Festigkeit und Schadensanalyse - ETH Zürich

Festigkeit und 

Schadensanalyse 

Kapitel 5

Inhaltsverzeichnis 

FASERVERSTÄRKTE KUNSTSTOFFE 

5 Festigkeit von FVK und Schadensanalyse 5-4 

5.1 Festigkeitsparameter von Faserverbundwerkstoffen 5-4 

5.2 Festigkeitsnachweis bei isotropen und bei anisotropen Materialien 5-4 

5.3 Festigkeitskriterien für unidirektional verstärkte Faserverbundwerkstoffe 5-5 

5.3.1 Kriterium der maximalen Spannungen 5-5 

5.3.2 Tsai-Hill Pauschalkriterium 5-7 

5.3.3 Tsai-Wu Pauschalkriterium in Tensorform 5-9 

5.3.4 Kriterien nach Hashin 5-10 

5.4 Festigkeit von multidirektionalen Laminaten 5-16 

5.4.1 Schichtweise Spannungsanalyse 5-16 

5.4.2 Versagensindex und Eigenspannungen 5-17 

5.4.3 Sicherheitsfaktor und Sicherheitsreserve 5-18 

5.4.4 Fortschreitende Schadensanalyse und Tragfähigkeit 5-18 

5.5 Literaturhinweise 5-21 

5-3 Version 1.0 (September 2010)

FESTIGKEIT VON FVK UND SCHADENSANALYSE 

5 Festigkeit von FVK und Schadensanalyse 

5.1 Festigkeitsparameter von Faserverbundwerkstoffen 

Bei den nachfolgend erläuterten Festigkeitskriterien für Faserverbundwerkstoffe wird von einem 

transversal isotropen Material ausgegangen. Dann müssen gemäss Abb. 5.1 sechs verschiedene 

Festigkeitswerte beachtet werden. Die Faserrichtung wird in lokalen Koordinaten mit 1 bezeichnet. 

Die Werte der sechs Festigkeiten sind stets positiv. Festigkeit unter Zugspannung ist mit t, die 

unter Druckspannung mit c bezeichnet. 

Y c 

S L 

Y t 

S L 

S L 

Xc SQ S L 

Spannungen: � 1, � 2, � 12 

X t, X c, Y t, Y c, S L, S Q: positive Zahlen 

Abbildung 5.1: Vereinbarungen für die ebenen Spannungen und die Festigkeitswerte 

5.2 Festigkeitsnachweis bei isotropen und bei anisotropen Materialien 

Y t 

Die Versagenskriterien für isotrope Werkstoffe reduzieren den am Bauteil auftretenden mehrachsigen 

Spannungszustand auf eine so genannte Vergleichsspannung. Diese vergleicht man mit dem 

Festigkeitswert aus einer einachsigen Belastung wie etwa einem Zugversuch. 

Die Definition dieser Vergleichsspannung enthält auch eine physikalische Vorstellung über die 

Versagensart, wie zum Beispiel Fliessen oder Trennbruch, die ihrerseits nicht nur vom Charakter 

des Werkstoffs, sondern auch dem Spannungszustand abhängt. Man kann sowohl die Bedingungen 

für sprödes Brechen als auch diejenigen für Fliessversagen relativ einfach durch die Hauptspannungen 

ausdrücken. Diese Eleganz und Einfachheit setzen jedoch ein isotropes und 

makroskopisch homogenes Kontinuum mit ebenfalls richtungsunabhängigem Bruchverhalten voraus. 

Faserverbundwerkstoffe besitzen diese Eigenschaften nicht. Ihre Anisotropie muss sogar in 

dreierlei Hinsicht beachtet werden: 

� elastische Anisotropie 

� Anisotropie der Festigkeitswerte 

� Anisotropie des Bruchverhaltens 

Während beim isotropen Werkstoff ein beliebiger Spannungszustand in seinen Hauptspannungen 

ausgedrückt werden darf und diese ohne Verlust an physikalischen Informationen über die Werk- 

� ETH Zürich, IMES-ST 5-4 

Y c 

S Q 

X t


stoffanstrengung in einfache physikalisch begründete Bruchkriterien eingehen, entfällt diese Eleganz 

bei den anisotropen Werkstoffen. Hier muss man stets mit den Normal- und Schubspannungen 

in den Materialhauptachsen rechnen. 

5.3 Festigkeitskriterien für unidirektional verstärkte Faserverbundwerkstoffe 

Einen ersten Ansatz von etwa 1980 [1] aufgreifend, existiert erst seit Mitte der neunziger Jahre ein 

Bruchkriterium mit ernstzunehmendem physikalischen Hintergrund [2]. Dabei wird sowohl das 

Zusammenwirken verschiedener Spannungskomponenten zu einer Werkstoffbeanspruchung betrachtet 

als auch vorausgesagt, ob Versagen der Faser oder der Matrix zuerst auftritt. Wegen ihrer 

Bedeutung in der Praxis werden die älteren Kriterien ebenfalls behandelt. Man kann diese entsprechend 

ihren Fähigkeiten gemäss Abb. 6.2 einteilen. Das Kriterium der maximalen Spannung 

sagt die Versagensart voraus ohne Spannungsinteraktionen zu berücksichtigen. Umgekehrt verhält 

es sich mit der Mehrzahl aller bekannten Kriterien, den sogenannten Pauschalkriterien. Die 

Kriterien von Hashin kombinieren beide Vorteile und die Theorie von Puck ist physikalisch fundiert. 

