SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

18
© VICENS VIVES
H. GRÀFIQUES DE FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES
8
Per fer l'estudi i representació gràfica de funcions exponencials i logarítmi-
ques, seguim els passos habituals de l'estudi i representació gràfica de fun-
cions: domini, punts de tall amb els eixos, continuïtat, asímptotes i branques
infinites, creixement i decreixement i màxims i mínims relatius.
Vegem-ne un parell d'exemples:
EXEMPLE 1
Estudia i representa gràficament la funció f (x) = e – x – e x .
• Dom (f ) = lR, perquè les funcions exponencials f 1 (x) = e – x i f 2 (x) = – e x
tenen domini lR, per tant, la seva suma també.
• L'únic punt de tall amb els eixos és (0, 0).
• És simètrica respecte de l’origen, perquè f (– x) = e x – e –x = – f (x).
• No és periòdica.
• És una funció contínua en lR perquè f 1 (x) = e – x i f 2 (x) = – e x ho són, per
tant, la seva suma també.
• No té asímptotes.
La funció té una branca infinita quan x ! +`, perquè es verifica que
f (x) = (e – x – e x ) = (– e x lim lim
lim ) = –`.
x ! +` +`
Anàlogament, la funció f té una branca infinita quan x ! –`, perquè
f (x) = (e – x – e x ) = e – x lim lim
lim = +`.
x ! –` –`
• f 9(x) = – e – x – e x ; f 9(x) = 0 ) –e – x – e x = 0
Aquesta equació no té solució, perquè – e – x – e x = –(e – x + e x ) , 0 per a
tot x real, perquè e x . 0 i e – x . 0, per a tot valor real de x. Per tant, no
hi ha màxims ni mínims relatius.
Com que f 9(x) , 0 per a tot x real, la funció f és decreixent en lR.
Tenint en compte les característiques estudiades, dibuixem la gràfica de
la funció:
x ! +` +`
x ! –` –`
x ! +` +`
x ! –` –`
H. Gràfiques de funcions exponencials i logarítmiques
Y
1
0 1
X
RECORDA
Les característiques de la funció
exponencial f (x) = a x , amb a . 0 i
a fi 1 són:
• Dom (f ) = lR.
• Im (f ) = (0, +1).
• La seva gràfica passa per (0, 1).
• És contínua en el seu domini.
• y = 0 és asímptota horitzontal.
• És creixent si a . 1 i decreixent
si 0 , a , 1.
f(x) = ( 1 –– 2 )
–3 –2 –1 0
–1
1 2
Y
4
3
x f(x) = 2x
2
1
X