . lineare Funktion<br />
0 = x – 5 + 5 . . . lineare Gleichung in einer Variablen<br />
5 = x<br />
x = 5<br />
Was wir derzeit noch nicht bestimmen können, ist der konkrete Verlauf<br />
der Geraden. Wir wissen nur, dass sie durch den Nullpunkt ( 5 / 0 ) geht.<br />
Nun kann es sein, dass eine Gerade parallel<br />
zur x-Achse verläuft und damit keinen Nullpunkt<br />
(keinen Punkt auf der x- Achse) besitzt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
In einem solchen Fall verfügt die entsprechende lineare<br />
Gleichung über keine Lösung.<br />
Beispiel: y = 3<br />
. . . lineare Funktion<br />
0 = 3 f. A. → keine Lösung<br />
Bemerkung: Hier erhält man schon beim Umformen der<br />
Gleichung eine f.A. und nicht erst bei der Probe.<br />
manfred.ambach 94 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Oder die Gerade liegt auf der x –Achse.<br />
Dann verfügen Gerade und x-Achse über alle und damit<br />
unendlich viele gemeinsame Punkte.<br />
Die entsprechende lineare Gleichung besitzt dann<br />
unendlich viele Lösungen, nämlich jede reelle Zahl.<br />
Beispiel: y = 0<br />
. . . lineare Funktion<br />
0 = 0 w. A. für alle (reellen) Zahlen<br />
Bemerkung: Hier erhält man schon beim Umformen der Gleichung<br />
eine w.A. und nicht erst bei der Probe.<br />
Zusammenfassend lässt sich sagen:<br />
Eine lineare Funktion ( eine Gerade ) kann auf der x-Achse<br />
einen Punkt haben, keinen Punkt haben unendlich viele Punkte<br />
eine lineare Gleichung somit<br />
eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösung<br />
Nur zur Ansicht<br />
Und das soll ich mir alles<br />
merken!?!<br />
Keine Angst, lieber Fredo, das wird noch alles ausführlich in Abschnitt<br />
III FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE erörtert.<br />
Im Folgenden weitere Beispiele linearer Gleichungen mit Lösungsweg.<br />
manfred.ambach 95 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel:<br />
x – 2 = 3 + 2<br />
x – 2 + 2 = 3 + 2<br />
x = 5<br />
Beispiel:<br />
Beispiel:<br />
→ N(5/0)<br />
2 . x = 6 : 2<br />
1<br />
3<br />
2 . x<br />
=<br />
6<br />
2 2<br />
1 1<br />
x = 3 → N(3/0)<br />
x<br />
3<br />
1 . 3<br />
x . 3 = – 1 . 3<br />
3<br />
Wir bringen von der Variablen x die Zahl – 2 weg, indem wir auf<br />
beiden Seiten + 2 addieren.<br />
Die Zahl 2 ist mit x mit mal verbunden, also dividieren wir beide Seiten<br />
der Gleichung durch 2.<br />
Nur zur Ansicht<br />
x 3<br />
. 1. 3<br />
3 1<br />
1<br />
x.3<br />
3<br />
1<br />
<br />
3<br />
manfredambach<br />
+ 2<br />
x – 2 3<br />
: 2<br />
2 x 6<br />
Die Zahl 3 ist mit x mit dividiert verbunden, also multiplizieren wir beide<br />
Seiten der Gleichung mit 3.<br />
x<br />
3<br />
. 3<br />
– 1<br />
+ 2<br />
: 2<br />
. 3<br />
x = – 3 → N(−3/0)<br />
manfred.ambach 96 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel:<br />
Beispiel:<br />
2 x + 3 = 9<br />
2 . x + 3 = 9 – 3<br />
2 . x = 6 : 2<br />
x = 3 → N(3/0)<br />
4 – x = 6<br />
+ 4 – 1. x = 6 – 4<br />
–1. x = 2 : (–1)<br />
1<br />
1.x<br />
<br />
1<br />
x = – 2<br />
→ N(−2/0)<br />
<br />
2<br />
1<br />
oder<br />
Beim Umformen einer Gleichung gehen wir in entgegengesetzter<br />
Reihenfolge zu den Vorrangregeln vor.<br />
Zuerst bringen wir die Zahl + 3 weg, da sie mit der Variablen x<br />
mit Strichrechnung verbunden ist.<br />
Jetzt widmen wir uns der Zahl 2, die mit x mit mal verbunden ist.<br />
Die Zahl 4 ist mit x mit + verbunden, da + das Vorzeichen<br />
von 4 ist. Das Minus gehört als Vorzeichen zu x , eigentlich zu<br />
seiner Vorzahl – 1.<br />
–1. x = 2 . (–1)<br />
–1 . x . (–1) = 2 . (–1)<br />
–1 . (–1) . x = – 2<br />
1 . x = –2<br />
x = –2<br />
Statt durch ( –1 )<br />
zu dividieren, können wir auch<br />
mit ( –1 ) multiplizieren.<br />
Warum?<br />
Nur zur Ansicht<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=12LXOeXoFIQ<br />
manfred.ambach 97 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
3.1.1.2. Gleichungen mit Klammern<br />
Beispiel:<br />
2 x ( 3 x – 1 ) = (2 x – 2 ) ( 3 x + 1 )<br />
6 x 2 – 2 x = 6 x 2 + 2 x – 6 x – 2<br />
6 x 2 – 2 x = 6 x 2 – 4 x – 2 – 6 x 2 + 4 x<br />
2 x = – 2 : 2<br />
x = – 1<br />
3.1.1.3. Gleichungen mit Bruchtermen<br />
Bruchterme sind Brüche, bei denen die Variable zumindest im Nenner steht.<br />
Steht die Variable im Nenner, so muss zunächst die Gleichung bruchfrei gemacht werden!<br />
Beispiel:<br />
2 x + 1<br />
x 2 − 2 x = 4<br />
x − 2<br />
Nur zur Ansicht<br />
Ef<br />
N1 x . (x – 2) 1<br />
N2 (x – 2) x<br />
N x . (x – 2)<br />
Steht die Variable in Klammern,<br />
muss man diese auflösen.<br />
Kommt die Variable in mehreren Gliedern ( + – )<br />
vor, so bringt man die Glieder mit der Variablen<br />
auf die eine Seite der Gleichung,<br />
die Glieder ohne Variable auf die andere Seite.<br />
Zunächst ermitteln wir einen kleinsten<br />
gemeinsamen Nenner N und<br />
die Erweiterungsfaktoren Ef.<br />
Für den gemeinsamen Nenner N werden alle<br />
verschiedenen Faktoren gewählt, die in den<br />
Zerlegungen vorkommen und zwar so oft sie in einer<br />
einzelnen Zerlegung am häufigsten auftreten.<br />
Die Erweiterungsfaktoren Ef sind jene Faktoren, die dem einzelnen Nenner zum gemeinsamen Nenner N<br />
fehlen.<br />
manfred.ambach 98 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Probe:<br />
(2 x + 1) . 1 4 . x<br />
Jetzt bringen wir alle Brüche auf<br />
= | . N<br />
N<br />
N<br />
N und multiplizieren die Zähler<br />
mit ihren Ef.<br />
1 1<br />
(2 x+ 1) . N 4 . x . N<br />
=<br />
N<br />
N<br />
1 1<br />
(2 x + 1) = 4 . x<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 8<br />
2 x + 1 = 4 . x | − 2 x<br />
1 = 2 x | ∶ 2<br />
0,5 = x<br />
2 . 0,5+1<br />
= 4<br />
0,5 2 −2 .0,5 0,5−2<br />
1+1<br />
= 4<br />
0,25 − 1 0,5 − 2<br />
2<br />
= 4<br />
−0,75 −1,5<br />
−2, 67 = −2, 67<br />
Danach multiplizieren wir die<br />
Gleichung mit N, und kürzen danach<br />
durch N damit sie bruchfrei wird.<br />
w.A. → x = 0, 5 ist Lösung der Gleichung.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Um von S nach Z zu gelangen,<br />
muss der Läufer die Mitte M 1 dieser<br />
Strecke passieren.<br />
Fortsetzung: S 105<br />
manfred.ambach 99 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
3.1.1.4. Formeln umformen<br />
Jede Formel ist eine Gleichung, da sie ein<br />
Deshalb behandeln wir<br />
Es gibt drei Grundformen:<br />
- Zeichen besitzt mit vorgegebener linker und rechter Seite.<br />
Formeln wie Gleichungen.<br />
A: Die gesuchte Größe steht nicht in Klammern und nicht im Nenner<br />
Beispiel:<br />
U = 2 a + 2 b a = ?<br />
U = 2 a + 2 b<br />
– 2 b<br />
U – 2 b = 2 a : 2<br />
U2b<br />
2<br />
<br />
a<br />
B: Die gesuchte Größe steht in Klammer(n)<br />
Beispiel:<br />
A<br />
A<br />
<br />
<br />
(a<br />
c).h<br />
2<br />
c ?<br />
Die gesuchte Größe ist die Variable.<br />
In unserem Beispiel a<br />
Wir formen entsprechend die Gleichung um, bis a alleine<br />
auf nur einer Seite steht und gehen dabei wiederum in<br />
entgegengesetzter Reihenfolge zu den Vorrangregeln vor<br />
Nur zur Ansicht<br />
(a<br />
c).h<br />
2<br />
2. A (a<br />
c).h<br />
2. A<br />
h<br />
2. A<br />
h<br />
a<br />
c<br />
a c<br />
. 2<br />
: h<br />
a<br />
=<br />
Steht die gesuchte Größe in Klammern, so muss man die<br />
Klammern zuerst auflösen.<br />
Stelle dir die Klammern als Mauern vor.<br />
Der Dornröschen-Prinz kommt von außen und hat vor der Mauer<br />
noch die „Hindernisse“ h und die 2 im Nenner zu überwinden.<br />
2 ist mit der „Mauer“ mit dividiert verbunden und kommt mit mal<br />
weg.<br />
h ist mit der "Mauer" mit mal verbunden und kommt mit dividiert<br />
weg.<br />
Jetzt besitzt die Klammer keine Bedeutung mehr und kann<br />
weggelassen werden.<br />
manfred.ambach 100 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
C: Die gesuchte Größe steht im Nenner<br />
Beispiel:<br />
1<br />
R = 1<br />
R + 1<br />
1<br />
R 2<br />
Ef<br />
N 1 : R R 1 ⋅ R 2<br />
N 2 : R 1 R ⋅ R 2<br />
N 3 : R 2 R ⋅ R 1<br />
N = R ⋅ R 1 ⋅ R 2<br />
R 1 =?<br />
1 ⋅ R 1 ⋅ R 2<br />
= 1 ⋅ R ⋅ R 2<br />
+ 1 ⋅ R ⋅ R 1<br />
N<br />
N<br />
N<br />
⋅ N<br />
1 ⋅ R 1 ⋅ R 2 ⋅ N<br />
= 1 ⋅ R ⋅ R 2 ⋅ N<br />
+ 1 ⋅ R ⋅ R 1 ⋅ N<br />
N<br />
N<br />
N<br />
R .R2<br />
R.R R.R1<br />
R.R1<br />
1 2<br />
R1 .R2<br />
R.R1<br />
<br />
R.R<br />
R . (R2<br />
R) R.R : (R2<br />
R<br />
1 2<br />
1<br />
<br />
1<br />
R.R<br />
2<br />
(R R)<br />
2<br />
R)<br />
Nur zur Ansicht<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
Steht die gesuchte Größe im Nenner, so muss die<br />
Gleichung bruchfrei gemacht werden.<br />
Zuerst sucht man den gemeinsamen Nenner N der<br />
Einzelnenner und die Erweiterungsfaktoren Ef.<br />
Die Gleichung wird mit dem N multipliziert<br />
( Balkenwaage ).<br />
Die Glieder mit R 1 kommen auf die eine Seite,<br />
jene ohne R 1 auf die andere .<br />
Jetzt können wir R 1 herausheben<br />
Bemerkung: Es gibt meistens mehrere Möglichkeiten, eine Formel umzuformen.<br />
Bist du nicht sicher, ob deine Umformung richtig ist, wähle für alle Buchstaben, außer der gesuchten Größe,<br />
Zahlen (nicht null oder eins) und setze sie in deinen umgeformten Ausdruck ein.<br />
Dann setze die gleichen Zahlen in die gebotene Lösung. Bei Übereinstimmung ist auch deine Umformung richtig.<br />
manfred.ambach 101 pro-test.at
https://www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E&index=7<br />
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&t=174s<br />
https://www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&t=174shttps://www.youtube.com/watch<br />
?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E&index=7https://www.youtu<br />
be.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E&index=7https:<br />
//www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E<br />
&index=7<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=yoe3c2dRwNM<br />
Aufgabe der Kompensationsprüfung am 06.06.2018<br />
Für den Tageseintritt in einen Alpenzoo bezahlt man für Kinder (3 bis 5 Jahre) € 5, Erwachsene bezahlen € 10,<br />
wobei es für Seniorinnen und Senioren ermäßigte Tickets zum Preis von € 8,50 gibt.<br />
An einem Sommertag besuchen a Erwachsene und b Kinder den Zoo: Unter den Erwachsenen sind c Seniorinnen<br />
und Senioren.<br />
– Erstellen Sie mit Hilfe von a, b und c eine Formel für die Gesamteinnahmen G dieses Tages.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Erfundenes Zahlenbeispiel:<br />
a = 100 … Erwachsene mit Senioren !<br />
c = 20 … Senioren c<br />
Übertragung auf die Textaufgabe:<br />
100 – 20 … Erwachsene ohne Senioren a – c<br />
b = 30 … Kinder<br />
b<br />
a<br />
G = (100 – 20) . 10 + 30 . 5 + 20 . 8,50 G = (a – c) . 10 + b . 5 + c . 8,50<br />
manfred.ambach 102 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Erben<br />
Eine Erbschaft von 260 000 Euro wird unter drei Erben wie folgt aufgeteilt:<br />
Erbe A erhält zwei Drittel von Erbe B. Erbe C erhält das eineinhalb Fache von Erbe A.<br />
– Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die einzelnen Anteile bestimmt werden können.<br />
– Berechnen Sie die Höhe der einzelnen Anteile.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
x … Anteil in Euro des Erben B<br />
Anteil von A: A erhält 2<br />
Anteil von C: erhält 3<br />
Gleichung:<br />
2<br />
3<br />
von B →<br />
von A →<br />
Ich wähle deshalb x für den Anteil von B, weil sich sämtliche Angaben<br />
letztlich auf B beziehen.<br />
2<br />
3 ⋅ x<br />
3<br />
⋅ 2<br />
2 3<br />
⋅ x = x<br />
Anteil A + Anteil B + Anteil C = Erbschaft<br />
2<br />
⋅ x + x + x = 260 000 oder zusammengefasst: 8<br />
⋅ x = 260 000<br />
3 3<br />
Nur zur Ansicht<br />
8<br />
8<br />
⋅ x = 260 000 | ∶<br />
3 3<br />
x = 97 500<br />
B und C erhalten 97 500 Euro, A erhält 65 000 Euro.<br />
manfred.ambach 103 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Aufgabe Zentralmatura am 10.5.2017<br />
Bei der Abbildung eines Gegenstandes mithilfe einer Sammellinse gelten folgende Beziehungen:<br />
B<br />
G = b<br />
g ⋅ f<br />
und b =<br />
g<br />
g − f<br />
B = 1<br />
2 ⋅ G → B < G<br />
B … Höhe des Bildes<br />
G ... Höhe des Gegenstandes<br />
b … Abstand des Bildes von der Linse<br />
g … Abstand des Gegenstandes von der Linse<br />
f … Brennweite der Linse<br />
– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [ 1 aus 5 ]<br />
Wenn g = 3 ⋅ f gilt, dann ist B größer als G. <br />
Wenn g = 3 ⋅ f gilt, dann ist B = G. <br />
Wenn g = 2 ⋅ f gilt, dann ist B kleiner als G. <br />
Wenn g = 2 ⋅ f gilt, dann ist B = G. <br />
Wenn g = 2 ⋅ f gilt, dann ist B größer als G. <br />
Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass genau eine der gebotenen Alternativen richtig ist.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
g = 3 ⋅ f<br />
3 ⋅ f ⋅ f<br />
→ b =<br />
3 ⋅ f − f = 3 ⋅ f2<br />
= 3 ⋅ f<br />
2 ⋅ f 2<br />
B<br />
G = b | ⋅ G → B = b<br />
3 ⋅ f<br />
g<br />
g ⋅ G → B = 2 3 ⋅ f<br />
⋅ G = ⋅ G ∶ 3 ⋅ f = 3 ⋅ f ⋅ G ⋅<br />
3 ⋅ f 2 1 2<br />
1<br />
3 ⋅ f = 3 ⋅ f<br />
2 ⋅ 3 ⋅ f ⋅ G = 1<br />
2 ⋅ G<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 104 pro-test.at
#<br />
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
g = 2 ⋅ f<br />
→ b =<br />
2 ⋅ f ⋅ f<br />
2 ⋅ f − f = 2 ⋅ f2<br />
f<br />
= 2 ⋅ f<br />
B<br />
G = b<br />
g<br />
| ⋅ G → B = b<br />
g<br />
B = G → 4. Alternative ist richtig.<br />
⋅ G → B =<br />
2 ⋅ f<br />
2 ⋅ f<br />
⋅ G = G<br />
Beispiel: Idee: Angewandte Mathematik@HUM, Teil 1, S 63 ISBN 978-3-7101-0634-7<br />
Folgende Tabelle gibt zum Teil die Umrechnungen in verschiedene Temperaturmaße an.<br />
Kelvin (K) …… T K … Temperatur in K Grad Celsius (°C) …… T C … Temperatur in °C<br />
Grad Rèaumur (°R) …… T R … Temperatur in °R Grad Fahrenheit (°F) …... T F … Temperatur in °F<br />
von →<br />
nach ↓<br />
K °C °R °F<br />
K = T K = T C + 273,15 = 1,25 ⋅ T R + 273,15 = (T F + 459,67) ⋅ 5<br />
9<br />
°C = T C = 1,25 ⋅ T R<br />
= (T F − 32) ⋅ 5<br />
9<br />
°R = T R<br />
= (T F − 32) ⋅ 4<br />
9<br />
°F = T F<br />
– Fülle die leeren Zellen entsprechend aus.<br />
– Ermittle, um wie viel Prozent 1 °R größer ist als 1 °C.<br />
– Bestimme die Grade für die gilt °C = °F<br />
Lösungen:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 9<br />
* 1 °R ist um 25 % größer als 1 °C<br />
* – 40°<br />
Um von M 1 nach Z zu gelangen,<br />
muss der Läufer die Mitte M 2 der<br />
Reststrecke passieren.<br />
Fortsetzung S 119<br />
manfred.ambach 105 pro-test.at
#<br />
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
3.1.1.5. Gleichungen mit<br />
Beispiel:<br />
2 x − 3 = 7<br />
Öffnen des CAS – Fensters siehe<br />
Wir geben in einer Zeile des CAS-Fensters die Gleichung ein.<br />
Dann klicken wir (mit der linken Maustaste) das Symbol<br />
Nur zur Ansicht<br />
an<br />
und unterhalb der Eingabe erscheint die Lösung.<br />
manfred.ambach 106 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel:<br />
1<br />
2 = 2<br />
x − 1 − 3<br />
4<br />
Bemerkung: Die obige Gleichung wurde in GeoGebra Classic 6 eingegeben.<br />
! Nicht vergessen, mit der Taste<br />
jeweils aus dem Nenner zu gehen!<br />
Ansonsten entstehen Ausdrücke wie<br />
Auch Gleichungen zweiten und höheren Grades lassen sich einfach lösen:<br />
Beispiel:<br />
4 x 2 − 7 x − 2 = 0<br />
Beispiel:<br />
Nur zur Ansicht<br />
2 x 3 + x 2 − 5 x + 2 = 0<br />
manfred.ambach 107 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Wie ist denn mit Formeln umformen?<br />
Will ich zum Beispiel die Formel U = 2 a + 2 b<br />
nach b umformen, dann erhalte ich mit GeoGebra<br />
Woher soll denn das Programm<br />
wissen, welchen Buchstaben du<br />
ausgedrückt haben willst?<br />
Es gibt trotzdem eine<br />
Möglichkeit:<br />
Schreibe in eine Zeile des CAS – Fensters den Befehl<br />
Löse.<br />
Damit öffnet sich ein Fenster, in dem der Befehl<br />
Löse[ , ]<br />
angeklickt wird.<br />
In das Feld schreibt man die<br />
Formel in der ursprünglichen Form,<br />
in das Feld den Buchstaben, der<br />
ausgedrückt werden soll.<br />
Die Klammern < > müssen auch beseitigt<br />
werden.<br />
ENTER betätigt und die gewünschte Umformung<br />
erscheint.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bemerkung: GeoGebra formt in der Regel nicht so um, wie wir das mit dem Bild Dornröschen erreichen.<br />
Mit dem Befehl Löse[ , ] lassen sich alle Gleichungen mit einer Variablen einschließlich<br />
Formeln umformen bewerkstelligen.<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=rJur673IUzg<br />
manfred.ambach 108 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
3.1.2. Gleichungen 2. Grades ( quadratische Gleichungen )<br />
In quadratischen Gleichungen ist die höchste Potenz der Variablen quadratisch.<br />
Beispiele: x 2 = 4 oder 4 x 2 – 7 x – 2 = 0<br />
3.1.2.1. Normalform<br />
Die sog. Norm(al)form (allgemeine Form) einer quadratischen Gleichung lautet:<br />
mit a, b, c R ( also reellen Zahlen )<br />
a . x 2 + b . x + c = 0<br />
a ist die Vorzahl von x², b die Vorzahl von x und c steht für das konstante Glied, also jenes ohne Variable.<br />
Solche Gleichungen lassen sich mit einer Formel lösen, die hier ohne Herleitung angegeben ist:<br />
Die dazugehörige Auflösungsformel lautet<br />
Nur zur Ansicht<br />
x 1/2 =<br />
– b ± √ b 2 – 4 . a . c<br />
2 . a<br />
Diese Formel nennt man a-b-c– Formel oder Mitternachtsformel.<br />
Mitternachtsformel deswegen, weil man sie in seligen Schulzeiten auch dann hersagen können sollte, würde man mitten in der<br />
Nacht geweckt ( ein Mörder-Brüller! ).<br />
manfred.ambach 109 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel: 4 x 2 – 7 x – 2 = 0 . . . eine quadratische Gleichung, weil die<br />
höchste Potenz der Variablen x quadratisch ist.<br />
a x 2 + b x + c = 0<br />
4 x 2 – 7 x – 2 = 0 mit a = 4, + b = – 7 und + c = – 2 gilt:<br />
x 1/2 = − (−7) ± √ (−7)2 − 4 . 4 . (−2)<br />
2 . 4<br />
x 1/2 =<br />
x 1/2 =<br />
− (−7) ± √ 49 − 4 . 4 . (−2)<br />
2 . 4<br />
7 ± √ 49 + 32<br />
8<br />
x 1/2 = 7 ± √ 81<br />
8<br />
x 1/2 = 7 ± 9<br />
8<br />
x 1 = 7 + 9<br />
8<br />
x 2 = 7 − 9<br />
8<br />
Nur zur Ansicht<br />
x 1 = 2 x 2 = − 1<br />
4<br />
Sie ist in der Norm(al)form gegeben.<br />
Beachte, dass nur die Vorzahlen<br />
a , b und c in die Formel eingesetzt<br />
werden und nicht die Variable x.<br />
– 4 . (+) 4 . ( – 2 ) = + 32<br />
Wollen wir uns auch hier in einer Vorschau veranschaulichen, was wir beim Lösen quadratischer Gleichungen<br />
eigentlich berechnen:<br />
manfred.ambach 110 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Eine quadratische Gleichung der Norm(al)-Form a . x 2 + b . x + c = 0<br />
entstammt einer sog. quadratischen Funktion der allgemeinen Form a . x 2 + b . x + c = y .<br />
Jede quadratische Funktion besitzt prinzipiell eine der unten angeführten Formen:<br />
Lautet die quadratische Funktion z.B.<br />
y = 4 x² – 7 x – 2<br />
und wir setzen y = 0, so erhalten wir die<br />
quadratische Gleichung 0 = 4 x² – 7 x – 2 ,<br />
deren Lösungen x 1 =2 und x 2 = – 1 4<br />
wir im letzten Beispiel bestimmten.<br />
lauten,<br />
Da wir in der Funktionsgleichung y = 0 setzten,<br />
ermitteln wir auch hier die Punkte der Kurve,<br />
die auf der x-Achse liegen,<br />
also die Nullpunkte.<br />
Was wir derzeit noch nicht angeben können ist, ob die Kurve<br />
oben oder unten offen ist und wie weit sie in diesen Fällen<br />
nach unten bzw. oben reicht.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Wie viele Punkte kann eine quadratische Funktion auf der x-Achse haben?<br />
Anders gefragt:<br />
Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben?<br />
manfred.ambach 111 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel: 2 x² + x – 6 = 0 a = 2 b = 1 c = – 6<br />
x 1/2 =<br />
– 1 ± √ 1 2 – 4 . 2 . (– 6)<br />
2 . 2<br />
x 1/2 =<br />
x 1/2 =<br />
x 1 = 3<br />
2<br />
N 1 ( 3 2 /0)<br />
– 1 ± √ 49<br />
4<br />
– 1 ± 7<br />
4<br />
x 2 = – 2<br />
N 2(−2/0)<br />
Beispiel: x² – 4 x + 4 = 0 a = 1 b = – 4 c = 4<br />
x 1/2 =<br />
– (−4) ± √ (−4) 2 – 4 . 1 . 4<br />
2 . 1<br />
x 1/2 =<br />
x 1/2 =<br />
4 ± √ 0<br />
2<br />
x 1/2 = 2<br />
N(2/0)<br />
4 ± 0<br />
2<br />
Man spricht von einer sog. Doppellösung.<br />
Beispiel: 3 x² + 2 x + 1 = 0 a = 3 b = 2 c = 1<br />
Nur zur Ansicht<br />
x 1/2 = − 2 ± √ 2 2 – 4 . 3 . 1<br />
2 . 3<br />
x 1/2 = − 2 ± √ – 8<br />
6<br />
Da die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl<br />
keine reelle Zahl ergibt,<br />
besitzt die Gleichung keine reelle Lösung.<br />
→ kein Nullpunkt<br />
Welcher der Nullpunkte mit N 1 bzw. N 2 bezeichnet wird, ist unerheblich.<br />
manfred.ambach 112 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Betrachten wir die letzten drei Beispiele, lässt sich folgendes erkennen:<br />
Rechnerisch hängen die Lösungsmöglichkeiten einer quadratischen Gleichung<br />
vom Wurzelinhalt der Auflösungsformel ab:<br />
Die allgemeine Norm(al)form einer quadratischen Gleichung lautet<br />
und die dazugehörige Auflösungsformel<br />
x 1/2 =<br />
a x 2 + b x + c = 0<br />
– b ± √ b 2 – 4 . a . c<br />
2 . a<br />
Den Wurzelinhalt, also b 2 – 4 a c , nennt man Diskriminante D<br />
discriminare ( lateinisch ): unterscheiden<br />
All unsere Berechnungen finden immer in den reellen Zahlen R satt. Demnach gilt:<br />
Ist D > 0, der Wurzelinhalt also positiv, besitzt die Gleichung 2 (reelle) Lösungen,<br />
ist D = 0, der Wurzelinhalt also null, besitzt die Gleichung 1 (reelle) Lösung,<br />
ist D < 0, der Wurzelinhalt also negativ, besitzt die Gleichung keine (reelle) Lösung.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 113 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
– Bestimme in der Gleichung 2 x 2 + 4 x + c = 0 den Koeffizienten (die Vorzahl) c so, dass diese Gleichung<br />
* zwei (reelle) Lösungen,<br />
* eine (reelle) Lösung,<br />
* keine (reelle) Lösung besitzt.<br />
Der Wurzelinhalt lautet hier D = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = 4 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ c = 16 − 8 ⋅ c<br />
* 2 Lösungen: D > 0 → 16 − 8 ⋅ c > 0 | − 16<br />
−8 ⋅ c > −16 | ∶ (−8)<br />
c < 2 (#)<br />
* 1 Lösung: D = 0 → 16 − 8 ⋅ c = 0 | − 16<br />
−8 ⋅ c = −16<br />
c = 2<br />
| ∶ (−8)<br />
* keine Lösung: D < 0 → 16 − 8 ⋅ c < 0 | − 16<br />
−8 ⋅ c < −16 | ∶ (−8)<br />
c > 2 (#)<br />
(#) (Lineare) Ungleichungen werden im Prinzip wie Gleichungen behandelt.<br />
2 Ausnahmen:<br />
Nur zur Ansicht<br />
<br />
<br />
Am Ende soll die Variable auf der linken Seite stehen.<br />
Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder<br />
durch eine negative Zahl dividiert, so ist das Ungleichheits-Zeichen zu ändern!<br />
Für c < 2 besitzt diese Gleichung<br />
zwei reelle Lösungen.<br />
Für c = 2 besitzt diese Gleichung<br />
eine reelle Lösungen.<br />
Für c > 2 besitzt diese Gleichung<br />
keine reelle Lösungen.<br />
Beispiele:<br />
4 < 8 | . (−2) 9 > 6 | ∶ (−3)<br />
−8 > −16<br />
−3 < −2<br />
manfred.ambach 114 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel der Zentralmatura am 12.1.2017<br />
Die tatsächliche Leistung eines bestimmten Windrades in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit v kann<br />
für Windgeschwindigkeiten von 5 m/s bis 10 m/s näherungsweise durch die Polynomfunktion P beschrieben<br />
werden.<br />
P(v) = 0,0175 ⋅ v 2 − 0,0796 ⋅ v + 0,0391 mit 5 ≤ v ≤ 10<br />
v … Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)<br />
P(v) … Leistung bei der Windgeschwindigkeit v in Megawatt (MW)<br />
– Berechnen Sie, bei welcher Windgeschwindigkeit eine Leistung von 0,5 MW erzielt wird.<br />
Zunächst zum Text:<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Wir suchen die Windgeschwindigkeit v, bei der die Leistung P = 0,5 MW beträgt:<br />
P(v) = 0, 5<br />
Diesen Wert setzen wir statt P(v) in die Funktionsgleichung ein:<br />
P(v) = 0, 5 ∶ 0, 5 = 0, 0175 ⋅ v 2 – 0, 0796 ⋅ v + 0, 0391<br />
Nur zur Ansicht<br />
Damit erhalten wir eine Gleichung in v, die wir mit GeoGebra lösen:<br />
Da nur der Wert 7,89 im Gültigkeitsbereich liegt, lautet die Antwort:<br />
Bei einer Windgeschwindigkeit von 7,89 m/s beträgt die Leistung 0,5 MW.<br />
manfred.ambach 115 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Beim Fallschirmspringen befindet man sich solange im freien Fall, bis der Schirm geöffnet wird.<br />
Während des freien Falls wird der dabei zurückgelegte Weg s annähernd durch folgende Weg-Zeit-Funktion<br />
beschrieben:<br />
s(t) = g<br />
2 ⋅ t2<br />
t … freier Fall in Sekunden (s)<br />
s(t) … zurückgelegter Weg in Metern (m) zum Zeitpunkt t<br />
g … Erdbeschleunigung ≈ 10 m/s 2<br />
– Berechnen Sie wie lange es dauert, bis der Fallschirmspringer 1 Kilometer (km) im freien Fall zurückgelegt hat.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
1 km = 1 000 m = s(t)<br />
s(t) = g<br />
2 ⋅ t2<br />
1 000 = 10<br />
2<br />
⋅ t 2<br />
1 000 = 5 ⋅ t 2 | ∶ 5<br />
200 = t 2 | √<br />
Nur zur Ansicht<br />
±14,14 = t<br />
oder:<br />
Beachte, dass die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl zwei Werte ergibt!<br />
Für diese Aufgabe kommt nur der positive Wert in Frage.<br />
Es dauert 14,14 Sekunden, bis der Fallschirmspringer 1 km im freien Fall zurückgelegt hat.<br />
manfred.ambach 116 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
3.1.3. Gleichungen höheren ( als 2. ) Grades<br />
Beispiele für solche Gleichungen:<br />
4 x 3 – 5 x 2 + x + 1 = 0 Gleichung 3. Grades<br />
x 4 – 2 x 3 = 0<br />
3.1.3.1. Gleichungen 3. Grades<br />
Gleichung 4. Grades<br />
Die Norm(al)form (allgemeine Form) einer Gleichung 3. Grades lautet:<br />
mit a, b, c und d als Zahlen und x der Variablen.<br />
Beispiel: 2 x 3 + x 2 – 5 x + 2 = 0<br />
Veranschaulichung:<br />
Die der Gleichung 3. Grades 2 x 3 + x 2 – 5 x + 2 = 0<br />
a . x 3 + b . x 2 + c . x 1 + d . x 0 = 0<br />
Nur zur Ansicht<br />
entsprechende Funktion 3. Grades<br />
2 x 3 + x 2 – 5 x + 2 = y<br />
besitzt drei Punkte auf der x-Achse:<br />
Die sogenannten Nullpunkte<br />
N 1 (−2/0) N 2 (0,5/0) N 3 (1/0)<br />
manfred.ambach 117 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
( Polynom- ) Funktionen 3. Grades können in der Regel folgende Verläufe einnehmen:<br />
N 1<br />
y<br />
Da eine Polynomfunktion 3. Grades<br />
höchstens 3 Nullpunkte (Punkte auf der x-Achse )<br />
besitzen kann,<br />
verfügt eine Gleichung 3. Grades<br />
über höchstens 3 (reelle) Lösungen.<br />
Eine Polynomfunktion 3. Grades kann auch nur<br />
2 Nullpunkte besitzen, deshalb kann eine<br />
Gleichung 3. Grades auch nur<br />
2 (reelle) Lösungen aufweisen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
N<br />
y<br />
N 2<br />
x<br />
x<br />
Oder es existiert nur 1 Nullpunkt<br />
und somit auch nur 1 (reelle) Lösung.<br />
Einen Nullpunkt besitzt eine Polynomfunktion 3. Grades<br />
immer, da sie entweder aus dem Negativ-Unendlichen<br />
y-Bereich kommt und ins Positiv-Unendliche geht<br />
oder umgekehrt und damit zumindest einmal die x-Achse<br />
kreuzen muss.<br />
manfred.ambach 118 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
3.1.3.2. Gleichungen 4. Grades<br />
Die Norm(al)form (allgemeine Form) einer Gleichung 4. Grades lautet:<br />
mit a, b, c, d und e als Zahlen und x der Variablen.<br />
Beispiel: x 4 – 3 x 3 – x² + 3 x = 0<br />
Veranschaulichung:<br />
Die der Gleichung 4. Grades x 4 – 3 x 3 – x² + 3 x = 0<br />
entsprechende Funktion 4. Grades<br />
x 4 – 3 x 3 – x² + 3 x = y<br />
besitzt vier Punkte auf der x-Achse:<br />
Die sogenannten Nullpunkte<br />
N 1 (−1/0) N 2 (0/0) N 3 (1/0) N 4 (3/0)<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 10<br />
a . x 4 + b . x 3 + c . x 2 + d . x 1 + e . x 0 = 0<br />
Nur zur Ansicht<br />
Jetzt gilt es noch M 3 zu passieren, . . .<br />
Fortsetzung S 129<br />
. . . . . danach den nächsten<br />
Mittelpunkt usw.<br />
manfred.ambach 119 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
( Polynom- ) Funktionen 4. Grades können in der Regel folgende Verläufe einnehmen:<br />
Da eine Polynomfunktion 4. Grades<br />
höchstens 4 Nullpunkte (Punkte auf der x-Achse ) besitzen kann,<br />
verfügt eine Gleichung 4. Grades<br />
über höchstens 4 (reelle) Lösungen.<br />
Eine Polynomfunktion 4. Grades kann auch nur<br />
3 Nullpunkte besitzen, deshalb kann eine<br />
Gleichung 4. Grades auch nur<br />
3 (reelle) Lösungen aufweisen.<br />
Eine Polynomfunktion 4. Grades kann auch nur<br />
2 Nullpunkte besitzen, deshalb kann eine<br />
Gleichung 2. Grades auch nur<br />
2 (reelle) Lösungen aufweisen.<br />
Eine Polynomfunktion 4. Grades kann auch nur<br />
1 Nullpunkt besitzen, deshalb kann eine<br />
Gleichung 2. Grades auch nur<br />
1 (reelle) Lösung aufweisen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Oder es existiert kein Nullpunkt<br />
und somit auch keine (reelle) Lösung.<br />
manfred.ambach 120 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
3.2. Gleichungen mit mehreren Variablen<br />
Korrekt spricht man von Gleichungssystemen.<br />
Gleichungs-System meint, es werden Lösungen gesucht, die für alle Gleichungen gelten.<br />
Suchen wir gemeinsame Lösungen von Gleichungen,<br />
sind das geometrisch gemeinsame Punkte von Linien.<br />
Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen ( Unbekannten ):<br />
I: 2 x + y = 10<br />
II: 3 x + y = 13<br />
Beispiel eines nicht-linearen Gleichungssystems in zwei Variablen:<br />
f: y = x 2 – 2 x – 2<br />
g: y = x – 2<br />
g<br />
Wie wir sehen werden, stellt eine<br />
lineare Gleichung mit zwei Variablen<br />
geometrisch eine Gerade dar.<br />
Der gemeinsame Punkt beider Geraden ist der<br />
Schnittpunkt S.<br />
f ist eine quadratische Funktion und g eine<br />
lineare Funktion.<br />
Nur zur Ansicht<br />
In diesem Fall haben die Linien zwei<br />
gemeinsame Punkte, die beiden<br />
Schnittpunkte S1 und S2 .<br />
manfred.ambach 121 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
3.2.1. Lineare Gleichungen mit 2 Variablen<br />
Bevor wir uns den Lösungsverfahren widmen, veranschaulichen wir die<br />
manfredambach<br />
manfredambach<br />
möglichen Lösungen linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen<br />
y<br />
y<br />
y<br />
S<br />
I<br />
I<br />
II<br />
II<br />
x<br />
x<br />
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen stellen<br />
lineare Funktionen dar, deren Graphen Geraden sind.<br />
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen<br />
können demnach<br />
. . . eine Lösung – dh, einen Schnittpunkt – besitzen,<br />
wenn die Geraden zueinander nicht parallel liegen,<br />
. . . über keine Lösung (keine gemeinsamen Punkte)<br />
verfügen, wenn die Geraden zueinander parallel sind,<br />
Nur zur Ansicht<br />
I = II<br />
x<br />
. . . unendlich viele Lösungen<br />
(unendlich viele gemeinsame Punkte) besitzen, wenn<br />
die Geraden identisch sind, dh, beide Gleichungen<br />
dieselbe Gerade beschreiben.<br />
manfredambach<br />
manfred.ambach 122 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Nun zu den<br />
3.2.1.1. Lösungsmethoden<br />
3.2.1.1.1. Gleichsetzmethode<br />
Beispiel:<br />
I: 2 x + 1 y = 10 – 2 x<br />
II: 3 x + 1 y = 13<br />
I: y = 10 – 2 x<br />
II: y = 13 – 3 x<br />
– 3 x<br />
10 – 2 x = 13 – 3 x + 3 x<br />
10 + x = 13 – 10<br />
x = 3<br />
I: y = 10 – 2 . 3<br />
y = 10 – 6<br />
y = 4<br />
Man wird wohl den einfacheren Ausdruck auswählen.<br />
Egal, welchen Ausdruck man wählt, man erhält für die noch zu berechnende Variable immer denselben Wert!<br />
Der gemeinsame Punkt ( der Schnittpunkt ) beider<br />
Geraden hat die Koordinaten S ( 3 / 4 ).<br />
y<br />
Man drückt aus beiden Gleichungen<br />
die gleiche Variable aus und setzt die<br />
Ausdrücke einander gleich.<br />
Die andere Variable berechnet<br />
man, indem man den errechneten<br />
Wert in einen der Ausdrücke<br />
einsetzt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Gleichsetzmethode ist dann günstig, wenn eine der Variablen in beiden Gleichungen<br />
die Vorzahlen 1 bzw. – 1 besitzt.<br />
manfred.ambach 123 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
3.2.1.1.2. Einsetzmethode ( Substitutionsmethode )<br />
Beispiel: I: 4 x + 5 y = 23<br />
II: 1 x – 2 y = – 4<br />
II: x = – 4 + 2 y<br />
x<br />
+ 2 y<br />
I: 4 . ( – 4 + 2 y ) + 5 y = 23<br />
– 16 + 8 y + 5 y = 23<br />
– 16 + 13 y = 23 + 16<br />
13 y = 39 : 13<br />
y = 3<br />
II: x = – 4 + 2 . 3<br />
x = – 4 + 6<br />
x = 2<br />
Der gemeinsame Punkt (der Schnittpunkt) beider<br />
Geraden besitzt die Koordinaten S ( 2 / 3 ).<br />
Man drückt aus einer Gleichung eine Variable aus<br />
und setzt diesen Ausdruck in die andere Gleichung<br />
ein.<br />
Die andere Variable berechnet man,<br />
indem man den errechneten Wert in<br />
den Ausdruck einsetzt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Einsetzmethode ist dann günstig, wenn eine der Variablen in einer der Gleichungen<br />
die Vorzahl 1 oder – 1 besitzt.<br />
manfred.ambach 124 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
3.2.1.1.3. Additionsmethode ( Eliminationsmethode )<br />
Beispiel: I: 6 x + 3 y = 12<br />
II: 9 x – 4 y = 1<br />
I: 6 x + 3 y = 12 . 4<br />
II: 9 x – 4 y = 1 . 3<br />
I: 24 x + 12 y = 48<br />
II: 27 x – 12 y = 3<br />
Bemerkung:<br />
51 x = 51 : 51<br />
x = 1<br />
II: 9 . 1 – 4 y = 1<br />
Prinzipiell ist es gleichgültig, ob die Variable x oder y eliminiert (zum Verschwinden gebracht) wird.<br />
Im eigenen Interesse sollte man jedoch jene Variable wählen, bei der man mit einfacheren<br />
Berechnungen das Auslangen findet.<br />
9 – 4 y = 1 – 9<br />
– 4 y = – 8 : ( – 4)<br />
y = 2<br />
+<br />
Nur zur Ansicht<br />
Somit lauten die Koordinaten des Schnittpunktes<br />
S ( 1 / 2 ).<br />
Man multipliziert eine oder beide<br />
Gleichungen mit jeweils solchen Zahlen, dass<br />
eine der Variablen gegengleiche Vorzahlen<br />
erhält.<br />
Gegengleiche Zahlen sind z.B. + 9 und – 9<br />
Dann addiert man die Gleichungen.<br />
Die andere Variable berechnet man, indem<br />
man den errechneten Wert in die einfachere<br />
Ausgangsgleichung einsetzt.<br />
manfred.ambach 125 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
3.2.2. Gleichungssysteme mit<br />
Beispiel:<br />
I: x + y + z = 0<br />
II : 4 x + 2 y + z = 1<br />
III : 9 x + 3 y + z = 3<br />
Man schreibt jede Gleichung in eine eigene Zeile des<br />
CAS – Fensters.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Durch Betätigen von ENTER kommt man in die<br />
nächste Zeile.<br />
Beachte, dass die Kreise unterhalb der Zeilen-Nummern nicht ausgefüllt sind!<br />
manfred.ambach 126 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Jetzt hält man die<br />
-Taste<br />
und die linke Maustaste gedrückt halten<br />
und markiert alle Zeilennummern (blau hinterlegt), in<br />
denen die Gleichungen stehen.<br />
Jetzt noch den Button<br />
angeklickt und<br />
In der den Gleichungen folgenden Zeile werden die<br />
Lösungen ersichtlich.<br />
Auf diese Weise lassen sich<br />
alle Gleichungssysteme, gleich welchen Grades und mit wie viel Variablen,<br />
berechnen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 127 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Drei Geschwister, Hanni, Lea und Paul, besitzen Handys von drei verschiedenen Anbietern. Hanni zahlt pro Monat<br />
a Euro. Lea zahlt pro Monat drei Viertel so viel wie Hanni, Paul bezahlt pro Monat das eineinhalb Fache von Lea.<br />
Die Eltern zahlen Hanni, Lea und Paul zu Weihnachten ihre Handyrechnungen für den Monat Dezember.<br />
– Stellen Sie eine möglichst vereinfachte Formel für den Gesamtbetrag G auf, den die Eltern dafür zu<br />
bezahlen haben.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
G = a + 0,75 ⋅ a + 1,5 ⋅ 0,75 ⋅ a = 23<br />
⋅ a Euro= 2, 875 ⋅ a Euro<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 11<br />
Fortsetzung S 128<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 12<br />
8<br />
Um zum Ziel Z zu gelangen,<br />
muss der Läufer immer mehr<br />
"Mittelpunkte" durchlaufen,<br />
deren Anzahl immer größer<br />
wird, also gegen unendlich<br />
geht.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Nennen wir die Reststrecken vom<br />
jeweiligen Mittelpunkt bis<br />
zum Ziel Z den jeweiligen " M-Lauf " .<br />
Dann könnten wir folgende Aussagen formulieren:<br />
Der Läufer müsste eine unendliche Anzahl von "M-Läufen" zurücklegen.<br />
Es ist unmöglich, dass der Läufer eine unendliche Anzahl von "M-Läufen" absolviert.<br />
Also kommt der Läufer nie ans Ziel.<br />
Fortsetzung S 137<br />
manfred.ambach 128 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Aufgabe Kompensationsprüfung am 05.06.2018<br />
Ein Betrieb produziert Packungen mit gemischten, qualitativ hochwertigen Nüssen. Werden 18 kg Haselnüsse<br />
mit 6 kg Walnüssen vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese Mischung 67,5 Cent pro 100 g.<br />
Werden 9 kg Haselnüsse und 15 kg Walnüsse vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese<br />
Mischung 78,75 Cent pro 100 g.<br />
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Kosten für 1 kg Haselnüsse und der Kosten für 1 kg<br />
Walnüsse.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Der grau hinterlegte Textteil ist nicht notwendig!<br />
Ein Betrieb produziert Packungen mit gemischten, qualitativ hochwertigen Nüssen. Werden 18 kg Haselnüsse<br />
mit 6 kg Walnüssen vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese Mischung 67,5 Cent pro 100 g.<br />
Werden 9 kg Haselnüsse und 15 kg Walnüsse vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese<br />
Mischung 78,75 Cent pro 100 g.<br />
x … Kosten in € für 1 kg Haselnüsse<br />
y … Kosten in € für 1 kg Walnüsse<br />
67,5 Cent pro 100 g 10 . 100 g = 1 000 g = 1 kg 10 . 67,5 Cent = 675 Cent = 6,75 € pro kg<br />
78,75 Cent pro 100 g 10 . 100 g = 1 000 g = 1 kg 10 . 78,75 Cent = 787,5 Cent = 7,875 € pro kg<br />
Wenn 1 kg Haselnüsse x € kosten, kosten 18 kg Haselnüsse 18-mal so viel: 18 . x<br />
Wenn 1 kg Walnüsse y € kosten, kosten 6 kg Walnüsse 6-mal so viel: 6 . y<br />
Diese Mischung besteht dann aus 18 kg + 6 kg = 24 kg, wobei 1 kg dieser Mischung 6,75 € kostet: 24 . 6,75<br />
Wenn 1 kg Haselnüsse x € kosten, kosten 9 kg Haselnüsse 9-mal so viel: 9 . x<br />
Wenn 1 kg Walnüsse y € kosten, kosten 15 kg Walnüsse 15-mal so viel: 15 . y<br />
Diese Mischung besteht dann aus 9 kg + 15 kg = 24 kg, wobei 1 kg dieser Mischung 7,875 € kostet: 24 . 7,875<br />
Damit lautet das Gleichungssystem:<br />
Nur zur Ansicht<br />
18 . x + 6 . y = 24 . 6,75<br />
9 . x + 15 . y = 24 . 7,875<br />
manfred.ambach 129 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Die Entfernung von A nach B auf einer geradlinigen Strecke beträgt 20 km. Der Zug fährt mit einer<br />
Durchschnittsgeschwindigkeit von v 1 von A nach B. Eine Schnellbahn, deren Geschwindigkeit um ein Drittel<br />
geringer ist als die des Zuges, fährt in die entgegengesetzte Richtung. Der Zug passiert A zum selben Zeitpunkt wie<br />
die Schnellbahn den Ort B. Sie begegnen einander nach 10 Minuten.<br />
– Berechnen Sie die Geschwindigkeit v 1 des Zuges.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Eine Skizze zur Veranschaulichung:<br />
Die Geschwindigkeit v 2 der Schnellbahn ist um ein Drittel kleiner als die Geschwindigkeit des Zuges.<br />
Also beträgt die Geschwindigkeit der Schnellbahn zwei Drittel von der Geschwindigkeit des Zuges. → v 2 = 2<br />
⋅ v 3<br />
1<br />
Die zurückgelegten Wege der beiden Bahnen bis zum Treffpunkt müssen wohl die 20 km ergeben. → s 1 + s 2 = 20<br />
Die Formel für die Geschwindigkeit lautet v = s<br />
s 1 = v 1 ⋅ t = v 1 ⋅ 10<br />
s 1 + s 2 = 20<br />
v 1<br />
= v 1<br />
60 6<br />
s 2 = v 2 ⋅ t = v 2 ⋅ 10<br />
t<br />
| . t → v . t = s<br />
60 = 2<br />
3 ⋅ v 1 ⋅ 1<br />
6 = 1<br />
⋅ v 9<br />
1 = v 1<br />
9<br />
Nur zur Ansicht<br />
6 + v 1<br />
9 = 20 Bemerkung 1:<br />
Gleichung im CAS-Fenster!<br />
Bemerkung 2:<br />
v1 erhält man in GeoGebra, indem man v_1 eingibt.<br />
! Da die Geschwindigkeit in km/h<br />
gegeben ist, muss der Weg in km<br />
und die Zeit in h (Stunden)<br />
angegeben werden!<br />
10 min = 10<br />
60 h<br />
Der Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von 72 km/h.<br />
manfred.ambach 130 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Aufgabe der Zentralmatura am 09.05.2018<br />
Katharina und Georg arbeiten als Pflegekräfte in einem Heim. Sie bekommen das gleiche monatliche Grundgehalt.<br />
Im Februar lag in diesem Heim ein besonderer Arbeitsbedarf vor. Georg leistete 14 Überstunden, Katharina<br />
leistete 46 Überstunden. Ihr jeweiliges Gesamtentgelt setzt sich aus dem Grundgehalt und der Abgeltung für die<br />
geleisteten Überstunden zusammen. Jede Überstunde wird dabei gleich abgegolten.<br />
Das Gesamtentgelt von Georg betrug im Februar € 2.617, jenes von Katharina betrug € 3.433.<br />
– Ermitteln Sie das Grundgehalt und die Abgeltung für eine Überstunde.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
x … Grundgehalt in € y … Abgeltung für eine Überstunde in €<br />
Georg: x + 14 y = 2 617<br />
Katharina: x + 46 y = 3 433<br />
Nur zur Ansicht<br />
Das Grundgehalt beträgt 2 260 €, eine Überstunde wird mit 25,50 € abgegolten.<br />
manfred.ambach 131 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Man sollte alles so einfach wie möglich sehen–<br />
aber nicht einfacher.<br />
Albert EINSTEIN<br />
( 1879 – 1955 )<br />
4. ELEMENTARGEOMETRIE<br />
4.1. Lehrsatz des PYTHAGORAS<br />
Der Lehrsatz des PYTHAGORAS darf NUR in rechtwinkeligen Dreiecken verwendet werden.<br />
A<br />
Kathete<br />
Hypotenuse<br />
Der Lehrsatz des PYTHAGORAS lautet:<br />
C<br />
.<br />
Kathete<br />
B<br />
Im rechtwinkeligen Dreieck gilt:<br />
Katheten . . . . . die Seiten, die den rechten Winkel<br />
einschließen<br />
Hypotenuse . . . die Seite gegenüber dem<br />
rechten Winkel ( die längste Seite )<br />
Nicht die Bezeichnung der Seiten ist von<br />
Bedeutung, sondern deren Lage.<br />
So kann z.B. die Seite gegenüber dem rechten Winkel<br />
a oder s heißen und ist trotzdem die Hypotenuse.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 132 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel:<br />
Gib für folgende rechtwinkelige Dreiecke den pythagoräischen Lehrsatz mit den in den Skizzen verwendeten<br />
Bezeichnungen an.<br />
Beispiel:<br />
a 2 + b 2 = x 2 b 2 + c 2 = a 2 m 2 + x 2 = a 2<br />
Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man die Längen der Kathete a = 4,6 cm und der Hypotenuse c = 6,2 cm.<br />
Berechne die Länge der fehlenden Kathete und den Flächeninhalt des Dreiecks.<br />
gegeben: a = 4,6 cm<br />
c = 6,2 cm<br />
gesucht: b =<br />
A =<br />
Zur Ermittlung des Rechengangs<br />
genügt es, wenn die Skizze den<br />
beschriebenen Sachverhalt<br />
entsprechend wiedergibt, ohne<br />
die konkreten Zahlenangaben zu<br />
berücksichtigen.<br />
Allerdings kann es dann z.B. sein,<br />
dass die in der Skizze längere<br />
Kathete sich rechnerisch als die<br />
kürzere erweist.<br />
Nur zur Ansicht<br />
a² + b² = c²<br />
4,6² + b² = 6,2² | – 4,6²<br />
A<br />
Skizze:<br />
b<br />
Rechengang<br />
c<br />
C<br />
.<br />
a<br />
B<br />
Ergebnisse<br />
b² = 6,2² – 4,6² | √<br />
b = √<br />
6,2² – 4,6² ≠ √ 6,2² − √ 4,6²<br />
b = 4,16 cm<br />
manfred.ambach 133 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Für das rechtwinkelige Dreieck gilt<br />
a.b<br />
A mit a und b als den Katheten A = 9,56 cm²<br />
2<br />
Aus<br />
b<br />
2<br />
2<br />
2<br />
c a<br />
folgt NICHT b c a<br />
Dieser Sachverhalt lässt sich auch gut veranschaulichen:<br />
Beispiel:<br />
.<br />
Wollen wir uns obigen Sachverhalt verbildlichen:<br />
Angenommen, ein Flugzeug möchte direkt von Salzburg<br />
nach Linz fliegen. Wegen einer Gewitterfront muss es den<br />
Umweg über Suben im Innviertel einschlagen.<br />
Sollte aus a² + b² = c² folgen, dass a + b = c<br />
ist, würde jeder noch so weite Umweg gleich lang wie die<br />
direkte Strecke sein!<br />
Der Lehrsatz des PYTHAGORAS darf auch dann verwendet werden,<br />
wenn sich in Formen rechtwinkelige Dreiecke als Teilfiguren finden lassen.<br />
Der Querschnitt eines Daches ist ein gleichschenkeliges Dreieck mit<br />
den abgebildeten Längen in Metern (m).<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Bestimme die Höhe dieses Daches.<br />
Was ist denn eigentlich<br />
ein Querschnitt?<br />
manfred.ambach 134 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Rechengang<br />
h 2 + 2,1 2 = 6,5 2 | − 2,1 2<br />
h 2 = 6,5 2 − 2,1 2 | √<br />
h = √ 6,5 2 − 2,1 2<br />
4.2. Strahlensatz<br />
Querschnitt oder Querschnittsfläche bedeutet, dass<br />
ein Körper quer, d.h. im rechten Winkel, zu seiner<br />
Längsachse durchschnitten wird.<br />
Ergebnisse<br />
h = 6,15 m<br />
Der Strahlensatz darf in allen ähnlichen Dreiecken verwendet werden.<br />
Das sind Dreiecke, die in allen entsprechenden Winkeln übereinstimmen<br />
bzw. deren entsprechende Seiten parallel liegen.<br />
Mögliche Strahlensätze:<br />
Nur zur Ansicht<br />
a 1<br />
a 2<br />
a 1<br />
b 1<br />
b 2<br />
c 2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
. . .<br />
b 1<br />
b 2<br />
a 2<br />
b 2<br />
b 1<br />
c 1<br />
Die Reihenfolge, die auf der linken Seite gewählt wurde, muss rechts beibehalten werden!<br />
manfred.ambach 135 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel Zentralmatura am 21.9.2015<br />
Tennis<br />
Ein Spieler trifft beim Aufschlag den Ball in einer Höhe von 2,3 m im Punkt A genau über der Mitte der Grundlinie.<br />
Er visiert den Punkt B (Mitte der Aufschlaglinie) an. Um nicht ins Netz zu gehen, muss der Ball das Netz in einer<br />
Höhe von mindestens 1 Meter (über dem Boden) überqueren. Die Flugbahn des Tennisballes beim Aufschlag kann<br />
modellhaft mittels einer Gerade beschrieben werden.<br />
Skizze: BMB<br />
– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Aufschlag über das Netz geht.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Das rote und das blaue<br />
Dreieck sind rechtwinkelig.<br />
Die Seiten x und 2,3 m<br />
sowie die Seiten 6,4 m und<br />
6,4 + 6,4 + 5,5 = 18,3 m<br />
liegen zueinander parallel.<br />
Deshalb dürfen wir hier den<br />
Strahlensatz anwenden:<br />
Nur zur Ansicht<br />
x<br />
2,3<br />
= 6,4<br />
18,3<br />
| ⋅ 2,3 → x = 6,4<br />
18,3<br />
⋅ 2,3 = 0,80 m<br />
Da der Ball beim Netz nur eine Höhe von 0,8 m erreicht, geht er nicht über das Netz.<br />
manfred.ambach 136 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
4.3. Kreis und Kreisteile<br />
k<br />
d<br />
Auf der Kreislinie k liegen alle unendlich vielen Punkte, die von einem<br />
Punkt, dem Mittelpunkt M, den gleichen Abstand r besitzen.<br />
M . . . Mittelpunkt<br />
r . . . Radius<br />
d . . . Durchmesser<br />
k . . . Kreislinie<br />
Flächeninhalt<br />
Umfang<br />
d = 2 . r<br />
A = r 2 . π<br />
U = 2 . r . π<br />
Die Zahl π entstammt dem Versuch, aus einem Kreis von gegebenem Radius ein Quadrat zu konstruieren, das<br />
über den gleichen Flächeninhalt verfügt. Bei diesem Problem handelt es sich um die sog. Quadratur des Kreises.<br />
Kreissektor (Kreisausschnitt):<br />
M<br />
r … Radius<br />
b … Bogenlänge<br />
α … Zentriwinkel<br />
A … Flächeninhalt des Kreisbogens<br />
b =<br />
r ⋅ π ⋅ α<br />
180°<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 13<br />
r<br />
A =<br />
r² ⋅ π ⋅ α<br />
360°<br />
Dass der Läufer eine endlich lange Strecke nie durchlaufen können sollte,<br />
widerspricht unserer Erfahrung und Logik!<br />
Fortsetzung S 147<br />
manfred.ambach 137 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel Kompensationsprüfung am 06.06.2018<br />
Zur Modellierung einer Flammenspitze können Kreisbögen mit dem Radius a verwendet werden.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Grafik: BMB<br />
– Berechnen Sie den Flächeninhalt der<br />
Flamme für a = 3 cm.<br />
Der grüne und der rote Kreissektor sind gleich<br />
groß, denn beide haben als Radius r = a und den<br />
Zentriwinkel 60°.<br />
2 ⋅ a2 ⋅ π ⋅ 60°<br />
= 32 ⋅ π<br />
= 3 π = 9,42 cm²<br />
360° 3<br />
Allerdings ist das blaue Dreieck bei beiden<br />
Flächen der Sektoren dabei. Deshalb müssen wir<br />
einmal die Fläche des gleichseitigen Dreiecks<br />
abziehen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
A ∆ = a2 ⋅ √ 3<br />
4<br />
= 32 ⋅ √ 3<br />
4<br />
= 3,90 cm<br />
9, 42 cm 2 − 3, 90 cm 2 = 5, 52 cm² ist der Flächeninhalt der Flamme.<br />
manfred.ambach 138 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
4.4. Prismen<br />
Beispiele für Prismen:<br />
Für alle Prismen gilt:<br />