Spannungsinteraktionen 

Voraussage der Versagensart 

physikalisch gut begründet 

Abbildung 5.2: Merkmale von Festigkeitskriterien für Faserverbundwerkstoffe 

5.3.1 Kriterium der maximalen Spannungen 

Kriterium der maximalen Spannungen 

Mises-Verwandte und Tensorpolynome 

Kriterien von Hashin 

Theorie und Kriterium von Puck 

Bei diesem Kriterium werden die wirkenden Spannungen einfach mit den Festigkeitswerten 

� Xt, Xc: Zug- bzw. Druckfestigkeit in Faserrichtung 

� Yt, Yc: Zug- bzw. Druckfestigkeit in Querrichtung 

� S : Schubfestigkeit in der 1 - 2-Ebene 

des Werkstoffs verglichen: 

Zugspannungen 

Druckspannungen 

Schubspannungen 

: 

: 

: 

� 

� 

� 

1 

1 

12 

� 

� 

� 

X , 

X 

t 

c 

S 

, 

� 

� 

2 

2 

� 

� 

Y 

Y 

t 

c 

(5.1) 



Versagen tritt ein, sobald eine der fünf Ungleichungen verletzt ist. Ist die örtliche Festigkeit durch 

eine der vier ersten Bedingungen begrenzt, ist (im Rahmen dieser Hypothese) auch die 

Versagensart gegeben. Bei kritischer Schubbeanspruchung sind hingegen Bruchformen mit oder 

ohne Faserbruch denkbar. Die Vorhersagegenauigkeit unter mehrachsiger Belastung kann mit 

einachsigen Belastungsversuchen [3] an unidirektional verstärkten Proben, deren Faserrichtung im 

Winkel � von der Belastungsrichtung abweicht, untersucht werden. Wegen der einachsigen Belastung 

liegt in den globalen Koordinaten nur die Spannung �x vor und die Spannungen entlang 

der lokalen Materialkoordinaten folgen aus der Transformation 

� 

� 

� 

1 

2 

12 

� 

� 

� 

� 

� cos 

x 

� sin 

x 

� 

� 

� sin �cos� 

Wenn man die Gleichungen (5.2) nach der globalen Spannung in Referenzkoordinaten auflöst und 

für die lokalen Spannungen die Festigkeitsbedingungen nach dem Kriterium der maximalen Spannungen 

einsetzt, erhält man als Voraussage der Festigkeit der off-axis-Proben den kleinsten Wert 

von 

� 

� 

� 

x 

x 

x 

� 

� 

� 

x 

2 

2 

X 

2 

cos � 

Y 

2 

sin � 

S 

sin �cos� 

Gemäss Abb. 5.3 liefert das Kriterium der maximalen Spannungen über weite Bereiche, aber vor 

allem bei � = 25º unter Zugbelastung, zu optimistische Festigkeitsvoraussagen (man beachte die 

logarithmisch eingeteilte Spannungsachse). Die Spannung ist in der Einheit kpsi (1000 pound per 

square inch) eingetragen. 

2 

1 

� 

� x 

� [kpsi] 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

� x � 

� 

Druck 

Zug 

� �� 

Abbildung 5.3: Kriterium der maximalen Spannungen: Voraussagen und Messungen 


x 

�[deg] 

(5.2) 

(5.3)

5.3.2 Tsai-Hill Pauschalkriterium 


Das recht bekannte und in der Praxis etablierte Tsai-Hill Kriterium [3] geht auf das von Mises'sche 

Fliesskriterium zurück. Hill [4] stellte 1950 ein Fliesskriterium für gewalzte und daher leicht anisotrope 

Metalle vor, 

2 

2 

2 

2 2 2 

�� G�� 

� H �� 2�L��M��N� 

1 � F y z 

x z 

x y 

yz xz � xy (5.4) 

Welches für den Sonderfall der Isotropie mit dem Kriterium von von Mises zusammenfällt: 

v 

2 

2 

2 

2 2 2 

�� 

(5.5) 

1 

2 y z x z x y 3 yz xz xy 

Für orthotrope Materialien hat das Tsai-Hill Kriterium sechs unabhängige und durch Festigkeitstests 

zu ermittelnde Koeffizienten. Es wird auch nicht mehr für die Berechnung einer Vergleichsspannung 

verwendet, sondern so umgestaltet, dass es bei kritischer Belastung den Wert Eins erreicht 

und lautet deswegen: 

� 

� 

2 

2 

�G�H��F�H�� F � G� 

2H� 

� 

1 

2 

2L� 

23 

2 

1 

� 

� 

2G� 

� 

1 

2 

2M� 

23 

3 

2 

� 

� 

2F� 

� 

2 

2 

2N� 

Steven Tsai [3] subsituierte die Festigkeiten von Faserverbundwerkstoffen für die anisotropen 

Fliessgrenzen des Hill'schen Kriteriums. Dabei kann der ursprüngliche physikalische Hintergrund 

des Fliessversagens nicht auf spröde brechende Faserverbundwerkstoffe zutreffen. Die formale 

Interaktion zwischen den verschiedenen Spannungskomponenten ist daher, wie auch bei allen 

anderen älteren Kriterien, weder physikalisch noch experimentell abgesichert. Bei jeweils alleiniger 

Aufbringung der uniaxialen Versagenslasten X, Y und Z folgt 

� 

23 

3 

2 

3 

� 

1 

(5.6) 

1 

1 

1 

G � H � , F � H � , F � G � 

(5.7) 

2 

2 

2 

X 

Y 

Z 

Die Kombination dieser Gleichungen liefert die Auflösung nach den Parametern 

1 1 1 1 1 1 

1 1 1 

2H 

� � � , 2F 

� � � , 2G 

� � � (5.8) 

2 2 2 

2 2 2 

2 2 2 

X Y Z Y Z X Z X Y 

Bezeichnet man die Schubfestigkeiten mit Q, R und S, so erhält man 

1 

1 

1 

2L 

� , 2M 

� , 2N 

� 

(5.9) 

2 

2 

2 

Q 

R S 



Nach Einsetzen der Ergebnisse in das Tsai-Hill Kriterium (5.6) verwundert bei ebenem Spannungszustand, 

nämlich �3 = �13 = �13 = 0, die verbleibende Abhängigkeit von der Festigkeit Z senkrecht 

zur Belastungsebene: 

�� 

� 

� X � 

2 

2 

2 

1 � �� 

2 � 

12 � 

� � � � 

� 

2 

� 

� 1 1 1 � �� 

�� 

1� 

2� 

� � � 

2 2 � � 

� Y � � X Y Z � � S � 

1 

(5.10) 

