Flujo de fluidos estratificados - PreMAT

1.2. CONSIDERACIONES ACERCA DE FLUIDOS PERFECTOS INCOMPRESIBLES 8
Supondremos que la densidad de cada partícula de fluido permanece constante
a lo largo de las trayectorias pese a variaciones de la presión. Llamaremos incompresible
a un fluido con esta propiedad, y su densidad debe satisfacer la ecuación
(1.2)
Dρ
Dt
= 0.
Si además despreciamos los efectos de la viscosidad, tomando µ = 0 en (1.1),
obtenemos las conocidas ecuaciones de Euler para un fluido perfecto incompresible:
Du ∂u ρ
(1.3)
Dt = ρ ∂t + ρ(u · ∇)u = −∇p + ρg
.
∇ · u = 0
En adelante trabajaremos con fluidos perfectos e incompresibles. Dada una región
D ⊂ Ω, llamamos cantidad de movimiento (o momento) en D a
Q(D, t) = ρu dV.
Utilizando las ecuaciones de Euler junto al teorema de la divergencia, obtenemos
la ecuación de balance mecánico en D,
DQ
(D, t) = ρ
Dt D
∂u
dV + (u · n)u dA = −pn dA + ρg dV,
∂t ∂D
∂D
D
donde n denota a la normal saliente de D.
1.2. Consideraciones acerca de fluidos perfectos incompresibles
1.2.1. Movimientos irrotacionales. Dado un fluido que se mueve con velocidad
u, definimos su vorticidad ω = 1
2∇ ∧ u. Al realizar la descomposición de
∂ui
∇u = en su parte simétrica y antisimétrica -llamadas matriz de deformación
∂xj
y matriz de rotación respectivamente-, se puede observar que la vorticidad es el
vector naturalmente asociado a la matriz de rotación (ver [40], sección 1.4).
Una de las características fundamentales de los fluidos perfectos incompresibles
es la conservación de la vorticidad a lo largo de las líneas de flujo. Si en un instante
dado t0, en una región Ω la vorticidad es nula, entonces en cualquier instante
posterior, en la porción del fluido que se desplazó a partir de Ω según el flujo, la
vorticidad permanece nula.
Proposición 1.1 (Lagrange). Dado un fluido perfecto incompresible, que se
mueve únicamente bajo la acción de una fuerza de masa proveniente de un potencial
univalente 1 , sea ϕ el flujo correspondiente a su campo de velocidades u. Si en un
instante t0, en una región Ω se cumple ∇ ∧ u(x, t0) = 0 ∀x ∈ Ω, entonces para todo
t > t0 se cumple ∇ ∧ u(x, t) = 0 ∀x ∈ ϕ(Ω, t0, t).
Este resultado nos asegura que en un movimiento de un fluido perfecto incompresible
en los que la vorticidad sea nula en un instante t0, la misma permanecerá
nula en todo instante posterior. Llamaremos irrotacionales a los movimientos
en los que la vorticidad es constantemente nula.
1 Un campo F : R n → R n proviene de un potencial univalente si existe una función ψ : R n → R
diferenciable, tal que F = ∇ψ. En este capítulo, la única fuerza de masa que se considera es la
gravitatoria, que es de la forma F = g = ∇(−gz).
D