Flujo de fluidos estratificados - PreMAT

2.1. MÉTODO DE LOS MODOS NORMALES 32
A pesar de ser solución del problema, esta expresión no resulta del todo satisfactoria,
ya que no nos permite interpretar en forma directa la estabilidad de un estado frente
a un forzante.
Observemos que las singularidades del integrando en la expresión (2.8) sólo
podrían ser las raíces de la relación de dispersión D(k, ω) = 0. Por como elegimos
Fk, estas raíces se encuentran en las curvas ωj(k, R), pero la elección de Lω nos
asegura que no tendremos singularidades en el integrando.
Si a partir de (2.7) sólo aplicamos la transformada de Fourier inversa respecto
a t, obtenemos
ˆψ(k, t) = 1
2π Lω
S(k, ω)
D(k, ω) e−iωt dω.
Calculemos esta integral para t < 0: dado R > 0, consideremos ΓR como la
unión del segmento contenido en Lω y extremos con partes reales −R y R, con el
semicírculo que determinan estos dos puntos contenido en el semiplano superior, al
que llamaremos γR (figura 2.1). Como ΓR no encierra ningún polo, se tiene
Además,
lím
R→∞
ΓR
γR
−R R
Figura 2.1. Camino para hallar ψ(x, t), con t < 0.
γR
ΓR
S(k, ω)
D(k, ω) e−iωt dω = 0.
S(k, ω)
D(k, ω) e−iωt
dω
≤ lím e
R→∞ γR
−tIm(ω)
dω = 0,
de modo que ˆ ψ(k, t) = 0 para todo t < 0.
Para t ≥ 0, tomemos ahora ΓR como la unión del mismo segmento pero con el
semicírculo contenido en el semiplano inferior (figura 2.2). En este caso, será nece-
−R R
ΓR
Figura 2.2. Camino para calcular ψ(x, t), con t ≥ 0.
γR