Festigkeit und Schadensanalyse - ETH Zürich

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FESTIGKEIT VON FVK UND SCHADENSANALYSE Parameter einen zweiachsigen Test �1 = �2 = s, ergibt sich F12 als Funktion dieser zweiachsigen Beanspruchung und der Festigkeiten Xt, Xc, Yt und Yc: 1 � � 1 1 1 1 � � 1 1 � � 2 F � � � � � � � � � � � � � � � � 12 1 � � 2 � (5.15) 2� � � X t X c Yt Yc � � X t X c YtYc � � Dass aber die Zugfestigkeit unter zweiachsiger Beanspruchung von den Druckfestigkeiten Xc und Yc abhängen soll, ist physikalisch unannehmbar. Nach Narayanaswami und Adelmann [8] kann man F12 = 0 setzen. Dadurch kann eine Abweichung von 10 % entstehen. Jedoch liefert auch das Tsai-Wu-Kriterium keine Information über das Bruchphänomen. 5.3.4 Kriterien nach Hashin Im Jahre 1980 entwickelte Hashin [1] verbesserte Festigkeitskriterien, deren Interpolationspolynome mit Invarianten der Schichtspannungen ausgedrückt werden. Seine Kriterien stellen einen erheblichen Fortschritt gegenüber den bis dahin existierenden Pauschalkriterien [3,7] dar, weil sie klar zwischen Faser- und Zwischenfaserbruch und auch zwischen Versagen unter Zug- und Druckspannungen unterscheiden. Die Invarianten vereinfachen sich durch die von Hashin angenommene transversale Isotropie der unidirektional verstärkten Faserverbundwerkstoffe. Deren Festigkeitsvoraussage darf natürlich nicht von einer Drehung des Koordinatensystems um die Faserrichtung x1 beeinflusst werden. Zum besseren Verständnis seines Ansatzes werden an dieser Stelle die Spannungsinvarianten des räumlichen Spannungszustands betrachtet. 5.3.4.1 Spannungsinvarianten Der Spannungszustand in einem bestimmten Punkt eines elastischen Körpers ohne Beachtung verteilter Momente ist im x-y-z-Bezugssystem durch die sechs Spannungskomponenten �xx, �yy, �zz, �yz, �xz und �xy festgelegt. Damit kann der Spannungsvektor � T = {�x �y �z} ausgedrückt werden, welcher zu einem beliebig orientierten Flächenelement gehört. Dazu wird ein in Abb. 5.6 dargestelltes differentielles Tetraeder betrachtet. z dz C A dx x B n dy Abbildung 5.7: Differentielles Tetraeder zur Visualisierung des Spannungsgleichgewichts � ETH Zürich, IMES-ST 5-10 � yy � yx � yz � � y
FASERVERSTÄRKTE KUNSTSTOFFE Es lassen sich nun Schnittebenen so ausrichten, dass die Richtung des auf sie wirkenden Spannungsvektors � zu ihrem Normaleneinheitsvektor n parallel wird. Man spricht dann von Hauptrichtungen bzw. von Hauptspannungen. Der Normaleneinheitsvektor n hat die Komponenten nx, ny und nz. Damit sind die Projektionen der von den drei Punkten A, B und C aufgespannten Dreiecksfläche dF auf die yx-, die xz- und die xy-Ebenen gegeben mit dFnx, dFny und dFnz. Im Folgenden werden die Komponenten des Spannungstensors und diejenigen des Spannungsvektors auseinander gehalten, indem konsequent die ersten zweifach und die letzten einfach indiziert werden. So lautet das Gleichgewicht in x-Richtung: � � � n dF �� n dF �� n dF (5.16) xdF xx x xy y xz z Nach Kürzung durch das Flächenelement dF schreibt man alle Gleichgewichtsbedingungen oder kurz: � � � x y z � � � � n xx � n xy xz x x � n x i � � � � n yx yy � n yz y � n ij j y y � � � � n zx zy zz z � n z � n z , (5.17) � � � n . (5.18) Nun betrachte man einen auf dem Flächenelement dF senkrecht stehenden Spannungsvektor �. In diesem Fall ist die Schnittfläche schubspannungsfrei und wegen der Parallelität von Spannungsvektor und Normaleneinheitsvektor gilt der Zusammenhang mit dem Betrag � des Spannungsvektors: � � �n . (5.19) i Der Skalar � wird Hauptspannung genannt und die durch (5.19) definierten Normaleneinheitsvektoren weisen in die Richtungen des Spannungshauptachsensystems. Die Bestimmung der drei Hauptspannungen aus einem gegebenen Spannungstensor erfolgt durch Kombination der Gleichungen (5.18) und (5.19): i � ij n j �� ni � 0 � � ijn j �� n j�ij � 0 � � ij �� ij � 0 . (5.20) Das homogene Gleichungssystem (5.20) definiert ein Eigenwertproblem, dessen nichttriviale Lösungen das Verschwinden der Determinante voraussetzen: �� xx �� xy � �� xz � � � yx yy yz �� zx � � � xy � � 0 . (5.21) � �� zz � 5-11 Version 1.0 (September 2010)
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