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Gesamter Stoff für die Berufsreifeprüfung Mathe

Gesamter Stoff für die Berufsreifeprüfung Mathe

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Skript<br />

für eine erfolgreiche Berufsmatura<br />

von<br />

Nur zur Ansicht<br />

Manfred Ambach<br />

Ausgabe


Mathe für die BRP zentral<br />

Lernen und nicht denken ist unnütz.<br />

Denken und nicht lernen ist zwecklos.<br />

Konfuzius<br />

(551-479 v.Chr)<br />

<br />

Einleitende Bemerkungen<br />

Nachdem mittlerweile etliche Maturatermine<br />

nach den Vorgaben der standardisierten Reifeprüfung<br />

abgelaufen sind, zeigt sich, dass die Mathematura für die<br />

BRP auch unter diesen Bedingungen von Erfolg gekrönt<br />

ist.<br />

Neben dem Eifer und Interesse der KandidatInnen sind es<br />

folgende Faktoren, die zu den guten Ergebnissen führen:<br />

Wir Vortragenden vom WIFI sind seit ca. einem Jahrzehnt in die Entwicklung der Aufgaben eingebunden und stehen in<br />

regelmäßigem Kontakt mit Personen, die für die bundesweite Durchführung der Zentralmatura verantwortlich zeichnen,<br />

oder die Beispiele für die Reifeprüfung erstellen. Deshalb ist uns klar, wie die zentrale Mathematura im Rahmen der BRP<br />

aufgebaut ist, welche Anforderungen zu erfüllen und welche Fragestellungen zu bewältigen sind.<br />

Diese Rahmenbedingungen geben uns die Möglichkeit, den Lehrstoff von diversen alten Zöpfen zu befreien. Schwierige<br />

Rechentechniken, deren Sinn sich nicht erschließen, sind Vergangenheit. Ebenso abstrakte Problemstellungen ohne<br />

jeden Alltagsbezug. Hier wird Mathe auf eine Weise vermittelt, die es jeder Person ermöglicht mitzukommen und die<br />

Prüfung zu bestehen, unabhängig von anfänglichen Kenntnissen und Fertigkeiten.<br />

Die TrainerInnen verstehen sich als Begleiter im Lernprozess, die zu jeder Zeit auf alle Belange der TeilnehmerInnen<br />

eingehen. In den Kursen herrscht ein Klima, in dem sich jeder jederzeit zu fragen traut. Fragen sind erwünscht und nicht<br />

lästiges Übel, die gar mit Abwertungen verbunden sind!<br />

Das vorliegende richtet sich in den Themenstellungen, Erläuterungen und der geforderten Mathematik<br />

ausschließlich nach den Ansprüchen der Zentralmatura. Kein relevanter Aufgabenkreis ist weggelassen, kein über-<br />

flüssiges Gebiet erwähnt. Gleiches gilt für die im Anhang befindlichen<br />

die<br />

können.<br />

und ebenso für<br />

. Dort sind die Erfordernisse durchweg so formuliert, wie sie auch zur Matura kommen<br />

Begleitet werden diese Unterlagen von zahlreichen<br />

( MAY Mathe Ambach YouTube ), in denen<br />

Stoffgebiete und konkrete Beispiele in kleinsten und verständlichen Schritten erläutert werden (siehe auch Leitfaden<br />

und die entsprechenden Stellen im Stoffteil).<br />

Nur zur Ansicht<br />

Vielleicht kann dieses Skriptum auch einen Beitrag dazu leisten, die Abneigung gegenüber Mathematik abzubauen. Denn<br />

hinter dem Widerwillen steht nicht selten die Angst, an diesem Fach zu scheitern. Angst ist aber ein schlechter<br />

Lernbegleiter. Sie lässt uns Dinge meiden, anstatt sich einzulassen. Auf unserem Weg durch die Mathematik kann<br />

erlebbar werden, dass trotz negativer Erfahrungen in der Vergangenheit alle Erfordernisse schaffbar sind und manche<br />

Aspekte sehr wohl Interesse wecken können.<br />

Salzburg, im Frühjahr 2019<br />

Manfred Ambach<br />

Man kann sich nur auf etwas stützen,<br />

das Widerstand leistet.<br />

Heinrich SIMON<br />

(1805 – 1860)<br />

manfred.ambach<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

Leitfaden<br />

Der Lernprozess ist wie eine Bergwanderung. Nicht die Höhe des Zieles ist entscheidend, sondern der Weg dorthin.<br />

Wird es (einem) zu steil, so entsteht aus Lust auf Vorwärtskommen erlebte Mühsal und Beschwerlichkeit. Es kommen<br />

Stress oder gar Angst vor dem Scheitern auf. Wir verlieren das Ziel vor Augen und die Bindung. Auf sich alleine gestellt,<br />

wirkt der Weg nach oben wie eine Herausforderung, der wir uns nicht gewachsen fühlen.<br />

Wie kann ich aber Interesse erzeugen, wenn mich ein Fach wenig fesselt, wie das bei Mathe häufig der Fall ist?<br />

Hier kann helfen, sich einerseits das übergeordnete Ziel vor Augen zu führen: Mit der Reifeprüfung, und dazu gehört<br />

auch Mathe, stehen mir erstrebenswerte Möglichkeiten offen. Mathe ist dann der Streckenabschnitt meiner<br />

Bergwanderung, der vielleicht zunächst weniger reizvoll erscheint. Dabei soll mir klar werden, dass daran kein Weg<br />

vorbei führt, will ich mein Ziel erreichen! Andererseits hilft es, sich auf die Erlangung von Etappenzielen zu<br />

konzentrieren. Diese sind schneller und leichter erreichbar als das Gesamtvorhaben und ich motiviere mich durch<br />

erlangte Kenntnisse und Fertigkeiten.<br />

Ich durfte schon viele TeilnehmerInnen erleben, die alleine dadurch motiviert waren, weil sie die Angst vor diesem Fach<br />

im Laufe des Kurses verloren hatten!<br />

Gerald HÜTHER (1) :<br />

© Martina Meven<br />

Kinder bauen in den ersten Lebensjahren ihr Fundament jeglicher<br />

Entwicklung: Die Überzeugung, Erfahrung, Fertigkeiten und Wissen<br />

erlangen zu können, gleich welche Ausgangsbedingungen vorherrschen.<br />

Das geschieht einerseits durch Vertrauen in gebotene Anregungen, Wege<br />

und Gewichtungen. Andererseits durch das Einlassen mit allen Sinnen,<br />

gepaart mit Emotionen. Zum Dritten durch unermüdliches Herangehen,<br />

selbst wenn es zunächst nicht von Erfolg gekrönt ist. Wir alle haben auf<br />

diese Weise das Wesentliche unseres Lebens gewonnen.<br />

Auch im Erwachsenenalter ist es möglich und sehr effektiv, diese Art des<br />

Erlernens zu reaktivieren.<br />

Nur zur Ansicht<br />

" Das Hirn baut bei neuen Erfahrungen neue Vernetzungen auf, gleich in welchem Alter.<br />

Aber nicht durch reines Üben, sondern nur in Verbindung mit Freude und Begeisterung. "<br />

© Martina Meven<br />

Mathematik wird nicht immer vor Spannung knistern. Doch zu erleben, dieses Fach ohne Angst bewältigen zu können<br />

und Anwendungsmöglichkeiten zu erkennen, können Tatenlust und Energie wecken.<br />

(1) G. HÜTHER: Was wir sind und was wir sein könnten. Fischer Taschenbuch. Frankfurt (Main) 2013. ISBN: 978-3-596-18850-5<br />

Weiterer Buchtipp zum Thema Lernen: Christiane STENGER: Wer lernen will, muss fühlen. Rowohlt Verlag. Reinbek bei Hamburg 2016. ISBN: 978-3-499-63123-8<br />

manfred.ambach<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

Dieses Skript soll einen Beitrag dazu leisten, den Weg durch die Schulmathematik anschaulich und begreifbar zu machen,<br />

sodass jede(r) im eigentlichen Sinn des Wortes mitkommen kann.<br />

Ich habe diese Themensammlung so zusammengestellt, dass die einzelnen Kapitel aufbauend gestaltet sind. Der Stoff kann<br />

Schritt für Schritt erfasst werden. Wie auf einer Treppe, deren Stufen eine geeignete Höhe besitzen, ist der Weg nach oben<br />

gut schaffbar. Es ist auch möglich, nur jene Kapitel durchzuarbeiten, bei denen das persönliche Wissen erweitert bzw.<br />

vervollständigt werden soll.<br />

Zentrale Begriffe oder Gesetze tauchen in einzelnen Abschnitten immer wieder auf oder es wird auf das Kapitel und die Seite<br />

ihrer ausführlichen Darlegung hingewiesen. Einerseits, um sich durch Wiederholung in Erinnerung zu rufen, andererseits um<br />

zu verfestigen.<br />

Wovor ich abrate ist, die Seiten wie bei einer Zeitung zu durchblättern und nur bei augenfälligen Textteilen, Rechnungen<br />

oder grafischen Darstellungen zu verweilen. Bei dieser Art von Durchsicht mag sich ein Eindruck eröffnen, doch die<br />

Gewichtung und alle notwendigen Sachverhalte können auf diese Weise nicht wahrgenommen werden.<br />

Um die dargebotenen Inhalte in der Folge selbst anwenden zu können, ist es unabdingbar, die in diesem Skript angeführten<br />

Beispiele simultan auf einem Blatt Papier mitzurechnen. Man sagt, einmal konzentriert schreiben wirke wie das Gleiche<br />

zehnmal lesen. Auch wenn die hier präsentierten Beispiele in kleinen Schritten nachvollziehbar entwickelt sind, ist<br />

mathematisches Wissen in aller Regel zu konzentriert, um alleine durch Lesen nachhaltig erfasst zu werden.<br />

Ich hätte die Seiten auch platzsparender gestalten können, doch wäre das auf Kosten der Übersichtlichkeit gegangen.<br />

Lief ich Gefahr die sprachliche Klarheit zu verlieren, verzichtete ich auf eine gendergemäße Schreibweise, wiewohl auch in<br />

solchen Fällen immer beide Geschlechter gemeint sind.<br />

Für etwaige (Schreib-) Fehler bitte ich um Entschuldigung!<br />

Ich habe mich bemüht, die Anzahl der Fehler zu minimieren. Doch steht mir kein Lektor zur Verfügung und es ist naturgemäß<br />

unmöglich alle eigenen Fehler selbst zu finden!<br />

Neben dem Skript stehen drei elektronische Hilfsmittel zur Verfügung:<br />

Erstens:<br />

Der Taschenrechner<br />

Zahlen.<br />

unterstützt uns bei Berechnungen mit konkreten<br />

Seine unkomplizierte und übersichtliche Handhabung liefert schnell und sicher die<br />

gewünschten Ergebnisse.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Darstellungsart von Brüchen hilft, rund 50 % der Rechen- bzw.<br />

Vorrangfehler zu vermeiden.<br />

Klare Symbole erleichtern die entsprechende Eingabe.<br />

Den Taschenrechner gibt es ohne Aufpreis vom WIFI.<br />

manfred.ambach<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

Zweitens:<br />

Für unkomplizierte, anschauliche Darstellungen dient uns das Rechenprogramm<br />

Im der Suchmaschine (im Internet) das Stichwort<br />

vorderster Stelle:<br />

Linke Spalte:<br />

eingegeben und es erscheint an<br />

Hier klicken wir mit der<br />

linken Maustaste diese Web-<br />

Adresse mit einem Doppel-<br />

Klick an.<br />

Scrollt man weiter, so erscheinen in der rechten<br />

Spalte die links abgebildeten Symbole.<br />

Zwei Varianten bieten sich an:<br />

GeoGebra Classic<br />

GeoGebra Classic<br />

Je nach Betriebssystem klickt man mit der linken<br />

Maustaste den entsprechenden Button an.<br />

Nach derzeitigem Stand wird bei der Matura<br />

GeoGebra Classic verwendet.<br />

Die Unterschiede dieser Varianten sind minimal.<br />

Am besten, man lädt beide Varianten herunter und<br />

arbeitet abwechselnd mit diesen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Diese App gibt es derzeit nur für Android-Smartphones.<br />

Für Smartphones mit anderen Betriebssystemen:<br />

GeoGebra Web Version im Web Browser des Smartphones<br />

manfred.ambach<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

Nach der Installation erscheint folgende Oberfläche:<br />

GeoGebra :<br />

GeoGebra :<br />

Nur zur Ansicht<br />

Installation siehe auch in YouTube:<br />

Das bedeutet: Abschnitt II, Kapitel 2.5., Seite 85 und folgende<br />

Link:<br />

https://www.youtube.com/watch?v=ISrfXEpfoAs&t=103s<br />

manfred.ambach<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

Drittens:<br />

Unter dem Titel<br />

Mathe Ambach YouTube<br />

finden sich zu vielen Themen dieses Skripts Videoclips in YouTube.<br />

Diese können entweder direkt über QR-Code (zu finden bei den entsprechenden Stellen im Skript) erreicht werden,<br />

oder über den jeweiligen Link: https://www.youtube.com/watch?v=vnO-VbiQyDM&t=2s<br />

erreicht werden. (Einfach mit der linken Maustaste anklicken.)<br />

Es gibt derzeit über 80 Videos zum Stoff, zur Handhabung von GeoGebra und zu ausgewählten Aufgaben der<br />

Beispielsammlung.<br />

Lernkarten<br />

Da ich die Videos immer wieder aktualisiere, werden einige QR-Codes veralten.<br />

In diesem Fall ist das entsprechende Video unter selbem Titel auf meinem Videokanal<br />

MAY Ambach zu finden:<br />

Bei manchen Bezeichnungen, Themen oder Stoffgebieten sind<br />

Im Skript Karteikarten gezeichnet, auf denen Wichtiges kurz<br />

zusammengefasst ist.<br />

Solche Karten, wenn du sie selbst anlegst, können ein effektives<br />

Mittel sein, um wesentliche Lerninhalte zu merken.<br />

Auf diese Idee brachte mich die ehemalige Teilnehmerin Katrin HERZOG.<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach<br />

pro-test.at


#<br />

Mathe für die BRP zentral<br />

Sollte jemand mit den zahlreichen Beispielen der Übungsaufgaben und den Aufgaben der Beispielsammlung nicht über<br />

genügend Übungsmaterial verfügen, so finden sich im Internet unter den Adressen<br />

www.aufgabenpool.at oder www.srdp.at oder www.mathestunde.at<br />

weitere, der Zentralmatura entsprechende Aufgaben. Jedoch kommen für uns nur<br />

in Frage.<br />

Beachte jedoch:<br />

Teil A – Aufgaben und jene von Cluster P<br />

Nicht die Menge der Beispiele, sondern die Qualität ihrer Auflösung macht den Erfolg aus!<br />

Bei den Prüfungs- bzw. Testaufgaben geben Signalwörter konkrete Hinweise, welche Kenntnisse bzw. Fertigkeiten<br />

gefordert sind. Eine Liste der gängigen Signalwörter findet im Skript<br />

Das bedeutet: Seite 460 und folgende<br />

Ja, und da wäre dann noch Fredo.<br />

Fredo wird sich immer wieder einmal erlauben, seine Erkenntnisse oder<br />

Gefühle zu äußern: Einsichten, Zuversicht, doch auch Ärger oder gar manche<br />

Verzagtheit. Fredo reagiert, wie jede(r) Lernende: guten Mutes und voll<br />

Vertrauen, doch auch manchmal mühsam oder kleinmütig. Alles ganz normale<br />

Bekundungen, wenn man sich ernsthaft mit zuweilen herausfordernder<br />

Materie auseinandersetzt.<br />

Wenn Fragen zu mathematischen Belangen bestehen oder Anregungen bzw. kritische Bemerkungen zum Skript auftreten:<br />

Ich freue mich, wenn ich kontaktiert werde!<br />

Entweder über mathe@pro-test.at oder über<br />

Sehen wir es so:<br />

Du gehst auf eine Reise, die manchmal Herausforderungen verursacht. Doch du bist nicht alleine. Du wirst begleitet von<br />

erfahrenen TrainerInnen und Unterlagen, auf die du dich verlassen kannst!<br />

Nur zur Ansicht<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=vnO-VbiQyDM&t=2s<br />

manfred.ambach<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I<br />

Inhaltsverzeichnis<br />

ZAHLEN & MAßE<br />

1. ZAHLEN 3<br />

1.1. Zahlenmengen 3<br />

1.1.1. Natürliche Zahlen 5<br />

1.1.2. Ganze Zahlen 7<br />

1.1.3. Rationale Zahlen 9<br />

1.1.4. Reelle Zahlen 11<br />

1.1.5. Komplexe Zahlen 13<br />

1.2. Rechnen mit Zahlen 16<br />

1.2.1. Vorrangregeln 16<br />

1.2.2. Rechnen mit natürlichen Zahlen 17<br />

1.2.3. Rechnen mit ganzen Zahlen 20<br />

1.2.4. Runden von Zahlen 23<br />

1.2.5. Rechnen mit Casio 24<br />

1.3. Prozent– und Promillrechnung 33<br />

1.3.1. Prozentrechnung 33<br />

1.3.2. Promillrechnung 40<br />

1.4. Maße 41<br />

1.4.1. Längenmaße 41<br />

1.4.2. Flächenmaße 43<br />

1.4.3. Raum- und Hohlmaße 45<br />

1.4.3.1. Raummaße 45<br />

1.4.3.2. Hohlmaße 45<br />

1.4.4. Masse 47<br />

1.4.5. Zeitmaße 51<br />

II<br />

ALGEBRA & GEOMETRIE<br />

2. TERME 54<br />

2.1. Benennungen 54<br />

2.2. Potenzen 57<br />

2.2.1. Einführung 57<br />

2.2.2. Rechenregeln für Potenzen 60<br />

2.2.3. Multiplikation von Monom und Klammer 72<br />

2.2.4. Multiplikation von Klammern 73<br />

2.2.5. Binomische Formeln 74<br />

2.2.6. Fließkomma- bzw. Gleitkommadarstellung 75<br />

Nur zur Ansicht<br />

2.3. Zerlegung von Termen 79<br />

2.3.1. eingliedrige Terme 80<br />

2.3.2. mehrgliedrige Terme 80<br />

2.4. Kleines Einmaleins des Bruchrechnens 82<br />

2.4.1. Addieren und Subtrahieren 82<br />

2.4.2. Multiplizieren 83<br />

2.4.3. Dividieren 84<br />

2.5. Einführung in GeoGebra 85<br />

Seite<br />

manfred.ambach<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

3. GLEICHUNGEN 91<br />

3.1. Gleichungen mit einer Variablen 91<br />

3.1.1. Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen) 91<br />

3.1.1.1. Elementares 92<br />

3.1.1.2. Gleichungen mit Klammern 98<br />

3.1.1.3. Gleichungen mit Bruchtermen 98<br />

3.1.1.4. Formeln umformen 100<br />

3.1.1.5. Gleichungen mit GeoGebra 106<br />

3.1.2. Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen) 109<br />

3.1.2.1. Normalform 109<br />

3.1.3. Gleichungen höheren ( als 2. ) Grades 117<br />

3.1.3.1. Gleichungen 3. Grades 117<br />

3.1.3.2. Gleichungen 4. Grades 119<br />

3.2. Gleichungen mit mehreren Variablen 121<br />

3.2.1. Lineare Gleichungen mit 2 Variablen 122<br />

3.2.1.1. Lösungsmethoden 123<br />

3.2.1.1.1. Gleichsetzmethode 123<br />

3.2.1.1.2. Einsetzmethode 125<br />

3.2.1.1.3. Additionsmethode 125<br />

3.2.2. Gleichungssysteme mit GeoGebra 126<br />

4. ELEMENTARGEOMETRIE 132<br />

4.1. Lehrsatz des PYTHAGORAS 132<br />

4.2. Strahlensatz 135<br />

4.3. Kreis und Kreisteile 137<br />

4.4. Prismen 139<br />

4.5. Spitze Körper 142<br />

4.6. Kugel 144<br />

5. TRIGONOMETRIE 146<br />

5.1. Winkelmaße 146<br />

5.2. Graphen der Winkelfunktionen 150<br />

5.2.1. sin und cos 150<br />

5.2.2. tan 152<br />

5.3. Winkelfunktionen im Einheitskreis 153<br />

5.4. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck 156<br />

5.5. Winkelsätze 161<br />

5.5.1. Sinus – Satz 161<br />

5.5.2. Cosinus – Satz 164<br />

5.6. Vermessungsaufgaben 167<br />

III<br />

FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE<br />

Nur zur Ansicht<br />

6. FUNKTIONEN 175<br />

6.1. Koordinatensystem 177<br />

6.2. Funktionen – allgemein 179<br />

6.2.1. Was ist eine Funktion? 179<br />

6.2.2. Bezeichnungen und Ausdrücke 184<br />

6.2.3. Darstellungsarten 186<br />

6.2.4. Funktionen mit GeoGebra 188<br />

6.2.5. Eigenschaften von Funktionen 196<br />

6.2.5.1. Nullpunkte 196<br />

6.2.5.2. Monotonie 198<br />

6.3. Polynomfunktionen 200<br />

6.3.1. Polynomfunktionen 1. Grades (lineare Funktionen) 201<br />

6.3.1.1. Gleichung einer linearen Funktion (Geraden) 201<br />

6.3.1.2. Proportionalität 206<br />

manfred.ambach<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

6.3.1.2.1. direkt proportional 206<br />

6.3.1.2.2. indirekt proportional 207<br />

6.3.1.3. Aufstellen einer Geradengleichung mit 2 gegebenen Punkten 208<br />

6.3.1.4. Lineare Bewegungsaufgaben 212<br />

6.3.2. Polynomfunktionen 2. Grades (quadratische Funktionen) 223<br />

6.3.3. Polynomfunktionen 3. und höheren Grades 231<br />

6.3.4. Gerade und ungerade Polynomfunktionen 237<br />

6.3.4.1. Gerade Polynomfunktionen 237<br />

6.3.4.2. Ungerade Polynomfunktionen 238<br />

6.4. Exponential- und Logarithmusfunktionen 239<br />

6.4.1. Eigenschaften 239<br />

6.4.2. Zinseszinsen 244<br />

6.4.3. Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse 246<br />

IV<br />

ANALYSIS<br />

7. DIFFERENZIEREN 252<br />

7.1. Ableitungsregel 253<br />

7.1.1. Potenzregel 253<br />

7.1.2. Differenzieren mit GeoGebra 257<br />

7.2. Veranschaulichung des Differenzierens 260<br />

7.2.1. Steigung der Tangente 260<br />

7.2.2. Änderungsraten 264<br />

7.2.2.1. Absolute Änderung(srate) 264<br />

7.2.2.2. Relative Änderung(srate) 264<br />

7.2.2.3. Mittlere Änderung(srate) (mittlere Steigung) 265<br />

7.2.2.4. Lokale (momentane) Änderung(srate) (momentane Steigung) 268<br />

7.3. Weitere Anwendungen der Differentialrechnung 273<br />

7.3.1. Extrema 273<br />

7.3.2. Krümmung 280<br />

7.3.3. Wendepunkt und Wendetangente 282<br />

7.4. Kleine Betriebskunde 300<br />

8. INTEGRIEREN 306<br />

8.1. Integrationsregel 306<br />

8.1.1. Potenzregel 306<br />

8.1.2. Integrieren mit GeoGebra 312<br />

8.2. Flächenberechnungen 314<br />

8.2.1 Veranschaulichung 314<br />

8.2.2. Grundaufgaben 321<br />

8.2.2.1. Fläche innerhalb gegebener Grenzen 321<br />

8.2.2.2. Fläche von Funktion und Achse begrenzt 323<br />

8.2.2.3. Fläche nur von 2 Funktionen begrenzt 325<br />

8.3. Integrieren und Differenzieren als Umkehrungen 335<br />

V<br />

Nur zur Ansicht<br />

STOCHASTIK<br />

Vorbemerkungen 341<br />

9. STATISTIK & REGRESSION 342<br />

9.1. Empirische Statistik 342<br />

9.1.1. Kenngrößen 342<br />

9.1.2. Kenngrößen mit GeoGebra 349<br />

9.1.3. Grafische Darstellungen 352<br />

9.1.4. Klassen - Einteilung 355<br />

manfred.ambach<br />

pro-test.at


#<br />

Mathe für die BRP zentral<br />

9.2. Regression 357<br />

9.2.1. Lineare Regression 357<br />

9.2.2. Korrelationskoeffizient 361<br />

9.2.3. Quadratische Regression 364<br />

9.2.4. Exponentielle Regression 366<br />

9. 3. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 367<br />

9.3.1. Grundbegriffe 367<br />

9.3.2. Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ereignisse 369<br />

9.3.2.1. entweder - oder ( oder beide ) – Wahrscheinlichkeit 369<br />

9.3.2.2. sowohl als auch – Wahrscheinlichkeit 370<br />

9.3.2.3. Baumdiagramm 372<br />

9.3.2.4. . . . mindestens einmal . . . 377<br />

9.4. Wahrscheinlichkeitsverteilungen 381<br />

9.4.1. Diskrete Verteilungen (diskrete Zufallsvariablen) 381<br />

9.4.1.1. (Allgemeine) diskrete Verteilungen 382<br />

9.4.1.2 Binomialverteilung 384<br />

9.4.2. GAUßsche Normalverteilung 397<br />

VI<br />

CLUSTER P<br />

10. VEKTOREN 407<br />

10.1. Grundbegriffe 407<br />

10.2. Grafische Verbindungen von Vektoren 409<br />

10.2.1. Addition 409<br />

10.2.2. Gegenvektor eines Vektors 410<br />

10.2.3. Subtraktion 410<br />

10.2.4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 412<br />

10.3. Rechnerische Verbindungen von Vektoren 413<br />

10.3.1. Koordinaten eines Vektors 413<br />

10.3.2. Addition 415<br />

10.3.3. Subtraktion 418<br />

10.3.4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 420<br />

10.4. Weitere Eigenschaften von Vektoren 423<br />

10.4.1. Ortsvektor 423<br />

10.4.2. Betrag (Länge) eines Vektors 424<br />

10.4.3. Gegeben zwei Punkte A und B . . . 427<br />

10.4.3.1. . . . gesucht: Der Vektor von A nach B: AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 427<br />

10.4.3.2. . . . gesucht: Die Länge der Strecke AB 430<br />

10.4.3.3. . . . gesucht: Halbierungspunkt H der Strecke AB 431<br />

10.4.4. Einheitsvektor eines Vektors 434<br />

10.4.5. Normalvektoren eines Vektors 436<br />

10.4.6. Skalarprodukt zweier Vektoren 438<br />

Nur zur Ansicht<br />

11. FOLGEN & REIHEN 446<br />

11.1. Allgemeines 446<br />

11.2. Arithmetische Folgen 447<br />

11.3. Geometrische Folgen 449<br />

12. MENGEN 454<br />

12.1. Was ist eine Menge? 454<br />

12.2. Durchschnittsmenge 455<br />

12.3. Vereinigungsmenge 456<br />

12.4. Differenzmenge 457<br />

Liste der Signalwörter 460<br />

Dank 464<br />

manfred.ambach<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

I<br />

1. ZAHLEN<br />

ZAHLEN & MAßE<br />

1.1. Zahlenmengen<br />

altägyptische Zahlen-Hieroglyphen<br />

Keilschrift-Zahlen<br />

Die Notwendigkeit für Zahlen könnte sich ergeben haben, als unsere Urahnen<br />

sesshaft wurden. Damit begannen sie Ackerbau und Viehzucht zu betreiben. Die<br />

Erträge bzw. der Bestand wollten festgehalten sein und dies könnte die Geburt<br />

der Zahlen bedeuten.<br />

Ishango-Knochen<br />

Der Ishango – Knochen, gefunden im Jahre 1960 an der Küste des Lake Edwards,<br />

an der Grenze zwischen Uganda und Zaire, ist eines der ältesten Dokumente für<br />

die Verwendung von Zahlen und zeigt Gravuren davon. Dieser Fund ist 20 000<br />

Jahre alt und belegt, dass das prähistorische afrikanische Volk der Ishango bereits<br />

systematische quantitative Betrachtungen anstellte.<br />

Nur zur Ansicht<br />

indisch 3. Jhdt v. Chr.<br />

indisch 8. Jhdt n. Chr.<br />

westarabisch 11. Jhdt.<br />

europäisch 15. Jhdt.<br />

europäisch 16. Jhdt.<br />

Neuzeit<br />

In nichts zeigt sich der Mangel mathematischer Bildung mehr,<br />

als in einer übertrieben genauen Rechnung.<br />

Carl Friedrich GAUß<br />

( 1777–1855 )<br />

Wann Zahlen erstmals in der Menschheitsgeschichte auftauchen, lässt sich<br />

nicht genau eruieren, mag aber um die 50 000 Jahre zurückliegen.<br />

Es gilt die Tendenz für die nördliche Halbkugel:<br />

Je weiter wir nach Osten blicken, desto früher finden wir in den alten<br />

Hochkulturen die Verwendung von Zahlen.<br />

Die von uns verwendeten Ziffern sind indischen<br />

Ursprungs, von den Arabern weiterentwickelt. Die<br />

Schreibweise gelangte über Vorderasien und das<br />

lange unter arabischem Einfluss stehende Spanien in<br />

unsere Breiten.<br />

Die ersten Darstellungen der Zahl Null finden sich<br />

bereits vor mehr als 2 000 Jahren bei den Indern.<br />

In Europa führte Leonardo von PISA ( genannt<br />

FIBONACCI [ figlio di Bonaccio – Sohn des Bonaccio ] )<br />

[ 1180(?) – 1241(?) ] im Jahr 1202 die Null ins<br />

kaufmännische Rechnen ein.<br />

manfred.ambach 3 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Wie vorteilhaft die indisch-arabischen Ziffern im Gegensatz zu den römischen Zahlenzeichen sind, soll folgendes<br />

Beispiel verdeutlichen:<br />

Multiplizieren wir 5 . 25 = 125 mit römischen Ziffern:<br />

V<br />

II<br />

I<br />

. XXV<br />

L<br />

C<br />

XXV + C<br />

= CXXV<br />

Siehe auch: https://www.youtube.com/watch?v=_C9CCoMYgDE<br />

Adam RIES<br />

( 1492(3) – 1559 )<br />

Lange Zeit war Rechnen nur gebildeten Menschen vorbehalten. Adam RIES(E), deutscher<br />

Rechenmeister, verfasste sein Werk in deutscher Sprache, obwohl damals vorwiegend auf<br />

lateinisch publiziert wurde. Damit trug er zur Popularisierung dieser Kulturtechnik bei. Sein<br />

Lehrbuch Rechenung auff der linihen und federn wurde bis ins 17. Jhdt mindestens<br />

120-mal aufgelegt.<br />

Rechenung auff der linihen, also Rechnen auf Linien, funktioniert so:<br />

Es werden waagrechte Linien gezeichnet.<br />

Eine Münze auf der ersten (untersten) Linie hatte den Wert 1, eine Münze<br />

im ersten Zwischenraum den Wert 5, auf der zweiten Linie den Wert 10.<br />

Eine Münze im zweiten Zwischenraum erhielt den Wert 50, auf der dritten<br />

Linie 100 usw. Die Tausend wurde mit einem X markiert.<br />

So stellt die nebenstehende Lage der Münzen die Zahl 2 128 dar.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 1<br />

Was bedeutet eigentlich der Begriff unendlich?<br />

Der Duden meint: sehr großes, unabsehbares, unbegrenztes<br />

größer als jeder endliche, beliebig große Zahlenwert<br />

Das Symbol für unendlich in der Mathematik ist die liegende Acht: ∞<br />

Der relativ komplizierte Vorgang rührt daher, dass die Römer keine<br />

Stellenwerte und damit keinen Übertrag kannten.<br />

Solche Rechnungen wurden mit einem System aus dem jeweiligen<br />

Halbieren des einen Faktors und dem Verdoppeln des anderen<br />

bewerkstelligt. Führt die Halbierung auf keine ganze Zahl, wurde<br />

abgerundet.<br />

Danach wurden alle Zeilen gestrichen, bei denen beim Halbieren<br />

gerade Zahlen herauskamen und die verbliebenen Zahlen in der<br />

Verdoppelungsspalte addiert.<br />

Fortsetzung auf S 12<br />

manfred.ambach 4 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.1.1. Natürliche Zahlen<br />

Auf einem Zahlenstrahl (1) besitzen die natürlichen Zahlen folgende Lage:<br />

Die Menge der natürlichen Zahlen, abgekürzt mit dem Symbol N,<br />

bezeichnet die Zahlen des Zählens.<br />

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . }<br />

Die kleinste natürliche Zahl ist eins. Jeder Nachfolger ist um eins größer als der Vorgänger. Die natürlichen Zahlen<br />

enden nicht, sie führen ins Unendliche.<br />

Zusatzbezeichnungen können Zahlen ein- oder ausschließen:<br />

N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Bemerkung: Manchmal meint auch N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . }<br />

N g = { 2, 4, 6, 8, 10, ... }<br />

N u = { 1, 3, 5, 7, 9, ... }<br />

Freilich lassen sich natürliche Zahlen auch anders darstellen, wenngleich es meistens vorteilhaft ist, die einfachste<br />

Schreibweise zu wählen:<br />

4<br />

5 7<br />

Beispiele: 2 N oder 3 N oder<br />

3<br />

64 4 N<br />

2<br />

4<br />

Bemerkungen: ∈ ist das Symbol für " ist Element von " , im Sinne von " gehört zu … " ,<br />

∉ ist das Symbol für " ist kein Element von " , im Sinne von " gehört nicht zu … " .<br />

Nur zur Ansicht<br />

Der Bruchstrich steht für ein Divisionszeichen<br />

Das bedeutet:<br />

Abschnitt VI, Kapitel 12.1., Seite 454<br />

(1)<br />

Ein Zahlenstrahl hat einen Anfang und kein Ende (denke an einen Sonnenstrahl).<br />

Eine Zahlengerade hat weder Anfang noch Ende, geht also vom negativ-Unendlichen bis ins positiv Unendliche.<br />

manfred.ambach 5 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Beispiel: Die märchenhafte Sieben<br />

Warum kommt die Zahl sieben so häufig in unseren Märchen vor?<br />

Schneewittchen und die sieben Zwerge<br />

Der Wolf und die sieben Geißlein<br />

Die sieben Raben<br />

oder auch die sieben Weltwunder oder die sieben Tage der Woche.<br />

In der christlichen Zahlensymbolik des Mittelalters steht sieben für die Gnade bzw. für Ruhe und Frieden.<br />

Sieben ergibt sich durch die Addition von drei und vier.<br />

Drei ist das Symbol für Gott bzw. die Dreifaltigkeit, vier steht für die Welt mit ihren vier Elementen<br />

Luft, Feuer, Wasser und Erde.<br />

Gewisse natürliche Zahlen sind sog. Primzahlen.<br />

Die ersten Primzahlen sind:<br />

Primzahlen sind natürliche Zahlen,<br />

die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.<br />

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . . .<br />

Die bisher größte Primzahl wurde im Rahmen des GIMPS<br />

( Great Internet Mersenne Prime Search )-Projekts am 26.12. 2017<br />

gefunden: 2 77 323 917 − 1 . Eine Zahl mit über 23 Millionen<br />

Ziffern. (1) Würde man diese Zahl aufschreiben, füllte sie ca.<br />

4 750 Din-A4 Seiten.<br />

Nebenstehend das Sieb des ERATOSTHENES ( ≈276 – 194 v.Chr. ) zur<br />

Ermittlung der Primzahlen, hier bis 100.<br />

Zuerst streicht man alle Zahlen, die durch 2 teilbar sind, dann die<br />

Vielfachen von 3, nun die durch vier teilbaren Zahlen, gefolgt von<br />

allen Vielfachen von 5 usw. bis nur noch jene Zahlen bleiben, die<br />

nur durch 1 und sich selbst teilbar sind, also die Primzahlen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Ja, warum ist die Zahl 1 eigentlich keine Primzahl, wenn sie doch, wie gefordert, nur durch 1 und sich selbst<br />

teilbar ist?<br />

...................................................................................................................................................................................<br />

...................................................................................................................................................................................<br />

gnusöL: trednärev sthcin snie hcrud noisivid eid dnu driw treidivid nelhazmirp hcrud liew<br />

(1)<br />

https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl<br />

manfred.ambach 6 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Primzahlen haben in der Zahlentheorie eine fundamentale Bedeutung, um<br />

Strukturen zu erkennen und festzulegen. So lässt sich jede natürliche Zahl als<br />

Produkt (Ergebnis einer Multiplikation) von Primzahlen darstellen. Heute finden<br />

Primzahlen unter anderem in der Verschlüsselungstechnik Verwendung, um z.B.<br />

den Datenaustausch via Internet sicherer zu gestalten.<br />

Ältere Verfahren verwenden Zahlen mit 129 Dezimalstellen, die von modernen<br />

Rechnern in Kürze zu knacken sind. Neue und sehr sichere<br />

Verschlüsselungsmethoden beruhen auf Zahlen mit 1 924 Stellen, die mit<br />

handelsüblichen Methoden nicht aufzuspüren sind. Allerdings sind derartige Zahlen für (Smart-) Phones der heutigen<br />

Generation zu groß!<br />

1.1.2. Ganze Zahlen<br />

Die ganzen Zahlen auf einer Zahlengeraden:<br />

Die Menge der ganzen Zahlen, symbolisiert durch Z , meint alle natürlichen<br />

Zahlen, die Zahl Null, sowie alle negativen ganzen Zahlen.<br />

Z = { . . . . . . . , – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . . . . }<br />

Die ganzen Zahlen kommen aus dem Negativ-Unendlichen und reichen bis ins Positiv-Unendliche. Auch hier ist der<br />

Nachfolger stets um eins größer als der Vorgänger.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Zusatzbezeichnungen sind möglich und üblich:<br />

Z + = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . } = N<br />

Z − = { . . . . ., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1 } Z g<br />

− = { . . . . ., – 8, – 6, – 4, – 2 } usw.<br />

Die ganzen Zahlen existieren seit mindestens knapp zweieinhalbtausend Jahren, als die Babylonier um 300 v. Chr.<br />

auf die Notwendigkeit der Erweiterung der natürlichen Zahlen beim Lösen von Gleichungen stießen.<br />

manfred.ambach 7 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Babylonische Zahlen-Zeichen (ca. 2000 – 1500 v.Chr.)<br />

In Europa gewannen nach 1000 nach Christus<br />

Handelszentren wie die deutsche Hanse oder Stadtsaaten<br />

wie Venedig, Genua oder Florenz immer mehr an Einfluss.<br />

Der rege Handel bedingte die Notwendigkeit ganzer<br />

Zahlen, denn fehlende Ware oder Schulden mussten<br />

entsprechend gekennzeichnet werden.<br />

Noch heute findet sich der Einfluss italienischer Handelsmetropolen in Bezeichnungen wie Konto<br />

( il conto: die Rechnung ) oder dem Lombard-Satz ( Lombarden wurden im Heiligen Römischen Reich deutscher Nation die<br />

italienischen Kaufleute genannt ) als dem Zinssatz, den die jeweilige Zentralbank festlegt.<br />

Beispiel:<br />

Stephan rechnet offensichtlich so:<br />

Am Abend werden – 20 Grad Celsius ( °C ) gemessen. In der Nacht soll die Temperatur<br />

um 5° C sinken.<br />

Stephan meint: " Dann wird es in der Nacht −15° C haben. "<br />

Julia entgegnet: " Ich glaube, die Temperatur wird auf – 25 ° C sinken. "<br />

Tom: " Komisch, wenn ich rechne, komme ich auf + 25 ° C ! "<br />

– Begründe, wer von den Dreien recht hat.<br />

– 20° C + 5° C = −15° C Plus heißt aber mehr. Wenn die Temperatur sinkt,<br />

wird sie jedoch weniger. Und weniger heißt minus.<br />

Also hat Stephan unrecht.<br />

Julias Überlegung:<br />

Es hat am Abend – 20 ° C . In der Nacht wird es noch 5 ° C weniger haben.<br />

– 20 ° C – 5 ° C = – 25 ° C<br />

Tom rechnet augenscheinlich so:<br />

weniger heißt minus<br />

Nur zur Ansicht<br />

– 20 ° C – 5 ° C = + 25 ° C Tom wendet dabei die Vorzeichen-Regel der Multiplikation<br />

− ⋅ − = +<br />

Das bedeutet:<br />

Damit liegt nur Julia mit ihren Überlegungen und dem Ergebnis richtig.<br />

Abschnitt I, Kapitel 1.2.3., Seite 20 und folgende<br />

Der schwedische Physiker und Mathematiker Anders CELSIUS (1701 – 1744) legte den Gefrierpunkt von Wasser<br />

bei 100 o C fest, den Siedepunkt bei 0 o C. Carl von LINNÈ (1707 – 1778 , schwedischer Naturforscher) drehte 1745<br />

die Skala um, so wie wir sie heute verwenden.<br />

manfred.ambach 8 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.1.3. Rationale Zahlen<br />

Einige Beispiele rationaler Zahlen:<br />

Die Menge der rationalen Zahlen, abgekürzt mit Q, beinhaltet alle Zahlen,<br />

die sich als Brüche darstellen lassen,<br />

in deren Zähler und Nenner ganze Zahlen stehen ( im Nenner ≠ 0 ).<br />

Bemerkung: Das Symbol Q rührt daher, dass man statt des Bruchstriches<br />

auch ein Divisionszeichen setzen kann und das Ergebnis einer<br />

Division Quotient genannt wird.<br />

Zuvor eine Bemerkung: entstammt der Mengenlehre und bedeutet „ ist Element von “, was so viel wie „ gehört zu “ meint.<br />

3<br />

∈ 4 Q, da 3<br />

= 3,0<br />

4 4,0<br />

1,25 ∈ Q, , da 1,25 = 1,25<br />

Um auf die Darstellung<br />

2 ∈ Q, , da 2 = 2,0<br />

1,0<br />

1,0<br />

0, 4̇ ∈ Q, , da 0, 4̇ = 4<br />

4<br />

9 = 0, 4̇ 4<br />

zu kommen, muss man allerdings<br />

9<br />

− 3 ∈ Q, , da−3 = −3,0<br />

Nur zur Ansicht<br />

Wozu soll ich denn Zahlen,<br />

wie z.B. 2 , als Brüche<br />

darstellen, wenn sie als<br />

ganze Zahlen viel einfacher<br />

sind?<br />

9<br />

als Division auffassen:<br />

1,0<br />

Musst du ja nicht, lieber Fredo!<br />

4 : 9 = 0,444 . . .<br />

40<br />

40<br />

40<br />

. . .<br />

Es heißt ja, rationale Zahlen sind solche, die man als Brüche<br />

mit ganzzahligem Zähler und Nenner darstellen kann und<br />

nicht muss!<br />

Rationale Zahlen sind demnach neben den Bruchzahlen, auch die natürlichen und ganzen Zahlen, ebenso<br />

alle Dezimalzahlen mit endlich vielen Stellen und periodische Dezimalzahlen, also Zahlen mit unendlich vielen<br />

Stellen, wobei sich die Ziffern regelmäßig wiederholen.<br />

manfred.ambach 9 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Die rationalen Zahlen liegen so dicht, dass sich der Nachfolger oder Vorgänger einer bestimmten Zahl nicht exakt<br />

angeben lässt:<br />

Der Nachfolger der Zahl 1 kann nur angedeutet werden: 1,000000 . . . 0001<br />

Ebenso der Vorgänger der Zahl 2: 1,999999 . . . . 9998<br />

Auch wenn wir den Abstand zweier rationaler Zahlen verkleinern, lassen sich Nachfolger und Vorgänger nur<br />

andeuten und nicht exakt angeben.<br />

Obwohl die rationalen Zahlen so dicht liegen, gibt es noch Zahlen, die nicht zu den rationalen Zahlen gehören,<br />

sich also nicht als Brüche darstellen lassen, in deren Zähler und Nenner ganze Zahlen stehen:<br />

Beispiele: √ 2 = 1,4142135623730950488016887 . . .<br />

Nur zur Ansicht<br />

oder die Kreiszahl π = 3.1415926535897932 . . .<br />

Diese Wurzel, als Dezimalzahl dargestellt, besteht aus<br />

unendlich vielen Ziffern, die sich jedoch nicht, wie bei den<br />

periodischen Dezimalzahlen, regelmäßig wiederholen.<br />

Darstellung der Zahl pi (π) in der Wiener Opernpassage<br />

manfred.ambach 10 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Solche Zahlen nennt man irrationale Zahlen, wobei irrational nicht als vernunftwidrig oder unsinnig gedeutet<br />

wird, sondern als unvorstellbar [ ratio (lateinisch): u.a.: Denkart, Anschauung ].<br />

Die Berücksichtigung solcher Zahlen führt uns zur nächsten Zahlenmenge, den reellen Zahlen.<br />

Die rationalen Zahlen auf einer Zahlengeraden:<br />

0 1<br />

Trotz ihrer Dichte weisen die rationalen Zahlen immer noch Löcher auf, nämlich die irrationalen Zahlen.<br />

Bemerkung: Zahlentheoretisch, also mathematisch, lässt sich zeigen, dass die rationalen Zahlen „dicht“ sind.<br />

Doch ist dieser Sachverhalt recht abstrakt zu verstehen.<br />

Deshalb erlaube ich mir die obige Anschauung zu vertreten.<br />

1.1.4. Reelle Zahlen<br />

Damit sind alle bisher behandelten Zahlen auch reelle Zahlen:<br />

Beispiele:<br />

Die Menge der reellen Zahlen R besteht aus jenen Zahlen,<br />

die sich als Brüche darstellen lassen,<br />

in deren Zähler und Nenner Dezimalzahlen<br />

mit endlich oder unendlich vielen Ziffern<br />

( im Nenner ≠ 0 ) stehen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

3<br />

∈ 4 R, da 3<br />

= 3,0<br />

4 4,0<br />

1,25 ∈ R, da 1,25 = 1,25<br />

2 ∈ R, da 2 = 2,0<br />

. .<br />

1,0<br />

1,0<br />

− 3 ∈ R, da−3 = −3,0<br />

1,0<br />

0, 4̇ ∈ R, da 0, 4̇ = 0,44444 … = 0,44444…<br />

1,0<br />

Aber auch:<br />

π ∈ R, da π = 3,141592654 … = 3,141592654…<br />

1,0<br />

√2 ∈ R, da √2 = 1,414213562 … = 1,414213562…<br />

1,0<br />

manfred.ambach 11 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Die reellen Zahlen liegen so dicht, dass sie eine durchgehende Gerade bilden.<br />

Wir können uns die bisher behandelten Zahlenmengen folgendermaßen veranschaulichen:<br />

Bemerkung: Bei der obigen Darstellung handelt es sich nur um eine grobe Illustration, bei der die Größenverhältnisse<br />

zwischen den Zahlenmengen nicht stimmen.<br />

0<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 2<br />

Ist ∞ eine Zahl?<br />

Was ergibt dann z.B. ∞ − 1 ?<br />

Fortsetzung auf S 22<br />

manfred.ambach 12 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.1.5. Komplexe Zahlen<br />

Beispiel:<br />

2<br />

√ 4 = √ 4<br />

2<br />

√ 4 = √ 4<br />

Trotz der völligen Dichte reeller Zahlen sind in dieser Menge noch immer nicht<br />

alle möglichen Zahlen berücksichtigt.<br />

= 2 Probe: 2 2 = 2 . 2 = 4<br />

Folgende Beispiele sollen den Bedarf einer zusätzlichen Zahlenmenge darlegen:<br />

= −2 Probe: (−2) 2 = (−2) . (−2) = 4<br />

Wie sieht das nun mit der Quadratwurzel aus einer negativen Zahl aus?<br />

Beispiel:<br />

2<br />

√− 4<br />

2<br />

√− 4<br />

= 2 Probe: 2 2 = 2 . 2 = 4 und nicht − 4 → √−4<br />

= −2 Probe: (−2) 2 = (−2). (−2) = 4 und nicht − 4 → √−4<br />

Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl kann<br />

zwei Werte besitzen: Einen positiven und ihre<br />

negative Gegenzahl. Denn gleich, ob ich eine<br />

positive Zahl quadriere ( also mit sich selbst<br />

multipliziere ) oder ihre negative Gegenzahl,<br />

ich erhalte immer das gleiche positive Ergebnis.<br />

Nur zur Ansicht<br />

2<br />

2<br />

≠ 2<br />

≠ −2<br />

Es existiert keine reelle Zahl, die quadriert eine negative Zahl ergibt.<br />

Folglich kann die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl keinen Wert in den bisherigen Zahlenmengen besitzen.<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=WAzGp8Wqxtk&t=2s<br />

manfred.ambach 13 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich GAUß ging nun her und setzte die<br />

Carl Friedrich GAUß<br />

( 1777 – 1855 )<br />

und benannte i als imaginäre Einheit.<br />

2<br />

√– 1<br />

Damit lassen sich Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wie folgt angeben:<br />

√− 4 = √4 ⋅ (−1) = √4 ⋅ √− 1 = ±2 i<br />

±2 i<br />

Typisch Mathematiker!<br />

Machen aus etwas, was eben<br />

nicht existiert, nicht nur ein<br />

Problem, sondern gleich eine<br />

neue Theorie daraus!<br />

Nur zur Ansicht<br />

= i<br />

Gemeint sind die beiden Zahlen 2 i und −2 i<br />

Lieber Fredo,<br />

Ich möchte versuchen, ein Argument für die Existenz komplexer Zahlen anzuführen:<br />

auf den ersten Blick hast du natürlich Recht!<br />

Du befindest dich mit deiner Skepsis in literarischer<br />

Gemeinschaft mit<br />

Friedrich TORBERGs Schüler Gerber ,<br />

der im gleichnamigen Roman seinen Mathelehrer Kupfer<br />

über den Sinn komplexer Zahlen befragt.<br />

Auch Zahlen wie 1, 2 oder 3 sind abstrakte Gedankengebilde. Sie nennen sich zwar natürliche Zahlen, aber niemand<br />

hat im Frühling z.B. eine Eins aus dem Boden sprießen sehen. Solche Zahlen ergeben erst dann Sinn, wenn wir sie mit<br />

Gegenständen verbinden, um sie z.B. zu zählen und damit quantitativ (mengenmäßig) zu erfassen.<br />

Als Kinder lernten wir die Namen der Zahlen und schließlich konnten wir sie in<br />

richtiger Reihenfolge nennen. Doch was sollen denn<br />

bedeuten?<br />

eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben . . .<br />

Der Sinn erschließt sich erst, wenn diesen Zahlen Objekte zugeordnet werden,<br />

wenn wir Utensilien zählen um ihre Anzahl festzustellen und Ordnungen zu<br />

schaffen. Auch mit der imaginären Einheit bzw. den komplexen Zahlen lassen sich Gesetzmäßigkeiten und Strukturen in<br />

Natur und Technik beschreiben und zwar einfacher als mit den uns gewohnten Zahlen. Wichtig ist, wie bei jeder Zahl und<br />

Rechnung, eine passende Deutung zu finden!<br />

Mit Hilfe der komplexen Zahlen, können z.B. Schwingungszustände,<br />

die Einsichten in Materiestrukturen verleihen, wesentlich leichter<br />

berechnet werden als mit den uns geläufigen Zahlen.<br />

Komplexe Zahlen finden u.a. auch in der Chaostheorie ihre<br />

Verwendung und sind heute aus Naturwissenschaft und Technik<br />

nicht mehr wegzudenken.<br />

manfred.ambach 14 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Gebäudekomplex in Düsseldorf<br />

Woher der Name komplexe Zahlen?<br />

Wie ein Gebäudekomplex aus mehreren Häusern besteht, so setzt<br />

sich eine komplexe Zahl aus mehreren Gliedern (Ausdrücke, die mit<br />

+ oder – verbunden sind) zusammen, die nicht addiert bzw.<br />

subtrahiert werden können.<br />

Beispiel: z = 4 + 3 . i<br />

Allgemein lässt sich eine komplexe Zahl z in sog. BINOMIAL-Form wie folgt darstellen:<br />

mit a, b R ( a und b sind reelle Zahlen )<br />

i … imaginäre Einheit mit i = √− 1<br />

Beispiel: z = 4 + 3 i<br />

Diese komplexe Zahl z wird in einer<br />

Ebene (flach und unendlich groß) als<br />

Pfeil dargestellt.<br />

Auf der waagrechten Achse wird<br />

a = 4 aufgetragen, auf der nach<br />

hinten gehenden Achse 3 i .<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die komplexen Zahlen sind eine ganze Dimension größer als alle Zahlen, die wir bisher besprachen:<br />

