Flujo de fluidos estratificados - PreMAT

2.6. INESTABILIDAD DE KELVIN-HELMHOLTZ EN AGUAS SOMERAS 44
hipótesis de aguas someras, ya que las únicas ondas que se pueden manifestar en
este modelo son las que tienen número de onda k ≈ 0. Por lo tanto, el estado inicial
es estable si y sólo si f(0) ≥ P. En el caso en que las capas tengan densidades muy
similares, en el que se puede considerar r ≈ 1, tenemos la condición de estabilidad
(2.24)
introducida en [36, 44].
(u1 − u2) 2
< 1,
g(1 − r)(y1 + y2)
2.6.2. Flujos a superficie libre. Consideremos un flujo de dos capas en un
canal abierto, como en la figura 2.10 . Aquí, si perturbamos la interfase entre los
ρ1
ρ2
u1(x)
y1(x)
u2(x) y2(x)
η1(x, t)
h(x)
η2(x, t)
Figura 2.10. Perturbación sobre el flujo de dos capas uniformes
a superficie libre.
fluidos, tendremos que tener en cuenta tanto el desplazamiento de la misma como
el de la superficie libre del sistema.
Apliquemos un desarrollo análogo al del caso donde los fluidos estaban confinados:
considerando φ1, φ2 potenciales para las perturbaciones de las velocidades,
aplicando la condición de incompresibilidad y la condición de borde
obtenemos modos normales de la forma
∂φ2
∂y (x, −y2(x)) = 0,
φ1(x, y, t) = Ae ky + A ′ e −ky e i(kx−ωt) ,
φ2(x, y, t) = B cosh (k(y + y2)) e i(kx−ωt) .
Por otra parte, tanto en la interfase entre los dos fluidos como en la superficie libre
se debe tener equilibrio en las presiones e igualdad de velocidades. Escribiendo los
desplazamientos η1 y η2 como
η1(x, t) = ˆη1e i(kx−ωt) ,
η2(x, t) = ˆη2e i(kx−ωt) ,
y
x