Flujo de fluidos estratificados - PreMAT

2.5. INTERFASES DE ESPESOR NO NULO ENTRE CAPAS INFINITAS 40
Figura 2.5. Perfiles de velocidad y densidad iniciales (2.23).
De esta forma, se tiene que V es una medida típica de velocidad, y σ una de la
variación relativa de densidad. La frecuencia de flotabilidad es
N 2 (y) = σg
d β′ (y),
y el número de Richardson local es
Ri(y) = Jβ′ (y)
(u ′ σgd
, donde J =
(y)) 2 V
La elección de estas escalas para U y ρ implican que J es el número de Richardson
en y = 0. Para el estado inicial (2.23), si escribimos ρ1 = rρ2, tenemos
V = u1 − u2
2
y σ =
1 − r
1 + r ,
de modo que
4(1 − r)gd
J =
.
(1 + r)(u1 − u2) 2
Con estas nuevas variables, la ecuación de Taylor-Goldstein en forma adimensionalizada
es
∂2 ˆ
′′ ψ u Jβ′
= − + α2 ˆψ,
∂y2 u − c (u − c) 2
donde c es la velocidad de fase adimensionalizada. Observemos que si ˆ ψ es solución
de la ecuación anterior con un valor propio asociado c, entonces su conjugada compleja
ˆ ψ ∗ es solución para el valor propio c ∗ . Luego, para cada modo que decae en
el tiempo existe uno que crece. Por lo tanto, una solución ˆ ψ es estable si y sólo si
su valor propio asociado es real.
Siguiendo [21] (sección 44) y [42], la curva de estabilidad marginal en el plano
α − J está dada por J = α(1 − α), y obtenemos el diagrama presentado en la figura
2.6.
Queremos aproximar el estado inicial dado por (2.23) mediante dos capas homogéneas,
de velocidades u1, u2 y densidades ρ1, ρ2, respectivamente. Para este
estado inicial, que fue considerado en la sección anterior, obtuvimos que los modos
neutralmente estables tienen número de onda
k = g(1 − r2 )
.
r(u1 − u2) 2
2 .