Diese Eigenschaft des Hill'schen Kriteriums ist natürlich physikalisch unhaltbar, fällt allerdings bei 

transversal istropen Materialien (Z = Y) wie den unidirektionalen Faserverbundwerkstoffen nicht ins 

Auge. Damit lautet das Tsai-Hill Kriterium für transversal isotrope Materialien unter ebener Beanspruchung 

�� 

� 

� X � 

2 

2 

2 

1 � �1� 

2 �� 

2 � �� 

12 � 

� � � � � 

2 � � � � 

X 

� Y 

� 

� 

S 

� 

1 

(5.11) 

Man beachte die gegenseitige Beeinflussung der Terme mit den verschiedenen Spannungskomponenten, 

die im dreidimensionalen Spannungsraum (�1, �2, �12) einen Bruchkörper mit stetigen 

Oberflächen bildet, siehe Abb. 5.4. Der Quader entspricht dem Kriterium der maximalen Spannungen 

und der einbeschriebene Ellipsoid dem Tsai-Hill Kriterium, welches eben deswegen konservativer 

ist. 

� � 

-Y c 

X t 

� �� 

Abbildung 5.4: Bruchkörper nach Tsai-Hill einbeschrieben im Quader, der dem Kriterium der maximalen Spannungen 

entspricht 

Das Vorzeichen der auftretenden Spannungen �1 und �2 muss in der Wahl von Zug- oder Druckfestigkeiten 

für X oder Y berücksichtigt werden. Diese Werte sind, wie auch bei allen anderen 

Festigkeitskriterien, als positive Zahlen einzusetzen. Das Tsai-Hill Kriterium liefert bei unidirektionalen 

FVW-Proben mit von der Belastungsrichtung abweichenden Faserrichtungen wesentlich 

bessere Voraussagen (Abb. 5.5) als die Kriterien der maximalen Spannungen oder der maximalen 

Dehnungen. Jedoch liefert es keine Auskunft über das Bruchphänomen. Faser- oder Zwischenfaserbruch 

wird nicht identifiziert. Damit fehlt eine wesentliche Voraussetzung für eine fortschreitende 

Schadensanalyse. 


S 

-S 

Y t 

-X c 

� �

� [kpsi] 

x 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

� 

� 

Druck 

Zug 

� �� 

Abbildung 5.5: Tsai-Hill Kriterium: Voraussagen und Messungen 

5.3.3 Tsai-Wu Pauschalkriterium in Tensorform 

�[deg] 


Ansätze mit einer grösseren Anzahl von Parametern bieten die Möglichkeit einer Formulierung, die 

unabhängig von dem Vorzeichen der wirkenden Spannungen gültig ist. Am bekanntesten ist das 

Bruchkriterium in Tensorschreibweise [5,6] 

a 

b 

�F � � �F � � � �1 

i 

� (5.12) 

i 

das für a = b = 1 in der westlichen Literatur vor allem als Tsai-Wu-Kriterium [7] geläufig ist. In Beschränkung 

auf ebenen Spannungszustand lautet das quadratische Tensorpolynom ausgeschrieben: 

� 

� 

F� 

F 

1 1 

2 

11� 

1 

� 

� 

F � 

F 

2 

22 

� 

2F12� 1� 

2 � 2F16� 

1� 

12 � 2F26� 

2� 

12 

ij 

2 

2 

2 

i 

j 

� 

� 

F � 

F 

6 12 

2 

66� 

12 

� 

1 

(5.12) 

Da ein Wechsel des Vorzeichens der Schubspannung �12 die Festigkeitsparameter nicht beeinflussen 

darf, müssen F6, F16 und F26 verschwinden. Damit verbleiben zunächst sechs unabhängige 

Parameter im Vergleich zu dreien beim Tsai-Hill-Kriterium: 

Einachsige Festigkeitstests liefern: 

2 

2 2 

F� 

� F � � F � � 2F 

� � � F � � F � �1 

1 

1 

2 

2 

11 

1 

12 

1 

2 

22 

2 

66 

12 

(5.13) 

1 1 1 1 1 

1 1 

F1 

� � , F2 

� � , F11 

� , F22 

� , F66 

� (5.14) 

2 

X X Y Y X X Y Y S 

t 

c 

t 

c 

Darin bedeuten der untere Index t Zugfestigkeit und c Druckfestigkeit. Die Frage der Bestimmung 

von F12 ist schwierig zu beantworten. Definiert man etwa nach der Bestimmung der anderen fünf 

t 

c 

t 

c 



Parameter einen zweiachsigen Test �1 = �2 = s, ergibt sich F12 als Funktion dieser zweiachsigen 

Beanspruchung und der Festigkeiten Xt, Xc, Yt und Yc: 

1 � � 1 1 1 1 � � 1 1 � � 2 

F � � � � 

� � � � 

� 

� � � 

� � 

� 

� 

12 1 

� 

� 

2 

� (5.15) 

2� 

� � X t X c Yt 

Yc 

� � X t X c YtYc 

� � 

Dass aber die Zugfestigkeit unter zweiachsiger Beanspruchung von den Druckfestigkeiten Xc und 

Yc abhängen soll, ist physikalisch unannehmbar. Nach Narayanaswami und Adelmann [8] kann 

man F12 = 0 setzen. Dadurch kann eine Abweichung von 10 % entstehen. Jedoch liefert auch das 

Tsai-Wu-Kriterium keine Information über das Bruchphänomen. 

