SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

10
© VICENS VIVES
Interpolació de mitjans aritmètics
Interpolar n mitjans aritmètics consisteix a intercalar n nombres entre
dos nombres p i q de manera que els n + 2 nombres formin una progressió
aritmètica.
Per interpolar mitjans aritmètics s'ha de calcular la diferència d de la progressió
aritmètica.
Fixa't que a 1 = p i a n + 2 = q. Si utilitzem la fórmula del terme general d'una
progressió aritmètica i posem n + 2 en lloc de n, obtenim:
a n + 2 = a 1 + [(n + 2) – 1] · d ) a n + 2 = a 1 + (n + 1) · d ) d =
Si substituïm a 1 per p i a n + 2 per q, resulta:
EXEMPLE 1
Interpola 3 mitjans aritmètics entre 13 i 37.
Apliquem directament la fórmula amb p = 13, q = 37 i n = 3:
D. Progressions aritmètiques
q – p 37 – 13 24
d = = = = 6
n + 1 3 + 1 4
Per tant, els mitjans aritmètics buscats són 13 + 6 = 19, 19 + 6 = 25 i
25 + 6 = 31.
EXEMPLE 2
d =
En un cinema la distància entre la primera i l'última butaca de cada fila és de
9 m. S'hi vol intercalar 14 butaques. Quina amplada ha de tenir cada butaca?
Suposant que la primera butaca està a p = 0 m i l'última a q = 9 m:
q – p 9 – 0 9
d = = = = 0,6 m
n + 1 14 + 1 15
Per tant, l'amplada de cada butaca serà de 60 cm.
ACTIVITATS
q – p
n + 1
8. Interpola 5 mitjans aritmètics entre –5 i 14.
1
9. Interpola 6 mitjans aritmètics entre 1 i .
2
10. Si entre els nombres 15 i 23 s'interpolen 3 mitjans aritmètics,
quina serà la diferència de la progressió?
a n + 2 – a 1
n + 1
11. Dos xiprers estan a una distància de 108 m. En línia
recta amb ells s'hi volen intercalar cinc pins de manera
que cada arbre quedi a la mateixa distància dels arbres
contigus. A quina distància del primer xiprer s'han de
plantar els pins?
Els nombres que s'intercalen
entre els extrems s'anomenen
mitjans aritmètics o mitjans diferencials.