Während sich natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen auf der waagrechten Achse (eindimensional)<br />

darstellen lassen, bedecken die Pfeilspitzen aller komplexen Zahlen jeden Punkt in einer (unendlich großen) Ebene<br />

(zweidimensional).<br />

manfred.ambach 15 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.2. Rechnen mit Zahlen<br />

1.2.1. Vorrangregeln<br />

Wegen der Bedeutung der Vorrangregeln für das richtige Rechnen seien diese Gebote in Erinnerung gerufen:<br />

(1) Klammern müssen immer zuerst berücksichtigt werden<br />

(2) Hochrechnung ( Potenzen, Wurzeln ) kommt vor Punktrechnung ( . : )<br />

(3) Punktrechnung kommt vor Strichrechnung ( + – )<br />

Stehen mehrere Klammern ineinander, mit der innersten Klammer beginnen.<br />

Innerhalb der Klammern gilt auch: Hoch– vor Punkt– vor Strichrechnung.<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 16 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.2.2. Rechnen mit natürlichen Zahlen<br />

Betrachten wir folgendes Beispiel:<br />

4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 3 2 ) ] + 2 3 =<br />

Stehen mehrere Klammern ineinander, beginne mit der innersten Klammer.<br />

Zunächst berücksichtigen wir die Hochrechnung in der innersten (runden) Klammer.<br />

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 3 2 ) ] + 2 3 =<br />

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 9 ) ] + 2 3 =<br />

Es folgt die Punktrechnung in der runden Klammer.<br />

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 . 4 – 9 ) ] + 2 3 =<br />

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 12 – 9 ) ] + 2 3 =<br />

Jetzt noch die Strichrechnung in der runden Klammer.<br />

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 12 – 9 ) ] + 2 3 =<br />

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 ) ] + 2 3 =<br />

In der runden Klammer steht nur noch eine Zahl. Deshalb dürfen wir diese Klammer weglassen.<br />

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – ( 3 ) ] + 2 3 =<br />

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – 3 ] + 2 3 =<br />

Nun berechnen wir die eckige Klammer anhand der Vorrangregeln.<br />

= 4 + 2 . [ 5 . 2 2 – 3 ] + 2 3 =<br />

Nur zur Ansicht<br />

= 4 + 2 . [ 5 . 4 – 3 ] + 2 3 =<br />

= 4 + 2 . [ 5 . 4 – 3 ] + 2 3 =<br />

= 4 + 2 . [ 20 – 3 ] + 2 3 =<br />

= 4 + 2 . [ 20 – 3 ] + 2 3 =<br />

= 4 + 2 . [ 17 ] + 2 3 =<br />

= 4 + 2 . [ 17 ] + 2 3 =<br />

manfred.ambach 17 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Nachdem auch die eckige Klammer weggelassen werden kann, sind die restlichen Rechenoperationen<br />

wiederum entsprechend den Vorrangregeln durchzuführen.<br />

= 4 + 2 . 17 + 2 3 =<br />

= 4 + 2 . 17 + 2 3 =<br />

= 4 + 2 . 17 + 8 =<br />

= 4 + 2 . 17 + 8 =<br />

= 4 + 34 + 8 =<br />

= 46<br />

Bemerkung 1: Freilich lässt sich ein solches Beispiel in weniger Schritten bewerkstelligen, doch soll hier die richtige<br />

Anwendung der Vorrangregeln bewusst gemacht werden, die auch für das Rechnen mit Buchstaben gelten.<br />

Bemerkung 2: Der Gebrauch der Vorrangregeln wirkt im Zusammenhang mit konkreten Zahlen meist recht banal,<br />

ist aber häufig eine Ursache für falsches Rechnen!<br />

Beispiel:<br />

2 3 = 2 . 2 . 2 = 8 und nicht 2 3 = 2 . 3 = 6<br />

3-mal<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Nur zur Ansicht<br />

Festungsbahn Salzburg<br />

Das bedeutet: Abschnitt II, Kapitel 2.2.1., Seite 56 und folgende<br />

Ein Wagen der Salzburger Festungsbahn kann maximal 55 Personen fassen.<br />

Es fährt immer ein Wagen nach oben und einer gleichzeitig nach unten.<br />

Die Fahrzeit für eine Strecke beträgt 39 Sekunden, die Stehzeit 2,6 Minuten.<br />

Bild: SLB<br />

– Berechnen Sie, wie viele Personen in der 12-stündigen Öffnungszeit maximal nach oben befördert werden<br />

können.<br />

manfred.ambach 18 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Fahrzeit = 39 Sekunden<br />

Stehzeit = 2,6 Minuten 2,6 Minuten . 60 = 156 Sekunden (s)<br />

Fahrzeit + Stehzeit für eine Strecke = 39 + 156 = 195 Sekunden → Alle 195 s fährt ein Wagen nach oben.<br />

1 Stunde = 60 Minuten = 3 600 s → 12 Stunden = 12 . 3 600 s = 43 200 s<br />

43 200 : 195 = 221,54 Das heißt, die Wagen können in 12 Stunden 221-mal zur Gänze hinauffahren. (*)<br />

221 . 55 = 12 155<br />

In den 12 Stunden Betriebszeit können maximal 12 155 Personen nach oben befördert werden.<br />

(*)<br />

Würde ein Wagen in 12 Stunden 221,54-mal hinauffahren, bliebe er bei seiner 222. Fahrt auf offener Strecke stehen,<br />

weil er da nur noch das 0,54-fache (=<br />

Richtig wäre auch folgende Überlegung:<br />

12 Stunden = 12 . 3 600 s = 43 200 s<br />

54<br />

100<br />

Bei der ersten Fahrt gibt es noch keine Stehzeit.<br />

43 161 : 195 = 221,34 → 221 ganze Fahrten + 1. Fahrt = 222 Fahrten<br />

222 . 55 = 12 210<br />

= 54 % ) der Strecke, also nur noch gut die Hälfte, zurücklegte.<br />

43 200 – 39 = 43 161 s<br />

Bei dieser Überlegung könnten in den 12 Betriebsstunden maximal 12 210 Personen nach oben befördert werden.<br />

Aus der Sendung die Millionenshow:<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 19 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.2.3. Rechnen mit ganzen Zahlen<br />

Für das Rechnen mit ganzen Zahlen benötigen wir neben den Vorrangregeln auch die<br />

Dazu passende Beispiele:<br />

der Multiplikation<br />

Vorzeichenregeln<br />

der Division<br />

+ ⋅ + = + + : + = +<br />

– ⋅ – = + – : – = +<br />

+ ⋅ – = – + : – = –<br />

– ⋅ + = – – : + = –<br />

( + 3 ) . ( + 2 ) = + 6 ( + 8 ) : ( + 4 ) = + 2<br />

( – 3 ) . ( – 2 ) = + 6 ( – 8 ) : ( – 4 ) = + 2<br />

( + 3 ) . ( – 2 ) = – 6 ( + 8 ) : ( – 4 ) = – 2<br />

( – 3 ) . ( + 2 ) = – 6 ( – 8 ) : ( + 4 ) = – 2<br />

Nur zur Ansicht<br />

Warum ergibt denn eigentlich<br />

z.B. – . – = + ?<br />

und<br />

→ Das kannst du in der Übung 01 - 02 erfahren.<br />

Glücklicherweise haben wir in<br />

der Volksschule nicht so<br />

kompliziert multiplizieren<br />

gelernt, sonst könnte ich es bis<br />

heute nicht!<br />

→ Richtig, und deshalb schreiben wir jetzt die gleichen<br />

Aufgaben nochmals so einfach wie möglich an.<br />

manfred.ambach 20 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

3 . 2 = 6 8 : 4 = 2 oder<br />

4<br />

2<br />

8 2<br />

– 3 . ( – 2 ) = 6 – 8 : ( – 4 ) = 2 oder<br />

3 . ( – 2 ) = – 6 8 : ( – 4 ) = – 2 oder<br />

– 3 . 2 = – 6 – 8 : 4 = – 2 oder<br />

Was können wir daraus für Schreibregeln folgern?<br />

o Steht zu Beginn vor einer Zahl ( oder einem Buchstaben ) kein Vorzeichen, so<br />

ist + gemeint<br />

Jetzt ein Beispiel mit ganzen Zahlen:<br />

o Zwei unmittelbar aufeinander folgende Vor- bzw. Rechenzeichen müssen<br />

( aus Gründen der Übersicht ) durch eine (optische) Klammer getrennt werden<br />

aber:<br />

– 2 . ( – 2 ) 2 – [ – 4 . 3 2 – ( – 2 ) 2 + 4 ] =<br />

= (–2) – 2 3 . + ( 2 –. 2 [ )–2 2 –. [(–3)– 4 2 . – 3 2 4 –. (–1)( – 2 3 ) + 2 + 2 2 4 ]] =<br />

= – 2 . ( – 2 ) 2 – [ – 4 . 9 – (+ 4 ) + 4 ] =<br />

= (–2) 3 + 2 . [ –2 . 9 – 4 . (–1) + 4 ] =<br />

Nur zur Ansicht<br />

= – 2 . ( – 2 ) 2 – [ – 4 . 9 – 1.(+ 4 ) + 4 ] =<br />

=<br />

=<br />

(–2)<br />

– 2 3 .<br />

+<br />

( –<br />

2<br />

2<br />

. [<br />

) 2 –<br />

–18<br />

[ – 36<br />

+<br />

–<br />

4<br />

4<br />

+<br />

+ 4<br />

]<br />

] =<br />

= – 2<br />

= (–2) 3 . ( – 2 ) 2 – [ – 36 ] =<br />

+ 2 . [ –10 ] =<br />

= – 2 . 4 – [ – 36 ] =<br />

= –8 + 2 . [ –10 ] =<br />

= – 8 – [ – 36 ] =<br />

8 <br />

4<br />

8<br />

4<br />

8<br />

4<br />

2<br />

2<br />

Laut Vorrangregeln müssen Klammern zuerst berücksichtigt werden.<br />

In der runden (innersten) Klammer können wir nichts rechnen. Diese<br />

Klammer ist zu quadrieren (Hochrechnung), wie auch 3 2 , was vor allen<br />

anderen Rechenoperationen in der eckigen Klammer Vorrang hat.<br />

Es folgt die Punktrechnung in der eckigen Klammer,<br />

Beachte, dass das Vorzeichen – vor der runden Klammer eigentlich<br />

die Multiplikation mit – 1 meint.<br />

Das bedeutet:<br />

Jetzt folgt die Strichrechnung in der eckigen Klammer.<br />

In der eckigen Klammer steht nur noch eine Zahl. Wir könnten also die<br />

eckige Klammer weglassen. Da aber zwei Rechenzeichen<br />

( das Minus vor der eckigen Klammer und das Minus vor 36 )<br />

nicht unmittelbar aufeinander folgen dürfen, müssen wir die Klammer<br />

stehen lassen.<br />

Nun ist die Hochrechnung außerhalb der eckigen Klammer an der Reihe,<br />

gefolgt von der Punktrechnung.<br />

Abschnitt I, Kapitel 2.2.3., Seite 72<br />

= –8<br />

manfred.ambach 21 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

= – 8 – 1 . [ – 36 ] =<br />

= – 8 + 36 =<br />

= 28<br />

Noch weitere Beispiele:<br />

–2 . +3 . ( – 4 ) = + 24 = 24<br />

– ⋅ – = +<br />

(–2) 2 = (–2) . (–2) = + 4 = 4<br />

(–2) 3 = (–2) . (–2) . (–2) = – 8<br />

Richtig! Doch muss dabei die sog. Basis ( Grundzahl ) negativ sein!<br />

2 3 = (+2) 3 = + 8 = 8<br />

Kann es sein, dass bei gerader<br />

Hochzahl das Ergebnis positiv ist,<br />

während eine ungerade Hochzahl ein<br />

negatives Resultat zur Folge hat?<br />

Wie lösen wir jetzt die eckige Klammer auf?<br />

Das Minus vor der Klammer ist eigentlich das<br />

Vorzeichen der Zahl 1, mit der wir uns die Klammer<br />

multipliziert vorstellen können<br />

Das bedeutet:<br />

Der erste Faktor – 2 ist negativ. Der zweite, +3 , ist positiv.<br />

– mal + ist – und<br />

– mal – ( von – 4 ) ist schließlich +<br />

Zuletzt berücksichtigen wir noch die Strichrechnung.<br />

Abschnitt I, Kapitel 2.2.3., Seite 72<br />

Nur zur Ansicht<br />

Ist die Basis positiv, ist das Ergebnis immer positiv, gleich ob die Hochzahl gerade oder ungerade ist!<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 3<br />

∞ − 1 = ∞ behaupte ich einmal.<br />

Fortsetzung S 38<br />

manfred.ambach 22 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.2.4. Runden von Zahlen<br />

Wir betrachten das Kaufmännische Runden<br />

Beispiel:<br />

Die Zahl 6,2379 soll auf zwei Nachkommastellen gerundet werden.<br />

Beispiele:<br />

6,2379 ≈ 6,24<br />

Runde die folgenden Zahlen auf zwei Nachkommastellen:<br />

16,0329 ≈<br />

16,0351 ≈<br />

16,03<br />

...............................................<br />

16,04<br />

...............................................<br />

Nur zur Ansicht<br />

8,003 ≈<br />

1,0081 ≈<br />

0,0002 ≈<br />

Wir betrachten die nächstfolgende Dezimalstelle.<br />

In unserem Beispiel die dritte, da wir auf zwei Stellen nach dem Komma runden wollen.<br />

Steht an dieser Stelle die Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4, dann bleibt die Ziffer, auf die gerundet werden soll,<br />

unverändert.<br />

Steht an dieser Stelle die Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9, dann wird die Ziffer, auf die gerundet werden soll,<br />

um 1 erhöht.<br />

8,00<br />

...............................................<br />

1,01<br />

...............................................<br />

0,00<br />

...............................................<br />

4,997 ≈<br />

5,00<br />

...............................................<br />

manfred.ambach 23 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.2.5. Rechnen mit Casio<br />

Wollen wir uns zunächst einmal mit den grundlegenden<br />

Bedienungselementen unseres Rechners auseinandersetzen.<br />

Dieser Taschenrechner zeichnet sich einerseits durch einfache Bedienung<br />

aus. Außerdem entspricht die Darstellung am Display in aller Regel der<br />

handschriftlichen Aufzeichnung.<br />

Das Einschalten des Rechners erfolgt über die Taste<br />

( 1. Reihe, ganz rechts)<br />

Für die Anfangs-Einstellung betätigen wir die Tasten<br />

und<br />

( 1. Reihe, ganz links )<br />

Nur zur Ansicht<br />

Es erscheint das abgebildete Befehlsfenster.<br />

Jetzt die<br />

gedrückt, und folgendes Befehlsfenster erscheint:<br />

manfred.ambach 24 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Da wir die Setup – Daten zurücksetzen wollen,<br />

betätigen wir die Taste<br />

Nun noch betätigt ( 6. Reihe, ganz rechts )<br />

Das Display erscheint in der links abgebildeten Form.<br />

Auf diese Weise erfolgt auch das Zurücksetzen , wenn<br />

sich durch die Solarzelle die Einstellungen verändert haben<br />

sollten.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Bemerkung: Das M in der obigen Zeile muss nicht unbedingt angezeigt sein.<br />

Ausschalten des Taschenrechners:<br />

und<br />

manfred.ambach 25 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Beispiel:<br />

Ermitteln wir mit Hilfe des Rechners das Ergebnis von 4 . 5 – 3 . 2 3 =<br />

Wir geben ein:<br />

Zunächst geben wir die Ziffer 4<br />

ein, gefolgt vom<br />

Mal-Zeichen<br />

( 3. Reihe von unten,<br />

2. Taste rechts ).<br />

Jetzt Minus<br />

( 2. Reihe von<br />

unten, ganz<br />

rechts )<br />

gedrückt.<br />

Nun die Ziffer 3, das<br />

Mal-Zeichen und die Ziffer 2<br />

betätigt.<br />

Am Display erscheint die Rechnung in folgender Form:<br />

Vor jeder neuen Rechnung die<br />

Eingaben zu löschen.<br />

Beispiel:<br />

2 3 +5 =<br />

–<br />

Die Hoch-<br />

Taste ist in<br />

der 3.<br />

Reihe von<br />

oben, 3.<br />

Taste von<br />

rechts.<br />

Jetzt noch die<br />

Ziffer 3 gedrückt<br />

und zuletzt das<br />

(ENTER)<br />

- Zeichen<br />

(unterste Reihe, rechts)<br />

betätigt.<br />

In der zweiten Zeile des Displays erscheint das<br />

Ergebnis rechts.<br />

-Taste betätigen ( 4. Reihe von unten, ganz rechts ), um alle alten<br />

Nur zur Ansicht<br />

Nach der Hochzahl 3 muss die Replay–Taste<br />

( oben Mitte ) betätigt werden, sodass der blinkende<br />

Cursor im Display nach rechts unten wandert. Ansonsten würden wir 2 3+5 statt 2 3 + 5 rechnen!<br />

manfred.ambach 26 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Die Rechnung am Display:<br />

Auch Brüche lassen sich leicht berechnen.<br />

Dafür steht die Bruchtaste<br />

( 3. Reihe von oben, ganz links ) zur Verfügung.<br />

Soll ein Bruch eingegeben werden, so ist zuerst die Bruchtaste zu aktivieren. Am Display erscheint folgende Form:<br />

Angenommen, wir wollen den Bruch 3<br />

4<br />

eingeben.<br />

Zuerst die Bruchtaste betätigt, dann die Zahl eingeben, die Cursor-Taste betätigen<br />

und danach die Zahl eingeben. Schließlich noch auf drücken.<br />

Auf dem Display erscheint die abgebildete Eingabe und das dargestellte<br />

Resultat.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Bemerkung: Unser Taschenrechner stellt Ergebnisse, wenn irgend möglich,<br />

immer als Brüche dar. Will man das Ergebnis in Dezimalform,<br />

dann ist die<br />

- Taste ( 5. Reihe von unten, 2. von rechts ) zu drücken.<br />

manfred.ambach 27 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Wir könnten den Taschenrechner auch so einstellen, dass das Resultat sofort in Dezimalform erscheint, doch<br />

gehen damit alle Vorteile, die der Casio bei Eingabe und Rechnung bietet, verloren.<br />

Beispiel:<br />

Berechnen wir jetzt<br />

3 5 1<br />

<br />

4 8 2<br />

Schriebe man ohne Betätigung des Cursors, so<br />

könnten z.B. nebenstehende Eingaben entstehen.<br />

Wir werden manchmal auch solche Darstellungen<br />

benötigen, hier aber nicht.<br />

Wir drücken die Bruchtaste (3. Reihe von oben, links )<br />

und am Display erscheint das Bruch–Symbol.<br />

Jetzt geben wir die Brüche ein und positionieren mit<br />

Hilfe der -Taste ( ganz oben Mitte )<br />

die Zahlen an ihrer richtigen Stelle.<br />

Abschließend die ENTER-Taste ( ganz unten rechts )<br />

gedrückt und das Ergebnis erscheint in Bruchform.<br />

Die Ergebnisse erscheinen immer optimal vereinfacht in Bruchform, wenn<br />

irgend möglich.<br />

Für die Schul-Mathematik ist diese Darstellungsform tendenziell besser.<br />

Sind die Ergebnisse in Dezimalschreibweise erwünscht, braucht nur die<br />

Nur zur Ansicht<br />

-Taste ( 5. Reihe von oben , 2. von rechts ) gedrückt werden.<br />

In unserem Fall erscheint dann das Resultat als 0.875<br />

manfred.ambach 28 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Was macht man, wenn eine falsche Ziffer eingegeben wurde?<br />

Beispiel:<br />

Wir wollten die Zahl 604 eingeben und haben stattdessen 614 getippt.<br />

Der Cursor blinkt immer rechts der zuletzt eingegebenen Ziffer.<br />

Mit der Replay-Taste<br />

der Ziffer, die wir löschen wollen.<br />

In unserem Fall rechts vor die Ziffer 1.<br />

Jetzt drücken wir die LÖSCHEN – Taste<br />

2. Taste von rechts),<br />

sodass die Ziffer 1 verschwindet . . .<br />

setzen wir den Cursor rechts<br />

(6. Reihe von oben,<br />

Nur zur Ansicht<br />

. . . und fügen die gewünschte Ziffer ein.<br />

manfred.ambach 29 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Wie speichern wir Zahlen auf dem Taschenrechner ?<br />

Betrachten wir dafür zunächst die Tastatur des Rechners:<br />

Betrachten wir unser letztes Beispiel:<br />

7<br />

Das Ergebnis lautet .<br />

8<br />

In der unteren Reihe interessiert die<br />

Taste .<br />

(links).<br />

STO ( store ) . . . speichern<br />

RCL ( recall ) . . . zurückrufen<br />

Wollen wir das Resultat in Speicher A legen, betätigen wir<br />

folgende Tastenkombination:<br />

In der oberen Reihe sehen wir Tasten,<br />

über denen die Buchstaben<br />

A B C D E F stehen.<br />

Das sind die sechs Speicherplätze<br />

des TR und werden ohne<br />

– Taste betätigt.<br />

Nur zur Ansicht<br />

und am Display scheint rechts stehendes Bild auf.<br />

Ans<br />

A bedeutet, die Zahl ist auf Platz A gespeichert.<br />

Ans bedeutet Ansicht<br />

manfred.ambach 30 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Wenn eine Zahl in der ersten Zeile des Displays steht und gespeichert wird:<br />

Wollen wir den gespeicherten Wert zurückrufen, so drücken wir<br />

und am Display tritt der gespeicherte Wert auf.<br />

Noch drei Bemerkungen:<br />

<br />

Der Rechner verfügt nur über runde Klammern<br />

Auch hier betätigen wir die Tastenkombination<br />

so wir die Zahl auch in A speichern wollen.<br />

Jetzt erscheint am Display das links dargestellte Bild.<br />

Auch das bedeutet, die Zahl 7 ist auf Platz A<br />

8<br />

gespeichert.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Hochrechnung wird mit der Taste ( 3. Reihe von oben, 3. von rechts ) bewerkstelligt<br />

Bsp.: 2 3 : 2 3 8.<br />

(5. Reihe von oben, Mitte ).<br />

Die Komma-Taste<br />

Punkt, wie sonst bei Taschenrechnern üblich.<br />

( unterste Reihe, 2. von links ) besitzt als Symbol einen Beistrich und keinen<br />

manfred.ambach 31 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Beispiel<br />

Geben wir die Zahl 1 000 000 000 000 000 ein.<br />

Diese Form nennt man normierte Fließkomma- oder Gleitkomma-Darstellung und wird uns in Kapitel 2.2.6., S 75 f<br />

beschäftigen.<br />

Rechnen wir folgendes Beispiel:<br />

4 . 10 8 : 2 . 10 6<br />

Verwende die Taste<br />

Als Ergebnis muss 200 erscheinen.<br />

Beispiel: Mordsmäßig<br />

(ganz unten, Mitte)<br />

Im Jahr 2014 wurden in Wien 9 Morde begangen, im Jahr 2015 waren es 20.<br />

– Ermittle die absolute Änderung(srate) = neuer Wert – alter Wert : 20 – 9 = 11<br />

Die Zahl der Morde veränderte (erhöhte) sich von 2014 auf 2015 um 11.<br />

Nur zur Ansicht<br />

– Ermittle die relative Änderung(srate) =<br />

20 – 9<br />

9<br />

= 1,22 = 122,22 %<br />

Wir geben die Zahl ohne Abstände ein.<br />

betätigt und die Zahl erscheint<br />

in der Form 1 x I0 15 .<br />

neuer Wert − alter Wert<br />

alter Wert<br />

Die Zahl der Morde veränderte (erhöhte) sich von 2014 auf 2015 um 122,22 %.<br />

relativ bedeutet bezüglich, hier also die Anzahl der Morde 2015 bezogen auf die frühere Menge, also die Anzahl<br />

der Morde 2014.<br />

bezogen auf (bezüglich, relativ) = dividieren<br />

manfred.ambach 32 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.3. Prozent– und Promillrechnung<br />

1.3.1. Prozentrechnung<br />

Das Wort Prozent kommt aus dem Lateinischen.<br />

In diesem Wort steckt die Zahl 100 ( lateinisch centum ).<br />

Z.B. wird ein Hundertstel Euro Cent genannt.<br />

Frei übersetzt bedeutet das Wort Prozent : durch 100.<br />

1 % =<br />

50 % =<br />

1<br />

100<br />

100 % = 100<br />

50<br />

= 1<br />

100 2<br />

100<br />

von einem Ganzen<br />

von einem Ganzen<br />

= 1 . . . entspricht dem Ganzen<br />

Das Ganze ( die Grundmenge, die ursprüngliche Menge, die Vergleichsbasis ) entspricht 100 %<br />

Beispiel:<br />

Ist 1 % immer weniger als 100 %?<br />

Vom gleichen Ganzen ja, denn 1 % ist nur der hundertste Teil<br />

des Ganzen, während 100 % das Ganze darstellt.<br />

Doch: 100 % aller Österreicher sind 8,4 Mio. Menschen,<br />

1<br />

1 % aller Chinesen sind von 1, 3 Mrd. = 13 Mio. Menschen<br />

100<br />

Nur zur Ansicht<br />

Im Jahr 2012 wurden Pensionen bis zu einer Brutto-Höhe von 3 300 Euro<br />

um 2,7 % erhöht.<br />

Jemand erhielt bisher monatlich 1 018 Euro brutto Pension.<br />

– Bestimme, wie viel Euro die Erhöhung ausmacht.<br />

manfred.ambach 33 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

100 % entspricht der ursprünglichen Brutto-Pension von € 1 018,-<br />

Davon wollen wir 2,7 % bestimmen.<br />

100 % : 100 %<br />

= 1 %<br />

1 % . 2, 7 % = 2,7 %<br />

100 % . . . . . . . € 1 018,-<br />

1 %<br />

2,7 % . . . . . . . x<br />

x =<br />

1 018 . 2,7<br />

100<br />

Die Brutto-Pensionserhöhung macht 27,49 Euro aus.<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Schnäppchenjagd<br />

Bild: Deutsche Wirtschaft<br />

= 27,486<br />

: 100 %<br />

. 2, 7 %<br />

Der Preis, den wir Konsumenten für ein T-Shirt zahlen, setzt sich aus<br />

folgenden Faktoren zusammen:<br />

Nur zur Ansicht<br />

Ein T-Shirt kostet € 4,99.<br />

Quelle: Heute-Journal, 26.04.2013<br />

– Berechnen Sie die absoluten Anteile der einzelnen Faktoren.<br />

manfred.ambach 34 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Siehe auch S 32.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €<br />

50 % . . . . . . . . . . . . . . x €<br />

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €<br />

1,5 % . . . . . . . . . . . . . . x €<br />

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €<br />

12,5 % . . . . . . . . . . . . . . x €<br />

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €<br />

25 % . . . . . . . . . . . . . . x €<br />

100 % . . . . . . . . . . . 4,99 €<br />

11 % . . . . . . . . . . . . . . x €<br />

absolute Anteile … die Anteile in Euro (in diesem Beispiel)<br />

relative Anteile … die Anteile in Prozent<br />

Sollten die Arbeitsbedingungen, wie Lärm, Luft und Brandschutz verbessert werden, bedeutete das eine<br />

Erhöhung der Herstellungskosten um 50 % .<br />

– Berechne, um wie viel sich dadurch der Verkaufspreis erhöhte.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

x =<br />

x =<br />

x =<br />

x =<br />

x =<br />

4,99 ⋅ 50<br />

100<br />

4,99 ⋅ 1,5<br />

100<br />

4,99 ⋅ 12,5<br />

100<br />

4,99 ⋅ 25<br />

100<br />

= 2,50 €<br />

= 0,07 €<br />

= 0,62 €<br />

= 1,25 €<br />

4,99 ⋅ 11<br />

= 0,55 €<br />

100<br />

Ursprüngliche Herstellungskosten: 0,62 Euro 150% von 0,62 = 150<br />

⋅ 0,62 = 1,5 ⋅ 0,62 = 0,93<br />

Der Verkaufspreis erhöhte sich dadurch um 0,93 − 0,62 = 0,31 Euro.<br />

100<br />

manfred.ambach 35 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

a) In Österreich sind jährlich etwa 60 000<br />

SchifahrerInnen von einem Schiunfall<br />

betroffen.<br />

Die Grafik zeigt die prozentuelle Verteilung<br />

(prozentuellen Anteile) der verletzten<br />

Körperteile.<br />

– Ermitteln Sie, um wievielmal öfter Knie- als<br />

Schädelverletzungen auftreten.<br />

(Ermittle den relativen Anteil der Knie-<br />

Verletzungen bezüglich der Schädel-<br />

Verletzungen)<br />

Nur zur Ansicht<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Grafik: BMB<br />

36 %<br />

12,7 %<br />

= 2,83<br />

Knieverletzungen treten 2,83-mal öfter auf als Schädelverletzungen<br />

manfred.ambach 36 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

– Ermitteln Sie, um wie viel Prozent der Anteil an Schulterverletzungen höher ist als der Anteil der<br />

Verletzungen des Handgelenks.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

. . . Anteil Schulterverletzungen höher als Verletzungen des Handgelenks<br />

100 % . . . . . . . . . . . 8,7 %<br />

x % . . . . . . . . . . . . . 19,3 %<br />

x =<br />

100 ⋅ 19,3<br />

8,7<br />

= 221,84 %<br />

Der Anteil der Schulterverletzungen ist um 121,84 % höher als jener der Handverletzungen.<br />

Warum ist der Anteil der<br />

Schulter-Verletzungen nicht<br />

um 221,84 % höher als der<br />

der Hand-verletzungen?<br />

Vergleichsbasis = 100 %<br />

Da der Anteil der Hand-Verletzungen bereits 100 % beträgt und der<br />

Anteil der Schulter-Verletzungen 221,84 % , ist der Anteil der<br />

Schulter-Verletzungen um 121,84 % höher als jener der<br />

Hand-Verletzungen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 37 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

b) Laut Statistik liegt die Wahrscheinlichkeit, sich bei einem einwöchigen Schiurlaub zu verletzen, bei 0,8 %.<br />

Circa 30 % der Verletzungen sind so schwer, dass der Einsatz eines Notarztes erforderlich ist.<br />

In einem Schigebiet sind wöchentlich ca. 20 000 Menschen auf den Pisten unterwegs.<br />

– Berechnen Sie, mit wie vielen Notarzt-Einsätzen hier pro Woche zu rechnen ist.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

0,8 % von 20 000 =<br />

30 % von den Verletzten =<br />

0,8<br />

⋅ 20 000 = 0,008 ⋅ 20 000 = 160 verletzen sich.<br />

100<br />

Es ist mit 48 Notarzt-Einsätzen pro Woche zu rechnen.<br />

Beachte:<br />

30<br />

⋅ 160 = 0,3 ⋅ 160 = 48 benötigen einen Notarzt.<br />

100<br />

Neue Änderung bedeutet neue Grundmenge (neue 100 %)<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 4<br />

Nehmen wir an, z wäre eine beliebige, auch sehr, sehr große, jedoch endliche Zahl.<br />

Dann gilt doch, z + 1 ist wiederum eine endliche Zahl.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Gälte hingegen z + 1 = ∞ so könnten wir folgern:<br />

z + 1 = ∞ | – 1<br />

z + 1 − 1 = ∞ − 1<br />

z = ∞ − 1<br />

Das bedeutete "unendlich" ist gerade mal um eins größer als eine sehr, sehr große, aber endliche Zahl.<br />

Das kann doch nicht sein, denn dann hätten wir das "Ende" von unendlich (= nicht endend) gefunden!<br />

Fortsetzung auf S 42<br />

manfred.ambach 38 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

U . . . ursprünglicher Wert<br />

E . . . Wert nach dem ersten Jahr<br />

Z . . . Wert nach dem zweiten Jahr<br />

E = 115 % von U = 115<br />

⋅ U = 1, 15 ⋅ U<br />

100<br />

Der Wert einer goldenen Ein-DM-Münze ist in einem Jahr um 15 % gestiegen. Im<br />

folgenden Jahr ist ihr Wert nochmals um 10 % gestiegen.<br />

„ Dann ist der Wert einer goldenen Ein-DM-Münze in diesen beiden Jahren<br />

um insgesamt 25 % gestiegen. “<br />

– Begründen Sie, warum die Aussage über die Wertentwicklung falsch ist.<br />

Z = 110 % von E = 110<br />

126,5<br />

⋅ E = 1, 10 ⋅ E = 1, 10 ⋅ 1, 15 ⋅ U = 1, 265 ⋅ U = ⋅ U = 126, 5 % von U<br />

100<br />

Nur zur Ansicht<br />

100<br />

Die Aussage ist falsch, weil sich der Wert einer goldenen Ein-DM-Münze in diesen zwei Jahren um 26,5 % erhöht<br />

hat.<br />

Das Signalwort begründen bedeutet:<br />

1) Eine Rechnung (bei gegebenen Zahlen) oder einen Rechengang (wenn keine Zahlen gegeben) anführen.<br />

2) Einen begründenden Satz schreiben: Die Behauptung (Aussage) ist richtig / falsch, weil . . .<br />

manfred.ambach 39 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.3.2. Promillrechnung<br />

Im Wort Promill steckt die Zahl 1 000.<br />

mille (lateinisch) : 1 000 →<br />

Promill = durch 1 000<br />

1 ‰ = 1 Promill =<br />

1 000 ‰ =<br />

durch 1 000<br />

Nur zur Ansicht<br />

1 000<br />

1 000<br />

1<br />

1 000<br />

von einem Ganzen<br />

. . . entspricht dem Ganzen<br />

Das Ganze ( die Grundmenge, die ursprüngliche Menge, die Vergleichsbasis ) entspricht 1 000 ‰<br />

– Beispiel<br />

Beispiel, wie es bei der Aufnahmeprüfung in Medizin, Ökonomie oder den Humanwissenschaften an Unis in der Schweiz, in Deutschland<br />

und Österreich vorkommen kann.<br />

Nach einem Verkehrsunfall wird bei einer beteiligten Person eine Alkoholkontrolle<br />

vorgenommen. Die Messung ergibt einen Blut-Alkoholgehalt von 0,85 ‰.<br />

– Berechne, wie viel Milliliter (ml) reinen Alkohol diese Person im Blut hat, wenn von<br />

einer Blutmenge von 5,8 Litern ausgegangen werden kann.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

5,8 ⋅ 0,85<br />

1 000 ‰ . . . . . . . . . . . 5,8 l<br />

x = = 0,00493 l<br />

0,85 ‰ . . . . . . . . . . . . . x l<br />

1 000<br />

0,00493 l = 4,93 ml<br />

1 l = 1 000 ml<br />

⋅ 1 000<br />

Die Person hat 4,93 ml reinen Alkohol im Blut.<br />

manfred.ambach 40 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.4. Maße<br />

Zunächst einmal einige Größenordnungen, die allgemein gelten:<br />

Name Bezeichnung Größenordnung<br />

Tera T 10 12 = 1 000 000 000 000<br />

Giga G 10 9 = 1 000 000 000<br />

Mega M 10 6 = 1 000 000<br />

Kilo K 10 3 = 1 000<br />

Ein(s) 10 0 = 1<br />

milli m 10 – 3 = 0,001<br />

micro μ 10 – 6 = 0,000 001<br />

nano n 10 – 9 = 0,000 000 001<br />

: 1 000 . 1 000<br />

Z.B.: 1 Gigabite = 1 Gbite = 1 000 000 000 Bites ( Speicherkapazität von Computern )<br />

1 Megawatt = 1 MW = 1 000 000 W(att) ( Elektrische Leistung )<br />

1.4.1. Längenmaße<br />

1 km = 1 000 m<br />

1 m = 10 dm<br />

Nur zur Ansicht<br />

1 dm = 10 cm<br />

1 cm = 10 mm<br />

Die Umwandlungszahl bei Längenmaßen ist 10 . Ausgenommen bei Kilometer kilo (griechisch) : 1 000<br />

manfred.ambach 41 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Beispiel:<br />

Der Mond umkreist die Erde in einem Abstand von 385 000 km.<br />

Angenommen, man möchte davon ein Modell im Maßstab<br />

1 ∶ 75 000 000 bauen.<br />

– Ermittle, wie groß der Abstand Erde – Mond in diesem Modell ist.<br />

Die Signalwörter berechnen, ermitteln, bestimmen bedeuten:<br />

Eine Rechnung durchführen.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

385 000 km = 385 000 000 m<br />

385 000 000 m : 75 000 000 = 5,13 m<br />

In diesem Modell beträgt der Abstand Erde – Mond 5,13 m.<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 5<br />

Wenn also ∞ − 1 keine endliche Zahl ergeben kann, so muss<br />

∞ − 1 = ∞ sein, wie auf S 15 behauptet.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Wäre nun ∞ eine Zahl, wie wir sie kennen, so müssten auch für ∞ die Rechengesetze gelten<br />

und wir erhielten<br />

∞ − 1 = ∞ | + 1<br />

∞ − 1 + 1 = ∞ + 1 |– ∞<br />

−1 + 1 = +1<br />

0 = +1<br />

Das ist doch offensichtlich nicht richtig. Also kann ∞ keine Zahl sein<br />

Fortsetzung auf S 44<br />

manfred.ambach 42 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.4.2. Flächenmaße<br />

Die Umwandlungszahl bei Flächenmaßen ist 100.<br />

Beispiel:<br />

1 km 2 = 100 ha<br />

1 ha = 100 a<br />

1 a = 100 m 2<br />

1 m 2 = 100 dm 2<br />

1 dm 2 = 100 cm 2<br />

1 cm 2 = 100 mm 2<br />

Nur zur Ansicht<br />

Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:BurjKhalifaHeight.de.svg&filetimestamp=20100816072853<br />

Der derzeit höchste Wolkenkratzer, Burj<br />

[ burdsch ] Chalifa, steht in Dubai.<br />

Das Gebäude<br />

beherbergt 45,43 ha Geschoßfläche,<br />

in denen 900 Wohnungen vorgesehen<br />

sind.<br />

– Berechne die durchschnittliche Größe einer Wohnung in m 2 .<br />

manfred.ambach 43 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

45,43 ha = 4 543 a = 454 300 m 2<br />

1 ha = 100 a 1 a = 100 m 2<br />

. 100 . 100<br />

454 300 m 2 ∶ 900 = 504,78 m 2<br />

Die durchschnittliche Wohnungsgröße beträgt 504,78 m 2 .<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 6<br />

Was hat denn dann ∞ für Eigenschaften, wenn nicht jene von Zahlen?<br />

Auch für alle anderen Maße eignen sich solche Karteikarten!<br />

Obige Tabelle ist nach einer Anregung von Teilnehmerin Theresa ANDEXER gestaltet,<br />

die es von ihrer Volksschullehrerin hat.<br />

Funktioniert entsprechend auch bei den Längen- und Raummaßen.<br />

Schon im antiken Griechenland beschäftigten sich Menschen damit, den Begriff unendlich mathematisch zu fassen.<br />

ZENO von Elea (~ 490 – ~430 vor Christi Geburt), ein Junge vom Land, stellte folgendes Paradoxon<br />

(griechisch: scheinbar oder tatsächlich unauflösbarer Widerspruch) auf:<br />

Fortsetzung S 90<br />

manfred.ambach 44 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.4.3. Raum- und Hohlmaße<br />

1.4.3.1. Raummaße<br />

Die Umwandlungszahl bei den Raummaßen ist 1 000.<br />

1.4.3.2. Hohlmaße<br />

Für Flüssigkeiten werden sog. Hohlmaße verwendet:<br />

1 m 3 = 1 000 dm 3<br />

1 dm 3 = 1 000 cm 3<br />

1 cm 3 = 1 000 mm 3<br />

1 Hektoliter = 1 hl = 100 l<br />

1 Liter = 1 l = 10 dl<br />

1 Deziliter = 1 dl = 10 cl<br />

1 Centiliter = 1 cl = 10 ml<br />

Bemerkungen: Die Einheit Liter wird in der Folge ausgeschrieben oder mit L abgekürzt.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Der Zusammenhang zwischen Raum- und Hohlmaßen:<br />

1Liter = 1dm 3<br />

manfred.ambach 45 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Beispiel:<br />

Wie viel hl sind 22 500 cm 3 ?<br />

Beispiel:<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

22 500 cm 3 = 22,50 dm 3 = 22,50 l = 0,225 hl<br />

1 000 cm 3 = 1 dm 3 1 dm 3 = 1 l 100 l = 1 hl<br />

1 000 : 1 000 = 1 100 : 100 = 1<br />

Um für die kalte Jahreszeit gewappnet zu sein, bestellt Familie Müller 20 hl Heizöl.<br />

Nach der Füllung misst Herr Müller nach und stellt fest, dass der Ölspiegel um knapp<br />

40 cm gestiegen ist. Der Hausherr ist skeptisch, ob die vereinbarte Menge auch eingefüllt<br />

wurde.<br />

Wie kann Herr Müller überprüfen, ob die georderten 20 hl Öl auch tatsächlich im Tank<br />

sind, wenn er weiß, dass der zylindrische Öltank einen Durchmesser von 2,6 m besitzt?<br />

Hektoliter sind ein Maß für ein Volumen.<br />

Deshalb nehmen wir die Volumsformel.<br />

Da der Tank die Form eines Zylinders besitzt:<br />

Wir kennen<br />

den Radius r = d<br />

V Zylinder = r 2 ⋅ π ⋅ h<br />

= 2,6 = 1,3 m = 13 dm<br />

2 2<br />

und die Höhe h ≈ 40 cm = 4 dm<br />

Nur zur Ansicht<br />

V = r 2 ⋅ π ⋅ h → V = 13 2 ⋅ π ⋅ 4 → V = 2 123,72 dm 3 = 2 123,72 Liter = 21,24 hl<br />

Bei einer Höhe von 40 cm wären 21,24 hl in den Tank geflossen. Demnach werden bei einer Höhe von knapp<br />

40 cm sicherlich 20 hl in den Tank geflossen sein.<br />

1 km³ = 1 000 000 000 m³<br />

manfred.ambach 46 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.4.4. Masse<br />

Sir Isaac NEWTON<br />

( 1642 – 1727 )<br />

Albert EINSTEIN<br />

( 1879 – 1955 )<br />

Masse, dieser alltägliche Begriff, doch mit den tiefsten Erkenntnissen der Naturforschung<br />

verbunden, war Jahrhunderte nicht in der für letzte Einsichten nötigen Klarheit zu beschreiben.<br />

Erst Sir Isaac NEWTON war es gegönnt, grundlegende Einsichten KOPERNIKUS’, KEPLERs und anderer<br />

Großgeister der Physik zu einer umfassenden Theorie zu vereinen, mit der alle physikalischen<br />

Phänomene der erfahrbaren Welt ein für allemal eine schlüssige Erklärung fanden.<br />

NEWTON stellte fest, dass die Ursache jeder Bewegung eine Kraft ist und sich jede Kraft F als<br />

Produkt aus der Masse m des bewegten Körpers und seiner Beschleunigung a darstellen lässt.<br />

F = m . a<br />

Mit seinem Konzept der Absolutheit von Raum und Zeit konnten nicht nur Kräfte richtig<br />

beschrieben, die auf kleinem Raum wirken, sondern es wurde damit auch die exakte Ortung von<br />

Himmelskörpern möglich. Eine Grundbedingung exakter Zeitmessung, auf der unsere<br />

Kommunikation und unser Wohlstand beruhen.<br />

Unsere heutige Technik, ja wesentliche Teile unserer Welt(en)sicht wäre ohne die NEWTONschen<br />

Prinzipien und Theorien nicht möglich.<br />

Doch bedurfte es eines bahnbrechenden Epochen-Genies wie Albert EINSTEIN, der NEWTONs<br />

Ansichten nur noch den Platz eines Spezialfalls in einer Fundamentaltheorie noch nicht gekannten<br />

Ausmaßes zuwies.<br />

Schon in seiner Speziellen Relativitätstheorie, die 1905 veröffentlicht wurde, widerlegt EINSTEIN<br />

das Modell der universellen Konstanz von Raum und Zeit und bewies drei Phänomene:<br />

o Bewegte Uhren gehen langsamer ( Zeitdehnung )<br />

o Bewegte Körper schrumpfen ( Längenverminderung )<br />

o Die Masse bewegter Körper wächst ( Massenzunahme )<br />

Wenn ich weiter als andere gesehen habe, dann nur deshalb,<br />

weil ich auf Schultern von Giganten stand.<br />

Sir Isaac NEWTON<br />

( 1642 – 1727 )<br />

Eine Konsequenz dieser Theorie ist folgendes Gedankenexperiment, Zwillingsparadoxon<br />

genannt:<br />

Einer der eineiigen Zwillinge verbleibt auf der Erde, der andere unternimmt eine Reise mit einem<br />

Raumschiff, das sich mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt. Als der Raumfahrer nach einem<br />

Jahr auf die Erde zurückkehrt, erscheint dem zurück gebliebenen Bruder der Reisende weniger<br />

gealtert als er selbst.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Erst in den 1950er Jahren konnte dieser Effekt mit einem Jagdbomber und Atomuhren<br />

experimentell nachgewiesen werden.<br />

Doch handelte es sich bei der 1905 veröffentlichten Theorie sozusagen um<br />

EINSTEINs Gesellenstück, dem noch das wahre Meisterwerk folgte:<br />

Die Allgemeine Relativitätstheorie, die Welt-Zeit in ein Vorher- und<br />

Nachher unterteilend*, wurde 1916 fertig formuliert und bewiesen. Darin<br />

wies EINSTEIN nach, dass Raum und Zeit eine Einheit bilden, die sich unter<br />

Einwirkung von Gravitation<br />

(Massenanziehung) verändert. Damit ließen sich nun auch bisher noch nicht<br />

erklärbare Erscheinungen, wie z.B. die Krümmung von Licht im Schwerefeld<br />

und damit z.B. Schwarze Löcher, begründen.<br />

* Sabine RÜCKERT in DIE ZEIT Nr.53, 19.12.2018<br />

manfred.ambach 47 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Literaturtipp: Jürgen NEFFE: Einstein – eine Biographie. ISBN: 3-499-61937-7<br />

Stephen HAWKING<br />

( 1942 – 2018 )<br />

Nach Veröffentlichung dieser Theorie gab es neben EINSTEIN nur zwei Physiker, die Ausmaße und<br />

Tiefe dieser Formulierungen verstanden. EINSTEIN erhielt 1922 den Nobelpreis auch nicht für die<br />

Relativitätstheorien, sondern für den sog. Photoelektrischen Effekt, in dem er Licht<br />

Quanteneigenschaften zumaß.<br />

Laut Stephen HAWKING begreifen bis heute ungefähr 10 000 Menschen EINSTEINs Allgemeine<br />

Relativitätstheorie.<br />

Der Astrophysiker Stephen HAWKING zeigte mathematisch, dass es den von EINSTEIN postulierten<br />

Urknall gegeben haben müsse. HAWKING wandte die Quantentheorie auf Schwarze Löcher an und<br />

konnte damit theoretisch zeigen, dass Schwarze Löcher nicht alles in ihrer Umgebung auf ewig<br />

verschlingen, sondern langsam „verdampfen“, also Strahlung (=Energie) wieder freigeben.<br />

HAWKING versuchte über Jahrzehnte, die Relativitätstheorie mit der Quantenphysik zu vereinen<br />

und auf diese Weise eine Art „Weltformel“ zu finden - in der Sprache der Physiker eine „Große<br />

Vereinheitlichte Theorie“, die sogenannte Quantengravitation.<br />

Stephen HAWKING war über drei Jahrzehnte Inhaber des renommierten Lucasischen Lehrstuhls für<br />

Mathematik an der Universität Cambridge. Denselben Lehrstuhl bekleidete bereits Sir Isaac<br />

NEWTON.<br />

Stephen HAWKING zählt zu den großen Naturwissenschaftlern der Welt. Er litt schon seit seiner<br />

Jugend an einer nervenbedingten Muskelschwunderkrankung und verstarb am 14. März 2018,<br />

dem Geburtstag Albert EINSTEINs. Die Asche HAWKINGs fand in der Westminster Abbey in der Nähe<br />

des Grabmals Sir Isaac NEWTONs und der englischen Monarchen ihre letzte Ruhestätte.<br />

Trotz der unbeschreiblichen Leistungen<br />

EINSTEINs sind auch seine Erkenntnisse<br />

noch nicht der Weisheit letzter Schluss.<br />

Seit Jahrzehnten arbeiten zahlreiche<br />

Physiker aus aller Welt an einem<br />

Megamodell, das die<br />

quantenmechanischen Modelle mit<br />

der Allgemeinen Relativitätstheorie zu<br />

einer einheitlichen Welttheorie, der<br />

Quantentheorie der Gravitation, kurz<br />

Quantengravitation, verbinden soll.<br />

Wenn dieses Vorhaben gelingt,<br />

könnten wir wirklich erfahren, wie<br />

wohl alles begann.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Nun aber zurück zu unseren mathematischen Dimensionen:<br />

Der größte Feind des Wissens ist nicht Unwissenheit,<br />

sondern die Illusion, wissend zu sein.<br />

Stephen HAWKING<br />

( 1942 – 2018 )<br />

Die Masse m eine Körpers bestimmt sich aus seinem Volumen V,<br />

multipliziert mit der sog. Dichte ρ ( rho: griechisches r ):<br />

Masse = Volumen x Dichte<br />

m = V . ρ<br />

manfred.ambach 48 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Unter der Dichte ρ ist nicht die Menge an Molekülen in einem bestimmten<br />

Volumen gemeint. Diese Sicht führt uns zur<br />

1Liter = 1dm 3<br />

AVOGADRO- bzw. LOSCHMIDTschen Zahl, deren Wert<br />

6,0221367 . 10 23 beträgt.<br />

Zum Vergleich: Eine Million ( 1 000 000 ) kann als 1 . 10 6 dargestellt werden.<br />

Die AVOGADRO-Zahl gibt die Zahl jener Moleküle an, die in 2,016 g Wasserstoff enthalten sind. Um<br />

sich eine Vorstellung von der Größe dieser Zahl zu machen: Mit einer solchen Anzahl Popcorns<br />

könnte man die gesamte USA 15 km hoch bedecken.<br />

Aus: Bill BRYSON: Eine kurze Geschichte von fast allem. ISBN: 978-3-442-46071-7<br />

1 kg<br />

Wasser mit einem Volumen von 1 Liter = 1 dm 3<br />

besitzt die Masse 1 kg.<br />

m = V . ρ ➝ 1 kg = 1 dm³ . 1<br />

Also muss Wasser die Dichte 1<br />

besitzen.<br />

Stoffe, deren Moleküle dichter als bei Wasser liegen, haben eine Dichte größer als 1, entsprechend haben<br />

lockerere Molekülanordnungen kleinere Dichten als Wasser.<br />

Hier die (relativen) Dichten einiger Stoffe: Stoff Dichte<br />

Wasser (rein) 1<br />

Luft 0,0012<br />

Fichte 0,47 – 0,74<br />

Fette 0,9 – 0,95<br />

Mensch 0,99 – 1,02<br />

Beton (trocken) 1,5 – 2,5<br />

Silber 10,5<br />

Gold 19,8<br />

Die gängigen Einheiten der Masse:<br />

1 t = 1 000 kg<br />

1 kg = 1 000 g<br />

Nur zur Ansicht<br />

kg<br />

dm<br />

3<br />

kg<br />

3<br />

dm<br />

1 dag = 10 g<br />

1 dag = 1 Dekagramm deka (griechisch): 10 Eine nur in Österreich übliche Einheit für Masse.<br />

manfred.ambach 49 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Alles Gold der Welt<br />

