SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

Suma dels n primers termes
Ara deduirem una fórmula per a la suma S n dels n primers termes d'una
progressió aritmètica. Podem escriure:
S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n – 2 + a n – 1 + a n
S n = a n + a n – 1 + a n – 2 + … + a 3 + a 2 + a 1
Sumant, i d'acord amb la propietat dels termes equidistants dels extrems,
obtenim la fórmula següent:
Aïllant S n, obtenim la fórmula per a la suma dels n primers termes d'una
progressió aritmètica:
EXEMPLE
9
Calcula la suma dels 20 primers termes de la progressió aritmètica amb
a 1 = 5 i d = 9.
La suma dels 20 primers termes és la següent:
S 20 =
Hem de calcular a 20. Per fer-ho, escrivim el terme general de la progressió
i substituïm n per 20:
a n = 5 + (n – 1) · 9 ) a 20 = 5 + (20 – 1) · 9 = 5 + 19 · 9 = 5 + 171 = 176
Per tant:
n vegades
>= >=
2S n = (a 1 + a an) n) + (a 1 + a an) n) + … + (a 1 + a an) n) + (a 1 + a an) n) = n · (a 1 + a an) n)
ACTIVITATS
Sn = n · (a1 + a
S n)
n =
2
n · (a1 + an) 2
20 · (a 1 + a a20) 20)
2
>; >;
20 · (5 + 176)
S20 = = 1810
2
1. Identifica les progressions arit mètiques:
a) 4, 10, 16, 22, … d) 40; 4; 0,4; 0,04; …
b) –5, –2, 1, 4, … e) 21, 17, 13, 9, …
c) 10; 8,5; 7; 5,5; … f) 2, –1, 2, –1, …
2. En una progressió aritmètica, el primer terme és 8 i la
diferència és – 3. Escriu el terme general i calcula a 11.
3. En una progressió aritmètica, a 3 = 9 i a 6 = 21. Escriu el
terme general i troba a 10 i a 15.
4. Troba la suma dels 100 primers termes de la progressió
aritmètica amb d = 5 i a 1 = – 430.
5. Troba la suma dels 20 primers termes de la progressió
aritmètica que té com a terme general a n = 6n – 4.
6. En una progressió aritmètica, a 1 = 8 i la suma dels quinze
primers termes és 435. Troba la diferència, escriu el
terme general i calcula a 27.
PENSA I RESPON
Troba el nombre de cartes necessari
per construir un castell de cartes
del tipus representat a la figura,
amb 5, 10 i 15 pisos.
Quants pisos tindria un castell format
per 975 cartes?
7. Troba la suma dels 10 primers termes de la progressió
aritmètica amb a 1 = 7 i d = 5.
D. Progressions aritmètiques
9
© VICENS VIVES