SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

Propietats de les successions monòtones i fitades
Qualsevol successió monòtona creixent i fitada té límit, que és la més
petita de les seves fites superiors.
En efecte, suposem que L és la més petita de les fites superiors de la successió
(a n).
Considerem un entorn qualsevol (L – ´, L + ´) de centre L, on ´ . 0 és tan
petit com vulguem.
Aleshores, hi ha d'haver algun terme de la successió, per exemple a h, que verifiqui
L – ´ , a h , L, perquè, si no, L – ´ seria fita superior i, per tant, L no
seria la més petita de les fites superiors.
En conseqüència, el terme a h pertany a l'entorn (L – ´, L + ´). Com que la
successió (a n) és creixent, els termes següents, a h + 1, a h + 2, a h + 3, …, també
pertanyen a l'entorn (L – ´, L + ´).
Per tant, L és el límit de la successió (a n).
De la mateixa manera, es pot veure que:
Qualsevol successió monòtona decreixent i fitada té límit, que és la més
gran de les seves fites inferiors.
ACTIVITATS
1. Quines de les successions següents són convergents?
Quin n'és el límit?
n + 5
–3n + 1
a) an = d) an =
n n
2
n + 5
–3n + 1
n n
2
n
b) an = e) an =
n 2 4n – 2
n
n + 1
n + 1
2 4n – 2
n + 1
+ 1
n + 2
c) an = f) an =
n
2. Esbrina quina és la diferència entre el límit de la suc-
3n + 1
cessió an = i el valor de a10 000.
n + 1
3. Troba el valor absolut de la diferència entre el límit de
n
la successió an = i el valor del terme a100. 2 n + 4
2 + 4
4. Representa gràficament la successió 1, –2, 3, –4, 5, … i
explica si té límit. Quin nom reben aquest tipus de suc-
cessions?
–n 2
–n 2
n 2
n 2
n + 2
5. Representa gràficament els deu primers termes de la
successió a n = 3n – 7 i raona si és convergent o diver-
gent.
6. Representa gràficament la successió a n = (–1) n · 1 2 n
digues de quin tipus és. Té límit?
7. Escriu tres successions d'oscil·lació finita.
8. Escriu tres successions d'oscil·lació infinita.
9. La successió 3, 3, 3, 3, … és constant. Té límit? En cas
afirmatiu, quin és?
10. Posa un exemple:
a) D'una successió monòtona fitada superiorment i el
límit de la qual no sigui el valor d'un terme de la
successió.
b) D'una successió el límit de la qual coincideixi amb el
valor d'algun terme de la successió.
Successió de Fibonacci
L'any 1202, Leonardo de Pisa,
conegut com a Fibonacci, va
publicar l'obra més important
de l'àlgebra medieval, el Liber
abbaci.
En aquest llibre, que tracta
principalment de matemàtica
comercial, es planteja un problema
que dóna lloc a la successió
que duu el seu nom.
Segell de Dominica que commemora
el 800 aniversari de la
publicació del Liber abbaci.
1
2
G. Límit d'una successió
i
17
© VICENS VIVES