Flujo de fluidos estratificados - PreMAT

3.1. CONTROLES HIDRÁULICOS EN FLUJOS DISCRETAMENTE ESTRATIFICADOS 48
alguna perturbación. Esta definición generaliza a la presentada en el capítulo 1.
Recordemos que en el caso de un fluido homogéneo, el estado crítico representa un
mínimo en la energía interna y en el momento en función del tirante del canal. En
los fluidos estratificados ocurre algo similar.
3.1.1. Flujo crítico para estratificaciones discretas con superficie libre.
Supongamos que tenemos un sistema formado por n capas homogéneas, numeradas
de arriba hacia abajo, de densidades ρi, espesores yi, desplazándose con
velocidades ui, y con una superficie libre (figura 3.1). Asumiremos también que el
ρ1 u1(x)
ρ2
u2(x)
y1(x)
y2(x)
ρn un(x) yn(x)
p = p0
Figura 3.1. Flujo de n capas uniformes a superficie libre.
flujo de cada capa es unidireccional, y que estamos en hipótesis de aguas someras.
Consideremos conocidos y fijos los caudales por unidad de ancho, qi.
Sea Ei la energía interna de la i-ésima capa, entonces tendremos
i−1
n
(3.1) Ei = q2 i
2gy 2 i
+
j=1
rjiyj +
donde rji = ρj/ρi. Impongamos una perturbación infinitesimal, y tomemos un
referencial solidario con dicha perturbación. Entonces, la altura de alguna de las
capas debe variar, esto es, ∂yj/∂x = 0 para algún j. Asimismo, si no tenemos en
cuenta los efectos de la fricción, la energía interna de cada capa debe permanecer
constante:
(3.2)
∂E
∂y
ij
= ∂Ei
∂yj
∂Ei
∂x =
n ∂Ei
j=1
y ∂y
∂x =
∂yj
∂y1
∂x
∂yj
∂x
, . . . , ∂yn
∂x
j=i
yj,
= 0 ∀i = 1, . . . , n.
Tenemos así un sistema de n ecuaciones, una para la energía interna de cada capa,
con n incógnitas,
∂E ∂y
= 0,
∂y ∂x
⊤ donde
. Como estamos suponiendo que
por lo menos una de las capas debe verificar ∂yj/∂x = 0, este sistema debe tener
soluciones no triviales. Tenemos así una condición para estado crítico:
(3.3)
∂E
∂y = 0.
x