Prismen sind Körper, deren Grundfläche G und Deckfläche D gleich sind,<br />
d.h. gleich geformt und gleich groß.<br />
Quader Zylinder allgemeines Prisma<br />
G: Rechteck G: Kreis G: beliebige Form<br />
Nur zur Ansicht<br />
→ Volumen des Quaders:<br />
V = a . b . h<br />
Volumen = Grundfläche mal Körperhöhe<br />
V = G ⋅ h<br />
→ Volumen des Zylinders:<br />
V =⋅ r 2 ⋅ π ⋅ h<br />
manfred.ambach 139 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel:<br />
Wie viel m 3 hat ein km 3 ?<br />
Volumen eines Würfels: V = a 3 = a . a . a<br />
V = 1 km . 1 km . 1 km = 1 . km . 1. km . 1 . km = 1 . 1 . 1 . km . km . km = 1 km 3<br />
V = 1 000 m . 1 000 m . 1 000 m = 1 000 . m . 1 000 . m . 1 000 . m = 1 000 . 1 000 . 1 000 . m . m . m<br />
V = 1 000 000 000 m 3<br />
So muss gelten: 1 km 3 = 1 000 000 000 m 3 = 1.10 9 m 3<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 140 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Ein Volumen von 2 500 Barrel (bbl) auslaufenden Erdöls bedeckt eine Meeresfläche von 4 250 km 2 . Der Ölteppich<br />
breitet sich gleichmäßig aus. 1 bbl Erdöl entspricht ungefähr 159 Liter.<br />
– Berechnen Sie, wie dick der Ölteppich ist.<br />
– Geben Sie das Ergebnis in Nanometer (nm) an.<br />
V = A ⋅ h ∶ A<br />
V<br />
A<br />
= h<br />
397 500 dm 3<br />
Nur zur Ansicht<br />
4,25 ⋅ 10 11 dm 2<br />
A = 4 250 km 2<br />
Der Ölteppich ist 93,53 nm dick.<br />
h<br />
= h → h = 0,0000009353 dm<br />
1 m<br />
V = 2 500 . 159<br />
V = 397 500 l = 397 500 dm 3 (1)<br />
A = 4 250 km 2 = 425 000 000 000 dm 2<br />
= 4,25 ⋅ 10 11 dm 2 (2)<br />
Für alle Körper, deren Grundfläche G und Deckfläche D<br />
gleich sind, gilt:<br />
Volumen V = G ⋅ h<br />
= 0,000009353 m = 93,53 nm = h<br />
= 10 dm 1 nm = 1 . 10 –9 m<br />
: 10 : 1 . 10 –9<br />
(1) 1 l = 1 dm 3<br />
(2) 1 km 2 = 100 ha → 1 ha = 100 a → 1 a = 100 m 2 → 1 m 2 = 100 dm 2 → 1 km 2 = 100 000 000 dm²<br />
manfred.ambach 141 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
4.5. Spitze Körper<br />
Beispiele für spitze Körper:<br />
Für alle spitzen Körper gilt:<br />
quadratische Pyramide<br />
Nur zur Ansicht<br />
→ Volumen der quadratischen Pyramide:<br />
Kegel<br />
G: Quadrat G: Kreis<br />
Volumen =<br />
V = G⋅h<br />
Grundfläche mal Körperhöhe<br />
3<br />
V = a2 . h<br />
3<br />
3<br />
→ Volumen des Kegels: V = r2 .π⋅ h<br />
3<br />
manfred.ambach 142 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Hilfsskizze:<br />
Die Pyramide vor dem Pariser Louvre hat eine quadratische<br />
Grundfläche mit einer Grundkante von<br />
a = 35 m und einer Höhe von h = 21 m.<br />
– Bestimmen Sie die mit Glas verbaute Fläche.<br />
Wir suchen den Mantel M der Pyramide.<br />
Dieser besteht aus 4 gleichschenkeligen Dreiecken mit<br />
der Grundlinie a und der Höhe h a .<br />
Das gleichschenkelige Dreieck besitzt die<br />
Flächenformel A = a . h a<br />
.<br />
Damit lautet die Formel für den Mantel M<br />
Nur zur Ansicht<br />
Mit a = 35 m und h = 21 m erhalten wir:<br />
h a = √( a 2 )2 + h 2 = √( 35<br />
2 )2 + 21 2 = 27,34 m<br />
2<br />
M = 4 ⋅ a . h a<br />
= 2 . a . h<br />
2<br />
a<br />
h a können wir im eingezeichneten rechtwinkeligen<br />
Dreieck mit dem pythagoräischen Lehrsatz bestimmen:<br />
h 2 a = ( a 2<br />
2 ) + h 2 → h a = √( a 2<br />
2 ) + h 2<br />
Man kann natürlich gleich so rechnen:<br />
h a = √17,5 2 + 21 2 = 27,34 m<br />
M = 2 . a . h a = 2 . 35 . 27,34 = 1 913,8 m 2<br />
Die mit Glas verbaute Fläche misst 1 913,8 m 2 .<br />
manfred.ambach 143 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
4.6. Kugel<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
r … Radius V … Volumen O …Oberfläche<br />
Nur zur Ansicht<br />
V =<br />
4 ⋅ r3 ⋅ π<br />
3<br />
0 = 4 ⋅ r 2 ⋅ π<br />
Das Atomium in Brüssel ist ein Bau, der ein Eisenmolekül in 165-milliardenfacher Vergrößerung darstellt.<br />
Die Kugeln, aus denen dieser Bau besteht, haben einen Durchmesser von 18 Metern.<br />
– Bestimmen Sie den Radius eines kugelförmigen Eisenmoleküls in Nanometern (nm).<br />
r Atomium = 18<br />
2 = 9 m → r Eisenmolekül =<br />
9 m<br />
165 ⋅ 10 9<br />
– Ermittle das Gesamtvolumen der 9 Kugeln des Atomiums.<br />
V = 9 ⋅<br />
4 ⋅ 9 3 ⋅ π<br />
3<br />
= 27 482,65 m³<br />
= 5,45 ⋅ 10 −11 m = 0,055 nm<br />
1 nm = 1 ⋅ 10 −9 m<br />
: 1 ⋅ 10 −9<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=WQkFClzyiAI<br />
manfred.ambach 144 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Lösung:<br />
– Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so,<br />
dass eine korrekte Aussage entsteht.<br />
Begründung:<br />
V alt = 4 ⋅ r3 ⋅ π<br />
3<br />
Wird der Radius einer Kugel ______1_________ , so _______2_______ sich ihr Volumen.<br />
verdoppelt<br />
2<br />
halbiert<br />
verdreifacht<br />
1<br />
Nur zur Ansicht<br />
V = 4 ⋅ (2 ⋅ r)3 ⋅ π<br />
= 4 ⋅ 8 ⋅ r3 ⋅ π<br />
= 8 ⋅ 4 ⋅ r3 ⋅ π<br />
= 8 ⋅ V<br />
3<br />
3<br />
3<br />
alt<br />
V = 4 ⋅ (r 2 )3 ⋅ π<br />
3<br />
= 4 ⋅ r3<br />
8 ⋅ r3 ⋅ π<br />
3<br />
= 4 ⋅ 1 ⋅ r3<br />
⋅ r<br />
8<br />
3 ⋅ π<br />
3<br />
verdoppelt<br />
2<br />
achtelt<br />
verneunfacht<br />
= 1 8 ⋅ 4 ⋅ r3 ⋅ π<br />
3<br />
2<br />
= 1 8 ⋅ V alt<br />
V = 4 ⋅ (3 ⋅ r)3 ⋅ π<br />
3<br />
= 4 ⋅ 27 ⋅ r3 ⋅ π<br />
3<br />
= 27 ⋅ 4 ⋅ r3 ⋅ π<br />
3<br />
= 27 ⋅ V alt<br />
manfred.ambach 145 pro-test.-at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
5. TRIGONOMETRIE<br />
5.1. Winkelmaße<br />
Es gibt auf der Welt zwei fundamentale Richtungen:<br />
senkrecht oder lotrecht, auch vertikal genannt. Diese<br />
Richtung zeigt zum Erdmittelpunkt. Alle Körper in Erdnähe<br />
werden von unserem Planeten in diese Richtung<br />
angezogen.<br />
waagrecht bzw. horizontal: Die Lage, die die<br />
Wasseroberfläche in ruhendem Zustand einnimmt.<br />
Spätestens die Babylonier ( Babylonisches Reich 1839 v. Chr. – 539 v. Chr. )<br />
teilten den rechten ( im Sinne für das Bauen richtigen ) Winkel in<br />
90 o ein und entsprechend den Vollkreis in 360 o .<br />
Dabei gilt: 1 o = 60 ' 1 ' = 60 '' ' ... Winkelminuten '' ... Winkelsekunden<br />
Winkel in diesem Gradmaß werden mit griechischen Kleinbuchstaben angegeben. Hier einige Bezeichnungen:<br />
alpha lamda<br />
beta μ my<br />
gamma pi<br />
delta ρ rho<br />
epsilon sigma<br />
Ach, sagte die Maus, die Welt wird enger mit jedem Tag. Zuerst war sie so breit, dass ich Angst hatte,<br />
ich lief weiter und war glücklich, dass ich endlich rechts und links in der Ferne Mauern sah,<br />
aber diese langen Mauern eilen so schnell aufeinander zu, dass ich schon im letzten Zimmer bin<br />
und dort im Winkel steht die Falle, in die ich laufe.<br />
Du musst nur die Laufrichtung ändern, sagte die Katze, und fraß sie.<br />
Franz KAFKA<br />
( 1883 – 1924 )<br />
(1)<br />
Nur zur Ansicht<br />
(1) tria ( griechisch: drei ), gōnia ( griechisch: Eck ), - metrie bedeutet, es wird etwas gemessen<br />
manfred.ambach 146 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Im Jahre 1795 legten Franzosen die Winkel-Einheit Neugrad ( gon ) ,<br />
wie nebenstehend skizziert, fest. Demnach besitzt der<br />
Vollkreis 400 g(on) , der rechte Winkel misst 100 g(on) .<br />
Einerseits wurde dieses Winkelmaß nach der Französischen Revolution als Zeichen<br />
des Bruches mit früheren Verhältnissen eingeführt, andererseits war es der<br />
Versuch, auch die Winkeleinteilung dekadisch, also nach den Regeln des<br />
10-er Systems, zu gestalten.<br />
Diese Winkeleinheit hat sich nicht durchgesetzt. Der Vorteil, dass<br />
1 g = 100 Winkelminuten und 1 Winkelminute = 100 Winkelsekunden hat,<br />
ist durch die elektronischen Unterstützungen obsolet geworden.<br />
Mit dem Bogenmaß existiert eine dritte Möglichkeit, die Größe von Winkeln anzugeben. Es findet in der Physik<br />
Verwendung und besitzt (eigentlich) keine Einheit. Da wir nur das gängige Gradmaß verwenden, belasse ich den<br />
Ausflug in die Winkelmaße damit.<br />
Gradmaß α<br />
π ⋅ α<br />
180°<br />
= x<br />
Danach ergibt sich beispielsweise für<br />
Bogenmaß x<br />
180° π<br />
90°<br />
270°<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 14<br />
Nehmen wir an, der Läufer<br />
benötigt für die Strecke von S bis M 1<br />
2 min. Dann braucht er (bei gleicher<br />
Geschwindigkeit) von M 1 bis M 2 die Hälfte<br />
π<br />
2<br />
3 π<br />
2<br />
dieser Zeit, also 1 min, von M 2 bis M 3<br />
1<br />
Minute, von 2 M3 nach M4 1 Minute usw.<br />
4<br />
Fortsetzung S 150<br />
manfred.ambach 147 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Das Rechnen mit Winkelfunktionen mit Casio :<br />
Kennen den Winkel und suchen den Wert der Winkelfunktion:<br />
Beispiel: sin ( 30 o ) =<br />
Beachte, dass in der Kopfzeile des Displays der Buchstabe D<br />
steht.<br />
D steht für Degree ( englisch: Grad )<br />
Steht statt D ein G [ Gon, gemeint sind Neugrad ] oder R [ Radiant ( Bogenmaß ) ], so gehe so vor:<br />
Betätige die abgebildete Tastenkombination . . .<br />
. . . und es erscheint das abgebildete Befehls-Fenster.<br />
Drücke nun die Taste<br />
. . . und es erscheint das abgebildete Befehls-Fenster.<br />
Drücke nun die Taste<br />
Nur zur Ansicht<br />
Wir betätigen die<br />
–Taste ( 4. Reihe von oben,<br />
3. von rechts ) und am Display erscheint<br />
nebenstehender Befehl.<br />
manfred.ambach 148 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Jetzt geben wir den Winkel ein und schließen die<br />
Es ist also sin ( 30 o ) = 1<br />
2<br />
bzw. 0,5<br />
Klammer<br />
Zuletzt noch auf<br />
das Ergebnis.<br />
Kennen den Wert der Winkelfunktion und suchen den Wert des Winkels:<br />
Beispiel: sin α = 0,7071<br />
Den Wert der Winkelfunktion eingegeben, die Klammer geschlossen , auf<br />
erscheint.<br />
α = sin – 1 ( 0,7071 ) = 44,99945053 o = 45,00 o .<br />
(5. Reihe von oben, 3. von rechts).<br />
gedrückt und wir erhalten<br />
Die Umkehrfunktion von sin, den sog. arcsin, am TR<br />
sin –1 , erhalten wir mit folgender Tastenkombination:<br />
Damit erscheint am Display sin –1 .<br />
gedrückt und der Winkel<br />
Nur zur Ansicht<br />
Im Folgenden die Winkelfunktionen, ihre Umkehrungen<br />
und die Bezeichnungen am Taschenrechner:<br />
Winkelfunktion ihre Umkehrung Casio<br />
Sinus ( sin ) Arcussinus ( arcsin ) sin –1<br />
Cosinus ( cos ) Arcuscosinus ( arccos ) cos –1<br />
Tangens ( tan ) Arcustangens ( arctan ) tan –1<br />
manfred.ambach 149 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
sinus (lateinisch): Biegung, Rundung<br />
cosinus : Abkürzung von sinus complementari : der Sinus des Komplementärwinkels (des auf 90 o ergänzten Winkels)<br />
z.B. ist der sin (30 o ) = cos ( 90 o – 30 o ) = cos (60 o )<br />
tangens (lateinisch): berührend<br />
arcus (lateinisch): Bogen<br />
5.2. Graphen der Winkelfunktionen<br />
5.2.1. sin und cos<br />
Im Folgenden sind die Graphen dargestellt und wesentliche Eigenschaften besprochen.<br />
Sinus<br />
Eigenschaften:<br />
• Die Funktion sin ist für alle x R, also für alle reellen Zahlen definiert<br />
• Alle 360° wiederholen sich die Funktionswerte<br />
Nur zur Ansicht<br />
Man spricht deshalb von einer periodischen Funktion mit der Periode 360°<br />
• Der größte y-Wert, den der Sinus annimmt, ist + 1, der kleinste y-Wert, den der Sinus annimmt, ist – 1<br />
sin<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 15<br />
Für die benötigte Laufzeit ergibt demnach 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . Minuten<br />
Fortsetzung S 185<br />
manfred.ambach 150 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Cosinus<br />
Eigenschaften:<br />
• Die Funktion cos ist für alle x R, also für alle reellen Zahlen definiert<br />
• Alle 360° wiederholen sich die Funktionswerte<br />
Man spricht deshalb von einer periodischen Funktion mit der Periode 360<br />
• Der größte y-Wert, den der Cosinus annimmt, ist + 1, der kleinste y-Wert, den der Cosinus annimmt, ist – 1<br />
Nur zur Ansicht<br />
Verschiebt man den Graphen des Sinus um 90° nach links, so entsteht der Graph des Cosinus.<br />
Verschiebt man den Graphen des Cosinus um 90° nach rechts, so entsteht der Graph des Sinus.<br />
cos<br />
sin<br />
cos<br />
manfred.ambach 151 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
5.2.2. tan<br />
Tangens<br />
tan tan tan tan<br />
tan tan tan tan<br />
Eigenschaften:<br />
• Die Funktion tan ist für alle reellen Zahlen außer den ungeraden Vielfachen von 90° definiert.<br />
• Alle 180° wiederholen sich die Funktionswerte.<br />
Man spricht deshalb von einer periodischen Funktion mit der Periode 180°<br />
• Die y-Werte können jede reelle Zahl annehmen, also von −∞ bis +∞ gehen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Der Tangens ist deshalb für alle ungeraden Vielfachen von 90° nicht definiert, weil der Tangens festgelegt ist als<br />
tan(α) =<br />
sin(α)<br />
cos(α)<br />
und der Cosinus bei allen ungeraden Vielfachen von 90° gleich Null ist.<br />
Ein Bruch mit dem Nenner Null ergibt aber keine Zahl (und auch nichts anderes).<br />
manfred.ambach 152 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
5.3. Winkelfunktionen im Einheitskreis<br />
Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung.<br />
Der Radius ist 1 Längeneinheit groß.<br />
Betrachten wir zunächst den Einheitskreis:<br />
<br />
<br />
Was soll denn das heißen?<br />
1 Längeneinheit ???<br />
Warum nicht 1 cm oder 1 dm ?<br />
Weil, lieber Fredo, ein Radius von 1 cm oft zu klein<br />
ist um alles Notwendige einzuzeichnen und 1 dm<br />
wiederum zu groß!<br />
Du musst dir nur im Klaren sein, dass der Radius im<br />
Einheitskreis immer<br />
1 Längeneinheit lang ist, gleich, ob du ihn z.B. 4 cm<br />
oder 55 mm lang zeichnest!<br />
Nur zur Ansicht<br />
Alle Winkel werden von der positiven x-Achse aus gemessen.<br />
Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn aufgetragen,<br />
negative Winkel mit dem Uhrzeigersinn.<br />
≡ ist das Zeichen für entspricht<br />
II<br />
III<br />
I<br />
IV<br />
I … 1. Quadrant: 0° < α < 90° II … 2. Quadrant: 90° < α < 180°<br />
III … 3. Quadrant: 180° < α < 270° IV … 4. Quadrant: 270° < α < 360°<br />
manfred.ambach 153 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Sin und Cosinus im Einheitskreis<br />
<br />
Alle Winkel werden von der positiven x-Achse (= 1. Schenkel des Winkels) aus gemessen.<br />
Der 2. Schenkel des Winkels schneidet in einem Punkt den Einheitskreises.<br />
Dessen x-Koordinate ist der Cosinus des Winkels, dessen y-Koordinate der Sinus des Winkels.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 154 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Tangens im Einheitskreis<br />
<br />
Alle Winkel werden von der positiven x-Achse (= 1. Schenkel des Winkels) aus gemessen.<br />
Der 2. Schenkel des Winkels schneidet in einem Punkt den Einheitskreis.<br />
Der Tangens berührt den Einheitskreis parallel zum Sinus des Winkels.<br />
Nur zur Ansicht<br />
tangere (lateinisch): berühren<br />
manfred.ambach 155 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
5.4. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck<br />
Beispiel:<br />
Im rechtwinkeligen Dreieck ist die Seite gegenüber<br />
dem rechten Winkel die Hypotenuse,<br />
die Seiten, die den rechten Winkel einschließen,<br />
die Katheten.<br />
Die am Winkel anliegende Kathete heißt<br />
Ankathete.<br />
Die dem Winkel gegenüberliegende Kathete nennt<br />
man Gegenkathete.<br />
Nur die Hypotenuse bleibt immer Seite gegenüber rechtem Winkel.<br />
Wer An– und wer Gegenkathete ist, richtet sich nach dem verwendeten Winkel!<br />
Gleich wie die Seiten benannt werden,<br />
die Lage ist es, die entscheidet!<br />
Nur zur Ansicht<br />
Hypotenuse . . . . . . . . . y<br />
Hypotenuse . . . . . . . . . PR ̅̅̅̅<br />
Ankathete von β . . . . . z<br />
Gegenkathete von β . . x<br />
Ankathete von ε . . . . . ̅̅̅̅ QR<br />
Gegenkathete von ε . . ̅̅̅̅ PQ<br />
manfred.ambach 156 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Im rechtwinkeligen Dreieck sind die Winkelfunktionen wie folgt definiert:<br />
sin (α) = Gegenkathete<br />
Hypotenuse<br />
cos (α) =<br />
Ankathete<br />
Hypotenuse<br />
tan (α) = Gegenkathete<br />
Ankathete<br />
Die Winkelfunktionen dürfen nur in rechtwinkligen Dreiecken verwendet werden.<br />
Mit dem rechten Winkel lässt sich keine Winkelfunktion angeben,<br />
da der rechte Winkel keine Gegenkathete und zwei Ankatheten besitzt.<br />
Betrachten wir die Formeln der Winkelfunktionen, so kommen in jeder der Gleichungen 3 Größen – 2 Seiten und<br />
1 Winkel – vor. Will ich konkrete Zahlenwerte erhalten, darf ich in einer Gleichung nur eine unbekannte Größe<br />
vorfinden. Deshalb benötige ich im rechtwinkeligen Dreieck stets 2 gegebene Größen:<br />
entweder 2 Seiten oder 1 Seite und 1 Winkel ( 90° ).<br />
Bemerkung: Kenne ich den Winkel, so lässt sich der Wert der Winkelfunktion leicht bestimmen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Weiters gilt in rechtwinkeligen Dreiecken:<br />
o Lehrsatz des PYTHAGORAS: ( eine Kathete ) 2 + ( andere Kathete ) 2 = ( Hypotenuse ) 2<br />
o Flächeninhalt: A= a . b<br />
2<br />
a, b . . . Katheten<br />
o<br />
In allen Dreiecken gilt: + + γ = 180 o<br />
manfred.ambach 157 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Beispiel:<br />
Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man den Winkel = 42 o und die Länge der Kathete a = 4,6 cm.<br />
Berechne die fehlenden Umfangstücke und den Flächeninhalt des Dreiecks.<br />
Umfangstücke: alle Seiten und Innenwinkel<br />
gegeben:<br />
gesucht: b =<br />
c =<br />
=<br />
A =<br />
= 42 o<br />
a = 4,6 cm<br />
Fertige zunächst ruhig eine Freihand-Skizze an, um dir einen<br />
ersten Überblick zu verschaffen.<br />
Jetzt die Skizze mit Lineal.<br />
Erläuterungen Rechengang Ergebnisse<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die gegebene Seite a ist Gegenkathete<br />
des bekannten Winkels .<br />
Also wählen wir eine Winkelfunktion,<br />
die die Gegenkathete besitzt.<br />
Zur Auswahl stehen Sinus und Tangens.<br />
Entscheiden wir uns für den Sinus, so<br />
berechnen wir die Hypotenuse, bei<br />
Verwendung des Tangens die<br />
Ankathete.<br />
Wir haben die Wahl.<br />
sin(α) = a<br />
c<br />
sin(42°) = 4,6<br />
c<br />
| . c<br />
c . sin(42°) = 4,6 | ∶ sin (42°)<br />
c =<br />
4,6<br />
sin(42°)<br />
c = 6,87 cm<br />
manfred.ambach 158 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Erläuterungen Rechengang Ergebnisse<br />
Jetzt kennen wir die Kathete a und die<br />
Hypotenuse c.<br />
Mit Hilfe des pythagoräischen<br />
Lehrsatzes können wir die Länge der<br />
Seite b ermitteln.<br />
In jedem Dreieck beträgt die Summe der<br />
Innenwinkel 180 o . Zwei der drei Winkel,<br />
und 90 o , kennen wir.<br />
Für den Flächeninhalt eines<br />
rechtwinkeligen Dreiecks verfügen wir<br />
über eine eigene Flächenformel.<br />
a 2 + b 2 = c²<br />
4,6 2 + b 2 = 6,87 2 | − 4,6²<br />
b 2 = 6,87 2 − 4,6 2 | √<br />
b = √ 6,87 2 − 4,6 2<br />
+ + 90° + 180° → 42° + β − 90° = 180°<br />
A =<br />
a . b<br />
2<br />
b = 5,10 cm<br />
132° + β = 180° | − 132° = 48 O<br />
→ A =<br />
4,6 . 5,10<br />
2<br />
Wähle immer die passenden Einheiten und beschrifte die Resultate.<br />
≠ √6, 87 2 − √4, 6²<br />
A = 11,73 cm²<br />
Nur zur Ansicht<br />
Beispiel der Zentralmatura am 12.1.2017<br />
Hausbau<br />
a) Der Querschnitt eines Dachstuhls ist in der nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt.<br />
– Erstellen Sie eine Formel, mit der<br />
man den Winkel α aus a und h<br />
berechnen kann.<br />
Erstellen Sie eine Formel, mit der man den Winkel α aus a und h berechnen kann.<br />
manfred.ambach 159 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Formel erstellen<br />
= Rechengang (allgemein) angeben<br />
Formel … aus a und h:<br />
Es dürfen nur diese Größen in der Formel vorkommen<br />
b) Der Querschnitt eines Dachstuhls ist in der<br />
nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt.<br />
Alle Längen sind in Metern angegeben.<br />
– Berechnen Sie b.<br />
cos(38°) =<br />
x<br />
6,50<br />
tan(α) =<br />
Nur zur Ansicht<br />
5,12 − 4,25 = 0, 87 m<br />
h<br />
a<br />
2<br />
→ α = tan −1 2 ⋅ h<br />
(<br />
a )<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
| ⋅ x → cos(38°) ⋅ 6,50 = x → 5,12 m= x<br />
= h ∶ a<br />
2 = h ⋅ 2<br />
a = 2 ⋅ h<br />
a<br />
Link: https://www.youtube.com/watch?v=0H_Wji_bV1Y<br />
manfred.ambach 160 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
5.5. Winkelsätze (Cluster )<br />
Die Winkelsätze können auch in allgemeinen (nicht–rechtwinkeligen) Dreiecken<br />
angewendet werden.<br />
5.5.1. Sinus – Satz<br />
<br />
<br />
Beispiel:<br />
a<br />
sin(α) =<br />
b<br />
sin(β) =<br />
Für den Sinus – Satz benötigt man 3 gegebene Größen: entweder 2 Seiten und 1 Winkel<br />
oder: 1 Seite und 2 Winkel<br />
Für den Sinus – Satz liegen die passenden Bestimmungsstücke gegenüber.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Von einem (allgemeinen) Dreieck kennt man die Länge der Seite a = 16 cm und die Winkeln α = 46°<br />
sowie β = 52°.<br />
– Bestimme alle fehlenden Umfangstücke.<br />
c<br />
sin(γ)<br />
Umfangstücke: alle Seiten und (Innen-) Winkel<br />
manfred.ambach 161 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Skizze:<br />
gegeben: a = 16 cm<br />
α = 46°<br />
β = 52°<br />
gesucht: b, c und γ<br />
a<br />
sin(α) =<br />
16<br />
sin(46°) =<br />
16 ⋅ sin (52°)<br />
sin(46°)<br />
b<br />
sin(β)<br />
b<br />
sin(52°)<br />
| ⋅ sin(52°)<br />
= b → b = 17, 53 cm<br />
<br />
<br />
<br />
Wir kennen 2 Winkel und 1 Seite.<br />
Ein gegebener Winkel und eine gegebene Seite<br />
liegen einander gegenüber Sinussatz<br />
Dem gegebenen Winkel β liegt die Seite b<br />
gegenüber Wir berechnen zunächst b.<br />
In jedem Dreieck gilt:<br />
α + β + γ = 180°<br />
46° + 52° + γ = 180°<br />
98° + γ = 180° | − 98°<br />
γ = 82°<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 162 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Mit dem Sinus – Satz können wir jetzt noch die Seite c<br />
berechnen:<br />
a<br />
sin(α) =<br />
16<br />
sin(46°) =<br />
c<br />
sin(γ)<br />
16 ⋅ sin (82°)<br />
sin(46°)<br />
c<br />
sin(82°)<br />
| ⋅ sin(82°)<br />
= c → c = 22, 03 cm<br />
Für ein Konzert wird ein Sektor für VIPs reserviert. Die nachstehende Skizze veranschaulicht die Fläche dieses<br />
Sektors, wobei die Seitenlängen in Metern (m) angegeben sind.<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Berechnen Sie die Seitenlänge x aus den gegebenen Größen.<br />
108,24° + 28,6° + α = 180°<br />
136,84° + α = 180° | − 136,84°<br />
α = 43, 16°<br />
manfred.ambach 163 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
x<br />
sin(43,16°) = 18<br />
sin(108,24°)<br />
| ⋅ sin (43,16°)<br />
x =<br />
18 ⋅ sin (43,16°)<br />
sin(108,24°)<br />
x = 12, 96 m<br />
– Erläutern Sie, warum die Berechnung der Länge x mit x = sin(28,6°) ⋅ h falsch ist.<br />
sin(28,6°) = h<br />
x<br />
Nur zur Ansicht<br />
| ⋅ x<br />
x ⋅ sin(28,6°) = h | ∶ sin (28,6°)<br />
x =<br />
h<br />
sin (28,6°)<br />
Die gegebene Umformung ist falsch, weil h durch den sin (28,6°) dividiert werden muss und nicht mit sin(28,6°)<br />
zu multiplizieren ist.<br />
5.5.2. Cosinus – Satz<br />
<br />
Für den Cosinus – Satz benötigt man 3 gegebene Größen:<br />
entweder 2 Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel<br />
oder:<br />
3 Seiten<br />
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos(α)<br />
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos(β)<br />
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos(γ)<br />
<br />
Hat man einmal mit dem Cosinus – Satz gerechnet, kann danach immer der Sinus – Satz verwendet werden.<br />
manfred.ambach 164 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Weiters gilt in (allgemeinen) Dreiecken:<br />
<br />
<br />
Beispiel:<br />
A = a⋅h a<br />
2<br />
A = a⋅b<br />
2<br />
= b⋅h b<br />
2<br />
⋅ sin(γ)<br />
= c⋅h c<br />
2<br />
Gemeint sind: 2 Seiten und der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels<br />
Die gegebenen Größen liegen hier wie für den Cosinus – Satz,<br />
aber bei der Flächenformel ist sin zu verwenden!<br />
Von einem (allgemeinen) Dreieck kennt man die Längen der Seiten a = 34 mm , b = 28 mm und den Winkel<br />
γ = 76°<br />
– Berechne die fehlende Seite und den Flächeninhalt des Dreiecks.<br />
Nur zur Ansicht<br />
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos (γ)<br />
c 2 = 34 2 + 28 2 − 2 ⋅ 34 ⋅ 28 ⋅ cos (76°)<br />
Wir kennen zwei Seiten und den von<br />
ihnen eingeschlossenen Winkel<br />
Cosinus – Satz<br />
c 2 = 1 479,38 | √<br />
c = 38, 46 mm<br />
manfred.ambach 165 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
A =<br />
34 ⋅ 28<br />
2<br />
⋅ sin(76°)<br />
A = 461, 86 mm²<br />
https://www.youtube.com/watch?v=xsCR34mblpo&t=348s<br />
Lösungen: * A = 6 ⋅<br />
d<br />
2 ⋅ d<br />
2<br />
2<br />
Jemand möchte ein Gartenhaus errichten, das als Grundfläche<br />
ein regelmäßiges Sechseck besitzt, wie nebenstehend<br />
abgebildet.<br />
– Geben Sie eine Formel für den Flächeninhalt des<br />
Sechsecks in Abhängigkeit von d und α an.<br />
– Geben Sie die Größe des Winkels α an.<br />
⋅ sin ( α<br />
) = 3⋅d2<br />
⋅ sin ( α<br />
) * 120°<br />
2 4<br />
2<br />
Eigenschaften eines regelmäßigen Sechsecks:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs<br />
gleichseitigen Dreiecken.<br />
manfred.ambach 166 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
5.6. Vermessungsaufgaben<br />
Höhenwinkel Tiefenwinkel Sehwinkel<br />
Beim Höhen- und Tiefenwinkel wird immer von der Waagrechten aus gemessen.<br />
Beim Visierwinkel ist das nicht zwingend. Hier wird das Objekt von den Winkel-Schenkeln umschlossen.<br />
horizontal . . . waagrecht → Horizontalebene: eine waagrechte Ebene<br />
vertikal . . . senkrecht bzw. lotrecht<br />
Beachte beim Ergänzen von Winkeln<br />
Horizontalwinkel: ein Winkel in einer waagrechten Ebene<br />
<br />
α + β = 90° α + β = 180°<br />
Nur zur Ansicht<br />
<br />
In allen Dreiecken gilt: α + β + γ = 180°<br />
manfred.ambach 167 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
<br />
Z „ Z-Regel“:<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Sind zwei parallele Strecken durch eine dritte Strecke verbunden,<br />
so sind die Winkel in den Ecken jeweils gleich groß.<br />
Ein Turm und ein Mast stehen in einer waagrechten Ebene.<br />
Von dem a Meter (m) hohen Turm sieht man die Spitze S des Mastes der Höhe h unter dem Höhenwinkel α,<br />
den Fußpunkt F dieses Mastes unter dem Tiefenwinkel β .<br />
– Fertigen Sie eine den Sachverhalt beschreibende Skizze an, in der alle beschriebenen Größen beschriftet<br />
werden.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 168 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
– Berechnen Sie mit a = 5 m, α = 32° und β = 8,88° die Höhe h des Mastes.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Wegen der Z-Regel befindet sich der Winkel β<br />
auch bei F.<br />
x ist im rechtwinkeligen Dreieck AFP die<br />
Hypothenuse.<br />
Die gegebene Seite a ist Gegenkathete des Winkel<br />
β<br />
→ Sinus<br />
sin(β) = a<br />
x<br />
x . sin (β) = a<br />
x =<br />
a<br />
sin (β)<br />
5<br />
x =<br />
sin (8,88°)<br />
x = 32, 39 m<br />
Nur zur Ansicht<br />
| . x<br />
| ∶ sin (β)<br />
Die Winkel β und ε ergeben zusammen 90°.<br />
90° − ß = ε<br />
90° − 8,88° = 81, 12° = ε<br />
Im (allgemeinen) Dreieck PFS gilt:<br />
(α + β) + ε + μ = 180°<br />
μ = 180° − (α + β) − ε<br />
| − (α + β) − ε<br />
μ = 180° − (32° + 8,88°) − 81,12°<br />
μ = 58°<br />
manfred.ambach 169 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Die Höhe des Turmes beträgt 25 m.<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Jetzt kennen wir alle passenden Größen, um mit<br />
dem Sinus-Satz h berechnen zu können:<br />
h<br />
sin(α + β) =<br />
h =<br />
h =<br />
x<br />
sin(μ)<br />
x ⋅ sin (α + β)<br />
sin (μ)<br />
32,39 ⋅ sin (40,88°)<br />
sin (58°)<br />
h = 25, 00 m<br />
| . sin (α + β)<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Bahn auf die Festung Hohensalzburg ist eine Standseilbahn. Die Talstation liegt 429 Meter (m)<br />
über dem Meeresspiegel (ü.d.M.), die Bergstation 525,6 m ü.d.M. Die direkte Verbindungsstrecke<br />
zwischen Tal- und Bergstation hat eine Länge von 198,5 m.<br />
– Übertragen Sie den Text in eine passende Skizze, die mit den gegebenen Größen vollständig zu beschriften<br />
ist.<br />
manfred.ambach 170 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
h = 525,6 – 429 = 96,6 m<br />
– Berechnen Sie den Steigungswinkel der direkten Verbindungsstrecke zwischen Tal- und Bergstation.<br />
sin(α) = h<br />
s<br />
→<br />
α = sin −1 ( h<br />
) → α = 29, 12°<br />
s<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bemerkung1: Höhenwinkel und Tiefenwinkel werden auch Neigungswinkel genannt.<br />
Bemerkung 2: Bei Diesen Berechnungen ist das Vorzeichen des Winkels ohne Bedeutung, weil es hier nur<br />
um die Größe geht.<br />
– Geben Sie die Steigung dieser Verbindungsstrecke in Prozent an.<br />
manfred.ambach 171 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Was bedeutet eigentlich die Steigung k einer Strecke (Geraden) ?<br />
Beispiel:<br />
Die Steigung k einer (geradlinigen) Strecke ist das<br />
Verhältnis von Höhenunterschied h und waagrecht gedachter Entfernung w,<br />
ist also der Tangens des Steigungswinkels<br />
Eine Steigung k von z.B. 12 % bedeutet, dass eine Strecke<br />
in w =100 m waagrechter Entfernung um h =12 m ansteigt.<br />
Damit gilt: Steigung k = h<br />
tan(α) = 0,12<br />
α = tan −1 (0,12) = 6,84°<br />
w<br />
= 12 % =<br />
12<br />
Nur zur Ansicht<br />
100<br />
= 0, 12 = tan(α)<br />
manfred.ambach 172 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Die Grundfläche einer Dachterrasse besitzt die Form eines Dreiecks mit den Seiten a, b und c.<br />
Folgende Informationen liegen vor:<br />
Der Umfang der Dachterrasse beträgt 36 m.<br />
Die Seite a ist eineinhalb Mal so lang wie b.<br />
Die Seite c um 100 cm länger als die Seite b.<br />
– Stellen Sie ein Gleichungssystem mit den Unbekannten a, b und c auf, mit dem sich diese Seitenlängen<br />
bestimmen lassen.<br />
– Ermitteln Sie die Längen der Seiten.<br />
– Berechnen Sie den größten Winkel in diesem Dreieck.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
I : a + b + c = 36<br />
II : a = 1,5 . b<br />
III : c = b + 1<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 173 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
II Algebra & Geometrie<br />
In jedem Dreieck gilt:<br />
Der größten Seite liegt der größte Winkel gegenüber.<br />
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos (α)<br />
15 2 = 10 2 + 11 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ cos (α)<br />
225 = 100 + 121 − 220 ⋅ cos (α)<br />
225 = 221 − 220 ⋅ cos(α) | − 221<br />
4 = −220 ⋅ cos(α) | ∶ (−220)<br />
−0,01818 = cos(α)<br />
cos −1 (−0,01818) = α<br />
91, 04° = α<br />
Da hab‘ ich gleich zwei Fragen:<br />
Was mach ich, wenn ich nicht weiß, dass der<br />
größten Seite der größte Winkel gegenüber<br />
liegt?<br />
Warum lösen wir die Gleichung<br />
15 2 = 10 2 + 11 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ cos (α)<br />
nicht mit GeoGebra?<br />
Kannst du, erhältst aber<br />
Dann musst du alle Winkel<br />
berechnen.<br />
Um die entsprechenden Grad zu finden, müsstest du den Winkel 1,59 vom Bogenmaß ins Gradmaß verwandeln<br />
(siehe S 147) und außerdem wissen, dass für ein Dreieck k1 = 0 zu setzen ist.<br />
Nur zur Ansicht<br />
https://www.youtube.com/watch?v=xsCR34mblpo&t=348s<br />
manfred.ambach 174 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
III FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE<br />
6. FUNKTIONEN<br />
Wer auf andere Leute wirken will,<br />
der muss erst einmal in ihrer Sprache mit ihnen reden.<br />
Kurt TUCHOLSKY<br />
( 1890 – 1935 )<br />
Idee: Univ. Prof. Dr. Stefan SILLER<br />
Nur zur Ansicht<br />
Der grundlegende Unterschied zur ELEMENTARGEOMETRIE ( Kapitel 4 ) und TRIGONOMETRIE ( Kapitel 5 ) besteht darin,<br />
dass wir uns hier nicht mit der Berechnung von Längen, Flächen, Rauminhalten oder Winkeln befassen, sondern<br />
unser Interesse den Bedingungen für Punkte, die auf einer Linie liegen.<br />
Jede Linie, gleich ob sie unendlich lange oder begrenzt ist, setzt sich aus unendlich vielen Punkten zusammen.<br />
Die Gleichungen dieser Linien sind Maßgabe für die Koordinaten dieser Punkte. Deshalb spricht man auch von<br />
Koordinatengeometrie.<br />
Da wir nur zweidimensionale Fälle behandeln, stehen die x und y in jeder Linien-Gleichung<br />
für die x- und y- Koordinaten aller unzähligen Punkte, aus denen sich die jeweilige Linie zusammensetzt.<br />
Natürlich kann es nicht Aufgabe sein, die Koordinaten all dieser unendlich vielen Punkte zu bestimmen. Vielmehr<br />
müssen alle anderen Größen gegeben sein, damit die Gleichung eine konkret bestimmte Linie beschreibt.<br />
manfred.ambach<br />
175<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Hier Beispiele, die noch genaue Behandlung erfahren:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Polynomfunktion 1. Grades (lineare Funktion)<br />
y = k . x + d<br />
Gleichung beschreibt eine Linie, weil x und y vorkommen.<br />
x und y stehen für jeden der unendlich vielen Punkte,<br />
aus denen die Linie besteht.<br />
Gleichung beschreibt eine Funktion, weil y nur linear vorkommt.<br />
Gleichung beschreibt eine lineare Funktion (eine Gerade),<br />
weil x nur linear vorkommt.<br />
Gleichung beschreibt eine allgemeine lineare Funktion (Gerade),<br />
weil außer x und y noch andere Buchstaben vorkommen.<br />
y = 2 x + 1 beschreibt eine konkret gegebene lineare Funktion<br />
(Gerade), weil außer x und y nur Zahlen vorkommen.<br />
Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion)<br />
y = a . x² + b . x + c<br />
Gleichung beschreibt eine Linie, weil x und y vorkommen.<br />
x und y stehen für jeden der unendlich vielen Punkte,<br />
aus denen die Linie besteht.<br />
Gleichung beschreibt eine Funktion, weil y nur linear vorkommt.<br />
Gleichung beschreibt eine quadratische Funktion, weil die höchste<br />
Potenz von x quadratisch ist.<br />
Gleichung beschreibt eine allgemeine quadratische Funktion,<br />
weil außer x und y noch andere Buchstaben vorkommen.<br />
y = 3 x² +2 x – 1 beschreibt eine konkret gegebene<br />
quadratische Funktion, weil außer x und y nur Zahlen vorkommen.<br />
Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion)<br />
y = a . x³ + b . x² + c . x + d<br />
Nur zur Ansicht<br />
Gleichung beschreibt eine Linie, weil x und y vorkommen.<br />
x und y stehen für jeden der unendlich vielen Punkte,<br />
aus denen die Linie besteht.<br />
Gleichung beschreibt eine Funktion, weil y nur linear vorkommt.<br />
<br />
<br />
<br />
Gleichung beschreibt eine Funktion 3. Grades, weil die höchste Potenz<br />
von x hoch 3 ist.<br />
Gleichung beschreibt eine allgemeine Funktion 3. Grades,<br />
weil außer x und y noch andere Buchstaben vorkommen.<br />
y = 2 x³ +3 x² –4 x + 1 beschreibt eine konkret gegebene<br />
Funktion 3. Grades, weil außer x und y nur Zahlen vorkommen.<br />
manfred.ambach<br />
176<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.1. Koordinatensystem<br />
René DESCARTES<br />
( 1596 – 1650 )<br />
manfredambach<br />
y<br />
- 3<br />
- 2<br />
Wir verwenden ausschließlich das kartesische ( rechtwinkelige ) Koordinatensystem,<br />
benannt nach René DESCARTES, latinisiert, wie es zu seiner Zeit Mode war, Renatus<br />
CARTESIUS.<br />
DESCARTES war französischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler. Mit<br />
seinen Ideen und Auffassungen trug er maßgeblich zum Weltbild der Neuzeit bei.<br />
Zwar wurden seine naturwissenschaftlichen Theorien durch die NEWTONsche Physik zum<br />
Teil widerlegt bzw. ergänzt, doch gilt DESCARTES als Wegbereiter der mechanistischen<br />
Denkweise, die die zuvor Jahrhunderte gültige aristotelische Sicht der Naturphänomene<br />
hinter sich ließ und die Naturwissenschaften zu neuen Ufern führte.<br />
y- y-Achse<br />
- 1<br />
- 1<br />
- 2<br />
- 3<br />
+ 3<br />
+ 2<br />
+ 1<br />
+ 1 + 2 + 3<br />
Koordinaten - Ursprung<br />
x- x-Achse<br />
Die waagrechte Achse ist die x-Achse,<br />
die senkrechte Achse wird y-Achse<br />
genannt.<br />
Der Schnittpunkt der Koordinatenachsen<br />
ist der (Koordinaten-) Ursprung.<br />
Links des Ursprungs liegen die negativen<br />
x-Werte, rechts die positiven.<br />
Oberhalb des Ursprungs finden sich die<br />
positiven y-Werte, unterhalb die<br />
negativen.<br />
Die Koordinaten eines Punktes sind Strecken,<br />
gemessen vom Ursprung aus.<br />
Nur zur Ansicht<br />
1<br />
x<br />
1 4<br />
oder Ordinate<br />
P ( 4 / 3 )<br />
3<br />
y<br />
oder Stelle oder Argument<br />
oder Abszisse<br />
manfredambach<br />
manfred.ambach<br />
177<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
In allen Fällen sind die Achsen zu beschriften und auf beiden<br />
Achsen die Einheiten festzulegen (skalieren).<br />
Beispiel: Die Entwicklung der Weltbevölkerung seit dem Jahr 1700<br />
Jahresanfang<br />
Milliarden (Mrd.)<br />
1700 0,5<br />
1800 1,0<br />
1900 1,5<br />
1950 2,5<br />
1980 4,5<br />
2020 7,7<br />
Punkte werden in der Regel mittels (oder Kreuzchen) markiert.<br />
Nur besondere Punkte (siehe später) werden mit Großbuchstaben<br />
beschriftet.<br />
Das ist nicht immer möglich, wie das folgende Beispiel zeigt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Da die jeweilige Bevölkerungs-Zahl abhängig vom betrachteten Jahr ist, ist<br />
t … die Zeit in Jahren , die unabhängige Variable<br />
und<br />
Müssen auf der x-Ache<br />
und y-Achse immer die<br />
gleichen Einheiten<br />
gewählt werden?<br />
B … die Bevölkerungszahl in Milliarden (Mrd.) , die abhängige Variable<br />
Man schreibt dann B(t) und meint die Bevölkerungszahl in Abhängigkeit des betrachteten Jahres.<br />
Die unabhängige Variable kommt immer auf die waagrechte Achse,<br />
die abhängige Variable auf die senkrechte Achse.<br />
manfred.ambach<br />
178<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.2. Funktionen – allgemein<br />
6.2.1. Was ist eine Funktion?<br />
Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der JEDEM Element der sog. Definitionsmenge<br />
GENAU EIN Element der sog. Wertemenge zugeordnet wird.<br />
Die Wertemange nennt man auch Wertebereich oder Bildmenge.<br />
Beispiel:<br />
Kann mir mal einer erklären,<br />
was dieser Satz bedeuten<br />
soll??<br />
Wir betrachten die Körpergrößen verschiedener Personen.<br />
OK, lieber Fredo, ein Beispiel gefällig?<br />
Die sog Definitionsmenge Df besteht hier aus den (Vor-) Namen der gemessenen Personen, die Wertemenge Wf<br />
aus den dabei erhaltenen Körpergrößen:<br />
Df = { Conny, Fabian, Norbert, Sara, Tom }<br />
Wf = { 165 cm, 172 cm, 184 cm }<br />
Die Zuordnung lautet hier: Jeder Person wird ihre Körpergröße zugeordnet.<br />
Angenommen, Conny misst 172 cm, ebenso Fabian. Norbert ist 184 cm groß, Sara verfügt über eine<br />
Körpergröße von 165 cm und Tom von 184 cm. Dann sieht diese Funktion im sog. Pfeil - Diagramm<br />
wie folgt aus:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Im Pfeildiagramm erkennt man eine Funktion daran, dass von<br />
jedem Element der Definitionsmenge genau ein Pfeil abgeht.<br />
manfred.ambach<br />
179<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Würden wir beispielsweise jeder Person ihre<br />
Lieblingsspeise(n) zuordnen, so wäre diese Zuordnung<br />
nicht eindeutig und stellte keine Funktion dar.<br />
In nebenstehendem Beispiel isst Conny gerne Schnitzel und Mcs (Speisen<br />
von Mc Donald, Burger King, etc.). So führen von Conny zwei Pfeile weg.<br />
Fabians Favorit sind Spaghetti. Deshalb geht von Fabian nur ein Pfeil ab.<br />
Norbert führt Mcs als Lieblingsspeise an, dorthin führt sein Pfeil.<br />
Sara hat keine Lieblingsspeise, also geht auch kein Pfeil von ihrem<br />
Namen aus.<br />
Tom liebt Mcs und Gemüse, demnach gehen in diesem Fall zwei Pfeile<br />
von Tom aus.<br />
Funktionen begegnen uns oft im Alltag. Meist in grafischer Darstellung, wobei die Abhängigkeit einer Größe von<br />
einer anderen illustriert wird.<br />
Beispiel:<br />
Mcs<br />
Welche der folgenden Graphen stellt eine Funktion dar?<br />
A B C D<br />
Nur zur Ansicht<br />
Lösung: Nur C Warum? Weil nur bei C jedem x genau ein y zugeordnet ist.<br />
A B C D<br />
manfred.ambach<br />
180<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Beispiel einer Funktion:<br />
Um wie viel Uhr wird die Tageshöchsttemperatur erreicht?<br />
Allgemein gilt:<br />
Hier ist der Temperaturverlauf T in Zell am See<br />
in Abhängigkeit der Tageszeit t an einem<br />
Augusttag eines bestimmten Jahres<br />
wiedergegeben.<br />
t … unabhängige Variable<br />
T … abhängige Variable<br />
Man schreibt in diesem Fall T(t) und meint<br />
damit, dass die Temperatur T abhängig ist von<br />
der Tageszeit t .<br />
Diese nebenstehende Darstellung nennt man<br />
Funktionsgraph. Dieser wird mit T beschriftet.<br />
Zwischen 13:30 und 13:50 wird die<br />
Tageshöchsttemperatur erreicht.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Beispiel: Ein Heim und ein Land *<br />
T<br />
T<br />
Hungersnöte, politische Willkür und Unterdrückung hatten zur Folge, dass im 19. und 20. Jahrhundert Millionen Europäer ihren<br />
Kontinent verließen und ihr Glück in den Vereinigten Staaten von Amerika suchten.<br />
Nachfolgend ein Diagramm der Flüchtlingsströme:<br />
Die Anzahl E der Einwanderer pro Jahr ist in Abhängigkeit der Zeitdauer t in Jahren dargestellt.<br />
Es handelt sich also um eine Funktion E(t) .<br />
* Eine Zeile der US-Hymne<br />
manfred.ambach<br />
181<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Lesen wir folgende Daten aus dem Diagramm ab:<br />
a) Wie viele Menschen wanderten im Jahr 1910 in die USA ein?<br />
Im Jahr 1910 wanderten ca. 884 000 bis 905 000 Menschen in die USA ein<br />
b) Wann erreichte der Flüchtlingsstrom erstmals eine Größe von 800 000 Menschen pro Jahr?<br />
Nur zur Ansicht<br />
Im Jahr 1906 bzw. 1907 erreichte die Einwandererzahl erstmals eine Größe von 800 000.<br />
Es gilt wie in der Schule: bei Messfehler:<br />
Toleranzbereich ± 1 mm<br />
manfred.ambach<br />
182<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Der folgende Graph zeigt die Fahrt zweier Züge, TEE 24 und IC 640 auf der Strecke Salzburg – Stuttgart.<br />
– Kreuzen Sie die richtige Aussage an: [ 1 aus 5 ] *<br />
Beide Züge sind einschließlich Halte gleich lange unterwegs<br />
Der TEE fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 150 km/h<br />
Die Züge begegnen einander 200 km von Stuttgart entfernt.<br />
Der IC verlässt Stuttgart um 8:45<br />
Der TEE fährt bis zum ersten Halt 1,30 Stunden.<br />
* Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass von den 5 Aussagen genau eine richtig ist.<br />
Lösung:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Der TEE ist 3 h unterwegs, der IC 3,75 h.<br />
400 km<br />
v TEE = = 133,33 km/h<br />
3 h<br />
Sie begegnen einander 400-200 = 200 km von<br />
Stuttgart entfernt.<br />
Der IC verlässt Stuttgart um 8:30<br />
Der TEE fährt bis zum ersten Halt 1,5 h.<br />
! 1,5 h = 1 h 30 min ≠ 1,30 h<br />
Man muss beim [ 1 aus 5 ] – Format nichts rechnen, doch ist die Chance niedrig, durch Raten die richtige Lösung zu finden!<br />
manfred.ambach<br />
183<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.2.2. Bezeichnungen und Ausdrücke<br />
Aus Gründen der Übersicht seien hier die gängigen Begriffe und Benennungen für Funktionen zusammengefasst.<br />
A, B, C, . . . , P1 , P2 , . . . Punkte werden, wenn überhaupt, mit Großbuchstaben bezeichnet<br />
f , g , . . . , f 1 , f 2 , . . . Linien werden mit Kleinbuchstaben benannt. Ist auch der Name der Linie.<br />
Df . . . Definitionsmenge einer Funktion f<br />
Wf . . . Wertemenge bzw. Wertebereich bzw. Bildmenge einer Funktion f<br />
x . . . Elemente der Definitionsmenge bzw. x – Koordinate bzw. Stelle bzw. Argument<br />
bzw. unabhängige Variable bzw. Abszisse<br />
y . . . Elemente der Wertemenge bzw. Wertebereichs bzw. der Bildmenge bzw. abhängige Variable<br />
bzw. Ordinate<br />
y = f(x)<br />
f(x) . . . Funktionswert an der Stelle x bzw. Element der Wertemenge bzw. des Wertebereichs<br />
bzw abhängige Variable bzw. Ordinate<br />
Nur zur Ansicht<br />
Für Teilbereiche der reellen Zahlen ( R ) gibt es die<br />
Intervall-Schreibweise,<br />
wobei hier immer die unabhängige Variable gemeint ist.<br />
manfred.ambach<br />
184<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Beispiele und ihre Veranschaulichung:<br />
[ – 2 ; 3 ] bzw. [ – 2 ; 3 ]<br />
oder: −2 ≤ x ≤ 3<br />
] – 2 ; 3 ] bzw. ( – 2 ; 3 ]<br />
oder: −2 < x ≤ 3<br />
[ – 2 ; 3 [ bzw. [ – 2 ; 3 )<br />
oder: −2 ≤ x < 3<br />
] – 2 ; 3 [ bzw. ( – 2 ; 3 )<br />
oder: −2 < x < 3<br />
Beispiel:<br />
– Stelle den Graphen einer (natürlich gegebenen) Funktion im Intervall [ – 2 ; 3 ] dar.<br />
Schaut die eckige Klammer<br />
zur Zahl hin, wie z.B. bei [ –2<br />
oder bei 3 ] , ist die<br />
Randzahl eingeschlossen.<br />
Schaut die eckige Klammer<br />
von der Zahl weg, wie z.B.<br />
bei ] –2<br />
oder bei 3 [ , oder steht eine<br />
runde Klammer, ist die<br />
Randzahl ausgeschlossen.<br />
Ist ein Intervall angegeben, so wird der Funktionsgraph nur innerhalb dieser x-Werte gezeichnet.<br />
Demnach könnte die grafische Darstellung eine der Formen annehmen:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bemerkung: Natürlich muss die konkrete Funktionsgleichung gegeben sein, um ihren entsprechenden Graphen zeichnen zu<br />
können.<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 16<br />
- 2 - 1 0 1 2 3<br />
- 2 - 1 0 1 2 3<br />
- 2 - 1 0 1 2 3<br />
- 2 - 1 0 1 2 3<br />
Was ergibt aber die Summe der unendlich vielen Zahlen 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . ?<br />
Obwohl wir unendlich viele Zahlen addieren wird wohl kaum unendlich herauskommen, weil die<br />
zu summierenden Zahlen in der Folge immer kleiner werden.<br />
Intuitiv wird die Summe sicherlich über drei, jedoch kaum über fünf liegen.<br />
Fortsetzung S 195<br />
manfred.ambach<br />
185<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.2.3. Darstellungsarten<br />
Beispiel: Df = R und Wf = R<br />
Das bedeutet, sowohl die x- Werte als auch die y-Werte können jede reelle Zahl annehmen.<br />
Zuordnung: Jedem Element x wird sein Quadrat zugeordnet.<br />
(1) Funktionsterm: Allgemein weist ein Funktionsterm folgende Gestalt auf:<br />
Für unser Beispiel bedeutet das:<br />
f: Df Wf<br />
x<br />
f: R R<br />
y<br />
x x ²<br />
Bemerkung: Der Funktionsterm braucht nicht aufgestellt zu werden, er muss nur richtig gelesen werden können.<br />
(2) Funktionsgleichung: Die Funktionsgleichung gibt an, wie y gebildet wird.<br />
Funktionsterm: f: R R<br />
x x ²<br />
y<br />
Nur zur Ansicht<br />
Demnach lautet die Funktionsgleichung für unser Beispiel: y = x ²<br />
Statt y kann man auch f(x) schreiben.<br />
Beachte, dass die Elemente der Wertemenge nicht<br />
einfach mit y bezeichnet werden, sondern durch<br />
jenen Ausdruck, der ihre Bildung beschreibt.<br />
Da bei dieser Funktion jedem x sein Quadrat<br />
zuzuordnen ist, lautet y = x ²<br />
Insofern kann die Funktionsgleichung auch als f (x) = x ² angegeben werden.<br />
Bemerkung 1: Der Name der Funktion lautet nur f.<br />
Die Bezeichnung f (x) wird nur in der Funktionsgleichung verwendet.<br />
Beispiel: Die Gleichung der Funktion f lautet f(x) = x 2<br />
manfred.ambach<br />
186<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Bemerkung 2:<br />
Nicht jede Funktion besitzt die Gleichung f(x) = x 2 .<br />
Es gibt unzählige Möglichkeiten von Funktionsgleichungen.<br />
f(x) = 3<br />
4<br />
f(x) = x3<br />
8<br />
x 1 + 2 eine lineare Funktion, weil die höchste Potenz von x x 1 ist.<br />
f(x) = 4,45 . e 0,0023⋅x<br />
+ x eine Polynomfunktion 3. Grades, weil die höchste Potenz von x x 3 ist.<br />
eine Exponentialfunktion, weil x in der Hochzahl ( im Exponenten ) steht.<br />
All diese Funktionstypen werden wir in der Folge noch genau behandeln.<br />
Bemerkung 3: In den meisten unserer Beispiele sind Definitions– und Wertemenge immer alle reellen Zahlen ( R ), sodass nur<br />
in jenen Fällen, in denen D f bzw. W f nicht alle reellen Zahlen sein sollen, D f bzw. W f extra angegeben sind.<br />
(3) Wertetabelle: Wir ermitteln Punkte der Funktion, indem wir aus der Definitionsmenge ( hier R )<br />
Bemerkung:<br />
Wertetabelle:<br />