5.3.4 Kriterien nach Hashin 

Im Jahre 1980 entwickelte Hashin [1] verbesserte Festigkeitskriterien, deren Interpolationspolynome 

mit Invarianten der Schichtspannungen ausgedrückt werden. Seine Kriterien stellen einen 

erheblichen Fortschritt gegenüber den bis dahin existierenden Pauschalkriterien [3,7] dar, weil sie 

klar zwischen Faser- und Zwischenfaserbruch und auch zwischen Versagen unter Zug- und 

Druckspannungen unterscheiden. Die Invarianten vereinfachen sich durch die von Hashin angenommene 

transversale Isotropie der unidirektional verstärkten Faserverbundwerkstoffe. Deren 

Festigkeitsvoraussage darf natürlich nicht von einer Drehung des Koordinatensystems um die Faserrichtung 

x1 beeinflusst werden. Zum besseren Verständnis seines Ansatzes werden an dieser 

Stelle die Spannungsinvarianten des räumlichen Spannungszustands betrachtet. 

5.3.4.1 Spannungsinvarianten 

Der Spannungszustand in einem bestimmten Punkt eines elastischen Körpers ohne Beachtung 

verteilter Momente ist im x-y-z-Bezugssystem durch die sechs Spannungskomponenten �xx, �yy, 

�zz, �yz, �xz und �xy festgelegt. Damit kann der Spannungsvektor � T = {�x �y �z} ausgedrückt werden, 

welcher zu einem beliebig orientierten Flächenelement gehört. Dazu wird ein in Abb. 5.6 

dargestelltes differentielles Tetraeder betrachtet. 

z 

dz 

C 

A 

dx 

x 

B 

n 

dy 

Abbildung 5.7: Differentielles Tetraeder zur Visualisierung des Spannungsgleichgewichts 


� yy 

� yx 

� yz 

� � 

y


Es lassen sich nun Schnittebenen so ausrichten, dass die Richtung des auf sie wirkenden Spannungsvektors 

� zu ihrem Normaleneinheitsvektor n parallel wird. Man spricht dann von Hauptrichtungen 

bzw. von Hauptspannungen. Der Normaleneinheitsvektor n hat die Komponenten nx, ny 

und nz. Damit sind die Projektionen der von den drei Punkten A, B und C aufgespannten Dreiecksfläche 

dF auf die yx-, die xz- und die xy-Ebenen gegeben mit dFnx, dFny und dFnz. Im Folgenden 

werden die Komponenten des Spannungstensors und diejenigen des Spannungsvektors auseinander 

gehalten, indem konsequent die ersten zweifach und die letzten einfach indiziert werden. So 

lautet das Gleichgewicht in x-Richtung: 

� � � n dF �� 

n dF �� 

n dF 

(5.16) 

xdF 

xx x xy y xz z 

Nach Kürzung durch das Flächenelement dF schreibt man alle Gleichgewichtsbedingungen 

oder kurz: 

� 

� 

� 

x 

y 

z 

� 

� 

� 

� n 

xx 

� n 

xy 

xz 

x 

x 

� n 

x 

i 

� 

� 

� 

� n 

yx 

yy 

� n 

yz 

y 

� n 

ij 

j 

y 

y 

� 

� 

� 

� n 

zx 

zy 

zz 

z 

� n 

z 

� n 

z 

, (5.17) 

� � � n . (5.18) 

Nun betrachte man einen auf dem Flächenelement dF senkrecht stehenden Spannungsvektor �. 

In diesem Fall ist die Schnittfläche schubspannungsfrei und wegen der Parallelität von Spannungsvektor 

und Normaleneinheitsvektor gilt der Zusammenhang mit dem Betrag � des Spannungsvektors: 

� � �n 

. (5.19) 

i 

Der Skalar � wird Hauptspannung genannt und die durch (5.19) definierten Normaleneinheitsvektoren 

weisen in die Richtungen des Spannungshauptachsensystems. Die Bestimmung der drei 

Hauptspannungen aus einem gegebenen Spannungstensor erfolgt durch Kombination der Gleichungen 

(5.18) und (5.19): 

i 

� ij n j �� ni 

� 0 � � ijn 

j �� 

n j�ij 

� 0 � � ij �� 

�ij 

� 0 . (5.20) 

Das homogene Gleichungssystem (5.20) definiert ein Eigenwertproblem, dessen nichttriviale Lösungen 

das Verschwinden der Determinante voraussetzen: 

�� 

xx �� 

� 

�� 

xy 

� 

�� 

xz 

� 

� 

� 

yx 

yy 

yz 

�� 

� zx � 

� 

� xy � � 0 . (5.21) 

� �� 

� 

zz � 



Dies liefert die kubische Bestimmungsgleichung für die Hauptspannungen �: 

mit den Konstanten 

I 

� 

3 2 

� I1� � I2� 

� I3 

2 

1 � ii I2 

� ii jj � ij , I3 

� 

0 . (5.22) 

� 

� 

xx 

� , � � � � � � � . (5.23) 

Insbesondere gilt für die im Hauptachsensystem beschriebenen Spannungen �I , �II und �III : 

I � , � � � � . (5.24) 

1 � I �� 

II �� 

III I 2 � � II� 

III �� 

III� 

I �� 

I� 

II , I3 

Diese Konstanten sind bei einem gegebenen Spannungszustand unabhängig von der Lage des 

Koordinatensystems, in dem dieser Spannungszustand beschrieben wird. Sie werden deswegen 

Spannungsinvarianten genannt. Bei der Charakterisierung von Spannungszuständen mittels 

Hauptspannungen werden diese ihren Werten nach so nummeriert, dass gilt: 

5.3.4.2 Vorgehensweise von Hashin 

I 

II 

III 

xy 

xz 

� 

� 

yx 

yy 

yz 

� � � � � . (5.25) 

Das Festigkeitskriterium Hashin [1] weist nur einen bereichsweise glatten Bruchkörper auf, wobei 

jeder Bereich für einen bestimmten Versagensmodus gilt. Wegen der transversalen Isotropie der 

FV-Werkstoffe kann Zwischenfaserbruch im allgemeinsten Fall nur eine Funktion der Spannungsinvarianten 

bezüglich der Rotation um die Faserrichtung sein. Insbesondere ist die Spannung �1 

in Faserrichtung invariant, und wegen der allgemeinen Invarianten I1 gilt: 

� konst � � � konst . (5.26) 

11 � , 22 � 33 

2 2 

Die resultierende Schubspannung � � � �� 

in der Ebene senkrecht zur Faserrichtung 1 darf 

12 

13 

sich bei der Drehung um diese ebenfalls nicht ändern. Verwendet man dies zusammen mit (5.26) 

in der zweiten allgemeinen Invarianten I2, erhält man die weiteren speziellen Invarianten 

2 2 

2 

�12 

�� 

13 � konst, � 22� 

33 �� 

12 � konst . (5.27) 

Aus der dritten allgemeinen Invarianten I3 gewinnt man noch die fünfte spezielle Invariante IV, in 

(5.28), die jedoch von Hashin nicht in seine Festigkeitskriterien aufgenommen wird. 


