SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

More documents

Recommendations

Info

14 © VICENS VIVES F. SUCCESSIONS MONÒTONES I SUCCESSIONS FITADES Successions monòtones Una successió (a n) n) és creixent si cada terme és més petit o igual que el següent: Anàlogament, diem que una successió és decreixent si cada terme és més gran o igual que el següent: a 1 $ a 2 $ a 3 $ … $ a n $ a n + 1 $ … Si les desigualtats són estrictes parlem de successions estrictament creixents o estrictament decreixents. En tots aquests casos diem que la successió és monòtona. La representació gràfica d'una successió ens ajuda a veure quina n'és la ten - dència. Successions fitades Una successió (a n) n) està fitada superiorment si existeix un nombre real M tal que, per a tot n, es compleix que a n # M. Diem que el nombre M és una fita superior de la successió. Per exemple, a la successió representada al marge, per a tot n es verifica que a n # 5. Per tant, la successió està fitada superiorment i 5 és una fita superior. Una successió (a n) n) està fitada inferiorment si existeix un nombre real M tal que, per a tot n, es compleix que a n $ M. Diem que el nombre M és una fita inferior de la successió. Per exemple, a la successió representada al marge, per a tot n es verifica que a n $ 1. Per tant, la successió està fitada inferiorment i 1 és una fita inferior. Ara ja podem definir successió fitada: a 1 # a 2 # a 3 # … # a n # a n + 1 # … Una successió és fitada si està fitada superiorment i inferiorment. En aquest cas, existeix un nombre real M tal que, per a tot n, es compleix que |a n| # M. Per exemple, la successió del marge està fitada. Una fita superior és 10 i una fita inferior és 0. Es compleix que, per a tot n, |a n| # 10. F. Successions monòtones i successions fitades 10 5 0 5 10 Successió creixent. 10 5 a n Successió decreixent. 10 0 5 10 5 a n Successió fitada superiorment. 10 5 a n 0 5 10 Successió fitada inferiorment. 10 0 5 10 5 a n a n 0 5 10 Successió fitada. n n n n n
G. LÍMIT D'UNA SUCCESSIÓ Successions amb límit finit El nombre real L és el límit d'una successió (a n) n) si a n s'aproxima cada vegada més a L a mesura que n pren valors cada vegada més grans. S'escriu: És a dir, si L és el límit de (a n), la diferència |a n – L| s'aproxima a 0 tant com es vulgui, prenent n prou gran. 4n – 2 Considera, per exemple, la successió an = . n + 1 4 · 1 – 2 2 Per a n = 1, obtenim a1 = = = 1. 1 + 1 2 Si procedim anàlogament, obtenim: a 100 = 3,94... ; a 1 000 = 3,994... ; a 10 000 = 3,999... Fixa't que, a mesura que augmenta el valor de n, els valors de a n s'aproxi- men cada vegada més a 4. Diem que 4 és el límit de la successió a n = i escrivim: Successió convergent lim an = 4 n ! ` Una successió (a n) n) és convergent si té com a límit un nombre real L. 4n – 2 Per exemple, la successió an = és convergent, perquè té com a límit el n + 1 nombre 4. Unicitat del límit d'una successió lim a n = L n ! ` El límit d'una successió, si existeix, és únic. 4n – 2 n + 1 Efectivament, suposem que la successió (a n) té dos límits diferents, L 1 i L 2, amb L 1 , L 2. A partir d'algun valor de n s'hauria de verificar que a n pertany a un entorn de centre L 1 i a un entorn de centre L 2 tan petits com es vulgui, cosa que és contradictòria. Per tant, L 1 i L 2 no poden ser diferents. Així doncs, el límit de a n, si existeix, és únic. Èudox i el límit Per determinar les àrees o els volums de figures curvilínies, els matemàtics grecs inscrivien i circumscrivien figures rectilínies i multiplicaven el nombre de costats o de cares indefinidament per aproximar cada vegada més la figura rec - tilínia a la curvilínia. Tanmateix, fins a Èudox de Cnidos (aproximadament 408- 355 a.C.) no sabien com tancar el raonament. Èudox introdueix el concepte de tan petit com es vulgui, que equival al modern pas al límit. Gràficament, que la successió sigui convergent de límit L, significa que, per a qualsevol valor de ´ . 0, hi ha un terme de la successió a partir del qual tots estan a la franja (L – ´, L + ´). L + ´ L L – ´ a n G. Límit d'una successió n 15 © VICENS VIVES
Page 1 and 2: L. Pancorbo Palenzuela MATEMÀTIQUE
Page 3 and 4: III. Funcions i gràfiques 7. Funci
Page 5 and 6: Així, doncs, les quatre primeres f
Page 7 and 8: C. SUCCESSIONS DE NOMBRES REALS Una
Page 9 and 10: Suma dels n primers termes Ara dedu
Page 11 and 12: E. PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES Una p
Page 13: Interpolació de mitjans geomètric
Page 17 and 18: Propietats de les successions monò
Page 19 and 20: EXEMPLE 2 Estudia i representa grà

SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?