Flujo de fluidos estratificados - PreMAT

2.2. TEOREMA DE SQUIRE 34
u(y)
Figura 2.3. Estado inicial para un fluido con velocidad y densidad
variables.
Supongamos que en este estado inicial vale la aproximación de Boussinesq presentada
en la sección 1.10.1. La componente según ê2 de esta ecuación es simplemente
0 = − ∂p0
− ρ0(y)g.
∂y
Apliquemos una perturbación tridimensional sobre este estado inicial: consideremos
los campos perturbados
ũ = (u + ũ, ˜v, ˜w),
˜ρ = ρ0 + ρ,
˜p = p0 + p.
La ecuación de continuidad ∇·ũ = 0 se traduce en una ecuación de continuidad
para las perturbaciones:
(2.10)
∂ũ ∂˜v ∂ ˜w
+ + = 0.
∂x ∂y ∂z
Tomando como densidad de referencia ρ0, tenemos que el estado perturbado también
debe satisfacer la ecuación de Boussinesq
∂ũ
∂t
ê2
ρ
+ (ũ · ∇)ũ = g − 1
∇p.
Luego de linealizada esta ecuación, tenemos sus tres componentes:
(2.11)
∂ũ
∂t
∂˜v
∂t
∂ ˜w
∂t
∂ũ ∂u
+ u ∂x + ˜v ∂y
+ u ∂˜v
∂x
+ u ∂ ˜w
∂x
ρ0
ρ0
∂p
1 = − ρ0 ∂x ,
ρ 1 ∂p
= − g − ρ0 ρ0 ∂y ,
1 ∂p
= − ρ0 ∂z .
Como los coeficientes en las ecuaciones (2.10) y (2.11) no dependen de x, z, t,
podemos considerar modos normales de la forma
ũ(x, y, z, t) = û(y)e i(kx+mz−ωt) ,
˜v(x, y, z, t) = ˆv(y)e i(kx+mz−ωt) ,
˜w(x, y, z, t) = ˆw(y)e i(kx+mz−ωt) ,
ρ(x, y, z, t) = ˆρ(y)e i(kx+mz−ωt) ,
p(x, y, z, t) = ˆp(y)e i(kx+mz−ωt) .
Podemos suponer k, m > 0 sin perder generalidad, ya que el signo de Re(ω)
alcanzaría para determinar el sentido de desplazamiento de la perturbación. Una
ê1