� 

� 

zx 

zy 

zz 

I 

II 

III

I 

I 

I 

I 

I 

I 

II 

III 

IV 

V 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

23 

1 

2 

2 

23 

2 

12 

13 

12 

� 

� 

� 

� 

3 

� � 

2 3 

2 

13 

2 

22�13 

2� � � � � � � � 

� 


2 

33 12 

. (5.28) 

Er verwendet nur die ersten vier Invarianten und erstellt daraus als allgemeinste Form für ein Festigkeitskriterium: 

A 

2 

2 

1I 

I � B1I 

I � A2I 

II � B2I 

II � C12I 

I III 

� A3I 

III � A4I 

IV 

�1 

. (5.29) 

Hashin's Gedanken zum physikalischen Zusammenhang zwischen Spannungen, Bruchebene und 

Bruch werden hier wegen ihrer Klarheit zitiert: 

“It may be argued that in the event that a failure plane can be identified, the failure is produced by 

the normal and shear stresses on that plane. For the fiber mode (FF) the failure plane is approximately 

the x2x3 plane. Therefore, the stresses producing this failure are �11, �12 and �13; Fig. 

5.8(a).” 

“The matrix mode (IFF) is a planar fracture in fiber direction; Fig. 5.8(b). The stresses on this plane 

are �nn, �nt and �1n. The first two are expressed in terms of the stresses �22, �33 and �23, while the 

last is expressed in terms of �12 and �13. Therefore, �11 does not enter into this failure mode.” 

� 12 

�11 �13 � 1n 

Abbildung 5.8: Failure modes and failure planes (after [1]) 

x 2 

x 1 

“Matrix mode modeling is more complicated (compared to fiber mode modeling) since the failure 

plane is not a priori identified. One possible procedure would be to formulate a surface failure criterion 

which would depend on �nn, �nt and �1n.” 

“For example, a simple choice is 

2 

x 3 

2 

�� 

� � � � � 

nn � nt �1n 

f ( � , , 1 ) � � 

� 

� 

� � � 

� 

� 

� � � 

� 

� 

� 

nn � nt � n 

� 1. 

(5.30) 

� 

� �T 

� � �T 

� � � A � 

2 



for the case of tensile normal stress. A different failure criterion should be used for compressive 

�n. If �n, �nt and �n1 are expressed by tensor transformation in terms of the stresses �22, �33, �23, 

�12, �13 and the angle (x2; n) = �, then (5.30) will be of the general form 

g � , � , � , � , � , � ) �1 

. (5.31) 

( 22 33 23 12 13 

and failure will occur on the plane defined by �0 (fp: failure plane) which makes the left side of 

(5.31) a maximum. The failure criterion would then be given by (6.31) with � = �0.” 

“This procedure is somewhat reminiscent of Mohr's failure theory as used in soil mechanics. While 

it may appear attractive because of its sound physical basis, it is unfortunately difficult to use. 

Even with the simple surface failure criterion (5.31) the extremum problem is quite complicated, the 

angle �0 must be found by solution of a quartic equation in sin2��0. The resulting failure criterion 

(5.31) is complicated.” 

“Finally, the extremum problem which must be solved is even more complicated than the one previously 

mentioned, since it must take into account the difference of failure criteria for tensile and 

compressive �nn. Consequently, the approach outlined will not be pursued at the present time.” 

Wie er selbst sagt, nutzt Hashin seine wegweisenden Einsichten über die Bedeutung der Bruchebene, 

deren Ausrichtung zu bestimmen wäre, nicht aus und bestimmt die Koeffizienten von (5.31) 

gemäss folgenden Argumenten. 

Die Koeffizienten A, B und C werden wieder aus gedanklichen Tests bestimmt. Zunächst stelle 

man sich vor, dass nur die Spannungskomponente �23 wirkt. Steigerung ihres Wertes bis hin zur 

Schubfestigkeit in Faserquerrichtung, SQ, erfüllt (5.29) und bestimmt A3: 

1 

A3 � . (5.32) 

S 

Lässt man nur die Schubspannungen �12 und �13 wirken, liefert eine analoge Überlegung 

Nach Hashin hängt Faserbruch nur von �1, �12 und �13 ab: 

2 

Q 

1 

A4 � . (5.33) 

S 

2 

L 

2 2 

2 �12 

�� 

13 

Af� 

1 � Bf 

�1 

� �1 

. (5.34) 

2 

S 

Zwischenfaserbruch hingegen ist nur durch �2, �3, �23, �13 und �12 bedingt: 

A 

m 

2 23 2 3 12 13 

� �� 

��B�� 1 


L 

2 

2 2 

� �� 

� � �� 

� 2 3 m 2 3 

. (5.35) 

S S 

2 

Q 

2 

L


Diese beiden allgemeinen Kriterien werden von Hashin weiter für Druck- und Zugversagen getrennt 

behandelt. 

Als Resultate geben wir an: 

� �1 � 0 � Faser-Zugversagen: Da alle Spannungskomponenten Versagen herbeiführen 

können, gilt die quadratische Form: 

2 

2 2 

� � � 1 �12 

�� 

13 

f1 

� � 

� 

� 

� � �1. 

