6. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA

Estadístico
z de una
muestra
402 / ESTADÍSTICA APLICADA BÁSICA
6.3. Supón que haces pasar la prueba de aritmética de la encuesta NAEP a una
muestra aleatoria simple de 1.000 personas de una gran población, y obtienes
una media de 280 y una desviación típica σ = 60. La media ¯x de los 1.000 resultados
variará si repites el muestreo.
(a) La distribución de ¯x es aproximadamente normal. Su media es µ = 280.
¿Cuál es el valor de la desviación típica?
(b) Dibuja la curva normal que describa cómo varía ¯x en muchas muestras de
esta población. Señala su media µ = 280 y los valores situados a una, dos y tres
desviaciones típicas a cada lado de la media.
(c) Según la regla del 68-95-99,7, aproximadamente el 95% de todos los valores
de ¯x se sitúan entre _______ de la media de esta curva. ¿Cuál es el número que
falta? Llama m al error de estimación. Señala la zona entre la media menos m y la
media más m en el eje de las abscisas de tu gráfico como en la figura 6.2.
(d) Siempre que ¯x se sitúe en la zona que has señalado, el verdadero valor de
la media de la población, µ = 280, se hallará en el intervalo de confianza ¯x − m y
¯x + m. Debajo de tu gráfico, dibuja el intervalo de confianza de un valor de ¯x que
esté situado dentro de la zona señalada y de un valor de ¯x que esté situado fuera
(utiliza la figura 6.4 como modelo).
(e) ¿En qué porcentaje de todas las muestras el intervalo de confianza ¯x ± m
contendrá a la verdadera media µ = 280?
6.2.2 Intervalos de confianza para la media µ
El razonamiento utilizado para hallar un intervalo de confianza del 95% para la
media poblacional µ, se puede aplicar a cualquier nivel de confianza. Partimos de
la distribución de la media muestral ¯x. Si conocemos µ, podemos estandarizar ¯x.
El resultado es el estadístico z de una muestra:
z =
¯x − µ
σ/ √ n
El estadístico z nos dice si la ¯x observada se halla muy lejos de µ, tomando
como unidad de medida la desviación típica de ¯x. Debido a que ¯x tiene una
distribución normal, z tiene una distribución normal estandarizada N(0,1).
Para hallar un intervalo de confianza del 95%, señala el 95% del área por
debajo de la curva. Para un intervalo de confianza de nivel C, marca el área central
C. Llama z ∗ al punto de la distribución normal estandarizada que marca el
inicio del área central C del área total 1 por debajo de la curva.
“moore”
2002/1/21
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