antriebstechnik 10/2023

FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG
mm
JJ(Θ, xx) = 1 ∑(yŷ − yy)2.
mm
ii=1
Für dieses mehrdimensionale nichtlineare Optimierungsproblem
wird der Backpropagation Algorithmus verwendet. Die Gewichte
Θ werden sukzessive entsprechend ihres Einflusses auf
das Fehlermaß J (Θ, x) verändert. Um Divergenzen des Algorithmus
vorzubeugen ist die Lernrate h eingeführt zur Abmilderung
des Gradienten:
Θ ≔ Θ − ηη ∂∂∂∂
∂∂Θ .
Bevor die Trainingsdaten dem Netzwerk zum Training bereitgestellt
werden, erfolgt eine Normalisierung dieser mit deren Mittelwert
und Standardabweichung für die jeweiligen Eingangsgrößen
und die Ausgangsgröße.
DATENGRUNDLAGE
Die Nachgiebigkeiten d (Einflusszahlen) für die Regressionsanalyse
stammen aus den in BECAL integrierten Berechnungsverfahren
. Für die Bereitstellung der Trainingsdaten werden diese
Methoden mit den folgenden Restriktionen angewandt. Betrachtet
werden nur konvexe Kontaktpartner (r 1,2
> 0 mm), sowie die
Materialpaarung Stahl-Stahl, mit E 1,2
= 210 GPa und v 1,2
= 0,3.
Durch die Betrachtung nur einer Materialpaarung ändern sich
der E-Modul und die Querkontaktionszahl nicht und werden somit
als Eingangsgrößen für die Regressionsgröße nicht berücksichtigt.
Somit erfolgt die Regression mit neun Eingangs- und einer
Ausgangsgröße.
Die Bestimmung der Einflusszahlen anhand der verbleibenden
neun freien Parameter ist bereits sehr schnell, so dass eine
Großzahl an Daten für die Regressionsanalyse erzeugt werden
kann und keine Augmentation der Daten notwendig ist. Zunächst
erfolgt in einer Voruntersuchung die Festlegung eines
charakteristischen Parameterraums für die Eingangsgrößen.
Diese Werte stammen dabei aus einem typischen Bereich an
Geometrievariationen für geradverzahnte Stirnräder, welche
sich bis zu einem Raddurchmesser von 1.000 mm ergeben können.
Daraus resultieren die in Tabelle 01 gelisteten Grenzen der
Parameter. Nun können innerhalb dieser Schranken eine zufällige
Normalverteilung von Werten für diese Eingangsgrößen erzeugt
werden und anhand dieser Kombinationen die Einflusszahlen
berechnet werden. Die Motivation dabei ist, durch die
zufällige Verteilung von Datenpunkten über den gesamten Parameterraum
ein möglichst robustes Modell zu erzeugen, wobei
an dieser Stelle vorhandene geometrische Verhältnismäßigkeiten
beim Abwälzen der Verzahnung vernachlässigt werden. Die
hierdurch entstandenen Trainingsdaten bilden den Datensatz
RAND.
In einem zweiten Schritt wurden die oben genannten geometrischen
Verhältnismäßigkeiten der Parameter untereinander verwendet.
Dabei werden die geometrischen Parameter (r 1,2
, a 1,2
, w 1,2
und t 1,2
) anhand von gradverzahnten Stirnrädern (α n
= 20°) bestimmt.
Dies erfolgt, indem die Geometrie mit variierendem Modul
und Zähnezahl, auf verschiedenen Punkten in der Eingriffsstrecke
berechnet wird. Der Modul wird an dieser Stelle mit variiert,
da dieser wesentlich die Krümmungsradien beeinflusst [7].
Modul, Zähnezahl und Lasthorizonte finden sich in Tabelle 02.
Zusätzlich wird eine Gleichverteilung der Linienlast zwischen
den angrenzenden Lasthorizonten aus Tabelle 02 vorgenommen.
Geometrie und Last können nun zufällig zusammengesetzt werden,
um aus den resultierenden Werten die lokalen Kontaktnach-
Tabelle 01: Parameterbereich für die gleichverteilten
Eingangsdaten
r 1,2
in
mm
Tabelle 02: Parameter für die Erstellung der Stirnräder
Linienlast in N/mm 10^-5; 10^-4; 10^-2; 0.5; 1; 13; 100; 860; 3000
Modul in mm 0,5; 0,8; 1; 1.25; 1.5; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 16;
20; 25
Zähnezahl in - 7; 11; 17; 23; 31; 43; 53; 59; 61; 67; 79; 97
Eingriffsstellungen
in -
25
Tabelle 03: Hyperparameter für die Modelloptimierung
Anzahl der verdeckten
Schichten
1, 2
Neuronenanzahl 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40
Aktivierungsfunkionen
Optimierer
a 1,2
in
mm
w 1,2
in
deg
Sigmoid, Reclin, Radbas
TrainSCG
t_ 1,2
in
mm
min 0,1 0,01 0 0,1 0
f in
N/mm
max 1000 250 1.047 75 3000
giebigkeiten zu bestimmen. Die hierdurch entstandenen Werte
bilden den zweiten Datensatz GEOM.
In einem dritten Datensatz HYBR wird eine hybride Lösung
aus jeweils gleich vielen Daten des RAND und des GEOM Datensatzes
verfolgt. Motivation dafür ist, so eine diversere Datengrundlage
zu schaffen und dadurch die Robustheit gegenüber
Überanpassung zu erhöhen.
Die Testdaten für die Regressionsanalyse stammen aus einer
internen BECAL-Referenzdatenbank mit ca. 640.000 Tupel. Dieser
Datensatz wird in drei Bereiche anhand der Krümmungsradien
geteilt, da in diesem teils negative und sehr große Radien enthalten
sind, welche im Training nicht vorkommen und deshalb
gesondert betrachtet werden. Bereich I beinhaltet dabei 1,4 % der
Daten während in Bereich III 3,8 % der Daten liegen. Die gewählten
Grenzen sind:
rr < 0 mm,
I
BB = { 0 < rr < 2000 mm, II .
2000 mm > rr, III
NETZWERKOPTIMIERUNG
Die Zielgrößen bei dieser Regressionsanalyse sind ambivalent.
Zum einen, weil eine möglichst gute Regression erfolgen soll,
welche i.d.R. die Wahl eines Modells mit mehr freien Parametern
begünstigt, zum anderen, weil die Berechnung der Einflusszahlen
schnell erfolgen soll und somit kleine Modelle, mit entsprechend
wenigen freien Parametern, zielführend sind. Folglich
werden verschiedene Hyperparameter des Modells in einer Studie
untersucht. Dabei werden KNN mit der in Tabelle 03 aufgeführten
Anzahl an Neuronen in einer bzw. zwei verdeckten
Schichten, sowie mit der Sigmoid-, Reclin- und Radbas-Aktivierungsfunktion
trainiert. Die Variation findet vollfaktoriell statt.
Während des Trainings werden drei KNN initialisiert und trainiert.
Dabei wird die mittlere Bewertungsmetrik im Bereich II des
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