geeignete Zahlen-Werte wählen und mittels Funktionsgleichung die jeweils<br />
dazugehörigen Funktions-Werte berechnen.<br />
Geeignete x-Werte sind, wenn D f =R , bei vielen schulmathematischen Aufgaben Zahlen<br />
um den Wert null. Meistens ist das Intervall vorgegeben.<br />
x y = f (x) = x ²<br />
– 3 9<br />
– 2 4<br />
– 1 1<br />
0 0<br />
1 1<br />
2 4<br />
3 9<br />
Berechnungen:<br />
y = f (– 3) = ( –3 ) ² = 9<br />
y = f (– 2) = ( –2 ) ² = 4<br />
y = f (– 1) = ( –1 ) ² = 1<br />
y = f (0) = 0 ² = 0<br />
y = f (1) = 1 ² = 1<br />
y = f (2) = 2 ² = 4<br />
y = f (3) = 3 ² = 9<br />
(4) Funktions – Graph: Die Punkte werden in ein Koordinatensystem geeigneter Größe<br />
gezeichnet und durch eine Linie verbunden, da die Definitionsmenge D f = R<br />
und somit alle reellen Zahlen umfasst.<br />
Nur zur Ansicht<br />
<br />
Es ist möglich und manchmal auch nötig, die<br />
Einheiten in x – und y – Richtung verschieden<br />
groß zu wählen.<br />
<br />
Wenn die Gestalt des Graphen noch nicht<br />
konkret zum Ausdruck kommt, müssen weitere<br />
Punkte ermittelt werden.<br />
<br />
Die eingezeichneten Punkte werden durch eine<br />
entsprechende Linie verbunden<br />
manfred.ambach<br />
187<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
https://www.youtube.com/watch?v=dg2Oj5wZp3A<br />
6.2.4. Funktionen mit<br />
Beispiel:<br />
Stellen wir die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 1<br />
2 x3 − 2 x 2 + 3<br />
4<br />
Bemerkung: Diese Benutzeroberfläche findet sich in GeoGebra Classic 6.<br />
Nur zur Ansicht<br />
dar.<br />
Wir geben die<br />
Funktionsgleichung in das<br />
Algebra – Fenster ein.<br />
Auf ENTER gedrückt und<br />
im Algebra-Fenster<br />
erscheint die<br />
Funktionsgleichung,<br />
im Grafik-Fenster der<br />
Graph der Funktion,<br />
sofern der Kreis<br />
ausgefüllt ist.<br />
Man kann den Kreis<br />
ausfüllen oder leer lassen,<br />
indem man mit der linken<br />
Maustaste in den Kreis<br />
klickt.<br />
manfred.ambach<br />
188<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Damit die Funktionsgleichung zur<br />
Gänze sichtbar wird, führt man mit<br />
der Maus das bzw. Pfeil-Symbol<br />
+<br />
auf die Trennungslinie von Algebraund<br />
Grafik-Fenster, bis das Symbol<br />
entsteht.<br />
Mit gedrückter linker Maustaste verschiebt man die Breite des Algebra-Fensters auf das gewünschte Maß.<br />
Auf diese Weise lassen sich alle Trennungslinien der sichtbaren Fenster verschieben.<br />
Wollen wir den Ausschnitt des<br />
Koordinatensystems im<br />
Grafik-Fenster verändern,<br />
gehen wir so vor:<br />
Wir schieben den Maus-Pfeil<br />
bzw. das Kreuz<br />
auf den Button .<br />
Damit öffnet sich das links<br />
abgebildete Fenster.<br />
Fahren wir mit dem Pfeil-bzw.<br />
Kreuz-Symbol auf<br />
Nur zur Ansicht<br />
so wird es blau hinterlegt.<br />
Dann klicken wir mit der linken<br />
Maustaste drauf.<br />
manfred.ambach<br />
189<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Auch die Linien-Farbe und die Linien-Stärke des Graphen lassen sich festlegen:<br />
Wandern wir mit dem Pfeil-<br />
Symbol ins Grafik-Fenster,<br />
so wird aus dem Pfeil eine<br />
Hand.<br />
Halten wir die linke<br />
Maustaste gedrückt, so<br />
können wir den<br />
Koordinatenausschnitt<br />
beliebig verschieben.<br />
Mit dem Maus-Rädchen<br />
kann man auch die Größe<br />
des Ausschnitts bestimmen.<br />
Wir wandern mit dem Pfeil- bzw. Kreuz-Symbol auf den Kreis<br />
links neben f(x) und betätigen die rechte Maustaste.<br />
Damit öffnet sich das links abgebildete Fenster.<br />
Dort klicken wir (mit linker Maustaste) Eigenschaften an<br />
Nur zur Ansicht<br />
Im rechten Bereich der Oberfläche öffnet sich die links abgebildete Fläche.<br />
manfred.ambach<br />
190<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Wollen wir die Farbe des Graphen verändern,<br />
klicken wir den Button Farbe an.<br />
Im sich öffnenden Farbspektrum kann eine Farbe durch Anklicken<br />
des betreffenden Quadrats gewählt werden.<br />
Ich habe mich für blau mit den RGB-Anteilen 0, 0, 204 entschieden.<br />
Die Funktionsgleichung erscheint in der<br />
gewählten Farbe.<br />
Zur Wahl der Linienstärke klicken wir auf den<br />
Befehl Darstellung.<br />
Mit gedrückter linker Maustaste können wir den<br />
Regler auf die gewünschte Linienstärke schieben.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Sollte das Koordinatengitter nicht angezeigt<br />
sein:<br />
Mit dem Kreuz-Symbol ins Grafik-Fenster und dort die<br />
rechte Maustaste drücken.<br />
Es öffnet sich das links gezeigte Fenster.<br />
Bei Koordinatengitter das Häkchen setzen.<br />
manfred.ambach<br />
191<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Punkte bestimmen<br />
Man kann sowohl grafisch als auch rechnerisch Punkte einer Funktion ermitteln.<br />
Punkt graphisch bestimmen<br />
Angenommen, wir wollen die Koordinaten des<br />
Punktes auf der y-Achse erhalten.<br />
Klicke das Symbol<br />
unterhalb<br />
öffnet sich folgendes Fenster:<br />
an und<br />
Hier klicken wir<br />
diesen Befehl an.<br />
Fahre mit dem Kreuz-Symbol genau auf diesen Punkt,<br />
bis ein Pfeil in der abgebildeten Form entsteht . . .<br />
Nur zur Ansicht<br />
. . . und klicke die linke Maustaste.<br />
GeoGebra markiert den Punkt im Grafik-<br />
Fenster und bezeichnet ihn (A).<br />
Im Algebra-Fenster erscheint dieser Punkt<br />
mit seinen Koordinaten.<br />
manfred.ambach<br />
192<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Will man den Punkt umbenennen:<br />
Punkt rechnerisch bestimmen<br />
Den Punkt im Algebra-Fenster mit der rechten<br />
Maustaste anklicken.<br />
Nebenstehendes Fenster erscheint.<br />
Mit dem Mauszeiger auf den Befehl<br />
Umbenennen gehen und mit der linken<br />
Maustaste klicken.<br />
Im auftretenden Fenster die gewünschte<br />
Bezeichnung eingeben (z.B. P )<br />
und die OK-Taste betätigt.<br />
Im Algebra-Fenster und<br />
im Grafik-Fenster erscheint der Punkt mit neuer<br />
Bezeichnung.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Wenn wir z.B. die y-Koordinate des Punktes der Funktion f an der Stelle x = 0<br />
wollen, schreiben wir in die Eingabe-Zeile f(0).<br />
ENTER betätigt und der Wert der y-Koordinate erscheint im Algebra-Fenster.<br />
Bemerkung: GeoGebra benennt alle numerischen Ergebnisse<br />
in alphabetischer Reihenfolge, beginnend mit a .<br />
Damit wissen wir, der gesuchte Punkt hat die Koordinaten ( 0 / 0,75 ) .<br />
manfred.ambach<br />
193<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Aufgabe der Zentralmatura am 10.05.2016<br />
Betrachtet man den Querschnitt eines Blutgefäßes vereinfacht als Kreis, so lässt sich die<br />
Strömungsgeschwindigkeit des Blutes in Blutgefäßen näherungsweise durch die Funktion v beschreiben:<br />
v(x) = v max ⋅ (1 − x2<br />
2) mit 0 ≤ x ≤ R<br />
x ... Abstand von der Mitte des Blutgefäßes in Metern (m)<br />
v(x) ... Strömungsgeschwindigkeit des Blutes im Abstand x in m/s<br />
v max ... maximale Geschwindigkeit des Blutes in Metern pro Sekunde (m/s) mit v max > 0<br />
R ... Radius des Blutgefäßes in m<br />
– Skizzieren Sie den Graphen dieser Funktion v in der nachstehenden Abbildung. [1 Punkt]<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
v(x) bedeutet, dass x die unabhängige Variable ist und v die abhängige.<br />
Für alle anderen Buchstaben, in dem Fall für vmax und R, wählen wir frei erfundene Zahlen (nicht 0 oder 1) und<br />
stellen diese Funktion in GeoGebra dar:<br />
Zum Beispiel<br />
vmax =2<br />
R = 3<br />
R<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Kurve liegt laut Angabe nur im positiven x-Bereich<br />
(0≤x≤R) und reicht dort bis R (bei uns R = 3).<br />
Auch in der Senkrechten soll es die Kurve nur im<br />
Positiven geben und zwar bis vmax (bei und vmax =2).<br />
Demnach hat die Kurve skizziert den nebenstehenden<br />
Verlauf.<br />
manfred.ambach<br />
194<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
https://www.youtube.com/watch?v=dg2Oj5wZp3A<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 17<br />
Vielleicht führt uns folgender Gedankengang zum Ziel:<br />
Summe = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . .<br />
1<br />
2 Summe = 1<br />
2 (2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . )<br />
1<br />
2 Summe = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 . . .<br />
Fortsetzung S 195<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 18<br />
Summe = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1<br />
+ 1<br />
+ 1<br />
16 32<br />
64 + . . .<br />
Nur zur Ansicht<br />
− 1<br />
2 Summe = −1 − 1 2 − 1 4 − 1 8 − 1<br />
− 1<br />
+ –<br />
1<br />
16 32<br />
Summe − 1<br />
2 Summe = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 . . .<br />
1<br />
2 Summe = 2 | . 2<br />
64 − . . .<br />
Summe = 4<br />
Fortsetzung S 200<br />
manfred.ambach<br />
195<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.2.5. Eigenschaften von Funktionen<br />
6.2.5.1. Nullpunkte<br />
Nullpunkte sind Punkte der Linie,<br />
die auf der x-Achse liegen.<br />
Alle Punkte auf der x-Achse haben y = 0.<br />
Suchen wir die Nullpunkte, dann wollen wir jene<br />
Punkte der Linie mit<br />
y = 0 bestimmen,<br />
also setzen wir<br />
y = 0<br />
Bemerkung: In der obigen Skizze mit einer beliebigen Funktion sind die Nullpunkte der Reihe nach von links nach rechts<br />
nummeriert. Es spielt aber keine Rolle, welcher der Nullpunkte mit N 1 , N 2 usw. bezeichnet wird.<br />
Die Reihenfolge der Beschriftung ist also unerheblich.<br />
Beispiel:<br />
Bestimme die Nullpunkte der Funktion f(x) = 1<br />
8 x3 − 3<br />
2 x2 + 9<br />
x 2 .<br />
Nullpunkte mit<br />
<br />
<br />
f<br />
Nur zur Ansicht<br />
Funktionsgleichung in Eingabe-<br />
Zeile<br />
ENTER gedrückt<br />
<br />
Funktionsgleichung erscheint im<br />
Algebra-Fenster,<br />
Funktions-Graph im Grafik-<br />
Fenster.<br />
manfred.ambach<br />
196<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
In die Eingabe-Zeile schreiben wir den Befehl<br />
Nullstelle[ ]<br />
Es reicht, die ersten Buchstaben des Wortes Nullstelle einzugeben.<br />
Erscheint der Befehl Nullstelle[ ] , so wird dieser<br />
angeklickt.<br />
Bemerkung: Die Nullstelle ist die x-Koordinate des Nullpunktes.<br />
Da unsere Funktion f heißt, schreiben wir in das Feld f:<br />
Somit erscheinen alle Nullpunkte, in diesem Beispiel A (0/0) und B (6/0), sowohl im Algebra-Fenster als auch<br />
eingezeichnet im Grafik-Fenster.<br />
Bemerkung: GeoGebra benennt Punkte in alphabetischer Reihenfolge. Will man sie umbenennen:<br />
Die tiefgestellte 1 bei N 1 erhält man, indem man N_1 eingibt.<br />
Damit lauten die Koordinaten der Nullpunkte von f : N1 ( 6 / 0 ) N2 ( 0 / 0 )<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bemerkung: Derzeit interessieren nur Nullpunkte.<br />
https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38<br />
manfred.ambach<br />
197<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.2.5.2. Monotonie<br />
Eine Funktion f ist streng monoton steigend<br />
( streng monoton wachsend ),<br />
wenn mit wachsendem x<br />
die Funktionswerte y = f (x) immer größer werden.<br />
Eine Funktion f ist streng monoton fallend ,<br />
wenn mit wachsendem x<br />
die Funktionswerte y = f (x) immer kleiner<br />
werden.<br />
wachsendes x bedeutet, die x-Werte werden immer größer. Wir betrachten also die Funktion in Schreibrichtung:<br />
von links kommend, nach rechts schauend<br />
Ist eine Funktion monoton steigend, so steigen in dieser Blickrichtung auch die entsprechenden y-Werte,<br />
sie werden also größer.<br />
Ist eine Funktion monoton fallend, so werden die y-Werte in dieser Blickrichtung immer kleiner.<br />
Denke dir den Funktionsgraphen als Berg- und<br />
Tallandschaft, die du in Schreibrichtung durchwanderst.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Dort, wo du bergauf gehst, es also ansteigt,<br />
ist der Graph monoton steigend in jenen Bereichen,<br />
wo's bergab geht, monoton fallend.<br />
Im höchsten Punkt H und tiefsten Punkt T ist die<br />
Funktion weder steigend noch fallend, da es hier<br />
weder bergauf noch bergab geht.<br />
Hier ist die Steigung null.<br />
manfred.ambach<br />
198<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Hier verwechselst du Ursache mit Wirkung,<br />
lieber Fredo!<br />
monoton [ monos (griechisch): allein,<br />
teinein (griechisch): spannen ]<br />
Gespannt wurden Saiteninstrumente um ihnen Töne zu entlocken. " Alleine spannen " bedeutet so viel wie regelmäßiger, reiner<br />
Klang. In diesem Sinne können wir monoton mit regelmäßig übersetzen. Spricht jemand monoton, so meint das eine<br />
gleichbleibende Sprechweise ohne Veränderung der Tonlage oder Lautstärke. Die Wirkung beim Zuhörer kann Langeweile sein.<br />
Beispiel:<br />
Monoton heißt doch langweilig!<br />
Welch heißes Thema ist das denn?<br />
Bestimme die Monotonie der abgebildeten Funktion mit D f = R.<br />
Von links nach rechts (in Schreibrichtung) geschaut:<br />
Für alle x-Werte bis zu x = 2 werden die y-Werte der Funktion immer größer.<br />
Von x = − ∞ bis (ausschließlich) x = 2 ist die Funktion demnach monoton steigend.<br />
Bei x = 2 wachsen oder fallen die Funktionswerte nicht, weil dort der höchste Punkt liegt,<br />
bei dem es weder bergauf noch bergab geht.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Nach x = 2 bis (ausschließlich) x = 6 werden die y-Werte immer kleiner. In diesem Bereich ist die Funktion monoton<br />
fallend.<br />
Bei x = 6 fallen oder steigen die Funktionswerte nicht, weil dort der tiefste Punkt liegt,<br />
bei dem es weder bergab noch bergauf geht.<br />
Nach x = 6 steigen dann die y-Werte für alle weiteren x-Werte an. Die Funktion ist demnach ab hier immer<br />
monoton steigend.<br />
Wir schreiben:<br />
für ] − ∞ ; 2 [ bzw. (−∞ ; 2 ) bzw. x < 2 ist f monoton steigend, bedeutet Anstieg und positive Steigung,<br />
für ] 2 ; 6 [ bzw. ( 2 ; 6 ) bzw. 2 < x < 6 ist f monoton fallend, bedeutet Gefälle und negative Steigung,<br />
für ] 6 ; ∞ [ bzw. ( 6 ; ∞ ) bzw. x > 6 ist f monoton steigend, bedeutet Anstieg und positive Steigung.<br />
manfred.ambach<br />
199<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
https://www.youtube.com/watch?v=gdjhgyp0xKY<br />
6.3. Polynomfunktionen<br />
Polynomfunktionen bestehen in der Regel aus mehreren Gliedern ( + – ), wobei die unabhängige Variable ( x )<br />
in der Basis einer Potenz steht und sich nicht im Nenner befindet.<br />
Beispiele: f 1 (x) = 1<br />
f 2 (x) = x 2 + 3 4<br />
4 x1 − 2 Polynomfunktion 1. Grades ( lineare Funktionen )<br />
Polynomfunktion 2. Grades ( quadratische Funktionen )<br />
y = 1 8 x3 − 5x 2 − 3x + 1 Polynomfunktion 3. Grades ( kubische Funktionen )<br />
Polynomfunktionen werden auch ganzrationale Funktionen oder Potenzfunktionen genannt.<br />
Keine Polynomfunktionen sind z.B.:<br />
Auch Parabeln, weil ihre Graphen (ab 2. Grades) so bezeichnet werden.<br />
f 1 (x) =<br />
f 2 (x) = 2 x<br />
1 + x2<br />
2 x<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 19<br />
( gebrochen ) rationale Funktion<br />
Exponentialfunktion<br />
Die Summe der unendlich vielen Zahlen 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . = 4<br />
wird wohl nach diesem einleuchtenden Beweis richtig sein!<br />
Fortsetzung S 203<br />
manfred.ambach<br />
200<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.3.1. Polynomfunktionen 1. Grades ( lineare Funktionen )<br />
6.3.1.1. Gleichung einer linearen Funktion ( Geraden )<br />
In Gleichungen linearer Funktionen kommt x nur linear vor, das heißt, es hat die Hochzahl 1 und<br />
steht nicht im Nenner,<br />
y = f(x) kommt in jeder Funktion nur linear vor.<br />
Beispiele: f(x) = 1<br />
4 x1 − 2<br />
3x 1 + 2y 1 = 4<br />
Alle linearen Funktionen lassen sich auf folgende Form bringen:<br />
g: y = k . x + d<br />
Nur zur Ansicht<br />
Beachte: Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn angegeben.<br />
manfred.ambach<br />
201<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
( x / y ) . . . x und y stehen, wie in jeder Gleichung, die eine Linie beschreibt,<br />
für die x- und y- Koordinaten aller unendlich vielen Punkte, aus denen die Linie<br />
( hier die Gerade ) besteht.<br />
Bemerkung: Es kann also nie Aufgabe sein, diese Variablen, nämlich alle unendlich vielen Punkte, zu berechnen.<br />
d . . . Der Abstand ( die Distanz ) des Schnittpunktes der Geraden mit der y-Achse<br />
vom Koordinaten-Ursprung.<br />
k . . . Steigung ( Anstieg, Gefälle, Richtung, mittlere Änderungsrate m.Ä. ) der Geraden<br />
Die Steigung k ist festgelegt als<br />
tan ist die Winkelfunktion Tangens<br />
Beispiel: Eine Steigung von 12 %<br />
k = Gegenkathete<br />
Ankathete<br />
= G<br />
A<br />
= tan(α)<br />
Nur zur Ansicht<br />
Eine Steigung von 12 % =<br />
12<br />
100<br />
bedeutet,<br />
dass die Linie alle 100 Meter waagrechter Entfernung um 12 Meter ansteigt.<br />
manfred.ambach<br />
202<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Wählt man die Ankathete A = 1, so entspricht die Gegenkathete G immer der Steigung k der Geraden.<br />
Warum?<br />
k = G<br />
A = k<br />
1<br />
Ein Beispiel:<br />
Es sei k = 2<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 20<br />
Ja, die Summe dieser unendlich vielen Zahlen ist vier.<br />
Jedoch nicht, weil die einleuchtenden Folgerungen auf Seite 201 richtig sind!<br />
Das Eigenartige ist, dass auch noch so scheinbar einleuchtende Schlussfolgerungen<br />
kein Beweis für deren Richtigkeit sein müssen!<br />
3 :<br />
k = 2 2<br />
3 → k = 3<br />
1<br />
= k<br />
1<br />
= G<br />
A<br />
Fortsetzung S 211<br />
manfred.ambach<br />
203<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Kennzeichnend für lineare Zunahme (lineares Wachstum) ist, dass<br />
in gleichen waagrechten Abständen die senkrechten Abstände um den gleichen Wert zunehmen,<br />
Beispiel:<br />
dass also die y-Werte in gleichen x-Intervallen (x-Abständen)<br />
um den gleichen Wert zunehmen.<br />
Kennzeichnend für lineare Abnahme (linearen Zerfall) ist, dass<br />
in gleichen waagrechten Abständen die senkrechten Abstände um den gleichen Wert abnehmen,<br />
Beispiel:<br />
dass also die y-Werte in gleichen x-Intervallen (x-Abständen)<br />
um den gleichen Wert abnehmen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Beachte:<br />
manfred.ambach<br />
204<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
https://www.youtube.com/watch?v=_y5X81CbYyc&t=5s<br />
a) Eine Prepaid-Karte ist mit 25 Euro aufgeladen. Eine Gesprächsminute kostet 2 Cent.<br />
– Kreuze an, welche der folgenden Funktionsgleichungen das Guthaben G(x) nach x Gesprächsminuten<br />
beschreibt. [ 1 aus 5 ]<br />
G(x) = 25 – 2 . x<br />
G(x) = 2 500 – 0,02 . x<br />
G(x) = 0,02 . x + 25<br />
G(x) = – 2 . x + 25<br />
G(x) = 25 – 0,02 . x<br />
Angenommen, die Funktionsgleichung lautet G(x) = – 0,05 . x + 50<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
– Interpretieren Sie die Zahlen –0,05 und 50 im konkreten Sachzusammenhang.<br />
b) Jemand möchte ein Handy kaufen. Die Anzahlung beträgt 200 Euro, die monatliche Rate 20 Euro.<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Stellen Sie die lineare Funktionsgleichung G(x) für die Gesamtzahlung nach x Monaten auf.<br />
– Berechnen Sie die Gesamtzahlung nach einem Jahr.<br />
Lösungen: a) * 5. Alternative<br />
* –0,05 … pro Gesprächsminute sind 0,05 € zu zahlen<br />
50 … Anfangsguthaben in €<br />
b) * G(x) = 20 . x + 200 * 440 €<br />
manfred.ambach<br />
205<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.3.1.2. Proportionalität<br />
6.3.1.2.1. direkt proportional<br />
Eine Zuordnung (Funktion) heißt<br />
direkt proportional,<br />
wenn sich jeder y-Wert durch Multiplikation<br />
des entsprechenden x-Wertes<br />
mit derselben Zahl k ergibt.<br />
y = k . x<br />
k … Proportionalitätsfaktor<br />
In nebenstehendem Beispiel ist<br />
k = 2 → y = 2 . x<br />
Der Proportionalitätsfaktor k entspricht der Steigung<br />
der Geraden.<br />
Gezeichnet bedeutet direkte Proportionalität eine<br />
Gerade mit der Steigung k, die durch den Ursprung<br />
geht.<br />
Bei Schlussrechnungen (Dreisatz) bedeutet direkt proportional: „ Je mehr . . . . . . . desto mehr . . . . .“<br />
Beispiel:<br />
oder „ Je weniger . . . . desto weniger . . . . .“<br />
Nur zur Ansicht<br />
Pro gefahrenem Meter ist für einen Taxi-Transport 0,15 Cent zu bezahlen.<br />
– Bestimme die Fahrtkosten in Euro (ohne Grundgebühr) für einen 3,4 km langen Weg.<br />
Fahrtkosten y = 0,15 . x x … Fahrstrecke in Metern<br />
y = 0,15 . 3 400 = 510 Cent = 5,10 Euro.<br />
manfred.ambach<br />
206<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.3.1.2.2. indirekt proportional<br />
Eine Zuordnung (Funktion) heißt<br />
p … Proportionalitätsfaktor<br />
Im unteren Beispiel ist p = 2<br />
indirekt proportional,<br />
wenn die Multiplikation jedes y-Wertes<br />
mit dem entsprechenden x-Wert<br />
dieselbe Zahl ergibt.<br />
→ y = 2<br />
y . x = p → y = p<br />
x<br />
x<br />
Nur zur Ansicht<br />
Gezeichnet bedeutet indirekte Proportionalität eine sogenannte Hyperbel mit zwei Ästen, die bei x = 0<br />
nicht existiert (keinen y-Wert besitzt), weil mit y = p<br />
ein Bruch mit dem Nenner null entsteht<br />
0<br />
und die Division durch null nicht festgelegt ist.<br />
Bei Schlussrechnungen (Dreisatz) bedeutet indirekt proportional: „ Je mehr . . . . . . . desto weniger . . . . .“<br />
oder „ Je weniger . . . . desto mehr . . . . .“<br />
manfred.ambach<br />
207<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.3.1.3. Aufstellen einer Geradengleichung mit 2 gegebenen Punkten:<br />
Beispiel: Die Punkte A ( –2 / 1 ) und B ( 4 / 3 ) sind gegeben.<br />
Gesucht: die Gleichung der Geraden g(A,B) , die durch die Punkte A und B geht.<br />
Man schreibt in eine Zeile des Algebra-Fensters<br />
(der Eingabe-Zeile) den Befehl<br />
Polynom[ ]<br />
Auch hier reicht es, nur die ersten Buchstaben des Befehls zu<br />
schreiben.<br />
Es öffnet sich das links dargestellte Fenster. Hier klickt man<br />
den Befehl<br />
Polynom[ ] an.<br />
In < Liste von Punkten > schreibt man die Koordinaten der<br />
Punkte, die auf der Geraden liegen sollen.<br />
In GeoGebra:<br />
<br />
<br />
Statt des Schrägstrichs bei Koordinaten ein<br />
Beistrich<br />
Also: Statt (–2 / 1 ) schreibt man (–2, 1)<br />
Das Dezimalkomma ist ein Punkt<br />
ENTER betätigt und im Algebra-Fenster erscheint die Funktionsgleichung, im Grafik-Fenster der Graph (die<br />
Gerade).<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach<br />
208<br />
pro-test.at
#<br />
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Merken wir uns:<br />
Polynomfunktion<br />
nötig zum Aufstellen der Funktionsgleichung sind<br />
1. Grades 2 Punkte<br />
2. Grades 3 Punkte<br />
3. Grades 4 Punkte<br />
4. Grades 5 Punkte<br />
Sollte man nicht wissen welcher Zahlenwert die Steigung darstellt:<br />
Man schreibt in das Algebra-Fenster den Befehl Steigung und in die eckige Klammer den Namen der Funktion,<br />
in unserem Falle f.<br />
ENTER betätigt und der Wert der Steigung a = k = 0,33 erscheint im Algebra-Fenster.<br />
Im Grafik-Fenster wird ein Steigungsdreieck mit der Ankathete = 1 und der Gegenkathete k ersichtlich.<br />
Allgemeiner Befehl: Steigung( )<br />
Konkret auf das Beispiel bezogen:<br />
Wie zeigt man, ob ein Punkt auf einer Linie liegt?<br />
Beispiel: Liegt der Punkt P(4/3) auf der eben aufgestellten Geraden?<br />
grafisch:<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach<br />
209<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
rechnerisch:<br />
Siehe auch S 195<br />
a = 3 bedeutet, dass bei x = 4 der y-Wert = 3 ist, wie das dem Punkt P(4/3) entspricht.<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Die Pumpleistung P des Herzens in Litern pro Minute (L/min) in Abhängigkeit des Alters in Jahren kann annähernd<br />
durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Die Pumpleistung beträgt bei 15-jährigen 5,1 L/min und bei<br />
65-jährigen 2,6 L/min.<br />
– Stellen Sie die Gleichung der Funktion P auf.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Die Gleichung von P lautet: P(t) = −0,05 ⋅ t + 5,85<br />
t … Zeit in Lebensjahren<br />
P(t) … Pumpleistung in L/min nach t Lebensjahren<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser linearen Funktion im konkreten Sachzusammenhang.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
manfred.ambach<br />
210<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Links ist ein Steigungsdreieck gezeichnet.<br />
– Bestimme die Pumpleistung einer 50-jährigen Person.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
k = – 0,05 L/min<br />
Die Pumpleistung einer 50-jährigen Person beträgt 3,35 L/min.<br />
Im Sachzusammenhang bedeutet die Steigung k :<br />
k = G<br />
A =<br />
−0, 05 L/min<br />
1 Lebensjahr<br />
Die Pumpleistung nimmt pro Lebensjahr um<br />
0,05 L/min ab.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 21<br />
In unserem Fall haben wir angenommen, dass Rechengesetze für endlich viele Zahlen<br />
einfach auch für unendlich viele Zahlen gelten.<br />
Fortsetzung S 211<br />
manfred.ambach<br />
211<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.3.1.4. Lineare Bewegungsaufgaben<br />
Will sich jemand im Bereich der Technik, gleich welcher Sparte,<br />
(weiter-) bilden, ist es von Vorteil, Bewegungsdiagramme<br />
lesen zu können.<br />
Für das Grundverständnis ist keine Differentialrechnung nötig, wie das folgende Beispiel zeigt.<br />
Beispiel: (*)<br />
Was muss man alles wissen um solche Diagramme lesen zu können?<br />
Ein Radfahrer fährt den abgebildeten Hügel hinauf.<br />
Erkläre, welches der drei folgenden Diagramme die<br />
Bewegung des Radfahrers am besten beschreibt.<br />
t . . . Zeitdauer, die seit Beobachtungsbeginn, dem Zeit-Nullpunkt ( t = 0 ) vergangen ist.<br />
Nur zur Ansicht<br />
s (t) . . . Der Abstand vom Orts–Nullpunkt , nachdem die Zeitdauer t vergangen ist.<br />
s (t) ist nicht automatisch der zurückgelegte Weg!<br />
s (t) entspricht nur dann dem zurückgelegten Weg, wenn die Bewegung bei der Orts-Nullpunkt beginnt.<br />
(*) angelehnt an: G. MALLE u.a.: Mathematik verstehen. ÖBV-Verlag, Wien 2010, S 277.<br />
manfred.ambach<br />
212<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Sehen wir uns diesen Sachverhalt einmal an:<br />
Ein Radfahrer verlässt um 6:00 sein Haus<br />
und erreicht um 8:00 seinen Zielort.<br />
Als Zeit-Nullpunkt wählen wir die<br />
Abfahrtszeit 6:00 .<br />
Angenommen, der Orts-Nullpunkt ist beim<br />
Haus des Radfahrers gewählt. Dann<br />
entspricht die Entfernung des Radfahrers<br />
vom Orts-Nullpunkt 2 Stunden nach Start<br />
s (2) = 30 km dem zurückgelegten Weg<br />
(laut Skizze).<br />
Läge das Haus des Radfahrers 10 km<br />
nach dem Orts-Nullpunkt, verhielt es sich<br />
mit s (t) wie in nebenstehender Skizze.<br />
Der Radfahrer wäre dann 2 Stunden nach<br />
der Abfahrt 40 km vom Orts-Nullpunkt<br />
entfernt, hätte aber trotzdem nur einen<br />
Weg von<br />
s (2) = 40 km – 10 km = 30 km<br />
zurückgelegt.<br />
Für unser Beispiel gelte, der Radfahrer fährt vom Orts-Nullpunkt weg.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Mit den oben getroffenen Annahmen ergibt<br />
im Diagramm die Bewegung (die Fahrt)<br />
des Radfahrers, als Weg-Zeit-Funktion<br />
dargestellt<br />
eine Gerade ( lineare Funktion ), unter der<br />
Voraussetzung konstanter Geschwindigkeit.<br />
manfred.ambach<br />
213<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Was bedeutet das für die Geschwindigkeit v ?<br />
Benötigt der Radfahrer zwei Stunden für<br />
30 km, so legt er in einer Stunde 15 km zurück und<br />
fährt damit mit einer<br />
Geschwindigkeit von 15 km pro Stunde ( h )<br />
v =<br />
30 km<br />
2 h<br />
15 km<br />
= = 15 km/h<br />
1 h<br />
Die Geschwindigkeit v stellt also die<br />
Steigung der Geraden dar.<br />
Wenn ein geübter Radfahrer in 2 Stunden 60 km<br />
zurücklegt, dann fährt er in einer Stunde 30 km und<br />
fährt somit mit einer Geschwindigkeit von<br />
v =<br />
60 km<br />
2 h<br />
30 km<br />
= = 30 km/h<br />
1 h<br />
Nur zur Ansicht<br />
Vergleichen wir die letzten beiden Diagramme, so erkennen wir:<br />
Je höher die Geschwindigkeit,<br />
desto mehr Weg wird innerhalb der gleichen Zeit zurückgelegt,<br />
desto steiler verläuft die Gerade,<br />
desto größer ist ihre Steigung.<br />
Je geringer die Geschwindigkeit,<br />
desto weniger Weg wird innerhalb der gleichen Zeit zurückgelegt,<br />
desto flacher verläuft die Gerade,<br />
desto geringer ist ihre Steigung.<br />
manfred.ambach<br />
214<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Das gilt auch für Kurven<br />
Was bedeutet es, wenn die Linie von s(t) (in Schreibrichtung) bergab geht, also monoton fallend ist?<br />
Angenommen, eine Stunde nach Abfahrt befindet sich der<br />
Radfahrer 40 km vom Orts-Nullpunkt entfernt, drei<br />
Stunden nach Abfahrt beträgt sein Abstand vom Orts-<br />
Nullpunkt<br />
nur noch 10 km.<br />
Nur zur Ansicht<br />
➝ Er fährt zurück<br />
Widmen wir uns jetzt wieder unserem Ausgangsbeispiel:<br />
manfred.ambach<br />
215<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Welches der dargestellten Diagramme beschreibt nun die Fahrt des Radfahrers entsprechend?<br />
H<br />
Die Steigung der Kurve im<br />
Diagramm A nimmt zunächst ab.<br />
Der Radfahrer wird demnach<br />
immer langsamer, was bei steiler<br />
werdendem Gelände zu erwarten<br />
ist.<br />
Anschließend fährt er zurück, da<br />
die Kurve im Bewegungsdiagramm<br />
nach dem Hochpunkt H monoton<br />
fallend ist.<br />
Die Steigung der Kurve im<br />
Diagramm B nimmt zunächst zu.<br />
Der Radfahrer würde demnach<br />
immer schneller, obwohl das<br />
Gelände immer steiler wird.<br />
Mit flacher werdendem Gelände<br />
würde der Radfahrer immer<br />
langsamer, weil die Steigung der<br />
Kurve im Bewegungsdiagramm B<br />
geringer wird.<br />
Laut Bewegungsdiagramm C<br />
würde der Radfahrer zunächst<br />
zurückfahren, da die Kurve im<br />
ersten Abschnitt fallend ist.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Damit beschreibt nur das Bewegungsdiagramm<br />
die Fahrt des Radfahrers entsprechend.<br />
manfred.ambach<br />
216<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Tom und Chris sind Jogger. Tom wohnt in St. Johann/Pg. (JO), Chris in Schwarzach (S). Sie wohnen 6 km<br />
voneinander entfernt. Beide vereinbaren, einander entgegen und gleichzeitig los zu laufen. Tom läuft mit einer<br />
Durchschnittsgeschwindigkeit von 12 km/h, Chris mit 8 km/h.<br />
– Stellen Sie die lineare Weg-Zeit Funktionen beider Läufer auf, wobei s den Abstand von Toms Haus<br />
in St. Johann/Pg. nach der Zeitdauer t beschreiben soll.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Skizze für das Verständnis:<br />
f (x) = k . x + d<br />
allgemeine Gleichung der linearen Weg-Zeit Funktion s (t) = k . t + d<br />
Damit wir die konkreten Weg-Zeit Funktionen beider Läufer erhalten, müssen wir für beide Funktionen k und d<br />
bestimmen.<br />
Wir ermitteln jeweils zwei Punkte und können so die Funktionsgleichungen aufstellen:<br />
Wir wählen als Zeit-Nullpunkt<br />
als Orts-Nullpunkt<br />
den Start beider Läufer,<br />
Toms Haus in St. Johann / Pg.<br />
( Ist vorgegeben, weil laut Angabe s der Abstand von Toms Haus sein soll. )<br />
Nur zur Ansicht<br />
Tom: t in h s (t) in<br />
km<br />
0 0<br />
0,5 6<br />
Man darf nur einen Zeit-Nullpunkt und einen Orts-Nullpunkt wählen<br />
und nicht für jede der Bewegungen eigene.<br />
Zu Beobachtungsbeginn<br />
(beim Start) ist Tom 0 km vom<br />
Orts-Nullpunkt (seinem Haus)<br />
entfernt.<br />
Eine halbe Stunde später ist Tom<br />
6 km vom Orts-Nullpunkt<br />
entfernt, weil er ja in einer<br />
Stunde 12 km zurücklegt.<br />
y<br />
Chris: t in h s (t) in<br />
km<br />
0 6<br />
0,5 2<br />
Zu Beobachtungsbeginn<br />
(beim Start) ist Chris 6 km vom<br />
Ortsnullpunkt (von Toms Haus)<br />
entfernt. Eine halbe Stunde<br />
später ist er nur noch 2 km vom<br />
Orts-Nullpunkt entfernt, weil er<br />
bereits 4 km in Richtung Toms<br />
Haus zurückgelegt hat.<br />
manfred.ambach<br />
217<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Es ist ratsam, für die Zeiten solche Werte zu wählen, deren Abstände vom Orts-Nullpunkt innerhalb der<br />
gegebenen Strecke (hier 6 km) liegen. Ansonsten verlieren wir schnell die Anschaulichkeit.<br />
Tom:<br />
Chris:<br />
Bemerkung: Wenn man nicht umbenennt, gibt GeoGebra die Funktion als f(x) bzw. g(x) an und nicht als s(t).<br />
Man sieht:<br />
k entspricht der Geschwindigkeit, d dem Abstand von der Orts-Nullmarke<br />
zu Beobachtungsbeginn (t = 0)<br />
Das negative k bei Chris bedeutet, seine Bewegung erfolgt in entgegengesetzter Richtung zu Tom.<br />
– Ermitteln Sie, wann und in welcher Entfernung von Toms Haus sie einander treffen.<br />
Man trifft einander, wenn man zur selben Zeit am selben Ort ist.<br />
Der Treffpunkt T ist der Schnittpunkt beider Linien:<br />
Befehl in GeoGebra: Schneide[ , ]<br />
Für die Objekte werden die Namen der Funktionen<br />
eingegeben:<br />
Nur zur Ansicht<br />
( t / s )<br />
Der Schnittpunkt hat die Koordinaten (0,3 / 3,6)<br />
Sie treffen einander 0,3 Stunden nach dem Start in 3,6 km Entfernung von Toms Haus.<br />
manfred.ambach<br />
218<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Veranschaulichen wir uns die Graphen von Toms und Chris‘ Lauf noch:<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Nur zur Ansicht<br />
Ein Läufer startet um 8:00 mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 8 km/h.<br />
Eineinhalb Stunden später fährt ihm ein Radfahrer mit 20 km/h Durchschnittsgeschwindigkeit<br />
vom selben Ausgangsort nach.<br />
– Stellen Sie die lineare Weg-Zeit Funktionen beider Bewegungen auf.<br />
Möglicher Lösungsweg<br />
manfred.ambach<br />
219<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Skizze für das Verständnis:<br />
f (x) = k . x + d<br />
allgemeine Gleichung der linearen Weg-Zeit Funktion s (t) = k . t + d<br />
Damit wir die konkreten Weg-Zeit Funktionen beider Bewegungen erhalten, müssen wir jeweils k und d<br />
bestimmen.<br />
Wir ermitteln jeweils zwei Punkte und können so die Funktionsgleichungen aufstellen:<br />
Wir wählen als Zeit-Nullpunkt den früheren Zeitpunkt, also den Start des Läufers ( 8:00 ),<br />
als Orts-Nullpunkt<br />
Läufer: t in h<br />
Läufer:<br />
s (t) in km<br />
0 0<br />
1 8<br />
den gemeinsamen Startpunkt.<br />
Man darf nur einen Zeit-Nullpunkt und einen Orts-Nullpunkt wählen<br />
und nicht für jede der Bewegungen eigene.<br />
Zu Beobachtungsbeginn<br />
(beim Start) ist der Läufer<br />
0 km vom Orts-Nullpunkt<br />
(dem Startpunkt) entfernt.<br />
Eine Stunde später ist der Läufer<br />
8 km vom Orts-Nullpunkt<br />
entfernt, weil er ja in einer<br />
Stunde 8 km zurücklegt.<br />
y<br />
Rad: t in h s (t) in km Eineinhalb Stunden, nachdem<br />
der Läufer startete, ist der<br />
Radfahrer 0 km vom<br />
1,5 0 Ortsnullpunkt (Startpunkt)<br />
2,5 20 entfernt, da es für ihn erst jetzt<br />
losgeht. 2 1 Stunden nach Start<br />
2<br />
des Läufers ist der Radfahrer<br />
20 km vom Orts-Nullpunkt<br />
entfernt, weil er ja dann eine<br />
Stunde unterwegs ist und 20<br />
km zurücklegt hat.<br />
Radfahrer:<br />
Nur zur Ansicht<br />
s Läufer (t) = 8 t s Radfahrer (t) = 20 t − 30<br />
manfred.ambach<br />
220<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Was bedeutet denn d = – 30<br />
beim Radfahrer?<br />
Ist er zum Zeitpunkt t = 0<br />
minus 30 km von seinem eigenen<br />
Startpunkt entfernt ??<br />
Schauen wir uns folgende Zeichnung an:<br />
Würden Läufer und Radfahrer zur selben Zeit losstarten, dann müsste der Radfahrer 30 km hinter dem<br />
eigentlichen Startpunkt losfahren, damit er um 9: 30 beim Startpunkt des Läufers einträfe, wie es im Text<br />
vorgesehen ist.<br />
Diese der Bewegungsrichtung entgegengesetzte Entfernung wird durch das Minus bei − 30 km ausgedrückt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach<br />
221<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Bewegung vom Orts-Nullpunkt weg:<br />
Bewegung zum Orts-Nullpunkt hin:<br />
Nur zur Ansicht<br />
https://www.youtube.com/watch?v=Ix8-EJMtyjg&t=3s<br />
manfred.ambach<br />
222<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.3.2. Polynomfunktionen 2. Grades (quadratische Funktionen)<br />
Beispiele: f 1 (x) = 1<br />
Polynomfunktionen 2. Grades nennt man auch quadratische Funktionen,<br />
weil die höchste Potenz der unabhängigen Variablen (x) quadratisch ist.<br />
f 2 (x) = x 2 + 1<br />
4 x2 − 2x − 5<br />
Die allgemeine Form einer Polynomfunktion 2. Grades lautet:<br />
f (x) = a . x² + b . x 1 + c . x 0<br />
Die einfachste quadratische Funktion besitzt die Gleichung<br />
f(x) = x 2 ,<br />
deren Graph nebenstehenden Verlauf besitzt.<br />
Den Graphen einer Polynomfunktion 2. oder höheren Grades<br />
nennt man Parabel 2. Ordnung.<br />
Deshalb nennt man die Polynomfunktion 2. oder höheren<br />
Grades auch Parabel 2. bzw. 3. usw. Ordnung.<br />
Alle Polynomfunktionen 2. Grades verfügen über diese charakteristische Form, wenngleich nicht immer<br />
in besonderer Lage wie f(x) = x 2 .<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Graphen von Polynomfunktionen 2. und höheren Grades nennt man Parabeln.<br />
Betrachten wir jetzt inwieweit die Zahlen a, b und c den Graphen einer Funktion verändern:<br />
manfred.ambach<br />
223<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Am besten ist es, aktiv mitzuzeichnen.<br />
Zeichne zunächst f1 (x) = x 2 mit Hilfe von GeoGebra, dann<br />
f2 (x) = 2.x 2 , danach f3 (x) = 0,5.x 2 und schließlich für f4 (x) = –1.x 2 .<br />
Entsprechend auch für alle weiteren Funktionen.<br />
Man sieht:<br />
f (x) = a . ( x + b ) 2 + c<br />
Man sieht:<br />
a > 1 gestreckt<br />
0 < a < 1 gestaucht<br />
a < 0 gespiegelt an der x-Achse<br />
bezüglich der Ausgangsfunktion f (x) = x 2<br />
f (x) = a . ( x + b ) 2 + c<br />
Man sieht:<br />
b > 0 Verschiebung nach links<br />
b < 0 Verschiebung nach rechts<br />
bezüglich der Ausgangsfunktion f (x) = x 2<br />
f (x) = a . ( x + b ) 2 + c<br />
Nur zur Ansicht<br />
c > 0 Verschiebung nach oben<br />
c < 0 Verschiebung nach unten<br />
bezüglich der Ausgangsfunktion f (x) = x 2<br />
Beachte, dass in den Darstellungen f(x) = a x 2 + b x + c und f (x) = a . ( x+b ) 2 + c nur a der gleichen Zahl entspricht.<br />
manfred.ambach<br />
224<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Beispiel:<br />
Polynomfunktionen 2. Grades sind spiegel-symmetrisch bezüglich der Achse<br />
durch ihren tiefsten Punkt T bzw. höchsten Punktes H.<br />
Ordne den folgenden Graphen die passende Funktionsgleichung zu.<br />
........................................... .............................................<br />
Nur zur Ansicht<br />
........................................... .......................................<br />
f 1 (x) = −x 2 − 1 f 2 (x) = −x 2 + 2<br />
f 3 (x) = (x − 3) 2 f 4 (x) = x 2 + 1<br />
manfred.ambach<br />
225<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Aufgabe Kompensationsprüfung am 06.06.2018<br />
– Ordnen Sie den jeweiligen Aussagen über den Ursprung des Koordinatensystems die passende Form<br />
der Funktionsgleichung von p aus A bis D zu. [ 2 zu 4 ].<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Grafik: BMB<br />
Grafik: BMB<br />
Da der Graph der Funktion durch den Koordinaten-<br />
Ursprung geht, ist c = 0.<br />
B muss ≠ 0 sein, weil der Graph ansonsten<br />
symmetrisch zur y-Achse läge.<br />
p(x) = a . x² + b . x<br />
B 1. Feld<br />
Nur zur Ansicht<br />
Da der Graph der Funktion durch den Koordinaten-<br />
Ursprung geht, ist c = 0.<br />
Da der tiefste Punkt im Koordinaten-Ursprung liegt, ist<br />
der Graph symmetrisch zur y-Achse.<br />
b = 0<br />
p(x) = a . x²<br />
D 2. Feld<br />
manfred.ambach<br />
226<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Es gibt zwei Arten von Würfen:<br />
Vom Boden abgeschossen: Fußball, Golf, . . .<br />
x 1 , x 2 … Nullstellen<br />
H … höchster Punkt der Flugbahn<br />
x H … x-Koordinate von H<br />
y H … y-Koordinate von H = maximale Flughöhe<br />
Nicht vom Boden abgeschossen: Tennis, Federball . . .<br />
−x 1 , x 2 … Nullstellen<br />
H … höchster Punkt der Flugbahn<br />
x H … x-Koordinate von H<br />
… y-Koordinate von H = maximale Flughöhe<br />
y H<br />
Die Bahn eines Wurfes nennt man Wurfparabel.<br />
Jede Wurfparabel muss eine Polynomfunktion 2. Grades f(x) = a x 2 + b x + c mit negativem a sein.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
a) Ein Golfball wird in waagrechtem Gelände<br />
abgeschlagen. Die Flugbahn des Balles kann<br />
ohne<br />
Berücksichtigung des Luftwiderstandes<br />
näherungsweise durch die folgende Funktion<br />
beschrieben werden:<br />
f (x) = – 0,0016 x 2 + 0,16 x<br />
x … Wurfweite in Metern (m)<br />
f(x) … Wurfhöhe in m<br />
manfred.ambach<br />
227<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
– Berechnen Sie, wie weit der Golfball fliegt.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Skizze:<br />
Vor x² steht deswegen nur 0 , weil die Rundung auf<br />
2 Nachkommastellen eingestellt ist.<br />
GeoGebra Classic 5 GeoGebra Classic 6<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Flugweite beträgt 100 m.<br />
manfred.ambach<br />
228<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
b) – Bestimmen Sie die maximale Flughöhe des Balles.<br />
x H = x 1+ x 2<br />
2<br />
= 0+100<br />
2<br />
= 50<br />
y H = f(x H ) = f(50) = −0,0016 ⋅ 50 2 + 0,16 ⋅ 50 = 4<br />
Die maximale Flughöhe beträgt 4 Meter.<br />
c) – Dokumentieren Sie, wie die Wurfweite bestimmt werden kann, ohne eine konkrete Berechnung<br />
anzugeben.<br />
Dokumentieren bedeutet, dass der (allgemeine) Rechengang, der zum gesuchten Resultat führt,<br />
in Worten anzugeben ist.<br />
Setzt Funktion gleich null. Daraus entstehende Gleichung hat die Lösungen x 1 = 0 und x 2 > 0.<br />
Wurfweite beträgt x 2 Meter.<br />
d) – Stellen Sie mit Hilfe der Angaben aus folgender Skizze die Gleichung der Polynomfunktion<br />
2. Grades (der Wurfparabel) auf.<br />
Nur zur Ansicht<br />
f<br />
manfred.ambach<br />
229<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
f(x) = a x 2 + b x + c<br />
Offensichtlich liegt der Punkt (30/2,5) auf dem Funktionsgraphen.<br />
Da der Graph durch den Ursprung geht, ist auch (0/0) ein Punkt des Graphen.<br />
Bei x = 60 landet das Wurfobjekt auf dem Boden. Damit ist dort eine Nullstelle<br />
und der betreffende Nullpunkt lautet (60/0).<br />
Somit kennen wir drei Punkte der Funktion.<br />
https://www.youtube.com/watch?v=NwPOPkXEAX4<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 22<br />
Nur zur Ansicht<br />
Ein Beispiel, in dem die Rechengesetze endlich vieler Zahlen auf unendliche viele Zahlen nicht anwendbar sind:<br />
0 = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . .<br />
0 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . .<br />
0 = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . .<br />
0 = 1<br />
Fortsetzung S 243<br />
manfred.ambach<br />
230<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.3.3. Polynomfunktionen 3. und höheren Grades<br />
Die allgemeine Form einer Polynomfunktion 3. Grades lautet:<br />
Beispiele: f 1 (x) = − 1<br />
f (x) = a . x³ + b . x² + c . x 1 + d . x 0<br />
8 x3 − 2 x 2 − 5 x + 2 3<br />
Die allgemeine Form einer Polynomfunktion 4. Grades lautet:<br />
Beispiele: f 1 (x) = 1<br />
f 2 (x) = x 3 + 1<br />
f (x) = a . x 4 + b . x³ + c . x² + d . x 1 + e . x 0<br />
Charakteristische Verläufe solcher Funktionen:<br />
16 x4 − 2 x 2 − 1<br />
8 x3 + 2 3 x2 − 2 x + 4 f 2 (x) = x 4 + 1<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach<br />
231<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
a) Die Pulsfrequenz eines Läufers lässt sich für die ersten 5 Minuten durch folgende Funktion beschreiben:<br />
P(t) = 3,75 ⋅ t 3 − 36,75 ⋅ t 2 + 92,5 ⋅ t + 60<br />
für 0 ≤ t ≤ 5<br />
P(t) . . . Pulsfrequenz in Herzschlägen pro Minute, t Minuten nach dem Start<br />
t<br />
. . . Zeit in Minuten nach dem Start<br />
0 ≤ t ≤ 5 bedeutet, dass die Kurve nur für die ersten 5 Minuten die Pulsfrequenz beschreibt.<br />
– Ermitteln Sie die Pulsfrequenz zwei Minuten nach dem Start.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Zwei Minuten nach dem Start beträgt die Pulsfrequenz 128 Herzschläge pro Minute.<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Bestimmen Sie, wie viel Minuten nach dem Start die Pulsfrequenz 100 Herzschläge/min beträgt?<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
P(t) = 100:<br />
t 1 = 0,54 min t 2 = 3,29 min ! t 3 = 5,96 min liegt nicht zwischen 0 ≤ t ≤ 5<br />
0,54 Minuten und 3,29 Minuten nach dem Start beträgt die Pulsfrequenz 100 Schläge/min.<br />
manfred.ambach<br />
232<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
b) Die Pulsfrequenz eines anderen Läufers kann ebenfalls durch eine Polynomfunktion 3. Grades beschrieben<br />
werden.<br />
Beim Start beträgt die Pulsfrequenz 65 Herzschläge pro Minute (H/min), zwei Minuten nach dem Start beträgt<br />
die Pulsfrequenz 140 H/min, nach weiteren 6 min beträgt die Pulsfrequenz nur noch 135 H/min.<br />
Eine viertel Stunde nach dem Start beträgt die Pulsfrequenz noch 130 H/min.<br />
– Stellen Sie das Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten der Polynomfunktion bestimmt<br />
werden können.<br />
– Bestimmen Sie die Koeffizienten.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Koeffizienten: Die Vorzahlen a, b, c und d der Funktionsgleichung f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d<br />
Allgemeine Gleichung einer Polynomfunktion 3. Grades: f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d<br />
Wir haben vier Bestimmungsstücke ( a , b , c und d ) und benötigen deshalb vier Gleichungen<br />
in diesen Größen.<br />
Gleichungen →<br />
Jetzt gehen wir mit dem Pfeil-Symbol auf die jeweilige<br />
Zeilennummer der Gleichungen für a, b, c und d<br />
und klicken die Zeilennummer mit der linken<br />
Maustaste an, während wir die<br />
gedrückt halten.<br />
CAS - Fenster<br />
Damit lautet das Gleichungssystem für a, b c und d:<br />
I : d = 65<br />
II : 8 a + 4 b + 2 c + d = 140<br />
III : 512 a + 64 b + 8 c + d = 135<br />
IV : 3 375 a + 225 b + 15 c + d = 130<br />
-Taste<br />
Damit werden die entsprechenden Zeilennummern<br />
blau hinterlegt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Danach aktivieren wir (mit der linken Maustaste)<br />
die nächstleere Zeile, so dass dort der Cursor (rot)<br />
blinkt<br />
und klicken das Symbol an.<br />
Damit erscheinen die Werte für a, b, c und d.<br />
Klicken wir statt<br />
auf das Symbol<br />
manfred.ambach<br />
anklicken, so erhalten wir die Werte in<br />
Dezimalzahlen.<br />
233<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Angry Birds<br />
Beispiel Zentralmatura am 20.9.2016<br />
Bei einem Angriff durch einen Vogel auf ein Schwein kann die Flugbahn durch den Graphen<br />
Der Funktion f beschrieben werden.<br />
f(x) = 1 ⋅ x³ – 3 ∙ x² + 4 ∙ x + 4 mit x ≥ 0<br />
2<br />
x ... horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in LE (Längeneinheiten)<br />
h(x) ... Flughöhe des Vogels über dem horizontalen Boden an der Stelle x in LE<br />
Ein Schwein befindet sich im Punkt P = (4|5).<br />
– Ermitteln Sie den Abstand des Schweins vom Abschusspunkt.<br />
Die Funktionsgleichung wird eingegeben.<br />
Der Punkt, ohne seinen Namen P, ebenfalls<br />
Um sicher zu gehen, wie groß der y-Wert ander<br />
Abschuss-Stelle x = 0 ist, geben wir f(0)<br />
ein<br />
und erhalten y = f(0) = 4<br />
Damit wissen wir die Koordinaten des<br />
Abschusspunktes und geben sie ein.<br />
GeoGebra benannte die Punkte A und B.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Damit stellt sich im Grafik-Fenster nebenstehendes Bild dar.<br />
manfred.ambach<br />
234<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Der Abstand vom Abschusspunkt zum Schwein entspricht der Strecke zwischen den Punkten B und A.<br />
– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Punkt P auf der Flugbahn des Vogels liegt.<br />
Der Abstand des Schweins vom Abschusspunkt<br />
beträgt 4,12 LE.<br />
Wenn P, den GeoGebra mit A benannte, auf der Flugbahn f liegt, so muss P an der Stelle x = 4 denselben y-Wert<br />
besitzen, wie die Funktion an der Stelle x = 4:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Funktion f hat an der Stelle x = 4 den<br />
y-Wert 4, der Punkt P=A aber den y-Wert 5.<br />
