Flujo de fluidos estratificados - PreMAT

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1.3. ECUACIONES DE AGUAS SOMERAS PARA UN FLUIDO HOMOGÉNEO 11 irrotacional de un fluido perfecto, la velocidad proviene de un potencial escalar, al que llamaremos φ. La incompresibilidad del fluido implica que dicho potencial es armónico. Las condiciones de borde cinemáticas para este potencial son: (1.9) ∂η ∂t ∂φ ∂y ∂φ = ∂y , en y = 0, y = 0, en y = −Y. Por otra parte, tenemos una condición de borde dinámica, y es que la presión en la superficie libre sea nula (p = 0 en y = η). La función de Bernoulli para este fluido es ∂φ |∇φ|2 p + + + gy = H(t). ∂t 2 ρ0 Suponiendo que las ondas son de amplitud pequeña, podemos despreciar el término cuadrático en las velocidades, |∇φ|2 2 ≈ 0. Además, redefiniendo φ en cada instante si fuera necesario, podemos suponer que H(t) = 0. De este modo, obtenemos la ecuación de Bernoulli linealizada, (1.10) ∂φ ∂t p + + gy = 0. ρ0 Evaluando esta última ecuación en un punto de la superficie libre, aunque el término ∂φ ∂t se evalúa en y = 0 (nuevamente gracias a la suposición de ondas de amplitud pequeña), obtenemos ∂φ (1.11) = −gη. ∂t y=0 El potencial armónico que verifica las condiciones (1.9) y (1.11) es (1.12) φ(x, y, t) = aω k cosh(k(y + Y )) senh(kY ) sen(kx − ωt). Sea p ′ el cambio en el campo de presiones debido a la perturbación, p ′ = p− ¯p = p+ρ0gy. Utilizando la ecuación de Bernoulli (1.10) y la fórmula (1.12) para el potencial, obtenemos p ′ 2 ∂φ ρ0aω cosh(k(y + Y )) = −ρ0 = cos(kx − ωt). ∂t k senh(kY ) Por otra parte, la hipótesis 2 implica que el cambio de presiones p ′ tiene que estar dado por p ′ = ρ0gη, de donde 2 cosh(k(y + Y )) kg = ω . senh(kY ) Sustituyendo las expresiones para φ y η en la condición de borde (1.11), se tiene la relación 4 (1.13) |ω| ≈ kg tanh(kY ), de forma que para todo y se verifica cosh(k(y + Y )) 1 ≈ tanh(kY ) = senh(kY ) cosh(k(y + Y )) . cosh(kY ) Esto implica que k(y + Y ) ≈ kY para todo y ∈ [−Y, 0], por lo que ky ≈ 0 en todo el dominio. En consecuencia, se verifica la hipótesis 3. 4 Esta relación es aproximada: depende de la linealización de las ecuaciones.
1.4. FLUIDOS HOMOGÉNEOS EN UN CANAL ABIERTO DE ANCHO CONSTANTE 12 Finalmente, veamos que si se cumple la hipótesis 3, entonces vale la hipótesis 1: imponiendo una perturbación de la misma forma que antes, aplicando Bernoulli y las condiciones de borde, se obtiene que la velocidad proviene de un potencial exactamente como el de la ecuación (1.12). Asimismo, como kY ≪ 1, se cumple cosh(k(y + Y )) ≈ 1, senh(k(y + Y )) ≈ k(y + Y ), senh(kY ) ≈ kY. De este modo, el campo de velocidades en el estado perturbado -en el referencial que se mueve con velocidad constante u en la dirección x- verifica ũ(x, t) = aω kY ˜v(x, t) = aω 1 + y Y cos(kx − ωt), sen(kx − ωt), por lo que se cumple la hipótesis 1. De la discusión anterior, podemos obtener la velocidad a la que se desplazan las perturbaciones en la superficie libre, c = ω/k. Utilizando la ecuación (1.13), y que la hipótesis de aguas someras implica tanh(kY ) ≈ kY , se obtiene g tanh(kY ) (1.14) c = ± ≈ ± k gY . En un referencial fijo con la topografía, se vería desplazar las perturbaciones con una velocidad c = u ± √ gY . 1.4. Fluidos homogéneos en un canal abierto de ancho constante En esta sección consideraremos el flujo de un fluido incompresible homogéneo, con su superficie superior libre. Por simplicidad, asumiremos que el flujo es unidireccional (en la dirección del eje Ox) y estacionario, y que el canal tiene ancho constante. En estos problemas planos utilizaremos la variable y para referirnos tanto a la coordenada vertical como al tirante del canal. Asimismo, denotaremos mediante h(x) a la altura de la topografía en el punto de coordenada x. Aquí estaremos en las hipótesis de aguas someras descritas en la sección 1.3. Los fenómenos que ocurren en este caso tendrán su contraparte cuando analicemos flujos de fluidos estratificados en canales abiertos; sin embargo, estos últimos pueden presentar fenómenos y regímenes distintos. 1.4.1. Ecuaciones de movimiento. Consideremos una región Ω de un canal de ancho b como en la figura 1.2 y apliquemos la condición de incompresibilidad: 0 = ∇ · u dV = u · n dA = u dA − u dA = (u(x2)y2 − u(x1)y1)b. Ω ∂Ω Luego, la condición de incompresibilidad implica S2 ∂ (uy) = 0. ∂x Si consideramos el caudal que circula por el canal, Q = uyb, la condición anterior implica que esta cantidad es una constante. S1
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