Korrekt ist kg die Einheit der Masse.<br />

Im Alltag sagen wir zu Masse häufig Gewicht.<br />

Ist zwar nicht dasselbe, jedoch für unseren<br />

Matheunterricht ist der Unterschied nicht von<br />

Bedeutung.<br />

Derzeit sind weltweit 177 200 Tonnen (t) pures (reines) Gold geschürft.<br />

kg<br />

Gold besitzt eine Dichte von ρ Gold = 19,8<br />

dm 3<br />

Angenommen, die gesamte Goldmenge würde zu einem Würfel gegossen.<br />

– Bestimmen Sie die Kantenlänge dieses Würfels in Meter (m).<br />

Tonne (t) ist eine Einheit der Masse. Wir benötigen demnach die Formel für die Masse.<br />

Masse = Volumen mal Dichte, als Formel: m = V ⋅ ρ<br />

Masse und Dichte kennen wir, also können wir mit dieser Formel das Volumen bestimmen:<br />

m = V ⋅ ρ | ∶ ρ<br />

m<br />

ρ = V<br />

Die Dichte beträgt ρ Gold = 19,8<br />

kg<br />

dm 3<br />

Damit die Masse entsprechend passt, müssen wir sie in kg verwandeln:<br />

177 200 t = 177 200 000 kg<br />

Warum wird hier immer<br />

von Masse gesprochen?<br />

Sind nicht kg usw.<br />

Einheiten für Gewicht?<br />

Nur zur Ansicht<br />

Masse und Dichte in die Formel eingesetzt:<br />

Für das Volumen des Würfels gilt:<br />

V = a 3<br />

V = a 3 | √ 3<br />

V = m 177 200 000 kg<br />

= = 8 949 494,95 dm<br />

ρ kg<br />

3<br />

19,8<br />

dm 3<br />

mit a als der Kantenlänge<br />

3<br />

√V<br />

= a<br />

3<br />

√8 949 494,95 dm 3<br />

Der Würfel besäße eine Kantenlänge von 20,76 m.<br />

= 207,62 dm = 20,76 m<br />

manfred.ambach 50 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1.4.5. Zeitmaße<br />

Der älteste Zeitmesser ist die Sonnenuhr, die schon vor ca. 5000 Jahren im alten Ägypten Verwendung fand. Um vom Licht der<br />

Sonne unabhängig zu sein, wurden Wasser- oder Öluhren anfertigt: Durch ein kleines Loch im Boden eines Behältnisses rann<br />

die Flüssigkeit regelmäßig in einen zweiten Behälter. Anhand des Flüssigkeitsstandes ließ sich die Zeit ablesen.<br />

Die SUMERER erstellten die im 3. Jahrtausend v. Chr. in Mesopotamien einen Kalender, um neben der Tages- auch die Jahreszeit<br />

angeben zu können. Sie teilten das Jahr in 12 Monate zu je 30 Tagen. Da das astronomische Jahr, also eine Umrundung der Erde<br />

um die Sonne, 365,25 Tage dauert, mussten immer wieder Korrekturen angebracht werden, ähnlich unserer Schaltjahre.<br />

Die alten Ägypter legten das Jahr mit 365 Tagen fest und unterteilten es in 12 Monate mit je drei Wochen zu 10 Tagen mit fünf<br />

Zusatztagen am Jahresende.<br />

Der römische Kalender stammt ursprünglich von den Griechen und orientiert sich am Mond. Da der Mond zur Umrundung<br />

der Erde 29,53 Tage benötigt, erhielten die Monate abwechselnd 29 und 30 Tage. In Abständen wurde der Mondkalender<br />

dem Sonnenjahr angepasst.<br />

Die Grundstruktur unseres heutigen Kalenders geht auf Julius CAESAR (100 – 44 v. Chr.) zurück. Das Jahr bestand nun aus<br />

12 Monaten mit abwechselnd 31 bzw. 30 Tagen. Der Februar hatte damit gewöhnlich 30 Tage, alle vier Jahre nur 29. Da<br />

CAESAR aus dem Hause der JULIER stammte, spricht man vom Julianischen Kalender.<br />

Der Monat Juli ist nach den JULIERN benannt, der Monat August nach Kaiser AUGUSTUS. Dieser wollte dem Geschlecht CAESARs<br />

gleichrangig erscheinen, und verlieh dem August auch 31 Tage. Somit erlangte der Februar seine 28 Tage.<br />

Die letzte kalendarische Reform geht auf Papst GREGOR XIII (1502 –<br />

1585) im Jahre 1582 zurück. Man spricht vom Gregorianischen<br />

Kalender. Alle vier Jahre wurde ein Jahr mit 366 Tagen geschaltet. Von<br />

den Jahrhundert-Jahren, wie 1600 oder 1700, nur jene, deren erste<br />

beiden Ziffern durch vier teilbar sind. So war zwar das Jahr 1600 ein<br />

Schaltjahr, da 16 durch vier teilbar ist, nicht aber die Jahre 1700, 1800<br />

oder 1900.<br />

Im antiken Rom begann man die Jahre mit der Gründung Roms (754 v.<br />

Chr.) zu zählen. Im Jahr 525 n. Chr. wurde Abt Dionysius EXUIGUUS von<br />

Papst JOHANNES I beauftragt, den genauen<br />

Ostertermin für das folgende Jahr zu bestimmen. Dabei orientierte er sich am Datum der Geburt Christi und machte dieses Jahr<br />

zum Jahr 1 unsere Zeitrechnung war geboren.<br />

Wie kurz unsere gewohnte Zeitordnung erst gültig ist, soll folgendes Beispiel zeigen:<br />

Als im Jahr 1887 die Gaisbergbahn eröffnet wurde (1928 eingestellt), wies man darauf hin, dass diese Bahn nach der Prager Zeit<br />

verkehrt. Zu dieser Zeit existierten weder Zeitzonen, noch eine einheitliche Zeitmessung. 1891 wurde die Mitteleuropäische<br />

Eisenbahnzeit eingeführt und erst 1893 die Mitteleuropäische Zeit, die zunächst nur in Österreich-Ungarn, dem Deutschen<br />

Kaiserreich und in der Schweiz galt.<br />

Einige Erläuterungen über die Zeit finden sich im Buch:<br />

Werner KINNEBROCK: Was macht die Zeit, wenn sie vergeht? Verlag C.H. Beck. ISBN: 9 783406 630422<br />

Einige der gängigen Zeitmaße:<br />

1 Jahr = 1 a ≈ 365 Tage<br />

Nur zur Ansicht<br />

1 Tag = 1 d = 24 h ( Stunden )<br />

1 h = 60 min ( Minuten )<br />

1 min = 60 s ( Sekunden )<br />

Bemerkungen: Jahr wird mit a abgekürzt: annus (lateinisch das Jahr )<br />

Tag wird mit d abgekürzt: dies ( lateinisch der Tag )<br />

Stunde wird mit h abgekürzt: hora ( lateinisch die Stunde )<br />

englisch: annual . . . jährlich<br />

englisch: day . . . . . . Tag<br />

englisch: hour . . . . . Stunde<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

1 Stunde besteht aus 60 Minuten und 1 Minute aus 60 Sekunden.<br />

Das gleiche gilt für Winkelmaße:<br />

1 Winkelgrad ( ° ) besteht aus 60 Winkel-Minuten ( ‘ ) und 1 Winkel-Minute aus 60 Winkel-Sekunden ( ‘‘ ).<br />

Deshalb kann man für die beschriebenen Zeit-Einheiten am Casio auch die entsprechende Winkel-Taste<br />

verwenden:<br />

(4. von oben, 2. von links)<br />

Beispiel: 3,26 h in h min s verwandeln: 3,26 3 o 15’ 36’’<br />

Das bedeutet, 3,26 h = 3 h 15 min 36 s<br />

Beim Lichtjahr ( La ) handelt es sich um keine Zeit- sondern Längeneinheit.<br />

1 La ist jene Länge, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Licht bewegt sich ( im Vakuum )<br />

mit ca. 300 000 km / sec. Das ergibt im Jahr eine Distanz von rund 9 500 000 000 000 km ( 9,5 Billionen km ).<br />

1 La ≈ 9 500 000 000 000 km = 9,5 . 10 12 km<br />

Zum Vergleich: Von der Sonne bis zur Erde benötigt Licht ungefähr 8 Minuten.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Unsere Sonne befindet sich ca. 35 000 Lichtjahre (La) vom Zentrum der Milchstraße entfernt und benötigt für eine<br />

kreisförmige Umrundung in etwa 250 Mio. Jahre.<br />

1 La = 9,5 Billionen km.<br />

– Bestimmen Sie die Geschwindigkeit in km/h, mit der die Sonne das Zentrum der Milchstraße umkreist.<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

I Zahlen & Maße<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Die Sonne bewegt sich entlang des Kreisumfangs U.<br />

Geschwindigkeit v = Weg<br />

Zeit<br />

= 2,089⋅1018 km<br />

250 000 000 Jahre<br />

U = 2 ⋅ r ⋅ π<br />

Der Radius r = 35 000 La = 3,325 ⋅ 10 17 km<br />

9,5 Billionen = 9 500 000 000 000 = 9,5 ⋅ 10 12<br />

35 000 ⋅ 9,5 ⋅ 10 12 = 3,325 ⋅ 10 17<br />

U = 2 ⋅ 3,325 ⋅ 10 17 ⋅ π = 2,089 ⋅ 10 18 km<br />

= 2,089⋅1018 km<br />

2,19⋅10 12 h<br />

1 a = 365 d = 8 760 h<br />

1 d = 24 h<br />

= 953 881,28 km/h<br />

Unsere Sonne bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 953 881,28 km/h um das Zentrum der Milchstraße.<br />

(Von wegen Fixstern, was ja bedeutet, der Stern bleibt fix, also an Ort und Stelle!)<br />

Bemerkung :<br />

Zahlen, wie 2,89 ⋅ 10 18 oder 2,19 ⋅ 10 12 sind in sogenannter normierter Fließ- oder Gleitkommadarstellung<br />

angegeben.<br />

Diese Darstellungsart ist für sehr große Zahlen oder Zahlen nahe null vonnöten, weil auch elektronische<br />

Rechenhilfen dann nicht mehr alle Ziffern anführen können.<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Ein Schi-Rennläufer schafft eine 3,2 km lange Piste in 2 Minuten und 15 Sekunden.<br />

Ein Hobby-Schifahrer fährt auf dieser Piste mit durchschnittlich 35 km/h.<br />

Beide fahren gleichzeitig los.<br />

Nur zur Ansicht<br />

– Ermitteln Sie, wie viel Meter der Hobby-Schifahrer noch zum Ziel hat, wenn der Schi-Rennläufer im Ziel<br />

einläuft.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

3,2 km<br />

Hobby-Schifahrer:<br />

35 km/h<br />

= 0,0914 h = 5 min 29,14 s 5 min 29,14 s − 2 min 15 s = 3 min 14,14 s<br />

35 km h = 35 000 m<br />

3 600 s<br />

= 9,72 m s<br />

3 min 14,14 s = 194,14 s 9,72m/s ⋅ 194,14 s = 1 887, 04 m<br />

manfred.ambach 53 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

II<br />

2. TERME<br />

2.1. Benennungen<br />

Beispiele für Terme:<br />

( 2 . 3 + 5 ) : 8<br />

– 4 x 2 y<br />

x . e x – 1<br />

ALGEBRA & GEOMETRIE<br />

Ein Term ist jeder sinnvolle mathematische Ausdruck, gleich, ob es sich um<br />

Zahlen oder Buchstaben handelt.<br />

Einzig bei mathematisch nicht festgelegten Darstellungen handelt es sich<br />

um keine Terme:<br />

Z.B.:<br />

8 : 0 ( Die Division durch Null ist nicht durchführbar )<br />

a 2 + 2 a – ( Es ist nicht geklärt, welcher Ausdruck noch zu subtrahieren ist )<br />

Es folgen jene Bezeichnungen, die uns während unserer Mathematik-Reise begleiten werden:<br />

Glieder sind Ausdrücke, die mit Strichrechnung ( + – ) verbunden sind.<br />

Nur zur Ansicht<br />

G G G<br />

Die Mathematiker sind eine Art Franzosen:<br />

redet man mit ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache,<br />

und damit ist es alsobald ganz etwas anderes.<br />

Johann Wolfgang von GOETHE<br />

( 1749–1832 )<br />

Beispiel: + 3 x – 5 a b + 1 ist ein dreigliedriger Ausdruck ( Die Glieder sind: + 3 x , – 5 a b und + 1 )<br />

Ein<br />

Glied reicht von einer Strichrechnung bis vor die nächste.<br />

So wie ein Eisenbahnwaggon von seiner vorderen Kupplung bis vor die Kupplung<br />

des nächsten Wagens reicht.<br />

manfred.ambach 54 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Monom: ein 1-gliedriger Ausdruck Bsp.: x 2 oder – 5 a b<br />

Binom: ein 2-gliedriger Ausdruck Bsp.: a + b oder 3 x – 5 a b<br />

Trinom: ein 3-gliedriger Ausdruck Bsp.: 3 x – 5 a b + 1<br />

Polynom: ein mehr als 3-gliedriger Ausdruck Bsp.:<br />

Faktoren sind Ausdrücke, die mit Punktrechnung ( . : ) verbunden sind.<br />

x 3<br />

2 1<br />

2x<br />

2 x <br />

4 3 2<br />

Beispiel: – 2 x y 2 = – 2 . x . y 2 Dieser Term besteht aus drei Faktoren ( aus – 2 , aus x und aus y 2 )<br />

G G G<br />

+2 . x 2 – 3 . x . y + 5<br />

F<br />

Wir sehen: Glieder können aus Faktoren bestehen.<br />

F<br />

F<br />

Das erste Glied dieses dreigliedrigen Terms besteht aus<br />

zwei Faktoren ( +2 und x 2 ),<br />

das zweite Glied aus drei Faktoren ( – 3 , x und y ).<br />

Das letzte Glied + 5 besteht aus keinem Faktor!<br />

– 4 x 3<br />

Nur zur Ansicht<br />

Potenz<br />

Vorzahl ( Koeffizient )<br />

Vorzeichen<br />

Eigentlich gibt es<br />

keine Potenz ohne Vorzeichen und Vorzahl.<br />

manfred.ambach 55 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiele: – 4 x 3 = – 4 . x 3<br />

4 x 3 = + 4 . x 3<br />

– x 3 = – 1 . x 3<br />

x 3 = + 1 . x 3<br />

Bei Casio kann statt des Vorzeichen-Minus auch das Rechen-Minus verwendet werden.<br />

Am besten, man nimmt in beiden Fällen die Taste<br />

Weiters gilt:<br />

2 x – 3 y = + 2 x – 3 y<br />

3 y = 3 . y<br />

x y = x . y<br />

25 = 2 . 5<br />

Beachte folgenden Unterschied:<br />

(2. Reihe von unten, rechts)<br />

3 . x = x + x + x aber: x³ = x . x . x<br />

Nur zur Ansicht<br />

Weiters trifft zu:<br />

0 . 3 = 0<br />

0 . 7 = 0<br />

0 . x = 0<br />

Streng genommen muss man zwischen Vorzeichen und<br />

Rechenzeichen unterscheiden.<br />

Viele Taschenrechner verwenden für das<br />

Vorzeichen Minus Tasten wie<br />

Rechenzeichen Minus Tasten wie<br />

Steht zwischen einer Zahl und einem Buchstaben<br />

oder zwischen zwei Buchstaben kein Rechenzeichen geschrieben,<br />

so sind sie mit mal verbunden.<br />

1 . 2 = 2<br />

1 . 6 = 6<br />

1 . x = x<br />

und für das<br />

Steht vor dem ersten Glied kein Vorzeichen, so ist + gemeint.<br />

– 1 . 4 = – 4<br />

– 1 . 5 = – 5<br />

– 1 . x = – x<br />

Ist (mindestens) ein Faktor Null, so ist das<br />

Ergebnis der Multiplikation (das Produkt) Null.<br />

Die Vorzahl 1 braucht nicht geschrieben zu werden,<br />

weil die Multiplikation mit 1 nichts verändert.<br />

manfred.ambach 56 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Angenommen, jemand benötigt 3 m Stoff. Dann wird man mit einem Maßband<br />

drei Mal einen Meter Stoff abmessen.<br />

3 . 1 m = 3 . 1 . m = 3 . m = 3 m<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=w4dxS7hX7AA<br />

2.2. Potenzen<br />

2.2.1. Einführung<br />

Was ist eine Potenz?<br />

Die Potenz besteht aus der Basis und der Hochzahl<br />

allgemein:<br />

Potenz<br />

Da die Multiplikation mit 1 nichts verändert und wir uns möglichst kurz ausdrücken<br />

wollen, sagen wir statt 3 mal ein Meter: 3 Meter.<br />

Diese Sprechweise hat sich derart eingebürgert, dass im Gegensatz zu 3 m ( ein Stoffteil von<br />

3 Meter Länge ) 3-mal ein Meter wohl heißt, drei Stoffteile von jeweils einem Meter<br />

abzumessen.<br />

x³<br />

Nur zur Ansicht<br />

x 3 = x . x . x<br />

3–mal<br />

x n = x . x . x . … . x<br />

Hochzahl ( Exponent )<br />

Basis (Grundzahl)<br />

n – mal<br />

Sofern die Hochzahl ( der Exponent ) eine natürliche Zahl ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ) ist,<br />

gibt die Hochzahl an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.<br />

manfred.ambach 57 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiele:<br />

2 3 = 2 . 2 . 2 = 8<br />

x 5 x.x.x.x.x<br />

Für die Basen 0 und 1 gilt:<br />

0 2 0 . 0 0<br />

1 3 1.1. 1 = 1<br />

0 6 0.0.0 .0. 0.0 0<br />

1 4 1.1.1.1 1<br />

allgemein gilt:<br />

0 n = 0<br />

1 n = 1<br />

Bemerkung: Natürlich gilt dieser Sachverhalt nur für Potenzen mit der Basis 0 oder 1 .<br />

Betrachten wir im Folgenden Potenzen mit negativer Basis:<br />

Beispiele:<br />

(–2) 2 = (–2) . (–2) = + 4 = + 2 2<br />

(–2) 4 = (–2) . (–2) . (–2) . (–2) = + 16 = + 2 4<br />

(–2) 3 = (–2) . (–2) . (–2) = – 8 = – 2 3<br />

(–2) 5 = (–2) . (–2) . (–2) . (–2) . (–2) = – 32 = – 2 5<br />

An diesen Beispielen lässt sich erkennen, dass<br />

Nur zur Ansicht<br />

Potenzen mit negativer Basis und gerader Hochzahl aufgelöst ein positives Ergebnis liefern,<br />

während bei ungerader Hochzahl dieses Ergebnis negativ ausfällt.<br />

manfred.ambach 58 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiele:<br />

( – x ) gerade Zahl = + x gerade Zahl = + 1 . x<br />

( – x ) UNgerade Zahl = – x UNgerade Zahl = – 1 . x<br />

gerade Zahl<br />

! In beiden Fällen, gleich ob die Hochzahl gerade oder ungerade,<br />

erhält die Potenz mit negativer Basis beim Auflösen der<br />

Klammer eine positive Basis!<br />

UNgerade Zahl<br />

Ist die Hochzahl gerade, so wird das Vorzeichen ( der Vorzahl 1 ) positiv,<br />

ist die Hochzahl UNgerade, wird das Vorzeichen ( der Vorzahl 1 ) negativ.<br />

2<br />

( x) 1.<br />

x x x<br />

3<br />

( x ) 1.x<br />

x<br />

2<br />

3<br />

x 3 = x 3 ≠ −x 3<br />

2<br />

3<br />

2<br />

. . . Da die Basis dieser Potenz positiv ist.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=JrShMyJOch4<br />

manfred.ambach 59 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

2.2.2. Rechenregeln für Potenzen<br />

Einführungsbeispiel für Potenzregel P1:<br />

3 2<br />

5 32<br />

Beispiel: x . x x.x.x . x.x x x<br />

Daraus lässt sich folgende Regel verallgemeinern:<br />

. . . Regel P1 gilt für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis<br />

Beispiele:<br />

x<br />

x<br />

x<br />

4<br />

5<br />

4<br />

2<br />

. x<br />

3<br />

x<br />

. x x<br />

. x . x<br />

2<br />

3<br />

a . a <br />

2<br />

4<br />

5<br />

a<br />

4 3<br />

. x<br />

<br />

4<br />

x<br />

1<br />

x<br />

x<br />

4<br />

. x<br />

2<br />

7<br />

6<br />

1<br />

. x<br />

2x<br />

. 3 x 2.x . 3. x 2.3.x .x 6.x<br />

3<br />

4<br />

<br />

x<br />

8<br />

2<br />

= 6 = x 6<br />

4<br />

Nur zur Ansicht<br />

3<br />

2<br />

( x) . ( x)<br />

( x)<br />

1.<br />

x x<br />

5<br />

5<br />

5<br />

6<br />

Beachte x = x 1 ≠ x O<br />

Da die Multiplikation vertauschbar ist<br />

( z.B. ist 2 . 3 = 3 . 2 = 6 ),<br />

können wir die Faktoren beliebig reihen.<br />

4 3<br />

x) . x<br />

4 3 7<br />

1.<br />

x . x 1.x<br />

7<br />

x<br />

Beim diesem Beispiel müssen wir zuerst die<br />

Potenzen auf gleiche Basis bringen, damit<br />

wir Regel P 1 anwenden können.<br />

( <br />

( – x ) 4 = + 1 . x 4<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Lieber Fredo,<br />

Einführungsbeispiel für Potenzregel P2:<br />

Beispiel:<br />

x<br />

5<br />

: x<br />

x 2 . y 3 = x . x . y . y . y<br />

während<br />

( x . y ) 5 = ( x . y ) . ( x . y ) . ( x . y ) . ( x . y ) . ( x . y ) =<br />

= x . y . x . y . x . y . x . y . x . y =<br />

= x . x . x . x . x . y . y . y . y . y = x 5 . y 5 ist!<br />

= x 5 = y 5<br />

Man darf also nur Potenzen mit gleichen Basen multiplizieren.<br />

3<br />

<br />

x<br />

x<br />

Ergibt nicht<br />

x 2 . y 3 = ( x . y ) 5 ?<br />

5<br />

3<br />

<br />

1 1 1<br />

x .x.x.x.x<br />

x.x.x<br />

<br />

1 1 1<br />

Dieses Beispiel weist auf folgende Regel hin:<br />

x .x<br />

1<br />

x .x x<br />

2<br />

x<br />

Nur zur Ansicht<br />

5 3<br />

Regel P 2 gibt an, wie zwei Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden.<br />

Beachte, dass die Hochzahl der Potenz des Nenners<br />

von der Hochzahl der Potenz des Zählers zu subtrahieren ist.<br />

Beispiel:<br />

x 6<br />

x 2 = x 6−2 = x 4<br />

manfred.ambach 61 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Weitere Beispiele:<br />

a<br />

a<br />

x<br />

4<br />

<br />

a<br />

a<br />

4<br />

1<br />

a<br />

3<br />

3<br />

x 3 2 1<br />

x x<br />

2<br />

a 2<br />

a 3 = a −1<br />

6 a 4 b 6<br />

3 a 2 b 3<br />

( x )<br />

x<br />

3<br />

7<br />

<br />

=<br />

x<br />

2<br />

62<br />

. a 4 . b 6<br />

3 . a 2 . b 3<br />

1<br />

x<br />

1.<br />

x<br />

Einführungsbeispiel für Potenzregel P3:<br />

x<br />

3<br />

7<br />

<br />

=<br />

x<br />

x<br />

x 3 3 0<br />

Beispiel: 1 x x<br />

3<br />

x<br />

P 2<br />

3<br />

7<br />

3<br />

2 a 2 b 3<br />

1<br />

x<br />

4<br />

= 2 a 2 b 3<br />

Bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die<br />

Potenzen auf gleiche Basis bringen, damit<br />

wir Regel P 2 anwenden können.<br />

Wollen wir nicht mit den Gesetzen der Division in Widerspruch kommen, lässt dieses Beispiel nur folgende Regel<br />

als sinnvoll erscheinen:<br />

Nur zur Ansicht<br />

Jeder Potenz (ausgenommen mit der Basis Null) mit der Hochzahl 0 wird der Wert 1 zugeordnet.<br />

manfred.ambach 62 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiele: a 0 1<br />

8 0 1<br />

1 0 1<br />

( x )<br />

0 <br />

1<br />

( – 3 x 2 y ) 0 = 1<br />

Einführungsbeispiel für Potenzregel P4:<br />

Beispiel:<br />

0<br />

1 x 0 3 3<br />

x<br />

x<br />

3 3<br />

x<br />

x<br />

P 3 P 2<br />

Mit diesem Beispiel kann nachfolgende Regel formuliert werden:<br />

Man spricht hier vom Kehrwert einer Potenz, wobei eigentlich der Kehrwert des Bruches gemeint ist.<br />

Beispiel:<br />

Nur zur Ansicht<br />

Bringe folgende Potenzen aus dem Nenner:<br />

1<br />

= x 4 x−4<br />

4<br />

= 4<br />

3 x 2 3<br />

x −2<br />

4<br />

3 x 2<br />

≠ 4 . 3 . x −2<br />

Nur für die Potenz ( hier x 2 ) gibt es die Kehrwertregel.<br />

Nicht für nachrangige Faktoren.<br />

Außerdem ist doch<br />

4<br />

3 = 4 ∶ 3 ≠ 4 . 3<br />

manfred.ambach 63 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel: Bringe folgende Potenz in den Nenner: x −1 = 1<br />

= 1<br />

x 1 x<br />

Einführungsbeispiel für Potenzregel P5:<br />

Beispiel:<br />

Leiten wir daraus ab:<br />

3<br />

2<br />

3<br />

( x ) x . x x x<br />

Diese Regel gibt an, wie eine Potenz potenziert (hochgerechnet) wird.<br />

Beispiele:<br />

2<br />

2<br />

2.2<br />

( x ) x x<br />

3<br />

4<br />

( a ) a<br />

12<br />

P 1<br />

4<br />

3<br />

6<br />

3.2<br />

Nur zur Ansicht<br />

(−x 3 ) 2 = +1 . x 6 = +x 6 = x 6<br />

(−x 2 ) 3 = −1 . x 6 = −x 6<br />

( z<br />

5<br />

)<br />

0<br />

z<br />

0<br />

1<br />

Beachte:<br />

während<br />

manfred.ambach 64 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Mit<br />

– Gib für das Volumen des dargestellten Körpers<br />

eine möglichst einfache Formel an, in der nur<br />

die bezeichnete Variable vorkommt.<br />

Die L-förmige Fläche können wir in zwei Rechtecke aufteilen:<br />

A 1 = 2x ⋅ x = 2 x 2<br />

A 2 = 2x ⋅ x = 2 x 2<br />

A gesamt = A 1 + A 2 = 2 x 2 + 2 x 2 = 4 x 2<br />

Für das Volumen des abgebildeten Körpers gilt:<br />

V = A gesamt . h = 4 x 2 . 4 x = 16 x 3<br />

Nur zur Ansicht<br />

Näheres mit GeoGebra :<br />

Bedeutet: Abschnitt II, Kapitel 2.5., Seite 85 und folgende<br />

Bemerkung:<br />

Eine Lösung wie V = 4 x 2 . 4 x würde nicht gelten, weil eine möglichst einfache Formel verlangt ist.<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Die Umkehrung des Addierens ist das Subtrahieren,<br />

die Umkehrung des Subtrahierens ist das Addieren.<br />

Die Umkehrung des Multiplizierens ist das Dividieren,<br />

die Umkehrung des Dividierens ist das Multiplizieren.<br />

Die Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen,<br />

die Umkehrung des Wurzelziehens ist das Potenzieren.<br />

Aus den obigen Überlegungen lässt sich (zumindest formal, wenn auch nicht anschaulich) die nächste Regel herleiten.<br />

Einführungsbeispiel für Potenzregel P6:<br />

Beispiel: (x 3 ) 2 = x 3 ⋅ 2 2<br />

→ √x 3<br />

Daraus folgern wir:<br />

= x 3<br />

2<br />

P6 ist eine Regel für das Wurzelziehen ( Radizieren ) aus einer Potenz<br />

radix (lateinisch): die Wurzel<br />

Radieschen: kleine Wurzel<br />

Deshalb wählte man für das Wurzelzeichen den stilisierten Buchstaben r: r → r → √<br />

3<br />

Beispiel: Verwandle die Wurzel in eine Potenz: √x 4 = x 4<br />

3<br />

Nur zur Ansicht<br />

Beispiel: Verwandle die Potenz in eine Wurzel: x 1 2<br />

2 = √x 1 = √x<br />

Gegeben ist der Ausdruck T 1,32 .<br />

Beispiel Zentralmatura vom 16.1.2018<br />

– Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der diesem Ausdruck<br />

äquivalent (gleichwertig) ist. [ 1 aus 5 ]<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Mögliche Gedankengänge:<br />

T 1 32<br />

132<br />

√T<br />

100<br />

√T 132<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1,32 <br />

T<br />

1<br />

<br />

T 32<br />

Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass von den 5 gebotenen Alternativen genau eine richtig ist.<br />

Einführungsbeispiel für Potenzregel P7:<br />

Beispiel:<br />

Verallgemeinert gilt:<br />

Beispiele:<br />

3<br />

( x. y ) (x. y ).(x. y).(x. y ) x. y.x. y.x. y x.x.x. y. y.y x<br />

2<br />

2<br />

( 2x) (2.x) 2 . x 4. x 4 x<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

x<br />

Nur zur Ansicht<br />

2<br />

3<br />

3<br />

( 3a ) 3 . (a ) 27 a<br />

2<br />

2<br />

( 2x y ) 4 x<br />

2<br />

2<br />

y<br />

3<br />

4<br />

Der Ausdruck T 1,32 = T 132<br />

100<br />

Denn<br />

Nach der Regel P 6 ist T 132<br />

6<br />

3<br />

y<br />

3<br />

100<br />

100 = √T 132<br />

Demnach ist die 3. der Alternativen anzukreuzen.<br />

3<br />

. y<br />

3<br />

2 0<br />

( 2x ) 1<br />

2<br />

2<br />

9x<br />

3 .x (3x)<br />

2<br />

2<br />

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II Algebra & Geometrie<br />

Einführungsbeispiel für Potenzregel P8:<br />

Beispiel:<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

y<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

Davon abgeleitet ergibt sich:<br />

<br />

x x x<br />

. .<br />

y y y<br />

<br />

x .x.x<br />

y . y . y<br />

<br />

x<br />

y<br />

3<br />

3<br />

Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler mit den Zählern<br />

und die Nenner mit den Nennern multipliziert.<br />

Die Regeln P 7 und P 8 beschreiben das Auflösen einer Potenz, in deren Basis Faktoren stehen.<br />

Beispiele:<br />

Beispiel:<br />

2<br />

x <br />

<br />

3 <br />

3 <br />

2 <br />

5 <br />

2<br />

x<br />

2<br />

3<br />

9<br />

25<br />

<br />

2<br />

x<br />

9<br />

≠ 3<br />

5<br />

(− 4 a2 b<br />

3 x y 3 )2 = +1 ⋅ 42 (a 2 ) 2 b 2<br />

3 2 x 2 (y 3 ) 2<br />

Manchmal wird das Kürzen eines Bruches,<br />

also das Dividieren des Zählers und Nenners durch den gleichen<br />

Ausdruck, mit dem Wurzelziehen verwechselt, denn nur<br />

9<br />

25<br />

3<br />

<br />

5<br />

= 16 a4 b 2<br />

9 x 2 y 6<br />

Nur zur Ansicht<br />

Man darf nur faktorenweise ( . : ) getrennt hochrechnen oder Wurzel ziehen,<br />

nie gliedweise ( + – ) !<br />

2 2 2<br />

Beispiele: a.b<br />

a . b<br />

a.b<br />

<br />

a<br />

.<br />

b<br />

<br />

<br />

<br />

a<br />

b<br />

n<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

a<br />

b<br />

n<br />

n<br />

a <br />

b<br />

a<br />

b<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

2 2<br />

2<br />

ab<br />

a 2ab b<br />

= a 2 + b 2<br />

a<br />

b<br />

<br />

a<br />

<br />

b<br />

2 2<br />

2<br />

ab<br />

a 2ab b<br />

= a 2 – b 2<br />

a<br />

b<br />

P1 bis P8 liefern Regeln für die Verbindung von Potenzen mit Hoch- und Punktrechnung.<br />

Gilt noch die Frage zu klären, ob bzw. unter welchen Bedingungen Potenzen addiert oder subtrahiert<br />

werden können.<br />

Beispiel: 7 a + 4 b – 3 a – 2 b =<br />

Stellen wir uns für a Äpfel und für b Birnen vor, so wird es nur sinnvoll sein, Äpfel mit Äpfeln und Birnen<br />

mit Birnen zu vergleichen.<br />

7 a + 4 b – 3 a – 2 b = 4 a + 2 b<br />

Beispiel: 6 a 2 + 5a – 2 a 2 – 3 a =<br />

Folgender Vergleich hilft:<br />

Nur zur Ansicht<br />

Ein Obsthändler bietet zwei Apfelsorten an. Die Sorte a 2 und die Sorte a .<br />

Zu Beginn des Tages besitzt er 6 (Kisten) der Sorte a 2 und 5 (Kisten) der Sorte a .<br />

Im Laufe des Tages verkauft der Händler 2 (Kisten) der Sorte a 2 und 3 (Kisten) der Sorte a .<br />

Um entsprechende Nachbestellungen ordern zu können, muss wohl der Umsatz beider Apfelsorten<br />

getrennt berücksichtigt werden. Das führt uns auf folgende Rechnung:<br />

<br />

a<br />

<br />

b<br />

6 a 2 + 5 a –2 a 2 – 3 a = 4 a 2 + 2 a<br />

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II Algebra & Geometrie<br />

Diese beiden Beispiele belegen:<br />

Man darf nur Glieder ( + – ) mit gleichen Potenzen<br />

addieren oder subtrahieren.<br />

Gleiche Potenzen besitzen die gleiche Basis UND die gleiche Hochzahl.<br />

Beispiel: 3 a 2 b + 3 a b 2 + 3 a b – 3 b a 2 – 3 a b 2 + a b =<br />

Ein weiterer Aspekt:<br />

Man sieht relativ leicht, dass das zweite und vorletzte Glied, sowie das dritte und letzte Glied<br />

jeweils gleiche Potenzen besitzen.<br />

Doch auch das erste und vierte Glied besitzen die gleichen Potenzen a 2 und b .<br />

Damit man nicht Glieder mit gleichen Potenzen übersieht, ist es vorteilhaft,<br />

die Potenzen innerhalb eines Gliedes bezüglich der Basis alphabetisch zu ordnen.<br />

= 3 a 2 b + 3 a b 2 + 3 a b – 3 b a 2 – 3 a b 2 + a b =<br />

= 3 a 2 b + 3 a b 2 + 3 a b – 3 a 2 b – 3 a b 2 + a b = 4 a b<br />

+ ( – 2 x + 3 y ) = – 2 x + 3 y<br />

Steht vor einer Klammer ein + , so behalten die Glieder in<br />

der Klammer beim Auflösen ihr Vorzeichen.<br />

– ( – 2 x + 3 y ) = + 2 x – 3 y<br />

Steht vor einer Klammer ein – , sind die Vorzeichen der<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Begründung für diese Rechengänge erfolgt in<br />

Glieder in der Klammer beim Auflösen zu ändern.<br />

Beispiel: 3 x² – ( 2 x² – 5 ) = 3 x² – 2 x² + 5 = x² + 5<br />

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II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel: – x² – [ – x² – (– x²–1) ] =<br />

= – x² – [ – x² + x² + 1 ] =<br />

= – x² – [ + 1] =<br />

= – x² – 1<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=rMCpcB5wC_c<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Der Flächeninhalt A eines gleichseitigen Dreiecks lässt sich mit folgender Formel bestimmen:<br />

a … Seitenlänge des Dreiecks<br />

Behauptung:<br />

A = a2 ⋅ √ 3<br />

4<br />

„ Wird die Seitenlänge verdoppelt, so verdoppelt sich auch der Flächeninhalt. “<br />

– Argumentieren Sie, warum diese Behauptung falsch ist.<br />

Nur zur Ansicht<br />

argumentieren bedeutet in aller Regel zweierlei:<br />

1) Einen Rechengang (allgemein) oder<br />

eine Rechnung (mit Zahlen) durchführen<br />

und<br />

2) Eine verbale Begründung für deine Entscheidung anführen:<br />

„ Die Behauptung ist richtig, weil . . .“<br />

oder: „ Die Behauptung ist falsch, weil . . .“<br />

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II Algebra & Geometrie<br />

Wenn keine Zahlen gegeben sind, ist der Rechengang allgemein durchzuführen.<br />

1) Ursprünglicher Flächeninhalt: A alt = a2 ⋅√ 3<br />

Neuer Flächeninhalt: A neu = (2⋅a)2 ⋅√ 3<br />

4<br />

4<br />

= 22 ⋅a 2 ⋅√ 3<br />

4<br />

= 4⋅a2 ⋅√ 3<br />

4<br />

= 4 ⋅ a2 ⋅√ 3<br />

2) Die Behauptung ist falsch, weil sich bei einer Verdoppelung der Seitenlänge der Flächeninhalt<br />

vervierfacht.<br />

2.2.3. Multiplikation von Monom und Klammer<br />

Monom: ein eingliedriger Ausdruck<br />

Beispiel:<br />

( 2 x² – 3 ) . ( – 4 x ) = – 8 x³ + 12 x<br />

Monom<br />

1) Vorzeichen: + . – = –<br />

2) Vorzahlen: 2 . 4 = 8<br />

3) Potenzen: x² . x = x³<br />

Nur zur Ansicht<br />

Jedes Glied der Klammer wird mit dem Monom multipliziert.<br />

4<br />

= 4 ⋅ A alt<br />

Wir könnten obiges Beispiel auch so anschreiben, da ja die Multiplikation vertauschbar ist:<br />

– 4 x . ( 2 x² – 3 ) = – 8 x³ + 12 x<br />

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II Algebra & Geometrie<br />

Welche der Schreibweisen wirkt einfacher?<br />

Noch ein Beispiel:<br />

4 x . ( 2 x + 1 ) – 2 x . ( 2 x – 1 ) =<br />

= 8 x² + 4 x – 4 x² + 2 x =<br />

= 4 x² + 6 x<br />

Warum bleiben die Vorzeichen unverändert, wenn vor einer Klammer ein + steht und warum sind<br />

bei einem – vor der Klammer die Vorzeichen zu ändern?<br />

+ ( – 2 x + 3 y ) = + 1 . ( – 2 x + 3 y ) = – 2 x + 3 y<br />

– ( – 2 x + 3 y ) = – 1 . ( – 2 x + 3 y ) = + 2 x – 3 y<br />

2.2.4. Multiplikation von Klammern<br />

Das + vor der Klammer bedeutet eigentlich die<br />

Vorzahl + 1 , mit der die Klammer multipliziert<br />

Nur zur Ansicht<br />

wird.<br />

Das – vor der Klammer bedeutet eigentlich die<br />

Vorzahl – 1 , mit der die Klammer multipliziert<br />

wird.<br />

Beispiel: ( 3 x – 2 y ) . ( 2 x + 5 y ) = 6 x² + 15 x y – 4 x y – 10 y² = 6 x² + 11 x y – 10 y²<br />

Jedes Glied der einen Klammer wird<br />

mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert.<br />

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II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel: ( 2 x – 1 ) . ( 2 x + 1 ) – x ( 4 x – 1 ) =<br />

= 4 x 2 + 2 x – 2 x – 1 – 4 x 2 + x =<br />

= – 1 + x =<br />

= x – 1<br />

2.2.5. Binomische Formeln<br />

(A + B) 2 = A 2 + 2 . A . B + B 2 ≠ A 2 + B 2<br />

(A − B) 2 = A 2 − 2 . A . B + B 2 ≠ A 2 − B 2<br />

(A − B) . (A + B) = A 2 − B 2<br />

Bemerkung: Die Binomischen Formeln gibt es auch für höhere Potenzen, also für (a ± b) 3 , (a ± b) 4 u.s.w.<br />

Beispiel: ( 2 x – 3 y ) 2 =<br />

( A – B ) 2 = A 2 – 2 . A . B + B 2<br />

( 2 x – 3 y ) 2 = ( 2x ) 2 – 2 . 2 x . 3 y + ( 3y) 2 = 4 x 2 – 12 x y + 9 y 2<br />

Nur zur Ansicht<br />

Beispiel: ( 2 x – 1 ) 2 – ( 2 x – 1 ) . ( 2 x + 1 ) =<br />

= 4 x 2 – 4 x + 1 – ( 4 x 2 – 1 ) =<br />

= 4 x 2 – 4 x + 1 – 4 x 2 + 1 =<br />

= – 4 x + 2<br />

Bemerkung: Ist mit GeoGebra leicht zu bewerkstelligen!<br />

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II Algebra & Geometrie<br />

Bemerkung:<br />

Weil vor dem Minus noch die Punktrechnung der<br />

Klammern ( 2 x – 1 ) . ( 2 x + 1) zu berücksichtigen ist.<br />

Das Minus vor diesen Klammern bedeutet aber einen<br />

Vorzeichenwechsel, der gerne vergessen wird,<br />

multipliziert man und löst gleichzeitig die Klammern auf!<br />

Natürlich kann man statt ( 2 x – 1 ) 2 auch ( 2 x – 1 ) . ( 2 x – 1 ) rechnen.<br />

2.2.6. Fließkomma- bzw. Gleitkommadarstellung<br />

Die Gleitkomma- bzw. Fließkommadarstellung von Zahlen findet vornehmlich in Naturwissenschaft und Technik<br />

Verwendung um sehr große bzw. sehr kleine Zahlen (sehr nahe bei null) übersichtlich darzustellen.<br />

Die uns gewohnte Kommadarstellung nennt man Fixkomma- oder festkomma-Darstellung.<br />

Normierte Fließkommadarstellung: a . 10 k mit 1 ≤ a < 10 und a ∈ R und k ∈ Z<br />

Es bedeuten:<br />

Warum haben wir in der zweiten<br />

Zeile das Minus und die Klammer<br />

nochmals gesetzt?<br />

1 ≤ a < 10 , a ∈ R . . . a ist eine reelle Zahl zwischen einschließlich 1 und ausschließlich 10<br />

k ∈ Z . . . k ist eine ganze Zahl: . . . , − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .<br />

Beispiel einer Zahl in normierter Fließkommadarstellung:<br />

E<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Zahl ( 4,37 ) vor der Zehnerpotenz ( hier 10 3 ) besitzt als<br />

höchsten Stellenwert immer Einer ( E ) ( hier die Ziffer 4 ) .<br />

Wie groß ist diese Zahl eigentlich?<br />

4,37 . 10 3 = 4,37 . 1000 = 4 370<br />

10 3 = 10 . 10 . 10 = 1 000<br />

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Beispiel:<br />

6,23 . 10 – 4 = 6,23 . 0,0001 = 0,000623<br />

10 – 4 1 1<br />

= 0,0001 siehe Regel P4<br />

4<br />

10 10000<br />

Aus den beiden obigen Beispielen lässt sich erkennen:<br />

1,234 . 10 n<br />

1,234 . 10 – n<br />

Ist die Hochzahl der Zehnerpotenz positiv, so wird das Komma um n Stellen<br />

nach rechts verschoben, soll die Zahl in die für uns übliche Fixkomma-Darstellung<br />

verwandelt werden.<br />

Ist die Hochzahl der Zehnerpotenz negativ, so wird das Komma um n Stellen<br />

nach links verschoben, soll die Zahl in die für uns übliche Fixkomma-Darstellung<br />

verwandelt werden.<br />

Umgekehrt lassen sich Zahlen in Fixkomma-Darstellung auch in die normierte Gleitkomma-Schreibweise<br />

verwandeln:<br />

Beispiel:<br />

1 023 648 = 1,023 648 . 1 000 000 = 1,023 648 . 10 6 ≈ 1,02 . 10 6<br />

Um von 1 023 648 auf 1,023 648 zu kommen, müssen wir 1 023 648 durch eine Million (= 1 000 000 = 10 6 )<br />

dividieren.<br />

Damit aber der Wert von 1 023 648 erhalten bleibt, müssen wir die Zahl 1, 023 648 zum Ausgleich mit<br />

1 000 000 = 10 6 multiplizieren.<br />

Bemerkung: Auf wie viel Stellen die Zahl vor der 10-er Potenz gerundet wird, hängt vom jeweiligen Sachverhalt ab.<br />

Beispiel:<br />

Nur zur Ansicht<br />

0,000 000 002 = 2 .<br />

1<br />

1 000 000 000<br />

1<br />

= 2 .<br />

10 = 2 . 10 – 9<br />

9<br />

Um von 0,000 000 002 auf 2 zu kommen, müssen wir 0,000 000 002 mit einer Milliarde (= 1 000 000 000 = 10 9 )<br />

multiplizieren.<br />

Damit aber der Wert von 0,000 000 002 erhalten bleibt, müssen wir die Zahl 2 zum Ausgleich durch<br />

1 000 000 000 = 10 9 dividieren oder eben mit 10 – 9 multiplizieren.<br />

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II Algebra & Geometrie<br />

Auch dafür lässt sich eine Regel ableiten:<br />

1234 . . . 678,9<br />

= 1,234 . 10 n<br />

Komma n Stellen nach links<br />

0,000 . . . 005678<br />

Komma n Stellen nach rechts<br />

Beispiel der Zentralmatura vom 16.1.2018<br />

= 5,568 . 10 – n Ich glaube, lieber Fredo, dich von der<br />

Sinnhaftigkeit der Fließkommadarstellung<br />

überzeugen zu können:<br />

Die „elektromagnetische Wechselwirkung“ ist 10 000-Milliarden-mal so groß wie die „schwache Wechselwirkung“.<br />

– Ergänzen Sie in der nachstehenden Tabelle die fehlende Hochzahl für die „schwache Wechselwirkung“.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Wechselwirkung<br />

Stärke<br />

elektromagnetische Wechselwirkung 1<br />

schwache Wechselwirkung<br />

Das ist ja eine sch . . . öne Darstellungsart!<br />

Mathematiker scheinen keine wirklichen Sorgen zu<br />

haben!<br />

Erst bekommt man in der Schule die<br />

Dezimalschreibweise eingetrichtert und jetzt wird<br />

sie einem madig gemacht!<br />

10<br />

Gravitation<br />

10 −39<br />

– Ermitteln Sie, um welchen Faktor die „schwache Wechselwirkung“ stärker ist als die Gravitation.<br />

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II Algebra & Geometrie<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

elektromagnetische Wechselwirkung: EW<br />

schwache Wechselwirkung: SW<br />

EW = 10 000 . 1 000 000 000 SW = 10 000 000 000 000 . SW = 1 . 10 13 . SW<br />

EW = 1 . 10 13 . SW | : 1 . 10 13 = . 1 . 10 –13<br />

1 . 10 –13 . EW = SW 10 –13 . EW = SW<br />

Also muss in das Kästchen 10 –13 eingetragen werden.<br />

10 –13 = 10 –39 . 10 26<br />

Deshalb ist die SW 10 26 - mal stärker als die Gravitation.<br />

Folgende Tabelle gibt nochmals eine Übersicht über Größenordnungen und Bezeichnungen<br />

Fixkomma-Darstellung Fließkomma-Darstellung Bezeichnung Abkürzung<br />

milliardstel 0,000 000 001 10 −9 nano n<br />

millionstel 0,000 001 10 −6 micro μ<br />

tausendstel 0,001 10 −3 milli m<br />

hundertstel 0,01 10 −2 centi c<br />

zehntel 0,1 10 −1 dezi d<br />

eins 1 10 0<br />

zehn 10 10 1 deka da<br />

hundert 100 10 2 hekto h<br />

tausend 1 000 10 3 kilo k<br />

Million 1 000 000 10 6 Mega M<br />

Milliarde 1 000 000 000 10 9 Giga G<br />

Billion 1 000 000 000 000 10 12 Tera T<br />

Nur zur Ansicht<br />

Auch unser Taschenrechner beherrscht die normierte Fließkommadarstellung:<br />

unterste Reihe, Mitte<br />

Beispiel: 5 . 10 7 : Als Ergebnis erscheint 50000000<br />

Solange Zahlen in der üblichen Form am Display Platz finden, werden sie in der uns gewohnten,<br />

sog. Fixkommadarstellung, wiedergegeben.<br />

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II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel:<br />

Die Zahl 1 000 000 000 000 000 000 ist für das Display zu groß und wird am TR als 1 x 10 18 in<br />

Gleitkommadarstellung angegeben.<br />

Beispiel:<br />

Verwandeln der Zahl 123 000 in Gleitkommadarstellung mit Casio:<br />

Wir geben die Zahl ein und betätigen . Danach drücken wir die Taste (5. Reihe von oben,<br />

2. Von links).<br />

Damit erscheint das Ergebnis in der Form 123 x I0 3 .<br />

Durch weiteres Drücken der<br />

durch drücken von<br />

-Taste wird die Zahl vor der 10-er Potenz 1 000 mal größer,<br />

-Taste wird die Zahl vor der 10-er Potenz 1 000 mal kleiner.<br />

Die Hochzahl der 10-er Potenz wird jeweils entsprechend verändert.<br />

Leider verwandelt der Taschenrechner die Zahl nicht automatisch in die normierte Gleit- bzw.<br />

Fixkommadarstellung.<br />

2.3. Zerlegen von Termen<br />

Nur zur Ansicht<br />

Beachte, dass eingliedrige und mehrgliedrige Terme gänzlich anders zu zerlegen sind.<br />

Beispiele:<br />

eingliedrige Terme<br />

mehrgliedrige Terme<br />

4 x x² – 2x<br />

– 6 x 2 y 4 x² + 12 x y + 9 y²<br />

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II Algebra & Geometrie<br />

2.3.1. eingliedrige Terme<br />

Beispiel: 12 x² y<br />

Die Zahl wird in Primfaktoren zerlegt, die Potenzen in ihrer ausführlichen Schreibweise angegeben.<br />

Primfaktoren sind mit mal verbundene Primzahlen. Primzahlen siehe<br />

Primfaktorenzerlegung von 12: 12 2<br />

6 2<br />

3 3<br />

Also lautet 12 in Primfaktoren zerlegt: 12 = 2 . 2 . 3<br />

Zerlegung der Potenzen: x² = x . x und y 1 = y<br />

Somit lautet die Zerlegung des eingliedrigen Terms 12 x² y = 2 . 2 . 3 . x . x . y<br />

2.3.2. mehrgliedrige Terme<br />

Für mehrgliedrige Terme steht uns das<br />

zur Verfügung.<br />

1<br />

Herausheben gemeinsamer Faktoren<br />

Wir dividieren durch die jeweils kleinstmögliche<br />

Primzahl, bis wir als Ergebnis 1 erhalten.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Faktoren, die in jedem Glied vorkommen, kann man herausheben.<br />

Beispiel: 6 x² y – 9 x² y² = 2 . 3 . x . x . y – 3 . 3 . x . x . y . y = 3 . x . x . y . ( 2 – 3 . y )<br />

Diese Schreibweise ist nur eine Hilfs-Darstellung,<br />

um die gemeinsamen Faktoren besser zu erkennen.<br />

# Es handelt sich aber NICHT um die Zerlegung des mehrgliedrigen Terms!<br />

manfred.ambach 80 pro-test.at


+ Wird<br />

Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

In dem du ( im Kopf ) die Probe machst:<br />

Beispiel: 3 x – 3 = 3 . ( x – 1 )<br />

weil 3 x – 3 = 3 x – 3.1 = 3 .( x – 1)<br />

In der Klammer stehen immer so viele Glieder wie es ursprünglich waren.<br />

3 x 2 y . ( 2 – 3 y ) = 6 x² y – 9 x² y²<br />

Bemerkung: Es existieren noch weitere Methoden der Zerlegung mehrgliedriger Terme,<br />

auf die wir verzichten.<br />

Herausheben mit<br />

Wie weiß ich, ob ich richtig<br />

herausgehoben habe?<br />

ein Glied zur Gänze herausgehoben, muss es in der<br />

Klammer durch 1 ersetzt werden. Ansonsten erhalten wir<br />

beim Ausmultiplizieren nicht mehr den ursprünglichen Ausdruck.<br />

Man gibt im CAS –Fenster den zu zerlegenden Term<br />

ein und klickt anschließend mit der linken Maustaste<br />

und klickt<br />

Nur zur Ansicht<br />

Bemerkung: Das Programm hebt – 3 x 2 y heraus, damit in der Klammer das erste Glied positiv erscheint.<br />