(5.36) 

2 

� X t � SL 

� �1 �· 0 � Faser-Druckversagen: Da Hashin ein schwächender Einfluss der Schubspannungen 

�12 und �13 auf die Druckfestigkeit nicht bekannt ist, wählt er hier das Höchstspannungskriterium: 

f 

2 

� �1 

� 

� � � 

� Xc � 

2 

�1. 

(5.37) 

� �2 + �3 � 0 � Zwischenfaser-Zugversagen: Wie beim Faser-Zugversagen wird die quadratische 

Form gewählt: 

f 

3 

�� 2 �� 

� 3 � � 

� 

� 

� 

� Yt 

� 

2 

2 

� 23 �� 

� 3 � �� 

� � �1 

. (5.38) 

S 

2 

2 

Q 

2 2 

12 13 

2 

SL 

� �2 + �3 � 0 � Zwischenfaser-Druckversagen: Die komplexere Form dieses Kriteriums 

ergibt sich aus Überlegungen, die im Anschluss erklärt werden: 

f 

4 

�� 

�� 

Yc 

� 

�� 

2 

�� 

S 

Q 

2 

2 

� � � � 

2 3 2 3 

1� 

� 

� �� 

� 

� �� 

� � 

� 

� 

� 

� � � 2 � 

� Yc 

� � SQ 

� 

2 

23 

�� 

� 3 � �� 

� �1 

. (5.39) 

S 

2 

2 

Q 

2 2 

12 13 

2 

SL 

Zur Herleitung von f4 denke man sich zunächst einen einachsigen Druckversuch mit �2 = -Yc und 

alle anderen Spannungskomponenten seien Null. Bruch wird dann bei dem Wert der Spannung 

eintreten, die auch bei den Festigkeitsmessungen Materialversagen ausgelöst hat, und aus (5.35) 

folgt: 

2 

1 

� AmYc 

� BmYc 

�1 

� Am 

� BmYc 

� . (5.40) 

Y 

Nun denke man sich einen zweiachsigen Druckversuch mit �2 = �3 = -�. Einsetzen in (6.47) liefert 

2 

c 

� 1 � 

B � � 

m � . (5.41) 

� 2 � 

� SQ 

� 



Einsetzen dieses Ergebnisses in (5.40) ergibt 

A 

�� 

�� 

�� 

Y 

� 

� 

� 

2 

� 

� 

� 

1 

c 

m � �1 

. (5.42) 

�� 

2S 

� 

Q � Yc 

Einsetzen der Ergebnisse in die allgemeine Form (5.35) liefert das Kriterium f4 (5.39). 

5.4 Festigkeit von multidirektionalen Laminaten 

Bei zu multidirektionalen Laminaten verarbeiteten Composites werden in der Regel viele unterschiedliche 

Schadensereignisse auftreten. Manche dieser Schäden mögen zunächst unkritisch 

erscheinen, können aber die zukünftige Ermüdungsfestigkeit beeinträchtigen. Obwohl Schäden 

und örtliches Versagen von Vorgängen in mikroskopischen Dimensionen ausgehen, betrachten wir 

an dieser Stelle vereinfachend nur die makroskopischen Schadensformen Faserbruch und Zwischenfaserbruch. 

Wenn auch das vollständige Versagen von multidirektionalen Laminaten unter quasistatischer Last 

meist mit Faserbruch verbunden ist, so treten doch bis zum Erreichen dieser Tragfähigkeitsgrenze 

eine Vielzahl vorhergehender Schäden, vor allem in Form von Zwischenfaserbrüchen, auf. Diese 

Zwischenfaserbrüche können unter Anwesenheit von Temperatur- oder Feuchteeigenspannungen 

bereits bei Lasten weit unterhalb der eigentlichen Versagenslast auftreten, beeinträchtigen die 

quasi-statische Tragfähigkeit aber wenig. Deren Voraussage erfordert daher eine Simulation der 

Schadensentwicklung unter steigender mechanischer Last, wobei die Auswirkung jedes auftretenden 

Schadens auf die Umverteilung der Spannungen im Laminat modelliert werden muss. Zwischenfaserbrüche 

erzeugen an den Grenzschichten der benachbarten Lagen Spannungskonzentrationen 

mit lokalen interlaminaren Spannungen, die bei Ermüdungsbelastung Ablösung der 

Schichten voneinander, die sogenannten Delaminationen, provozieren. Ab einer gewissen Grösse 

können diese Delaminationen die Stabilität des Laminates soweit herabsetzen, dass es bei Drucklasten 

zu Instabilitätsversagen mit anschliessendem Materialversagen kommt. Das Entstehen und 

die Ausbreitung von Delaminationen unter Ermüdungslast werden als sehr komplexe Vorgänge 

nicht vollständig verstanden. Auch die Simulation der bereits bekannten Mechanismen ist eher 

Gegenstand der Forschung als Mittel der praktischen Auslegung. Deswegen bewegt man sich auf 

der sicheren Seite, wenn man ein betrachtetes Bauteil gegen das Auftreten des ersten Schichtversagens 

dimensioniert. Die im Folgenden vorgestellten Berechnungsmethoden bauen auf dem 

ebenen Spannungszustand auf, wie er mit der Mehrschichtentheorie berechnet werden kann. Das 

Entstehen und die Ausbreitung von Delaminationen werden von interlaminaren Spannungen verursacht, 

die nicht von der Mehrschichtentheorie erfasst werden. Es werden also nur die beiden 

Schadensformen des Faser und des Zwischenfaserbruchs behandelt. 

