SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

E. PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES
Una progressió geomètrica és una successió en la qual cada terme
s'obté multiplicant per un nombre fix, anomenat raó, el terme anterior.
Per exemple, són progressions geomètriques les següents:
• 6, 18, 54, 162, … cada terme s'obté multiplicant per 3 l'anterior.
• 64, 32, 16, 8, 4, … cada terme s'obté multiplicant per 0,5 l'anterior.
• 0,1; 0,01; 0,001; … cada terme s'obté multiplicant per 0,1 l'anterior.
Fixa't que en els exemples anteriors cada terme s'obté multiplicant el terme
anterior per un nombre fix. Si denotem aquest nombre amb r, a les progressions
geomètriques es verifica:
Terme general
a n = a n – 1 · r, per a n . 1
A partir de la fórmula anterior en podem trobar una altra de més pràctica.
Donant valors a n a partir de 2, s'obté el següent:
Per a n = 2 a 2 = a 1 · r
Per a n = 3 a 3 = a 2 · r = (a 1 · r) · r = a 1 · r 2
Per a n = 4 a 4 = a 3 · r = (a 1 · r 2 ) · r = a 1 · r 3
Per a n = 5 a 5 = a 4 · r = (a 1 · r 3 ) · r = a 1 · r 4
…………… ……………………………………
Per tant, el terme general d'una progressió geomètrica de primer terme a 1 i
raó r és:
EXEMPLE
a n = a 1 · r
1
Troba el terme general an d'una progressió geomètrica de raó i que té
2
com a primer terme a 1 = 32. A continuació, calcula el setè terme.
Substituint les dades a la fórmula anterior, obtenim el terme general:
n – 1
1
an = 32 · 1 2
Per trobar directament el setè terme, substituïm n per 7:
1
2
a 7 = 32 · 1 2 7 – 1
n –1
2
= 32 · = 1 1 1
64 2
El creixement teòric de les poblacions
es pot aproximar per mitjà
de progressions geomètriques.
Termes equidistants
dels extrems
Si prenem n termes, a 1, a 2, a 3,
..., a n – 2, a n – 1, a n, d'una progressió
geomètrica amb raó r,
el producte dels termes equidistants
dels extrems és igual
al producte dels extrems:
a 1 · a n = a 2 · a n – 1 = ...
Efectivament:
a n
a 2 = a 1 · r ; a n – 1 = — r
Per tant:
an a2 · an – 1 = a1 · r · — = a1 · an r
De la mateixa manera:
a n
a 3 = a 1 · r 2 ; a n – 2 = — r 2
Així doncs:
an a3 · an – 2 = a1 · r 2 · — = a1 · an r 2
I anàlogament per a la resta
de termes.
E. Progressions geomètriques
11
© VICENS VIVES