Warum – 3 y vor der Klammer und x 2 danach steht, entzieht sich meiner Kenntnis.<br />

an.<br />

Ausführlicheres zu GeoGebra siehe<br />

manfred.ambach 81 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

2.4. Kleines Einmaleins des Bruchrechnens<br />

2.4.1. Addieren und Subtrahieren<br />

Beispiel:<br />

Beispiele:<br />

3<br />

+ 2<br />

=<br />

2 8<br />

Man darf Brüche nur addieren bzw. subtrahieren, wenn sie gleiche Nenner besitzen.<br />

3<br />

2 + 2<br />

8 = Ef<br />

N 1 : 2 2 . 2<br />

N 2 : 8 = 2 . 2 . 2 2<br />

N: 2 ⋅ 2 ⋅ 2<br />

3<br />

2 + 2<br />

8 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2<br />

N<br />

= 12 + 2<br />

N<br />

= 14<br />

N<br />

7<br />

= 2 ⋅ 7<br />

2 ⋅ 2 ⋅ 2<br />

1<br />

Das Ergebnis des Zählers wird entsprechend zerlegt und man kürzt man den Bruch,<br />

wenn man darf und wenn man kann.<br />

Man darf einen Bruch nur dann kürzen, wenn im Zähler und Nenner alles mit Punktrechnung<br />

verbunden ist. Vorhandene Strichrechnung muss in Klammern stehen.<br />

Man kann einen Bruch kürzen, wenn sich Zahlen bzw. Ausdrücke im Zähler und Nenner durch<br />

die gleiche Zahl bzw. den gleichen Ausdruck dividieren lassen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Beispiel<br />

DARF<br />

ich kürzen?<br />

KANN<br />

ich kürzen?<br />

x + 1<br />

x<br />

Die Nenner werden entsprechend<br />

(ein- oder mehrgliedrig) zerlegt.<br />

Die Erweiterungsfaktoren Ef sind jene<br />

Faktoren, die dem einzelnen Nenner<br />

zum gemeinsamen Nenner N fehlen.<br />

2 ⋅ (x + 1)<br />

x<br />

=<br />

7<br />

4<br />

x ⋅ (x + 1)<br />

x<br />

1<br />

x⋅(x+1)<br />

x<br />

1<br />

= x + 1<br />

manfred.ambach 82 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel:<br />

x<br />

x 2 − x − x + 1<br />

x 2 + x<br />

=<br />

x 2 + x − x 2 + 1<br />

N<br />

Ef<br />

N 1 : x 2 − x = x ⋅ (x − 1) (x + 1)<br />

N 2 : x 2 + x = x ⋅ (x + 1) (x − 1)<br />

=<br />

N: x ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1)<br />

2.4.2. Multiplizieren<br />

Beispiel:<br />

x ⋅ (x + 1) − (x + 1) ⋅ (x − 1)<br />

N<br />

= x + 1<br />

N = (x + 1)<br />

x ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1) = 1<br />

x ⋅ (x − 1)<br />

1<br />

=<br />

x 2 + x − (x 2 + x − x − 1)<br />

3<br />

⋅ 4<br />

= 8 9<br />

Brüche werden multipliziert,<br />

indem man<br />

Nur zur Ansicht<br />

N<br />

=<br />

x 2 + x − (x 2 − 1)<br />

die Zähler mit den Zählern und die Nenner mit den Nennern multipliziert.<br />

Beispiel:<br />

3<br />

⋅ 4<br />

1 1<br />

= 3 . 4<br />

8 9 8 . 9<br />

2 3<br />

1<br />

a<br />

n ⋅<br />

= 1<br />

6<br />

Für den kleinsten gemeinsamen Nenner N wird jeder<br />

verschiedene Faktor genommen, der in einer der Zerlegungen<br />

vorkommt und zwar so oft er in einer Einzelzerlegung an<br />

häufigsten auftritt.<br />

b<br />

m<br />

=<br />

a ⋅ b<br />

n ⋅ m<br />

Wenn möglich, vor dem Ausmultiplizieren kürzen.<br />

N<br />

Beispiel:<br />

x 2 −x<br />

4 x 2 ⋅<br />

2 x<br />

x−1<br />

=<br />

Zähler und Nenner werden vor dem Ausmultiplizieren zerlegt um die Bedingungen zu schaffen kürzen zu dürfen.<br />

manfred.ambach 83 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Z 1: x 2 – x = x ( x – 1 )<br />

Z 2: 2 x = 2 . x<br />

N 1: 4 x 2 = 2 . 2 . x . x N 2: x – 1 = ( x – 1 )<br />

=<br />

x . (x−1)<br />

2 . 2 . x . x<br />

⋅<br />

2 x<br />

=<br />

(x−1 )<br />

2.4.3. Dividieren<br />

Beispiel:<br />

Beispiel:<br />

4<br />

∶ 2<br />

=<br />

9 3<br />

1 1 1 1<br />

x . (x−1 ) . 2 . 1 x<br />

= 1<br />

2 . 2 . x . x . (x−1) 2<br />

1 1 1 1<br />

Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man<br />

den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.<br />

= 4<br />

9 ∶ 2<br />

3 = 4<br />

9 . 3<br />

2 1<br />

2 = 4 . 3<br />

9 . 2<br />

3 1<br />

2<br />

x4 x<br />

2<br />

<br />

a<br />

n<br />

∶<br />

= 2<br />

3<br />

b<br />

m<br />

=<br />

a<br />

n ⋅ m<br />

b<br />

Nur zur Ansicht<br />

x <br />

x 1<br />

2 x<br />

= x2 − x<br />

4 x 2<br />

∶<br />

x − 1<br />

2 x<br />

= x2 − x<br />

4 x 2<br />

Beachte:<br />

⋅<br />

2 x<br />

x − 1<br />

=<br />

=<br />

x . (x − 1)<br />

2 . 2 . x . x<br />

⋅<br />

2 . x<br />

(x − 1)<br />

=<br />

1 1 1 1<br />

x . (x − 1) . 2 . x<br />

2 . 2 . x . x . (x − 1) = 1<br />

2<br />

1 1 1 1<br />

manfred.ambach 84 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

2.5. Einführung in<br />

Öffnet man das Programm, so erscheint die folgende Benutzeroberfläche in GeoGebra Classic 5<br />

In GeoGebra Classic 6 sieht die Benutzerebene wie folgt aus:<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 85 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Die Unterschiede in der Handhabung sind minimal.<br />

Bemerkung: Die Videos mit der Bezeichnung GeoGebra behandeln GeoGebra Classic 5,<br />

die Videos mit der Bezeichnung GeoGebraExam behandeln GeoGebra Classic 6.<br />

In das Eingabe-Fenster werden Berechnungen mit Zahlen und Funktionen<br />

eingegeben.<br />

Beispiel:<br />

4 . 5 + 6 =<br />

ZUERST die entsprechende Zeile im Eingabe -Fenster aktivieren,<br />

damit der Cursor blinkt.<br />

Dies geschieht durch klicken mit der linken Maustaste in der gewünschten Zeile.<br />

Wir geben in die Eingabe-Zeile die entsprechende Rechnung<br />

ohne = Zeichen ein.<br />

Das Mal-Zeichen:<br />

Tastatur Ziffernblock virtuelle Tastatur<br />

In der Eingabe-Zeile erscheint das Mal-zeichen als Punkt: 4 ⋅ 5 + 6<br />

OHNE ENTER, also<br />

unterhalb der Eingabe das Ergebnis.<br />

, zu betätigten, erscheint<br />

Nur zur Ansicht<br />

Betätigt man die ENTER – Taste, so werden Eingabe und Ergebnis mit<br />

einem Kleinbuchstaben versehen.<br />

GeoGebra benennt solcherlei in alphabetischer Reihenfolge.<br />

Beispiel:<br />

4 . 3 2 – 5<br />

manfred.ambach 86 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Wir geben wiederum in die Eingabe-Zeile die Angabe ein.<br />

Das „Hoch“-Zeichen:<br />

Will man die Hochzahl verlassen, geschieht das mit der Taste<br />

Ansonsten schreibt das Programm<br />

Tastatur<br />

virtuelle Tastatur<br />

Im sogenannten CAS – Fenster werden Buchstaben und auch Gleichungen eingegeben und dort<br />

berechnet.<br />

Bemerkung: CAS bedeutet Computer Algebra System<br />

Öffnen des CAS-Fensters in Classic 5:<br />

Öffnen des CAS-Fensters in Classic 6:<br />

In der Kopfzeile klickt man Ansicht mit der linken<br />

Maustaste an und im sich öffnenden Fenster CAS.<br />

Ganz oben rechts findet man das Symbol .<br />

Dieses wird mit der linken Maustaste angeklickt.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Damit öffnet sich das links abgebildete Fenster, in dem wir den Button<br />

Ansicht aktivieren (linke Maustaste).<br />

manfred.ambach 87 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel: (a + b)² =<br />

Merken wir schon mal vor:<br />

In dem sich öffnenden Fenster aktivieren wir nun CAS<br />

(wenn nicht anders beschrieben, immer durch Klicken mit der linken<br />

Maustaste).<br />

Die entsprechende Zeile des CAS-Fensters ist erst dann<br />

aktivieret, wenn die Zeilenzahl blau hinterlegt erscheint<br />

und der rot gefärbte Cursor blinkt.<br />

Wir schreiben die Angabe in die entsprechende Zeile des CAS – Fensters.<br />

Nun betätigen wir NICHT ENTER, sondern klicken mit der linken<br />

Maustaste auf das Symbol<br />

Damit erscheint der ausgerechnete Ausdruck unterhalb der Eingabe.<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 88 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Eingaben korrigieren:<br />

Geht ganz einfach, wie bei Casio:<br />

Beispiel:<br />

2 x ⋅ (1 − 3x)<br />

Wurzeln:<br />

Beispiel:<br />

3<br />

√x 2 + 1<br />

Allgemeiner Befehl:<br />

Wir schreiben die Angabe ins CAS-Fenster.<br />

Bei der Kontrolle stellen wir den Fehler fest.<br />

Wir gehen mit dem Cursor | rechts der Zahl, die wir hier verändern<br />

wollen, und klicken auf der<br />

Tastatur<br />

virtuellen Tastatur<br />

Nun brauchen wir nur noch an der Stelle des Cursors die richtige Zahl<br />

einzugeben.<br />

Nun brauchen wir nur noch an der Stelle des Cursors die richtige Zahl<br />

einzugeben.<br />

NteWurzel(, )<br />

Wurzelinhalt Grad der Wurzel<br />

Nur zur Ansicht<br />

ENTER<br />

Neben dem Ergebnis im Algebra-Fenster<br />

wird gleichzeitig der Graph dieser<br />

Funktion im Grafik-Fenster dargestellt,<br />

sofern der Kreis ausgefüllt ist.<br />

manfred.ambach 89 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=6qdCv1_hQIo<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=MBS3R0dBdYo<br />

Bemerkung: Die entsprechenden Videos für GeoGebra 5 laufen unter gleicher Nummer.<br />

Also: MAY GeoGebraExam 02 behandelt das Gleiche wie MAY GeoGebra 02,<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=Zh3FfaIbw1k<br />

MAY GeoGebraExam 03 behandelt das Gleiche wie MAY GeoGebra 03<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=nFvNPPZje5w<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 7<br />

Nur zur Ansicht<br />

Paradoxon von Zeno<br />

Stellen wir uns einen Läufer vor, der im<br />

Punkt S startet und<br />

zum Ziel Z gelangen will.<br />

Fortsetzung S 99<br />

manfred.ambach 90 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

"Just a darn minute! Yesterday you said X equals two!"<br />

3. GLEICHUNGEN<br />

Um nicht, wie der bedauernswerte junge Mann im Bild<br />

nebenan, Gleichungen als unverständliches Mysterium<br />

zu erleben, wollen wir uns zunächst mit den grundsätzlichen<br />

Eigenschaften von Gleichungen vertraut machen.<br />

Beachte, dass bei Gleichungen, im Gegensatz zu allen bisherigen Berechnungen<br />

(sogenannten Umformungen), schon<br />

in der Angabe links und rechts vom<br />

Beispiele: 5 x = 20<br />

x 2 −4x<br />

2<br />

− 1 = 0<br />

etwas steht!<br />

Mit Gleichungen lässt sich nämlich zum Teil anders rechnen als mit Umformungen.<br />

3.1. Gleichungen mit einer Variablen<br />

Die Variable ist die Unbekannte.<br />

Nur zur Ansicht<br />

3.1.1. Gleichungen 1. Grades ( lineare Gleichungen )<br />

=<br />

Man hat mir gesagt,<br />

dass jede Gleichung in dem Buch<br />

die Verkaufszahlen halbiert.<br />

Stephen HAWKING<br />

(1942 -2018)<br />

In linearen Gleichungen kommt die Variable nur linear vor, d.h. sie hat die Hochzahl 1 und steht<br />

nicht im Nenner.<br />

Beispiele: 3 x 1 + 5 = 11 ; 2 ( 1 – 3 x 1 ) + 8 = 9 x 1 – 3 ( 2 + x 1 ) ;<br />

2 x 1 –1<br />

4<br />

= – 1<br />

2<br />

manfred.ambach 91 pro-test.at


#<br />

Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

3.1.1.1. Elementares<br />

Lineare Gleichungen werden soweit umgeformt,<br />

bis die Variable alleine auf nur einer Seite der Gleichung steht.<br />

Beim Umformen von Gleichungen denke an<br />

b<br />

Dornröschen & an eine Balkenwaage<br />

Die Variable stellt in diesem Bild die Prinzessin dar.<br />

Wie die Königstochter während der gesamten Märchenhandlung<br />

im Schloss verweilt, soll auch die Variable beim Umformen der<br />

Gleichung in der Regel auf ihrem Platz verweilen.<br />

Die Person, die die Gleichung löst, ist der Prinz, der von außen<br />

kommt.<br />

Verfügt der Prinz über keine märchenhaften Eigenschaften, so<br />

wird er die Hecke an ihrer dünnsten Stelle zu durchdringen<br />

versuchen.<br />

Umgesetzt auf die Gleichung: Zuerst bringt man jene Zahlen von<br />

der Variablen weg, die mit ihr am schwächsten verbunden sind,<br />

also die Strichrechnung. Erst danach widmet man sich der<br />

Punkt-, und, wenn vorhanden, anschließend der Hochrechnung.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Also:<br />

Gehe beim Umformen der Gleichung in<br />

umgekehrter Reihenfolge<br />

zu den Vorrangregeln vor.<br />

Eine Balkenwaage besitzt zwei Waagschalen,<br />

eine Gleichung zwei Seiten.<br />

So wie beim Wägen immer Gleichgewicht herrschen soll,<br />

so ist beim Umformen der Gleichung Bedacht zu nehmen,<br />

dass auf beiden Seiten stets Balance herrscht.<br />

Also:<br />

Führe beim Umformen der Gleichung<br />

auf beiden Seiten<br />

die gleichen Rechenoperationen<br />

durch.<br />

manfred.ambach 92 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel:<br />

x + 5 = 8<br />

Die Variable stellt in unserem Bild die Prinzessin dar.<br />

+ 5 = 8<br />

Wir bringen die Strichrechnung von der Prinzessin weg:<br />

das Glied + 5 , indem wir auf beiden Seiten – 5 subtrahieren.<br />

2 + 5 = 8 – 5<br />

2 +5 – 5 = 8 – 5<br />

= 3<br />

x = 3<br />

Stellt damit x = 3 automatisch die Lösung der Gleichung dar?<br />

NEIN ! Ob der errechnete Wert auch Lösung der Gleichung ist, zeigt erst die Probe:<br />

Wir setzen den errechneten Wert für die Variable in die Ausgangsgleichung ein:<br />

x + 5 = 8<br />

?<br />

3 + 5 = 8<br />

manfredambach<br />

8 = 8 w. A. ➝ x = 3 ist eine Lösung dieser Gleichung.<br />

w.A. steht für wahre ( im Sinne von richtige ) Aussage<br />

x + 5 8<br />

Die Gleichung ist fertig umgeformt, da die Variable alleine auf nur einer Seite steht.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Nur wenn wir bei der Probe eine w.A. erhalten ( und uns nicht verrechnet haben ),<br />

ist der errechnete Wert Lösung der Gleichung.<br />

+ 5<br />

– 5<br />

– 5<br />

Erhielten wir bei der Probe beispielsweise<br />

– 4 = 8 also eine f.A. ( falsche Aussage ), so wäre der errechnete Wert<br />

keine Lösung der Gleichung.<br />

manfred.ambach 93 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Und ich dachte immer, die<br />

Probe dient dazu, um<br />

Rechenfehler festzustellen!<br />

Dazu dient die Probe gar nicht!<br />

Wie oben erwähnt, führt man die Probe durch um<br />

klarzulegen, ob die erhaltene Zahl auch Lösung der<br />

Gleichung ist.<br />

Deine Aufgabe wird nicht primär das Lösen von Gleichungen sein,<br />

sondern die Lösung(en) der Gleichung geometrisch richtig zu deuten.<br />

Deshalb hier schon mal eine kleine Vorschau:<br />

Eine lineare Gleichung entstammt einer linearen Funktion ,<br />

bei der y = 0 gesetzt wird.<br />

Eine lineare Funktion ergibt gezeichnet eine Gerade.<br />

Da wir y = 0 setzen, suchen wir demnach Punkte der<br />

Geraden mit y = 0. Das sind Punkte auf der x-Achse.<br />

Solche Punkte nennt man Nullpunkte.<br />

Z.B.: y = x – 5<br />

. . . lineare Funktion<br />

0 = x – 5 + 5 . . . lineare Gleichung in einer Variablen<br />

5 = x<br />

x = 5<br />

Was wir derzeit noch nicht bestimmen können, ist der konkrete Verlauf<br />

der Geraden. Wir wissen nur, dass sie durch den Nullpunkt ( 5 / 0 ) geht.<br />

Nun kann es sein, dass eine Gerade parallel<br />

zur x-Achse verläuft und damit keinen Nullpunkt<br />

(keinen Punkt auf der x- Achse) besitzt.<br />

Nur zur Ansicht<br />

In einem solchen Fall verfügt die entsprechende lineare<br />

Gleichung über keine Lösung.<br />

Beispiel: y = 3<br />

. . . lineare Funktion<br />

0 = 3 f. A. → keine Lösung<br />

Bemerkung: Hier erhält man schon beim Umformen der<br />

Gleichung eine f.A. und nicht erst bei der Probe.<br />

manfred.ambach 94 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Oder die Gerade liegt auf der x –Achse.<br />

Dann verfügen Gerade und x-Achse über alle und damit<br />

unendlich viele gemeinsame Punkte.<br />

Die entsprechende lineare Gleichung besitzt dann<br />

unendlich viele Lösungen, nämlich jede reelle Zahl.<br />

Beispiel: y = 0<br />

. . . lineare Funktion<br />

0 = 0 w. A. für alle (reellen) Zahlen<br />

Bemerkung: Hier erhält man schon beim Umformen der Gleichung<br />

eine w.A. und nicht erst bei der Probe.<br />

Zusammenfassend lässt sich sagen:<br />

Eine lineare Funktion ( eine Gerade ) kann auf der x-Achse<br />

einen Punkt haben, keinen Punkt haben unendlich viele Punkte<br />

eine lineare Gleichung somit<br />

eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösung<br />

Nur zur Ansicht<br />

Und das soll ich mir alles<br />

merken!?!<br />

Keine Angst, lieber Fredo, das wird noch alles ausführlich in Abschnitt<br />

III FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE erörtert.<br />

Im Folgenden weitere Beispiele linearer Gleichungen mit Lösungsweg.<br />

manfred.ambach 95 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel:<br />

x – 2 = 3 + 2<br />

x – 2 + 2 = 3 + 2<br />

x = 5<br />

Beispiel:<br />

Beispiel:<br />

→ N(5/0)<br />

2 . x = 6 : 2<br />

1<br />

3<br />

2 . x<br />

=<br />

6<br />

2 2<br />

1 1<br />

x = 3 → N(3/0)<br />

x<br />

3<br />

1 . 3<br />

x . 3 = – 1 . 3<br />

3<br />

Wir bringen von der Variablen x die Zahl – 2 weg, indem wir auf<br />

beiden Seiten + 2 addieren.<br />

Die Zahl 2 ist mit x mit mal verbunden, also dividieren wir beide Seiten<br />

der Gleichung durch 2.<br />

Nur zur Ansicht<br />

x 3<br />

. 1. 3<br />

3 1<br />

1<br />

x.3<br />

3<br />

1<br />

<br />

3<br />

manfredambach<br />

+ 2<br />

x – 2 3<br />

: 2<br />

2 x 6<br />

Die Zahl 3 ist mit x mit dividiert verbunden, also multiplizieren wir beide<br />

Seiten der Gleichung mit 3.<br />

x<br />

3<br />

. 3<br />

– 1<br />

+ 2<br />

: 2<br />

. 3<br />

x = – 3 → N(−3/0)<br />

manfred.ambach 96 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel:<br />

Beispiel:<br />

2 x + 3 = 9<br />

2 . x + 3 = 9 – 3<br />

2 . x = 6 : 2<br />

x = 3 → N(3/0)<br />

4 – x = 6<br />

+ 4 – 1. x = 6 – 4<br />

–1. x = 2 : (–1)<br />

1<br />

1.x<br />

<br />

1<br />

x = – 2<br />

→ N(−2/0)<br />

<br />

2<br />

1<br />

oder<br />

Beim Umformen einer Gleichung gehen wir in entgegengesetzter<br />

Reihenfolge zu den Vorrangregeln vor.<br />

Zuerst bringen wir die Zahl + 3 weg, da sie mit der Variablen x<br />

mit Strichrechnung verbunden ist.<br />

Jetzt widmen wir uns der Zahl 2, die mit x mit mal verbunden ist.<br />

Die Zahl 4 ist mit x mit + verbunden, da + das Vorzeichen<br />

von 4 ist. Das Minus gehört als Vorzeichen zu x , eigentlich zu<br />

seiner Vorzahl – 1.<br />

–1. x = 2 . (–1)<br />

–1 . x . (–1) = 2 . (–1)<br />

–1 . (–1) . x = – 2<br />

1 . x = –2<br />

x = –2<br />

Statt durch ( –1 )<br />

zu dividieren, können wir auch<br />

mit ( –1 ) multiplizieren.<br />

Warum?<br />

Nur zur Ansicht<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=12LXOeXoFIQ<br />

manfred.ambach 97 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

3.1.1.2. Gleichungen mit Klammern<br />

Beispiel:<br />

2 x ( 3 x – 1 ) = (2 x – 2 ) ( 3 x + 1 )<br />

6 x 2 – 2 x = 6 x 2 + 2 x – 6 x – 2<br />

6 x 2 – 2 x = 6 x 2 – 4 x – 2 – 6 x 2 + 4 x<br />

2 x = – 2 : 2<br />

x = – 1<br />

3.1.1.3. Gleichungen mit Bruchtermen<br />

Bruchterme sind Brüche, bei denen die Variable zumindest im Nenner steht.<br />

Steht die Variable im Nenner, so muss zunächst die Gleichung bruchfrei gemacht werden!<br />

Beispiel:<br />

2 x + 1<br />

x 2 − 2 x = 4<br />

x − 2<br />

Nur zur Ansicht<br />

Ef<br />

N1 x . (x – 2) 1<br />

N2 (x – 2) x<br />

N x . (x – 2)<br />

Steht die Variable in Klammern,<br />

muss man diese auflösen.<br />

Kommt die Variable in mehreren Gliedern ( + – )<br />

vor, so bringt man die Glieder mit der Variablen<br />

auf die eine Seite der Gleichung,<br />

die Glieder ohne Variable auf die andere Seite.<br />

Zunächst ermitteln wir einen kleinsten<br />

gemeinsamen Nenner N und<br />

die Erweiterungsfaktoren Ef.<br />

Für den gemeinsamen Nenner N werden alle<br />

verschiedenen Faktoren gewählt, die in den<br />

Zerlegungen vorkommen und zwar so oft sie in einer<br />

einzelnen Zerlegung am häufigsten auftreten.<br />

Die Erweiterungsfaktoren Ef sind jene Faktoren, die dem einzelnen Nenner zum gemeinsamen Nenner N<br />

fehlen.<br />

manfred.ambach 98 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Probe:<br />

(2 x + 1) . 1 4 . x<br />

Jetzt bringen wir alle Brüche auf<br />

= | . N<br />

N<br />

N<br />

N und multiplizieren die Zähler<br />

mit ihren Ef.<br />

1 1<br />

(2 x+ 1) . N 4 . x . N<br />

=<br />

N<br />

N<br />

1 1<br />

(2 x + 1) = 4 . x<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 8<br />

2 x + 1 = 4 . x | − 2 x<br />

1 = 2 x | ∶ 2<br />

0,5 = x<br />

2 . 0,5+1<br />

= 4<br />

0,5 2 −2 .0,5 0,5−2<br />

1+1<br />

= 4<br />

0,25 − 1 0,5 − 2<br />

2<br />

= 4<br />

−0,75 −1,5<br />

−2, 67 = −2, 67<br />

Danach multiplizieren wir die<br />

Gleichung mit N, und kürzen danach<br />

durch N damit sie bruchfrei wird.<br />

w.A. → x = 0, 5 ist Lösung der Gleichung.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Um von S nach Z zu gelangen,<br />

muss der Läufer die Mitte M 1 dieser<br />

Strecke passieren.<br />

Fortsetzung: S 105<br />

manfred.ambach 99 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

3.1.1.4. Formeln umformen<br />

Jede Formel ist eine Gleichung, da sie ein<br />

Deshalb behandeln wir<br />

Es gibt drei Grundformen:<br />

- Zeichen besitzt mit vorgegebener linker und rechter Seite.<br />

Formeln wie Gleichungen.<br />

A: Die gesuchte Größe steht nicht in Klammern und nicht im Nenner<br />

Beispiel:<br />

U = 2 a + 2 b a = ?<br />

U = 2 a + 2 b<br />

– 2 b<br />

U – 2 b = 2 a : 2<br />

U2b<br />

2<br />

<br />

a<br />

B: Die gesuchte Größe steht in Klammer(n)<br />

Beispiel:<br />

A<br />

A<br />

<br />

<br />

(a<br />

c).h<br />

2<br />

c ?<br />

Die gesuchte Größe ist die Variable.<br />

In unserem Beispiel a<br />

Wir formen entsprechend die Gleichung um, bis a alleine<br />

auf nur einer Seite steht und gehen dabei wiederum in<br />

entgegengesetzter Reihenfolge zu den Vorrangregeln vor<br />

Nur zur Ansicht<br />

(a<br />

c).h<br />

2<br />

2. A (a<br />

c).h<br />

2. A<br />

h<br />

2. A<br />

h<br />

a<br />

c<br />

a c<br />

. 2<br />

: h<br />

a<br />

=<br />

Steht die gesuchte Größe in Klammern, so muss man die<br />

Klammern zuerst auflösen.<br />

Stelle dir die Klammern als Mauern vor.<br />

Der Dornröschen-Prinz kommt von außen und hat vor der Mauer<br />

noch die „Hindernisse“ h und die 2 im Nenner zu überwinden.<br />

2 ist mit der „Mauer“ mit dividiert verbunden und kommt mit mal<br />

weg.<br />

h ist mit der "Mauer" mit mal verbunden und kommt mit dividiert<br />

weg.<br />

Jetzt besitzt die Klammer keine Bedeutung mehr und kann<br />

weggelassen werden.<br />

manfred.ambach 100 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

C: Die gesuchte Größe steht im Nenner<br />

Beispiel:<br />

1<br />

R = 1<br />

R + 1<br />

1<br />

R 2<br />

Ef<br />

N 1 : R R 1 ⋅ R 2<br />

N 2 : R 1 R ⋅ R 2<br />

N 3 : R 2 R ⋅ R 1<br />

N = R ⋅ R 1 ⋅ R 2<br />

R 1 =?<br />

1 ⋅ R 1 ⋅ R 2<br />

= 1 ⋅ R ⋅ R 2<br />

+ 1 ⋅ R ⋅ R 1<br />

N<br />

N<br />

N<br />

⋅ N<br />

1 ⋅ R 1 ⋅ R 2 ⋅ N<br />

= 1 ⋅ R ⋅ R 2 ⋅ N<br />

+ 1 ⋅ R ⋅ R 1 ⋅ N<br />

N<br />

N<br />

N<br />

R .R2<br />

R.R R.R1<br />

R.R1<br />

1 2<br />

R1 .R2<br />

R.R1<br />

<br />

R.R<br />

R . (R2<br />

R) R.R : (R2<br />

R<br />

1 2<br />

1<br />

<br />

1<br />

R.R<br />

2<br />

(R R)<br />

2<br />

R)<br />

Nur zur Ansicht<br />

2<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

Steht die gesuchte Größe im Nenner, so muss die<br />

Gleichung bruchfrei gemacht werden.<br />

Zuerst sucht man den gemeinsamen Nenner N der<br />

Einzelnenner und die Erweiterungsfaktoren Ef.<br />

Die Gleichung wird mit dem N multipliziert<br />

( Balkenwaage ).<br />

Die Glieder mit R 1 kommen auf die eine Seite,<br />

jene ohne R 1 auf die andere .<br />

Jetzt können wir R 1 herausheben<br />

Bemerkung: Es gibt meistens mehrere Möglichkeiten, eine Formel umzuformen.<br />

Bist du nicht sicher, ob deine Umformung richtig ist, wähle für alle Buchstaben, außer der gesuchten Größe,<br />

Zahlen (nicht null oder eins) und setze sie in deinen umgeformten Ausdruck ein.<br />

Dann setze die gleichen Zahlen in die gebotene Lösung. Bei Übereinstimmung ist auch deine Umformung richtig.<br />

manfred.ambach 101 pro-test.at


https://www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E&index=7<br />

Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&t=174s<br />

https://www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&t=174shttps://www.youtube.com/watch<br />

?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E&index=7https://www.youtu<br />

be.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E&index=7https:<br />

//www.youtube.com/watch?v=Ac8nkbJBsiQ&list=PLra06J0H87P525mASg31yp7G8cBKs970E<br />

&index=7<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=yoe3c2dRwNM<br />

Aufgabe der Kompensationsprüfung am 06.06.2018<br />

Für den Tageseintritt in einen Alpenzoo bezahlt man für Kinder (3 bis 5 Jahre) € 5, Erwachsene bezahlen € 10,<br />

wobei es für Seniorinnen und Senioren ermäßigte Tickets zum Preis von € 8,50 gibt.<br />

An einem Sommertag besuchen a Erwachsene und b Kinder den Zoo: Unter den Erwachsenen sind c Seniorinnen<br />

und Senioren.<br />

– Erstellen Sie mit Hilfe von a, b und c eine Formel für die Gesamteinnahmen G dieses Tages.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Nur zur Ansicht<br />

Erfundenes Zahlenbeispiel:<br />

a = 100 … Erwachsene mit Senioren !<br />

c = 20 … Senioren c<br />

Übertragung auf die Textaufgabe:<br />

100 – 20 … Erwachsene ohne Senioren a – c<br />

b = 30 … Kinder<br />

b<br />

a<br />

G = (100 – 20) . 10 + 30 . 5 + 20 . 8,50 G = (a – c) . 10 + b . 5 + c . 8,50<br />

manfred.ambach 102 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Erben<br />

Eine Erbschaft von 260 000 Euro wird unter drei Erben wie folgt aufgeteilt:<br />

Erbe A erhält zwei Drittel von Erbe B. Erbe C erhält das eineinhalb Fache von Erbe A.<br />

– Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die einzelnen Anteile bestimmt werden können.<br />

– Berechnen Sie die Höhe der einzelnen Anteile.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

x … Anteil in Euro des Erben B<br />

Anteil von A: A erhält 2<br />

Anteil von C: erhält 3<br />

Gleichung:<br />

2<br />

3<br />

von B →<br />

von A →<br />

Ich wähle deshalb x für den Anteil von B, weil sich sämtliche Angaben<br />

letztlich auf B beziehen.<br />

2<br />

3 ⋅ x<br />

3<br />

⋅ 2<br />

2 3<br />

⋅ x = x<br />

Anteil A + Anteil B + Anteil C = Erbschaft<br />

2<br />

⋅ x + x + x = 260 000 oder zusammengefasst: 8<br />

⋅ x = 260 000<br />

3 3<br />

Nur zur Ansicht<br />

8<br />

8<br />

⋅ x = 260 000 | ∶<br />

3 3<br />

x = 97 500<br />

B und C erhalten 97 500 Euro, A erhält 65 000 Euro.<br />

manfred.ambach 103 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Aufgabe Zentralmatura am 10.5.2017<br />

Bei der Abbildung eines Gegenstandes mithilfe einer Sammellinse gelten folgende Beziehungen:<br />

B<br />

G = b<br />

g ⋅ f<br />

und b =<br />

g<br />

g − f<br />

B = 1<br />

2 ⋅ G → B < G<br />

B … Höhe des Bildes<br />

G ... Höhe des Gegenstandes<br />

b … Abstand des Bildes von der Linse<br />

g … Abstand des Gegenstandes von der Linse<br />

f … Brennweite der Linse<br />

– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [ 1 aus 5 ]<br />

Wenn g = 3 ⋅ f gilt, dann ist B größer als G. <br />

Wenn g = 3 ⋅ f gilt, dann ist B = G. <br />

Wenn g = 2 ⋅ f gilt, dann ist B kleiner als G. <br />

Wenn g = 2 ⋅ f gilt, dann ist B = G. <br />

Wenn g = 2 ⋅ f gilt, dann ist B größer als G. <br />

Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass genau eine der gebotenen Alternativen richtig ist.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

g = 3 ⋅ f<br />

3 ⋅ f ⋅ f<br />

→ b =<br />

3 ⋅ f − f = 3 ⋅ f2<br />

= 3 ⋅ f<br />

2 ⋅ f 2<br />

B<br />

G = b | ⋅ G → B = b<br />

3 ⋅ f<br />

g<br />

g ⋅ G → B = 2 3 ⋅ f<br />

⋅ G = ⋅ G ∶ 3 ⋅ f = 3 ⋅ f ⋅ G ⋅<br />

3 ⋅ f 2 1 2<br />

1<br />

3 ⋅ f = 3 ⋅ f<br />

2 ⋅ 3 ⋅ f ⋅ G = 1<br />

2 ⋅ G<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 104 pro-test.at


#<br />

Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

g = 2 ⋅ f<br />

→ b =<br />

2 ⋅ f ⋅ f<br />

2 ⋅ f − f = 2 ⋅ f2<br />

f<br />

= 2 ⋅ f<br />

B<br />

G = b<br />

g<br />

| ⋅ G → B = b<br />

g<br />

B = G → 4. Alternative ist richtig.<br />

⋅ G → B =<br />

2 ⋅ f<br />

2 ⋅ f<br />

⋅ G = G<br />

Beispiel: Idee: Angewandte Mathematik@HUM, Teil 1, S 63 ISBN 978-3-7101-0634-7<br />

Folgende Tabelle gibt zum Teil die Umrechnungen in verschiedene Temperaturmaße an.<br />

Kelvin (K) …… T K … Temperatur in K Grad Celsius (°C) …… T C … Temperatur in °C<br />

Grad Rèaumur (°R) …… T R … Temperatur in °R Grad Fahrenheit (°F) …... T F … Temperatur in °F<br />

von →<br />

nach ↓<br />

K °C °R °F<br />

K = T K = T C + 273,15 = 1,25 ⋅ T R + 273,15 = (T F + 459,67) ⋅ 5<br />

9<br />

°C = T C = 1,25 ⋅ T R<br />

= (T F − 32) ⋅ 5<br />

9<br />

°R = T R<br />

= (T F − 32) ⋅ 4<br />

9<br />

°F = T F<br />

– Fülle die leeren Zellen entsprechend aus.<br />

– Ermittle, um wie viel Prozent 1 °R größer ist als 1 °C.<br />

– Bestimme die Grade für die gilt °C = °F<br />

Lösungen:<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 9<br />

* 1 °R ist um 25 % größer als 1 °C<br />

* – 40°<br />

Um von M 1 nach Z zu gelangen,<br />

muss der Läufer die Mitte M 2 der<br />

Reststrecke passieren.<br />

Fortsetzung S 119<br />

manfred.ambach 105 pro-test.at


#<br />

Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

3.1.1.5. Gleichungen mit<br />

Beispiel:<br />

2 x − 3 = 7<br />

Öffnen des CAS – Fensters siehe<br />

Wir geben in einer Zeile des CAS-Fensters die Gleichung ein.<br />

Dann klicken wir (mit der linken Maustaste) das Symbol<br />

Nur zur Ansicht<br />

an<br />

und unterhalb der Eingabe erscheint die Lösung.<br />

manfred.ambach 106 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel:<br />

1<br />

2 = 2<br />

x − 1 − 3<br />

4<br />

Bemerkung: Die obige Gleichung wurde in GeoGebra Classic 6 eingegeben.<br />

! Nicht vergessen, mit der Taste<br />

jeweils aus dem Nenner zu gehen!<br />

Ansonsten entstehen Ausdrücke wie<br />

Auch Gleichungen zweiten und höheren Grades lassen sich einfach lösen:<br />

Beispiel:<br />

4 x 2 − 7 x − 2 = 0<br />

Beispiel:<br />

Nur zur Ansicht<br />

2 x 3 + x 2 − 5 x + 2 = 0<br />

manfred.ambach 107 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Wie ist denn mit Formeln umformen?<br />

Will ich zum Beispiel die Formel U = 2 a + 2 b<br />

nach b umformen, dann erhalte ich mit GeoGebra<br />

Woher soll denn das Programm<br />

wissen, welchen Buchstaben du<br />

ausgedrückt haben willst?<br />

Es gibt trotzdem eine<br />

Möglichkeit:<br />

Schreibe in eine Zeile des CAS – Fensters den Befehl<br />

Löse.<br />

Damit öffnet sich ein Fenster, in dem der Befehl<br />

Löse[ , ]<br />

angeklickt wird.<br />

In das Feld schreibt man die<br />

Formel in der ursprünglichen Form,<br />

in das Feld den Buchstaben, der<br />

ausgedrückt werden soll.<br />

Die Klammern < > müssen auch beseitigt<br />

werden.<br />

ENTER betätigt und die gewünschte Umformung<br />

erscheint.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Bemerkung: GeoGebra formt in der Regel nicht so um, wie wir das mit dem Bild Dornröschen erreichen.<br />

Mit dem Befehl Löse[ , ] lassen sich alle Gleichungen mit einer Variablen einschließlich<br />

Formeln umformen bewerkstelligen.<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=rJur673IUzg<br />

manfred.ambach 108 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

3.1.2. Gleichungen 2. Grades ( quadratische Gleichungen )<br />

In quadratischen Gleichungen ist die höchste Potenz der Variablen quadratisch.<br />

Beispiele: x 2 = 4 oder 4 x 2 – 7 x – 2 = 0<br />

3.1.2.1. Normalform<br />

Die sog. Norm(al)form (allgemeine Form) einer quadratischen Gleichung lautet:<br />

mit a, b, c R ( also reellen Zahlen )<br />

a . x 2 + b . x + c = 0<br />

a ist die Vorzahl von x², b die Vorzahl von x und c steht für das konstante Glied, also jenes ohne Variable.<br />

Solche Gleichungen lassen sich mit einer Formel lösen, die hier ohne Herleitung angegeben ist:<br />

Die dazugehörige Auflösungsformel lautet<br />

Nur zur Ansicht<br />

x 1/2 =<br />

– b ± √ b 2 – 4 . a . c<br />

2 . a<br />

Diese Formel nennt man a-b-c– Formel oder Mitternachtsformel.<br />

Mitternachtsformel deswegen, weil man sie in seligen Schulzeiten auch dann hersagen können sollte, würde man mitten in der<br />

Nacht geweckt ( ein Mörder-Brüller! ).<br />

manfred.ambach 109 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel: 4 x 2 – 7 x – 2 = 0 . . . eine quadratische Gleichung, weil die<br />

höchste Potenz der Variablen x quadratisch ist.<br />

a x 2 + b x + c = 0<br />

4 x 2 – 7 x – 2 = 0 mit a = 4, + b = – 7 und + c = – 2 gilt:<br />

x 1/2 = − (−7) ± √ (−7)2 − 4 . 4 . (−2)<br />

2 . 4<br />

x 1/2 =<br />

x 1/2 =<br />

− (−7) ± √ 49 − 4 . 4 . (−2)<br />

2 . 4<br />

7 ± √ 49 + 32<br />

8<br />

x 1/2 = 7 ± √ 81<br />

8<br />

x 1/2 = 7 ± 9<br />

8<br />

x 1 = 7 + 9<br />

8<br />

x 2 = 7 − 9<br />

8<br />

Nur zur Ansicht<br />

x 1 = 2 x 2 = − 1<br />

4<br />

Sie ist in der Norm(al)form gegeben.<br />

Beachte, dass nur die Vorzahlen<br />

a , b und c in die Formel eingesetzt<br />

werden und nicht die Variable x.<br />

– 4 . (+) 4 . ( – 2 ) = + 32<br />

Wollen wir uns auch hier in einer Vorschau veranschaulichen, was wir beim Lösen quadratischer Gleichungen<br />

eigentlich berechnen:<br />

manfred.ambach 110 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Eine quadratische Gleichung der Norm(al)-Form a . x 2 + b . x + c = 0<br />

entstammt einer sog. quadratischen Funktion der allgemeinen Form a . x 2 + b . x + c = y .<br />

Jede quadratische Funktion besitzt prinzipiell eine der unten angeführten Formen:<br />

Lautet die quadratische Funktion z.B.<br />

y = 4 x² – 7 x – 2<br />

und wir setzen y = 0, so erhalten wir die<br />

quadratische Gleichung 0 = 4 x² – 7 x – 2 ,<br />

deren Lösungen x 1 =2 und x 2 = – 1 4<br />

wir im letzten Beispiel bestimmten.<br />

lauten,<br />

Da wir in der Funktionsgleichung y = 0 setzten,<br />

ermitteln wir auch hier die Punkte der Kurve,<br />

die auf der x-Achse liegen,<br />

also die Nullpunkte.<br />

Was wir derzeit noch nicht angeben können ist, ob die Kurve<br />

oben oder unten offen ist und wie weit sie in diesen Fällen<br />

nach unten bzw. oben reicht.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Wie viele Punkte kann eine quadratische Funktion auf der x-Achse haben?<br />

Anders gefragt:<br />

Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben?<br />

manfred.ambach 111 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel: 2 x² + x – 6 = 0 a = 2 b = 1 c = – 6<br />

x 1/2 =<br />

– 1 ± √ 1 2 – 4 . 2 . (– 6)<br />

2 . 2<br />

x 1/2 =<br />

x 1/2 =<br />

x 1 = 3<br />

2<br />

N 1 ( 3 2 /0)<br />

– 1 ± √ 49<br />

4<br />

– 1 ± 7<br />

4<br />

x 2 = – 2<br />

N 2(−2/0)<br />

Beispiel: x² – 4 x + 4 = 0 a = 1 b = – 4 c = 4<br />

x 1/2 =<br />

– (−4) ± √ (−4) 2 – 4 . 1 . 4<br />

2 . 1<br />

x 1/2 =<br />

x 1/2 =<br />

4 ± √ 0<br />

2<br />

x 1/2 = 2<br />

N(2/0)<br />

4 ± 0<br />

2<br />

Man spricht von einer sog. Doppellösung.<br />

Beispiel: 3 x² + 2 x + 1 = 0 a = 3 b = 2 c = 1<br />

Nur zur Ansicht<br />

x 1/2 = − 2 ± √ 2 2 – 4 . 3 . 1<br />

2 . 3<br />

x 1/2 = − 2 ± √ – 8<br />

6<br />

Da die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl<br />

keine reelle Zahl ergibt,<br />

besitzt die Gleichung keine reelle Lösung.<br />

→ kein Nullpunkt<br />

Welcher der Nullpunkte mit N 1 bzw. N 2 bezeichnet wird, ist unerheblich.<br />

manfred.ambach 112 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Betrachten wir die letzten drei Beispiele, lässt sich folgendes erkennen:<br />

Rechnerisch hängen die Lösungsmöglichkeiten einer quadratischen Gleichung<br />

vom Wurzelinhalt der Auflösungsformel ab:<br />

Die allgemeine Norm(al)form einer quadratischen Gleichung lautet<br />

und die dazugehörige Auflösungsformel<br />

x 1/2 =<br />

a x 2 + b x + c = 0<br />

– b ± √ b 2 – 4 . a . c<br />

2 . a<br />

Den Wurzelinhalt, also b 2 – 4 a c , nennt man Diskriminante D<br />

discriminare ( lateinisch ): unterscheiden<br />

All unsere Berechnungen finden immer in den reellen Zahlen R satt. Demnach gilt:<br />

Ist D > 0, der Wurzelinhalt also positiv, besitzt die Gleichung 2 (reelle) Lösungen,<br />

ist D = 0, der Wurzelinhalt also null, besitzt die Gleichung 1 (reelle) Lösung,<br />

ist D < 0, der Wurzelinhalt also negativ, besitzt die Gleichung keine (reelle) Lösung.<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 113 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

– Bestimme in der Gleichung 2 x 2 + 4 x + c = 0 den Koeffizienten (die Vorzahl) c so, dass diese Gleichung<br />

* zwei (reelle) Lösungen,<br />

* eine (reelle) Lösung,<br />

* keine (reelle) Lösung besitzt.<br />

Der Wurzelinhalt lautet hier D = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = 4 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ c = 16 − 8 ⋅ c<br />

* 2 Lösungen: D > 0 → 16 − 8 ⋅ c > 0 | − 16<br />

−8 ⋅ c > −16 | ∶ (−8)<br />

c < 2 (#)<br />

* 1 Lösung: D = 0 → 16 − 8 ⋅ c = 0 | − 16<br />

−8 ⋅ c = −16<br />

c = 2<br />

| ∶ (−8)<br />

* keine Lösung: D < 0 → 16 − 8 ⋅ c < 0 | − 16<br />

−8 ⋅ c < −16 | ∶ (−8)<br />

c > 2 (#)<br />

(#) (Lineare) Ungleichungen werden im Prinzip wie Gleichungen behandelt.<br />

2 Ausnahmen:<br />

Nur zur Ansicht<br />

<br />

<br />

Am Ende soll die Variable auf der linken Seite stehen.<br />

Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder<br />

durch eine negative Zahl dividiert, so ist das Ungleichheits-Zeichen zu ändern!<br />

Für c < 2 besitzt diese Gleichung<br />

zwei reelle Lösungen.<br />

Für c = 2 besitzt diese Gleichung<br />

eine reelle Lösungen.<br />

Für c > 2 besitzt diese Gleichung<br />

keine reelle Lösungen.<br />

Beispiele:<br />

4 < 8 | . (−2) 9 > 6 | ∶ (−3)<br />

−8 > −16<br />

−3 < −2<br />

manfred.ambach 114 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel der Zentralmatura am 12.1.2017<br />

Die tatsächliche Leistung eines bestimmten Windrades in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit v kann<br />

für Windgeschwindigkeiten von 5 m/s bis 10 m/s näherungsweise durch die Polynomfunktion P beschrieben<br />

werden.<br />

P(v) = 0,0175 ⋅ v 2 − 0,0796 ⋅ v + 0,0391 mit 5 ≤ v ≤ 10<br />

v … Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)<br />

P(v) … Leistung bei der Windgeschwindigkeit v in Megawatt (MW)<br />

– Berechnen Sie, bei welcher Windgeschwindigkeit eine Leistung von 0,5 MW erzielt wird.<br />

Zunächst zum Text:<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Wir suchen die Windgeschwindigkeit v, bei der die Leistung P = 0,5 MW beträgt:<br />

P(v) = 0, 5<br />

Diesen Wert setzen wir statt P(v) in die Funktionsgleichung ein:<br />

P(v) = 0, 5 ∶ 0, 5 = 0, 0175 ⋅ v 2 – 0, 0796 ⋅ v + 0, 0391<br />

Nur zur Ansicht<br />

Damit erhalten wir eine Gleichung in v, die wir mit GeoGebra lösen:<br />

Da nur der Wert 7,89 im Gültigkeitsbereich liegt, lautet die Antwort:<br />

Bei einer Windgeschwindigkeit von 7,89 m/s beträgt die Leistung 0,5 MW.<br />

manfred.ambach 115 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Beim Fallschirmspringen befindet man sich solange im freien Fall, bis der Schirm geöffnet wird.<br />

Während des freien Falls wird der dabei zurückgelegte Weg s annähernd durch folgende Weg-Zeit-Funktion<br />

beschrieben:<br />

s(t) = g<br />

2 ⋅ t2<br />

t … freier Fall in Sekunden (s)<br />

s(t) … zurückgelegter Weg in Metern (m) zum Zeitpunkt t<br />

g … Erdbeschleunigung ≈ 10 m/s 2<br />

– Berechnen Sie wie lange es dauert, bis der Fallschirmspringer 1 Kilometer (km) im freien Fall zurückgelegt hat.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

1 km = 1 000 m = s(t)<br />

s(t) = g<br />

2 ⋅ t2<br />

1 000 = 10<br />

2<br />

⋅ t 2<br />

1 000 = 5 ⋅ t 2 | ∶ 5<br />

200 = t 2 | √<br />

Nur zur Ansicht<br />

±14,14 = t<br />

oder:<br />

Beachte, dass die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl zwei Werte ergibt!<br />

Für diese Aufgabe kommt nur der positive Wert in Frage.<br />

Es dauert 14,14 Sekunden, bis der Fallschirmspringer 1 km im freien Fall zurückgelegt hat.<br />

manfred.ambach 116 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

3.1.3. Gleichungen höheren ( als 2. ) Grades<br />

Beispiele für solche Gleichungen:<br />

4 x 3 – 5 x 2 + x + 1 = 0 Gleichung 3. Grades<br />

x 4 – 2 x 3 = 0<br />

3.1.3.1. Gleichungen 3. Grades<br />

Gleichung 4. Grades<br />

Die Norm(al)form (allgemeine Form) einer Gleichung 3. Grades lautet:<br />

mit a, b, c und d als Zahlen und x der Variablen.<br />

Beispiel: 2 x 3 + x 2 – 5 x + 2 = 0<br />

Veranschaulichung:<br />

Die der Gleichung 3. Grades 2 x 3 + x 2 – 5 x + 2 = 0<br />

a . x 3 + b . x 2 + c . x 1 + d . x 0 = 0<br />

Nur zur Ansicht<br />

entsprechende Funktion 3. Grades<br />

2 x 3 + x 2 – 5 x + 2 = y<br />

besitzt drei Punkte auf der x-Achse:<br />

Die sogenannten Nullpunkte<br />

N 1 (−2/0) N 2 (0,5/0) N 3 (1/0)<br />

manfred.ambach 117 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

( Polynom- ) Funktionen 3. Grades können in der Regel folgende Verläufe einnehmen:<br />

N 1<br />

y<br />

Da eine Polynomfunktion 3. Grades<br />

höchstens 3 Nullpunkte (Punkte auf der x-Achse )<br />

besitzen kann,<br />

verfügt eine Gleichung 3. Grades<br />

über höchstens 3 (reelle) Lösungen.<br />

Eine Polynomfunktion 3. Grades kann auch nur<br />

2 Nullpunkte besitzen, deshalb kann eine<br />

Gleichung 3. Grades auch nur<br />

2 (reelle) Lösungen aufweisen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

