SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

12
© VICENS VIVES
Suma dels n primers termes
Ara deduirem una fórmula per a la suma S n dels n primers termes d'una
progressió geomètrica de raó r:
E. Progressions geomètriques
S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n– 2 + a n– 1 + a n
Multipliquem tots dos membres de la igualtat per la raó r. Obtenim:
S n r = a 1 r + a 2 r + … + a n – 2 r + a n – 1 r + a n r =
= a 2 + a 3 + … + a n – 1 + a n + a n r
Restant aquesta última igualtat de l'anterior, obtenim el següent:
S n – S n r = a 1 + a 2 + … + a n – 1 + a n – a 2 – a 3 – … – a n – 1 – a n – a n r )
) S n (1 – r) = a 1 – a n r )
Com que a n = a 1 r n –1 , substituint a la fórmula anterior obtenim una altra expressió
de la suma dels n primers termes d'una progressió geomètrica:
EXEMPLE
)
Calcula la suma dels 10 primers termes de la progressió geomètrica amb
a 1 = 5 i r = 2.
La suma dels 10 primers termes és la següent:
Suma dels infinits termes
S10 = = 5115
1 – 2
Si la raó r verifica que –1 , r , 1, el valor r n s'aproxima cada vegada més a
zero quan n creix. Per tant, es compleix el següent:
La suma dels infinits termes d'una progressió geomètrica la raó r de la
qual verifica –1 , r , 1 és:
EXEMPLE
Sn = a1 – a1 r n
Sn =
1 – r
a1 – a1 r n
1 – r
5 · (1 – 2 10 5 · (1 – 2 ) 10 )
S` = a1 S` = a1 1 – r
Sn = a1 · (1 – r n )
Sn =
1 – r
a1 · (1 – r n )
1 – r
Calcula la suma dels infinits termes de la progressió geomètrica amb a 1 = 12
i r = 0,6.
12 12
S` = = = 30
1 – 0,6 0,4
Sn = a1 – an r
Sn =
1 – r
a1 – an r
1 – r
Producte dels n primers
termes
El producte P n dels n primers
termes d'una progressió geo -
mètrica és:
P n = 6œ w(a 1 · a n) n
El signe de l'arrel depèn de si
al producte hi ha un nombre
parell de factors negatius (signe
+) o un nombre imparell
(signe –). Si tots els factors són
positius, el signe de l'arrel és
positiu.
ACTIVITATS
1. Quines de les següents
successions són progres-
sions geomètriques?
a) 2, 6, 10, 14, …
b) – 3, 6, –12, 24, …
1
c) 25, 5, 1, , …
5
d) 9; 0,9; 0,09; 0,009; …
2. En una progressió geomètrica,
el primer terme és
1
12 i la raó és . Escriu el
2
terme general i calcula a 3
i a 5.
3. Troba la suma dels sis
primers termes de la pro-
gressió geomètrica de raó
2 i primer terme 4.
4. Troba la suma dels infinits
termes de la progres-
sió geomètrica de primer
1
terme 8 i ra ó .
2