7 - Instituto Geofísico del Perú

u x
∂ϕ
∂ψ
= − ,
∂x
∂z
siendo u y igual a cero.
u z
∂ϕ
∂ψ
= +
∂z
∂x
Para las ecuaciones descritas, las tensiones
son nulas y en este caso, se considera la
ecuación de incidencia de la onda P
(Figura 1):
2
2 p (A1
− A2
) + B2
( q −1)
= 0
2 ( q −1)
(A − A ) + 2 pB = 0
Ahora, es necesario omitir
1
2
2
A1 y
B1 y
hacer nulo el segundo, con ello resulta
(Thorne y Wallace, 1995),
2
− 2 p A2
+ B2
( q −1)
2 ( q −1)
A + 2qB
= 0
2
2
= 0
(3)
Estas ecuaciones pueden coexistir si es
nulo el determinante de los coeficientes de
A 2 y
B , o sea,
2
2 2 ( −1)
= 0
− 4pq
+ q
(4)
La expresión 4 se le conoce con el nombre
de “determinante de Rayleigh”.
Las ecuaciones en 3 pueden ser definidos
como,
2
q −1
2 p
B 2 = −A2
= A
5)
2 2
2q
q −1
Como los desplazamientos son el resultado
de la superposición de los desplazamientos
debidos a los potenciales escalares ϕ y
ψ , se pueden definir las ecuaciones que
2
Ondas superficiales
describen los desplazamientos en sus
componentes,
u x
= ia(
ϕ − qψ
) , = ia(
− pϕ
−ψ
)
sustituyendo ϕ y ψ , y poniendo p = iξ
,
q = iη
y teniendo en cuenta la ecuación 5
resulta,
u
u
x
z
2 ⎛ aξz
η + 1
= iaA ⎜ 2 e − e
⎝ 2η
u z
aηz
⎞
⎟
⎟e
⎠
2
⎛ aξz
η + 1
= −aA
⎜ 2 − ξe
− e
⎝ 2η
ia(
x−ct
)
aηz
⎞
⎟
⎟e
⎠
ia(
x−ct
)
En estas expresiones se observa que u x y
u z se propagan como ondas planas según
el eje x a una velocidad c, que corresponde
al movimiento de la onda (velocidad, c R ).
Se observa además que x u y u z son
sinosoidales en x y en t, con amplitudes
decrecientes según las z negativas, además
de su periodo. Ambos desplazamientos
puedan ser definidos como la longitud (L)
y transversal (T),
2π
L = ,
a
R
6)
2π
T = (7)
ac
donde, L esta vinculado con T por la
relación cR T = L .
Despejando de 7,
2π
a = , el producto ax
L
da una idea del numero de ondas
contenidos en la dirección x, siendo a el
numero de ondas en la dirección
horizontal.
Para la velocidad c R , cabe considerar la
ecuación 4 que puede escribirse como.
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