5.4.1 Schichtweise Spannungsanalyse 

Auch unter globaler einachsiger Beanspruchung wird die Bruchgefährdung der einzelnen Schichten 

eines multidirektionalen Laminats unterschiedlich sein. Deswegen erfordert der Festigkeitsnachweis 

eines Laminates grundsätzlich die Anwendung des gewählten Festigkeitskriteriums auf 

� ETH Zürich, IMES-ST 5-16


jede einzelne Schicht. Dazu müssen zuerst die Spannungen in Materialhauptrichtungen der einzelnen 

Schichten berechnet werden. Die Schichtspannungen hängen von den Schichteigenschaften, 

dem Laminataufbau, den mechanischen Lasten sowie dem Herstellungsprozess und den 

Umweltbedingungen ab. Die Spannungen müssen an der Unter- und der Oberseite jeder Schicht 

ermittelt werden, sofern nicht die Krümmungen verschwinden. Die auf Materialhauptachsen transformierten 

Spannungen müssen dann in ein Festigkeitskriterium eingesetzt werden und die Festigkeit 

des Laminats ist nachgewiesen, wenn auf der Unter- und Oberseite aller Schichten die Festigkeitsbedingungen, 

z. B. in der Form 

Erfüllt sind. 

5.4.2 Versagensindex und Eigenspannungen 

f ( � ) �1 

(5.43) 

Wenn man die Frage nach der grössten ertragbaren quasi-statischen Last bei bestimmten Umgebungsbedingungen 

stellt, muss man beachten, dass die Spannungen im Laminat sich aus Eigenspannungen 

�� R infolge Temperatur- und Feuchtelasten sowie aus Spannungen �� M infolge äusserer 

mechanischer Lasten zusammensetzen. Bei Steigerung der mechanischen Lasten ändern sich 

die Eigenspannungen nicht und müssen deswegen in der Rechnung auch als unveränderliche 

Grössen (fixed loads) behandelt werden. Der Versagensindex ist ein Lastfaktor �, welcher dasjenige 

Vielfache des eingegebenen mechanischen Lastfalls angibt, bei dem das nächstliegende 

Schichtversagen auftritt: 

M R 

� � �� 

. (5.44) 

Dieser Ansatz bedingt natürlich die getrennte Ermittlung der Spannungen infolge mechanischer 

und residueller Lasten und liefert in Verbindung mit einem Festigkeitskriterium der Form (5.43) im 

Grenzfall f = 1 eine Bestimmungsgleichung für den Lastfaktor �. Das Kriterium der maximalen 

Spannungen liefert lineare Bestimmungsgleichungen der Form: 

� L � P �1 

. (5.45) 

Dabei haben folgende Fallunterscheidungen mechanische Bedeutung: 

� P � 1: Schichtversagen wegen Eigenspannungen ohne äussere Krafteinwirkung 

� P � 1: Schichtversagen bei einem Lastvielfachen 

� P 

� 

L 

1 

� . (5.46) 

Die quadratischen Terme anderer Festigkeitshypothesen (Tsai-Hill, Tsai-Wu, Hashin) liefern Bestimmungsgleichungen 

der Form: 

2 

� Q � �L 

� P � 1. 

(5.47) 



Hier gelten die gleichen Fallunterscheidungen und falls nicht bereits Versagen allein infolge der 

residuellen Spannungen auftritt, findet man einen Lastfaktor für die aufgebrachten mechanischen 

Lasten mit 

2 

� L � L � 4Q( 

1� 

P) 

� � 

. (5.48) 

2Q 

Natürlich kann man die Aufgabenstellung variieren, indem man z.B. fragt, bei welcher Temperaturbelastung 

ein Laminat unter fixer mechanischer Last den ersten Schaden erleiden wird. Dies bedeutet 

nur ein Vertauschen der Rollen von mechanischer und residueller Last. 

5.4.3 Sicherheitsfaktor und Sicherheitsreserve 

In der Praxis wird im Allgemeinen der Nachweis einer Sicherheit in Form eines Sicherheitsfaktors 

1 

S � 

(5.49) 

� 

oder, wie in der Raumfahrt üblich, einer Sicherheitsreserve (margin of safety) in Prozent 

vorgeschrieben. 

� 1 � 

R � �S�1� �100[%] 

� � �1� 

�100[%] 

. (5.50) 

� � � 

5.4.4 Fortschreitende Schadensanalyse und Tragfähigkeit 

Bei Strukturen von Wegwerf-Grossraketen wie z.B. ARIANE oder TITAN gelten extreme Anforderungen 

an die spezifische Steifigkeit und quasi-statische Festigkeit, während gleichzeitig die Ermüdungsbeanspruchung 

wegen der Kürze der Mission relativ gering ist. Eine Auslegung gegen 

den ersten Zwischenfaserbruch (Matrixbruch oder Faser-Harzablösung) würde bedeuten, dass das 

hohe Potential eines CFK-Laminates überhaupt nicht ausgenutzt wird. Vielmehr muss die Frage 

beantwortet werden, wie weit die Last jenseits des ersten Schadensereignisses gesteigert werden 

kann, bis das Laminat seine Lastübertragungsfunktion verliert. Bis zum Erreichen dieser Last, also 

der quasi-statischen Tragfähigkeit des Laminats, treten nach dem ersten Schichtversagen noch 

weitere Schadensereignisse auf. Jedes Schadensereignis führt zu einer Veränderung der Laminatsteifigkeit. 

Zur Abschätzung der Laminattragfähigkeit muss die Schadensfolge simuliert werden. 

Das grundsätzliche Vorgehen ist in Abb. 5.9 angedeutet. Dabei handelt es sich um einen 

iterativen Zwei-Phasen-Prozess: 

1. Nächstes Schadensereignis finden (Wie Suche nach erstem Schichtversagen) 

2. Modellieren des identifizierten Schadens 



Die Schadensmodellierung verändert die betroffene Schicht und damit die örtlichen Laminateigenschaften, 

so dass die Modifikation der ABD-Matrix die Schadensmodellierung abschliesst, wenn 

die Mehrschichtentheorie in der Strukturanalyse herangezogen wird. 

Lastfall 

Ausgabe 

Schädigungsverlauf 

Sicherheitsreserven 

Laminatdefinition 

ABD-Matrix 

nächstes Versagen 

k, �, FB oder ZFB 

Stop 

Abbildung 5.9: Schema einer Schadensfortschrittsrechnung 

5.4.4.1 Einfachstes Schadensmodell 

Schaden 

modellieren 

Eine Zugprobe aus einem quasi-isotropen Laminat [0;±45; 90]s sei einachsig in x-Richtung belastet. 