N<br />

y<br />

N 2<br />

x<br />

x<br />

Oder es existiert nur 1 Nullpunkt<br />

und somit auch nur 1 (reelle) Lösung.<br />

Einen Nullpunkt besitzt eine Polynomfunktion 3. Grades<br />

immer, da sie entweder aus dem Negativ-Unendlichen<br />

y-Bereich kommt und ins Positiv-Unendliche geht<br />

oder umgekehrt und damit zumindest einmal die x-Achse<br />

kreuzen muss.<br />

manfred.ambach 118 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

3.1.3.2. Gleichungen 4. Grades<br />

Die Norm(al)form (allgemeine Form) einer Gleichung 4. Grades lautet:<br />

mit a, b, c, d und e als Zahlen und x der Variablen.<br />

Beispiel: x 4 – 3 x 3 – x² + 3 x = 0<br />

Veranschaulichung:<br />

Die der Gleichung 4. Grades x 4 – 3 x 3 – x² + 3 x = 0<br />

entsprechende Funktion 4. Grades<br />

x 4 – 3 x 3 – x² + 3 x = y<br />

besitzt vier Punkte auf der x-Achse:<br />

Die sogenannten Nullpunkte<br />

N 1 (−1/0) N 2 (0/0) N 3 (1/0) N 4 (3/0)<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 10<br />

a . x 4 + b . x 3 + c . x 2 + d . x 1 + e . x 0 = 0<br />

Nur zur Ansicht<br />

Jetzt gilt es noch M 3 zu passieren, . . .<br />

Fortsetzung S 129<br />

. . . . . danach den nächsten<br />

Mittelpunkt usw.<br />

manfred.ambach 119 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

( Polynom- ) Funktionen 4. Grades können in der Regel folgende Verläufe einnehmen:<br />

Da eine Polynomfunktion 4. Grades<br />

höchstens 4 Nullpunkte (Punkte auf der x-Achse ) besitzen kann,<br />

verfügt eine Gleichung 4. Grades<br />

über höchstens 4 (reelle) Lösungen.<br />

Eine Polynomfunktion 4. Grades kann auch nur<br />

3 Nullpunkte besitzen, deshalb kann eine<br />

Gleichung 4. Grades auch nur<br />

3 (reelle) Lösungen aufweisen.<br />

Eine Polynomfunktion 4. Grades kann auch nur<br />

2 Nullpunkte besitzen, deshalb kann eine<br />

Gleichung 2. Grades auch nur<br />

2 (reelle) Lösungen aufweisen.<br />

Eine Polynomfunktion 4. Grades kann auch nur<br />

1 Nullpunkt besitzen, deshalb kann eine<br />

Gleichung 2. Grades auch nur<br />

1 (reelle) Lösung aufweisen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Oder es existiert kein Nullpunkt<br />

und somit auch keine (reelle) Lösung.<br />

manfred.ambach 120 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

3.2. Gleichungen mit mehreren Variablen<br />

Korrekt spricht man von Gleichungssystemen.<br />

Gleichungs-System meint, es werden Lösungen gesucht, die für alle Gleichungen gelten.<br />

Suchen wir gemeinsame Lösungen von Gleichungen,<br />

sind das geometrisch gemeinsame Punkte von Linien.<br />

Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen ( Unbekannten ):<br />

I: 2 x + y = 10<br />

II: 3 x + y = 13<br />

Beispiel eines nicht-linearen Gleichungssystems in zwei Variablen:<br />

f: y = x 2 – 2 x – 2<br />

g: y = x – 2<br />

g<br />

Wie wir sehen werden, stellt eine<br />

lineare Gleichung mit zwei Variablen<br />

geometrisch eine Gerade dar.<br />

Der gemeinsame Punkt beider Geraden ist der<br />

Schnittpunkt S.<br />

f ist eine quadratische Funktion und g eine<br />

lineare Funktion.<br />

Nur zur Ansicht<br />

In diesem Fall haben die Linien zwei<br />

gemeinsame Punkte, die beiden<br />

Schnittpunkte S1 und S2 .<br />

manfred.ambach 121 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

3.2.1. Lineare Gleichungen mit 2 Variablen<br />

Bevor wir uns den Lösungsverfahren widmen, veranschaulichen wir die<br />

manfredambach<br />

manfredambach<br />

möglichen Lösungen linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen<br />

y<br />

y<br />

y<br />

S<br />

I<br />

I<br />

II<br />

II<br />

x<br />

x<br />

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen stellen<br />

lineare Funktionen dar, deren Graphen Geraden sind.<br />

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen<br />

können demnach<br />

. . . eine Lösung – dh, einen Schnittpunkt – besitzen,<br />

wenn die Geraden zueinander nicht parallel liegen,<br />

. . . über keine Lösung (keine gemeinsamen Punkte)<br />

verfügen, wenn die Geraden zueinander parallel sind,<br />

Nur zur Ansicht<br />

I = II<br />

x<br />

. . . unendlich viele Lösungen<br />

(unendlich viele gemeinsame Punkte) besitzen, wenn<br />

die Geraden identisch sind, dh, beide Gleichungen<br />

dieselbe Gerade beschreiben.<br />

manfredambach<br />

manfred.ambach 122 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Nun zu den<br />

3.2.1.1. Lösungsmethoden<br />

3.2.1.1.1. Gleichsetzmethode<br />

Beispiel:<br />

I: 2 x + 1 y = 10 – 2 x<br />

II: 3 x + 1 y = 13<br />

I: y = 10 – 2 x<br />

II: y = 13 – 3 x<br />

– 3 x<br />

10 – 2 x = 13 – 3 x + 3 x<br />

10 + x = 13 – 10<br />

x = 3<br />

I: y = 10 – 2 . 3<br />

y = 10 – 6<br />

y = 4<br />

Man wird wohl den einfacheren Ausdruck auswählen.<br />

Egal, welchen Ausdruck man wählt, man erhält für die noch zu berechnende Variable immer denselben Wert!<br />

Der gemeinsame Punkt ( der Schnittpunkt ) beider<br />

Geraden hat die Koordinaten S ( 3 / 4 ).<br />

y<br />

Man drückt aus beiden Gleichungen<br />

die gleiche Variable aus und setzt die<br />

Ausdrücke einander gleich.<br />

Die andere Variable berechnet<br />

man, indem man den errechneten<br />

Wert in einen der Ausdrücke<br />

einsetzt.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Gleichsetzmethode ist dann günstig, wenn eine der Variablen in beiden Gleichungen<br />

die Vorzahlen 1 bzw. – 1 besitzt.<br />

manfred.ambach 123 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

3.2.1.1.2. Einsetzmethode ( Substitutionsmethode )<br />

Beispiel: I: 4 x + 5 y = 23<br />

II: 1 x – 2 y = – 4<br />

II: x = – 4 + 2 y<br />

x<br />

+ 2 y<br />

I: 4 . ( – 4 + 2 y ) + 5 y = 23<br />

– 16 + 8 y + 5 y = 23<br />

– 16 + 13 y = 23 + 16<br />

13 y = 39 : 13<br />

y = 3<br />

II: x = – 4 + 2 . 3<br />

x = – 4 + 6<br />

x = 2<br />

Der gemeinsame Punkt (der Schnittpunkt) beider<br />

Geraden besitzt die Koordinaten S ( 2 / 3 ).<br />

Man drückt aus einer Gleichung eine Variable aus<br />

und setzt diesen Ausdruck in die andere Gleichung<br />

ein.<br />

Die andere Variable berechnet man,<br />

indem man den errechneten Wert in<br />

den Ausdruck einsetzt.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Einsetzmethode ist dann günstig, wenn eine der Variablen in einer der Gleichungen<br />

die Vorzahl 1 oder – 1 besitzt.<br />

manfred.ambach 124 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

3.2.1.1.3. Additionsmethode ( Eliminationsmethode )<br />

Beispiel: I: 6 x + 3 y = 12<br />

II: 9 x – 4 y = 1<br />

I: 6 x + 3 y = 12 . 4<br />

II: 9 x – 4 y = 1 . 3<br />

I: 24 x + 12 y = 48<br />

II: 27 x – 12 y = 3<br />

Bemerkung:<br />

51 x = 51 : 51<br />

x = 1<br />

II: 9 . 1 – 4 y = 1<br />

Prinzipiell ist es gleichgültig, ob die Variable x oder y eliminiert (zum Verschwinden gebracht) wird.<br />

Im eigenen Interesse sollte man jedoch jene Variable wählen, bei der man mit einfacheren<br />

Berechnungen das Auslangen findet.<br />

9 – 4 y = 1 – 9<br />

– 4 y = – 8 : ( – 4)<br />

y = 2<br />

+<br />

Nur zur Ansicht<br />

Somit lauten die Koordinaten des Schnittpunktes<br />

S ( 1 / 2 ).<br />

Man multipliziert eine oder beide<br />

Gleichungen mit jeweils solchen Zahlen, dass<br />

eine der Variablen gegengleiche Vorzahlen<br />

erhält.<br />

Gegengleiche Zahlen sind z.B. + 9 und – 9<br />

Dann addiert man die Gleichungen.<br />

Die andere Variable berechnet man, indem<br />

man den errechneten Wert in die einfachere<br />

Ausgangsgleichung einsetzt.<br />

manfred.ambach 125 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

3.2.2. Gleichungssysteme mit<br />

Beispiel:<br />

I: x + y + z = 0<br />

II : 4 x + 2 y + z = 1<br />

III : 9 x + 3 y + z = 3<br />

Man schreibt jede Gleichung in eine eigene Zeile des<br />

CAS – Fensters.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Durch Betätigen von ENTER kommt man in die<br />

nächste Zeile.<br />

Beachte, dass die Kreise unterhalb der Zeilen-Nummern nicht ausgefüllt sind!<br />

manfred.ambach 126 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Jetzt hält man die<br />

-Taste<br />

und die linke Maustaste gedrückt halten<br />

und markiert alle Zeilennummern (blau hinterlegt), in<br />

denen die Gleichungen stehen.<br />

Jetzt noch den Button<br />

angeklickt und<br />

In der den Gleichungen folgenden Zeile werden die<br />

Lösungen ersichtlich.<br />

Auf diese Weise lassen sich<br />

alle Gleichungssysteme, gleich welchen Grades und mit wie viel Variablen,<br />

berechnen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 127 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Drei Geschwister, Hanni, Lea und Paul, besitzen Handys von drei verschiedenen Anbietern. Hanni zahlt pro Monat<br />

a Euro. Lea zahlt pro Monat drei Viertel so viel wie Hanni, Paul bezahlt pro Monat das eineinhalb Fache von Lea.<br />

Die Eltern zahlen Hanni, Lea und Paul zu Weihnachten ihre Handyrechnungen für den Monat Dezember.<br />

– Stellen Sie eine möglichst vereinfachte Formel für den Gesamtbetrag G auf, den die Eltern dafür zu<br />

bezahlen haben.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

G = a + 0,75 ⋅ a + 1,5 ⋅ 0,75 ⋅ a = 23<br />

⋅ a Euro= 2, 875 ⋅ a Euro<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 11<br />

Fortsetzung S 128<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 12<br />

8<br />

Um zum Ziel Z zu gelangen,<br />

muss der Läufer immer mehr<br />

"Mittelpunkte" durchlaufen,<br />

deren Anzahl immer größer<br />

wird, also gegen unendlich<br />

geht.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Nennen wir die Reststrecken vom<br />

jeweiligen Mittelpunkt bis<br />

zum Ziel Z den jeweiligen " M-Lauf " .<br />

Dann könnten wir folgende Aussagen formulieren:<br />

Der Läufer müsste eine unendliche Anzahl von "M-Läufen" zurücklegen.<br />

Es ist unmöglich, dass der Läufer eine unendliche Anzahl von "M-Läufen" absolviert.<br />

Also kommt der Läufer nie ans Ziel.<br />

Fortsetzung S 137<br />

manfred.ambach 128 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Aufgabe Kompensationsprüfung am 05.06.2018<br />

Ein Betrieb produziert Packungen mit gemischten, qualitativ hochwertigen Nüssen. Werden 18 kg Haselnüsse<br />

mit 6 kg Walnüssen vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese Mischung 67,5 Cent pro 100 g.<br />

Werden 9 kg Haselnüsse und 15 kg Walnüsse vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese<br />

Mischung 78,75 Cent pro 100 g.<br />

– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Kosten für 1 kg Haselnüsse und der Kosten für 1 kg<br />

Walnüsse.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Der grau hinterlegte Textteil ist nicht notwendig!<br />

Ein Betrieb produziert Packungen mit gemischten, qualitativ hochwertigen Nüssen. Werden 18 kg Haselnüsse<br />

mit 6 kg Walnüssen vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese Mischung 67,5 Cent pro 100 g.<br />

Werden 9 kg Haselnüsse und 15 kg Walnüsse vermischt, so betragen die durchschnittlichen Kosten für diese<br />

Mischung 78,75 Cent pro 100 g.<br />

x … Kosten in € für 1 kg Haselnüsse<br />

y … Kosten in € für 1 kg Walnüsse<br />

67,5 Cent pro 100 g 10 . 100 g = 1 000 g = 1 kg 10 . 67,5 Cent = 675 Cent = 6,75 € pro kg<br />

78,75 Cent pro 100 g 10 . 100 g = 1 000 g = 1 kg 10 . 78,75 Cent = 787,5 Cent = 7,875 € pro kg<br />

Wenn 1 kg Haselnüsse x € kosten, kosten 18 kg Haselnüsse 18-mal so viel: 18 . x<br />

Wenn 1 kg Walnüsse y € kosten, kosten 6 kg Walnüsse 6-mal so viel: 6 . y<br />

Diese Mischung besteht dann aus 18 kg + 6 kg = 24 kg, wobei 1 kg dieser Mischung 6,75 € kostet: 24 . 6,75<br />

Wenn 1 kg Haselnüsse x € kosten, kosten 9 kg Haselnüsse 9-mal so viel: 9 . x<br />

Wenn 1 kg Walnüsse y € kosten, kosten 15 kg Walnüsse 15-mal so viel: 15 . y<br />

Diese Mischung besteht dann aus 9 kg + 15 kg = 24 kg, wobei 1 kg dieser Mischung 7,875 € kostet: 24 . 7,875<br />

Damit lautet das Gleichungssystem:<br />

Nur zur Ansicht<br />

18 . x + 6 . y = 24 . 6,75<br />

9 . x + 15 . y = 24 . 7,875<br />

manfred.ambach 129 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Die Entfernung von A nach B auf einer geradlinigen Strecke beträgt 20 km. Der Zug fährt mit einer<br />

Durchschnittsgeschwindigkeit von v 1 von A nach B. Eine Schnellbahn, deren Geschwindigkeit um ein Drittel<br />

geringer ist als die des Zuges, fährt in die entgegengesetzte Richtung. Der Zug passiert A zum selben Zeitpunkt wie<br />

die Schnellbahn den Ort B. Sie begegnen einander nach 10 Minuten.<br />

– Berechnen Sie die Geschwindigkeit v 1 des Zuges.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Eine Skizze zur Veranschaulichung:<br />

Die Geschwindigkeit v 2 der Schnellbahn ist um ein Drittel kleiner als die Geschwindigkeit des Zuges.<br />

Also beträgt die Geschwindigkeit der Schnellbahn zwei Drittel von der Geschwindigkeit des Zuges. → v 2 = 2<br />

⋅ v 3<br />

1<br />

Die zurückgelegten Wege der beiden Bahnen bis zum Treffpunkt müssen wohl die 20 km ergeben. → s 1 + s 2 = 20<br />

Die Formel für die Geschwindigkeit lautet v = s<br />

s 1 = v 1 ⋅ t = v 1 ⋅ 10<br />

s 1 + s 2 = 20<br />

v 1<br />

= v 1<br />

60 6<br />

s 2 = v 2 ⋅ t = v 2 ⋅ 10<br />

t<br />

| . t → v . t = s<br />

60 = 2<br />

3 ⋅ v 1 ⋅ 1<br />

6 = 1<br />

⋅ v 9<br />

1 = v 1<br />

9<br />

Nur zur Ansicht<br />

6 + v 1<br />

9 = 20 Bemerkung 1:<br />

Gleichung im CAS-Fenster!<br />

Bemerkung 2:<br />

v1 erhält man in GeoGebra, indem man v_1 eingibt.<br />

! Da die Geschwindigkeit in km/h<br />

gegeben ist, muss der Weg in km<br />

und die Zeit in h (Stunden)<br />

angegeben werden!<br />

10 min = 10<br />

60 h<br />

Der Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von 72 km/h.<br />

manfred.ambach 130 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Aufgabe der Zentralmatura am 09.05.2018<br />

Katharina und Georg arbeiten als Pflegekräfte in einem Heim. Sie bekommen das gleiche monatliche Grundgehalt.<br />

Im Februar lag in diesem Heim ein besonderer Arbeitsbedarf vor. Georg leistete 14 Überstunden, Katharina<br />

leistete 46 Überstunden. Ihr jeweiliges Gesamtentgelt setzt sich aus dem Grundgehalt und der Abgeltung für die<br />

geleisteten Überstunden zusammen. Jede Überstunde wird dabei gleich abgegolten.<br />

Das Gesamtentgelt von Georg betrug im Februar € 2.617, jenes von Katharina betrug € 3.433.<br />

– Ermitteln Sie das Grundgehalt und die Abgeltung für eine Überstunde.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

x … Grundgehalt in € y … Abgeltung für eine Überstunde in €<br />

Georg: x + 14 y = 2 617<br />

Katharina: x + 46 y = 3 433<br />

Nur zur Ansicht<br />

Das Grundgehalt beträgt 2 260 €, eine Überstunde wird mit 25,50 € abgegolten.<br />

manfred.ambach 131 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Man sollte alles so einfach wie möglich sehen–<br />

aber nicht einfacher.<br />

Albert EINSTEIN<br />

( 1879 – 1955 )<br />

4. ELEMENTARGEOMETRIE<br />

4.1. Lehrsatz des PYTHAGORAS<br />

Der Lehrsatz des PYTHAGORAS darf NUR in rechtwinkeligen Dreiecken verwendet werden.<br />

A<br />

Kathete<br />

Hypotenuse<br />

Der Lehrsatz des PYTHAGORAS lautet:<br />

C<br />

.<br />

Kathete<br />

B<br />

Im rechtwinkeligen Dreieck gilt:<br />

Katheten . . . . . die Seiten, die den rechten Winkel<br />

einschließen<br />

Hypotenuse . . . die Seite gegenüber dem<br />

rechten Winkel ( die längste Seite )<br />

Nicht die Bezeichnung der Seiten ist von<br />

Bedeutung, sondern deren Lage.<br />

So kann z.B. die Seite gegenüber dem rechten Winkel<br />

a oder s heißen und ist trotzdem die Hypotenuse.<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 132 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel:<br />

Gib für folgende rechtwinkelige Dreiecke den pythagoräischen Lehrsatz mit den in den Skizzen verwendeten<br />

Bezeichnungen an.<br />

Beispiel:<br />

a 2 + b 2 = x 2 b 2 + c 2 = a 2 m 2 + x 2 = a 2<br />

Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man die Längen der Kathete a = 4,6 cm und der Hypotenuse c = 6,2 cm.<br />

Berechne die Länge der fehlenden Kathete und den Flächeninhalt des Dreiecks.<br />

gegeben: a = 4,6 cm<br />

c = 6,2 cm<br />

gesucht: b =<br />

A =<br />

Zur Ermittlung des Rechengangs<br />

genügt es, wenn die Skizze den<br />

beschriebenen Sachverhalt<br />

entsprechend wiedergibt, ohne<br />

die konkreten Zahlenangaben zu<br />

berücksichtigen.<br />

Allerdings kann es dann z.B. sein,<br />

dass die in der Skizze längere<br />

Kathete sich rechnerisch als die<br />

kürzere erweist.<br />

Nur zur Ansicht<br />

a² + b² = c²<br />

4,6² + b² = 6,2² | – 4,6²<br />

A<br />

Skizze:<br />

b<br />

Rechengang<br />

c<br />

C<br />

.<br />

a<br />

B<br />

Ergebnisse<br />

b² = 6,2² – 4,6² | √<br />

b = √<br />

6,2² – 4,6² ≠ √ 6,2² − √ 4,6²<br />

b = 4,16 cm<br />

manfred.ambach 133 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Für das rechtwinkelige Dreieck gilt<br />

a.b<br />

A mit a und b als den Katheten A = 9,56 cm²<br />

2<br />

Aus<br />

b<br />

2<br />

2<br />

2<br />

c a<br />

folgt NICHT b c a<br />

Dieser Sachverhalt lässt sich auch gut veranschaulichen:<br />

Beispiel:<br />

.<br />

Wollen wir uns obigen Sachverhalt verbildlichen:<br />

Angenommen, ein Flugzeug möchte direkt von Salzburg<br />

nach Linz fliegen. Wegen einer Gewitterfront muss es den<br />

Umweg über Suben im Innviertel einschlagen.<br />

Sollte aus a² + b² = c² folgen, dass a + b = c<br />

ist, würde jeder noch so weite Umweg gleich lang wie die<br />

direkte Strecke sein!<br />

Der Lehrsatz des PYTHAGORAS darf auch dann verwendet werden,<br />

wenn sich in Formen rechtwinkelige Dreiecke als Teilfiguren finden lassen.<br />

Der Querschnitt eines Daches ist ein gleichschenkeliges Dreieck mit<br />

den abgebildeten Längen in Metern (m).<br />

Nur zur Ansicht<br />

– Bestimme die Höhe dieses Daches.<br />

Was ist denn eigentlich<br />

ein Querschnitt?<br />

manfred.ambach 134 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Rechengang<br />

h 2 + 2,1 2 = 6,5 2 | − 2,1 2<br />

h 2 = 6,5 2 − 2,1 2 | √<br />

h = √ 6,5 2 − 2,1 2<br />

4.2. Strahlensatz<br />

Querschnitt oder Querschnittsfläche bedeutet, dass<br />

ein Körper quer, d.h. im rechten Winkel, zu seiner<br />

Längsachse durchschnitten wird.<br />

Ergebnisse<br />

h = 6,15 m<br />

Der Strahlensatz darf in allen ähnlichen Dreiecken verwendet werden.<br />

Das sind Dreiecke, die in allen entsprechenden Winkeln übereinstimmen<br />

bzw. deren entsprechende Seiten parallel liegen.<br />

Mögliche Strahlensätze:<br />

Nur zur Ansicht<br />

a 1<br />

a 2<br />

a 1<br />

b 1<br />

b 2<br />

c 2<br />

=<br />

=<br />

=<br />

. . .<br />

b 1<br />

b 2<br />

a 2<br />

b 2<br />

b 1<br />

c 1<br />

Die Reihenfolge, die auf der linken Seite gewählt wurde, muss rechts beibehalten werden!<br />

manfred.ambach 135 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel Zentralmatura am 21.9.2015<br />

Tennis<br />

Ein Spieler trifft beim Aufschlag den Ball in einer Höhe von 2,3 m im Punkt A genau über der Mitte der Grundlinie.<br />

Er visiert den Punkt B (Mitte der Aufschlaglinie) an. Um nicht ins Netz zu gehen, muss der Ball das Netz in einer<br />

Höhe von mindestens 1 Meter (über dem Boden) überqueren. Die Flugbahn des Tennisballes beim Aufschlag kann<br />

modellhaft mittels einer Gerade beschrieben werden.<br />

Skizze: BMB<br />

– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Aufschlag über das Netz geht.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Das rote und das blaue<br />

Dreieck sind rechtwinkelig.<br />

Die Seiten x und 2,3 m<br />

sowie die Seiten 6,4 m und<br />

6,4 + 6,4 + 5,5 = 18,3 m<br />

liegen zueinander parallel.<br />

Deshalb dürfen wir hier den<br />

Strahlensatz anwenden:<br />

Nur zur Ansicht<br />

x<br />

2,3<br />

= 6,4<br />

18,3<br />

| ⋅ 2,3 → x = 6,4<br />

18,3<br />

⋅ 2,3 = 0,80 m<br />

Da der Ball beim Netz nur eine Höhe von 0,8 m erreicht, geht er nicht über das Netz.<br />

manfred.ambach 136 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

4.3. Kreis und Kreisteile<br />

k<br />

d<br />

Auf der Kreislinie k liegen alle unendlich vielen Punkte, die von einem<br />

Punkt, dem Mittelpunkt M, den gleichen Abstand r besitzen.<br />

M . . . Mittelpunkt<br />

r . . . Radius<br />

d . . . Durchmesser<br />

k . . . Kreislinie<br />

Flächeninhalt<br />

Umfang<br />

d = 2 . r<br />

A = r 2 . π<br />

U = 2 . r . π<br />

Die Zahl π entstammt dem Versuch, aus einem Kreis von gegebenem Radius ein Quadrat zu konstruieren, das<br />

über den gleichen Flächeninhalt verfügt. Bei diesem Problem handelt es sich um die sog. Quadratur des Kreises.<br />

Kreissektor (Kreisausschnitt):<br />

M<br />

r … Radius<br />

b … Bogenlänge<br />

α … Zentriwinkel<br />

A … Flächeninhalt des Kreisbogens<br />

b =<br />

r ⋅ π ⋅ α<br />

180°<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 13<br />

r<br />

A =<br />

r² ⋅ π ⋅ α<br />

360°<br />

Dass der Läufer eine endlich lange Strecke nie durchlaufen können sollte,<br />

widerspricht unserer Erfahrung und Logik!<br />

Fortsetzung S 147<br />

manfred.ambach 137 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel Kompensationsprüfung am 06.06.2018<br />

Zur Modellierung einer Flammenspitze können Kreisbögen mit dem Radius a verwendet werden.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Grafik: BMB<br />

– Berechnen Sie den Flächeninhalt der<br />

Flamme für a = 3 cm.<br />

Der grüne und der rote Kreissektor sind gleich<br />

groß, denn beide haben als Radius r = a und den<br />

Zentriwinkel 60°.<br />

2 ⋅ a2 ⋅ π ⋅ 60°<br />

= 32 ⋅ π<br />

= 3 π = 9,42 cm²<br />

360° 3<br />

Allerdings ist das blaue Dreieck bei beiden<br />

Flächen der Sektoren dabei. Deshalb müssen wir<br />

einmal die Fläche des gleichseitigen Dreiecks<br />

abziehen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

A ∆ = a2 ⋅ √ 3<br />

4<br />

= 32 ⋅ √ 3<br />

4<br />

= 3,90 cm<br />

9, 42 cm 2 − 3, 90 cm 2 = 5, 52 cm² ist der Flächeninhalt der Flamme.<br />

manfred.ambach 138 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

4.4. Prismen<br />

Beispiele für Prismen:<br />

Für alle Prismen gilt:<br />

Prismen sind Körper, deren Grundfläche G und Deckfläche D gleich sind,<br />

d.h. gleich geformt und gleich groß.<br />

Quader Zylinder allgemeines Prisma<br />

G: Rechteck G: Kreis G: beliebige Form<br />

Nur zur Ansicht<br />

→ Volumen des Quaders:<br />

V = a . b . h<br />

Volumen = Grundfläche mal Körperhöhe<br />

V = G ⋅ h<br />

→ Volumen des Zylinders:<br />

V =⋅ r 2 ⋅ π ⋅ h<br />

manfred.ambach 139 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel:<br />

Wie viel m 3 hat ein km 3 ?<br />

Volumen eines Würfels: V = a 3 = a . a . a<br />

V = 1 km . 1 km . 1 km = 1 . km . 1. km . 1 . km = 1 . 1 . 1 . km . km . km = 1 km 3<br />

V = 1 000 m . 1 000 m . 1 000 m = 1 000 . m . 1 000 . m . 1 000 . m = 1 000 . 1 000 . 1 000 . m . m . m<br />

V = 1 000 000 000 m 3<br />

So muss gelten: 1 km 3 = 1 000 000 000 m 3 = 1.10 9 m 3<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 140 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Ein Volumen von 2 500 Barrel (bbl) auslaufenden Erdöls bedeckt eine Meeresfläche von 4 250 km 2 . Der Ölteppich<br />

breitet sich gleichmäßig aus. 1 bbl Erdöl entspricht ungefähr 159 Liter.<br />

– Berechnen Sie, wie dick der Ölteppich ist.<br />

– Geben Sie das Ergebnis in Nanometer (nm) an.<br />

V = A ⋅ h ∶ A<br />

V<br />

A<br />

= h<br />

397 500 dm 3<br />

Nur zur Ansicht<br />

4,25 ⋅ 10 11 dm 2<br />

A = 4 250 km 2<br />

Der Ölteppich ist 93,53 nm dick.<br />

h<br />

= h → h = 0,0000009353 dm<br />

1 m<br />

V = 2 500 . 159<br />

V = 397 500 l = 397 500 dm 3 (1)<br />

A = 4 250 km 2 = 425 000 000 000 dm 2<br />

= 4,25 ⋅ 10 11 dm 2 (2)<br />

Für alle Körper, deren Grundfläche G und Deckfläche D<br />

gleich sind, gilt:<br />

Volumen V = G ⋅ h<br />

= 0,000009353 m = 93,53 nm = h<br />

= 10 dm 1 nm = 1 . 10 –9 m<br />

: 10 : 1 . 10 –9<br />

(1) 1 l = 1 dm 3<br />

(2) 1 km 2 = 100 ha → 1 ha = 100 a → 1 a = 100 m 2 → 1 m 2 = 100 dm 2 → 1 km 2 = 100 000 000 dm²<br />

manfred.ambach 141 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

4.5. Spitze Körper<br />

Beispiele für spitze Körper:<br />

Für alle spitzen Körper gilt:<br />

quadratische Pyramide<br />

Nur zur Ansicht<br />

→ Volumen der quadratischen Pyramide:<br />

Kegel<br />

G: Quadrat G: Kreis<br />

Volumen =<br />

V = G⋅h<br />

Grundfläche mal Körperhöhe<br />

3<br />

V = a2 . h<br />

3<br />

3<br />

→ Volumen des Kegels: V = r2 .π⋅ h<br />

3<br />

manfred.ambach 142 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Hilfsskizze:<br />

Die Pyramide vor dem Pariser Louvre hat eine quadratische<br />

Grundfläche mit einer Grundkante von<br />

a = 35 m und einer Höhe von h = 21 m.<br />

– Bestimmen Sie die mit Glas verbaute Fläche.<br />

Wir suchen den Mantel M der Pyramide.<br />

Dieser besteht aus 4 gleichschenkeligen Dreiecken mit<br />

der Grundlinie a und der Höhe h a .<br />

Das gleichschenkelige Dreieck besitzt die<br />

Flächenformel A = a . h a<br />

.<br />

Damit lautet die Formel für den Mantel M<br />

Nur zur Ansicht<br />

Mit a = 35 m und h = 21 m erhalten wir:<br />

h a = √( a 2 )2 + h 2 = √( 35<br />

2 )2 + 21 2 = 27,34 m<br />

2<br />

M = 4 ⋅ a . h a<br />

= 2 . a . h<br />

2<br />

a<br />

h a können wir im eingezeichneten rechtwinkeligen<br />

Dreieck mit dem pythagoräischen Lehrsatz bestimmen:<br />

h 2 a = ( a 2<br />

2 ) + h 2 → h a = √( a 2<br />

2 ) + h 2<br />

Man kann natürlich gleich so rechnen:<br />

h a = √17,5 2 + 21 2 = 27,34 m<br />

M = 2 . a . h a = 2 . 35 . 27,34 = 1 913,8 m 2<br />

Die mit Glas verbaute Fläche misst 1 913,8 m 2 .<br />

manfred.ambach 143 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

4.6. Kugel<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

r … Radius V … Volumen O …Oberfläche<br />

Nur zur Ansicht<br />

V =<br />

4 ⋅ r3 ⋅ π<br />

3<br />

0 = 4 ⋅ r 2 ⋅ π<br />

Das Atomium in Brüssel ist ein Bau, der ein Eisenmolekül in 165-milliardenfacher Vergrößerung darstellt.<br />

Die Kugeln, aus denen dieser Bau besteht, haben einen Durchmesser von 18 Metern.<br />

– Bestimmen Sie den Radius eines kugelförmigen Eisenmoleküls in Nanometern (nm).<br />

r Atomium = 18<br />

2 = 9 m → r Eisenmolekül =<br />

9 m<br />

165 ⋅ 10 9<br />

– Ermittle das Gesamtvolumen der 9 Kugeln des Atomiums.<br />

V = 9 ⋅<br />

4 ⋅ 9 3 ⋅ π<br />

3<br />

= 27 482,65 m³<br />

= 5,45 ⋅ 10 −11 m = 0,055 nm<br />

1 nm = 1 ⋅ 10 −9 m<br />

: 1 ⋅ 10 −9<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=WQkFClzyiAI<br />

manfred.ambach 144 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Lösung:<br />

– Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so,<br />

dass eine korrekte Aussage entsteht.<br />

Begründung:<br />

V alt = 4 ⋅ r3 ⋅ π<br />

3<br />

Wird der Radius einer Kugel ______1_________ , so _______2_______ sich ihr Volumen.<br />

verdoppelt<br />

2<br />

halbiert<br />

verdreifacht<br />

1<br />

Nur zur Ansicht<br />

V = 4 ⋅ (2 ⋅ r)3 ⋅ π<br />

= 4 ⋅ 8 ⋅ r3 ⋅ π<br />

= 8 ⋅ 4 ⋅ r3 ⋅ π<br />

= 8 ⋅ V<br />

3<br />

3<br />

3<br />

alt<br />

V = 4 ⋅ (r 2 )3 ⋅ π<br />

3<br />

= 4 ⋅ r3<br />

8 ⋅ r3 ⋅ π<br />

3<br />

= 4 ⋅ 1 ⋅ r3<br />

⋅ r<br />

8<br />

3 ⋅ π<br />

3<br />

verdoppelt<br />

2<br />

achtelt<br />

verneunfacht<br />

= 1 8 ⋅ 4 ⋅ r3 ⋅ π<br />

3<br />

2<br />

= 1 8 ⋅ V alt<br />

V = 4 ⋅ (3 ⋅ r)3 ⋅ π<br />

3<br />

= 4 ⋅ 27 ⋅ r3 ⋅ π<br />

3<br />

= 27 ⋅ 4 ⋅ r3 ⋅ π<br />

3<br />

= 27 ⋅ V alt<br />

manfred.ambach 145 pro-test.-at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

5. TRIGONOMETRIE<br />

5.1. Winkelmaße<br />

Es gibt auf der Welt zwei fundamentale Richtungen:<br />

senkrecht oder lotrecht, auch vertikal genannt. Diese<br />

Richtung zeigt zum Erdmittelpunkt. Alle Körper in Erdnähe<br />

werden von unserem Planeten in diese Richtung<br />

angezogen.<br />

waagrecht bzw. horizontal: Die Lage, die die<br />

Wasseroberfläche in ruhendem Zustand einnimmt.<br />

Spätestens die Babylonier ( Babylonisches Reich 1839 v. Chr. – 539 v. Chr. )<br />

teilten den rechten ( im Sinne für das Bauen richtigen ) Winkel in<br />

90 o ein und entsprechend den Vollkreis in 360 o .<br />

Dabei gilt: 1 o = 60 ' 1 ' = 60 '' ' ... Winkelminuten '' ... Winkelsekunden<br />

Winkel in diesem Gradmaß werden mit griechischen Kleinbuchstaben angegeben. Hier einige Bezeichnungen:<br />

alpha lamda<br />

beta μ my<br />

gamma pi<br />

delta ρ rho<br />

epsilon sigma<br />

Ach, sagte die Maus, die Welt wird enger mit jedem Tag. Zuerst war sie so breit, dass ich Angst hatte,<br />

ich lief weiter und war glücklich, dass ich endlich rechts und links in der Ferne Mauern sah,<br />

aber diese langen Mauern eilen so schnell aufeinander zu, dass ich schon im letzten Zimmer bin<br />

und dort im Winkel steht die Falle, in die ich laufe.<br />

Du musst nur die Laufrichtung ändern, sagte die Katze, und fraß sie.<br />

Franz KAFKA<br />

( 1883 – 1924 )<br />

(1)<br />

Nur zur Ansicht<br />

(1) tria ( griechisch: drei ), gōnia ( griechisch: Eck ), - metrie bedeutet, es wird etwas gemessen<br />

manfred.ambach 146 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Im Jahre 1795 legten Franzosen die Winkel-Einheit Neugrad ( gon ) ,<br />

wie nebenstehend skizziert, fest. Demnach besitzt der<br />

Vollkreis 400 g(on) , der rechte Winkel misst 100 g(on) .<br />

Einerseits wurde dieses Winkelmaß nach der Französischen Revolution als Zeichen<br />

des Bruches mit früheren Verhältnissen eingeführt, andererseits war es der<br />

Versuch, auch die Winkeleinteilung dekadisch, also nach den Regeln des<br />

10-er Systems, zu gestalten.<br />

Diese Winkeleinheit hat sich nicht durchgesetzt. Der Vorteil, dass<br />

1 g = 100 Winkelminuten und 1 Winkelminute = 100 Winkelsekunden hat,<br />

ist durch die elektronischen Unterstützungen obsolet geworden.<br />

Mit dem Bogenmaß existiert eine dritte Möglichkeit, die Größe von Winkeln anzugeben. Es findet in der Physik<br />

Verwendung und besitzt (eigentlich) keine Einheit. Da wir nur das gängige Gradmaß verwenden, belasse ich den<br />

Ausflug in die Winkelmaße damit.<br />

Gradmaß α<br />

π ⋅ α<br />

180°<br />

= x<br />

Danach ergibt sich beispielsweise für<br />

Bogenmaß x<br />

180° π<br />

90°<br />

270°<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 14<br />

Nehmen wir an, der Läufer<br />

benötigt für die Strecke von S bis M 1<br />

2 min. Dann braucht er (bei gleicher<br />

Geschwindigkeit) von M 1 bis M 2 die Hälfte<br />

π<br />

2<br />

3 π<br />

2<br />

dieser Zeit, also 1 min, von M 2 bis M 3<br />

1<br />

Minute, von 2 M3 nach M4 1 Minute usw.<br />

4<br />

Fortsetzung S 150<br />

manfred.ambach 147 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Das Rechnen mit Winkelfunktionen mit Casio :<br />

Kennen den Winkel und suchen den Wert der Winkelfunktion:<br />

Beispiel: sin ( 30 o ) =<br />

Beachte, dass in der Kopfzeile des Displays der Buchstabe D<br />

steht.<br />

D steht für Degree ( englisch: Grad )<br />

Steht statt D ein G [ Gon, gemeint sind Neugrad ] oder R [ Radiant ( Bogenmaß ) ], so gehe so vor:<br />

Betätige die abgebildete Tastenkombination . . .<br />

. . . und es erscheint das abgebildete Befehls-Fenster.<br />

Drücke nun die Taste<br />

. . . und es erscheint das abgebildete Befehls-Fenster.<br />

Drücke nun die Taste<br />

Nur zur Ansicht<br />

Wir betätigen die<br />

–Taste ( 4. Reihe von oben,<br />

3. von rechts ) und am Display erscheint<br />

nebenstehender Befehl.<br />

manfred.ambach 148 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Jetzt geben wir den Winkel ein und schließen die<br />

Es ist also sin ( 30 o ) = 1<br />

2<br />

bzw. 0,5<br />

Klammer<br />

Zuletzt noch auf<br />

das Ergebnis.<br />

Kennen den Wert der Winkelfunktion und suchen den Wert des Winkels:<br />

Beispiel: sin α = 0,7071<br />

Den Wert der Winkelfunktion eingegeben, die Klammer geschlossen , auf<br />

erscheint.<br />

α = sin – 1 ( 0,7071 ) = 44,99945053 o = 45,00 o .<br />

(5. Reihe von oben, 3. von rechts).<br />

gedrückt und wir erhalten<br />

Die Umkehrfunktion von sin, den sog. arcsin, am TR<br />

sin –1 , erhalten wir mit folgender Tastenkombination:<br />

Damit erscheint am Display sin –1 .<br />

gedrückt und der Winkel<br />

Nur zur Ansicht<br />

Im Folgenden die Winkelfunktionen, ihre Umkehrungen<br />

und die Bezeichnungen am Taschenrechner:<br />

Winkelfunktion ihre Umkehrung Casio<br />

Sinus ( sin ) Arcussinus ( arcsin ) sin –1<br />

Cosinus ( cos ) Arcuscosinus ( arccos ) cos –1<br />

Tangens ( tan ) Arcustangens ( arctan ) tan –1<br />

manfred.ambach 149 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

sinus (lateinisch): Biegung, Rundung<br />

cosinus : Abkürzung von sinus complementari : der Sinus des Komplementärwinkels (des auf 90 o ergänzten Winkels)<br />

z.B. ist der sin (30 o ) = cos ( 90 o – 30 o ) = cos (60 o )<br />

tangens (lateinisch): berührend<br />

arcus (lateinisch): Bogen<br />

5.2. Graphen der Winkelfunktionen<br />

5.2.1. sin und cos<br />

Im Folgenden sind die Graphen dargestellt und wesentliche Eigenschaften besprochen.<br />

Sinus<br />

Eigenschaften:<br />

• Die Funktion sin ist für alle x R, also für alle reellen Zahlen definiert<br />

• Alle 360° wiederholen sich die Funktionswerte<br />

Nur zur Ansicht<br />

Man spricht deshalb von einer periodischen Funktion mit der Periode 360°<br />

• Der größte y-Wert, den der Sinus annimmt, ist + 1, der kleinste y-Wert, den der Sinus annimmt, ist – 1<br />

sin<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 15<br />

Für die benötigte Laufzeit ergibt demnach 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . Minuten<br />

Fortsetzung S 185<br />

manfred.ambach 150 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Cosinus<br />

Eigenschaften:<br />

• Die Funktion cos ist für alle x R, also für alle reellen Zahlen definiert<br />

• Alle 360° wiederholen sich die Funktionswerte<br />

Man spricht deshalb von einer periodischen Funktion mit der Periode 360<br />

• Der größte y-Wert, den der Cosinus annimmt, ist + 1, der kleinste y-Wert, den der Cosinus annimmt, ist – 1<br />

Nur zur Ansicht<br />

Verschiebt man den Graphen des Sinus um 90° nach links, so entsteht der Graph des Cosinus.<br />

Verschiebt man den Graphen des Cosinus um 90° nach rechts, so entsteht der Graph des Sinus.<br />

cos<br />

sin<br />

cos<br />

manfred.ambach 151 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

5.2.2. tan<br />

Tangens<br />

tan tan tan tan<br />

tan tan tan tan<br />

Eigenschaften:<br />

• Die Funktion tan ist für alle reellen Zahlen außer den ungeraden Vielfachen von 90° definiert.<br />

• Alle 180° wiederholen sich die Funktionswerte.<br />

Man spricht deshalb von einer periodischen Funktion mit der Periode 180°<br />

• Die y-Werte können jede reelle Zahl annehmen, also von −∞ bis +∞ gehen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Der Tangens ist deshalb für alle ungeraden Vielfachen von 90° nicht definiert, weil der Tangens festgelegt ist als<br />

tan(α) =<br />

sin(α)<br />

cos(α)<br />

und der Cosinus bei allen ungeraden Vielfachen von 90° gleich Null ist.<br />

Ein Bruch mit dem Nenner Null ergibt aber keine Zahl (und auch nichts anderes).<br />

manfred.ambach 152 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

5.3. Winkelfunktionen im Einheitskreis<br />

Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung.<br />

Der Radius ist 1 Längeneinheit groß.<br />

Betrachten wir zunächst den Einheitskreis:<br />

<br />

<br />

Was soll denn das heißen?<br />

1 Längeneinheit ???<br />

Warum nicht 1 cm oder 1 dm ?<br />

Weil, lieber Fredo, ein Radius von 1 cm oft zu klein<br />

ist um alles Notwendige einzuzeichnen und 1 dm<br />

wiederum zu groß!<br />

Du musst dir nur im Klaren sein, dass der Radius im<br />

Einheitskreis immer<br />

1 Längeneinheit lang ist, gleich, ob du ihn z.B. 4 cm<br />

oder 55 mm lang zeichnest!<br />

Nur zur Ansicht<br />

Alle Winkel werden von der positiven x-Achse aus gemessen.<br />

Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn aufgetragen,<br />

negative Winkel mit dem Uhrzeigersinn.<br />

≡ ist das Zeichen für entspricht<br />

II<br />

III<br />

I<br />

IV<br />

I … 1. Quadrant: 0° < α < 90° II … 2. Quadrant: 90° < α < 180°<br />

III … 3. Quadrant: 180° < α < 270° IV … 4. Quadrant: 270° < α < 360°<br />

manfred.ambach 153 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Sin und Cosinus im Einheitskreis<br />

<br />

Alle Winkel werden von der positiven x-Achse (= 1. Schenkel des Winkels) aus gemessen.<br />

Der 2. Schenkel des Winkels schneidet in einem Punkt den Einheitskreises.<br />

Dessen x-Koordinate ist der Cosinus des Winkels, dessen y-Koordinate der Sinus des Winkels.<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 154 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Tangens im Einheitskreis<br />

<br />

Alle Winkel werden von der positiven x-Achse (= 1. Schenkel des Winkels) aus gemessen.<br />

Der 2. Schenkel des Winkels schneidet in einem Punkt den Einheitskreis.<br />

Der Tangens berührt den Einheitskreis parallel zum Sinus des Winkels.<br />

Nur zur Ansicht<br />

tangere (lateinisch): berühren<br />

manfred.ambach 155 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

5.4. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck<br />

Beispiel:<br />

Im rechtwinkeligen Dreieck ist die Seite gegenüber<br />

dem rechten Winkel die Hypotenuse,<br />

die Seiten, die den rechten Winkel einschließen,<br />

die Katheten.<br />

Die am Winkel anliegende Kathete heißt<br />

Ankathete.<br />

Die dem Winkel gegenüberliegende Kathete nennt<br />

man Gegenkathete.<br />

Nur die Hypotenuse bleibt immer Seite gegenüber rechtem Winkel.<br />

Wer An– und wer Gegenkathete ist, richtet sich nach dem verwendeten Winkel!<br />

Gleich wie die Seiten benannt werden,<br />

die Lage ist es, die entscheidet!<br />

Nur zur Ansicht<br />

Hypotenuse . . . . . . . . . y<br />

Hypotenuse . . . . . . . . . PR ̅̅̅̅<br />

Ankathete von β . . . . . z<br />

Gegenkathete von β . . x<br />

Ankathete von ε . . . . . ̅̅̅̅ QR<br />

Gegenkathete von ε . . ̅̅̅̅ PQ<br />

manfred.ambach 156 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Im rechtwinkeligen Dreieck sind die Winkelfunktionen wie folgt definiert:<br />

sin (α) = Gegenkathete<br />

Hypotenuse<br />

cos (α) =<br />

Ankathete<br />

Hypotenuse<br />

tan (α) = Gegenkathete<br />

Ankathete<br />

Die Winkelfunktionen dürfen nur in rechtwinkligen Dreiecken verwendet werden.<br />

Mit dem rechten Winkel lässt sich keine Winkelfunktion angeben,<br />

da der rechte Winkel keine Gegenkathete und zwei Ankatheten besitzt.<br />

Betrachten wir die Formeln der Winkelfunktionen, so kommen in jeder der Gleichungen 3 Größen – 2 Seiten und<br />

1 Winkel – vor. Will ich konkrete Zahlenwerte erhalten, darf ich in einer Gleichung nur eine unbekannte Größe<br />

vorfinden. Deshalb benötige ich im rechtwinkeligen Dreieck stets 2 gegebene Größen:<br />

entweder 2 Seiten oder 1 Seite und 1 Winkel ( 90° ).<br />

Bemerkung: Kenne ich den Winkel, so lässt sich der Wert der Winkelfunktion leicht bestimmen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Weiters gilt in rechtwinkeligen Dreiecken:<br />

o Lehrsatz des PYTHAGORAS: ( eine Kathete ) 2 + ( andere Kathete ) 2 = ( Hypotenuse ) 2<br />

o Flächeninhalt: A= a . b<br />

2<br />

a, b . . . Katheten<br />

o<br />

In allen Dreiecken gilt: + + γ = 180 o<br />

manfred.ambach 157 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Beispiel:<br />

Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man den Winkel = 42 o und die Länge der Kathete a = 4,6 cm.<br />

Berechne die fehlenden Umfangstücke und den Flächeninhalt des Dreiecks.<br />

Umfangstücke: alle Seiten und Innenwinkel<br />

gegeben:<br />

gesucht: b =<br />

c =<br />

=<br />

A =<br />

= 42 o<br />

a = 4,6 cm<br />

Fertige zunächst ruhig eine Freihand-Skizze an, um dir einen<br />

ersten Überblick zu verschaffen.<br />

Jetzt die Skizze mit Lineal.<br />

Erläuterungen Rechengang Ergebnisse<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die gegebene Seite a ist Gegenkathete<br />

des bekannten Winkels .<br />

Also wählen wir eine Winkelfunktion,<br />

die die Gegenkathete besitzt.<br />

Zur Auswahl stehen Sinus und Tangens.<br />

Entscheiden wir uns für den Sinus, so<br />

berechnen wir die Hypotenuse, bei<br />

Verwendung des Tangens die<br />

Ankathete.<br />

Wir haben die Wahl.<br />

sin(α) = a<br />

c<br />

sin(42°) = 4,6<br />

c<br />

| . c<br />

c . sin(42°) = 4,6 | ∶ sin (42°)<br />

c =<br />

4,6<br />

sin(42°)<br />

c = 6,87 cm<br />

manfred.ambach 158 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Erläuterungen Rechengang Ergebnisse<br />

Jetzt kennen wir die Kathete a und die<br />

Hypotenuse c.<br />

Mit Hilfe des pythagoräischen<br />

Lehrsatzes können wir die Länge der<br />

Seite b ermitteln.<br />

In jedem Dreieck beträgt die Summe der<br />

Innenwinkel 180 o . Zwei der drei Winkel,<br />

und 90 o , kennen wir.<br />

Für den Flächeninhalt eines<br />

rechtwinkeligen Dreiecks verfügen wir<br />

über eine eigene Flächenformel.<br />

a 2 + b 2 = c²<br />

4,6 2 + b 2 = 6,87 2 | − 4,6²<br />

b 2 = 6,87 2 − 4,6 2 | √<br />

b = √ 6,87 2 − 4,6 2<br />

+ + 90° + 180° → 42° + β − 90° = 180°<br />

A =<br />

a . b<br />

2<br />

b = 5,10 cm<br />

132° + β = 180° | − 132° = 48 O<br />

→ A =<br />

4,6 . 5,10<br />

2<br />

Wähle immer die passenden Einheiten und beschrifte die Resultate.<br />

≠ √6, 87 2 − √4, 6²<br />

A = 11,73 cm²<br />

Nur zur Ansicht<br />

Beispiel der Zentralmatura am 12.1.2017<br />

Hausbau<br />

a) Der Querschnitt eines Dachstuhls ist in der nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt.<br />

– Erstellen Sie eine Formel, mit der<br />

man den Winkel α aus a und h<br />

berechnen kann.<br />

Erstellen Sie eine Formel, mit der man den Winkel α aus a und h berechnen kann.<br />

manfred.ambach 159 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Formel erstellen<br />

