SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

14
© VICENS VIVES
F. SUCCESSIONS MONÒTONES I SUCCESSIONS FITADES
Successions monòtones
Una successió (a n) n) és creixent si cada terme és més petit o igual que el
següent:
Anàlogament, diem que una successió és decreixent si cada terme és més
gran o igual que el següent:
a 1 $ a 2 $ a 3 $ … $ a n $ a n + 1 $ …
Si les desigualtats són estrictes parlem de successions estrictament creixents
o estrictament decreixents.
En tots aquests casos diem que la successió és monòtona.
La representació gràfica d'una successió ens ajuda a veure quina n'és la ten -
dència.
Successions fitades
Una successió (a n) n) està fitada superiorment si existeix un nombre real
M tal que, per a tot n, es compleix que a n # M. Diem que el nombre M
és una fita superior de la successió.
Per exemple, a la successió representada al marge, per a tot n es verifica que
a n # 5. Per tant, la successió està fitada superiorment i 5 és una fita superior.
Una successió (a n) n) està fitada inferiorment si existeix un nombre real M
tal que, per a tot n, es compleix que a n $ M. Diem que el nombre M és
una fita inferior de la successió.
Per exemple, a la successió representada al marge, per a tot n es verifica que
a n $ 1. Per tant, la successió està fitada inferiorment i 1 és una fita inferior.
Ara ja podem definir successió fitada:
a 1 # a 2 # a 3 # … # a n # a n + 1 # …
Una successió és fitada si està fitada superiorment i inferiorment.
En aquest cas, existeix un nombre real M tal que, per a tot n, es compleix
que |a n| # M.
Per exemple, la successió del marge està fitada. Una fita superior és 10 i una
fita inferior és 0. Es compleix que, per a tot n, |a n| # 10.
F. Successions monòtones i successions fitades
10
5
0 5 10
Successió creixent.
10
5
a n
Successió decreixent.
10
0 5 10
5
a n
Successió fitada superiorment.
10
5
a n
0 5 10
Successió fitada inferiorment.
10
0 5 10
5
a n
a n
0 5 10
Successió fitada.
n
n
n
n
n