Formulario-General_Parte2 - El Postulante

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
SIMÉTRICO Y ALTERNADO
1) Se averigua si el polinomio es simétrico o alterno.
2) Encontrar los factores de la expresión aplicando el
teorema del resto y aplicando las propiedades del
polinomio simétrcio y alterno.
3) Plantear el cociente, planteando la identidad de
dos polinomios y ampliarlo aplicando el criterio
de los valores numéricos.
Ejemplo: Factorizar:
P(x) = (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3
PROCEDIMIENTO
1) Intercambiando x por y, se ve que la expresión
es alterna.
2) Cálculo de los factores x = y
P(x) = (y - y) 3 + (y - z) 3 + (z - y) 3
P(x) = (y - z) 3 - (y - z) 3 = 0
= 0 + (y - z) 3 + [-(y - z) 3 ]
Luego el polinomio es divisible entre (x - y)
Por ser polinomio alterno, también será divisible
entre los factores obtenidos en forma circular en
el sentido indicado:
x
x = y
z y Haciendo {y = z
z = x
Es decir entre: (y - z) ∧ (z - x)
El polinomio es divisible entre el producto:
(x - y) (y - z) (z - x)
3) Se plantea la identidad de los polinomios:
(x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3
3er. grado
= (x - y) (y - z) (z - x) Q
3er. grado grado cero
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Si Q es de grado cero quiere decir que es un número.
Dando un juego de valores para x, y, z; se obtiene
el valor de Q:
Para x = 1 ; y = 2 ; z = 3:
(1 - 2) 3 + (2 - 3) 3 + (3 - 1) 3
(-1) + (-1) + (8) = Q(2)
∴ Q = 3
Luego, la expresión factorizada es:
= Q (1 - 2) (2 - 3) (3 - 1)
(x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3
= 3 (x - y) (y - z) (z - x)
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO
COMÚN MÚLTIPLO
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión
de mayor grado posible, que está contenida como
factor un número entero de veses en dichas expresiones.
Para determinar el M C D se factoriza las expresiones
comunes con su menor exponente.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)
De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión
de menor grado posible, que contiene un número
entero de veces como factor dichas expresiones.
Para determinar el m c m se factoriza las expresiones
y se forma el producto de los factores comunes y no
comunes con su mayor exponente.
Ejemplo:
Hallar el MCD y el m c m de:
A = x 2 (x 2 + 2y 2 ) + (y 2 + z 2 ) (y + z) (y - z)
B = x 4 + 2x 2 z 2 + z 4 - y 4
PROCEDIMIENTO
Efectuando:
A = x4 + 2x2y2 + (y2 + z2 ) (y2 - z2 )