SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

More documents

Recommendations

Info

6 © VICENS VIVES B. SISTEMES DE SEGON GRAU AMB DUES INCÒGNITES S'anomenen sistemes de segon grau els sistemes que, una vegada simplificats, tenen almenys una equació de grau dos. Vegem com es resolen aquests sistemes amb un parell d'exemples. EXEMPLE 1 x Resol el sistema: 5 2 x + 4y = 24 3x + y = 14 2 + 4y = 24 3x + y = 14 Aïllem y a la segona equació: y = 14 – 3x A continuació, substituïm y per 14 – 3x a la primera equació: x 2 + 4(14 – 3x) = 24 ) x 2 + 56 – 12x = 24 ) x 2 – 12x + 32 = 0 Obtenim una equació de segon grau. En resoldre-la, s'obté x 1 = 8 i x 2 = 4. Quan se substitueixen aquests valors a l'equació y = 14 – 3x, resulten: EXEMPLE 2 x Resol: 5 2 + y 2 x = 106 x · y = 45 2 + y 2 = 106 x · y = 45 x 1 = 8, y 1 = –10 ; x 2 = 4, y 2 = 2 Sumem 2xy als dos membres de la primera equació, amb la qual cosa al primer membre ens queda el desenvolupament del quadrat d'una suma: x 2 + y 2 + 2xy = 106 + 2xy ) (x + y) 2 = 106 + 2xy Però segons la segona equació, xy = 45. Per tant: (x + y) 2 = 196 I extraient l'arrel quadrada: x + y = 614 Per tant, hem de resoldre els sistemes: x + y = 14 x + y = –14 [1] 5 [2] xy = 45 5 xy = 45 Per resoldre el sistema [1], aïllem y en la primera equació, y = 14 – x, i substituïm l'expressió obtinguda en la segona. D'aquesta manera, resulta: x(14 – x) = 45 ) x 2 – 14x + 45 = 0 ) x 1 = 5 i x 2 = 9 Si x 1 = 5 obtenim y 1 = 9 i si x 2 = 9 obtenim y 2 = 5. Procedim de manera anàloga per resoldre el sistema [2]. En aquest cas, les solucions són x 3 = –5, y 3 = –9 i x 4 = –9, y 4 = –5. Per tant, les solucions del sistema són: x 1 = 5, y 1 = 9; x 2 = 9, y 2 = 5; x 3 = –5, y 3 = –9; x 4 = –9, y 4 = –5 B. Sistemes de segon grau amb dues incògnites RECORDA Els productes notables són: • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 • (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 • (a + b) · (a – b) = a 2 – b 2 ACTIVITATS 1. Resol aquests sistemes de segon grau amb dues in- cògnites: a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 x 2 + y 2 x = 369 2 + y 2 = 369 x · y = 180 x 2 + y 2 x = 394 2 + y 2 = 394 x – y = 2 2x 2 2x + y = 24 2 + y = 24 x 2 x + y = 8 2 + y = 8 x 2 – y 2 x = 7 2 – y 2 = 7 x 2 x + 2y = 22 2 + 2y = 22 x 2 x e) 5 2 — + 3y = 0 2 3x – y = 24
C. SUCCESSIONS DE NOMBRES REALS Una successió de nombres reals és una llista infinita de nombres ordenada seguint algun criteri. Per exemple, són successions les llistes de nombres següents: 2, 4, 6, 8, 10, 12, … 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Els nombres que formen una successió s'anomenen termes. Ens hi referim amb una lletra acompanyada d'un subíndex que indica el lloc que ocupa el terme dins de la successió. D'aquesta manera, escrivim a 1, a 2, a 3, … per indicar el terme que ocupa el lloc primer, segon, tercer... de la successió. I escrivim (a n) per referir-nos breument a la successió completa. Terme general d'una successió El terme general d'una successió és una expressió que permet esbrinar el valor d'un terme sabent el lloc que ocupa a la successió. Per exemple, a la successió 1, 4, 9, 16, 25, … cada terme és el quadrat del lloc que ocupa. Per tant, el terme general és a n = n 2 . A la successió de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … en la qual cada terme, excepte els dos primers, s'obté sumant els dos termes anteriors, el terme general és a n = a n – 1 + a n – 2, per a n . 2. Quan es coneix el terme general d'una successió, es poden trobar els termes successius, donant a n els valors 1, 2, 3, ... 2n + 1 Per exemple, a la successió amb terme general an = : n 2 · 1 + 1 2 · 2 + 1 5 2 · 3 + 1 7 a1 = = 3, a2 = = , a3 = = , … 1 2 2 3 3 No totes les successions tenen terme general. Per exemple, no es coneix cap expressió que doni la successió dels nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … ACTIVITATS 1. Escriu els tres termes següents de cada una d'aquestes successions: a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, … c) 1, 3, 6, 10, 15, 21, … b) – 2, 5, – 8, 11, –14, … d) 256, 128, 64, 32, … Representació gràfica d'una successió Una successió de nombres reals també es pot definir com la imatge d'una funció del con junt lN – {0} en lR: lN – {0} ! lR n ! a n Per representar una successió numèrica, dibuixem sobre uns eixos de coordenades els parells de valors (1, a 1), (2, a 2), (3, a 3), etc. Així, a la successió de terme n general an = , do- 2 n – 11n + 16 6 2 – 11n + 16 6 nant valors a n, obtenim el següent: • Per a n = 1, a 1 = 1 • Per a n = 2, a 2 = – 0,33... • Per a n = 3, a 3 = –1,33... …… La seva representació gràfica és la següent: a n 5 0 5 10 2. El terme general d'una successió és a n = 4n + 3. Troba el valor de a 25, a 200 i a 500. 3. El terme general d'una successió és a n = 4 1 2 n els termes a 3, a 5 i a 9. 1 2 n . Troba C. Succesions de nombres reals 7 © VICENS VIVES
Page 1 and 2: L. Pancorbo Palenzuela MATEMÀTIQUE
Page 3 and 4: III. Funcions i gràfiques 7. Funci
Page 5: Així, doncs, les quatre primeres f
Page 9 and 10: Suma dels n primers termes Ara dedu
Page 11 and 12: E. PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES Una p
Page 13 and 14: Interpolació de mitjans geomètric
Page 15 and 16: G. LÍMIT D'UNA SUCCESSIÓ Successi
Page 17 and 18: Propietats de les successions monò
Page 19 and 20: EXEMPLE 2 Estudia i representa grà

SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?