Demnach kann der Punkt P nicht auf dem<br />
Graphen von f liegen!<br />
manfred.ambach<br />
235<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Zusammenfassung<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach<br />
236<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Lösung:<br />
– Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so,<br />
dass eine korrekte Aussage entsteht.<br />
Ist eine Polynomfunktion ______1_________ , so hat sie _______2_______ .<br />
2. Grades<br />
2<br />
3. Grades<br />
4. Grades<br />
1<br />
6.3.4. Gerade und ungerade Polynomfunktionen<br />
6.3.4.1. Gerade Polynomfunktionen<br />
Nur zur Ansicht<br />
Gerade Funktionen besitzen nur gerade Potenzen, also Potenzen mit geraden Hochzahlen.<br />
2. Grades: f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x 0<br />
4. Grades: f(x) = a ⋅ x 4 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x 0<br />
2<br />
mindestens einen Nullpunkt<br />
2<br />
mindestens 2 Nullpunkte<br />
mindestens 3 Nullpunkte<br />
Gerade Funktionen liegen spiegelsymmetrisch zur y-Achse.<br />
Beispiele für gerade Funktionen:<br />
manfred.ambach<br />
237<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Verwechsle nicht gerade Funktionen (spiegelsymmetrisch zur y-Achse)<br />
mit Geraden, den Graphen linearer Funktionen.<br />
6.3.4.2. Ungerade Polynomfunktionen<br />
Ungerade Funktionen besitzen nur ungerade Potenzen, also Potenzen mit ungeraden Hochzahlen.<br />
1. Grades: f(x) = a ⋅ x 1<br />
3. Grades: f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 1<br />
Ungerade Funktionen liegen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.<br />
Beispiele für ungerade Funktionen:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Ungerade Funktionen besitzen kein konstantes Glied (bzw. das konstante Glied ist null):<br />
f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x 1 + d ⋅ x 0 → f(x) = a ⋅ x 3 + c ⋅ x<br />
Der Graph ungerader Funktionen geht demnach immer durch den Koordinatenursprung.<br />
manfred.ambach<br />
238<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.4. Exponential – und Logarithmusfunktionen<br />
6.4.1. Eigenschaften<br />
Sowie Potenz– und Wurzelfunktionen die gegenseitigen Umkehrfunktionen sind,<br />
verhält es sich auch bei den Exponential– und Logarithmusfunktionen:<br />
Potenzfunktion bzw. Polynomfunktion<br />
Exponentialfunktion<br />
Exponential – Funktionen<br />
Bei Exponentialfunktionen steht<br />
die Variable im Exponenten ( in der Hochzahl )<br />
Logarithmus – Funktionen<br />
Bei Logarithmusfunktionen steht<br />
die Variable im Argument<br />
Bsp.: f(x) = 2 x Bsp.: f(x) = log 2 (x)<br />
Nur zur Ansicht<br />
Folgende Bezeichnungen gelten:<br />
Wurzelfunktion<br />
Logarithmusfunktion<br />
Argument bzw. Logarithmand<br />
log a (x)<br />
Basis<br />
Bemerkung: Manchmal liest man statt log a (x) auch die Schreibweise<br />
a<br />
log (x)<br />
manfred.ambach<br />
239<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Der Zusammenhang zwischen Exponential– und Logarithmusfunktion:<br />
a x = u log a (u) = x<br />
Beispiele: 2 3 = 8 ↔ log 2 (8) = 3<br />
Beispiel: Ermittle x:<br />
log 3 (x) = 2<br />
Vor der Berechnung:<br />
10 2 = 100 ↔ log 10 (100) = 2<br />
↔ 3 2 = x → 9 = x<br />
log x (16) = 4 ↔ x 4 = 16 | √ 4 → x = 2<br />
log 7 (343) = x ↔ 7 x = 343 ... Exponentialgleichung<br />
Rechenregeln für Logarithmen<br />
L1: log a (u . v) = log a (u) + log a (v)<br />
L2: log a ( u<br />
v ) = log a(u) − log a (v)<br />
L3: log a (u n ) = n . log a (u)<br />
Nur zur Ansicht<br />
m<br />
L4: log a ( √ u<br />
) =<br />
Für Logarithmen bestimmter Basen gibt es eigene Abkürzungen:<br />
1<br />
m . log a(u)<br />
Name Schreibweise Casio<br />
m<br />
log a ( √u n<br />
) = n<br />
m ⋅ log a(u)<br />
dekadischer Logarithmus<br />
log 10 (x) = lg (x)<br />
4.Reihe, links<br />
natürlicher Logarithmus<br />
( logarithmus naturalis )<br />
log e (x) = ln (x)<br />
3. Reihe, rechts<br />
manfred.ambach<br />
240<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Zurück zur Exponentialgleichung:<br />
7 x = 343 | ln<br />
Bemerkung 1:<br />
ln (7 x ) = ln (343)<br />
. . . L 3<br />
x ⋅ ln(7) = l n(343) | ∶ ln (7)<br />
x = ln(343)<br />
x = 3<br />
ln(7)<br />
Während man z.B. bei x² die Quadratwurzel ziehen muss, um x zu erhalten, braucht bei 7 x nicht der log 7 gewählt<br />
werden.<br />
Bemerkung 2:<br />
ln (7 x ) bedeutet ln von 7 x<br />
ln (343) bedeutet ln von 343<br />
Also nicht die ln am Bruch kürzen!<br />
Beispiel:<br />
Bestimme x: 1,15 x+1 = 36,25<br />
1,15 x+1 = 36,25 | ln<br />
ln(1,15 x+1 ) = ln(36,25)<br />
(x + 1) ⋅ ln(1,15) = ln(36,25) | ∶ ln(1,15)<br />
x + 1 = ln(36,25) | − 1<br />
ln(1,15)<br />
x = ln(36,25)<br />
ln(1,15) − 1<br />
Nur zur Ansicht<br />
x = 24,69<br />
Beispiel:<br />
Bestimme x: 3 . 0,95 2x−1 = 12<br />
3 . 0,95 2x−1 = 12 | ∶ 3<br />
0,95 2x−1 = 4 | ln<br />
ln(0,95 2x−1 ) = ln(4)<br />
(2x − 1). ln(0,95) = l n(4) | ∶ ln(0,95)<br />
2x − 1 =<br />
2x =<br />
x =<br />
ln(4)<br />
ln(0,95)<br />
| + 1<br />
ln(4)<br />
ln(0,95) + 1 |: 2<br />
ln(4)<br />
ln(0,95) + 1<br />
x = −13,01<br />
2<br />
Mit GeoGebra:<br />
Mit GeoGebra:<br />
manfred.ambach<br />
241<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Beispielhaft der Graph einer Exponentialfunktion : f (x) = 2 x :<br />
Beispielhaft der Graph einer Logarithmusfunktion : f (x) = log 2 (x)<br />
<br />
<br />
<br />
Nur zur Ansicht<br />
<br />
<br />
<br />
Exponentialfunktionen existieren für<br />
alle x R (für alle reellen Zahlen).<br />
Dh.: Für jede reelle Zahl x gibt es einen y-<br />
Wert.<br />
Die Funktionswerte ( y-Werte ) können nur<br />
positive reelle Zahlen sein.<br />
Jede Exponentialfunktion geht durch den<br />
Punkt (0/1)<br />
weil ja a 0 = 1<br />
Logarithmusfunktionen existieren nur für x <br />
R + (nur für die positiven reellen Zahlen).<br />
Dh.: Nur für positive x gibt es y-Werte.<br />
Die Funktionswerte ( y-Werte ) können alle<br />
reellen Zahlen sein.<br />
Für jede Logarithmusfunktion gilt:<br />
log a (1) = 0 weil a 0 = 1<br />
log a (a) = 1 weil a 1 = a<br />
Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion, indem man den Graphen der Funktion an der 1. Mediane: y = x<br />
spiegelt.<br />
und<br />
manfred.ambach<br />
242<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
e ist die EULERsche Zahl e 2,7182 . . .<br />
Leonhard EULER<br />
( 1707 – 1783 )<br />
auf einer ehemaligen Schweizer Banknote<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
A(t) = B 0 ⋅ c | ∶ B 0<br />
A(t)<br />
= c | ln<br />
B 0<br />
Leonhard EULER, Schweizer Mathematiker, entwickelte diese Zahl,<br />
indem er in der Zinseszins-Formel die Anzahl der Verzinsungen<br />
(Vermehrungen) pro Jahr gegen unendlich gehen ließ.<br />
Mit der Exponentialfunktion f(x) = e x und ihrer Umkehrung<br />
dem ln (x) lassen sich<br />
natürliche Wachstumsvorgänge, wie z.B. die Anzahl der Bakterien<br />
in Nährlösungen<br />
oder der radioaktive Zerfall, mathematisch beschreiben.<br />
Gegeben ist folgende Gleichung:<br />
A(t) = B 0 ⋅ c<br />
ln A(t)<br />
= TM ⋅ ln (c)<br />
ln B 0<br />
– Begründen Sie, warum folgende Umformung falsch ist.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 23<br />
ln ( A(t) ) = ln (c)<br />
B 0<br />
ln(A(t)) − ln(B 0 ) = TM ⋅ ln (c)<br />
Statt – wurde dividiert!<br />
Wie kann man denn nun zeigen, ob 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . = 4 ist?<br />
2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1<br />
16 + 1<br />
32 + . . . = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1<br />
16 + 1<br />
32 + . . . + 1<br />
2 n−1<br />
Fortsetzung S 288<br />
manfred.ambach<br />
243<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.4.2. Zinseszinsen<br />
Zinseszinsen bedeutet, dass die Zinsen des Vorjahrs im nächsten<br />
Kalenderjahr mitverzinst werden.<br />
Die Formel ohne Herleitung:<br />
K n = K 0 ⋅ (1 + i) n<br />
n … Anzahl der Kalenderjahre, die das Kapital angelegt bzw. geliehen ist<br />
K 0 … Anfangskapital<br />
K n … Kapital nach n Kalenderjahren samt Zinseszinsen<br />
i =<br />
p<br />
mit p … Zinssatz p.a. (per anno, also pro Jahr)<br />
100<br />
Man kann die Zinseszinsformel auch so darstellen:<br />
Dann ist t die Anzahl der Kalenderjahre.<br />
Beispiel der Zentralmatura am 16.1.2018<br />
K n = K 0 ⋅ (1 + i) n<br />
N(t) = N 0 ⋅<br />
Auf ein Konto werden € 3 000 angelegt.<br />
Für eine Zeitspanne von 3 Jahren wird dieser Betrag mit 5 % pro Jahr verzinst, anschließend für zwei Jahre mit<br />
1 % pro Jahr.<br />
– Ermitteln Sie den Kontostand nach 5 Jahren.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Nur zur Ansicht<br />
K 0 = 3 000 € n = 3 a i = 5<br />
= 0,05<br />
100<br />
K 3 = 3 000 ⋅ (1 + 0,05) 3 = 3 472,875<br />
K 0 = 3 472,875 € n = 2 a i = 1<br />
= 0,01<br />
100<br />
Für die restlichen 2 Jahre K 0 die 3 472,875 Euro:<br />
a t<br />
Jede Veränderung<br />
bedeutet<br />
eine neue Rechnung!<br />
K 2 = 3 472,875 ⋅ (1 + 0,01) 2 = 3 542,68<br />
Das Kapital ist in diesem Zeitraum auf 3 542,68 Euro angewachsen.<br />
manfred.ambach<br />
244<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Beispiel:<br />
Ein Kapital von 1 800 Euro wird 3 Kalenderjahre angelegt und wächst in diesem Zeitraum auf 1 854,54 Euro an.<br />
– Berechnen Sie den Jahreszinssatz p.<br />
K 0 = 1 800 € n = 3 a K 3 = 1 854,54 €<br />
K n = K 0 ⋅ (1 + i) n<br />
1 854,54 = 1 800 ⋅ (1 + i) 3 | ∶ 1 800<br />
Beispiel:<br />
1 854,54<br />
1 800<br />
3<br />
√ 1 854,54<br />
1 800<br />
1,01 − 1 = i<br />
0,01 = p<br />
1% = p<br />
= (1 + i) 3 | √ 3<br />
0,01 = i<br />
100<br />
= 1 + i | − 1<br />
| . 100 → 1 = p<br />
Das Kapital wurde mit einem Jahreszinssatz von 1% angelegt.<br />
Ein Kapital von 1 500 Euro wird zu einem Zinssatz von 1,1 % p.a. angelegt und wächst in diesem Zeitraum auf<br />
1 637,20 Euro an.<br />
– Ermitteln Sie, wie viel Kalenderjahre das Kapital angelegt war.<br />
K 0 = 1 500 € p = 1,1% → i = 0,011 K n = 1637,20 €<br />
K n = K 0 ⋅ (1 + i) n<br />
Nur zur Ansicht<br />
1637,20 = 1 500 ⋅ (1 + 0,011) n | ∶ 1 500<br />
1,0915 = (1,011) n | ln<br />
ln(1,0915) = ln (1,011) n<br />
ln(1,0915) = n ⋅ ln (1,011) | ∶ ln (1,011)<br />
Mit GeoGebra:<br />
oder :<br />
Setzt man statt i =<br />
gleich den Zinssatz p:<br />
Mit GeoGebra:<br />
p<br />
100<br />
, so erhält man<br />
ln(1,0915)<br />
ln(1,011)<br />
= n<br />
n = 8,00<br />
Das Kapital war 8 Kalenderjahre angelegt.<br />
manfred.ambach<br />
245<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
6.4.3. Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse<br />
Wir behandeln exponentielle(s) Wachstum (Zunahme) oder exponentielle(n) Zerfall (Abnahme),<br />
also Prozesse,<br />
bei denen die Funktionswerte in gleichen Zeitabständen um den gleichen Prozentsatz zunehmen<br />
(Wachstum),<br />
bzw. die Funktionswerte in gleichen Zeitabständen um den gleichen Prozentsatz abnehmen (Zerfall).<br />
Man kann es auch so ausdrücken:<br />
Kennzeichnend für exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall ist, dass<br />
der Quotient (*) der Funktionswerte in gleichen Intervallen immer gleich groß ist,<br />
bzw. die prozentuelle Zunahme bzw. Abnahme in gleichen Intervallen gleich groß ist.<br />
(*)<br />
... Quotient: Ergebnis einer Division<br />
Beispiel:<br />
f (x) = e 0,05⋅x<br />
f (10)<br />
f (0) = 1,65 = 1,65 → + 65 %<br />
1<br />
f (20)<br />
f (10) = 2,72 = 1,65 → + 65 %<br />
1,65<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach<br />
246<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Exponentielles Wachstum<br />
N(t) = N 0 . e λ⋅t<br />
Exponentieller Zerfall<br />
N(t) = N 0 . e −λ⋅t<br />
N(t) = N 0 . a t<br />
N(t) = N 0 . a t<br />
mit a = e λ > 1 bzw. 0 < a = e λ < 1<br />
e … die EULERsche Zahl Mit Casio: SHIFT → ln<br />
Ist das Wachstums- bzw. Zerfallsgesetz gesucht, so ist die Konstante λ bzw. a gesucht.<br />
Beispiel für ein gegebenes Wachstumsgesetz: N (t) = N0 . e 0,1234 . t bzw. N (t) = N0 . 1,1313 t<br />
Beispiel für ein gegebenes Zerfallsgesetz: N (t) = N0 . e – 0,1234 . t bzw. N (t) = N0 . 0,8839 t<br />
Benötigt man N(t) in Prozent, so setzt man, gleich ob die Menge gegeben oder nicht, N0 = 100 % .<br />
Benötigt man N(t) in Promill, so setzt man, gleich ob die Menge gegeben oder nicht, N0 = 1 000 ‰ .<br />
Für das Wachstumsgesetz gilt:<br />
bzw.<br />
bzw.<br />
Für das Zerfallsgesetz gilt:<br />
Nur zur Ansicht<br />
τ ... tau, das griechische t<br />
manfred.ambach<br />
247<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Warum müssen wir zwei verschiedene<br />
Arten des Wachstums- und<br />
Zerfallsgesetzes lernen?<br />
Weil beide Arten recht praktisch sein können.<br />
Beträgt z.B. die Wachstumsrate 5 %, so ist a = 1,05.<br />
Beträgt z.B. die Abnahmerate 5 %, so ist a = 0,95.<br />
Beispiel:<br />
Prinzipieller Aufbau eines HIV-Virus<br />
Quelle: http://www.aids-<br />
hilfe.at/Wissenswertes/Fakten-HIV-AIDS/Das-HI-<br />
Virus-und-seine-Vermehrung<br />
Probiere durch Rechnung!<br />
HIV-Viren vermehren sich pro Tag um 3,5 %.<br />
– Begründe, warum es sich dabei um ein exponentielles Wachstum handelt.<br />
Da sich die Viren in gleichen Zeitabschnitten (pro Tag) um den gleichen<br />
Prozentsatz (um 3,5 %) vermehren, handelt es sich um ein exponentielles<br />
Wachstum.<br />
– Stelle das entsprechende Wachstumsgesetz der Form N(t) = N 0 ⋅ e λ⋅t auf:<br />
Wir schreiben in das Algebra-Fenster den Befehl<br />
TrendExp[ ]<br />
Nun geben wir zwei Punkte ein:<br />
Wir wählen für N0 = 100% als die ursprüngliche Menge. Das heißt, bei t = 0 ist die vorhandene Menge 100 (%).<br />
Also ist ein Punkt ( 0 / 100 ).<br />
Da sich die Viren pro Tag um 3,5 % vermehren, sind nach einem Tag ( t = 1 ) 100 % + 3,5 % = 103,5 % vorhanden.<br />
Also lautet ein zweiter Punkt ( 1 / 103,5 ).<br />
ENTER betätigt und die entsprechende Funktion erscheint.<br />
Mit x = t und f(x) = N(t) lautet das gesuchte Wachstumsgesetz N(t) = N 0 ⋅ e 0,0344⋅t<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bemerkung: Es reicht, nur den Wert für die Konstante λ einzusetzen.<br />
Es sei denn, man möchte eine konkrete Menge berechnen. Dann benötigt man auch die<br />
Anfangsmenge.<br />
– Stelle das entsprechende Wachstumsgesetz der Form N(t) = N 0 ⋅ a t auf:<br />
Wir schreiben in das Algebra-Fenster den Befehl<br />
TrendExp2[ ]<br />
manfred.ambach<br />
248<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Nun geben wir zwei Punkte ein<br />
und verwenden die gleichen Überlegungen wie vorhin:<br />
Wir wählen für N0 = 100% als die ursprüngliche Menge. Das heißt, bei t = 0 ist die vorhandene Menge 100 (%).<br />
Also ist ein Punkt ( 0 / 100 ).<br />
Da sich die Viren pro Tag um 3,5 % vermehren, sind nach einem Tag ( t = 1 ) 100 % + 3,5 % = 103,5 % vorhanden.<br />
Also lautet ein zweiter Punkt ( 1 / 103,5 ).<br />
ENTER betätigt und die entsprechende Funktion erscheint.<br />
Mit x = t und f(x) = N(t) lautet das gesuchte Wachstumsgesetz N(t) = N 0 ⋅ 1, 035 t<br />
Zu Beginn werden 216 500 Viren nachgewiesen.<br />
– Bestimme die Dauer, bis die Anzahl der Viren auf eine Milliarde angewachsen ist.<br />
Wir verwenden das Gesetz in der Form N(t) = N 0 ⋅ 1, 035 t<br />
N 0 = 216 500<br />
N (t) = 1 000 000 000<br />
t = ?<br />
215, 14 Tage<br />
Erhalten wir das gleiche Ergebnis, wenn wir mit<br />
N(t) = N 0 ⋅ e λ⋅t rechnen?<br />
Wir geben die Gleichung mit den konkreten Werten ein<br />
und klicken auf .<br />
Probiere es aus, lieber Fredo!<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach<br />
249<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Todsicher<br />
Stirbt ein Mensch, so nimmt seine Körpertemperatur nach folgendem Gesetz ab:<br />
T(t) = 16 ⋅ e −0,0575⋅t + 22<br />
t … Zeit in Stunden (h), die seit dem Todeseintritt vergangen ist<br />
T(t) … Körpertemperatur in Grad Celsius (°C), t Stunden nach Todeseintritt<br />
Ein Mordopfer wird um 23: 00 gefunden. Seine Körpertemperatur beträgt 29 °C.<br />
Ein Tatverdächtiger hat für die Zeit von 12: 00 bis 15: 00 desselben Tages ein Alibi.<br />
– Begründen Sie mittels Rechnung, ob der Tatverdächtige als Mörder in Frage kommen kann<br />
Von 15:00 bis 23:00 sind 8 Stunden vergangen:<br />
T(8) = 32,10 °C<br />
Von 12:00 bis 23:00 sind 11 Stunden vergangen:<br />
T(11) = 30,50 °C<br />
Wäre das Mordopfer zwischen 12:00 und 15:00 umgebracht worden, müsste es um 23:00 eine Temperatur<br />
zwischen 30,5 °C und 32,1 °C haben.<br />
Schlecht für den Tatverdächtigen:<br />
Da die Temperatur des Mordopfers um 23:00 nur noch 29 °C betrug, muss es vor 12:00 umgebracht worden sein.<br />
– Argumentieren Sie, ob das Zerfallsgesetz T(t) = 16 ⋅ e −0,0575⋅t + 22 richtig umgeformt wurde:<br />
ln ( T(t) − 16) = −0,0575 ⋅ t<br />
22<br />
Nur zur Ansicht<br />
Möglicher Lösungsweg: Händisches Umformen<br />
T(t) = 16 ⋅ e −0,0575⋅t + 22 | − 22<br />
T(t) − 22 = 16 ⋅ e −0,0575⋅t | ∶ 16<br />
T(t) − 22<br />
16<br />
= e −0,0575⋅t | ln<br />
T(t) − 22<br />
ln ( ) = ln(e −0,0575⋅t )<br />
16<br />
ln (<br />
ln (<br />
T(t) − 22<br />
) = −0,0575 ⋅ t ⋅ ln (e)<br />
16<br />
=1<br />
T(t) − 22<br />
) = −0,0575 ⋅ t<br />
16<br />
Die Umformung ist falsch, weil statt 22 zu subtrahieren durch 22 dividiert und statt durch 16 zu dividieren,<br />
16 subtrahiert wurde.<br />
manfred.ambach<br />
250<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
III Funktionale Zusammenhänge<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Lieber Fredo,<br />
hier muss man einmal selbst Hand anlegen!<br />
GeoGebra liefert hier nach Eingabe der Funktion<br />
keine Lösung, da in der einen Gleichung zwei<br />
Variabel, t und T(t), vorkommen!<br />
Wird eine Limo aus dem Kühlschrank genommen, so erhöht sich ihre Temperatur nach folgendem Gesetz:<br />
T(t) = T 2 − (T 2 − T 1 ) ⋅ 0,92 t mit T 2 > T 1<br />
t … Zeit in Minuten<br />
T(t) … Temperatur der Limo in °C , t Minuten, nachdem sie aus dem Kühlschrank genommen wurde.<br />
– Bestimmen Sie die Temperatur der Limo, eine viertel Stunde nachdem sie aus dem Kühlschrank genommen<br />
wurde, wenn T 1 = 6 °C und T 2 = 22 °C betragen.<br />
T(15) = 22 − (22 − 6) ⋅ 0,92 15 = 17, 42 °C<br />
Tom hat Halsentzündung und darf die Limo erst trinken, wenn sie 20°C hat.<br />
– Ermitteln Sie die Zeit, wie lange Tom warten muss, wenn T 1 = 8 °C und T 2 = 24 °C betragen.<br />
T(t) = T 2 − (T 2 − T 1 ) ⋅ 0,92 t<br />
20 = 24 − 16 ⋅ 0,92 t<br />
Nur zur Ansicht<br />
Tom muss 16,63 Minuten warten.<br />
Geht das nicht einfacher mit<br />
GeoGebra ??<br />
https://www.youtube.com/watch?v=gBUF5oKgn10&t=33s<br />
manfred.ambach<br />
251<br />
pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Ein jeder hört nur das, was er versteht.<br />
Johann Wolfgang von GOETHE<br />
( 1749 – 1832 )<br />
IV<br />
ANALYSIS<br />
Alleine das Wort<br />
Analysis klingt schon<br />
sehr "ermutigend"!<br />
7. DIFFERENZIEREN<br />
Das Wort Analysis stammt aus dem Griechischen und bedeutet so viel<br />
wie auflösen (analysieren).<br />
Was wollen wir in diesem Abschnitt auflösen, also durch die Zerlegung<br />
in kleine Schritte entschlüsseln und erhellen:<br />
Den genauen Verlauf von Kurven mittels Berechnung besonderer<br />
Punkte, Steigungen und Krümmungen,<br />
sowie die Berechnung gekrümmt begrenzter Flächen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Idee: Univ. Prof. Dr. Stefan SILLER<br />
manfred.ambach 252 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Besprechen wir zunächst das Rechentechnische, bevor wir uns der Veranschaulichung und den Anwendungen<br />
widmen.<br />
7.1. Ableitungsregel<br />
Differenzieren nennt man auch Ableiten.<br />
Wir verzichten wie immer auf theoretische Herleitungen.<br />
Es gibt mehrere Ableitungsregeln, doch wir beschränken uns händisch auf eine.<br />
Außerdem kann man mit GeoGebra auch differenzieren.<br />
7.1.1. Potenzregel<br />
Diese Regel gibt an, wie Potenzen der Form x n mit n ∈ R (reelle Zahl) differenziert werden.<br />
Die Regel lautet:<br />
Man sagt zu f ′ (x) f Strich von x oder erste Ableitung von f<br />
Beispiel:<br />
f(x) = x 3 → f ′ (x) = 3 . x 3−1 = 3 . x 2<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Potenzregel darf NUR dann verwendet werden,<br />
wenn in der Basis der Potenz nur die Variable steht<br />
und sich die Potenz nicht im Nenner befindet!<br />
So wäre die Anwendung der Potenzregel bei Funktionen folgender Form falsch:<br />
Beispiel: f(x) = ( 4 x – 5 ) f ‘ (x) = 3 . ( 4 x – 5 ) 2<br />
Da in der Basis dieser Potenz nicht nur die<br />
Variable x steht,<br />
darf nicht mit der Potenzregel differenziert<br />
werden!<br />
manfred.ambach 253 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel: f(x) =<br />
1<br />
x 3 f ′(x) = 1<br />
3 ⋅ x 2<br />
Da die Potenz im Nenner steht, darf nicht mit der Potenzregel differenziert werden!<br />
Betrachten wir weitere Beispiele, die mit der Potenzregel differenziert werden können:<br />
f (x) = x 5 f ‘ (x) = 5 . x 4<br />
f (x) = x – 3 f ‘ (x) = – 3 . x – 4<br />
f (x) = x = x 1 f ‘ (x) = 1 . x 0 = 1 . 1 = 1<br />
x 0 = 1<br />
Beispiel:<br />
f (x) = 4 x 3 = 4 . x 3 f ‘ (x) = 4 . 3 . x 2 = 12 x 2<br />
Beachte, dass hier die Basis der Potenz in f (x) = 4 x 3 = 4 . x 3 nur aus der Variablen x besteht.<br />
Die Vorrangregeln klären eindeutig, dass Hochrechnung vor Punktrechnung kommt!<br />
Da eine höhere Rechenstufe NIE über eine niedrigere hinausgeht, lautet die Potenz nur x 3<br />
mit der Basis x . Die Zahl 4 ist ein konstanter Faktor, nachrangig mit mal mit x 3 verbunden.<br />
Stünde in der Basis der Potenz 4x, was bei ( 4x ) 3 der Fall wäre, dürfte die Potenzregel<br />
nicht zur Anwendung kommen!<br />
Konstante Faktoren ( . : ) werden unverändert in die Ableitung übernommen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
f ( x ) = k . x n f ’ ( x ) = k . n . x n – 1<br />
Dieser Buchstabe ist die Variable. Alle anderen Buchstaben gelten als Konstanten.<br />
Weitere Beispiele:<br />
2<br />
x 1 2<br />
f (x) = .x<br />
f ’ (x) =<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
.2.x<br />
1.x<br />
x<br />
manfred.ambach 254 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
6<br />
4 x 4 6<br />
4 5<br />
f (x) = .x<br />
f ’ (x) = . 6.x = 8 x 5<br />
3 3<br />
3<br />
Beispiel:<br />
1<br />
f(x) = = x – 3 f ’ (x) = – 3 . x – 4 1<br />
= – 3 . = <br />
3<br />
x<br />
4<br />
x<br />
Bemerkung: P4 ist Potenzregel Nr. 4.<br />
Beispiel:<br />
f (x) <br />
P 4 P 4<br />
Potenzen im Nenner müssen vor dem Differenzieren nach der Regel P4:<br />
aus dem Nenner gebracht werden !<br />
P 4 P 4<br />
5 5 1 5<br />
f (x) = – = – . = – x – 2 f ’ (x) = <br />
2<br />
4 x 4 2<br />
x 4<br />
5<br />
4 x 2<br />
4<br />
x<br />
6<br />
≠ 5 . 4 x −2<br />
denn<br />
5<br />
4 ≠ 5 . 4<br />
Beispiel: f(x) = 2 = 2 . 1 = 2 . x 0 f ’ (x) = 2 . 0 . x –1 = 0<br />
Nur zur Ansicht<br />
1 = x 0<br />
Da man sich jede Konstante mit 1 bzw. x 0 multipliziert vorstellen kann, wird in der Ableitung stets der Faktor<br />
Null vorkommen und damit das Ergebnis immer Null sein.<br />
x<br />
3<br />
4<br />
1<br />
x<br />
n<br />
x<br />
n<br />
= 4 . x – 6 f ’ (x) = 4 . (–6). x – 7 = – 24 . x – 7 1 24<br />
= 24. = <br />
7<br />
7<br />
x x<br />
5<br />
.( 2).x<br />
4<br />
3<br />
<br />
5 1<br />
.<br />
2 3<br />
x<br />
<br />
5<br />
2x<br />
Ist ein Faktor Null, so ist das<br />
Ergebnis Null.<br />
3<br />
f ( x ) = k → f ’ ( x ) = 0<br />
Eine Konstante für sich ergibt abgeleitet null.<br />
manfred.ambach 255 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiele:<br />
3<br />
f (x) = <br />
f ’ (x) = 0<br />
2<br />
f (x) = <br />
f ’ (x) = 0<br />
f (x) = a 3 f ’ (x) = 0<br />
f (a) = a 3 f ’ (a) = 3 a 2<br />
Beispiel: Gegeben ist die Funktion y = a⋅b2 ⋅x<br />
c<br />
– Ermittle f ′ (a), f ′ (b), f ′ (x), f ′ (c)<br />
f(a) = a⋅b2 ⋅x<br />
c<br />
f(b) = a⋅b2 ⋅x<br />
c<br />
f(x) = a⋅b2 ⋅x<br />
c<br />
f(c) = a⋅b2 ⋅x<br />
c<br />
→ f ′ (a) = 1⋅a0 ⋅ b 2 ⋅x<br />
→ f ′ (b) = a⋅2⋅b1 ⋅x<br />
→ f ′ (x) = a⋅ b2 ⋅1⋅x 0<br />
c<br />
c<br />
c<br />
= 1⋅b2 ⋅x<br />
c<br />
= 2⋅a⋅b⋅x<br />
c<br />
= a⋅b2 ⋅1<br />
c<br />
= a ⋅ b 2 ⋅ x ⋅ c −1 → f ′ (c) = a ⋅ b 2 ⋅ x ⋅ (−1) ⋅ c −2 = − a⋅b2 ⋅x<br />
Beispiel: f (x) = 6 x 2 – 4 x + 3 f ’ (x) = 6 . 2 x 1 – 4 . 1 . x 0 + 0 = 12 x – 4<br />
Nur zur Ansicht<br />
Man darf gliedweise ( + – ) getrennt differenzieren.<br />
Beispiele:<br />
f (x) <br />
2<br />
3<br />
x<br />
3<br />
<br />
1<br />
4<br />
x<br />
2<br />
1<br />
2 2 1<br />
f '(x) .3. x .2.x – 0 2 x<br />
3 4<br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
x<br />
c 2<br />
f (x) = a x 3 + b x 2 + c x 1 + d<br />
f ’ (x) = a . 3 . x 2 + b . 2 . x + c . 1 . x 0 + 0 = 3 a x 2 + 2 b x + c<br />
manfred.ambach 256 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
7.1.2. Differenzieren mit<br />
Nehmen wir als Beispiel f(x) = 2<br />
⋅ 3 x3 − 1<br />
⋅ 4 x2 − 2 ⋅ x − 1<br />
CAS - Fenster:<br />
Man gibt die Funktion im CAS-Fenster ein und betätigt ENTER.<br />
Damit erscheint die Funktionsgleichung im Algebra- und CAS-Fenster, sowie der Graph im Grafik-Fenster (siehe<br />
oben).<br />
Will man die erste Ableitung, so schreibt man in die nächste Zeile des<br />
CAS-fensters f‘(x) :<br />
statt = ist : = zu schreiben<br />
Will man auch den Graphen der Ableitungsfunktion f‘, so klickt man den Kreis mit der linken Maustaste an,<br />
sodass er blau gefüllt ist.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bemerkung1: f‘ als Ableitung erscheint als anderer Ausdruck als f‘ als Funktion.<br />
Das hat programmtechnische Gründe und ist unerheblich, weilbeide Ausdrücke richtig sind.<br />
Bemerkung 2: Wird f‘ als Funktion dargestellt, so nennt sie GeoGebra um. Bei diesem Beispiel wird aus f‘(x) g(x).<br />
manfred.ambach 257 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Auf die gleiche Weise kann man die zweite Ableitung f‘‘(x) ermitteln:<br />
Beispiel: f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d<br />
Beispiel:<br />
statt = ist : = zu schreiben<br />
Nicht a x sondern a*x usw. schreiben<br />
a x liest GeoGebra als die eine Variable ax<br />
ENTER betätigt und unterhalb der Eingabe erscheint die<br />
Funktionsgleichung nochmals.<br />
Nur zur Ansicht<br />
In die folgende Zeile schreiben wir f‘(x)<br />
ENTER betätigt und unterhalb f‘(x) erscheint<br />
die erste Ableitung.<br />
manfred.ambach 258 pro-test.at
#<br />
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Auf die gleiche Weise erhalten wir die zweite Ableitung f‘‘(x):<br />
Bemerkung: Hier kann kein Graph angezeigt werden, weil die Koeffizienten (Vorzahlen) a, b und c nicht bekannt<br />
sind.<br />
Auch mit anderen Variablen außer x und y = f(x) kann man die Ableitungen bestimmen:<br />
Beispiel von S 256<br />
f(a) =<br />
a ⋅ b2 ⋅ x<br />
c<br />
4<br />
Zur Erinnerung: √4 ⋅ x 3 ∶<br />
Beispiel:<br />
Wurzelinhalt Grad der Wurzel<br />
Nur zur Ansicht<br />
f(t) = 2 ⋅ √t 2 + t<br />
3<br />
Bemerkung 1: Wenn der Buchstabe in der Klammer blau erscheint, hier a,<br />
dann ist festgelegt, dass dieser Buchstabe die Variable bedeutet.<br />
Bemerkung 2: Die Darstellungsweise in GeoGebra ist etwas anders<br />
als die handschriftliche, denn GeoGebra schreibt die Vorzahlen immer<br />
vor die Potenz mit der Variablen.<br />
b 2 ⋅ x<br />
c = b2<br />
1 ⋅ x<br />
c = b2 ⋅ x<br />
1 ⋅ c = b2 ⋅ x<br />
c<br />
Die erste Ableitung sieht etwas kompliziert aus!<br />
Das Tolle an GeoGebra ist, dass wir damit auch nach Regeln ableiten können,<br />
von deren Existenz wir gar nichts wissen!<br />
manfred.ambach 259 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
7.2. Veranschaulichung des Differenzierens<br />
7.2.1. Steigung der Tangente<br />
Lassen wir alle Formalitäten beiseite.<br />
Die zwei wichtigsten Zusammenhänge in der Differentialrechnung sind erstens:<br />
Die erste Ableitung f′(x 1 ) ist die Steigung k t der Tangente t ,<br />
die man an der Stelle x 1 an den Graphen von f legen kann.<br />
Nur zur Ansicht<br />
kurz: f ′ (x 1 ) = k t<br />
Wenn wir die erste Ableitung einer Funktion bilden,<br />
dann ermitteln wir die Steigung der Tangente an der Stelle x 1 .<br />
Steigung einer Geraden: Siehe auch<br />
manfred.ambach 260 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Man nennt die erste Ableitung auch Steigung der Tangente<br />
oder Differentialquotient oder (lokale) momentane Änderungsrate.<br />
Denken wir an einen Schlüssel, den wir drehen.<br />
Zunächst fliegt der Schlüssel entlang einer<br />
kurvigen Bahn. Ab dem Moment des Loslassens fliegt<br />
der Schlüssel (zunächst) geradlinig in Richtung<br />
der Tangente, weil die Kurve im Punkt des<br />
Loslassens die Richtung der Tangente besitzt.<br />
… und zweitens:<br />
Denken wir an ein Schleifrad, an dem ein Werkstück<br />
bearbeitet wird. Die glühenden Metallspäne fliegen<br />
geradlinig weg, weil sie sich in jene Richtung<br />
bewegen, die die Kurve in diesem Punkt besitzt und das<br />
ist die Richtung der Tangente.<br />
Nur zur Ansicht<br />
In jedem Berührpunkt haben Kurve und Tangente<br />
die gleiche Steigung (Richtung)<br />
f ′ (x 1 ) = k t<br />
manfred.ambach 261 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel: Bestimme die Gleichung der Tangente t, die man an der Stelle x = 1 an den Graphen der Funktion<br />
f(x) = 1<br />
2 ⋅ x2 + x legen kann.<br />
Händische Berechnung<br />
<br />
Tangente = Gerade, die berührt<br />
y = k ⋅ x + d<br />
Wir müssen k und d bestimmen.<br />
y = f(x) = 1 ⋅ 2 x2 + x<br />
Steigung = f ′ (x) = x + 1<br />
k t = f ′ (1) = 1 + 1 = 2<br />
Der Berührpunkt liegt auch auf der Tangente, also können wir ihn für x und y in die Tangentengleichung<br />
einsetzen. Den y-Wert müssen wir jedoch noch berechnen:<br />
y = f(x) = 1<br />
⋅ 2 x2 + x → y = f(1) = 1<br />
Mit GeoGebra:<br />
y = k ⋅ x + d<br />
2 ⋅ 12 + 1 = 1, 5 → (1/1, 5)<br />
(1/1, 5) → 1, 5 = 2 ⋅ 1 + d → −0, 5 = d → t: y = 2 ⋅ x − 0, 5<br />
k t = f′(2)<br />
Wir geben im Algebra-Fenster (in die Eingabezeile) die Gleichung der Funktion<br />
ein.<br />
In die Zeile darunter schreiben wir den Befehl<br />
Nur zur Ansicht<br />
Tangente[ , ]<br />
Da die Tangente bei x = 1 gelegt werden soll und der Name der Funktion<br />
f lautet, schreiben wir<br />
Tangente [1, f]<br />
ENTER betätigt und die Gleichung der Tangente steht da.<br />
Bemerkung: GeoGebra hat in diesem Fall der Tangente den Namen g gegeben.<br />
manfred.ambach 262 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Sollte man nicht wissen, welche der Zahlen die Steigung ist:<br />
Wir schreiben den Befehl Steigung[ ]<br />
Da in diesem Fall die Tangente g heißt,<br />
schreiben wir Steigung[ g ]<br />
und betätigen ENTER.<br />
Damit gibt GeoGebra sowohl den<br />
Zahlenwert der Steigung (a = k = 2) an,<br />
als auch im Grafik-Fenster ein gezeichnetes<br />
Steigungsdreieck.<br />
Nur zur Ansicht<br />
https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38&t=3s<br />
https://www.youtube.com/watch?v=Y7JjSVIHPY8&t=2s<br />
manfred.ambach 263 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
7.2.2. Änderungsraten<br />
7.2.2.1. Absolute Änderung(srate)<br />
7.2.2.2. Relative Änderung(srate)<br />
Die absolute Änderung(srate):<br />
f(x 2 ) − f(x 1 ) = y 2 − y 1<br />
Beispiel: Jemand verdiente im Jahr 2012 monatlich 2 354 €<br />
brutto, im Jahr 2018 waren es 2 476 €.<br />
Die absolute Änderung = 2 476 – 2354 = 122 €<br />
Beispiel: f(x) = x²<br />
Die absolute Änderung im Intervall [2 ; 4 ]:<br />
f(4) − f(2) = 4 2 − 2 2 = 16 − 4 = 12<br />
Die relative Änderung(srate):<br />
f(x 2 ) − f(x 1 )<br />
= y 2 − y 1<br />
f(x 1 )<br />
Beispiel: Jemand verdiente im Jahr 2012 monatlich 2 354 €<br />
brutto, im Jahr 2018 waren es 2 476 €.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Dier relative Änderung =<br />
Beispiel: f(x) = x²<br />
y 1<br />
2 476−2 354<br />
= 0,0518 = 5,18 %<br />
2 354<br />
Die relative Änderung im Intervall [2 ; 4 ]:<br />
f(4) − f(2)<br />
f(2)<br />
=<br />
4² − 22<br />
=<br />
2²<br />
16 − 4<br />
4<br />
= 3 = 300 %<br />
manfred.ambach 264 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
7.2.2.3. Mittlere Änderung(srate) (mittlere Steigung)<br />
Denken wir uns einen Berghang.<br />
Wollen wir diesen Hang von A bis B<br />
erklimmen, so gilt es steilere und<br />
weniger steile Stücke zurückzulegen.<br />
Die durchschnittliche (mittlere)<br />
Steigung nennt man mittlere<br />
Änderungsrate (m.Ä.) und meint die<br />
Steigung der Geraden, die durch den<br />
Anfangs- und Endpunkt der Strecke<br />
führt.<br />
Die mittlere Änderungsrate nennt man<br />
auch durchschnittliche Steigung oder<br />
Differenzenquotient.<br />
Bemerkung: Differenz: das Ergebnis einer Subtraktion Quotient: das Ergebnis einer Division (siehe untere Erklärung)<br />
Die Steigung der Geraden durch die<br />
Punkte A und B ist die<br />
mittlere Änderungsrate (m.Ä.)<br />
und berechnet sich wie folgt:<br />
m. Ä. [x 1 ; x 2 ] =<br />
Δ … Delta = griechisches D, es steht hier für Differenz<br />
m. Ä. [x 1 ; x 2 ] = f(x 2) − f(x 1 )<br />
x 2 − x 1<br />
Nur zur Ansicht<br />
bzw.<br />
y 2 − y 1<br />
x 2 − x 1<br />
Δ y<br />
=<br />
Δ x<br />
Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung einer Geraden durch 2 Punkte (Sekante).<br />
Bemerkung: Anfangs- und Endpunkt der Strecke müssen nicht A und B heißen.<br />
manfred.ambach 265 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel: Das Ländle ist begehrt!<br />
Bregenz hatte im Jahr 1880 6 691 Einwohner, im Jahr 2018 waren es 29 806 Einwohner.<br />
Bestimmen wir zunächst die absolute Änderung(srate): 29 806 – 6 691 = 23 115<br />
Bregenz wuchs von 1880 bis 2018 um 23 115 Einwohner.<br />
Nun zur relativen Änderung(srate):<br />
29 806−6 691<br />
6 691<br />
Bregenz wuchs von 1880 bis 2018 um 345,46 %<br />
Jetzt noch die mittlere Änderungsrate:<br />
= 3,4546 = 345,46 %<br />
29 806−6 691<br />
2018−1880 = 167,5<br />
Bregenz wuchs zwischen 1880 und 2018 jährlich (pro Jahr) um durchschnittlich 167,5 Einwohner.<br />
Oder: Bregenz wuchs zwischen 1880 und 2018 im Mittel pro Jahr um 167,5 Einwohner.<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Der Energieverbrauch beim Joggen kann näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben werden:<br />
E(t) = −0,05 ⋅ t 2 + 3 ⋅ t + 50 für 0 < t < 45<br />
t … Zeit in Minuten (min)<br />
E(t) … Energieverbrauch in Kilojoule pro Minute (kJ/min) zum Zeitpunkt t<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Geben Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall [20 ; 40] mit der entsprechenden Einheit an.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
manfred.ambach 266 pro-test.at
(<br />
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Die entsprechende Einheit: E(t) in kJ/min und t in min<br />
→<br />
kJ/ min<br />
min<br />
m. Ä. [20 ; 40] = 0<br />
kJ/ min<br />
min<br />
Das bedeutet, dass im Zeitintervall [20 min ; 40 min] durchschnittlich in einer Minute um null kJ/min<br />
mehr bzw. weniger Energie verbraucht wird.<br />
Veranschaulichen wir uns das mit Hilfe einer Skizze:<br />
Ein Vergleich:<br />
Da die Funktionswerte an den<br />
Stellen x = 20 und<br />
x = 40 gleich groß sind,<br />
f(20) = 90 und f(40) = 90 ,<br />
ist die Differenz<br />
f(40) − f(20) = 0<br />
Das bedeutet nicht, dass im<br />
Intervall [20 min ; 40 min]<br />
keine Energie verbraucht wird!<br />
Ansonsten müsste der Graph<br />
von E in diesem Bereich<br />
waagrecht verlaufen.<br />
Du beginnst eine Wanderung auf 900 m Seehöhe. Der Weg führt dich über einen Gipfel von 2 500 m Höhe.<br />
Das Ziel liegt wiederum auf 900 m Seehöhe.<br />
Die Verbindungslinie zwischen Start und Ziel ist waagrecht, hat also die Steigung null.<br />
Nur zur Ansicht<br />
https://www.youtube.com/watch?v=DwwOeMyHW38<br />
manfred.ambach 267 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
7.2.2.4. Lokale (momentane) Änderung(srate) (momentane Steigung)<br />
Bemerkung: Differentiale sind kleinste Differenzen<br />
Die lokale (momentane) Änderungsrate ist<br />
die Steigung (Richtung) der Tangente<br />
in einem Punkt der Kurve.<br />
Die momentane Änderungsrate nennt man auch<br />
Differentialquotient.<br />
Die momentane Änderungsrate ist die Steigung einer Tangente<br />
Beispiel: Bestimme die momentane Änderungsrate der Funktion f(x) = 1<br />
2 ⋅ x2 + 1 an der Stelle x = 2 .<br />
Nur zur Ansicht<br />
y = f(x) = 1<br />
⋅ 2 x2 + 1<br />
Wir bilden die erste Ableitung f ′ (x) = x<br />
Da wir die Steigung der Tangente an der Stelle x = 2 wollen, setzen wir in die Steigung für<br />
x = 2 ∶<br />
k t = f ′ (2) = 2<br />
Die momentane Änderungsrate (die momentane Steigung) an der Stelle x = 2 beträgt 2.<br />
manfred.ambach 268 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Mit GeoGebra:<br />
Die lokale (momentane) Änderungsrate an der<br />
Stelle x = 2 beträgt f‘(2) = 2<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 269 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Der untere Wert des Blutdrucks während eines Laufes kann für die ersten sechs Minuten annähernd durch<br />
folgende Funktion beschrieben werden:<br />
B(t) = −1,25 ⋅ t 3 + 7,5 ⋅ t 2 + 10 ⋅ t + 60<br />
t … Zeit, die seit dem Start vergangen ist, in Minuten (min)<br />
B(t) … Blutdruck in Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) zum Zeitpunkt t<br />
– Beschreiben Sie, was mit den folgenden Rechnungen im Sachzusammenhang ermittelt wird.<br />
B(4)−B(0)<br />
4<br />
und<br />
B(4)−B(0)<br />
B(0)<br />
– Berechnen Sie die momentane Steigung (Steigerung) des Blutdrucks für t = 2 min.<br />
– Interpretieren Sie die momentane Steigung im konkreten Sachzusammenhang.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
B(4)−B(0)<br />
4<br />
= B(4)−B(0)<br />
4−0<br />
ist die mittlere Änderungsrate im Intervall [ 0 min ; 4 min ].<br />
Im Sachzusammenhang: Die (mittlere) durchschnittliche Veränderung des Blutdrucks in den<br />
ersten vier Minuten nach dem Start.<br />
B(4)−B(0)<br />
B(0)<br />
ist die relative Änderungsrate im Intervall [ 0 min ; 4 min ]<br />
Im Sachzusammenhang: Die prozentuelle Veränderung des Blutdrucks in den<br />
ersten vier Minuten nach dem Start.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die momentane Steigung ist die momentane Änderungsrate, also die Steigung der Tangente,<br />
somit die erste Ableitung der Funktion:<br />
B ′ (t) = −3,75 ⋅ t 2 + 15 ⋅ t + 10<br />
Wir wollen die momentane Steigung zum Zeitpunkt t = 2, also setzen wir in die erste Ableitung für<br />
t = 2 ∶ B ′ (2) = −3,75 ⋅ 2 2 + 15 ⋅ 2 + 10 = 25<br />
mmHg<br />
min<br />
manfred.ambach 270 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Mit GeoGebra:<br />
Interpretation:<br />
Die Steigung jeder Geraden ist<br />
k = G<br />
Nur zur Ansicht<br />
A<br />
bzw. k = k<br />
1<br />
Da die Einheit der Gegenkathete bzw.<br />
y-Achse mmHg lautet und jene der<br />
Ankathete bzw. x-Achse min, lautet die<br />
momentane Steigung 2 Minuten nach<br />
dem Start<br />
25 mmHg<br />
1 min<br />
also 25 mmHg pro 1 min<br />
Somit lautet die Interpretation im<br />
konkreten Sachzusammenhang:<br />
Der Blutdruck nimmt pro Minute<br />
um 25 mmHg zu.<br />
– Erklären Sie, wie am unten abgebildeten Diagramm die momentane Steigung der Funktion abgelesen<br />
werden kann.<br />
manfred.ambach 271 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
erklären, erläutern . . .<br />
mit Hilfe mathematischer Fachsprache einen Rechengang angeben<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Anderes wäre gefragt bei<br />
Dokumentieren (beschreiben) . . .<br />
einen Rechengang (Lösungsweg) in Worten angeben<br />
ODER:<br />
B′(t 1 )<br />
Bemerkung: t 1 bedeutet nicht eine 1. Lösung,<br />
sondern einen bestimmten,<br />
also bekannten t-Wert<br />
– Dokumentieren Sie, wie im oben abgebildeten Diagramm die momentane Änderungsrate an einer<br />
Stelle t 1 ermitteln können.<br />
An der Stelle t 1 an den Graphen Tangente legen.<br />
Die momentane Änderungsrate ist Steigung dieser Tangente.<br />
Nur zur Ansicht<br />
https://www.youtube.com/watch?v=DwwOeMyHW38<br />
manfred.ambach 272 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
7.3. Weitere Anwendungen der Differentialrechnung<br />
7.3.1. Extrema 1<br />
Greifen wir das Bild von der Bergwanderung auf:<br />
Denke dir den Funktionsgraphen als<br />
Berg- und Tallandschaft, die du in<br />
Schreibrichtung durchwanderst.<br />
Zunächst steigt es an. Kommen wir am<br />
höchsten Punkt H an, so geht es weder<br />
bergauf noch bergab.<br />
Im Hochpunkt H<br />
liegt die Tangente waagrecht,<br />
hat also die Steigung ist Null.<br />
Gehen wir vom Hochpunkt aus weiter,<br />
so geht's bergab.<br />
Gelangen wir zum tiefsten Punkt T, so<br />
geht es weder bergab noch bergauf.<br />
Im Tiefpunkt T<br />
liegt die Tangente waagrecht,<br />
hat also die Steigung ist Null.<br />
.<br />
Hochpunkt H und Tiefpunkt T nennt man die (relativen) Extrema.<br />
Relativ höchster bzw. relativ tiefster Punkt deshalb, weil ja die unendlich lange Linie des Funktions-Graphen ins negativ bzw.<br />
positiv Unendliche geht und somit absolut gesehen höhere und tiefere Punkte der Kurve existieren.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Extrema sind Punkte der Kurve,<br />
mit der Steigung Null .<br />
also setzen wir<br />
f ′ = 0<br />
1 extrema ist die Mehrzahl von extremum (lateinisch): das Äußerste<br />
manfred.ambach 273 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Außerdem gilt:<br />
Der Hochpunkt liegt im Bereich<br />
rechter Krümmung.<br />
Rechte Krümmung ist negativ,<br />
weil hier die Steigung abnimmt.<br />
Bemerkung: Mit positiver und negativer Laune lässt sich die Krümmung gut merken.<br />
Beispiel:<br />
Der Tiefpunkt liegt im Bereich<br />
linker Krümmung.<br />
Linke Krümmung ist positiv,<br />
weil hier die Steigung zunimmt.<br />
– Bestimme die Extrema ( Hochpunkt H und Tiefpunkt T ) der Funktion f(x) = 1<br />
bestimmen, ermitteln, berechnen . . .<br />
eine konkrete Berechnung durchführen<br />
8 x3 − 3<br />
2 x2 + 9<br />
Nur zur Ansicht<br />
Händische Berechnung:<br />
y = f(x) = 1<br />
8 x3 − 3<br />
2 x2 + 9<br />
2 x<br />
Steigung = f ′ (x) = 3<br />
8 x2 − 3x + 9<br />
2<br />
2 x .<br />
Krümmung = f ′′ (x) = 3 4 x −<br />
manfred.ambach 274 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Da in den Extrema die Steigung = 0 ist, setzen wir die Steigung = 0:<br />
Steigung = f ′ (x) = 0<br />
→<br />
3<br />
8 x2 − 3x + 9<br />
2 = 0 → x 1 = 2 x 2 = 6<br />
y 1 = f(2) = 1<br />
8 ⋅ 23 − 3<br />
2 ⋅ 22 + 9 ⋅ 2 = 4 → (2/4)<br />
2<br />
Krümmung = f ′′ (2) = 3 4 ⋅ 2 − 3 = − 3 2 < 0<br />
y 2 = f(6) = 1<br />
8 ⋅ 63 − 3<br />
2 ⋅ 62 + 9 ⋅ 6 = 0 → (6/0)<br />
2<br />
Krümmung = f ′′ (6) = 3 4 ⋅ 6 − 3 = + 3 2 > 0<br />
Mit GeoGebra:<br />
→ Hochpunkt H(2/4)<br />
→ Tiefpunkt T(6/0)<br />
Man schreibt die Funktionsgleichung in das Algebra-Fenster und betätigt ENTER.<br />
Damit erscheint gleichzeitig im Grafik-Fenster der Funktionsgraph.<br />
Nun schreibt man in die folgende Eingabe-Zeile den Befehl<br />
Extremum[ ]<br />
Der Name unserer Funktion ist f .<br />
Deshalb ersetzen wir durch f.<br />
Dann betätigen wir ENTER.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 275 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Wir erhalten die Punkte A ( 2 / 4 ) und B ( 6 / 0 ).<br />
Im Grafik-Fenster lässt sich leicht ersehen, wer Hoch- und wer Tiefpunkt ist: H ( 2 / 4 ) und T ( 6 / 0 )<br />
f ′ (x) = 0<br />
– Erkläre, wie man die Extrema einer Polynomfunktion f 3. Grades bestimmen kann.<br />
erklären, erläutern . . .<br />
mit Hilfe mathematischer Fachsprache einen Rechengang angeben<br />
→ x 1 , x 2<br />
f ′′ (x 1 ) < 0 → Maximum (Hochpunkt) → y 1 = f(x 1 ) → H(x 1 /y 1 )<br />
f ′′ (x 2 ) > 0 → Minimum (Tiefpunkt) → y 2 = f(x 2 ) → T(x 2 /y 2 )<br />
– Dokumentiere, wie man die Extrema einer Polynomfunktion f 3. Grades bestimmen kann.<br />
dokumentieren, beschreiben . . .<br />
einen Rechengang (Lösungsweg) in Worten angeben<br />
1. Ableitung gleich null gesetzt. Gleichung liefert zwei x-Werte. Diese in die 2. Ableitung eingesetzt.<br />
Erhält man eine negative Zahl, so ist es der Hochpunkt. Erhält man eine positive Zahl, so ist es der Tiefpunkt.<br />
Die dazugehörigen y-Werte erhält man, indem man die x-Werte in f(x) einsetzt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38&t=153s<br />
manfred.ambach 276 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Die Wurfbahn einer Kugel wird durch folgende Funktion beschrieben:<br />
f(x) ... Flughöhe in Metern (m)<br />
x ... Flugweite in m<br />
– Ermitteln Sie die maximale Wurfhöhe.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Folgende Überlegungen führen ans Ziel:<br />
f(x) = − 3<br />
121 x2 + 6<br />
11 x<br />
Die maximale Flughöhe ist die y-Koordinate y 1 des Hochpunktes H.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Mit GeoGebra:<br />
Die maximale Wurfhöhe beträgt 3 m.<br />
manfred.ambach 277 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
– Bestimmen Sie den Aufschlagwinkel der Kugel beim Landen auf dem Boden.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Der Aufschlagwinkel ist der Winkel, den die Tangente im Aufschlagpunkt mit der x-Achse einschließt.<br />
Bestimmen wir zunächst den Punkt, in dem die Kugel aufschlägt: Das ist der rechte Nullpunkt von f.<br />
Die rechte Nullpunkt hat die Koordinaten (22/0) .<br />
Bemerkung: Damit kennen wir auch die Wurfweite: 22 m<br />
An der Stelle x 1 = 22 berechnen wir nun den Aufschlagwinkel.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Dazu benötigen wir erstmal die Steigung der Tangente an der Stelle x 1 = 22 :<br />
Beachte, dass zuvor schon die Gleichung<br />
der Funktion eingegeben sein muss<br />
manfred.ambach 278 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
k = – 0,55<br />
Für jede Steigung gilt:<br />
Beachte: Gefälle = negative Steigung<br />
k = tan (α)<br />
α = tan −1 (−0, 55)<br />
α = −28, 81 o bzw. 180 o – 28, 61 o = 151, 19 o<br />
Bemerkung: Der Winkel kann sowohl negativ als auch positiv angegeben werden. Es sind beide Lösungen richtig.<br />
Ich würde die negative Lösung belassen. Ein negativer Winkel bedeutet, er wird mit dem Uhrzeigersinn<br />
aufgetragen (siehe Skizze).<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 279 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
7.3.2. Krümmung f′′<br />
Die Krümmung ist ein Maß, wie stark sich die<br />
Steigung ( also die Richtung ) ändert.<br />
Je stärker die Steigungs-, also Richtungsänderung,<br />
umso stärker ist die Krümmung.<br />
Ist eine Kurve rechts gekrümmt,<br />
so nimmt die Steigung von links gesehen ab.<br />
Deshalb ist rechte Krümmung negativ.<br />
Ist eine Kurve links gekrümmt,<br />
so nimmt die Steigung von links gesehen zu.<br />
Deshalb ist linke Krümmung positiv.<br />
Somit lässt sich, wie schon auf S 274 angedeutet, mit Hilfe der Krümmung mathematisch zeigen, ob das<br />
berechnete Extremum einen Hochpunkt H oder ein Tiefpunkt T darstellt:<br />
Ein Extremum im Bereich rechter (negativer) Krümmung<br />
muss ein Hochpunkt H sein.<br />
Ein Extremum im Bereich linker (positiver) Krümmung<br />
muss<br />
ein Tiefpunkt T sein.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Deshalb gilt, wie schon erwähnt:<br />
f ''(x) > 0<br />
f '' ( x E ) < 0 ➝ Extremum ist Hochpunkt H<br />
E ( x E / y E )<br />
f '' ( x E ) > 0 ➝ Extremum ist Tiefpunkt T<br />
manfred.ambach 280 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel:<br />
– Schreibe in folgende Tabelle, welchen Wert ( +, – oder 0 ) f, f′ und f′′ an den angegebenen Stellen<br />
besitzt.<br />
Lösungen:<br />
x = –1<br />
x = 0<br />
x = 1<br />
x = 2<br />
x = 3<br />
f f′ f′′<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 281 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
7.3.3. Wendepunkt & Wendetangente<br />
Wollen wir den Wendepunkt W bestimmen, suchen wir jene Punkte der Kurve,<br />
in denen die Krümmung Null ist. Deshalb setzen wir die Krümmung<br />
Für die Krümmung denken wir uns eine Straße aus der<br />
Vogelperspektive betrachtet, die wir in Schreibrichtung, also<br />
von links kommend, durchfahren.<br />
Zunächst müssen wir nach rechts lenken,<br />
anfangs leicht, in der Folge stärker, weil die<br />
Straße rechts gekrümmt ist. Den stärksten<br />
Einschlag verzeichnen wir im Hochpunkt H.<br />
Danach beginnen wir nach links zu lenken,<br />
haben aber das Lenkrad noch geraume Zeit<br />
rechts der neutralen Geradeaus-Stellung. Erst im Punkt W ist<br />
das Steuer für einen Augenblick in Neutralstellung. Danach<br />
links davon, weil die Straße ab hier links gekrümmt ist. Den<br />
