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COMPUTATION OF THE FIRST EDGE WIENER INDEX OF A COMPOSITION OF GRAPHS
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
G1
+ min{ d ( u , v G ), d(
u , v G ), d(
u , v G ), d(
u , v G )} = 1+
d(
u , v ) ,
so the proof is completed
In follow, we define five subsets B
1
, B2
, B3,
B4
and B
5
of the set B .
B1 = {{ e,
f } ∈ B : e = [( u1,
u2),(
v1,
v2)],
f = [( u1,
u2),(
v1,
z2)],
u1,
v1
∈V
( G1
),
u v , z ∈ V ( )}
B
B
B
B
2, 2 2
G2
2
= {{ e,
f } ∈ B : e = [( u1,
u2),(
v1,
v2)],
f = [( u1,
z2),(
v1,
t2)],
u1,
v1
∈V
( G1
),
u2, v2,
z2,
t2
∈ V ( G2),
z2
≠ u2,
t2
≠ v2}
3
= e,
f } ∈ B : e = [( u1,
u2),(
v1,
v2)],
f = [( u1,
u2),(
z1,
z2)],
u1,
v1,
z1
∈V
( G
u2, v2,
z2
∈ V ( G2),
z1
≠ v1}
4
= {{ e,
f } ∈ B : e = [( u1,
u2),(
v1,
v2)],
f = [( u1,
t2),(
z1,
z2)],
u1,
v1,
z1
∈V
( G1
u2, v2,
t2,
z2
∈ V ( G2),
z1
≠ v1,
t2
≠ u2}
5
= {{ e,
f } ∈ B : e = [( u1,
u2),(
v1,
v2)],
f = [( z1,
z2),(
t1,
t2)],
u1,
v1
∈V
( G1
),
z1, t1
∈ V ( G1
) −{
u1,
v1},
u2,
v2,
z2,
t2
∈V
( G2)}
{{
1),
It is clear that, each pair of the above sets is disjoint and
U 5 B = B i
.
i=
1
The next Proposition, characterizes d
0( e,
f G1[
G2])
for all{ e,
f } ∈ B .
Proposition 2. Let { e,
f } ∈ B .
(i) If { e,
f } ∈ B1
, then d
0
( e,
f G1[
G2])
= 1
(ii) If { e,
f } ∈ B2
, then d
0
( e,
f G1[
G2])
= 2
(iii) If { e,
f } ∈ B3
, then d
0( e,
f G1[
G2])
= d0([
u1,
v1
],[ u1,
z1]
G1
) ,
where e = [( u1,
u2),(
v1,
v2)],
f = [( u1,
u2),(
z1,
z2)]
(iv) If { e,
f } ∈ B4
, then d
0
( e,
f G1[
G2])
= d0([
u1,
v1],[
u1,
z1]
G1
) + 1,
where e = [( u1,
u2),(
v1,
v2)],
f = [( u1,
t2),(
z1,
z2)]
(v) If { e,
f } ∈ B5
, then d
0( e,
f G1[
G2])
= d0([
u1,
v1
],[ z1,
t1]
G1
) ,
where e = [( u1,
u2),(
v1,
v2)],
f = [( z1,
z2),(
t1,
t2)]
Proof. (i) Let { e,
f } ∈ B1
and e = [( u1,
u2
),( v1,
v2
)], f = [( u1,
u2
),( v1,
z2
)].
Using the definition of d ( e,
) , we have:
0
f
d
0( e,
f G1[
G2])
= 1+
min{ d((
u1,
u2),(
u1,
u2)
G1[
G2]),
d((
u1,
u2),(
v1,
z2)
G1[
G2]),
d(( v1,
v2),(
u1,
u2)
G1[
G2]),
d((
v1,
v2),(
v1,
z2)
G1[
G2])} =
+ min{0,1,1, d((
v , v ),( v , z ) G [ ])} = 1 + 0 = 1.
1
1 2 1 2 1
G2
),
187