Flujo de fluidos estratificados - PreMAT

1.10. FLUIDOS ESTRATIFICADOS 26
Combinando esta igualdad con (1.24) y despreciando la variación en la presión,
tenemos que el desplazamiento η satisface la ecuación diferencial
∂2
η g ∂ρ0
= η.
∂t2 ρ ∂z
Como ∂ρ0/∂z < 0, la partícula tendrá un movimiento oscilatorio con frecuencia
angular
N = − g
1/2 ∂ρ0
,
ρ ∂z
a la que llamaremos frecuencia de flotabilidad 5 . Conocer esta frecuencia para un
flujo nos permite tener una idea aproximada de la escala de tiempo en la que
ocurren los movimientos oscilatorios por flotabilidad. Tanto en la atmósfera como
en la termoclina oceánica 6 los períodos de estas oscilaciones son del orden de algunos
minutos, y en los océanos profundos pueden ser de varias horas [49].
1.10.2. Estratificaciones continuas vs. discretas. Si bien la mayoría de
los flujos en la atmósfera y en los océanos presentan estratificaciones continuas, este
tipo de estratificaciones presentan algunas dificultades para su estudio analítico.
Tomemos como ejemplo el problema de estudiar el flujo de un fluido en un canal
abierto con un obstáculo. Long [37, 39] presentó soluciones analíticas exactas para
un caso particular de estratificaciones, aunque la representación general de este tipo
de flujos presenta varios fenómenos no lineales (en el capítulo 5 de [8] se presenta una
síntesis de estos fenómenos y una comparación entre la teoría, resultados numéricos
y experimentales).
Una de las primeras dificultades que surgen al considerar flujos unidireccionales
de fluidos estratificados sobre obstáculos está en la carencia de un parámetro (número
de Froude) que determine su comportamiento cualitativo. Otra de las dificultades
está en dar condiciones suficientes para la existencia de controles hidráulicos. Killworth
[30] empleó la propia densidad como coordenada vertical y definió el número
de Froude como una función que varía verticalmente. En base a este número de
Froude, presentó condiciones necesarias para la existencia de controles.
De este tipo de dificultades surge el interés por el estudio de flujos con estratificaciones
discretas. Aunque en muchos aspectos estos flujos son más simples
que los continuamente estratificados, también pueden presentar algunas diferencias
cualitativas. Por ejemplo, las inestabilidades en los fluidos en capas se presentarán
como fenómenos en las interfases, y las velocidades con las que viajan las perturbaciones
presentan cierta analogía con la velocidad para el caso de una única capa
con superficie libre, dada por (1.14).
A pesar de las ventajas que pueda presentar aproximar un flujo estratificado
continuamente por uno en capas, esta simplificación no tiene por qué ser válida
siempre, ni tampoco es claro de qué forma realizar esta aproximación en un contexto
general. Dado un campo de densidades continuo ρ(z), si lo queremos aproximar por
uno constante a trozos ˜ρ(z), ¿cuántas capas serían necesarias tomar para que el error
sea “pequeño”? ¿De qué espesor? ¿Será verdad que cuantas más capas tomemos
mejor será la aproximación?
5 También es común denominar este número como frecuencia de Brunt-Väisälä.
6 Esta es una capa donde la temperatura cambia muy rápidamente con la profundidad.