stärksten Links-Einschlag verzeichnen wir im Tiefpunkt T.<br />
Danach beginnen wir wieder nach rechts zu lenken. Das<br />
Lenkrad wird jedoch bei diesem Kurvenverlauf nie mehr die<br />
Geradeaus-Stellung erreichen oder gar eine rechts davon.<br />
f ’’ = 0<br />
Im Wendepunkt ist die Steigung am größten (maximal) bzw.<br />
oder<br />
Im sog. Wendepunkt W ändert sich der Krümmungssinn der<br />
Kurve. Im Punkt W selbst ist die Krümmung null, weil sich das<br />
Lenkrad für einen Moment in Neutralstellung befindet, wie auf<br />
geraden Straßen.<br />
das Gefälle am größten (maximal)<br />
Nur zur Ansicht<br />
Im Wendepunkt ist die Steigung am kleinsten (minimal) bzw.<br />
das Gefälle am kleinsten (minimal)<br />
manfred.ambach 282 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel: f(x) = 1<br />
8 x3 − 3<br />
2 x2 + 9<br />
2 x<br />
– Berechne den Wendepunkt dieser Funktion.<br />
berechnen (bestimmen, ermitteln): konkrete Berechnung(en) anstellen<br />
Händische Berechnung:<br />
y = f(x) = 1<br />
8 x3 − 3<br />
2 x2 + 9<br />
2 x<br />
Steigung = f ′ (x) = 3<br />
8 x2 − 3x + 9<br />
2<br />
Krümmung = f ′′ (x) = 3 x − 3<br />
4<br />
Da im Wendepunkt die Krümmung= 0 ist, setzen wir die Krümmung = 0:<br />
Krümmung = f ′′ (x) = 0<br />
→<br />
3<br />
x − 3 = 0<br />
4<br />
→ x = 4<br />
y = f(4) = 1<br />
8 ⋅ 43 − 3<br />
2 ⋅ 42 + 9 ⋅ 4 = 2 → W(4/2)<br />
2<br />
Wendepunkt mit GeoGebra<br />
<br />
Funktionsgleichung eingeben<br />
Nur zur Ansicht<br />
<br />
Befehl: Wendepunkt[ ] eingeben &<br />
ENTER<br />
Der nebenstehende Befehl erscheint<br />
<br />
Da unsere Funktion f heißt, schreiben wir in das Feld<br />
f<br />
manfred.ambach 283 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
ENTER betätigt und der Wendepunkt, hier mit A bezeichnet, wird angegeben.<br />
Gleichzeitig erscheint im Grafik-Fenster der Graph der Funktion samt eingezeichnetem Wendepunkt.<br />
Will man den Wendepunkt auf W umbenennen, siehe S 194.<br />
– Erkläre (erläutere), wie man den Wendepunkt einer Polynomfunktion 3. Grades bestimmen kann.<br />
erklären, erläutern . . . mit mathematischer Fachsprache einen Rechengang angeben<br />
f ′′ (x) = 0 → x 1<br />
y 1 = f(x 1 ) → W(x 1 /y 1 )<br />
– Dokumentiere, wie man den Wendepunkt einer Polynomfunktion 3. Grades bestimmen kann.<br />
Nur zur Ansicht<br />
dokumentieren, beschreiben . . . Lösungsweg in Worten beschreiben<br />
Bildet erste und zweite Ableitung.<br />
Zweite Ableitung null gesetzt, liefert x-Wert x 1.<br />
x 1 in Funktionsgleichung eingesetzt, liefert dazugehörigen y-Wert y 1.<br />
manfred.ambach 284 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Wendetangente: Die Wendetangente tW ist die Tangente im Wendepunkt<br />
Händische Berechnung:<br />
Die Steigung der Tangente ist die erste Ableitung der Funktion<br />
<br />
W(4/2) → k = f ′ (4) = 3<br />
⋅ 8 42 − 3 ⋅ 4 + 9<br />
= − 3<br />
2 2<br />
Eine Tangente ist eine Gerade,<br />
die eine Kurve in einem Punkt berührt.<br />
Gleichung einer Geraden: tW: y = k . x + d<br />
Diese Gleichung beschreibt dann eine konkrete Gerade,<br />
wenn wir die Zahlenwerte für k und d kennen.<br />
Zwei Überlegungen führen uns auf diese Größen:<br />
Da der Wendepunkt auch auf der Wendetangente liegt, können wir seine Koordinaten für x und y sowie<br />
das errechnete k in die Gleichung der Tangente einsetzen :<br />
tW: y =<br />
k . x + d<br />
Nur zur Ansicht<br />
x y<br />
3<br />
W ( 4 / 2 ) : 2 = . 4 + d<br />
2<br />
2 = – 6 + d | + 6<br />
8 = d<br />
Die Werte für k und d in die Geradengleichung eingesetzt, liefert die Gleichung der Wendetangente:<br />
t W : y = − 3<br />
2<br />
x + 8<br />
manfred.ambach 285 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Bemerkung 1: Hat eine Funktion mehrere Wendepunkte, so besitzt jeder Wendepunkt eine eigene Wendetangente.<br />
Bemerkung 2: Auf diese Weise kann jede Tangente in (irgend-)einem Berührpunkt einer Kurve aufgestellt werden.<br />
Wendetangente mit GeoGebra<br />
<br />
<br />
<br />
Funktionsgleichung eingeben<br />
Wendepunkt bestimmen<br />
Befehl Tangente[ , ] eingeben<br />
Nur zur Ansicht<br />
Der x-Wert des Wendepunktes ist 4 und der Name der Funktion ist f.<br />
manfred.ambach 286 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
– Bestimmen Sie bei der Funktion f(x) = 1<br />
8 x3 − 3<br />
2 x2 + 9<br />
x die Stelle mit dem größten Gefälle.<br />
2<br />
Gedankengänge: Das größte Gefälle ist das Maximum des Gefälles, also der (negativen) Steigung.<br />
Im Wendepunkt ist die Steigung maximal<br />
W ( 4 / 2 )<br />
Die Stelle ist die x-Koordinate.<br />
An der Stelle x = 4 ist das Gefälle am größten<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 287 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
– Begründen Sie, warum eine Polynomfunktion 3. Grades höchstens (maximal) einen Wendepunkt besitzen kann.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Die Funktion f ist 3. Grades.<br />
Die erste Ableitung f‘ (Steigung) ist 2. Grades.<br />
Die zweite Ableitung f‘‘ (Krümmung) ist 1. Grades.<br />
Im Wendepunkt ist die Krümmung = 0. Setzen wir die Krümmung null, erhalten wir mit 6 a x + 2 b = 0<br />
eine lineare Gleichung in x. Diese hat mit<br />
Damit kann die Funktion nur einen Wendepunkt besitzen.<br />
https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38&t=153s<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 24<br />
Weil bei n = 1 ist<br />
1<br />
= 1<br />
= 1<br />
= 1<br />
2 n−1 2 1−1 2 0<br />
1 = 1<br />
nur eine Lösung.<br />
Nur zur Ansicht<br />
bei n = 2 ist<br />
bei n = 3 ist<br />
1<br />
= 1<br />
= 1<br />
= 1<br />
2 n−1 2 2−1 2 1 2<br />
1<br />
= 1<br />
= 1<br />
= 1<br />
2 n−1 2 3−1 2 2 4<br />
x = − 2 b<br />
6 a<br />
So lässt sich 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1<br />
16 + 1<br />
32<br />
usw.<br />
+ . . . darstellen als<br />
2 + 1<br />
2 1−1 + 1<br />
2 2−1 + 1<br />
2 3−1 + 1<br />
2 4−1 + 1<br />
2 5−1 + . . . + 1<br />
2 n−1<br />
Fortsetzung S 299<br />
manfred.ambach 288 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Fassen wir zusammen:<br />
Nullpunkte<br />
Alle Nullpunkte haben y = 0, weil sie auf der x-Achse<br />
liegen.<br />
Extrema<br />
Im Hoch- und Tiefpunkt hat die Tangente die Steigung null,<br />
weil sie waagrecht liegt.<br />
Wendepunkte<br />
N2<br />
f ''(x) > 0<br />
Im Wendepunkt ist die Krümmung null.<br />
Denke an das Lenken auf einer kurvigen Straße.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 289 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Stellen wir y = f (x), die Steigung f '(x) und die Krümmung f ''(x) des letzten Beispiels als Funktionen<br />
grafisch dar:<br />
Zur Orientierung:<br />
f (x) f ' (x) f '' (x)<br />
Im Hochpunkt H und Tiefpunkt T ist<br />
die Steigung f '(x) = 0. Deshalb hat<br />
der Graph von f '(x) dort seine<br />
Nullpunkte (bei x = 2 und x = 6), wo<br />
die Funktion f (x) ihre Extrema hat.<br />
Vor dem Wendpunkt W ist die<br />
Funktion f (x) rechts gekrümmt,<br />
die Steigung nimmt also ab.<br />
Deshalb ist der Graph von f ' (x) vor<br />
dem Wendepunkt monoton fallend.<br />
Nach dem Wendepunkt ist f (x)<br />
links gekrümmt, demnach nimmt die<br />
Steigung zu. So ist der Graph von<br />
f ' (x) nach dem Wendepunkt<br />
monoton steigend.<br />
Das Extremum der Steigung f ' (x)<br />
liegt an der Stelle des Wendepunktes<br />
von f.<br />
Im Wendepunkt ist die Krümmung f ''(x) = 0.<br />
Deshalb besitzt der Graph von f ''(x) an der<br />
x-Koordinate des Wendepunktes ( x = 4 ) seinen<br />
Nullpunkt.<br />
Vor dem Wendpunkt W ist die Funktion f (x)<br />
rechts gekrümmt, die Krümmung also negativ.<br />
Deshalb liegt der Graph von f ''(x) vor dem<br />
Wendepunkt unterhalb der x-Achse.<br />
Nach dem Wendepunkt ist f (x) links gekrümmt,<br />
demnach die Krümmung f '' (x) positiv.<br />
So liegt der Graph von f '' (x) nach dem<br />
Wendepunkt oberhalb der x-Achse.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Da sich durch das Ableiten der Grad der<br />
entstehenden Funktion jeweils um eins<br />
erniedrigt, ist in diesem Fall<br />
f (x) . . . 3. Grades<br />
f‘ (x) . . . 2. Grades (quadratisch)<br />
f‘‘ (x) . . . 1. Grades (linear)<br />
manfred.ambach 290 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel:<br />
Gegeben ist die Gleichung der Funktion f(x) = 1<br />
8 x3 − 3<br />
2 x2 + 9<br />
2 x .<br />
– Stelle die Graphen von f, f‘ und f‘‘ in einem Koordinatensystem dar.<br />
Man schreibt in die Eingabe-Zeile die Gleichung der Funktion f<br />
ENTER betätigt und im Grafik-Fenster erscheint der Funktions-Graph.<br />
Nun schreibt man in die Eingabe-Zeile f‘(x) und betätigt ENTER .<br />
Im Algebra-Fenster<br />
erscheint<br />
die erste Ableitung f‘<br />
und im Grafik-Fenster<br />
der Graph von f‘.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 291 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Jetzt wollen wir f‘‘ bilden:<br />
Siehe auch<br />
Eine einfache Merkregel:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Das bedeutet:<br />
Die Extrema von y = f liegen an den Stellen der Nullpunkte der Steigung f′ ,<br />
die Wendepunkte von y = f liegen an den Stellen der Extrema von f′ und den Nullpunkten der Krümmung f′′ ,<br />
die Wendepunkte von f′ liegen an den Stellen der Extrema von f′′.<br />
manfred.ambach 292 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel der Zentralmatura am 10.5.2017<br />
Fußballspielen<br />
Ronald und Julian spielen auf einer horizontalen Wiese Fußball.<br />
Die Flugbahn des Balles kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades h beschrieben<br />
werden. Dabei wird der Ball als punktförmig angenommen.<br />
h(x) = −0,003 ⋅ x 3 + 0,057 ⋅ x 2 mit x ≥ 0<br />
x … horizontale Entfernung des Balles vom Abschusspunkt in Metern (m)<br />
h(x) … Höhe des Balles über dem Boden an der Stelle x in m.<br />
a) – Ermitteln Sie den für diesen Sachzusammenhang größtmöglichen sinnvollen Definitionsbereich<br />
für die Funktion h.<br />
– Bestimmen Sie den höchsten Punkt der Flugbahn.<br />
b) Julian fängt den Ball aus einer Höhe von 1,80 m.<br />
– Berechnen Sie die beiden horizontalen Entfernungen von der Abschussstelle, an denen Julian sich dabei<br />
befinden kann.<br />
c) Ronald überlegt, ob er bei diesem Schuss den Ball über ein 2,8 m hohes Klettergerüst, das in direkter<br />
Schussrichtung 10 m von der Abschussstelle entfernt steht, schießen könnte.<br />
– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Schuss tatsächlich über das Klettergerüst fliegen<br />
kann.<br />
Möglicher Lösungsweg: a)<br />
Nur zur Ansicht<br />
Der Ball fliegt im Koordinatenursprung los, weil laut Angabe x ≥ 0 sein soll und landet bei x = 19 auf der<br />
horizontalen Wiese.<br />
Deshalb lautet die größtmögliche sinnvolle Definitionsmenge D f = [0; 19]<br />
manfred.ambach 293 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Der höchste Punkt ist der Hochpunkt von h:<br />
Der höchste Punkt (Hochpunkt) ist offensichtlich B = H(12,67/3,05)<br />
b)<br />
Wir legen eine Gerade auf der Höhe 1,8 m. Diese Gerade hat die Gleichung y = 1, 8 weil ja alle Punkte auf ihr<br />
den y-Wert 1,8 haben sollen.<br />
Jetzt schneiden wir die Funktion h mit der Geraden y = 1, 8 die GeoGebra g<br />
benannt hat.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Damit erhalten wir die drei Schnittpunkte A, B und C.<br />
A kommt nicht in Frage, weil seine x-Koordinate –5 beträgt und damit nicht x ≥ 0 erfüllt.<br />
Die beiden horizontalen Entfernungen von der Abschussstelle betragen demnach 7,10 m und 16,90 m<br />
(auf zwei Nachkommastellen gerundet).<br />
manfred.ambach 294 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
c)<br />
Kompensationsprüfung am 05.06.2018<br />
Da der y-Wert an der Stelle x = 10 mit h(10) = 2, 7 beträgt, besitzt<br />
der Ball an dieser Stelle nur eine Höhe von 2,70 m über dem Boden und<br />
kann hier nicht über das Klettergerüst fliegen, das ja 2,80 m hoch ist.<br />
Das Höhenprofil des ersten Abschnitts einer Laufstrecke in einem Wald kann annähernd durch die<br />
Polynomfunktion g geschrieben werden:<br />
g(x) = a . x² + b . x + c mit 0 ≤ x ≤ 30<br />
x … waagrechte Entfernung vom Startpunkt in m<br />
g(x) … Höhe bei Entfernung x in m<br />
Der Startpunkt befindet sich in 40 m Höhe und besitzt ein Gefälle von 5%. In einer waagrechten Entfernung<br />
von 25 m vom Startpunkt wird die maximale Höhe erreicht.<br />
– Stellen Sie das Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten dieser Polynomfunktion berechnet<br />
werden können.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Die Gedankengänge:<br />
Koeffizienten = Vorzahlen a, b und c 3 Bestimmungsstücke → 3 Angaben<br />
Nur zur Ansicht<br />
Startpunkt P( 0/40 ) → g(0) = 40<br />
In P( 0/40 ) ist Gefälle 5 % → g‘(0) = – 0,05<br />
Bei x = 25 eine Extremstelle → g‘(25) = 0<br />
! Gefälle = negative Steigung<br />
manfred.ambach 295 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
CAS-Fenster:<br />
Nicht vergessen: Nach g (x)<br />
schreiben.<br />
– Stellen Sie die Gleichung der Funktion auf.<br />
Das Gleichungssystem lautet:<br />
g(0)=40 c = 40<br />
g’(0)=–0,05<br />
bzw.<br />
b = – 1<br />
g’(25)=0 50 a + b = 0<br />
Mit gedrückter<br />
Nur zur Ansicht<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
20<br />
-Taste und gedrückter linker Maustaste<br />
diejenigen Zeilennummern markieren, in denen die Gleichungen<br />
stehen (hier die Nummern 2, 3 und 4, die dann grau unterlegt sind).<br />
Schließlich noch den Button<br />
g(x) = 1<br />
⋅ 1 000 x² − 1 ⋅ x + 40<br />
20<br />
betätigen.<br />
f ist eine Polynomfunktion 3. Grades. f hat im Punkt P(3/2) einen Hochpunkt und an der Stelle x = 0<br />
eine Wendestelle mit der Steigung k = 1 .<br />
– Kreuzen Sie die Bedingung an, die nicht den obigen Angaben entspricht: [ 1 aus 5 ]<br />
manfred.ambach 296 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
f ′ (3) = 0<br />
f(0) = 0<br />
f ′ (0) = 1<br />
f′′(0) = 0<br />
f(3) = 2<br />
Solche Aufgaben nennen sich “ 1 aus 5 ” , weil immer genau eine gebotene Alternative die geforderte ist.<br />
Lösung:<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
f ′ (3) = 0 ist richtig, weil P ein Extremum ist und dort die Steigung null ist.<br />
f(0) = 0 ist falsch, weil der Wendpunkt nicht automatisch y = 0 hat.<br />
f ′ (0) = 1 ist richtig, weil die Steigung im Wendepunkt laut Angabe 1 ist.<br />
f ′′ (0) = 0 ist richtig, weil bei x = 0 der Wendepunkt liegt.<br />
f(3) = 2 ist richtig, weil P ein Punkt von f ist.<br />
Für die Strecke zwischen den Stationen Christopher Street und Canal Street des Train 3 der New Yorker Subway<br />
benötigt ein Zug durchschnittlich ca. 3,97 Minuten.<br />
Der zurückgelegte Weg des Zuges zwischen den beiden Stationen lässt sich näherungsweise durch folgende<br />
Funktion beschreiben:<br />
s(t) = −0,0003 ⋅ t 3 + 0,1128 ⋅ t 2 + 2,48 ⋅ t<br />
t … Zeit nach der Abfahrt in Sekunden s, 0 ≤ t ≤ 240<br />
s(t) … zurückgelegter Weg in Metern (m) zum Zeitpunkt t<br />
a) – Berechnen Sie die Länge der Strecke s, die der Zug wischen beiden Stationen zurücklegt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Der Zug benötigt für diese Strecke 238, Sekunden, also setzen wir für t diesen Wert in s(t) ein.<br />
s(238, 2) = −0,0003 ⋅ 238, 2 3 + 0,1128 ⋅ 238, 2 2 + 2,48 ⋅ 238, 2 = 2 936,34 m<br />
Die Strecke zwischen den beiden Stationen ist ca. 2 936 m lang.<br />
manfred.ambach 297 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
b) – Ermitteln Sie die mittlere Geschwindigkeit des Zuges in km/h im Intervall [40 ; 120]<br />
mittlere Geschwindigkeit = mittlere Änderungsrate<br />
m. Ä. = s(120)−s(40)<br />
120−40<br />
= 1 403,52−260,48<br />
80<br />
s(120) = 1 403,52 s(40) = 260,48<br />
. . . oder mit GeoGebra . . .<br />
= 14,29 m/s =<br />
14,29 m<br />
Die mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) beträgt 51,44 km/h.<br />
– Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeit in m/s zum Zeitpunkt t = 120 s.<br />
Nur zur Ansicht<br />
1 s<br />
=<br />
0,01429 km<br />
1<br />
3 600 h = 51,44 km/h<br />
momentane Geschwindigkeit = momentane Änderungsrate = s′<br />
s(t) = −0,0003 ⋅ t 3 + 0,1128 ⋅ t 2 + 2,48 ⋅ t<br />
s′(t) = −0,0009 ⋅ t 2 + 0,2256 ⋅ t + 2,48<br />
s ′ (120) = −0,0009 ⋅ 120 2 + 0,2256 ⋅ 120 + 2,48 = 16,59 m/s<br />
. . . oder mit GeoGebra<br />
c) – Dokumentieren Sie, wie man am unten abgebildeten Weg-Zeit Diagramm die<br />
Momentangeschwindigkeit ablesen kann.<br />
Die Momentangeschwindigkeit entspricht der<br />
Steigung der Tangente in einem bestimmten<br />
Punkt der Kurve.<br />
manfred.ambach 298 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
– Lesen Sie näherungsweise den Zeitpunkt ab, in dem die Momentangeschwindigkeit am größten ist.<br />
Die größte Momentangeschwindigkeit ist das Maximum der Momentangeschwindigkeit.<br />
Momentangeschwindigkeit: s ′ (t) → Maximum der Momentangeschwindigkeit: s ′′ (t) = 0<br />
Das bedeutet, dass im Wendepunkt von s(t) die Momentangeschwindigkeit am größten ist.<br />
Dieser liegt in etwa bei t = 125 s<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 25<br />
Nur zur Ansicht<br />
Summe = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . + 1<br />
2 n−1<br />
1<br />
2 Summe = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1<br />
16 + 1<br />
32 + 1<br />
64 + . . . + 1<br />
2 n−1 +<br />
1<br />
2 n<br />
Bedenke:<br />
1<br />
⋅ 1<br />
= 1⋅1<br />
= 1<br />
= 1<br />
2 2 n−1 2 1 ⋅ 2 n−1 2 1+n−1 2 n (Potenzregel P1, 2.2.2. S 59)<br />
Fortsetzung S 320<br />
manfred.ambach 299 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
7.4. Kleine Betriebskunde<br />
Alle Begriffe sind aus Sicht des Produzenten bzw. Verkäufers und nicht des Konsumenten.<br />
Fagus-Werk in Alfeld<br />
Im Folgenden einige Begriffe der Kosten- und Preistheorie und ihre<br />
Anwendungen in der Differentialrechnung:<br />
x … die Mengeneinheiten (ME)<br />
des erzeugten bzw. verkauften Produktes<br />
K(x) … die Gesamtkosten, die dem Unternehmen bei Erzeugung<br />
von x ME des Produktes entstehen<br />
p(x) … Preis eines Produktes in Geldeinheiten (GE)<br />
bei Verkauf von x ME des Produktes<br />
E(x) … Erlös (Einnahmen) in GE für das Unternehmen bei Verkauf von x ME des Produktes<br />
G(x) … Gewinn bei Verkauf von x ME des Produktes<br />
n(x) … Preis-Funktion der Nachfrage<br />
Höchstpreis p H :<br />
Jener Preis, bei dem nichts mehr verkauft wird.<br />
p H = p(0)<br />
Sättigungsmenge x S :<br />
Jene Menge, die höchstens abgegeben werden<br />
kann, wenn der Preis null ist.<br />
p(x) = 0 → x S<br />
E(x) = p(x) ⋅ x<br />
Gewinn = Einnahmen – Ausgaben<br />
G(x) = E(x) − K(x)<br />
Nur zur Ansicht<br />
x S ist die Nullstelle von n.<br />
manfred.ambach 300 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Wie kann es sein, dass man von einer<br />
Ware, die verschenkt wird, nicht<br />
grenzenlos viel absetzen kann?<br />
Lieber Fredo, stell dir vor, es gäbe Nägel<br />
geschenkt. Wie viele würdest du davon<br />
heimschleppen?<br />
Gewinnzone:<br />
Die Gewinnzone ist jener Bereich der ME, bei dem ein Gewinn erwirtschaftet wird.<br />
Es ist der Bereich zwischen den (positiven) Nullstellen der Gewinnfunktion.<br />
G(x) = 0 → x 1 , x 2 > 0 Gewinnzone = [ x 1 ; x 2 ]<br />
x 1 nennt man den Break-Even (Point): Jene Menge des verkauften Produktes,<br />
bei der erstmals kein Verlust gemacht wird.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Die Gesamtkosten für die Produktion von Tageslichtlampen können durch folgende Funktion beschrieben werden:<br />
K(x) = 0, 01 ⋅ x 3 − 0, 75 ⋅ x 2 + 50 ⋅ x + 300<br />
x … Anzahl der produzierten Tageslichtlampen<br />
K(x) … Gesamtkosten in Euro bei Erzeugung von x Tageslichtlampen<br />
manfred.ambach 301 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Die Preis-Funktion lautet:<br />
p(x) = 100 − 0, 5 ⋅ x<br />
x … Anzahl der produzierten Tageslichtlampen<br />
p(x) … Preis in Euro pro Tageslichtlampe bei einem Verkauf von x Tageslichtlampen<br />
– Interpretieren Sie den Wert −0, 5 in der Funktion p(x) im gegebenen Sachzusammenhang.<br />
– Bestimmen Sie die Anzahl der Lampen, die verkauft werden müssen, damit der Gewinn maximal wird.<br />
– Ermittlen Sie den maximalen Gewinn.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
∗ −0, 5 bedeutet, dass der Preis für eine Tageslichtlampe pro verkaufter Lampe um 0, 5 Euro weniger wird.<br />
∗ Gewinn = Einnahmen − Ausgaben<br />
G(x) = E(x) − K(x)<br />
E(x) = p(x) ⋅ x = (100 − 0,5 ⋅ x) ⋅ x = 100 x − 0,5 ⋅ x²<br />
G(x) = 100 ⋅ x − 0,5 ⋅ x 2 − (0,01 ⋅ x 3 − 0,75 ⋅ x 2 + 50 ⋅ x + 300)<br />
G(x) = 100 ⋅ x − 0,5 ⋅ x 2 − 0,01 ⋅ x 3 + 0,75 ⋅ x 2 − 50 ⋅ x − 300<br />
G(x) = −0,01 ⋅ x 3 + 0,25 ⋅ x 2 + 50 ⋅ x − 300<br />
Mit GeoGebra:<br />
Maximum = Extremum:<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 302 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Offensichtlich ist der Punkt B ( 50 / 1 575 ) das Maximum.<br />
Beim Verkauf von 50 Tageslichtlampen wird maximaler Gewinn erzielt.<br />
Der maximale Gewinn beträgt 1 575 Euro.<br />
Nach einem Beispiel der Zentralmatura am 10.5.2017<br />
a) Ein Bekleidungsgeschäft bietet Polo-Shirts an und überlegt, wie sich der Preis der Polo-Shirts auf die verkaufte<br />
Stückzahl auswirkt.<br />
Der Preis für diese Polo-Shirts in Abhängigkeit der nachgefragten Menge kann durch die Funktion f<br />
beschrieben werden:<br />
f(x) = −0,125 ⋅ x + 100<br />
x … Anzahl der nachgefragten Polo-Shirts<br />
f(x) … Preis bei x nachgefragten Polo-Shirts in Euro pro Polo-Shirt<br />
Ein Polo-Shirt wird um 55 Euro verkauft<br />
– Berechnen Sie die entsprechende Anzahl der nachgefragten Polo-Shirts.<br />
– Bestimmen Sie den entsprechenden Erlös.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Wir kennen den Preis f(x) = 55 und suchen die entsprechende Menge x:<br />
Bei einem Preis von 55 Euro je Polo-Shirt werden 360 Polo-Shirts<br />
nachgefragt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
E(x) = f(x) ⋅ x<br />
Bei 360 verkauften Polo-Shirts beträgt der Erlös 19 800 Euro.<br />
manfred.ambach 303 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
b) Der Zusammenhang zwischen dem Preis und der nachgefragten Menge an T-Shirts wird durch die<br />
Preisfunktion der Nachfrage festgelegt.<br />
Der Graph der Preisfunktion der Nachfrage g für T-Shirts ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.<br />
– Ermitteln Sie die Steigung der Funktion g.<br />
– Lesen Sie denjenigen Preis ab, bei dem gemäß diesem Modell niemand mehr bereit ist, ein T-Shirt zu kaufen.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Textilfarben werden im Großhandel in ganzen Paletten verkauft. Bei Abnahme größerer Mengen wird Mengenrabatt<br />
gewährt. Der Preis pro Palette kann durch folgendes Modell beschrieben werden:<br />
p(x) = 10 000 + a ⋅ e −b⋅x<br />
x … Palettenanzahl<br />
p(x) … Preis pro Palette in Euro, bei Abnahme von x Paletten<br />
manfred.ambach 304 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Bei Abnahme einer Palette beträgt der Preis 18 000 Euro, bei Abnahme von 2 Paletten beträgt der Preis<br />
für eine Palette 15 000 Euro.<br />
– Ermitteln Sie die Parameter a und b der Funktion p.<br />
– Stellen Sie die dazugehörige Erlösfunktion in Abhängigkeit von x auf.<br />
– Zeigen Sie nachweislich, dass der Erlös kein Maximum besitzt.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
*<br />
*<br />
*<br />
Man kann hier nicht den Befehl TrendExp[ ]<br />
wählen, weil dieser nur für Exponentialfunktionen der Form<br />
f(x) = f 0 ⋅ e ±λ⋅x bzw. N(t) = N 0 ⋅ e ±λ⋅t gilt!<br />
Der Befehl Extremum[ ] kann<br />
bei Exponentialfunktionen nicht verwendet werden!<br />
Nur zur Ansicht<br />
Da diese Gleichung keine Lösung besitzt, gibt es auch<br />
kein Maximum.<br />
https://www.youtube.com/watch?v=_gV6GGXV4j8&t=1050s<br />
manfred.ambach 305 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Den größten Fehler, den man im Leben machen kann, ist,<br />
immer Angst zu haben, einen Fehler zu machen.<br />
Dietrich BONHOEFFER<br />
( 1906 – 1945 )<br />
8. INTEGRIEREN<br />
Idee: univ. Prof. Sr. Stefan SILLER<br />
Bevor wir uns den Anwendungen der Integralrechnung widmen, werfen wir einen Blick auf die rechentechnischen Aspekte.<br />
8.1. Integrationsregel<br />
8.1.1. Potenzregel<br />
Nur zur Ansicht<br />
Differenzieren und Integrieren sind die jeweiligen Umkehrungen.<br />
Differenzieren<br />
Integrieren<br />
Die folgende Regel gibt an, wie Potenzen der Form x n (mit n als Zahl) integriert werden:<br />
manfred.ambach 306 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Potenzregel:<br />
Folgende Anmerkungen: Das Integralzeichen ist ein langgezogenes S und steht für Summe.<br />
dx ist ein feststehender Ausdruck und bedeutet nicht d . x<br />
C ist die sog. Integrationskonstante.<br />
Beispiel:<br />
∫ x 3 . dx = x3+1<br />
Die anderen Begriffe erfahren in<br />
3+1<br />
+ C = x4<br />
4<br />
+ C<br />
ihre geometrische Bedeutung.<br />
Wie beim Differenzieren, so darf auch beim Integrieren die Potenzregel nur dann verwendet werden,<br />
wenn in der Basis der Potenz nur die Variable steht und sich die Potenz nicht im Nenner befindet.<br />
<br />
… in der Basis steht NICHT nur die Variable<br />
Weiteres Beispiel für die Potenzregel:<br />
… die Potenz steht im NENNER<br />
Nur zur Ansicht<br />
∫ x . dx = ∫ x 1 . dx =<br />
Beispiel:<br />
3<br />
(2x 1)<br />
.dx <br />
(2x 1)<br />
4<br />
x2<br />
2<br />
+ c<br />
4<br />
C<br />
<br />
<br />
1<br />
x<br />
3<br />
.dx <br />
1<br />
4<br />
x<br />
4<br />
C<br />
∫ 4x 3 . dx = ∫ 4 . x 3 . dx = 4 . x4<br />
4<br />
1<br />
4 ⋅ x4<br />
+ C =<br />
4<br />
1<br />
x 4 + C<br />
manfred.ambach 307 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Konstante Faktoren ( . : ) werden, wie beim Differenzieren, unverändert übernommen.<br />
Beispiel:<br />
∫ 3 x2<br />
2<br />
Beispiel:<br />
∫ x −3 . dx =<br />
Beispiel:<br />
∫ 6<br />
5 x 2<br />
∫ k . x n . dx = k .<br />
x n+1<br />
n+1<br />
. dx = ∫ 3<br />
2 x2 . dx = 3<br />
2 ∫ x2 . dx = 3<br />
2 . x3<br />
+ C = x3<br />
+ C<br />
3 2<br />
x−2<br />
−2<br />
. dx = ∫ 6<br />
5 . 1<br />
x 2<br />
+ C = 1 . x−2<br />
+ C = 1<br />
−2<br />
−2<br />
Nur zur Ansicht<br />
+ C<br />
Dieser Buchstabe ist die Variable.<br />
. x −2 + C = − 1<br />
2 . x−2 + C = − 1<br />
2 . 1<br />
x 2 + C = − 1<br />
2 x 2<br />
Kehrwertregel für Potenzen P4:<br />
Potenzen im Nenner müssen vor dem Integrieren nach der<br />
Regel P4:<br />
. dx = ∫ 6<br />
5 . x−2 . dx =<br />
6<br />
5<br />
aus dem Nenner gebracht werden.<br />
x −1<br />
= − 6<br />
5 x−1 + C = − 6<br />
5 . 1<br />
x 1 + C = − 6<br />
5 . 1<br />
x + C = − 6 + C<br />
5 x<br />
Beispiel:<br />
∫ 1<br />
x<br />
. dx = ∫ x −1 . dx = x−1+1<br />
−1+1<br />
1 n<br />
x<br />
n<br />
x<br />
+ C = x0<br />
0<br />
−1<br />
+ C = 6 x−1<br />
+ C =<br />
−5<br />
+ C = ln|x| +c<br />
+ C<br />
Ein Bruch mit dem Nenner Null ist nicht definiert. Er ergibt keine Zahl (und auch sonst nichts).<br />
Obwohl in der Basis der Potenz nur die Variable steht, kann für n = – 1 die Potenzregel des Integrierens<br />
nicht angewendet werden, da der Nenner Null wird.<br />
manfred.ambach 308 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Es gilt:<br />
Differenzieren<br />
Beispiel:<br />
So muss doch zutreffen:<br />
Da der ln (x) nur für positive x existiert, muss<br />
geschrieben werden.<br />
x<br />
bedeutet den Betrag von x<br />
Der Betrag macht jede Zahl positiv.<br />
Beispiele:<br />
1 = x 0<br />
f (x) = ln x → f ’ (x) =<br />
Integrieren<br />
Da wir jede Konstante mit 1 bzw. x 0 multiplizieren können, erhalten wir integriert immer<br />
die Konstante mal der Variablen:<br />
Eine Konstante für sich ergibt integriert die Konstante mal der Variablen.<br />
Beispiel:<br />
Nur zur Ansicht<br />
dx = π . x + C<br />
<br />
1<br />
.dx ln<br />
x<br />
4 4 4 4<br />
0<br />
2.dx 2.1 .dx 2.x .dx 2. x<br />
<br />
<br />
x<br />
0<br />
C<br />
x<br />
x<br />
.dx 2.<br />
1<br />
∫ k . dx = k . x + C<br />
1<br />
1<br />
x<br />
C 2.x C<br />
.<br />
C<br />
Dieser Buchstabe ist die Variable!<br />
. dπ<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
manfred.ambach 309 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel:<br />
<br />
(3 x<br />
2<br />
Beispiel:<br />
Bemerkung: Hebe nur heraus, wenn du dir sicher bist!<br />
Beispiel:<br />
x<br />
4 x 1).dx<br />
3.<br />
3<br />
4 3 2<br />
oder x x c<br />
9<br />
∫(a x 3 + b x 2 + c x + d) . dx =<br />
x<br />
4.<br />
2<br />
Man darf gliedweise ( + – ) getrennt integrieren.<br />
a x 4<br />
4<br />
1.x<br />
C <br />
+<br />
b x3<br />
3<br />
+<br />
c x2<br />
2<br />
+ d . x + e<br />
Da in dieser Funktion c die Vorzahl von x darstellt, können wir diesen Buchstaben<br />
nicht als Integrationskonstante wählen.<br />
Ich habe e gewählt, in alphabetischer Reihenfolge.<br />
3<br />
2<br />
3.x<br />
3<br />
3<br />
1.x<br />
C x<br />
2 x<br />
x C<br />
Die integrierte Funktion nennt man Stammfunktion<br />
und bezeichnet sie mit F(x)<br />
Nur zur Ansicht<br />
2<br />
4.x<br />
<br />
2<br />
4<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
2 x<br />
( x 2 x ).dx 2.( x x ).dx 2. ( .x x ).dx 2. .<br />
3 3 3<br />
3 3<br />
2<br />
x <br />
C 2. <br />
2<br />
<br />
3<br />
2 x<br />
9<br />
3<br />
2<br />
2<br />
x <br />
C<br />
2<br />
<br />
Integrieren mit<br />
siehe<br />
manfred.ambach 310 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel:<br />
Wie heißt die Gleichung einer Funktion f, deren Graph durch den Punkt P(2/4) geht und deren Steigung<br />
f ′ (x) = x lautet?<br />
Differenzieren<br />
Integrieren<br />
f (x) = ∫ f ′(x). dx = ∫ x ⋅ dx = 1 2<br />
x 2 + C<br />
f(x) = 1 2 x2 + C<br />
ist eine quadratische Funktion, da die<br />
höchste Potenz von x quadratisch ist.<br />
Das C in der Gleichung bedeutet, dass<br />
wir eine ganze Schar von Funktionen<br />
dieser Form erhalten. Alle diese<br />
Funktionen haben an einer<br />
bestimmten Stelle die gleiche<br />
Steigung k = f′.<br />
Von den unendlich vielen Funktionen<br />
dieser Art suchen wir jene, deren<br />
Graph durch den Punkt P(2/4) geht:<br />
f(x) = y<br />
P(2/4) f(2) = 4<br />
f(2) = 1 2 ⋅ 22 + C<br />
Nur zur Ansicht<br />
f(2) = 4<br />
4 = 1 ⋅ 4 + C<br />
2<br />
4 = 2 + C<br />
2 = c<br />
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung<br />
f(x) = 1 2 x2 + 2<br />
manfred.ambach 311 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
8.1.2. Integrieren mit<br />
Integrieren in der Eingabe-Zeile bzw. im Algebra-Fenster<br />
Beispiel:<br />
Wir geben die Gleichung der Funktion in die Eingabe-Zeile bzw.<br />
ins Algebra-Fenster ein.<br />
Dann wählen wir den Befehl<br />
Integral( , )<br />
In unserem Beispiel heißt die Funktion f,<br />
die Variable, ach der integriert werden soll, ist x<br />
ENTER betätigt und das Integral der<br />
Funktion f<br />
erscheint als Funktion g.<br />
Außerdem sind im Grafik-Fenster die<br />
Graphen der Funktion f und deren Integral<br />
als Funktion g sichtbar.<br />
Die Integrationskonstante wird hier nicht<br />
mitgeliefert.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Integrieren im der CAS –Fenster<br />
<br />
<br />
4<br />
( x<br />
3<br />
2<br />
2x).dx <br />
Wir geben die Funktion im CAS-Fenster mit := ein<br />
Wählen den Befehl Integral( , )<br />
<br />
Schreiben Integral( f, x ) und betätigen ENTER.<br />
manfred.ambach 312 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Bemerkung 1: GeoGebra wählt als Integrationskonstanten c 1 , c 2 usw., wie in der Physik üblich.<br />
Bemerkung 2: Ist der Kreis unter der Zeilennummer blau ausgefüllt (geschieht durch rechten Mausklick), so<br />
erscheint die Funktionsgleichung auch im Algebra-Fenster und der Graph im Grafik-Fenster.<br />
Bemerkung 3: Im Algebra-Fenster steht c 1 = 0, weil der Funktionsgraph nur für einen konkreten Wert für c 1<br />
gezeichnet werden kann. GeoGebra wählt hier als Voreinstellung für c 1 = 0.<br />
Beispiel Zentralmatura am 16.1.2018<br />
Die Geschwindigkeit eines Autos kann im Zeitintervall [0 s ; 3 s]<br />
näherungsweise durch die Funktion v beschrieben werden.<br />
Der Graph dieser Funktion v ist in nachstehender Abbildung dargestellt<br />
km … Kilometer<br />
s … Sekunden<br />
– Erstellen Sie eine Gleichung der<br />
zugehörigen Weg-Zeit-Funktion s<br />
im Intervall [1 s ; 3 s] mit s(1) = 15.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Nur zur Ansicht<br />
v(t) = s ′ (t) → s(t) = ∫ v(t) ⋅ dt<br />
Siehe auch<br />
→<br />
v(t) = 5 ⋅ t + 10<br />
→ s(t) = 5 2 ⋅ t2 + 10 ⋅ t + C<br />
s(1) = 15 → 15 = 5 2 ⋅ 12 + 10 ⋅ 1 + C → C = 2, 5 → s(t) = 5 2 ⋅ t2 + 10 ⋅ t + 2, 5<br />
manfred.ambach 313 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
8.2. Flächenberechnungen<br />
8.2.1. Veranschaulichung<br />
Zunächst widmen wir uns der Frage, welche Flächeninhalte mittels Integral berechnet werden können:<br />
Das Integral berechnet den<br />
Inhalt jener Fläche, die in drei<br />
Begrenzungen einem Rechteck<br />
gleichen: Die Randlinien sind<br />
gerade und stehen angrenzend<br />
aufeinander im rechten Winkel.<br />
Die vierte Begrenzungslinie kann<br />
eine andere Form aufweisen: Sie<br />
muss mit ihren Nachbarn keinen<br />
rechten Winkel einschließen und<br />
kann auch gekrümmt sein.<br />
Mit Hilfe des Integrals werden<br />
Flächeninhalte dadurch<br />
bestimmt, indem das<br />
Flächenstück in Rechtecke<br />
gleicher Breite zerlegt wird. Die<br />
Längen dieser Rechtecke sind die<br />
jeweiligen Funktionswerte y = f<br />
(x).<br />
Nur zur Ansicht<br />
Summiert man die Inhalte dieser<br />
Rechtecke, so erhält man<br />
annähernd die Größe der<br />
gesuchten Fläche. Wie<br />
nebenstehende Skizze zeigt, wird<br />
der Flächeninhalt all dieser<br />
Rechtecke größer sein als der<br />
gesuchte.<br />
manfred.ambach 314 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Wir könnten auch Rechtecke wählen, die<br />
jeweils unterhalb des Graphen enden. Dann<br />
ergäbe die Summe dieser Rechteckflächen<br />
eine Fläche, die kleiner ist als der gesuchte<br />
Inhalt.<br />
Es genügt allerdings nicht, den Mittelwert<br />
der sog. Ober- und Untersumme zu<br />
bestimmen, da ja die Kurvenlinie gekrümmt<br />
ist und damit den Überlappungsbereich<br />
nicht halbiert.<br />
Überlappungsbereich:<br />
Ohne uns in die exakte Theorie zu<br />
vertiefen:<br />
Die Abweichungen bei Berechnung der<br />
Unter- bzw. Obersummen werden durch<br />
folgende Überlegung vermieden:<br />
Indem wir das gesuchte Flächenstück in<br />
unzählige und damit unendlich schmale<br />
Rechtecke unterteilen, werden die<br />
Überlappungsfehler immer kleiner und<br />
gehen schließlich gegen Null.<br />
Betrachten wir einmal ein einzelnes<br />
Rechteck:<br />
Die Breite dieses und jedes anderen<br />
Rechtecks erhalten wir, indem wir die<br />
Breite des Intervalls x2 – x1 durch die<br />
Anzahl der Rechtecke dividieren, in die wir<br />
das zu bestimmende Flächenstück<br />
unterteilen wollen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Sind es, allgemein ausgedrückt,<br />
n Rechtecke, so lautet jede Rechteckbreite<br />
∆x =<br />
x 2 − x 1<br />
n<br />
Die Rechteck-Länge ist der jeweilige<br />
y-Wert.<br />
Damit lautet der Inhalt eines solchen<br />
Rechtecks A = y . x<br />
manfred.ambach 315 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Zerlegen wir die gesuchte Fläche in<br />
unzählig viele Rechtecke, lassen wir also n<br />
immer größer werden. Damit wird wohl<br />
Δx = x 2−x 1<br />
immer kleiner.<br />
n<br />
Für eine so unendlich kleine Breite schreibt<br />
man dx.<br />
Somit lautet der Inhalt eines unendlich<br />
schmalen Rechtecks A = y . dx<br />
Bemerkungen:<br />
Δ ( Delta: griechisch: D, steht für Differenz )<br />
d steht für kleinste Differenzen<br />
dx ist ein feststehender Begriff<br />
und darf nicht als d . x gedeutet werden!<br />
Summieren wir die Inhalte der unendlich<br />
vielen und unendlich schmalen<br />
Rechtecke, so erhalten wir den<br />
gesuchten Flächeninhalt A:<br />
A = ∫ y ⋅ dx<br />
Nur zur Ansicht<br />
x 2<br />
x 1<br />
x 1 ... untere ( kleinere, links liegende )<br />
Grenze<br />
x 2 ... obere ( größere, rechts liegende )<br />
Grenze<br />
Was zu merken ist:<br />
Das Integral berechnet immer den<br />
Inhalt jener<br />
Fläche, die innerhalb der sog.<br />
Grenzen x1 und x2<br />
vom Funktionsgraphen und<br />
der x-Achse begrenzt wird.<br />
manfred.ambach 316 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel:<br />
Bestimme den Inhalt jener Fläche, die im Intervall [ – 2 ; 3 ] vom Graphen der Funktion f(x) = 1<br />
der x-Achse begrenzt wird?<br />
2<br />
x 2 + 1 und<br />
Berechnung per Hand:<br />
3<br />
A = ∫ y . dx = ∫ ( 1<br />
2 x2 + 1) . dx = [ 1<br />
2 . x 3<br />
3<br />
−2<br />
3<br />
−2<br />
Um den Sachverhalt zu veranschaulichen,<br />
stellen wir die Funktion grafisch dar.<br />
+ 1 . x]<br />
3<br />
−2<br />
Wir sollen den Inhalt jener Fläche bestimmen, die innerhalb<br />
der Grenzen x 1 = – 2 und x 2 = 3 von der Funktion und der<br />
x-Achse begrenzt ist.<br />
Das ist die gelb markierte Fläche.<br />
Integrieren wir die Funktion von x 1 = – 2 bis x 2 = 3 ,<br />
dann erhalten wir den Inhalt der gesuchten Fläche, denn<br />
das Integral bestimmt ja immer jene Fläche innerhalb der<br />
Grenzen, die dort vom Funktionsgraph und der x-Achse<br />
begrenzt ist.<br />
= [ x3<br />
6<br />
Nur zur Ansicht<br />
y = f(x) = 1<br />
2<br />
x 2 + 1<br />
= ( 3 3<br />
+ 3) − ( (−2)3<br />
+ (−2)) = 65<br />
E 2 = 10,83 E 2<br />
6<br />
6<br />
Es wird immer<br />
obere – untere<br />
Grenze<br />
gerechnet!<br />
6<br />
+ x]<br />
3<br />
−2<br />
=<br />
E ... steht für Längen-Einheit<br />
E 2 ... steht für Flächen-Einheit<br />
manfred.ambach 317 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Flächen- (Berechnung) mit GeoGebra<br />
Die Funktionsgleichung in die Eingabe-Zeile schreiben und ENTER drücken<br />
In die Eingabe-Zeile den Befehl<br />
Integral [ , , ]<br />
schreiben<br />
Im sich öffnenden Fenster schreiben wir<br />
Name unserer Funktion: f<br />
Startwert = untere Grenze = hier – 2<br />
Endwert = obere Grenze = hier 3<br />
ENTER<br />
Im Algebra-Fenster erscheint die Größe des Flächeninhalts (hier: a = 10,83)<br />
#<br />
im Grafik-Fenster die vom Integral berechnete Fläche farblich markiert samt berechnetem Inhalt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 318 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
https://www.youtube.com/watch?v=FYibSj7Lfa0&t=93s<br />
Das nebenstehende Diagramm<br />
beschreibt das Netto-Jahres-<br />
Einkommen E in Euro in<br />
Abhängigkeit des Lebensalters t<br />
einer Person zwischen 25 und 65<br />
Jahren (a):<br />
E(t) = 3,5 x²+300 x+20 500<br />
Nur zur Ansicht<br />
für 25 ≤ x ≤ 65 a<br />
– Lesen Sie das Netto-Monats-Einkommen dieser Person im 35. Lebensjahr ab.<br />
– Berechnen Sie die Lebensverdienstsumme dieser Person im angegebenen Zeitraum.<br />
– Interpretieren Sie den Ausdruck<br />
1<br />
⋅ 40 ∫65 E(t) . dt<br />
25<br />
manfred.ambach 319 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
* knapp 3 000 Euro<br />
65<br />
25<br />
* ∫ (3,5 x 2 + 300 x + 20500). dx = 1 662 166,67 Euro<br />
* Durchschnittliches (mittleres) Netto-Jahres-Einkommen dieser Person zwischen dem 25. Und 65. Lebensjahr.<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 26<br />
Nur zur Ansicht<br />
Summe 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1<br />
16 + 1<br />
32 + . . . + 1<br />
2 n−1<br />
− 1 2 Summe = −1 − 1 2 − 1 4 − 1 8 − 1 16 − 1 32 − . . . − 1<br />
2 n−1 − 1 2 n<br />
1<br />
2 Summe = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . + 0 − 1 2 n<br />
+<br />
Fortsetzung S 323<br />
manfred.ambach 320 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
8.2.2. Grundaufgaben<br />
8.2.2.1. Fläche innerhalb gegebener Grenzen<br />
gegeben: f (x) und [ x 1 ; x 2 ]<br />
Rufen wir uns in Erinnerung:<br />
Das Integral berechnet Flächeninhalte, indem es jene<br />
von Rechtecken ermittelt und deren Flächeninhalte<br />
summiert.<br />
In nebenstehender Abbildung besitzen im linken<br />
Flächenbereich die Rechtecklängen positive y-Werte.<br />
Im rechten Teil der gesuchten Fläche verfügen die<br />
Rechtecklängen über negative y-Werte, da hier der<br />
Graph unterhalb der x-Achse liegt.<br />
Die Rechteckbreiten dx sind in beiden Fällen positiv,<br />
da dx = x 2−x 1<br />
Nur zur Ansicht<br />
n<br />
z.B. x 1 = −2 x 2 = 3 → dx = 3−(−2)<br />
n ist als Anzahl immer eine positive Zahl<br />
n<br />
= 3+2<br />
= 5<br />
n n<br />
Da der Flächeninhalt eines Rechtecks das Produkt aus<br />
Länge mal Breite ist, werden die Rechteckflächen im<br />
linken Teilstück positiv, im rechten Teil wohl negativ.<br />
Würden wir von den gegebenen Grenzen x1 bis x2 in<br />
einem integrieren, so zögen sich die Inhalte der<br />
Teilflächen ab und wir erhielten damit ein geometrisch<br />
unsinniges Ergebnis!<br />
Wenn ein Bauer ober- und<br />
unterhalb eines Weges Felder<br />
besitzt, so wird er folgende<br />
Überlegung nicht anstellen:<br />
Das Feld oberhalb des Weges<br />
misst z.B. 8 ha, der Acker<br />
unterhalb des Weges ist 5 ha<br />
groß. Demnach benötige ich<br />
Saatgut für 8 ha – 5 ha = 3 ha!<br />
manfred.ambach 321 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Deshalb: Nicht automatisch über Nullstellen integrieren !<br />
Bezogen auf die obige Skizze ergibt sich demnach folgender Rechengang:<br />
(1) Nullstellen berechnen<br />
(2) Graph darstellen<br />
x N<br />
(3) A + = ∫ y. dx A<br />
x − = ∫ y. dx A<br />
1 x ges = |A + | + |A − |<br />
N<br />
x 2<br />
Bemerkung 1: Die Betragstriche || bei | A + | und | A – | bedeuten, dass die Ergebnisse positiv zu deuten sind.<br />
Bemerkung 2: Freilich besitzt diese Kurve drei Nullstellen, doch hat für die Flächenberechnung nur x N Bedeutung.<br />
Beispiel:<br />
Bestimme den Inhalt jener Fläche, die vom Graphen der Funktion<br />
im Intervall [ 0; 6 ] begrenzt ist.<br />
A + :<br />
und der x-Achse<br />
Nur zur Ansicht<br />
A + = 5,33 E²<br />
A − :<br />
f(x) = − x2<br />
8<br />
+ 2<br />
A − = −2,33 → A − = 2,33 E²<br />
A ges = A + + A − = 5,33 + 2,33 = 7,66 E 2<br />
manfred.ambach 322 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
8.2.2.2. Fläche von Funktion und Achse begrenzt<br />
Rechengang:<br />
(1) Nullstellen berechnen<br />
(2) Graph darstellen<br />
x 2<br />
gegeben: f (x)<br />
Der Unterschied zur ersten Art der<br />
Flächenberechnung besteht darin, dass<br />
wir diesmal keine Grenzen gegeben<br />
haben. Wie links ersichtlich, sind hier die<br />
Nullstellen die Grenzen.<br />
Auch bei dieser Art der Flächenermittlung<br />
kann ein Flächenteil oberhalb der<br />
x-Achse liegen und somit eine positive<br />
Zahl als Inhalt ergeben, ein anderer Teil<br />
sich unterhalb der x-Achse befinden und<br />
einen negativen Flächeninhalt als Ergebnis<br />
haben.<br />
Deshalb integrieren wir<br />
von Nullstelle zu Nullstelle.<br />
(3) A + = ∫ y. dx A<br />
x − = ∫ y. dx A<br />
1 x ges = |A + | + |A − |<br />
2<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 27<br />
x 3<br />
Nur zur Ansicht<br />
1<br />
2 Summe = 2 − 1 2 n | . 2<br />
Summe = 4 − 1<br />
denn<br />
2 n−1<br />
1<br />
2 n . 2 =<br />
1<br />
2 n . 2<br />
1 = 2<br />
2 n =<br />
2 1<br />
2 n =<br />
1<br />
2 n . 2 −1 = 1<br />
2 n−1<br />
Fortsetzung und Ende S 324<br />
manfred.ambach 323 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel:<br />
Bestimme den Inhalt jener Fläche, die vom Graphen der Funktion<br />
begrenzt ist.<br />
f(x) = − x3<br />
8<br />
+ 2 x und der x-Achse<br />
Die Unendlichkeit der Mathematik 28<br />
Summe = 4 − 1<br />
2 n−1<br />
A + :<br />
A + = 8 E²<br />
A − :<br />
A − = −8 → A − = 8 E²<br />
A ges = A + + A − = 8 + 8 = 16 E 2<br />
Nur zur Ansicht<br />
Je größer n wird, desto größer wird der Wert 2 n−1 , desto kleiner wird aber der Bruch<br />
da ja 1 durch eine immer größer werdende Zahl dividiert wird.<br />
Wenn n gegen unendlich strebt der Wert des Bruchs<br />
2 n−1 gegen Null.<br />
Damit erhalten wir für die Summe 4 – 0 = 4 .<br />
1<br />
1<br />
, 2 n−1<br />
* * *<br />
Die Gedankengänge entstammen dem Buch von<br />
Gaurav SURI & Hartosh SINGH BAL: Eine gewisse Ungewissheit oder Der Zauber der Mathematik. ISBN: 978-3-8321-8067-<br />
manfred.ambach 324 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
8.2.2.3. Fläche nur von 2 Funktionen begrenzt<br />
gegeben: f(x) und g(x)<br />
Wir wollen den Inhalt jenes<br />
Flächenstücks bestimmen, das nur<br />
von den Graphen der Funktionen<br />
f und<br />
g begrenzt wird.<br />
Die Grenzen dieses Flächenstücks<br />
sind offensichtlich die x-Koordinaten<br />
der Schnittpunkte S 1 und S 2 , die<br />
sogenannten Schnittstellen.<br />
Dieses Flächenstück reicht nicht bis<br />
zur x-Achse hinunter.<br />
Da das Integral aber immer die Fläche<br />
innerhalb der Grenzen bestimmt, die<br />
von Funktion und x-Achse begrenzt<br />
ist, gehen wir so vor:<br />
Zunächst integrieren die Funktion f<br />
innerhalb der Schnittstellen, also<br />
∫ f(x). dx<br />
Nur zur Ansicht<br />
x 2<br />
x 1<br />
und erhalten die in nebenstehender<br />
Skizze blau markierte Fläche.<br />
In der blau markierten Fläche ist der<br />
Teil zu viel, der unterhalb des<br />
Graphen von g liegt.<br />
Deshalb integrieren wir die Funktion<br />
g innerhalb der Schnittstellen, also<br />
x 2<br />
∫ g(x). dx<br />
x 1<br />
und erhalten die rot schraffierte<br />
Fläche.<br />
manfred.ambach 325 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Ziehen wir von der blau markierten<br />
die rot schraffierte Fläche ab, erhalten<br />
wir den Inhalt A der gesuchten Fläche:<br />
A = ∫ f(x). dx − ∫ g(x). dx<br />
Somit ergibt sich für die Berechnung des Inhalts von Flächen, die nur von zwei Funktionen begrenzt sind,<br />
folgender Rechengang:<br />
Beispiel:<br />
(1) Schnittstellen berechnen<br />
(2) Graphen darstellen<br />
x 2<br />
(3) A = ∫ f(x). dx − ∫ g(x). dx<br />
x 1<br />
x 2<br />
x 1<br />
( größere – kleinere Fläche )<br />
Die Graphen der Funktionen f (x) = x² + 2 x + 6 und g (x) = 2 x² + x begrenzen ein Flächenstück. Berechne<br />
dessen Inhalt.<br />
(1) Schnittstellen:<br />
Nur zur Ansicht<br />
x 2<br />
x 1<br />
Schnittpunkte sind gemeinsame Punkte von Linien.<br />
x 2<br />
x 1<br />
manfred.ambach 326 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Schneiden mit<br />
Funktionsgleichungen jeweils in Eingabe-Zeile und danach ENTER betätigt.<br />
<br />
<br />
Den Befehl<br />
Schneide[ , ] eingeben.<br />
Die Objekte sind<br />
unsere Funktionen mit den Namen f und g .<br />
ENTER betätigt und die Koordinaten der Schnittpunkte ( A und B ) erscheinen.<br />
Im Grafik-Fenster sieht man diese Schnittpunkte auf den Funktionsgraphen eingezeichnet.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 327 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Flächenberechnung<br />
3<br />
A = ∫[ f(x) − g(x)]. dx = mit f(x) = x 2 + 2x + 6 g(x) = 2x 2 + x<br />
−2<br />
Unsere Funktionen heißen f und g ,<br />
der Startwert = untere Grenze = –2<br />
der Endwert = obere Grenze = 3<br />
Bemerkung: Es ist unerheblich, ob zuerst die Funktion f oder g geschrieben wird.<br />
Nur zur Ansicht<br />
<br />
<br />
In die Eingabe-Zeile den Befehl<br />
Im sich öffnenden Fenster füllen<br />
wir diesen Befehl aus.<br />
ENTER betätigt und die Größe des Flächeninhalts erscheint, im Grafik-Fenster die entsprechende Fläche<br />
eingefärbt samt Größe.<br />
manfred.ambach 328 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Bemerkung: Als erste Funktion gibt man jene ein, die weiter weg von der x-Achse liegt.<br />
Ansonsten erhält man ein negatives Ergebnis.<br />
https://www.youtube.com/watch?v=FYibSj7Lfa0&t=93s<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
a) Ein Kanal besteht aus Betonbauteilen, deren Querschnitt in folgender Abbildung zu sehen ist:<br />
Der Kanalboden kann durch<br />
folgende Funktion<br />
beschrieben werden:<br />
Nur zur Ansicht<br />
f(x) =<br />
3<br />
16 ⋅ x2 + 1<br />
– Bestimmen Sie den<br />
Inhalt der abgebildeten<br />
Querschnittsfläche.<br />
manfred.ambach 329 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
4<br />
A f = ∫ ( 3<br />
16 ⋅ x2 + 1) . dx = 16 m 2<br />
−4<br />
Zu dem Flächeninhalt unterhalb der Funktion kommen noch die Flächen der beiden Rand-Rechtecke:<br />
A rechtecke = 2 ⋅ 4 ⋅ 1 = 8 m 2<br />
Damit beträgt der Inhalt der Querschnittsfläche A Querschnitt = A f + A rechtecke = 24 m 2<br />
b) Gegeben ist folgendes Integral:<br />