= Rechengang (allgemein) angeben<br />

Formel … aus a und h:<br />

Es dürfen nur diese Größen in der Formel vorkommen<br />

b) Der Querschnitt eines Dachstuhls ist in der<br />

nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt.<br />

Alle Längen sind in Metern angegeben.<br />

– Berechnen Sie b.<br />

cos(38°) =<br />

x<br />

6,50<br />

tan(α) =<br />

Nur zur Ansicht<br />

5,12 − 4,25 = 0, 87 m<br />

h<br />

a<br />

2<br />

→ α = tan −1 2 ⋅ h<br />

(<br />

a )<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

| ⋅ x → cos(38°) ⋅ 6,50 = x → 5,12 m= x<br />

= h ∶ a<br />

2 = h ⋅ 2<br />

a = 2 ⋅ h<br />

a<br />

Link: https://www.youtube.com/watch?v=0H_Wji_bV1Y<br />

manfred.ambach 160 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

5.5. Winkelsätze (Cluster )<br />

Die Winkelsätze können auch in allgemeinen (nicht–rechtwinkeligen) Dreiecken<br />

angewendet werden.<br />

5.5.1. Sinus – Satz<br />

<br />

<br />

Beispiel:<br />

a<br />

sin(α) =<br />

b<br />

sin(β) =<br />

Für den Sinus – Satz benötigt man 3 gegebene Größen: entweder 2 Seiten und 1 Winkel<br />

oder: 1 Seite und 2 Winkel<br />

Für den Sinus – Satz liegen die passenden Bestimmungsstücke gegenüber.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Von einem (allgemeinen) Dreieck kennt man die Länge der Seite a = 16 cm und die Winkeln α = 46°<br />

sowie β = 52°.<br />

– Bestimme alle fehlenden Umfangstücke.<br />

c<br />

sin(γ)<br />

Umfangstücke: alle Seiten und (Innen-) Winkel<br />

manfred.ambach 161 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Skizze:<br />

gegeben: a = 16 cm<br />

α = 46°<br />

β = 52°<br />

gesucht: b, c und γ<br />

a<br />

sin(α) =<br />

16<br />

sin(46°) =<br />

16 ⋅ sin (52°)<br />

sin(46°)<br />

b<br />

sin(β)<br />

b<br />

sin(52°)<br />

| ⋅ sin(52°)<br />

= b → b = 17, 53 cm<br />

<br />

<br />

<br />

Wir kennen 2 Winkel und 1 Seite.<br />

Ein gegebener Winkel und eine gegebene Seite<br />

liegen einander gegenüber Sinussatz<br />

Dem gegebenen Winkel β liegt die Seite b<br />

gegenüber Wir berechnen zunächst b.<br />

In jedem Dreieck gilt:<br />

α + β + γ = 180°<br />

46° + 52° + γ = 180°<br />

98° + γ = 180° | − 98°<br />

γ = 82°<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 162 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Mit dem Sinus – Satz können wir jetzt noch die Seite c<br />

berechnen:<br />

a<br />

sin(α) =<br />

16<br />

sin(46°) =<br />

c<br />

sin(γ)<br />

16 ⋅ sin (82°)<br />

sin(46°)<br />

c<br />

sin(82°)<br />

| ⋅ sin(82°)<br />

= c → c = 22, 03 cm<br />

Für ein Konzert wird ein Sektor für VIPs reserviert. Die nachstehende Skizze veranschaulicht die Fläche dieses<br />

Sektors, wobei die Seitenlängen in Metern (m) angegeben sind.<br />

Nur zur Ansicht<br />

– Berechnen Sie die Seitenlänge x aus den gegebenen Größen.<br />

108,24° + 28,6° + α = 180°<br />

136,84° + α = 180° | − 136,84°<br />

α = 43, 16°<br />

manfred.ambach 163 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

x<br />

sin(43,16°) = 18<br />

sin(108,24°)<br />

| ⋅ sin (43,16°)<br />

x =<br />

18 ⋅ sin (43,16°)<br />

sin(108,24°)<br />

x = 12, 96 m<br />

– Erläutern Sie, warum die Berechnung der Länge x mit x = sin(28,6°) ⋅ h falsch ist.<br />

sin(28,6°) = h<br />

x<br />

Nur zur Ansicht<br />

| ⋅ x<br />

x ⋅ sin(28,6°) = h | ∶ sin (28,6°)<br />

x =<br />

h<br />

sin (28,6°)<br />

Die gegebene Umformung ist falsch, weil h durch den sin (28,6°) dividiert werden muss und nicht mit sin(28,6°)<br />

zu multiplizieren ist.<br />

5.5.2. Cosinus – Satz<br />

<br />

Für den Cosinus – Satz benötigt man 3 gegebene Größen:<br />

entweder 2 Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel<br />

oder:<br />

3 Seiten<br />

a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos(α)<br />

b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos(β)<br />

c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos(γ)<br />

<br />

Hat man einmal mit dem Cosinus – Satz gerechnet, kann danach immer der Sinus – Satz verwendet werden.<br />

manfred.ambach 164 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Weiters gilt in (allgemeinen) Dreiecken:<br />

<br />

<br />

Beispiel:<br />

A = a⋅h a<br />

2<br />

A = a⋅b<br />

2<br />

= b⋅h b<br />

2<br />

⋅ sin(γ)<br />

= c⋅h c<br />

2<br />

Gemeint sind: 2 Seiten und der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels<br />

Die gegebenen Größen liegen hier wie für den Cosinus – Satz,<br />

aber bei der Flächenformel ist sin zu verwenden!<br />

Von einem (allgemeinen) Dreieck kennt man die Längen der Seiten a = 34 mm , b = 28 mm und den Winkel<br />

γ = 76°<br />

– Berechne die fehlende Seite und den Flächeninhalt des Dreiecks.<br />

Nur zur Ansicht<br />

c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos (γ)<br />

c 2 = 34 2 + 28 2 − 2 ⋅ 34 ⋅ 28 ⋅ cos (76°)<br />

Wir kennen zwei Seiten und den von<br />

ihnen eingeschlossenen Winkel<br />

Cosinus – Satz<br />

c 2 = 1 479,38 | √<br />

c = 38, 46 mm<br />

manfred.ambach 165 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

A =<br />

34 ⋅ 28<br />

2<br />

⋅ sin(76°)<br />

A = 461, 86 mm²<br />

https://www.youtube.com/watch?v=xsCR34mblpo&t=348s<br />

Lösungen: * A = 6 ⋅<br />

d<br />

2 ⋅ d<br />

2<br />

2<br />

Jemand möchte ein Gartenhaus errichten, das als Grundfläche<br />

ein regelmäßiges Sechseck besitzt, wie nebenstehend<br />

abgebildet.<br />

– Geben Sie eine Formel für den Flächeninhalt des<br />

Sechsecks in Abhängigkeit von d und α an.<br />

– Geben Sie die Größe des Winkels α an.<br />

⋅ sin ( α<br />

) = 3⋅d2<br />

⋅ sin ( α<br />

) * 120°<br />

2 4<br />

2<br />

Eigenschaften eines regelmäßigen Sechsecks:<br />

Nur zur Ansicht<br />

Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs<br />

gleichseitigen Dreiecken.<br />

manfred.ambach 166 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

5.6. Vermessungsaufgaben<br />

Höhenwinkel Tiefenwinkel Sehwinkel<br />

Beim Höhen- und Tiefenwinkel wird immer von der Waagrechten aus gemessen.<br />

Beim Visierwinkel ist das nicht zwingend. Hier wird das Objekt von den Winkel-Schenkeln umschlossen.<br />

horizontal . . . waagrecht → Horizontalebene: eine waagrechte Ebene<br />

vertikal . . . senkrecht bzw. lotrecht<br />

Beachte beim Ergänzen von Winkeln<br />

Horizontalwinkel: ein Winkel in einer waagrechten Ebene<br />

<br />

α + β = 90° α + β = 180°<br />

Nur zur Ansicht<br />

<br />

In allen Dreiecken gilt: α + β + γ = 180°<br />

manfred.ambach 167 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

<br />

Z „ Z-Regel“:<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Sind zwei parallele Strecken durch eine dritte Strecke verbunden,<br />

so sind die Winkel in den Ecken jeweils gleich groß.<br />

Ein Turm und ein Mast stehen in einer waagrechten Ebene.<br />

Von dem a Meter (m) hohen Turm sieht man die Spitze S des Mastes der Höhe h unter dem Höhenwinkel α,<br />

den Fußpunkt F dieses Mastes unter dem Tiefenwinkel β .<br />

– Fertigen Sie eine den Sachverhalt beschreibende Skizze an, in der alle beschriebenen Größen beschriftet<br />

werden.<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 168 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

– Berechnen Sie mit a = 5 m, α = 32° und β = 8,88° die Höhe h des Mastes.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Wegen der Z-Regel befindet sich der Winkel β<br />

auch bei F.<br />

x ist im rechtwinkeligen Dreieck AFP die<br />

Hypothenuse.<br />

Die gegebene Seite a ist Gegenkathete des Winkel<br />

β<br />

→ Sinus<br />

sin(β) = a<br />

x<br />

x . sin (β) = a<br />

x =<br />

a<br />

sin (β)<br />

5<br />

x =<br />

sin (8,88°)<br />

x = 32, 39 m<br />

Nur zur Ansicht<br />

| . x<br />

| ∶ sin (β)<br />

Die Winkel β und ε ergeben zusammen 90°.<br />

90° − ß = ε<br />

90° − 8,88° = 81, 12° = ε<br />

Im (allgemeinen) Dreieck PFS gilt:<br />

(α + β) + ε + μ = 180°<br />

μ = 180° − (α + β) − ε<br />

| − (α + β) − ε<br />

μ = 180° − (32° + 8,88°) − 81,12°<br />

μ = 58°<br />

manfred.ambach 169 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Die Höhe des Turmes beträgt 25 m.<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Jetzt kennen wir alle passenden Größen, um mit<br />

dem Sinus-Satz h berechnen zu können:<br />

h<br />

sin(α + β) =<br />

h =<br />

h =<br />

x<br />

sin(μ)<br />

x ⋅ sin (α + β)<br />

sin (μ)<br />

32,39 ⋅ sin (40,88°)<br />

sin (58°)<br />

h = 25, 00 m<br />

| . sin (α + β)<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Bahn auf die Festung Hohensalzburg ist eine Standseilbahn. Die Talstation liegt 429 Meter (m)<br />

über dem Meeresspiegel (ü.d.M.), die Bergstation 525,6 m ü.d.M. Die direkte Verbindungsstrecke<br />

zwischen Tal- und Bergstation hat eine Länge von 198,5 m.<br />

– Übertragen Sie den Text in eine passende Skizze, die mit den gegebenen Größen vollständig zu beschriften<br />

ist.<br />

manfred.ambach 170 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

h = 525,6 – 429 = 96,6 m<br />

– Berechnen Sie den Steigungswinkel der direkten Verbindungsstrecke zwischen Tal- und Bergstation.<br />

sin(α) = h<br />

s<br />

→<br />

α = sin −1 ( h<br />

) → α = 29, 12°<br />

s<br />

Nur zur Ansicht<br />

Bemerkung1: Höhenwinkel und Tiefenwinkel werden auch Neigungswinkel genannt.<br />

Bemerkung 2: Bei Diesen Berechnungen ist das Vorzeichen des Winkels ohne Bedeutung, weil es hier nur<br />

um die Größe geht.<br />

– Geben Sie die Steigung dieser Verbindungsstrecke in Prozent an.<br />

manfred.ambach 171 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Was bedeutet eigentlich die Steigung k einer Strecke (Geraden) ?<br />

Beispiel:<br />

Die Steigung k einer (geradlinigen) Strecke ist das<br />

Verhältnis von Höhenunterschied h und waagrecht gedachter Entfernung w,<br />

ist also der Tangens des Steigungswinkels<br />

Eine Steigung k von z.B. 12 % bedeutet, dass eine Strecke<br />

in w =100 m waagrechter Entfernung um h =12 m ansteigt.<br />

Damit gilt: Steigung k = h<br />

tan(α) = 0,12<br />

α = tan −1 (0,12) = 6,84°<br />

w<br />

= 12 % =<br />

12<br />

Nur zur Ansicht<br />

100<br />

= 0, 12 = tan(α)<br />

manfred.ambach 172 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Die Grundfläche einer Dachterrasse besitzt die Form eines Dreiecks mit den Seiten a, b und c.<br />

Folgende Informationen liegen vor:<br />

Der Umfang der Dachterrasse beträgt 36 m.<br />

Die Seite a ist eineinhalb Mal so lang wie b.<br />

Die Seite c um 100 cm länger als die Seite b.<br />

– Stellen Sie ein Gleichungssystem mit den Unbekannten a, b und c auf, mit dem sich diese Seitenlängen<br />

bestimmen lassen.<br />

– Ermitteln Sie die Längen der Seiten.<br />

– Berechnen Sie den größten Winkel in diesem Dreieck.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

I : a + b + c = 36<br />

II : a = 1,5 . b<br />

III : c = b + 1<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 173 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

II Algebra & Geometrie<br />

In jedem Dreieck gilt:<br />

Der größten Seite liegt der größte Winkel gegenüber.<br />

a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos (α)<br />

15 2 = 10 2 + 11 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ cos (α)<br />

225 = 100 + 121 − 220 ⋅ cos (α)<br />

225 = 221 − 220 ⋅ cos(α) | − 221<br />

4 = −220 ⋅ cos(α) | ∶ (−220)<br />

−0,01818 = cos(α)<br />

cos −1 (−0,01818) = α<br />

91, 04° = α<br />

Da hab‘ ich gleich zwei Fragen:<br />

Was mach ich, wenn ich nicht weiß, dass der<br />

größten Seite der größte Winkel gegenüber<br />

liegt?<br />

Warum lösen wir die Gleichung<br />

15 2 = 10 2 + 11 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ cos (α)<br />

nicht mit GeoGebra?<br />

Kannst du, erhältst aber<br />

Dann musst du alle Winkel<br />

berechnen.<br />

Um die entsprechenden Grad zu finden, müsstest du den Winkel 1,59 vom Bogenmaß ins Gradmaß verwandeln<br />

(siehe S 147) und außerdem wissen, dass für ein Dreieck k1 = 0 zu setzen ist.<br />

Nur zur Ansicht<br />

https://www.youtube.com/watch?v=xsCR34mblpo&t=348s<br />

manfred.ambach 174 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

III FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE<br />

6. FUNKTIONEN<br />

Wer auf andere Leute wirken will,<br />

der muss erst einmal in ihrer Sprache mit ihnen reden.<br />

Kurt TUCHOLSKY<br />

( 1890 – 1935 )<br />

Idee: Univ. Prof. Dr. Stefan SILLER<br />

Nur zur Ansicht<br />

Der grundlegende Unterschied zur ELEMENTARGEOMETRIE ( Kapitel 4 ) und TRIGONOMETRIE ( Kapitel 5 ) besteht darin,<br />

dass wir uns hier nicht mit der Berechnung von Längen, Flächen, Rauminhalten oder Winkeln befassen, sondern<br />

unser Interesse den Bedingungen für Punkte, die auf einer Linie liegen.<br />

Jede Linie, gleich ob sie unendlich lange oder begrenzt ist, setzt sich aus unendlich vielen Punkten zusammen.<br />

Die Gleichungen dieser Linien sind Maßgabe für die Koordinaten dieser Punkte. Deshalb spricht man auch von<br />

Koordinatengeometrie.<br />

Da wir nur zweidimensionale Fälle behandeln, stehen die x und y in jeder Linien-Gleichung<br />

für die x- und y- Koordinaten aller unzähligen Punkte, aus denen sich die jeweilige Linie zusammensetzt.<br />

Natürlich kann es nicht Aufgabe sein, die Koordinaten all dieser unendlich vielen Punkte zu bestimmen. Vielmehr<br />

müssen alle anderen Größen gegeben sein, damit die Gleichung eine konkret bestimmte Linie beschreibt.<br />

manfred.ambach<br />

175<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Hier Beispiele, die noch genaue Behandlung erfahren:<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

Polynomfunktion 1. Grades (lineare Funktion)<br />

y = k . x + d<br />

Gleichung beschreibt eine Linie, weil x und y vorkommen.<br />

x und y stehen für jeden der unendlich vielen Punkte,<br />

aus denen die Linie besteht.<br />

Gleichung beschreibt eine Funktion, weil y nur linear vorkommt.<br />

Gleichung beschreibt eine lineare Funktion (eine Gerade),<br />

weil x nur linear vorkommt.<br />

Gleichung beschreibt eine allgemeine lineare Funktion (Gerade),<br />

weil außer x und y noch andere Buchstaben vorkommen.<br />

y = 2 x + 1 beschreibt eine konkret gegebene lineare Funktion<br />

(Gerade), weil außer x und y nur Zahlen vorkommen.<br />

Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion)<br />

y = a . x² + b . x + c<br />

Gleichung beschreibt eine Linie, weil x und y vorkommen.<br />

x und y stehen für jeden der unendlich vielen Punkte,<br />

aus denen die Linie besteht.<br />

Gleichung beschreibt eine Funktion, weil y nur linear vorkommt.<br />

Gleichung beschreibt eine quadratische Funktion, weil die höchste<br />

Potenz von x quadratisch ist.<br />

Gleichung beschreibt eine allgemeine quadratische Funktion,<br />

weil außer x und y noch andere Buchstaben vorkommen.<br />

y = 3 x² +2 x – 1 beschreibt eine konkret gegebene<br />

quadratische Funktion, weil außer x und y nur Zahlen vorkommen.<br />

Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion)<br />

y = a . x³ + b . x² + c . x + d<br />

Nur zur Ansicht<br />

Gleichung beschreibt eine Linie, weil x und y vorkommen.<br />

x und y stehen für jeden der unendlich vielen Punkte,<br />

aus denen die Linie besteht.<br />

Gleichung beschreibt eine Funktion, weil y nur linear vorkommt.<br />

<br />

<br />

<br />

Gleichung beschreibt eine Funktion 3. Grades, weil die höchste Potenz<br />

von x hoch 3 ist.<br />

Gleichung beschreibt eine allgemeine Funktion 3. Grades,<br />

weil außer x und y noch andere Buchstaben vorkommen.<br />

y = 2 x³ +3 x² –4 x + 1 beschreibt eine konkret gegebene<br />

Funktion 3. Grades, weil außer x und y nur Zahlen vorkommen.<br />

manfred.ambach<br />

176<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.1. Koordinatensystem<br />

René DESCARTES<br />

( 1596 – 1650 )<br />

manfredambach<br />

y<br />

- 3<br />

- 2<br />

Wir verwenden ausschließlich das kartesische ( rechtwinkelige ) Koordinatensystem,<br />

benannt nach René DESCARTES, latinisiert, wie es zu seiner Zeit Mode war, Renatus<br />

CARTESIUS.<br />

DESCARTES war französischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler. Mit<br />

seinen Ideen und Auffassungen trug er maßgeblich zum Weltbild der Neuzeit bei.<br />

Zwar wurden seine naturwissenschaftlichen Theorien durch die NEWTONsche Physik zum<br />

Teil widerlegt bzw. ergänzt, doch gilt DESCARTES als Wegbereiter der mechanistischen<br />

Denkweise, die die zuvor Jahrhunderte gültige aristotelische Sicht der Naturphänomene<br />

hinter sich ließ und die Naturwissenschaften zu neuen Ufern führte.<br />

y- y-Achse<br />

- 1<br />

- 1<br />

- 2<br />

- 3<br />

+ 3<br />

+ 2<br />

+ 1<br />

+ 1 + 2 + 3<br />

Koordinaten - Ursprung<br />

x- x-Achse<br />

Die waagrechte Achse ist die x-Achse,<br />

die senkrechte Achse wird y-Achse<br />

genannt.<br />

Der Schnittpunkt der Koordinatenachsen<br />

ist der (Koordinaten-) Ursprung.<br />

Links des Ursprungs liegen die negativen<br />

x-Werte, rechts die positiven.<br />

Oberhalb des Ursprungs finden sich die<br />

positiven y-Werte, unterhalb die<br />

negativen.<br />

Die Koordinaten eines Punktes sind Strecken,<br />

gemessen vom Ursprung aus.<br />

Nur zur Ansicht<br />

1<br />

x<br />

1 4<br />

oder Ordinate<br />

P ( 4 / 3 )<br />

3<br />

y<br />

oder Stelle oder Argument<br />

oder Abszisse<br />

manfredambach<br />

manfred.ambach<br />

177<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

In allen Fällen sind die Achsen zu beschriften und auf beiden<br />

Achsen die Einheiten festzulegen (skalieren).<br />

Beispiel: Die Entwicklung der Weltbevölkerung seit dem Jahr 1700<br />

Jahresanfang<br />

Milliarden (Mrd.)<br />

1700 0,5<br />

1800 1,0<br />

1900 1,5<br />

1950 2,5<br />

1980 4,5<br />

2020 7,7<br />

Punkte werden in der Regel mittels (oder Kreuzchen) markiert.<br />

Nur besondere Punkte (siehe später) werden mit Großbuchstaben<br />

beschriftet.<br />

Das ist nicht immer möglich, wie das folgende Beispiel zeigt.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Da die jeweilige Bevölkerungs-Zahl abhängig vom betrachteten Jahr ist, ist<br />

t … die Zeit in Jahren , die unabhängige Variable<br />

und<br />

Müssen auf der x-Ache<br />

und y-Achse immer die<br />

gleichen Einheiten<br />

gewählt werden?<br />

B … die Bevölkerungszahl in Milliarden (Mrd.) , die abhängige Variable<br />

Man schreibt dann B(t) und meint die Bevölkerungszahl in Abhängigkeit des betrachteten Jahres.<br />

Die unabhängige Variable kommt immer auf die waagrechte Achse,<br />

die abhängige Variable auf die senkrechte Achse.<br />

manfred.ambach<br />

178<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.2. Funktionen – allgemein<br />

6.2.1. Was ist eine Funktion?<br />

Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der JEDEM Element der sog. Definitionsmenge<br />

GENAU EIN Element der sog. Wertemenge zugeordnet wird.<br />

Die Wertemange nennt man auch Wertebereich oder Bildmenge.<br />

Beispiel:<br />

Kann mir mal einer erklären,<br />

was dieser Satz bedeuten<br />

soll??<br />

Wir betrachten die Körpergrößen verschiedener Personen.<br />

OK, lieber Fredo, ein Beispiel gefällig?<br />

Die sog Definitionsmenge Df besteht hier aus den (Vor-) Namen der gemessenen Personen, die Wertemenge Wf<br />

aus den dabei erhaltenen Körpergrößen:<br />

Df = { Conny, Fabian, Norbert, Sara, Tom }<br />

Wf = { 165 cm, 172 cm, 184 cm }<br />

Die Zuordnung lautet hier: Jeder Person wird ihre Körpergröße zugeordnet.<br />

Angenommen, Conny misst 172 cm, ebenso Fabian. Norbert ist 184 cm groß, Sara verfügt über eine<br />

Körpergröße von 165 cm und Tom von 184 cm. Dann sieht diese Funktion im sog. Pfeil - Diagramm<br />

wie folgt aus:<br />

Nur zur Ansicht<br />

Im Pfeildiagramm erkennt man eine Funktion daran, dass von<br />

jedem Element der Definitionsmenge genau ein Pfeil abgeht.<br />

manfred.ambach<br />

179<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Würden wir beispielsweise jeder Person ihre<br />

Lieblingsspeise(n) zuordnen, so wäre diese Zuordnung<br />

nicht eindeutig und stellte keine Funktion dar.<br />

In nebenstehendem Beispiel isst Conny gerne Schnitzel und Mcs (Speisen<br />

von Mc Donald, Burger King, etc.). So führen von Conny zwei Pfeile weg.<br />

Fabians Favorit sind Spaghetti. Deshalb geht von Fabian nur ein Pfeil ab.<br />

Norbert führt Mcs als Lieblingsspeise an, dorthin führt sein Pfeil.<br />

Sara hat keine Lieblingsspeise, also geht auch kein Pfeil von ihrem<br />

Namen aus.<br />

Tom liebt Mcs und Gemüse, demnach gehen in diesem Fall zwei Pfeile<br />

von Tom aus.<br />

Funktionen begegnen uns oft im Alltag. Meist in grafischer Darstellung, wobei die Abhängigkeit einer Größe von<br />

einer anderen illustriert wird.<br />

Beispiel:<br />

Mcs<br />

Welche der folgenden Graphen stellt eine Funktion dar?<br />

A B C D<br />

Nur zur Ansicht<br />

Lösung: Nur C Warum? Weil nur bei C jedem x genau ein y zugeordnet ist.<br />

A B C D<br />

manfred.ambach<br />

180<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Beispiel einer Funktion:<br />

Um wie viel Uhr wird die Tageshöchsttemperatur erreicht?<br />

Allgemein gilt:<br />

Hier ist der Temperaturverlauf T in Zell am See<br />

in Abhängigkeit der Tageszeit t an einem<br />

Augusttag eines bestimmten Jahres<br />

wiedergegeben.<br />

t … unabhängige Variable<br />

T … abhängige Variable<br />

Man schreibt in diesem Fall T(t) und meint<br />

damit, dass die Temperatur T abhängig ist von<br />

der Tageszeit t .<br />

Diese nebenstehende Darstellung nennt man<br />

Funktionsgraph. Dieser wird mit T beschriftet.<br />

Zwischen 13:30 und 13:50 wird die<br />

Tageshöchsttemperatur erreicht.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Beispiel: Ein Heim und ein Land *<br />

T<br />

T<br />

Hungersnöte, politische Willkür und Unterdrückung hatten zur Folge, dass im 19. und 20. Jahrhundert Millionen Europäer ihren<br />

Kontinent verließen und ihr Glück in den Vereinigten Staaten von Amerika suchten.<br />

Nachfolgend ein Diagramm der Flüchtlingsströme:<br />

Die Anzahl E der Einwanderer pro Jahr ist in Abhängigkeit der Zeitdauer t in Jahren dargestellt.<br />

Es handelt sich also um eine Funktion E(t) .<br />

* Eine Zeile der US-Hymne<br />

manfred.ambach<br />

181<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Lesen wir folgende Daten aus dem Diagramm ab:<br />

a) Wie viele Menschen wanderten im Jahr 1910 in die USA ein?<br />

Im Jahr 1910 wanderten ca. 884 000 bis 905 000 Menschen in die USA ein<br />

b) Wann erreichte der Flüchtlingsstrom erstmals eine Größe von 800 000 Menschen pro Jahr?<br />

Nur zur Ansicht<br />

Im Jahr 1906 bzw. 1907 erreichte die Einwandererzahl erstmals eine Größe von 800 000.<br />

Es gilt wie in der Schule: bei Messfehler:<br />

Toleranzbereich ± 1 mm<br />

manfred.ambach<br />

182<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Der folgende Graph zeigt die Fahrt zweier Züge, TEE 24 und IC 640 auf der Strecke Salzburg – Stuttgart.<br />

– Kreuzen Sie die richtige Aussage an: [ 1 aus 5 ] *<br />

Beide Züge sind einschließlich Halte gleich lange unterwegs<br />

Der TEE fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 150 km/h<br />

Die Züge begegnen einander 200 km von Stuttgart entfernt.<br />

Der IC verlässt Stuttgart um 8:45<br />

Der TEE fährt bis zum ersten Halt 1,30 Stunden.<br />

* Das Format [ 1 aus 5 ] bedeutet, dass von den 5 Aussagen genau eine richtig ist.<br />

Lösung:<br />

Nur zur Ansicht<br />

Der TEE ist 3 h unterwegs, der IC 3,75 h.<br />

400 km<br />

v TEE = = 133,33 km/h<br />

3 h<br />

Sie begegnen einander 400-200 = 200 km von<br />

Stuttgart entfernt.<br />

Der IC verlässt Stuttgart um 8:30<br />

Der TEE fährt bis zum ersten Halt 1,5 h.<br />

! 1,5 h = 1 h 30 min ≠ 1,30 h<br />

Man muss beim [ 1 aus 5 ] – Format nichts rechnen, doch ist die Chance niedrig, durch Raten die richtige Lösung zu finden!<br />

manfred.ambach<br />

183<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.2.2. Bezeichnungen und Ausdrücke<br />

Aus Gründen der Übersicht seien hier die gängigen Begriffe und Benennungen für Funktionen zusammengefasst.<br />

A, B, C, . . . , P1 , P2 , . . . Punkte werden, wenn überhaupt, mit Großbuchstaben bezeichnet<br />

f , g , . . . , f 1 , f 2 , . . . Linien werden mit Kleinbuchstaben benannt. Ist auch der Name der Linie.<br />

Df . . . Definitionsmenge einer Funktion f<br />

Wf . . . Wertemenge bzw. Wertebereich bzw. Bildmenge einer Funktion f<br />

x . . . Elemente der Definitionsmenge bzw. x – Koordinate bzw. Stelle bzw. Argument<br />

bzw. unabhängige Variable bzw. Abszisse<br />

y . . . Elemente der Wertemenge bzw. Wertebereichs bzw. der Bildmenge bzw. abhängige Variable<br />

bzw. Ordinate<br />

y = f(x)<br />

f(x) . . . Funktionswert an der Stelle x bzw. Element der Wertemenge bzw. des Wertebereichs<br />

bzw abhängige Variable bzw. Ordinate<br />

Nur zur Ansicht<br />

Für Teilbereiche der reellen Zahlen ( R ) gibt es die<br />

Intervall-Schreibweise,<br />

wobei hier immer die unabhängige Variable gemeint ist.<br />

manfred.ambach<br />

184<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Beispiele und ihre Veranschaulichung:<br />

[ – 2 ; 3 ] bzw. [ – 2 ; 3 ]<br />

oder: −2 ≤ x ≤ 3<br />

] – 2 ; 3 ] bzw. ( – 2 ; 3 ]<br />

oder: −2 < x ≤ 3<br />

[ – 2 ; 3 [ bzw. [ – 2 ; 3 )<br />

oder: −2 ≤ x < 3<br />

] – 2 ; 3 [ bzw. ( – 2 ; 3 )<br />

oder: −2 < x < 3<br />

Beispiel:<br />

– Stelle den Graphen einer (natürlich gegebenen) Funktion im Intervall [ – 2 ; 3 ] dar.<br />

Schaut die eckige Klammer<br />

zur Zahl hin, wie z.B. bei [ –2<br />

oder bei 3 ] , ist die<br />

Randzahl eingeschlossen.<br />

Schaut die eckige Klammer<br />

von der Zahl weg, wie z.B.<br />

bei ] –2<br />

oder bei 3 [ , oder steht eine<br />

runde Klammer, ist die<br />

Randzahl ausgeschlossen.<br />

Ist ein Intervall angegeben, so wird der Funktionsgraph nur innerhalb dieser x-Werte gezeichnet.<br />

Demnach könnte die grafische Darstellung eine der Formen annehmen:<br />

Nur zur Ansicht<br />

Bemerkung: Natürlich muss die konkrete Funktionsgleichung gegeben sein, um ihren entsprechenden Graphen zeichnen zu<br />

können.<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 16<br />

- 2 - 1 0 1 2 3<br />

- 2 - 1 0 1 2 3<br />

- 2 - 1 0 1 2 3<br />

- 2 - 1 0 1 2 3<br />

Was ergibt aber die Summe der unendlich vielen Zahlen 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . ?<br />

Obwohl wir unendlich viele Zahlen addieren wird wohl kaum unendlich herauskommen, weil die<br />

zu summierenden Zahlen in der Folge immer kleiner werden.<br />

Intuitiv wird die Summe sicherlich über drei, jedoch kaum über fünf liegen.<br />

Fortsetzung S 195<br />

manfred.ambach<br />

185<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.2.3. Darstellungsarten<br />

Beispiel: Df = R und Wf = R<br />

Das bedeutet, sowohl die x- Werte als auch die y-Werte können jede reelle Zahl annehmen.<br />

Zuordnung: Jedem Element x wird sein Quadrat zugeordnet.<br />

(1) Funktionsterm: Allgemein weist ein Funktionsterm folgende Gestalt auf:<br />

Für unser Beispiel bedeutet das:<br />

f: Df Wf<br />

x<br />

f: R R<br />

y<br />

x x ²<br />

Bemerkung: Der Funktionsterm braucht nicht aufgestellt zu werden, er muss nur richtig gelesen werden können.<br />

(2) Funktionsgleichung: Die Funktionsgleichung gibt an, wie y gebildet wird.<br />

Funktionsterm: f: R R<br />

x x ²<br />

y<br />

Nur zur Ansicht<br />

Demnach lautet die Funktionsgleichung für unser Beispiel: y = x ²<br />

Statt y kann man auch f(x) schreiben.<br />

Beachte, dass die Elemente der Wertemenge nicht<br />

einfach mit y bezeichnet werden, sondern durch<br />

jenen Ausdruck, der ihre Bildung beschreibt.<br />

Da bei dieser Funktion jedem x sein Quadrat<br />

zuzuordnen ist, lautet y = x ²<br />

Insofern kann die Funktionsgleichung auch als f (x) = x ² angegeben werden.<br />

Bemerkung 1: Der Name der Funktion lautet nur f.<br />

Die Bezeichnung f (x) wird nur in der Funktionsgleichung verwendet.<br />

Beispiel: Die Gleichung der Funktion f lautet f(x) = x 2<br />

manfred.ambach<br />

186<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Bemerkung 2:<br />

Nicht jede Funktion besitzt die Gleichung f(x) = x 2 .<br />

Es gibt unzählige Möglichkeiten von Funktionsgleichungen.<br />

f(x) = 3<br />

4<br />

f(x) = x3<br />

8<br />

x 1 + 2 eine lineare Funktion, weil die höchste Potenz von x x 1 ist.<br />

f(x) = 4,45 . e 0,0023⋅x<br />

+ x eine Polynomfunktion 3. Grades, weil die höchste Potenz von x x 3 ist.<br />

eine Exponentialfunktion, weil x in der Hochzahl ( im Exponenten ) steht.<br />

All diese Funktionstypen werden wir in der Folge noch genau behandeln.<br />

Bemerkung 3: In den meisten unserer Beispiele sind Definitions– und Wertemenge immer alle reellen Zahlen ( R ), sodass nur<br />

in jenen Fällen, in denen D f bzw. W f nicht alle reellen Zahlen sein sollen, D f bzw. W f extra angegeben sind.<br />

(3) Wertetabelle: Wir ermitteln Punkte der Funktion, indem wir aus der Definitionsmenge ( hier R )<br />

Bemerkung:<br />

Wertetabelle:<br />

geeignete Zahlen-Werte wählen und mittels Funktionsgleichung die jeweils<br />

dazugehörigen Funktions-Werte berechnen.<br />

Geeignete x-Werte sind, wenn D f =R , bei vielen schulmathematischen Aufgaben Zahlen<br />

um den Wert null. Meistens ist das Intervall vorgegeben.<br />

x y = f (x) = x ²<br />

– 3 9<br />

– 2 4<br />

– 1 1<br />

0 0<br />

1 1<br />

2 4<br />

3 9<br />

Berechnungen:<br />

y = f (– 3) = ( –3 ) ² = 9<br />

y = f (– 2) = ( –2 ) ² = 4<br />

y = f (– 1) = ( –1 ) ² = 1<br />

y = f (0) = 0 ² = 0<br />

y = f (1) = 1 ² = 1<br />

y = f (2) = 2 ² = 4<br />

y = f (3) = 3 ² = 9<br />

(4) Funktions – Graph: Die Punkte werden in ein Koordinatensystem geeigneter Größe<br />

gezeichnet und durch eine Linie verbunden, da die Definitionsmenge D f = R<br />

und somit alle reellen Zahlen umfasst.<br />

Nur zur Ansicht<br />

<br />

Es ist möglich und manchmal auch nötig, die<br />

Einheiten in x – und y – Richtung verschieden<br />

groß zu wählen.<br />

<br />

Wenn die Gestalt des Graphen noch nicht<br />

konkret zum Ausdruck kommt, müssen weitere<br />

Punkte ermittelt werden.<br />

<br />

Die eingezeichneten Punkte werden durch eine<br />

entsprechende Linie verbunden<br />

manfred.ambach<br />

187<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

https://www.youtube.com/watch?v=dg2Oj5wZp3A<br />

6.2.4. Funktionen mit<br />

Beispiel:<br />

Stellen wir die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 1<br />

2 x3 − 2 x 2 + 3<br />

4<br />

Bemerkung: Diese Benutzeroberfläche findet sich in GeoGebra Classic 6.<br />

Nur zur Ansicht<br />

dar.<br />

Wir geben die<br />

Funktionsgleichung in das<br />

Algebra – Fenster ein.<br />

Auf ENTER gedrückt und<br />

im Algebra-Fenster<br />

erscheint die<br />

Funktionsgleichung,<br />

im Grafik-Fenster der<br />

Graph der Funktion,<br />

sofern der Kreis<br />

ausgefüllt ist.<br />

Man kann den Kreis<br />

ausfüllen oder leer lassen,<br />

indem man mit der linken<br />

Maustaste in den Kreis<br />

klickt.<br />

manfred.ambach<br />

188<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Damit die Funktionsgleichung zur<br />

Gänze sichtbar wird, führt man mit<br />

der Maus das bzw. Pfeil-Symbol<br />

+<br />

auf die Trennungslinie von Algebraund<br />

Grafik-Fenster, bis das Symbol<br />

entsteht.<br />

Mit gedrückter linker Maustaste verschiebt man die Breite des Algebra-Fensters auf das gewünschte Maß.<br />

Auf diese Weise lassen sich alle Trennungslinien der sichtbaren Fenster verschieben.<br />

Wollen wir den Ausschnitt des<br />

Koordinatensystems im<br />

Grafik-Fenster verändern,<br />

gehen wir so vor:<br />

Wir schieben den Maus-Pfeil<br />

bzw. das Kreuz<br />

auf den Button .<br />

Damit öffnet sich das links<br />

abgebildete Fenster.<br />

Fahren wir mit dem Pfeil-bzw.<br />

Kreuz-Symbol auf<br />

Nur zur Ansicht<br />

so wird es blau hinterlegt.<br />

Dann klicken wir mit der linken<br />

Maustaste drauf.<br />

manfred.ambach<br />

189<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Auch die Linien-Farbe und die Linien-Stärke des Graphen lassen sich festlegen:<br />

Wandern wir mit dem Pfeil-<br />

Symbol ins Grafik-Fenster,<br />

so wird aus dem Pfeil eine<br />

Hand.<br />

Halten wir die linke<br />

Maustaste gedrückt, so<br />

können wir den<br />

Koordinatenausschnitt<br />

beliebig verschieben.<br />

Mit dem Maus-Rädchen<br />

kann man auch die Größe<br />

des Ausschnitts bestimmen.<br />

Wir wandern mit dem Pfeil- bzw. Kreuz-Symbol auf den Kreis<br />

links neben f(x) und betätigen die rechte Maustaste.<br />

Damit öffnet sich das links abgebildete Fenster.<br />

Dort klicken wir (mit linker Maustaste) Eigenschaften an<br />

Nur zur Ansicht<br />

Im rechten Bereich der Oberfläche öffnet sich die links abgebildete Fläche.<br />

manfred.ambach<br />

190<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Wollen wir die Farbe des Graphen verändern,<br />

klicken wir den Button Farbe an.<br />

Im sich öffnenden Farbspektrum kann eine Farbe durch Anklicken<br />

des betreffenden Quadrats gewählt werden.<br />

Ich habe mich für blau mit den RGB-Anteilen 0, 0, 204 entschieden.<br />

Die Funktionsgleichung erscheint in der<br />

gewählten Farbe.<br />

Zur Wahl der Linienstärke klicken wir auf den<br />

Befehl Darstellung.<br />

Mit gedrückter linker Maustaste können wir den<br />

Regler auf die gewünschte Linienstärke schieben.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Sollte das Koordinatengitter nicht angezeigt<br />

sein:<br />

Mit dem Kreuz-Symbol ins Grafik-Fenster und dort die<br />

rechte Maustaste drücken.<br />

Es öffnet sich das links gezeigte Fenster.<br />

Bei Koordinatengitter das Häkchen setzen.<br />

manfred.ambach<br />

191<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Punkte bestimmen<br />

Man kann sowohl grafisch als auch rechnerisch Punkte einer Funktion ermitteln.<br />

Punkt graphisch bestimmen<br />

Angenommen, wir wollen die Koordinaten des<br />

Punktes auf der y-Achse erhalten.<br />

Klicke das Symbol<br />

unterhalb<br />

öffnet sich folgendes Fenster:<br />

an und<br />

Hier klicken wir<br />

diesen Befehl an.<br />

Fahre mit dem Kreuz-Symbol genau auf diesen Punkt,<br />

bis ein Pfeil in der abgebildeten Form entsteht . . .<br />

Nur zur Ansicht<br />

. . . und klicke die linke Maustaste.<br />

GeoGebra markiert den Punkt im Grafik-<br />

Fenster und bezeichnet ihn (A).<br />

Im Algebra-Fenster erscheint dieser Punkt<br />

mit seinen Koordinaten.<br />

manfred.ambach<br />

192<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Will man den Punkt umbenennen:<br />

Punkt rechnerisch bestimmen<br />

Den Punkt im Algebra-Fenster mit der rechten<br />

Maustaste anklicken.<br />

Nebenstehendes Fenster erscheint.<br />

Mit dem Mauszeiger auf den Befehl<br />

Umbenennen gehen und mit der linken<br />

Maustaste klicken.<br />

Im auftretenden Fenster die gewünschte<br />

Bezeichnung eingeben (z.B. P )<br />

und die OK-Taste betätigt.<br />

Im Algebra-Fenster und<br />

im Grafik-Fenster erscheint der Punkt mit neuer<br />

Bezeichnung.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Wenn wir z.B. die y-Koordinate des Punktes der Funktion f an der Stelle x = 0<br />

wollen, schreiben wir in die Eingabe-Zeile f(0).<br />

ENTER betätigt und der Wert der y-Koordinate erscheint im Algebra-Fenster.<br />

Bemerkung: GeoGebra benennt alle numerischen Ergebnisse<br />

in alphabetischer Reihenfolge, beginnend mit a .<br />

Damit wissen wir, der gesuchte Punkt hat die Koordinaten ( 0 / 0,75 ) .<br />

manfred.ambach<br />

193<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Aufgabe der Zentralmatura am 10.05.2016<br />

Betrachtet man den Querschnitt eines Blutgefäßes vereinfacht als Kreis, so lässt sich die<br />

Strömungsgeschwindigkeit des Blutes in Blutgefäßen näherungsweise durch die Funktion v beschreiben:<br />

v(x) = v max ⋅ (1 − x2<br />

2) mit 0 ≤ x ≤ R<br />

x ... Abstand von der Mitte des Blutgefäßes in Metern (m)<br />

v(x) ... Strömungsgeschwindigkeit des Blutes im Abstand x in m/s<br />

v max ... maximale Geschwindigkeit des Blutes in Metern pro Sekunde (m/s) mit v max > 0<br />

R ... Radius des Blutgefäßes in m<br />

– Skizzieren Sie den Graphen dieser Funktion v in der nachstehenden Abbildung. [1 Punkt]<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

v(x) bedeutet, dass x die unabhängige Variable ist und v die abhängige.<br />

Für alle anderen Buchstaben, in dem Fall für vmax und R, wählen wir frei erfundene Zahlen (nicht 0 oder 1) und<br />

stellen diese Funktion in GeoGebra dar:<br />

Zum Beispiel<br />

vmax =2<br />

R = 3<br />

R<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Kurve liegt laut Angabe nur im positiven x-Bereich<br />

(0≤x≤R) und reicht dort bis R (bei uns R = 3).<br />

Auch in der Senkrechten soll es die Kurve nur im<br />

Positiven geben und zwar bis vmax (bei und vmax =2).<br />

Demnach hat die Kurve skizziert den nebenstehenden<br />

Verlauf.<br />

manfred.ambach<br />

194<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

https://www.youtube.com/watch?v=dg2Oj5wZp3A<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 17<br />

Vielleicht führt uns folgender Gedankengang zum Ziel:<br />

Summe = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . .<br />

1<br />

2 Summe = 1<br />

2 (2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . )<br />

1<br />

2 Summe = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 . . .<br />

Fortsetzung S 195<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 18<br />

Summe = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1<br />

+ 1<br />

+ 1<br />

16 32<br />

64 + . . .<br />

Nur zur Ansicht<br />

− 1<br />

2 Summe = −1 − 1 2 − 1 4 − 1 8 − 1<br />

− 1<br />

+ –<br />

1<br />

16 32<br />

Summe − 1<br />

2 Summe = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 . . .<br />

1<br />

2 Summe = 2 | . 2<br />

64 − . . .<br />

Summe = 4<br />

Fortsetzung S 200<br />

manfred.ambach<br />

195<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.2.5. Eigenschaften von Funktionen<br />

6.2.5.1. Nullpunkte<br />

Nullpunkte sind Punkte der Linie,<br />

die auf der x-Achse liegen.<br />

Alle Punkte auf der x-Achse haben y = 0.<br />

Suchen wir die Nullpunkte, dann wollen wir jene<br />

Punkte der Linie mit<br />

y = 0 bestimmen,<br />

also setzen wir<br />

y = 0<br />

Bemerkung: In der obigen Skizze mit einer beliebigen Funktion sind die Nullpunkte der Reihe nach von links nach rechts<br />

nummeriert. Es spielt aber keine Rolle, welcher der Nullpunkte mit N 1 , N 2 usw. bezeichnet wird.<br />

Die Reihenfolge der Beschriftung ist also unerheblich.<br />

Beispiel:<br />

Bestimme die Nullpunkte der Funktion f(x) = 1<br />

8 x3 − 3<br />

2 x2 + 9<br />

x 2 .<br />

Nullpunkte mit<br />

<br />

<br />

f<br />

Nur zur Ansicht<br />

Funktionsgleichung in Eingabe-<br />

Zeile<br />

ENTER gedrückt<br />

<br />

Funktionsgleichung erscheint im<br />

Algebra-Fenster,<br />

Funktions-Graph im Grafik-<br />

Fenster.<br />

manfred.ambach<br />

196<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

In die Eingabe-Zeile schreiben wir den Befehl<br />

Nullstelle[ ]<br />

Es reicht, die ersten Buchstaben des Wortes Nullstelle einzugeben.<br />

Erscheint der Befehl Nullstelle[ ] , so wird dieser<br />

angeklickt.<br />

Bemerkung: Die Nullstelle ist die x-Koordinate des Nullpunktes.<br />

Da unsere Funktion f heißt, schreiben wir in das Feld f:<br />

Somit erscheinen alle Nullpunkte, in diesem Beispiel A (0/0) und B (6/0), sowohl im Algebra-Fenster als auch<br />

eingezeichnet im Grafik-Fenster.<br />

Bemerkung: GeoGebra benennt Punkte in alphabetischer Reihenfolge. Will man sie umbenennen:<br />

Die tiefgestellte 1 bei N 1 erhält man, indem man N_1 eingibt.<br />

Damit lauten die Koordinaten der Nullpunkte von f : N1 ( 6 / 0 ) N2 ( 0 / 0 )<br />

Nur zur Ansicht<br />

Bemerkung: Derzeit interessieren nur Nullpunkte.<br />

https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38<br />

manfred.ambach<br />

197<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.2.5.2. Monotonie<br />

Eine Funktion f ist streng monoton steigend<br />

( streng monoton wachsend ),<br />

wenn mit wachsendem x<br />

die Funktionswerte y = f (x) immer größer werden.<br />

Eine Funktion f ist streng monoton fallend ,<br />

wenn mit wachsendem x<br />

die Funktionswerte y = f (x) immer kleiner<br />

werden.<br />

wachsendes x bedeutet, die x-Werte werden immer größer. Wir betrachten also die Funktion in Schreibrichtung:<br />

von links kommend, nach rechts schauend<br />

Ist eine Funktion monoton steigend, so steigen in dieser Blickrichtung auch die entsprechenden y-Werte,<br />

sie werden also größer.<br />

Ist eine Funktion monoton fallend, so werden die y-Werte in dieser Blickrichtung immer kleiner.<br />

Denke dir den Funktionsgraphen als Berg- und<br />

Tallandschaft, die du in Schreibrichtung durchwanderst.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Dort, wo du bergauf gehst, es also ansteigt,<br />

ist der Graph monoton steigend in jenen Bereichen,<br />

wo's bergab geht, monoton fallend.<br />

Im höchsten Punkt H und tiefsten Punkt T ist die<br />

Funktion weder steigend noch fallend, da es hier<br />

weder bergauf noch bergab geht.<br />

Hier ist die Steigung null.<br />

manfred.ambach<br />

198<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Hier verwechselst du Ursache mit Wirkung,<br />

lieber Fredo!<br />

monoton [ monos (griechisch): allein,<br />

teinein (griechisch): spannen ]<br />

Gespannt wurden Saiteninstrumente um ihnen Töne zu entlocken. " Alleine spannen " bedeutet so viel wie regelmäßiger, reiner<br />

Klang. In diesem Sinne können wir monoton mit regelmäßig übersetzen. Spricht jemand monoton, so meint das eine<br />

gleichbleibende Sprechweise ohne Veränderung der Tonlage oder Lautstärke. Die Wirkung beim Zuhörer kann Langeweile sein.<br />

Beispiel:<br />

Monoton heißt doch langweilig!<br />

Welch heißes Thema ist das denn?<br />

Bestimme die Monotonie der abgebildeten Funktion mit D f = R.<br />

Von links nach rechts (in Schreibrichtung) geschaut:<br />

Für alle x-Werte bis zu x = 2 werden die y-Werte der Funktion immer größer.<br />

Von x = − ∞ bis (ausschließlich) x = 2 ist die Funktion demnach monoton steigend.<br />

Bei x = 2 wachsen oder fallen die Funktionswerte nicht, weil dort der höchste Punkt liegt,<br />

bei dem es weder bergauf noch bergab geht.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Nach x = 2 bis (ausschließlich) x = 6 werden die y-Werte immer kleiner. In diesem Bereich ist die Funktion monoton<br />

fallend.<br />

Bei x = 6 fallen oder steigen die Funktionswerte nicht, weil dort der tiefste Punkt liegt,<br />

bei dem es weder bergab noch bergauf geht.<br />

Nach x = 6 steigen dann die y-Werte für alle weiteren x-Werte an. Die Funktion ist demnach ab hier immer<br />

monoton steigend.<br />

Wir schreiben:<br />

für ] − ∞ ; 2 [ bzw. (−∞ ; 2 ) bzw. x < 2 ist f monoton steigend, bedeutet Anstieg und positive Steigung,<br />

für ] 2 ; 6 [ bzw. ( 2 ; 6 ) bzw. 2 < x < 6 ist f monoton fallend, bedeutet Gefälle und negative Steigung,<br />

für ] 6 ; ∞ [ bzw. ( 6 ; ∞ ) bzw. x > 6 ist f monoton steigend, bedeutet Anstieg und positive Steigung.<br />

manfred.ambach<br />

199<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

https://www.youtube.com/watch?v=gdjhgyp0xKY<br />

6.3. Polynomfunktionen<br />

Polynomfunktionen bestehen in der Regel aus mehreren Gliedern ( + – ), wobei die unabhängige Variable ( x )<br />

in der Basis einer Potenz steht und sich nicht im Nenner befindet.<br />

Beispiele: f 1 (x) = 1<br />

f 2 (x) = x 2 + 3 4<br />

4 x1 − 2 Polynomfunktion 1. Grades ( lineare Funktionen )<br />

Polynomfunktion 2. Grades ( quadratische Funktionen )<br />

y = 1 8 x3 − 5x 2 − 3x + 1 Polynomfunktion 3. Grades ( kubische Funktionen )<br />

Polynomfunktionen werden auch ganzrationale Funktionen oder Potenzfunktionen genannt.<br />

Keine Polynomfunktionen sind z.B.:<br />

Auch Parabeln, weil ihre Graphen (ab 2. Grades) so bezeichnet werden.<br />

f 1 (x) =<br />

f 2 (x) = 2 x<br />

1 + x2<br />

2 x<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 19<br />

( gebrochen ) rationale Funktion<br />

Exponentialfunktion<br />

Die Summe der unendlich vielen Zahlen 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . = 4<br />

wird wohl nach diesem einleuchtenden Beweis richtig sein!<br />

Fortsetzung S 203<br />

manfred.ambach<br />

200<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.3.1. Polynomfunktionen 1. Grades ( lineare Funktionen )<br />

6.3.1.1. Gleichung einer linearen Funktion ( Geraden )<br />

In Gleichungen linearer Funktionen kommt x nur linear vor, das heißt, es hat die Hochzahl 1 und<br />

steht nicht im Nenner,<br />

y = f(x) kommt in jeder Funktion nur linear vor.<br />

Beispiele: f(x) = 1<br />

4 x1 − 2<br />

3x 1 + 2y 1 = 4<br />

Alle linearen Funktionen lassen sich auf folgende Form bringen:<br />

g: y = k . x + d<br />

Nur zur Ansicht<br />

Beachte: Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn angegeben.<br />

manfred.ambach<br />

201<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

( x / y ) . . . x und y stehen, wie in jeder Gleichung, die eine Linie beschreibt,<br />

für die x- und y- Koordinaten aller unendlich vielen Punkte, aus denen die Linie<br />

