SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

8
© VICENS VIVES
D. PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES
Una progressió aritmètica és una successió en la qual cada terme s'obté
sumant un nombre fix, anomenat diferència, al terme anterior.
Per exemple, les successions següents són progressions aritmètiques:
• 4, 7, 10, 13, 16, 19, … cada terme s'obté sumant 3 a l'anterior.
• 10, 20, 30, 40, 50, … cada terme s'obté sumant 10 a l'anterior.
• 33, 29, 25, 21, 17, … cada terme s'obté sumant –4 a l'anterior.
Fixa't que en els exemples anteriors cada terme s'obté sumant al terme anterior
un nombre fix.
Si denotem aquest nombre amb d, a les progressions aritmètiques es verifica:
Terme general
D. Progressions aritmètiques
a n = a n – 1 + d, per a n . 1
A partir de la fórmula anterior en podem trobar una altra de més pràctica.
Donant valors a n a partir de 2, s'obté el següent:
Per a n = 2 a 2 = a 1 + d
Per a n = 3 a 3 = a 2 + d = (a 1 + d) + d = a 1 + 2d
Per a n = 4 a 4 = a 3 + d = (a 1 + 2d) + d = a 1 + 3d
Per a n = 5 a 5 = a 4 + d = (a 1 + 3d) + d = a 1 + 4d
…………… ……………………………………………
Per tant, el terme general d'una progressió aritmètica de primer terme a 1 i
diferència d és:
EXEMPLE
a n = a 1 + (n – 1) · d
Troba el terme general a n d'una progressió aritmètica que té com a primer
terme a 1 = –11 i com a diferència, 7. A continuació calcula el novè terme de
la successió.
Substituint les dades en la fórmula anterior, obtenim el terme general:
a n = –11 + (n – 1) · 7 = –11 + 7n – 7 = 7n – 18
Per trobar el novè terme, substituïm n per 9:
a 9 = 7 · 9 – 18 = 63 – 18 = 45
Les progressions són tipus particulars
de successions en les
quals la diferència o el quocient
de cada parell de termes consecutius
és constant.
En el primer cas, parlem de progressions
aritmètiques, i en el
segon, de progressions geomètriques.
Termes equidistants
dels extrems
Si prenem n termes, a 1, a 2, a 3,
…, a n – 2, a n – 1, a n, d'una progressió
aritmètica amb diferència
d, la suma dels termes
equidistants dels extrems és
igual a la suma dels extrems:
a 1 + a n = a 2 + a n – 1 = …
Efectivament:
a 2 = a 1 + d ; a n – 1 = a n – d
Per tant:
a 2 + a n – 1 = a 1 + d + a n – d =
= a 1 + a n
De la mateixa manera:
a 3 = a 1 + 2d ; a n – 2 = a n – 2d
Així doncs:
a 3 + a n – 2 = a 1 + 2d + a n – 2d =
= a 1 + a n
I anàlogament per a la resta
de termes.