Lösung:<br />
4<br />
4<br />
∫[4 − f(x)]. dx<br />
−4<br />
– Kennzeichnen Sie in der folgenden Abbildung jene Fläche, deren Inhalt mit diesem Integral bestimmt<br />
werden kann.<br />
∫[4 − f(x)]. dx = ∫ 4 ⋅ dx − ∫ f(x) ⋅ dx<br />
−4<br />
4<br />
4<br />
Nur zur Ansicht<br />
−4<br />
−4<br />
= –<br />
Demnach beschreibt das gegebene Integral die grün markierte, karierte Fläche.<br />
manfred.ambach 330 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Die Leistung einer Solaranlage kann durch folgende Funktion beschrieben werden:<br />
P(t) = 0,006 ⋅ t 4 − 0,155 ⋅ t 3 + 0,975 ⋅ t 2 + 1,15 mit 0 ≤ t ≤ 10<br />
t … Zeit in Stunden (h), wobei t = 0 der Uhrzeit 8:00 entspricht<br />
P(t) … Leistung der Solaranlage nach t Stunden in Kilowatt (kW)<br />
Die in einem Zeitintervall gelieferte Energie wird mit Hilfe des Integrals der Leistung in diesem Zeitintervall<br />
berechnet.<br />
– Berechnen Sie die an einem Tag gelieferte Energie dieser Solaranlage in Kilowattstunden (kWh).<br />
Bemerkung: 1 kWh = 1 kW . 1 h<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Energie = ∫ P(t). dt<br />
t 1<br />
t 2<br />
→<br />
10<br />
Energie an einem Tag = ∫ (0,006 ⋅ t 4 − 0,155 ⋅ t 3 + 0,975 ⋅ t 2 + 1,15) . dt<br />
0<br />
Die Solaranlage ist täglich nur 10 Stunden in Betrieb.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die an einem Tag gelieferte Energie der Solaranlage: 69 kW ⋅ h = 69 kWh<br />
– Ermitteln Sie die Leistung der Solaranlage um 12:00.<br />
12:00 bedeutet t = 4<br />
P(4) = 0,006 ⋅ 4 4 − 0,155 ⋅ 4 3 + 0,975 ⋅ 4 2 + 1,15<br />
manfred.ambach 331 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Mit GeoGebra:<br />
P(4) = 8,37 kW<br />
Die Leistung der Solaranlage beträgt um 12:00 8,37 kW.<br />
Beispiel aus dem Aufgabenpool des BMB<br />
Der innere Teil eines Brückenbogens kann durch die Funktion f beschrieben werden. Der äußere Teil des<br />
Brückenbogens kann durch die Funktion g beschrieben werden.<br />
x, f(x), g(x) … Koordinaten in m<br />
f(x) = − 3<br />
125 x2 + 42 82<br />
x −<br />
25 5<br />
Grafik: BMB<br />
a) – Berechnen Sie die Spannweite a (siehe obige Grafik) des inneren Teils des Brückenbogens.<br />
– Berechnen Sie den höchsten Punkt des inneren Teils des Brückenbogens.<br />
Nur zur Ansicht<br />
b) – Dokumentieren Sie, wie man mithilfe der Differenzialrechnung den Steigungswinkel des inneren Teils des<br />
Brückenbogens an einer beliebigen Stelle x0 ermitteln kann.<br />
c) Der äußere Teil des Brückenbogens verläuft so, dass der senkrechte Abstand zum inneren Brückenbogen<br />
in jedem Punkt 2 m beträgt.<br />
– Stellen Sie eine Gleichung der Funktion g auf, die den äußeren Teil des Brückenbogens beschreibt.<br />
Der Flächeninhalt zwischen den beiden Teilen des Brückenbogens und der xAchse soll berechnet werden.<br />
– Kreuzen Sie diejenige Formel an, die zur Berechnung dieses Flächeninhalts verwendet werden kann.<br />
[1 aus 5]<br />
manfred.ambach 332 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
a)<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
58,27 – 11,73 = 46,54 m … Spannweite<br />
H (35/13)<br />
Grafik: BMB<br />
b) 1. Ableitung bilden. x0 einsetzen, ergibt Steigung an der Stelle x0. Der Steigungswinkel ist der Tangens der Steigung.<br />
c) f(x) = − 3<br />
125 x2 + 42<br />
25<br />
x −<br />
82<br />
5<br />
→ g(x) = − 3<br />
125 x2 + 42<br />
25<br />
82<br />
3<br />
x − + 2 → g(x) = −<br />
5<br />
125 x2 + 42<br />
25<br />
x −<br />
72<br />
Nur zur Ansicht<br />
5<br />
manfred.ambach 333 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel Kompensationsprüfung am 06.06.2018<br />
Eine Werbeagentur entwirft für eine Tourismusregion in den Alpen ein neues Logo<br />
(siehe nebenstehende Abbildung). Dabei werden zur Modellierung die Funktionen g 1<br />
(für 0 ≤ x ≤ 1), f (für 1 ≤ x ≤ 6) und g 2 (für 6 ≤ x ≤ 7) verwendet.<br />
(siehe nachstehende Abbildung).<br />
Die Fläche der zwischen der waagrechten Strecke P2P3 und dem Graphen von f soll<br />
eingefärbt werden. Für die Funktion f gilt:<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Grafik: BMB<br />
Grafik: BMB<br />
f(x) = − 32<br />
125 ⋅ x3 + 336<br />
125 ⋅ x2 − 951 1 147<br />
⋅ x +<br />
125 125<br />
x, f(x) … Koordinaten in cm<br />
– Berechnen Sie den Inhalt der grau markierten<br />
Fläche.<br />
– Berechnen Sie die Stelle der maximalen Steigung<br />
der Funktion f.<br />
Nur zur Ansicht<br />
A = 1,94 cm²<br />
W(3,5 / 4,5) An der Stelle x = 3,5<br />
manfred.ambach 334 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
8.3. Integrieren und Differenzieren als Umkehrungen<br />
Somit gilt:<br />
Daraus folgt:<br />
Differenzieren und Integrieren sind die jeweiligen Umkehrungen.<br />
Differenzieren<br />
Integrieren<br />
Differenzieren<br />
f(x) → f ′ (x)<br />
f(x) ← f ′ (x)<br />
Integrieren<br />
∫ f ′ (x) = f(x) + C<br />
Bezeichnungen in der Mathematik und bei Bewegungsaufgaben:<br />
Mathematik<br />
Funktion f(x) = y s(t) = Entfernung<br />
Bewegungsaufgaben<br />
Nur zur Ansicht<br />
1. Ableitung f ′ (x) = Steigung v(t) = s ′ (t) = Geschwindigkeit<br />
2. Ableitung f ′′ (x) = Krümmung a(t) = v ′ (t) = s ′′ (t) = Beschleunigung<br />
t ... Zeitdauer seit Beobachtungsbeginn<br />
s(t) ... momentane Entfernung zum Orts-Nullpunkt nach der Zeitdauer t<br />
v(t) ... momentane Geschwindigkeit nach der Zeitdauer t<br />
a(t) … momentane Beschleunigung nach der Zeitdauer t<br />
Meistens ist die Beschleunigung gleichbleibend (konstant). Dann schreibt man statt a(t) einfach a .<br />
manfred.ambach 335 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Beispiel:<br />
Bemerkung: Da die Beschleunigung konstant ist, schreiben wir a statt a(t).<br />
v(t) = ∫ a ⋅ dt<br />
Ein A 380 startet aus dem Stillstand mit einer<br />
Beschleunigung von a = 1,23 m/s 2 und benötigt bis zum<br />
Abheben 68 s.<br />
– Ermittle die Geschwindigkeit beim Abheben in km/h<br />
– Berechne den Weg, den das Flugzeug bis zum Abheben<br />
zurücklegt.<br />
Wir schreiben in eine Zeile des CAS-Fensters den<br />
Befehl<br />
Integral [ , ]<br />
Für die Funktion setzen wir a (Beschleunigung) ein,<br />
für die Variable die Zeit t.<br />
Nur zur Ansicht<br />
v(t) = ∫ a ⋅ dt = a ⋅ t + v 0<br />
ENTER betätigt und wir erhalten den integrierten<br />
Ausdruck.<br />
Die Integrationskonstante c 1 ist hier mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 zu deuten.<br />
Da das Flugzeug aus dem Stillstand startet, ist v 0 = 0 und es gilt<br />
v(t) = a ⋅ t<br />
manfred.ambach 336 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
s(t) = ∫ v ⋅ dt<br />
s(t) = ∫ v ⋅ dt = ∫ a ⋅ t ⋅ dt = a<br />
2 ⋅ t2 + s 0<br />
Die Integrationskonstante c 2 ist hier mit dem Abstand s 0 von der Nullmarke zu t = 0 v 0 zu deuten.<br />
Da das Flugzeug bei 0 m startet, ist s 0 = 0 und es gilt<br />
s(t) = a<br />
v(t) = a ⋅ t → v(68) = 1,23 ⋅ 68 = 83,64 m/s = 301,10km/h<br />
s(t) = a<br />
2 ⋅ t2 → s(68) = 1,23 ⋅ 68 2 = 2 843,76 m<br />
2<br />
2 ⋅ t2<br />
Nur zur Ansicht<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Die Geschwindigkeit v eines Schnellzuges kann für die ersten 60 Minuten (min) Fahrt näherungsweise durch<br />
folgende Funktion beschrieben werden:<br />
v(t) = −0,0043 t 2 + 0,2156 t + 2,0667<br />
manfred.ambach 337 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
t … Zeit in min<br />
v(t) … Geschwindigkeit des Schnellzuges zur Zeit t in km/h<br />
– Berechnen Sie die Länge des zurückgelegten Weges in der ersten halben Stunde.<br />
30<br />
s(t) = ∫ v(t) dt<br />
0<br />
Der Schnellzug legt in den ersten 30 Minuten 120,3 km zurück.<br />
– Begründen Sie durch Rechnung, dass der Schnellzug in den ersten 30 min einen weiteren Weg zurücklegt<br />
als in den zweiten 30 min.<br />
Der Schnellzug legt in den zweiten 30 Minuten nur 82,2 km zurück, in den ersten 30 Minuten jedoch 120,3 km.<br />
Beispiel Zentralmatura am 20.9.2016<br />
Angry Birds<br />
Im Computerspiel Angry Birds muss man mithilfe einer Schleuder Schweine treffen. Als Wurfgeschoße stehen<br />
verschiedene Vögel zur Verfügung. Einige dieser Vögel haben besondere Funktionen, die durch einen Mausklick<br />
ausgelöst werden können. Koordinaten bzw. Abstände sind im Folgenden in Längeneinheiten (LE) angegeben.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Flugparabel des Vogels Red bei einem Wurf kann durch den Graphen der Funktion f beschrieben werden:<br />
f(x) = – 0,1 ∙ x² + 0,9 ∙ x + 1 mit x ≥ 0<br />
x ... horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in Längeneinheiten (LE)<br />
f(x) ... Flughöhe des Vogels über dem horizontalen Boden an der Stelle x in LE<br />
Red trifft kein Schwein und prallt auf den Boden auf.<br />
– Berechnen Sie, in welcher horizontalen Entfernung vom Abschusspunkt der Vogel auf dem Boden aufprallt.<br />
manfred.ambach 338 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Der Weg, den der Vogel vom Abschusspunkt bis zum Aufprall am Boden zurücklegt, entspricht der Länge der<br />
Kurve zwischen diesen Punkten. Für die Länge s der Kurve in einem Intervall [a; b] gilt:<br />
b<br />
s = ∫ √ 1 + [f′(x)] 2 dx<br />
a<br />
– Berechnen Sie den vom Vogel zurückgelegten Weg vom Abschusspunkt bis zum Aufprall am Boden.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Der Vogel prallt in einer horizontalen (waagrechten) Entfernung von 10 LE auf.<br />
Beispiel Zentralmatura am 12.1.2017<br />
Der vom Vogel zurückgelegte Weg ist 11,51 LE lang.<br />
Die Geschwindigkeit eines Läufers in Abhängigkeit der Zeit lässt sich näherungsweise mit Hilfe der Funktion v<br />
beschreiben. Der Graph dieser Funktion ist in folgender Abbildung dargestellt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Veranschaulichen Sie in dieser Abbildung den<br />
Weg, den der Läufer zwischen t = 0,4 s und t =<br />
1,2 s zurücklegt.<br />
– Beschreiben Sie die Bedeutung von v‘(0,5) im<br />
gegebenen Sachzusammenhang.<br />
0,8<br />
– Interpretieren Sie ∫ v(t)dt<br />
0<br />
gegebenen Sachzusammenhang.<br />
im<br />
– Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion<br />
v an.<br />
manfred.ambach 339 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
IV Analysis<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
– v‘(0,5) ist die Beschleunigung in m/s²,<br />
0,5 Sekunden nach dem Start.<br />
Die beiden Diagramme beschreiben jeweils einen Bewegungsvorgang.<br />
0,8<br />
ist der zurückgelegte Weg<br />
0<br />
in den ersten 0,8 Sekunden.<br />
– ∫ v(t)dt<br />
– D v = [ 0 s ; 1,6 s ]<br />
t .. Zeit seit dem Beginn der Bewegung s(t) .. zurückgelegter Weg zur Zeit t v(t) Geschwindigkeit zur Zeit t<br />
– Ordnen Sie den beiden Diagrammen die jeweils treffende Aussage aus A bis D zu. [ 2 zu 4 ]<br />
Lösungen:<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 340 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
V<br />
STOCHASTIK<br />
Stochastik (griechisch): die Kunst des Vermutens<br />
Vorbemerkungen<br />
© Martina Meven<br />
Es gibt drei Arten von Lügen:<br />
Lügen, infame Lügen und Statistik.<br />
Benjamin DISRAELI<br />
( 1804 – 1881 )<br />
Mit Statistik lässt sich alles belegen. Dieser Ausspruch ist richtig und er ist falsch. Es stimmt, dass fast jeder<br />
Zusammenhang mit Modellen der Statistik scheinbar schlüssig nachzuweisen ist. Doch manches Mal nur deshalb, weil<br />
dem Betrachter der Resultate die Datenquellen, die zu solch Schlüssen führen, vorenthalten werden. Damit wird der<br />
Manipulation ein Tor geöffnet. Zweitens findet der Streubereich, innerhalb dessen ein Ergebnis mit einer bestimmten<br />
Wahrscheinlichkeit auftritt, nicht immer die gebührende Erwähnung. So erklärt sich, warum ein und dieselbe<br />
Auswertung einer Beobachtung recht verschiedene Deutungen der Analyse erfahren kann.<br />
Weiters besteht die Gefahr, mit einer (unbewusst) falschen Fragestellung das Untersuchungsziel zu verfehlen.<br />
Ein Beispiel: Die Frage nach der Geburtenrate. Im Jahr 2014 lag sie in Deutschland bei 1,4 Kindern pro gebärfähiger Frau<br />
und damit im unteren Drittel der EU-Staaten. Doch was bedeutet diese Zahl? Freilich, dass eine Bevölkerung mit solchen<br />
Zuwächsen einmal aussterben wird, da die Elterngeneration von den Nachkommen zahlenmäßig nur noch zu 70% ersetzt<br />
wird. Doch wie groß ist denn der Anteil gebärfähiger Frauen in der Gesamtbevölkerung? Gäbe es nur einige tausend in<br />
einem Land mit über 80 Mio. Einwohnern, könnte die Geburtenrate noch so hoch sein, die Einwohnerzahl würde<br />
dennoch dramatisch abnehmen. Die Zahl, die über die Bevölkerungsentwicklung tatsächlich Auskunft gibt, ist die Anzahl<br />
der Kinder pro Zahl von Einwohnern. Da lag 2014 die Bundesrepublik mit 8,2 Kindern pro 1 000 Einwohnern an letzter<br />
Stelle in der Europäischen Union.<br />
Der folgende Grund erscheint mir der Wesentliche für allfällige Irrtümer in der Statistik:<br />
Eine Tatsache erfährt in der Regel zu wenig Würdigung:<br />
Die Statistik kann nur kalkulative und<br />
keine kausalen Zusammenhänge klären.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Ein oft zitiertes Beispiel soll dies verdeutlichen:<br />
In einem Ort ließen sich in einem Sommer deutlich mehr Störche nieder als in den<br />
vergangenen Brutsaisonen. Im folgenden Jahr erfreuten sich die Menschen dieser<br />
Gemeinde über eine größere Anzahl neuer Erdenbürger als in vergangenen Jahren.<br />
Statistisch stellte sich die Zahl der Störche und Geburten in signifikantem<br />
Zusammenhang dar, obwohl doch kaum Meister Adebar für die Zahl der Neugeborenen<br />
verantwortlich zeichnet.<br />
Ob eine Beziehung zwischen vermeintlicher Ursache und Wirkung besteht, ist nur durch andere Recherchen oder<br />
manchmal ganz einfach durch Hausverstand zu erfassen.<br />
Eine solide Bewertung von Ergebnissen bedingt, dass zu überprüfende Hypothesen (Behauptungen) bereits vor der<br />
Untersuchung formuliert werden und nicht aufgrund der vorliegenden Daten- bzw. Resultatslage. Beschreitet man den<br />
zweiten Weg, so finden sich häufig die gewünschten Ergebnisse bestätigt, jedoch nicht, was Sache ist.<br />
#<br />
manfred.ambach 341 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9. STATISTIK & REGRESSION<br />
9.1. Empirische Statistik<br />
empeirikós (griechisch): erfahren (von etwas Kenntnis erlangen)<br />
9.1.1. Kenngrößen<br />
Die beschreibende (empirische oder deskriptive) Statistik behandelt die numerische<br />
Aufarbeitung untersuchter Stichproben ohne verallgemeinerungsfähige Schlüsse auf<br />
eine sog. Gesamtheit zu ziehen.<br />
Größen der Stichprobe werden mit unseren gebräuchlichen lateinischen<br />
Buchstaben bezeichnet, jene der Gesamtheit (die uns in späteren Kapiteln<br />
begegnen wird) in der Regel mit griechischen Lettern.<br />
Zunächst die gängigen Bezeichnungen in Stichproben und Gesamtheiten. Folgende Tabelle gibt eine<br />
Übersicht der Kenngrößen und ihrer Bezeichnungen:<br />
Bezeichnung in der<br />
Begriff Stichprobe ( Grund-) Gesamtheit<br />
Anzahl der Stichproben m –<br />
Stichprobenumfang n –<br />
Merkmal x , y –<br />
i-te Merkmalsausprägung x i ,y i –<br />
Summe ∑ ∑<br />
absolute Häufigkeit H i –<br />
relative Häufigkeit h i<br />
–<br />
Mittelwert x̅ μ<br />
Standardabweichung<br />
( Streuung )<br />
s<br />
Nur zur Ansicht<br />
Minimum Min<br />
–<br />
Maximum Max<br />
–<br />
Spannweite –<br />
Median Med –<br />
Modus<br />
Quartil Q –<br />
σ<br />
Alle hier erwähnten Kenngrößen lassen sich nur dann sinnvoll bestimmen, wenn die untersuchten Variablen<br />
zumindest ordinalskaliert sind, d.h., wenn eine „größer-kleiner“-Beziehung besteht (siehe folgendes Beispiel).<br />
#<br />
manfred.ambach 342 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Beispiel: Handymania<br />
Zehn Jugendliche wurden beobachtet, nach wie viel Minuten die<br />
Kids im Unterricht zum ersten Mal zum Handy greifen:<br />
6 3 9 8 2 8 12 12 8 9<br />
Die sog. Rohdaten in der Reihenfolge der Beobachtung nennt man<br />
Urliste.<br />
Man kann die Ergebnisse auch in einer sog. Häufigkeitstabelle oder Frequenztabelle darstellen: Hier wird<br />
aufgelistet, wie oft eine Eigenschaft in ihren verschiedenen Ausprägungen in der Untersuchung vorkommt.<br />
Anzahl der Stichproben m<br />
Stichprobenumfang n<br />
Merkmal x<br />
Minuten x i ihre Häufigkeit H i<br />
2 1<br />
3 1<br />
6 1<br />
8 3<br />
9 2<br />
12 2<br />
Gibt Auskunft, wie viele Stichproben einer Beobachtung unterzogen werden.<br />
m = 1, da wir nur Daten einer Stichprobe (Auswahl) von Jugendlichen besitzen<br />
Die Anzahl aller Daten einer Stichprobe<br />
n = 10, da 10 Daten vorliegen<br />
Jede beobachtete Größe wird durch eine Variable beschrieben.<br />
x . . . Anzahl der Minuten, bis erstmals im Unterricht zum Handy gegriffen wird<br />
Ein anderes Merkmal könnte z.B.: die Anwendung des Handys sein<br />
(SMS, WhatsApp, …)<br />
Wird nur ein Merkmal überprüft, spricht man von einer<br />
1-dimensionalen (Häufigkeits-) Verteilung.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Merkmalsausprägung<br />
Jedes Merkmal kommt in verschiedenen Variationen vor.<br />
Die Ausprägungen sind hier die verschiedenen Minuten<br />
x1 = 2, x2 = 3, x3 = 6, x4 = 8, x5 = 9, x6 = 12<br />
Laufvariable i i = { 1, 2, 3, . . ., k } mit k ... Anzahl der Merkmalsausprägungen<br />
i = { 1, 2, 3, 4, 5,6 }<br />
Wir haben 6 verschiedene Anzahlen von Minuten<br />
x i steht allgemein für die i-te (Merkmals-) Ausprägung<br />
#<br />
manfred.ambach 343 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
absolute Häufigkeit<br />
H i = H(x i )<br />
Gibt an, wie oft eine Merkmalsausprägung in der Stichprobe vorkommt.<br />
H1 = H (x1 ) = H (2) = 1, H2 = H (x2 ) = H (3) = 1, H3 = H (x3 ) = H (6) = 1,<br />
H4 = H (x4 ) = H (8) = 3, H5 = H (x5 ) = H (9) = 2, H6 = H (x6 ) = H (12) = 2<br />
relative Häufigkeit h i<br />
Arithmetisches Mittel x̅<br />
Es gilt offensichtlich:<br />
H 1 + H 2 + H 3 + … + H k = ∑ H i = n<br />
6<br />
Nur zur Ansicht<br />
k<br />
i=1<br />
∑ H i = H 1 + H 2 + H 3 + H 4 + H 5 + H 6 = 1 + 1 + 1 + 3 + 2 + 2 = 10 = n<br />
i=1<br />
h i = H i<br />
n<br />
h 1 = H 1<br />
= 1 = 0,1 = 10 %<br />
n 10<br />
h 2 = H 2<br />
= 1 = 0,4 = 10 %<br />
n 10<br />
h 3 = H 3<br />
= 1 = 0,3 = 10 %<br />
n 10<br />
h 4 = H 4<br />
= 3 = 0,1 = 30 %<br />
n 10<br />
h 5 = H 5<br />
= 2 = 0,1 = 20 %<br />
n 10<br />
h 6 = H 6<br />
= 2 = 0,1 = 20 %<br />
n 10<br />
h 1 + h 2 + h 3 + … + h k = ∑ h i = 1 = 100 %<br />
k<br />
i=1<br />
Der Mittelwert wird bestimmt, weil sich statistische Untersuchungen immer nur auf<br />
Stichproben beziehen können. Bei Folgerungen für die Gesamtheit stellt das<br />
arithmetische Mittel x̅ der Stichprobe den besten Schätzwert für den Mittelwert μ<br />
der Grund-Gesamtheit dar.<br />
x̅ =<br />
x 1. H 1 + x 2 . H 2 + … + x k . H k<br />
n<br />
x̅ = 2 . 1 + 3 . 1 + 6 . 1 + 8 . 3 + 9 . 2 + 12 . 2<br />
10<br />
Die relative Häufigkeit kann in<br />
Prozent angegeben werden,<br />
indem der<br />
errechnete Wert mit 100<br />
multipliziert wird.<br />
k<br />
= 1<br />
n . ∑ x i . H i<br />
i=1<br />
= 7,7<br />
Das bedeutet:<br />
Im Durchschnitt greift jede(r) Jugendliche dieser Stichprobe im Unterricht<br />
nach 7,7 Minuten erstmals zum Handy.<br />
#<br />
manfred.ambach 344 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
(Empirische)<br />
Standardabweichung<br />
bzw.<br />
Streuung s<br />
s = √<br />
Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, inwieweit die Daten der Stichprobe vom<br />
Mittelwert abweichen.<br />
So könnten z.B. alle Jugendlichen nach exakt 7,7 Minuten erstmals zum Handy gegriffen<br />
haben. Dann wäre das arithmetische Mittel ebenfalls x̅ = 7,7 Minuten,<br />
die Streuung aber in diesem Fall s = 0, weil keine der Einzel-Daten vom arithmetischen<br />
mittelabweichte.<br />
s = √<br />
(x 1 − x̅) 2 . H 1 + (x 2 − x̅) 2 . H 2 + … + (x k − x̅) 2 . H k<br />
n<br />
Als grobe Orientierung dient:<br />
Die Erfahrung lehrt, s dass < 1 Streuungen eher kleine Streuung<br />
1 ≤ s ≤ 1, 3 mittlere Streuung<br />
s > 1, 3<br />
s < 1<br />
große Streuung<br />
kleine Abweichungen<br />
Nur zur Ansicht<br />
Median Med<br />
( Zentralwert )<br />
(2 − 7,7) 2 . 1 + (3 − 7,7) 2 . 1 + (6 − 7,7) 2 . 3 + (8 − 7,7) 2 . 3 + (9 − 7,7) 2 . 2 + (12 − 7,7) 2 . 2<br />
10<br />
Bemerkung: (1 Sollte 2,96 man )<br />
2<br />
.3 ernsthaft (2<br />
2,96 Statistik )<br />
2<br />
.5 betreiben, (3 2,96 ) müsste<br />
2<br />
.7 ( 4man 2,96 jene )<br />
2<br />
.6 Formel (5für 2,96) die<br />
2<br />
Streuung .2 verwenden, die<br />
s <br />
im Nenner nicht n, sondern n–1 stehen 23 hat. Diese wäre eigentlich die Streuung einer Stichprobe.<br />
Bei uns ist es gleichgültig, welche der beiden Varianten zur Anwendung kommt.<br />
s = 1,1601 ~ 1,16<br />
1 ≤ s < 1,3 mittlere Abweichungen<br />
Minimum und Min s ≥ 1,3<br />
kleinste<br />
große<br />
Merkmalsausprägung<br />
Abweichungen<br />
Min = 2<br />
Maximum Max größte Merkmalsausprägung Max = 12<br />
von Einzeldaten bezüglich des Mittelwertes bedeuten.<br />
Spannweite Max – Min Spannweite = 12 − 2 = 10<br />
Reiht man die Daten der Stichprobe von klein nach groß, so ist Med jener Wert, unter<br />
und über dem sich jeweils ca. 50 % der Daten befindet.<br />
2 3 6 8 8 8 9 9 12 12<br />
= 3,13<br />
Bei gerader Anzahl der Daten, wie hier mit n = 10, liegt in der "Mitte" kein Wert.<br />
In diesem Fall wählt man als Med das arithmetische Mittel der Werte links und rechts<br />
der "Mitte".<br />
#<br />
manfred.ambach 345 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Quartil Q<br />
( Viertelabstand )<br />
Med = 8+8<br />
Nur zur Ansicht<br />
2<br />
= 8<br />
Bei ungerader Anzahl von Daten ist der Med der Wert in der Mitte.<br />
Ein (anderes) Beispiel:<br />
Med = 3<br />
z.B.: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5<br />
Q 1 bzw. Q1 nennt sich unteres Quartil = Median der unteren Datenreihe<br />
Q 2 bzw. Q2 ist der Median<br />
Q 3 bzw. Q3 nennt sich oberes Quartil = Median der oberen Datenreihe<br />
Zeichnen wir noch das Minimum und Maximum ein:<br />
#<br />
manfred.ambach 346 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Mit diesen Größen lässt sich das sogenannte Boxplot – Diagramm anfertigen:<br />
Die Box (das Rechteck) reicht immer von Q1 bis Q3.<br />
In der Box liegen immer<br />
der Daten.<br />
Der Interquartilabstand, reicht immer von Q1 bis Q3. Er entspricht der „Länge“ der Box.<br />
Die sog. Quartil-Abstände lassen sich auch grafisch im Boxplot darstellen:<br />
Boxplot<br />
Nur zur Ansicht<br />
Mögliche Interpretationen:<br />
50 %<br />
Interquartilabstand<br />
50 %<br />
25 % der Jugendlichen dieser Stichprobe schaut alle 2 bis 6 Minuten auf ihr Handy,<br />
25 % der Jugendlichen dieser Stichprobe schaut alle 6 bis 8 Minuten auf ihr Handy,<br />
25 % aller Jugendlichen alle 8 bis 9 Minuten und<br />
25 % alle 9 bis 12 Minuten.<br />
oder<br />
50 % der Jugendlichen dieser Stichprobe schaut alle 2 bis 8 Minuten auf ihr Handy,<br />
50 % der Jugendlichen alle 8 bis 12 Minuten.<br />
. . . . .<br />
#<br />
manfred.ambach 347 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Modus bzw. Modalwert<br />
Die Merkmalsausprägung mit der größten Häufigkeit<br />
Tragen wir die einzelnen Daten auf, so oft sie vorkommen:<br />
2<br />
3<br />
6<br />
8 8 8<br />
9 9<br />
12 12<br />
Da die Merkmalsausprägung 8 Minuten am häufigsten auftritt, stellt sie den<br />
Modus dar. → Modus (Modalwert) = 8<br />
Es können auch mehrere Modi (Plural von Modus) auftreten.<br />
Arithmetisches Mittel und Median, die sog. Zentralmaße, können nur bestimmt werden, wenn die Daten<br />
ordinalskaliert (größer – kleiner) sind.<br />
Idee: Beispiel Zentralmatura am 10.5.2017<br />
Nebenstehende Darstellung wird als<br />
Stängelblatt -Diagramm bezeichnet.<br />
In einem Fitnesshotel werden Gäste, die ein Wochenende dort verbringen, nach ihren Ausgaben für Wellness und<br />
Essen/Trinken befragt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Interpretieren Sie das Boxplot-Diagramm Wellness bezüglich Minimum, Maximum, Spannweite,<br />
Q1, Median und Q3.<br />
– Geben Sie an, wie viel Prozent der befragten Gäste für Essen/Trinken mindestens 120 Euro ausgeben.<br />
#<br />
manfred.ambach 348 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Jemand behauptet, aus den beiden Boxplots Folgendes ablesen zu können:<br />
„ Es gibt mit Sicherheit mindestens einen Gast, der insgesamt 360 Euro für Wellness und Essen/Trinken ausgibt.“<br />
– Argumentieren Sie, warum diese Behauptung falsch ist.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
– Min = 0 € Max = 160 € Spannweite = 160 € Q1 = 80 € Med = 100 € Q3 = 120 €<br />
– 75 %<br />
– Die Behauptung ist falsch, weil aus den Boxplots nicht abgelesen werden kann, dass derselbe Gast maximal<br />
160 € für Wellness und 200 € für Essen/Trinken; also insgesamt 360 €, ausgibt.<br />
9.1.2. Kenngrößen mit<br />
Arithmetisches Mittel x̅<br />
In eine Zeile des Algebra-Fensters werden die Daten als Menge eingeben,<br />
also in { } gesetzt.<br />
ENTER betätigt und die Liste erscheint benannt (Liste1).<br />
Schreibe den Befehl<br />
Mittelwert[ ]<br />
Nur zur Ansicht<br />
In das Feld schreiben wir<br />
Liste1 , weil wir unsere Liste so benannt haben.<br />
ENTER betätigt und der Wert des Mittelwertes wird angegeben.<br />
x̅ = 7, 7<br />
GeoGebra bezeichnet berechnete Zahlen in alphabetischer Reihenfolge.<br />
Auf diese Weise lassen sich alle Kenngrößen der empirischen Statistik ermitteln:<br />
#<br />
manfred.ambach 349 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Standardabweichung bzw. Streuung s<br />
Schreibe in die Eingabe-Zeile den Befehl<br />
Standardabweichung[ <br />
Median Med<br />
Quartilen Q<br />
Das zweite Quartil Q2 = Med<br />
Boxplot (-Diagramm)<br />
Schreibe in die Eingabe-Zeile den Befehl<br />
s = 3, 13<br />
Med = 8<br />
Q1 = 6<br />
Q3 = 9<br />
Nun schreiben wir<br />
Nur zur Ansicht<br />
für den Wert 1,<br />
für den Wert 0.5 und in<br />
die Bezeichnung Liste1<br />
Gleichzeitig erscheint<br />
im<br />
Grafik-Fenster das<br />
Boxplot-Diagramm.<br />
f = 8 bzw. a = 8<br />
bedeutet, der<br />
Median = 8.<br />
#<br />
manfred.ambach 350 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
y Abstand bedeutet den Abstand der waagrechten Mittellinie des Boxplots von der x-Achse,<br />
y-Skalierung die halbe Breite der Box.<br />
Diese Einstellungen sind nicht von Bedeutung und eher kosmetischer Natur.<br />
Modus bzw. Modalwert<br />
https://www.youtube.com/watch?v=UEv3nkx_vm8&t=2s<br />
https://www.youtube.com/watch?v=Xu6Ce48uwuU<br />
Beispiel: Achtung Kontrolle!<br />
Der Modalwert wird als Liste angegeben.<br />
Bei einer Verkehrskontrolle werden Lenker bezüglich Blutalkohol überprüft:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Blutalkohol in ‰ 0,0 0,3 0,5 0,8 1,0 1,1 1,5<br />
Anzahl der Lenker 26 10 12 8 3 1 1<br />
– Ermittle das arithmetische Mittel und die Standardabweichung (Streuung) dieser Stichprobe.<br />
Man gibt die Werte der beiden Zeilen in jeweils eine eigene<br />
Liste ein.<br />
Beachte, dass die Reihenfolge der eingegebenen Werte in<br />
beiden Listen die gleiche ist.<br />
#<br />
manfred.ambach 351 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Nebenstehender Befehl wird aktiviert.<br />
9.1.3. Grafische Darstellungen<br />
Balkendiagramm<br />
Der entsprechende Befehl in der Eingabe-Zeile lautet:<br />
Die Häufigkeiten sind hier die<br />
Anzahlen der Lenker.<br />
ENTER betätigt und wir erhalten das arithmetische<br />
Mittel, von GeoGebra Mittelwert genannt.<br />
Genauso berechnen wir die<br />
Standardabweichung.<br />
Für schreiben wir Liste1, wenn wir sie so benannt haben (siehe Beispiel auf S 345)<br />
Als wählen wir zum Beispiel 0,8<br />
löschen wir:<br />
Automatisch erfolgt die Darstellung im Grafik-Fenster:<br />
Auf der senkrechten Achse erscheinen die absoluten Häufigkeiten.<br />
Die Breite der Balken (0,8) ist so gewählt, dass zwischen den Balken Abstände erscheinen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bemerkung: Die Zahl g = 8 gibt den Flächeninhalt aller Balken an und ist unerheblich.<br />
#<br />
manfred.ambach 352 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Histogramm<br />
Gleicher Vorgang wie beim Balkendiagramm. Nur wird die Balkenbreite so gewählt, dass kein Abstand zwischen<br />
den Balken entsteht.<br />
Bemerkung: Die Zahl h = 10 gibt den Flächeninhalt aller Balken an und ist unerheblich.<br />
Warum ist der Flächeninhalt aller<br />
Balken im Balkendiagramm kleiner<br />
als im Histogramm?<br />
Wir haben doch in beiden<br />
Darstellungen die jeweils gleiche<br />
Höhe und gleiche Anzahl an Balken!<br />
Weil die Balkenbreite im Balkendiagramm<br />
kleiner ist als im Histogramm!<br />
Doch der Flächeninhalt aller Balken hat für uns<br />
keine Bedeutung!<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Lesen Sie aus folgendem Balkendiagramm ab, wie viel Prozent der Jugendlichen<br />
mindestens 7 Minuten verstreichen lassen, bevor sie erstmals ihr Handy ergreifen.<br />
#<br />
manfred.ambach 353 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Mindestens 7 Minuten bedeuten hier 8 oder 9 oder 12 Minuten.<br />
Das sind jeweils 3 oder 2 oder 2 Jugendliche (abzulesen als absolute Häufigkeiten auf der senkrechten<br />
Achse), insgesamt demnach 7 Jugendliche.<br />
Die Stichprobe besteht aus n = 10 Jugendlichen.<br />
7<br />
10<br />
= 0,7 = 70 %<br />
70 % dieser Jugendlichen lassen mindestens 7 Minuten verstreichen, bevor sie erstmals ihr Handy<br />
ergreifen.<br />
Kreisdiagramm<br />
Beispiel: TV-Werbung<br />
Laut einer Umfrage wechseln zwei von fünf TV-Konsumenten bei Werbeeinschaltungen das Programm,<br />
20 % gehen auf die Toilette, 15 % holen sich zu essen oder trinken, 12 % fangen sich zu unterhalten an und<br />
13 % sehen sich die Werbungen an.<br />
– Stelle die beschriebenen Anteile in einem Kreisdiagramm dar.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Der ganze Kreis (Vollkreis) hat 360°,<br />
das Ganze hat 100 % 100 % = 360°<br />
: 100 100 % . . . . . 360° : 100<br />
1 % . . . . . 3, 6°<br />
2 von 5 = 2<br />
= 0,4 = 40 %<br />
5<br />
Nur zur Ansicht<br />
100 % . . . . . 360°<br />
40 % . . . . . x → x = 3,6 . 40 = 144°<br />
20 % . . . . . x → x = 3,6 . 20 = 72°<br />
15 % . . . . . x → x = 3,6 . 15 = 54°<br />
12 % . . . . . x → x = 3,6 . 12 = 43,2°<br />
13 % . . . . . x → x = 3,6 . 13 = 46,8°<br />
#<br />
manfred.ambach 354 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.1.4. Klassen - Einteilung<br />
Manchmal macht es Sinn, Daten zu sog. Klassen zusammenzufassen.<br />
Sei es, weil die Datenmenge zu groß ist, oder weil zu feine Unterteilungen keinen Sinn machen.<br />
Beispiel:<br />
Beispiel mit 20 Personen:<br />
Gemessene Körpergrößen in cm<br />
Angenommen, es werden 1 020 Personen im Alter von 15 bis 94 Jahren gemessen, um ihre<br />
Körpergröße zu erhalten.<br />
Wir bekämen vielleicht 55 verschiedene Größen auf cm gerundet. Doch was drückten hier<br />
Kennzahlen wie der Mittelwert oder Median aus? Wohl nichts Aussagekräftiges.<br />
Sinnvoller wäre es, wir würden die Personen in Altersgruppen zusammenfassen und dort jeweils<br />
geeignete Kennzahlen ermitteln.<br />
153 187 172 168 183 189 168 174 159 166<br />
171 163 185 170 166 182 179 160 173 177<br />
Wichtig ist, sinnvolle Klassenbreiten festzulegen!<br />
Richtwert für die günstige Klassenanzahl = √ n , wobei n die Anzahl aller Daten ist.<br />
In unserem Beispiel ist n = 20 → Klassenanzahl = √ 20 ≈ 4,5 → Klassenanzahl 4 oder 5<br />
Richtwert für die Klassenbreite =<br />
Spannweite<br />
Anzahl der Klassen<br />
Nur zur Ansicht<br />
Klassenbreite = 189−153<br />
= 9 oder Klassenbreite = 189−153<br />
= 7,2 ≈ 7<br />
4<br />
Auch die errechnete Klassenbreite stellt nur einen Richtwert dar. Die tatsächliche Breite muss für die betreffende<br />
Untersuchung sinnvoll sein.<br />
5<br />
Im konkreten Fall wird für die Klassenbreite 10 ( und damit werden 4 Klassen ) gewählt, da das Minimum nahe genug bei<br />
150 cm und das Maximum nahe genug bei 190 cm liegt. Außerdem sind die dadurch entstehenden Klassenränder leichter zu<br />
lesen.<br />
#<br />
manfred.ambach 355 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Klasse Klassenbereiche Klassenmitte x i absolute Häufigkeit H(x i )<br />
1 150 ≤ x < 160 155 2<br />
2 160 ≤ x < 170 165 6<br />
3 170 ≤ x < 180 175 7<br />
4 180 ≤ x < 190 185 5<br />
Die Klassenmitte ist das arithmetische Mittel der Randwerte der betreffenden Klasse.<br />
ZB:<br />
150+160<br />
2<br />
=155= x 1<br />
Grafische Darstellung im sog. Histogramm:<br />
Matherätsel 1:<br />
Erwachsene Zahlen für den Eintritt ins Schwimmbad 5 Euro, Jugendliche um 20 % weniger.<br />
Nach 16:00 werden alle Eintrittspreise um 25 % gesenkt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Wie viel Euro zahlen Jugendliche nach 16:00 für den Eintritt?<br />
Angenommen, Erwachsene zahlen normalerweise a Euro Eintritt. Nach 16:00 betreten m Erwachsene und n Jugendliche das<br />
Schwimmbad.<br />
Was berechnet folgende Formel? 0,8 . a . ( m + 0,75 . n )<br />
Lösungen: 3 Euro<br />
Die gesamten Einnahmen für den Eintritt nach 16:00<br />
#<br />
manfred.ambach 356 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.2. Regression (Cluster )<br />
9.2.1. Lineare Regression<br />
Mit Hilfe der Linearen Regression überprüft man, ob zwischen einer unabhängigen und einer abhängigen<br />
Variablen, also zwischen zwei Variablen, ein linearer Zusammenhang besteht.<br />
Die sogenannte Regressionsgerade ist jene Gerade, von der die Daten-Punkte den jeweils minimalen Abstand<br />
haben.<br />
Hier kann man annehmen, dass<br />
zwischen den beiden Variablen x und y<br />
ein linearer Zusammenhang besteht.<br />
Die Gleichung der Regressionsgeraden kann mit<br />
Hier kann man annehmen, dass<br />
zwischen den beiden Variablen x und y<br />
ein quadratischer Zusammenhang<br />
besteht.<br />
Hier kann man annehmen, dass<br />
zwischen den beiden Variablen x und y<br />
kein Zusammenhang besteht.<br />
leicht ermittelt werden:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Beispiel: Schnee als Verkaufsrenner<br />
Nach einem Beispiel der Universität Zürich<br />
Es wird behauptet, die gefallene Schneemenge eines Tages habe in der Vorweihnachtszeit Auswirkungen auf das<br />
Kaufverhalten von Menschen.<br />
Die nachfolgende Tabelle zeigt die Schneehöhe in Zentimetern (cm) an acht Einkaufstagen im Dezember und<br />
den Tages-Umsatz in Schweizer Franken (CHF) eines Züricher Kaufhaues an diesen Tagen.<br />
#<br />
manfred.ambach 357 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Schneehöhe in cm Umsatz in CHF in 1 000<br />
12 8,5<br />
11 7,5<br />
8 5,0<br />
15 8,0<br />
4 8,5<br />
5 4,5<br />
0 4,0<br />
12 8,0<br />
GeoGebra Classic 6: In der blauen Kopfzeile ganz rechts das abgebildete Symbol (mit<br />
der linken Maustaste) angeklickt, öffnet folgendes Fenster.<br />
In GeoGebra Classic 5 wie links abgebildet.<br />
Wir gehen auf Ansicht<br />
und klicken den Befehl Tabelle an.<br />
In GeoGebra Classic 5 wie links abgebildet.<br />
Nur zur Ansicht<br />
In Spalte A geben wir die Schneehöhen in cm ein, in Spalte B die Umsätze in 1 000 CHF.<br />
Bemerkung: Wie bei Funktionen üblich, beschreibt x die unabhängige Variable und<br />
y die abhängige Variable.<br />
Natürlich ist die gefallene Schneemenge und damit –höhe unabhängig vom<br />
Umsatz. Deshalb ist die Schneehöhe die Variable x.<br />
#<br />
manfred.ambach 358 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
In der Tabelle werden die entsprechenden Daten mit links gedrückter Maustaste markiert.<br />
Links oben in der blauen Kopfzeile befindet sich der links abgebildete Button.<br />
Diesen klicken wir an.<br />
Dabei öffnet sich nebenstehendes Fenster, in dem wir den Befehl<br />
Analyse zweier Variablen anklicken.<br />
Es erscheint das links abgebildete Fenster.<br />
Wir klicken unterhalb von<br />
Regressionsmodell<br />
den Pfeil rechts neben Keines an<br />
Nur zur Ansicht<br />
. . . . . und klicken im sich öffnenden Fenster Linear an.<br />
#<br />
manfred.ambach 359 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Die Gleichung der Regressionsgeraden lautet:<br />
y = 0, 25 x + 4, 64<br />
Es erscheint die Gleichung<br />
der Regressionsgeraden<br />
(Trendlinie) samt grafischer<br />
Darstellung.<br />
Die Darstellung der<br />
einzelnen Punkte nennt man<br />
Punktwolke.<br />
– Interpretiere die Steigung der Regressionsgeraden im Sachzusammenhang.<br />
Pro cm Schneedecke erhöht sich der Umsatz um 0,25 . 1 000 = 250 CHF.<br />
Angenommen, wir wollen wissen, welcher Tages-Umsatz bei 20 cm Schneehöhe zu erwarten ist.<br />
Daraus lässt sich folgern:<br />
Damit erscheint y = 9.6746<br />
Wir finden im Fenster mit der<br />
Regressionsgeraden ( y = 0.25 x + 4.64 )<br />
den Befehl Berechne symbolisch:<br />
Dort geben wir für x = 20 ein und<br />
betätigen ENTER.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bei einer Schneehöhe von 20 cm ist ein Tages-Umsatz von ca. 9 675 CHF zu erwarten.<br />
Matherätsel 2:<br />
Ein Vater ist so alt, wie seine drei Söhne zusammen. Vor zehn Jahren war er dreimal so alt wie sein ältester und fünfmal so<br />
alt wie sein zweiter Sohn. Der jüngste Sohn ist 14 Jahre jünger<br />
als sein ältester Bruder.<br />
Wie alt ist jeder der drei Söhne?<br />
Quelle: denksport.de<br />
Lösung: 25, 19 und 11<br />
#<br />
manfred.ambach 360 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.2.2. Korrelationskoeffizient<br />
Der sogenannte Korrelationskoeffizient r gibt Auskunft, wie stark der lineare Zusammenhang<br />
zwischen den beiden Variablen x und y ist. r kann Werte zwischen einschließlich – 1 und einschließlich + 1<br />
annehmen.<br />
Hier kann man erwarten,<br />
dass r nahe +1 liegt. Ein starker<br />
linearer Zusammenhang im Sinne je<br />
mehr desto mehr bzw. je weniger desto<br />
weniger.<br />
Beispiel:<br />
Je mehr Körpergröße eine Person hat,<br />
desto mehr Masse (Gewicht) hat sie.<br />
Je weniger Körpergröße eine Person<br />
hat, desto weniger Masse (Gewicht) hat<br />
sie.<br />
Die Formel für den Korrelationskoeffizienten r lautet:<br />
r =<br />
Hier kann man erwarten,<br />
dass r nahe –1 liegt. Ein starker<br />
linearer Zusammenhang im Sinne je<br />
mehr desto weniger bzw. je weniger<br />
desto mehr.<br />
Beispiel:<br />
Je mehr jemand lernt, desto weniger<br />
oft muss er die Prüfung wiederholen.<br />
Je weniger jemand lernt, desto mehr<br />
(öfter) muss er die Prüfung<br />
wiederholen.<br />
∑<br />
n<br />
i=1<br />
(x i − x̅) ⋅ (y i − y̅)<br />
√ ∑<br />
n i=1<br />
(x i − x̅) 2 ⋅ √ ∑ (y i − y̅) 2<br />
Diese Formel müssen wir nicht anwenden, wie haben ja GeoGebra!<br />
Hier kann man erwarten,<br />
dass r nahe 0 liegt. Es herrscht kein<br />
(linearer) Zusammenhang zwischen<br />
den beiden Variablen vor.<br />
Beispiel:<br />
Je mehr jemand schläft, desto mehr<br />
fährt er auf Urlaub.<br />
Je weniger jemand schläft, desto mehr<br />
weiß er über vietnamesische<br />
Hängebauchschweine Bescheid.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Mit GeoGebra leicht berechnet:<br />
In das Algebra-Fenster schreiben wir den Befehl<br />
Korrelationskoeffizient[ , ]<br />
n<br />
i=1<br />
#<br />
manfred.ambach 361 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Der Korrelationskoeffizient r beträgt 0,66.<br />
Betrachten wir noch das sogenannte Bestimmtheitsmaß B:<br />
Bezogen auf unser Beispiel:<br />
B = 0,66 2 = 0,4356<br />
B = r 2<br />
Interpretation: 43,56 % (also gut 40 %) des Umsatzes werden von der Menge gefallenen Schnees beeinflusst.<br />
Der restliche Anteil rührt von anderen Faktoren, die hier nicht bekannt sind.<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
In einer Messreihe wurden die Körpermassen von Jugendlichen in Abhängigkeit der Körpergröße festgehalten.<br />
Anhand der Daten wurde eine lineare Regression erstellt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
#<br />
manfred.ambach 362 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Das Tabellenkalkulationsprogramm liefert statt des Korrelationskoeffizienten r sein Quadrat R² = r².<br />
– Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten r.<br />
– Interpretieren Sie den Korrelationskoeffizienten bezüglich des Zusammenhangs zwischen der Körpergröße<br />
und der Körpermasse.<br />
– Interpretieren Sie die Steigung der gegebenen Regressionsgeraden im konkreten Sachzusammenhang.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
– r = √ r 2 = √ 0,5041 = 0,71 Besitzt die Regressionsgerade ein Gefälle,<br />
so ist der Korrelationskoeffizient negativ.<br />
– Ein Korrelationskoeffizient r = 0,71 bedeutet ein Bestimmtheitsmaß B = 0,71 2 = 0,5041 = 50,41 %:<br />
Gut 50% beträgt der Einfluss der Körpergröße auf die Körpermasse. Der Rest sind andere Faktoren<br />
(Bewegung, Essen, …)<br />
Bemerkung: Sollte man wirklich Statistik betreiben, so sind solche Schlussfolgerungen nicht statthaft!<br />
– Pro Meter Körpergröße nimmt die Körpermasse um 54,64 kg zu.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Matherätsel 3:<br />
Jemand mischt einen viertel Liter Wein mit 12 % Alkoholgehalt mit einem achtel Liter Wasser, das 0 % Alkoholgehalt<br />
besitzt.<br />
Welchen Alkoholgehalt besitzt die Mischung?<br />
Lösung: 8 %<br />
#<br />
manfred.ambach 363 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.2.3. Quadratische Regression<br />
Bei der Quadratischen Regression ist der Zusammenhang einer unabhängigen und einer abhängigen Variablen,<br />
also zwischen zwei Variablen, quadratisch. Das heißt, die Wertepaare (=Punkte) liegen annähernd auf einer<br />
quadratischen Funktion = Polynomfunktion 2. Grades.<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Folgende Grafik zeigt die Entwicklung des Tourismus in Wien.<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Interpretieren Sie die in der Grafik markierte Zahl 7,2 im Sachzusammenhang.<br />
– Erstellen Sie basierend auf den Daten der Grafik eine quadratische Regressionsfunktion.<br />
Wähle dabei das Jahr 1980 als t = 0.<br />
– Ermitteln Sie mit Hilfe der aufgestellten Regressionsfunktion eine Prognose für die Übernachtungszahlen<br />
des Jahres 2018.<br />
#<br />
manfred.ambach 364 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
<br />
<br />
Im Jahr 1990 gab es in Wien 7,2 Millionen Übernachtungen.<br />
Tabellen-Fenster öffnen<br />
Daten eingeben und<br />
entsprechenden Tabellenbereich markieren<br />
ENTER betätigt und die Gleichung der Regressionskurve steht da.<br />
<br />
Blau umrandeten Button drücken und<br />
Analyse zweier Variablen anklicken<br />
y = f(x) = −0, 0011 x 2 + 0, 2632 x + 4, 4708<br />
Regressionsmodell:<br />
Polynom<br />
Grad: 2<br />
Nur zur Ansicht<br />
Wir geben für x = 38 ein, da 2018<br />
38 Jahre nach 1980 liegt.<br />
Dann ENTER betätigt und y = 12.8571<br />
erscheint.<br />
Im Jahr 2018 sind ca. 12,9 Millionen Übernachtungen zu erwarten.<br />
#<br />
manfred.ambach 365 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.2.4. Exponentielle Regression<br />
Bei der Exponentiellen Regression liegen die Wertepaare (= Punkte) annähernd auf einer exponentiellen Funktion.<br />
Beispiel:<br />
Folgende Tabelle zeigt das Jahresmittel an Feinstaub in Mikrogramm pro Kubikmeter (μg/m³) in der Stadt Graz:<br />
Jahr<br />
Jahresmittel in μg/m³<br />
2000 55<br />
2005 42<br />
2010 38<br />
2015 30<br />
– Stelle anhand der gegebenen Daten eine exponentielle Regressionsfunktion auf.<br />
Daten eingeben und<br />
entsprechenden Tabellenbereich markieren<br />
ENTER betätigt und die Gleichung der Regressionskurve steht da.<br />
Blau umrandeten Button drücken und<br />
Analyse zweier Variablen anklicken<br />
Regressionsmodell:<br />
Exponentiell<br />
y = 53,72 ⋅ e −0,04⋅x<br />
Mit GeoGebra lassen sich noch weitere Arten von Regressionsfunktionen aufstellen:<br />
Lineare Regression<br />
Logarithmische Regression<br />
Quadratische (Kubische …) Regression<br />
Exponentielle Regression<br />
Nur zur Ansicht<br />
#<br />
manfred.ambach 366 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.3. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung<br />
9.3.1. Grundbegriffe<br />
Zufallsversuch<br />
Ereignis E<br />
Gegenereignis E’<br />
Ein mit Bewegung verbundener Vorgang, der ein Ergebnis liefert, das noch nicht<br />
bekannt ist.<br />
z.B. Das Einmalige Werfen eines Würfels.<br />
Ein Ergebnis des Experiments<br />
z.B. E: Die Augenzahl vier wird gewürfelt<br />
Bemerkung: Das Ereignis E kann durch einen Aussagesatz (siehe oben) oder<br />
durch ein geeignetes Symbol, hier z.B.: E =<br />
E ’ erhält man, indem man E verneint.<br />
, angegeben werden.<br />
z.B.: E’: Die Augenzahl vier wird nicht gewürfelt bzw. E‘= '<br />
Das Ereignis E und sein Gegenereignis E‘ deckt alle Möglichkeiten ab.<br />
P (E) . . . . . . . . . . . . die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis E eintritt<br />
P ’(E) . . . . . . . . . . .<br />
.<br />
Für die Berechnung von P (E) gilt:<br />
die Gegenwahrscheinlichkeit von P (E)<br />
Nur zur Ansicht<br />
P (E) =<br />
die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ausgänge des Experiments<br />
die Anzahl aller möglichen Ausgänge des Experiments<br />
Da die Anzahl der günstigen Ereignisse höchstens gleich groß sein kann wie die Anzahl aller möglichen Ereignisse,<br />
kann jede Wahrscheinlichkeit maximal den Wert 1 annehmen. Der kleinste Wert muss Null sein, da es minimal<br />
Null günstige Ausgänge geben kann.<br />
Somit gilt:<br />
Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1<br />
#<br />
manfred.ambach 367 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Multipliziert man P (E) mit 100, so erhält man den Wert in Prozent:<br />
P ( E ) . 100 P ( E ) in %<br />
Für die Gegenwahrscheinlichkeit P‘ ( E ) gilt:<br />
P‘(E) = 1 – P (E)<br />
Beispiel:<br />
Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Augenzahl vier zu würfeln?<br />
Experiment: das einmalige Werfen des Würfels<br />
E =<br />
1<br />
P ( E ) = P ( ) = = 0,1667 = 16,67 %<br />
6<br />
Die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Werfen eines Würfels die Augenzahl vier zu würfeln, beträgt knapp 17 %.<br />
E ’ : die Augenzahl vier wird nicht gewürfelt<br />
P ( E’ ) = P (( ' ) =<br />
Die Gegenwahrscheinlichkeit von P(E) beträgt:<br />
Nur zur Ansicht<br />
1 5<br />
P ‘ ( E ) = 1 – P ( E ) = 1 – P( ) = 1 – = P ( ’ ) = P ( E ’)<br />
6 6<br />
Dieses Beispiel zeigt:<br />
5<br />
6<br />
P'(E) = P(E')<br />
Im Folgenden behandeln wir die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ereignisse.<br />
#<br />
manfred.ambach 368 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.3.2. Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ereignisse<br />
9.3.2.1. entweder – oder ( oder beide ) - Wahrscheinlichkeit<br />
∨ . . . vel (lateinisch): oder<br />
Dieses oder ist im nicht-ausschließlichen Sinn gemeint.<br />
Beispiel:<br />
Auf einem Tisch liegen bunt gemischt 52 verdeckte Spielkarten<br />
( von jeder der vier Kartenfarben Kreuz, Blatt, Herz und Karo die<br />
13 Karten As, König, Dame, Bub, 10er, 9er, 8er,7er, 6er, 5er, 4er,<br />
3er und 2er ). Es wird zufällig * eine Karte gezogen.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Herz- oder eine<br />
Karokarte zu ziehen?<br />
* zufällig ziehen bedeutet nicht, dass jemand unbeabsichtigt vorbeikommt und eine Karte zieht.<br />
Es bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit berechnet wird bevor das Experiment (hier das Ziehen der Karte) stattfindet.<br />
E 1 = E 2 =<br />
13 1<br />
13 1<br />
P ( ) = P ( )= <br />
52 4<br />
52 4<br />
Nur zur Ansicht<br />
P ( ) =<br />
1<br />
4<br />
<br />
1<br />
4<br />
<br />
1<br />
2<br />
P(<br />
E1 E2<br />
) P(E1<br />
) P(E2<br />
)<br />
Die Wahrscheinlichkeit, eine Herz- oder Karokarte zu ziehen, beträgt 0,5 bzw. 50 %.<br />
#<br />
manfred.ambach 369 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.3.2.2. sowohl – als auch-Wahrscheinlichkeit<br />
P ( E1 E2<br />
) P (E1<br />
) . P (E2<br />
)<br />
∧ . . . und ( im Sinne von sowohl – als auch ) (Hier wurde einfach das v von vel umgedreht.)<br />
Beispiel:<br />
Auf einem Tisch liegen bunt gemischt 52 verdeckte Spielkarten<br />
( von jeder der vier Kartenfarben Kreuz, Blatt, Herz und Karo die<br />
13 Karten As, König, Dame, Bub, 10er, 9er, 8er, 7er, 6er, 5er, 4er,<br />
3er und 2er ). Es wird zufällig eine Karte gezogen. Diese Karte<br />
wird betrachtet, untergemischt und danach wird neuerlich eine<br />
Karte gezogen.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Herz- und eine<br />
