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Auteur :Titre :Directeurs de thèse :Abdulhafidh MODABISHÉnumération de nombre d’arbres couvrants dans certainescartes planaires spéciales.Pr. Mohamed EL MARRAKIRésuméLe nombre d’arbres couvrants dans une carte planaire - graphe plongé dans une surfacesans croisement d’arêtes - (réseau) est un important bien étudié la quantité et invariantdu graphe (réseau); de plus c’est aussi une mesure importante de la fiabilité d’un réseauqui joue un rôle central dans la théorie classique de Kirchhoff des réseaux électriques.Dans un graphe (réseau) qui contient plusieurs cycles, il faut supprimer les redondancesdans ce réseau, i.e., on obtient un arbre couvrant. Un arbre couvrant dans une carte Cest un arbre qui a le même ensemble de sommets en tant que C (arbre qui passe par tousles sommets de la carte C).Notre thème de recherche dans cette thèse se concentre sur le calcul du nombred’arbres couvrants dans les cartes planaires connexes, un sujet dans la théorie des graphescombinatoire; ainsi que, pour trouver de nouvelles méthodes pour calculer le nombred’arbres couvrants dans une carte planaire (réseau).Arbres couvrants sont pertinents pour les différents aspects de graphes (réseaux). Engénéral, le nombre d’arbres couvrants dans un réseau peut être obtenu par le calcul ledéterminant de la matrice laplacien liée ou le calcul du spectre de Laplace du réseau.Cependant, pour une grande carte (réseau), l’évaluation du déterminant pertinent est uncalcul difficile. Dans ce travail, nous fournissons de nouvelles méthodes pour faciliter lecalcul du nombre d’arbres couvrants dans les cartes planaires et de prouver de nouveauxrésultats simplifiée et généralisée. Enfin, nous appliquons ces méthodes sur certainescartes planaires à fin de dériver plusieurs formules explicites pour calculer le nombred’arbres couvrants dans certaines familles particulières des cartes planaires.Mots-clés : graphes, cartes, arbres, arbres couvrants, complexité, laplacien matrice,théorème de Kirchhoff, les chaînes de n-Fan, les chaînes de n-Grille, fleur d’étoile carteplanaire, maximale carte planaire, indice de Wiener.
ENUMERATION OF THE NUMBER OF SPANNING TREESIN SOME SPECIAL PLANAR MAPSAbstractThe number of spanning trees in a planar map - graph embedded into the surfaceswithout edge-crossings - (network) is an important well-studied quantity and invariantof the graph (network); moreover it is also an important measure of reliability of anetwork which plays a central role in Kirchhoff’s classical theory of electrical networks.In a graph (network), that contains several cycles, we must remove the redundanciesin this network, i.e., we obtain a spanning tree. A spanning tree in a map C is a treewhich has the same vertex set as C (tree that passing through all the vertices of the map C).Our research theme in this thesis focuses on the counting of the number of spanningtrees in connected planar maps, a subject in combinatorial graph theory; as well as, tofind new methods to calculate the number of spanning trees in any map (network).Spanning trees are relevant to various aspects of graphs. Generally, the number ofspanning trees in a network can be obtained by computing a related determinant ofthe Laplacian matrix or computing the Laplace spectrum of the network. However,for a large map, evaluating the relevant determinant is computationally intractable.In this work, we provide new methods to facilitate the calculation of the number ofspanning trees in planar maps and to prove new simplified and generalized results.Finally, we apply these methods on certain planar maps to derive several explicit formulaefor calculating the number of spanning trees in some special families of planar maps.Keywords: graphs, maps, trees, spanning trees, complexity, Laplacian matrix,Matrix-Tree Theorem, the n-Fan chains, the n- Grid chains, star flower planar map,maximal planar map, Wiener index.
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