SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

More documents

Recommendations

Info

12 © VICENS VIVES Suma dels n primers termes Ara deduirem una fórmula per a la suma S n dels n primers termes d'una progressió geomètrica de raó r: E. Progressions geomètriques S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n– 2 + a n– 1 + a n Multipliquem tots dos membres de la igualtat per la raó r. Obtenim: S n r = a 1 r + a 2 r + … + a n – 2 r + a n – 1 r + a n r = = a 2 + a 3 + … + a n – 1 + a n + a n r Restant aquesta última igualtat de l'anterior, obtenim el següent: S n – S n r = a 1 + a 2 + … + a n – 1 + a n – a 2 – a 3 – … – a n – 1 – a n – a n r ) ) S n (1 – r) = a 1 – a n r ) Com que a n = a 1 r n –1 , substituint a la fórmula anterior obtenim una altra expressió de la suma dels n primers termes d'una progressió geomètrica: EXEMPLE ) Calcula la suma dels 10 primers termes de la progressió geomètrica amb a 1 = 5 i r = 2. La suma dels 10 primers termes és la següent: Suma dels infinits termes S10 = = 5115 1 – 2 Si la raó r verifica que –1 , r , 1, el valor r n s'aproxima cada vegada més a zero quan n creix. Per tant, es compleix el següent: La suma dels infinits termes d'una progressió geomètrica la raó r de la qual verifica –1 , r , 1 és: EXEMPLE Sn = a1 – a1 r n Sn = 1 – r a1 – a1 r n 1 – r 5 · (1 – 2 10 5 · (1 – 2 ) 10 ) S` = a1 S` = a1 1 – r Sn = a1 · (1 – r n ) Sn = 1 – r a1 · (1 – r n ) 1 – r Calcula la suma dels infinits termes de la progressió geomètrica amb a 1 = 12 i r = 0,6. 12 12 S` = = = 30 1 – 0,6 0,4 Sn = a1 – an r Sn = 1 – r a1 – an r 1 – r Producte dels n primers termes El producte P n dels n primers termes d'una progressió geo - mètrica és: P n = 6œ w(a 1 · a n) n El signe de l'arrel depèn de si al producte hi ha un nombre parell de factors negatius (signe +) o un nombre imparell (signe –). Si tots els factors són positius, el signe de l'arrel és positiu. ACTIVITATS 1. Quines de les següents successions són progressions geomètriques? a) 2, 6, 10, 14, … b) – 3, 6, –12, 24, … 1 c) 25, 5, 1, , … 5 d) 9; 0,9; 0,09; 0,009; … 2. En una progressió geomètrica, el primer terme és 1 12 i la raó és . Escriu el 2 terme general i calcula a 3 i a 5. 3. Troba la suma dels sis primers termes de la pro- gressió geomètrica de raó 2 i primer terme 4. 4. Troba la suma dels infinits termes de la progres- sió geomètrica de primer 1 terme 8 i ra ó . 2
Interpolació de mitjans geomètrics Interpolar n mitjans geomètrics consisteix a intercalar n nombres entre dos nombres p i q de manera que els n + 2 nombres formin una progressió geomètrica. Per interpolar mitjans geomètrics s'ha de calcular la raó r de la progressió geomètrica. Fixa't que a 1 = p i a n + 2 = q. Si utilitzem la fórmula del terme general d'una progressió geomètrica i posem n + 2 en lloc de n, obtenim: an + 2 = a1 · r (n + 2) – 1 = a1 · r n + 1 ) r n + 1 n + 1 = ) r = œ w a n + 2 a n + 2 a 1 a 1 Si substituïm a 1 per p i a n + 2 per q resulta: EXEMPLE 1 Interpola 4 mitjans geomètrics entre 3 i 9375. La progressió geomètrica tindrà 4 + 2 termes. Calculem la raó r utilitzant la fórmula anterior: n + 1 r = œ w q = p Els termes de la progressió són: 4 + 1 œ w = 5 9375 3 œw3125 = 5 œw5 5 = 5 3 ; 3 · 5 = 15 ; 15 · 5 = 75 ; 75 · 5 = 375 ; 375 · 5 = 1875 ; 1875 · 5 = 9375 Per tant, els mitjans geomètrics interpolats són 15, 75, 375 i 1 875. EXEMPLE 2 27 Interpola 4 mitjans geomètrics entre œw3 i . 32 Com en l'exemple anterior, la progressió geomètrica tindrà 4 + 2 termes. Calculem la raó r: n + 1 r = œ w q = p Els termes de la progressió són: n + 1 r = œ wq q p 4 œ+ 1 27 32 œw3 ß = œw3 2 œw3 3 3 œw3 3œw3 3œw3 œw3 9 œw3 ; œw3 · = ; · = ; · = ; 2 2 2 2 4 4 2 8 9 8 œw3 9œw3 · = 2 16 9œw3 œw3 27 ; · = 16 2 32 3 3œw3 9 Per tant, els mitjans geomètrics interpolats són , , 2 4 8 9œw3 i . 16 Els nombres que s'intercalen entre els extrems s'anomenen mitjans geomètrics o mitjans proporcionals. ACTIVITATS 5. Interpola tres mitjans geomètrics entre 8 i 10 368. 6. Interpola quatre mitjans 1 geomètrics entre i – 16. 2 7. Interpola sis mitjans geo - mètrics entre œw5 i 625. 8. Una empresa cobra 10 ? per excavar el primer metre de túnel. Per cadascun dels següents metres de túnel excavats, cobra el preu del metre anterior mul- tiplicat per un factor cons- tant. Per l'onzè metre exca- vat ha cobrat 1 729,95 ?. Determina quant s'ha pa- gat per cadascun dels metres intermedis. E. Progressions geomètriques 13 © VICENS VIVES
Page 1 and 2: L. Pancorbo Palenzuela MATEMÀTIQUE
Page 3 and 4: III. Funcions i gràfiques 7. Funci
Page 5 and 6: Així, doncs, les quatre primeres f
Page 7 and 8: C. SUCCESSIONS DE NOMBRES REALS Una
Page 9 and 10: Suma dels n primers termes Ara dedu
Page 11: E. PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES Una p
Page 15 and 16: G. LÍMIT D'UNA SUCCESSIÓ Successi
Page 17 and 18: Propietats de les successions monò
Page 19 and 20: EXEMPLE 2 Estudia i representa grà

SEPARATA MATEMATIQUES X FP (GS) CY85_. - IOC

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?