Karokarte zu ziehen?<br />
Beachte, dass ein Unterschied vorliegt, ob die zuerst gezogene Karte wieder zurückgelegt wird oder nicht!<br />
Wird die gezogene Karte wieder zurückgelegt, so gibt es bei der zweiten Ziehung gleich viele möglichen und<br />
günstigen Fälle wie bei der ersten.<br />
Wird die Karte hingegen nicht zurückgelegt, so vermindert sich bei der nächsten Ziehung zumindest die Anzahl<br />
der Möglichkeiten.<br />
Nur zur Ansicht<br />
E 1 = E 2 =<br />
P( ) =<br />
13 1<br />
13 1<br />
1 1 1<br />
P ( ) = P ( ) = . <br />
52 4<br />
52 4<br />
4 4 16<br />
#<br />
manfred.ambach 370 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Dieses Ergebnis ist<br />
Nicht, weil wir uns verrechnet, sondern weil wir günstige Ausgänge nicht berücksichtigt haben.<br />
Günstig sind folgende Ergebnisse (Ausgänge), weil in beiden Fällen eine Herz- und eine Karokarte gezogen werden:<br />
Zuerst eine Herz- und dann eine Karokarte oder zuerst eine Karo- und dann eine Herzkarte ziehen.<br />
1<br />
4<br />
und oder und<br />
.<br />
1<br />
4<br />
<br />
Die Wahrscheinlichkeit, eine Herz- und eine Karokarte zu ziehen, wenn es auf die Reihenfolge nicht ankommt,<br />
1<br />
beträgt somit = 0,125 bzw. 12,5 %.<br />
8<br />
Nur zur Ansicht<br />
Damit man bei mehreren Experimenten und damit mehreren Ereignissen keine günstigen Ausgänge übersieht, ist<br />
es ratsam, ein sog. Baumdiagramm anzufertigen.<br />
1<br />
4<br />
.<br />
1<br />
4<br />
<br />
1<br />
8<br />
#<br />
manfred.ambach 371 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.3.2.3. Baumdiagramm<br />
Beispiel:<br />
Fertigen wir ein entsprechendes Baumdiagramm an:<br />
In einer Urne befinden sich 3 grüne und 2 rote Kugeln. Es werden zwei<br />
Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine<br />
grüne und eine rote Kugel zu ziehen?<br />
Gleichzeitiges Ziehen ist gleichbedeutend mit<br />
hintereinander Ziehen ohne Zurücklegen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Zunächst suchen wir jene Äste, bei denen in den beiden Ziehungen eine grüne und eine rote Kugel gezogen<br />
werden, wobei die Reihenfolge unwesentlich ist.<br />
Beachte: Die Ziehungen erfolgen von oben nach unten!<br />
#<br />
manfred.ambach 372 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Beim linken Ast ziehen wir zuerst eine grüne Kugel und dann eine rote Kugel.<br />
Beim rechten Ast ziehen wir zuerst eine rote Kugel und dann eine grüne Kugel.<br />
Wie groß sind nun die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten?<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Wahrscheinlichkeit zuerst eine grüne Kugel und dann eine rote Kugel zu ziehen ist 3<br />
⋅ 2<br />
5 4<br />
Die Wahrscheinlichkeit zuerst eine rote Kugel und dann eine grüne Kugel zu ziehen ist 2<br />
⋅ 3<br />
5 4<br />
#<br />
manfred.ambach 373 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Damit ist die Wahrscheinlichkeit eine grüne und eine rote Kugel zu ziehen (wenn die Reihenfolge unerheblich ist):<br />
Entweder zuerst eine grüne und dann eine rote Kugel zu ziehen oder zuerst eine rote und dann eine grüne Kugel<br />
zu ziehen:<br />
Man sieht:<br />
P(<br />
) = 3<br />
5 ⋅ 2<br />
4 + 2<br />
5 ⋅ 3<br />
4 = 3 = 0, 6 = 60%<br />
5<br />
Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Astes werden multipliziert,<br />
die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Äste werden addiert.<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Ein Prozent des Fluggepäcks kommt nicht mit dem Passagier am Zielflughafen an.<br />
Von diesem vermissten Fluggepäck tauchen 95 % wieder auf.<br />
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Fluggepäck nicht mehr auftaucht.<br />
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fluggepäck mit dem<br />
Passagier mitkommt (M), beträgt 99 % = 0,99.<br />
Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass das<br />
Fluggepäck nicht mit dem Passagier ankommt<br />
(N) 1 % = 0,01.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Von dem nicht mit dem Passagier angekommenen<br />
Fluggepäck tauchen 95 % = 0,95 wieder auf (A),<br />
5 % = 0,05 sind verloren (V).<br />
Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein<br />
beliebiges Fluggepäck nicht mit dem Passagier<br />
ankommt und verloren geht<br />
0,01 . 0,05 = 0,0005 = 0,05 %<br />
#<br />
manfred.ambach 374 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Nach der Landung werden drei Gepäckstücke zufällig ausgewählt.<br />
– Kreuze an, welche Wahrscheinlichkeit im abgebildeten Baumdiagramm durch den orange eingefärbten<br />
Ast dargestellt wird: [ 1 aus 5 ]<br />
B … Gepäckstück ist beschädigt U … Gepäckstück ist unbeschädigt<br />
Zur Erinnerung: Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass von den 5 gebotenen Aussagen genau eine richtig ist.<br />
Beispiel:<br />
Zwei der drei Gepäckstücke sind beschädigt.<br />
Kein Gepäckstück ist beschädigt.<br />
Ein Drittel der Gepäckstücke ist beschädigt.<br />
Das erste und letzte Gepäckstück sind beschädigt.<br />
Das mittlere Gepäckstück ist unbeschädigt.<br />
Lösung: Die 3. Aussage ist richtig.<br />
– Ergänze die Textlücken in folgendem Satz durch Auswahl der jeweils richtigen Alternativen A bis D.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Es seien p1 und p2 die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, dass zwei unabhängige Kontrollen Alarm schlagen.<br />
__ 1__<br />
ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Störfall __2__ Kontrolle(n) Alarm schlägt/schlagen.<br />
#<br />
manfred.ambach 375 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Lösung: 1 B<br />
2 D<br />
Zusammenstellung verschiedener Maturabeispiele<br />
Bei einer Besucherbefragung in einem Vergnügungspark wurden folgende Daten erhoben:<br />
60 % der Besucher sind aus dem Inland. Die Besucher aus dem Inland reisen zu 45 % mit dem PKW an, die<br />
restlichen Besucher aus dem Inland mit öffentlichen Verkehrsmitteln. 90 % der Besucher aus dem Ausland<br />
reisen mit öffentlichen Verkehrsmitteln an, die restlichen Besucher aus dem Ausland mit dem PKW.<br />
– Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen Sachverhalt wiedergibt.<br />
– Beschreiben Sie, was mit folgendem Ausdruck berechnet wird: 0,6 . 0,55 + 0,4 . 0,9<br />
Angenommen, an einem Tisch sitzen 6 Österreicher, 2 Italiener und d Deutsche.<br />
Grafik: BMB<br />
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P, dass ein zufällig ausgewählter<br />
Gast dieses Tisches ein Deutscher ist.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Möglicher Lösungsweg<br />
– Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher<br />
mit öffentlichen Verkehrsmitteln anreist.<br />
– P = b<br />
6+2+a<br />
Grafik: BMB<br />
#<br />
manfred.ambach 376 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.3.2.4. . . . mindestens einmal . . .<br />
Beispiel:<br />
Nehmen wir an, zwei Lampen brennen jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,9.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe brennt?<br />
Folgende Fälle sind möglich:<br />
beide Lampen brennen<br />
die 1. Lampe brennt und die 2. nicht<br />
die 1. Lampe brennt nicht und die 2. brennt<br />
die 1. und die 2. Lampe brennen nicht<br />
Die Summe 1,00 bedeutet, wir haben alle möglichen Fälle berücksichtigt.<br />
In den ersten drei Fällen brennt mindestens eine Lampe. Das bedeutet:<br />
P (mindestens eine Lampe brennt) = 0,81 + 0,09 + 0,09 = 0,99<br />
Wahrscheinlichkeiten:<br />
0,9 . 0,9 = 0,81<br />
0,9 . 0,1 = 0,09<br />
0,1 . 0,9 = 0,09<br />
0,1 . 0,1 = 0,01<br />
Σ 1,00<br />
Das gleiche Ergebnis erhalte ich, wenn ich von 1 die Wahrscheinlichkeit abziehe,<br />
dass keine Lampe brennt:<br />
Nur zur Ansicht<br />
P (mindestens eine Lampe brennt) = 1 – P (keine Lampe brennt) = 1 – 0,01 = 0,99<br />
Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mindestens einmal eintritt, in jedem Fall berechnen:<br />
P(mindestens einmal) = 1 – P(keinmal)<br />
#<br />
manfred.ambach 377 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Beispiel:<br />
Ein Würfel wird fünfmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal die Augenzahl vier zu<br />
würfeln?<br />
Beispiel:<br />
P (bei 5 Würfen mindestens einmal ) = 1 – P ( bei 5 Würfen keinmal )<br />
P ( bei einem Wurf keine ) =<br />
P (bei 5 Würfen keinmal ) =<br />
5 <br />
Somit gilt: P ( bei 5 Würfen mindestens einmal ) = 1 – = 0,5981<br />
6<br />
Die Wahrscheinlichkeit, bei fünfmaligem Würfeln eines Würfels mindestens einmal die Augenzahl vier zu<br />
erhalten beträgt 0,5981 = 59,81 %, also knapp 60 %.<br />
Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal die Augenzahl vier zu<br />
erhalten, mindestens 95 % beträgt?<br />
Wie oft ? . . . Es ist nach der Anzahl der Würfe gesucht:<br />
Wir wollen n berechnen.<br />
n ist die Anzahl der Würfe<br />
P ( bei n Würfen mindestens einmal ) = 1 – P ( bei n Würfen keinmal )<br />
P ( bei einem Wurf keine ) =<br />
Nur zur Ansicht<br />
P (bei n Würfen keinmal ) =<br />
5<br />
6<br />
Bei 5 Würfen keinmal die Augenzahl vier zu werfen bedeutet: Sowohl beim ersten Wurf als auch<br />
beim zweiten Wurf als auch beim dritten als auch beim vierten als auch beim fünften Wurf<br />
nicht vier zu würfeln.<br />
5 5 5 5 5<br />
. . . .<br />
6 6 6 6 6<br />
5<br />
5 <br />
<br />
6 <br />
5<br />
6<br />
5 5 5 5 <br />
. . . ... . <br />
6 6 6 6 <br />
n-mal<br />
n<br />
5 <br />
<br />
6 <br />
5<br />
Somit gilt: P ( bei n Würfen mindestens einmal ) = 1 –<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
5 <br />
6<br />
#<br />
manfred.ambach 378 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Diese Wahrscheinlichkeit soll nach Angabe mindestens 95 % betragen. Dies führt uns auf folgende<br />
Exponentialungleichung:<br />
1 − ( 5<br />
6 )n ≥ 95 %<br />
Ungleichungen werden prinzipiell wie Gleichungen gelöst.<br />
2 Ausnahmen:<br />
o<br />
o<br />
Wird die Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl<br />
dividiert, so ist das Ungleichheitszeichen zu ändern.<br />
Beispiele: 3 < 5 . ( – 2 ) 6 > 4 : ( – 2 )<br />
1 − ( 5<br />
6 )n ≥ 95 %<br />
1 − ( 5<br />
6 )n ≥ 95<br />
100<br />
1 − ( 5<br />
6 )n ≥ 0,95 | – 1<br />
− ( 5<br />
6 )n ≥ − 0,05 | . ( – 1)<br />
( 5<br />
6 )n ≤ 0,05 | ln<br />
Nur zur Ansicht<br />
ln ( 5<br />
6 )n ≤ ln(0,05)<br />
n . ln ( 5<br />
5<br />
) ≤ ln(0,05) | : ln (<br />
n ≥<br />
6<br />
ln(0,05)<br />
ln ( 5 n<br />
6 )<br />
– 6 > – 10 – 3 < – 2<br />
Am Ende soll ( wegen der leichteren Deutung des Ergebnisses ) die Variable auf der linken Seite<br />
stehen.<br />
neg<br />
6 )<br />
mindestens bedeutet ≥ ( größer oder gleich )<br />
Logarithmen von negativen Zahlen existieren nicht.<br />
n ≥ 16,43<br />
#<br />
manfred.ambach 379 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
n = 17, 18, 19, . . .<br />
Diese Ungleichung ist für alle natürlichen Zahlenerfüllt, die mindestens 17 sind.<br />
Damit lautet die Antwort:<br />
Man muss mindestens 17-mal würfeln, um mit mindestens 95%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal die<br />
Augenzahl<br />
Mit<br />
zu würfeln.<br />
Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand beim Glücksrad mindestens € 50.000 gewinnt, beträgt ungefähr 7,8 %.<br />
– Berechnen Sie, wie viele Personen das Glücksrad drehen müssen, damit mit mindestens 90%iger<br />
Wahrscheinlichkeit mindestens 1-mal ein Betrag dieser Höhe ausbezahlt werden muss.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
7,8 % = 0,078<br />
1 – 0,078 = 0,922<br />
Man muss mindestens 29-mal drehen.<br />
#<br />
manfred.ambach 380 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.4. Wahrscheinlichkeitsverteilungen<br />
Bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden ( prinzipiell ) die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse<br />
betrachtet. Damit wird ersichtlich, welche Ereignisse vermutlich auftreten und welche weniger wahrscheinlich<br />
sind.<br />
9.4.1. Diskrete – Verteilungen (diskrete Zufallsvariablen)<br />
Bei diskreten (Wahrscheinlichkeits-) Verteilungen ist die Anzahl möglicher Ereignisse endlich.<br />
Die sogenannte Zufallsvariable (Zufallsgröße) X ist das untersuchte Merkmal in seinen verschiedenen<br />
Ausprägungen als Zahlen wiedergegeben.<br />
Beispiele:<br />
Merkmal<br />
Schulnote<br />
Ausprägungen<br />
Sehr gut<br />
Gut<br />
Befriedigend<br />
Genügend<br />
Nicht genügend<br />
Merkmal<br />
Geschlecht<br />
Ausprägungen<br />
weiblich<br />
männlich<br />
Zufallsvariable X<br />
Schulnote<br />
Ausprägungen<br />
x 1 = 1<br />
x 2 = 2<br />
x 3 = 3<br />
x 4 = 4<br />
x 5 = 5<br />
Zufallsvariable X<br />
Geschlecht<br />
Ausprägungen<br />
x 1 = 1<br />
x 2 = 2<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bemerkung: Ob man weiblich oder männlich x 1 = 1 zuordnet, ist unerheblich.<br />
Merkmal<br />
Zufallsvariable X<br />
Frequenz<br />
Frequenz<br />
Ausprägungen<br />
Ausprägungen<br />
keinmal<br />
x 1 = 0<br />
einmal<br />
x 2 = 1<br />
zweimal<br />
x 3 = 2<br />
#<br />
manfred.ambach 381 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.4.1.1. (Allgemeine) diskrete – Verteilungen (Cluster )<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
In einer Schachtel befinden sich Bonbons mit verschiedenen Füllungen: ein Bonbon mit Nugat-Füllung, eines mit<br />
Himbeer-Füllung, eines mit Kirsch-Füllung und drei Bonbons mit Marzipanfüllung.<br />
Pias Lieblings-Bonbons sind jene mit Marzipan-Füllung. Pia greift blind in die Schachtel und entnimmt ein Bonbon.<br />
Ist das entnommene Bonbon mit Marzipan gefüllt, so isst es Pia sofort und beendet die Entnahmen. Ist es ein<br />
Bonbon mit anderer Füllung, so legt es Pia weg und entnimmt ein neues Bonbon.<br />
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Entnahmen, bis Pia ein Marzipan-Bonbon in Händen hat.<br />
– Stellen Sie eine Tabelle auf, der man die möglichen Werte der Zufallsvariablen und ihrer dazugehörigen<br />
Wahrscheinlichkeiten entnehmen kann.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Zufallsvariable X: Mögliche Anzahl der Entnahmen bis zum Ergreifen eines Marzipan-Bonbons.<br />
Spätestens bei der vierten Entnahme hat Pia das Marzipan-Bonbon ergriffen.<br />
Mögliche Anzahl von Entnahmen: 1 oder 2 oder 3 oder 4 → x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 3 x 4 = 4<br />
Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten bestimmt man am besten mit einem Baumdiagramm:<br />
Bei der 1. Entnahme ist die<br />
Wahrscheinlichkeit, ein<br />
Marzipan-Bonbon zu ziehen,<br />
Nur zur Ansicht<br />
3<br />
6<br />
, weil von den 6 Bonbons<br />
3 aus Marzipan bestehen.<br />
Ist eine 2. Entnahme nötig,<br />
so sind noch 5 Bonbons in<br />
der Schale, davon alle 3 aus<br />
Marzipan, weil bei diesem<br />
Ast vorher kein Marzipan<br />
gezogen wurde.<br />
Wird eine 3. Entnahme<br />
benötigt, so sind noch 4<br />
Bonbons in der Schale,<br />
davon alle 3 aus Marzipan.<br />
Wird eine 4. Entnahme<br />
benötigt um ein Marzipan-<br />
Bonbon zu ergattern, so sind<br />
jetzt alle 3 von den noch 3<br />
Bonbons aus Marzipan.<br />
#<br />
manfred.ambach 382 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Damit schaut die geforderte Tabelle so aus:<br />
x i 1 2 3 4<br />
P(x i )<br />
3<br />
6 = 1<br />
2<br />
3<br />
6 ⋅ 3<br />
5 = 3<br />
10<br />
– Berechnen Sie den Erwartungswert bzw. Mittelwert von X<br />
Erwartungswert<br />
mit n als der Anzahl der Merkmalsausprägungen<br />
Auf unser Beispiel bezogen:<br />
E(X) = μ = 1 ⋅ 1<br />
2 + 2 ⋅ 3<br />
10 + 3 ⋅ 3<br />
20 + 4 ⋅ 1<br />
20 = 7<br />
4 = 1,75<br />
Interpretation:<br />
3<br />
6 ⋅ 2<br />
5 ⋅ 3<br />
4 = 3<br />
20<br />
3<br />
6 ⋅ 2<br />
5 ⋅ 1<br />
4 ⋅ 3<br />
3 = 1<br />
20<br />
Wird oft auf diese Weise ein Marzipan-Bonbon entnommen, so benötigt man durchschnittlich 1, 75 Entnahmen,<br />
bis man ein Marzipan-Bonbon in Händen hält.<br />
Varianz:<br />
Auf unser Beispiel bezogen:<br />
V(X) = (1 − 1,75) 2 ⋅ 1<br />
+ (2 − 2 1,75)2 3<br />
⋅ + (3 − 10 1,75)2 3<br />
⋅ + (4 − 20 1,75)2 ⋅ 1<br />
= 0,7875<br />
20<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die sog. Streuung s = √ V(X) s = √0,7875 = 0,8874<br />
Erwartungswert = Mittelwert und Streuung = Standardabweichung können auch mit GeoGebra bestimmt<br />
werden.<br />
#<br />
manfred.ambach 383 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.4.1.2. Binomial – Verteilung<br />
Statt der Häufigkeiten werden<br />
die Wahrscheinlichkeiten<br />
angeführt.<br />
ENTER betätigen<br />
Der Binomialverteilung liegt das Modell des Ziehens von Kugeln zugrunde, wobei<br />
die gezogene Kugel stets zurückgelegt wird, sodass jedes Experiment unter den<br />
gleichen Bedingungen stattfindet.<br />
X ist eine sogenannte diskrete Zufallsvariable, weil X endlich viele Werte<br />
annehmen kann.<br />
Bei dieser Verteilung wird mit der sog. Binomial-Wahrscheinlichkeit P(X = k) gerechnet:<br />
P(X = k) = ( n k ) ⋅ pk ⋅ (1 − p) n−k<br />
Nur zur Ansicht<br />
Zunächst wollen wir uns der Frage widmen, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit diese<br />
Wahrscheinlichkeit zur Anwendung kommt:<br />
gleiches Experiment wird n - mal durchgeführt<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
in jedem Experiment können nur das Ereignis E oder sein Gegenereignis E‘ eintreten<br />
interessieren uns jedes Mal für das Eintreten des gleichen Ereignisses E<br />
kennen Wahrscheinlichkeit p, mit der E bei einem Experiment eintritt<br />
Binomialwahrscheinlichkeit P(X = k) berechnet jene Wahrscheinlichkeit, mit der E<br />
bei n Experimenten k - mal eintritt, wobei die Reihenfolge des Eintretens gleichgültig ist<br />
Die Ereignisse sind voneinander unabhängig<br />
#<br />
manfred.ambach 384 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Beispiel:<br />
Ein Test besteht aus 6 Fragen. Unterhalb jeder Frage stehen vier Auswahlantworten, von denen eine richtig ist.<br />
Jemand kreuzt die Auswahlantworten zufällig an. Wir interessieren uns für die Anzahl der richtig beantworteten<br />
Fragen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
#<br />
manfred.ambach 385 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Sind die Bedingungen für die Binomial-Wahrscheinlichkeit erfüllt?<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Das Experiment: das Ankreuzen einer der Auswahlantworten unterhalb einer Frage.<br />
Da unter jeder Frage vier Auswahlantworten stehen, von denen jeweils eine richtig ist,<br />
handelt es sich jedes Mal um das gleiche Experiment<br />
Wir interessieren uns jedes Mal dafür, ob die richtige Antwort gewählt wurde.<br />
Das Experiment (das Ankreuzen) wird n = 6 -mal durchgeführt<br />
Wir kennen die Wahrscheinlichkeit p, mit der bei einer Frage die richtige Auswahlantwort angekreuzt wird,<br />
nämlich p = 1<br />
= 0,25<br />
4<br />
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 da es ja möglich ist, von den 6 Fragen keine oder eine oder zwei . . . oder fünf<br />
oder alle sechs Fragen richtig zu beantworten.<br />
Damit sind alle Bedingungen für die Binomial-Wahrscheinlichkeit mit den Kenngrößen<br />
n = 6, p = 0,25 sowie k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 erfüllt.<br />
Lösungen des Tests von S 385: 1. Niemals 2. 1803 3. 6,3 %<br />
4. Australien 5. Atlanta 6. Ulm<br />
Stellen wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten aller Möglichkeiten, also für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 mit Hilfe der<br />
Formel von S 384 bzw. S 385 auf:<br />
n = 6, p = 0,25 → 1 – p = 1 – 0,25 = 0,75<br />
Der sogenannte Binomial-Koeffizient ( n ) findet sich am Casio unter dem Befehl nCr :<br />
k<br />
Nur zur Ansicht<br />
Wir müssen vor der Divisions-Taste SHIFT betätigen:<br />
z.B.: ( 6 0 ) : 6 0 ENTER 1<br />
#<br />
manfred.ambach 386 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Hier spricht man von der Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil man sieht, wie die Wahrscheinlichkeiten<br />
aller möglichen Ereignisse verteilt sind, welches Ereignis also wahrscheinlicher eintritt und welche(s)<br />
unwahrscheinlicher.<br />
P(X = 0) = ( 6 0 ) ⋅ 0,250 ⋅ 0,75 6 = 0,1780 = 17,80 %<br />
P(X = 1) = ( 6 1 ) ⋅ 0,251 ⋅ 0,75 5 = 0,3560 = 35,60 %<br />
P(X = 2) = ( 6 2 ) ⋅ 0,252 ⋅ 0,75 4 = 0,2966 = 29,66 %<br />
P(X = 3) = ( 6 3 ) ⋅ 0,253 ⋅ 0,75 3 = 0,1318 = 13,18 %<br />
P(X = 4) = ( 6 4 ) ⋅ 0,254 ⋅ 0,75 2 = 0,0330 = 3,30 %<br />
P(X = 5) = ( 6 5 ) ⋅ 0,255 ⋅ 0,75 1 = 0,0044 = 0,44 %<br />
P(X = 6) = ( 6 6 ) ⋅ 0,256 ⋅ 0,75 0 = 0,0002 = 0,02 %<br />
Summe: 1 = 100 %<br />
Berechnung der Binomial-Wahrscheinlichkeit mit<br />
Beispiel:<br />
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den 6 Fragen (genau) zwei richtig beantwortet werden.<br />
Ganz oben rechts befindet sich das links abgebildete Symbol.<br />
Dieses wird mit der linken Maustaste angeklickt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
In GeoGebra 6:<br />
Damit öffnet sich das links abgebildete Fenster.<br />
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten,<br />
also die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller<br />
möglichen Ereignisse muss 1 = 100 % sein.<br />
Ansonsten hätten wir Möglichkeiten vergessen.<br />
Durch Rundungsabweichungen kann die Summe<br />
leicht von 1 = 100 % abweichen.<br />
Dort klicken wir Ansicht an.<br />
#<br />
manfred.ambach 387 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
In GeoGebra Classic 5:<br />
Somit erscheint die folgende Oberfläche:<br />
Damit öffnet sich das links abgebildete Fenster.<br />
Wir benötigen den Wahrscheinlichkeitsrechner<br />
und klicken dieses Symbol mit der linken Maustaste an.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Das Feld Normal mit der linken Maustaste angeklickt, öffnet das links<br />
abgebildete Fenster.<br />
In diesem Fenster klicken wir nun den Befehl Binomial an . . . . .<br />
#<br />
manfred.ambach 388 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
. . . . . und es eröffnet sich folgende Sicht:<br />
In unserem Beispiel sind n = 6 und p = 0,25<br />
So geben wir diese Zahlen in die entsprechenden Zellen ein.<br />
In der Tabelle rechts finden sich die Wahrscheinlichkeiten<br />
der einzelnen möglichen Ausgänge.<br />
Wir suchen P(X = 2) , deshalb wählen wir die hier blau hinterlegte Zeile.<br />
In der linken Spalte steht das entsprechende k (=2),<br />
in der rechten Spalte die dazugehörige Wahrscheinlichkeit (0,2966).<br />
Nur zur Ansicht<br />
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den sechs Fragen höchstens zwei richtig beantwortet werden.<br />
höchstens zwei Fragen bedeutet entweder 0 oder 1 oder 2 Fragen richtig zu beantworten<br />
Demnach ist X ≤ 2 und wir suchen P(X ≤ 2)<br />
#<br />
manfred.ambach 389 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Veranschaulichung:<br />
Die Gesamt-Oberfläche sieht dann wie folgt<br />
Wir klicken (mit der linken Maustaste) links unten das Symbol<br />
(linksseitig) an und erhalten die nachstehende abgebildete<br />
Oberfläche.<br />
Da wir P(X ≤ 2) bestimmen wollen,<br />
geben wir die 2 in das entsprechende Feld ein<br />
und betätigen ENTER.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Wir lesen ab, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 2) = 0,8306 beträgt.<br />
Die Wahrscheinlichkeit, höchstens zwei Fragen richtig zu beantworten, beträgt 0,8306 bzw. 83,06 % .<br />
#<br />
manfred.ambach 390 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Das Tolle an diesem Programm ist, dass ich hier drei Kontrollmöglichkeiten habe, ob ich richtig liege:<br />
c) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der Fragen richtig beantwortet wird.<br />
Die Hälfte von 6 = 1<br />
⋅ 6 = 3<br />
2<br />
mindestens die Hälfte der Fragen sind hier 3 oder 4 oder 5 oder 6 Fragen<br />
Demnach ist X ≥ 3 und wir suchen P(X ≥ 3)<br />
Veranschaulichung:<br />
Die entsprechenden Balken sind eingefärbt.<br />
In der Tabelle sind die entsprechenden<br />
Wahrscheinlichkeiten farblich unterlegt,<br />
deren Summe (auch) das Ergebnis liefert.<br />
Hier steht die gewünschte Wahrscheinlichkeit in entsprechender Form: P(X ≤ 2)<br />
Nur zur Ansicht<br />
#<br />
manfred.ambach 391 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Wir klicken (mit der linken Maustaste) links unten das Symbol<br />
(rechtsseitig) an und erhalten die unten dargestellte<br />
Oberfläche.<br />
Wir wollen P(X ≥ 3) bestimmen, also geben wir in das entsprechende Feld die 3 ein.<br />
Beachte, dass P(3 ≤ X), wie oben dargestellt, P(X ≥ 3) bedeutet!<br />
NICHT vergessen, ENTER zu betätigen!<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens die Hälfte der Fragen richtig zu beantworten, beträgt 0,1694 bzw. 16,94 % .<br />
d) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, zwischen einschließlich 2 und einschließlich 4 der Fragen<br />
richtig zu beantworten.<br />
zwischen 2 und 4 der Fragen richtig zu beantworten bedeutet, 2 oder 3 oder 4 Fragen richtig zu beantworten<br />
Demnach ist 2 ≤ X ≤ 4 und wir suchen P(2 ≤ X ≤ 4 )<br />
#<br />
manfred.ambach 392 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
2 ≤ X ≤ 4 heißt einerseits, dass 2 ≤ X und damit X ≥ 2 und<br />
andererseits X ≤ 4 sein soll<br />
und damit X zwischen (einschließlich) 2 und (einschließlich) 4 liegt.<br />
Veranschaulichung:<br />
Wir klicken (mit der linken Maustaste) links unten das Symbol<br />
(beidseitig) an und erhalten die unten abgebildete<br />
Oberfläche.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Wir wollen P(2 ≤ X ≤ 4) bestimmen, also geben wir die Zahlen in die entsprechenden Felder ein<br />
und betätigen ENTER.<br />
Die Wahrscheinlichkeit, zwischen einschließlich 2 und einschließlich 4 Fragen richtig zu beantworten, beträgt<br />
0,4614 bzw. 46,14 % .<br />
#<br />
manfred.ambach 393 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Mittel- bzw. Erwartungswert μ und Streuung bzw. Standardabweichung σ der Binomialverteilung:<br />
μ = E(X) = n ⋅ p Für unser Beispiel: μ = E(X) = 6 ⋅ 0,25 = 1,5<br />
σ = √ n ⋅ p ⋅ (1 − p) Für unser Beispiel: σ = √ 6 ⋅ 0,25 ⋅ (1 − 0,25) = 1,06<br />
In GeoGebra:<br />
Diese beiden Werte stehen bereits nach Eingabe von<br />
p und n links oben auf der entsprechenden Oberfläche.<br />
Ein Test besteht aus 6 Fragen. Unterhalb jeder Frage stehen vier Auswahlantworten, von denen eine richtig ist.<br />
– Interpretieren Sie folgendes Diagramm hinsichtlich der gefärbten Balken.<br />
Nur zur Ansicht<br />
#<br />
manfred.ambach 394 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Interpretation:<br />
Die eingefärbten Balken beschreiben die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Fragen richtig beantwortet<br />
werden.<br />
– Interpretieren Sie folgenden Ausdruck im Sachzusammenhang.<br />
( 6 2 ) ⋅ 0,252 ⋅ 0,75 4<br />
P(X = 2) = ( 6 2 ) ⋅ 0,252 ⋅ 0,75 4<br />
Die Wahrscheinlichkeit, dass von 6 Fragen 2 Fragen richtig beantwortet werden.<br />
Beispiel Zentralmatura am10.5.2017<br />
Aus Erfahrung weiß man, dass eine bestimmte Attraktion des Vergnügungsparks von jeder Person mit der<br />
Wahrscheinlichkeit p genutzt wird.<br />
Es werden 10 Personen zufällig ausgewählt.<br />
– Kreuzen Sie dasjenige Ereignis E an, für dessen Wahrscheinlichkeit gilt: [ 1 aus 5 ]<br />
P(E) = ( 10<br />
3 ) ⋅ p3 ⋅ (1 − p) 7<br />
Nur zur Ansicht<br />
Grafik: BMB<br />
#<br />
manfred.ambach 395 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Lösung: 1. Alternative<br />
https://www.youtube.com/watch?v=jH7zPmXXfyQ<br />
https://www.youtube.com/watch?v=zzmjIZ-QMQU<br />
Nur zur Ansicht<br />
Matherätsel 4:<br />
In einer Gemeinschaftspraxis teilen sich sechs Therapeuten die anfallende Monatsmiete zu gleichen Teilen auf. Am Ende des<br />
Jahres verlassen Mitglieder die Praxisgemeinschaft. Daher muss der Mietanteil für die Verbleibenden um jeweils € 20<br />
erhöht werden und beträgt ab dem neuen Jahr nun monatlich € 60.<br />
Wie viele Therapeuten verlassen am Ende des Jahres die Praxisgemeinschaft?<br />
Quelle: Maturabeispiel aus www.srdp<br />
Lösung: 2<br />
#<br />
manfred.ambach 396 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
9.4.2. GAUßsche (Normal-) Verteilung<br />
Carl Friedrich GAUß (1777 – 1855)<br />
Johann Carl Friedrich GAUß deutscher Mathematiker, der bereits zu seinen<br />
Lebzeiten als Princeps mathematicorum – Fürst der Mathematik – bezeichnet<br />
wurde und zu den bedeutendsten Erscheinungen seines Faches zählt,<br />
entwickelte neben vielen bis heute grundlegenden Werken der<br />
Naturwissenschaften fundamentale Modelle der Wahrscheinlichkeitstheorie,<br />
auf denen z.B. Hochrechnungen von Wahlergebnissen oder quantitative<br />
Modelle für Humanwissenschaften ( Soziologie, Psychologie, Medizin etc. )<br />
beruhen.<br />
GAUßschen Intentionen ist es zu verdanken, dass das Mathematische Institut in Göttingen bis zur Machtergreifung der<br />
Nationalsozialisten weltweit die bedeutendste Einrichtung seiner Art war. Die Schergen der Nazidiktatur ermordeten oder vertrieben<br />
auch wesentliche Vertreter der Intelligenz, was nicht zuletzt den USA ihre naturwissenschaftlich-technische Vormachtstellung<br />
ermöglichte, fand der gewichtige Teil der geistigen Elite deutscher Zunge, der dem Holocaust entfliehen konnte, in der Neuen Welt ihre<br />
neue Heimat. Seit der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts bis zum Zweiten Weltkrieg war die Wissenschaftssprache Deutsch. Nach<br />
diesem Inferno wurde übernahm schlagartig Englisch diese Stellung.<br />
Die GAUßsche Normalverteilung ist eine stetige Verteilung, dh, sie gibt Wahrscheinlichkeiten für alle unendlich<br />
vielen reellen Zahlen in einem bestimmten Bereich (Intervall) an. Wie das möglich ist, soll später ein Beispiel<br />
erhellen.<br />
X ist eine sogenannte stetige Zufallsvariable, weil X unendlich viele Zahlen-Werte annehmen kann.<br />
Zunächst die<br />
o<br />
Bedingungen und Bezeichnungen für die GAUßsche Normalverteilung<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Wahrscheinlichkeit f für das Auftreten des Mittelwertes μ ist am größten.<br />
o Die Kurve liegt symmetrisch zu μ.<br />
o Die Wendepunkte der Kurve liegen im Abstand σ von μ, wobei σ die Standardabweichung darstellt.<br />
o<br />
P(X=x)<br />
f (μ)<br />
f nennt man Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte oder Wahrscheinlichkeitsfunktion.<br />
f<br />
#<br />
manfred.ambach 397 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
P(X=x)<br />
Die Größe der<br />
Gesamtfläche unterhalb<br />
der Kurve beträgt ,<br />
da die Summe der<br />
Wahrscheinlichkeiten<br />
aller möglichen Ereignisse immer<br />
1 ist und die summierten<br />
Wahrscheinlichkeiten der Fläche<br />
unterhalb der Kurve entsprechen.<br />
Der Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion (Dichtefunktion) dieser Verteilung wird aus naheliegenden Gründen<br />
GAUßsche Glockenkurve genannt.<br />
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Dichtefunktion), die diese Kurve beschreibt, besitzt die Gleichung:<br />
Beispiel:<br />
f(x) =<br />
1<br />
σ . √ 2 π<br />
. e − 1 2 ( x−μ<br />
Nur zur Ansicht<br />
σ )2<br />
Mit μ als dem Mittelwert (oder Erwartungswert) und<br />
σ der Standardabweichung ( Streuung ) der Normalverteilung.<br />
Will man beispielsweise die<br />
Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass<br />
eine Größe (ein Merkmal) höchstens<br />
den Wert x erreicht, also P(X ≤ x) ,<br />
so entspricht das dem Inhalt der<br />
abgebildeten Fläche F(x), der<br />
eigentlich durch Integration zu<br />
ermitteln wäre.<br />
Mit den elektronischen Programmen<br />
erfolgt diese Bestimmung auf<br />
einfachem Wege.<br />
Der Durchmesser von Schrauben ist normalverteilt mit μ = 4,00 mm und<br />
σ = 0,03 mm.<br />
a) – Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Produktion<br />
zufällig entnommene Schraube einen Durchmesser von höchstens<br />
4,05 mm besitzt.<br />
#<br />
manfred.ambach 398 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Berechnung mit<br />
Wir öffnen das Fenster Wahrscheinlichkeitsrechner<br />
Die Voreinstellung Normal ist passend.<br />
Wir wollen Schraubendurchmesser von höchstens 4,05 mm, das bedeutet X ≤ 4,05<br />
Somit wollen wir die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 4,05)<br />
Nur zur Ansicht<br />
und für X = 4,05 ein.<br />
Wir klicken links unten das Symbol (linksseitig) an . . .<br />
. . . und tragen in die<br />
betreffenden Felder für<br />
μ = 4 ,<br />
für σ = 0,03<br />
ENTER betätigt und wir kennen die gesuchte Wahrscheinlichkeit.<br />
#<br />
manfred.ambach 399 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig der Produktion entnommene Schraube einen Durchmesser von 4,05 mm<br />
besitzt, beträgt 0,9522 bzw. 95,22 % .<br />
Man kann das Ergebnis auch so deuten:<br />
95,22 % aller Schrauben (dieser Produktion) besitzen einen Durchmesser von höchstens 4,05 mm.<br />
b) – Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Produktion zufällig entnommene Schraube einen<br />
Durchmesser zwischen 3,98 mm und 4,05 mm besitzt.<br />
Wir wollen Schraubendurchmesser von zwischen 3,98 mm und 4,05 mm.<br />
Das bedeutet 3,98 ≤ X ≤ 4,05<br />
Denn 3,98 ≤ X bedeutet, dass X ≥ 3,98 ist. Somit ist X größer oder gleich groß 3,98<br />
und auch kleiner oder gleich 4,05, weil ja X ≤ 4,05 gilt.<br />
Wir wollen also die Wahrscheinlichkeit P(3,98 ≤ X ≤ 4,05) berechnen.<br />
Wir klicken links unten das Symbol (zweiseitig) an . . .<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig der Produktion entnommene Schraube einen Durchmesser zwischen<br />
3,98 mm und 4,05 mm besitzt, beträgt 0,6997 bzw. 69,97 %.<br />
Man kann das Ergebnis auch so deuten:<br />
69,97 % aller Schrauben (dieser Produktion) besitzen einen Durchmesser von zwischen 3,98 mm und 4,05 mm.<br />
#<br />
manfred.ambach 400 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
c) – Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Produktion zufällig entnommene Schraube einen<br />
Durchmesser von mindestens 4,05 mm besitzt?<br />
Wir wollen Schraubendurchmesser von mindestens 4,05 mm. Das bedeutet X ≥ 4,05<br />
Wir wollen also die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 4,05) ermitteln.<br />
Wir klicken links unten das Symbol (rechtsseitig) an . . .<br />
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig der Produktion entnommene Schraube einen Durchmesser von<br />
mindestens 4,05 mm besitzt, beträgt 0,0478 bzw. 4,78 %.<br />
Man kann das Ergebnis auch so deuten:<br />
4,78 % aller Schrauben (dieser Produktion) besitzen einen Durchmesser von mindestens 4,05 mm.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Abschließend noch eine Art Umkehraufgabe:<br />
d) – Ermittle die Durchmesser, die die 4 % der Schrauben mit den größten Durchmessern besitzen.<br />
Die 4 % der größten Schrauben müssen wohl am rechten Rand der GAUßschen Glockenkurve liegen.<br />
#<br />
manfred.ambach 401 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
4 % als 0,04 eingeben.<br />
Die 4 % der größten Schrauben besitzen einen Durchmesser von mindestens 4,05 mm.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Das Wort mindestens ist von Bedeutung, weil<br />
die größten 4 % der Schrauben Durchmesser<br />
von 4,05 mm und mehr besitzen.<br />
#<br />
manfred.ambach 402 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Verteilungsfunktion F(X)<br />
Beispiel:<br />
Die Verteilungsfunktion F entspricht dem Inhalt der Fläche unter der Dichtefunktion<br />
vom linken Rand bis zum Wert x .<br />
Dieser Inhalt entspricht wiederum der Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) .<br />
Da der Mittelwert μ die Fläche unter der<br />
Dichtefunktion halbiert, ist<br />
Nur zur Ansicht<br />
P(X≤ μ ) = 0,5<br />
#<br />
manfred.ambach 403 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Das bedeutet für die Verteilungsfunktion,<br />
F(μ) = P(X≤ μ ) = 0,5<br />
Mit diesen Überlegungen ist eine Verteilungsfunktion leicht skizziert:<br />
Mit wachsendem x nähert sich F dem<br />
Wert 1, da die Gesamtfläche unter dem<br />
Graphen der Dichtefunktion<br />
(der Gaußschen Glockenkurve) 1 ist.<br />
Mit GeoGebra erhält man den Graphen der Verteilungsfunktion, indem man im Wahrscheinlichkeitsrechner den<br />
abgebildeten Button anklickt:<br />
Nur zur Ansicht<br />
#<br />
manfred.ambach 404 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
https://www.youtube.com/watch?v=X6SFohKqFDY<br />
Zusammengestellt aus verschiedenen Beispielen der Zentralmatura<br />
Körpermassen<br />
Die Körpermassen von männlichen Absolventen der Berufsreifeprüfung seien annähernd normalverteilt mit dem<br />
Erwartungswert μ = 76 kg und einer Standardabweichung von σ = 8,5 kg.<br />
– Berechnen Sie diejenige Körpermasse, die von einem Absolventen der Berufsreifeprüfung mit einer<br />
Wahrscheinlichkeit von 75 % überschritten wird.<br />
– Veranschaulichen Sie in der nachstehenden Abbildung der Dichtefunktion dieser Normalverteilung die<br />
Wahrscheinlichkeit, dass die Körpermasse eines zufällig ausgewählten Absolventen der Berufsreifeprüfung<br />
im Intervall [ 59 kg ; 93 kg ] liegt.<br />
– Skizzieren Sie im folgenden Diagramm die Verteilungsfunktion.<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Beschreiben Sie die Bedeutung der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang:<br />
F(80) – F(70) = 0,4197<br />
#<br />
manfred.ambach 405 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
V Stochastik<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
–<br />
– Begründen Sie, woran man erkennen kann,<br />
dass in der nebenstehenden Abbildung der<br />
Graph der strichlierten Funktion keine<br />
Dichtefunktion sein kann, wenn der Graph<br />
der durchgezogenen Funktion eine<br />
Dichtefunktion darstellt.<br />
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % wird eine Körpermasse von ca. 70,3 kg überschritten.<br />
–<br />
Nur zur Ansicht<br />
– Die Wahrscheinlichkeit, dass die Körpermasse eines zufällig ausgewählten Absolventen<br />
der Berufsreifeprüfung zwischen 70 kg und 80 kg liegt, beträgt 0,4197 bzw. 41,97 %.<br />
– Weil die Fläche unter jeder Dichtefunktion 1 = 100 % groß sein muss. Wenn die Fläche unter der<br />
durchgezogenen Funktion 1 ist, so kann dies bei der strichlierten Kurve nicht der Fall sein, das diese<br />
schmäler und niedriger ist.<br />
#<br />
manfred.ambach 406 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
VI<br />
Cluster<br />
10. VEKTOREN<br />
10.1. Grundbegriffe<br />
Ein Vektor ist eine gerichtete Größe.<br />
Das bedeutet, ein Vektor besitzt<br />
zwei Informationen:<br />
eine Richtung und eine Größe .<br />
Ein Vektor wird durch einen Pfeil dargestellt.<br />
Der Pfeil ist aber nur ein Symbol und<br />
nicht der eigentliche Vektor.<br />
Ein Vektor wird in der Regel mit einem Kleinbuchstaben bezeichnet, über dem ein nach rechts zeigender Pfeil<br />
gezeichnet ist (siehe obere Abbildung).<br />
Beispiele für Vektoren:<br />
Die Fließgeschwindigkeit eines Flusses<br />
Größe heißt: Richtung geben<br />
Friedrich NIETZSCHE<br />
(1844 – 1900 )<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bei der Fließgeschwindigkeit eines<br />
Flusses sind wohl beide<br />
Informationen von Bedeutung:<br />
In welche Richtung das Wasser fließt<br />
und mit welcher Geschwindigkeit<br />
(Größe).<br />
Ein Schiff, das in Fließrichtung (stromabwärts) fährt, benötigt für eine bestimmte Strecke weniger Zeit als ein Schiff<br />
für diese Strecke beansprucht, das sich gegen die Fließgeschwindigkeit (stromaufwärts) bewegt.<br />
manfred.ambach 407 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Wegweiser<br />
Um von Salzburg nach München zu kommen, muss ich<br />
beide Eigenschaften des Vektors erfüllen:<br />
Ich muss die richtige Richtung wählen und die<br />
vorgeschriebene Länge (Größe) zurücklegen.<br />
Erfülle ich nur eine der Eigenschaften, wird’s mit München nicht klappen!<br />
Wähle ich die richtige Richtung, lege aber nur eine Länge von 88 km zurück, so lande ich in Griesstätt. Fahre ich 140 km,<br />
aber statt nach Westen in Richtung Osten, so werde ich der Stadt Enns einen Besuch abstatten.<br />
Eine wichtige Vereinbarung:<br />
Alle Pfeile, die<br />
Nur zur Ansicht<br />
<br />
<br />
<br />
parallel<br />
gleich lang und<br />
gleich gerichtet<br />
sind, beschreiben den<br />
gleichen Vektor.<br />
Es gibt demnach unendlich viele Pfeile, die den gleichen Vektor beschreiben können,<br />
nämlich alle Pfeile, die durch parallel verschieben entstehen.<br />
manfred.ambach 408 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.2. Grafische Verbindungen von Vektoren<br />
10.2.1. Addition<br />
Die Pfeile zweier Vektoren<br />
werden addiert, indem man sie<br />
so parallel verschiebt, dass der<br />
Schaft des zweiten Pfeils in der<br />
Spitze des ersten Pfeils liegt.<br />
Der Pfeil des Summenvektors<br />
hat seinen Schaft im Schaft des<br />
ersten Pfeils und seine Spitze in<br />
der Spitze des zweiten Pfeils.<br />
Bemerkung: Da der Pfeil des Summenvektors in der Regel weder parallel zu einem der Ausgangs-Vektoren ist,<br />
noch deren Länge besitzt, könnte man ihn auch ganz anders als a⃗ + b⃗ nennen, zum Beispiel c⃗.<br />
Man nennt ihn deshalb a⃗ + b⃗ , weil er der Summenvektor von a⃗ und b⃗ ist.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Da der Pfeil des Vektors a⃗⃗ + b⃗⃗ parallel zum Pfeil des Vektors b⃗⃗ + a⃗⃗ ist und auch gleich lang und gleich gerichtet,<br />
beschreiben doch beide Pfeile den gleichen Vektor.<br />
Demnach gilt:<br />
a⃗⃗ + b⃗⃗ = b⃗⃗ + a⃗⃗<br />
manfred.ambach 409 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.2.2. Gegenvektor eines Vektors<br />
10.2.3. Subtraktion<br />
Dann funktioniert die Vektorrechnung<br />
ohnehin wie das Rechnen mit Zahlen!<br />
Selten ja, meistens nein !!<br />
Der Gegenvektor −a⃗⃗ eines Vektors a⃗⃗<br />
<br />
<br />
<br />
Es kann ja auch nicht sein, dass Zahlen, die nur<br />
eine Information enthalten (ihre Größe) durchweg<br />
das Gleiche ergeben wie Vektoren, die zwei Infos<br />
besitzen, nämlich Richtung und Größe!!<br />
ist parallel zum Pfeil des Vektors a⃗⃗<br />
gleich lang wie dieser und<br />
entgegengesetzt gerichtet<br />
Bemerkung: Der Gegenvektor eines Vektors b⃗ wird mit −b⃗⃗ bezeichnet.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Die Pfeile zweier Vektoren werden<br />
subtrahiert, indem man den Pfeil<br />
des ersten Vektors mit dem Pfeil des<br />
Gegenvektors addiert.<br />
manfred.ambach 410 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Was ergibt b⃗⃗ − b⃗⃗ ?<br />
Eigentlich bestimmen wir b⃗⃗ + (−b⃗⃗).<br />
Der Schaft des Pfeils des Vektors −b⃗⃗<br />
liegt laut Addition in der Spitze des Pfeils<br />
des Vektors b⃗⃗ .<br />
Der Pfeil des „Summen“-Vektors hat<br />
seinen Schaft im Schaft von b⃗⃗ und seine<br />
Spitze<br />
in der Spitze von −b⃗⃗ .<br />
Ein Vektor mit der Länge null heißt Nullvektor und wird mit o⃗⃗ bezeichnet.<br />
Da der Schaft von b⃗⃗ und die Spitze von<br />
−b⃗⃗ im selben Punkt liegen, hat der<br />
„Summen“-Vektor in diesem Fall<br />
die Länge null.<br />
Eine Zahl besitzt nur eine Information, ihre Größe.<br />
Ein Vektor besitzt zwei Informationen:<br />
Größe und Richtung.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Denke dir den Nullvektor folgendermaßen:<br />
Wo liegt denn der Unterschied<br />
zwischen der Zahl null und<br />
dem Nullvektor?<br />
Du fährst zunächst eine bestimmte Strecke nach Norden und anschließend die gleiche Strecke zurück,<br />
also entgegengesetzt. Dann landest du genau dort, wo du gestartet bist.<br />
Vektor-mäßig ist es das Gleiche, wie wenn du dich vom Ausgangsort null Meter wegbewegt hättest.<br />
Streckenmäßig ist es natürlich nicht das Gleiche.<br />
manfred.ambach 411 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.2.4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Was ergibt denn die<br />
Multiplikation zweier Vektoren?<br />
Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl<br />
verändert nur seine Größe (Länge).<br />
Ist die Zahl negativ, erhält der Vektor zusätzlich<br />
die entgegengesetzte Richtung.<br />
Das werden wir später sehen!<br />
Nur zur Ansicht<br />
Ein Rettungshubschrauber fliegt zunächst von<br />
WIEN nach Wr. Neustadt und von dort nach<br />
St. Pölten.<br />
Dort erhält er den Auftrag, zurück nach<br />
Wr. Neustadt zu fliegen, von wo es über<br />
Eisenstadt nach Stockerau geht.<br />
– Zeichnen Sie die beschriebenen Flüge als<br />
Vektoren in die nebenstehende Skizze ein.<br />
manfred.ambach 412 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
10.3. Rechnerische Verbindungen von Vektoren<br />
10.3.1. Koordinaten eines Vektors<br />
Wir legen folgendes fest:<br />
Basisvektor i ⃗⃗: Zeigt eine Einheit<br />
in die positive x-Richtung<br />
Basisvektor j ⃗⃗: Zeigt eine Einheit<br />
in die positive y-Richtung<br />
Nur zur Ansicht<br />
Alle (unendlich vielen) Vektoren im (2-dimensionalen) Koordinatensystem<br />
lassen sich durch Addition bzw. Subtraktion von Vielfachen dieser Basisvektoren<br />
darstellen.<br />
manfred.ambach 413 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Beispiel:<br />
Addieren wir zum 3-fachen des Basisvektors i⃗<br />
das 2-fache des Basisvektors j⃗ erhalten wir den<br />
Vektor a⃗⃗ .<br />
Es gilt demnach:<br />
a⃗⃗ = 3 ⋅ i⃗ + 2 ⋅ j⃗<br />
Deshalb kann ein Vektor durch Angabe der Vielfachen der Basisvektoren eindeutig angegeben werden:<br />
a⃗⃗ = 3 ⋅ i⃗ + 2 ⋅ j⃗ = ( 3<br />
2 )<br />
Man nennt diese Vielfachen auch Koordinaten des Vektors.<br />
3 ist seine x-Koordinate<br />
Allgemein lässt sich schreiben<br />
a x ist die x-Koordinate des Vektors a⃗⃗<br />
a y ist die y-Koordinate des Vektors a⃗⃗<br />
2 ist seine y-Koordinate<br />
a⃗⃗ = a x ⋅ i⃗ + a y ⋅ j⃗ = ( a x<br />
a )<br />
y<br />
Komponenten-<br />
Schreibweise<br />
Koordinaten-<br />
Schreibweise<br />
Nur zur Ansicht<br />
Beispiel:<br />
Zeichne die (Pfeile der) Vektoren b⃗⃗ = (<br />
3 ) und c⃗⃗ = (−2 ) in ein Koordinatensystem von geeignetem<br />
−1 3<br />
Maßstab.<br />
manfred.ambach 414 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.3.2. Addition<br />
Gegeben: a⃗⃗ = ( 3 2 ) und b ⃗⃗ = ( 1 2 )<br />
Addieren wir zunächst die Pfeile der beiden Vektoren<br />
grafisch (siehe 10.2.1., S 405)<br />
Der Summenvektor ergibt sich offenbar durch folgende<br />
Addition:<br />
a⃗⃗ + b⃗⃗ = 4 ⋅ i⃗ + 4 ⋅ j⃗ = ( 4 4 )<br />
Nur zur Ansicht<br />
Demnach gilt:<br />
a⃗⃗ + b⃗⃗ = ( 3<br />
2 ) + ( 1<br />
2 ) = ( 4<br />
4<br />
) = (<br />
3 + 1<br />
2 + 2 )<br />
manfred.ambach 415 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Offensichtlich müssen die x-Koordinaten und die y-Koordinaten der beiden Vektoren addiert werden.<br />
Allgemein:<br />
Mit :<br />
a⃗⃗ = ( ax<br />
a ) b⃗⃗ = ( b x<br />
y b<br />
) → a⃗⃗ + b⃗⃗ = ( ax + b x<br />
y a y + b )<br />
y<br />
Im Algebra-Fenster bzw. in der Eingabe-Zeile den Vektor wie einen Punkt<br />
eingeben.<br />
Ich schreibe deshalb vor den Befehl a = weil der Vektor a heißen soll.<br />
ENTER betätigt und der Vektor a⃗⃗ erscheint im Algebra-<br />
Fenster (in der Eingabe-Zeile) und im<br />
Grafik-Fenster als Pfeil dargestellt.<br />
Bemerkung: GeoGebra beschreibt den Pfeil nur mit a und<br />
nicht mit a⃗ .<br />
Ebenso verfährt man mit der Eingabe<br />
des Vektors b⃗⃗.<br />
Möchte man den Vektor a⃗⃗ + b⃗⃗ ermitteln, so gibt man den<br />
entsprechenden Rechengang in der Folgezeile ein.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Das Programm hat den Summenvektor hier u getauft und stellt<br />
ihn auch im Grafik-Fenster als Pfeil dar.<br />
Bemerkung: Der Summenvektor wird nur als Ergebnis dargestellt<br />
und nicht, wie er sich als Addition der Vektoren a⃗ und b⃗ ergibt:<br />
manfred.ambach 416 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Ein Hubschrauberflug startet in<br />
GRAZ und wird durch folgende<br />
Vektoren beschrieben:<br />
Zuerst ( −1 ) , dann (−1,5<br />
1,5 −1 )<br />
und<br />
schließlich ( 3<br />
−3 )<br />
– Zeichnen Sie den<br />
Hubschrauberflug in die linke<br />
Abbildung ein.<br />
– Geben Sie den Ort an, in<br />
dem der Hubschrauberflug<br />
endet.<br />
– Geben Sie die Koordinaten<br />
des Summenvektors dieser<br />
drei Vektoren an.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Der Hubschrauberflug endet in Maribor.<br />
Summenvektor:<br />
( −1 5<br />
) + (−1,<br />
1, 5 −1 ) + ( 3<br />
−3 ) = ( 0, 5<br />
−2, 5 )<br />
manfred.ambach 417 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.3.3. Subtraktion<br />
Demnach gilt:<br />
Gegeben: a⃗⃗ = ( 3 3 ) und b ⃗⃗ = ( 1 2 )<br />
Wir subtrahieren die Pfeile der beiden Vektoren grafisch, indem<br />
