Formulario-General_Parte2 - El Postulante

PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON
1º Su desarrollo es un polinomio completo de (n + 1)
términos.
2º Los coeficientes equidistantes de los extremos
son iguales.
3º El exponente de “x” en cada término es igual al
número de términos que le siguen y el de “a” al
que le preceden.
4º El coeficiente del primer término es 1 y el coeficiente
del segundo término es igual al exponente
del primer término.
5º El coeficiente de cada término es igual al anterior
multiplicando por el exponente del “x’ anterior y
dividido por el del “a” anterior y aumentando en 1.
6º Si los términos del binomio tienen signos contrarios,
los términos del desarrollo serán alternativamente
positivos y negativos, siendo negativos los
que contengan potencias impares del término negativo
del binomio. Basta sustituir en el dearrollo
“a” por “-a”.
7º Si los dos términos del binomio son negativos, todos
los términos del desarrollo serán positivos o
negativos, según que el exponente sea par o impar.
En efecto:
(-x - a) n = [(-1) (x + a)] n
= (-1) n (x + a) n
8º La suma de los coeficientes del desarrollo es igual
a 2 elevado a la potencia del binomio.
n n n n
2 n = 1 + C 1 + C 2 + C 3 + …+ C n
9º La suma de los coeficientes de los términos de
lugar impar es igual a la suma de los de lugar par.
10º Con respecto a las letras “x” y “a”, el desarrollo
es un polinomio homogéneo de grado “n”.
CÁLCULO DE TERMINO GENERAL t (k+1)
k = lugar del término anterior al buscado
n
t k+1 = C k . x n-k . a k
- 76 -
Ejemplo:
Hallar el término 10 del desarrollo de:
12 1 ( 27x5 + –––) 3x
PROCEDIMIENTO:
Nótese que: n = 12
1er. término: 27x5 1
2do. término: –––
3x
12 1 9
t = t = C (27x 10 9+1 9 5 ) 12-9 ( –––) 3x
12 . 11 . 10
t 10 = –––––––––– (3 3 x 5 ) 3 (3 -9 x -9 )
1 . 2 . 3
t 10 = 220x 6
TÉRMINO CENTRAL
Se presenta 2 casos:
1) Cuando el exponente es par, de la forma (x + a) 2n ,
existe un sólo término central, su lugar se calcula
así:
2n
––– + 1 = n + 1
2
Notar que, en este caso 2n es la potencia del
binomio.
2) Cuando el exponente es impar, de la forma:
(x + a) 2n+1 , existen 2 términos centrales, y sus
lugares se determinan así:
(2n + 1) + 1
1er. Término Central = –––––––––– = n + 1
2
(2n + 1) + 3
2do. Término Central = ––––––––––– n + 2
2
Notar que la potencia del binomio es (2n + 1)