SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

4
© VICENS VIVES
A. NOMBRES COMBINATORIS. BINOMI DE NEWTON
Donats dos nombres naturals m i n tals que m $ 1 i m $ n, es defi-
neix el nombre combinatori 1 2 com:
m
neix el nombre combinatori 1 n 2 com:
m
n
m
El nombre combinatori 1 2
A. Nombres combinatoris. Binomi de Newton
es llegeix m sobre n. El valor superior, m, sol ser
anomenat numerador i el valor inferior, n, ordre del nombre combinatori.
Per exemple:
x
1 2
5
1 2
3
5!
5 · 4 · 3!
20
= = = = 10
3! · 2!
3! · 2!
2
x!
x · (x – 1) · (x – 2) · (x – 3)!
x · (x – 1) · (x – 2)
= = =
3
3! (x – 3)!
3 · 2 · 1 · (x – 3)!
6
Propietats dels nombres combinatoris
Els nombres combinatoris compleixen les propietats següents:
• Propietat 1: 1 2 = m
m
1 2
1
• Propietat 2: 1 2 = m
m
1 2
0
= 1
• Propietat 3: 1 2 = m
m
1 2
n
= m
• Propietat 4: 1 2 + 1 2 = m
m
m + 1
1 2
n
n
m – 1
m
m
n
1 2 = 1 2 =
m – n
n + 1
n + 1
Triangle de Pascal (o de Tartaglia)
m!
n! · (m – n)!
La forma més senzilla de calcular una sèrie completa de nombres combinatoris,
com aquesta:
4
4
4
4
4
1 0
2 1 1
2 1 2
2 1 3
2 1 4
2
consisteix a construir el triangle de Tartaglia o de Pascal fins a la fila corresponent.
És un triangle fàcil d'obtenir:
• Totes les files comencen i acaben en 1.
• La primera fila està formada per dos uns.
• Cadascun dels nombres intermedis de les files inferiors s'obté sumantne
els dos de la fila anterior que es troben situats immediatamente a la
seva esquerra i a la seva dreta.
RECORDA
Anomenem factorial del nombre
natural n, n . 1, i el representem
amb n!, el producte:
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 2 · 1
A més, per definició:
1! = 1 0! = 1
HO SABIES?
Malgrat que el triangle numèric rep
els noms de Tartaglia (1499-1557)
o de Pascal (1623-1662), la seva
existència està datada de molts
anys abans, en les antigues civilitzacions
índia (2000 anys abans de
Pascal) o xinesa (1700 anys abans
de Pascal).
Pascal, però, va fer un ús extens
d'aquest triangle en el càlcul de
probabilitats, i això ha fet que el
seu nom hagi quedat associat al
triangle.