Festigkeit und Schadensanalyse - ETH Zürich

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FESTIGKEIT VON FVK UND SCHADENSANALYSE Dies liefert die kubische Bestimmungsgleichung für die Hauptspannungen �: mit den Konstanten I � 3 2 � I1� � I2� � I3 2 1 � ii I2 � ii jj � ij , I3 � 0 . (5.22) � � xx � , � � � � � � � . (5.23) Insbesondere gilt für die im Hauptachsensystem beschriebenen Spannungen �I , �II und �III : I � , � � � � . (5.24) 1 � I �� II �� III I 2 � � II� III �� III� I �� I� II , I3 Diese Konstanten sind bei einem gegebenen Spannungszustand unabhängig von der Lage des Koordinatensystems, in dem dieser Spannungszustand beschrieben wird. Sie werden deswegen Spannungsinvarianten genannt. Bei der Charakterisierung von Spannungszuständen mittels Hauptspannungen werden diese ihren Werten nach so nummeriert, dass gilt: 5.3.4.2 Vorgehensweise von Hashin I II III xy xz � � yx yy yz � � � � � . (5.25) Das Festigkeitskriterium Hashin [1] weist nur einen bereichsweise glatten Bruchkörper auf, wobei jeder Bereich für einen bestimmten Versagensmodus gilt. Wegen der transversalen Isotropie der FV-Werkstoffe kann Zwischenfaserbruch im allgemeinsten Fall nur eine Funktion der Spannungsinvarianten bezüglich der Rotation um die Faserrichtung sein. Insbesondere ist die Spannung �1 in Faserrichtung invariant, und wegen der allgemeinen Invarianten I1 gilt: � konst � � � konst . (5.26) 11 � , 22 � 33 2 2 Die resultierende Schubspannung � � � �� in der Ebene senkrecht zur Faserrichtung 1 darf 12 13 sich bei der Drehung um diese ebenfalls nicht ändern. Verwendet man dies zusammen mit (5.26) in der zweiten allgemeinen Invarianten I2, erhält man die weiteren speziellen Invarianten 2 2 2 �12 �� 13 � konst, � 22� 33 �� 12 � konst . (5.27) Aus der dritten allgemeinen Invarianten I3 gewinnt man noch die fünfte spezielle Invariante IV, in (5.28), die jedoch von Hashin nicht in seine Festigkeitskriterien aufgenommen wird. � ETH Zürich, IMES-ST 5-12 � � zx zy zz I II III
I I I I I I II III IV V � � � � � � � � � 23 1 2 2 23 2 12 13 12 � � � � 3 � � 2 3 2 13 2 22�13 2� � � � � � � � � FASERVERSTÄRKTE KUNSTSTOFFE 2 33 12 . (5.28) Er verwendet nur die ersten vier Invarianten und erstellt daraus als allgemeinste Form für ein Festigkeitskriterium: A 2 2 1I I � B1I I � A2I II � B2I II � C12I I III � A3I III � A4I IV �1 . (5.29) Hashin's Gedanken zum physikalischen Zusammenhang zwischen Spannungen, Bruchebene und Bruch werden hier wegen ihrer Klarheit zitiert: “It may be argued that in the event that a failure plane can be identified, the failure is produced by the normal and shear stresses on that plane. For the fiber mode (FF) the failure plane is approximately the x2x3 plane. Therefore, the stresses producing this failure are �11, �12 and �13; Fig. 5.8(a).” “The matrix mode (IFF) is a planar fracture in fiber direction; Fig. 5.8(b). The stresses on this plane are �nn, �nt and �1n. The first two are expressed in terms of the stresses �22, �33 and �23, while the last is expressed in terms of �12 and �13. Therefore, �11 does not enter into this failure mode.” � 12 �11 �13 � 1n Abbildung 5.8: Failure modes and failure planes (after [1]) x 2 x 1 “Matrix mode modeling is more complicated (compared to fiber mode modeling) since the failure plane is not a priori identified. One possible procedure would be to formulate a surface failure criterion which would depend on �nn, �nt and �1n.” “For example, a simple choice is 2 x 3 2 �� nn � nt �1n f ( � , , 1 ) � � � � � � � � � � � � � � � nn � nt � n � 1. (5.30) � � �T � � �T � � � A � 2 5-13 Version 1.0 (September 2010)
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Seite 4 und 5: FESTIGKEIT VON FVK UND SCHADENSANAL

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