Die Last wird nun bis zum Erreichen derjenigen Materialbeanspruchung in den 90-Grad 

Lagen gesteigert, bei der Zwischenfaserbruch auftritt. Nimmt man an, dass dieser Zwischenfaserbruch 

sich durch die gesamte Probenbreite erstreckt, so ist die Lastübertragung in den 90-Grad 

Lagen entlang der Rissufer unterbrochen. Je nach statistischer Verteilung der Festigkeit des Materials 

wird dieser Schaden gleichzeitig oder bei geringfügiger weiterer Laststeigerung an mehreren 

Orten auftreten, wobei die Abstände zwischen den Rissen auffallend gleichmässig sind. Man 

spricht bei diesem Phänomen von charakteristischen Schadenszuständen [9], die sich am deutlichsten 

unter Ermüdung ausbilden. Die dünnen Linien in Abb. 5.10 verdeutlichen den quasiisotropen 

Laminataufbau während die fett gezeichneten Linien Orte sind, an denen die 90-Grad 

Lagen keine Kraft in der Probenlängsrichtung übertragen. 

Abbildung 5.10: Quasi-isotropes Laminat: Zwischenfaserbruch in 90º Lage 

Nun wird die Last bis zum dem für Zwischenfaserbruch in den ±45-Grad Proben kritischen Wert 

gesteigert. Es entstehen weitere linienförmige Orte, an denen in den jeweiligen Schichten die 



Kraftübertragung unterbrochen ist. Notwendigerweise gibt es Punkte, an denen das Laminat durch 

die gleichzeitige Anwesenheit von zwei Rissen geschwächt ist. Punkte, an denen drei Risse sich 

kreuzen, treten nur zufällig auf. 

Abbildung 5.11: Quasi-isotropes Laminat: Zwischenfaserbruch in 90º- und ±45º-Lagen 

Die Rissabstände der charakteristischen Schadenszustände werden aus dem Abklingverhalten der 

von den Rissufern erzeugten Spannungsstörungen bestimmt und betragen einige Vielfache der 

Schichtdicken. In der Mitte zwischen zwei bereits vorhandenen Rissen kann ein weiterer Riss 

auftreten, wenn dort bei weiterer Laststeigerung diejenigen Spannungen, welche an den Rissufern 

verschwinden müssen, wieder einen kritischen Wert erreichen. 

Makroskopisch gesehen, hat ein aus kontinuierlich unidirektional verstärkten Schichten aufgebautes 

Laminat konstante Eigenschaften bezüglich der Position in seiner Bezugsebene. Die oben 

betrachteten Schadenszustände mit Rissabständen in der Grössenordnung von einigen Schichtdicken 

berauben das Laminat seiner makroskopischen Homogenität. Man hat es also mit einer periodischen 

Struktur zu tun, deren genaue Analyse die Betrachtung von räumlichen Gebieten erfordert. 

Dies liegt ausserhalb des Geltungsbereichs der Mehrschichtentheorie. Um nun trotzdem 

unter den Annahmen der Mehrschichtentheorie grobe Festigkeitsabschätzungen machen zu können, 

wird die Realität vereinfacht, indem man die Rissabstände gedanklich verkleinert und gegen 

Null streben lässt. Im Grenzübergang erhält man einen verschmierten Schadenszustand, der die 

ursprüngliche Homogenität des Laminats erhält. Diese Art der Schadensmodellierung mit einem 

konstanten Ersatzschaden ist natürlich denkbar grob, lässt aber, salopp gesagt, auf eine konservative 

Abschätzung der Tragfähigkeit von Laminaten hoffen, da die Stützwirkung der ungeschädigten 

Volumina ignoriert wird. Die Rissufer bei Faserbruch stehen senkrecht auf der Materialhauptachse 

1. Deswegen müssen dort die Normalspannung �1 und die Schubspannung �12 verschwinden. 

Man erreicht diesen Effekt durch eine Absenkung des Elastizitätsmoduls E1 und des Schubmoduls 

G12 auf sehr kleine Werte. In Konsequenz dürfen die dann möglichen hohen nominellen Dehnungen 

�1 nicht zu grossen Querdehnungen �2 führen. Deswegen muss auch die Querdehnzahl �12 

auf einen sehr kleinen Wert abgemindert werden. Aus numerischen Gründen müssen die abgeminderten 

Werte jedoch von Null verschieden sein. Nach analogen Überlegungen für Zwischenfaserbruch 

fassen wir die Schadensmodellierungen zusammen: 

Faserbruch : E1 � 0; G12 � 0; �12 � 0 

Zwischenfaserbruch : E2 � 0; G12 � 0; �12 � 0 


5.5 Literaturhinweise 


1 Hashin, Z. Failure Criteria for Unidirectional Fiber Composites. Journal of Composite Materials, 

46(6):329-334, 1980 

2 Puck, A. Festigkeitsanalyse von Faser-Matrix-Laminates (Modelle für die Praxis). Hauser, 

München, Wien, 1996 

3 Tsai, S.W.. Fundamental Aspects of Fiber reinforced Plastic Composites. Wiley Interscience, 

New York, 1968 

4 Hill, R. The Mathematical Theory of Plasticity. Oxford University Press, London, 1950 

5 Zacharow, K.V. Plastische Massen (russisch). 1963 

6 Goldenblat, I.I. und V.A. Kobnov. Mechanica Polymerov, 2:70, 1965 

7 Tsai, S.W. and E.M. Wu. Journal of Composite Materials, 5:58-80, 1971 

8 Narayanaswami, R.H., H. Adelmann. Evaluation of the Tensor Polynomial and Hoffmann 

Strength Theories for Composite Materials. Journal of Composite Materials, 11:366, 1977 

9 Reifsnider, K.L., J.L. Masters. Investigation of Characteristic Damage States in Composite 

Materials. ASME Paper No. 78-Aero-4, 3, 1987

Festigkeit und Schadensanalyse - ETH Zürich

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