( hier die Gerade ) besteht.<br />

Bemerkung: Es kann also nie Aufgabe sein, diese Variablen, nämlich alle unendlich vielen Punkte, zu berechnen.<br />

d . . . Der Abstand ( die Distanz ) des Schnittpunktes der Geraden mit der y-Achse<br />

vom Koordinaten-Ursprung.<br />

k . . . Steigung ( Anstieg, Gefälle, Richtung, mittlere Änderungsrate m.Ä. ) der Geraden<br />

Die Steigung k ist festgelegt als<br />

tan ist die Winkelfunktion Tangens<br />

Beispiel: Eine Steigung von 12 %<br />

k = Gegenkathete<br />

Ankathete<br />

= G<br />

A<br />

= tan(α)<br />

Nur zur Ansicht<br />

Eine Steigung von 12 % =<br />

12<br />

100<br />

bedeutet,<br />

dass die Linie alle 100 Meter waagrechter Entfernung um 12 Meter ansteigt.<br />

manfred.ambach<br />

202<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Wählt man die Ankathete A = 1, so entspricht die Gegenkathete G immer der Steigung k der Geraden.<br />

Warum?<br />

k = G<br />

A = k<br />

1<br />

Ein Beispiel:<br />

Es sei k = 2<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 20<br />

Ja, die Summe dieser unendlich vielen Zahlen ist vier.<br />

Jedoch nicht, weil die einleuchtenden Folgerungen auf Seite 201 richtig sind!<br />

Das Eigenartige ist, dass auch noch so scheinbar einleuchtende Schlussfolgerungen<br />

kein Beweis für deren Richtigkeit sein müssen!<br />

3 :<br />

k = 2 2<br />

3 → k = 3<br />

1<br />

= k<br />

1<br />

= G<br />

A<br />

Fortsetzung S 211<br />

manfred.ambach<br />

203<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Kennzeichnend für lineare Zunahme (lineares Wachstum) ist, dass<br />

in gleichen waagrechten Abständen die senkrechten Abstände um den gleichen Wert zunehmen,<br />

Beispiel:<br />

dass also die y-Werte in gleichen x-Intervallen (x-Abständen)<br />

um den gleichen Wert zunehmen.<br />

Kennzeichnend für lineare Abnahme (linearen Zerfall) ist, dass<br />

in gleichen waagrechten Abständen die senkrechten Abstände um den gleichen Wert abnehmen,<br />

Beispiel:<br />

dass also die y-Werte in gleichen x-Intervallen (x-Abständen)<br />

um den gleichen Wert abnehmen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Beachte:<br />

manfred.ambach<br />

204<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

https://www.youtube.com/watch?v=_y5X81CbYyc&t=5s<br />

a) Eine Prepaid-Karte ist mit 25 Euro aufgeladen. Eine Gesprächsminute kostet 2 Cent.<br />

– Kreuze an, welche der folgenden Funktionsgleichungen das Guthaben G(x) nach x Gesprächsminuten<br />

beschreibt. [ 1 aus 5 ]<br />

G(x) = 25 – 2 . x<br />

G(x) = 2 500 – 0,02 . x<br />

G(x) = 0,02 . x + 25<br />

G(x) = – 2 . x + 25<br />

G(x) = 25 – 0,02 . x<br />

Angenommen, die Funktionsgleichung lautet G(x) = – 0,05 . x + 50<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

– Interpretieren Sie die Zahlen –0,05 und 50 im konkreten Sachzusammenhang.<br />

b) Jemand möchte ein Handy kaufen. Die Anzahlung beträgt 200 Euro, die monatliche Rate 20 Euro.<br />

Nur zur Ansicht<br />

– Stellen Sie die lineare Funktionsgleichung G(x) für die Gesamtzahlung nach x Monaten auf.<br />

– Berechnen Sie die Gesamtzahlung nach einem Jahr.<br />

Lösungen: a) * 5. Alternative<br />

* –0,05 … pro Gesprächsminute sind 0,05 € zu zahlen<br />

50 … Anfangsguthaben in €<br />

b) * G(x) = 20 . x + 200 * 440 €<br />

manfred.ambach<br />

205<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.3.1.2. Proportionalität<br />

6.3.1.2.1. direkt proportional<br />

Eine Zuordnung (Funktion) heißt<br />

direkt proportional,<br />

wenn sich jeder y-Wert durch Multiplikation<br />

des entsprechenden x-Wertes<br />

mit derselben Zahl k ergibt.<br />

y = k . x<br />

k … Proportionalitätsfaktor<br />

In nebenstehendem Beispiel ist<br />

k = 2 → y = 2 . x<br />

Der Proportionalitätsfaktor k entspricht der Steigung<br />

der Geraden.<br />

Gezeichnet bedeutet direkte Proportionalität eine<br />

Gerade mit der Steigung k, die durch den Ursprung<br />

geht.<br />

Bei Schlussrechnungen (Dreisatz) bedeutet direkt proportional: „ Je mehr . . . . . . . desto mehr . . . . .“<br />

Beispiel:<br />

oder „ Je weniger . . . . desto weniger . . . . .“<br />

Nur zur Ansicht<br />

Pro gefahrenem Meter ist für einen Taxi-Transport 0,15 Cent zu bezahlen.<br />

– Bestimme die Fahrtkosten in Euro (ohne Grundgebühr) für einen 3,4 km langen Weg.<br />

Fahrtkosten y = 0,15 . x x … Fahrstrecke in Metern<br />

y = 0,15 . 3 400 = 510 Cent = 5,10 Euro.<br />

manfred.ambach<br />

206<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.3.1.2.2. indirekt proportional<br />

Eine Zuordnung (Funktion) heißt<br />

p … Proportionalitätsfaktor<br />

Im unteren Beispiel ist p = 2<br />

indirekt proportional,<br />

wenn die Multiplikation jedes y-Wertes<br />

mit dem entsprechenden x-Wert<br />

dieselbe Zahl ergibt.<br />

→ y = 2<br />

y . x = p → y = p<br />

x<br />

x<br />

Nur zur Ansicht<br />

Gezeichnet bedeutet indirekte Proportionalität eine sogenannte Hyperbel mit zwei Ästen, die bei x = 0<br />

nicht existiert (keinen y-Wert besitzt), weil mit y = p<br />

ein Bruch mit dem Nenner null entsteht<br />

0<br />

und die Division durch null nicht festgelegt ist.<br />

Bei Schlussrechnungen (Dreisatz) bedeutet indirekt proportional: „ Je mehr . . . . . . . desto weniger . . . . .“<br />

oder „ Je weniger . . . . desto mehr . . . . .“<br />

manfred.ambach<br />

207<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.3.1.3. Aufstellen einer Geradengleichung mit 2 gegebenen Punkten:<br />

Beispiel: Die Punkte A ( –2 / 1 ) und B ( 4 / 3 ) sind gegeben.<br />

Gesucht: die Gleichung der Geraden g(A,B) , die durch die Punkte A und B geht.<br />

Man schreibt in eine Zeile des Algebra-Fensters<br />

(der Eingabe-Zeile) den Befehl<br />

Polynom[ ]<br />

Auch hier reicht es, nur die ersten Buchstaben des Befehls zu<br />

schreiben.<br />

Es öffnet sich das links dargestellte Fenster. Hier klickt man<br />

den Befehl<br />

Polynom[ ] an.<br />

In < Liste von Punkten > schreibt man die Koordinaten der<br />

Punkte, die auf der Geraden liegen sollen.<br />

In GeoGebra:<br />

<br />

<br />

Statt des Schrägstrichs bei Koordinaten ein<br />

Beistrich<br />

Also: Statt (–2 / 1 ) schreibt man (–2, 1)<br />

Das Dezimalkomma ist ein Punkt<br />

ENTER betätigt und im Algebra-Fenster erscheint die Funktionsgleichung, im Grafik-Fenster der Graph (die<br />

Gerade).<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach<br />

208<br />

pro-test.at


#<br />

Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Merken wir uns:<br />

Polynomfunktion<br />

nötig zum Aufstellen der Funktionsgleichung sind<br />

1. Grades 2 Punkte<br />

2. Grades 3 Punkte<br />

3. Grades 4 Punkte<br />

4. Grades 5 Punkte<br />

Sollte man nicht wissen welcher Zahlenwert die Steigung darstellt:<br />

Man schreibt in das Algebra-Fenster den Befehl Steigung und in die eckige Klammer den Namen der Funktion,<br />

in unserem Falle f.<br />

ENTER betätigt und der Wert der Steigung a = k = 0,33 erscheint im Algebra-Fenster.<br />

Im Grafik-Fenster wird ein Steigungsdreieck mit der Ankathete = 1 und der Gegenkathete k ersichtlich.<br />

Allgemeiner Befehl: Steigung( )<br />

Konkret auf das Beispiel bezogen:<br />

Wie zeigt man, ob ein Punkt auf einer Linie liegt?<br />

Beispiel: Liegt der Punkt P(4/3) auf der eben aufgestellten Geraden?<br />

grafisch:<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach<br />

209<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

rechnerisch:<br />

Siehe auch S 195<br />

a = 3 bedeutet, dass bei x = 4 der y-Wert = 3 ist, wie das dem Punkt P(4/3) entspricht.<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Die Pumpleistung P des Herzens in Litern pro Minute (L/min) in Abhängigkeit des Alters in Jahren kann annähernd<br />

durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Die Pumpleistung beträgt bei 15-jährigen 5,1 L/min und bei<br />

65-jährigen 2,6 L/min.<br />

– Stellen Sie die Gleichung der Funktion P auf.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Die Gleichung von P lautet: P(t) = −0,05 ⋅ t + 5,85<br />

t … Zeit in Lebensjahren<br />

P(t) … Pumpleistung in L/min nach t Lebensjahren<br />

Nur zur Ansicht<br />

– Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser linearen Funktion im konkreten Sachzusammenhang.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

manfred.ambach<br />

210<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Links ist ein Steigungsdreieck gezeichnet.<br />

– Bestimme die Pumpleistung einer 50-jährigen Person.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

k = – 0,05 L/min<br />

Die Pumpleistung einer 50-jährigen Person beträgt 3,35 L/min.<br />

Im Sachzusammenhang bedeutet die Steigung k :<br />

k = G<br />

A =<br />

−0, 05 L/min<br />

1 Lebensjahr<br />

Die Pumpleistung nimmt pro Lebensjahr um<br />

0,05 L/min ab.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 21<br />

In unserem Fall haben wir angenommen, dass Rechengesetze für endlich viele Zahlen<br />

einfach auch für unendlich viele Zahlen gelten.<br />

Fortsetzung S 211<br />

manfred.ambach<br />

211<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.3.1.4. Lineare Bewegungsaufgaben<br />

Will sich jemand im Bereich der Technik, gleich welcher Sparte,<br />

(weiter-) bilden, ist es von Vorteil, Bewegungsdiagramme<br />

lesen zu können.<br />

Für das Grundverständnis ist keine Differentialrechnung nötig, wie das folgende Beispiel zeigt.<br />

Beispiel: (*)<br />

Was muss man alles wissen um solche Diagramme lesen zu können?<br />

Ein Radfahrer fährt den abgebildeten Hügel hinauf.<br />

Erkläre, welches der drei folgenden Diagramme die<br />

Bewegung des Radfahrers am besten beschreibt.<br />

t . . . Zeitdauer, die seit Beobachtungsbeginn, dem Zeit-Nullpunkt ( t = 0 ) vergangen ist.<br />

Nur zur Ansicht<br />

s (t) . . . Der Abstand vom Orts–Nullpunkt , nachdem die Zeitdauer t vergangen ist.<br />

s (t) ist nicht automatisch der zurückgelegte Weg!<br />

s (t) entspricht nur dann dem zurückgelegten Weg, wenn die Bewegung bei der Orts-Nullpunkt beginnt.<br />

(*) angelehnt an: G. MALLE u.a.: Mathematik verstehen. ÖBV-Verlag, Wien 2010, S 277.<br />

manfred.ambach<br />

212<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Sehen wir uns diesen Sachverhalt einmal an:<br />

Ein Radfahrer verlässt um 6:00 sein Haus<br />

und erreicht um 8:00 seinen Zielort.<br />

Als Zeit-Nullpunkt wählen wir die<br />

Abfahrtszeit 6:00 .<br />

Angenommen, der Orts-Nullpunkt ist beim<br />

Haus des Radfahrers gewählt. Dann<br />

entspricht die Entfernung des Radfahrers<br />

vom Orts-Nullpunkt 2 Stunden nach Start<br />

s (2) = 30 km dem zurückgelegten Weg<br />

(laut Skizze).<br />

Läge das Haus des Radfahrers 10 km<br />

nach dem Orts-Nullpunkt, verhielt es sich<br />

mit s (t) wie in nebenstehender Skizze.<br />

Der Radfahrer wäre dann 2 Stunden nach<br />

der Abfahrt 40 km vom Orts-Nullpunkt<br />

entfernt, hätte aber trotzdem nur einen<br />

Weg von<br />

s (2) = 40 km – 10 km = 30 km<br />

zurückgelegt.<br />

Für unser Beispiel gelte, der Radfahrer fährt vom Orts-Nullpunkt weg.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Mit den oben getroffenen Annahmen ergibt<br />

im Diagramm die Bewegung (die Fahrt)<br />

des Radfahrers, als Weg-Zeit-Funktion<br />

dargestellt<br />

eine Gerade ( lineare Funktion ), unter der<br />

Voraussetzung konstanter Geschwindigkeit.<br />

manfred.ambach<br />

213<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Was bedeutet das für die Geschwindigkeit v ?<br />

Benötigt der Radfahrer zwei Stunden für<br />

30 km, so legt er in einer Stunde 15 km zurück und<br />

fährt damit mit einer<br />

Geschwindigkeit von 15 km pro Stunde ( h )<br />

v =<br />

30 km<br />

2 h<br />

15 km<br />

= = 15 km/h<br />

1 h<br />

Die Geschwindigkeit v stellt also die<br />

Steigung der Geraden dar.<br />

Wenn ein geübter Radfahrer in 2 Stunden 60 km<br />

zurücklegt, dann fährt er in einer Stunde 30 km und<br />

fährt somit mit einer Geschwindigkeit von<br />

v =<br />

60 km<br />

2 h<br />

30 km<br />

= = 30 km/h<br />

1 h<br />

Nur zur Ansicht<br />

Vergleichen wir die letzten beiden Diagramme, so erkennen wir:<br />

Je höher die Geschwindigkeit,<br />

desto mehr Weg wird innerhalb der gleichen Zeit zurückgelegt,<br />

desto steiler verläuft die Gerade,<br />

desto größer ist ihre Steigung.<br />

Je geringer die Geschwindigkeit,<br />

desto weniger Weg wird innerhalb der gleichen Zeit zurückgelegt,<br />

desto flacher verläuft die Gerade,<br />

desto geringer ist ihre Steigung.<br />

manfred.ambach<br />

214<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Das gilt auch für Kurven<br />

Was bedeutet es, wenn die Linie von s(t) (in Schreibrichtung) bergab geht, also monoton fallend ist?<br />

Angenommen, eine Stunde nach Abfahrt befindet sich der<br />

Radfahrer 40 km vom Orts-Nullpunkt entfernt, drei<br />

Stunden nach Abfahrt beträgt sein Abstand vom Orts-<br />

Nullpunkt<br />

nur noch 10 km.<br />

Nur zur Ansicht<br />

➝ Er fährt zurück<br />

Widmen wir uns jetzt wieder unserem Ausgangsbeispiel:<br />

manfred.ambach<br />

215<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Welches der dargestellten Diagramme beschreibt nun die Fahrt des Radfahrers entsprechend?<br />

H<br />

Die Steigung der Kurve im<br />

Diagramm A nimmt zunächst ab.<br />

Der Radfahrer wird demnach<br />

immer langsamer, was bei steiler<br />

werdendem Gelände zu erwarten<br />

ist.<br />

Anschließend fährt er zurück, da<br />

die Kurve im Bewegungsdiagramm<br />

nach dem Hochpunkt H monoton<br />

fallend ist.<br />

Die Steigung der Kurve im<br />

Diagramm B nimmt zunächst zu.<br />

Der Radfahrer würde demnach<br />

immer schneller, obwohl das<br />

Gelände immer steiler wird.<br />

Mit flacher werdendem Gelände<br />

würde der Radfahrer immer<br />

langsamer, weil die Steigung der<br />

Kurve im Bewegungsdiagramm B<br />

geringer wird.<br />

Laut Bewegungsdiagramm C<br />

würde der Radfahrer zunächst<br />

zurückfahren, da die Kurve im<br />

ersten Abschnitt fallend ist.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Damit beschreibt nur das Bewegungsdiagramm<br />

die Fahrt des Radfahrers entsprechend.<br />

manfred.ambach<br />

216<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Tom und Chris sind Jogger. Tom wohnt in St. Johann/Pg. (JO), Chris in Schwarzach (S). Sie wohnen 6 km<br />

voneinander entfernt. Beide vereinbaren, einander entgegen und gleichzeitig los zu laufen. Tom läuft mit einer<br />

Durchschnittsgeschwindigkeit von 12 km/h, Chris mit 8 km/h.<br />

– Stellen Sie die lineare Weg-Zeit Funktionen beider Läufer auf, wobei s den Abstand von Toms Haus<br />

in St. Johann/Pg. nach der Zeitdauer t beschreiben soll.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Skizze für das Verständnis:<br />

f (x) = k . x + d<br />

allgemeine Gleichung der linearen Weg-Zeit Funktion s (t) = k . t + d<br />

Damit wir die konkreten Weg-Zeit Funktionen beider Läufer erhalten, müssen wir für beide Funktionen k und d<br />

bestimmen.<br />

Wir ermitteln jeweils zwei Punkte und können so die Funktionsgleichungen aufstellen:<br />

Wir wählen als Zeit-Nullpunkt<br />

als Orts-Nullpunkt<br />

den Start beider Läufer,<br />

Toms Haus in St. Johann / Pg.<br />

( Ist vorgegeben, weil laut Angabe s der Abstand von Toms Haus sein soll. )<br />

Nur zur Ansicht<br />

Tom: t in h s (t) in<br />

km<br />

0 0<br />

0,5 6<br />

Man darf nur einen Zeit-Nullpunkt und einen Orts-Nullpunkt wählen<br />

und nicht für jede der Bewegungen eigene.<br />

Zu Beobachtungsbeginn<br />

(beim Start) ist Tom 0 km vom<br />

Orts-Nullpunkt (seinem Haus)<br />

entfernt.<br />

Eine halbe Stunde später ist Tom<br />

6 km vom Orts-Nullpunkt<br />

entfernt, weil er ja in einer<br />

Stunde 12 km zurücklegt.<br />

y<br />

Chris: t in h s (t) in<br />

km<br />

0 6<br />

0,5 2<br />

Zu Beobachtungsbeginn<br />

(beim Start) ist Chris 6 km vom<br />

Ortsnullpunkt (von Toms Haus)<br />

entfernt. Eine halbe Stunde<br />

später ist er nur noch 2 km vom<br />

Orts-Nullpunkt entfernt, weil er<br />

bereits 4 km in Richtung Toms<br />

Haus zurückgelegt hat.<br />

manfred.ambach<br />

217<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Es ist ratsam, für die Zeiten solche Werte zu wählen, deren Abstände vom Orts-Nullpunkt innerhalb der<br />

gegebenen Strecke (hier 6 km) liegen. Ansonsten verlieren wir schnell die Anschaulichkeit.<br />

Tom:<br />

Chris:<br />

Bemerkung: Wenn man nicht umbenennt, gibt GeoGebra die Funktion als f(x) bzw. g(x) an und nicht als s(t).<br />

Man sieht:<br />

k entspricht der Geschwindigkeit, d dem Abstand von der Orts-Nullmarke<br />

zu Beobachtungsbeginn (t = 0)<br />

Das negative k bei Chris bedeutet, seine Bewegung erfolgt in entgegengesetzter Richtung zu Tom.<br />

– Ermitteln Sie, wann und in welcher Entfernung von Toms Haus sie einander treffen.<br />

Man trifft einander, wenn man zur selben Zeit am selben Ort ist.<br />

Der Treffpunkt T ist der Schnittpunkt beider Linien:<br />

Befehl in GeoGebra: Schneide[ , ]<br />

Für die Objekte werden die Namen der Funktionen<br />

eingegeben:<br />

Nur zur Ansicht<br />

( t / s )<br />

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten (0,3 / 3,6)<br />

Sie treffen einander 0,3 Stunden nach dem Start in 3,6 km Entfernung von Toms Haus.<br />

manfred.ambach<br />

218<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Veranschaulichen wir uns die Graphen von Toms und Chris‘ Lauf noch:<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Nur zur Ansicht<br />

Ein Läufer startet um 8:00 mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 8 km/h.<br />

Eineinhalb Stunden später fährt ihm ein Radfahrer mit 20 km/h Durchschnittsgeschwindigkeit<br />

vom selben Ausgangsort nach.<br />

– Stellen Sie die lineare Weg-Zeit Funktionen beider Bewegungen auf.<br />

Möglicher Lösungsweg<br />

manfred.ambach<br />

219<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Skizze für das Verständnis:<br />

f (x) = k . x + d<br />

allgemeine Gleichung der linearen Weg-Zeit Funktion s (t) = k . t + d<br />

Damit wir die konkreten Weg-Zeit Funktionen beider Bewegungen erhalten, müssen wir jeweils k und d<br />

bestimmen.<br />

Wir ermitteln jeweils zwei Punkte und können so die Funktionsgleichungen aufstellen:<br />

Wir wählen als Zeit-Nullpunkt den früheren Zeitpunkt, also den Start des Läufers ( 8:00 ),<br />

als Orts-Nullpunkt<br />

Läufer: t in h<br />

Läufer:<br />

s (t) in km<br />

0 0<br />

1 8<br />

den gemeinsamen Startpunkt.<br />

Man darf nur einen Zeit-Nullpunkt und einen Orts-Nullpunkt wählen<br />

und nicht für jede der Bewegungen eigene.<br />

Zu Beobachtungsbeginn<br />

(beim Start) ist der Läufer<br />

0 km vom Orts-Nullpunkt<br />

(dem Startpunkt) entfernt.<br />

Eine Stunde später ist der Läufer<br />

8 km vom Orts-Nullpunkt<br />

entfernt, weil er ja in einer<br />

Stunde 8 km zurücklegt.<br />

y<br />

Rad: t in h s (t) in km Eineinhalb Stunden, nachdem<br />

der Läufer startete, ist der<br />

Radfahrer 0 km vom<br />

1,5 0 Ortsnullpunkt (Startpunkt)<br />

2,5 20 entfernt, da es für ihn erst jetzt<br />

losgeht. 2 1 Stunden nach Start<br />

2<br />

des Läufers ist der Radfahrer<br />

20 km vom Orts-Nullpunkt<br />

entfernt, weil er ja dann eine<br />

Stunde unterwegs ist und 20<br />

km zurücklegt hat.<br />

Radfahrer:<br />

Nur zur Ansicht<br />

s Läufer (t) = 8 t s Radfahrer (t) = 20 t − 30<br />

manfred.ambach<br />

220<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Was bedeutet denn d = – 30<br />

beim Radfahrer?<br />

Ist er zum Zeitpunkt t = 0<br />

minus 30 km von seinem eigenen<br />

Startpunkt entfernt ??<br />

Schauen wir uns folgende Zeichnung an:<br />

Würden Läufer und Radfahrer zur selben Zeit losstarten, dann müsste der Radfahrer 30 km hinter dem<br />

eigentlichen Startpunkt losfahren, damit er um 9: 30 beim Startpunkt des Läufers einträfe, wie es im Text<br />

vorgesehen ist.<br />

Diese der Bewegungsrichtung entgegengesetzte Entfernung wird durch das Minus bei − 30 km ausgedrückt.<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach<br />

221<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Bewegung vom Orts-Nullpunkt weg:<br />

Bewegung zum Orts-Nullpunkt hin:<br />

Nur zur Ansicht<br />

https://www.youtube.com/watch?v=Ix8-EJMtyjg&t=3s<br />

manfred.ambach<br />

222<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.3.2. Polynomfunktionen 2. Grades (quadratische Funktionen)<br />

Beispiele: f 1 (x) = 1<br />

Polynomfunktionen 2. Grades nennt man auch quadratische Funktionen,<br />

weil die höchste Potenz der unabhängigen Variablen (x) quadratisch ist.<br />

f 2 (x) = x 2 + 1<br />

4 x2 − 2x − 5<br />

Die allgemeine Form einer Polynomfunktion 2. Grades lautet:<br />

f (x) = a . x² + b . x 1 + c . x 0<br />

Die einfachste quadratische Funktion besitzt die Gleichung<br />

f(x) = x 2 ,<br />

deren Graph nebenstehenden Verlauf besitzt.<br />

Den Graphen einer Polynomfunktion 2. oder höheren Grades<br />

nennt man Parabel 2. Ordnung.<br />

Deshalb nennt man die Polynomfunktion 2. oder höheren<br />

Grades auch Parabel 2. bzw. 3. usw. Ordnung.<br />

Alle Polynomfunktionen 2. Grades verfügen über diese charakteristische Form, wenngleich nicht immer<br />

in besonderer Lage wie f(x) = x 2 .<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Graphen von Polynomfunktionen 2. und höheren Grades nennt man Parabeln.<br />

Betrachten wir jetzt inwieweit die Zahlen a, b und c den Graphen einer Funktion verändern:<br />

manfred.ambach<br />

223<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Am besten ist es, aktiv mitzuzeichnen.<br />

Zeichne zunächst f1 (x) = x 2 mit Hilfe von GeoGebra, dann<br />

f2 (x) = 2.x 2 , danach f3 (x) = 0,5.x 2 und schließlich für f4 (x) = –1.x 2 .<br />

Entsprechend auch für alle weiteren Funktionen.<br />

Man sieht:<br />

f (x) = a . ( x + b ) 2 + c<br />

Man sieht:<br />

a > 1 gestreckt<br />

0 < a < 1 gestaucht<br />

a < 0 gespiegelt an der x-Achse<br />

bezüglich der Ausgangsfunktion f (x) = x 2<br />

f (x) = a . ( x + b ) 2 + c<br />

Man sieht:<br />

b > 0 Verschiebung nach links<br />

b < 0 Verschiebung nach rechts<br />

bezüglich der Ausgangsfunktion f (x) = x 2<br />

f (x) = a . ( x + b ) 2 + c<br />

Nur zur Ansicht<br />

c > 0 Verschiebung nach oben<br />

c < 0 Verschiebung nach unten<br />

bezüglich der Ausgangsfunktion f (x) = x 2<br />

Beachte, dass in den Darstellungen f(x) = a x 2 + b x + c und f (x) = a . ( x+b ) 2 + c nur a der gleichen Zahl entspricht.<br />

manfred.ambach<br />

224<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Beispiel:<br />

Polynomfunktionen 2. Grades sind spiegel-symmetrisch bezüglich der Achse<br />

durch ihren tiefsten Punkt T bzw. höchsten Punktes H.<br />

Ordne den folgenden Graphen die passende Funktionsgleichung zu.<br />

........................................... .............................................<br />

Nur zur Ansicht<br />

........................................... .......................................<br />

f 1 (x) = −x 2 − 1 f 2 (x) = −x 2 + 2<br />

f 3 (x) = (x − 3) 2 f 4 (x) = x 2 + 1<br />

manfred.ambach<br />

225<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Aufgabe Kompensationsprüfung am 06.06.2018<br />

– Ordnen Sie den jeweiligen Aussagen über den Ursprung des Koordinatensystems die passende Form<br />

der Funktionsgleichung von p aus A bis D zu. [ 2 zu 4 ].<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Grafik: BMB<br />

Grafik: BMB<br />

Da der Graph der Funktion durch den Koordinaten-<br />

Ursprung geht, ist c = 0.<br />

B muss ≠ 0 sein, weil der Graph ansonsten<br />

symmetrisch zur y-Achse läge.<br />

p(x) = a . x² + b . x<br />

B 1. Feld<br />

Nur zur Ansicht<br />

Da der Graph der Funktion durch den Koordinaten-<br />

Ursprung geht, ist c = 0.<br />

Da der tiefste Punkt im Koordinaten-Ursprung liegt, ist<br />

der Graph symmetrisch zur y-Achse.<br />

b = 0<br />

p(x) = a . x²<br />

D 2. Feld<br />

manfred.ambach<br />

226<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Es gibt zwei Arten von Würfen:<br />

Vom Boden abgeschossen: Fußball, Golf, . . .<br />

x 1 , x 2 … Nullstellen<br />

H … höchster Punkt der Flugbahn<br />

x H … x-Koordinate von H<br />

y H … y-Koordinate von H = maximale Flughöhe<br />

Nicht vom Boden abgeschossen: Tennis, Federball . . .<br />

−x 1 , x 2 … Nullstellen<br />

H … höchster Punkt der Flugbahn<br />

x H … x-Koordinate von H<br />

… y-Koordinate von H = maximale Flughöhe<br />

y H<br />

Die Bahn eines Wurfes nennt man Wurfparabel.<br />

Jede Wurfparabel muss eine Polynomfunktion 2. Grades f(x) = a x 2 + b x + c mit negativem a sein.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

a) Ein Golfball wird in waagrechtem Gelände<br />

abgeschlagen. Die Flugbahn des Balles kann<br />

ohne<br />

Berücksichtigung des Luftwiderstandes<br />

näherungsweise durch die folgende Funktion<br />

beschrieben werden:<br />

f (x) = – 0,0016 x 2 + 0,16 x<br />

x … Wurfweite in Metern (m)<br />

f(x) … Wurfhöhe in m<br />

manfred.ambach<br />

227<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

– Berechnen Sie, wie weit der Golfball fliegt.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Skizze:<br />

Vor x² steht deswegen nur 0 , weil die Rundung auf<br />

2 Nachkommastellen eingestellt ist.<br />

GeoGebra Classic 5 GeoGebra Classic 6<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Flugweite beträgt 100 m.<br />

manfred.ambach<br />

228<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

b) – Bestimmen Sie die maximale Flughöhe des Balles.<br />

x H = x 1+ x 2<br />

2<br />

= 0+100<br />

2<br />

= 50<br />

y H = f(x H ) = f(50) = −0,0016 ⋅ 50 2 + 0,16 ⋅ 50 = 4<br />

Die maximale Flughöhe beträgt 4 Meter.<br />

c) – Dokumentieren Sie, wie die Wurfweite bestimmt werden kann, ohne eine konkrete Berechnung<br />

anzugeben.<br />

Dokumentieren bedeutet, dass der (allgemeine) Rechengang, der zum gesuchten Resultat führt,<br />

in Worten anzugeben ist.<br />

Setzt Funktion gleich null. Daraus entstehende Gleichung hat die Lösungen x 1 = 0 und x 2 > 0.<br />

Wurfweite beträgt x 2 Meter.<br />

d) – Stellen Sie mit Hilfe der Angaben aus folgender Skizze die Gleichung der Polynomfunktion<br />

2. Grades (der Wurfparabel) auf.<br />

Nur zur Ansicht<br />

f<br />

manfred.ambach<br />

229<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

f(x) = a x 2 + b x + c<br />

Offensichtlich liegt der Punkt (30/2,5) auf dem Funktionsgraphen.<br />

Da der Graph durch den Ursprung geht, ist auch (0/0) ein Punkt des Graphen.<br />

Bei x = 60 landet das Wurfobjekt auf dem Boden. Damit ist dort eine Nullstelle<br />

und der betreffende Nullpunkt lautet (60/0).<br />

Somit kennen wir drei Punkte der Funktion.<br />

https://www.youtube.com/watch?v=NwPOPkXEAX4<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 22<br />

Nur zur Ansicht<br />

Ein Beispiel, in dem die Rechengesetze endlich vieler Zahlen auf unendliche viele Zahlen nicht anwendbar sind:<br />

0 = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . .<br />

0 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . .<br />

0 = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . .<br />

0 = 1<br />

Fortsetzung S 243<br />

manfred.ambach<br />

230<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.3.3. Polynomfunktionen 3. und höheren Grades<br />

Die allgemeine Form einer Polynomfunktion 3. Grades lautet:<br />

Beispiele: f 1 (x) = − 1<br />

f (x) = a . x³ + b . x² + c . x 1 + d . x 0<br />

8 x3 − 2 x 2 − 5 x + 2 3<br />

Die allgemeine Form einer Polynomfunktion 4. Grades lautet:<br />

Beispiele: f 1 (x) = 1<br />

f 2 (x) = x 3 + 1<br />

f (x) = a . x 4 + b . x³ + c . x² + d . x 1 + e . x 0<br />

Charakteristische Verläufe solcher Funktionen:<br />

16 x4 − 2 x 2 − 1<br />

8 x3 + 2 3 x2 − 2 x + 4 f 2 (x) = x 4 + 1<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach<br />

231<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

a) Die Pulsfrequenz eines Läufers lässt sich für die ersten 5 Minuten durch folgende Funktion beschreiben:<br />

P(t) = 3,75 ⋅ t 3 − 36,75 ⋅ t 2 + 92,5 ⋅ t + 60<br />

für 0 ≤ t ≤ 5<br />

P(t) . . . Pulsfrequenz in Herzschlägen pro Minute, t Minuten nach dem Start<br />

t<br />

. . . Zeit in Minuten nach dem Start<br />

0 ≤ t ≤ 5 bedeutet, dass die Kurve nur für die ersten 5 Minuten die Pulsfrequenz beschreibt.<br />

– Ermitteln Sie die Pulsfrequenz zwei Minuten nach dem Start.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Zwei Minuten nach dem Start beträgt die Pulsfrequenz 128 Herzschläge pro Minute.<br />

Nur zur Ansicht<br />

– Bestimmen Sie, wie viel Minuten nach dem Start die Pulsfrequenz 100 Herzschläge/min beträgt?<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

P(t) = 100:<br />

t 1 = 0,54 min t 2 = 3,29 min ! t 3 = 5,96 min liegt nicht zwischen 0 ≤ t ≤ 5<br />

0,54 Minuten und 3,29 Minuten nach dem Start beträgt die Pulsfrequenz 100 Schläge/min.<br />

manfred.ambach<br />

232<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

b) Die Pulsfrequenz eines anderen Läufers kann ebenfalls durch eine Polynomfunktion 3. Grades beschrieben<br />

werden.<br />

Beim Start beträgt die Pulsfrequenz 65 Herzschläge pro Minute (H/min), zwei Minuten nach dem Start beträgt<br />

die Pulsfrequenz 140 H/min, nach weiteren 6 min beträgt die Pulsfrequenz nur noch 135 H/min.<br />

Eine viertel Stunde nach dem Start beträgt die Pulsfrequenz noch 130 H/min.<br />

– Stellen Sie das Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten der Polynomfunktion bestimmt<br />

werden können.<br />

– Bestimmen Sie die Koeffizienten.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Koeffizienten: Die Vorzahlen a, b, c und d der Funktionsgleichung f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d<br />

Allgemeine Gleichung einer Polynomfunktion 3. Grades: f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d<br />

Wir haben vier Bestimmungsstücke ( a , b , c und d ) und benötigen deshalb vier Gleichungen<br />

in diesen Größen.<br />

Gleichungen →<br />

Jetzt gehen wir mit dem Pfeil-Symbol auf die jeweilige<br />

Zeilennummer der Gleichungen für a, b, c und d<br />

und klicken die Zeilennummer mit der linken<br />

Maustaste an, während wir die<br />

gedrückt halten.<br />

CAS - Fenster<br />

Damit lautet das Gleichungssystem für a, b c und d:<br />

I : d = 65<br />

II : 8 a + 4 b + 2 c + d = 140<br />

III : 512 a + 64 b + 8 c + d = 135<br />

IV : 3 375 a + 225 b + 15 c + d = 130<br />

-Taste<br />

Damit werden die entsprechenden Zeilennummern<br />

blau hinterlegt.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Danach aktivieren wir (mit der linken Maustaste)<br />

die nächstleere Zeile, so dass dort der Cursor (rot)<br />

blinkt<br />

und klicken das Symbol an.<br />

Damit erscheinen die Werte für a, b, c und d.<br />

Klicken wir statt<br />

auf das Symbol<br />

manfred.ambach<br />

anklicken, so erhalten wir die Werte in<br />

Dezimalzahlen.<br />

233<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Angry Birds<br />

Beispiel Zentralmatura am 20.9.2016<br />

Bei einem Angriff durch einen Vogel auf ein Schwein kann die Flugbahn durch den Graphen<br />

Der Funktion f beschrieben werden.<br />

f(x) = 1 ⋅ x³ – 3 ∙ x² + 4 ∙ x + 4 mit x ≥ 0<br />

2<br />

x ... horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in LE (Längeneinheiten)<br />

h(x) ... Flughöhe des Vogels über dem horizontalen Boden an der Stelle x in LE<br />

Ein Schwein befindet sich im Punkt P = (4|5).<br />

– Ermitteln Sie den Abstand des Schweins vom Abschusspunkt.<br />

Die Funktionsgleichung wird eingegeben.<br />

Der Punkt, ohne seinen Namen P, ebenfalls<br />

Um sicher zu gehen, wie groß der y-Wert ander<br />

Abschuss-Stelle x = 0 ist, geben wir f(0)<br />

ein<br />

und erhalten y = f(0) = 4<br />

Damit wissen wir die Koordinaten des<br />

Abschusspunktes und geben sie ein.<br />

GeoGebra benannte die Punkte A und B.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Damit stellt sich im Grafik-Fenster nebenstehendes Bild dar.<br />

manfred.ambach<br />

234<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Der Abstand vom Abschusspunkt zum Schwein entspricht der Strecke zwischen den Punkten B und A.<br />

– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Punkt P auf der Flugbahn des Vogels liegt.<br />

Der Abstand des Schweins vom Abschusspunkt<br />

beträgt 4,12 LE.<br />

Wenn P, den GeoGebra mit A benannte, auf der Flugbahn f liegt, so muss P an der Stelle x = 4 denselben y-Wert<br />

besitzen, wie die Funktion an der Stelle x = 4:<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Funktion f hat an der Stelle x = 4 den<br />

y-Wert 4, der Punkt P=A aber den y-Wert 5.<br />

Demnach kann der Punkt P nicht auf dem<br />

Graphen von f liegen!<br />

manfred.ambach<br />

235<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Zusammenfassung<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach<br />

236<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Lösung:<br />

– Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so,<br />

dass eine korrekte Aussage entsteht.<br />

Ist eine Polynomfunktion ______1_________ , so hat sie _______2_______ .<br />

2. Grades<br />

2<br />

3. Grades<br />

4. Grades<br />

1<br />

6.3.4. Gerade und ungerade Polynomfunktionen<br />

6.3.4.1. Gerade Polynomfunktionen<br />

Nur zur Ansicht<br />

Gerade Funktionen besitzen nur gerade Potenzen, also Potenzen mit geraden Hochzahlen.<br />

2. Grades: f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x 0<br />

4. Grades: f(x) = a ⋅ x 4 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x 0<br />

2<br />

mindestens einen Nullpunkt<br />

2<br />

mindestens 2 Nullpunkte<br />

mindestens 3 Nullpunkte<br />

Gerade Funktionen liegen spiegelsymmetrisch zur y-Achse.<br />

Beispiele für gerade Funktionen:<br />

manfred.ambach<br />

237<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Verwechsle nicht gerade Funktionen (spiegelsymmetrisch zur y-Achse)<br />

mit Geraden, den Graphen linearer Funktionen.<br />

6.3.4.2. Ungerade Polynomfunktionen<br />

Ungerade Funktionen besitzen nur ungerade Potenzen, also Potenzen mit ungeraden Hochzahlen.<br />

1. Grades: f(x) = a ⋅ x 1<br />

3. Grades: f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 1<br />

Ungerade Funktionen liegen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.<br />

Beispiele für ungerade Funktionen:<br />

Nur zur Ansicht<br />

Ungerade Funktionen besitzen kein konstantes Glied (bzw. das konstante Glied ist null):<br />

f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x 1 + d ⋅ x 0 → f(x) = a ⋅ x 3 + c ⋅ x<br />

Der Graph ungerader Funktionen geht demnach immer durch den Koordinatenursprung.<br />

manfred.ambach<br />

238<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.4. Exponential – und Logarithmusfunktionen<br />

6.4.1. Eigenschaften<br />

Sowie Potenz– und Wurzelfunktionen die gegenseitigen Umkehrfunktionen sind,<br />

verhält es sich auch bei den Exponential– und Logarithmusfunktionen:<br />

Potenzfunktion bzw. Polynomfunktion<br />

Exponentialfunktion<br />

Exponential – Funktionen<br />

Bei Exponentialfunktionen steht<br />

die Variable im Exponenten ( in der Hochzahl )<br />

Logarithmus – Funktionen<br />

Bei Logarithmusfunktionen steht<br />

die Variable im Argument<br />

Bsp.: f(x) = 2 x Bsp.: f(x) = log 2 (x)<br />

Nur zur Ansicht<br />

Folgende Bezeichnungen gelten:<br />

Wurzelfunktion<br />

Logarithmusfunktion<br />

Argument bzw. Logarithmand<br />

log a (x)<br />

Basis<br />

Bemerkung: Manchmal liest man statt log a (x) auch die Schreibweise<br />

a<br />

log (x)<br />

manfred.ambach<br />

239<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Der Zusammenhang zwischen Exponential– und Logarithmusfunktion:<br />

a x = u log a (u) = x<br />

Beispiele: 2 3 = 8 ↔ log 2 (8) = 3<br />

Beispiel: Ermittle x:<br />

log 3 (x) = 2<br />

Vor der Berechnung:<br />

10 2 = 100 ↔ log 10 (100) = 2<br />

↔ 3 2 = x → 9 = x<br />

log x (16) = 4 ↔ x 4 = 16 | √ 4 → x = 2<br />

log 7 (343) = x ↔ 7 x = 343 ... Exponentialgleichung<br />

Rechenregeln für Logarithmen<br />

L1: log a (u . v) = log a (u) + log a (v)<br />

L2: log a ( u<br />

v ) = log a(u) − log a (v)<br />

L3: log a (u n ) = n . log a (u)<br />

Nur zur Ansicht<br />

m<br />

L4: log a ( √ u<br />

) =<br />

Für Logarithmen bestimmter Basen gibt es eigene Abkürzungen:<br />

1<br />

m . log a(u)<br />

Name Schreibweise Casio<br />

m<br />

log a ( √u n<br />

) = n<br />

m ⋅ log a(u)<br />

dekadischer Logarithmus<br />

log 10 (x) = lg (x)<br />

4.Reihe, links<br />

natürlicher Logarithmus<br />

( logarithmus naturalis )<br />

log e (x) = ln (x)<br />

3. Reihe, rechts<br />

manfred.ambach<br />

240<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Zurück zur Exponentialgleichung:<br />

7 x = 343 | ln<br />

Bemerkung 1:<br />

ln (7 x ) = ln (343)<br />

. . . L 3<br />

x ⋅ ln(7) = l n(343) | ∶ ln (7)<br />

x = ln(343)<br />

x = 3<br />

ln(7)<br />

Während man z.B. bei x² die Quadratwurzel ziehen muss, um x zu erhalten, braucht bei 7 x nicht der log 7 gewählt<br />

werden.<br />

Bemerkung 2:<br />

ln (7 x ) bedeutet ln von 7 x<br />

ln (343) bedeutet ln von 343<br />

Also nicht die ln am Bruch kürzen!<br />

Beispiel:<br />

Bestimme x: 1,15 x+1 = 36,25<br />

1,15 x+1 = 36,25 | ln<br />

ln(1,15 x+1 ) = ln(36,25)<br />

(x + 1) ⋅ ln(1,15) = ln(36,25) | ∶ ln(1,15)<br />

x + 1 = ln(36,25) | − 1<br />

ln(1,15)<br />

x = ln(36,25)<br />

ln(1,15) − 1<br />

Nur zur Ansicht<br />

x = 24,69<br />

Beispiel:<br />

Bestimme x: 3 . 0,95 2x−1 = 12<br />

3 . 0,95 2x−1 = 12 | ∶ 3<br />

0,95 2x−1 = 4 | ln<br />

ln(0,95 2x−1 ) = ln(4)<br />

(2x − 1). ln(0,95) = l n(4) | ∶ ln(0,95)<br />

2x − 1 =<br />

2x =<br />

x =<br />

ln(4)<br />

ln(0,95)<br />

| + 1<br />

ln(4)<br />

ln(0,95) + 1 |: 2<br />

ln(4)<br />

ln(0,95) + 1<br />

x = −13,01<br />

2<br />

Mit GeoGebra:<br />

Mit GeoGebra:<br />

manfred.ambach<br />

241<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Beispielhaft der Graph einer Exponentialfunktion : f (x) = 2 x :<br />

Beispielhaft der Graph einer Logarithmusfunktion : f (x) = log 2 (x)<br />

<br />

<br />

<br />

Nur zur Ansicht<br />

<br />

<br />

<br />

Exponentialfunktionen existieren für<br />

alle x R (für alle reellen Zahlen).<br />

Dh.: Für jede reelle Zahl x gibt es einen y-<br />

Wert.<br />

Die Funktionswerte ( y-Werte ) können nur<br />

positive reelle Zahlen sein.<br />

Jede Exponentialfunktion geht durch den<br />

Punkt (0/1)<br />

weil ja a 0 = 1<br />

Logarithmusfunktionen existieren nur für x <br />

R + (nur für die positiven reellen Zahlen).<br />

Dh.: Nur für positive x gibt es y-Werte.<br />

Die Funktionswerte ( y-Werte ) können alle<br />

reellen Zahlen sein.<br />

Für jede Logarithmusfunktion gilt:<br />

log a (1) = 0 weil a 0 = 1<br />

log a (a) = 1 weil a 1 = a<br />

Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion, indem man den Graphen der Funktion an der 1. Mediane: y = x<br />

spiegelt.<br />

und<br />

manfred.ambach<br />

242<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

e ist die EULERsche Zahl e 2,7182 . . .<br />

Leonhard EULER<br />

( 1707 – 1783 )<br />

auf einer ehemaligen Schweizer Banknote<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

A(t) = B 0 ⋅ c | ∶ B 0<br />

A(t)<br />

= c | ln<br />

B 0<br />

Leonhard EULER, Schweizer Mathematiker, entwickelte diese Zahl,<br />

indem er in der Zinseszins-Formel die Anzahl der Verzinsungen<br />

(Vermehrungen) pro Jahr gegen unendlich gehen ließ.<br />

Mit der Exponentialfunktion f(x) = e x und ihrer Umkehrung<br />

dem ln (x) lassen sich<br />

natürliche Wachstumsvorgänge, wie z.B. die Anzahl der Bakterien<br />

in Nährlösungen<br />

oder der radioaktive Zerfall, mathematisch beschreiben.<br />

Gegeben ist folgende Gleichung:<br />

A(t) = B 0 ⋅ c<br />

ln A(t)<br />

= TM ⋅ ln (c)<br />

ln B 0<br />

– Begründen Sie, warum folgende Umformung falsch ist.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Unendlichkeit der Mathematik 23<br />

ln ( A(t) ) = ln (c)<br />

B 0<br />

ln(A(t)) − ln(B 0 ) = TM ⋅ ln (c)<br />

Statt – wurde dividiert!<br />

Wie kann man denn nun zeigen, ob 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . = 4 ist?<br />

2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1<br />

16 + 1<br />

32 + . . . = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1<br />

16 + 1<br />

32 + . . . + 1<br />

2 n−1<br />

Fortsetzung S 288<br />

manfred.ambach<br />

243<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.4.2. Zinseszinsen<br />

Zinseszinsen bedeutet, dass die Zinsen des Vorjahrs im nächsten<br />

Kalenderjahr mitverzinst werden.<br />

Die Formel ohne Herleitung:<br />

K n = K 0 ⋅ (1 + i) n<br />

n … Anzahl der Kalenderjahre, die das Kapital angelegt bzw. geliehen ist<br />

K 0 … Anfangskapital<br />

K n … Kapital nach n Kalenderjahren samt Zinseszinsen<br />

i =<br />

p<br />

mit p … Zinssatz p.a. (per anno, also pro Jahr)<br />

100<br />

Man kann die Zinseszinsformel auch so darstellen:<br />

Dann ist t die Anzahl der Kalenderjahre.<br />

Beispiel der Zentralmatura am 16.1.2018<br />

K n = K 0 ⋅ (1 + i) n<br />

N(t) = N 0 ⋅<br />

Auf ein Konto werden € 3 000 angelegt.<br />

Für eine Zeitspanne von 3 Jahren wird dieser Betrag mit 5 % pro Jahr verzinst, anschließend für zwei Jahre mit<br />

1 % pro Jahr.<br />

– Ermitteln Sie den Kontostand nach 5 Jahren.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Nur zur Ansicht<br />

K 0 = 3 000 € n = 3 a i = 5<br />

= 0,05<br />

100<br />

K 3 = 3 000 ⋅ (1 + 0,05) 3 = 3 472,875<br />

K 0 = 3 472,875 € n = 2 a i = 1<br />

= 0,01<br />

100<br />

Für die restlichen 2 Jahre K 0 die 3 472,875 Euro:<br />

a t<br />

Jede Veränderung<br />

bedeutet<br />

eine neue Rechnung!<br />

K 2 = 3 472,875 ⋅ (1 + 0,01) 2 = 3 542,68<br />

Das Kapital ist in diesem Zeitraum auf 3 542,68 Euro angewachsen.<br />

manfred.ambach<br />

244<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Beispiel:<br />

Ein Kapital von 1 800 Euro wird 3 Kalenderjahre angelegt und wächst in diesem Zeitraum auf 1 854,54 Euro an.<br />

– Berechnen Sie den Jahreszinssatz p.<br />

K 0 = 1 800 € n = 3 a K 3 = 1 854,54 €<br />

K n = K 0 ⋅ (1 + i) n<br />

1 854,54 = 1 800 ⋅ (1 + i) 3 | ∶ 1 800<br />

Beispiel:<br />

1 854,54<br />

1 800<br />

3<br />

√ 1 854,54<br />

1 800<br />

1,01 − 1 = i<br />

0,01 = p<br />

1% = p<br />

= (1 + i) 3 | √ 3<br />

0,01 = i<br />

100<br />

= 1 + i | − 1<br />

| . 100 → 1 = p<br />

Das Kapital wurde mit einem Jahreszinssatz von 1% angelegt.<br />

Ein Kapital von 1 500 Euro wird zu einem Zinssatz von 1,1 % p.a. angelegt und wächst in diesem Zeitraum auf<br />

1 637,20 Euro an.<br />

– Ermitteln Sie, wie viel Kalenderjahre das Kapital angelegt war.<br />

K 0 = 1 500 € p = 1,1% → i = 0,011 K n = 1637,20 €<br />

K n = K 0 ⋅ (1 + i) n<br />

Nur zur Ansicht<br />

1637,20 = 1 500 ⋅ (1 + 0,011) n | ∶ 1 500<br />

1,0915 = (1,011) n | ln<br />

ln(1,0915) = ln (1,011) n<br />

ln(1,0915) = n ⋅ ln (1,011) | ∶ ln (1,011)<br />

Mit GeoGebra:<br />

oder :<br />

Setzt man statt i =<br />

gleich den Zinssatz p:<br />

Mit GeoGebra:<br />

p<br />

100<br />

, so erhält man<br />

ln(1,0915)<br />

ln(1,011)<br />

= n<br />

n = 8,00<br />

Das Kapital war 8 Kalenderjahre angelegt.<br />

manfred.ambach<br />

245<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

6.4.3. Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse<br />

Wir behandeln exponentielle(s) Wachstum (Zunahme) oder exponentielle(n) Zerfall (Abnahme),<br />

also Prozesse,<br />

bei denen die Funktionswerte in gleichen Zeitabständen um den gleichen Prozentsatz zunehmen<br />

(Wachstum),<br />

bzw. die Funktionswerte in gleichen Zeitabständen um den gleichen Prozentsatz abnehmen (Zerfall).<br />

Man kann es auch so ausdrücken:<br />

Kennzeichnend für exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall ist, dass<br />

der Quotient (*) der Funktionswerte in gleichen Intervallen immer gleich groß ist,<br />

bzw. die prozentuelle Zunahme bzw. Abnahme in gleichen Intervallen gleich groß ist.<br />