wir zum Pfeil des Vektors a⃗⃗ den Pfeil des Gegenvektors von b⃗⃗<br />
addieren (siehe 10.2.3., S 406)<br />
Der Vektor a⃗⃗ − b⃗⃗ ergibt sich offenbar durch folgende Addition:<br />
a⃗⃗ − b⃗⃗ = 2 ⋅ i⃗ + 1 ⋅ j⃗ = ( 2 1 )<br />
Nur zur Ansicht<br />
a⃗⃗ − b⃗⃗ = ( 3<br />
3 ) − ( 1<br />
2 ) = ( 2<br />
1<br />
) = (<br />
3 − 1<br />
3 − 2 )<br />
Offensichtlich müssen die x-Koordinaten und die y-Koordinaten der beiden Vektoren subtrahiert werden.<br />
manfred.ambach 418 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Allgemein:<br />
Beispiel:<br />
a⃗⃗ = ( ax<br />
a y<br />
) b⃗⃗ = ( b x<br />
b y<br />
) → a⃗⃗ − b⃗⃗ = ( ax − b x<br />
a y − b y )<br />
Gegeben sind die Vektoren a⃗⃗ = ( −3 2 ) und b ⃗⃗ = (<br />
1<br />
−2 )<br />
– Bestimme die Koordinaten der Vektoren a⃗⃗ − b⃗⃗ und b⃗⃗ − a⃗⃗<br />
a⃗⃗ − b⃗⃗ = ( −3<br />
2 ) − ( 1 −3 − 1<br />
) = (<br />
−2 2 − (−2) ) = (−4 4 )<br />
b⃗⃗ − a⃗⃗ = (<br />
1<br />
−2 ) − (−3 − (−3)<br />
) = (1<br />
2 −2 − 2 ) = ( 4<br />
−4 )<br />
Mit GeoGebra:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Farbliche Gestaltung siehe<br />
manfred.ambach 419 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.3.4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl<br />
Gegeben ist der Vektor a⃗⃗ = ( 3 2 )<br />
Der Pfeil des Vektors 2 ⋅ a⃗⃗⃗ hat die gleiche Richtung wie<br />
der Pfeil des Vektors a⃗⃗ , ist parallel und zweimal so lang.<br />
Der Vektor 2 ⋅ a⃗⃗⃗ ergibt sich offenbar durch folgende<br />
Addition:<br />
2 ⋅ a⃗⃗⃗ = 6 ⋅ i ⃗ + 4 ⋅ j ⃗ = ( 6 4 )<br />
Demnach gilt:<br />
2 ⋅ a⃗⃗ = 2 ( 3<br />
2 ) = ( 6 2 ⋅ 3<br />
) = (<br />
4 2 ⋅ 2 )<br />
Nur zur Ansicht<br />
Offensichtlich müssen die x-Koordinate und die y-Koordinate mit der Zahl 2 multipliziert werden.<br />
Allgemein<br />
λ ∈ R und a⃗⃗ = ( ax<br />
λ ⋅ ax<br />
a ) → λ ⋅ a⃗⃗ = ( )<br />
y λ ⋅ a y<br />
manfred.ambach 420 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Mit GeoGebra:<br />
Beispiel:<br />
Gegeben sind die Vektoren a⃗⃗ = ( −3 2 ) und b ⃗⃗ = (<br />
1<br />
−2 )<br />
Ermittle die Koordinaten folgender Vektoren:<br />
1<br />
2<br />
1<br />
⋅ a⃗⃗ = ⋅ ( −3 5<br />
) = (−1,<br />
2 2 1 )<br />
Nullvektor im Koordinatensystem:<br />
1<br />
2 ⋅ a⃗⃗⃗<br />
und<br />
Nur zur Ansicht<br />
Der Nullvektor besitzt die Länge null.<br />
Man kann ihn also als Punkt im Koordinatensystem darstellen.<br />
Demnach muss gelten:<br />
1<br />
2<br />
⋅ a⃗⃗⃗ − 2 ⋅ b⃗⃗<br />
1<br />
⋅ a⃗⃗ − 2 ⋅ b⃗⃗ = 1 ⋅ 2 2 ( −3 2 ) − 2 ⋅ ( 1 5<br />
) = (−1,<br />
−2 1 ) − ( 2 5 − 2 5<br />
) = (−1, ) = (−3,<br />
−4 1 − (−4) 5 )<br />
o⃗⃗ = 0 ⋅ i⃗ + 0 ⋅ j⃗ = ( 0<br />
0 )<br />
manfred.ambach 421 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Beispiel Zentralmatura 16.01.2018, erweitert<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Grafik: BMB<br />
Grafik: BMB<br />
– Zeichnen Sie die Gesamtkraft, die sich aus der<br />
Summe der beiden Kräfte F⃗⃗⃗⃗⃗ 1 und F⃗⃗⃗⃗ 2 ergibt,<br />
ausgehend vom Punkt E in nebenstehender Grafik<br />
ein.<br />
Angenommen, die Vektoren F⃗⃗⃗⃗⃗ 1 und F⃗⃗⃗⃗ 2 besitzen<br />
folgende Koordinaten: F⃗⃗⃗⃗⃗ 1 = ( 3 2 ) , F ⃗⃗⃗⃗<br />
2 = ( −4<br />
1 )<br />
– Bestimmen Sie die Koordinaten folgender<br />
1<br />
Vektoren: F⃗⃗⃗⃗ 2 − F⃗⃗⃗⃗ 1 , ⋅ F ⃗⃗⃗⃗<br />
2<br />
2 + 2 ⋅ F⃗⃗⃗⃗<br />
1<br />
– ( −7<br />
−1 ) – ( 4<br />
4,5 )<br />
Nur zur Ansicht<br />
Matherätsel 5:<br />
Die Summe zweier Zahlen soll doppelt so groß sein wie ihre (positive) Differenz. Ihr Produkt aber soll dreimal so groß sein<br />
wie ihre Summe.<br />
Um welche beiden Zahlen handelt es sich?<br />
Quelle: denksport.de<br />
Lösung: 4 und 12<br />
manfred.ambach 422 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.4. Weitere Eigenschaften von Vektoren<br />
10.4.1. Ortsvektor<br />
Ein Ortsvektor ist ein Vektor, dessen Pfeil-<br />
Schaft im Koordinatenursprung liegt.<br />
Der Ortsvektor und der Punkt an der Pfeil-<br />
Spitze haben offensichtlich die gleichen<br />
Koordinaten.<br />
Der Ortsvektor wir meistens so bezeichnet wie<br />
der Punkt an seiner Spitze.<br />
Heißt der Punkt an der Spitze P, so nennt man den Ortsvektor P⃗⃗⃗ bzw. 0P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , weil er im Ursprung 0 seinen Schaft<br />
hat und bis zum Punkt P reicht.<br />
Man kann aus jedem Vektor durch<br />
Parallelverschieben seines Pfeiles einen<br />
Ortsvektor machen, indem man den<br />
Schaft des Pfeiles in den Ursprung<br />
schiebt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Aber nur in der Lage als Ortsvektor<br />
stimmen die Koordinaten des Punktes<br />
an der Spitze mit den Vektor-<br />
Koordinaten überein.<br />
manfred.ambach 423 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Beispiel:<br />
Wie lauten die Koordinaten des Ortsvektors, an dessen Spitze der Punkt A(−3/2) liegt?<br />
A⃗⃗ = ( −3 2 )<br />
Beispiel:<br />
Wie lauten die Koordinaten des Punktes an der Spitze des Ortsvektors M⃗⃗⃗⃗ = (<br />
M(4/−1)<br />
4<br />
−1 ) ?<br />
Bemerkung: Auf diese Weise lassen sich mit Vektoren die Koordinaten von Punkten bestimmen:<br />
Man ermittelt den Ortsvektor zum gesuchten Punkt. Der Ortsvektor besitzt dann<br />
die gleichen Koordinaten wie der Punkt an seiner Pfeil-Spitze.<br />
10.4.2. Betrag (Länge) eines Vektors<br />
Der Betrag (die Länge) eines Vektors a ⃗⃗⃗⃗ ,<br />
bezeichnet mit |a⃗⃗| ,<br />
kann folgendermaßen ermittelt werden:<br />
Im abgebildeten Beispiel ist der Basisvektor<br />
i⃗ 4 Einheiten lang und der Basisvektor j⃗<br />
3 Einheiten. Zusammen mit der Länge des<br />
Vektors, |a⃗⃗|, ergeben die Längen der<br />
Basisvektoren ein rechtwinkeliges Dreieck. Dort<br />
gilt der Lehrsatz des Pythagoras:<br />
|a⃗⃗| 2 = 4 2 + 3 2 | √<br />
Nur zur Ansicht<br />
|a⃗⃗|<br />
= √ 4 2 + 3 2<br />
manfred.ambach 424 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Allgemein:<br />
Mit GeoGebra:<br />
Oder:<br />
Mit dem Befehl<br />
Beispiel:<br />
a⃗⃗ = ( a x<br />
a y<br />
) → |a⃗⃗| = √ a x 2 + a y<br />
2<br />
Die Betragsstriche erhält man durch folgende Tastenkombination:<br />
Zwischen die Betragsstriche schreibt man den Namen des Vektors, hier a,<br />
und erhält seinen Betrag.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bestimme den Betrag (die Länge) des Vektors b⃗⃗ = (<br />
2, 5<br />
−1 ) ?<br />
|b⃗⃗| = √ 2, 5 2 + (−1) 2 = 2,69 E<br />
E steht für Längen-Einheit(en)<br />
manfred.ambach 425 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Der Vektor ( − 4 ) beschreibt den Flug eines Hubscharubers von WIEN<br />
−10<br />
nach GRAZ.<br />
– Berechnen Sie die Länge dieses Hubschrauberfluges auf ganze<br />
Kilometer gerundet.<br />
Nur zur Ansicht<br />
−4 ⋅ 10<br />
(<br />
−10 ⋅ 20 ) = ( −40<br />
−200 )<br />
|( −40<br />
−200 )| = √ (−40)2 + (−200) 2 = 203,96 ≈ 204<br />
Der Hubschrauber legt eine Strecke von rund 204 km zurück.<br />
manfred.ambach 426 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.4.3. Gegeben: 2 Punkte A und B . . .<br />
10.4.3.1. . . . gesucht: Der Vektor von A nach B: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB<br />
Die beiden Punkte A(2/4) und B(6/3) seien<br />
gegeben.<br />
Wir wollen die Koordinaten des Vektors AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , also vom<br />
Punkt A zum Punkt B bestimmen<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 427 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Da wir die die Koordinaten der Punkte A und B<br />
kennen, können wir sofort die Koordinaten der<br />
Ortsvektoren A⃗⃗ und B⃗⃗⃗ zu diesen Punkten angeben. Sie<br />
besitzen die gleichen Koordinaten wie die Punkte an<br />
ihrer Pfeil-Spitze (siehe 10.4.1., S 419)<br />
n<br />
Nun bilden wir den Gegenvektor von A ⃗⃗⃗ , den Vektor<br />
−A ⃗⃗⃗<br />
Der Vektor B⃗⃗⃗ mit – A⃗⃗ addiert, ergibt den Vektor B⃗⃗⃗ −<br />
A⃗⃗ .<br />
Nur zur Ansicht<br />
Da der Pfeil des Vektors B⃗⃗⃗ − A⃗⃗ .<br />
<br />
<br />
<br />
parallel,<br />
gleich gerichtet und<br />
gleich lang<br />
wie der Pfeil des Vektors AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ist, gilt<br />
AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B⃗⃗⃗ − A⃗⃗<br />
manfred.ambach 428 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Beispiel:<br />
Gegeben sind die Punkte A(2/4) und B(6/3) .<br />
– Bestimme die Koordinaten des Vektors AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .<br />
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB = B⃗⃗⃗ − A⃗⃗ = ( 6 3 ) − (2 − 2<br />
) = (6<br />
4 3 − 4 ) = ( 4<br />
−1 )<br />
Mit GeoGebra:<br />
Im Algebra-Fenster (in der Eingabe-Zeile)der Befehl<br />
Vektor[ , ] anklicken.<br />
Ich schreibe deshalb vor den Befehl<br />
heißen soll.<br />
AB = weil der Vektor AB<br />
Anfangs- und Endpunkt des<br />
Vektors werden, wie in der<br />
ersten Zeile ersichtlich,<br />
eingegeben.<br />
Nur zur Ansicht<br />
ENTER betätigt und die<br />
Koordinaten des Vektors AB<br />
erscheinen im Algebra-<br />
Fenster.<br />
Im Grafik-Fenster sieht man<br />
den Vektor als Pfeil<br />
dargestellt.<br />
manfred.ambach 429 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.4.3.2. . . . gesucht: Die Länge der Strecke AB<br />
Beispiel:<br />
Gegeben sind die Punkte A(2/4) und B(6/3) .<br />
– Bestimme die Länge der Strecke AB .<br />
Offensichtlich ist die Strecke AB gleich lang<br />
wie der Vektor AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .<br />
AB ̅̅̅̅ = |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|<br />
Bemerkung: Die Strecke heißt AB.<br />
Ihre Länge wird mit AB ̅̅̅̅ bezeichnet.<br />
Nur zur Ansicht<br />
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB = ( 4<br />
−1 ) → |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √ 4 2 + (−1) 2 = √ 16 + 1 = √ 17 = 4, 12 E<br />
Nochmals erinnert: E steht für Längen-Einheit(en)<br />
manfred.ambach 430 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.4.3.3. . . . gesucht: Halbierungspunkt H der Strecke AB<br />
Den Halbierungspunkt kann man auch Mittelpunkt nennen.<br />
Wir kennen die Koordinaten der Punkte A und B. Die<br />
Strecke AB ist hier hellblau eingezeichnet.<br />
Der Halbierungspunkt H der Strecke AB liegt genau in<br />
der Mitte zwischen A und B .<br />
Nur zur Ansicht<br />
Da wir die die Koordinaten der Punkte A und B<br />
kennen, können wir sofort die Koordinaten der<br />
Ortsvektoren A⃗⃗ und B⃗⃗⃗ zu diesen Punkten angeben. Sie<br />
besitzen die gleichen Koordinaten wie die Punkte an<br />
ihrer Pfeil-Spitze.<br />
manfred.ambach 431 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Wir addieren die Ortsvektoren A⃗⃗ und B⃗⃗⃗ und erhalten<br />
den Vektor A⃗⃗ + B⃗⃗⃗ .<br />
Wir bestimmen die Koordinaten des<br />
Halbierungspunktes H , indem wir den Ortsvektor H⃗⃗<br />
berechnen.<br />
(Ortsvektor und Punkt an seiner Pfeil-Spitze haben die<br />
gleichen Koordinaten.)<br />
Der Pfeil des Ortsvektors H⃗⃗ ist offensichtlich<br />
<br />
parallel,<br />
Nur zur Ansicht<br />
<br />
<br />
gleich gerichtet wie der Pfeil des Vektors A⃗⃗+B⃗⃗⃗ und<br />
halb so lang<br />
Deshalb gilt:<br />
H⃗⃗ = 1<br />
2 ⋅ (A ⃗⃗ + B⃗⃗⃗)<br />
manfred.ambach 432 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Beispiel:<br />
Gegeben sind die Punkte A(2/4) und B(6/3) .<br />
– Bestimme die die Koordinaten des Halbierungspunktes H.<br />
H⃗⃗ = 1<br />
2 ⋅ (A ⃗⃗ + B⃗⃗⃗) = 1<br />
2 ⋅ [(2 4 ) + (6 1<br />
)] =<br />
3 2 ⋅ (8 7 ) = ( 4 ) → H(4/3, 5)<br />
3, 5<br />
Diese Ausdrücke klingen nur ähnlich, stellen jedoch<br />
völlig verschiedene Vektoren dar:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Mit GeoGebra:<br />
AB<br />
Sind eigentlich und<br />
2<br />
A<br />
B<br />
<br />
das Gleiche?<br />
2<br />
A<br />
A <br />
AB<br />
2<br />
B <br />
H<br />
A+B<br />
2<br />
B<br />
manfred.ambach 433 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.4.4. Einheitsvektor eines Vektors<br />
Beispiel:<br />
Gegeben ist der Vektor a⃗⃗ = (<br />
3<br />
−4 ) .<br />
– Ermittle den Einheitsvektor dieses Vektors.<br />
⃗⃗⃗⃗⃗ =<br />
a 0<br />
1<br />
|a⃗⃗| ⋅ a⃗⃗ =<br />
1<br />
Der Einheitsvektor a⃗⃗⃗⃗⃗ 0 eines Vektors a ⃗⃗⃗⃗ist<br />
<br />
<br />
<br />
parallel,<br />
gleichgerichtet wie der Pfeil des Vektors a ⃗⃗⃗⃗ und hat<br />
die Länge 1 (E)<br />
Deshalb wird er berechnet:<br />
⃗⃗⃗⃗⃗ =<br />
a 0<br />
a⃗⃗<br />
|a⃗⃗| =<br />
1<br />
|a⃗⃗| ⋅ a⃗⃗<br />
Nur zur Ansicht<br />
= 1<br />
5<br />
√ 3 2 + (−4) 2<br />
3<br />
⋅ (<br />
3<br />
−4 ) = ( 5 0, 6<br />
) = (<br />
−4 −0, 8 )<br />
5<br />
⋅ (<br />
3<br />
−4 ) =<br />
1<br />
√ 9 + 16<br />
⋅ (<br />
3<br />
−4 ) =<br />
1<br />
√ 25<br />
⋅ (<br />
3<br />
−4 )<br />
manfred.ambach 434 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Mit GeoGebra:<br />
Nachdem wir den gewünschten Vektor eingegeben haben . . .<br />
. . . klicken wir den Befehl Einheitsvektor[ ] an.<br />
In das Feld schreiben wir den Namen<br />
des Vektors, in unserem Falle a.<br />
ENTER betätigt und die Koordinaten des<br />
Einheitsvektors sowie seine Darstellung als Pfeil<br />
werden sichtbar.<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 435 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.4.5. Normalvektoren eines Vektors<br />
Welche Koordinaten vertauscht<br />
man für einen Normalvektor im<br />
R 3 , also im Raum?<br />
Die Normalvektoren n⃗⃗ 1 bzw. n⃗⃗ 2 eines Vektors a<br />
<br />
<br />
gleich lang wie der Pfeil des Vektors a⃗⃗ und<br />
schließen mit a⃗⃗ einen rechten Winkel ein<br />
Wie nebenstehende Skizze zeigt, gibt es zwei<br />
Normalvektoren mit den Koordinaten<br />
a⃗⃗ = ( a x<br />
a ) → n⃗⃗⃗⃗⃗ 1 = ( −a y<br />
y a<br />
)<br />
x<br />
Bemerkung: Wer n 1<br />
⃗⃗⃗⃗⃗ oder n 2<br />
⃗⃗⃗⃗sind<br />
n⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = ( a y<br />
−a<br />
)<br />
x<br />
⃗⃗⃗⃗⃗ ist, ist unerheblich.<br />
Nur zur Ansicht<br />
R 2 bedeutet die x-y-Ebene<br />
R 3 bedeutet den Raum<br />
Man kann nur im R 2 Normalvektoren zu einem Vektor<br />
angeben!<br />
Im R 3 gibt es zu einem Vektor unendlich viele<br />
Normalvektoren. Deshalb sind im Raum Normalvektoren<br />
bezüglich eines Vektors nicht eindeutig bestimmbar.<br />
Im R 3 lassen sich nur zu zwei nicht parallelen Vektoren<br />
eindeutige Normalvektoren angeben.<br />
Diese Thematik beschäftigt uns aber nicht!<br />
manfred.ambach 436 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Beispiel:<br />
Gegeben ist der Vektor a⃗⃗ = (<br />
3<br />
−4 ) .<br />
– Ermittle die Koordinaten der Normalvektoren von a⃗⃗ .<br />
a⃗⃗ = (<br />
3<br />
−4 ) →<br />
⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 4 3 )<br />
n 1<br />
n ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = ( −4<br />
−3 ) .<br />
EIN Normalvektor lässt sich mit Geogebra ermitteln:<br />
Nur zur Ansicht<br />
https://www.youtube.com/watch?v=Q15JN8COHbs&t=187s<br />
manfred.ambach 437 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
10.4.6. Skalarprodukt zweier Vektoren<br />
Eine skalare Größe (ein Skalar) meint<br />
eine Zahl.<br />
Das Skalarprodukt zweier Vektoren<br />
ergibt demnach (nur) eine Zahl<br />
und keinen Vektor, wie wir sehen<br />
werden.<br />
Um die Formel des Skalarproduktes ein wenig zu verstehen, benötigen wir zunächst den Begriff der<br />
(physikalischen) Arbeit:<br />
In der Physik ist Arbeit wie folgt<br />
festgelegt:<br />
Arbeit = Weg mal Kraft<br />
Also das Produkt aus dem<br />
zurückgelegten Weg mal der dafür<br />
aufgewendeten Kraft.<br />
Der zurückgelegte Weg ist in der<br />
Skizze durch den Vektor s⃗⃗<br />
gekennzeichnet, die aufgewendete<br />
Kraft durch den Vektor F⃗⃗ .<br />
Allerdings ist nur jener Teil der Kraft<br />
für die geleistete Arbeit von<br />
Bedeutung, die in Bewegungsrichtung<br />
erfolgt, hier durch den Vektor F⃗⃗⃗⃗⃗<br />
s<br />
dargestellt.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Da die gleiche Arbeit geleistet wird, wenn der Wagen die gleiche Strecke zurückgeschoben wird, ist nicht die<br />
Richtung der geleisteten Arbeit von Bedeutung, sondern alleine ihre Größe:<br />
Arbeit = |s⃗⃗| ⋅ |F⃗⃗⃗⃗⃗|<br />
s<br />
manfred.ambach 438 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Im Englischen heißt Arbeit work (W), Kraft force (F) und Strecke stretch (s) .<br />
Deshalb schreibt man<br />
cos(α) =<br />
|F ⃗⃗⃗⃗⃗<br />
s |<br />
|F⃗⃗ |<br />
|F⃗⃗ | ⋅ cos(α) = |F⃗⃗⃗⃗⃗ s |<br />
| ⋅ |F⃗⃗ |<br />
W = |s⃗⃗| ⋅ |F ⃗⃗⃗⃗⃗| s<br />
Wie können wir nun die Größe der in Bewegungsrichtung wirkenden Kraft |F⃗⃗⃗⃗⃗ s |<br />
berechnen, wenn wir die Vektoren s⃗⃗ und F⃗⃗ kennen?<br />
Im rechtwinkeligen Dreieck ist |F⃗⃗ | die Hypotenuse und |F⃗⃗⃗⃗⃗ s | die Ankathete.<br />
Damit können wir mit dem Cosinus rechnen:<br />
cos(α) =<br />
Ankathete<br />
Hypotenuse<br />
Diesen Ausdruck für |F⃗⃗⃗⃗⃗ s | in die Formel für W eingesetzt, und wir erhalten<br />
Verallgemeinern wir nun unsere Erkenntnisse:<br />
W = |s⃗⃗| ⋅ |F⃗⃗ | ⋅ cos(α)<br />
Nur zur Ansicht<br />
Gegeben sind die Vektoren a⃗⃗ und b⃗⃗ .<br />
Das Skalarprodukt a⃗⃗ ⋅ b⃗⃗ dieser Vektoren:<br />
a⃗⃗ ⋅ b⃗⃗ = |a⃗⃗| ⋅ |b⃗⃗ | ⋅ cos(α)<br />
manfred.ambach 439 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Beispiel:<br />
Das ist wohl ein Schildbürgerstreich<br />
der Spitzenklasse!!!<br />
Wie soll man denn das Skalarprodukt<br />
berechnen, wenn man den<br />
Winkel α nicht kennt??<br />
Vollkommen richtig, lieber Fredo!<br />
Es gibt noch eine zweite Formel, wie sich das<br />
Skalarprodukt bestimmen lässt, die ich hier<br />
ohne Herleitung anführe:<br />
a⃗⃗ = ( a x<br />
a ) b⃗⃗ = ( b x<br />
y b<br />
) → a⃗⃗ ⋅ b⃗⃗ = a x ⋅ b x + a y ⋅ b y<br />
y<br />
Gegeben sind die Vektoren a⃗⃗ = ( −3 2 ) und b ⃗⃗ = (<br />
1<br />
−2 )<br />
– Ermittle das Skalarprodukt dieser Vektoren.<br />
a⃗⃗ ⋅ b⃗⃗ = −3 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−2) = −3 − 4 = −7<br />
Mit Geogebra: – Ermittle den Winkel, den die Vektoren a⃗⃗ und b⃗⃗<br />
miteinander einschließen.<br />
a⃗⃗ ⋅ b⃗⃗ = |a⃗⃗| ⋅ |b⃗⃗ | ⋅ cos(α) | ∶ (|a⃗⃗| ⋅ |b⃗⃗ |)<br />
a⃗⃗ ⋅ b⃗⃗<br />
Nur zur Ansicht<br />
|a⃗⃗| ⋅ |b⃗⃗ |<br />
|a⃗⃗| = √ (−3) 2 + 2 2<br />
= cos(α)<br />
= √13<br />
|b⃗⃗| = √ 1 2 + (−2) 2 = √5<br />
α = cos −1 (<br />
−7<br />
√13 ⋅ √5<br />
)<br />
α = 150, 26°<br />
manfred.ambach 440 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Beispiel:<br />
Gegeben sind die Vektoren a⃗⃗ = ( −3 2 ) und einer seiner Normalvektoren n⃗⃗ = ( 2 3 )<br />
– Ermittle das Skalarprodukt dieser Vektoren.<br />
a⃗⃗ ⋅ n⃗⃗ = −3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = −6 + 6 = 0<br />
Physiker scheinen etwas<br />
arrogant zu sein!!<br />
Hebt jemand einen<br />
Leiterwagen, so ist das<br />
ziemlich anstrengend und<br />
entsprechend wird Arbeit<br />
geleistet!!<br />
Zur Veranschaulichung:<br />
Wenn jemand den Leiterwagen senkrecht zur<br />
Bewegungsrichtung hebt, so leistet er in<br />
Bewegungsrichtung keine Arbeit, wenn er sich auch noch so<br />
plagt!<br />
Also ist W = 0<br />
In Richtung, oder besser gesagt gegen die<br />
Schwerkraft wird große Arbeitet geleistet, aber<br />
nicht in Bewegungsrichtung (siehe Vektor s⃗⃗ ).<br />
Wenn du den Leiterwagen z.B. 3 Meter nach<br />
rechts bewegen möchtest, ihn aber senkrecht<br />
nach oben hebst und dabei eine Kraft von<br />
500 Newton aufwendest, dann bewegst du den<br />
Leiterwagen null Meter in die gewünschte<br />
Richtung:<br />
W = |s⃗⃗| ⋅ |F⃗⃗⃗⃗⃗| s = 0 ⋅ 500 = 0<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 441 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Beispiel Zentralmatura am 10.5.2016<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Hallein liegt im Punkt (1/1, 5), St. Johann/Pg. Im Punkt (1/−2)<br />
Eine Brieftaube A fliegt von Hallein<br />
nach St. Johann/Pg, eine Brieftaube B<br />
fliegt von Zell am See 18,25 km in<br />
Richtung des Vektors ( 6<br />
−1 )<br />
– Ermitteln Sie die Koordinaten<br />
jenes Vektors, der den Flug von<br />
Brieftaube A beschreibt.<br />
– Ermitteln Sie die Koordinaten<br />
jenes Vektors, der den Flug von<br />
Brieftaube B beschreibt.<br />
– Berechnen Sie die fehlende<br />
Koordinate a,<br />
wenn ( −2 3 ) ⋅ (−3 a ) = 0<br />
Die Koordinaten des Vektors ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ HS (Hallein – St. Johann/Pg.) lauten: HS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (<br />
1<br />
−2 ) − ( 1<br />
1, 5 ) = ( 0<br />
−3, 5 )<br />
Wir bilden den Einheitsvektor von ( 6 ) , denn dieser besitzt die Länge 1 km. Multiplizieren wir ihn mit der<br />
−1<br />
gegebenen Länge, so erhalten wir den Vektor mit gewünschter Richtung und Länge:<br />
Nur zur Ansicht<br />
|( 6<br />
−1 )| = √ 62 + (−1) 2 = √ 37 = 6, 08 km Einheitsvektor von ( 6<br />
−1 ) 1<br />
6, 08 ⋅ ( 6<br />
−1 )<br />
1<br />
6, 08 ⋅ ( 6 ) ⋅ 18, 25 = (<br />
6 ) ⋅ 3, 00 = (18<br />
−1 −1 −3 )<br />
( −2 3 ) ⋅ (−3 ) = 0 → −2 ⋅ (−3) + 3 ⋅ a = 0 → 6 + 3 ⋅ a = 0 → a = −2<br />
a<br />
manfred.ambach 442 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Mountainbiking<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Fährt man bergauf, hat man in erster Linie die Hangabtriebskraft F⃗⃗⃗⃗⃗ H zu<br />
überwinden.<br />
Nebenstehende Grafik zeigt die Zerlegung der Gewichtskraft F⃗⃗⃗⃗⃗ G in eine<br />
Normalkomponente F⃗⃗⃗⃗⃗⃗ N und die Hangabtriebskraft.<br />
F⃗⃗⃗⃗⃗ H und F⃗⃗⃗⃗⃗⃗ N sind die Komponenten von F⃗⃗⃗⃗⃗ G , weil sich F⃗⃗⃗⃗⃗ G additiv aus<br />
F⃗⃗⃗⃗⃗ H und F⃗⃗⃗⃗⃗⃗ N zusammensetzt.<br />
– Berechnen Sie den Steigungswinkel für eine Steigung von 18 %.<br />
– Bestimmen Sie für diese Steigung die Hangabtriebskraft in Newton<br />
(N), wenn Fahrer und Rad zusammen eine Gewichtskraft von 872 N<br />
aufweisen.<br />
18 % = 18<br />
100<br />
tan(α) = 18<br />
100<br />
α = tan −1 ( 18<br />
100 )<br />
α = 10,2°<br />
α = 10,2° , | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ F G | = 872 N<br />
sin(10,2°) =<br />
x | . 872<br />
872<br />
Nur zur Ansicht<br />
872 ⋅ sin(10,2°) = x<br />
154,42 N = x = | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| F H<br />
manfred.ambach 443 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Radrennen<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
∗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ LD = D⃗⃗ − L⃗⃗ = ( 0 3 ) − (3 9 ) = (−3 −6 ) → |(−3 )| = 6,71 km<br />
−6<br />
Die Strecke des Radrennens führt geradlinig von<br />
Lackenbach über Draßmarkt nach Stoob.<br />
Die Richtung und Länge von Draßmarkt nach Stoob<br />
ist durch den Vektor ( 3 1 ) gegeben.<br />
– Berechnen Sie die Länge der Strecke von<br />
Lackenbach nach Draßmarkt.<br />
– Zeichnen Sie den Ort Stoob als Punkt in das<br />
nebenstehende Koordinatensystem ein.<br />
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ LD ist der Vektor von Lackenbach nach Draßmarkt,<br />
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DS ist der Vektor von Draßmarkt nach Stoob.<br />
– Beschreiben Sie, was mit dem Ausdruck<br />
−(LD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DS ) berechnet wird.<br />
* ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ LD + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DS ist die Strecke von Lackenbach nach Stoob über<br />
Draßmarkt.<br />
−(LD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) DS ist der Gegenvektor, also die Strecke von<br />
Stoob nach Lackenbach über Draßmarkt<br />
(bzw. die Strecke zurück)<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 444 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Geocaching<br />
Geocaching ist die Suche nach einem Schatz (Cache).<br />
Entlang eines Rundwanderweges sind 4 Caches versteckt. Der Rundwanderweg ist annähernd durch die<br />
Koordinaten der Cache-Verstecke (Einheit = 1 km) dargestellt.<br />
Ausgangspunkt = Endpunkt = A(–5/–2)<br />
Cache-Verstecke: B(–2/0), C(3/2), D(0/3) und E(–4/1)<br />
– Zeichnen Sie den Wanderweg in ein Koordinatensystem ein.<br />
– Stellen Sie den Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CD auf.<br />
– Zeigen Sie, dass die Vektoren ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CD und ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DE keinen rechten Winkel bilden (nicht orthogonal sind).<br />
– Dokumentieren Sie, wie man die Länge des Vektors ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CD berechnet.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Nur zur Ansicht<br />
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CD = D⃗⃗ − C⃗ = ( 0 3 ) − (3 2 ) = (−3 1 )<br />
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DE = E⃗ − D⃗⃗ = ( −4 1 ) − (0 3 ) = ( −4<br />
−2 )<br />
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CD ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DE = −3 ⋅ (−4) + 1 ⋅ (−2) = 12 − 2 = 10 ≠ 0<br />
Man quadriert die Koordinaten des Vektors, addiert diese Quadrate und zieht aus der Summe die (Quadrat-)<br />
Wurzel.<br />
manfred.ambach 445 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
11. FOLGEN & REIHEN<br />
Wir werden schwerpunktmäßig nur arithmetische und geometrische Folgen bzw. Reihen behandeln.<br />
11.1. Allgemeines<br />
Eine (Zahlen-) Folge < a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . > ist eine Funktion:<br />
N<br />
R<br />
n a n<br />
Dabei wird jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zugeordnet.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
n<br />
. . .<br />
a 1<br />
a 2<br />
a 3<br />
a n<br />
Eine Folge < a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . > besteht aus den sogenannten<br />
Gliedern a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . .<br />
Im Gegensatz zu Mengen, ist hier die Reihenfolge der Glieder von Bedeutung.<br />
Das erste Glied a 1 muss an erster Stelle stehen,<br />
das zweite Glied a 2 muss an zweiter Stelle stehen usw.<br />
a n ist das n-te oder auch allgemeine Glied oder auch Bildungsgesetz der Folge.<br />
Die Glieder der Folgen werden in kleiner-größer Klammern < > geschrieben.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Bei den Folgen sind die Glieder nicht mit + oder – verbunden, sie heißen nur so!<br />
Die Glieder einer Reihe entstehen durch die Summe der entsprechenden Folgen-Glieder.<br />
s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + s 3 . . .<br />
Die Reihe lautet damit: < s 1 , s 2 , s 3 , . . . , s n , . . . ><br />
manfred.ambach 446 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
11.2. Arithmetische Folgen<br />
In einer arithmetischen Folge < a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . > ist die Differenz d eines Gliedes und<br />
seines Vorgängers immer gleich groß:<br />
a 2 − a 1 = d | + a 1 → a 2 = a 1 + d<br />
a 3 − a 2 = d | + a 2 → a 3 = a 2 + d = a 1 + d + d = a 1 + 2 d<br />
a 4 − a 3 = d | + a 3 → a 4 = a 3 + d = a 1 + 2 d + d = a 1 + 3 d<br />
. . .<br />
Damit muss wohl das sogenannte (explizite) Bildungsgesetz (die explizite Darstellungsform) gelten:<br />
a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d<br />
Kennt man das erste Glied a 1 und die Differenz d der arithmetischen Folge, so kann man jedes ihrer Glieder<br />
bestimmen.<br />
Mit<br />
a 2 = a 1 + (2 − 1) ⋅ d = a 1 + 1 ⋅ d<br />
a 3 = a 1 + (3 − 1) ⋅ d = a 1 + 2 ⋅ d<br />
Wegen<br />
a 2 − a 1 = d | + a 1 → a 2 = a 1 + d<br />
a 3 − a 2 = d | + a 2 → a 3 = a 2 + d<br />
a 4 − a 3 = d | + a 3 → a 4 = a 3 + d<br />
gilt doch auch<br />
u.s.w.<br />
Das ist das sogenannte rekursive Bildungsgesetz (rekursive Darstellungsform)einer arithmetischen Folge mit<br />
bekanntem a 1 und d .<br />
Beispiel:<br />
a n+1 = a n + d<br />
Nur zur Ansicht<br />
Von einer arithmetischen Folge kennt man a 1 = 2 und d = 3.<br />
– Stelle die ersten fünf Glieder dieser Folge auf.<br />
manfred.ambach 447 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d<br />
a 1 = a 1 + (1 − 1) ⋅ d = a 1 + 0 ⋅ d = a 1 = 2<br />
a 2 = a 1 + (2 − 1) ⋅ d = a 1 + 1 ⋅ d = 2 + 1 ⋅ 3 = 2 + 3 = 5<br />
a 3 = a 1 + (3 − 1) ⋅ d = a 1 + 2 ⋅ d = 2 + 2 ⋅ 3 = 2 + 6 = 8<br />
Da hier die Differenz zweier Nachbarglieder immer 3 ist, lassen sich die folgenden Glieder leicht bestimmen:<br />
a 4 = 8 + 3 = 11<br />
a 5 = 11 + 3 = 14<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
Sven hat sich folgenden Trainingsplan für Langlauf aufgestellt:<br />
1. Woche 2. Woche 3. Woche<br />
75 min 88 min 101 min<br />
– Zeigen Sie, dass es sich bei den Trainingszeiten um eine arithmetische Folge handelt.<br />
a 1 = 75 a 2 = 88 a 2 − a 1 = 88 − 75 = 13<br />
a 3 = 101 a 2 = 88 a 3 − a 2 = 101 − 88 = 13<br />
Nur zur Ansicht<br />
Da die Differenzen der jeweiligen Nachbarglieder jeweils gleich groß sind, handelt es sich um eine<br />
arithmetische Folge.<br />
– Stellen Sie das rekursive Bildungsgesetz auf, mit dem die Dauer der Trainingszeit für die jeweils<br />
nachfolgende Woche berechnet werden kann.<br />
a n+1 = a n + 13 mit a 1 = 75<br />
manfred.ambach 448 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
– Bestimmen Sie die Trainingszeit fünf Wochen nach Trainingsbeginn.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Eine Woche nach Trainingsbeginn befinden wir uns in der 2. Woche,<br />
zwei Wochen nach Trainingsbeginn in der 3. Woche und damit<br />
fünf Wochen nach Trainingsbeginn in der 6. Woche. Wir suchen also a 6<br />
a 6 = a 1 + 5 ⋅ d = 75 + 5 ⋅ 13 = 75 + 65 = 140<br />
Fünf Wochen nach Trainingsbeginn beträgt die Trainingszeit 140 Minuten.<br />
11.3. Geometrische Folgen<br />
In einer geometrischen Folge < b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n , . . . > ist der Quotient q (Ergebnis einer Division)<br />
aus einem Glied und seinem Vorgängers immer gleich groß:<br />
Bemerkung: Bei geometrischen Folgen werden die Glieder üblicherweise mit b bezeichnet.<br />
b 2<br />
b 1<br />
= q | ⋅ b 1 → b 2 = b 1 ⋅ q<br />
b 3<br />
b 2<br />
= q | ⋅ b 2 → b 3 = b 2 ⋅ q = b 1 ⋅ q ⋅ q = b 1 ⋅ q 2<br />
b 4<br />
b 3<br />
= q | ⋅ b 3 → b 4 = b 3 ⋅ q = b 1 ⋅ q 2 ⋅ q = b 1 ⋅ q 3<br />
. . .<br />
Nur zur Ansicht<br />
Damit muss wohl das sogenannte (explizite) Bildungsgesetz (die explizite Darstellungsform) gelten:<br />
b n = b 1 ⋅ q n−1<br />
Kennt man das erste Glied b 1 und die Quotienten q der geometrischen Folge, so kann man jedes ihrer Glieder<br />
bestimmen.<br />
manfred.ambach 449 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Wegen<br />
b 2<br />
b 1<br />
= q | ⋅ b 1 → b 2 = b 1 ⋅ q<br />
b 3<br />
b 2<br />
= q | ⋅ b 2 → b 3 = b 2 ⋅ q<br />
b 4<br />
b 3<br />
= q | ⋅ b 3 → b 4 = b 3 ⋅ q<br />
muss wohl das rekursive Bildungsgesetz (rekursive Darstellungsform)einer geometrischen Folge lauten:<br />
mit bekanntem b 1 und q .<br />
Beispiel:<br />
Von einer geometrischen Folge kennt man b 1 = 2 und q = 0,5 .<br />
b 1 = 2<br />
– Stelle die ersten drei Glieder dieser Folge auf.<br />
b 2 = a 1 ⋅ q = 2 ⋅ 0,5 = 1<br />
b 3 = a 1 ⋅ q 2 = 2 ⋅ 0,5 2 = 0,5<br />
Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />
b n+1 = b n ⋅ q<br />
Die klassische Oktave besteht aus 8 Ganztönen bzw. 12 Halbtönen:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Halbtonschritt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
Bezeichnung des Tons C Cis D Dis E F Fis G Gis A Ais H<br />
Die Frequenz f der einzelnen Töne wird durch folgende Formel bestimmt:<br />
f 0 … Frequenz in Hertz (Hz) des Ausgangstons<br />
i … Anzahl der Halbton-Schritte, ausgehend vom gewählten Ausgangston<br />
f i … Frequenz in Hz des i-ten Halbtonschrittes, ausgehend vom gewählten Ausgangston<br />
manfred.ambach 450 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Alle Instrumente eines Orchesters werden auf den sogenannten Kammerton eingestimmt. Das ist das<br />
„eingestrichene“ A mit einer Frequenz von 440 Hz.<br />
– Ermitteln Sie mit Hilfe der angegebenen Tabelle und Formel die Frequenz des nächsttieferen E.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Halbtonschritt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
Bezeichnung des Tons C Cis D Dis E F Fis G Gis A Ais H<br />
f 5 = f 0 ⋅ 2 5<br />
12<br />
440 = E ⋅ 2 5<br />
12 | ∶ 2 5<br />
440<br />
2 5<br />
12<br />
= E<br />
329,63 Hz = E<br />
12<br />
Das nächsttiefere E hat eine Frequenz von 329,63 Hz.<br />
– Erstellen Sie eine Formel, mit der man ausgehend von einem beliebigen Ton mit der Frequenz f n<br />
die Frequenz des den nächsthöheren Halbtons bestimmen kann.<br />
Nur zur Ansicht<br />
f n+1 = f n ⋅ 2 1<br />
12<br />
5 Halbtonschritte nach UNTEN<br />
Der tiefste Ton einer Gitarre hat eine Frequenz von 82,41 Hz, der höchste Ton eine Frequenz von 987,77 Hz.<br />
– Berechnen Sie, wie viele Halbtonschritte diese Gitarre umfasst.<br />
manfred.ambach 451 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
f i = f 0 ⋅ 2 i<br />
12 | ∶ f 0<br />
f i<br />
f 0<br />
= 2 i<br />
12 | ln<br />
ln ( f i<br />
i<br />
) = ln (2<br />
f 0<br />
ln ( f i<br />
f ) =<br />
0<br />
12 )<br />
i<br />
⋅ ln(2) | . 12<br />
12<br />
12 ⋅ ln ( f i<br />
) = i ⋅ ln(2) | ∶ ln (2)<br />
f 0<br />
12 ⋅ ln ( f i<br />
f )<br />
0<br />
ln(2)<br />
= i<br />
Mit f 0 = 82,41 Hz und f i = 987,77 Hz<br />
→<br />
12⋅ln( 987,77<br />
82,41 )<br />
ln(2)<br />
43,00 = i<br />
= i<br />
Diese Gitarre umfasst 43 Halbtonschritte.<br />
Nur zur Ansicht<br />
https://www.youtube.com/watch?v=xUaxQiGE408<br />
Matherätsel 6:<br />
Doppelt so viel plus die Hälfte plus ein Viertel plus eins ist 100.<br />
Für welche Zahl gilt diese Aussage?<br />
Quelle: denksport.de<br />
Lösung: 36<br />
manfred.ambach 452 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Stochastik im Alltag<br />
Stochastik ist die Kunst des Vermutens. Im Alltag meint man damit (t)ratschen.<br />
Ein Stadtpolitiker wird um zwei Uhr früh von einem Stadtbewohner in einem anrüchigen Lokal entdeckt.<br />
Dieser Zeuge teilt seine Entdeckung via Handy in der folgenden Stunde fünf weiteren Stadtbewohnern mit.<br />
Diese via Handy informierten Stadtbewohner teilen diese Nachricht in der nächsten Stunde wiederum fünf<br />
anderen Stadtbewohnern mit. Auf diese Weise macht diese Nachricht ihre Runde in der Stadt.<br />
– Begründen Sie, warum es sich bei der Anzahl in einer Stunde jeweils informierter Stadtbewohner um eine<br />
geometrische Folge handelt.<br />
– Ermitteln Sie, wie viele Stadtbewohner 5 Stunden nach Entdeckung vom Lokalbesuch des Stadtpolitikers<br />
wissen.<br />
In der nullten Stunde nach Entdeckung weiß der 1 Zeuge Bescheid = 1 ⋅ 1 = 1 ⋅ 5 0<br />
In der ersten Stunde nach Entdeckung werden weitere 5 = 1 ⋅ 5 1 Stadtbewohner neu informiert.<br />
In der der zweiten Stunde werden weitere 25 = 1 ⋅ 5 2 Stadtbewohner neu informiert.<br />
In der dritten Stunde nach Entdeckung werden 125 = 1 ⋅ 5³ Stadtbewohner neu informiert.<br />
Es handelt sich um eine geometrische Folge, weil der Quotient zweier Nachbarglieder jeweils q = 5<br />
beträgt. Damit gilt:<br />
b n = 1 ⋅ 5 n<br />
Damit wissen 5 Stunden nach Entdeckung b 0 + b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 Bewohner Bescheid<br />
b 0 + b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 lässt sich mit GeoGebra bestimmen:<br />
Nur zur Ansicht<br />
Fünf Stunden nach Entdeckung des Stadtpolitikers wissen 3 906 Stadtbewohner von diesem Lokalbesuch Bescheid.<br />
manfred.ambach 453 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
12. MENGEN<br />
12.1. Was ist eine Menge?<br />
Eine Menge besteht aus sogenannten Elementen, die in beliebiger Reihenfolge und beliebig oft<br />
angeführt werden können und in geschwungenen Klammern stehen.<br />
Beispiele:<br />
{1, 2, 3, 4, 5}<br />
{1, 2, 3, 4, 5} = {2, 4, 1, 3, 5}<br />
{1, 2, 3, 4, 5} = {1, 1,1, 2, 3, 3, 5,4}<br />
Mengen werden mit Großbuchstaben bezeichnet.<br />
Beispiele:<br />
A = {1, 2, 3, 4, 5}<br />
A = {1, 1,1, 2, 3, 3, 5,4}<br />
M = { , , , }<br />
2 ∈ A bedeutet: 2 ist ein Element der Menge A<br />
7 ∉ A bedeutet: 7 ist kein Element der Menge A<br />
{ , , , }<br />
{ , , , } = { , , , }<br />
{ , , , } = { , , , , , }<br />
Gleiche Mengen werden mit gleichen Buchstaben<br />
bezeichnet.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Man kann Mengen grafisch im sogenannten Venn-Diagramm darstellen:<br />
manfred.ambach 454 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
12.2. Durchschnittsmenge<br />
Die Durchschnitts-Menge zweier Mengen A und B, A ∩ B , besteht aus den Elementen, die<br />
sowohl zur Menge A als auch zur Menge B gehören.<br />
Beispiel:<br />
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8}<br />
A ∩ B = {2, 4}<br />
Beispiel:<br />
A 1 = N u = {1, 3, 5, 7, . . . } A 2 = N g = {2, 4, 6, 8, . . . }<br />
Nur zur Ansicht<br />
A ∩ B = { }<br />
Leere Menge: {<br />
} Menge ohne Elemente<br />
Verwechsle NICHT die leere Menge {<br />
} mit der Menge mit dem Element null {0}<br />
manfred.ambach 455 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
12.3. Vereinigungsmenge<br />
Die Vereinigungs-Menge zweier Mengen A und B, A ∪ B , besteht aus den Elementen, die<br />
entweder zur Menge A oder zur Menge B oder zu beiden Mengen gehören.<br />
Beispiel:<br />
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8}<br />
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}<br />
Beispiel:<br />
A 1 = N u = {1, 3, 5, 7, . . . } A 2 = N g = {2, 4, 6, 8, . . . }<br />
Nur zur Ansicht<br />
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . } = N<br />
https://www.youtube.com/watch?v=9wROeE5DPyU&t=183s<br />
manfred.ambach 456 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
12.4. Differenzmenge<br />
Die Differenz-Menge zweier Mengen A und B, A\B , besteht aus den Elementen,<br />
die zur Menge A gehören, aber nicht zur Menge B.<br />
Beispiel:<br />
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8}<br />
A\B = {1, 3, 5}<br />
B\A = {6, 8}<br />
Beispiel:<br />
A 1 = N u = {1, 3, 5, 7, . . . } A 2 = N g = {2, 4, 6, 8, . . . }<br />
A\B = {1, 3, 5, 7,. . . } = N u = A 1<br />
Nur zur Ansicht<br />
Komplementärmenge A̅ bzw. A′:<br />
M ist eine Menge und A eine Teilmenge von M, A ⊂ M. Das heißt, jedes Element von A ist auch Element von M.<br />
Dann gilt A̅ = M\A<br />
Beispiel:<br />
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A = {2, 4, 6} → A̅ = M\A = {1, 3, 5, 7}<br />
manfred.ambach 457 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Beispiel Zentralmatura am 10.5.2016<br />
In einer Klasse mit 30 SchülerInnen wird erhoben, welche Betriebssysteme ihre Handys bzw. Smartphones<br />
benützen.<br />
14 SchülerInnen verwenden das Android- Betriebssystem (A), 15 SchülerInnen das IOS-Betriebssystem (I).<br />
5 SchülerInnen verwenden keines dieser Betriebssysteme.<br />
– Vervollständigen Sie das nachfolgende Venndiagramm bzw. Mengendiagramm, durch eintragen<br />
der richtigen Zahlen.<br />
Möglicher Lösungsweg:<br />
Folgende Überlegungen führen zum Ziel:<br />
Die Klasse besteht aus 30 SchülerInnen.<br />
5 Schülerinnen verwenden weder Android<br />
noch IOS als Betriebssystem.<br />
Bleiben 30 – 5 = 25 SchülerInnen, die eines<br />
dieser Betriebssysteme verwenden.<br />
14 SchülerInnen verwenden Android,<br />
15 SchülerInnen IOS.<br />
Macht zusammen 29.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Da nur 25 SchülerInnen eines der beiden Betriebssysteme verwenden, müssen<br />
29 – 25 = 4 SchülerInnen beide Betriebssysteme verwenden.<br />
Bleibt für die alleinigen Android-User 14 – 4 = 10 und für die reinen IOS-User 15 – 4 = 11<br />
manfred.ambach 458 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
VI Cluster P<br />
Noch eine abschließende Bemerkung:<br />
Es werden immer wieder neue Videos produziert. Man kann alle produzierten Videos leicht finden:<br />
https://www.pro-test.at/videos/<br />
oder<br />
Unsere Reise durch die Mathematik ist nun zu Ende.<br />
Du verfügst damit über Kenntnisse und ein Gerüst, um die Berufsreifeprüfung in Mathe erfolgreich abzulegen,<br />
gleich welches Wissen und welche Fertigkeiten zu Beginn vorhanden waren.<br />
Solltest du eine universitäre Weiterbildung in technischen oder ökonomischen Studienrichtungen erwägen, bist du<br />
im Besitz des mathematischen Basis-Wissens. In<br />
(Kurs oder Skriptum) werden darüber hinaus Themen behandelt, die Grundlage für besagte Studiengänge sind.<br />
Nähere Auskünfte: mathe@pro-test.at<br />
Ich habe eine Bitte: Teile mir auf alle Fälle mit, wie du dieses Skriptum empfindest!<br />
Nur so kann ich es anpassen und optimieren.<br />
Nur zur Ansicht<br />
mathe@pro-test.at<br />
" Am Ende gilt doch nur,<br />
was wir getan und gelebt –<br />
und nicht,<br />
was wir ersehnt haben. "<br />
Arthur Schnitzler<br />
Welchen Weg du auch immer einschlägst,<br />
ich wünsche dir von Herzen ein erfolgreiches und erfüllendes Leben!<br />
oder<br />
Salzburg, im Frühjahr 2019<br />
Manfred Ambach<br />
manfred.ambach 459 pro-test.at
#<br />
Mathe für die BRP zentral<br />
Liste der Signalwörter<br />
Modell bilden / modellieren<br />
aufstellen<br />
erstellen<br />
Texte und Aufgabenstellungen sind in geeignete mathematische<br />
Modelle, also Formeln bzw. Gleichungen oder auch Grafiken zu<br />
übertragen.<br />
Eine Gleichung, einer Funktion oder eine Formel aufstellen,<br />
bzw. eine Grafik darstellen.<br />
Eine Gleichung bzw. ein Gleichungssystem (= mehrere<br />
Gleichungen mit mehreren Unbekannten) aufstellen.<br />
<br />
<br />
<br />
Eine Gleichung bzw. ein Gleichungssystem (= mehrere<br />
Gleichungen mit mehreren Unbekannten) aufstellen.<br />
Eine Grafik oder eine Tabelle anführen.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Signalwörter<br />
manfred.ambach 460 pro-test.at<br />
Beispiele<br />
Bilden Sie ein geeignetes Modell, um den Flächeninhalt der abgebildeten<br />
Figur berechnen zu können.<br />
Gemeint ist: eine geeignete Formel zu bilden, also den Flächeninhalt<br />
allgemein ohne Verwendung von Zahlen zu ermitteln.<br />
Stellen Sie eine (Funktions-) Gleichung auf, die den beschriebenen<br />
Sachverhalt wiedergibt.<br />
Erstellen Sie eine Tabelle (oder ein Balkendiagramm), das den<br />
beschriebenen Sachverhalt darstellt.<br />
übersetzen / übertragen Alltags-Formulierungen in mathematische Sprache übersetzen Übertragen Sie den Text in eine Gleichung (oder Grafik).<br />
veranschaulichen / skizzieren<br />
Sachverhalt ( Text ) durch passende Grafik bzw. Skizze<br />
veranschaulichen<br />
Begriffe ohne Anschauungen sind leer,<br />
Anschauungen ohne Begriffe blind.<br />
Immanuel KANT<br />
( 1724 – 1804 )<br />
Veranschaulichen Sie den Sachverhalt durch eine Skizze, in der alle<br />
beschriebenen Größen beschriftet sind.
Mathe für die BRP zentral<br />
berechnen<br />
Mittels Formel(n) bzw. Gleichung(en) sind auf mathematischem Wege<br />
Lösungen zu ermitteln, wobei elektronische Rechenhilfen zum Einsatz<br />
kommen können.<br />
Berechnen einer Größe<br />
Umformen einer Gleichung (Formel)<br />
lösen Berechnen einer Größe Lösen Sie die Gleichung.<br />
bestimmen<br />
ermitteln<br />
schätzen / abschätzen<br />
<br />
<br />
<br />
Wie berechnen, kann aber auch ohne konkrete Zahlen erfolgen<br />
(=Rechengang).<br />
Wie berechnen<br />
oder auf grafischem Wege<br />
darstellen / zeichnen Grafische Darstellung<br />
Durch Abschätzen und Runden ungefähre numerische Werte<br />
gewinnen<br />
Nur zur Ansicht<br />
Signalwörter<br />
manfred.ambach 461 pro-test.at<br />
Beispiele<br />
Berechnen Sie den Funktionswert an der Stelle x = 2.<br />
Berechnen Sie aus der Formel des Rechteckumfanges die Breite des<br />
Rechtecks.<br />
Bestimmen Sie die Länge der Bahnstrecke.<br />
Ermitteln Sie die maximale Steigung.<br />
Schätzen Sie die Zeitdauer bis zum Eintreffen des Zuges ab.<br />
Stellen Sie die das Wachstum für die ersten drei Stunden grafisch dar.<br />
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall [ 0 ; 10 ].<br />
umformen Formel nach einer Größe umformen Formen Sie das Zerfallsgesetz nach der Zeitdauer t um.
Mathe für die BRP zentral<br />
interpretieren<br />
vergleichen<br />
Der mathematische Lösungsweg ist nachvollziehbar zu deuten.<br />
Die Wirkung bei Veränderung von Einflussgrößen ist fallweise zu<br />
erläutern.<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
Mathematische Ergebnisse oder Bezeichnungen mit Worten auf<br />
den Sachverhalt beziehen.<br />
Einfluss von Parametern (Größen) abschätzen und beschreiben<br />
Gemeinsamkeiten oder Unterschiede in mathematischer<br />
Fachsprache ausdrücken<br />
dokumentieren Lösungsweg in Worten beschreiben<br />
beschreiben<br />
ablesen<br />
kennzeichnen / markieren<br />
argumentieren<br />
erklären / erläutern<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Wörtliche, mathematische oder grafische Beschreibung eines<br />
Vorganges oder Sachverhalts<br />
Eigenschaften ( Punkte, Intervalle, Monotonie, Steigerungsraten<br />
etc.) aus einer Grafik ablesen<br />
In Diagrammen oder Tabellen Punkte, Bereiche oder Linien<br />
hervorheben<br />
Mathematische Denkschritte entwickeln<br />
Eine Begründung für eine Entscheidung oder einen Sachverhalt<br />
angeben<br />
Mit mathematischer Fachsprache Vorgangsweisen in einer<br />
Berechnung erklären.<br />
Nur zur Ansicht<br />
Signalwörter<br />
manfred.ambach 462 pro-test.at<br />
Beispiele<br />
Interpretieren Sie die 1. Ableitung im konkreten Sachzusammenhang<br />
Interpretieren Sie den Graphen in Bezug auf die Bewohnerzahl<br />
Luxemburgs.<br />
Vergleichen Sie die beiden Graphen hinsichtlich der Steigungsrate.<br />
Dokumentieren Sie, wie Sie die Extrema einer Polynomfunktion 3.<br />
Grades ermitteln können.<br />
Beschreiben Sie, wie Sie den Treffpunkt der beiden Radfahrer ermitteln.<br />
Lesen Sie ab, an welcher Stelle sich das Maximum befindet.<br />
Kennzeichnen Sie beim Funktionsgraf die monoton fallenden Bereiche.<br />
Argumentieren Sie, warum die Fallhöhe nicht negativ sein kann.<br />
Argumentieren Sie, weshalb die Funktion f bei x = 0 ein Extremum<br />
besitzt.<br />
Erklären Sie, wie sich die Punkte mit der größten Steigung ermitteln<br />
lassen.<br />
begründen Einsatz mathematischer Formeln und Rechenverfahren erläutern Begründen Sie, warum hier die erste Ableitung verwendet wird.<br />
zeigen / nachweisen Erwartet eine Begründung Zeigen Sie, dass diese Funktion keine Nullpunkte besitzt.<br />
prüfen / überprüfen<br />
<br />
<br />
Prüfen, ob eine (mathematische) Aussage wahr ist<br />
Überprüfen, ob eine grafische Darstellung den Sachverhalt<br />
beschreibt<br />
Überprüfen Sie, ob die Halbierung des Radius eine Verdopplung des<br />
Inhalts zur Folge hat.<br />
beurteilen Zu einem Sachverhalt Stellung nehmen Beurteilen Sie, ob die Fahrt mit dem Taxi günstiger kommt.
Mathe für die BRP zentral<br />
Bemerkung: Diese Liste wurde vom BMB erstellt, das für die Aufgaben der Zentralmatura verantwortlich ist.<br />
Die Signalwörter sollen eine Hilfe darstellen, wonach gefragt bzw. was verlangt w<br />
Eine zu enge Auslegung der Anordnungen ist nicht zu empfehlen, da die meisten Aufträge mittels Hausverstand oder zusätzlicher Erläuterungen zu durchblicken sind.<br />
Siehe auch: MAY Signalwörter https://www.youtube.com/watch?v=h2V1XBcUXNU<br />
Nur zur Ansicht<br />
Signalwörter<br />
manfred.ambach 463 pro-test.at
Mathe für die BRP zentral<br />
Gedenke der Quellen, wenn du trinkst.<br />
Chinesisches Sprichwort<br />
Dank<br />
Mein Dank gilt Frau MMag. Annemarie SCHAUR. Einerseits für ihre Offenheit gegenüber meinen Ideen, auch<br />
wenn sie zu Anfang nicht ausgegoren sind. Andererseits für die Ermutigung und die Unterstützung bei der<br />
Umsetzung. Zum Dritten für ihre Art und ihre beruflichen Qualitäten, die entscheidend dazu beitragen solche<br />
Projekte wirklich werden zu lassen.<br />
Ich empfinde gegenüber Herrn Dr. Hans KRÜGER, dem ehemaligen Institutsleiter, der leider viel zu früh<br />
verstorben ist, große Dankbarkeit, weil er mir die Türen für diese Art Tätigkeit geöffnet und mich<br />
in den ersten Jahren förderlich begleitet hat.<br />
Bedanken möchte ich mich auch bei Frau Mag. Rosa LAßHOFER für die Korrekturen des Skripts, der<br />
Übungsaufgaben und Beispielsammlung.<br />
Ich danke Herrn DI Sourosh FOROUGHI für die Hinweise zu passenden Beispielen.<br />
Der Administration bin ich dankbar für die reibungslosen Abläufe. Beileibe keine Selbstverständlichkeit!<br />
Ich danke Frau Martina MEVEN für ihre kontinuierliche Hilfe und Begleitung solcher Vorhaben. Seien es die<br />
photographischen Belange oder Fragen der Gestaltung, der Entdeckung elektronischen Medien für den Einsatz<br />
in diesem Bereich, sowie deren Handhabung.<br />
Seien es die vielen Gespräche, die die Koordinaten für Richtung und Wertung meiner Vorhaben legen. Vor<br />
allem danke ich für ihr Verständnis, für den Raum und die Zeit, die solche Arbeiten beanspruchen.<br />
Ich habe dir überhaupt so vieles zu verdanken!<br />
Salzburg, im Frühjahr 2019<br />
Manfred Ambach<br />
Nur zur Ansicht<br />
manfred.ambach 464 pro-test.at