SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

C. SUCCESSIONS DE NOMBRES REALS
Una successió de nombres reals és una llista infinita de nombres ordenada
seguint algun criteri.
Per exemple, són successions les llistes de nombres següents:
2, 4, 6, 8, 10, 12, … 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
Els nombres que formen una successió s'anomenen termes. Ens hi referim
amb una lletra acompanyada d'un subíndex que indica el lloc que ocupa el
terme dins de la successió.
D'aquesta manera, escrivim a 1, a 2, a 3, … per indicar el terme que ocupa el
lloc primer, segon, tercer... de la successió. I escrivim (a n) per referir-nos
breument a la successió completa.
Terme general d'una successió
El terme general d'una successió és una expressió que permet esbrinar
el valor d'un terme sabent el lloc que ocupa a la successió.
Per exemple, a la successió 1, 4, 9, 16, 25, … cada terme és el quadrat del
lloc que ocupa. Per tant, el terme general és a n = n 2 .
A la successió de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … en la qual cada terme, excepte
els dos primers, s'obté sumant els dos termes anteriors, el terme general
és a n = a n – 1 + a n – 2, per a n . 2.
Quan es coneix el terme general d'una successió, es poden trobar els termes
successius, donant a n els valors 1, 2, 3, ...
2n + 1
Per exemple, a la successió amb terme general an = :
n
2 · 1 + 1
2 · 2 + 1 5 2 · 3 + 1 7
a1 = = 3, a2 = = , a3 = = , …
1
2 2
3 3
No totes les successions tenen terme general. Per exemple, no es coneix cap
expressió que doni la successió dels nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
ACTIVITATS
1. Escriu els tres termes següents de cada una d'aquestes
successions:
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, … c) 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
b) – 2, 5, – 8, 11, –14, … d) 256, 128, 64, 32, …
Representació gràfica
d'una successió
Una successió de nombres
reals també es pot definir com
la imatge d'una funció del
con junt lN – {0} en lR:
lN – {0} ! lR
n ! a n
Per representar una successió
numèrica, dibuixem sobre uns
eixos de coordenades els parells
de valors (1, a 1), (2, a 2),
(3, a 3), etc.
Així, a la successió de terme
n
general an = , do-
2 n – 11n + 16
6
2 – 11n + 16
6
nant valors a n, obtenim el següent:
• Per a n = 1, a 1 = 1
• Per a n = 2, a 2 = – 0,33...
• Per a n = 3, a 3 = –1,33...
……
La seva representació gràfica
és la següent:
a n
5
0 5 10
2. El terme general d'una successió és a n = 4n + 3. Troba el
valor de a 25, a 200 i a 500.
3. El terme general d'una successió és a n = 4 1 2 n
els termes a 3, a 5 i a 9.
1
2
n
. Troba
C. Succesions de nombres reals
7
© VICENS VIVES