(*)<br />

... Quotient: Ergebnis einer Division<br />

Beispiel:<br />

f (x) = e 0,05⋅x<br />

f (10)<br />

f (0) = 1,65 = 1,65 → + 65 %<br />

1<br />

f (20)<br />

f (10) = 2,72 = 1,65 → + 65 %<br />

1,65<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach<br />

246<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Exponentielles Wachstum<br />

N(t) = N 0 . e λ⋅t<br />

Exponentieller Zerfall<br />

N(t) = N 0 . e −λ⋅t<br />

N(t) = N 0 . a t<br />

N(t) = N 0 . a t<br />

mit a = e λ > 1 bzw. 0 < a = e λ < 1<br />

e … die EULERsche Zahl Mit Casio: SHIFT → ln<br />

Ist das Wachstums- bzw. Zerfallsgesetz gesucht, so ist die Konstante λ bzw. a gesucht.<br />

Beispiel für ein gegebenes Wachstumsgesetz: N (t) = N0 . e 0,1234 . t bzw. N (t) = N0 . 1,1313 t<br />

Beispiel für ein gegebenes Zerfallsgesetz: N (t) = N0 . e – 0,1234 . t bzw. N (t) = N0 . 0,8839 t<br />

Benötigt man N(t) in Prozent, so setzt man, gleich ob die Menge gegeben oder nicht, N0 = 100 % .<br />

Benötigt man N(t) in Promill, so setzt man, gleich ob die Menge gegeben oder nicht, N0 = 1 000 ‰ .<br />

Für das Wachstumsgesetz gilt:<br />

bzw.<br />

bzw.<br />

Für das Zerfallsgesetz gilt:<br />

Nur zur Ansicht<br />

τ ... tau, das griechische t<br />

manfred.ambach<br />

247<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Warum müssen wir zwei verschiedene<br />

Arten des Wachstums- und<br />

Zerfallsgesetzes lernen?<br />

Weil beide Arten recht praktisch sein können.<br />

Beträgt z.B. die Wachstumsrate 5 %, so ist a = 1,05.<br />

Beträgt z.B. die Abnahmerate 5 %, so ist a = 0,95.<br />

Beispiel:<br />

Prinzipieller Aufbau eines HIV-Virus<br />

Quelle: http://www.aids-<br />

hilfe.at/Wissenswertes/Fakten-HIV-AIDS/Das-HI-<br />

Virus-und-seine-Vermehrung<br />

Probiere durch Rechnung!<br />

HIV-Viren vermehren sich pro Tag um 3,5 %.<br />

– Begründe, warum es sich dabei um ein exponentielles Wachstum handelt.<br />

Da sich die Viren in gleichen Zeitabschnitten (pro Tag) um den gleichen<br />

Prozentsatz (um 3,5 %) vermehren, handelt es sich um ein exponentielles<br />

Wachstum.<br />

– Stelle das entsprechende Wachstumsgesetz der Form N(t) = N 0 ⋅ e λ⋅t auf:<br />

Wir schreiben in das Algebra-Fenster den Befehl<br />

TrendExp[ ]<br />

Nun geben wir zwei Punkte ein:<br />

Wir wählen für N0 = 100% als die ursprüngliche Menge. Das heißt, bei t = 0 ist die vorhandene Menge 100 (%).<br />

Also ist ein Punkt ( 0 / 100 ).<br />

Da sich die Viren pro Tag um 3,5 % vermehren, sind nach einem Tag ( t = 1 ) 100 % + 3,5 % = 103,5 % vorhanden.<br />

Also lautet ein zweiter Punkt ( 1 / 103,5 ).<br />

ENTER betätigt und die entsprechende Funktion erscheint.<br />

Mit x = t und f(x) = N(t) lautet das gesuchte Wachstumsgesetz N(t) = N 0 ⋅ e 0,0344⋅t<br />

Nur zur Ansicht<br />

Bemerkung: Es reicht, nur den Wert für die Konstante λ einzusetzen.<br />

Es sei denn, man möchte eine konkrete Menge berechnen. Dann benötigt man auch die<br />

Anfangsmenge.<br />

– Stelle das entsprechende Wachstumsgesetz der Form N(t) = N 0 ⋅ a t auf:<br />

Wir schreiben in das Algebra-Fenster den Befehl<br />

TrendExp2[ ]<br />

manfred.ambach<br />

248<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Nun geben wir zwei Punkte ein<br />

und verwenden die gleichen Überlegungen wie vorhin:<br />

Wir wählen für N0 = 100% als die ursprüngliche Menge. Das heißt, bei t = 0 ist die vorhandene Menge 100 (%).<br />

Also ist ein Punkt ( 0 / 100 ).<br />

Da sich die Viren pro Tag um 3,5 % vermehren, sind nach einem Tag ( t = 1 ) 100 % + 3,5 % = 103,5 % vorhanden.<br />

Also lautet ein zweiter Punkt ( 1 / 103,5 ).<br />

ENTER betätigt und die entsprechende Funktion erscheint.<br />

Mit x = t und f(x) = N(t) lautet das gesuchte Wachstumsgesetz N(t) = N 0 ⋅ 1, 035 t<br />

Zu Beginn werden 216 500 Viren nachgewiesen.<br />

– Bestimme die Dauer, bis die Anzahl der Viren auf eine Milliarde angewachsen ist.<br />

Wir verwenden das Gesetz in der Form N(t) = N 0 ⋅ 1, 035 t<br />

N 0 = 216 500<br />

N (t) = 1 000 000 000<br />

t = ?<br />

215, 14 Tage<br />

Erhalten wir das gleiche Ergebnis, wenn wir mit<br />

N(t) = N 0 ⋅ e λ⋅t rechnen?<br />

Wir geben die Gleichung mit den konkreten Werten ein<br />

und klicken auf .<br />

Probiere es aus, lieber Fredo!<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach<br />

249<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Todsicher<br />

Stirbt ein Mensch, so nimmt seine Körpertemperatur nach folgendem Gesetz ab:<br />

T(t) = 16 ⋅ e −0,0575⋅t + 22<br />

t … Zeit in Stunden (h), die seit dem Todeseintritt vergangen ist<br />

T(t) … Körpertemperatur in Grad Celsius (°C), t Stunden nach Todeseintritt<br />

Ein Mordopfer wird um 23: 00 gefunden. Seine Körpertemperatur beträgt 29 °C.<br />

Ein Tatverdächtiger hat für die Zeit von 12: 00 bis 15: 00 desselben Tages ein Alibi.<br />

– Begründen Sie mittels Rechnung, ob der Tatverdächtige als Mörder in Frage kommen kann<br />

Von 15:00 bis 23:00 sind 8 Stunden vergangen:<br />

T(8) = 32,10 °C<br />

Von 12:00 bis 23:00 sind 11 Stunden vergangen:<br />

T(11) = 30,50 °C<br />

Wäre das Mordopfer zwischen 12:00 und 15:00 umgebracht worden, müsste es um 23:00 eine Temperatur<br />

zwischen 30,5 °C und 32,1 °C haben.<br />

Schlecht für den Tatverdächtigen:<br />

Da die Temperatur des Mordopfers um 23:00 nur noch 29 °C betrug, muss es vor 12:00 umgebracht worden sein.<br />

– Argumentieren Sie, ob das Zerfallsgesetz T(t) = 16 ⋅ e −0,0575⋅t + 22 richtig umgeformt wurde:<br />

ln ( T(t) − 16) = −0,0575 ⋅ t<br />

22<br />

Nur zur Ansicht<br />

Möglicher Lösungsweg: Händisches Umformen<br />

T(t) = 16 ⋅ e −0,0575⋅t + 22 | − 22<br />

T(t) − 22 = 16 ⋅ e −0,0575⋅t | ∶ 16<br />

T(t) − 22<br />

16<br />

= e −0,0575⋅t | ln<br />

T(t) − 22<br />

ln ( ) = ln(e −0,0575⋅t )<br />

16<br />

ln (<br />

ln (<br />

T(t) − 22<br />

) = −0,0575 ⋅ t ⋅ ln (e)<br />

16<br />

=1<br />

T(t) − 22<br />

) = −0,0575 ⋅ t<br />

16<br />

Die Umformung ist falsch, weil statt 22 zu subtrahieren durch 22 dividiert und statt durch 16 zu dividieren,<br />

16 subtrahiert wurde.<br />

manfred.ambach<br />

250<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

III Funktionale Zusammenhänge<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Lieber Fredo,<br />

hier muss man einmal selbst Hand anlegen!<br />

GeoGebra liefert hier nach Eingabe der Funktion<br />

keine Lösung, da in der einen Gleichung zwei<br />

Variabel, t und T(t), vorkommen!<br />

Wird eine Limo aus dem Kühlschrank genommen, so erhöht sich ihre Temperatur nach folgendem Gesetz:<br />

T(t) = T 2 − (T 2 − T 1 ) ⋅ 0,92 t mit T 2 > T 1<br />

t … Zeit in Minuten<br />

T(t) … Temperatur der Limo in °C , t Minuten, nachdem sie aus dem Kühlschrank genommen wurde.<br />

– Bestimmen Sie die Temperatur der Limo, eine viertel Stunde nachdem sie aus dem Kühlschrank genommen<br />

wurde, wenn T 1 = 6 °C und T 2 = 22 °C betragen.<br />

T(15) = 22 − (22 − 6) ⋅ 0,92 15 = 17, 42 °C<br />

Tom hat Halsentzündung und darf die Limo erst trinken, wenn sie 20°C hat.<br />

– Ermitteln Sie die Zeit, wie lange Tom warten muss, wenn T 1 = 8 °C und T 2 = 24 °C betragen.<br />

T(t) = T 2 − (T 2 − T 1 ) ⋅ 0,92 t<br />

20 = 24 − 16 ⋅ 0,92 t<br />

Nur zur Ansicht<br />

Tom muss 16,63 Minuten warten.<br />

Geht das nicht einfacher mit<br />

GeoGebra ??<br />

https://www.youtube.com/watch?v=gBUF5oKgn10&t=33s<br />

manfred.ambach<br />

251<br />

pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Ein jeder hört nur das, was er versteht.<br />

Johann Wolfgang von GOETHE<br />

( 1749 – 1832 )<br />

IV<br />

ANALYSIS<br />

Alleine das Wort<br />

Analysis klingt schon<br />

sehr "ermutigend"!<br />

7. DIFFERENZIEREN<br />

Das Wort Analysis stammt aus dem Griechischen und bedeutet so viel<br />

wie auflösen (analysieren).<br />

Was wollen wir in diesem Abschnitt auflösen, also durch die Zerlegung<br />

in kleine Schritte entschlüsseln und erhellen:<br />

Den genauen Verlauf von Kurven mittels Berechnung besonderer<br />

Punkte, Steigungen und Krümmungen,<br />

sowie die Berechnung gekrümmt begrenzter Flächen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Idee: Univ. Prof. Dr. Stefan SILLER<br />

manfred.ambach 252 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Besprechen wir zunächst das Rechentechnische, bevor wir uns der Veranschaulichung und den Anwendungen<br />

widmen.<br />

7.1. Ableitungsregel<br />

Differenzieren nennt man auch Ableiten.<br />

Wir verzichten wie immer auf theoretische Herleitungen.<br />

Es gibt mehrere Ableitungsregeln, doch wir beschränken uns händisch auf eine.<br />

Außerdem kann man mit GeoGebra auch differenzieren.<br />

7.1.1. Potenzregel<br />

Diese Regel gibt an, wie Potenzen der Form x n mit n ∈ R (reelle Zahl) differenziert werden.<br />

Die Regel lautet:<br />

Man sagt zu f ′ (x) f Strich von x oder erste Ableitung von f<br />

Beispiel:<br />

f(x) = x 3 → f ′ (x) = 3 . x 3−1 = 3 . x 2<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die Potenzregel darf NUR dann verwendet werden,<br />

wenn in der Basis der Potenz nur die Variable steht<br />

und sich die Potenz nicht im Nenner befindet!<br />

So wäre die Anwendung der Potenzregel bei Funktionen folgender Form falsch:<br />

Beispiel: f(x) = ( 4 x – 5 ) f ‘ (x) = 3 . ( 4 x – 5 ) 2<br />

Da in der Basis dieser Potenz nicht nur die<br />

Variable x steht,<br />

darf nicht mit der Potenzregel differenziert<br />

werden!<br />

manfred.ambach 253 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Beispiel: f(x) =<br />

1<br />

x 3 f ′(x) = 1<br />

3 ⋅ x 2<br />

Da die Potenz im Nenner steht, darf nicht mit der Potenzregel differenziert werden!<br />

Betrachten wir weitere Beispiele, die mit der Potenzregel differenziert werden können:<br />

f (x) = x 5 f ‘ (x) = 5 . x 4<br />

f (x) = x – 3 f ‘ (x) = – 3 . x – 4<br />

f (x) = x = x 1 f ‘ (x) = 1 . x 0 = 1 . 1 = 1<br />

x 0 = 1<br />

Beispiel:<br />

f (x) = 4 x 3 = 4 . x 3 f ‘ (x) = 4 . 3 . x 2 = 12 x 2<br />

Beachte, dass hier die Basis der Potenz in f (x) = 4 x 3 = 4 . x 3 nur aus der Variablen x besteht.<br />

Die Vorrangregeln klären eindeutig, dass Hochrechnung vor Punktrechnung kommt!<br />

Da eine höhere Rechenstufe NIE über eine niedrigere hinausgeht, lautet die Potenz nur x 3<br />

mit der Basis x . Die Zahl 4 ist ein konstanter Faktor, nachrangig mit mal mit x 3 verbunden.<br />

Stünde in der Basis der Potenz 4x, was bei ( 4x ) 3 der Fall wäre, dürfte die Potenzregel<br />

nicht zur Anwendung kommen!<br />

Konstante Faktoren ( . : ) werden unverändert in die Ableitung übernommen.<br />

Nur zur Ansicht<br />

f ( x ) = k . x n f ’ ( x ) = k . n . x n – 1<br />

Dieser Buchstabe ist die Variable. Alle anderen Buchstaben gelten als Konstanten.<br />

Weitere Beispiele:<br />

2<br />

x 1 2<br />

f (x) = .x<br />

f ’ (x) =<br />

2 2<br />

1<br />

2<br />

.2.x<br />

1.x<br />

x<br />

manfred.ambach 254 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

6<br />

4 x 4 6<br />

4 5<br />

f (x) = .x<br />

f ’ (x) = . 6.x = 8 x 5<br />

3 3<br />

3<br />

Beispiel:<br />

1<br />

f(x) = = x – 3 f ’ (x) = – 3 . x – 4 1<br />

= – 3 . = <br />

3<br />

x<br />

4<br />

x<br />

Bemerkung: P4 ist Potenzregel Nr. 4.<br />

Beispiel:<br />

f (x) <br />

P 4 P 4<br />

Potenzen im Nenner müssen vor dem Differenzieren nach der Regel P4:<br />

aus dem Nenner gebracht werden !<br />

P 4 P 4<br />

5 5 1 5<br />

f (x) = – = – . = – x – 2 f ’ (x) = <br />

2<br />

4 x 4 2<br />

x 4<br />

5<br />

4 x 2<br />

4<br />

x<br />

6<br />

≠ 5 . 4 x −2<br />

denn<br />

5<br />

4 ≠ 5 . 4<br />

Beispiel: f(x) = 2 = 2 . 1 = 2 . x 0 f ’ (x) = 2 . 0 . x –1 = 0<br />

Nur zur Ansicht<br />

1 = x 0<br />

Da man sich jede Konstante mit 1 bzw. x 0 multipliziert vorstellen kann, wird in der Ableitung stets der Faktor<br />

Null vorkommen und damit das Ergebnis immer Null sein.<br />

x<br />

3<br />

4<br />

1<br />

x<br />

n<br />

x<br />

n<br />

= 4 . x – 6 f ’ (x) = 4 . (–6). x – 7 = – 24 . x – 7 1 24<br />

= 24. = <br />

7<br />

7<br />

x x<br />

5<br />

.( 2).x<br />

4<br />

3<br />

<br />

5 1<br />

.<br />

2 3<br />

x<br />

<br />

5<br />

2x<br />

Ist ein Faktor Null, so ist das<br />

Ergebnis Null.<br />

3<br />

f ( x ) = k → f ’ ( x ) = 0<br />

Eine Konstante für sich ergibt abgeleitet null.<br />

manfred.ambach 255 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Beispiele:<br />

3<br />

f (x) = <br />

f ’ (x) = 0<br />

2<br />

f (x) = <br />

f ’ (x) = 0<br />

f (x) = a 3 f ’ (x) = 0<br />

f (a) = a 3 f ’ (a) = 3 a 2<br />

Beispiel: Gegeben ist die Funktion y = a⋅b2 ⋅x<br />

c<br />

– Ermittle f ′ (a), f ′ (b), f ′ (x), f ′ (c)<br />

f(a) = a⋅b2 ⋅x<br />

c<br />

f(b) = a⋅b2 ⋅x<br />

c<br />

f(x) = a⋅b2 ⋅x<br />

c<br />

f(c) = a⋅b2 ⋅x<br />

c<br />

→ f ′ (a) = 1⋅a0 ⋅ b 2 ⋅x<br />

→ f ′ (b) = a⋅2⋅b1 ⋅x<br />

→ f ′ (x) = a⋅ b2 ⋅1⋅x 0<br />

c<br />

c<br />

c<br />

= 1⋅b2 ⋅x<br />

c<br />

= 2⋅a⋅b⋅x<br />

c<br />

= a⋅b2 ⋅1<br />

c<br />

= a ⋅ b 2 ⋅ x ⋅ c −1 → f ′ (c) = a ⋅ b 2 ⋅ x ⋅ (−1) ⋅ c −2 = − a⋅b2 ⋅x<br />

Beispiel: f (x) = 6 x 2 – 4 x + 3 f ’ (x) = 6 . 2 x 1 – 4 . 1 . x 0 + 0 = 12 x – 4<br />

Nur zur Ansicht<br />

Man darf gliedweise ( + – ) getrennt differenzieren.<br />

Beispiele:<br />

f (x) <br />

2<br />

3<br />

x<br />

3<br />

<br />

1<br />

4<br />

x<br />

2<br />

1<br />

2 2 1<br />

f '(x) .3. x .2.x – 0 2 x<br />

3 4<br />

2<br />

<br />

1<br />

2<br />

x<br />

c 2<br />

f (x) = a x 3 + b x 2 + c x 1 + d<br />

f ’ (x) = a . 3 . x 2 + b . 2 . x + c . 1 . x 0 + 0 = 3 a x 2 + 2 b x + c<br />

manfred.ambach 256 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

7.1.2. Differenzieren mit<br />

Nehmen wir als Beispiel f(x) = 2<br />

⋅ 3 x3 − 1<br />

⋅ 4 x2 − 2 ⋅ x − 1<br />

CAS - Fenster:<br />

Man gibt die Funktion im CAS-Fenster ein und betätigt ENTER.<br />

Damit erscheint die Funktionsgleichung im Algebra- und CAS-Fenster, sowie der Graph im Grafik-Fenster (siehe<br />

oben).<br />

Will man die erste Ableitung, so schreibt man in die nächste Zeile des<br />

CAS-fensters f‘(x) :<br />

statt = ist : = zu schreiben<br />

Will man auch den Graphen der Ableitungsfunktion f‘, so klickt man den Kreis mit der linken Maustaste an,<br />

sodass er blau gefüllt ist.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Bemerkung1: f‘ als Ableitung erscheint als anderer Ausdruck als f‘ als Funktion.<br />

Das hat programmtechnische Gründe und ist unerheblich, weilbeide Ausdrücke richtig sind.<br />

Bemerkung 2: Wird f‘ als Funktion dargestellt, so nennt sie GeoGebra um. Bei diesem Beispiel wird aus f‘(x) g(x).<br />

manfred.ambach 257 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Auf die gleiche Weise kann man die zweite Ableitung f‘‘(x) ermitteln:<br />

Beispiel: f(x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d<br />

Beispiel:<br />

statt = ist : = zu schreiben<br />

Nicht a x sondern a*x usw. schreiben<br />

a x liest GeoGebra als die eine Variable ax<br />

ENTER betätigt und unterhalb der Eingabe erscheint die<br />

Funktionsgleichung nochmals.<br />

Nur zur Ansicht<br />

In die folgende Zeile schreiben wir f‘(x)<br />

ENTER betätigt und unterhalb f‘(x) erscheint<br />

die erste Ableitung.<br />

manfred.ambach 258 pro-test.at


#<br />

Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Auf die gleiche Weise erhalten wir die zweite Ableitung f‘‘(x):<br />

Bemerkung: Hier kann kein Graph angezeigt werden, weil die Koeffizienten (Vorzahlen) a, b und c nicht bekannt<br />

sind.<br />

Auch mit anderen Variablen außer x und y = f(x) kann man die Ableitungen bestimmen:<br />

Beispiel von S 256<br />

f(a) =<br />

a ⋅ b2 ⋅ x<br />

c<br />

4<br />

Zur Erinnerung: √4 ⋅ x 3 ∶<br />

Beispiel:<br />

Wurzelinhalt Grad der Wurzel<br />

Nur zur Ansicht<br />

f(t) = 2 ⋅ √t 2 + t<br />

3<br />

Bemerkung 1: Wenn der Buchstabe in der Klammer blau erscheint, hier a,<br />

dann ist festgelegt, dass dieser Buchstabe die Variable bedeutet.<br />

Bemerkung 2: Die Darstellungsweise in GeoGebra ist etwas anders<br />

als die handschriftliche, denn GeoGebra schreibt die Vorzahlen immer<br />

vor die Potenz mit der Variablen.<br />

b 2 ⋅ x<br />

c = b2<br />

1 ⋅ x<br />

c = b2 ⋅ x<br />

1 ⋅ c = b2 ⋅ x<br />

c<br />

Die erste Ableitung sieht etwas kompliziert aus!<br />

Das Tolle an GeoGebra ist, dass wir damit auch nach Regeln ableiten können,<br />

von deren Existenz wir gar nichts wissen!<br />

manfred.ambach 259 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

7.2. Veranschaulichung des Differenzierens<br />

7.2.1. Steigung der Tangente<br />

Lassen wir alle Formalitäten beiseite.<br />

Die zwei wichtigsten Zusammenhänge in der Differentialrechnung sind erstens:<br />

Die erste Ableitung f′(x 1 ) ist die Steigung k t der Tangente t ,<br />

die man an der Stelle x 1 an den Graphen von f legen kann.<br />

Nur zur Ansicht<br />

kurz: f ′ (x 1 ) = k t<br />

Wenn wir die erste Ableitung einer Funktion bilden,<br />

dann ermitteln wir die Steigung der Tangente an der Stelle x 1 .<br />

Steigung einer Geraden: Siehe auch<br />

manfred.ambach 260 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Man nennt die erste Ableitung auch Steigung der Tangente<br />

oder Differentialquotient oder (lokale) momentane Änderungsrate.<br />

Denken wir an einen Schlüssel, den wir drehen.<br />

Zunächst fliegt der Schlüssel entlang einer<br />

kurvigen Bahn. Ab dem Moment des Loslassens fliegt<br />

der Schlüssel (zunächst) geradlinig in Richtung<br />

der Tangente, weil die Kurve im Punkt des<br />

Loslassens die Richtung der Tangente besitzt.<br />

… und zweitens:<br />

Denken wir an ein Schleifrad, an dem ein Werkstück<br />

bearbeitet wird. Die glühenden Metallspäne fliegen<br />

geradlinig weg, weil sie sich in jene Richtung<br />

bewegen, die die Kurve in diesem Punkt besitzt und das<br />

ist die Richtung der Tangente.<br />

Nur zur Ansicht<br />

In jedem Berührpunkt haben Kurve und Tangente<br />

die gleiche Steigung (Richtung)<br />

f ′ (x 1 ) = k t<br />

manfred.ambach 261 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Beispiel: Bestimme die Gleichung der Tangente t, die man an der Stelle x = 1 an den Graphen der Funktion<br />

f(x) = 1<br />

2 ⋅ x2 + x legen kann.<br />

Händische Berechnung<br />

<br />

Tangente = Gerade, die berührt<br />

y = k ⋅ x + d<br />

Wir müssen k und d bestimmen.<br />

y = f(x) = 1 ⋅ 2 x2 + x<br />

Steigung = f ′ (x) = x + 1<br />

k t = f ′ (1) = 1 + 1 = 2<br />

Der Berührpunkt liegt auch auf der Tangente, also können wir ihn für x und y in die Tangentengleichung<br />

einsetzen. Den y-Wert müssen wir jedoch noch berechnen:<br />

y = f(x) = 1<br />

⋅ 2 x2 + x → y = f(1) = 1<br />

Mit GeoGebra:<br />

y = k ⋅ x + d<br />

2 ⋅ 12 + 1 = 1, 5 → (1/1, 5)<br />

(1/1, 5) → 1, 5 = 2 ⋅ 1 + d → −0, 5 = d → t: y = 2 ⋅ x − 0, 5<br />

k t = f′(2)<br />

Wir geben im Algebra-Fenster (in die Eingabezeile) die Gleichung der Funktion<br />

ein.<br />

In die Zeile darunter schreiben wir den Befehl<br />

Nur zur Ansicht<br />

Tangente[ , ]<br />

Da die Tangente bei x = 1 gelegt werden soll und der Name der Funktion<br />

f lautet, schreiben wir<br />

Tangente [1, f]<br />

ENTER betätigt und die Gleichung der Tangente steht da.<br />

Bemerkung: GeoGebra hat in diesem Fall der Tangente den Namen g gegeben.<br />

manfred.ambach 262 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Sollte man nicht wissen, welche der Zahlen die Steigung ist:<br />

Wir schreiben den Befehl Steigung[ ]<br />

Da in diesem Fall die Tangente g heißt,<br />

schreiben wir Steigung[ g ]<br />

und betätigen ENTER.<br />

Damit gibt GeoGebra sowohl den<br />

Zahlenwert der Steigung (a = k = 2) an,<br />

als auch im Grafik-Fenster ein gezeichnetes<br />

Steigungsdreieck.<br />

Nur zur Ansicht<br />

https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38&t=3s<br />

https://www.youtube.com/watch?v=Y7JjSVIHPY8&t=2s<br />

manfred.ambach 263 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

7.2.2. Änderungsraten<br />

7.2.2.1. Absolute Änderung(srate)<br />

7.2.2.2. Relative Änderung(srate)<br />

Die absolute Änderung(srate):<br />

f(x 2 ) − f(x 1 ) = y 2 − y 1<br />

Beispiel: Jemand verdiente im Jahr 2012 monatlich 2 354 €<br />

brutto, im Jahr 2018 waren es 2 476 €.<br />

Die absolute Änderung = 2 476 – 2354 = 122 €<br />

Beispiel: f(x) = x²<br />

Die absolute Änderung im Intervall [2 ; 4 ]:<br />

f(4) − f(2) = 4 2 − 2 2 = 16 − 4 = 12<br />

Die relative Änderung(srate):<br />

f(x 2 ) − f(x 1 )<br />

= y 2 − y 1<br />

f(x 1 )<br />

Beispiel: Jemand verdiente im Jahr 2012 monatlich 2 354 €<br />

brutto, im Jahr 2018 waren es 2 476 €.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Dier relative Änderung =<br />

Beispiel: f(x) = x²<br />

y 1<br />

2 476−2 354<br />

= 0,0518 = 5,18 %<br />

2 354<br />

Die relative Änderung im Intervall [2 ; 4 ]:<br />

f(4) − f(2)<br />

f(2)<br />

=<br />

4² − 22<br />

=<br />

2²<br />

16 − 4<br />

4<br />

= 3 = 300 %<br />

manfred.ambach 264 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

7.2.2.3. Mittlere Änderung(srate) (mittlere Steigung)<br />

Denken wir uns einen Berghang.<br />

Wollen wir diesen Hang von A bis B<br />

erklimmen, so gilt es steilere und<br />

weniger steile Stücke zurückzulegen.<br />

Die durchschnittliche (mittlere)<br />

Steigung nennt man mittlere<br />

Änderungsrate (m.Ä.) und meint die<br />

Steigung der Geraden, die durch den<br />

Anfangs- und Endpunkt der Strecke<br />

führt.<br />

Die mittlere Änderungsrate nennt man<br />

auch durchschnittliche Steigung oder<br />

Differenzenquotient.<br />

Bemerkung: Differenz: das Ergebnis einer Subtraktion Quotient: das Ergebnis einer Division (siehe untere Erklärung)<br />

Die Steigung der Geraden durch die<br />

Punkte A und B ist die<br />

mittlere Änderungsrate (m.Ä.)<br />

und berechnet sich wie folgt:<br />

m. Ä. [x 1 ; x 2 ] =<br />

Δ … Delta = griechisches D, es steht hier für Differenz<br />

m. Ä. [x 1 ; x 2 ] = f(x 2) − f(x 1 )<br />

x 2 − x 1<br />

Nur zur Ansicht<br />

bzw.<br />

y 2 − y 1<br />

x 2 − x 1<br />

Δ y<br />

=<br />

Δ x<br />

Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung einer Geraden durch 2 Punkte (Sekante).<br />

Bemerkung: Anfangs- und Endpunkt der Strecke müssen nicht A und B heißen.<br />

manfred.ambach 265 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Beispiel: Das Ländle ist begehrt!<br />

Bregenz hatte im Jahr 1880 6 691 Einwohner, im Jahr 2018 waren es 29 806 Einwohner.<br />

Bestimmen wir zunächst die absolute Änderung(srate): 29 806 – 6 691 = 23 115<br />

Bregenz wuchs von 1880 bis 2018 um 23 115 Einwohner.<br />

Nun zur relativen Änderung(srate):<br />

29 806−6 691<br />

6 691<br />

Bregenz wuchs von 1880 bis 2018 um 345,46 %<br />

Jetzt noch die mittlere Änderungsrate:<br />

= 3,4546 = 345,46 %<br />

29 806−6 691<br />

2018−1880 = 167,5<br />

Bregenz wuchs zwischen 1880 und 2018 jährlich (pro Jahr) um durchschnittlich 167,5 Einwohner.<br />

Oder: Bregenz wuchs zwischen 1880 und 2018 im Mittel pro Jahr um 167,5 Einwohner.<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Der Energieverbrauch beim Joggen kann näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben werden:<br />

E(t) = −0,05 ⋅ t 2 + 3 ⋅ t + 50 für 0 < t < 45<br />

t … Zeit in Minuten (min)<br />

E(t) … Energieverbrauch in Kilojoule pro Minute (kJ/min) zum Zeitpunkt t<br />

Nur zur Ansicht<br />

– Geben Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall [20 ; 40] mit der entsprechenden Einheit an.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

manfred.ambach 266 pro-test.at


(<br />

Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Die entsprechende Einheit: E(t) in kJ/min und t in min<br />

→<br />

kJ/ min<br />

min<br />

m. Ä. [20 ; 40] = 0<br />

kJ/ min<br />

min<br />

Das bedeutet, dass im Zeitintervall [20 min ; 40 min] durchschnittlich in einer Minute um null kJ/min<br />

mehr bzw. weniger Energie verbraucht wird.<br />

Veranschaulichen wir uns das mit Hilfe einer Skizze:<br />

Ein Vergleich:<br />

Da die Funktionswerte an den<br />

Stellen x = 20 und<br />

x = 40 gleich groß sind,<br />

f(20) = 90 und f(40) = 90 ,<br />

ist die Differenz<br />

f(40) − f(20) = 0<br />

Das bedeutet nicht, dass im<br />

Intervall [20 min ; 40 min]<br />

keine Energie verbraucht wird!<br />

Ansonsten müsste der Graph<br />

von E in diesem Bereich<br />

waagrecht verlaufen.<br />

Du beginnst eine Wanderung auf 900 m Seehöhe. Der Weg führt dich über einen Gipfel von 2 500 m Höhe.<br />

Das Ziel liegt wiederum auf 900 m Seehöhe.<br />

Die Verbindungslinie zwischen Start und Ziel ist waagrecht, hat also die Steigung null.<br />

Nur zur Ansicht<br />

https://www.youtube.com/watch?v=DwwOeMyHW38<br />

manfred.ambach 267 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

7.2.2.4. Lokale (momentane) Änderung(srate) (momentane Steigung)<br />

Bemerkung: Differentiale sind kleinste Differenzen<br />

Die lokale (momentane) Änderungsrate ist<br />

die Steigung (Richtung) der Tangente<br />

in einem Punkt der Kurve.<br />

Die momentane Änderungsrate nennt man auch<br />

Differentialquotient.<br />

Die momentane Änderungsrate ist die Steigung einer Tangente<br />

Beispiel: Bestimme die momentane Änderungsrate der Funktion f(x) = 1<br />

2 ⋅ x2 + 1 an der Stelle x = 2 .<br />

Nur zur Ansicht<br />

y = f(x) = 1<br />

⋅ 2 x2 + 1<br />

Wir bilden die erste Ableitung f ′ (x) = x<br />

Da wir die Steigung der Tangente an der Stelle x = 2 wollen, setzen wir in die Steigung für<br />

x = 2 ∶<br />

k t = f ′ (2) = 2<br />

Die momentane Änderungsrate (die momentane Steigung) an der Stelle x = 2 beträgt 2.<br />

manfred.ambach 268 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Mit GeoGebra:<br />

Die lokale (momentane) Änderungsrate an der<br />

Stelle x = 2 beträgt f‘(2) = 2<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 269 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Der untere Wert des Blutdrucks während eines Laufes kann für die ersten sechs Minuten annähernd durch<br />

folgende Funktion beschrieben werden:<br />

B(t) = −1,25 ⋅ t 3 + 7,5 ⋅ t 2 + 10 ⋅ t + 60<br />

t … Zeit, die seit dem Start vergangen ist, in Minuten (min)<br />

B(t) … Blutdruck in Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) zum Zeitpunkt t<br />

– Beschreiben Sie, was mit den folgenden Rechnungen im Sachzusammenhang ermittelt wird.<br />

B(4)−B(0)<br />

4<br />

und<br />

B(4)−B(0)<br />

B(0)<br />

– Berechnen Sie die momentane Steigung (Steigerung) des Blutdrucks für t = 2 min.<br />

– Interpretieren Sie die momentane Steigung im konkreten Sachzusammenhang.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

B(4)−B(0)<br />

4<br />

= B(4)−B(0)<br />

4−0<br />

ist die mittlere Änderungsrate im Intervall [ 0 min ; 4 min ].<br />

Im Sachzusammenhang: Die (mittlere) durchschnittliche Veränderung des Blutdrucks in den<br />

ersten vier Minuten nach dem Start.<br />

B(4)−B(0)<br />

B(0)<br />

ist die relative Änderungsrate im Intervall [ 0 min ; 4 min ]<br />

Im Sachzusammenhang: Die prozentuelle Veränderung des Blutdrucks in den<br />

ersten vier Minuten nach dem Start.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Die momentane Steigung ist die momentane Änderungsrate, also die Steigung der Tangente,<br />

somit die erste Ableitung der Funktion:<br />

B ′ (t) = −3,75 ⋅ t 2 + 15 ⋅ t + 10<br />

Wir wollen die momentane Steigung zum Zeitpunkt t = 2, also setzen wir in die erste Ableitung für<br />

t = 2 ∶ B ′ (2) = −3,75 ⋅ 2 2 + 15 ⋅ 2 + 10 = 25<br />

mmHg<br />

min<br />

manfred.ambach 270 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Mit GeoGebra:<br />

Interpretation:<br />

Die Steigung jeder Geraden ist<br />

k = G<br />

Nur zur Ansicht<br />

A<br />

bzw. k = k<br />

1<br />

Da die Einheit der Gegenkathete bzw.<br />

y-Achse mmHg lautet und jene der<br />

Ankathete bzw. x-Achse min, lautet die<br />

momentane Steigung 2 Minuten nach<br />

dem Start<br />

25 mmHg<br />

1 min<br />

also 25 mmHg pro 1 min<br />

Somit lautet die Interpretation im<br />

konkreten Sachzusammenhang:<br />

Der Blutdruck nimmt pro Minute<br />

um 25 mmHg zu.<br />

– Erklären Sie, wie am unten abgebildeten Diagramm die momentane Steigung der Funktion abgelesen<br />

werden kann.<br />

manfred.ambach 271 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

erklären, erläutern . . .<br />

mit Hilfe mathematischer Fachsprache einen Rechengang angeben<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Anderes wäre gefragt bei<br />

Dokumentieren (beschreiben) . . .<br />

einen Rechengang (Lösungsweg) in Worten angeben<br />

ODER:<br />

B′(t 1 )<br />

Bemerkung: t 1 bedeutet nicht eine 1. Lösung,<br />

sondern einen bestimmten,<br />

also bekannten t-Wert<br />

– Dokumentieren Sie, wie im oben abgebildeten Diagramm die momentane Änderungsrate an einer<br />

Stelle t 1 ermitteln können.<br />

An der Stelle t 1 an den Graphen Tangente legen.<br />

Die momentane Änderungsrate ist Steigung dieser Tangente.<br />

Nur zur Ansicht<br />

https://www.youtube.com/watch?v=DwwOeMyHW38<br />

manfred.ambach 272 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

7.3. Weitere Anwendungen der Differentialrechnung<br />

7.3.1. Extrema 1<br />

Greifen wir das Bild von der Bergwanderung auf:<br />

Denke dir den Funktionsgraphen als<br />

Berg- und Tallandschaft, die du in<br />

Schreibrichtung durchwanderst.<br />

Zunächst steigt es an. Kommen wir am<br />

höchsten Punkt H an, so geht es weder<br />

bergauf noch bergab.<br />

Im Hochpunkt H<br />

liegt die Tangente waagrecht,<br />

hat also die Steigung ist Null.<br />

Gehen wir vom Hochpunkt aus weiter,<br />

so geht's bergab.<br />

Gelangen wir zum tiefsten Punkt T, so<br />

geht es weder bergab noch bergauf.<br />

Im Tiefpunkt T<br />

liegt die Tangente waagrecht,<br />

hat also die Steigung ist Null.<br />

.<br />

Hochpunkt H und Tiefpunkt T nennt man die (relativen) Extrema.<br />

Relativ höchster bzw. relativ tiefster Punkt deshalb, weil ja die unendlich lange Linie des Funktions-Graphen ins negativ bzw.<br />

positiv Unendliche geht und somit absolut gesehen höhere und tiefere Punkte der Kurve existieren.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Extrema sind Punkte der Kurve,<br />

mit der Steigung Null .<br />

also setzen wir<br />

f ′ = 0<br />

1 extrema ist die Mehrzahl von extremum (lateinisch): das Äußerste<br />

manfred.ambach 273 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Außerdem gilt:<br />

Der Hochpunkt liegt im Bereich<br />

rechter Krümmung.<br />

Rechte Krümmung ist negativ,<br />

weil hier die Steigung abnimmt.<br />

Bemerkung: Mit positiver und negativer Laune lässt sich die Krümmung gut merken.<br />

Beispiel:<br />

Der Tiefpunkt liegt im Bereich<br />

linker Krümmung.<br />

Linke Krümmung ist positiv,<br />

weil hier die Steigung zunimmt.<br />

– Bestimme die Extrema ( Hochpunkt H und Tiefpunkt T ) der Funktion f(x) = 1<br />

bestimmen, ermitteln, berechnen . . .<br />

eine konkrete Berechnung durchführen<br />

8 x3 − 3<br />

2 x2 + 9<br />

Nur zur Ansicht<br />

Händische Berechnung:<br />

y = f(x) = 1<br />

8 x3 − 3<br />

2 x2 + 9<br />

2 x<br />

Steigung = f ′ (x) = 3<br />

8 x2 − 3x + 9<br />

2<br />

2 x .<br />

Krümmung = f ′′ (x) = 3 4 x −<br />

manfred.ambach 274 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Da in den Extrema die Steigung = 0 ist, setzen wir die Steigung = 0:<br />

Steigung = f ′ (x) = 0<br />

→<br />

3<br />

8 x2 − 3x + 9<br />

2 = 0 → x 1 = 2 x 2 = 6<br />

y 1 = f(2) = 1<br />

8 ⋅ 23 − 3<br />

2 ⋅ 22 + 9 ⋅ 2 = 4 → (2/4)<br />

2<br />

Krümmung = f ′′ (2) = 3 4 ⋅ 2 − 3 = − 3 2 < 0<br />

y 2 = f(6) = 1<br />

8 ⋅ 63 − 3<br />

2 ⋅ 62 + 9 ⋅ 6 = 0 → (6/0)<br />

2<br />

Krümmung = f ′′ (6) = 3 4 ⋅ 6 − 3 = + 3 2 > 0<br />

Mit GeoGebra:<br />

→ Hochpunkt H(2/4)<br />

→ Tiefpunkt T(6/0)<br />

Man schreibt die Funktionsgleichung in das Algebra-Fenster und betätigt ENTER.<br />

Damit erscheint gleichzeitig im Grafik-Fenster der Funktionsgraph.<br />

Nun schreibt man in die folgende Eingabe-Zeile den Befehl<br />

Extremum[ ]<br />

Der Name unserer Funktion ist f .<br />

Deshalb ersetzen wir durch f.<br />

Dann betätigen wir ENTER.<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 275 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Wir erhalten die Punkte A ( 2 / 4 ) und B ( 6 / 0 ).<br />

Im Grafik-Fenster lässt sich leicht ersehen, wer Hoch- und wer Tiefpunkt ist: H ( 2 / 4 ) und T ( 6 / 0 )<br />

f ′ (x) = 0<br />

– Erkläre, wie man die Extrema einer Polynomfunktion f 3. Grades bestimmen kann.<br />

erklären, erläutern . . .<br />

mit Hilfe mathematischer Fachsprache einen Rechengang angeben<br />

→ x 1 , x 2<br />

f ′′ (x 1 ) < 0 → Maximum (Hochpunkt) → y 1 = f(x 1 ) → H(x 1 /y 1 )<br />

f ′′ (x 2 ) > 0 → Minimum (Tiefpunkt) → y 2 = f(x 2 ) → T(x 2 /y 2 )<br />

– Dokumentiere, wie man die Extrema einer Polynomfunktion f 3. Grades bestimmen kann.<br />

dokumentieren, beschreiben . . .<br />

einen Rechengang (Lösungsweg) in Worten angeben<br />

1. Ableitung gleich null gesetzt. Gleichung liefert zwei x-Werte. Diese in die 2. Ableitung eingesetzt.<br />

Erhält man eine negative Zahl, so ist es der Hochpunkt. Erhält man eine positive Zahl, so ist es der Tiefpunkt.<br />

Die dazugehörigen y-Werte erhält man, indem man die x-Werte in f(x) einsetzt.<br />

Nur zur Ansicht<br />

https://www.youtube.com/watch?v=dfv6G-R-v38&t=153s<br />

manfred.ambach 276 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Nach einem Beispiel des Aufgabenpools des BMB<br />

Die Wurfbahn einer Kugel wird durch folgende Funktion beschrieben:<br />

f(x) ... Flughöhe in Metern (m)<br />

x ... Flugweite in m<br />

– Ermitteln Sie die maximale Wurfhöhe.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Folgende Überlegungen führen ans Ziel:<br />

f(x) = − 3<br />

121 x2 + 6<br />

11 x<br />

Die maximale Flughöhe ist die y-Koordinate y 1 des Hochpunktes H.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Mit GeoGebra:<br />

Die maximale Wurfhöhe beträgt 3 m.<br />

manfred.ambach 277 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

– Bestimmen Sie den Aufschlagwinkel der Kugel beim Landen auf dem Boden.<br />

Möglicher Lösungsweg:<br />

Der Aufschlagwinkel ist der Winkel, den die Tangente im Aufschlagpunkt mit der x-Achse einschließt.<br />

Bestimmen wir zunächst den Punkt, in dem die Kugel aufschlägt: Das ist der rechte Nullpunkt von f.<br />

Die rechte Nullpunkt hat die Koordinaten (22/0) .<br />

Bemerkung: Damit kennen wir auch die Wurfweite: 22 m<br />

An der Stelle x 1 = 22 berechnen wir nun den Aufschlagwinkel.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Dazu benötigen wir erstmal die Steigung der Tangente an der Stelle x 1 = 22 :<br />

Beachte, dass zuvor schon die Gleichung<br />

der Funktion eingegeben sein muss<br />

manfred.ambach 278 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

k = – 0,55<br />

Für jede Steigung gilt:<br />

Beachte: Gefälle = negative Steigung<br />

k = tan (α)<br />

α = tan −1 (−0, 55)<br />

α = −28, 81 o bzw. 180 o – 28, 61 o = 151, 19 o<br />

Bemerkung: Der Winkel kann sowohl negativ als auch positiv angegeben werden. Es sind beide Lösungen richtig.<br />

Ich würde die negative Lösung belassen. Ein negativer Winkel bedeutet, er wird mit dem Uhrzeigersinn<br />

aufgetragen (siehe Skizze).<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 279 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

7.3.2. Krümmung f′′<br />

Die Krümmung ist ein Maß, wie stark sich die<br />

Steigung ( also die Richtung ) ändert.<br />

Je stärker die Steigungs-, also Richtungsänderung,<br />

umso stärker ist die Krümmung.<br />

Ist eine Kurve rechts gekrümmt,<br />

so nimmt die Steigung von links gesehen ab.<br />

Deshalb ist rechte Krümmung negativ.<br />

Ist eine Kurve links gekrümmt,<br />

so nimmt die Steigung von links gesehen zu.<br />

Deshalb ist linke Krümmung positiv.<br />

Somit lässt sich, wie schon auf S 274 angedeutet, mit Hilfe der Krümmung mathematisch zeigen, ob das<br />

berechnete Extremum einen Hochpunkt H oder ein Tiefpunkt T darstellt:<br />

Ein Extremum im Bereich rechter (negativer) Krümmung<br />

muss ein Hochpunkt H sein.<br />

Ein Extremum im Bereich linker (positiver) Krümmung<br />

muss<br />

ein Tiefpunkt T sein.<br />

Nur zur Ansicht<br />

Deshalb gilt, wie schon erwähnt:<br />

f ''(x) > 0<br />

f '' ( x E ) < 0 ➝ Extremum ist Hochpunkt H<br />

E ( x E / y E )<br />

f '' ( x E ) > 0 ➝ Extremum ist Tiefpunkt T<br />

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Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Beispiel:<br />

– Schreibe in folgende Tabelle, welchen Wert ( +, – oder 0 ) f, f′ und f′′ an den angegebenen Stellen<br />

besitzt.<br />

Lösungen:<br />

x = –1<br />

x = 0<br />

x = 1<br />

x = 2<br />

x = 3<br />

f f′ f′′<br />

Nur zur Ansicht<br />

manfred.ambach 281 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

7.3.3. Wendepunkt & Wendetangente<br />

Wollen wir den Wendepunkt W bestimmen, suchen wir jene Punkte der Kurve,<br />

in denen die Krümmung Null ist. Deshalb setzen wir die Krümmung<br />

Für die Krümmung denken wir uns eine Straße aus der<br />

Vogelperspektive betrachtet, die wir in Schreibrichtung, also<br />

von links kommend, durchfahren.<br />

Zunächst müssen wir nach rechts lenken,<br />

anfangs leicht, in der Folge stärker, weil die<br />

Straße rechts gekrümmt ist. Den stärksten<br />

Einschlag verzeichnen wir im Hochpunkt H.<br />

Danach beginnen wir nach links zu lenken,<br />

haben aber das Lenkrad noch geraume Zeit<br />

rechts der neutralen Geradeaus-Stellung. Erst im Punkt W ist<br />

das Steuer für einen Augenblick in Neutralstellung. Danach<br />

links davon, weil die Straße ab hier links gekrümmt ist. Den<br />

stärksten Links-Einschlag verzeichnen wir im Tiefpunkt T.<br />

Danach beginnen wir wieder nach rechts zu lenken. Das<br />

Lenkrad wird jedoch bei diesem Kurvenverlauf nie mehr die<br />

Geradeaus-Stellung erreichen oder gar eine rechts davon.<br />

f ’’ = 0<br />

Im Wendepunkt ist die Steigung am größten (maximal) bzw.<br />

oder<br />

Im sog. Wendepunkt W ändert sich der Krümmungssinn der<br />

Kurve. Im Punkt W selbst ist die Krümmung null, weil sich das<br />

Lenkrad für einen Moment in Neutralstellung befindet, wie auf<br />

geraden Straßen.<br />

das Gefälle am größten (maximal)<br />

Nur zur Ansicht<br />

Im Wendepunkt ist die Steigung am kleinsten (minimal) bzw.<br />

das Gefälle am kleinsten (minimal)<br />

manfred.ambach 282 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Beispiel: f(x) = 1<br />

8 x3 − 3<br />

2 x2 + 9<br />

2 x<br />

– Berechne den Wendepunkt dieser Funktion.<br />

berechnen (bestimmen, ermitteln): konkrete Berechnung(en) anstellen<br />

Händische Berechnung:<br />

y = f(x) = 1<br />

8 x3 − 3<br />

2 x2 + 9<br />

2 x<br />

Steigung = f ′ (x) = 3<br />

8 x2 − 3x + 9<br />

2<br />

Krümmung = f ′′ (x) = 3 x − 3<br />

4<br />

Da im Wendepunkt die Krümmung= 0 ist, setzen wir die Krümmung = 0:<br />

Krümmung = f ′′ (x) = 0<br />

→<br />

3<br />

x − 3 = 0<br />

4<br />

→ x = 4<br />

y = f(4) = 1<br />

8 ⋅ 43 − 3<br />

2 ⋅ 42 + 9 ⋅ 4 = 2 → W(4/2)<br />

2<br />

Wendepunkt mit GeoGebra<br />

<br />

Funktionsgleichung eingeben<br />

Nur zur Ansicht<br />

<br />

Befehl: Wendepunkt[ ] eingeben &<br />

ENTER<br />

Der nebenstehende Befehl erscheint<br />

<br />

Da unsere Funktion f heißt, schreiben wir in das Feld<br />

f<br />

manfred.ambach 283 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

ENTER betätigt und der Wendepunkt, hier mit A bezeichnet, wird angegeben.<br />

Gleichzeitig erscheint im Grafik-Fenster der Graph der Funktion samt eingezeichnetem Wendepunkt.<br />

Will man den Wendepunkt auf W umbenennen, siehe S 194.<br />

– Erkläre (erläutere), wie man den Wendepunkt einer Polynomfunktion 3. Grades bestimmen kann.<br />

erklären, erläutern . . . mit mathematischer Fachsprache einen Rechengang angeben<br />

f ′′ (x) = 0 → x 1<br />

y 1 = f(x 1 ) → W(x 1 /y 1 )<br />

– Dokumentiere, wie man den Wendepunkt einer Polynomfunktion 3. Grades bestimmen kann.<br />

Nur zur Ansicht<br />

dokumentieren, beschreiben . . . Lösungsweg in Worten beschreiben<br />

Bildet erste und zweite Ableitung.<br />

Zweite Ableitung null gesetzt, liefert x-Wert x 1.<br />

x 1 in Funktionsgleichung eingesetzt, liefert dazugehörigen y-Wert y 1.<br />

manfred.ambach 284 pro-test.at


Mathe für die BRP zentral<br />

IV Analysis<br />

Wendetangente: Die Wendetangente tW ist die Tangente im Wendepunkt<br />

Händische Berechnung:<br />

Die Steigung der Tangente ist die erste Ableitung der Funktion<br />

<br />

W(4/2) → k = f ′ (4) = 3<br />

⋅ 8 42 − 3 ⋅ 4 + 9<br />

= − 3<br />

2 2<br />

Eine Tangente ist eine Gerade,<br />

die eine Kurve in einem Punkt berührt.<br />

Gleichung einer Geraden: tW: y = k . x + d<br />

Diese Gleichung beschreibt dann eine konkrete Gerade,<br />

wenn wir die Zahlenwerte für k und d kennen.<br />

Zwei Überlegungen führen uns auf diese Größen:<br />

Da der Wendepunkt auch auf der Wendetangente liegt, können wir seine Koordinaten für x und y sowie<br />

das errechnete k in die Gleichung der Tangente einsetzen :<br />

tW: y =<br />

k . x + d<br />

Nur zur Ansicht<br />

x y<br />

3<br />

W ( 4 / 2 ) : 2 = . 4 + d<br />

2<br />