Flujo de fluidos estratificados - PreMAT

2.6. INESTABILIDAD DE KELVIN-HELMHOLTZ EN AGUAS SOMERAS 42
esta hipótesis es equivalente a suponer que la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz
sólo se puede manifestar en modos con número de onda muy pequeño.
2.6.1. Flujos confinados. Consideremos un estado inicial como el presentado
en la figura 2.8, en la que se tienen dos capas de fluidos de densidades ρ1 y ρ2,
desplazándose paralelamente con velocidades respectivas u1(x) y u2(x). Sean y1(x)
y y2(x) las alturas respectivas de estos fluidos. El sistema se encuentra acotado
superiormente por una tapa, e inferiormente por un fondo con nivel h(x) respecto
ρ1
ρ2
u1(x)
y1(x)
u2(x) y2(x)
h(x)
η(x, t)
Figura 2.8. Perturbación sobre el flujo de dos capas uniformes
confinadas superiormente.
a cierta recta horizontal de referencia. Supondremos que h varía lentamente, de
modo que las líneas de flujo puedan ser aproximadamente horizontales, y que h es
pequeño en comparación con los espesores de las capas.
Al imponer una perturbación en la interfase η(x, t), las ecuaciones que gobiernan
el estado perturbado serán análogas a las obtenidas en la sección 2.4, pero
habrá diferencias en las condiciones de borde. Consideremos ˜ φ1 y ˜ φ2 como dos
potenciales para las velocidades respectivas del estado perturbado, y φ1, φ2 como
potenciales para las perturbaciones de las velocidades. Como consecuencia de la
incompresibilidad, estos dos últimos potenciales deben satisfacer la ecuación de Laplace
(2.18). Al considerar que las partículas de la interfase se desplazan a igual
velocidad que la perturbación, obtenemos ecuaciones análogas a (2.20). Asimismo,
al igualar las presiones en la interfase y linealizar se obtiene una ecuación como
(2.22). En este caso, las condiciones de borde son cinemáticas: las velocidades verticales
de los fluidos en las paredes deben ser nulas,
∂φ1
∂y (x, y1(x), t) = 0, ∂φ2
∂y (x, −y2(x), t) = 0, ∀x, t.
Aquí se está despreciando la perturbación de la interfase frente a los espesores de
ambas capas.
Al buscar soluciones de la forma
φi(x, y, t) = ˆ φi(y)e i(kx−ωt) , i = 1, 2,
e imponer las condiciones de borde, considerando despreciables las derivadas h ′ 1, h ′ 2,
obtenemos
φ1(x, y, t) = A cosh(k(y − y1))e i(kx−ωt) ,
φ2(x, y, t) = B cosh(k(y + y2))e i(kx−ωt) .
y
x